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LOIS
ESSAIS
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
DE
LA
DE MÉCANIQUE
MATIÈRE.
MOLÉCULAIRE.
OUVRAGES
DU
Recherches mathématiques sur les lois
Gauthier-Yillars,
MÊME
AUTEUR.
fondamentales
du
monde
physique.
i865
In-8;
i fr. 5c>
C'est une p r e m i è r e r e c h e r c h e d'une méthode de c a l c u l a p p r o p r i é e a u x c o r p s
discontinus
et son application à l ' e x p l i c a t i o n des forces élastiques p a r des actions à distance. L ' a u teur emploie les rangées de m o l é c u l e s , m a i s sans en t i r e r u n parti a v a n t a g e u x , et établit q u e
les actions m o l é c u l a i r e s doivent être en raison i n v e r s e de la puissance q u a t r i è m e de la distance
ou d'une puissance p l u s grande.
R e c h e r c h e s m a t h é m a t i q u e s s u r l e s l o i s de l a m a t i è r e . I n - 4 ; G a u t h i e r - V i l l a r s , 1868. 9 fr.
Cet O u v r a g e débute par une réfutation de YUnité des forces physiques d u P. S e c c h i ; s u i vent un exposé des l o i s d'action à distance q u ' i l s'agit d'étudier, u n e étude plus approfondie
des rangées de molécules d'où découle la théorie des assemblages r é g u l i e r s ( l ' a u t e u r
ignorait
alors les t r a v a u x de G a u s s et de B r a v a i s ) , l'application do cette théorie a u c a l c u l des actions
dans les m i l i e u x d i s c o n t i n u s et une évaluation des forces élastiques. O n en conclut q u e les
termes de l ' a c t i o n m o l é c u l a i r e sont en r a i s o n i n v e r s e d'uno
p u i s s a n c e de la distance a u
m o i n s égale à 4, et que la pression est proportionnelle à la densité.
goor,
Paris. — Imprimerie de GAU1 HIER-VILLARS, quai des Augustins, 55.
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LES
LOIS D E LA MATIÈRE.
ESSAIS
DE
M É C A N I Q U E
M O L É C U L A I R E ,
PAR
L.-J.-A.
ASCIKV
COMMIMES DE MARSILLY,
ÉLÈVE
D E
L'ÉCOLE
POLYTECIINUQUE.
PARIS,
GAUÏHIER-VILLARS,
D U
B U R E A U
D E S
L O N G I T U D E S ,
IMPRIMEUR-LIBRAIRE
D E
L ' É C O L E
P O L Y T E C H N I Q U E ,
SUCCESSEUR DE MALLET-BACHELIER,
Quai d e s A u g u s t i n s , 5 5 .
1884
( T o n s droits réservés.}.
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PRÉFACE.
S o u s le t i I r e d e : Les lois de la matière, Essais
de Mécanique moléculaire,
j e p u b l i e la s y n t h è s e m a t h é m a t i q u e d ' u n e e x p l i c a t i o n d e s p h é n o m è n e s
matériels par l'hypothèse des
forces
centrales. Telle q u ' e l l e est, cette
s y n t h è s e e s t le f r u i t d e l o n g u e s é t u d e s d e s d i v e r s s y s t è m e s p r é c o n i s é s
j u s q u ' à ce j o u r p o u r la m ê m e e x p l i c a t i o n , d e b i e n d e s t e n t a t i v e s différ e n t e s et p l u s o u m o i n s h e u r e u s e s , d e l o n g s c a l c u l s n u m é r i q u e s e t a n a l y t i q u e s e n t i è r e m e n t s u p p r i m é s i c i . M a i s , p a r l'effet m ê m e d e c e s s u p pressions, l'étendue de cette synthèse paraît bien disproportionnée au
temps que j'ai mis à l'établir (vingt-quatre ans environ), car je n'emb r a s s e q u e l e s forces é l a s t i q u e s d é v e l o p p é e s à l ' i n t é r i e u r d e s c o r p s . J e
n e m e d i s s i m u l e p a s la p e t i t e s s e d u r é s u l t a t , e t j ' a u r a i s d é s i r é y a j o u t e r
de p l u s a m p l e s d é v e l o p p e m e n t s a v a n t de le faire c o n n a î t r e a u x g é o m è t r e s ; q u e l q u e s a n n é e s m e suffiraient
sans doute, car je suis plus
m a î t r e d e s faits q u ' a u d é b u t ; j e les c o m p r e n d s m i e u x e t j ' e n t i r e p l u s
a i s é m e n t l e s c o n s é q u e n c e s . Mais j e s u i s a r r i v é à u n â g e o ù il e s t i m p r u d e n t de c o m p t e r sur u n avenir de q u e l q u e d u r é e ; en voyant m e s
c o n t e m p o r a i n s d i s p a r a î t r e l e s u n s a p r è s les a u t r e s , j e m e d e m a n d e si
m o n t o u r n ' a r r i v e r a p a s b i e n t ô t et s i , en r e t a r d a n t la p u b l i c a t i o n d e
m o n t r a v a i l , j e n e l ' e n t e r r e r a i s p a s a v e c m o i . Dès à p r é s e n t , il m e s e m b l e
p o u v o i r fixer l ' a t t e n t i o n d e q u e l q u e g é o m è t r e c u r i e u x d e c e s s o r t e s
de q u e s t i o n s d o n t on s ' o c c u p e b e a u c o u p à n o t r e é p o q u e , et lui s e r v i r
d e j a l o n d a n s u n e voie f é c o n d e à c o u p s û r , v r a i e p r o b a b l e m e n t . J ' e n ai
d o n c j u g é la p u b l i c a t i o n u t i l e .
Mon t r a v a i l e s t d i v i s é e n c i n q S e c t i o n s :
I. D a n s la p r e m i è r e , j ' e x p o s e l ' h y p o t h è s e qui est celle d e s a l t r a c t i o n n a i r e s , t e l s q u e C a u c h y , L a m é e t M. d e S a i n t - V e n a n t . S i e l l e r e n f e r m e q u e l q u e c h o s e d e n o u v e a u ( e t e n c o r e ? ) , c ' e s t la s u p p o s i t i o n q u e
les c a p a c i t é s p o u r l e s a t t r a c t i o n s e t r é p u l s i o n s e n r a i s o n i n v e r s e d e d i -
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v e r s e s p u i s s a n c e s d e la d i s t a n c e n e s o n t p a s t o u t e s l e s m ê m e s d a n s le
m ê m e a t o m e . Je t r a d u i s en f o r m u l e s c e s forces c e n t r a l e s , e t , d e l e u r
e x a m e n , je conclus que les m o l é c u l e s d ' u n m i l i e u ne p e u v e n t pas être
distribuées d'une m a n i è r e q u e l c o n q u e , mais doivent l'être d a n s u n cert a i n o r d r e , d o n t le p l u s s i m p l e est l ' a s s e m b l a g e , tel q u e B r a v a i s l'a d é fini d a n s u n M é m o i r e p r é s e n t é e n 1 8 4 8 à l ' A c a d é m i e d e s S c i e n c e s . D è s
q u e les m o l é c u l e s d ' u n c o r p s p e u v e n t se r a t t a c h e r p a r u n e s é r i e c o n t i n u e d e d é p l a c e m e n t s à u n é t a t a n t é r i e u r où e l l e s é t a i e n t r é g u l i è r e m e n t
d i s t r i b u é e s , on p e u t , à p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , l e s c o n s i d é r e r e n c o r e
c o m m e r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é e s d a n s l e s t r è s p e t i t s e s p a c e s où se d é veloppent les actions moléculaires. Cette disposition particulière des
m o l é c u l e s n ' e x i s t e p a s n é c e s s a i r e m e n t t o u j o u r s , m a i s e l l e d o i t se p r é s e n t e r s o u v e n t , a u m o i n s p a r à p e u p r è s . E l l e se p r ê t e d ' a i l l e u r s p l u s
a i s é m e n t a u c a l c u l . Je s u i s d o n c f o n d é à l ' a d m e t t r e c o m m e b a s e d e m e s
é t u d e s s u r les p r o p r i é t é s d e la m a t i è r e . Cela p o s é , j ' é n o n c e les p r i n c i p a l e s p r o p r i é t é s d e s a s s e m b l a g e s d ' a p r è s B r a v a i s ; j ' é t a b l i s les f o r m u l e s
d e t r a n s f o r m a t i o n d e c o o r d o n n é e s q u a n d on p r e n d p o u r a x e s d i r e c t e u r s
les r a n g é e s c o n j u g u é e s d e l ' a s s e m b l a g e , e t j e d é d u i s u n e - r e l a t i o n e n t r e
les d e n s i t é s d ' u n m i l i e u à d i v e r s e s é p o q u e s . C e t t e r e l a t i o n e s t c o n n u e ,
e t l e s g é o m è t r e s y s o n t a r r i v e s p a r les p r o c é d é s d u C a l c u l i n f i n i t é s i m a l .
I I . La d e u x i è m e S e c t i o n est c o n s a c r é e à l ' é t u d e d e s f o r c e s é l a s t i q u e s
d a n s l e s c o r p s où l ' o n p e u t s u p p o s e r l e s m o l é c u l e s r é d u i t e s à d e s
p o i n t s et r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é e s . Je c o m m e n c e p a r é t a b l i r l e s form u l e s des c o m p o s a n t e s élastiques parallèles à des r a n g é e s conjuguées
d e l ' a s s e m b l a g e d a n s les c o r p s p u r s e t e n s u i t e d a n s l e s c o r p s m é l a n g é s ;
j ' e n d é d u i s , en f o n c t i o n de c e l l e s - c i , l e s c o m p o s a n t e s s u r u n p l a n q u e l c o n q u e . P a r t a n t de ces d e r n i è r e s , je calcule les v a l e u r s d e s c o m p o santes élastiques s u r trois p l a n s r e c t a n g u l a i r e s en fonction de celles
sur trois plans conjugues, puis les valeurs des composantes élastiques
r e c t a n g u l a i r e s s u r u n p l a n q u e l c o n q u e en fonction de celles sur trois
p l a n s r e c t a n g u l a i r e s . J e vérifie e n p a s s a n t , c o m m e s i m p l e s i d e n t i t é s , p l u s i e u r s r e l a t i o n s q u e L a m é , d a n s ses Leçons sur la théorie mathématique de
l'élasticité des corps solides, o b t i e n t p a r d e s c o n s i d é r a t i o n s m é c a n i q u e s .
E n f i n , j e c o n s t a t e la p o s s i b i l i t é et l e s c o n d i t i o n s d u p r i n c i p e de P a s c a l .
I I I . J ' a i d i v i s é la t r o i s i è m e S e c t i o n e n d e u x p a r a g r a p h e s . D a n s le
p r e m i e r , j e c a l c u l e la v a l e u r d e s c o m p o s a n t e s é l a s t i q u e s d a n s le c a s
s i m p l e d e r a n g é e s c o n j u g u é e s se c o u p a n t à a n g l e d r o i t et a u m o y e n d e
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formules s o m m a t o l r e s d u e s à E u l e r ; je m o n t r e q u e les actions exerc é e s p a r l e s a t t r a c t i o n s ou r é p u l s i o n s e n r a i s o n i n v e r s e d u c a r r é e t d u
c u b e d e la d i s t a n c e s o n t i n s e n s i b l e s a u x d i s t a n c e s i n s e n s i b l e s , a p p r é ciables aux distances m e s u r a b l e s ; que les actions exercées par des
a t t r a c t i o n s ou r é p u l s i o n s e n r a i s o n i n v e r s e de la q u a t r i è m e p u i s s a n c e
d e la d i s t a n c e s o n t d u m ê m e o r d r e d e g r a n d e u r a u x d i s t a n c e s s e n s i b l e s
ou a u x d i s t a n c e s i n s e n s i b l e s ; enfin q u e , p o u r des a t t r a c t i o n s ou r é p u l s i o n s e n r a i s o n i n v e r s e d e p u i s s a n c e s d e la d i s t a n c e é g a l e s à 5 , ou
plus g r a n d e s , l'action exercée a u x distances insensibles est i m m e n s e
par rapport à celle exercée aux distances sensibles. J'en conclus que
les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s d o i v e n t ê t r e a t t r i b u é e s à d e s a t t r a c t i o n s ou r é p u l s i o n s en r a i s o n i n v e r s e d e p u i s s a n c e s d e l a d i s t a n c e é g a l e s à 5 ou
p l u s g r a n d e s , e t q u e le f a c t e u r c o n s t a n t f , c o m m u n à t o u s l e s t e r m e s
de m ê m e d e g r é , est d ' o r d r e e " , s é t a n t u n e g r a n d e u r du p r e m i e r o r d r e .
J ' e n c o n c l u s e n c o r e l ' i m p o s s i b i l i t é d e p o u v o i r n é g l i g e r , d a n s le c a l c u l
d e s a c t i o n s m o l é c u l a i r e s , l e s d i m e n s i o n s d e la m o l é c u l e .
n
- 4
Le s e c o n d p a r a g r a p h e e s t c o n s a c r é a u c a l c u l d e s c o m p o s a n t e s é l a s t i q u e s en t e n a n t c o m p t e des d i m e n s i o n s des m o l é c u l e s . Je me b o r n e
a u c a s d e s c o r p s p u r s et à c e l u i d e c o r p s f o r m é s d e g r o u p e s b i n a i r e s
de d e u x p a r c e l l e s d i f f é r e n t e s .
IV. J'ai divisé la S e c t i o n IV e n l r o i s p a r a g r a p h e s . Le p r e m i e r c o n t i e n t
les é q u a t i o n s g é n é r a l e s d e l ' é q u i l i b r e e t d u m o u v e m e n t d e s a t o m e s ,
d e s c e n t r e s de g r a v i t é d e s m o l é c u l e s , d e c e u x d e s p a r c e l l e s et, finalem e n t , de c e u x de p o r t i o n s p l u s ou m o i n s é t e n d u e s d ' u n m i l i e u . B a s é e s
s u r le p r i n c i p e d e d ' À l e m b c r t e t s u r l ' i n t e r v e n t i o n d ' a c t i o n s e n r a i s o n
i n v e r s e d e p u i s s a n c e s n d e la d i s t a n c e ( n = 5 ou
5), elles n'offrent
r i e n de p a r t i c u l i e r . D a n s le d e u x i è m e p a r a g r a p h e , j e t r a i t e d e s c o m b i naisons q u ' o n p e u t former avec les é q u a t i o n s du p r e m i e r et qui corresp o n d e n t a u x p r i n c i p e s d e s a i r e s e t d e la c o n s e r v a t i o n d e s forces v i v e s .
D a n s le t r o i s i è m e , j ' é t u d i e l e s r é s u l t a t s d e s é q u a t i o n s g é n é r a l e s o b t e n u e s d a n s les d e u x p a r a g r a p h e s p r é c é d e n t s . J'y j u s t i f i e l e s h y p o t h è s e s
d e la S e c t i o n I s u r l ' é t h e r l u m i n i f è r e d o n t l ' a t o m e a u r a i t u n e m a s s e "du
q u a t r i è m e o r d r e p o u r la g r a v i t a t i o n , e t d e s c a p a c i t é s d u t r o i s i è m e o r d r e
p o u r les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s ; p u i s j e m o n t r e q u e , d a n s t o u t e p o r t i o n
d e m i l i e u , l e s a c t i o n s t r a n s m i s e s d e la p o r t i o n a u m i l i e u e n v i r o n n a n t ,
et. r é c i p r o q u e m e n t , p e u v e n t ê t r e r e p r é s e n t é e s p a r des forces é l a s t i q u e s
et sont d u e s u n i q u e m e n t aux actions a t o m i q u e s é c h a n g é e s e n t r e deux
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c o u c h e s d ' é p a i s s e u r i n s e n s i b l e , s é p a r é e s p a r la s u r f a c e t e r m i n a l e
de
la p o r t i o n .
V. La S e c t i o n V c o m p r e n d q u a t r e p r o b l è m e s : i ° a p p r o x i m a t i o n d e s
é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e et d e m o u v e m e n t d a n s u n c o r p s à m o l é c u l e s m o n o a t o m i q u e s ou d o n t l e s d i m e n s i o n s
sont négligeables;
i °
approxi-
m a t i o n d e s é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e et d e m o u v e m e n t d a n s u n c o r p s p u r à
m o l é c u l e s p o l y a t o m i q u e s ; 3° m ê m e a p p r o x i m a t i o n d a n s u n c o r p s f o r m é
d e g r o u p e s b i n a i r e s d e d e u x p a r c e l l e s A et B , c h a q u e s o r t e d e p a r c e l l e s
ayant
sa m ê m e
composition
propre dans toute l'étendue
du
corps;
4° approximation des équations du m o u v e m e n t de l'atome.
Le p r e m i e r p r o b l è m e c o n d u i t a u x é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e et d e m o u v e m e n t c o n n u e s , t e l l e s q u ' o n les t r o u v e e x p o s é e s d a n s les Leçons sur
la théorie mathématique
de l'élasticité
des corps solides,
d e L a m é ; a i n s i se
t r o u v e j u s t i f i é e , p o u r les c o r p s m o n o a t o m i q u e s , l ' i d e n t i t é a d m i s e j u s q u ' i c i , m a i s n o n d é m o n t r é e e n t r e l ' a c t i o n d e s forces m o l é c u l a i r e s et
l e s f o r c e s é l a s t i q u e s a g i s s a n t au c o n t a c t d e s c o r p s ; m a i s , t o u t e n r e c o n n a i s s a n t q u e la s u p p o s i t i o n a priori
de l'identité simplifie
beaucoup
les c a l c u l s , j e c o n s t a t e q u ' e l l e a l ' i n c o n v é n i e n t d ' e m p ê c h e r l ' é t u d e d e s
v é r i t a b l e s a c t i o n s et d e c o n d u i r e f a t a l e m e n t à d e s e r r e u r s l o r s q u ' i l s'agit
de faire e n t r e r e n l i g n e de c o m p t e les d i m e n s i o n s d e s a t o m e s .
L e s e c o n d p r o b l è m e c o n d u i t à d e s é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e et d e m o u v e m e n t d ' u n e f o r m e u n p e u p l u s g é n é r a l e q u e le p r é c é d e n t , en ce s e n s
q u e les c o m p o s a n t e s t a n g e n t i e l l e s d e m ê m e s i n d i c e s n ' y s o n t p l u s i d e n t i q u e s ; il d o n n e en o u t r e u n e r e l a t i o n e n t r e l e s c o m p o s a n t e s é l a s t i q u e s
sur trois plans r e c t a n g u l a i r e s et celles sur u n plan q u e l c o n q u e p a s s a n t
p a r l ' o r i g i n e , r e l a t i o n q u ' o n vérifie i d e n t i q u e m e n t . Mais il a u n a u t r e
i n t é r ê t e n ce q u ' i l f o u r n i t les m o y e n s d e d é c i d e r si l e s p o s i t i o n s d e s
atomes h o m o l o g u e s d a n s les molécules i m m é d i a t e m e n t voisines chang e n t d a n s u n r a p p o r t i n s e n s i b l e o u d a n s u n r a p p o r t fini. E l l e s s o n t i n v a r i a b l e s o u e l l e s c h a n g e n t d a n s u n r a p p o r t fini, e t les e s p a c e s p é r i o d i q u e s où s'effectuent ces c h a n g e m e n t s ont des d i m e n s i o n s
comparables
aux distances moléculaires. Les considérations mécaniques au moyen
desquelles plusieurs
géomètres,
Lamé
entre
autres, ont
démontré
l ' é g a l i t é d e s c o m p o s a n t e s t a n g e n t i e l l e s d e m ê m e s i n d i c e s s u b s i s t e n t , et
e n t r a î n e n t trois é q u a t i o n s de condition aux dérivées partielles d u p r e m i e r o r d r e , c o m p a t i b l e s a v e c les é q u a t i o n s d u m o u v e m e n t . U n e a u t r e
c o n c l u s i o n r e s s o r t e n c o r e d e la s o l u t i o n d e ce p r o b l è m e : c ' e s t la va-
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Habilité par r a p p o r t au t e m p s des composantes élastiques en un m ê m e
centre de gravité; l'expérience ne p e u t q u e n o u s e n d o n n e r l e s m o y e n n e s .
Le t r o i s i è m e p r o b l è m e c o n d u i t a u x m ê m e s é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e e t
de m o u v e m e n t q u e le s e c o n d , a i n s i q u ' a u x m ê m e s r e l a t i o n s e n t r e les
c o m p o s a n t e s é l a s t i q u e s s u r u n p l a n q u e l c o n q u e et l e s c o m p o s a n t e s
é l a s t i q u e s s u r t r o i s p l a n s r e c t a n g u l a i r e s d o n n é s ; l e s c o m p o s a n t e s élast i q u e s s o n t a u s s i v a r i a b l e s p a r r a p p o r t a u t e m p s en c h a q u e c e n t r e
d o n n é de g r o u p e . Mais l'étude des actions moléculaires y fournit bien
d'autres résultats. L'une des parcelles, A, p e u t être supposée formée
de molécules matérielles; l'autre, B, de molécules d'éther luminifere.
Dès l o r s , la d i s t a n c e d u c e n t r e d e g r a v i t é d e la p a r c e l l e B a u c e n t r e de
g r a v i t é O du g r o u p e A B é t a n t u n e q u a n t i t é d u p r e m i e r o r d r e , c e l l e d u
c e n t r e d e g r a v i t é d e la p a r c e l l e A à ce m ê m e c e n t r e O en est u n e d u
s e c o n d . L e s a t o m e s é t h é r é s d é c r i v e n t u n n o m b r e i m m e n s e d e fois, d a n s
de très courts intervalles de t e m p s , des orbites de d i m e n s i o n s c o m p a r a b l e s a u x d i s t a n c e s m o l é c u l a i r e s e t p e u v e n t c h a q u e fois s ' a p p r o c h e r
t r è s p r è s d e s a t o m e s d e la p a r c e l l e A d u g r o u p e v o i s i n , q u e l q u e g r a n d e
q u e soit r e l a t i v e m e n t la d i s t a n c e d e s g r o u p e s . C h a c u n d e c e s r a p p r o c h e m e n t s a m è n e u n e g r a n d e v a l e u r d u m u l t i p l i c a t e u r d e la d e n s i t é
d a n s l ' e x p r e s s i o n de la c o m p o s a n t e é l a s t i q u e , e t la v a l e u r d e ce m u l t i plicateur P ne descend jamais au-dessous d'une certaine limite déterm i n é e p a r l e s d i s t a n c e s d e s c e n t r e s 0 . Il s ' e n s u i t q u e , c e s d i s t a n c e s n e
v a r i a n t ni e n g r a n d e u r , n i e n d i r e c t i o n , c a s a u q u e l la d e n s i t é r e s t e
c o n s t a n t e , la g r a n d e u r m o y e n n e d u m u l t i p l i c a t e u r P c r o î t avec la g r a n d e u r d e s o r b i t e s d e s a t o m e s , c ' e s t - à - d i r e avec la v i t e s s e m ê m e d e c e s
a t o m e s . C e t t e d e r n i è r e p e u t en c o n s é q u e n c e ê t r e m e s u r é e a p p r o x i m a t i v e m e n t au m o y e n d ' u n i n s t r u m e n t o ù , la p r e s s i o n d e m e u r a n t c o n s t a n t e ,
P c r o î t r a i t e n r a i s o n i n v e r s e d e la d e n s i t é . O r c e t i n s t r u m e n t est c o n n u :
c ' e s t le t h e r m o m è t r e , et l'on m o n t r e c o m m e n t il p e u t s e r v i r à m e s u r e r
les a c c r o i s s e m e n t s d e P , n o n s e u l e m e n t d a n s le t h e r m o m è t r e où la p r e s s i o n est c o n s t a n t e , m a i s e n c o r e d a n s l e s m i l i e u x c o n t i g u s où la force
é l a s t i q u e et la d e n s i t é p e u v e n t ê t r e t o u t e s d i f f é r e n t e s . S e u l e m e n t il y a
p l u s i e u r s faits c o n c o m i t a n t s a v e c la c r o i s s a n c e d e v i t e s s e des a t o m e s
é t h é r é s ; il y a l ' o s c i l l a t i o n ou r é v o l u t i o n , s u i v a n t le c a s , d e s c e n t r e s d e
p a r c e l l e s , l ' o s c i l l a t i o n d e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s g r o u p e s , e t l'on
m a n q u e de d o n n é e s p o u r a t t r i b u e r à l ' u n d e c e s faits p l u t ô t q u ' à u n
b
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•autre la s e n s a t i o n p h y s i q u e c o r r é l a t i v e d e c h a l e u r q u e n o u s é p r o u v o n s .
L e s i n t é g r a t i o n s d e s é q u a t i o n s s e m b l e n t d é p a s s e r les forces a c t u e l l e s
d e l ' A n a l y s e . T o u t e f o i s u n e h y p o t h è s e p a r t i c u l i è r e , p l u s ou m o i n s a p p r o c h é e d e la v é r i t é d a n s c e r t a i n s c a s , p e r m e t d e t r o u v e r u n e i n t é g r a l e
q u i lie le f a c t e u r P à la force vive m o y e n n e d u c e n t r e d u g r o u p e . L'éq u a t i o n o b t e n u e a l o r s e s t à p e u p r è s la m ê m e q u e celle o b t e n u e p a r
M. C l a u s i u s , p a r t i de c o n s i d é r a t i o n s i m p u l s i o n n i s t e s t o u t e s
différentes
d e s m i e n n e s ; les i d é e s a t t a c h é e s a u x forces v i v e s m o y e n n e s ne s o n t p a s
n o n p l u s les m ê m e s . Ce n ' e n e s t p a s m o i n s u n r a p p r o c h e m e n t
curieux,
e t j ' a i d û le s i g n a l e r .
Le q u a t r i è m e p r o b l è m e c o n d u i t à un d é d o u b l e m e n t des é q u a t i o n s et
à d e s c o n s i d é r a t i o n s i m p o r t a n t e s s u r le m o u v e m e n t d e s a t o m e s .
L ' e x p o s é d e m o n t r a v a i l q u e je v i e n s de fa-ire m o n t r e q u e j e n ' y ai
p a s d i s c u t é l e s d i v e r s s y s t è m e s p r o p o s é s p o u r e x p l i q u e r les p h é n o m è n e s m a t é r i e l s ; j ' a i c o m m e n c é la synthèse de l'hypothèse
choisie,
voilà t o u t . Q u ' i l m e s o i t p e r m i s de c o m b a t t r e , d a n s c e t t e P r é f a c e , l e s
principales objections élevées contre celle hypothèse.
M. Clerk M a x w e l l a d é m o n t r é [Theory
of heat, L o n d o n , 1 8 7 2 ) q u ' u n
corps c h a u d éprouvait n é c e s s a i r e m e n t un m o u v e m e n t moléculaire
in-
t é r i e u r ; c ' e s t u n e o b j e c t i o n c o n t r e c e u x qui c r o i e n t à l ' é q u i l i b r e d e s
a t o m e s d a n s u n c o r p s c h a u d et n o n c o n t r e les a t t r a c t i o n s et r é p u l s i o n s
à d i s t a n c e , c a r c e l l e s - c i c o n d u i s e n t e x a c t e m e n t à la c o n c l u s i o n
de
M. Clerk M a x w e l l .
On a s o u t e n u l ' i m p o s s i b i l i t é d ' e x p l i q u e r la r é s i s t a n c e d e s gaz à la
p r e s s i o n p a r de s i m p l e s a c t i o n s à d i s t a n c e ; c e l a t e n a i t a u p r é j u g é q u e
le v o l u m e d e s m o l é c u l e s é t a i t n é g l i g e a b l e , p r é j u g é q u i a fait m é c o n n a î t r e le r ô l e i m p o r t a n t q u e ce m ê m e v o l u m e j o u e d a n s la g r a n d e u r
d e s forces é l a s t i q u e s .
Enfin on a été c h e r c h e r d a n s l ' a r s e n a l d e s s o p h i s m e s a n t i q u e s l ' o b j e c t i o n : Les actions à distance
n'existent
pas;
ne peuvent
pas se comprendre;
donc elles
c o m m e s i , p o u r a r r i v e r à s e s fins, D i e u é t a i t
obligé
d ' e m p l o y e r des m o y e n s accessibles à n o t r e i n t e l l i g e n c e ; c o m m e si, d'ores
e t d é j à , n o u s c o m p r e n i o n s t o u t e s l e s a u t r e s lois d e la N a t u r e d o n t n o u s
avons pu'constater l'existence. Euler, généralement mieux inspiré, a
d é v e l o p p é c e t t e o b j e c t i o n d a n s u n e de s e s Lettres ci une princesse
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d'Aile-
XI
PRÉPACK
magne; c ' e s t la p a r a p h r a s e d ' u n v i e u x t h è m e é m i s d i x - h u i t s i è c l e s a u p a r a v a n t p a r L u c r è c e d a n s son p o è m e De natura rerum. Je r a p p o r t e ici
les d e u x t e x t e s , afin q u ' o n p u i s s e l e s c o m p a r e r .
EL'LEH.
LUCRÈCE.
De
la
nature
des
Lettres
choses.
P o è m e , 5o a n s e n v i r o n a v a n t J é s u s C h r i s t . T r a d u c t i o n e n p r o s e d e P o n g c r v i l l c ; t. I , p . -S
cl s u i v . P a r i s , C . - L . - F .
Pankouckc,
182g.
Car n'admets pas, ô Memmius, c o m m e plusieurs philosophes, q u e tous les corps soient
attirés v e r s lo c e n t r e d u m o n d e - , q u e c e t
univers, balancé dans le vido, ne soit point
soutenu par la pression des c h o c s e x t é r i e u r s ,
et que l e s objets qui l'environnent dans toute
sa circonférence n e puissent s'échapper,
parce qu'ils éprouvent la m ê m e tendance
v e r s un centre c o m m u n . C e n ç o i t - o n , M e m m i u s , q u ' u n e masse s e s o u t i e n n e par e l l e m ê m e e t q u e , s o u s nos pieds attirés dans
une direction opposée, à la nôtre, des corps
aient la faculté de se m o u v o i r , c o m m e on
voit notre image s e réfléchir dans l'onde?
Ainsi l'on o s e affirmer qu'un monde rempli
d'êtres de toute e s p è c e s'agite sous la terre,
sans être plus e x p o s é à s'engloutir dans les
gouffres inférieurs q u e nous ne s o m m e s m e nacés d ' u n entraînement v e r s les v o û t e s c é l e s t e s ; on dit q u e c e s peuples nouveaux sont
éclairés par le Soleil quand nous le s o m m e s
par les flambeaux nocturnes, et qu'une c o n stante ajternative leur partage a v e c nous- l e s
nuits, les j o u r s , les saisons et les années.
C'est ainsi que les doctes qui ont embrassé
de faux principes ont admis c e s g r o s s i è r e s
erreurs. Ils n e comprenaient pas qu'il n'existe
point de centre dans u n e étendue infinie. Ce
centre existât-il, quelle loi contraindrait l e s
c o r p s do s'y fixer plutôt que dans d'autres
parties d e l'espace? La nature du vide est de
céder aux corps pesants, que leur direction
tende v e r s le c e n t r e ou loin de l u i . Il n'est
aucun lieu dans l'univers où l e s c o r p s r e s tent immobiles et perdent leur pesanteur. Le
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ci une princesse
d'Allemagne.
Lettre du 18 octobre
Traduction par
Cournot; t. I, p. 265 et suiv. Paris, chez
Hachette, j 8 4 z .
Puisqu'il est certain qu'en considérant
deux corps q u e l c o n q u e s , l'un est attiré v e r s
l'autre, on demande la cause d e ce penchant
m u t u e l ; c'est l à - d e s s u s que les s e n t i m e n t s
sont fort partagés. Les philosophes anglais
soutiennent q u e c'est une propriété e s s e n tielle de tous les corps de s'attirer mutuellem e n t ; que c'est c o m m e un penchant naturel
que tous les corps ont les uns pour les a u tres, e n vertu duquel l e s c o r p s s'efforcent
de s'approcher m u t u e l l e m e n t , c o m m e s'ils
étaient p o u r v u s de quelque sentiment o u
désir. D'autres philosophes regardent ce sentiment comme absurde et contraire aux p r i n cipes d'une philosophie raisonnable. Ils n e
nient pas le fait; ils tombent m ê m e d'accord
qu'il y a actuellement au monde des forces
qui poussent l e s c o r p s les uns vers les autres ;
mais ils s o u t i e n n e n t q u e c e s forces agissent
de dehors sur les corps et qu'elles se t r o u vent dans l'éther, ou cette matière subtile
qui environne tous les corps, de m ê m e q u e
nous v o y o n s qu'un corps plongé dans un
fluide en peut r e c e v o i r plusieurs impressions
pour le mettre e n mouvement. Donc, selon
les p r e m i e r s , la cause de l'attraction réside
dans les c o r p s m ê m e s et dans leur propre
n a t u r e ; et, selon les derniers, cette cause
réside hors d e s c o r p s , dans le fluide subtil
qui les environne. Dans ce c a s , le nom d'attraction serait peu p r o p r e ; il faudrait alors
plutôt dire que c e s c o r p s sont p o u s s é s les
uns v e r s les autres. Mais, puisque l'effet e s t
le m ê m e , soit que deux corps soient p o u s s é s
v i d o o u v r i r a sans cesse u n facile passage à
ou attirés r é c i p r o q u e m e n t , le s e u l n o m i i ' a t -
l e u r c o u r s e . C e centre qu'on supposa ne suf-
t r a c t i o n ne doit pas c h o q u e r , p o u r v u
fit d o n c pas p o u r
ne v e u i l l e p a s p a r là d é c i d e r s u r la n a t u r e
s'opposer à l a dissolution
qu'on
m ê m e de la c a u s e .
de l ' u n i v e r s .
Quelle est l a contradiction
de ces mômes
ils affirment que l a tendance
Les u n s disent que c'est la terre q u i attire
vers le centre n'est pas c o m m u n e à tous les
ces c o r p s (ceux qui tombent) p a r une force
philosophes!
c o r p s ; i l s l a réservent à c e u x que l'eau ou la
qui l u i appartient en v e r t u do s a n a t u r e ; l e s
terre compose, tels que les flots a m e r s , (es
autres disent q u e c'est l'éther, ou autre m a -
des
tière subtile et i n v i s i b l e qui pousse les c o r p s
montagnes et tous ces c o r p s que la t e r r e a
en b a s , de sorte que l'effet est n é a n m o i n s le
nourris.
même dans l ' u n et l ' a u t r e c a s . L e
fleuves, les t o r r e n t s q u i se précipitent
T a n d i s que l'air s u b t i l , l a flamme
dernier
parts
sentiment plaît davantage à c e u x q u i aiment
s'amassent dans les plaines d ' a z u r , les orbes
des p r i n c i p e s c l a i r s dans l a philosophie, p u i s -
a c t i v e , fuient le centre et de toutes
éclatants, l'astre pompeux
d u j o u r , s'en r e -
qu'ils
no voient
pas c o m m e n t
deux
corps
paissent s a n s cesse, a i n s i que des s u c s fé-
éloignés l ' u n de l ' a u t r e peuvent a g i r l ' u n s u r
conds sortis de l a terre se n o u r r i s s o n U c s è t r c s
l'autre, à moins qu'il
a n i m é s , les fleurs et les v é g é t a u x . P a r delà
entre
l a s p h è r e étoilée, i l s placent le
puissance d i v i n e et soutiennent q u e D i e u a
firmament;
n ' y ait quoique chose
e u x . L e s autres r e c o u r e n t à l a toute-
les
revêtu tous les c o r p s d'une force capable de
flammes f u g i t i v e s , q u i , s ' c x h a l a u l du c e n t r e ,
s'attirer mutuelloment. Q u o i q u ' i l soit d a n g e -
f r a n c h i r a i e n t sans l u i les l i m i t e s d u n ï o n d c .
reux de v o u l o i r d i s p u t e r s u r co que Dieu a u -
L e mémo désordre e n v a h i r a i t l a n a t u r e e n -
rait pu f a i r e , i l est n é a n m o i n s certain que si
t i è r e ; lo temple des c i e u x , les foudres, les
l'attraction était u n o u v r a g e i m m é d i a t de la
autres s ' é c r o u l e r a i e n t s u r nos t è t e s ; l a t e r r e
toute-puissance d i v i n e , sans être fondée dans
ébranlée s ' o u v # i r a i t , et
les p e u p l e s , r o u l é s
l a nature des c o r p s , ce serait la m ê m e chose
avec les d é b r i s ardents des c i e u x , s'englou-
que si l'on disait que D i e u pousse i m m é d i a -
enveloppe
impénétrable,
il
comprime
tiraient v i v a n t s dans des gouffres sans fond.
tement les corps l e s u n s v e r s les a u t r e s , ce
Bientôt i l ne resterait de cet u n i v e r s
qui serait des m i r a c l e s continuels. Supposons
qu'un
amas de poussière et u n e solitude éternelle.
qu'avant
Car qu'importe
créé que deux c o r p s éloignés l ' u n de l ' a u t r e ,
le lieu où c o m m e n c e r a i t
d e s o r d r e ? une p o r t o fatale s ' o u v r i r a i t
le
pour
l a création dv* monde D i e u n'eût
q u ' i l n'existât
h o r s d'eux
absolument r i e n ,
la destruction et les éléments en foule se h â -
et que ces c o r p s fussent en r e p o s ; serait-il
teraient de s ' y p r é c i p i t e r .
b i e n possible que l'un s'approenât de l ' a u t r e
ou q u ' i l s eussent u n penchant à s ' a p p r o c h e r ?
C o m m e n t l ' u n s c n t i r a i t - i l l'autre dans l ' é l o i gnement? comment pourraït-il avoir un d é s i r de s'en a p p r o c h e r ? C e sont des idées qui
r é v o l t e n t ; m a i s , dès q u ' o n suppose que l'espace entre les c o r p s est r e m p l i d ' u n e m a tière s u b t i l e q u ' o n n o m m e l ' é t h e r , i l s e m b l e
p l u s r a i s o n n a b l e d ' a t t r i b u e r l'attraction m u tuelle des corps, à u n e action q u e l'éther y
e x e r c e , q u o i q u e l a m a n i è r e nous soit i n c o n n u e , que de r e c o u r i r à une qualité i n i n t e l l i gible.
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E n m e t t a n t d e c ô t é le m o u v e m e n t p o é t i q u e d e l ' e x t r a i t d e L u c r è c e ,
le c a r a c t è r e r e l i g i e u x d e la L e t t r e d ' E u l e r , on v o i t u n e e x t r ê m e s i m i l i t u d e e n t r e l e s deux rnodes d ' a r g u m e n t a t i o n . Toutefois E u l e r est beauc o u p m o i n s t r a n c h a n t q u e L u c r è c e . Mais il n ' a p a s p r o u v é q u e l ' a t t r a c t i o n n ' e s t p a s u n e q u a l i t é d e la m a t i è r e , p a s p l u s q u e s o n p r é c u r s e u r
L u c r è c e n ' a d é m o n t r é q u e la T e r r e e s t p l a t e et d é p o u r v u e d ' a n t i p o d e s ;
le P . S e c c h i e t l e s a u t r e s a u t e u r s q u i o u t * T é p é t é l ' o b j e c t i o n d ' E u l e r
n ' e n o n t p a s a u g m e n t é la v a l e u r .
Je c r o i s i n u t i l e d e m e n t i o n n e r q u e l q u e s a u t r e s o b j e c t i o n s q u e j ' a i
r e n c o n t r é e s , n o t a m m e n t d a n s ÏUnitédes forces physiques d u P . S e c c h i .
Elles ne m ' o n t pas s e m b l é valoir une réfutation.
J ' a c h è v e r a i c e t t e P r é f a c e en r e m e r c i a n t M. d e S a i n t - V e n a n t , d e l ' A c a d é m i e d e s S c i e n c e s , et m o n a m i P h i l i p p e G i l b e r t , l ' é m i n e n t p r o f e s s e u r
d e L o u v a i n . Je l e u r ai c o m m u n i q u é m o n t r a v a i l , il y a q u e l q u e s a n n é e s ,
et ils m ' o n t d o n n é d ' e x c e l l e n t s a v i s , d o n t j ' a i tâerié d e p r o f i t e r d a n s la
r é d a c t i o n d e l ' O u v r a g e a c t u e l . Mais tour; ce q u e c e l u i - c i c o n t i e n t s u r
les c o m p o s a n t e s é l a s t i q u e s o b t e n u e s en t e n a n t compte des d i m e n s i o n s
d e s m o l é c u l e s e s t n o u v e a u ; j ' a i e u b i e n d e la p e i n e à m e d é f a i r e d u
préjugé admis : c'est s e u l e m e n t dans les derniers mois de 1 8 8 2 que
j ' a i v u c l a i r e m e n t la n é c e s s i t é d e t e n i r c o m p t e d e s d i m e n s i o n s d e s m o l é c u l e s , e t d a n s le c o m m e n c e m e n t d e i88J5 q u e j ' e n ai a p e r ç u l e s c o n s é q u e n c e s a u p o i n t de v u e d e la c h a l e u r .
J'ai l u , a u c o u r s d e l ' i m p r e s s i o n d e m o n t r a v a i l , u n O u v r a g e t r è s o r i g i n a l e t t r è s c u r i e u x s u r les l o i s d e la m a t i è r e , d û à M. L o v e ( G . - H . ) ,
e t i n t i t u l é Etude sur la constitution moléculaire des corps, e t c . ( ' ) ; j ' y
ai t r o u v é l e s o b j e c t i o n s s u i v a n t e s é l e v é e s c o n t r e l ' e x p l i c a t i o n d e s p h é nomènes physiques par des actions à distance. Comme elles sortent du
t h è m e o r d i n a i r e , e l l e s m e s e m b l e n t m é r i t e r u n e x a m e n s p é c i a l . Je l e s
c i t e r a i t e x t u e l l e m e n t et l e s ferai s u i v r e de m e s r é p o n s e s .
Texte. — 5. Je r e v i e n s m a i n t e n a n t a u s y s t è m e m o l é c u l a i r e s i d é r a l ,
d o n t j ' a i d û m o n t r e r te r a p p o r t a v e c la c o s m o g o n i e r é f u t é e d e s m é c a n i -
( ' ) P. 1 1 ; Paris, Gauthier-Villars, i 8 8 3 .
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e i e n s (•'), p o u r l ' e x a m i n e r e n d é t a i l . J e ferai r e m a r q u e r d ' a b o r d q u ' u n
p a r e i l s y s t è m e e x i g e d e t o u t e n é c e s s i t é une molécule centrale
régulatrice
d ' u n e d i m e n s i o n s u p é r i e u r e à t o u t e s l e s a u t r e s et d i s p o s a n t en o u t r e
d'une q u a n t i t é de c h a l e u r infiniment plus g r a n d e .
Réponse.
— L ' a u t e u r a p p e l l e système
d e la m o l é c u l e
moléculaire
sidéral
f o r m é e p a r d e s a t o m e s c i r c u l a n t l'es u n s
l'hypothèse
autour
des
a u t r e s en v e r t u d ' a c t i o n s c e n t r a l e s . Il e s t v r a i q u e les p a r t i s a n s d e c e t t e
h y p o t h è s e , p o u r e n d o n n e r u n e i d é e , c o m p a r e n t v o l o n t i e r s la m o l é c u l e
à notre système planétaire; mais cette comparaison n'entraîne nullem e n t la n é c e s s i t é d ' u n a t o m e p r é p o n d é r a n t , c o m m e le S o l e i l l ' e s t d a n s
le s y s t è m e p l a n é t a i r e , m a l g r é l ' a s s e r t i o n c o n t r a i r e d e M. L o v e .
I 7 o b l i g a t i o n d ' u n e q u a n t i t é de c h a l e u r p l u s g r a n d e d a n s la m o l é c u l e
c e n t r a l e est e n c o r e u n e a f f i r m a t i o n g r a t u i t e , c o n s é q u e n c e
de
l'hypo-
2
t h è s e de M. Love ( ) s u r la c h a l e u r e t s o n a c t i o n , e t n o n d e celle d e s
forces c e n t r a l e s ; o r , q u a n d on veuL j u g e r n u e h y p o t h è s e , il faut en
e x a m i n e r les c o n s é q u e n c e s d i r e c t e s e t n o n c e l l e s q u ' e l l e a u r a i t en y
a p p l i q u a n t un s y s t è m e e n t i è r e m e n t différent. L ' a r g u m e n t a t i o n est donc
ici c o m p l è t e m e n t d é f e c t u e u s e .
Texte.
— S'il e n é t a i t a i n s i , t o u s les c o r p s s i m p l e s o u c o m p o s é s se-
yaient dépourvus d'homogénéité,
ce q u i e s t c o n t r a i r e à l ' e x p é r i e n c e .
p l u s , les a p t i t u d e s a u x c o m b i n a i s o n s , d é p e n d a n t
absolument
De
d e la
q u a n t i t é de c h a l e u r a t t a c h é e a u x m o l é c u l e s , s e r a i e n t v a r i a b l e s d a n s les
p a r t i e s d ' u n m ê m e c o r p s , ce q u i n ' a p a s l i e u .
Réponse.
— Il y a ici u n e c o n f u s i o n é v i d e n t e e n t r e l e s s u p p o s i t i o n s
faites p o u r la m o l é c u l e et c e l l e s f a i t e s p o u r le c o r p s , a u m o i n s q u a n d
on s'en t i e n t a u s y s t è m e d e s a t t r a c t i o n n a i r e s . P o u r c e u x - c i , l ' h o m o g é n é i t é d ' u n c o r p s d é p e n d d e la d i s t r i b u t i o n d e s m o l é c u l e s e t n o n
c e l l e des a t o m e s d a n s la m o l é c u l e . C o n s é q u e m m e n t , l ' o b j e c t i o n
de
porte
à f a u x . Q u a n t à l ' o b j e c t i o n t i r é e d e la q u a n t i t é d e c h a l e u r , j e r e n v o i e
à ce q u e j ' e n ai d i t c i - d e s s u s .
Texte.
(')
2
( )
— D ' u n a u t r e c ô t é , les d i s t a n c e s a d m i s e s e n t r e les m o l é c u l e s
C'est la désignation que M. L o v e emploie pour les géomètres.
I l y a l i e u d ' o b s e r v e r q u d * M . L o v e ne "croit pas faire d'hypothèses,
mais
seulement
i n t e r p r é t e r les faits. C o m m e ses interprétations sont conjecturales et basées, pour ce q u ' i l ne
voit p a s , s u r des analogies a v e c ce q u ' i l v o i t , i l choisit en réalité entre p l u s i e u r s i n t e r p r é t a l i o n s possibles et fait des hypothèses d'une manière
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inconsciente.
et le faible d i a m è t r e r e l a t i f d e celles-ci a u r a i e n t p o u r r é s u l t a t q u ' a u c u n
c o r p s n e p o u r r a i t s e r v i r d e r é c i p i e n t a u x l i q u i d e s et a u x gaz q u i p a s s e r a i e n t à t r a v e r s ses p a r o i s c o m m e l ' e a u à t r a v e r s u n c r i b l e à l a r g e s
' m a i l l e s . Mais ce q u i p a s s e r a i t s u r t o u t à t r a v e r s les c o r p s a i n s i f o r m é s ,
ce s e r a i t la l u m i è r e . T o u s l e s c o r p s s e r a i e n t diaphanes.
Réponse. — Ici e n c o r e l ' a u t e u r s ' o b s t i n e à j u g e r l ' h y p o t h è s e a t t r a c t i o n n a i r e en y a p p l i q u a n t la s i e n n e ; c o m m e elle e s t c o n t r a d i c t o i r e , il
n e p e u t o b t e n i r q u e d e s r é s u l t a t s a b s u r d e s . Ce m o d e d ' a r g u m e n t a t i o n
e s t s a n s v a l e u r ; p o u r j u g e r u n e h y p o t h è s e p a r ses c o n s é q u e n c e s , il faut
c h e r c h e r celles qu'elle e n t r a î n e r é e l l e m e n t , et n o n celles qu'elle fournit
avec u n a u t r e système.
Texte. — II. f a u d r a i t e n c o r e c o n c i l i e r ce s y s t è m e , où l e s m o l é c u l e s
s e r a i e n t e n t r a î n é e s d a n s u n m o u v e m e n t r a p i d e o r b i t a i r e ou d a n s de
p e r p é t u e l l e s c o l l i s i o n s , c o m m e c e l l e s s u p p o s é e s d a n s les g a z , avec u n
fait p h y s i q u e d ' o b s e r v a t i o n c o n s t a n t e é t a b l i s s a n t q u e l e s c r i s t a l l i s a t i o n s
n e p e u v e n t se f o r m e r q u e dans un air calme et un repos absolu. S u i t u n e
t i r a d e c o n t r e les m é c a n i c i e n s , i n u t i l e à r e p r o d u i r e .
>*
Réponse. — L ' o b s e r v a t i o n c o n s t a n t e é t a b l i t q u e la c r i s t a l l i s a t i o n
exige l ' a b s e n c e d e t o u t m o u v e m e n t d ' a m p l i t u d e s e n s i b l e , m a i s l ' e x i s t e n c e d e m o u v e m e n t s m o l é c u l a i r e s r a p i d e s d e t r è s faible a m p l i t u d e ,
p a r s u i t e d e s q u e l s l e s m o l é c u l e s se r a n g e n t d a n s l ' o r d r e c r i s t a l l i n . Ces
m o u v e m e n t s ne sont n u l l e m e n t i n c o m p a t i b l e s avec les vibrations d'amp l i t u d e i n s e n s i b l e q u e les a t t r a c t i o n n a i r e s a d m e t t e n t p o u r les m o l é c u l e s . Ils n ' a d m e t t e n t p a s la t h é o r i e d e C l a u s i u s p o u r les g a z .
Texte. — E n O p t i q u e , le s y s t è m e d e F r e s n e l v i e n t m i s é r a b l e m e n t
é c h o u e r c o n t r e u n fait e x p é r i m e n t a l d e s p l u s s i m p l e s ; c a r la m a n i è r e
d o n t l e s o n d u l a t i o n s p r o d u i t e s d a n s u n e p i è c e «d'eau se c o m p o r t e n t »
l ' é g a r d d ' u n p i e u q u ' o n y p l a n t e v e r t i c a l e m e n t p r o u v e q u e , dans ce système, il n'y aurait pas d'ombre; le Soleil éclairerait en même temps la
Terre sur toute sa surface; d ' u n a u t r e c ô t é , les s o n s n e se m e u v e n t p a s
a v e c la m ê m e v i t e s s e , , m a l g r é les c a l c u l s q u i o n t p r é t e n d u é t a b l i r le
c o n t r a i r e , e t il n ' e s t p a s d o u t e u x q u ' i l en s o i t d e m ê m e p o u r la l u m i è r e , e t c . P a s d ' a u t r e o b j e c t i o n d i s t i n c t e d a n s le r e s t e d u n u m é r o et
de l ' O u v r a g e .
Réponse. — L ' o b j e c t i o n r e l a t i v e à l ' o m b r e est a n c i e n n e ; e l l e r e m o n t e
au m o i n s à N e w t o n , qui l'élevait contre les t h é o r i e s o p t i q u e s de Des-
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c a r t e s , et elle a été r é f u t é e v i c t o r i e u s e m e n t , v e r s le c o m m e n c e m e n t
d e ce s i è c l e , p a r Y o u n g a u m o y e n d e s c o n s i d é r a t i o n s s u i v a n t e s . L ' e x p é r i e n c e m o n t r e q u e , si le p i e u n ' a r r ê t e p a s l e s o n d u l a t i o n s d u l i q u i d e , il
y a d e s o b s t a c l e s s u f f i s a m m e n t g r a n d s p o u r les a r r ê t e r d ' u n e m a n i è r e
p l u s o u m o i n s c o m p l è t e d e r r i è r e e u x . Il y a d o n c u n r a p p o r t e n t r e les
d i m e n s i o n s d e l ' o b s t a c l e l i m i t e e t c e l l e d è s o n d u l a t i o n s a r r ê t é e s . Or,
p o u r c o m p a r e r l e s r é s u l t a t s a c q u i s s u r la p i è c e d ' e a u a u x faits de la
l u m i è r e , il faut r é d u i r e les d i m e n s i o n s d e l ' o b s t a c l e l i m i t e d a n s la
m ê m e p r o p o r t i o n q u e les o n d u l a t i o n s ou v i b r a t i o n s , c ' e s t - à - d i r e les div i s e r p a r e n v i r o n 1 0 0 0 0 0 0 . M a i s a l o r s l ' o b s t a c l e n ' a r r ê t e p l u s la lum i è r e d ' u n e m a n i è r e a b s o l u e ; on s a i t q u e d e t r è s p e t i t s é c r a n s m o n t r e n t , à d e s d i s t a n c e s s u f f i s a m m e n t r a p p r o c h é e s , de la l u m i è r e a u sein
d e l ' o m b r e et n e p r o d u i s e n t , u n p e u p l u s l o i n , q u e d e s f r a n g e s ; c'est
m ê m e le s y s t è m e d e F r e s u e l , si misérablement échoué, q u i a c o n d u i t
c o m m e c o n s é q u e n c e à ce fait, vérifié e n s u i t e e x p é r i m e n t a l e m e n t .
L a c o n s t a n c e de la v i t e s s e d e s s o n s i n d é p e n d a m m e n t d e l a h a u t e u r
a é t é a d m i s e c o m m e r é s u l t a t de l ' e x p é r i e n c e a v a n t d ' ê t r e é t a b l i e p a r
d e s c a l c u l s e m p i r i q u e s ; si elle n ' e s t pas r i g o u r e u s e m e n t e x a c t e , ce q u e
j ' i g n o r e , on n e p e u t p a s en r e n d r e r e s p o n s a b l e la t h é o r i e a t t r a e t i o n n a i r e , e n d e h o r s d e l a q u e l l e ces c a l c u l s o n t é t é f a i t s ; p a r e i l l e o b s e r v a t i o n e s t a p p l i c a b l e à la t h é o r i e de la l u m i è r e . Je d o i s faire o b s e r v e r q u e
d e s e x p é r i e n c e s d ' A r a g o , c o n f i r m a t i v e s d e l ' é g a l i t é d e v i t e s s e do t r a n s m i s s i o n d e s d i v e r s r a y o n s l u m i n e u x et e x é c u t é e s à la d e m a n d e d e Cauchy, paraissent entièrement probantes.
E n s o m m e , les a r g u m e n t s d e M. Love n e p r o u v e n t r i e n c o n t r e la
p o s s i b i l i t é d u s y s t è m e a t t r a c t i o n n a i r e , tel q u e je l'ai e x p o s é , ni c o n t r e
l e s p r e m i è r e s c o n s é q u e n c e s q u e j ' e n ai d é d u i t e s . C'est t o u t ce q u e j e
d é s i r a i s é t a b l i r i c i , m o n b u t n ' é t a n t p a s d e d i s c u t e r le s y s t è m e de cet
a u t e u r , p a s p l u s q u e j e n e l'ai fait p o u r l e s a u t r e s s y s t è m e s i r n p u l s i o n naires.
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LES
LOIS
ESSAIS
DE
LA
DE M É C A N I Q U E
MATIÈRE.
MOLÉCULAIRE.
SECTION I.
PRÉLIMINAIRES.
1. A u s s i loin q u ' o n r e m o n t e d a n s l ' h i s t o i r e d e s S c i e n c e s , o n t r o u v e
ries p e n s e u r s p r é o c c u p é s d ' e x p l i q u e r les p h é n o m è n e s m a t é r i e l s q u i n o u s
e n v i r o n n e n t . A l'origine, ces p e n s e u r s e u r e n t s u r t o u t r e c o u r s aux p r i n cipes m é t a p h y s i q u e s e t a g i r e n t p a r l ' i m a g i n a t i o n p l u s q u e p a r d e s
e x p é r i e n c e s r a i s o n n é e s ; p e u à p e u c e p e n d a n t , l ' o b s e r v a t i o n d e s faits
a c q u i t u n e p l u s g r a n d e p l a c e ; m a i s l ' e x p é r i e n c e p r o p r e m e n t d i t e ne
c o m m e n ç a g u è r e q u ' à K e p l e r et à G a l i l é e . A t o u t e s l e s é p o q u e s , les
théories émises p e u v e n t , malgré une divergence e x t r ê m e de détails, être
r a p p o r t é e s à d e u x c l a s s e s d i f f é r e n t e s , d o n t on d é s i g n e a u j o u r d ' h u i les
p a r t i s a n s s o u s l e s n o m s r e s p e c t i f s à'attractionnaires et d'impulsion naires : l e s p r e m i e r s e x p l i q u e n t les p h é n o m è n e s p h y s i q u e s p a r d e s
p r o p r i é t é s ou a t t r i b u t s d e la m a t i è r e ; ils n e s ' o c c u p e n t p a s d e s m o y e n s
que Dieu a e m p l o y é s p o u r réaliser ces a t t r i b u t s et p e n s e n t volontiers q u e
l ' h o m m e ne l e s c o n n a î t r a j a m a i s ; ils a p p l i q u e n t l e u r i n t e l l i g e n c e u n i q u e m e n t à découvrir quels attributs p e u v e n t p r o d u i r e les p h é n o m è n e s
m a t é r i e l s o b s e r v é s . L e s s e c o n d s e s t i m e n t q u e les m o y e n s e m p l o y é s p a r
Dieu p o u r p r o d u i r e c e s d e r n i e r s s o n t à la p o r t é e d e l ' e n t e n d e m e n t h u m a i n : ils d i r i g e n t en c o n s é q u e n c e l e u r s p r i n c i p a u x efforts s u r l ' e x p l i -
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cation des p h é n o m è n e s c o n n u s au m o y e n des chocs et des i m p u l s i o n s
d o n t ils c r o i e n t c o m p r e n d r e e n t i è r e m e n t le m é c a n i s m e .
Tel e s t e n c o r e a u j o u r d ' h u i
l'état de beaucoup d'excellents esprits ;
tel il é t a i t p o u r t o u s l o r s q u e N e w t o n , s ' é l e v a n t a u - d e s s u s d e c e s d i s c u s s i o n s o i s e u s e s et s a n s i s s u e , p o s a l e p r i n c i p e q u e , l e m o n d e p h y s i q u e
o b é i s s a n t à d e s lois fixes, q u e l q u e fût le m o y e n a u q u e l Dieu a i t r e c o u r u
p o u r l e s é t a b l i r , il y avait lieu de c h e r c h e r a u m o y e n d e s p r i n c i p e s d e
la D y n a m i q u e , s c i e n c e e n p a r t i e c r é é e p a r l u i , q u e l l e s lois f o n d a m e n t a l e s
p o u v a i e n t p r o d u i r e l e s faits a s t r o n o m i q u e s r e c o n n u s p a r K e p l e r . Il d é c o u v r i t a i n s i l a g r a v i t a t i o n u n i v e r s e l l e . Mais il e u t s o i n , d è s l ' o r i g i n e ,
de spécifier q u ' i l é t u d i a i t s e u l e m e n t l e s lois m a t h é m a t i q u e s d e s faits
sans vouloir p r é j u g e r en r i e n , p a r les m o t s qu'il employait, les causes
q u i p o u v a i e n t a v o i r p r o d u i t c e s lois m a t h é m a t i q u e s . 11 r é p é t a d e p u i s c e t t e
d é c l a r a t i o n d a n s s o n Optique; j e n e c r o i s p a s q u ' o n p u i s s e a t t a c h e r u n
a u t r e s e n s à la d é c l a r a t i o n c o n t e n u e d a n s la p r e m i è r e é d i t i o n d e s e s
Principes ( ' ) , e t d o n t voici la p a r t i e p r i n c i p a l e : « V o c e m
attraclionis
h i c g e n e r a l i t e r u s u r p o p r o c o r p o r u m c o n a t u q u o e u n q u e a c c e d e n t i ad
i n v i e e m , sive c o n a t u s iste fiât a h a c t i o n e c o r p o r u m v e l se m u t u o p e t e n t i u m , vel p e r s p i r i t u s e m i s s o s se i n v i e e m a g i t a n t i u m , sive is a b a c t i o n e
setheris a u t a e r i s , m e d i i v e c u j u s c u m q u e
seu corporei seu i n c o r p o r e l
o r i a t u r , corpora i n n a t a n t i a in se i n v i e e m u t c u n q u e i m p e l l e n t i a . E o d e m
s e n s u generali u s u r p o vocem i m p u l s u s , n o n species virium et q u a l i t a l e s p h y s i c a s , s e d q u a n t i t a l . e s et p r o p o r l i o n e s m a t h e m a t i c a s in h o c
T r a c t a t u e x p e n d e n s . » J e n e v o i s q u ' u n s e n s à c e s r é s e r v e s ; le g é o m è t r e a b o r d e les q u e s t i o n s d e m e s u r e et de r a p p o r t d e s a c t i o n s p h y s i q u e s , lesquelles r e n t r e n t d a n s son d o m a i n e ; m a i s les causes et l'ess e n c e de ces a c t i o n s n ' e n s o n t p a s , e t i l r e f u s e d e s ' e n o c c u p e r .
P a r le fait, N e w t o n e s s a y a e n A s t r o n o m i e l ' e x p l i c a t i o n d e s a t t r a c t i o n n a i r e s , et il d e v a i t e n ê t r e a i n s i ; n o n q u e l ' a t t r i b u t d e la m a t i è r e
soit nécessairement la v é r i t é , m a i s p a r c e q u e l e s a t t r a c t i o n n a i r e s , c h e r c h a n t a v a n t t o u t u n e loi c a p a b l e d e p r o d u i r e les faits o b s e r v é s , s ' é t a i e n t p l u s a p p r o c h é s d e la loi g é n é r a l e
e x i s t a n t e en s u p p o s a n t u n e
a c t i o n c e n t r a l e q u e n e l ' a v a i e n t fait l e s i m p u l s i o n n a i r e s ,
préoccupés
(') Philosophia? nnturalis principia mathematica, auct. 11. N e w t o n ; Londres, Joseph
Streater, 1687. De motti corporum, liber I, sect. X I , scholiura, p. i g .
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u n i q u e m e n t d ' e x p l i q u e r les p h é n o m è n e s par des chocs et des t o u r b i l l o n s
c o n s é c u t i f s . Q u a n t a u x a c t i o n s q u i se d é v e l o p p e n t à l ' i n t é r i e u r o u a u
e
c o n t a c t d e s c o r p s , les c o n n a i s s a n c e s é t a i e n t fort b o r n é e s au x v n s i è c l e :
les a t t r a c t i o n n a i r e s n ' a v a i e n t p a s r é u s s i à f o r m e r s u r ce s u j e t u n s y s t è m e a c c e p t a b l e : a u s s i , m a l g r é t o u t son g é n i e et l ' é c l a t d e s e s c o n c e p t i o n s , N e w t o n é c h o u a c o m p l è t e m e n t d a n s son é t u d e des fluides,
la-
q u e l l e f o r m e u n e p a r t i e i m p o r t a n t e d e s Principes; il é c h o u a d e m ê m e
dans son i n t e r p r é t a t i o n des p h é n o m è n e s l u m i n e u x
Les choses ont
b i e n c h a n g é d e p u i s ; les e x p é r i e n c e s e t l e s e x p l i c a t i o n s o n t é t é c o n s i d é r a b l e m e n t m u l t i p l i é e s et se s o n t m u t u e l l e m e n t c o n t r ô l é e s .
Depuis
l e s t r a v a u x d e L a p l a c e , de G a u s s et d e P o i s s o n s u r la c a p i l l a r i t é , de
F r e s n e l , d e C a u c h y et d e l e u r s s u c c e s s e u r s s u r l ' O p t i q u e , on a u n s y s t è m e a t t r a c t i o n n a i r e b i e n c o o r d o n n é et a p p u y é d e v é r i f i c a t i o n s
nom-
b r e u s e s . C'est d o n c a u j o u r d ' h u i , o u j a m a i s , le m o m e n t de r e p r e n d r e
ce s y s t è m e e t d e le s o u m e t t r e à l ' a n a l y s e . Tel est le b u t q u e j e m e
p r o p o s e d a n s c e t O u v r a g e , où j e m a r c h e r a i r i g o u r e u s e m e n t d e c o n s é q u e n c e en c o n s é q u e n c e e t n e c o m p a r e r a i à l ' e x p é r i e n c e q u e d e s r é s u l t a t s n e t t e m e n t a c q u i s , et e n c o r e p o u r en o b t e n i r l ' e x p l i c a t i o n m a t é r i e l l e .
2 . Voici d o n c m o n h y p o t h è s e , c ' e s t c e l l e d e s a t t r a c t i o n n a i r e s p r é c i s é e
d a n s , l e s d e r n i e r s d é t a i l s : o n e n r e c o n n a î t r a les p r i n c i p a u x t r a i t s q u i
n'ont rien de nouveau.
A u n e é p o q u e i n d é t e r m i n é e , la c a u s e p r e m i è r e , D i e u , a d o u é d e s
p o i n t s g é o m é t r i q u e s , ou d e s substratums i m m e n s é m e n t p e t i t s et se c o m 2
p o r t a n t c o m m e des points g é o m é t r i q u e s ( ) en n o m b r e i m m e n s e , d'attributs
ou p r o p r i é t é s e n v e r t u
desquels
ces s u b s t r a t u m s
réagissent
i n c e s s a m m e n t les u n s sur les a u t r e s aux p l u s g r a n d e s d i s t a n c e s c o m m e
a u x p l u s p e t i t e s , t o u t e n c o n s e r v a n t l e u r i n d i v i d u a l i t é ; il l e s a d i s t r i b u é s d a n s l ' e s p a c e c o n f o r m é m e n t à sa v o l o n t é , en l e u r i m p r i m a n t d e s
( ' ) foir, au sujet de la théorie de la lumière de N e w t o n , la très intéressante C o m m u n i c a tion faite à l'Académie des Sciences par M. Chevreul {Comptes rendus, mai i 8 8 3 ) .
( ) E n fait, je crois, après Cauchy et M. de Saint-Venant, q u e l e s a t o m e s sont des p o i n l s
g é o m é t r i q u e s ; mais j e ne l'affirme p a s . Au point de v u e m é c a n i q u e , l e s deux h y p o t h è s e s
p e u v e n t être d é f e n d u e s de notre t e m p s ; au point de v u e philosophique, elles ont été jadis
l'occasion de n o m b r e u s e s discussions qui ont divisé l'École en nominalistes et e n réalistes.
Je n'ose pas trancher la question.
2
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m o u v e m e n t s d i v e r s . L e s différents a t t r i b u t s o n t p a r t o u t la m ê m e n a t u r e ,
m a i s n o n les m ê m e s g r a n d e u r s : en cela c o n s i s t e n t les d i f f é r e n c e s q u e
l ' o n o b s e r v e e n t r e les c o r p s m a t é r i e l s .
On a p p e l l e atome le s u b s t r a f u m ou p o i n t m a t é r i e l
doué'd'attributs.
P l u s i e u r s a t o m e s g r o u p é s e n s e m b l e à d e s d i s t a n c e s assez p e t i t e s
pour
q u e l e u r s a c t i o n s m u t u e l l e s l ' e m p o r t e n t s u r t o u t e s c e l l e s de la m a t i è r e
e n v i r o n n a n t e et c o n s e r v e n t a u g r o u p e l ' i n d i v i d u a l i t é q u i l u i est p r o p r e
c o n s t i t u e n t la molécule.
Un e n s e m b l e de m o l é c u l e s , r a p p r o c h é e s
s a m m e n t p o u r n e p a s se s é p a r e r s o u s l ' a c t i o n d e la m a t i è r e
n a n t e et g a r d e r u n e i n d i v i d u a l i t é d i s t i n c t e , a u m o i n s
e s t nommé
suffi-
environ-
temporairement,
corps, q u e l s q u e s o i e n t les m o d e s de d i s t r i b u t i o n
intérieure
d e s m o l é c u l e s . Q u e l ' a t o m e a i t o u n o n d e s d i m e n s i o n s , la m o l é c u l e
en a t o u j o u r s : ce s o n t c e l l e s , m a l d é l i m i t é e s , d e l ' e s p a c e d a n s l e q u e l
c i r c u l e n t les a t o m e s c o m p o s a n t la m o l é c u l e ;
la f o r m e d u c o r p s e s t la
s u r f a c e e n v e l o p p e d e t o u t e s l e s m o l é c u l e s . E l l e p r é s e n t e a u s s i u n e lég è r e i n d é t e r m i n a t i o n , p u i s q u e le v o l u m e d e s m o l é c u l e s e s t m a l d é l i m i t é ;
m a i s les l i m i t e s d e c e t t e i n d é t e r m i n a t i o n s o n t i m m e n s é m e n t p e t i t e s à
c ô t é d e s d i m e n s i o n s d e la s u r f a c e d u c o r p s .
D a n s la m o l é c u l e , les a t o m e s p e u v e n t ê t r e t o u s d ' u n e s e u l e et m ê m e
n a t u r e , ou ils p e u v e n t être de n a t u r e s différentes; d a n s u n corps, les
m o l é c u l e s p e u v e n t être i d e n t i q u e s ou différentes d a n s l e u r composition
a t o m i q u e , a g i r i s o l é m e n t ou p a r g r o u p e s . T o u t e s c e s c o m b i n a i s o n s se
c o n c i l i e n t avec la c o n c e p t i o n f o n d a m e n t a l e . J ' a p p e l l e r a i purs l e s c o r p s
formés d'une
s e u l e s o r t e d e m o l é c u l e s g r o u p é e s ou n o n ;
ceux qui c o m p r e n n e n t
d e s m o l é c u l e s de p l u s i e u r s
n o m m e e n C h i m i e u n c o r p s simple
est un corps p u r où les m o l é c u l e s
s o n t t o u t e s c o m p o s é e s d ' u n e m ê m e s o r t e d ' a t o m e s , e t ce q u ' o n
d e c o r p s composé
mélangés,
s o r t e s . Ce q u ' o n
qualifie
e s t u n c o r p s p u r o ù les m o l é c u l e s c o n t i e n n e n t
des
atomes différents.
3 . A v i s o n s à t r a d u i r e c e t t e c o n c e p t i o n d a n s le l a n g a g e d e la M é c a nique rationnelle.
Des a t t r i b u t s d e l à m a t i è r e a g i s s a n t à t o u t e d i s t a n c e n e p e u v e n t a v o i r
p o u r c o n s é q u e n c e q u e d e s m o u v e m e n t s ; ils e n s o n t d e s c a u s e s
con-
s t a n t e s , parce qu'il n'y a pas de raison, sans u n e nouvelle intervention
divine,
pour
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qu'ils
c e s s e n t d ' a g i r p a r m o m e n t s o u c h a n g e n t de n a -
t u r e ; il s o n t ce q u e , d a n s la l a n g u e d e la M é c a n i q u e r a t i o n n e l l e ,
n o m m e forces
permanentes.
on
En envisageant donc au point de v u e
des
faits la c o n c e p t i o n e x p o s é e d a n s le n ° 2 , on voit q u ' e l l e r e v i e n t à d é f i n i r ,
s o u s la r é s e r v e i n d i q u é e en n o t e , les a t o m e s d e s p o i n t s
géométriques
d o u é s de forces p e r m a n e n t e s . a g i s s a n t à d i s t a n c e . Ce q u e s o n t c e s d e r n i è r e s , la c o m p a r a i s o n d e s r é s u l t a t s d u c a l c u l avec c e u x d e l ' e x p é r i e n c e
p e u t s e u l e n o u s le r é v é l e r ; cela e s t déjà fait p o u r t o u t e s les d i s t a n c e s
appréciables par
n o s s e n s , c o m m e p o u r c e l l e s d o n t la g r a n d e u r
dé-
p a s s e n o t r e i m a g i n a t i o n : la g r a v i t a t i o n r è g l e les m o u v e m e n t s d e s a s t r e s
dans l'espace et, dans u n e c e r t a i n e m e s u r e , ceux des corps voisins
de
la s u r f a c e d u g l o b e . Mais là s u r g i s s e n t d ' a u t r e s effets p r e n a n t n a i s s a n c e
a u c o n t a c t p l u s o u m o i n s i n t i m e d e s c o r p s e t i n e x p l i c a b l e s p a r la g r a v i t a t i o n ('); ils s o n t d u s à d e s a c t i o n s s e n s i b l e s s e u l e m e n t a u x d i s t a n c e s
i n s e n s i b l e s . - Ce s o n t c e s a c t i o n s , e n c o r e i n c o n n u e s , q u e j e c h e r c h e r a i
à d é t e r m i n e r p a r la s y n t h è s e d e la c o n c e p t i o n a t t r a c t i o n n a i r e , e n c o m p a r a n t les r é s u l t a t s q u ' e l l e f o u r n i t à c e u x d e l ' e x p é r i e n c e . Je r e s t e r a i
b i e n l o i n d e l e u r d é t e r m i n a t i o n c o m p l è t e : je n ' a i p a s p u p o u s s e r m e s
c a l c u l s a s s e z loin ; m a i s je r e c u e i l l e r a i déjà s u r e l l e s assez d ' i n d i c a t i o n s
e s s e n t i e l l e s p o u r en r e n d r e l ' e x i s t e n c e e x t r ê m e m e n t p r o b a b l e .
4. T o u t e a c t i o n est s u s c e p t i b l e d ' ê t r e m e s u r é e e n la c o m p a r a n t à d e s
a c t i o n s do m é m o e s p è c e p r i s e s p o u r é t a l o n s ; p a r t a n t , e l l e p e u t ê t r e
r e p r é s e n t é e par u n e fonction continue q u a n d elle varie p a r d e g r é s i n s e n s i b l e s avec le t e m p s et la d i s t a n c e : c e q u i e s t u n e p r o p r i é t é r e c o n n u e
e x p é r i m e n t a l e m e n t p o u r les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s . La force d e l ' a t o m e
aux distances insensibles peut donc être représentée par u n e
fonction
de c e s d i s t a n c e s . Cette f o n c t i o n d e v r a e o n s é q u e m m e n t d o n n e r , c o m m e
le t y p e q u ' e l l e r e p r é s e n t e , d e s v a l e u r s i n s e n s i b l e s a u x d i s t a n c e s s e n s i b l e s , s e n s i b l e s a u x d i s t a n c e s i n s e n s i b l e s , infinies a u x d i s t a n c e s n u l l e s .
Ces d e r n i è r e s v a l e u r s a p p a r t i e n d r o n t à d e s r é p u l s i o n s , c o n d i t i o n n é c e s s a i r e p o u r q u e l e s a t o m e s n e se c o n f o n d e n t p a s e t n e p e r d e n t p a s l e u r
i n d i v i d u a l i t é . Q u a n t a u x a c t i o n s q u e r e p r é s e n t e n t ces v a l e u r s ,
d o i v e n t ê t r e a l t e r n a t i v e m e n t a t t r a c t i v e s et r é p u l s i v e s ,
ellos
mais toujours,
ainsi qu'il vient d'être dit, répulsives aux plus petites d i s t a n c e s .
(') Principia gr.ne.ralia theoriœfîgtirœJluidnru.m, etc. C. F.
1867, Band V, p . 3 i , En note, au bas d e l à page.
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GAUSS,
fferke;
Gotlingen,
Or t o u t e f o n c t i o n
variant rapidement
et c o n t i n û m e n t avec la d i s -
tance, g r a n d e à des distances insensibles et insensible a u x distances
a p p r é c i a b l e s , p e u t , d ' a p r è s la t h é o r i e g é n é r a l e d e s f o n c t i o n s , ê t r e r e p r é s e n t é e p a r u n e s é r i e finie o u n o n d e t e r m e s m o n ô m e s
proportionnels
a d e s p u i s s a n c e s i n v e r s e s d e la d i s t a n c e , d o n t q u e l q u e s - u n s a t t r a c t i f s ,
p u i s q u e l ' a t t r a c t i o n se m a n i f e s t e d ' u n e m a n i è r e é v i d e n t e d a n s c e r t a i n s
faits, t e l s q u e l ' a d h é s i o n d e s s u r f a c e s ; e n o u t r e , c e t t e s é r i e d e v r a a v o i r
un t e r m e r é p u l s i f d e p l u s fort e x p o s a n t , p o u r q u e la r é p u l s i o n
l'em-
porte a u x p l u s petites d i s t a n c e s . Cette d e r n i è r e condition i m p l i q u e u n
n o m b r e fini d e t e r n i e s d a n s la s é r i e ,
5 . Il s ' a g i t d e r e p r é s e n t e r a n a l y t i q u e m e n t c e s c o n c l u s i o n s . Or n o u s
s a v o n s q u e le t e r m e
monôme
r e p r é s e n t a n t l'action m u t u e l l e de deux
a t o m e s a u x d i s t a n c e s finies e s t le p r o d u i t d e t r o i s n o m b r e s d i v i s é p a r
U
un q u a t r i è m e , savoir : i° et 2 les m a s s e s respectives d e d e u x a t o m e s ,
c ' e s t - à - d i r e l e s n o m b r e s r e p r é s e n t a t i f s d e s c a p a c i t é s ( ' ) d ' a c t i o n en
r a i s o n i n v e r s e d u c a r r é d e la d i s t a n c e d o n t ces a t o m e s s o n t d o u é s ( ' ) ;
3 " la v i t e s s e r e l a t i v e q u ' u n d e c e s a t o m e s p r e n d r a i t p a r r a p p o r t à l ' a u t r e
à é g a l i t é d e m a s s e et à l ' u n i t é d e d i s t a n c e ; 4° le c a r r é d e la d i s t a n c e .
Il
est n a t u r e l d ' a d m e t t r e , a u m o i n s à titre d'essai, u n e composition
s e m b l a b l e p o u r l e s t e r m e s m o n ô m e s d e l ' a c t i o n a t o m i q u e , et de l e s r e garder comme
les p r o d u i t s des deux capacités pour l'attraction (ou
r é p u l s i o n , s'il y a l i e u ), m u l t i p l i é e s p a r l e s v i t e s s e s r e l a t i v e s q u e l e s a t tractions correspondantes i m p r i m e r a i e n t à ces atomes r a m e n é s à l'unité
d e c a p a c i t é et d e d i s t a n c e , l e s q u e l s p r o d u i t s s e r a i e n t d i v i s é s p a r la p u i s s a n c e n d e la d i s t a n c e .
Rien d'ailleurs n ' i n d i q u e dans u n atome considéré
lité d e s c a p a c i t é s p o u r l e s a t t r a c t i o n s et r é p u l s i o n s
r e n t s ; bien
isolément l'égad'exposants
d e s faits au c o n t r a i r e s e m b l e n t e n d é m o n t r e r
diffé-
l'inégalité.
( ' ) J ' a u r a i s préféré a u mot capncïtë c e l u i d'énergie ; mais les géomètres l u i ont déjà
donné des acceptions différentes.
2
( ) D a n s l a conception attractionnaire, l a masse n'est pas u n e entité p a r t i c u l i è r e à l'atome,
c'est simplement l a capacité p o u r l'action du poids dont i l est doué, ou p o u r l'effort q u ' i l fau t
lui i m p r i m e r afin d'obtenir u n e vitesse donnée. L'expérience a montré l'égalité do ces deux
capacités dans chaque atome ; mais elle ne s'est pas prononcée pour les capacités m o l é c u l a i r e s
et nous les c r o y o n s très
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différentes.
Ainsi l'éther luminifere qui remplit l'espace t r a n s m e t certains mouvem e n t s a t o m i q u e s ou m o l é c u l a i r e s ( l u m i è r e , c h a l e u r , e t c . ) avec u n e cap a c i t é a u s s i g r a n d e q u e les c o r p s m a t é r i e l s , t e l s q u e le v e r r e , les m é t a u x , e t c . C e p e n d a n t la m a s s e p o i d s en est t e l l e m e n t faible q u ' e l l e a
é c h a p p é j u s q u ' i c i a u x e x p é r i e n c e s l e s p l u s d é l i c a t e s : a i n s i le p l o m b ,
p l u s p e s a n t q u e le fer, offre u n e b i e n m o i n s g r a n d e r é s i s t a n c e à l ' é c r a s e m e n t , e t c . N o u s s o m m e s d o n c a u t o r i s é s à t e n i r p o u r d i f f é r e n t e s les
c a p a c i t é s d u m ê m e a t o m e p o u r les d i v e r s e s a t t r a c t i o n s et r é p u l s i o n s ( ' ) ,
et n o u s d é s i g n e r o n s p a r [/.„ la c a p a c i t é d e cet a t o m e p o u r l ' a t t r a c t i o n
ou la r é p u l s i o n e n r a i s o n i n v e r s e de la n
p u i s s a n c e de la d i s t a n c e .
N o u s a f f e c t e r o n s , s u i v a n t l ' u s a g e , la l e t t r e/ à la d é s i g n a t i o n d e la v i t e s s e
r e l a t i v e e n l u i d o n n a n t p o u r i n d i c e l ' e x p o s a n t e d e la p u i s s a n c e corr e s p o n d a n t e de la d i s t a n c e , dès q u e c e t t e p u i s s a n c e est > a ; enfin,
t o u j o u r s c o n f o r m é m e n t à l ' u s a g e , n o u s r e p r é s e n t e r o n s la d i s t a n c e de
d e u x p o i n t s ( a t o m e s , c e n t r e de g r a v i t é , e t c . ) p a r la l e t t r e r, à l a q u e l l e
n o u s d o n n e r o n s p o u r i n d i c e s les l e t t r e s c a r a c t é r i s t i q u e s d e s e s e x t r é m i t é s . S o i e n t d o n c s, s' d e u x a t o m e s ; le t e r m e r e p r é s e n t a n t en g r a n d e u r
l'action e n r a i s o n i n v e r s e de la n
p u i s s a n c e d e la d i s t a n c e s e r a
[éme
iémc
/ j \
FviS l ^ / r s
fn
r".
On p r e n d o r d i n a i r e m e n t ce t e r m e avec le s i g n e + q u a n d n = 2 , c'està-dire q u a n d il y a a t t r a c t i o n e n r a i s o n i n v e r s e d u c a r r é de la d i s t a n c e .
C o n f o r m é m e n t à c e t u s a g e , n o u s p r e n d r o n s les t e r m e s a t t r a c t i f s avec le
s i g n e - f - e t l e s t e r m e s r é p u l s i f s avec le s i g n e — . N o u s n o m m e r o n s s p é c i a l e m e n t action atomique ou moléculaire, s u i v a n t le c a s , c e l l e q u i
s ' e x e r c e s e u l e m e n t a u x d i s t a n c e s i n s e n s i b l e s , et n o u s la r e p r é s e n t e r o n s
p a r la f o r m u l e s u i v a n t e , a p p l i c a b l e à u n g r o u p e de d e u x a t o m e s ; le
(') Cette conclusion est le rejet absolu, par ses partisans, d'un système assez séduisant
que plusieurs savants, adoptant l'hypothèse de Proust, ont voulu fonder sur la constitution
de la matière ; d'après eux, il n'y aurait qu'une matière fondamentale, et les atomes de tous
les corps matériels seraient des associations intimes d'un plus ou moins grand nombre d'atomes de la matière fondamentale. Or, si cela était, tous les termes do l'action atomique
seraient visiblement des multiples de ceux de la matière fondamentale, et auraient par conséquent tous entre eux les mêmes rapports ; ce qui est contraire à notre conclusion. Au
surplus, le système écarté ne peut être soutenu par aucun motif important.
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8
LES
LOIS
DE
LA
MATIÈRE.
s i g n e -4- s'y r a p p o r t e a u x t e r m e s a t t r a c t i f s , e t le s i g n e — a u x t e r m e s
répulsifs
Zj.
D a n s les c a s o ù l'on p o u r r a
r' \s
n é g l i g e r les d i s t a n c e s a t o m i q u e s à côté
d e s d i s t a n c e s m o l é c u l a i r e s , ce q u ' o n c r o i t p o s s i b l e e n g é n é r a l , m a i s à
t o r t , a i n s i q u e n o u s le v e r r o n s à la S e c t i o n III, on p o u r r a s u b s t i t u e r les
actions moléculaires aux actions a t o m i q u e s ; et, en posant alors, d a n s
un corps p u r ,
on a u r a , p o u r la v a l e u r do l ' a c t i o n m o l é c u l a i r e ,
Cette f o r m e s e r a t o u j o u r s a p p l i c a b l e a u x c o r p s m o n o - a t o m i q u e s , p o u r v u
t o u t e f o i s q u ' i l en e x i s t e clans la N a t u r e .
6 . L e s d i s t a n c e s d e s m o l é c u l e s s o n t , on le s a i t p a r e x p é r i e n c e , t e l le m e n t p e t i t e s q u ' e l l e s é c h a p p e n t à l ' a p p r é c i a t i o n de n o s o r g a n e s , m ê m e
a i d é s de n o s i n s t r u m e n t s les p l u s p u i s s a n t s . E l l e s o n t c e p e n d a n t un
r a p p o r t e n c o r e i n c o n n u a v e c le m è t r e , d o n t e l l e s s o n t p e u t - ê t r e d e s b i l lionièmes, des trillionièmes, peut-être m ê m e des fractions encore plus
p e t i t e s ; e l l e s s o n t d o n c n é g l i g e a b l e s , e l l e s et l e u r s m u l t i p l e s a s s e z
g r a n d s , d a n s les c a l c u l s a p p r o c h é s o ù l'on t i e n t c o m p t e a u p l u s
millionième de m è t r e .
quantités
finies,
A ce p o i n t d e v u e
elles constituent
n o u s q u a l i f i e r o n s do grandeurs
aux
u n nouvel ordre de g r a n d e u r s que
de premier
p r o d u i t s d e u x à d e u x d e grandeurs
et c o m p a r a t i v e m e n t
d'un
ordre;
de deuxième
l e u r s p r o d u i t s t r o i s à t r o i s de grandeurs
l e u r s c a r r é s et l e u r s
ordre,
l e u r s c u b e s et
de troisième ordre,
et a i n s i d e
suite. D'après cela, u n e g r a n d e u r d'un ordre q u e l c o n q u e n sera néglig e a b l e à côté d e s g r a n d e u r s d ' o r d r e i n f é r i e u r n — 1 , n. — 2, e t c . D a n s
cet o r d r e d ' i d é e s , les q u a n t i t é s finies s e r o n t d e s g r a n d e u r s d ' o r d r e o et les q u o t i e n t s d e q u a n t i t é s finies p a r d e s g r a n d e u r s d u n
r o n t d e s q u a n t i t é s i m m e n s e s d ' o r d r e — n.
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i è l t , e
ordre se-
7 . La m a s s e d ' u n c o r p s , t e l l e q u ' o n la m e s u r e , est u n e q u a n t i t é
finie p r o p o r t i o n n e l l e a u v o l u m e d e ce c o r p s a v e c l e q u e l elle e s t d a n s
u n r a p p o r t c o n s t a n t p o u r u n c o r p s d e m ê m e n a t u r e et d e m ê m e d e n s i t é .
Si l'on d é c o u p e u n v o l u m e d a n s u n c o r p s et q u ' o n le d i m i n u e g r a d u e l l e m e n t j u s q u ' à ce q u e ce v o l u m e et l e s v o l u m e s a d j a c e n t s s e m b l a b l e m e n t d i m i n u é s c o n t i e n n e n t c h a c u n u n e m o l é c u l e , le v o l u m e r é d u i t a u r a
d a n s t o u s les s e n s d e s d i m e n s i o n s s e n s i b l e m e n t é g a l e s a u x d i s t a n c e s
m o l é c u l a i r e s e t s e r a , p a r c o n s é q u e n t , d u t r o i s i è m e o r d r e . La m a s s e corr e s p o n d a n t e s e r a d o n c d u t r o i s i è m e o r d r e ; m a i s elle est p r é c i s é m e n t
celle d e la m o l é c u l e u n i q u e c o n t e n u e d a n s l e d i t v o l u m e : d o n c la
m a s s e de la m o l é c u l e e s t u n e q u a n t i t é d u t r o i s i è m e o r d r e ; or le n o m b r e
d e s a t o m e s c o n s t i t u a n t u n e m o l é c u l e est fini, p r o b a b l e m e n t m ê m e le
p l u s s o u v e n t assez p e t i t ; la m a s s e - p o i d s des a t o m e s est d o n c u n e q u a n t i t é d u t r o i s i è m e o r d r e , en r a i s o n de la f o r m u l e ( 3 ) . On p e u t c o n c l u r e
q u ' i l en e s t d e m ô m e d e s c a p a c i t é s d e s a t o m e s p o u r l e s a u t r e s a t t r a c t i o n s e t r é p u l s i o n s ; on a d m e t t r a d o n c en g é n é r a l q u e \j. e s t u n e q u a n tité du troisième o r d r e .
n
8 . Il n e faut p a s c r o i r e q u e l'on t r o u v e d a n s t o u t e s les d i r e c t i o n s , à
p a r t i r d ' u n c e n t r e d e m o l é c u l e ou de p a r c e l l e ( n o u s d o n n o n s ce n o m
a u x g r o u p e s de m o l é c u l e s a y a n t u n e i n d i v i d u a l i t é p r o p r e , n° 2 ) , d e s
m o l é c u l e s ou p a r c e l l e s a g i s s a n t avec u n e é g a l e i n t e n s i t é s u r la m o l é c u l e
ou p a r c e l l e d o n n é e . C o n s i d é r o n s en effet u n e p o r t i o n t r è s p e t i t e d ' u n
c o r p s f o r m é p a r la r é u n i o n de m o l é c u l e s s e m b l a b l e s a g i s s a n t i s o l é m e n t ,
et, d a n s c e t t e p o r t i o n , la p l u s p e t i t e d i s t a n c e S d e d e u x c e n t r e s d e m o l é c u l e s . Elle n ' e s t p a s n u l l e , p u i s q u e les m o l é c u l e s o n t d e s d i m e n s i o n s
e t q u e l e u r s a c t i o n s n e l e u r p e r m e t t e n t pas de se c o n f o n d r e . P a r c o n s é q u e n t , c e t t e p l u s p e t i t e d i s t a n c e S e x i s t e ; m a i s elle p e u t se r e p r o d u i r e
p o u r u n g r a m l n o m b r e de m o l é c u l e s , s i n o n m ê m e p o u r t o u t e s , e t p l u s i e u r s fois p o u r la m ê m e . Cela p o s é , s o i e n t À et B d e u x c e n t r e s d e
gravité situés à cette distance S l'un de l ' a u t r e ; on ne p e u t pas t r o u v e r
a u t o u r d e A u n t r o i s i è m e c e n t r e C q u i e n soit à la d i s t a n c e S, à m o i n s
q u e l ' a n g l e BAC n e soit égal à 6 o ° ou p l u s g r a n d ; a u t r e m e n t la d i s t a n c e BC s e r a i t < S, c o n t r a i r e m e n t à l ' h y p o t h è s e . On p e u t d è s l o r s se
r e n d r e c o m p t e d u n o m b r e m a x i m u m d e s d i s t a n c e s S c o r r e s p o n d a n t au
c e n t r e A ; e n effet, on s a i t q u ' i l n ' e x i s t e p a s d e p o l y è d r e r é g u l i e r d o n t
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le c ô t é soit é g a l a u r a y o n d e la s p h è r e c i r c o n s c r i t e ; m a i s , e n c h e r c h a n t
c o m b i e n d e fois la surface d u t r i a n g l e s p h é r i q u e d o n t les c ô t é s o n t
G o ( ) e s t c o n t e n u e d a n s la s u r f a c e d e la s p h è r e , on a, d ' u n e m a n i è r e
a p p r o c h é e , le m a x i m u m d u n o m b r e d e c e n t r e s q u i p e u v e n t ê t r e s i t u é s
à u n e d i s t a n c e S d e A . Or on t r o u v e , en f a i s a n t le c a l c u l , q u e le n o m b r e
d e ces t r i a n g l e s é g a l e r / | , 5 r ç) ; d o n c il y a au p l u s q u a t o r z e p o i n t s s i t u é s
à la d i s t a n c e S d e A ; e t , s'ils e x i s t e n t , les p l u s r a p p r o c h é s qui v i e n d r a i e n t e n s u i t e en n o m b r e à p e u p r è s é g a l s e r a i e n t s i t u é s à la d i s l a n c e $\fï. N o u s v e r r o n s c i - a p r è s ( S e c t . I I I , n" 3 ) q u e , d a n s l ' a c t i o n
a t o m i q u e , l ' e x p o s a n t n e s t a u m o i n s égal à 5 e t p r o b a b l e m e n t p l u s g r a n d ;
d o n c l ' a c t i o n d e s m o l é c u l e s i m m é d i a t e m e n t c o n s é c u t i v e s , si e l l e s e x i s u
1
t e n t d a n s les i n t e r v a l l e s , sera a u p l u s la ^—j=J
=
partie
d e s p r e m i è r e s a c t i o n s ; les s u i v a n t e s ' s e r o n t e n c o r e m o i n s s e n s i b l e s .
D o n c les q u a t o r z e m o l é c u l e s les p l u s r a p p r o c h é e s , si e l l e s e x i s t e n t , et
d a n s l ' a u t r e c a s les m o l é c u l e s les p l u s r a p p r o c h é e s , m o i n s n o m b r e u s e s
e n c o r e , e x e r c e n t u n e a c t i o n p r é p o n d é r a n t e q u e c e l l e d e s m o l é c u l e s les
p l u s é l o i g n é e s c o n t r e b a l a n c e n t d a n s u n e faible p r o p o r t i o n . Il faut d o n c
q u ' e l l e s se f a s s e n t à peu p r è s é q u i l i b r e , p u i s q u e le c o r p s y est et n ' a q u e
des m o u v e m e n t s i n t é r i e u r s d u s à des différences d ' a c t i o n s e x t r ê m e m e n t
p e t i t e s et j o u a n t le r ô l e d e forces a c c é l é r a t r i c e s . Cette c o n d i t i o n laisse
p l a c e s e u l e m e n t à u n p e t i t n o m b r e d e c o m b i n a i s o n s q u a n d on se b o r n e
à c o n s i d é r e r la p o s i t i o n r e l a t i v e d e s c e n t r e s et n o n l ' o r i e n t a t i o n r e l a t i v e
d e s d r o i t e s q u ' i l s d é t e r m i n e n t d e u x à d e u x . Or c e t é q u i l i b r e a u t o u r du
c e n t r e A doit e x i s t e r a u s s i a u t o u r de t o u s les c e n t r e s e n v i r o n n a n t s ; ce
q u i e x i g e , ou la r e p r o d u c t i o n à p e u p r è s i d e n t i q u e a u t o u r d u c e n t r e lî
de la d i s t r i b u t i o n d e s m o l é c u l e s a u t o u r d u c e n t r e A et ainsi de s u i t e ; ou
u n e d i s p o s i t i o n d e m o l é c u l e s a u t o u r d u c e n t r e B différente d e c e l l e q u i
a l i e u a u t o u r d u c e n t r e A , m a i s q u i p r o d u i s e u n effet é q u i v a l e n t . N o u s
a l l o n s e x a m i n e r les c o n s é q u e n c e s d e l ' u n e et d e l ' a u t r e d e c e s d é d u c t i o n s , c o n c i l i a b l e s t o u t e s les d e u x avec l ' h y p o t h è s e f o n d a m e n t a l e d u n " 2 .
9. I. La disposition des centres les plus rapprochés est à peu prés identique en A et en B ainsi que dans les centres voisins. — On d o i t a l o r s
(')
Ce triangle correspond au triangle r e c l i l i g n e equilateral de côté égal au r a y o n .
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trouver autour de B u n troisième c e n t r e B, à p e u près placé par rapport à B c o m m e B l'est p a r r a p p o r t à À ; c'est-à-dire tel q u e BB, soit à
t r è s p e u p r è s égal e n g r a n d e u r e t e n d i r e c t i o n
t r o u v e r a u n q u a t r i è m e c e n t r e B t e l q u e B, B
2
2
à A B . P a r s u i t e , on
soit à t r è s p e u p r è s égal
en g r a n d e u r e t en d i r e c t i o n à BB, ; e t a i n s i de s u i t e . Il y a u r a d o n c u n e
série de c e n t r e s d e m o l é c u l e s é q u i d i s t a n t s et situés en ligne droite à
de t r è s p e t i t e s q u a n t i t é s p r è s , s a v o i r A , B , B , , B ,
Le m ê m e r a i s o n -
n e m e n t e s t a p p l i c a b l e a u x a u t r e s d i r e c t i o n s i s s u e s de A e t d é t e r m i n é e s
p a r d e s c e n t r e s d e m o l é c u l e s ; o n voit d o n c q u e la p r e m i è r e h y p o t h è s e
revient, lorsqu'on
n é g l i g e d e t r è s l é g è r e s différences
de d i s t a n c e et
d ' i n c l i n a i s o n , à s u p p o s e r l e s m o l é c u l e s d i s t r i b u é e s p a r rangées
q u i r e v i e n t a u m ê m e , distribuées
v é r i t é , l e paramètre
o u , ce
dans l ' e s p a c e ( ' ) ; à la
o u d i s t a n c e de d e u x c e n t r e s c o n s é c u t i f s s u r u n e
r a n g é e et la d i r e c t i o n
insensibles quand
régulièrement
m ê m e des rangées peuvent varier p a r degrés
on s'éloigne d u centre p r i m i t i v e m e n t
considéré;
m a i s ils d o i v e n t ê t r e t e n u s p o u r c o n s t a n t s , a u m o i n s en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , d a n s la t r è s p e t i t e é t e n d u e o ù les a c t i o n s a t o m i q u e s s u r
une molécule donnée sont sensibles. La conséquence
forcée d e c e t t e
r é p a r t i t i o n d e s m o l é c u l e s e s t q u e l e u r s c e n t r e s de g r a v i t é s o n t d i s t r i b u é s c o m m e les s o m m e t s d ' u n e m u l t i t u d e d e p a r a l l é l é p i p è d e s é g a u x e t
jointifs [parallélépipèdes
générateurs)
dont les côtés d é t e r m i n e n t trois
s y s t è m e s d e r a n g é e s c o n t e n a n t t o u s l e s c e n t r e s [ou sommets) d e
blage.
l'assem-
Ceux-ci sont d é t e r m i n é s p a r les intersections trois à trois des-
d i t e s r a n g é e s . De m ê m e l e s faces d e s p a r a l l é l é p i p è d e s
générateurs)
d é t e r m i n e n t t r o i s s y s t è m e s d e plans
[parallélogrammes
réticulaires
contenant
tous les c e n t r e s et toutes les r a n g é e s de l'assemblage qu'ils d é t e r m i n e n t
p a r l e u r s i n t e r s e c t i o n s t r o i s à t r o i s et d e u x à d e u x . J ' a p p e l l e r a i
conju-
gués c e s p l a n s e t c e s r a n g é e s , c o n f o r m é m e n t a u x d é s i g n a t i o n s a d o p t é e s
p a r B r a v a i s d a n s le M é m o i r e p r é c i t é .
II. La distribution
qu'autour
des points les plus rapprochés de B n'est pas la même
de A ; elle est telle cependant
quelle lui fait
équilibre.
— Ce r é -
s u l t a t n e p e u t ê t r e a t t e i n t q u e p a r u n e a u t r e c o m b i n a i s o n de c e n t r e s ,
(') Fair Ja signification donnée h cos mots par B r a v a i s dans son Mémoire surtes
formés ]>nr les points distribués régulièrement
lier, i 8 5 o . J ' e n adopte l e s dénominations, m a i s n o n les notations.
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systèmes
sur un plan ou dans l'espace. Paris. Bache-
p a r m i l e s q u e l s A e s t d o n n é , et q u i s e r o n t n é c e s s a i r e m e n t a u - d e s s o u s
d e q u a t o r z e ; déjà d a n s l ' h y p o t h è s e p r é c é d e n t e , n o u s a r r i v o n s à en
avoir s e u l e m e n t , c o m m e m a x i m u m , six é q u i d i s t a n t s . Q u a n d on n e s'occ u p e p a s de l ' o r i e n t a t i o n g é n é r a l e , il n e p e u t y a v o i r q u ' u n n o m b r e
fini et assez p e t i t d e c e s d i s p o s i t i f s de m o l é c u l e s c a p a b l e d e faire é q u i l i b r e à u n d i s p o s i t i f d o n n é ; il s ' e n s u i t q u ' e n m a r c h a n t d a n s u n e d i r e c tion c o n v e n u e d ' a v a n c e , on les a u r a b i e n t ô t é p u i s é s et l'on d e v r a r e t o m b e r s u r u n des p r é c é d e n t s . Si T o n c o n s i d è r e a l o r s c o m m e s é p a r é s
l e s g r o u p e s d e m o l é c u l e s où c e s d i v e r s d i s p o s i t i f s se p r o d u i s e n t , les
c e n t r e s d e ces g r o u p e s ou p a r c e l l e s r e n t r e r o n t e n g é n é r a l d a n s le c a s
de l ' h y p o t h è s e p r é c é d e n t e .
Les r a i s o n n e m e n t s c i - d e s s u s c o n v i e n n e n t a u x c o r p s c o m p o s é s d e
p a r c e l l e s q u a n d c e l l e s - c i o n t t o u t e s u n e m ê m e c o m p o s i t i o n ; il suffit
d'y s u b s t i t u e r le c e n t r e de g r a v i t é d e la p a r c e l l e à c e l u i de la m o l é cule.
La p r e m i è r e h y p o t h è s e , q u i a b o u t i t à la d i s t r i b u t i o n r é g u l i è r e , est
la p l u s c o m m o d e p o u r le c a l c u l ; c'est la s e u l e q u e n o u s e m p l o i e r o n s
j u s q u ' à n o u v e l o r d r e , et s o u m e t t r o n s à l ' a n a l y s e .
10. N o u s p o u v o n s p r e n d r e d a n s u n a s s e m b l a g e u n s o m m e t ( o u c e n t r e
d e m o l é c u l e ) q u e l c o n q u e p o u r o r i g i n e et t r o i s r a n g é e s c o n j u g u é e s
( n ° 9 ) i s s u e s de ce s o m m e t p o u r a x e s c o o r d o n n é s [rangées directrices).
Il e s t é v i d e n t q u e ces t r o i s r a n g é e s et u n c e n t r e 31 q u e l c o n q u e d é t e r m i n e n t u n p a r a l l é l é p i p è d e de c ô t é s p a r a l l è l e s à c e u x d u p a r a l l é l é p i p è d e
g é n é r a t e u r ; q u ' e n o u t r e , c h a c u n d e ces c ô t é s c o n t i e n d r a u n n o m b r e
e n t i e r d e p a r a m è t r e s d e la r a n g é e d i r e c t r i c e p a r a l l è l e . Si d o n c on r e p r é s e n t e p a r h, k, l les c ô t é s d u p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r , a u t r e m e n t
d i t l e s p a r a m è t r e s des r a n g é e s d i r e c t r i c e s , l e s c ô t é s d u p a r a l l é l é p i p è d e
d é t e r m i n é p a r le s o m m e t M, l e s q u e l s s o n t en m ê m e t e m p s c o o r d o n n é e s
du p o i n t M, s e r o n t r e s p e c t i v e m e n t é g a u x à lii, r,k, \, r,, 'C é t a n t d e s
n o m b r e s entiers. Nous pouvons donc écrire
(5)
X =
y =
r k,
t
s
— Ç/;
et t o u t e s l e s v a l e u r s e n t i è r e s , p o s i t i v e s ou n é g a t i v e s , q u ' o n d o n n e r a à ç,
•y),
c o r r e s p o n d r o n t à u n s o m m e t de l'assemblage indéfiniment p r o l o n g é . Les p o i n t s i n t e r m é d i a i r e s s e r o n t d é t e r m i n é s p a r les m ê m e s for-
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m u l e s o ù u n o u p l u s i e u r s d e s coefficients E, 7 ) , '( r e c e v r o n t d e s v a l e u r s
fractionnaires.
1 1 . Le m ê m e a s s e m b l a g e c o r r e s p o n d à u n e i n f i n i t é d e p a r a l l é l é p i p è d e s g é n é r a t e u r s d i f f é r e n t s , et B r a v a i s a r e c o n n u q u e le c a r a c t è r e d e
c e u x - c i é t a i t d ' ê t r e é q u i v a l e n t s ( ' ) . D e m ê m e les p a r a l l é l o g r a m m e s g é nérateurs sont équivalents sur un plan réticulaire. J'étais arrivé moi2
m ê m e à c e s r é s u l t a t s a v a n t de c o n n a î t r e le t r a v a i l d e B r a v a i s ( ) q u i
m e fut r é v é l é p a r d e s C o m m u n i c a t i o n s faites e n 1 8 6 9 à l ' A c a d é m i e d e s
S c i e n c e s p a r M. F é l i x L u c a s . E n effet, les c o n s é q u e n c e s d e l ' h y p o t h è s e
( n ° 0, I ) , q u e j ' a v a i s a d o p t é e s d e p u i s l o n g t e m p s , c o n d u i s e n t f o r c é m e n t
à l'étude des a s s e m b l a g e s . A p r è s m ' ê t r e cru p e n d a n t environ d e u x ans
l ' i n v e n t e u r d e ces t h é o r è m e s i m p o r t a n t s , j ' e n r e p o r t a i l o n g t e m p s l ' h o n n e u r à B r a v a i s . A u t r e e r r e u r . A y a n t e n t r e p r i s en 1 8 8 2 l ' é t u d e d u sec o n d v o l u m e d e s O E u v r e s c o m p l è t e s de G a u s s , je vis avec s u r p r i s e q u e
le p r e m i e r a u t e u r d è la t h é o r i e d e s a s s e m b l a g e s , avec d ' a u t r e s t e r m e s
b i e n e n t e n d u , é t a i t l ' i l l u s t r e g é o m è t r e h a n o v r i e n . Mais il n ' a p a r l é p u b l i q u e m e n t de ses d é c o u v e r t e s q u e d a n s u n R a p p o r t l u en j u i l l e t 1 8 3 1
à la S o c i é t é d e s S c i e n c e s de G ô t t i n g u e , s u r u n t r a v a i l de L u d w i g A u g u s t
3
Seeber ( ) , R a p p o r t q u i ne s e m b l e pas avoir eu de r e t e n t i s s e m e n t
en
F r a n c e et a c e r t a i n e m e n t é t é i n c o n n u d e B r a v a i s . Q u a n t a u t r a v a i l s u r
Côté
ce s u j e t t r o u v é d a n s les p a p i e r s p o s t h u m e s d e G a u s s , et i n t i t u l é
géométrique
des formes
ternaires
(*), il a é t é p u b l i é s e u l e m e n t e n i 8 6 3 ,
p l u s i e u r s a n n é e s a p r è s la m o r t de B r a v a i s . Je r e v i e n s à m o n s u j e t .
Les é q u i v a l e n c e s d e s p a r a l l é l é p i p è d e s et p a r a l l é l o g r a m m e s
généra-
t e u r s c o r r e s p o n d a n t a u x m ê m e s a s s e m b l a g e s se t r a d u i s e n t p a r d e s r e l a t i o n s a n a l y t i q u e s . S o i e n t effectivement £,h,-rn k, Z, l;
i]. k, Ç / ; %Ji,
2
2
f) k, "C l l e s c o o r d o n n é e s r e s p e c t i v e s d e s e x t r é m i t é s d e s t r o i s c ô t é s d ' u n
3
:t
p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r q u e l c o n q u e a y a n t u n s o m m e t à l ' o r i g i n e et
différent d e c e l u i q u i r é p o n d a u x r a n g é e s d i r e c t r i c e s ; a, b, c les c o s i -
l
()
s
()
(')
Memoire
sur
Recherches
Carl
les systèmes
mathématiques
Friedrich
Gauss
fournis
par
les points,
sur les lois de lu matière,
et s u i v .
p. 5 8 . P a r i s , G a u t t i i e r - V i l l a r s , [868.
z w e i t e r B a n d , p. r 8 8 à 196; zu G ü t t i n g e n ,
Werke,
( ' ) Même v o l u m e . L ' a p p l i c a t i o n
etc., déjà cité, p.
i8G3.
de la théorie de l a représentation des formes t e r n a i r e s
par des points à la théorie de l a cristallisation, but p r i n c i p a l de B r a v a i s , occupe la Qn de ce
Mémoire et c o m m e n c e a u x mots Das
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Grundgesetz,
der
Crystallisation,
p. 3o8 et s u i v .
i4
LES
LOIS
DE
LA
MATIERE.
n u s r e s p e c t i f s d e s a n g l e s q u e font e n t r e e l l e s les r a n g é e s r e s p e c t i v e s
k et /, l et h, h et k; P la v a l e u r d o n n é e p a r
2
P = i
(6)
6
5
l'équation
'iabc;
les v o l u m e s d u p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r c o r r e s p o n d a n t a u x a x e s et
d'un autre parallélépipède générateur quelconque seront donnés resp e c t i v e m e n t p a r l e s f o r m u l e s s u i v a n t e s , c o n n u e s , d a n s la s e c o n d e d e s q u e l l e s j ' e m p l o i e la n o t a t i o n u s i t é e a u j o u r d ' h u i p o u r les d é t e r m i n a n t s :
'IL
P hkl,
P
T
I 2
hkl;
l e u r é g a l i t é e n t r a î n e d o n c la r e l a t i o n
(7)
?
S 3
T
L3
T
R
^3
L'équivalence des p a r a l l é l o g r a m m e s g é n é r a t e u r s sur u n
même
plan
r é t i c u l a i r e d o n n e r a i t la r e l a t i o n a n a l o g u e
(8)
D a n s u n m ê m e a s s e m b l a g e , ces r e l a t i o n s d e v r o n t ê t r e s a t i s f a i t e s p
d e s v a l e u r s e n t i è r e s d e £, ri, Ç. .
1 2 . N o u s t e r m i n e r o n s ces c o n s i d é r a t i o n s g é n é r a l e s s u r les
b l a g e s p a r la r e c h e r c h e d e s f o r m u l e s d e t r a n s f o r m a t i o n
n é e s q u a n d les a x e s s o n t d e p a r t e t d ' a u t r e d e s r a n g é e s
des
assem-
coordon-
conjuguées.
S o i e n t x , y', z' l e s n o u v e l l e s c o o r d o n n é e s r a p p o r t é e s à d e s a x e s d i r e c t e u r s d é t e r m i n é s p a r t r o i s r a n g é e s c o n j u g u é e s de p a r a m è t r e h',k', /',
d o n t les p r o j e c t i o n s s u r l e s p r e m i e r s a x e s s o i e n t r e s p e c t i v e m e n t
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SECTION
I.
—
PRÉLIMINAIRES.
l5
Il est v i s i b l e : i° q u e l ' o r d o n n é e d ' u n p o i n t d a n s le s y s t è m e x, y, z
( s o i t la p r o j e c t i o n d e la d i s t a n c e d e ce p o i n t à l ' o r i g i n e s u r l ' u n d e s
a x e s x, y s) est é g a l e à la s o m m e d e s p r o j e c t i o n s d e s c o o r d o n n é e s d u
m ê m e p o i n t d a n s le s y s t è m e x', y, z' s u r cet a x e ; 2" q u e ces p r o j e c t i o n s s o n t a u x c o o r d o n n é e s x', y', s' c o m m e l e s p r o j e c t i o n s d e s p a r a m è t r e s h', k', V s u r le m ê m e a x e s o n t à ces p a r a m è t r e s . Ces d e u x
p r i n c i p e s d o n n e n t , i m m é d i a t e m e n t la r e l a t i o n
t
k'
h
L
et d e u x a u t r e s s e m b l a b l e s q u i , t o u s c a l c u l s faits, se r é d u i s e n t
s u i v a n t e s , l e s q u e l l e s s o n t les r e l a t i o n s d e m a n d é e s :
aux
I Ç = U'H-Ç,V-r-Ç,Ç',
(9)
T
7
j *i = uS!' + i2V + -']sÇ',
E l l e s e x p r i m e n t les a n c i e n n e s c o o r d o n n é e s en fonction des n o u v e l l e s ;
en p e r m u t a n t l e s a c c e n t s , on a u r a l e s f o r m u l e s r é c i p r o q u e s
1 1'
(10)
=
^
+
? ^
+
^
,
T
j / = l'i^ -t- 7l'T) -t-T)' Ç,
( Ç'.-^È-r- C r i +Ç' Ç,
2
3
2
3
qui d o n n e r o n t les n o u v e l l e s c o o r d o n n é e s e n fonction d e s a n c i e n n e s .
Si l'on e û t a u c o n t r a i r e r é s o l u l e s é q u a t i o n s ( g ) e n t e n a n t c o m p t e de la
r e l a t i o n (7), on e û t t r o u v é
I
(n)
% =: a%
-1-
bf\ +
cÇ,
V = a'\ -+- /Al -hc'Ç,
( Ç'=a"S-|-&"ïH-c"Ç,
où l'on a é c r i t , p o u r a b r é g e r ,
c'=
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T
?3 u
— Siis ;
La c o e x i s t e n c e des é q u a t i o n s (10) e t ( r i ) e n t r a î n e les c o n d i t i o n s
1 3 . N o u s a v o n s , d è s à p r é s e n t , les m o y e n s suffisants d ' é t u d i e r l e s
c o r p s p u r s ; é t a b l i s s o n s c e u x d ' é t u d i e r au m o i n s c e r t a i n e s c a t é g o r i e s
de m é l a n g e s .
La d i s t r i b u t i o n r é g u l i è r e , r é s u l t a n t d e l ' h y p o t h è s e e x p o s é e a u
n" 9, I, est a p p l i c a b l e à t o u s l e s c o r p s p u r s e n é q u i l i b r e où t o u t e s t ,
à des q u a n t i t é s i n s e n s i b l e s p r è s , d i s t r i b u é s y m é t r i q u e m e n t a u t o u r d e
c h a q u e centre de gravité, t a n t c o m m e m a s s e q u e c o m m e d i s t a n c e ;
m a i s la s y m é t r i e des c e n t r e s n ' e n t r a î n e p l u s l ' é q u i l i b r e d a n s u n c o r p s
m é l a n g é , à m o i n s q u ' e l l e n e c o e x i s t e avec u n e s y m é t r i e d a n s la n a t u r e
d e s m o l é c u l e s ou p a r c e l l e s , l a q u e l l e s y m é t r i e a u r a l i e u p a r r a n g é e s .
A l o r s c h a q u e r a n g é e n e p e u t c o n t e n i r q u e d e u x s o r t e s de m o l é c u l e s
ou de p a r c e l l e s se s u c c é d a n t a l t e r n a t i v e m e n t , e n s o r t e q u e c h a c u n e
d ' e l l e s soit p l a c é e s y m é t r i q u e m e n t p a r r a p p o r t a u x a u t r e s . Il est aisé
de r e c o n n a î t r e q u ' a l o r s le c o r p s n e p e u t p a s c o n t e n i r p l u s de h u i t
s o r t e s de p a r c e l l e s p l a c é e s a u x h u i t s o m m e t s d u p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r et c o r r e s p o n d a n t c h a c u n e à u n p a r a l l é l é p i p è d e d i f f é r e n t . L ' e n semble de ces h u i t p a r a l l é l é p i p è d e s g é n é r a t e u r s c o r r e s p o n d a n t aux
h u i t s o r t e s d e m o l é c u l e s ou de p a r c e l l e s f o r m e r a u n p a r a l l é l é p i p è d e
s e m b l a b l e a u p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r e t de c ô t é s d o u b l e s ; n o u s le
q u a l i f i e r o n s du n o m d e p a r a l l é l é p i p è d e octuple. N o u s a t t r i b u e r o n s en
o u t r e , d a n s les c o r p s p u r s o u m é l a n g é s , la m o l é c u l e o u la p a r c e l l e a u
p a r a l l é l é p i p è d e d o n t son c e n t r e o c c u p e le s o m m e t de l ' a n g l e t r i è d r e
d e s c o o r d o n n é e s p o s i t i v e s . Ces c o n v e n t i o n s s o n t de s i m p l e s q u e s t i o n s
d'ordre.
Un m é l a n g e r é g u l i e r do m o i n s d e h u i t c o r p s d i f f é r e n t s r e n t r e d a n s
le p r é c é d e n t , où il suffît d e s u p p o s e r i d e n t i q u e s u n c e r t a i n n o m b r e
d e s h u i t p a r c e l l e s d u p a r a l l é l é p i p è d e o c t u p l e , ou m ê m e e n c o r e d ' e n
s u p p o s e r q u e l q u e s - u n e s n u l l e s . P o u r p l u s de g é n é r a l i t é , n o u s a d m e t t r o n s , d a n s ce q u i va s u i v r e , l ' e x i s t e n c e d e s h u i t s o r l e s d e p a r c e l l e s .
E n f i n , on p e u t c o n s t a t e r a i s é m e n t q u e s i , d a n s u n m é l a n g e , on
c h a n g e de p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r , la d i s t r i b u t i o n r e s t e r a t o u j o u r s
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r é g u l i è r e , et le p a r a l l é l é p i p è d e o c t u p l e c o r r e s p o n d r a e n c o r e a h u i t
parcelles différentes q u i p o u r r o n t s e u l e m e n t être placées dans u n
a u t r e o r d r e . L e s coefficients
-/j, Ç d e s p a r a m è t r e s d a n s les e x p r e s s i o n s ( 5 ) d e c o o r d o n n é e s o n t t o u s , p o u r u n s y s t è m e d ' a x e s d o n n é et
u n e m ê m e s o r t e d e p a r c e l l e s , les m ê m e s p a r i t é s et i m p a r i t é s .
N o u s c o n s i d é r e r o n s , p a r la s u i t e de ce t r a v a i l , l e s s e u l s m é l a n g e s
r e m p l i s s a n t l e s c o n d i t i o n s p r é c é d e n t e s ou p o u v a n t s'y r a t t a c h e r c o m m e
à u n é t a t a n t é r i e u r , n o n q u e n o u s m e t t i o n s en d o u t e l ' e x i s t e n c e de
m é l a n g e s d i f f é r e n t s , m a i s s e u l e m e n t p a r c e q u ' i l s se p r ê t e n t p l u s facil e m e n t au calcul.
1 4 . N o u s a l l o n s t e r m i n e r la S e c t i o n I p a r l ' a p p l i c a t i o n des f o r m u l e s
p r é c é d e n t e s à la r e c h e r c h e d e la loi q u i u n i t e n t r e e l l e s les d e n s i t é s
d'un corps en un point d o n n é q u a n d cette densité varie d'une m a n i è r e
continue.
La d e n s i t é d ' u n c o r p s e s t le q u o t i e n t d ' u n e d i v i s i o n d o n t le d i v i d e n d e est le n o m b r e r e p r é s e n t a t i f d u p o i d s , et le d i v i s e u r est le n o m b r e r e p r é s e n t a t i f d u v o l u m e . Q u a n d u n c o r p s et u n e q u e l c o n q u e de
ses p a r t i e s o n t la m ê m e d e n s i t é , on d i t q u e la d e n s i t é d u c o r p s est c o n s t a n t e ; q u a n d e l l e s n e l ' o n t p a s , o n a p p e l l e densité d u c o r p s e n u n p o i n t
la l i m i t e v e r s l a q u e l l e c o n v e r g e n t l e s d e n s i t é s s u c c e s s i v e s o b t e n u e s en
faisant d é c r o î t r e a u s s i loin q u e p o s s i b l e la p o r t i o n d o n t ce p o i n t o c c u p e s e n s i b l e m e n t le c e n t r e . T e l l e e s t la d e n s i t é q u ' i l s ' a g i t d e d é t e r m i n e r q u a n d o n c o n n a î t les lois d e d é f o r m a t i o n d u c o r p s . O r é v i d e m m e n t , q u a n d on a r r i v e à de t r è s p e t i t e s p o r t i o n s d u c o r p s o r g a n i s é
s u i v a n t la c o n c e p t i o n d u n° 9, I, ou d u n° 1 3 , o n a b o r d e d e s r é g i o n s
où l ' o n p e u t s u p p o s e r les c e n t r e s de m o l é c u l e s o u d e p a r c e l l e s r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é s ; et il f a u d r a p r o c é d e r , p o u r f o r m e r d e s v o l u m e s
d é c r o i s s a n t p r o p o r t i o n n e l l e m e n t avec l e s m a s s e s , p a r m u l t i p l e s e n t i e r s
d e p a r a l l é l é p i p è d e s g é n é r a t e u r s , si l ' o n e s t d a n s u n c o r p s p u r , o u de
p a r a l l é l é p i p è d e s o c t u p l e s , si l ' o n e s t d a n s u n c o r p s m é l a n g é . Cela
p o s é , le p l u s p e t i t v o l u m e p r o p o r t i o n n e l a u x m a s s e s q u ' o n p u i s s e o b t e n i r e s t , d a n s le c o r p s p u r , le p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r avec la
m a s s e d ' u n e m o l é c u l e , ou d ' u n e p a r c e l l e s u i v a n t le c a s , e t , d a n s le
c o r p s m é l a n g é , le p a r a l l é l é p i p è d e o c t u p l e a v e c la m a s s e de h u i t p a r c e l l e s . E n a p p e l a n t r e s p e c t i v e m e n t m, M c e s m a s s e s et V le v o l u m e
3
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du parallélépipède générateur,
g la d e n s i t é , a n t r o u v e r a p a r défini-
tion :
i ° P o u r le c o r p s p u r ,
(I4)
S 0 L T
P— V '
™ =
VP;
2 ° P o u r le c o r p s m é l a n g é ,
P
(I5)
=
S O I T
W '
M
=
8
V
? -
Ces é q u a t i o n s r e n f e r m e n t des q u a n t i t é s m, M e t V q u i é c h a p p e n t à n o s
m o y e n s d e m e s u r e ; m a i s o n p e u t les r e m p l a c e r p a r d e s f o r m u l e s a n a l y t i q u e s e x p r i m a b l e s e n q u a n t i t é s finies, r e p r é s e n t a n t l e s v a r i a t i o n s
d e p p o u r u n m ê m e c o r p s . Car u n e c o n s é q u e n c e n é c e s s a i r e d e s a c t i o n s
m o l é c u l a i r e s n e v a r i a n t a v e c la d i s t a n c e e t le t e m p s q u e p a r d e g r é s
i n s e n s i b l e s e s t , q u a n d le c o r p s n e se d é c o m p o s e p a s , q u e les m o u v e m e n t s et d é f o r m a t i o n s s ' o p è r e n t d ' u n e m a n i è r e c o n t i n u e , en s o r t e q u e
les coordonnées d'un point en u n i n s t a n t q u e l c o n q u e d é p e n d e n t de
celles q u ' i l avait d a n s u n i n s t a n t d o n n é et du t e m p s écoulé d e p u i s .
S o i e n t d o n c x, y, z l e s c o o r d o n n é e s d ' u n p o i n t à l ' i n s t a n t t, el x ,
y , z ce q u ' e l l e s é t a i e n t à l ' i n s t a n t t ; on p o u r r a é c r i r e
0
0
0
0
X
Ì
=
y
=
(-^Ol J'o;
f l
Z
0 l
0>
/ s ( » o , J'o, - o ,
t),
Si d o n c on p o s e , p o u r a b r é g e r ,
et si l'on c o n s i d è r e le p o i n t e x t r ê m e m e n t r a p p r o c h é d o n t les c o o r d o n nées étaient, à l'instant l ,
0
x
Q
-+- \ x ,
0
y
0
-+- AjKo,- - o +
A
z
o,
on v e r r a q u ' à l ' i n s t a n t t l e s c o o r d o n n é e s d e ce p o i n t s e r o n t ,
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à des
SECTION I.
—
PRELIMINAIRES.
quantités du second ordre près,
x -h Ax = x -+- q\ Ax -h q\ Ay -+- q'[ A s ,
a
J
(.8)
Ay
-H
:= 7
^ -1- A s =
0
0
q\ A^„ + r/'; A j + q'¡ Az ,
+
0
0
s +
7 j A;r 0 -f-
q\ Ay + y , Az„.
0
O r , m et M é t a n t d e s q u a n t i t é s c o n s t a n t e s , l e s é q u a t i o n s ( i 4 ) et ( i 5 )
a p p l i q u é e s en d e u x i n s t a n t s d i f f é r e n t s
V
o P û
= Vp
et
donnent
8V
o P o
=8V ,
P
soit t o u j o u r s
V ?o-=Vp.
(>9)
0
On a d o n c , en v e r t u d e s f o r m u l e s c o n n u e s q u i d o n n e n t , p o u r d e s
c o o r d o n n é e s r e c t a n g u l a i r e s c o m m e c i - d e s s u s , le v o l u m e d ' u n p a r a l l é l é p i p è d e en f o n c t i o n d e s p r o j e c t i o n s d e ses c ô t é s ,
Ax\
Ay\
a
(I)
w
w
0
A
Ax
Ax"'
A,r , A y , A s
Az'
i,
n
"l
1
Ax'
Ay
Ax"
Ay" Az"
Ax"
Ay
M
Az'
Az"
r e p r é s e n t a n t les p r o j e c t i o n s d ' u n c ô t é d u p a r a l l é l é p i -
p è d e . E n r e m p l a ç a n t d a n s lo s e c o n d m e m b r e d e c e t t e é q u a t i o n les Aœ,
A y , As p a r l e u r s v a l e u r s ( 1 8 ) , e t o b s e r v a n t , q u e le d é t e r m i n a n t y d e v i e n t a l o r s , d ' a p r è s l e s r è g l e s d e la m u l t i p l i c a t i o n d e s d é t e r m i n a n t s ,
le p r o d u i t
du déterminant
d u p r e m i e r m e m b r e p a r le
déterminant
f o n c t i o n n e l d e s é q u a t i o n s ( 1 6 ) , on o b t i e n t , e n d i v i s a n t , la r e l a t i o n
9l
1x
?i
'i
i
q
q
ï
t
I
»
<li
?3
ni
y
2
>l>
<li
o u , avec les n o t a t i o n s o r d i n a i r e s ,
(ai)
?o =
?[q\{q\q'l—
q\q"i) -+- q\{q'W
z
— q"iq\) + q[{q\q\
—
?Wi)]-
Elle est p u b l i é e d e p u i s l o n g t e m p s et l'on en t r o u v e déjà u n cas part i c u l i e r , c e l u i o ù p est c o n s t a n t ( p = p), e x p o s é d a n s la Mécanique ana0
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LYLIQUE d e L a g r a n g e ( ' ) . C e p e n d a n t d e s g é o m è t r e s p o s t é r i e u r s , t e l s q u e
Poisson, n'ont donné que l'équation différentielle
de cette
relation
s o u s la f o r m e b i e n c o n n u e , où U, Ç, W s o n t les c o m p o s a n t e s d e la vitesse d u p o i n t ,
(22)
ÂPU ÂPV
ôj:
ÀY
O u e s t a r r i v é a u x é q u a t i o n s (20), (21), (22) p a r la m é t h o d e i n f i n i t é s i m a l e ; cela n'a rien de s u r p r e n a n t , p u i s q u e , d a n s cotte m é t h o d e
c o m m e d a n s n o s c a l c u l s a p p r o x i m a t i f s , on c h e r c h e u n e f o r m u l e d é barrassée des quantités descendant au-dessous de certaines limites.
Si n o u s n e p o u v o n s p a s e m p l o y e r d a n s t o u s l e s cas le Calcul infinitésimal, c'est q u e ces limites y p e u v e n t d e s c e n d r e au-dessous de toute
g r a n d e u r a s s i g n a b l e , t a n d i s q u e , d a n s n o s a p p r o x i m a t i o n s , ces l i m i t e s
y s o n t s i m p l e m e n t d e s o r d r e s d e g r a n d e u r . E l l e s p e u v e n t a l o r s , en se
c o m b i n a n t , d o n n e r naissance d a n s certains cas à des q u a n t i t é s nullem e n t n é g l i g e a b l e s , t a n d i s q u ' e l l e s le s e r a i e n t d a n s le Calcul i n f i n i t é simal.
L
( ) MÉCANIQUE ANALYTIQUE
par J . - J . Lagrange, 3° édition, r e v u e corrigée et annotée par
M. J. Bertrand, t. II. Paris, Mallet-Bachelier, 1 8 5 5 , p. a5ç,.
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SECTION II.
FORCES ÉLASTIQUES. — PREMIÈRE ÉTUDE.
Molécules monoatomiques.
8. L o r s q u ' o n s u p e r p o s e u n c o r p s à u n a u t r e , il e s t b i e n t ô t en é q u i l i b r e , p a r c e q u e les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s q u i se d é v e l o p p e n t a u v o i s i n a g e
de la s u r f a c e de c o n t a c t a r r i v e n t à d é t r u i r e les v i t e s s e s q u e la p e s a n t e u r
i m p r i m e a u c o r p s s u p é r i e u r . Q u a n d la s u r f a c e c o m m u n e d e c o n t a c t e s t
p l a n e , on a p p e l l e r é s i s t a n c e à la p r e s s i o n ou foret
élastique
la r é a c t i o n
q u i m a i n t i e n t le c o r p s s u p é r i e u r e n é q u i l i b r e , e t o n la m e s u r e p a r le
q u o t i e n t d ' u n e d i v i s i o n d o n t le d i v i d e n d e est le n o m b r e
représentatif
de la r é s u l t a n t e d e s a c t i o n s e x e r c é e s , e t le d i v i s e u r , c e l u i d e l ' a i r e d e
c o n t a c t . Q u a n d , e n d i v i s a n t la s u r f a c e p l a n e de c o n t a c t en d i v e r s e s
p a r t i e s e t le c o r p s s u p é r i e u r e n f r a g m e n t s p r o p o r t i o n n e l s à ces p a r t i e s
q u i l e u r s e r v e n t d e b a s e s , on o b t i e n t les m ê m e s v a l e u r s d e la force
é l a s t i q u e , o n d i t q u e celle-ci est c o n s t a n t e ; on la d i t v a r i a b l e d a n s le
cas c o n t r a i r e , et l ' o n a p p e l l e force
la surface
élastique
superficielle
en un point
de
la l i m i t e v e r s l a q u e l l e c o n v e r g e n t l e s forces é l a s t i q u e s o b t e -
nues successivement en diminuant progressivement un prisme découpé
d a n s le c o r p s s u p é r i e u r et d o n t la b a s e , c o m p r i s e d a n s la s u r f a c e d e
c o n t a c t , c o n t i e n t le p o i n t e n v i s a g é .
Cette définition e s t a p p l i c a b l e a u x p l a n s i d é a u x q u e l ' o n p e u t s u p p o ser m e n é s à l ' i n t é r i e u r d e s c o r p s ; e t c o m m e ici t o u t e s t s e m b l a b l e d e
c h a q u e c ô t é d u p l a n , ce q u i n ' a p a s l i e u avec d e u x c o r p s e n c o n t a c t ,
l ' é v a l u a t i o n d e s forces é l a s t i q u e s n ' y p r é s e n t e p l u s la m ê m e d i f f i c u l t é .
N o u s a l l o n s n o u s o c c u p e r de l e s c a l c u l e r .
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Il r é s u l t e d e la c o n c e p t i o n d u n ° 9, I , S e c t . I , q u ' o n a r r i v e , e n a p p r o c h a n t d e s l i m i t e s , à d e s p a r t i e s d u c o r p s assez p e t i t e s p o u r q u e l e s
m o l é c u l e s ou p a r c e l l e s p u i s s e n t y ê t r e r e g a r d é e s c o m m e r é g u l i è r e m e n t
d i s t r i b u é e s d a n s le v o i s i n a g e t r è s r a p p r o c h é d u p o i n t où l ' o n v e u t d é t e r m i n e r la force é l a s t i q u e . Q u a n t a u x m o l é c u l e s o u p a r c e l l e s
plus
é l o i g n é e s , l e u r i n t e r v e n t i o n e s t si p e u s e n s i b l e , à c a u s e d u d é e r o i s s e m e n t
très rapide des actions moléculaires, qu'on p e u t , sans e r r e u r appréciable
d a n s les r é s u l t a t s , l e u r p r ê t e r t e l l e d i s p o s i t i o n q u ' o n v o u d r a e t n é g l i g e r
p a r s u i t e l e u r é c a r t d e la d i s t r i b u t i o n
régulière
( ' ) ; l'hypothèse
la
p l u s c o m m o d e p o u r le c a l c u l , q u e j ' a d o p t e r a i e n c o n s é q u e n c e , e s t d e
s u p p o s e r l ' a s s e m b l a g e c o n t i n u é à l'infini d e s d e u x c ô t é s d u p l a n a u q u e l
on r a p p o r t e la force é l a s t i q u e . Ceci p o s é , le p l a n p e u t ê t r e u n d e s p l a n s
r é t i c u l a i r e s d e l ' a s s e m b l a g e , ou n e p a s l ' ê t r e . J ' e x a m i n e r a i
successi-
v e m e n t ces deux cas.
2 . I. Le plan sur lequel on veut déterminer la force élastique au point 0
est un plan réticulaire de l'assemblage. — La l i m i t e i n f é r i e u r e d u p r i s m e
d o n t l e s a c t i o n s d é t e r m i n e n t l e n u m é r a t e u r d e la force é l a s t i q u e
sera
v i s i b l e m e n t , d a n s u n c o r p s p u r , le p a r a l l é l é p i p è d e i n d é f i n i a y a n t p o u r
base un parallélogramme générateur d u plan réticulaire d o n n é L, p o u r
s o m m e t l e p o i n t 0 o ù l ' o n c h e r c h e la force é l a s t i q u e , e t p o u r a r ê t e
u n e r a n g é e i s s u e de 0 , c o n j u g u é e a u p l a n L . O n p e u t s ' a s s u r e r facilem e n t q u e les c h o i x d e la r a n g é e e t d u p a r a l l é l o g r a m m e
générateur
n ' o n t a u c u n e influence s u r les résultats. Dans u n corps m é l a n g é , u n
semblable
parallélépipède
ne contiendrait
que deux sortes de par-
c e l l e s e t d e s c e n d r a i t a u - d e s s o u s d e la l i m i t e à l a q u e l l e la c o m p o s i t i o n
( ' ) Il convient d e s e rappeler ici une objection q u e , dans s e s Principia generalia theoriœ
fîgurœ Jluidorum in statu œquilrbrii ( Cari Friedrich Gauss tVerke, fünfter Band, Gòtting e n , 1867, p . 3a et 3 3 ) , Gauss élève contre u n calcul de ce genre dans la Théorie de l'action capillaire do Laplace; des parties de l'action moléculaire n'intervenant pas aux distances
insensibles à cause de leur petitesse pourraient devenir très grandes a u x distances sensibles
et modifier d'une manière importante la valeur véritable de cette action : tel est, dit-il, le
t e r m e en raison inverse du carré de la distance ; mais il fait o b s e r v e r en m ê m e t e m p s q u e
cette objection t o m b e immédiatement si l'on n e c o m p r e n d pas c e terme dans l'action moléculaire ; c'est c e q u e nous déclarons e x p r e s s é m e n t faire, et n o u s m o n t r e r o n s ci-après, à la
Sect. III, qu'aucun terme appartenant réellement à l'action moléculaire n'a d'action sensible
aux distances s e n s i b l e s .
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d u c o r p s est u n i f o r m e ; la l i m i t e d e s p r i s m e s s e r a dès lors u n p a r a l l é l é p i p è d e indéfini a y a n t p o u r s o m m e t 0 , p o u r b a s e u n p a r a l l é l o g r a m m e
d e c ô t é s d o u b l e s e t p o u r a r ê t e la r a n g é e c o n j u g u é e e n 0 a u p l a n L. Ce
p a r a l l é l é p i p è d e c o m p r e n d r a q u a t r e r a n g é e s d i f f é r e n t e s et p a r c o n s é q u e n t les h u i t s o r t e s de m o l é c u l e s ou d e p a r c e l l e s .
II. Le plan sur lequel on veut déterminer la force élastique n'est pas un
plan réticulaire de l'assemblage. — A l o r s e n c o r e on p o u r r a c o n s i d é r e r
c o m m e le p r i s m e l i m i t e le p a r a l l é l é p i p è d e c o n t e n a n t u n e r a n g é e d a n s
les c o r p s p u r s , q u a t r e d a n s les c o r p s m é l a n g é s , d o n t u n e p a s s a n t p a r
le p o i n t 0 , et p e r ç a n t le p l a n L q u ' i l c o u p e r a s u i v a n t u n p a r a l l é l o g r a m m e
q u ' o n p r e n d r a p o u r la b a s e .
Ces d é f i n i t i o n s r e v i e n n e n t à c e l l e s q u ' a d o n n é e s L a m é d a n s s e s Leçons
sur la théorie, mathématique de l'élasticité des corps solides^), et q u ' a c c e p t e n t t o u s les g é o m è t r e s a t t r a c t i o n n a i r e s ; e l l e s n ' e n d i f f è r e n t q u ' e n
u n p o i n t , c e l u i d e la d i s t r i b u t i o n r é g u l i è r e d e s m o l é c u l e s q u e l'on
c r o y a i t s p é c i a l e a u x c o r p s c r i s t a l l i s é s . D ' a p r è s e l l e s , le n u m é r a t e u r d e
la fraction q u i r e p r é s e n t e la c o m p o s a n t e d e la force é l a s t i q u e p a r a l l è l e
à l ' a x e d e s u (u = x, y, z) sera la s o m m e , p a r a l l è l e m e n t à cet a x e , d e
t o u t e s les a c t i o n s e x e r c é e s p a r l e s m o l é c u l e s i n t é r i e u r e s a u p l a n s u r
les m o l é c u l e s d e la r a n g é e e x t é r i e u r e , s'il s ' a g i t d e c o r p s p u r s , ou s u r
les m o l é c u l e s d e s q u a t r e r a n g é e s e x t é r i e u r e s , s'il s'agit d e c o r p s m é l a n g é s ; le d é n o m i n a t e u r d e c e t t e m ê m e fraction s e r a l ' a i r e d u p a r a l l é l o g r a m m e g é n é r a t e u r dan.s le cas d u c o r p s p u r e t q u a t r e fois c e t t e a i r e
d a n s le c a s d u c o r p s m é l a n g é .
D a n s le c a s où le p l a n L n ' e s t p o i n t u n p l a n r é t i c u l a i r e , le p a r a l l é l o g r a m m e g é n é r a t e u r s e r a c e l u i d u r é s e a u v i r t u e l d é t e r m i n é s u r le p l a n L
p a r les i n t e r s e c t i o n s d e s r a n g é e s p a r a l l è l e s à la r a n g é e e n v i s a g é e .
3 . T r a d u i s o n s c e s e x p r e s s i o n s e n f o r m u l e s e n c o m m e n ç a n t p a r les
c o r p s p u r s e t la r e c h e r c h e d e la force é l a s t i q u e s u r u n p l a n r é t i c u l a i r e .
P r e n o n s p o u r a x e s des c o o r d o n n é e s : i ° la r a n g é e e x t é r i e u r e d e p a r a m è t r e A p o u r axe des x; 2 ° d e u x r a n g é e s c o n j u g u é e s d a n s le p l a n
r é t i c u l a i r e , d e p a r a m è t r e s k et /, et i s s u e s du p o i n t 0 , p o u r a x e s r e s p e c tifs d e s y et d e s z; a p p e l o n s r la d i s t a n c e d u c e n t r e d e g r a v i t é d ' u n e
(' ) Paris, Bachelier, i 8 5 a . Voir la définition de la force élastique, § 3 , p. 8.
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24
'
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
m o l é c u l e i n t é r i e u r e a u c e n t r e d e g r a v i t é d ' u n e m o l é c u l e e x t é r i e u r e de
la r a n g é e A; c o n s e r v o n s d ' a i l l e u r s les n o t a t i o n s d u n° 1 0 , S e c t . I; les
p r o j e c t i o n s d e r s e r o n t (S — l')h, ^h, U; c o m m e \ —
différence
de
d e u x n o m b r e s e n t i e r s , est u n n o m b r e entier lui-même et p e u t recevoir
u n e v a l e u r e n t i è r e q u e l c o n q u e d e ·+• i à -+- ao , si n o u s r e g a r d o n s l e s \
e x t é r i e u r s c o m m e p o s i t i f s , ce q u i e s t t o u j o u r s p e r m i s , n o u s p o u r r o n s ,
p a r a b r é v i a t i o n , r e m p l a c e r \\ — % p a r Ë, s o u s c e t t e r é s e r v e q u ' i l s e r a
t o u j o u r s p o s i t i f ; au c o n t r a i r e , TI et '( p e u v e n t r e c e v o i r t o u t e s l e s v a l e u r s
e n t i è r e s c o m p r i s e s e n t r e ± <x> . Cela p o s é , d é s i g n o n s
respectivement
p a r a, b, c l e s c o s i n u s d e s a n g l e s q u e font e n t r e e l l e s l e s r a n g é e s k e t
/ et h, h e t k; n o u s a u r o n s
!
(i)
2
r = W
î
52
+ r,/f -+- Ç/
-i-
-ibXXlli —
2ar£kl-+-
-iclrjik.
L'action m u t u e l l e de d e u x m o l é c u l e s de m ê m e m a s s e m
négligeant les dimensions
d e s m o l é c u l e s à côté d e l e u r s
sera,
en
distances,
a i n s i q u ' o n le fait h a b i t u e l l e m e n t (' ),
<»>
1 ^ '
e t les c o m p o s a n t e s e n s e r o n t , p a r a l l è l e m e n t a u x a x e s d e s x, y, z,
<*S^"'
« 2 ^ - ·
- " 1 ^ ·
soit
(3)
i,hx,
r,kx,
tlx,
en p o s a n t , p o u r abréger,
(4)
La s o m m e d e s c o m p o s a n t e s d e c e s a c t i o n s d a n s t o u t e l ' é t e n d u e
d e la
rangée sera donc
(5)
SViX,
Si\kx,
SÇlx.
(!) Voir la formule ( 4 ) do la S e c t . I. En négligeant les dimensions des m o l é c u l e s , nous
u s o n s d'un droit généralement accepté, m a i s à tort; -voir la Sect. III, n° 1. N o s formules
seront applicables seulement aux corps monoatomiques.
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L e s s o m m a t i o n s i n d i q u é e s p a r r a p p o r t a u x v a r i a b l e s l , r), £ e n d é s i g n e n t u n e s e u l e p a r r a p p o r t à c h a c u n e d e s v a r i a b l e s r),
tandis
q u ' e l l e s e n i m p l i q u e n t d e u x p a r r a p p o r t à \ , q u i r e p r é s e n t e en r é a l i t é
d e u x v a r i a b l e s !; e t
Mais l ' u n e de c e s s o m m a t i o n s p e u t ê t r e effectuée
i m m é d i a t e m e n t ; e n effet, p o u r le m ê m e c o u p l e d e v a l e u r s n e t Ç, q u i
r e p r é s e n t e u n e r a n g é e h i n t é r i e u r e et p a r a l l è l e à l ' a x e d e s a;, il y a u n e
s e u l e v a l e u r d e \ = i [\ = i , \' = o ) ; d e u x d e \ — 2 [ \ — 2 , \' = o ;
l = i,V=1); t r o i s d e Ç = 3 ( Ç = 3 , l ' = o ; \ = 2 , V = - 1 ; l = 1,
£' = — 2 ) ; e t , e n g é n é r a l , ide £ = i ; si d o n c on s o m m e e n t r e e l l e s l e s
c o m p o s a n t e s c o r r e s p o n d a n t a u x m ê m e s v a l e u r s de £, 71, Ç, on t r o u v e
les c o m p o s a n t e s p a r t i e l l e s
l ' - h x ,
t i \ k x ,
L e s n u m é r a t e u r s d e s c o m p o s a n t e s d e la force é l a s t i q u e s e r o n t d o n c
définitivement, avec u n e seule s o m m a t i o n par r a p p o r t à chacune des
v a r i a b l e s \, r , ,
(6)
S î ' A x , S ^ A x , S&/X.
Mais il y a i c i , e n t r e la s o m m a t i o n d e Ç et l e s s o m m a t i o n s d e ri, Ç,
u n e différence q u e l ' o n p e u t faire d i s p a r a î t r e . E n effet, i; , £ri,
étant
d e s p r o d u i t s d e d e u x d i m e n s i o n s , n e c h a n g e n t p a s d e s i g n e q u a n d on
y c h a n g e à la fois c e u x d e
TJ, £; la v a l e u r (1) d e r n e c h a n g e p a s n o n
p l u s d a n s c e s c o n d i t i o n s , n i p a r t a n t c e l l e d e r. Enfin ces p r o d u i t s s o n t
n u l s e n m ê m e t e m p s q u e E. L e s s o m m e s ( 6 ) s o n t d o n c l e s m o i t i é s d e
s o m m e s d e m ê m e f o r m e , m a i s o ù %, ri, £ p e u v e n t r e c e v o i r t o u t e s les
v a l e u r s c o m p r i s e s e n t r e ± co ; s o u s c e t t e c o n d i t i o n , e l l e s d e v r o n t ê t r e
r e m p l a c é e s p a r les s u i v a n t e s :
2
2
(7)
£ S S'A a, | S £ T , £ x ,
Le d é n o m i n a L e u r c o m m u n d e s c o m p o s a n t e s d e la force é l a s t i q u e e s t
l ' a i r e d u p a r a l l é l o g r a m m e g é n é r a t e u r d e c ô t é s k, l, l a q u e l l e e s t , c o m m e
on s a i t , é g a l e a u p r o d u i t d e s e s côtés p a r le s i n u s d e l ' a n g l e i n c l u s ;
d o n c , c o m m e n o u s a v o n s - r e p r é s e n t é p a r a le c o s i n u s d e l ' a n g l e
des
2
2
r a n g é e s k e t l, le s i n u s s e r a \ J i — a , e t l ' a i r e é q u i v a u d r a à kl\j 1 — a .
L e s c o m p o s a n t e s d e l ' é l a s t i c i t é s e r o n t d o n c l e s q u o t i e n t s de (7)
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par
2
1d\J\ — a .
Mais n o u s a v o n s i n t é r ê t à r e m p l a c e r d e la m a n i è r e s u i v a n t e
ce d i v i s e u r p a r u n m u l t i p l i c a t e u r .
Soit (xh) l ' a n g l e aigu de la r a n g é e h a v e c la n o r m a l e a u plan x\ le
v o l u m e du p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r sera égal à
(8)
V^= kldT^^.h
cos{xh);
et si n o u s d é s i g n o n s , c o m m e à la S e c t i o n I, la d e n s i t é p a r p, n o u s a u rons
m —
(g)
pkl^j
—
1
a. h
(a:h).
cos
On en d é d u i t
(10)
KLS/I — i
p
H cos
(x LI )
P a r c o n s é q u e n t , e x é c u t e r la d i v i s i o n i n d i q u é e s u r (7)
p l i e r ces q u a n t i t é s p a r le s e c o n d m e m b r e d e (10).
revient à multiOn fera
passer
~
sous le s i g n e s o m m a t o i r e .
R e p r é s e n t o n s p a r E, la force é l a s t i q u e s u r u n p l a n L, e t p a r E „ sa
L
c o m p o s a n t e p a r a l l è l e à l ' a x e u; n o u s a u r o n s , d ' a p r è s ce q u i p r é c è d e ,
p o u r les c o m p o s a n t e s de la force é l a s t i q u e s u r le p l a n d e s x ( o u d e s
r a n g é e s k, l) :
2
E*a: = ïP COS (x h) S£ /l
(11)
s
m
X hk
< Exy = |-p (Ms(xh) SÇT,
m
\
=
Lp cos
(xh)
S ~i lhXm
4 . Avec des axes de c o o r d o n n é e s c o n v e n a b l e m e n t c h o i s i s e t u n e
t r è s l é g è r e m o d i f i c a t i o n , les f o r m u l e s (11)
sont applicables à un plan
q u e l c o n q u e , r é t i c u l a i r e o u n o n . S o i t en effet L u n p l a n
quelconque
p a s s a n t p a r u n c e n t r e 0 d e m o l é c u l e et IT u n p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t o u r de l ' a s s e m b l a g e en 0 . On p r o l o n g e r a i n d é f i n i m e n t q u a t r e a r ê t e s
p a r a l l è l e s de II, de p a r a m è t r e h, et l ' o n p r e n d r a p o u r a x e des x c e l l e
qui p a s s e e n O . L e s a u t r e s a r ê t e s d é t e r m i n e r o n t les e x t r é m i t é s d e s p r o j e c t i o n s o b l i q u e s des p a r a m è t r e s / ; et / s u r le p l a n L ; o n p r e n d r a ces
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p r o j e c t i o n s r e s p e c t i v e s k' et / ' p o u r les p a r a m è t r e s d u r é s e a u v i r t u e l
( n ° 2 ) , et e l l e s s e r v i r o n t d ' a x e s r e s p e c t i f s d e s y e t d e s z. L e s n o u v e l l e s
c o o r d o n n é e s c/A, v\'k', XjV d e s p o i n t s i n f é r i e u r s au p l a n L ( c ' e s t - à - d i r e
i n t é r i e u r s ) s e r o n t d é t e r m i n é e s e n f o n c t i o n d e s c o o r d o n n é e s ^h, r,k, "Cl;
e n s o r t e q u e n' et X,' s e r o n t é g a u x à TI et X,, m a i s q u e , e x c e p t é s u r l ' a x e
d e s x et q u e l q u e s r a n g é e s t o u t à fait e x c e p t i o n n e l l e s ( q u i
pourront
m ê m e n e p a s e x i s t e r et n e d e v r o n t p a s e x i s t e r e n d e h o r s d ' u n e
virtuelle U ou
rangée
c a r a u t r e m e n t le p l a n s e r a i t r é t i c u l a i r e ) , E' s e r a unc-
q u a n t i t é f r a c t i o n n a i r e o u m ê m e i r r a t i o n n e l l e . É v i d e m m e n t : i ° le p a r a l l é l é p i p è d e d e c ô t é s h, k', V p a r a l l è l e s a u x a x e s d i r e c t e u r s s e r a é q u i valent au p a r a l l é l é p i p è d e
générateur,
et l ' o n p o u r r a y a p p l i q u e r la
-formule ( m ) l é g è r e m e n t m o d i f i é e e n é c r i v a n t
,
.
1
2
(' )
pAcos(L/i)
—-, — =
k'ï^i
1
— a*
;
—
'"•
-}.° les c o m p o s a n t e s d e s a c t i o n s a u r o n t e n c o r e la f o r m e ( 3 ) e n y m a r q u a n t d ' u n t r a i t l e s q u a n t i t é s E, n, K, k, l, c a r x n e c h a n g e r a p a s . Or
les p o i n t s q u i o n t m ê m e s v a l e u r s d e r! et X/ s o n t s i t u é s s u r u n e m ê m e
r a n g é e h p a r a l l è l e à l'axe d e s x; p o u r t r o u v e r l e s v a l e u r s d e l e u r s diff é r e n c e s E — E/, il faut p r o j e t e r p a r a l l è l e m e n t au p l a n L l e s c e n t r e s de
c e t t e r a n g é e i n t é r i e u r e s u r l'axe d e s x; ce q u i fait q u ' i l s
correspon-
d e n t , à u n e q u a n t i t é c o n s t a n t e p r è s p o u r la m ê m e r a n g é e , a u x c e n t r e s
m ê m e s de l ' a x e d e s x; d o n c , l o r s q u ' o n a j o u t e r a e n t r e e u x t o u s les
t e r m e s a y a n t m ê m e s v a l e u r s d e E', W, (', il y en a u r a E, E é t a n t le
n o m b r e c o r r e s p o n d a n t de p a r a m è t r e s s u r l'axe d e s x. L e s c a l c u l s c o n s é c u t i f s s e r o n t l e s m ê m e s q u ' a u n u m é r o p r é c é d e n t , et l'on
pour
trouvera,
les c o m p o s a n t e s d e la force é l a s t i q u e s u r le p l a n n o n
réticu-
laire L,
( E , = -*-pco5(L/0S^'A'^>
L ;
(i3)
| E . = ! cos(LA)S?VM'^,
L y
f E ^. =
L
\
P
ipcos(L/OSK'/'A-•
m
11 y a l i e u d ' o b s e r v e r q u e ces c a l c u l s r e s t e r a i e n t les m ê m e s q u a n d le
p l a n L s e r a i t u n p l a n r é t i c u l a i r e différent de c e l u i d e s r a n g é e s k e t /.
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LES LOTS DE LA MATIÈRE.
2 8
5 . L e s forces é l a s t i q u e s d a n s u n c o r p s m é l a n g é se c a l c u l e r o n t d e la
m ê m e m a n i è r e q u e d a n s u n c o r p s p u r . S o i e n t A , 13 ; C, D ; E , F ; G, II
les q u a t r e g r o u p e s b i n a i r e s de p a r c e l l e s d i f f é r e n t e s , d é t e r m i n é s p a r les
q u a t r e r a n g é e s d i f f é r e n t e s h d u p a r a l l é l é p i p è d e o c t u p l e , d o n t la b a s e
d é t e r m i n e le p l a n r é t i c u l a i r e a u q u e l c o r r e s p o n d la force é l a s t i q u e à
calculer.
P r e n o n s u n s o m m e t 0 d e ce p a r a l l é l é p i p è d e o c t u p l e p o u r
o r i g i n e d e s c o o r d o n n é e s , e t l e s t r o i s r a n g é e s h, k et / q u i en s o n t i s s u e s
p o u r a x e s r e s p e c t i f s d e s a?, y, z, l e s f o r m e s ( 3 ) d e s a c t i o n s m o l é c u l a i r e s
doivent éprouver q u e l q u e s modifications. Désignons par
OlL, ,
l C
on„ ,
A
0K„ ,
B
. . . les c a p a c i t é s d e s p a r c e l l e s A , B , C, . . . p o u r l e s a c t i o n s en r a i -
son i n v e r s e d e la n
[ème
(•4)
„1, — £
p u i s s a n c e d e la d i s t a n c e e t p o s o n s
-
p
^
,
IFB — s
,
u et v d é s i g n a n t l'une q u e l c o n q u e des parcelles A, B, C
mais
en
d é s i g n a n t d e d i f f é r e n t e s ; l e s c o m p o s a n t e s de l ' a c t i o n d ' u n e p a r c e l l e intérieure s u r u n e parcelle e x t é r i e u r e de m ê m e n a t u r e seront en général
et c e l l e s d ' u n e p a r c e l l e i n t é r i e u r e , s u r u n e p a r c e l l e e x t é r i e u r e d e nature différente, seront
L e s coefficients t —
t \ — n', '( — "Q r e p r é s e n t a n t d e s n o m b r e s e n t i e r s ,
n o u s p o u r r o n s l e s r e m p l a c e r p a r d ' a u t r e s e n t i e r s , 1, r,, £. N o u s d e v r o n s
n o u s r a p p e l e r t o u t e f o i s q u e , si la s o m m a t i o n est s i m p l e p a r r a p p o r t à
Y! — r,' et Z, — C ou v; et £, e l l e est d o u b l e p a r r a p p o r t à £, en ce s e n s q u ' e l l e
se fait p a r r a p p o r t à £ et p a r r a p p o r t à £ d a n s \\ — ç ; m a i s n o u s a l l o n s
e x é c u t e r i m m é d i a t e m e n t la p r e m i è r e d e s d e u x .
Nous
distinguerons
différents cas.
I. Parcelles de même
sont
(i5)
e t E,
nature. — L e s
S V i X ,
S-Tj/cJo,
expressions des
composantes
SÇ^JL,
C s o n t f o r c é m e n t p a i r s , a i n s i q u ' o n s'en r e n d a i s é m e n t c o m p t e .
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On v o i t f a c i l e m e n t q u e , p o u r u n m ê m e g r o u p e d e v a l e u r s ·/],£, il y a u n e
s e u l e v a l e u r d e \ = 2 , d e u x de £ = 4 , t r o i s d e % = 6 , e t , e n g é n é r a l ,
i
d e E = Ï". D o n c , si l ' o n r é u n i t l e s v a l e u r s i d e n t i q u e s d e m a n i è r e à
n ' a v o i r p l u s à faire q u ' u n e s e u l e s o m m a t i o n p a r r a p p o r t à c h a c u n e d e s
v a r i a b l e s £, YI, Ç, o n a u r a l e s e x p r e s s i o n s s u i v a n t e s , é g a l e s a u x e x p r e s sions ( 1 5 ) :
(16)
ISS'AJL,
iSçTjArX,
|SÇUX.
I I . Parcelles de nature différente appartenant à une même rangée h. —
L e s f o r m u l e s d e s c o m p o s a n t e s s o n t ici
(17)
SUIIB,
ST.ATIÎ,,
S^ub.
On v e r r a f a c i l e m e n t q u e \ r e ç o i t t o u j o u r s u n e v a l e u r i m p a i r e ; on se
r e n d r a c o m p t e é g a l e m e n t q u e l ' o r d r e d e s p a r c e l l e s , s a v o i r si À e s t i n térieure et B extérieure o u B intérieure et A e x t é r i e u r e , est indifférent,
p u i s q u e l ' o n c o n s i d è r e t o u j o u r s l ' a c t i o n d e la p a r c e l l e i n t é r i e u r e s u r la
p a r c e l l e e x t é r i e u r e . Cela p o s é , o n t r o u v e r a u n e v a l e u r d e E = 1 , t r o i s
d e £ = 3 , e t , e n g é n é r a l , i d e \ = i. L e s e x p r e s s i o n s ( 1 7 ) d e v r o n t d o n c
ê t r e r e m p l a c é e s p a r l e s s u i v a n t e s , o ù il n ' y a u r a p l u s q u ' u n e s o m m a t i o n à faire p a r r a p p o r t à c h a c u n e d e s v a r i a b l e s ,
(18)
S^/NFB,
SMIFE,
S^ZaSb;
les v a r i a b l e s vi e t k s o n t t o u j o u r s p a i r e s d a n s l e c a s p r é s e n t , p a r c e q u e
les d e u x p a r c e l l e s a p p a r t i e n n e n t à u n e m ê m e r a n g é e h.
I I I . Parcelles de nature différente, situées sur des rangées h différentes.
— Les valeurs des composantes sont données p a r les formules ( 1 7 ) , et
e n e m p l o y a n t l e s m ê m e s r a i s o n n e m e n t s q u e d a n s le c a s p r é c é d e n t , o n
a r r i v e r a a u x f o r m u l e s ( 1 8 ) ; s e u l e m e n t ici £, r,, '(, p o u r r o n t offrir
toutes
les c o m b i n a i s o n s p o s s i b l e s d e p a r i t é e t d ' i m p a r i t é .
Si l ' o n c h a n g e \, ri, Ç d e s i g n e , o n r e t o m b e s u r u n e p a r c e l l e d e m ê m e
n a t u r e , c a r l e s p r o j e c t i o n s d e la d i s t a n c e à la p r e m i è r e p a r c e l l e s e r o n t
2 E , 2 7 ) , 2 C , p a i r e s p a r c o n s é q u e n t ; l ' a n c i e n n e e t la n o u v e l l e
parcelle
ont donc les m ê m e s conditions de parité et d'imparité, ce q u i caractérise l'identité des parcelles dans les m é l a n g e s q u e nous
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considérons.
D o n c , ce c h a n g e m e n t d e s i g n e n'affecte p a s la v a l e u r de ii!>; il n'affecte
p a s d ' a i l l e u r s c e l l e d e s coefficients £ , £n,
on p e u t d o n c r e m p l a c e r
l e s e x p r e s s i o n s ( i G ) et ( 1 8 ) p a r la m o i t i é d ' e x p r e s s i o n s s e m b l a b l e s où
la s o m m a t i o n de \ d o i t , c o m m e c e l l e d e t \ et '(, ê t r e faite e n t r e =t oc .
a
L e s n u m é r a t e u r s d e s c o m p o s a n t e s d e la force é l a s t i q u e s e r o n t formés
p a r la r é u n i o n d e t o u t e s ces c o m p o s a n t e s p a r t i e l l e s . I n d i q u o n s l e u r
r é u n i o n p a r le s i g n e s o m m a t o i r e g, e t m e t t o n s e n d e h o r s le f a c t e u r .'
q u e n o u s v e n o n s d e voir r é p o n d r e a u x s o m m a t i o n s d e £ e n t r e ± x
n o u s trouverons les expressions suivantes des n u m é r a t e u r s des composantes élastiques :
r
(19)
| S
SÇ73 Ar^t - } -
( 1
SÇT-, A I R J ) ,
Il r e s t e à d i v i s e r c e s c o m p o s a n t e s p a r le q u a d r u p l e d ' u n p a r a l l é l o g r a m m e g é n é r a t e u r , soit, [\kl\ji — a , p o u r avoir les c o m p o s a n t e s de la
2
force é l a s t i q u e . O r , e n p o s a n t
(ao)
M = 3ÏU-l-3ÏU + . . . + 31ï, ,
1
on a, e n r é p é t a n t d e s c a l c u l s s e m b l a b l e s à-ceux d e s q u e l s on a d é d u i t
la f o r m u l e ( 1 0 ) ,
1
(21
p. a h
cos(a;h)
p a r c o n s é q u e n t , il suffira d e m u l t i p l i e r l e s e x p r e s s i o n s ( 1 9 ) p a r le s e c o n d m e m b r e de ( 2 1 ) p o u r o b t e n i r les c o m p o s a n t e s de la force é l a s t i q u e ; elles s e r o n t
( 2 2 )
{
E
^
E
V
= i cos(.*/0s(S^
P
=
|
P
cos
A )
S
( S
SI, A *
G
^
2
S S
-H a
S
2
A
2
^ hk
^
G ) ,
L e s r a p p o r t s d e s é q u a t i o n s ( 1 1 ) e t ( 2 2 ) s o n t é v i d e n t s ; il e s t visible
a u s s i q u e , e n p r o c é d a n t c o m m e a u n ° 4·, o n t r o u v e r a i t , p o u r l e s c o r p s
m é l a n g é s , u n e e x p r e s s i o n d e s forces é l a s t i q u e s s u r u n p l a n n ' a p p a r t e -
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SECTION I I . —
FORCES ÉLASTIQUES.
31
n a n t p a s à l ' a s s e m b l a g e , l a q u e l l e s e r a i t a n a l o g u e à c e l l e d e s formules ( i 3 ) .
T o u s l e s c a l c u l s s u r E., r , C q u ' o n p o u r r a faire a v e c l e s f o r m u l e s (i i)
p o u r r o n t l ' ê t r e é g a l e m e n t a v e c l e s f o r m u l e s (22). N o u s p r o f i t e r o n s d e
c e t t e o b s e r v a t i o n p o u r é t e n d r e a u x f o r m u l e s (22) l e s d é d u c t i o n s q u e
nous allons, au moyen de calculs plus rapides, tirer des formules ( 1 1 ) .
6 . Il e s t é v i d e n t q u e l e s c o m p o s a n t e s d e s forces é l a s t i q u e s s u r l e s
deux autres plans réticulaires conjugués, déterminés p a r l e s r a n g é e s /
et h, h et k se d é d u i r o n t , p a r u n e s i m p l e p e r m u t a t i o n d e l e t t r e s , d e s
f o r m u l e s q u i d o n n e n t l e s c o m p o s a n t e s s u r le p l a n h ( c e l u i d e s r a n g é e s
k e t / ) . P o u r u n c o r p s p u r , on l e s d é d u i r a d e s f o r m u l e s ( n ) ; e l l e s s e r o n t , p o u r le p l a n k ( c e l u i d e s r a n g é e s / et h),
(23)
E
y
x
=
~ p cos(yk)
S £ T , hk
{E
y
y
=
F
SV/R
E
y
=
£ p cos(jk)
z
cos(vk)
P
2
Sr£kl
^;
et, s u r le p l a n / ( c e l u i d e s r a n g é e s h et k),
I E l
l „
x
=
l p c o s ( z l ) S $ l h
—,
m
= \ C Q S { Z I )
P
S
2
SÇ Z ^.
On n e d o i t p a s o u b l i e r q u e , d a n s l e s f o r m u l e s ( 1 1 ) , (23), (2Ì), la l e t t r e
x, ou y, o u s , m i s e d a n s l ' e x p r e s s i o n de l ' a n g l e , y i n d i q u e la n o r m a l e a u
plan.
La c o m p a r a i s o n d e s é q u a t i o n s ( n ) , (23), (24)» où l e s s o m m e s s o n t
prises p a r r a p p o r t a u x m ê m e s variables et entre les m ê m e s limites,
d o n n e i m m é d i a t e m e n t les relations suivantes :
cos(yk)
!
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E
x
cos(S/) E
y
cos(xh)E.
x
y
z
=
cos(a:h)
E
y
x
— COS(JA-) E - ,
R
=
cos(zl) E
x
z
,
32
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
et
cos(a;/i)
.
,
x
— Eyy-f"
cos(j/f)
cos(W)
x
y
2 a
1
.
y
2
J
cos(ja:)
è
~ "
„
2
cos(«/)
C
cos(a;A)
Les équations ( a 5 ) sont applicables sans c h a n g e m e n t
„
J
aux corps mé-
l a n g é s ; q u a n t à l ' é q u a t i o n ( 2 6 ) , elle y d e v i e n t
I
\
.
(
.
3
7
cos{xh)
J
)
t
T
J
·
+
x
x
I
r
ws(yk)
r
cos(sf)
26
2 a
cos( /t)
t
y
2
+
ac
c^(ï7)
7
V
_,
M r » -
(cosxA)
1
M r ' -
7 . Si l e p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r
^
1
dont on a p r i s les côtés
pour
axes était r e c t a n g u l a i r e , les angles des axes entre e u x seraient droits,
d'où l'on aurait
a — o,
6 =
0,
c =
o ;
les a n g l e s d e s a x e s c o o r d o n n é s ou r a n g é e s d i r e c t r i c e s a v e c les n o r males aux plans coordonnés seraient n u l s ; d'où
cos(a;A) =
i,
cos(j £ ) =
1,
cos(s/) =
i.
P a r s u i t e , l ' e x p r e s s i o n ( 1 ) d e la d i s t a n c e d e v i e n d r a i t
(28)
r ^ ^ y + r i ' Â - ' + Ç
1
;
5
.
D o n c , p o u r c h a q u e v a l e u r d e \ , il y a u r a i t d e s g r o u p e s d e d e u x c e n t r e s
opposés + 7 ) , ,
+ Ci e t — 7 ) , —
qui donneraient une même
valeur
d e r a v e c d e s v a l e u r s é g a l e s e t d e s i g n e s o p p o s é s p o u r £ 7 ] , X£. DoncE^.,.
et E
xz
sont nulles, comme formées de valeurs égales deux à deux et
de s i g n e s c o n t r a i r e s . P a r e i l l e c h o s e a l i e u p o u r le p l a n d é s u e t
pour
c e l u i d e s z ; il s ' e n s u i t q u e l e s c o m p o s a n t e s t a n g e n t i e l l e s ( ' ) E ^ , E ,
xz
( ! ) C'est-à-dire situées dans le plan. J'emploierai à l'avenir c e t t e expression, e m p r u n t é e à
Lamé, qui s'en sert dans s e s Leçons sur la tliéorie de V élasticité.
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SECTION I I .
E,
}S
E,
xx
E^., E
îr
—
FORCES ÉLASTIQUES.
33
s o n t n u l l e s et q u e les forces é l a s t i q u e s s e r é d u i s e n t à
l e u r s c o m p o s a n t e s n o r m a l e s , d o n t n o u s g a r d e r o n s s e u l e m e n t le p r e m i e r i n d i c e . D a n s ce c a s s p é c i a l , les é q u a t i o n s ( 2 5 ) s ' a n n u l e n t et l'éq u a t i o n (afj) d e v i e n t
Enfin, si le p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r e s t un c u b e , les forces
élas-
t i q u e s s o n t v i s i b l e m e n t é g a l e s s u r les t r o i s f a c e s , et l ' é q u a t i o n ( 2 9 ) d e vient, en y s u p p r i m a n t l'indice qui n'a plus de raison d ' ê t r e ,
1
•+- m
(3O)
f„
E ^ I P S £ = - ^ -
Les é q u a t i o n s r e l a t i v e s a u x m é l a n g e s p e u v e n t s u b i r d e s r é d u c t i o n s semblables.
8 . C h e r c h o n s a c t u e l l e m e n t , en f o n c t i o n d e s c o m p o s a n t e s ( 1 1 ) , ( 2 3 ) ,
( 2 4 ) , les c o m p o s a n t e s p a r a l l è l e s a u x x, y, s de la force é l a s t i q u e relative à u n p l a n q u e l c o n q u e p a s s a n t p a r le p o i n t 0 . N o u s s u p p o s e r o n s
d ' a b o r d q u ' i l s ' a g i t s e u l e m e n t d ' u n p l a n r é t i c u l a i r e d e l ' a s s e m b l a g e , et
n o u s d é s i g n e r o n s p a r a, b , c les c o s i n u s q u e la n o r m a l e à ce p l a n L,
a u s s i a p p e l é e n o r m a l e L , fait r e s p e c t i v e m e n t avec les a x e s d e s x, y, ~.
Le p l a n r é t i c u l a i r e L p e u t ê t r e c e n s é f o r m e r , a v e c d e u x a u t r e s p l a n s
r é t i c u l a i r e s c o n j u g u é s , u n n o u v e a u s y s t è m e d ' a x e s c o n j u g u é s x', y', z'
d o n t il s e r a i t le p l a n x ; les c o m p o s a n t e s de la force é l a s t i q u e s u r ce
plan p a r a l l è l e m e n t a u x x, y', s ' s e r a i e n t d o n c d o n n é e s p a r les form u l e s ( 1 1 ) , où il suffirait de m a r q u e r d ' u n t r a i t l e s p a r a m è t r e s et l e u r s
coefficients; e l l e s s e r a i e n t p a r c o n s é q u e n t
' E^,^=
(3I)
/E^-y
—
E,, . =
3
l
2
P COS(A;'A') S Ç ' V J '
2
^ ,
IPCOS(A;'A')S5'T/A'A'^,
[ PCOS(VA')S5'Ç7'A'
—,
Les valeurs x n ' o n t pas reçu d'accents, parce qu'elles sont indépendantes du choix des rangées directrices.
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3/j
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
R e m p l a ç o n s la c a r a c t é r i s t i q u e x' d u p l a n p a r L e t r e p o r t o n s - n o u s a u
n° 12 d e la s e c t i o n I ; r e p r e n o n s les r a i s o n n e m e n t s q u i y s o n t faits p o u r
la t r a n s f o r m a t i o n d e s c o o r d o n n é e s e t a p p l i q u o n s - l e s à l a t r a n s f o r m a tion d e s c o m p o s a n t e s : n o u s t r o u v e r o n s q u e l e s c o m p o s a n t e s
parall è l e s a u x a x e s d e s x, y, s s o n t d o n n é e s p a r l e s r e l a t i o n s s u i v a n t e s :
l 3 ,
y
^T
T
T
E z — EL*' •+- ^-E y -+- ^- E *.
a j
(¿2)
L
L
Lz
Remplaçons actuellement, d a n s les seconds m e m b r e s , les composantes
é l a s t i q u e s p a r l e u r s v a l e u r s ( 3 i ) e t faisons e n t r e r l e s coefficients d e s
forces é l a s t i q u e s s o u s le s i g n e s o m m a t o i r e , c e q u i e s t p e r m i s ; n o u s
a u r o n s , p o u r l e s coefficients d e
E,,.
Dans
B a n s EL
°~,
Ç'A'(£, \'-+T
Ê, V +
E,Ç')
A=
T
- f - i 2 / - f - T j Ç ' ) À' —
Y
+
3
D a n s E,,
Ê' A'(Ç, 5' - h
3
Ç Ç')/ ^
a
î+
\\r +
I',T] - + -
( î ' . Ç - t - Ê'.r, +
h'\h,
ï)
t
X^h'^k,
F,?)*'?',
en v e r t u d e s é q u a t i o n s ( n ) et (9) d e la p r e m i è r e S e c t i o n . E n m e t t a n t
ces n o u v e l l e s e x p r e s s i o n s s o u s l e s s i g n e s s o m m a t o i r e s , p u i s é l i m i n a n t
les formes s o m m a t o i r e s a u m o y e n d e s é q u a t i o n s (11), (23) e t (24),
nous trouverons
.'
cos(x'h')
t
j
L
x
'~
_
L
z
A
l\h'
ra+
cos(^/0
k
g; h' cos(x'h')
~
h
cos(xh)
cos(x'h')
cos(jA)
Ç' A'
3
y
x
+
~ T ~
S, A' c o s ( j ? 7 t ' ) _,
x
s
+
k
cos{yk)
y
cas'*'h')
h
cos{zl)
" '
cos(x'h')
z
+
l
cos(s/)
Or o n v o i t f a c i l e m e n t q u e
(34)
$;A'cos(iï-'A') =
c a r ç\h', E'„A',
Aa,
?' A ' c o s ( ^ ' A ' ) — kb,
2
£' A ' c o s {x'h')
3
=
le;
sont les projections respectives dans le système des
a x e s x', y , z' d e s p a r a m è t r e s h, k, / s u r l'axe d e s x' (voyez le n" 1 2 ,
1
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S e c t . I ) , et ces p r o j e c t i o n s , m u l t i p l i é e s p a r c o s ( ; r ' A ' ) , s o n t les p r o j e c t i o n s d e s m ê m e s p a r a m è t r e s s u r la n o r m a l e au p l a n L, p u i s q u e c e t t e
n o r m a l e est p e r p e n d i c u l a i r e a u x a u t r e s p r o j e c t i o n s . Or les s e c o n d s
m e m b r e s (34) s o n t l e s p r o j e c t i o n s d i r e c t e s d e h, k, l s u r la n o r m a l e L.
Les é q u a t i o n s (33) d e v i e n n e n t d o n c d é f i n i t i v e m e n t
E
L
J
a
.=
b
(3J)
<Hi.r =
E
L =
=
a
c
cos(/A)
„
J
y
x
^ ~
c
y y
_
E
cos(a;/i)
*
+
COS(KA)
+
b-
+
3
cos(jA-)
„
cos(s/)
b
x y
cos(.r/0
a
+
™
C O S I > / I )
"
E
y z
„
r
cos(^)
c
cos(~£)
'
E
Z l
'
Si n o u s n o u s r e p o r t i o n s a u s e c o n d c a s , c e l u i du p l a n n o n r é t i c u l a i r e
t r a i t é au n ° 4, n o u s v e r r i o n s q u e l e s r a i s o n n e m e n t s d e m e u r e r a i e n t l e s
m ê m e s , l e s c a l c u l s a u s s i , e t q u ' o n r e t o m b e r a i t s u r les f o r m u l e s ( 3 5 ) ;
il est i n u t i l e d ' e n t r e r d a n s d e p l u s g r a n d s d é v e l o p p e m e n t s . Les é q u a t i o n s (i3) p e u v e n t m ê m e c o n d u i r e a u x f o r m u l e s (35) en y s u p p o s a n t
q u e le p l a n L e s t u n p l a n r é t i c u l a i r e q u e l c o n q u e en d e h o r s d e s r a n g é e s
d i r e c t r i c e s ; n o u s r e v i e n d r o n s d a n s la s e c t i o n V s u r c e t t e d e r n i è r e m a n i è r e d ' e n v i s a g e r la q u e s t i o n .
N o u s s o m m e s d o n c a u t o r i s é s à p o s e r en p r i n c i p e q u e les é q u a t i o n s
(35) lient aux c o m p o s a n t e s élastiques, sur trois plans conjugués donn é s , l e s c o m p o s a n t e s é l a s t i q u e s r e l a t i v e s à t o u t p l a n p a s s a n t p a r l'orig i n e , q u ' i l s o i t r é t i c u l a i r e o u n o n , e t cela p o u r t o u t c o r p s r é g u l i è r e ment distribué, p u r ou mélangé. Mais, tout en ne d é p e n d a n t plus des
p a r a m è t r e s , l e s é q u a t i o n s c o m p o r t e n t u n e d e r n i è r e t r a c e de l ' a s s e m b l a g e , s a v o i r q u e l e s p l a n s x, y, s s o i e n t c o n j u g u é s . N o u s a l l o n s
c h e r c h e r d e s r e l a t i o n s q u i en s o i e n t c o m p l è t e m e n t e x e m p t e s ; m a i s
n o u s e x a m i n e r o n s a u p a r a v a n t d e u x cas p a r t i c u l i e r s de ces é q u a t i o n s .
9. Si les trois p l a n s c o o r d o n n é s ( e t e n m ê m e t e m p s c o n j u g u é s ) s o n t
les faces i n d é f i n i m e n t p r o l o n g é e s d ' u n p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r r e c t a n g u l a i r e , l e s c o s i n u s d e s a n g l e s (xh), (yk), (zl) d e v i e n d r o n t é g a u x
à l ' u n i t é , et les c o m p o s a n t e s t a n g e n t i e l l e s s e r o n t n u l l e s ( n ° 7 ) .
é q u a t i o n s (35) se r a m è n e r o n t d o n c à la f o r m e t r è s s i m p l e
(36)
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E,.. — a E j , ,
r
E
I x
=
bEj-,
EL
— r.E-
Les
E n f i n , si le p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r e s t u n c u b e , e l l e s d e v i e n d r o n t
E
(37)
L
bE,
E
L l
= cE;
d ' o ù l'on c o n c l u t q u e
E,,= E
(38)
et est p e r p e n d i c u l a i r e a u p l a n L. D o n c , d a n s t o u t a s s e m b l a g e o ù il y a
u n p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r de f o r m e c u b i q u e , la force é l a s t i q u e est
c o n s t a n t e e t n o r m a l e à t o u s les p l a n s , ce q u i c o n s t i t u e le fait c o n n u
s o u s le n o m d e principe de Pascal. R é c i p r o q u e m e n t , d a n s t o u t a s s e m b l a g e où le p r i n c i p e de P a s c a l e x i s t e , il faut q u ' i l y a i t , soit d a n s cet
a s s e m b l a g e , soit d a n s u n a u t r e d o n n a n t la m ê m e r é p a r t i t i o n de forces
é l a s t i q u e s , u n p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r q u i soit u n c u b e . Toutefois
l ' o r i e n t a t i o n de ce c u b e e s t c o m p l è t e m e n t i n d é t e r m i n é e .
Ces c o n c l u s i o n s s u p p o s e n t les m o l é c u l e s c o n c e n t r é e s en l e u r s c e n t r e s
de g r a v i t é . D a n s le cas g é n é r a l o ù u n e t e l l e h y p o t h è s e e s t i n a d m i s s i b l e ,
les c o n d i t i o n s d e l ' e x i s t e n c e d u p r i n c i p e d e P a s c a l s o n t p l u s c o m p l i q u é e s et se r a p p o r t e n t s e u l e m e n t a u x forces é l a s t i q u e s m o y e n n e s .
1 0 . S o i e n t a;,, y,, z, les c o o r d o n n é e s d ' u n n o u v e a u s y s t è m e
d'axes
q u ' o n s u p p o s e r a r e c t a n g u l a i r e , e t en m ê m e t e m p s les d é s i g n a t i o n s des
plans directeurs a u x q u e l s ces c o o r d o n n é e s s o n t p e r p e n d i c u l a i r e s .
On
se p r o p o s e d e d é t e r m i n e r l e s c o m p o s a n t e s r e c t a n g u l a i r e s d e s forces
é l a s t i q u e s s u r c h a q u e p l a n x, y ou z, au m o y e n d e c e l l e s q u e l ' o n connaît sur les plans conjugués.
On c o m m e n c e r a p a r d i s p o s e r c o n v e n a b l e m e n t l e s f o r m u l e s ( 3 5 ) e n
y r e m p l a ç a n t a, b , c p a r l e u r s v a l e u r s r e s p e c t i v e s c o s ( L a ; ) , c o s ( L y ) ,
c o s ( L s ) . Cela fait, si n o u s c o n s i d é r o n s le p l a n x , n o u s r e m p l a c e r o n s ,
t
d a n s l e s f o r m u l e s d o n t il s ' a g i t , L p a r ce,, e t l e s f o r m u l e s ( 3 5 )
nous
d o n n e r o n t i m m é d i a t e m e n t les c o m p o s a n t e s de E. , p a r a l l è l e m e n t a u x
r
-x, y, z- ; e l l e s s e r o n t
(39)
<E
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On en d é d u i t i m m é d i a t e m e n t l e s c o m p o s a n t e s d e E
X i
parallèlement aux
a x e s x ,y,, z p a r l e s f o r m u l e s de la c o m p o s i t i o n d e s f o r c e s ; e l l e s s o n t :
K
t
COS ( OCX
E
*,*,—
\
[ E „ C O S ( M , ) - H E ^ C O S ^ I )
- ^ i [ ^ J j
c0s (
cos
zjr
-+- cos(zl)
( ') {•£
cos f xx
E
c r
=
"''
(40)
c o s ^ x h )
•+- ^
J
j
COS (
.77 "\
cos(z/
y
+
COS ( X X
E
z
*> '
=
E
[
^
j
cos(j7.27,) + E , c o s ( W i )
r
x *
cos(zx )'],
1
2
s
x
(
+E .cos(jv7,)H-E
y i )
;c}
[ E ^ cos(^7,) 4 - E
;
R
cos(77,) -+- E
Y
cos(«7,)]
AR3
cos^)]
Z
cos
M
(.57,)],
)
c o s
cos^V ^
C
o
r r
Exx
+
c
[E^cosC^j,) +E cos(7/,) + E
cos (a: A) ^
+
H-E.
)
cos ( y
i
<j
E„cos(^,)]
+
"voc "\
c o s * z l )
C
x
^~"
a :
S l
+
( - )
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S
^- ')
x
z
I
+E cos(75,) + E
r r
+
i )
W cos(7^) + E
Ï
c 0 S
W
3
cos ( e s , ) ]
M
R
cos(5s,)]
3
E
( j i ) + =* cos ( s a , ) ] .
On a u r a d e m ê m e , p o u r l e s c o m p o s a n t e s d e la force é l a s t i q u e s u r l e p l a n j , ,
-+-
-t-
[E
^ ^ ( j r / t )
c
o
s
^
COS(3 L j
cos(a-x,) + E
Y A :
cosCa^!) + E
[E^
R Y
:
R
c o s ( / / i ) L * * cos ( ^ 7 , ) + E *
Y
cos(7^,) +
E
cos(^«,)]
Y L
c o s ( 7 a ? , ) -t- E -
COS(.Z.Z\)],
Z
COS f o c y * ^
E
(40
y , y , ~
E
1
cos (
{
+ c^y^T
+
E
* « .
A J !
cos
(¿7,)]
)+ E *
cos
(37,)]
E
yVi }
w«j>/7
7 o s C / h )
=
cos (77O +
E
[ r^cos(^ ) + E
7 l
[
E
"
c o s
R Y
cos
(77,
F
^^')
+- ^r c o s ( 7 j , )
E
[ ^ « « ( " i ' ) + *r cos(7^)
Y
+
E
^
c
o
s
( ~ 7 . ) ] -
H - E « C O S ( » , ) ]
COS ( V V« J
+-
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{yk)
cos
[E
r a :
cos(^ )-t-E^cos^,) +E
I
y l
cos(s
S l
)]
^8
L E S LOIS D E LA MATIÈRE.
•H, pour les composantes sur le plan z ,
x
COS f l'Z \
E
- * ' = -rJrJsT^y [E™cos(^,)
=
- 3 "
s
8
3a?l)]
rJrJsl^A) [E^cos( rv ) •+- E^cos(//,) -t-E^cos^v,)]
[E ,cosi^O -+-E cos(j/i) -r-E -cos (*>·,)]
1
i
^J^Jy
(ia)
-r-E^cosCr^i) +E, co (
}
COS ( ^C^j
E
' '
1
ya
/r
r
C0S(ZZj ^
C 0 S
( J ) - [ E ^ c o s i ^ j , ) -r-E^cost/rO -t-E.-cosf^,)],
E
C0S
X
E„-, = COS(arA) ^ ^ ( -')
r
COSÍ "\ Z
+
+
+E^COS(/-i)
-r-E^COS^)]
)
eos(V*) [E^cosCars,)
1
8
+ E cos(j5i)
-f-
r r
5
^oirí/)' [E»™ ^ !)
H-E
3 Y
E^cos^,)]
-r-Ea-COS^flj)].
Ç0S(7«,)
1 1 . La c o m p a r a i s o n de c e s f o r m u l e s e n t r e e l l e s d o n n e i m m é d i a t e m e n t l e s é q u a t i o n s s u i v a n t e s , q u e L a m é avait o b t e n u e s p a r d e s c o n s i dérations mécaniques ( ) :
(
(43)
E^ = E , Ej- = E- , E, ~~= E ;
lXl
yix¡
l3l
iri
i:Cl
XiZl
c'est-à-dire q u e les c o m p o s a n t e s t a n g e n t i e l l e s de m ê m e s i n d i c e s s o n t
é g a l e s e n t r e e l l e s , q u e l q u e s o i t l ' o r d r e d e s i n d i c e s . On v o i t en effet
q u e , d a n s les v a l e u r s c i - d e s s u s d e c e s c o m p o s a n t e s t a n g e n t i e l l e s ,
E,
E , E o n t l e s m ê m e s coefficients t r i g o n o m é t r i q u e s . Q u a n t a u x c o m posantes tangentielles E , E ,
on p e u t l e s p e r m u t e r a u m o y e n
des é q u a t i o n s (25), de m a n i è r e q u e E ^ , e t E ,
par exemple, soient
c o m p o s é e s d e s m ê m e s t e r m e s . A i n s i l'on p e u t r e m p l a c e r d a n s la s e conde relation ( 4 o ) , qui d o n n e E ,
les deux t e r m e s
xx
yy
zz
xy
xz
XtX¡
X[Yi
C °
S
( ^ l )
E
c
o
s
f
y
r
(') Leçons sur la théorie mathématique
notations.
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)
S
, CO (ï^l)
de l'élasticité,
E
f
o
s
(
s
déjà citées, p. 1 7 , avec d'autres
par les deux autres
c o s ^ y , )
Y^-ri
E
x
y
cos(jVi)„
E
c o s ( YXI ) H
y
· ,
v
c o s { x x t ) ,
x
qui a p p a r t i e n n e n t à E ^ , e t a i n s i d e s u i t e . D e m ê m e p o u r l e s a u t r e s
composantes tangentielles.
r i
On t r o u v e r a e n c o r e a i s é m e n t , e n a d d i t i o n n a n t e n t r e e l l e s l e s t r o i s
composantes n o r m a l e s , puis se servant de formules trigonométriques
c o n n u e s s u r l a c o m p o s i t i o n d e s a n g l e s et d e s r e l a t i o n s ( 2 5 ) ,
avec u n
corps p u r ,
(44)
E ^ . +E^.+
E ^ i p S s ^ - ^ :
et a v e c u n c o r p s m é l a n g é ,
(45)
E ^ + E ^ + E , , = ^ ( S S ±^AA
1
+
a
S
ï
± ^ . 3 R ï î / - y
a
12.
L e s é q u a t i o n s (4o), (4 )» ( 4 ) p e u v e n t ê t r e r e p r é s e n t é e s p a r d e s
f o r m u l e s t r è s s i m p l e s q u i s e r o n t u t i l e s p a r la s u i t e .
Rapportons les coordonnées de centres de molécule ou parcelle aux
coordonnées rectangulaires œ , , y , , s et posons
T
/ \ x ,
(46)
— \ h
cos(axr!)
-H r k
' A j !— \ h
cos(^/,)
-\-t
[ As
C 0 S ( ^ ! )
-H r k c o s ( y z i )
1
=
% h
t
c o s ( y x i )
A- c o s ( y j )
i
1
t
·+
c o s ( z x
-{-
i
) ,
t l c o s ( z y i ) ,
-H 1 1 c o s { z z
i
) .
La p a r t i e c o m p r i s e d a n s l a p r e m i è r e l i g n e d e E ^ ^ (4o) e s t , e n y r e m p l a ç a n t l e s c o m p o s a n t e s d e s forces é l a s t i q u e s p a r l e u r s v a l e u r s t i r é e s
des r e l a t i o n s ( i î ) , ( 2 3 )
et
(24),
-j-p
2
cos(^37,)S[? /t
=
2
cos(xj!)
-1-
h k
c o s ( y y i )
+
Q l h
c o s ^ ^ ) ] - ^
-ipcos(a?a; )SUA y ^,
1
i
1
en v e r t u d e la s e c o n d e é q u a t i o n (46). D e m ê m e , la p a r t i e c o m p r i s e
d a n s l a s e c o n d e l i g n e d e ïï
sera
XtYi
jp
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cos(jx,)ST A-Ay
1
1
^ ,
4o
LES
LOIS
DE
LA
MATIÈRE.
e t la p a r t i e c o m p r i s e cïans la t r o i s i è m e l i g n e s e r a
ip
cos
(.sa;,) S ç / A y ,
— •
On a d o n c , e n s u b s t i t u a n t c e s e x p r e s s i o n s d a n s la s e c o n d e ( 4 o ) ,
E
ZlJ
. , = -J-pS [? A cos(xxi)
= i S
P
A3?! A / !
+
k cos (yxi
) -+-
cos(s^, )]A
—
—,
e n v e r t u de la p r e m i è r e (46)· Les a u t r e s c o m p o s a n t e s , t r a i t é e s d e la
m ê m e m a n i è r e , d o n n e r a i e n t des r é s u l t a t s a n a l o g u e s , e n s o r t e q u ' o n p e u t
écrire les formules très simples
Ea:
E
iœi
r,r,
E,
E
l S l
a i y i
| E-
ia;i
W
= ï p S Ax\ Ax
—>
t
= lpS
Aj
t
=lpSA ,
3
A/,
^ >
^ é ;
= | p S ^ i Aji ^ ,
= { p S \z
1
\x,
Le c a l c u l q u i s e r t à l e s é t a b l i r f o u r n i t u n e s e c o n d e d é m o n s t r a t i o n d e s
équations (43).
Les corps m é l a n g é s c o n d u i r a i e n t à des formules analogues a u x équat i o n s (46). H e s t i n u t i l e d ' e n d é v e l o p p e r l e s c a l c u l s t a n t i l s r e s s e m b l e n t à c e u x q u e n o u s a v o n s d o n n é s . On a d ' a i l l e u r s p e u d e m o t i f s p o u r
les m e t t r e en l u m i è r e , c a r i e s m é l a n g e s de corps m o n o a t o m i q u e s sont
encore p l u s r a r e s q u e ces d e r n i e r s , et c'est p o u r ces m é l a n g e s seulem e n t que les f o r m u l e s seraient valables, ainsi que n o u s l ' e x p l i q u e r o n s
à la S e c t i o n I I I .
1 3 . Il s ' a g i t a c t u e l l e m e n t de t r o u v e r , s u r u n p l a n q u e l c o n q u e p a s s a n t p a r l ' o r i g i n e , l e s c o m p o s a n t e s d e la force é l a s t i q u e p a r a l l è l e a u x
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· E n désignant ce plan comme précédemment p a r L, et rec o u r a n t a u x é q u a t i o n s ( 3 5 ) , o ù j e r e m p l a c e r a i a, b , c p a r l e s c o s i n u s
q u e c e s l e t t r e s d é s i g n e n t , j e t r o u v e i m m é d i a t e m e n t , a u m o y e n d e s form u l e s c o n n u e s de la c o m p o s i t i o n des forces,
XT,y,,
COS(LIE)
^
H - E ^ C O S ^ . ^ ) H- E ^ C O S ( * ; £ , ) ]
COS(LY)
T-^Ï\ [ E Y ^ C O S F A ; ^ ) -+- EYY COS (YA?! ) -I- E C O S ( S A ? ! ) ]
H
RZ
COS(LS)
H
y—RR
1h
:
c o s t a c i )
x
+
E - C O S C / ^ ! ) HY
E
z
COS
z
)],
COS(LA?>
EI.,,
COS
\
1
( x â )
-T-E^COS^J,)
J*'
COS(LY)
(48)
+
C O
^
(
S
[
/ C )
7
COS ( S / )
E
^
C
O
S
(
X
X
[E«COS(^
L
7 L
)
+
E
) +
R Y
-R-E -COS(Z/!)]
X
COS(JJ )
- H E ^ C O S ^ ) ]
1
E , C O S ( X 7 , ) -+ - E - - C O S ( S Y , ) ] ,
R
I
COS(LA;)
EI.
+
Z
_1
COS(LY)
~~; " V ; EV-COSF.CCS.) +
COS(YÂ)
'
~
L
Y
V
E ^ C O S ^ , )
-• f - E ^ C O S ^ ^ ) ]
E
-T- E . C O S ( Z S I ) ]
R Y
COS(JS )
1
Y
c o s ( L s )
+
[E «COS(^ ) +
COS( /)
S
S
E
Z
Y
C O S ( J ^ i ) -4- E
T
3 2
COS ( « S i ) ] .
Considérons la p r e m i è r e des é q u a t i o n s ( 4 8 ) e t s u b s t i t u o n s a u x cosin u s d e (La?), ( L y ) , ( L z ) l e u r s v a l e u r s t i r é e s d e l a f o r m u l e
COS(UY) = C O S ( « X , ) C O S ^ A ^ )
+
COS(M_VI)
et n o u s v e r r o n s q u e l e coefficient d e
C O S C ^ ) -f- C O S ^ A , )
COS(VZI),
) sera
COS(LJT,
COSC^-.Z-,)
[ E ^ C O S ^ - R , ) - T - E ^ C O S C J A ? ! ) -T- E ^ C O S ( ^ , ) ]
2
COS(.r^I)
cos
( y k )
[EYA-COS^R!) - + - E
y
y
c o s ( y x
t
)
-+•
Ey.COS^ZJCI)]
COS(^ )
1
~
R
T
0
^ Y l J
[
Z
X
d'après la p r e m i è r e ( 4 o ) .
C
O
S
(
X
X
I )
+- E -
Y
C O S ( J X ! ) -+- E - -
COS(ZXI,)]
N o u s v e r r o n s d e m ê m e q u e l e coefficient d e
6
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^ 2
LES
c o s ( L j , ) sera E
ou E .,
ytXl
l e u r s de E
DE
LA
MATIÈRE.
e t celui d e c o s ( L z , ) , E * ^ o u E
XiJ t
et E
L y i
LOIS
i i X i
. L e s va-
d o n n e r o n t lieu à d e s r é d u c t i o n s s e m b l a b l e s , e n
L î i
s o r t e q u ' o n p o u r r a r e m p l a c e r l e s é q u a t i o n s (48 ) p a r l e s t r o i s s u i v a n t e s :
/ E ^ =:E
L
(49)
1
j : i X l
c o s ( L A 7 I ) H - E , c o s ( L / , ) -H E-, cos(Ls ),
x
r i
a : i
1
] EL —-E^^cosCLa;,)+E , , cos(Lj ) 4-E , cos(L2 )
( EL,, = E
cos ( L x ) - f - E
cos ( L j ) -+- E , cos ( L s, ).
r i
r
3i X l
l
:
l
y i 2 l
1
r
t
Sl s
3 l
1
!
C o m m e les é q u a t i o n s ( 3 5 ) , d ' o ù o n l e s a d é d u i t e s , l e s é q u a t i o n s (49)
sont applicables aux corps mélangés aussi bien q u ' a u x corps
purs;
e l l e s o n t s u r l e s p r e m i è r e s l ' a v a n t a g e de n e p l u s g a r d e r a u c u n e t r a c e
des assemblages et de d é p e n d r e s e u l e m e n t des forces é l a s t i q u e s
sur
trois plans p e r p e n d i c u l a i r e s e n t r e e u x , forces qui p e u v e n t être déterminées
expérimentalement.
1
P r e n o n s l e s Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité ( ) d e
L a m é , et n o u s y v e r r o n s q u e l e s é q u a t i o n s ( 2 ) de la p a g e 17 e t ( 8 ) d e
la p a g e 2 0 , q u ' i l d é d u i t d e c o n s i d é r a t i o n s m é c a n i q u e s , s o n t , a u x s i g n e s
r e p r é s e n t a t i f s p r è s , l e s m ê m e s q u e les é q u a t i o n s (43) e t ( 4 g ) .
Donc,
s a n s q u ' i l s o i t n é c e s s a i r e de r e p r e n d r e l e s c a l c u l s d e L a m é o u d ' a u t r e s
é q u i v a l e n t s , o n p e u t c o n s i d é r e r c o m m e a c q u i s à la t h é o r i e d e s c o r p s
m o n o - a t o m i q u e s les r é s u l t a t s n o m b r e u x q u e ce g é o m è t r e d é d u i t d e s
é q u a t i o n s d o n t il s ' a g i t . Je n e p e u x q u e r e n v o y e r à s o n O u v r a g e l e s l e c t e u r s d é s i r e u x d e les c o n n a î t r e . I l s s o n t s a n s u t i l i t é p o u r le r e s t e d e c e
travail.
( ! ) Paris, Bachelier, 1 8 0 2 . Déjà citées plusieurs fois.
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SECTION III.
FORCES ÉLASTIQUES. -
NOUVEAUX DÉVELOPPEMENTS.
§ I. — Approximations.
1. N o u s a v o n s d o n n é , d a n s la S e c t i o n I I , l e s p r o p r i é t é s e t les exp r e s s i o n s g é n é r a l e s d e s forces é l a s t i q u e s d a n s le cas où l'on p e u t n é g l i g e r l e s d i m e n s i o n s d e la m o l é c u l e ; il s ' a g i t d e - t r o u v e r m a i n t e n a n t
les m o y e n s d e c a l c u l e r c e s forces é l a s t i q u e s et d e r e c o n n a î t r e les c o n d i t i o n s q u ' e l l e s i m p l i q u e n t p o u r p o u v o i r ê t r e , c o m m e on l'a a d m i s
dans l'hypothèse fondamentale, fonctions d'actions très grandes aux
d i s t a n c e s i n s e n s i b l e s et i n s e n s i b l e s a u x d i s t a n c e s a p p r é c i a b l e s . 11 n ' e s t
p a s n é c e s s a i r e , p o u r a t t e i n d r e ce b u t , d e p r e n d r e l ' e x p r e s s i o n la p l u s
g é n é r a l e d e s forces é l a s t i q u e s ; il suffit de c o n s i d é r e r le c a s p l u s s i m p l e
d e s forces é l a s t i q u e s s u r l e s faces d ' u n p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r r e c t a n g u l a i r e ' ; ce q u ' o n e n c o n c l u r a p o u r l e s g r a n d e u r s d e s e x p o s a n t s n
sera v i s i b l e m e n t a p p l i c a b l e à t o u t e s l e s forces é l a s t i q u e s .
S o i t d o n c à effectuer l e s s o m m a t i o n s i n d i q u é e s d a n s l e s f o r m u l e s
s u i v a n t e s , q u ' o n d é d u i t d e s c o n s i d é r a t i o n s d u n° 7 , S e c t i o n II :
E , = i p S P ^ ,
m
2 1
OÙ
(
a
)
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,* —
r
l lï*-*-T*k*-><- *P
t
44
LES LOIS DE LA
MATIÈRE.
et
en m ê m e t e m p s q u e \, -r,, £ r e ç o i v e n t t o u t e s l e s v a l e u r s e n t i è r e s p o s s i b l e s c o m p r i s e s e n t r e ± ce .
R e p r é s e n t o n s p a r e. u n e g r a n d e u r d u p r e m i e r o r d r e , s e r v a n t d ' é t a l o n ,
et p o s o n s
(4)
h—^h',
k = Bk',
r =
zr',
C o n s i d é r o n s e n s u i t e à p a r t les différents t e r m e s q u i c o m p o s e n t l ' a c t i o n
m o l é c u l a i r e ; n o u s a u r o n s , pour u n des éléments de cette action,
-H s ^
~
n
r
^
+
l
h 1
=-tm
S
m t " ~
l
*''' '
r '
n
+
l
'
et n o u s é c r i r o n s , p o u r a b r é g e r ,
il s ' a g i t d e t r o u v e r d e s f o r m u l e s p e r m e t t a n t d ' é v a l u e r X„, Y„, Z„.
2. L ' u n e d e s s é r i e s
t e r m e s finis se d é d u i t
d e s d i f f é r e n c e s finies,
des séries faisant s u i t e
L a c r o i x a c o n s a c r é les
i
C
i
,
les p l u s c o m m o d e s p o u r évaluer des s o m m e s de
d ' u n e formule q u ' E u l c r a o b t e n u e p o u r le calcul
e t à l a q u e l l e , d a n s s o n Traité des différences et
a u Traité de Calcul différentiel et de Calcul intégral('),
n 9 1 3 à 9 2 0 : c'est ( )
o s
T .
2
du h
„
d? u
3
h
_
5
d u
&
h
o ù u et h r e p r é s e n t e n t r e s p e c t i v e m e n t u n e f o n c t i o n e t u n a c c r o i s s e -
(')
s
( )
Paris, Duprat, an VIII (1800), p . ga à 107.
I b i d . ,
p.
107.
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m e n t d e la v a r i a b l e , e t o ù B , , B , B , . . . s o n t l e s n o m b r e s c o n n u s s o u s
le n o m d e nombres de Bernoulli. P o u r t i r e r d e c e t t e i n t é g r a l e l a v a l e u r
de la s o m m e d e s q u a n t i t é s d e o à u, u c o m p r i s , il faut y a j o u t e r la
q u a n t i t é u, c e q u i r e v i e n t à c h a n g e r le s i g n e d u s e c o n d t e r m e ( ' ). C e t t e
f o r m u l e s o m m a t o i r e , é t e n d u e à u n e fonction <p d e t r o i s v a r i a b l e s x, y,
z e n t r e l e s l i m i t e s r e s p e c t i v e s a, b, c, A , B , C, p r e n d la forme s u i v a n t e ,
où h', U1' r e p r é s e n t e n t l e s a c c r o i s s e m e n t s finis d e s v a r i a b l e s x,y, z,
t a n d i s q u e v e s t l a f o n c t i o n d e x, y, z d o n t il faut s o m m e r l e s v a l e u r s
p o u r a v o i r ç> :
3
=
/
Da
+
+
+
s
/
/
b
DE
J
v
dxdydz
ïXXX
t
^X
oy
X
X
d
x
d
d
v
d
d
X
y
z
Z
i °
12
K'V
d
d dxdyd
* X X X
»
y
X X"X
ë
d x d y d z
X
w
d
X
X
R
TX
X
B
R
X
C
R
X
x
d * v
d
y
d
z
.
- w ô k * * * *
'b
xX
H'K'
VA
R XR XR
K
B
C
• / xX
éÀi?d i.
1
d
a
j
4
(')
VOIR l e n ° 897 dudit Traité", p. C6 à G , surtout 67.
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7
",
f
y
d
M
,
k
h'w
*
^
r
U
>
k
-*rl
+
B
r
l
k'I'*
f
,
*
f
B
,
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l'h'*
r
h'k'v
r
K
a
r
r
B
,
-^Ty
c
r
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< ^
c
T
3
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d
,
x
d
,
y
d
z
v
dxdydz
l
t
,
dxdydz
l
-^lJ
L L I F I
d*v
J.
r
h ' k ' *
+
r* r*
dï<&
c
r
d i>
3
d'c
c
r
r
c
à<v
,
J
,
,
J
+
Ici la q u a n t i t é à s o m m e r p o u r avoir X„ est d o n n é e p a r l ' é q u a t i o n
(7)
"
=
^
'
où
(8)
2
2
2
2
/•' =^/i' -+-7 /c' 41
x = \h',
y = T k',
t
z — Kl'.
Les l i m i t e s A , B , C s o n t t o u j o u r s i m m e n s e s ( n ° 6 , S e c t i o n I ) , p u i s q u ' e l l e s r e p r é s e n t e n t les q u o t i e n t s d e d i s t a n c e s finies, d i v i s é e s p a r les
d i s t a n c e s m o l é c u l a i r e s h'i, k't, l'z, et la s é r i e ( 6 ) s e r a t o u j o u r s c o n v e r g e n t e p o u r elles ; m a i s il n ' e n est p a s d e m ê m e d e s l i m i t e s a, b, c, 'qu'on
n e p o u r r a p a s p r e n d r e é g a l e s à h', k', 1', ni m ê m e à de t r è s p e t i t s m u l t i p l e s de ces q u a n t i t é s , p a r c e q u ' a l o r s la s é r i e d e v i e n d r a i t d i v e r g e n t e .
De p l u s , l ' i n t é g r a t i o n d e s t e r m e s d e c e t t e s é r i e c o n d u i t , p o u r b e a u c o u p
d ' e n t r e e u x , à d e s e x p r e s s i o n s fort c o m p l i q u é e s . D o n c , p o u r t i r e r un
p a r t i u t i l e de la f o r m u l e ( 6 ) , il faut : i ° l ' a p p l i q u e r s e u l e m e n t au d e l à
d e c e r t a i n s m u l t i p l e s assez g r a n d s de h\ k', l', e t i° y c h a n g e r l e s va-
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riahles en recourant aux coordonnées sphériques ('), c'est-à-dire en
posant
\ a: =cos<p, y = r'sintp cos^, z ~ r'sin<p sintp;
(9)
1
(
r'sin<f> dy .r'dfy dr';
dxdy dz —
puis, en prenant pour limite des intégrations,
4- =
2 7T
et
9 =
*>
et
r'=
R.
=
0
et
=
0
r'
Entre r = o et r' — r, on calculera directement les valeurs de v et l'on
en fera la somme; l'intégrale ( 6 ) , déterminée comme il vient d'être dit,
en fournira le complément.
1
3 . La marche à suivre est suffisamment expliquée et ne présente pas
de difficultés. Ainsi, par exemple,
devient, par la substitution de la valeur de v ( 7 ) ,
jl£
f f
I
[ ^ - C »
+
)'PÂR + (» + 0(»+3) £ ]rf^RFRRF=,
;
ï
puis, par le changement de variables,
12
k
h
C
—- J
dr'
,
/•* / '*
p^xj
h'* R
13
J
2
[ 2 — 5 ( / i + 1 ) c o s t f 4 - ( « + i ) ( n - f - 3 ) c o s * t p ] sinto rftf c/^
1
L(« — 2 ) · - "
T
"1 F
(/L — A) R "
20TT.
_ 1
J
|_
.
3
!\TC
"
5
On calculera de même les autres termes, et l'on trouvera, en désignant
(!)
Voir à c e sujet lo Cours de Calcul
Paris, Gauthier-Villars, 1878.
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infinitésimal, par J. Houël, t. I, p . 4^2 à 4 5 6 ;
4 8
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
par CX
n
la p a r t i e c o m p l é m e n t a i r e d e X „ ,
'h'k'V
\
3 ( «
—
4)*·*-*
—
— 2 ) v
i a ( «
12 (
—
+
| ( / i +
0 ( «
+
3 ) ] + .
l^[I(« + 0 -A («+»)(» +3)]
1
h'
4
A'/r'/' I 3 ( » —
2 ) l
[ 4 - ^ ( « + i )
_
4)R" *
i 2 ( « —
2)
A"-tI 2 ( « —
H
Z'
_ [ 4 _ M
(
„
+
1
)
+
i
(
n
+
0
(
n
+
3 ) ] 4
..
2
2)R
O r , si l ' o n se r e p o r t e a u x d é f i n i t i o n s de la force é l a s t i q u e , on voit t o u j o u r s q u e , m ê m e a l o r s q u ' o n n e p o r t e r a i t p a s à l'infini la l i m i t e d e s
m o l é c u l e s i n t e r v e n a n t d a n s l e s a c t i o n s m o l é c u l a i r e s , c e l l e - c i est t o u jours
finie,
et p a r c o n s é q u e n t R e s t i m m e n s é m e n t g r a n d p a r r a p p o r t
à h', k', l', 1, a i n s i q u e n o u s l ' a v o n s d i t p l u s h a u t . O n d o i t se r a p p e l e r
aussi que les intégrales
1
(n
—
4 ) i - " -
1
4
'
—
4)R""-~'
d o i v e n t ê t r e r e m p l a c é e s p a r l o g t , l o g R d a n s le c a s d e n = 4 . et q u ' i l
e n e s t de m ê m e d a n s le c a s d e n = 1 p o u r l e s i n t é g r a l e s
(n —
2)«.«-*'
D ' a u t r e p a r t , t o u t e s les v a l e u r s d e
(«—-^R»-*"
qu'on a calculées
séparément
s o n t finies, d é c r o i s s a n t e s et en n o m b r e f i n i ; si d o n c o n r e p r é s e n t e l e u r
s o m m e p a r A„, A„ s e r a u n e q u a n t i t é finie. On a u r a c o n s é q u e m m e n t
(n)
X„ = A„ + C X .
a
Cela p o s é , si T e s t a s s e z g r a n d p o u r q u e la p r e m i è r e p a r e n t h è s e d u
s e c o n d m e m b r e d e (10)
renferme une série c o n v e r g e n t e , au m o i n s à
d e m i , cette s é r i e r e p r é s e n t e u n e q u a n t i t é finie q u e l q u e s o i t l ' e x p o s a n t N ;
m a i s il n ' e n e s t p l u s de m ê m e d e la s e c o n d e p a r e n t h è s e , o ù 1{ e s t i m m e n s e . D ' a b o r d , p a r s u i t e d e c e t t e g r a n d e u r d e R, t o u s les t e r m e s a u t r e s
q u e le p r e m i e r s o n t n é g l i g e a b l e s , s a n s e r r e u r s e n s i b l e , à c ô t é d e c e l u i -
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SECTION III. —
ci,
4G
FORCES ÉLASTIQUES.
q u i est divisé p a r la m o i n d r e p u i s s a n c e d e R ; la s e c o n d e p a r t i e d u
c o m p l é m e n t se r é d u i t d o n c à
«_
4
1
lik'L
3 ( « — 4)
H»-*'
SOIT
2-irR
2
quand «
—
1 ,
quand n = 3,
_
4^ l o g R
3A'A:7' '
quand n = 4 ,
quand n =
5,
P a r t a n t , le s e c o n d t e r m e s e r a s u p é r i e u r 'au p r e m i e r , m ê m e
augmenté
d e À„, q u a n d n = 2 o u 3 ; q u a n d n = 4, il l u i s e r a a u m o i n s c o m p a r a b l e ; car alors logR croît avec u n e g r a n d e l e n t e u r et est très inférieur
à R ; a u c o n t r a i r e , ce s e c o n d t e r m e s e r a n é g l i g e a b l e à c ô t é d u p r e m i e r
q u a n d n = 5 ou est >
5, p u i s q u ' i l d e v i e n t u n e q u a n t i t é d u p r e m i e r
o r d r e o u d ' o r d r e s p l u s g r a n d s . D o n c l ' e x p r e s s i o n X „ , et p a r c o n s é q u e n t
la c o m p o s a n t e d e la force é l a s t i q u e , n e d é p e n d r a q u e d e s m o l é c u l e s
é l o i g n é e s p o u r l e s q u e l l e s RE
e s t u n e g r a n d e u r s e n s i b l e q u a n d n = 2 ou
3; e l l e d é p e n d r a a u m ô m e d e g r é d e s m o l é c u l e s é l o i g n é e s e t d e s m o l é c u l e s r a p p r o c h é e s q u a n d n = 4Î
dépendra
plus que des
enfin, q u a n d n = 5 o u > 5, e l l e n e
molécules excessivement
rapprochées.
Or,
c o m m e l ' e x p é r i e n c e n o u s m o n t r e q u e les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s n e d é p e n d e n t pas des m o l é c u l e s éloignées et ne constate, aux distances sens i b l e s , a u c u n e a c t i o n e n r a i s o n i n v e r s e d e la t r o i s i è m e o u d e la
t r i è m e p u i s s a n c e d e la d i s t a n c e , il f a u t q u e n s o i t > 4· L a f o r m u l e
qua(10)
se r é d u i t a l o r s à
(12)
Í
i
TT
c x
"
= m
u \
4
%
h'
I
1
+ (3n -( h ^i ) () k7' ^- h tl ' -) *<"
1
+
i
0 + * < » + a > ( » + 3 ) + ...]
L
g(«
B„;
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
—
2 ) i
n
- *
[ -H"
T
+
3)]+..
J
J O
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
n o u s p o u v o n s a c t u e l l e m e n t r e m p l a c e r l ' é q u a t i o n (i i) p a r c e l l e - c i :
(i3)
X„ = A „ - t - B „ ,
où A„ et B„ r e p r é s e n t e n t d e s g r a n d e u r s finies.
4 . E n i n t r o d u i s a n t d a n s la p r e m i è r e ( i ) c e t t e v a l e u r d e X„, on la ram è n e r a à la f o r m e
Or E^, A„, B„ s o n t d e s q u a n t i t é s finies, e t le n o m b r e d e s m o n ô m e s est
é g a l e m e n t fini, a i n s i q u ' i l r é s u l t e d u n° 4 , S e c t i o n I ; d o n c a u s s i
—nJ-?-
doit être u n e q u a n t i t é finie. Mais l e s m a s s e s é t a n t d u t r o i s i è m e o r d r e ,
le d é n o m i n a t e u r est d ' o r d r e ¿ " , et le n u m é r a t e u r d o i t l ' ê t r e [égalem e n t ; p a r t a n t / , est d ' o r d r e e " ~ = t " . A i n s i les v i t e s s e s q u e les a c tions m o l é c u l a i r e s p e u v e n t i m p r i m e r a u x m o l é c u l e s p r o p o r t i o n n e l l e m e n t à l e u r s c a p a c i t é s , l e s q u e l l e s s o n t r e p r é s e n t é e s p a r f„, s o n t t o u t à
fait i n s e n s i b l e s , p u i s q u e n = 5 o u > 5 , e t les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s
n ' i n t e r v i e n n e n t en r i e n d a n s la q u a n t i t é d e m o u v e m e n t d o n t u n e m o l é c u l e est c a p a b l e , c e q u i d u r e s t e e s t c o n f o r m e à l ' e x p é r i e n c e .
h 2
+ 2
0
_
l
On p e u t c a l c u l e r l e s forces é l a s t i q u e s p a r la m a r c h e e t les f o r m u l e s
i n d i q u é e s c i - d e s s u s ; m a i s le d é v e l o p p e m e n t d u c a l c u l e s t a s s e z p é n i b l e ,
et il s e r a i t à d é s i r e r q u ' o n p û t o b t e n i r d e s e x p r e s s i o n s p l u s c o n v e r g e n t e s . L e s t e n t a t i v e s q u e j ' a i faites m o n t r e n t q u e , p o u r d e s p a r a l l é l é p i p è d e s g é n é r a t e u r s s e m b l a b l e s , les forces é l a s t i q u e s v a r i e n t b e a u c o u p avec la d e n s i t é , j u s q u ' à c h a n g e r d e s i g n e ; e t q u e , p o u r la m ê m e
d e n s i t é , e l l e s v a r i e n t b e a u c o u p a v e c les p r o p o r t i o n s d e s c ô t é s d u p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r . Je n e d o n n e p a s ici ces c a l c u l s d o n t la l o n gueur me s e m b l e h o r s de proportion avec l'utilité.
Je ferai o b s e r v e r q u e l e s c o m p o s a n t e s se d é d u i s e n t d e la fonction
a u m o y e n d e d i f f é r e n t i a t i o n s , soit p a r r a p p o r t a u x p a r a m è t r e s
h', k', /', soit p a r r a p p o r t a u x c o s i n u s d e s a n g l e s d e s r a n g é e s , et q u e si
l'on p o u v a i t o b t e n i r u n e f o r m u l e c o m m o d e p o u r e x p r i m e r S - ^ n » on
en d é d u i r a i t a i s é m e n t l e s f o r m u l e s d e s c o m p o s a n t e s ; m a i s j e s u i s par-
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
venu seulement à exprimer S
I
l n
-_ p a r u n e s é r i e c o m p l i q u é e et m é d i o i
crement convergente pour des rangées orthogonales, divergentes pour
d e s r a n g é e s t r è s o b l i q u e s . Je p a s s e d o n c c e s c a l c u l s s o u s s i l e n c e .
La m é t h o d e e m p l o y é e h a b i t u e l l e m e n t p o u r r e l i e r l e s p o t e n t i e l s i n f é r i e u r s a u x p o t e n t i e l s s u p é r i e u r s e t q u i c o n s i s t e à faire v a r i e r les c o o r d o n n é e s d u p o i n t (x',y', z') c e n s é fixe d a n s l ' e x p r e s s i o n
en l a i s s a n t x, y, z c o n s t a n t s , c ' e s t - à - d i r e e n s u p p o s a n t q u e le c e n t r e
d ' a t t r a c t i o n p u i s s e v a r i e r l é g è r e m e n t s a n s q u e les p o i n t s a t t i r é s s'en
r e s s e n t e n t , est i n a p p l i c a b l e i c i ; c a r , c o n t r a i r e m e n t à ce q u i se p a s s e
p o u r la g r a v i t a t i o n , ce s o n t l e s p o i n t s l e s p l u s r a p p r o c h é s q u i s e u l s
s o n t a c t i f s , et l e u r a c t i o n v a r i e a u m o i n d r e d é p l a c e m e n t d u c e n t r e
q u i l e s a t t i r e . L e s s e u l e s q u a n t i t é s q u ' i l soit p e r m i s d e faire v a r i e r
d a n s les expressions ( 5 ) sont, ainsi qu'il vient d'être dit, les p a r a m è t r e s et l e s a n g l e s d e s r a n g é e s , c e q u i s u p p o s e le d é p l a c e m e n t s i m u l t a n é des p o i n t s x, y, z et n o n d u p o i n t [x', y', z').
5 . On p e u t o b s e r v e r , en r e m o n t a n t à la f o r m u l e ( 4 ) . S e c t i o n 1, q u e
le f a c t e u r d e m^, ou s i m p l e m e n t m d a n s les t r a v a u x d e C a u c h y , q u i
suppose toutes les capacités égales, est en raison inverse de E O U du
q u a t r i è m e o r d r e . E n e x a m i n a n t a t t e n t i v e m e n t les M é m o i r e s ( ' ) d a n s
l e s q u e l s l ' i l l u s t r e g é o m è t r e a c r u d é m o n t r e r q u e les p h é n o m è n e s l u m i n e u x é t a i e n t d u s à u n e r é p u l s i o n e n r a i s o n i n v e r s e de la q u a t r i è m e
2
4
p u i s s a n c e , o n voit q u e sa d é m o n s t r a t i o n se r é d u i t à p r o u v e r q u e ^
y
est d ' o r d r e E~*, c ' e s t - à - d i r e ce q u i p r é c è d e .
C a u c h y a t i r é e n c o r e t r o p h â t i v e m e n t u n e a u t r e c o n c l u s i o n de ces
m ê m e s c a l c u l s . Il y m o n t r e , e n effet, q u e la v i t e s s e de la l u m i è r e p r o v e n a n t d e la g r a v i t a t i o n n e p e u t p a s ê t r e r e c o n n u e e x p é r i m e n t a l e m e n t ,
et il e n c o n c l u t q u e la m a s s e - p o i d s d e l ' é t h e r e s t n u l l e . Or t o u t ce q u ' i l
a v a i t le d r o i t d e d é d u i r e d e c a l c u l s a p p r o x i m a t i f s e t d ' e x p é r i e n c e s où
( l ) Mémoire sur la dispersion de la lumière OU Nouveaux Exercices de Mathe'mntirpies,
p. i g o et 191 ; Prague, chezTCalve, i 8 3 6 . — Exercices d'Analyse et de Physique mathématique, t. 1, p. 3o4 et 3 o 5 : Paris, Bachelier,
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
1840.
l e s g r a n d e u r s de p r e m i e r o r d r e s o n t n é g l i g é e s , c'est q u e c e t t e m a s s e p o i d s de l ' é t h e r d e v a i t ê t r e r a n g é e p a r m i les g r a n d e u r s d u p r e m i e r
o r d r e ou les g r a n d e u r s p l u s p e t i t e s .
U n e a u t r e c o n s é q u e n c e i m p o r t a n t e se d é g a g e d e s c o n c l u s i o n s du
n° 4 : c'est q u ' i l n ' e s t j a m a i s p e r m i s d e n é g l i g e r l e s d i m e n s i o n s d ' u n e
m o l é c u l e p o l y a t o m i q u e d a n s le c a l c u l d e s a c t i o n s a t o m i q u e s , e t l'adm i s s i o n d u c o n t r a i r e a été u n e g r o s s e e r r e u r d e s g é o m è t r e s . L e s n é g l i g e r , e n effet, r e v i e n t à l e s s u p p o s e r c o n s t a m m e n t d u s e c o n d o r d r e ; or,
s'il e n é t a i t a i n s i , les d i s t a n c e s a t o m i q u e s s e r a i e n t d u s e c o n d o r d r e e t
les a c t i o n s en r a i s o n i n v e r s e d e la n
puissance deviendraient des
q u a n t i t é s finies d i v i s é e s p a r E " \ c ' e s t - à - d i r e i m m e n s e s . E n ce c a s , t o u s
les t e r m e s , a t t r a c t i f s ou r é p u l s i f s , s ' a n n u l e r a i e n t à c ô t é d e c e l u i du
p l u s fort e x p o s a n t n, q u i e s t r é p u l s i f ( S e c t i o n I, n° 4), e t l e s a t o m e s
s e r a i e n t v i o l e m m e n t é c a r t é s de l e u r s p o s i t i o n s p a r u n e force i r r é s i s t i b l e
c o n t r e l a q u e l l e t o u t e s les a c t i o n s a t t r a c t i v e s s e r a i e n t i m p u i s s a n t e s . Les
a t o m e s n e p e u v e n t d o n c p a s d e m e u r e r d ' u n e m a n i è r e p e r m a n e n t e à des
distances mutuelles du second ordre ; p a r t a n t , leurs véritables distances
ne p e u v e n t pas être négligées à côté de celles des d i s t a n c e s des centres
de gravité des m o l é c u l e s , bien que n o t a m m e n t plus petites en g é n é r a l .
ième
_
Les r é s u l t a t s o b t e n u s d a n s la S e c t i o n II p o u r l e s forces é l a s t i q u e s n e
s o n t d o n c v r a i s q u e p o u r les m o l é c u l e s m o n o - a t o m i q u e s . On p e u t t o u tefois o b t e n i r des e x p r e s s i o n s d e s forces é l a s t i q u e s a s s e z s e m b l a b l e s à
c e l l e s de c e t t e S e c t i o n , e t n o u s a l l o n s en e n t r e p r e n d r e la r e c h e r c h e .
§ II. — Expressions complètes des forces élastiques.
6 . N o u s d e v o n s c o n s e r v e r la d é f i n i t i o n d e la forée é l a s t i q u e s u p e r f i c i e l l e ; c'est u n e a c t i o n s u p e r f i c i e l l e fictive d o n t le p r o d u i t p a r l ' a i r e
c o r r e s p o n d a n t e é q u i v a u t à la force r é e l l e q u ' o n r e m p l a c e p a r e l l e . La
force r é e l l e e s t la r é s u l t a n t e d e t o u t e s les a c t i o n s e x e r c é e s p a r les
a t o m e s d e s m o l é c u l e s s i t u é e s d ' u n côté d u p l a n s u r l e s a t o m e s d e s m o l é c u l e s d ' u n e r a n g é e e x t é r i e u r e à ce p l a n . La force r é e l l e et la force
fictive o n t la m ê m e d i r e c t i o n ; q u a n t à la v a l e u r d e la force fictive estim é e p a r a l l è l e m e n t à u n a x e , c'est le q u o t i e n t d ' u n e d i v i s i o n d o n t le
d i v i s e u r est l ' a i r e d u p a r a l l é l o g r a m m e g é n é r a t e u r c o n j u g u é à l a d i t e
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r a n g é e e t d o n t le d i v i d e n d e e s t la v a l e u r de la force r é e l l e e s t i m é e p a r a l l è l e m e n t à cet a x e , c ' e s t - à - d i r e d e la s o m m e d e s c o m p o s a n t e s , p a r a l l è l e m e n t à c e t a x e , d e s a c t i o n s e x e r c é e s p a r les a t o m e s i n t é r i e u r s
s u r c e u x d e la r a n g é e e x t é r i e u r e . Il e s t visible q u e la s o m m e d e c e s
composantes élastiques parallèles à un axe, multipliée par l'aire conj u g u é e , r e p r é s e n t e la s o m m e d e s a c t i o n s e x e r c é e s p a r l e s a t o m e s d ' u n
c o r p s s u r les a t o m e s e x t é r i e u r s p a r a l l è l e m e n t à l'axe d o n t il s ' a g î t .
E n p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , o n s u p p o s e les c e n t r e s d e g r a v i t é d e s
m o l é c u l e s r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é s , et c'est u n e c o n s é q u e n c e m a t h é matique de l'existence d'une relation continue entre les positions des
m o l é c u l e s d a n s l ' é t a t a c t u e l et c e l l e s d ' u n é t a t a n t é r i e u r où les m o l é c u l e s é t a i e n t r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é e s . Mais o n doit se d e m a n d e r ce
q u ' i l faut a d m e t t r e p o u r l e s a t o m e s d a n s c e t t e m ê m e p r e m i è r e a p p r o x i mation. Leurs positions varient-elles d'une molécule à l'autre par deg r é s i n s e n s i b l e s , e n s o r t e q u ' o n p u i s s e les r e g a r d e r c o m m e i d e n t i q u e s
d a n s le r a y o n d ' a c t i v i t é m o l é c u l a i r e e n n é g l i g e a n t d e s q u a n t i t é s d u s e c o n d o r d r e , ou b i e n d i f f è r e n t - e l l e s d e q u a n t i t é s d u p r e m i e r o r d r e
d ' u n e m o l é c u l e à l ' a u t r e , t o u t en v a r i a n t d ' u n e m a n i è r e c o n t i n u e ?
N o u s n ' a v o n s p a s e n c o r e d e m o t i f s suffisants p o u r t r a n c h e r la q u e s t i o n , e t , d a n s l ' i n d é c i s i o n où n o u s s o m m e s , n o u s é t a b l i r o n s p o u r .chac u n e d e c e s d e u x h y p o t h è s e s la f o r m u l e d e s c o m p o s a n t e s é l a s t i q u e s .
N o u s c o n s e r v e r o n s t o u t e s les n o t a t i o n s a d o p t é e s d a n s la s e c o n d e
S e c t i o n p o u r r e p r é s e n t e r l e s c e n t r e s de g r a v i t é d e s m o l é c u l e s d a n s les
corps p u r s , q u e n o u s c o n s i d é r e r o n s s e u l e m e n t d ' a b o r d ; puis n o u s ratt a c h e r o n s les a t o m e s d ' u n e m o l é c u l e a u c e n t r e d e g r a v i t é de celle-ci
p a r des c o o r d o n n é e s r e l a t i v e s a., p, y p a r a l l è l e s a u x x, y, z. N o u s d é s i g n e r o n s l e s a t o m e s d ' u n e m o l é c u l e s p a r u n n o u v e l i n d i c e a ajouté a u
p r é c é d e n t . A i n s i x + <x. , y - h p , z -\-y s e r o n t les c o o r d o n n é e s d e
l ' a t o m e a d e la m o l é c u l e s, x -r-<*- ', y -r-$ j, • Z s + y w c e l l e s d e l'at o m e d ' d e la m ê m e m o l é c u l e , et a i n s i d e s u i t e . N o u s p o u r r o n s e n c o r e ,
pour abréger, désigner simplement par x , y , z ces coordonnées
composées.
s
sa
s
f(r
s
s
sts
sa
s
sa
s
sa
sa
N o u s a v o n s e n v i s a g é l e s c o o r d o n n é e s x ,y , z c o m m e d e s f o n c t i o n s
d u t e m p s t et d e s c o o r d o n n é e s x , y , z q u e le p o i n t a v a i t d a n s son
é t a t p r i m i t i f , où l e s c e n t r e s é t a i e n t r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é s ; il est t o u t
n a t u r e l d e r a p p o r t e r les c o o r d o n n é e s r e l a t i v e s a, p, y à c e l l e s q u ' a s
a
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0
B
s
s
54
LES
LOIS
DE
LA
MATIÈRE.
v a i e n t l e s a t o m e s à la m ê m e é p o q u e e t d e s u p p o s e r <x, [3, y d e s f o n c t i o n s
de / , x , P o i Y o . \h, r¡k, £ / . S i l ' o n c r o i t q u e l e s c o o r d o n n é e s
relatives
0
varient de q u a n t i t é s i n s e n s i b l e s d ' u n e m o l é c u l e à l ' a u t r e , on écrira,
pour les coordonnées relatives d'un m ê m e atome dans les molécules s
et s',
'
(I5)
V , =
J
* a o ( « o c a • + - « ' „ Vl
p^«r =
p
-f- e '
f f 0
\
g
p < r
4 - 6 ' „ 71 * 4 - 0 ^ Ç Z - 4 - -
A -»
- e"p , 7 i
Ç
22
^
* -I-Í^ÍI -~
y
2
"H •
^Vh*
+
. . . y
•
où les f o n c t i o n s 9 e t l e u r s d é r i v é e s s o n t d e s q u a n t i t é s
finies
et o ù
l'on a
Si, a u c o n t r a i r e , o n a d m e t u n c h a n g e m e n t a p p r é c i a b l e d ' u n e m o l é c u l e
a l'autre, on posera
I
.
a , .
P
í
C
T
= a
I
- f - 6 a , j Ç / i -+- 8 a T ¡ k 4 - O ' ^ Ç Z 4 - i
T
' « r = P
í
(
, - f - E P
(
I
U - 1 - 6 ^ * 4 - 8 ^ ^ 4 -
+
e
V<r=Y«-+- r«
a
4 - .
. .,
^
^ S ' A ' - l - .
. .,
I
íí^vff
F
1
^ / i
T
6 ^ 7 1 * 4 - 0 ™ , ! : / 4 -
-
2
¿ - ^
/
l
S
+
- · ••
D è s l o r s o n a u r a , e n p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n e t a v e c la p r e m i è r e
hypothèse,
i
x . 4 - ¡V . — x
a
s
(17) ] y s
(
T-ÏO
' -'
a
-
s a
—
Î^a =
— -s* —
Y«r =
-+- P , v — J
¿ V "+~
—
s
s
q\
\ h 4 - q\
T¡ k - 4 q"[ Ç Z 4 - a t - —
J T
7» 5 h 7; TI *
?A
4 -
4 -
q"
1 1
t
-\-
?Z
-H y ' á l í
? 3
cr
P,-T'
i ( r
=
—
Aa; 4 - a
p
J
=
T
\ v
i ! r
'—
- y
i
a
~
s
a
—
°x,
— P.,a
+
A
4 - Y.,3-'
*
=
TÎT— T í a -
-
°/>
=
les c a r a c t è r e s o\r, Sy, ?>z é t a n t p r i s p o u r a b r é g e r ; et e n p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n avec la s e c o n d e h y p o t h è s e ,
!
* V +
<V<r
—x
7*' +
h'v
—y*
•V
Yj'II'
-+-
s
— « s a
—
— q\Vl -+- q\^k-i-
V s a =
— — Yj<j
q\
=
i h 4 - q\
?' I
3
h
q'lll
I- a
7) k 4 - ? ' j Ç Z 4 - p
4 - y , 7i A- 4 -
q'"
3
i ( r
. —
j
J
1 1 +
(
—
*
J ( r
4 - 8 ^ . ÇA 4 -
B'^T)
A: 4 - e «
¡ 3 ^ 4 - 8 p „ . Ç A 4 - 8 p , . 7 ! A 4 - 6PV
Y.«' — YjT
C
T
-H
tiyv\ h
a
- ï Z =
ox
? Z=
S j 4 - X?*',
a
4 - 0' .TJ A" 4 - O y V Ç Z — 8 = 4 - X * ,
rT
les X é t a n t e n c o r e d e s a b r é v i a t i o n s . Il e s t v i s i b l e q u e l e s f o r m u l e s r e l a -
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4 - A y,
r
tives à la s e c o n d e h y p o t h è s e se d é d u i s e n t de c e l l e s q u ' o n a o b t e n u e s
avec la p r e m i è r e e n y r e m p l a ç a n t Sa;, Sy, Ss p a r c)x -+• \ ,, })y - f - 1
cte 4- > .. N o u s a l l o n s d o n c c h e r c h e r les f o r m u l e s r e l a t i v e s à la p r e mière hypothèse.
atI
Y<Î
Afin d ' a b r é g e r d a n s ce q u i va s u i v r e , n o u s s u p p r i m o n s l ' i n d i c e s q u i
n'a plus d'utilité, puisqu'il désigne u n centre u n i q u e , pris pour orig i n e d e s c o o r d o n n é e s p a r r a p p o r t à E, RI, Ç, e t n o u s d é s i g n o n s p a r r , la
distance de d e u x atomes a p p a r t e n a n t à deux molécules différentes,
q u ' i l s s o i e n t h o m o l o g u e s o u n o n . Le c a s d ' a t o m e s h o m o l o g u e s est c o m pris d a n s l'expression g é n é r a l e .
CTa
Cela p o s é , l e s c o m p o s a n t e s p a r a l l è l e s a u x p a r a m è t r e s a c t u e l s /*', k',
/' ( ) d e l ' a c t i o n e x p r i m é e p a r la f o r m u l e (2) d e la p r e m i è r e S e c t i o n s e ront respectivement
(
va'
1
[(? — 1)1 -(-Ta- —Tor] A,
Il y a l i e u d e faire o b s e r v e r q u e l e s «, (3, y n ' o n t p a s ici l e s m ê m e s s i g n i fications q u e d a n s (17) e t (18);
d a n s les d e r n i è r e s é q u a t i o n s , les a, fi,
y s o n t p a r a l l è l e s a u x ¿27, y, z r e c t a n g u l a i r e s ; t a n d i s q u e , d a n s (19),
elles
s o n t o b l i q u e s en g é n é r a l e t p a r a l l è l e s a u x p a r a m è t r e s h', k', /'. Cette
d i s t i n c t i o n d o i t ê t r e r e t e n u e p o u r l ' i n t e l l i g e n c e d e ce q u i va s u i v r e .
O r , si l'on c h e r c h e c o m b i e n il y a, p a r r a p p o r t a u p l a n E = o , de
( · ) Étant données les
formules(i6),
semblage primitif, e t q \ 7",
1
i—i
=r^,
o
n
a
u
r
a
, e s
Section I,
A,
k , l
représentant l e s paramètres de l'as-
q'" désignant r e s p e c t i v e m e n t , pour abréger, les dérivées ~
équations suivantes entre les paramètres primitifs et les paramètres
actuels h ' , k ' , F'.
q \ h
=
h'
cos(
A\r ),
q \ k =
V cos ( A » ,
q \ l
t
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=
I
c o s (/'.*),
= A' cos(A»,
<y h
2
, j \k =
u
\ l
=
k ' cos ( k ' j r ) ,
/'
cos(/'jr),
l'i
1
k
*
l "
1
l
l
h' cos ( / / s ) ,
k ' cos(/r'z),
C cos(/'z),
^ ,
groupes de deux mêmes atomes a, cr', pour lesquels, r' — •/) et
£
restant les mêmes, £/ — £ a une valeur donnée a, on voit aisément qu'il
y en a a; si donc on prend ce plan \ = o pour celui où l'on veut déterminer la force élastique et l'origine pour son point d'application, on
devra poser
6'-6 = 5',. V--n = V, f - ï = 5',
et l'on verra que les sommes partielles de composantes égales seront
Ç'(C'A'
11 n'y a plus qu'à sommer toutes les valeurs de cette nature pour toutes
les valeurs entières de £' de -+-1 à -H co , et de r,' et de — x à + oo
pour avoir tous les termes apportés à la résistance totale par l'atome a
et les atomes o'homologues entre eux dans les diverses molécules intérieures; puis à en faire autant pour tous les autres groupes de deux
atomes et à réunir entre elles toutes ces sommes, qui seront (')
(ao)
! S*Ç'(V*'-HPa—p )JU,
ff
( S*6'(Ç'P + Y a ' - ï a ) ^ .
Nous pouvons encore ajouter à ces sommes celles qui correspondent
aux mêmes valeurs de £/, r,', £' avec la disposition des atomes a, a' prise
en sens contraire; nous aurons des sommes doubles des précédentes,
mais où £/, V , £' sont pris entre ± oo , et nous remplacerons les expressions (20) par la moitié de ces sommes.
Il suffira de diviser ces composantes générales par l'aire du parallélogramme générateur correspondant, ce qui revient à les multiplier
par
.
.
pA'cos(a;A')
(21)
-,
ainsi que nous l'avons vu au n° 3 de la Section II; œ désigne la nor( ' ) N o u s avons donné l'exposant 4 à l'indice S pour indiquer les quatre s o m m a t i o n s i" à f,
2° à n', 3° à Ç', 4 aux g r o u p e s d'atomes a-, a'.
e
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m a i e a u p l a n \ = o . D o n c , e n e m p l o y a n t l e s n o t a t i o n s d e la S e c t i o n I I ,
n o u s t r o u v e r o n s p o u r v a l e u r s d e la c o m p o s a n t e é l a s t i q u e :
j E*.. = IPCOS(.*A')S*E'A('E'A' + A,.—N,,)^,
A
(22)
1
j E.*. = ACOS(ARA')S*E'A'(T'*' + PA—
A
P
1
L
\ E*.,=IPCOS(ARA')S?'A('CT
+ ^ - f
a
) ^ .
D é c o m p o s o n s la force é l a s t i q u e E . p a r a l l è l e m e n t à t r o i s a x e s r e c t a n g u l a i r e s , d o n t l ' u n , c e l u i d e s a?, est la n o r m a l e ce, e t d o n t d e u x , c e u x d e s y
et d e s z, s o n t d a n s l e p l a n h'; n o u s a u r o n s , l e s a n g l e s (k'x) et (l'x) é t a n t
droits,
A
(23)
t E = E..COS(/I'A:),
j E,=E..COS(A'7)-I-E..COS(IT»-I-E COS(/'J')
( E = E'COS(A'A) +ECOS(A-'^) -+-E/,R COS(l'z) ;
RA
AA
AR
M
AA
AT
A
A
AT
)
AX
p u i s , r e m p l a ç a n t les c o m p o s a n t e s élastiques des seconds m e m b r e s p a r
l e u r s e x p r e s s i o n s (22),
COS»(A'A?) S*ÊA
''
(ÇA
' -'H « „ , — o , )
E^—IP COS (A'.R) S^'A'[($'A'4- A,) COS(AJ') + (R/A'4- PV — P) cos(A'J)
+ +V-YA)COS(FY)]J,
E^ = IP COS ( AX
' ) S l'h' [(S'A' + V — «,) COS( A'I) -H (R//F + PV — ¡3,,) COS ( A-*' )
-R-(F +
Y») C
OS(
FF
4
T « ' ~
O r , si n o u s r e m o n t o n s a u x é q u a t i o n s (17)
e t a u x f o r m u l e s d e la n o t e
r e l a t i v e a u x é q u a t i o n s (19),
nous voyons que
\'h' COS(AA
' ;) = q\l'h = ATF,
d a n s l e c a s o ù , c o m m e i c i , q\ = q = o à c a u s e d e c o s ( £ ' ; r ) = o ,
cos (/'a?) = o ) ; d ' a i l l e u r s \ ' et \ r e p r é s e n t e n t la m ê m e c h o s e , c ' e s t - à - d i r e
un nombre entier quelconque;
m
i
SA
'C
' OS(AJ')
4 -
VA'COS(k'y)
\'h' COS ( h's ) -H r'k' COS ( k'z)
-+- ÇF' COS( FY) = q\C'A + q\i 'k
-+-
{
-+- Ç7' COS(
¿ ' 1 ) = «7,' SA
' + ^ R/A + qlVl
=
8
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^£7= AY,
AS,
D'autre part,
cos(A'ic),
(a.— a„) COS(A'j) + (pV— ¡3^) COS(A'j) -+- (Ya — fa) COS(/f'/),
a
(<**•— <r)
f
(a
ff
a<j) COS(/l'.s) 4- (P
Po-) COS(£'.s) -f- (>(„ f*)
a
COS(l'z)
s o n t l e s p r o j e c t i o n s d e s d i s t a n c e s d e s a t o m e s d a n s la m o l é c u l e d e l'origine, représentées respectivement par
— a„, $ , —
y — y dans
les f o r m u l e s (17). D o n c , a v e c les n o t a t i o n s d e s é q u a t i o n s (17), l e s c o m p o s a n t e s r e c t a n g u l a i r e s d e la force é l a s t i q u e s u r le p l a n x s e r o n t e x primées ainsi qu'il suit :
a
S \x
1
('4)
f f
0
lac — ,
m
E
L e s f o r m u l e s n e c h a n g e r o n t p a s de f o r m e q u a n d on y c h a n g e r a les
p a r a m è t r e s h, k, l, ce q u i r e v i e n t à n e s u p p o s e r n u l l e a u c u n e d e s d é r i v é e s q\, q"[ d a n s (17). C o m m e on p e u t t o u j o u r s t r o u v e r u n p l a n r é t i c u laire aussi approché qu'on veut d ' u n plan q u e l c o n q u e d o n n é , au moins
s o u s l e r a p p o r t d e l ' o r i e n t a t i o n , on p e u t a p p l i q u e r l e s f o r m u l e s (24) à
u n p l a n q u e l c o n q u e . On d é d u i r a d o n c , p a r u n e s i m p l e p e r m u t a t i o n d e
l e t t r e s , l e s c o m p o s a n t e s d e s forces é l a s t i q u e s s u r l e s p l a n s d e s y et
d e s z d e s c o m p o s a n t e s s u r le p l a n d e s x. E l l e s s e r o n t , p o u r le p l a n y,
(25)
et, p o u r l e p l a n z,
=
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\ p
1
S A s S.z; ——
m
3
7. Si nous s u p p o s o n s m a i n t e n a n t q u e les a t o m e s n e sont p a s i d e n tiquement placés à d e s quantités d u second ordre près dans les molécules c o n c o u r a n t à la formation d e s forces élastiques (seconde h y p o thèse d u n° 6 ) , n o u s a u r o n s d ' a u t r e s e x p r e s s i o n s d e s forces é l a s t i q u e s ,
q u e n o u s o b t i e n d r o n s e n r e m p l a ç a n t , c o m m e il a é t é d i t c i - d e s s u s , %x,
o>, 0*3 p a r %x •+- l i, ly + Xp^,
- 4 - 1 ^ . Nous obtenons ainsi, pour u n
c o r p s p u r et le p l a n x,
aa
(27)
p o u r le p l a n y,
E^ = ipS*Aj(8^+X ,.)^'
a
(a8)
E = |pS*Aj(B/H-Xpv)~>
ry
e 3 = \ ? s* a ( 8~ -+- x ) ^ ;
7
7
ïcr
pour le plan s ,
E^ipS-A^+X^.)^'
(29)
E = i p S * A ( 8 + Xp -)J.
ar
S
y
<r
E = {pS^ (S^+X .)^I:
3
Y7
On p e u t o b s e r v e r q u e , d a n s l e s é q u a t i o n s
à (29), l e s f o r c e s t a n gentielles de m ê m e s indices disposés d a n s un o r d r e différent ne sont
plus égales, ainsi q u e les géomètres l'obtenaient p a r d e s considérat i o n s m é c a n i q u e s ; n o u s r e v i e n d r o n s s u r ce s u j e t d a n s la c i n q u i è m e
Section.
8. N o u s n o c h e r c h e r o n s p a s l e s e x p r e s s i o n s d e s forces é l a s t i q u e s
d a n s le c a s l e p l u s g é n é r a l d e s m é l a n g e s , m a i s s e u l e m e n t d a n s le c a s
particulier d ' u n mélange de deux corps où les parcelles de chacun
d'eux entrent en proportion égale. Ainsi nous c o n s i d é r e r o n s u n corps
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o ù , d a n s l ' é t a t p r i m i t i f , H, K, / s o n t l e s p a r a m è t r e s d e t r o i s r a n g é e s conj u g u é e s q u i c o n t i e n n e n t , c h a c u n e a l t e r n a t i v e m e n t , u n e p a r c e l l e A et
u n e p a r c e l l e B . Mais on n e p e u t p a s a d m e t t r e q u e c e t t e é g a l i t é s u b s i s t e
d è s q u e les p a r c e l l e s e n t r e n t e n m o u v e m e n t s o u s l ' i n t e r v e n t i o n d e s
a c t i o n s m o l é c u l a i r e s . L e s p a r c e l l e s se g r o u p e r o n t d e u x à d e u x et d é criront des orbites a u t o u r des c e n t r e s de gravité d e s g r o u p e s b i n a i r e s ;
c e s d e r n i e r s c e n t r e s s e r o n t s e u l s r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é s . Le n o u v e l
a s s e m b l a g e a u r a s e s c e n t r e s s u r des r a n g é e s p a r a l l è l e s à c e l l e s d e l ' a s semblage p r o v e n a n t d i r e c t e m e n t de l ' a s s e m b l a g e primitif, savoir une
d e p a r a m è t r e d o u b l e , soit Y.H', et l e s d e u x a u t r e s d e m ê m e s p a r a m è t r e s , K ' , I. Mais p a r le fait, d a n s n o t r e a s s e m b l a g e , I L I ! j o u e r a le r ô l e
d ' u n s i m p l e p a r a m è t r e , et n o u s l ' a p p e l l e r o n s s i m p l e m e n t A'. N o u s d é s i g n o n s p a r s le c e n t r e d e g r a v i t é d u g r o u p e , p a r
les c o o r d o n n é e s r e c t a n g u l a i r e s d e sa p o s i t i o n a c t u e l l e , p a r
Ss +
^As,
y»
+
jAs,
3
+ S
B
A
s
X . - h X B i ,
,
J^-HjBs,
5 -t--[
s
! s
les c o o r d o n n é e s r e s p e c t i v e s des c e n t r e s de g r a v i t é d e ses p a r c e l l e s A , B ;
p u i s n o u s r a p p o r t o n s l e s c e n t r e s de g r a v i t é d e s m o l é c u l e s d a n s la p a r celle a u x c e n t r e s de g r a v i t é de celles-ci au m o y e n d e s c o o r d o n n é e s r e latives « , & , c , a „
. . . ; enfin n o u s a g i s s o n s d e m ê m e p o u r les
a t o m e s q u e n o u s r a p p o r t o n s a u x c e n t r e s de g r a v i t é de l e u r s m o l é c u l e s
a u m o y e n des c o o r d o n n é e s r e l a t i v e s A . , P ,. , F
. D ' a p r è s c e l a , les
c o o r d o n n é e s c o m p l è t e s d ' u n c e n t r e d e g r a v i t é de m o l é c u l e A s e r o n t
A M
Ass
A M
M l
M S A
X\ -h x
-+- a , „
A
ki
V
8
4 - j
A
A
A T S A
t[I
4-
s
et c e l l e s d ' u n a t o m e
+
^As +
«As* +
2
A .fï,
s
Vs
JA*
+
b ,
x
s
-4- | 3
3
A
t
+
Z
AA
4 - C
A s î
4" -[ ,„.
A
Le p l u s s o u v e n t , n o u s l e s é c r i r o n s s o u s la f o r m e p l u s a b r é g é e
|
^ +
|
S,4-*A«T,
XA*M
y S +
y As,,
J>,4-/A™T,
-3, 4 - - A Ï S ,
3,. +
~A.«T-
N o u s p o u r r o n s r e g a r d e r x, y, 3 c o m m e d e s f o n c t i o n s d e s c o o r d o n n é e s
p r i m i t i v e s , c o m m e n o u s l ' a v o n s fait j u s q u ' i c i p o u r a:, y , s . P o s o n s d è s
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lors p o u r a b r é g e r , e n d é s i g n a n t p a r a ; , y, z les c o o r d o n n é e s p r i m i t i v e s
des c e n t r e s de gravité des g r o u p e s ,
l dX. = q\ dx 4 - q\ dy -+- q"[dz 4 (3i)
q'?dt,
< ày — q\dx
-hq". dy-hq'¡dz-hq'¡dl,
I d3 = q' dx
+ q\ dy 4 - q'I dz 4 - q™dt ;
3
2
/ tue = 7i S A 4 - q'Sik -\- q"[ X, l,
I
(3a)
=yiU +
A j
?",il*
( A s = gr'jS A 4 - q\-n
L e s c o o r d o n n é e s a \ J, 5 , a , ¿ , c, a,
+ ?Iï',
k 4 - <?\ ? /.
y s e r o n t a u s s i c h a c u n e d e s fonc-
t i o n s d e s v a l e u r s r e l a t i v e s q u ' e l l e s a v a i e n t d a n s l ' é t a t p r i m i t i f e t des
c o o r d o n n é e s x, y, z ; n o u s p o u r r o n s , c o m m e n o u s l ' a v o n s fait a u n° 6,
c o n s i d é r e r u n i q u e m e n t l e u r s s o m m e s oc , j
kMa
A s s ( r
, . . . et la fonction qui
e n r é s u l t e , f o n c t i o n q u i v a r i e r a p o u r c h a q u e g r o u p e d ' a t o m e s , au m o i n s
p a r ses c o n s t a n t e s . Il y a, en o u t r e , à e n v i s a g e r le cas où les p o s i t i o n s
relatives des atomes homologues varieraient d'une molécule à l'autre
d ' u n e m a n i è r e i n s e n s i b l e ou d ' u n e m a n i è r e s e n s i b l e . T o u t e f o i s ,
comme
s
la q u e s t i o n s e r a t r a n c h é e p o u r les c o r p s p u r s d a n s les n " 4 et 5 d e la
S e c t i o n V , e t q u e le r a i s o n n e m e n t s e r a i t v i s i b l e m e n t le m ê m e p o u r les
c o r p s m é l a n g é s , n o u s é c a r t e r o n s l ' h y p o t h è s e d e la v a r i a t i o n i n s e n s i b l e
et a d m e t t r o n s s e u l e m e n t l ' a u t r e . Dès l o r s , n o u s a d m e t t r o n s q u ' o n doit
poser, avec l ' a p p r o x i m a t i o n des q u a n t i t é s du p r e m i e r ordre et au même
instant,
x
—
X - A s . s ' a ' Hh O i . i a ^ U - t -
=
y
—
z
As s'a
A s .j'<r
1
T
6Asj'(r'l l
^-
OASJ'U'I
A-4-
H
^ A s s ' c r a S A 4 -" ^ A s s - u - S !
7
k
?
^ A s s ' a ' ï X>
4 - i
A * s ' a ' étant,
dans l'état a c t u e l , les coordonnées relatives
de l ' a t o m e S'G d a n s la p a r c e l l e s. Il en sera de m ê m e p o u r l e s p a r c e l l e s B .
N o u s a v o n s à c h e r c h e r les c o m p o s a n t e s d e s a c t i o n s e x e r c é e s p a r l e s
a t o m e s d e s p a r c e l l e s i n t é r i e u r e s A : i ° s u r les p a r c e l l e s e x t é r i e u r e s A ;
2 ° s u r l e s p a r c e l l e s e x t é r i e u r e s 13; p u i s c e l l e s d e s a t o m e s d e s p a r c e l l e s
i n t é r i e u r e s B s u r les a t o m e s d e s p a r c e l l e s e x t é r i e u r e s B et A ; ces d e r n i è r e s se d é d u i r o n t é v i d e m m e n t d e s p r e m i è r e s p a r u n e s i m p l e p e r m u tation d e s l e t t r e s A e t B .
A s s ' a " >
J A . W
z
I. C a l c u l o n s d ' a b o r d
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les v a l e u r s a p p r o c h é e s d e s c o m p o s a n t e s d e s
a c t i o n s e x e r c é e s p a r l e s a t o m e s i n t é r i e u r s Assa s u r l e s a t o m e s e x t é r i e u r s A S ' Î V . Les différences des c o o r d o n n é e s r e c t a n g u l a i r e s qui e n t r e n f d a n s c e s c o m p o s a n t e s s o n t , e n v e r t u de ( - 3 2 ) e t ( 3 3 ) ,
I
X,. —
] c »' —
I
- 3
x ,?a'
J'B
J A S W —
3
S
— a?AMU
X,4-
V
S
+
Ks
=
A X 4 - ¿CASÍ'CT - -
J A « * =
E
+
- h y , r a - — /ASOT +
6 V<J'2
A
4 - ^ASVA" — ^ A S K J
+
Á * ' < R I % II - 4 A
^ A S Î ' U ' — -^AS-SA +
5A
A+
- 1 - "L-A-S 1 * +
£A +
U
J
Á., CR'31
+
OlWi ? ' =
OIÍ'CT'J »
L
6ÁV<T'3 S ¿
=
=
Les diiférences des c o o r d o n n é e s parallèles a u x rangées actuelles de par a m è t r e s h', k', ï a u r o n t d e s e x p r e s s i o n s b i e n p l u s s i m p l e s ; c e s e r o n t
(35)
(S'-5)A' +
«AAA-,
(T,'-V,)^4-e
A A /
,,
(?'-S)/'+e .,
AlW
r e p r é s e n t a n t l e s p r o j e c t i o n s , p a r a l l è l e m e n t k h', k', /',
d e la d i s t a n c e d e s a t o m e s s'G', sn d a n s la p a r c e l l e A s , a u g m e n t é e d e l'accroissement que la distance de l'atome A - . au centre s éprouve quand
on s e t r a n s p o r t e a u c e n t r e s ' .
Posons encore, p o u r abréger,
®AA/,'>
9
AAA'.
©AAZ'
9jr
(36)
A
=
Z
±
E
«
A
^
A
W
a
»
.
' ASÎO" AS'AT" RJ'
n o u s t r o u v e r o n s q u e l e s c o m p o s a n t e s d e l ' a c t i o n p a r a l l è l e m e n t a u x h',
k', l' s e r o n t
(37)
[ ( V - ^ ) * ' + » A A . . ] ^ ,
( [(r-?)/' +
e A7]^.
A
Un m ê m e g r o u p e d ' a t o m e s Asscr, A s ' s V , p o u r l e q u e l r¡' — r¡ e t C — '(
sont des quantités constantes, fournira u n e valeur ( 3 7 ) p o u r
E= 1 ,
deux pour £ ' — £ = 2 , trois pour £ ' — £ = 3 e t , e n général, 1 pour
l' — ?, = i. Si d o n c on a j o u t e e n t r e e l l e s t o u t e s l e s v a l e u r s é g a l e s e t si
l'on r e m p l a c e e n m ê m e t e m p s l e s e n t i e r s
— ç, r¡'— v¡,
—'( par
d'autres entiers £',.71',
on trouvera les s o m m e s partielles
e .)J",
j îV/A-'+e .).v ,
/E'(Ç'A' +
(38)
AAi
AAl
>
Il f a u d r a s o m m e r e n s u i t e c e s e x p r e s s i o n s p a r r a p p o r t À £ , 7 1 , £ d e p u i s 1
j u s q u ' À l'infini p o u r 5' e t d e p u i s — CO j u s q u ' À - + - C E p o u r 7 / e t
ou,
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ce q u i r e v i e n t a u m ê m e , e n p r e n a n t la m o i t i é d e s s o m m e s e t c h a n g e a n t le s i g n e d e s c o o r d o n n é e s r e l a t i v e s a v e c c e l u i d e E, d e p u i s — c o
j u s q u ' à - t - a o p o u r E, n, X, ( ' ) . I n d i q u o n s c e t t e s o m m a t i o n t o t a l e p a r le
s i m p l e s i g n e s o m m a t o i r e S ; l e s c o m p o s a n t e s t o t a l e s d e t o u t e s les act i o n s e x e r c é e s p a r l é s a t o m e s i n t é r i e u r s A s u r les a t o m e s e x t é r i e u r s A
seront
(3 )
iSS'CVA'-r-e^jj.,
9
( iSE'(ç'f
+e
A V
.)X.
E n r e c o u r a n t a u x c o n s i d é r a t i o n s s u i v a n t e s , on p e u t d é m o n t r e r a s s e z
s i m p l e m e n t q u ' o n a le d r o i t d e s u b s t i t u e r à la p r e m i è r e s o m m e , o ù E
e s t p r i s d e p u i s - t - i j u s q u ' à - t - c c , la m o i t i é d ' u n e s o m m e d e
même
f o r m e o ù \ est p r i s e n t r e =fc c o . E n effet, le c o r p s o ù l'on c h e r c h e à
d é t e r m i n e r la force é l a s t i q u e e s t s u p p o s é en é q u i l i b r e , e t d è s l o r s les
c o m p o s a n t e s d e la force é l a s t i q u e c a l c u l é e s d ' u n c ô t é s o n t é g a l e s et de
s i g n e s c o n t r a i r e s à c e l l e s q u ' o n o b t i e n d r a i t de l ' a u t r e c ô t é e n y c h a n g e a n t l e s i g n e d e s c o o r d o n n é e s p a r a l l è l e s à l ' a x e d e s x. Mais ce c h a n g e m e n t de signe d o n n e des expressions de forme i d e n t i q u e a u x p r e m i è r e s ; d o n c il suffit d e le r é t a b l i r d a n s c e s d e r n i è r e s , c ' e s t - à - d i r e
p r e n d r e \ e n t r e les limites — i
e t — =o , p o u r q u e l e s
d'y
composantes
d e v i e n n e n t é g a l e s a u x p r e m i è r e s . Dès l o r s les c o m p o s a n t e s o ù E =
o
étant nulles, et leur réunion aux sommes des composantes n'en chang e a n t en r i e n la v a l e u r , on p e u t s u b s t i t u e r a u x p r e m i è r e s s o m m e s les
moitiés d ' a u t r e s où E est pris e n t r e ± 0 0 .
II. Calculons
m a i n t e n a n t les valeurs approximatives des
s a n t e s d e s a c t i o n s e x e r c é e s p a r u n a t o m e i n t é r i e u r Assa
e x t é r i e u r Bssa.
compo-
sur un atome
N o u s r e p r é s e n t e r o n s d ' a b o r d les p r o j e c t i o n s a p p r o x i m a -
tives d e s d i s t a n c e s d e c e s d e u x a t o m e s p a r l e s f o r m u l e s s u i v a n t e s , avec
( ' ) Il y a là une difficulté réelle qu'on peut fairo disparaîtro en représentant par ©, non
plus « A S S V — " À S J T •+- l'accroissement de « A S S ' U I
'
"ASS-O- ~
A x s a -+- l'accroissement de
la différence u^ .—
« wtr- Celui-ci est visiblement égal à celui d e l à différence a
—
mais de s i g n e contraire. D'ailleurs le groupe d'atomes A S S I T , A s . f V intervient dans la formation des s o m m e s ( 3 g ) , autant que le groupe A S J V , A S S C T . Donc, quand on change le
signe de H, n, Ç dans les e x p r e s s i o n s ( 3 8 ) , on tombo s u r les valeurs d'un groupe déjà existant, mais où Tordre des atomes constituants était pris en sens contraire. Il sera donc entendu que nous donnons cette signification au signe 0 .
M
a
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A
A
S
1
u
A B S T
64
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
les c o o r d o n n é e s r e c t a n g u l a i r e s ,
A"
— * „ - + -
a
— y» +
V8
-3 —
S
5
8
XuMa- —
J'p„v<7' —
-+- r
B
s
' j v
—
^AT=
JAMO =
^
SJ
îiiOT =
-+- a ?
B
s
ï
.
r
^A*r<7 +
—
9
BJ'<ri
SA +
9
i /
+
7 B . . w - / l ! ' «
A a -H ^
B
u v
-SB«O-
—
*''T'« î
+
+
IW<rs
ÇA
/ j
+
- h
B'ui'ai 1 ^ - 4 -
65jr-«r't ? '
8fl*'<rtTl *
6BV<H
(JL^'j
i)
-H
k -+-
0|".
f < J
avec l e s c o o r d o n n é e s o b l i q u e s p a r a l l è l e s e n h', k', /', .
(40
(£'—EjA'-r-eAj*.
( V - * i ) * ' h - * W ,
<C—C)^-r-e
A n f
.
Posons d'ailleurs, pour abréger,
(42)
—
11!,:
h'-nAiJa-K-FFBSI'CT'./n
' ASJÜBS'S'IT
et n o u s a u r o n s , p o u r l e s c o m p o s a n t e s d e s a c t i o n s
exercées
p a r les
atomes intérieurs A sur les atomes extérieurs B, les valeurs
(43)
[(É'-e)A'+e
A B i
.]iK>,
[(r/-70*'+e
A M
.]ii!,,
[ ( £ ' - Z ) i ' +
a ,]us,.
A1;
E l l e s s e r o n t s u s c e p t i b l e s d e la m ê m e p r e m i è r e s o m m a t i o n q u e l e s e x pressions (37),
en sorte q u ' o n t r o u v e r a p o u r les c o m p o s a n t e s totales
[ iS£'(S7»'
(44)
A B
,)i'!>,
Usí'(VA'4-e ,)n!.,
ABA
(|SÇ'(ÏT
III.
-f-e
Appelons e
E B / l
,
8
t
í
B
/
¡
-,
6
B
B
i
,
+e
A B I
.)H!..
l e s p r o j e c t i o n s o b l i q u e s d e la d i s t a n c e
d e s d e u x a t o m e s JV, SU d a n s la p a r c e l l e Bs e t d e s o n a c c r o i s s e m e n t
d a n s la parcelle Bs'; p o s o n s en outre
, / - .
(43;
ci _
„ —
à
-
B I J T C» B S s ' t s ' f • !
—
—
' l i s s a B aV<7'
.
,
nous aurons, pour les composantes obliques totales des actions exercées p a r l e s parcelles i n t é r i e u r e s B s u r les parcelles e x t é r i e u r e s B , lesq u e l l e s se d é d u i s e n t d e ( 3 G )
(46)
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en y remplaçant l'indice A p a r B,
l •ÍSÍ'í,£'A' + e
B M
.>2,
• ISR(r/Á'+e
K B A
.)£,
-
^
3
IV. Enfin a p p e l o n s
0 ,., 6 ,, 0 , l e s
BA/
BAA
t a n c e d e s d e u x a t o m e s As'a',
liAy
p r o j e c t i o n s o b l i q u e s d e la d i s -
B.vs d a n s l e g r o u p e s e t d e s o n a c c r o i s s e -
m e n t d a n s le g r o u p e s'; p o s o n s en o u t r e
BsÄtjAs'cr
et n o u s a u r o n s , p o u r l e s c o m p o s a n t e s t o t a l e s d e s a c t i o n s e x e r c é e s p a r
les a t o m e s i n t é r i e u r s B s u r l e s a t o m e s e x t é r i e u r s A ,
ÎSÊ'(Ê'A' +e ,)ffi,
BAA
iSE'(V*'-i-e .)CD,
(48)
BAt
Ajoutons e n s e m b l e ces q u a t r e c o m p o s a n t e s , a p r è s les avoir m u l t i pliées par
h'cos{h'ûs)
i
TT ('), où al ^ 31U + 3ÏL;
A7'sin(A7')
ai
B
n o u s a u r o n s l e s t r o i s c o m p o s a n t e s o b l i q u e s d e la force é l a s t i q u e , s a -
voir
Dì,
iSE7i'cos(A'ar) \ (SA
' ' e^ojj'-l- (5'A' + 0 ,,)«t|j|
P
G)
p
(49)
AB
[
(
(SA
' '-+-e
a M
.)
il
m
*W) J
(T/A'+ eBBS,) —
P
BAA
Ä
ai
(7)'/t'+ e .) ^
e*iO J,
UÌ,
(Ç7' + e , ) ^ + (Ç7' +e f)^
( • n ' k ' - h
> S^A'cos(A'a;)
+ (SA
' ' + e il)
M
-I+
AIU
(r/Ä'+
B
Ä
AB
]
A p p e l o n s o"w et o"w [u = a;, j , z ) ce que d e v i e n n e n t §«, (34)
e t 8w
(4o)
q u a n d o n y r e m p l a c e A et B r e s p e c t i v e m e n t p a r B e t A ; p u i s c h e r 3
(')
{h'x)
4
désigne l'angle de la rangée A' a v e c la normale jrau plan k'l'.
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2
66
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
chons les composantes élastiques rectangulaires parallèles aux x, y, en supposant que le plan x ou des_y, z est celui qui contient les rangées k' et
nous trouverons pour la première des composantes •
Ê'A'COS(A'AO |
[(5'A'H- » a a * 0 COS(A'*) + ( V * ' 4 - 8
+
A A I
, ) COS(*':R) 4 -
[ ( S ' A ' - h B A B ; , ) C O S ( / I ' X ) + ( V ^ ' + B A M O cos{k'x)
-H [(5'A'4-E
- h [(Î'/*'4- E
B B 4
B A
. ) C09(A'AR) +
6
-+- ( Ç T 4 - E
- < W ) C O S ( A ' ^ ) - 4 ( R.7' +
, , ) COS(A'AO 4 - ( V * ' - T - E
B A
B
,.) C0S(*'J:) 4 - ( S T - I - E
) COS(^)]
A A F
)
W
B
B A
W
C08(/'X)]^
. ) COS(/V;)J £
, ) COS ( * ' . * ) ] ^
soit, en vertu des équations (34), (4o), et de celles qu'on en déduirait
par la permutation des indices A et 13,
(5o)
/
A.
IL!>
S
| p S Ç 7 i ' c o s ( A ' a ; ) ( S a ; , ^ -+- S x — 4 - ^ 3 ^ +
s
S
a
7
2
Mais, attendu que x est perpendiculaire à k' et à
i j 7 i ' COS ( h'as) =
CD
*^
on a ici
hx.
Les deux autres composantes rectangulaires offrent des calculs et des
réductions semblables, et l'on obtient pour valeurs définitives des trois
composantes rectangulaires
,
H!'
ïït
,
ÏTt
| E« =
JP
S
te,
11!.
(0
H
,1,
^
4 -
-
" °^iTt
4 -+
o
3
l
-
- 4
M
k
^
On obtiendrait les composantes rectangulaires E , E , K de la force
élastique sur le plan .y en remplaçant dans les composantes ci-dessus
Ax par Ay. De même pour le plan z.
yx
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yï
yi
^
J
SECTION IV.
ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE ET DU MOUVEMENT.
§ I. — Mouvement des centres de gravité.
1. J ' a b o r d e l e s c o n s i d é r a t i o n s m é c a n i q u e s l a i s s é e s e n t i è r e m e n t d e
c ô t é j u s q u ' i c i , e t j e c o m m e n c e p a r é t a b l i r l e s é q u a t i o n s de l ' é q u i l i b r e
e t d u m o u v e m e n t d a n s le c a s le p l u s g é n é r a l ; l e s v a l e u r s a p p r o x i m a tives d e c e s é q u a t i o n s s e r o n t r e c h e r c h é e s d a n s la S e c t i o n V.
Je c o n s i d è r e u n c o r p s c o m p o s é d e g r o u p e s m o l é c u l a i r e s ( p a r c e l l e s )
q u i p e u v e n t , d a n s d e s c a s p a r t i c u l i e r s , se r é d u i r e k u n e s e u l e m o l é c u l e ; j e n e fais d ' a i l l e u r s a u c u n e h y p o t h è s e s u r l e u r c o m p o s i t i o n , et
j e l e s d é s i g n e p a r d e s n u m é r o s d ' o r d r e s, s', s", . . . s p é c i a u x à c h a q u e
parcelle ; je d é n o t e ensuite les molécules d'une parcelle par des n u m é r o s
d ' o r d r e s, s', s",
et les a t o m e s d ' u n e m o l é c u l e p a r l e s n u m é r o s
d ' o r d r e n, a , a"
D ' a p r è s ces c o n v e n t i o n s , a n a l o g u e s à c e l l e s d e la
S e c t i o n I I I , § I I , u n e m o l é c u l e d ' u n c o r p s f o r m é de p a r c e l l e s sera c a r a c t é r i s é e p a r d e u x n u m é r o s ss, s a v o i r c e l u i d e la p a r c e l l e d a n s le
c o r p s e t c e l u i de la m o l é c u l e d a n s la p a r c e l l e ; u n a t o m e d u m ê m e c o r p s
le s e r a p a r l e s n u m é r o s s s a d o n t l e s d e u x p r e m i e r s f o n t c o n n a î t r e la
m o l é c u l e o ù il s e t r o u v e , e t le t r o i s i è m e s o n n u m é r o d a n s c e t t e m o l é c u l e . La d é s i g n a t i o n d ' u n a t o m e clans u n c o r p s où les m o l é c u l e s n e s o n t
p a s g r o u p é e s s e r a s i m p l e m e n t sn.
Je r a p p o r t e l e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s p a r c e l l e s à d e s c o o r d o n n é e s
r e c t a n g u l a i r e s , " c o m p t é e s à p a r t i r d ' u n e o r i g i n e fixe; j ' e n fais a u t a n t
p o u r les c e n t r e s d e g r a v i t é d e s m o l é c u l e s d a n s l e s c o r p s o ù e l l e s agis-
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s e n t i s o l é m e n t . A i n s i , d a n s les m i l i e u x à p a r c e l l e s , l e s c o o r d o n n é e s des
centres de gravité des parcelles seront
(0
r»,
x»,
-s
e t , d a n s les m i l i e u x ou c o r p s à m o l é c u l e s i s o l é e s , les c o o r d o n n é e s des
c e n t r e s de gravité des m o l é c u l e s seront
y,
x„
(2)
z.
s
s
D a n s la p r e m i è r e s o r t e de m i l i e u x , j e r a p p o r t e les c e n t r e s de g r a v i t é
des molécules d'une m ê m e parcelle à des axes rectangulaires parallèles
a u x p r é c é d e n t s , m a i s a y a n t p o u r o r i g i n e le c e n t r e de g r a v i t é m ê m e de
la p a r c e l l e ; et j ' e n fais a u t a n t p o u r t o u t e s l e s a u t r e s p a r c e l l e s . J'affecterai à ces c o o r d o n n é e s relatives les lettres
(3)
Y
^ S S ,
« )
U
S.λ
P a r c o n s é q u e n t , les c o o r d o n n é e s d e s c e n t r e s d e g r a v i t é de m o l é c u l e s ,
r a p p o r t é s a u x a x e s d i r e c t e u r s fixes d a n s u n c o r p s à m o l é c u l e s g r o u p é e s ,
s e r o n t d e la f o r m e
(4)
x,
-+- « s «
y
s
+
b i s ,
-» +
v,
ls
q u e , p o u r a b r é g e r , j ' é c r i r a i h a b i t u e l l e m e n t s o u s la f o r m e p l u s s i m p l e
( 5 )
x-ast
"a.f>
J y's
s s t
-'SA»
m a i s il f a u d r a se r a p p e l e r q u ' a l o r s on a, p o u r d e u x m o l é c u l e s d ' u n e
même parcelle,
Je r a p p o r t e r a i d e m ê m e l e s a t o m e s a u x c e n t r e s d e g r a v i t é d e s m o l é c u l e s d o n t ils font p a r t i e a u m o y e n d e s c o o r d o n n é e s r e l a t i v e s a u c e n t r e
d e la m o l é c u l e et p a r a l l è l e s a u x p r é c é d e n t e s
( 7 )
a
sJtJ>
p\.SfTj
YsJd
d a n s l e s c o r p s à m o l é c u l e s g r o u p é e s , et
(8)
P
d a n s les c o r p s à m o l é c u l e s i s o l é e s . D a n s l e s p r e m i e r s , les c o o r d o n n é e s
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SECTION
IV.
—
ÉQUATIONS
n'ÉQUILIBRE ET DE MOUVEMENT.
Gg
d ' u n a t o m e r a p p o r t é a u x a x e s d i r e c t e u r s fixes s e r o n t
-H 6
(9)
que,
H - PSJO-J
SJ
C
8
J
+
Y
,
8 S F F
p o u r a b r é g e r et avec les m ê m e s réserves que p o u r ( 5 ) , j ' é c r i r a i
s o u s la f o r m e
et e l l e s s e r o n t , d a n s l e s s e c o n d s ,
(
1 1
que,
œ
)
s
a
"+- « r , .XJ
-H
? s a ,
*s
-H
TJT,
p o u r a b r é g e r e t avec les m ê m e s r é s e r v e s q u e c i - d e s s u s , j e r e m p l a -
cerai par
Ces r e p r é s e n t a t i o n s s o n t , avec p l u s d e d é t a i l s , c e l l e s q u e j ' a i d é j à d o n n é e s d a n s le § II d e la t r o i s i è m e S e c t i o n .
J e d é s i g n e r a i les d i s t a n c e s d e d e u x p o i n t s p a r la l e t t r e r a y a n t e n
i n d i c e les i n d i c e s d e s d e u x p o i n t s d o n t il s ' a g i t , a t o m e s ou c e n t r e s d e
gravité. Ainsi j ' a u r a i , d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , d a n s les corps à m o l é cules groupées,
I
rJ,'
= ( a v
—
r\ -,
= ( ^ , v
— &
st
'"sjtTB'j'd'—(.Z-b's'a'
x*Y
t
+ 0 V
+
— y,*Y
s Y
- Z e s a Y
— y*Y
(jKsV'ff
+
Y * s a Y ^
-
%
!
)
Z
( A'.ia'
,
^ s s a Y Î
et, d a n s l e s c o r p s à m o l é c u l e s i s o l é e s ,
!
r
s 3 s ' a '
—
2
(• Vd'
"+" [ys'a'
J " s a Y
+
C^J'ff
z
a
Y
-
C o m m e il est t r è s facile d e d é d u i r e l e s f o r m u l e s r e l a t i v e s a u x c o r p s à
molécules isolées des formules relatives aux corps à molécules g r o u p é e s , j e c o n s i d é r e r a i d ' a b o r d s e u l e m e n t ceux-ci et l a i s s e r a i m o m e n t a n é m e n t les a u t r e s de côté.
2. A v e c les c o n v e n t i o n s p r é c é d e n t e s , q u i n ' a p p o r t e n t é v i d e m m e n t
n i c h a n g e m e n t , n i r e s t r i c t i o n d a n s l e s h y p o t h è s e s f o n d a m e n t a l e s , l'ac-
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70
LES
LOIS
DE
LA
MATIÈRE.
t i o n m o l é c u l a i r e définie a u n ° 5 , s e c t i o n I , e t e x e r c é e e n t r e d e u x a t o m e s
q u e l c o n q u e s a p p a r t e n a n t à l a m ê m e m o l é c u l e o u à d e s m o l é c u l e s diff é r e n t e s d e la m ê m e p a r c e l l e o u d e p a r c e l l e s d i f f é r e n t e s , s e r a
(i5)
2 ~ - ^ *
^SJ
L
,
" ™ ^
* *
(i A's'a'
,
f i i =
A
r ,
et l e s c o m p o s a n t e s d e c e t t e a c t i o n , p a r a l l è l e m e n t a u x axes d i r e c t e u r s ,
seront
Dès l o r s , e n d é s i g n a n t p a r X , Y , , Z l e s c o m p o s a n t e s d e s a c t i o n s
é t r a n g è r e s à l'action m o l é c u l a i r e q u i sont exercées s u r la molécule
S5<5, l a p e s a n t e u r p a r e x e m p l e , e t p a r sV a ' u n a t o m e v o i s i n d e s s a ,
j ' a u r a i , en a p p l i q u a n t les formules c o n n u e s d e l'équilibre e t d u mouvem e n t , les trois r e l a t i o n s suivantes :
B î a
1
( 7)
j
H-siff ( ^ a s a
— · ^
i 0
2
^ — S
M T
3
(JVJ'O- —
J t s n )
Le f a c t e u r u,
e s t la c a p a c i t é d e l ' a t o m e p o u r l e m o u v e m e n t e t p o u r
l ' a t t r a c t i o n en r a i s o n i n v e r s e d u c a r r é d e l a d i s t a n c e ; c'est l a q u a n t i t é à
l a q u e l l e est affectée s p é c i a l e m e n t la q u a l i f i c a t i o n d e m a s s e . Le s i g n e -+s o u s l e s i g n e s o m m a t o i r e 1 d a n s ( i 5 ) se r a p p o r t e a u x t e r m e s a t t r a c t i f s
q u i a g i s s e n t d a n s l e s e n s d e la p e s a n t e u r ; q u a n d d o n c l e s c o m p o s a n t e s
X , Y , Z se r é d u i s e n t à c e l l e s d e l a p e s a n t e u r , e l l e s s o n t p o s i t i v e s .
s a
Le s e c o n d m e m b r e c o m p r e n d l e s c o m p o s a n t e s r e c t a n g u l a i r e s d e s
a c t i o n s q u i se d é v e l o p p e n t d a n s t o u s l e s g r o u p e s b i n a i r e s q u ' o n p e u t
f o r m e r e n c o m b i n a n t s u c c e s s i v e m e n t a v e c l ' a t o m e SSG l ' u n q u e l c o n q u e d e s atomes voisins. Ces c o m b i n a i s o n s p e u v e n t s'effectuer do
d i f f é r e n t e s m a n i è r e s e t d a n s d e s o r d r e s d i f f é r e n t s . Celui q u e j ' a d m e t t r a i d a n s l e s f o r m u l e s , afin d e p r o c é d e r avec p r é c i s i o n d a n s ce q u i v a
s u i v r e , s e r a : i q u ' o n g r o u p e d ' a b o r d l ' a t o m e s s i s u c c e s s i v e m e n t avec
t o u s les a t o m e s d ' u n e m ê m e m o l é c u l e s V , q u ' e l l e soit d a n s l a m ê m e
p a r c e l l e o u d a n s u n e a u t r e , o u q u ' e l l e soit la m o l é c u l e s s e l l e - m ê m e ;
u
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1
j e d é s i g n e p a r S la s o m m e d ' u n e q u e l c o n q u e d e s t r o i s c o m p o s a n t e s
a i n s i t r o u v é e ; i ° q u ' o n a s o m m é t o u t e s l e s q u a n t i t é s h o m o l o g u e s S'
q u e p e u t f o u r n i r la p a r c e l l e s', q u i p e u t , c o m m e cas p a r t i c u l i e r , ê t r e
la p a r c e l l e s et q u ' o n a t r o u v é a i n s i la s o m m e S de c h a c u n e d e s c o m p o s a n t e s ; 3 ° q u ' e n f i n les s e c o n d s m e m b r e s ( 1 7 ) s o n t l e s s o m m e s d e s
q u a n t i t é s S f o u r n i e s p a r l e s d i v e r s e s p a r c e l l e s d u c o r p s , y c o m p r i s la
parcelle s elle-même.
2
2
3 . Ceci p o s é , j e r é u n i s t o u t e s l e s é q u a t i o n s ( 1 7 ) q u e p e u v e n t f o u r n i r
l e s d i v e r s a t o m e s d e la m o l é c u l e ss, e t j ' a j o u t e m e m b r e à m e m b r e l e s
é q u a t i o n s h o m o l o g u e s ; j ' o b t i e n s u n e n o u v e l l e é q u a t i o n , r e l a t i v e à la
m o l é c u l e e t d o n t il s ' a g i t d e d é t e r m i n e r l e s m e m b r e s .
D a n s le p r e m i e r m e m b r e d e la p r e m i è r e ( 1 7 ) , le p r e m i e r t e r m e fourn i r a é v i d e m m e n t la s o m m e
en a p p e l a n t X
s s
une valeur moyenne de X
M 1 J
, X
S J A
., X
5 O T
Cela a u r a i t
c t
a
encore é v i d e m m e n t lieu q u a n d on a X
= X
= X <T" = · • •» ' q u i
l i e u p o u r le cas d e la p e s a n t e u r , celle-ci n e v a r i a n t p a s s e n s i b l e m e n t
d a n s d e s e s p a c e s a s s e z é t e n d u s . De m ê m e , le s e c o n d t e r m e e n g e n d r e r a
la s o m m e
B I T 7
—
2
/
t^nso—r-
,d
f'MO' " i~
V-ISA"
+ •··
)
cP"
l
ABîa
'
S
O
T
SJ
d
¿ ¿ ¿ 1
a„,
1
1
dt
2
d x,
s
d ' a p r è s la d é f i n i t i o n d e la m o l é c u l e et la p r o p r i é t é b i e n c o n n u e d e s c e n tres de gravité. Les m ê m e s r é d u c t i o n s sont applicables a u x p r e m i e r s
m e m b r e s des seconde et troisième équations ( 1 7 ) .
Les s e c o n d s m e m b r e s ne sont point passibles de r é d u c t i o n s analog u e s , p a r c e q u e les f a c t e u r s [AX,
y sont divisés p a r des facteurs
n+\ y a r i a k l e s i '
g r o u p e d ' a t o m e s à l ' a u t r e ; ils d e v r o n t d o n c c o n s e r v e r la m ê m e f o r m e avec le c a r a c t è r e S d e la q u a t r i è m e s o m m a t i o n , les
f o r m u l e s ( 1 7 ) e n c o m p o r t a n t déjà t r o i s . T o u t e f o i s on d o i t o b s e r v e r q u e
les g r o u p e s d ' a t o m e s a p p a r t e n a n t à la m o l é c u l e s* en a u r o n t d i s p a r u ;
T
f
u n
4
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72
LES LOIS J)E LA MATIÈRE.
c a r , si le g r o u p e d ' a t o m e s SSC,
SSN'
y d o n n e d e s t e r m e s a y a n t p o u r fac-
teurs
le g r o u p e d ' a t o m e s SSS, SSA q u i figurera d a n s la m ê m e s o m m e a u m ê m e
t i t r e q u e le p r é c é d e n t f o u r n i r a d e s t e r m e s e n t i è r e m e n t s e m b l a b l e s , à
cela p r è s que les facteurs ci-dessus y s e r o n t r e m p l a c é s par
ces t e r m e s s e r o n t d o n c d e s i g n e c o n t r a i r e , et p a r t a n t la s o m m e en sera
nulle.
Nous arrivons ainsi aux équations suivantes, qui sont celles
m o u v e m e n t d u c e n t r e d e g r a v i t é d e la m o l é c u l e :
\ m„^Y —
(18)
w
n i a s ( ^ s s
P o u r les c o r p s à
d e ces f o r m u l e s ,
second m e m b r e ;
la p a r c e l l e . L e s
molécules dans
quent,
;
1
- ^ T ^ =
~~DJF
4
S (j v<r
^ ~~ ^
y,sa)X,
3
( s's'G'
z
du
ZssfT
)
m o l é c u l e s i s o l é e s , il y a lieu d e s u p p r i m e r l ' i n d i c e s
a u s s i b i e n q u ' u n e u n i t é du chiffre d e s s o m m a t i o n s d u
c a r il y a e n m o i n s la s o m m a t i o n d e s m o l é c u l e s d a n s
é q u a t i o n s d u m o u v e m e n t d e s c e n t r e s d e g r a v i t é des
les c o r p s o ù c e l l e s - c i s o n t i s o l é e s s e r o n t , p a r c o n s é -
D
*
Z
E n m u l t i p l i a n t l e s é q u a t i o n s (17) p a r M
et en e n r e t r a n c h a n t les
é q u a t i o n s (18) h o m o l o g u e s , m u l t i p l i é e s p a r p ^ , , on a u r a l e s é q u a t i o n s
d u m o u v e m e n t r e l a t i f d e l ' a t o m e SSA; p a r e i l l e o p é r a t i o n p e u t se faire
s u r les é q u a t i o n s (17) a p p r o p r i é e s a u x c o r p s à m o l é c u l e s i s o l é e s et les
3
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S
é q u a t i o n s ( 1 9 ) ; n o u s n o u s b o r n o n s , q u a n t à p r é s e n t , à s i g n a l e r ces
opérations sans les effectuer.
4. D é s i g n o n s p a r .on, la m a s s e d e la p a r c e l l e s e t a j o u t o n s
respecti-
v e m e n t e n t r e elles toutes les équations (18) que fournissent les diverses
m o l é c u l e s d e la p a r c e l l e s ; e n r a i s o n n a n t d ' u n e m a n i è r e a n a l o g u e à ce
q u i a été fait c i - d e s s u s , o n v e r r a q u e les é q u a t i o n s d u m o u v e m e n t d u
c e n t r e de g r a v i t é d e la p a r c e l l e s e r o n t
Jt» de la f o r m u l e ( i 5 ) .
D a n s ces
é q u a t i o n s , les g r o u p e s b i n a i r e s d ' a t o m e s a p p a r t e n a n t
aux
m o l é c u l e s de la p a r c e l l e s n e c o n c o u r e n t p a s à la f o r m a t i o n d e s s e c o n d s
m e m b r e s . Ce t h é o r è m e se d é m o n t r e r a i t p a r d e s c o n s i d é r a t i o n s s e m b l a b l e s à c e l l e s q u i o n t é t é e x p o s é e s d a n s le n° 3 p o u r le t h é o r è m e
ana-
l o g u e . On p o u r r a a i n s i o b t e n i r les é q u a t i o n s d u m o u v e m e n t r e l a t i f du
c e n t r e d e g r a v i t é d ' u n e m o l é c u l e ss en r e t r a n c h a n t l e s é q u a t i o n s
m u l t i p l i é e s par m
as
(20)
d e s é q u a t i o n s h o m o l o g u e s ( 1 8 ) m u l t i p l i é e s p a r DJl .
s
Les é q u a t i o n s d u m o u v e m e n t d u c e n t r e d e g r a v i t é d ' u n e
q u e l c o n q u e d u m i l i e u e n v i s a g é se d é d u i r a i e n t d e (20)
portion
ou de ( 1 9 ) , s u i -
v a n t le c a s , d e la m ê m e m a n i è r e q u e l e s é q u a t i o n s (20)
ont été dé-
d u i t e s d e s é q u a t i o n s ( 1 8 ) . Les g r o u p e s f o r m é s p a r les a t o m e s i n t é r i e u r s
d e la p o r t i o n n e c o n c o u r r a i e n t p a s à la f o r m a t i o n d e s s e c o n d s m e m bres.
II. — É q u a t i o n s des m o m e n t s et des forces vives.
5. T e l l e s s o n t les é q u a t i o n s q u e l'on p e u t d é d u i r e d i r e c t e m e n t p a r
voie d ' a d d i t i o n d e s f o r m u l e s ( 1 7 ) ; j e p a s s e à c e l l e s q u ' o n p e u t d é d u i r e
p a r d e s m o y e n s d i f f é r e n t s , c e u x q u i , d a n s la M é c a n i q u e c é l e s t e , c o n d u i s e n t a u p r i n c i p e d e la c o n s e r v a t i o n d e s a i r e s et à c e l u i d e la c o n s e r v a t i o n d e s forces v i v e s .
R e t r a n c h o n s r e s p e c t i v e m e n t m e m b r e à m e m b r e la s e c o n d e ( 1 7 ) m u l -
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y4
I-ES LOIS DE LA MATIERE.
t i p l i é e p a r a ; , ; , d e l à p r e m i è r e (17) m u l t i p l i é e p a r y „\ la t r o i s i è m e (17)
t
multipliée
par j „
d e la s e c o n d e (17}
9
m i è r e (17) m u l t i p l i é e p a r
multipliée
p a r z ; la p r e ss7
d e la t r o i s i è m e (1 7) m u l t i p l i é e p a r x ,„;
s
nous trouverons
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N o u s a v o n s fait p a s s e r les f a c t e u r s x , y ,
ua
ua
^
fiST
s o u s le s i g n e s o m n i a -
t o i r e , ce q u i est p e r m i s , p u i s q u ' i l s s o n t i n d é p e n d a n t s d u c e n t r e v a r i a b l e
s's'a' p a r r a p p o r t a u q u e l on o p è r e la s o m m a t i o n .
6 . A j o u t o n s e n t r e e l l e s t o u t e s les é q u a t i o n s (21)
q u e f o u r n i s s e n t les
d i v e r s a t o m e s d e la m o l é c u l e s s et v o y o n s ce q u e n o u s
obtiendrons
p o u r les p r e m i e r s m e m b r e s d e s t r o i s é q u a t i o n s r é s u l t a n t e s .
A i n s i q u e n o u s l ' a v o n s o b s e r v é a u d é b u t d u n° 3 , les c o m p o s a n t e s X ,
Y, Z n e v a r i e n t p a s d ' u n e m a n i è r e s e n s i b l e d a n s la m o l é c u l e et p e u v e n t
y ê t r e c o n s i d é r é e s c o m m e c o n s t a n t e s ; on e s t d o n c a u t o r i s é à é c r i r e
— '»».,·(
V X« —
M
X
i
s
Y
a
, ) ,
en v e r t u d u p r i n c i p e d u c e n t r e de g r a v i t é . L ' a u t r e t e r m e d u
m e m b r e d e la p r e m i è r e (21)
premier
p e u t se d é c o m p o s e r de la m a n i è r e
sui-
vante :
—[w
d (
d.r„
\ y > * -777dt\ "
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dt
e t la s o m m e q u ' i l f o u r n i t se r é d u i t , en v e r t u d u p r i n c i p e d u c e n t r e
gravité, à
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de
Les a u t r e s p r e m i e r s m e m b r e s offriront d e s r é d u c t i o n s a n a l o g u e s ; q u a n t
aux s e c o n d s m e m b r e s , ils c o m p o r t e n t u n e s o m m a t i o n d e p l u s , mais
n ' e n t r a î n e n t q u ' u n fait n o u v e a u : c ' e s t q u e , d a n s l a m o l é c u l e ss, le
le g r o u p e b i n a i r e d ' a t o m e s a, 1' d o n n e r a d e u x t e r m e s é g a u x e t d e s i g n e
c o n t r a i r e q u i se d é t r u i r o n t ; l e s a t o m e s d e l a m o l é c u l e s s n ' i n t e r v i e n n e n t d o n c p a s d a n s la f o r m a t i o n d e s s e c o n d s m e m b r e s . La d é m o n s t r a tion e s t la m ê m e q u ' a u n " 3 .
On t r o u v e r a en définitive l e s é q u a t i o n s s u i v a n t e s :
Y
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t
a
d ~ ; „ i
D ' u n a u t r e c ô t é , si l ' o n a v a i t r e t r a n c h é la s e c o n d e ( 1 8 ) m u l t i p l i é e p a r
x d e la p r e m i è r e ( i 8 ) m u l t i p l i é e parjK ,, la t r o i s i è m e ( 1 8 ) m u l t i p l i é e
p a r y d e la s e c o n d e m u l t i p l i é e p a r z , et l a p r e m i è r e ( 1 8 ) m u l t i p l i é e
p a r z- d e l a t r o i s i è m e ( 1 8 ) m u l t i p l i é e p a r x , o n a u r a i t t r o u v é
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•^SJTSJCT)
E n r e t r a n c h a n t l e s é q u a t i o n s (22) d e s é q u a t i o n s ( s 3 ) , o n a u r a l ' a c c r o i s s e m e n t des aires d u m o u v e m e n t relatif des atomes a u t o u r d u centre de
gravité d e la molécule.
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^
~ d T
da
s
i
t
.
7 . A j o u t o n s e n s e m b l e t o u t e s l e s é q u a t i o n s ( a 3 ) q u e f o u r n i s s e n t les
diverses molécules d'une m ê m e parcelle; en répétant des raisonnem e n t s a n a l o g u e s à c e u x d u n u m é r o p r é c é d e n t , n o u s v e r r o n s q u e les
g r o u p e s d ' a t o m e s a p p a r t e n a n t à la p a r c e l l e c o n s i d é r é e ne c o n c o u r e n t
pas à la f o r m a t i o n d e s s e c o n d s m e m b r e s ; n o u s p o u v o n s d ' a i l l e u r s , d a n s
des cas t r è s é t e n d u s , e n v i s a g e r les c o m p o s a n t e s X , Y , Z c o m m e c o n s t a n t e s ; n o u s a r r i v e r o n s ainsi a u x é q u a t i o n s s u i v a n t e s :
d
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x Z -
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j
S
E n r e t r a n c h a n t l e s é q u a t i o n s (20) s e c o n d e , t r o i s i è m e e t p r e m i è r e m u l t i p l i é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r , r , y , z d e s é q u a t i o n s (20) p r e m i è r e , s e c o n d e e t t r o i s i è m e m u l t i p l i é e s r e s p e c t i v e m e n t p a r y „ s , œ , on a u r a i !
trouvé
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JW)
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S
J'.(S.Vo
AU. ( * .
»M(T ) ] · * · > .
-
- r
r f
La c o m b i n a i s o n d e s é q u a t i o n s ( ¿ 4 ) et ( a 5 ) p e r m e t t r a de d é d u i r e les
aires du m o u v e m e n t relatif des c e n t r e s de m o l é c u l e a u t o u r d u centre
d e g r a v i t é d e la p a r c e l l e .
On p o u r r a i t a l l e r p l u s l o i n et c h e r c h e r l e s é q u a t i o n s r e l a t i v e s à u n e
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SECTION IV.
—
EQUATIONS D EQUILIBRE ET DE MOUVEMENT.
p o r t i o n d u m i l i e u . Cela n e p r é s e n t e a u c u n e d i f f i c u l t é .
77
De m ê m e
on
p e u t d é d u i r e d e c e s é q u a t i o n s g é n é r a l e s celles q u i se r a p p o r t e n t à u n
corps pur.
8. R e p r e n o n s l e s é q u a t i o n s (17) e t a j o u t o n s - l e s m e m b r e à m e m b r e
'
après les avoir r e s p e c t i v e m e n t multipliées par
n
"0^'
o
u
s
t r o u v e r o n s s a n s difficulté
[
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équation
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qui correspond
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au principe appelé
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f" t,S '.s'ti
B
A,
d e la conservation des
forces vives.
E n a j o u t a n t e n t r e e l l e s t o u t e s l e s é q u a t i o n s (26) q u e f o u r n i s s e n t les
d i v e r s a t o m e s d e la m o l é c u l e ss, on s ' a s s u r e a i s é m e n t , p a r d e s r a i s o n n e m e n t s s e m b l a b l e s à c e u x q u ' o n a déjà d é v e l o p p é s , q u ' o n a la r e l a t i o n
dx%
dy^
dz
1
m " i X" as dt
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(=•7)
(n — i)r ssGas 7'
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(•Xa's'a' .st)
(j^fi'j'o"
JTS.I'T)
^
où l e s t e r m e s d u s a u x a t o m e s d e la m o l é c u l e s s
+
^..jff)
( ^VJ'
figurent
^
d a n s le p r e -
m i e r t e r m e d u s e c o n d m e m b r e et n o n d a n s l ' a u t r e .
> ~jf'
En m u l t i p l i a n t les é q u a t i o n s (18) r e s p e c t i v e m e n t p a r
p u i s les a j o u t a n t , on a u r a i t t r o u v é
/
S
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s
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dp
.1,,
78
LES
LOIS
DE LA
MATIÈRE.
E n r e t r a n c h a n t c e t t e é q u a t i o n ( 2 8 ) d e ( 2 7 ) , il v i e n d r a
l
d
~ * d i
/dalçrr
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de
d$l„
de
d(hj_
+
de
La m ê m e m a r c h e c o n d u i r a i t à l ' é q u a t i o n r e l a t i v e a u x m o u v e m e n t s
d e s m o l é c u l e s d a n s la p a r c e l l e ; il e s t i n u t i l e , q u a n t à p r é s e n t , d ' e n eff e c t u e r l e s c a l c u l s , q u i n e p r é s e n t e n t p a s d e difficultés, e t n o u s p a s s o n s
à l'examen des résultats généraux qu'on peut déduire des équations
obtenues.
§ III. — Résultats.
9. Supposons l'équation (29) i n t é g r é e ; à moins d'être constant, auq u e l c a s il d o n n e u n r é s u l t a t n u l e n t r e l e s l i m i t e s t e t t, le p r e m i e r
terme d u second m e m b r e , savoir
0
(« — ') C a sera u n e q u a n t i t é d u m ê m e o r d r e q u e
e a y a n t la s i g n i f i c a t i o n q u e n o u s l u i a v o n s déjà d o n n é e d ' u n e q u a n t i t é
e x t r ê m e m e n t p e t i t e d u p r e m i e r o r d r e . Le s e c o n d t e r m e d u s e c o n d
m e m b r e s e r a d u m ê m e o r d r e , p u i s q u e sa d é r i v é e é t a i t d e m ê m e o r d r e
q u e c e l l e d u p r e m i e r t e r m e ; le p r e m i e r m e m b r e
[dy.lv
d'il,
rfv„V
c o n s t . - * S ^ ( - ^ + - ^ - ' H - - £ *
s e r a d o n c u n e q u a n t i t é d u t r o i s i è m e o r d r e ; m a i s c'est p r é c i s é m e n t
l'ordre du facteur
q u a n d on c o n s i d è r e d e s a t o m e s m a t é r i e l s ; d o n c ,
dans ce cas,
de
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+
de-
de
sera u n e q u a n t i t é finie. L e s v i t e s s e s r e l a t i v e s d e s a t o m e s s e r o n t d o n c
des q u a n t i t é s finies; mais l e u r s vitesses a n g u l a i r e s s e r o n t des q u a n t i t é s
immensément grandes, inverses des quantités immensément petites du
p r e m i e r o r d r e . S o i e n t , en effet, r l a d i s t a n c e d ' u n a t o m e a u c e n t r e d e
g r a v i t é d e la m o l é c u l e , <>/, eu", m'" l e s a n g l e s q u e la d i r e c t i o n d e c e t t e
d i s t a n c e fait a v e c l e s a x e s d i r e c t e u r s r e s p e c t i f s d e s x, y, z\ n o u s a u rons
a =
rcos(i>',
p = r cosco", -f = r c o s u > ,
w
La d i f f é r e n t i a t i o n d e c e s é q u a t i o n s p a r r a p p o r t a u t e m p s d o n n e
d i
—
a t
r
=
d
r
,
— cosu/ —
d t
.
,
r s i n u
d i o '
d
t
d $
~
a t
=
d
r
„
— cos or —
d t
d f
~
a t
—
d r
„
.
„ d ^
-y- costu"—rsiriu>
— y d t
a t
d i
, d
v
d t
d
$
1
t
. d ( ù "
r s i n to —=— 1
d t
d
f
d
d
t
d
' "
,
r
t
D a n s la q u a t r i è m e d e c e s é q u a t i o n s , a , ¡3, y , r s o n t d e s q u a n t i t é s
d'ordre e et ^ > ^ > ^
s o n t d e s q u a n t i t é s finies ; d o n c ^
l'est a u s s i , et
il r é s u l t e a l o r s d e s t r o i s p r e m i è r e s é q u a t i o n s q u e
, d u '
r s i n t o ' — — ,
a t
.
„ d»>"
r s i n o i
— ¡ - 3
a t
7
.
„ d u "
r s i n t o " - —
a t
sont aussi des q u a n t i t é s finies; donc
d m '
l i t
sont des quantités
d
'
l i t
w
"
d
u
"
' ~ d t
i m m e n s é m e n t g r a n d e s d ' o r d r e ^-i p u i s q u e /• e s t
d ' o r d r e t . C'est ce q u ' i l fallait d é m o n t r e r .
Q u a n d , au c o n t r a i r e , o n considère d e s a t o m e s é t h é r é s ,
d'ordre s ; donc, pour que
1
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j/.
8 T O
est
soit u n e q u a n t i t é finie, il f a u t a v o i r
d^-lsn
d t
1
dfissy
~
^ T M T
d
F
d t
i
d'ordre ^ et, par c o n s é q u e n t ,
d z ¿ s j
dQssry
d t
dt
d ^ s s ^
'
d
l
e x c e s s i v e m e n t g r a n d s ; c ' e s t ce q u e n o u s v e r r o n s e n c o r e c i - a p r è s .
10.
L o r s q u e d e u x c o r p s s o n t en c o n t a c t s a n s r é a g i r l ' u n s u r l ' a u t r e ,
ou m ê m e en r é a g i s s a n t l ' u n s u r l ' a u t r e , ils o n t , p r è s d e l e u r surface
de contact, d ' a u t r e s dispositions d ' é q u i l i b r e et de m o u v e m e n t qu'à
l'intérieur.
Quoique, dans un but de simplification, j'aie supposé, en établiss a n t les é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e et de m o u v e m e n t , q u e les s o m m a t i o n s y
é t a i e n t é t e n d u e s à l'infini, il est a v é r é q u e les a t o m e s s i t u é s à u n e d i s t a n c e s e n s i b l e d e l ' a t o m e ssn n ' e x e r c e n t s u r lui a u c u n e i n f l u e n c e a p p r é c i a b l e et n e d o n n e n t a u c u n e v a l e u r s e n s i b l e d a n s les s o m m a t i o n s
d e s s e c o n d s m e m b r e s . Dès lors d e u x c o r p s o n t b e a u ê t r e e n c o n t a c t p a r
u n e surface c o m m u n e , les a t o m e s s i t u é s à u n e d i s t a n c e s e n s i b l e d e
c e t t e s u r f a c e n ' é p r o u v e n t q u e les a c t i o n s des a t o m e s v o i s i n s d a n s les
c o r p s a u x q u e l s ils a p p a r t i e n n e n t . Mais il n ' e n est p l u s d e m ê m e p o u r
les a t o m e s s i t u é s à u n e d i s t a n c e i n s e n s i b l e d e la s u r f a c e c o m m u n e ; il
est v i s i b l e q u ' i l s s o n t s o u m i s a u x a c t i o n s d e s a t o m e s é t r a n g e r s d a n s u n e
p r o p o r t i o n d ' a u t a n t p l u s forte q u ' i l s s o n t p l u s p r è s d e c e t t e s u r f a c e ;
c e u x m ê m e s q u i e n s o n t i m m é d i a t e m e n t voisins s u b i s s e n t a u t a n t d ' a c t i o n s d ' u n c ô t é q u e d e l ' a u t r e . Cette r e m a r q u e e n t r a i n e u n e ï o u l e d e
c o n s é q u e n c e s ; j e vais p a s s e r en r e v u e les p r i n c i p a l e s .
I. D e u x c o r p s en c o n t a c t p a r u n e s u r f a c e p l u s ou m o i n s g r a n d e o n t
c h a c u n u n e c o u c h e c o n t i g u é à c e t t e surface o ù les lois d ' é q u i l i b r e et
d e m o u v e m e n t n e s o n t p a s les m ê m e s q u ' à l ' i n t é r i e u r .
11. Si les m o l é c u l e s s i t u é e s d ' u n d e s c ô t é s d e la s u r f a c e d e c o n t a c t
n ' é p r o u v e n t p a s , à des q u a n t i t é s e x t r ê m e m e n t p e t i t e s p r è s , la m ê m e
a c t i o n d u côté d u c o r p s é t r a n g e r q u e du c ô t é d u l e u r , e l l e s s e r o n t a n i m é e s d e v i t e s s e s s e n s i b l e s q u i p o u r r o n t se t r a d u i r e p a r d e s a t t r a c t i o n s
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ou d e s r é p u l s i o n s , d e s e n d o s m o s e s e t des e x o s m o s e s ou a u t r e s modific a t i o n s q u e l c o n q u e s . L ' é q u i l i b r e s e r a é t a b l i s e u l e m e n t a u m o m e n t où
les m o l é c u l e s c o n t i g u è s à la s u r f a c e é p r o u v e r o n t à p e u p r è s l e s m ê m e s
a c t i o n s du c o r p s é t r a n g e r q u e d u l e u r .
o s
I I I . Les f o r m u l e s d e s n 6 e t 7 s o n t a p p l i c a b l e s , d a n s l e u r g é n é r a l i t é , a u x m o l é c u l e s et p a r c e l l e s s i t u é e s d a n s la c o u c h e d e c o n t a c t ; il
suffira d'y faire i n t e r v e n i r les a t o m e s d u c o r p s e x t é r i e u r d a n s u n e p r o p o r t i o n d ' a u t a n t p l u s g r a n d e q u e la m o l é c u l e ou p a r c e l l e e n v i s a g é e est
p l u s r a p p r o c h é e d e la surface d e c o n t a c t . Mais il i m p o r t e d ' o b s e r v e r
q u e , par leur n a t u r e , ces formules s'appliquent à un g r o u p e d'atomes
c h o i s i s a priori e t e n d é t e r m i n e n t le c e n t r e d e g r a v i t é , soit q u e le
groupe continue à agir c o m m e une entité isolée, c'est-à-dire reste m o l é c u l e , soit q u e les a t o m e s c o m p o s a n t s se r é p a r t i s s e n t avec c e u x d e s
m o l é c u l e s v o i s i n e s p o u r f o r m e r d e n o u v e l l e s m o l é c u l e s , soit e n c o r e
q u e l e s m o l é c u l e s se g r o u p e n t e n t r e e l l e s , d e m a n i è r e à f o r m e r d e s
p a r c e l l e s d i s t i n c t e s . L e s f o r m u l e s n e p r é s e n t e r o n t p a s d e différences
a p p a r e n t e s d a n s c e s d i v e r s c a s ; s e u l e m e n t , q u a n d o n en d é d u i r a les
v a l e u r s des d i s t a n c e s r e l a t i v e s d e s a t o m e s , on t r o u v e r a , d a n s le c a s d e
p e r s i s t a n c e d ' e n t i t é , q u e ces d i s t a n c e s r e l a t i v e s , t a n t ô t p o s i t i v e s , t a n tôt n é g a t i v e s , o s c i l l e n t a u t o u r d u c e n t r e d e g r a v i t é , et, d a n s l e s a u t r e s
c a s , q u e les d i s t a n c e s r e l a t i v e s p l a c e n t t o u j o u r s le m ê m e a t o m e d ' u n
m ê m e côté d e l ' a n c i e n c e n t r e d e g r a v i t é , et le font o s c i l l e r a u t o u r de
n o u v e a u x c e n t r e s . Les a t o m e s q u i o s c i l l e r o n t a u t o u r d e n o u v e a u x c e n t r e s c o n s t i t u e r o n t d e n o u v e l l e s m o l é c u l e s . Si les p r e m i è r e s m o l é c u l e s
d o n n e n t n a i s s a n c e à d e s g r o u p e s o s c i l l a n t a u t o u r de c e r t a i n s c e n t r e s
c o m m u n s , s a n s q u e c h a c u n e d ' e l l e s a i t v a r i é d a n s son n o m b r e d ' a t o m e s , on d i r a q u e le c o r p s s'est g r o u p é e n p a r c e l l e s ; s'il y a e u des
é c h a n g e s d ' a t o m e s , il y a u r a e u d é c o m p o s i t i o n et r e c o m p o s i t i o n .
Les p a r c e l l e s c o n d u i s e n t à des c o n c l u s i o n s s e m b l a b l e s .
Ceci bien c o m p r i s , on c o n c l u t a i s é m e n t q u e , si d e u x c o r p s n ' a y a n t
p a s les m ê m e s i n t e r v a l l e s m o l é c u l a i r e s a r r i v e n t a u c o n t a c t , les m o l é cules superficielles de celui qui a les plus petits intervalles sont très
i n é g a l e m e n t s o l l i c i t é e s ; u n e p a r t i e de s e s m o l é c u l e s s u p e r f i c i e l l e s a
déjà a t t e i n t la p o s i t i o n de l ' é q u i l i b r e q u a n d l ' a u t r e n ' y est p a s e n c o r e ;
de là d e s m o u v e m e n t s q u i p e u v e n t les faire e n t r e r d a n s le s y s t è m e d e s
m o l é c u l e s déjà en r e p o s , ou p é n é t r e r d a n s les i n t e r v a l l e s d e l ' a u t r e
II
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c o r p s d o n t e l l e s m o d i f i e r a i e n t à l e u r t o u r l ' o r g a n i s a t i o n . Le p r e m i e r
effet e s t u n c h a n g e m e n t d u m o d e d e g r o u p e m e n t d a n s les
molécules;
le s e c o n d p e u t c o r r e s p o n d r e a u x p h é n o m è n e s c a r a c t é r i s é s p a r l e s m o t s
d'imbibilion,
d'évaporation,
I V . P a r e i l s faits p e u v e n t
etc.
e n c o r e se p r o d u i r e e n t r e d e s c o r p s d e p u i s
l o n g t e m p s en c o n t a c t l o r s q u e , v e n a n t à g r a n d i r p o u r u n e cause ou p o u r
u n e a u t r e , les m o u v e m e n t s o s c i l l a t o i r e s d e l ' u n d é p l a c e n t s e s m o l é c u l e s
ou parcelles t e r m i n a l e s p a r r a p p o r t aux m o l é c u l e s ou parcelles t e r m i n a l e s de l ' a u t r e .
V. Enfin il se p e u t q u e les c o n d i t i o n s d ' é q u i l i b r e e n t r e les a t o m e s
d ' u n e m o l é c u l e t e r m i n a l e d u c o r p s A p r é s e n t e n t avec c e l l e s d ' u n e m o lécule du corps B i m m é d i a t e m e n t voisine des divergences, telles que
la p r e m i è r e m o l é c u l e s ' u n i s s e à la s e c o n d e ( c o m b i n a i s o n ) , o u q u ' e l l e s
é c h a n g e n t e n p a r t i e l e u r s a t o m e s ( d é c o m p o s i t i o n et r e c o m p o s i t i o n ) . C e
s o n t là d e s faits c h i m i q u e s ; i l s p a r a i s s e n t j u s q u ' à n o u v e l o r d r e , m a l g r é
l ' o p i n i o n c o n t r a i r e a s s e z r é p a n d u e , c o n c i l i a b l e s avec les a t t r a c t i o n s et
r é p u l s i o n s m o l é c u l a i r e s : ils e n s o n t m ê m e u n e c o n s é q u e n c e n a t u r e l l e ;
m a i s le sujet est e n c o r e t r è s o b s c u r , et l ' o n m a n q u e de d o n n é e s
suffi-
s a n t e s p o u r le t r a i t e r p a r le c a l c u l , s e u l m o d e d e d i s c u s s i o n q u i s o i t
accepté d a n s cet O u v r a g e .
1 1 . Je c o n t i n u e à c h e r c h e r les c o n s é q u e n c e s g é n é r a l e s d e s f o r m u l e s
o b t e n u e s , et j e v a i s d ' a b o r d e x a m i n e r e t j u s t i f i e r les h y p o t h è s e s d u n" 5 ,
S e c t i o n I, s u r les m o l é c u l e s de l ' é t h e r l u m i n e u x .
L'éther p e u t e n t r e r de d e u x m a n i è r e s différentes d a n s u n corps : ou
en c o m b i n a i s o n d a n s l e s m o l é c u l e s d u c o r p s , ou p a r m o l é c u l e s o u p a r c e l l e s i s o l é e s i n t e r c a l é e s d a n s les i n t e r s t i c e s d u c o r p s . Le p r e m i e r m o d e
r e n d f a c i l e m e n t c o m p t e d e c e r t a i n e s p r o p r i é t é s q u e les c o r p s a c q u i è r e n t
p a r l ' e x p o s i t i o n p r o l o n g é e à la c h a l e u r , t e l s q u e le s o u f r e , le p h o s p h o r e ,
l ' a l u n , e t c . , ce q u i n e v e u t p a s d i r e q u ' i l e n soit l ' e x p l i c a t i o n n é c e s s a i r e . Q u a n t a u s e c o n d m o d e , il e s t a c c e p t é p a r t o u s . D a n s l ' u n et l ' a u t r e
cas, l'éther ne doit exercer a u c u n e action sensible c o m m e poids, tandis
qu'il en p r o d u i t u n e p l u s ou m o i n s é n e r g i q u e aux distances molécul a i r e s . Or, si n o u s r e m o n t o n s a u x é q u a t i o n s (i 7 ) c i - d e s s u s , n o u s
au-
r o n s , e n c o n s e r v a n t l e s i n d i c e s a, G p o u r les a t o m e s m a t é r i e l s e t p r e n a n t les i n d i c e s a", a'" p o u r les a t o m e s d ' é t h e r , p u i s s é p a r a n t d a n s les
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SECTION IV.
—
ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE ET DE MOUVEMENT.
83
seconds m e m b r e s les t e r m e s d u s a u x actions matérielles des t e r m e s dus
aux actions éthérées, quels que soient les modes de g r o u p e m e n t de
l ' é t h e r et d e la m a t i è r e ,
( 3o )
( Y -
3
= S <j,,
-jïr)
a
( f ^ Z - ^LR)
S
=
Ï
( W
-
) A + S '
f u a
(j , , : ,
s
r
3
~
+ S (
3
o
W
- ,y )
fOT
-
A' ,
z„ ).l,',
a
avec «A» d e la f o r m u l e ( i 5 ) et
,JU'=J:=J^I]^^^,
(3i)
' s.f
fr&"s"a"
et, p o u r l ' a t o m e é t h é r é ,
[X.
( 3a ) j ^
J =
W
W
( Y -
- ^ ^ )
X "
S'^,^, — J g ^ )
3
= S (
_
J
a
W
+
S ^ . ^ . . , . » ^ — X : .)
iU a
) .A," + S3 C r . . ^ -
0,1)"',
j w ) =Ao"',
avec les r e l a t i o n s
1
(33)
<
^
1
/-"T , „ „ „
J<7.*»<7'
8
s"j"a"'
a™s"'G'"
Il faut q u e les t e r m e s d e s s e c o n d s m e m b r e s d e (3O)
soient comparables
entre e u x dès q u ' o n a d m e t l'intervention sensible de l'éther d a n s les
a c t i o n s m o l é c u l a i r e s ; o r c e l a n e p e u t se faire q u e d e d e u x m a n i è r e s :
o u X e s t c o m p a r a b l e à x, p a r c o n s é q u e n t [ / . „
8 W
à (/.„„„, o u il y'a d a n s
le v o i s i n a g e i m m é d i a t d e l ' a t o m e ssa assez d ' a t o m e s é t h é r é s p o u r q u e
les s e c o n d s t e r m e s d e s s e c o n d s m e m b r e s s o i e n t s e n s i b l e s . D a n s le p r e m i e r c a s , les d e u x t e r m e s d e s s e c o n d s m e m b r e s de (32)
sont des quan-
tités du troisième ordre comme ceux des seconds m e m b r e s de
e t , p a r t a n t , il en e s t d e m ê m e d e s p r e m i e r s m e m b r e s de (32),
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(3O),
ce q u i e n -
8/j
LES
LOIS
DE
LA.
MATIÈRE.
t r a î n e , p o u r les v i t e s s e s a c c é l é r a t r i c e s ,
" ~ ~ 2 1 -
'
'dP~
'
l
dt
l ' o b l i g a t i o n d ' ê t r e d ' o r d r e j p u i s q u e ¡i ,, « est d ' o r d r e
Vs
. Cette o b l i g a t i o n
a
n ' a r i e n d e c o n t r a i r e à ce q u e n o u s s a v o n s d e l ' é t h e r d ' a p r è s l e s p h é n o m è n e s d e la l u m i è r e et de l ' é l e c t r i c i t é . A l o r s fv .„»
r
p e t i t p a r r a p p o r t à \i. « <
ni
sV
6 1
e s
t immensément
l ' é t h e r p e u t e n t r e r d a n s le m é l a n g e d a n s
d e s p r o p o r t i o n s assez f a i b l e s , t o u t e n i n t e r v e n a n t d ' u n e m a n i è r e n o t a b l e
s u r les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s et e n é c h a p p a n t c o m p l è t e m e n t a u x m e s u r e s
de p o i d s . Mais d a n s le s e c o n d c a s , où l ' o n s u p p o s e r a i t ¡A . et [A„ . exs w
t r ê m e m e n t p e t i t s p a r r a p p o r t à ¡/.„ , il f a u d r a i t u n e
sta
sW
extrêmement
g r a n d e q u a n t i t é d ' a t o m e s é t h é r é s d a n s le v o i s i n a g e i m m é d i a t de l'atome S i s pour r e n d r e sensibles les seconds termes des seconds m e m b r e s d e ( 3 o ) . A l o r s , si l'on a j o u t a i t e n t r e e l l e s t o u t e s l e s é q u a t i o n s (3a)
q u e f o u r n i r a i e n t les a t o m e s é t h é r é s , le p r e m i e r m e m b r e e t le p r e m i e r
t e r m e d u s e c o n d m e m b r e de la n o u v e l l e é q u a t i o n s e r a i e n t c o m p a r a b l e s
aux termes des équations (3o). Donc à chaque atome matériel corresp o n d r a i t u n e m a s s e - p o i d s d ' a t o m e s é t h é r é s c o m p a r a b l e s , e t le p o i d s de
l'éther luminifère dans tout milieu serait sensible, contrairement à
l ' e x p é r i e n c e . La s e c o n d e h y p o t h è s e e s t d o n c i n a d m i s s i b l e . On n e p e u t
pas non plus attribuer à l'éther une masse-poids entièrement nulle,
c a r ce s e r a i t l u i s u p p o s e r u n e v i t e s s e i n f i n i e . A i n s i se t r o u v e j u s t i f i é e
l ' h y p o t h è s e d u n° 5, S e c t i o n I, s u r l ' é t h e r .
1 2 . R e p r e n o n s les é q u a t i o n s (20) a p p l i c a b l e s à t o u t e s l e s p a r c e l l e s
ou g r o u p e s d e m o l é c u l e s d ' u n c o r p s , m ê m e d a n s s e s c o u c h e s t e r m i n a l e s ( n ° 1 0 , 1), e t a j o u t o n s r e p e c t i v e m e n t e n t r e e l l e s t o u t e s les é q u a t i o n s s e m b l a b l e s q u e f o u r n i s s e n t les d i v e r s e s p a r c e l l e s d u c o r p s ; en
d é s i g n a n t p a r x , y , z les c o o r d o n n é e s d e s o n c e n t r e d e g r a v i t é et p a r M
sa m a s s e , n o u s t r o u v e r o n s
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Les a t o m e s i n t é r i e u r s , e x c e p t é c e u x d e s c o u c h e s t e r m i n a l e s , n e conc o u r e n t p a s à la f o r m a t i o n d e s s e c o n d s m e m b r e s p o u r des r a i s o n s s e m b l a b l e s à c e l l e s q u i o n t été d é v e l o p p é e s a u n° 3 . Ces s e c o n d s m e m b r e s
r e p r é s e n t e n t d o n c l e s a c t i o n s m u t u e l l e s des a t o m e s d e d e u x c o u c h e s
s é p a r é e s p a r la s u r f a c e t e r m i n a l e d u c o r p s et n ' a y a n t c h a c u n e q u ' u n e
é p a i s s e u r e x t r ê m e m e n t p e t i t e , é g a l e à ce q u ' o n a p p e l l e le rayon d'activité moléculaire. O r c e s a c t i o n s p e u v e n t ê t r e r e p r é s e n t é e s p a r des forces
é l a s t i q u e s s u p e r f i c i e l l e s , a i n s i q u ' o n l'a fait d a n s l e s S e c t i o n s II et 111 ;
on e s t d o n c f o n d é à p o s e r les t h é o r è m e s s u i v a n t s :
I. La quantité de force accélératrice perdue par un corps est égale à la
résultante des forces élastiques développées sur sa surface par l'action de ses
atomes sur ceux des corps environnants.
I I . Les efforts d'un corps sur un autre se transmettent d'une couche à
l'autre et l'épaisseur de ces couches ne dépasse pas ce qu'on appelle le
D'ACTIVITÉ
MOLÉCULAIRE.
Ces t h é o r è m e s s o n t c o m p l è t e m e n t d ' a c c o r d avec l e s d o n n é e s d e l'exp é r i e n c e . A i n s i u n e c o u c h e de c o r p s g r a s , d ' é p a i s s e u r i n s e n s i b l e , m o difie c o m p l è t e m e n t le f r o t t e m e n t d ' u n c o r p s g l i s s a n t s u r u n a u t r e , c'està - d i r e la t r a n s m i s s i o n d e l ' a c t i o n d u c o r p s e n m o u v e m e n t a u c o r p s en
repos.
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RAYON
SECTION V.
APPROXIMATION DES ÉQUATIONS D'ÉQUILIBRE ET DE MOUVEMENT.
1. L e s f o r m u l e s d e la S e c t i o n IV o n t été o b t e n u e s a v e c t o u t e la généralité désirable; m a i s elles ne sont pas appropriées aux calculs prat i q u e s . N o u s a l l o n s en d é d u i r e d e s a p p r o x i m a t i o n s q u i p e r m e t t r o n t u n e
c o m p a r a i s o n p l u s facile d e la t h é o r i e avec les f a i t s .
Afin d e s i m p l i f i e r d ' a b o r d a u t a n t q u e p o s s i b l e la m a r c h e d e s c a l c u l s , n o u s c o m m e n c e r o n s p a r c o n s i d é r e r u n c o r p s p u r , à m o l é c u l e s isolées
et m o n o - a t o m i q u e s , s i m p l e , p a r c o n s é q u e n t , d a n s le s e n s a t t a c h é à ce
m o t p a r les c h i m i s t e s . P a r t a n t , l e s é q u a t i o n s d u m o u v e m e n t d e la m o lécule seront celles d u m o u v e m e n t de l'atome, c'est-à-dire les équat i o n s ( 1 7 ) d e la S e c t i o n p r é c é d e n t e , où l ' o n a u r a r e m p l a c é la l e t t r e y.
p a r la l e t t r e m e t s u p p r i m é les i n d i c e s s et a. E l l e s s e r o n t a i n s i
(0
Posons, p o u r abréger, les équations
3
f 2 V — ^ =
(a)
I
\r-y -+- Wy
y v . , -
!>/
+
z.
oz
- + - ir-z
s
-
z
s
=
3
H D X -t- I) JC -+- . . . ,
+
iv
=
-1- .
. . ,
-f-...,
où l ' e x p o s a n t d e D i n d i q u e l ' o r d r e d e la q u a n t i t é i m m e n s é m e n t p e t i t e
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SECTION v. — APPROXIMATION.
87
à l a q u e l l e l e t e r m e se r a p p o r t e , et n é g l i g e o n s , d a n s c e s é q u a t i o n s ,
t o u t e s l e s q u a n t i t é s d u t r o i s i è m e o r d r e et d e s o r d r e s s u p é r i e u r s ; p o sons en o u t r e
( r»=D^
^
'
1
8
+_V
j
2
'
+ LU ,
2
8
2
L i =D ^
s
;
nous a u r o n s , en négligeant les t e r m e s d u q u a t r i è m e ordre et les suivants :
!
I
= r + 2 r cos(rv)
v
et
1
^ 7
3
( )
1
=
fre-t-i)
p r H -
^
r
i
C
0
S
,
.
( ' ) ,
t
On p o u r r a m e t t r e l e s é q u a t i o n s (1) s o u s la f o r m e s u i v a n t e , o ù l ' o n a
s u p p r i m é d a n s les p r e m i e r s m e m b r e s l ' i n d i c e s d é s o r m a i s i n u t i l e :
/
(6)
/
L(Y
' K
d*-x\
v
Z
G)
c
„
,
= SX
- S )=
, . r T)x
±
S S ±
T)*x
I
J)x
-H ^
- ( „ H- 0
+ ^
- (" + 0 ^
cos(r ] ·
0
- C08(R0] -
Or d e ce q u ' o n s u p p o s e , e n p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , les m o l é c u l e s r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é e s , il r é s u l t e t o u t d ' a b o r d q u ' o n a
DR
\)x
DS
S E ± m * / „ — - , = : o, S Ï ± m J / , ^ - , = o ,
S S ± m î / „ ——, = o.
Il r e s t e à é v a l u e r les q u a n t i t é s
s
I) .r
,
-(
/ 2
+
1
, Tix
)^r '3
,
t C O S
,
/
( -')
N o u s r e p r e n o n s les c o n v e n t i o n s d u n° 14 d e la S e c t i o n I p o u r la r e p r é s e n t a t i o n d e s c o o r d o n n é e s d e s m o l é c u l e s ici r é d u i t e s à d e s p o i n t s ;
n o u s s u p p o s e r o n s q u e a?„, y , = s o n t les c o o r d o n n é e s d ' u n é t a t p r i m i 0
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0
88
LES
LOIS
DE LA
MATIÈRE.
tif a n t é r i e u r d ' o ù l ' é t a t a c t u e l d é r i v e s a n s s o l u t i o n d e c o n t i n u i t é e t o ù
les molécules étaient r é g u l i è r e m e n t d i s t r i b u é e s ; e n r e p r é s e n t a n t p a r
h, k, / l e s p a r a m è t r e s d e l ' é t a t p r i m i t i f a n t é r i e u r , n o u s a u r o n s , a u l i e u
des a c c r o i s s e m e n t s c o n s i d é r é s d a n s le n u m é r o p r é c i t é ,
(7)
A x
= l h ,
a
\y =zr,k,
Ai =Ç/,
0
0
;, YI, £ é t a n t d e s n o m b r e s e n t i e r s p o u r t o u t e s l e s m o l é c u l e s . N o u s e n
déduisons
(«)
/ D x =
Ax — q\ \ h - H q'[ r k
\ v
^ \ f = q ' M + w k +
[ \)z
r
q"[ Ç / ,
t
= X z = q '
3
V l
7
+
: z i ,
q" r k+q"^l
3
i
et
dAx
^ — \h
àx„
a D - œ =
+
CMo
t)ir
dAx
— — 7j k 4 dy\
dz
„ ,
Il,
0
0/0
d-o
Nous verrons aisément, en nous reportant à l'équation ( 4 ) , q u e
i)
;
2
x
— .
,
.
+
.
Dx
,
r, cos(rO =
. ,
d
IÇA^
Ax
—
f
,
, d
k ^
+
Ax
_
, „,
+
d
^
Ax
— , -
Les deux autres équalions (6) subiront des réductions analogues, en
sorte qu'on peut poser à leur place les nouvelles formules
R a p p e l o n s ici u n e d e s f o r m u l e s é l é m e n t a i r e s d u C a l c u l d i f f é r e n t i e l .
Soit tp u n e f o n c t i o n e x p l i c i t e d e x, y, z, v a r i a b l e s q u i s e r a i e n t e l l e s m ê m e s d e s f o n c t i o n s e x p l i c i t e s d e x , y , z ; ce q u i r e n d <p u n e fonction implicite de x , y , s . En égalant entre elles les dérivées prises à
ces d e u x p o i n t s d e v u e e t e m p l o y a n t p o u r l e s d é r i v é e s d e x, y, - p a r
0
0
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0
a
0
0
SECTO
I N V. — APPROXIMATION.
r a p p o r t à x , y„, s
0
8c)
les n o t a t i o n s d e s f o r m u l e s ( 8 ) , n o u s t r o u v o n s
0
da>
-
àx
0
ds
,
d<p
dt»
,„
d*
,
dit
d
àfo "
t
dx
de
dv
,„
„,
~~ dx
Ax
F a i s o n s , d a n s ces f o r m u l e s , © = prpr ; n o u s en d é d u i r o n s , en r e c o u r a n t
aux formules (8),
^
7
+
^
(q\S'«
=•
d
~
X
^
d
r
-
k
d J
+ q\i*
-f- 7 l
Ax
7
v
7
^
+
r ^
Q
J
d z
7^
a
ço A
+ ;t + > + r 1 _ _£?L
(y
)
d
f
^
^
'
7
7
y
r
~
^
^
v
~
A
q
%u
? ;
0
Ax.
z
7
^
'
On a u r a d e m ê m e
^
à
Ay
^
d
d
Av
Ay
\
x
^
A^
^
A
v
A
— As ^
Ceci n o u s p e r m e t de r e m p l a c e r p a r les é q u a t i o n s s u i v a n t e s les é q u a t i o n s ( i o ) m u l t i p l i é e s p r é a l a b l e m e n t p a r ~, afin d ' e n r e n d r e les s e c o n d s
m e m b r e s c o m p a r a b l e s a u x é q u a t i o n s (47)
/
Î
1
'
d^x\
v
p
±inlf {
0
à
tl
x
d e la S e c t i o n II :
Ax
d
Ax
d
£
a
< - ^ ) = ^ - - ^ r ^ ^ ^^àj 7 ^ +
I
\
dt* )
1
/
(,
d'-z\
p
r
Z
( P(
-^J
=
m
\
+ m ; / „ /
E
^
s
^ ^ (
A
dx r " + '
d
As
" ^ ^
+
J
A
- -
v
r " + 7
A3
^ ^
A p p l i q u o n s a u x s e c o n d s m e m b r e s d e c e s é q u a t i o n s la
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^ 7^)'
n
ày r +'
d
Ax \
d
+
A
z
Az
\
^ F ^ j -
differentiation
V
9 0
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
p a r p a r t i e s r e p r é s e n t é e p a r la f o r m u l e
u dv — due — v du,
et r e m p l a ç o n s la p r e m i è r e p a r t i e p a r l e s v a l e u r s (47)
d e la S e c t i o n I I ;
nous trouverons
l
d x\
dt( I 3 )
2
dt
d-z
H t
dEyy
ÔE
dE
àE
yz
zz
zy
zx
d
Oz
4 -
dE
-
Y
+
dy
dx
\
1
xz
x
xx
) ~~
dE
dE
dE
dx
/ ~
dy
x
E n effet, les s e c o n d s t e r m e s d e s s e c o n d s m e m b r e s , s a v o i r
x
^zhm /„
iS
_Ax^ f àp Ax
n
+
dp Ay
1 C
S
^ '
2
Y
i
±
m
Ay fâpAx
l f n
m
r^\dx
m
r"^
[
\
+
â? Az
dy
dx
d Ay
dy
?
dx
dp Az\
dz ·'
ày
dz
sont t o u s nuls à cause de l'identité
04)
dp Ax
dx
dp Az
dp Ay
~ 1 > T
q u e n o u s a l l o n s d é m o n t r e r d e la m a n i è r e s u i v a n t e .
Posons
'
(là)
D:
en v e r t u d e l ' é q u a t i o n ( 1 9 )
é q u a t i o n s (11)
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par r a p p o r t a
i \
< i \q ' I
li
7*
q \
q
<U
\
i
p '
l
d e la p r e m i è r e S e c t i o n ,
0,
et
^ ; nous trouverons
r é s o l v o n s les
p u i s a p p l i q u o n s c e s f o r m u l e s à l ' e x p r e s s i o n ( i 4 ) . N o u s t r o u v e r o n s , en
r e c o u r a n t a u x r è g l e s c o n n u e s d e s d é t e r m i n a n t s et
nar
1
remplaçant
••->
àx
0
do t±y
dp A r
+~
dx
j
&z
dp
"+"
~cW
dq'l
7l
dx
7i
7i
7i
7i
7i
7'J
72
7*
a
=
p\h
i\
111
q\
7
dq\
dqj
dxt
dx
4 -
2
dx
0
a
<?7_I
TU
7
l'
3
3
l\
73
dx
a
à<ï\
àg\
ày„
dy„
àyo
l'ï
l\
7»
M
7i
M
dq'
dq\
dy
ày
t
0
7's
q\
<]\
7i
7'i
7 .
7 i
7
7a
7^
0
M
M
ni
^.">
7i
73
73
ày
0
dx
O^o
D U
P5
0
dp
dx
0
ày<>
0
àz
o/o
0
d'après l'équation (i5), laquelle donne
Dp = p ,
0
c'est-à-dire constante.
L ' é q u a t i o n ( i 4 ) est d o n c d é m o n t r é e .
2 . T o u s les g é o m è t r e s q u i , d e p u i s N a v i e r , o n t c h e r c h é les é q u a t i o n s
de l ' é q u i l i b r e e t d u m o u v e m e n t d e s c o r p s d a n s la c o n s i d é r a t i o n d e
forces é l a s t i q u e s c o n t i n u e s a p p l i q u é e s a u x faces d ' u n p a r a l l é l é p i p è d e
r e c t a n g u l a i r e « o n t a r r i v é s a u x é q u a t i o n s ( i 3 ) ; et, j e d o i s le d i r e , en
s u p p o s a n t a priori l ' i d e n t i t é de ces forces a v e c les a c t i o n s m o l é c u l a i r e s ,
ils o n t agi d ' u n e m a n i è r e b e a u c o u p p l u s b r è v e et b e a u c o u p p l u s é l é g a n t e q u e j e ne l'ai fait m o i - m ê m e ; on p e u t le voir d a n s l e s Leçons sur
la théorie mathématique de Vélasticité des corps solides de L a m é ( ' ) , O u (>) Paris, Mallet-Bachelier, p . i 4 e t s u i v . ; i852.
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v r a g e q u e j ' a i déjà c i t é p l u s i e u r s f o i s ; c e p e n d a n t j ' a i p r é f é r é la m a r c h e
p r é c é d e n t e , g u i d é en c e l a p a r les r a i s o n s s u i v a n t e s .
I. J ' a i suivi u n e m a r c h e c o n f o r m e à la r è g l e q u e j e m e s u i s i m p o s é e ,
de n'ajouter, dans mes déductions, aucune hypothèse subsidiaire
aux
h y p o t h è s e s f o n d a m e n t a l e s , e t c ' e n e s t u n e d ' a d m e t t r e a priori l ' i d e n t i t é
d e s s e c o n d s m e m b r e s ( 6 ) a v e c la v a r i a t i o n d e s forces é l a s t i q u e s .
I I . E l l e l è v e , p o u r le c a s de m o l é c u l e s m o n o a t o m i q u e s i s o l é e s , les
d o u t e s q u e L a m é c o n ç o i t s u r la t h é o r i e d e l ' é l a s t i c i t é d a n s s e s Leçons
sur les coordonnées curvilignes (' ), e t t o u s l e s r é s u l t a t s o b t e n u s p a r l'ill u s t r e g é o m è t r e d a n s s e s Leçons sur la théorie mathématique de l'élasticité des corps solides d o i v e n t ê t r e c o n s i d é r é s c o m m e a c q u i s à l ' h y p o t h è s e
des a t t r a c t i o n s a v e c les m o l é c u l e s
monoatomiques.
I I I . E l l e p e r m e t de r e c o n n a î t r e u n e v a r i a b i l i t é p é r i o d i q u e et n o n
s o u p ç o n n é e des forces é l a s t i q u e s d o n t l ' e x p é r i e n c e n o u s d o n n e s e u l e m e n t les m o y e n n e s .
I V . E l l e f o u r n i t les m o y e n s de p o u s s e r a v o l o n t é l ' a p p r o x i m a t i o n d a n s
c e r t a i n s c a s s p é c i a u x où c e l l e d u s e c o n d o r d r e e s t i n s u f f i s a n t e .
V . E l l e p e r m e t a u s s i d e se r e n d r e c o m p t e d e s a c t i o n s m o l é c u l a i r e s ,
a i n s i q u ' o n le v e r r a d a n s les n u m é r o s s u i v a n t s , ce q u e n e fait p a s l'hyp o t h è s e a d m i s e u n p e u à la l é g è r e p a r N a v i e r e t ses s u c c e s s e u r s .
Cette
h y p o t h è s e , e n effet, s u p p r i m e l ' o c c a s i o n d e d i s c u t e r les faits et d e s'en
r e n d r e c o m p t e ; a u s s i d o i t - e l l e , avec c e l l e d e s d i m e n s i o n s n é g l i g e a b l e s
de la m o l é c u l e , ê t r e c o n s i d é r é e c o m m e u n e d e s p r i n c i p a l e s c a u s e s d e s
i n s u c c è s é p r o u v é s j u s q u ' à p r é s e n t , d e l ' a v e u de t o u s , p a r les g é o m è t r e s
attractionnaires dans l'étude des p h é n o m è n e s moléculaires.
3 . P a s s o n s à u n cas u n p e u p l u s difficile : c e l u i d ' u n c o r p s p u r à
m o l é c u l e s i s o l é e s , m a i s p o l y a t o m i q u e s . L e s f o r m u l e s a p p l i c a b l e s à ce
c a s s o n t l e s é q u a t i o n s ( 1 9 ) d e la S e c t i o n IV. N o u s y p o s e r o n s d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , c o m m e a u n° 1 ,
f x
s
(•7)
x
s
? > •f
'
— z
•+• a.,-5- — t ,
s - ?,·„·
s
-t- f
y f f
?,T
v
O T
a
=
2
\)x
\\V
— Y)z
3
f • I ) x •+- l ) .r
H D
!
f- D-z
/ r I )
3
3
-+- D z
7 +
. . .,
...,
+
Les t e r m e s d e s s e c o n d s m e m b r e s i n d i q u e n t l e s g r a n d e u r s
Paris, Mallet-Bachelier, p . 3 6 o et suiv. ; i 8 5 g .
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successives
SECTION
V.
—
APPROXIMATION.
g3
d u p r e m i e r o r d r e , d u s e c o n d o r d r e , e t c . Ils d i f f è r e n t de c e u x d e l ' é q u a tion ( 2 ) en ce s e n s , q u ' i l s c o n t i e n n e n t des q u a n t i t é s afférentes a u x
c o o r d o n n é e s r e l a t i v e s a, (3, y, t a n d i s q u e les s e c o n d s m e m b r e s de ( 2 )
n ' e n c o n t i e n n e n t p a s . C o m m e a u n° 1, n o u s n o u s b o r n e r o n s , d a n s ce
q u i va s u i v r e , a u x t e r m e s des d e u x p r e m i e r s o r d r e s . Les c a l c u l s s e r o n t
d è s l o r s les m ê m e s a u d é b u t q u ' a u n ° l , et n o u s a r r i v e r o n s d e m ê m e
a u x é q u a t i o n s (3). (4), (5) e t (6). S u b s t i t u o n s a l o r s c e s v a l e u r s d a n s
les é q u a t i o n s ( i g ) d e la S e c t i o n IV et s u p p r i m o n s - y les t e r m e s d ' o r d r e
plus petit que
o b s e r v o n s e n c o r e , c o m m e a u n " 1, q u e les t e r m e s
s o n t n u l s en t a n t q u e c o m p o s é s de q u a n t i t é s é g a l e s d e u x à d e u x et de
signes c o n t r a i r e s ; nous trouverons p o u r valeurs approchées des équat i o n s d o n t il. s ' a g i t
, \)x
Y>'x
( 1 8 )
\
M
[ X—
NI
[ Y
—
—
S£
±
1
PAVANA
) = Sï±
FN
P
A
A
-
FN
pV
4- 1 )
—
(N
—
( «
- f- n
—
( 1
cos (
RI.)
— —
/
D E
• r v
¡.11+3
-+
Il s'agit a c t u e l l e m e n t d ' é v a l u e r l e s q u a n t i t é s d e s s e c o n d s m e m b r e s . Elles
d é p e n d e n t d e s c o o r d o n n é e s r e l a t i v e s d e s a t o m e s , s u r la m a r c h e desq u e l l e s o n p e u t faire d e u x s u p p o s i t i o n s d i f f é r e n t e s , a i n s i q u e n o u s l'avons
vu a u d é b u t d u n ° 6 de la S e c t i o n I I I ; n o u s s u i v r o n s ici u n e m a r c h e
a n a l o g u e et nous d é t e r m i n e r o n s les seconds m e m b r e s en supposant :
i° que les positions des atomes varient par degrés insensibles d'une
molécule à l ' a u t r e ; 2 que ces positions varient p a r d e g r é s sensibles.
0
4 . 1. Les positions des atomes varient par degrés insensibles. — Nous
a v o n s a l o r s , en r e c o u r a n t a u x n o t a t i o n s d u n" 6, S e c t i o n I I I ,
l \)x — S x =
(•9)
=
1
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Ajî 4 -
8y =
\)z —
03
a„. —
Ay-t-p,. ~
Ai; 4 - f '
0
a,
a
p„,
—
f a j
i
(
a
o
)
V
2
< \Yy
=
d-Co
O/o
^
SA - h
(J-=o
^
* +
/
^
S/)
+ p
I
. ( e p
T
-
5 a
4 -
8p .r,/.- +
T
B p V ï O ,
En t e n a n t c o m p t e d e la r e l a t i o n (4) et s u b s t i t u a n t c e s v a l e u r s ( 1 9 ) et
( 3 0 ) dans ( 1 8 ) , nous trouverons aisément
— {n
4
- ' )
7 ^ 5 '
1-
C O S ( /·»-)
r
T, A'
,
B.r
df
_
<)
S.r
/•"-'
0
)
Sx
4 -
H
A
— (" +
a '
T
1
.
„
—
J^TTi
n
\
—
1
( «
+
; ( x . S.r81( . 4 -
)
a
_
Sx
'
, . a i 3
( a ,
i
a
\
1- I )
^
7
8.r 0 V
4 -
(a .8j;0™ . 4 r
T
soit, pour a b r é g e r ,
\
O )
7 ^ r ^ (
/
i
+ ' ) ^
i
' - - C o s ( r v )
'
Les v a l e u r s
D
2
y
^ s í i -
])v
(«
+
0 ^ i r , ' - ' ' C O B ( r v ) ,
2
D ^
T)_ ( „ 4 - i ) _ ¿ ¡ , . i c o s ( r O ,
q u i e n t r e n t d a n s les a u t r e s é q u a t i o n s ( 1 8 ) , c o n d u i r a i e n t à d e s r é s u l t a t s
s e m b l a b l e s , en sorte q u e , en les y s u b s t i t u a n t , on d o n n e r a i t à ces équat i o n s la f o r m e s u i v a n t e :
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O r Q , Q , £i o n t d e s t e r m e s o ù les v a r i a b l e s E, v, '( o n t d e s d i m e n s i o n s
p a i r e s , e t q u i d o n n e r o n t p a r c o n s é q u e n t d e s v a l e u r s a p p r é c i a b l e s à la
s o m m e t o t a l e ; on n e p e u t d o n c p a s les n é g l i g e r . Q u a n t à l ' a u t r e p a r t i e
d e s s e c o n d s m e m b r e s , o n t r o u v e , e n a p p l i q u a n t l a f o r m u l e ( u ) à la
première équation ( 2 3 ) ,
x
r
z
>,
d
Sx
,
+
d
S
à
Sx
X
S
•
, y
,
~- i ^ 9 M
à
— A.r
Sx
d
d
S
d
Sx
,
d
J
dx
Sx
r
- - f - z l -=—
Sx
d
, -+- A y
/·"<-'
dy
-r—
, à
x
X
y
+ ^J77l?M+
d
,
d
: + : i --—
i, h - r —
d
S
à
Sx
Tz
Sx
„
Sx
X
, y ,
„
d
Sx
,
T
F ^ ^
,
h
„
d
Sx
-+- As — —
dz r rt, 4-1
l
r"-+
On o b t i e n d r a de m ê m e
d Sy
à
4
A.-c —— — i _ _ i - A y —
Sy
K
:
1 7
d.»
Ç
l
' d^
0
r»+«
d
+
?
î
d/„
/-""
r"-*"
r-+»
Sz
0
d
-y- Az
r"
,
dz
8s
—— .
dy
1
^ dT
^
d
—Av
dx
dj
8z
: - A.r;
à
-4- A z —
+ 1
—
Sa
-
ds
E n s u b s t i t u a n t c e s v a l e u r s d a n s les t r o i s é q u a t i o n s ( 2 3 ) , l e s m u l t i p l i a n t
e n s u i t e d a n s c h a q u e m e m b r e 'par ~ ,
puis y appliquant,
comme
au
n " 1 , la f o r m u l e c o n n u e
u d\
duv
—
y du.
et n o u s s e r v a n t d e l ' é q u a t i o n ( i 4 ) a p p l i c a b l e ici, p u i s q u e Ane, Ay, Az
o n t les m ê m e s v a l e u r s q u ' a u n° 1 , n o u s a u r o n s t r a n s f o r m é les é q u a -
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96
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
l i o n s ( 23) d a n s les f o r m u l e s s u i v a n t e s :
r " - i
m
± ['«Ni'
^ ,
m
fn
2
t^ / " ôx
2
'
/«
ûy
1
m
Ayor
/•"
f;
1)1
f n
•
1
0
-j '
Av
f n
m
s o i t , en v e r t u d e s é q u a t i o n s (24)1
(25-) e t (26)
cables à l'hypothèse que nous étudions,
/„
d^\
dH^
' à¥.
ÔE
yz
Z
! p( -SI-Y----DF - - d r
d e la S e c t i o n I H , a p p l i -
ZZ
+
„.
-DT
On a p o s é d a n s ces é q u a t i o n s , p o u r a b r é g e r ,
„=ipS2
—
!>„,
(u =
x,y,z).
Q u a n d il n ' y a p a s d e c h a n g e m e n t b r u s q u e d a n s l e s e x p r e s s i o n s à
s o m m e r , et c'est le c a s d e s é q u a t i o n s (24),
o n p e u t s u b s t i t u e r la s o m m a t i o n i n f i n i t é s i m a l e à la s o m m a t i o n p a r q u a n t i t é s finies a v e c d ' a u t a n t
p l u s d ' a p p r o x i m a t i o n q u e les v a r i a t i o n s d e g r a n d e u r s o n t p l u s p e t i t e s .
N o u s a l l o n s le faire p o u r les é q u a t i o n s ( 24 ) r e l a t i v e m e n t à u n e p o r t i o n
du m i l i e u , de m a s s e M, d o n t le c e n t r e d e g r a v i t é a p o u r c o o r d o n n é e s x,
Y, T. N o u s m u l t i p l i o n s en c o n s é q u e n c e les é q u a t i o n s (24) p a r t i e dV dz,
et n o u s l e s i n t é g r o n s e n t r e les l i m i t e s d e c e t t e p o r t i o n . C h a c u n d e s
t r o i s p r e m i e r s t e r m e s d u s e c o n d m e m b r e p o u r r a ê t r e i n t é g r é u n e fois,
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SECTION
V. —
APPROXIMATION.
97
et n o u s m e t t r o n s s o n i n t é g r a l e e n t r e p a r e n t h è s e s p o u r i n d i q u e r q u ' e l l e
est p r i s e e n t r e l e s l i m i t e s d e la v a r i a b l e c o r r e s p o n d a n t e . N o u s t r o u v e rons ainsi
i M (x ~
(.5)
) = / / ( E « dy dz ) +//{E„
dz dx ) + / / ( E
M ( Y - g )
M
dx dy ) +fffW
dx dy dz,
x
=ff(E dydz)+ff(E dzdx)+ff(E dxdy)+fffV dxdydz,
xy
[ M^Z - g - ) =ff{E ;dvdz)
+ff(K dz
X
yz
yy
dx) -+ff(E dx
zz
zy
y
dy) +fffv da?
dydz.
s
Changeons a c t u e l l e m e n t de v a r i a b l e s et r a p p o r t o n s les d e u x d e r n i è r e s
coordonnées
d e s i n t é g r a l e s p r é c é d e n t e s à d e s l i g n e s g é o d é s i q u e s u,
v t r a c é e s s u r la face t e r m i n a l e d u c o r p s et s'y c o u p a n t à a n g l e
droit;
n o u s a u r o n s , e n d é n o t a n t p a r N la n o r m a l e à la s u r f a c e ,
dy dz — eos ( N a ? ) du dv,
dz dx — cos ( NJK) du dv,
!
dx dy — eos ( IN\z ) du dv ;
de p l u s n o u s n ' a v o n s à c o n s e r v e r q u ' u n e d e s v a l e u r s d e s p r e m i è r e s i n t é g r a l e s , d u m o m e n t q u e n o u s é t e n d o n s l ' i n t é g r a t i o n à t o u t e la s u r f a c e ; n o u s p o u r r o n s d o n c , m o y e n n a n t ce c h a n g e m e n t
de variables,
d o n n e r a u x é q u a t i o n s ( a 5 ) la f o r m e s u i v a n t e :
SyfE^cosiNa;)
-+- E *C05(NjK) -+- E¿. cos(N.s)]<5f'ií dv-t-ff
r
S /[E^ Cos(Na-)
E
r
f/[E«
yy
cos(N.r) + E
yz
a!
cos(Nj) -4- E C o s ( N ^ ) ] r i « dv + ff
2y
cos(Nj) -+- E
zz
fl'^dx
dy d.
f¥ dx
dy dz
y
dv - + - f f f W .
cos(Nz)]du
O r il e s t facile d e s ' a s s u r e r q u e , a v e c n o t r e h y p o t h è s e e t n o s n o t a tions, on a identiquement les relations suivantes :
T
( E cos(?s .z) 4 - E c o s ( N / ) - 1 - E- cos (Ns) - - E ,
ia:
(28)
J3:
x
Sjr
] E c o s ( \ ; z ) + ' E c o s ( N j ) -+- E cos(N^) = E ,
z r
( E ^ c o s ( N a ) -+- E
r r
J:r
cos (Nj) + E
y z
E n effet, si l'on d é c o m p o s e E
zz
v
N r
cos(Ns) = E .
X l
p a r rapport à trois nouveaux axes rec-
t a n g u l a i r e s , s a v o i r la n o r m a l e N e t l e s d e u x t a n g e n t e s a u x l i g n e s g é o -
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dx dy dz
d é s i q u e s u, v, o n a u r a , e n v e r t u d u p r i n c i p e d e la c o m p o s i t i o n d e s
forces,
i
EjjN = Ejjj c o s ( N x ) -+- EGY c o s ( N j ) -+- E$. c o s ( N z ) ,
E>„ = E
H j :
c o s (xu)
+ F^yCQS{ju)
Es =E cos{a:v)
v
-4-E
Sx
X j
• \-Ey
COS
s
, c o s ( / c ) H-E
(JSU),
c o s ( s (>)•
Xz
R e m p l a ç o n s d a n s l e s s e c o n d s m e m b r e s les c o m p o s a n t e s d e E p a r l e u r s
e x p r e s s i o n s (28) e t d a n s c e l l e s - c i les c o m p o s a n t e s d e E , E , E , p a r
leurs valeurs tirées des relations
( a 5 ) e t (26) d e la S e c t i o n I I I ;
nous trouverons aisément
s
x
y
(2.4),
4
E > = £ p S [ A a ; c o s ( N « ) -+- A y c o s ( N j ) 4 - As c o s ( N s ) ]
N
AI
[ Sx c o s ( N a ? ) 4 - 8 y c o s ( N j ) -h 8 s c o s ( N s ) ] — >
x
4
Ey„ — | p S [ Ax cos(xu)
x
-+- A y c o s ( / « ) -+- A c c o s ( 4 i M ) ]
[ 8 a ; c o s ( N * ' ) - 4 - 8_y c o s ( N y ) - h 8 s c o s ( N s ) ] ^ ,
4
E
= i p S [ A a ; c,os(xv)
Kv
4-Aycos(yy)
- 4 - A s c o s (s y ) ]
X [ 8 . r cos(N.r) 4 - 8 j c o s ( N y ) 4 - oscos(Nz)] — ;
m
s o i t , avec n o s n o t a t i o n s ,
E ^ = | p S * A N 8 N —,
m
!
r
Es„=ipS*Aw 8 N ^ ,
4
E „ = ipS A^
lV
SN->
ce q u ' a u r a i t d o n n é p r é c i s é m e n t l ' a p p l i c a t i o n d e s f o r m u l e s (24) de la
S e c t i o n III a u p l a n N . Il s u i t d e c e t t e v é r i f i c a t i o n q u e les é q u a t i o n s (28)
s o n t e x a c t e s . Mais d è s lors l e s é q u a t i o n s (27) p e u v e n t ê t r e m i s e s s o u s
la f o r m e
M
( 3o)
X
( ^
\ M (Y
M
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-
S)
=ff***
^f)
-
— ^
d
u
d
v
x
+SfS V dxdydz,
x
f J E , , du dv + FFF
) = //E
S l :
dudv+
V
dx dy
dz,
F FF V . dx dy
dz.
y
Or, d'après le n° 12, I, de la Section IV, les seconds m e m b r e s doiv e n t s e r é d u i r e à l e u r s p r e m i e r s t e r m e s , e t il e s t facile d e s ' a s s u r e r
qu'ici les seconds termes n e sont p a s n u l s ; donc l'hypothèse q u i a
c o n d u i t a u x é q u a t i o n s ( 3 o ) e s t fausse ; e n d ' a u t r e s t e r m e s , les distances
atomiques ne varient pas d'une manière insensible d'une molécule à
l'autre; elles ne varient pas du tout ou varient d'une manière sensible.
5 . I I . Les positions des atomes varient par degrés sensibles. — L e s form u l e s à e m p l o y e r p o u r d é v e l o p p e r les é q u a t i o n s (18)
qui p o r t e n t les n
o s
(16)
e t (18)
sont alors celles
d a n s la S e c t i o n I I I , e n s o r t e q u e n o u s
a u r o n s , en c o n s e r v a n t l e s notations adoptées d a n s cette Section,
( 3 j )
D x =
_
l
f
Sx - + -
D j =
d ( S x -+- A
^
g T
.)
-+- A p # , ,
, , à { l x
h
àx~
ï
i
a
'
of
+
*
Sz -+- ) .
Xgg.)
,
+
àj,
2
dx„
Hz =
a
Q
Y < r
.d{lx +
Í
àz
2
dv
2
2
¿I/o
À ,Q
a
a
dio
0
2
;
d-z,.
L e s c a l c u l s s u b s é q u e n t s s o n t l e s m ê m e s q u ' a u n ° 4 , a v e c c e t t e différ e n c e q u ' o n n e t r o u v e p l u s d e t e r m e £2 e t q u e l e s é q u a t i o n s (24)
sont
remplacées par les suivantes :
Í/¿
2
< r \
/
< i r
_
à &
x
d /
,
r
d*z\_dV
, ¿ E
:cz
P Z
f3E
—
\
<fc* j dx
r
d =
<?E,
y
y
;
r
d E „ ,
d> ' rte
Kn m u l t i p l i a n t p a r <¿r «fy- dz e t i n t é g r a n t c o m m e a u n ° 4 , o n e û t t r o u v é
M ^ X
(34)
j
— — ^ j — f / [ E
M
r , o s ( N j c )
M ( ^ Y - ^ | j = / / [ E ^ c o s ( N ^ ) - f - l i
M ^ Z
— ^
IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
W / / [ E ^ c o s ( N « )
4
r
+
E
r
r
2
; C 0 s ( N j ) -t- E
c o s ( N 7 ) - h E
E
y
;
;
2
y
s
a
;
c o s ( N ¿ ) ] c ¿ « ÎA>,
c o s ( ] N ^ ) ] r i a
f
c o s ( N j ) - + - E ~ c o s ( N s ) ] du
i
(
< ,
dv.
Ces é q u a t i o n s s o n t , s o u s la r é s e r v e d e s r e l a t i o n s ( 2 8 ) , c o m p l è t e m e n t
d ' a c c o r d a v e c l e s c o n c l u s i o n s d u n ° 1 2 , S e c t i o n I V ; et c o m m e il est
d ' a i l l e u r s é v i d e n t q u e la p o s i t i o n d e s a t o m e s v a r i e d a n s les m o l é c u l e s , il
faut e n c o n c l u r e q u e les positions des atomes varient par degrés sensibles
d'une molécule à l'autre; ce q u i t r a n c h e la difficulté l e v é e au n ° 6 de
la S e c t i o n IV. Ce r é s u l t a t , d ' u n e c e r t a i n e , i m p o r t a n c e , e s t m i s e n l u m i è r e p a r l e c a l c u l d i r e c t ; il e û t é c h a p p é c o m p l è t e m e n t - a v e c la m é t h o d e de N a v i e r [voyez c i - d e s s u s le n ° 2 ) .
N o u s a v o n s vérifié l e s é q u a t i o n s ( 2 8 ) d a n s le n u m é r o p r é c é d e n t ;
n o u s p o u v o n s e n c o r e l e faire d e la m a n i è r e s u i v a n t e .
R e m o n t o n s a u x n 6 e t 7 d e la S e c t i o n I I I , e t n e v o y o n s d a n s \x,
c)y, tz q u e l e s p r o j e c t i o n s d e la d i s t a n c e d e d e u x a t o m e s , q u e l l e q u e
soit la loi d e v a r i a t i o n d e s d i s t a n c e s a t o m i q u e s ; l e s f o r m u l e s
(24)
de la Sectioii III s o n t a l o r s u n e e x p r e s s i o n a b r é g é e d e s f o r m u l e s ( 2 7 )
d e la m ê m e S e c t i o n , e t n o u s la t i e n d r o n s p o u r t e l l e d a n s ce q u i va
suivre.
M
R a p p o r t o n s les fonctions de distances à s o m m e r dans l'évaluation
d e s forces é l a s t i q u e s s u r le p l a n N à t r o i s a x e s r e c t a n g u l a i r e s q u i s e r o n t
la n o r m a l e N e t l e s t a n g e n t e s a u x c o u r b e s g é o d é s i q u e s u e t v, c o m m e
a x e s r e s p e c t i f s d e s x, y', z'. A l o r s l e s c o m p o s a n t e s d e l a force é l a s t i q u e E p a r r a p p o r t a u x a x e s de x', y', z' s e r o n t , f o r m u l e s (24),
Section I I I ,
M
E
E
R T
r
- =
i2 p
Sj:' — »
1 S * A . r '
'
2 1
t
=
m
m
l
ipS Ax'
8a'—-
On e n d é d u i t i m m é d i a t e m e n t , p a r l e s f o r m u l e s d e la c o m p o s i t i o n
des forces,
X,
-J-p S* A x ' [ S x ' c o s ( x ' x )
-1- 8y'
cos(y'x)
4
à:'
cos (~'x)] —
(35)
l
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co&(z'y)]~,'
i?S A.r'[8x'cos(a;';K) + 8 / c o s ( 7 »
4 - 8 = '
\ ? S * A . r ' [ 8 x ' c o s (*'.= ) + 8 / c o s
4- 8c'cos (-'s)] — ;
(7'-)
1
niais
Ax' = Ax COS(.r'a-) -+- Ay COs(x'y) -+- Az COs(x'z),
Sx' cas(x'x) •+- Sy' cos(y'x) -+- Sz' cos(z'x) = Sx,
1
Sx' cos(x'y)
+ Sy' cos (y'y)
+ Sz cos(s'y)
Sx' cos(x'z)
-4- Sy' cos (y'z)
+Sz'
=
zos{z'z)
8y,
~Sz;
donc les équations (35) deviennent, en recourant aux équations ( a 4 ) .
(25.) e t ( 2 6 ) de la S e c t i o n I I I ,
E
—E
xr
xx
o.os{x'x) + E
cos(x'y) -+- E
yx
E^y — E
cos^x'x) -4- E
! E^ = E
cos(x'x) - 4 - E
xy
2
xz
cos(x'z),
zx
cos (x'y) -+- E
yy
zy
r I
cos (x'y) -4- E
zz
cos(x'z),
cos(«'2) ;
c ' e s t - à - d i r e , en y r e m p l a ç a n t x' p a r N , les é q u a t i o n s ( 2 8 ) .
6.
Les
calculs des n
o s
4
et 5 d o n n e n t l i e u a u x
remarques
sui-
vantes :
I. A i n s i q u e n o u s l ' a v o n s o b s e r v é à la fin d u n° 4 , o n a r r i v e r a i t é g a l e m e n t a u x formules ( 3 6 ) , en s u p p o s a n t les a t o m e s h o m o l o g u e s occup a n t r e s p e c t i v e m e n t a u m ê m e i n s t a n t t, q u a n t à la d i s l a n c e d u c e n t r e
de la m o l é c u l e et à l ' o r i e n t a t i o n , l e s m ê m e s p l a c e s d a n s les m o l é c u l e s
dont les actions concourent effectivement
à f o r m e r la force é l a s t i q u e ,
o u , c e q u i r e v i e n t a u m ê m e , en s u p p o s a n t n u l l e s les q u a n t i t é s 9 e t 1
d e s f o r m u l e s ( 2 0 ) et ( 3 i ) ; a l o r s l e s é q u a t i o n s a d m i s e s a u c o m m e n c e m e n t d u n ° 3 , savoir
(3 )
S D ^ ^ ^
7
;
- o ,
se v é r i f i e r a i e n t i d e n t i q u e m e n t , a t t e n d u q u ' e l l e s a u r a i e n t l e u r s p r e m i e r s
m e m b r e s composés de termes é g a u x d e u x à d e u x et de signes contraires;
face d ' u n
en outre, c o m m e nous n e pouvons p a s s u p p o s e r q u e ,
d'une
p a r a l l é l é p i p è d e g é n é r a t e u r à la face o p p o s é e , la force é l a s -
tique ait varié d ' u n e
quantité
finie,
p a r c e q u e cela est c o n t r a i r e
au
p r i n c i p e d e c o n t i n u i t é a d m i s d a n s t o u t c e q u i p r é c è d e , force n o u s e s t
d ' a c c e p t e r les r é s u l t a t s d e l ' é q u i l i b r e e n t r e les m o m e n t s d e s f o r c e s é l a s t i q u e s a p p l i q u é e s à u n p a r a l l é l é p i p è d e r e c t a n g l e , t e l s q u e les d o n n e
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I02
LKS LOIS DE LA MATIÈRE.
Lamé ( ' ) , et de p o s e r
— E-y,
^xy — ^yxy
(38)
E
zx
—
Ces d e r n i è r e s é q u a t i o n s n e s e v é r i f i e n t p a s i d e n t i q u e m e n t , a i n s i q u e
n o u s l ' a v o n s vu a u x n
o s
6 et 7 de la S e c t i o n I I I . E l l e s
représenteront
p a r c o n s é q u e n t t r o i s é q u a t i o n s d e c o n d i t i o n e n t r e les d i s t a n c e s a t o m i q u e s e t les d i s t a n c e s m o l é c u l a i r e s . On s a i t q u e L a g r a n g e a c o n s t a t é ,
p o u r les é q u a t i o n s différentielles à p l u s i e u r s variables, trois sortes d'int é g r a l e s : la c o m p l è t e , la s i n g u l i è r e e t la g é n é r a l e . Cette d e r n i è r e c o m porte, pour
c h a q u e fonction
et à chaque intégration,
une
fonction
a r b i t r a i r e et p e u t s e u l e s a t i s f a i r e à t o u t e s l e s c o n d i t i o n s r e q u i s e s p a r
u n p r o b l è m e g é n é r a l , t e l q u e le r e p r é s e n t e n t
l e s f o r m u l e s (33).
Ces
formules sont d'ailleurs d u second ordre et c o n t i e n n e n t trois fonctions :
x
leurs
=
x
z
f\( <s>y»> o)>
y
=
x
s
z=
fi( <¡iy<» O)J
premières intégrales générales
x
z
fz( oiyo> a)\
comporteront donc
trois fonc-
tions arbitraires q u e les é q u a t i o n s ( 3 8 ) , é g a l e m e n t d u p r e m i e r o r d r e ,
serviront à déterminer. Une nouvelle intégration donnera des relations
finies
comprenant
trois fonctions arbitraires nouvelles à
déterminer
par les conditions p a r t i c u l i è r e s de c h a q u e p r o b l è m e p a r t i c u l i e r .
I I . N o u s a v o n s s u p p o s é é v i d e n t a u n° 5 q u e les é q u a t i o n s (3^)
satisfaites; cela est effectivement
étaient
u n e c o n s é q u e n c e d u p r i n c i p e d e la
c o n t i n u i t é , m a i s n e r e s s o r t p a s d e la f o r m e m ê m e d e s p r e m i è r e s é q u a t i o n s (37),
o ù les t e r m e s n e s o n t p l u s é g a u x d e u x à d e u x et d e s i g n e s
c o n t r a i r e s ; p a r c o n s é q u e n t , d a n s le c a s où les p o s i t i o n s d e s a t o m e s différeraient dans des rapports
finis
d ' u n e m o l é c u l e à l ' a u t r e , ce q u i e s t
p o s s i b l e , m a i s n o n n é c e s s a i r e , l e s é q u a t i o n s (37)
constitueraient pour
c h a q u e a t o m e trois é q u a t i o n s de condition du p r e m i e r o r d r e
répon-
d a n t aux trois équations différentielles du second ordre, d o n n é e s d a n s
la S e c t i o n
IV e t d é s i g n é e s p a r la l e t t r e 8/'.
On p e u t les c o n s i d é r e r
(') Leçons sur la The'orie matlie'matique de l'élasticité des corps solides, par L a m é ;
Paris, Bachelier, i 8 5 2 . [Voyez l e s p a g e s 16 et 1 7 , o ù c e t t e égalité e s t établie par la c o n s i dération des m o m e n t s du parallélépipède rectangle.)
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a l o r s c o m m e t r o i s i n t é g r a l e s d e s t i n é e s à d é t e r m i n e r les t r o i s f o n c t i o n s
a r b i t r a i r e s i n t r o d u i t e s p a r u n e p r e m i è r e i n t é g r a t i o n d e s f o n c t i o n s 6¿ .
D ' a u t r e p a r t , les é q u a t i o n s ( 3 8 ) s u b s i s t e r a i e n t t o u j o u r s e t r é p o n d r a i e n t
a u x t r o i s f o n c t i o n s a r b i t r a i r e s i n t r o d u i t e s p a r l ' i n t é g r a t i o n d e s fonctions q/.
yl
[ ]
7 . A v a n ç o n s e n c o r e e t c o n s i d é r o n s u n cas p a r t i c u l i e r d u fait p l u s
g é n é r a l e n v i s a g é a u x n 7 e t s u i v a n t s d e la S e c t i o n II. S u p p o s o n s u n
e n s e m b l e de g r o u p e s d e m o l é c u l e s d é r i v a n t r a t i o n n e l l e m e n t d ' u n syst è m e p r i m i t i f e n é q u i l i b r e , tel q u ' i l a été défini au n° l ' â de la S e c t i o n I,
et où il y a u r a i t en m é l a n g e s e u l e m e n t d e u x c o r p s d i f f é r e n t s , les p a r c e l l e s d e c h a c u n u " e u x a l t e r n a n t s u r c h a q u e r a n g é e d ' u n s y s t è m e de
r a n g é e s c o n j u g u é e s . L e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s p a r c e l l e s de m ê m e nat u r e f o r m e r o n t , en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n , u n a s s e m b l a g e r é g u l i e r
d a n s le c o r p s d é r i v é , a u m o i n s l o r s q u ' o n y e n v i s a g e u n t r è s p e t i t e s p a c e ;
m a i s r i e n ne dit q u e l e s p a r c e l l e s de n a t u r e différente a p p a r t i e n d r o n t ,
d a n s ce t r è s p e t i t e s p a c e , à ce s e u l et m ê m e a s s e m b l a g e ; le c o n t r a i r e
m ê m e est le p l u s p r o b a b l e . E l l e s d o i v e n t c e p e n d a n t a p p a r t e n i r à u n a s s e m b l a g e p a r a l l è l e au p r e m i e r et de m ê m e s p a r a m è t r e s , c a r , d ' u n e
p a r t , l e s c o n s t a n t e s q u i e n t r e n t d a n s l e s é q u a t i o n s d ' é q u i l i b r e e t de
m o u v e m e n t s o n t d i f f é r e n t e s de g r a n d e u r , e t , d ' a u t r e p a r t , l e s a s s e m b l a g e s n e d o i v e n t p a s s e c o u p e r de m a n i è r e à s u p e r p o s e r l e s p a r c e l l e s .
C ' e s t s o u s le b é n é f i c e de ces p b s e r v a t i o n s q u e n o u s a l l o n s c h e r c h e r les
a p p r o x i m a t i o n s d e s é q u a t i o n s ( 2 0 ) de la Section IV. N o u s c o m m e n c e r o n s p a r d i s t i n g u e r d a n s l e s s e c o n d s m e m b r e s l e s m a s s e s de m ê m e
n a t u r e q u e c e l l e s d u p r e m i e r m e m b r e d e c e l l e s de n a t u r e différente.
C o m m e a u x n 7 e t 8 d e l a S e c t i o n I I , n o u s le f e r o n s au m o y e n d'indices A et B . A l o r s l e s é q u a t i o n s ( 2 0 ) de la S e c t i o n IV d o n n e r o n t , p o u r
l e s p a r c e l l e s A,
o s
o s
Í
(3
9
)
3ÏL
3IL
A I
A l
(x- ^ )
(Y
-
^
)
=
S-(.r ,.,,
-
=
S* ( y
-
A
\ ^ A . ( Z - ^ ) = S « (
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K
S
A
W
-
x
A s . t n ) <A> - 4 - S
A
( •ï'B í ' s ' a ' —
JASJO ) A >
4 -
S'Cjc,.^—
~ A « . T ) X
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S (S 5'.('T
5
B
x
\ % s r i )
1
jAsra)» '-',
-.45«T)
1 , !
'-
104
LES
LOIS
DE
LA
MATIÈRE,
et, p o u r l e s p a r c e l l e s B ,
( aK
Bs
f^z -
^ f i ^ =. S ( - S E s ' s ' t r - *
5
B O T
)s +
5
S (^As's'tj' -
^ < T ) œ -
Nous avons employé d a n s ces é q u a t i o n s , p o u r abréger, les abréviations
analogues à celles d u n° 8 , Section I I I , savoir :
^
£ —— I^/IAS.ÇT ]-*•« A s's'a'
fn
A s s <y K h ' s ' a '
f^/iAs.ïT
B sVcr' / " i
A s . v a B sVcr'
(40
^
—
S
•
'
' B sjrrBsVd'
x
^ — ! n ! K s a Pv? A s'.s
1
Nous considérons u n milieu où les parcelles oscillent en restant toujours dans le voisinage les u n e s des a u t r e s ; alors deux parcelles consécutives, nécessairement différentes d'après la supposition admise
ci-dessus, p e u v e n t être a d m i s e s c o m m e formant u n g r o u p e ; e t , en partant de là, on pourra grouper deux à deux toutes les parcelles d u m é l a n g e . A p p l i q u o n s l e s é q u a t i o n s ( 3 g ) e t (4o) a u x d e u x p a r c e l l e s d u
m ê m e groupe, et posons
3ÏL -+- 3TO ,
As
^ 3K y
A8
A s
— Jtt,
B
-+- 0TV y
Ba
B s
~ m?,
L e s s o m m e s d e s é q u a t i o n s (3g) e t (4o), a j o u t é e s r e s p e c t i v e m e n t e n t r e
e l l e s , a u r o n t p o u r prejmiers m e m b r e s
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SECTION V. •—
APPROXIMATION.
IO.I
il s ' a g i t d e d é t e r m i n e r l e s v a l e u r s a p p r o x i m a t i v e s d e s s e c o n d s . O r , si
l'on d é s i g n e p a r u l ' u n e q u e l c o n q u e d e s v a r i a b l e s x, y, s , o n v o i t q u e
les seconds m e m b r e s c o n t i e n n e n t les q u a t r e s o r t e s de différences suivantes :
w
BsVt7'
—
u
W B S S A ,
Xi's'(7'
W B
8
I
Ç
F
F
,
o s
q u e n o u s d é s i g n e r o n s p a r les n 1, 2 p o u r la p r e m i è r e l i g n e et 3 , 4 p o u r
la s e c o n d e , en s o r t e q u e , si n o u s p o s o n s d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , e n
n é g l i g e a n t les q u a n t i t é s d ' o r d r e i n f é r i e u r a u s e c o n d ,
" A « V I T -
—
" A W T R
u
—
\ a s a
=
« B S ' J V
« B S Î S
=
MA
WBMt7
=
K
L S V I R '
—
D « ,
D w
D
2
2
U
2
- t - D
u
« 2 >
(44)
SVCT' —
D « ] + D
D M * -+- D
!
M
2
3
,
« ,
4
n o u s t r o u v e r o n s , e n r é p é t a n t les c a l c u l s d u n ° 1, q u e la v a l e u r d ' u n
quelconque des seconds m e m b r e s des é q u a t i o n s formées par l'addition
des é q u a t i o n s (3g) et ( 4 ° ) sera
—
^ / I A S - Î O " t^fl
AS
s'u'
f n
,.«+1
. ' 1
D
-+-
(45)
S*
2
±
J
[ -/IA
u.
2
,
B
idl'-NB».I (J'/«
—
n + l
+
r2
(
D-+-
S
5
2.
± :
[ i „ B I J U F-N
B»
«
s
J'A'/ra
'
D
0
r^Fj'"ï<-iCOS(/'j«.
! î
)
r
Du,
•("
+
•(«
+
0 7 ^ 1 ^ 1 ,
..'1 + 3
cos(r,*. )
3
3
2
Ui
Il s ' a g i t a c t u e l l e m e n t d ' e x p r i m e r les Bu,
O ^ n ' " + H c o s ( r 4 v
t
i
)
X)-u.
N o u s r e m o n t o n s , c o m m e n o u s l ' a v o n s déjà fait, à l ' é t a t fictif a n t é r i e u r , e t , s a n s n o u s a r r ê t e r à la d é c o m p o s i t i o n d e s c o o r d o n n é e s x ,
J^ASITRI
A t s a ' ^'BSOT» · • · en x
-+- a -+- a
, y -+- £
-I- p , . . . , s a c h a n t
q u e c h a c u n de ces t e r m e s est du p r e m i e r o r d r e (à l'exception de x ,
Aasl!
s
Xs
XiS
A s î Œ
Ba
B J J
B s j J
As
( ' ) N o u s n'avons pas mis d'accent à l'indice s des m o l é c u l e s ; il n'a en effet a u c u n e
signification, puisque nous supposons identique la composition des parcelles A, et que nous
en faisons autant pour les parcelles B . La nature de l'atome ne peut donc varier q u ' a v e c
son n u m é r o de molécule dans la parcelle et son numéro d'atome dans la m o l é c u l e .
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j
, . . . , q u i s o n t d e s q u a n t i t é s f i n i e s ) , et v a r i e p a r d e s q u a n t i t é s d u
p r e m i e r ordre ( n ° 5 ) ; n o u s considérerons les coordonnées complètes
c o m m e fonctions d e s q u a n t i t é s c o r r e s p o n d a n t e s d a n s u n état primitif,
et n o t a m m e n t d e c o o r d o n n é e s d e s c e n t r e s d e g r a v i t é d e s g r o u p e s d e
p a r c e l l e s d a n s l e d i t é t a t . Ces f o n c t i o n s d i f f è r e n t d ' a i l l e u r s p o u r c h a q u e
a t o m e . N o u s p o s e r o n s , d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , e n d é s i g n a n t p a r AR ,
y , z les coordonnées primitives du centre du groupe,
A 5
0
0
0
(
UBSS<J
Z
— <$T(J'ai
M
A)
Ecrivons, pour abréger,
.
(•.=
(4 )
f
7
-ÛLI,
S* '
[*•'-
=
A
j ^A
\ As
l A.r =
(48)
/
B
(4 )
=
9
,„
?
'
o
dfi
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l'atome q u e l'on considère. Nous pouvons écrire, en recourant au théor è m e d e T a y l o r et n é g l i g e a n t les q u a n t i t é s a u - d e s s o u s d u s e c o n d o r d r e ,
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SECTION
V. —
APPROXIMATION.
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Ces v a l e u r s n o u s p e r m e t t e n t d e d o n n e r les f o r m e s s u i v a n t e s a u x e x pressions ( 4 4 )
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la s u b s t i t u t i o n d e s v a l e u r s ( 5 a ) d a n s l ' e x p r e s s i o n g é n é r a l e ( 4 5 ) p e r m e t de r a m e n e r celle-ci à la f o r m e
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les d e u x m e m b r e s de l'équation (53) ; a p p l i q u o n s au p r e m i e r m e m b r e
d e c e t t e é q u a t i o n la d i f f é r e n t i a t i o n p a r p a r t i e r e p r é s e n t é e p a r la f o r m u l e
udv = duv — vdu;
n o u s t r o u v e r o n s , e u é g a r d à la r e l a t i o n ( t 4 ) .
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S e c t i o n I I I , où «a,, iiL, 3 , 0 3 o n t p r é c i s é m e n t l e s v a l e u r s d é s i g n é e s ici
par les caractères 1 .
E n s u b s t i t u a n t c e s v a l e u r s d a n s les é q u a t i o n s ( 3 g ) H - ( 4 o )
pliées par ~ i
et t e n a n t c o m p t e des v a l e u r s ( 4 3 ) de l e u r s
multi-
premiers
membres, nous trouverons, pour leurs valeurs approximatives,
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é g a l e m e n t d i s t r i b u é e s ou p o u v a n t ê t r e r a t t a c h é à u n s e m b l a b l e s y s t è m e .
8 . Les é q u a t i o n s ( 5 6 ) , a y a n t la m ê m e f o r m e q u e l e s é q u a t i o n s ( 3 3 ) ,
c o n d u i s e n t c o m m e e l l e s a u x r e l a t i o n s ( 2 8 ) e n t r e l e s c o m p o s a n t e s d e la
force é l a s t i q u e s u r t r o i s p l a n s d i r e c t e u r s r e c t a n g u l a i r e s e t c e l l e s d e la
force é l a s t i q u e s u r u n p l a n q u e l c o n q u e ; il e s t i n u t i l e d ' e n r é p é t e r ici
l e s c a l c u l s ; m a i s on d o i t y a p p l i q u e r t o u t e s l e s d é d u c t i o n s d u n° 6.
L e s é q u a t i o n s ( 3 7 ) e t l e s é q u a t i o n s ( 3 8 ) s e r o n t des é q u a t i o n s d e c o n d i t i o n , c o m m e p o u r les é q u a t i o n s ( 3 3 ) .
Enfin o n p e u t s u p p o s e r a u s s i b i e n q u e l e s p a r c e l l e s A e t 13 s o n t d e s
p a r c e l l e s m a t é r i e l l e s , ou q u e l ' u n e e s t u n e p a r c e l l e m a t é r i e l l e e t l ' a u t r e
u n e p a r c e l l e d ' é t h e r l u m i n i f e r e . N o u s a l l o n s e x a m i n e r ce d e r n i e r c a s .
9 . R e m o n t o n s a u x v a l e u r s ( 5 i ) , S e c t . III d e s forces é l a s t i q u e s s u r
le p l a n d e s se d a n s u n m é l a n g e e n n o m b r e égal d e p a r c e l l e s m a t é rielles A et de parcelles é t h é r é e s R; écrivons-les avec les n o t a t i o n s
q u ' e l l e s o n t d a n s la S e c t . I I I , n o u s a u r o n s
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(37)
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D é s i g n o n s r e s p e c t i v e m e n t p a r A , B , O les c e n t r e s d e g r a v i t é d e s p a r c e l l e s A , B e t d u g r o u p e A B . Les t r o i s p o i n t s A , O, B s o n t s u r u n e
m ê m e droite généralement inclinée par rapport aux trois rangées conj u g u é e s q u i d é t e r m i n e n t le c e n t r e O p a r l e u r i n t e r s e c t i o n . La p a r c e l l e A
a u n e m a s s e d u t r o i s i è m e o r d r e e t la p a r c e l l e B u n e d u q u a t r i è m e : e n
c o n s é q u e n c e , OB é t a n t n é c e s s a i r e m e n t u n e g r a n d e u r d u p r e m i e r o r d r e ,
OA l ' e s t d u s e c o n d . Soit O' le c e n t r e d ' u n g r o u p e A , B , i m m é d i a t e m e n t
voisin s u r l ' u n e d e s t r o i s r a n g é e s c o n j u g u é e s q u i se c o u p e n t e n O, et A ' ,
IV les c e n t r e s d e g r a v i t é d e ses p a r c e l l e s . L e s t r o i s p o i n t s A ' , O', B' s o n t
en l i g n e d r o i t e , e t la d r o i t e A ' O ' B ' p e u t faire u n a n g l e fini, q u o i q u e
p e t i t , avec A O B ( n " 5 ) ; e l l e p e u t e n différer a u s s i e n g r a n d e u r ,
d ' u n e q u a n t i t é d u p r e m i e r o r d r e . La d i s t a n c e BA' d o i t ê t r e t o u j o u r s
p l u s g r a n d e q u e la d i s t a n c e A B ; a u t r e m e n t la p a r c e l l e B f o r m e r a i t
g r o u p e a v e c A ' et n o n a v e c A . Mais d e s a t o m e s d e B p e u v e n t s ' a p p r o c h e r p a r m o m e n t s très près de c e u x de A', à des distances b e a u c o u p
p l u s p e t i t e s q u e la d i s t a n c e 0 0 ' d e s c e n t r e s d e g r a v i t é . 11 suffit de
j e t e r u n c o u p d ' œ i l s u r les v a l e u r s d e s e x p r e s s i o n s A,, ift,, s , CD d e s s e c o n d s m e m b r e s (07 J, c o m p r e n a n t l e s g r o u p e s d e p a r c e l l e s i m m é d i a t e m e n t c o n s é c u t i f s s u r les r a n g é e s p o u r l e s q u e l l e s 0 0 ' se r é d u i t à u n
p a r a m è t r e , e t l ' o n v o i t c o m b i e n ces r a p p r o c h e m e n t s font c r o î t r e l e s d i t e s e x p r e s s i o n s , p a r s u i t e les forces é l a s t i q u e s , s a n s q u e la v a l e u r
de p, l a q u e l l e d é p e n d u n i q u e m e n t d e s p a r a m è t r e s et d e l e u r s i n c l i n a i s o n s m u t u e l l e s , c h a n g e en q u o i q u e ce s o i t . On voit m ê m e , à c a u s e de
la d é c r o i s s a n c e e x c e s s i v e m e n t r a p i d e d e s a c t i o n s avec la d i s t a n c e , q u e
les v a l e u r s d e «t, ift,, s , <B d o i v e n t ê t r e t o u j o u r s p l u s g r a n d e s q u e si la
m a s s e d e s a t o m e s é t a i t c o n c e n t r é e a u c e n t r e 0 . Il y a d o n c , p o u r u n e
d e n s i t é d o n n é e , u n m i n i m u m d e s v a l e u r s de A,, ui,, G, CD, l e q u e l c r o i t
a v e c les d i s t a n c e s A O , B O .
Si les a t o m e s h o m o l o g u e s o c c u p e n t t o u s a u m ê m e i n s t a n t u n e m ê m e
p o s i t i o n d a n s les g r o u p e s b i n a i r e s , ces t r è s g r a n d s r a p p r o c h e m e n t s
e n t r e l ' a t o m e é t b é r é d e B et l ' a t o m e m a t é r i e l d e A ' a u r o n t lieu t o u s à
la fois en u n m ê m e i n s t a n t ; l e s forces é l a s t i q u e s a u r o n t t o u t e s à la fois
leur plus grande valeur, comme elles a u r o n t leurs plus petites dans
u n a u t r e i n s t a n t e x c e s s i v e m e n t r a p p r o c h é du p r e m i e r , p u i s q u e l e s r é volutions de chaque atome éthéré s'accomplissent dans un temps imm e n s é m e n t p e t i t d u s e c o n d o r d r e ( n ° 1 1 , S e c t i o n I V ) . Les s e u l e s forces
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élastiques que nous puissions observer expérimentalement
m o y e n n e s u n i q u e m e n t par rapport au temps.
seront
S i , au c o n t r a i r e , l e s p o s i t i o n s d e s a t o m e s h o m o l o g u e s d a n s l e s
g r o u p e s c o n s é c u t i f s v a r i e n t d a n s des p r o p o r t i o n s finies, a i n s i q u ' o n l'a
r e c o n n u p o s s i b l e a u n° 5 p o u r les m o l é c u l e s i s o l é e s et q u e le s u p p o s e n t
les f o r m u l e s d e la S e c t i o n I I I e m p l o y é e s d a n s le n° 7 , l e s d r o i t e s À O B ,
A'O'LV a u r o n t u n e d i f f é r e n c e d ' i n c l i n a i s o n s e n s i b l e , et l e s p l u s g r a n d s
r a p p r o c h e m e n t s d e s a t o m e s n e s o n t p a s s i m u l t a n é s . M a i s les m á x i m a
en u n p o i n t d o n n é se p r o d u i r o n t t o u j o u r s à d e s i n t e r v a l l e s i m m e n s é m e n t p e t i t s d u s e c o n d o r d r e , et il e n s e r a d e m ê m e d e s m i n i m a ; le
s y n c h r o n i s m e d e c e s m á x i m a e t m i n i m a se r e t r o u v e r a à u n e t r è s p e t i t e
distance du point considéré. L'expérience donnera donc des m o y e n n e s
d e s forces é l a s t i q u e s , t a n t p a r r a p p o r t a l ' e s p a c e q u e p a r r a p p o r t a i !
temps.
Il y a lieu de faire ici u n e a u t r e r e m a r q u e . P l u s les p a r a m è t r e s h, k,
I, q u e n o u s s u p p o s o n s a v o i r é t é c h o i s i s l e s p l u s p e t i t s p o s s i b l e s d a n s
l ' a s s e m b l a g e d e s c e n t r e s 0 , g r a n d i s s e n t , p l u s a u g m e n t e la p r é p o n d é r a n c e dans les seconds m e m b r e s de
des termes contenant u n e
s e u l e fois u n s e u l d e c e s p a r a m è t r e s , e t s u r t o u t de c e u x q u i se r a p p o r t e n t a u x a t o m e s l e s p l u s e x c e n t r i q u e s . Si la d e n s i t é e s t t r è s faible, u n
p e t i t n o m b r e s e u l e m e n t d e c e s t e r m e s i n t e r v i e n t et ce s o n t t o u j o u r s
l e s m ê m e s ; la force é l a s t i q u e s u i t d o n c u n e m a r c h e r é g u l i è r e . A u c o n t r a i r e , si la d e n s i t é a u g m e n t e s u f f i s a m m e n t , c ' e s t - à - d i r e si h, k, / d e s c e n d e n t a u - d e s s o u s de certaines limites, les orbites r e s t a n t les m ê m e s
e t s u r t o u t q u a n d ils se r e s s e r r e n t , d e s t e r m e s q u i d o n n a i e n t a u p a r a v a n t
d e s v a l e u r s t r o p faibles en d o n n e n t de p l u s g r a n d e s e t a r r i v e n t à ê t r e
c o m p a r a b l e s a u x a u t r e s . La m a r c h e d e s forces é l a s t i q u e s c h a n g e d o n c
e t n ' o b é i t p l u s a u x lois q u ' o n a v a i t p u d é t e r m i n e r p a r l ' e x p é r i e n c e
d a n s le cas p r é c é d e n t .
Ce fait n e p e u t q u e s ' a c c e n t u e r a v e c la c o n t r a c t i o n d e s o r b i t e s et
l ' a u g m e n t a t i o n d e la d e n s i t é .
1 0 . Ces c o n s é q u e n c e s p h y s i q u e s d e s f o r m u l e s o b t e n u e s n o u s m e t t e n t
à m ê m e d ' a p p r é c i e r la n a t u r e d e s p h é n o m è n e s p r o d u i t s p a r les m o u v e m e n t s d e s a t o m e s é t h é r é s . R e p r é s e n t o n s e n effet, d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , p a r E la force é l a s t i q u e n o r m a l e à la s u r f a c e t e r m i n a l e d ' u n c o r p s
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fluide r e n f e r m é d a n s u n v a s e i n e x t e n s i b l e t e r m i n é à la p a r t i e s u p é r i e u r e p a r u n t u b e c y l i n d r i q u e i n d é f i n i v e r t i c a l d e d i a m è t r e iR e t s u p p o s o n s q u e , p a r u n m o y e n q u e l c o n q u e , o n y a i t r e n d u la force é l a s t i q u e E c o n s t a n t e . N o u s a u r o n s , d ' u n e m a n i è r e g é n é r a l e , et en
r e p r é s e n t a n t p a r P le f a c t e u r d e p d a n s le s e c o n d m e m b r e d e s é q u a tions ( S y ) ,
E=
(58)
P
P,
P croissant et p par conséquent décroissant à m e s u r e que l'agitation
d e s a t o m e s é t h é r é s a u g m e n t e . S o i t e n c o r e V le v o l u m e d u c o n t e n u de
la p a r t i e i n f é r i e u r e d u v a s e , e t soit h la h a u t e u r à l a q u e l l e le c o r p s
f l u i d e , s u p p o s é u n i f o r m e d a n s t o u t e son é t e n d u e , est m o n t é d a n s le t u b e
p o u r u n e v a l e u r p a r t i c u l i è r e P d e P , et la v a l e u r c o r r e s p o n d a n t e p
d e p . La m a s s e d u c o r p s s e r a é g a l e à
g
0
0
S
(V +
P O
TTR A ).
0
P o u r d ' a u t r e s v a l e u r s p , , P , e t A,, e l l e s e r a e n c o r e
P l
(V-»-i R*A );
C
I
d'où
(5 )
9
a
p (V-t- rR A ) =
0
1
0
2
p (V-f-^R /i,);
1
m a i s on a, en v e r t u d e ( 5 8 ) e t de la c o n s t a n c e d e E ,
(60)
p P = p P ;
0
0
1
1
donc
P_i _
Po _
1\ ~
P.
-
V +
TTK'A,
V -hitRVi
0
et
p
.
P
TTÎÎ2
On p o u r r a d o n c , en g r a d u a n t le t u b e , m e s u r e r les a c c r o i s s e m e n t s d e
P — P
O r l ' i n s t r u m e n t q u e n o u s v e n o n s d e d é c r i r e est b i e n c o n n u e n P h y • s i q u e ; c ' e s t le t h e r m o m è t r e où l'on a r e n d u E c o n s t a n t , e n lui s u b s t i t u a n t la p r e s s i o n a t m o s p h é r i q u e , s'il s ' a g i t d ' u n t h e r m o m è t r e à a i r , ou
la t e n s i o n s e n s i b l e m e n t c o n s t a n t e d ' u n m é n i s q u e d a n s le v i d e q u a n d
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il s ' a g i t d ' u n t h e r m o m è t r e à a l c o o l ou à m e r c u r e . L ' a c c r o i s s e m e n t d e P
e s t d o n c p r é c i s é m e n t l ' a c c r o i s s e m e n t d e la c h a l e u r : d o n c la g r a n d e u r
des m o u v e m e n t s de l'éther est corrélative du p h é n o m è n e q u e nous a p p e l o n s chaleur; m a i s c e s m o u v e m e n t s n e s o n t p a s les s e u l s p h é n o m è n e s
c o r r e s p o n d a n t à la c h a l e u r , a i n s i q u e n o u s le m o n t r e r a u n e é t u d e
plus approfondie.
Il r e s t e à e x p l i q u e r c o m m e n t u n t h e r m o m è t r e p e u t d o n n e r la
t e m p é r a t u r e d ' u n m i l i e u d a n s l e q u e l il e s t p l o n g é et q u i a g é n é r a l e m e n t u n e c o m p o s i t i o n i n t e r n e e t des forces é l a s t i q u e s d i f f é r e n t e s . A
d é f a u t d e la loi de t r a n s m i s s i o n d e s m o u v e m e n t s p a r c o n t a c t q u e n o u s
n ' a v o n s p a s e n c o r e t r o u v é e , n o u s n o u s r a p p e l l e r o n s q u ' o n m e s u r e la
t e m p é r a t u r e s e u l e m e n t q u a n d l'équilibre de t e m p é r a t u r e s'est établi
e n t r e le t h e r m o m è t r e e t le m i l i e u . Gela r e v i e n t à s u p p o s e r q u e le m o u v e m e n t m o y e n d e s p a r c e l l e s é t h é r é e s est le m ê m e d a n s le t h e r m o m è t r e
et le m i l i e u ; c a r s'il n ' e n é t a i t p a s a i n s i , il t e n d r a i t à se m e t t r e e n é q u i l i b r e , et c e l u i - c i n ' e x i s t e r a i t p a s e n c o r e . Il en e s t d e m ê m e d u m o u v e m e n t d e s p a r c e l l e s m a t é r i e l l e s . Or les é q u a t i o n s ( 3 4 ) , c o m b i n é e s
a v e c l e s é q u a t i o n s (28), d o n n e n t d a n s le t h e r m o m è t r e
et d a n s le m i l i e u a d j a c e n t , p o u r u n m ê m e v o l u m e suffisant p o u r o b t e n i r
la m o y e n n e ,
on en t i r e , a c a u s e de
_
dl-
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~~
dvX
dt*
d*Y
'
DT-
1
HT '
2
D Z'
DE-
DYI
DL-
I 14
LES LOIS DE LA MATIÈRE.
et de l'égalité des limites d'intégration
TVT
—
M '
M'
M '
M' ~~ M '
d ' o ù , e n r e m p l a ç a n t M et M' p a r l e u r s v a l e u r s r e s p e c t i v e s Vp, Vp' e t E ,
E_(¡„ p a r
formes équivalentes de
p' é t a n t les d e n s i t é s
u
m o y e n n e s ) , on obtient
> r (
(B-j) (p,
pP , p'Pj,,
(6a)
Pi = P„
P> = P ,
P',=--P,.
y
L ' i n d i c a t i o n du t h e r m o m è t r e c o n v i e n d r a d o n c a u m i l i e u a u s s i b i e n
q u ' à l u i ; et c e p e n d a n t l e s d e n s i t é s , a i n s i q u e les forces é l a s t i q u e s d u
t h e r m o m è t r e et d u m i l i e u , p o u r r o n t ê t r e t r è s d i f f é r e n t e s .
1 1 . C o n t i n u o n s l ' é t u d e de c e s f o n c t i o n s P.
L e s s e c o n d s m e m b r e s ( 4 5 ) n e s o n t p a s s e u l e m e n t f o n c t i o n s d e cr ,
y , s ; ils le s o n t a u s s i d u t e m p s t, e t il e n e s t d e m ê m e d e l e u r s d é r i v é e s ; d o n c les q u a n t i t é s Au, $>u n e s o n t p a s c o n s t a n t e s p a r r a p p o r t a u
t e m p s p o u r u n m ê m e g r o u p e d ' a t o m e s ; elles v a r i e n t en g r a n d e u r avec
le t e m p s t. Il en e s t , p a r s u i t e , de m ê m e d e s s e c o n d s m e m b r e s d e ( 57),
e t il e n r é s u l t e u n e n o u v e l l e difficulté p o u r l ' i n t é g r a t i o n et s o m m a t i o n
d e ces q u a n t i t é s . Il e x i s t e c e p e n d a n t u n e s u p p o s i t i o n t r è s s i m p l e , q u i
p e r m e t d ' e n t i r e r u n e i n t é g r a l e et est a p p l i c a b l e d ' u n e m a n i è r e p l u s
ou moins a p p r o c h é e à c e r t a i n s cas n a t u r e l s : c'est celle d ' u n e oscillation
r e c t i l i g n e d e t o u s l e s c e n t r e s O d e g r o u p e s (voir l e n° 9), p a r a l l è l e m e n t à u n e d i r e c t i o n d o n n é e . N o u s r a p p o r t e r o n s a l o r s l e s c e n t r e s de
g r a v i t é à u n s y s t è m e d ' a x e s r e c t a n g u l a i r e s , tel q u e l ' a x e d e s se, y soit
p a r a l l è l e à la d i r e c t i o n d o n n é e e t n o u s n é g l i g e r o n s l e s effets d e la p e s a n t e u r . La force é l a s t i q u e v a r i e r a d a n s le s e n s d e l ' o s c i l l a t i o n , e t n o n
p e r p e n d i c u l a i r e m e n t à celle-ci; les variations d e s c o m p o s a n t e s t a n g e n t i e l l e s s o n t n u l l e s e t la p r e m i è r e ( 5 6 ) s e r é d u i t à
0
0
0
,,,,
(63)
— p
d*X
dEx*
dC-
dx
t a n d i s q u e l e s d e u x a u t r e s se r é d u i s e n t i d e n t i q u e m e n t à o , p u i s q u e y
e t 3 ne v a r i e n t p a s .
dx
M u l t i p l i o n s les d e u x m e m b r e s de ( 6 3 ) p a r
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dt, et i n t é g r o n s d e p u i s
SFXTTON V. —
APPROXIMATION.
I l 5
t = l , i n s t a n t o ù le c e n t r e a u d é b u t d e sa c o u r s e a u n e v i t e s s e n u l l e ,
0
jusqu'à
l ' i n s t a n t t — t + T O Ù le c e n t r e a sa p l u s g r a n d e v i t e s s e u;
0
c h a n g e o n s e n o u t r e le s i g n e de E ,
ee qui r e v i e n t à s u p p o s e r
xx
qu'on
p r e n d la force r é p u l s i v e a v e c le s i g n e -+- et q u ' i c i n o u s c o n s i d é r o n s la
force m a x i m u m ; n o u s a u r o n s
(6i)
E
E « - E
0
= i
P
^ ,
é t a n t la r é p u l s i o n c o r r e s p o n d a n t a u t e m p s / „ , e t e n a p p e l a n t E la
0
xx
force é l a s t i q u e m o y e n n e , q u i e s t r é p u l s i v e e t é g a l e à ^ ^~
F.
(6o)
H
¡1 v i e n t
Vf. "
Pour arriver à cette équation, nous nous sommes départis de notre
r i g u e u r de r a i s o n n e m e n t ; n o t r e d é d u c t i o n n'en a pas m o i n s u n e cert a i n e v a l e u r , en ce s e n s q u ' e l l e m o n t r e u n e c e r t a i n e d é p e n d a n c e e n t r e
les forces é l a s t i q u e s et l e s forces v i v e s , d é p e n d a n c e s u r l a q u e l l e i n s i s t e n t les g é o m è t r e s l e s p l u s d i s t i n g u é s q u i se s o n t o c c u p é s de T h e r m o d y n a m i q u e . Il e s t m ê m e e x t r ê m e m e n t c u r i e u x q u e , p a r t a n t d e p r i n c i p e s
e n t i è r e m e n t d i f f é r e n t s , ils a r r i v e n t à u n e f o r m u l e à p e u p r è s s e m b l a b l e
à l ' é q u a t i o n ( 6 5 ) , q u o i q u e , t o u t e f o i s , les v i t e s s e s e n v i s a g é e s n e s o i e n t
pas absolument
les m ê m e s . A ce p o i n t d e v u e , il e s t u t i l e d e r a p -
p r o c h e r ce qui p r é c è d e d e s M é m o i r e s XIV et XV de C l a u s i u s ( ' ) , c o n s a c r é s à l ' e x p l i c a t i o n d e la force é l a s t i q u e p a r l e s c h o c s d e s m o l é c u l e s ,
à l'évaluation
des vitesses et des chemins m o y e n s p a r c o u r u s
p a r ces
molécules.
Cette équation (65) entraîne encore une a u t r e conclusion : c'est qu'il
y a d e s faits c o n c o m i t a n t s avec la r é v o l u t i o n d e s a t o m e s é t h é r é s : r é v o l u t i o n d e s a t o m e s m a t é r i e l s , r é v o l u t i o n ou o s c i l l a t i o n d e s c e n t r e s d e
g r a v i t é A et B , o s c i l l a t i o n d u c e n t r e 0 ; t o u s s o n t s o l i d a i r e s et c o n c o u r e n t à la g r a n d e u r de P , s e u l e c h o s e q u e m e s u r e r é e l l e m e n t le t h e r m o m è t r e ; n o u s n e p o u v o n s p a s d i r e si c ' e s t l ' e n s e m b l e d e c e s p h é n o m è n e s ,
1
( ) Théorie mécanique de la Chaleur, par H. Clausius, traduite de l'allemand par F. Folie,
2" Partie, P a n s , E u g è n e Lacroix, 1869, p . i 8 5 et suiv.
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o u s e u l e m e n t u n ou p l u s i e u r s d ' e n t r e e u x , q u i p r o d u i t e n n o u s la s e n sation physiologique de chaleur.
À l a r i g u e u r , on p o u r r a i t e x p l i q u e r l e s m ê m e s r é s u l t a t s avec d e u x
p a r c e l l e s m a t é r i e l l e s A e t 13; m a i s le n o m b r e d e t r è s g r a n d s r a p p r o c h e m e n t s serait i m m e n s é m e n t plus petit, et les oscillations des valeurs
d e s forces é l a s t i q u e s s e r a i e n t b e a u c o u p p l u s g r a n d e s .
1 2 . L e s f o r m u l e s , o b t e n u e s d a n s la S e c t i o n IV s o n t t r è s g é n é r a l e s ,
p a r cela m ê m e v a g u e s e t s u j e t t e s à d e s i n t e r p r é t a t i o n s e r r o n é e s , p o u r
p e u q u e l ' o n c o m m e t t e la m o i n d r e i n a d v e r t a n c e . O n n e s a u r a i t d o n c
trop les é t u d i e r a u m o y e n d e s a p p r o x i m a t i o n s , aussi b i e n a u p o i n t de
vue d u m o u v e m e n t des atomes, laissé jusqu'ici de côté, q u ' à celui du
mouvement des centres de gravité de molécules étudiés dans les n u m é r o s p r é c é d e n t s . P r e n o n s , en c o n s é q u e n c e , l e s é q u a t i o n s (17) d e la S e c t i o n IV e t a p p l i q u o n s - l e s , p o u r p l u s d e s i m p l i c i t é , à u n c o r p s p u r à
m o l é c u l e s p o l y a t o m i q u e s i s o l é e s . L e s é q u a t i o n s (17) d e v i e n n e n t a l o r s ,
en y s u p p r i m a n t l ' i n d i c e s, r e m p l a ç a n t u p a r
sa
et y s é p a r a n t d a n s le second m e m b r e les actions relatives a u x atomes
d e la m o l é c u l e s,
d'-x
J'iï
d¥
v
d'- a
777T
s
M
X
f T
dt*
d\v.
dt
2
d
Z
~~
-7ET1
•—
2
M
— o ( < V — »<j)E
dt-
z.
H b t ^ + J ^ - ^ - J n )
t
V-NA'7 RI
HTIT
i
t/- -1
r
1
d y SA
DW —
dl?
"7771
=>(Y*'— Y * )
2
ZIRR,
r-S(a,.
— y ^ )
E m p l o y o n s , p o u r les a p p r o x i m a t i o n s d e s s e c o n d s t e r m e s d e s s e c o n d s
m e m b r e s , seuls c a p a b l e s d e v a l e u r s a p p r o c h é e s , les m ê m e s c a r a c t è r e s
q u ' a u n° 5 ; nous trouverons
v
S ( U I -+S
(Y„—
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— H v i T ^ I T ' FI,
U — V„) 2
S
——
S tj S'A
SECTION V. —
APPROXIMATION.
Il e s t facile d e s ' a s s u r e r q u e , d a n s ce d é v e l o p p e m e n t ,
,
£3
D M
2
n ' e s t p a s n u l , c a r il n ' y a p a s d e s y m é t r i e , et q u ' i l e s t d ' o r d r e e ; p a reille chose a lieu p o u r les p r e m i e r s t e r m e s des seconds m e m b r e s de
d^
(66).
d^
O r , c o m m e X , Y, Z,
d~
'V
M
*
~ ^ •> ^
sont des q u a n t i t é s finies, ainsi
q u ' i l r é s u l t e d e s n u m é r o s p r é c é d e n t s , il faut a d m e t t r e q u e - ^ r >
d~
~ ~ sont des q u a n t i t é s i m m e n s é m e n t g r a n d e s du p r e m i e r . o r d r e et que
l e s t r o i s é q u a t i o n s ( 6 6 ) se d é d o u b l e n t e n six a u t r e s q u e voici ( o n y a
s u p p r i m é l ' i n d i c e s, q u i n ' a p l u s d e r a i s o n d'èLre, e t é c r i t r' k la p l a c e
de r ,) :
sasa
(
6
8
)
-
^
^
s
-
(
=
^
(
^
ï
<
1
-
' ~
T
^
°'
s
)
)
^
7
T ^
1
^
+
~
S
+
S
s
S
±
±
^
^
^
'
A
^
t
.
'
V - n v f n
et
d^x
~ D
1
Ht
d\y
=
~dtT
d*z
—
S £
V~nrj
. ^
J k ( D x I ) ^ + B v D
(« +
\
V-<s
-+-
2
P-ncr' f
n
1)
!
y
+
\
l
H<T
-+-
D
2
=
•(ra-t-i)
—
'
^
1
On n e p e u t r é c u s e r la r é a l i t é d e s é q u a t i o n s ( 6 9 ) en d i s a n t q u e , l e u r s
t e r m e s m u l t i p l i é s p a r u, é t a n t i m m e n s é m e n t p e t i t s p a r r a p p o r t à c e u x
des é q u a t i o n s ( 6 8 ) , les é q u a t i o n s ( 6 6 ) s o n t s a t i s f a i t e s d e s q u e les r e l a tions ( 6 8 ) le sont, p u i s q u e les a u t r e s p a r t i e s sont négligeables. En
effet, i ° l e s d é v e l o p p e m e n t s ( 6 7 ) c o n t i e n n e n t t o u t e s l e s q u a n t i t é s d u
second et d u troisième o r d r e ; 2 de p l u s , dès q u ' o n ajoute e n t r e elles
t o u t e s l e s r e l a t i o n s ( 6 6 ) q u e p e u v e n t f o u r n i r l e s d i v e r s a t o m e s d e la
m o l é c u l e s, on t r o u v e en p r e m i è r e a p p r o x i m a t i o n p r é c i s é m e n t les é q u a tions q u e d o n n e r a i t l'addition d é b o u t e s les équations ( 6 9 ) . Donc l'ada
0
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!
D2D î)
—,—
d i t i o n d e s é q u a t i o n s (66)
n ' i n t r o d u i t aucune q u a n t i t é du troisième
o r d r e q u i ne soit déjà d a n s l e s é q u a t i o n s
(69).
La c o e x i s t e n c e - d e s é q u a t i o n s (68)
e t (69) d o n n e l i e u a u x c o n s é quences suivantes :
I. Le m o u v e m e n t d e s a t o m e s d a n s la m o l é c u l e n e d é p e n d q u e t r è s
f a i b l e m e n t des v a r i a t i o n s d e s d i s t a n c e s m o l é c u l a i r e s d a n s u n m i l i e u
a s s u j e t t i à d e s lois c o n t i n u e s . On p e u t l e c a l c u l e r à p a r t a v e c u n e assez
g r a n d e a p p r o x i m a t i o n e n p r e n a n t p o u r Bx, D y , Dz d e s v a l e u r s
m o y e n n e s et s u p p o s a n t q u e l e s q u a n t i t é s
— a ,
— (i , y > — y s o n t
les m ê m e s a u m ê m e i n s t a n t d a n s t o u t le r a y o n d ' a c t i v i t é m o l é c u l a i r e .
Les v i t e s s e s s e r o n t d e s q u a n t i t é s finies, ainsi q u e n o u s l ' a v o n s d é j à
r e c o n n u a u n ° 9 d e la S e c t i o n IV.
Œ
a
a
CT
I I . L e s é q u a t i o n s (69) ne p e u v e n t p a s c o n t r e d i r e l e s é q u a t i o n s ( 3 6 )
d u n° 5 . E l l e s d o i v e n t d o n c se c o n f o n d r e avec e l l e s . Cela p e u t se faire
i d e n t i q u e m e n t , p a r e x e m p l e d a n s les c o r p s p u r s à m o l é c u l e s i s o l é e s ,
c o m p o s é e s d e d e u x a t o m e s i d e n t i q u e s e t a y a n t au m ê m e i n s t a n t la
m ê m e d i s t a n c e et la m ê m e o r i e n t a t i o n d a n s t o u t e l ' é t e n d u e du m i l i e u .
Il e s t é v i d e n t en effet q u ' a l o r s c h a c u n d e s d e u x a t o m e s <J, G' d o n n e r a
d e s é q u a t i o n s (69) o ù l e s q u a n t i t é s s o m m é e s d a n s le s e c o n d m e m b r e
s e r o n t l e s m ê m e s , m o i t i é p a r c o n s é q u e n t d e c e l l e s q u e f o u r n i r a la m o l é c u l e ; d ' a u t r e p a r t , p = [ v = \ '•> ^
l
deux atomes donneront
d e s é q u a t i o n s (69) i d e n t i q u e s e n t r e e l l e s e t i d e n t i q u e s a u x é q u a t i o n s
( 3 6 ) , p u i s q u ' i l suffira d e r e m p l a c e r d a n s les p r e m i è r e s fj. p a r ~m p o u r
r e t o m b e r s u r les a u t r e s . D a n s le c a s où l e s é q u a t i o n s (69J n e se c o n f o n d e n t p a s i d e n t i q u e m e n t a v e c les é q u a t i o n s ( 3 6 ) , e l l e s f o u r n i s s e n t ,
par leur identification, des équations de condition d'autant plus nomb r e u s e s q u e la m o l é c u l e c o n t i e n t p l u s d ' a t o m e s ; si e l l e e n c o n t i e n t
t r o i s , p a r e x e m p l e , il f a u d r a , n o n s e u l e m e n t q u e l e s t r o i s é q u a t i o n s (69)
c o ï n c i d e n t avec ( 3 6 ) ; m a i s q u ' i l en s o i t e n c o r e d e m ê m e p o u r l e s é q u a t i o n s (69) c o r r e s p o n d a n t a u x g r o u p e s d e d e u x a t o m e s , et ainsi d e s u i t e .
Le n o m b r e p o s s i b l e d ' é q u a t i o n s d e c o n d i t i o n c r o i t d o n c t r è s r a p i d e m e n t a v e c le n o m b r e d ' a t o m e s d e la m o l é c u l e , et, p a r c o n s é q u e n t ,
l'existence de molécules à n o m b r e u x a t o m e s devient de p l u s en plus
difficile.
m
o
n
c
e s
a
a
1 3 . J'avais e s p é r é , p e n d a n t u n c e r t a i n t e m p s , p o u v o i r a d j o i n d r e à ce
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SECTION
V.
—
APPROXIMATION.
I IQ
t r a v a i l u n e s i x i è m e S e c t i o n , d a n s l a q u e l l e j ' a u r a i s t r a i t é la p r o p a g a t i o n
d u m o u v e m e n t à l'intérieur des corps. Malgré mes précautions de
c o m m e n c e r t o u j o u r s p a r l e s p r o b l è m e s l e s p l u s f a c i l e s , je m e s u i s
h e u r t é a u d e r n i e r m o m e n t c o n t r e d e s difficultés q u e j e n ' a v a i s p a s
s o u p ç o n n é e s d ' a b o r d , e t , p o u r n e p a s r e t a r d e r i n d é f i n i m e n t la p u b l i c a t i o n de cet O u v r a g e , j ' a i r e n o n c é à m o n p r o j e t . Je m e b o r n e r a i à c o n s i g n e r ici les p r i n c i p a u x r é s u l t a t s q u e j ' a i e n t r e v u s .
Si l'on n o m m e mouvement envahisseur le m o u v e m e n t q u i t e n d à se
s u b s t i t u e r à l ' a u t r e , q u i s e r a le mouvement envahi, et si l'on d é s i g n e les
p o r t i o n s d u c o r p s où r é g n e n t ces m o u v e m e n t s p a r les é p i t h è t e s q u i les
c a r a c t é r i s e n t , on p e u t p o s e r les d e u x p r i n c i p e s s u i v a n t s :
I. Le m i l i e u e n v a h i est s é p a r é d u m i l i e u e n v a h i s s e u r p a r u n e
c o u c h e t r è s m i n c e où les v i t e s s e s v a r i e n t d ' u n e q u a n t i t é finie d ' u n e
m o l é c u l e à l ' a u t r e d a n s le s e n s d e la p r o p a g a t i o n d u m o u v e m e n t ; on
p e u t a p p e l e r c e t t e c o u c h e couche de raccord.
I I . La surface m o y e n n e d e la c o u c h e d e r a c c o r d e s t n o r m a l e e n c h a c u n de s e s p o i n t s à la r é s u l t a n t e q u ' y d o n n e r a i e n t les v i t e s s e s e n v a h i s s a n t e et e n v a h i e .
FIN.
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IRIS - LILLIAD - Université Lille 1
TABLE
DES
MATIÈRES.
Pages
Prkfack
i
B u t et
résume
l'Ouvrage.
—
Y
Réfutation des principales objections élevées
contre les actions
à
distance.
SECTION
But
I.
—
proposé,
Préliminaires
n ° 1 . —- H y p o t h è s e
à 5 . — Ordres
distribution
blages
-
de g r a n d e u r s
des
molécules
réguliers, n
n B
admise,
n ° 2 . —• D i s c u s s i o n
et
choix
10 et 1 1 . —
de
éelle
II.
—
Forces
Définition des forces
élastiques.
les
conjugués
cas
de
conjugués
Réduction
Pascal,
Première
n° 5.
—
de
n ° 9. —
met,. n° 10. —
rectangulaires,
force
cette
élastique
relation
Expressions
des
très
simples
le
n° 7. —
cas
On retrouve
|
I.
III.
—
—
Forces
a
a B
n°" 3
6 et 7. D e la
8 et 9. —
un système
Assemd'assem14.
forces
des
élasticrues.
—
2 , 3 et 4. —
élastiques
entre
sur
plans
dans
trois
et
au
rectangulaires,
n° 1 2 . —
élastiques
n
principe
sur trois plans se
plans conjugués
û
8.
de
coupant
même
Composantes
sur trois plans
le
trois
passant par le m ô m e sommet,
élastiques sur trois plans rectangulaires,
élastiques
cal-
les divers
composantes
conjugués rectangulaires
sur
Cal-
Même
les forces élastiques sur
forces élastiques
élastiques
n°
o s
Ce que d e v i e n n e n t c e s
en fonction des composantes
de Lamé,
n
somn" 1 1 .
élas-
rectangu-
13.
Nouveaux
développements
43
A p p r o x i m a t i o n s
plans
tions, n
des
plans
les composantes
les formules
Expressions sommatoires
trois
n
dans
O B
21
Relations
de
composantes
des forces
tiques sur un plan quelconque
SECTION
formules,
étude
sur u n p l a n q u e l c o n q u e
dans
Relations entre
—· E x p r e s s i o n s
au calcul,
coordonnées,
et
petites, n
L o i d e v a r i a t i o n d e s d e n s i t é s , n°
Composantes
à a n g l e droit en fonction des c o m p o s a n t e s
laires.
n° 13. —
e t r e l a t i o n s e x i s t a n t euLre e l l e s , n ° 6 . —
p l a n s c o n j u g u é s et la
—
—
des
d a n s le c a s de m o l é c u l e s m o n o a l o m i q u e s ,
corps mélangés,
plans
l'hypothèse
é l a s t i q u e s à l ' i n t é r i e u r e t à l ' e x t é r i e u r ; o n é t u d i e l e s p r e m i è r e s , n ° 1. —
cul des forces élastiques
cul pour
qu'on soumettra
Transformation
b l a g e s r é g u l i e r s , n ° 1 2 . •— D e s m é l a n g e s ,
SECTION
de
des quantités insensibles ou immensément
conjugués
2. —
Valeur
finies
4 3
qui permettent
rectangulaires,
de la s o m m e ,
d'évaluer
n ° 1. —
composée
les composantes des forces élastiques
Application
de
l'autre a u x points très r a p p r o c h é s ; conséquences
de
la
série
d'Euler
deux parties ducs, l'une
pour
les
quels est due l'action moléculaire; ces exposants, négatifs,
exposants
à
ces
aux points
éloignés,
des termes monômes
aux-
d o i v e n t ê t r e n u m é r i q u e m e n t ; > 4 , n* 3 .
16
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sur
somma-
Pages
—
LES
PEUT
VITESSES -ENGENDRÉES
PAS
TESSES,
EMPLOYER
ICI
GRANDEUR
ÉLASTIQUES
TANGULAIRES
SUR
DANS
LA
N"
CONVENTIONS
ET
ÉQUATIONS
NOTATIONS,
DES
TIONS DES
1. —
n°
ET DE M O U V E M E N T
MOLÉCULE, n
GRANDEURS
D
MOMENTS
6.
—
DES
COMPOSANTES
DES
VI-
LES G É O M È T R E S Q U I
NÉ-
5a
DIMENSIONS
DES
MOLÉCULES; DEUX HYPOTHÈSES
D ' U N E MOLÉCULE À L ' A U T R E ; E X P R E S S I O N S
PUIS
SUR
DES
HYPOTHÈSE,
M É L A N G E DE
TROIS
PLANS
RECTANGULAIRES
POS-
DES
COM-
D A N S LE C A S
C O M P O S A N T E S ÉLASTIQUES SUR TROIS PLANS
N°
7.
—
COMPOSANTES
ÉLASTIQUES
D E U X CORPS E,T DE LA S E C O N D E
DEURS
LA M A S S E
DE
d eg r a v i t é
SUR
HYPOTHÈSE
RECTROIS
CÎ-D< S-
moinents
DE
5.
•—
DES M O M E N T S
D'ÉQUILIBRE
CENTRE DE
ET D E
MOUVEMENT
DE L'ATOME, N°
GRAVITÉ D E LA MOLÉCULE, N
D
3. —
2.
—
ÉQUATIONS
4.
n°
73
ÉQUATIONS
DU
CENTRE
DES
MOMENTS
DU
CENTRE DE G R A V I T É DE LA
DE* GRAVITÉ D E LA PARCELLE, N ° 7 .
—
ÉQUA-
8.
^
LE CONTACT D E S
76
COPRS,
DE l ' A T O M E
F O R C E S DÉVELOPPÉES
6j
e t des f o r c e s 'vives
L ' A T O M E , n°
ÉQUATIONS
DU
67
.
VITESSES RELATIVES A V E C LESQUELLES
SUR
10.
n°
LES A T O M E S S E M E U V E N T D A N S LA MOLÉCULE, n°
—
JUSTIFICATION
ÉTHÉRÉ ET DE SES C A P A C I T É S
À LA SURFACE EXTÉRIEURE
DES
CORPS, n
D
DE
POUR
l'HYPOTHÈSE
LES
ACTIONS
FAITE
SUR
ATOMIQUES,
LES
N°
9.
—
GRAN11.
•—
12.
V. — Approximation des é q u a t i o n s d'équilibre et de m o u v e m e n t
SECTION
APPROXIMATION
UN
POUR
CORPS
UN
PUR
AUXQUELLES
APPROXIMATION
CIENT DE LA DENSITÉ
PUR
MOLÉCULES
CENT
SOUMISES
POUR U N
CORPS
À
MOLÉCULES
POLYATOMIQUES
LES
MONO-ATOMIQUES,
ET ISOLÉES,
COMPOSANTES
M É L A N G É DANS
N
0 1
n°"
3,
TAFIGENTIELLES
UNE
PROPORTION
à
ET
FIXE,
1
ET 2 .
ET 5 .
—
LEURS
n°"
7
86
—
APPROXIMATION
CONDITIONS
CONSÉQUENCES,
ET S.
—
A U C A S OÙ l ' U N E D E S SORTES D E PARCELLES SERAIT D E L'ÉTHER, N ° 9 .
DANS L'EXPRESSION
LE T H E R M O M È T R E ,
—
CORPS
À
D E S FORMULES DU N " 7
n°
-
10
ET 1 1 . —
Q U E L Q U E S INDICATIONS
SUR la
FIN
9009
ne
C A U C H Y RELATIVEMENT À
C O M M I S E PAR
CENTRE D E GRAVITÉ DE LA PARCELLE, N °
FORCES V I V E S D E l ' A T O M E ,
APERÇUS
12.
DES
ÉQUATIONS
DU
g III. — R é s u l t a t s
N°
L'ERREUR
LES
PAR
ON
j t
EXPRESSIONS
ET D E M O U V E M E N T
G II. — E q u a t i o n s des
ÉQUATION^
PAR
SUR
PASSANT
SECONDE
d e sc e n t r e s
D'ÉQUILIBRE
D'ÉQUILIBRE
—
DÉDUIRE
—
- Équations de l'équilibre et du m o u v e m e n t
IV.
§ I. —- M o u v e m e n t
NIQUES
ET
POUR
RÉSULTATS OBTENUS
PETITES.
8.
S E C T I O N
POUR
LES
CONJUGUÉS,
—
PLANS RECTANGULAIRES D A N S LE CAS D ' U N
SUS,
SUR
COMPTE
PLANS
N° 6.
LE C A S <IE
ORDINAIREMENT
IMMENSÉMENT
5.
A T O M E S en
TROIS
HYPOTHÈSE,
SONT
des f o r c e s élastiques
TENIR
DES
MOLÉCULAIRES
ATOMIQUES
c o m p l è t e s
LA DISTRIBUTION
D E LA P R E M I È R E
SUIVIE
REMARQUE
ACTIONS
ET NOTATIONS POUR
SIBLES SUR
POSANTES
—
ACTIONS
DES. M O L É C U L E S , n°
g II. — E x p r e s s i o n s
CONVENTIONS
4.
DES
GLIGENT LES D I M E N S I O N S
IES
LA M A R C H E
DES POTENTIELS, N °
L'ORDRE DE
PAR
DE
la
FORCE ÉLASTIQUE
APPROXIMATION
LA
TABLE DES
—:
DES ÉQUATIONS
DU
MOUVEMENT
LE
6.
COEFFI-
DE L ' A T O M E ,
CORPS,
MATIÈRES,
P a r i s . — I m p r i m e r i e d e O ^ U T H I E B - V I L L À R S , ^ v a i >dps^Vugustins, 5 ô .
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N*
APPLICATION
V A R I E A V E C LA. CHALEUR ET EST I N D I Q U É
P R O P A G A T I O N DU M O U V E M E N T À l'INTÉRIEUR D E S
DE
MÉCA-
N°
13.