null
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
יחידות 5-6
פונקציות של שני משתנים f ( x, y ) -
תחום הגדרת הפונקציה -סימונים) :יחידות 5-6עמוד , 7סעיף (250
}, R 2 + = {( x, y ) : x, y ≥ 0} , R 2 ++ = {( x, y ) : x, y > 0
}R 2 = {( x, y ) : x, y ∈ R
עקומה שוות ערך )יחידות 5-6עמוד ,11סעיף (258
הגדרה :תהיה . f : R 2 → Rהעקומה שוות ערך aשל הפונקציה ) f ( x, yהיא אוסף כל
הנקודות ) ( x, yבהן מתקיים f ( x, y ) = a
שרטוט עקומות שוות ערך
שיטה – 1משווים את הפונקציה ל ,1 a -בוחרים ערך כלשהוא עבור , f ( x, y ) = a ⇐ aעבור
ערך זה מוצאים מספר נקודות ) ( x, yהמקיימות את המשוואה .מתווים את העש"ע ואת כיוון
הגידול של העש"ע) .שיטה זו נוחה למשל עבור עש"ע שתיאורן הגרפי הוא קו ישר(
שיטה - 2שרטוט עש"ע כאשר ניתן לחלץ את ה y -
שלבים:
נתונה העש"ע ) . f ( x, y
.1בוחרים aכלשהו )תוך התחשבות בתחום הערכים ש f ( x, y ) -יכולה לקבל(
.2מחלצים את ה y -ומבטאים אותו כפונקציה של y = y ( x ) x
.3מבצעים חקירה זריזה:
♦ עליה/ירידה :
⇐ y′ < 0העש"ע יורדות
⇐ y′ > 0העש"ע עולות
♦ קמורה/קעורה
⇐ y′′ > 0העש"ע קמורות
⇐ y′′ < 0העש"ע קעורות
.4מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים )אם יש כאלה(
עם ציר ה - x -מציבים y = 0בf ( x, y ) = a -
עם ציר ה - y -מציבים x = 0בf ( x, y ) = a -
.5משרטטים עש"ע אחת.
.6בוחנים כיצד משפיע שינוי ערכו של הפרמטר aעל העש"ע .משרטטים מפה של עש"ע
ומציינים את כיוון הגידול על ידי חץ שמן.
1
a
הוא פרמטר כללי המייצג ערך מסוים של הפונקציה.
1
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
נגזרות חלקיות
תהי fפונקציה של שני משתנים xו. y -
)יחידות 5-6עמודים ,25-39סעיפים (272, 281, 282, 284, 286
נגזרות חלקיות מסדר ראשון :
) f xאו – ( f1הנגזרת החלקית של fלפי xכאשר גוזרים לפי xו y -מוחזק קבוע.
) f yאו – ( f 2הנגזרת החלקית של fלפי yכאשר גוזרים לפי yו x -מוחזק קבוע.
נגזרות חלקיות מסדר שני:
) f xxאו – ( f11הנגזרת החלקית לפי xשל ) f x ( x, y
) f yyאו – ( f 22הנגזרת החלקית לפי yשל ) f y ( x, y
) f xyאו – ( f12הנגזרת החלקית לפי yשל ) f x ( x, y
) f yxאו – ( f 21הנגזרת החלקית לפי xשל ) f y ( x, y
שתי הנגזרות החלקיות האחרונות נקראות נגזרות מעורבות מסדר שני .לפי המשפט בסעיף 284
מתקיים ) . f12 ( x, y ) = f 21 ( x, y
נחזור לשיטה – 2שרטוט מפת עש"ע
את כיוון הגידול בשלב 6ניתן למצוא גם לפי הטבלה הבאה:
סימן f x
סימן f y
חיובי
חיובי
שלילי
שלילי
כיוון הגידול של העש"ע
2
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
קואזי קמירות ,קואזי קעירות -אספקט גרפי :שימוש לצורך שרטוט עקומות
שוות ערך) .סעיפים (386 , 387
הגדרה )סעיף (386
הפונקציה f : R → Rנקראת קואזי קעורה אם לכל xו y -מתקיים:
2
D = f11 f 22 + f 22 f12 − 2 f12 f1 f 2 < 0
והיא נקראת קואזי קמורה אם לכל xו y -מתקיים:
D = f11 f 22 + f 22 f12 − 2 f12 f1 f 2 > 0
הקשר בין קואזי קמירות/קעירות ובין צורת העש"ע )סעיף (387
נניח שהנגזרות החלקיות מסדר ראשון של הפונקציה f : R 2 → Rחיוביות,
כלומר f1 > 0 -ו. f 2 > 0 -
■ אם fקואזי קעורה אזי העקומות שוות הערך שלה קמורות.
■ אם fקואזי קמורה אזי העקומות שוות הערך שלה קעורות.
אם הנגזרות החלקיות הראשונות חיוביות נוח לסכם בטבלה כך:
העקומות שוות הערך
הפונקציה
הסימן של D
קמורות
קואזי קעורה
שלילי
קעורות
קואזי קמורה
חיובי
שרטוט עש"ע
שיטה – 3שרטוט עש"ע כאשר לא ניתן לחלץ את ה y -
שלבים:
נתונה ) . f ( x, y
מטרה :שרטוט מפת עש"ע f ( x, y ) = a
.1מוודאים שהנגזרות החלקיות מסדר ראשון חיוביות f x > 0 , f y > 0 :
)אם תנאי זה אינו מתקיים לא ניתן לעבוד לפי שיטה זו(
+
}
fx
.2העש"ע יורדות כי מתקיים )לפי מפ"ס( y′ = − < 0
f
{y
+
.4קמירות /קעירות – על פי משפט קואזי קמירות/קעירות D = f f + f f − 2 f12 f1 f 2
2
22 1
2
11 2
♦ אם D > 0העש"ע קעורות
♦ אם D < 0העש"ע קמורות
.4מוצאים נקודות חיתוך עם הצירים )אם יש כאלה(
עם ציר ה - x -מציבים y = 0בf ( x, y ) = a -
עם ציר ה - y -מציבים x = 0בf ( x, y ) = a -
.5כיוון הגידול של העש"ע )ראה עמוד 2בקובץ זה( הוא
3
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
משפט הפונקציות הסתומות )מפ"ס( -סעיף 297
אם המשוואה f ( x, y ) = 0מגדירה את yכפונקציה סתומה של , xאזי הנגזרת של פונקציה
) f ( x, y
dy
= y′ = − x
סתומה זו היא:
dx
) f y ( x, y
שיפוע של עקומה שוות ערך של פונקציה בשני משתנים
תהי ) f ( x, yפונקציה של שני משתנים .שיפוע של עש"ע f ( x, y ) = aבנקודה ) * ( x* , yנתון
על ידי
) * f x ( x* , y
) * f y ( x* , y
y′ = −
)סעיף (324
שיעור התחלופה השולי )סעיף (325
נתונה פונקציית תועלת ) U : R 2 + → R , U ( x, y
) U x ( x, y
שיעור התחלופה השולי :
) U y ( x, y
= ) MRS ( x, y
) MRS ( x, yמתאימה לכל נקודה ) ( x, yבתחום את מינוס השיפוע של עקומת האדישות
העוברת דרכה.
4
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
נקודות קיצון של פונקציות של שני משתנים
נקודת אוכף
)סעיפים (338,347
נקודת מקסימום מקומי
נקודת מינימום מקומי
שלבים למציאת נקודות קיצון של פונקציות בשני משתנים )ללא אילוץ(
נתונה הפונקציה ) . f ( x, y
.1שלב הכנה:
מחשבים את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון ושני :
f x , f y , f xx , f xy , f yy
.2תנאי סדר ראשון -מוצאים את הנקודה /ות המקיימת/ות:
*
*
fx ( x , y ) = 0
*
*
f y ( x , y ) = 0
.3תנאי סדר שני -מחשבים עבור כל נקודה חשודה את ערך הביטוי:
2
*
*
*
*
*
*
*
*
) ∆ ( x , y ) = f xx ( x , y ) ⋅ f yy ( x , y ) − f xy ( x , y
14243 14243 14243
A
C
B
.4מסקנות:
♦ אם ∆ ( x* , y* ) > 0הנקודה ) * ( x* , yהיא נקודת קיצון:
A = f xx ( x* , y* ) > 0
⇐ ) * ( x* , yהינה נקודת מינימום
A = f xx ( x* , y* ) < 0
⇐ ) * ( x* , yהינה נקודת מקסימום
♦ אם ∆ ( x* , y* ) < 0הנקודה ) * ( x* , yהיא נקודת אוכף
♦ אם ∆ ( x* , y* ) = 0לא ניתן לדעת מה סוג הנקודה!
5
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
פתרון אלגברי וגרפי לבעיית קיצון תחת אילוץ
)סעיף (377
שלבים
מנסחים בעיית קיצון ,מזהים את פונקציית המטרה והאילוץ
) min f ( x, y
s.t. g ( x, y ) = 0
בעיית מינימום
) max f ( x, y
s.t. g ( x, y ) = 0
בעיית מקסימום
הפתרון האלגברי
שלב מקדים :מכינים את הנגזרות החלקיות מסדר ראשון ושני
f x , f y , f xx , f xy , f yy , g x , g y , g xx , g xy , g yy
תנאי סדר ראשון -רושמים את התנאים ההכרחיים לקיצון )עמוד 91סעיף (371
) f x ( x, y ) = λ ⋅ g x ( x , y
) f y ( x, y ) = λ ⋅ g y ( x , y
g ( x, y ) = 0
♦
♦
λ
תנאי הסדר הראשון מהווים 3משוואות בנעלמים x,yובמשתנה העזר
פתרון מערכת המשוואות פירושו מציאת נקודה החשודה כקיצון ) ( x , y
*
)למדא(.
*
תנאי סדר שני – מוודאים כי הנקודה היא אכן קיצון מהסוג המבוקש
H = ( f11 − λ g11 ) g 22 + ( f 22 − λ g 22 ) g12 − 2( f12 − λ g12 ) g1 g 2
לפי הסימן של Hנקבע האם מקסימום או מינימום.
שים לב! בשלב זה נדרש לעיתים לדעת את הערך של משתנה העזר
הסימן של . H
H < 0 ⇒ max
λ
H > 0 ⇒ min
או לפחות את הסימן שלו כדי לקבוע את
הפתרון הגרפי
♦
♦
♦
♦
משרטטים את האילוץ.
משרטטים מפת העש"ע של פונקציית המטרה ומסמנים את כיוון גידול שלהן על ידי חץ
שמן.
לשרוט האילוץ ומפת העש"ע מומלץ להיעזר באחת מבין השיטות הבאות -חילוץ y
וחקירה זריזה או שימוש במפ"ס ובתנאי קוואזי קמירות/קעירות.
מסמנים את נקודת הקיצון בצורה ברורה בתרשים .יש לשים לב לכיוון הגידול של
העש"ע!!!
מנמקים מדוע נבחרה דווקא הנקודה המסומנת.
ההסבר בדרך כלל מתייחס למטרת השאלה ולכיוון הגידול.
6
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
פונקציות הומוגניות
הגדרה )סעיף (405
פונקציה ) f ( x, yתקרא הומוגנית מדרגה pאם לכל xו y -ולכל t > 0
מתקייםf (tx, ty ) = t p ⋅ f ( x, y ) :
כלומר ,הכפלת המשתנים ב t -מכפילה את ערכה של הפונקציה ב. t p -
משפט )סעיף (415
אם f : R 2 → Rהומוגנית מדרגה , pאזי נגזרותיה החלקיות f1ו f 2 -הומוגניות מדרגה
. p −1
משפט אוילר )סעיף (420
אם הפונקציה fהומוגנית מדרגה , pאזי לכל xוpf ( x, y ) = xf1 ( x, y ) + yf 2 ( x, y ) : y -
שים לב :פונקציית MRSהיא הומוגנית מסדר .0
MRS ( tx, ty ) = t 0 MRS ( x, y ) = MRS ( x, y )
7
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
האינטגרל הבלתי מסוים
הגדרה 1
תהי ) f ( xפונקציה המוגדרת בקטע ) Iסופי או אין-סופי(.
פונקציה ) F ( xנקראת פונקציה קדומה של ) f ( xבקטע Iאם לכל xב I-מתקיים
)F '( x) = f ( x
משפט )עמוד f ( x) = F '( x) - (6
⇔ ∫ f ( x)dx =F ( x) + C
הביטוי dxמציין מהו המשתנה לפיו עושים את האינטגרציה.
אינטגרלים מיידיים )עמודים (9+12
.1
לכל α ≠ −1
.2
לכל x > 0
xα +1
∫ x dx = α + 1 + C
α
1
∫ x dx = ln x + C
.3
.5
+C
לכל קבוע α
x
∫ e dx = e
x
∫ α dx = α x + C
כללי אינטגרציה
♦
∫ α f ( x)dx = α ∫ f ( x)dx
♦
∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx
שילוב שני הכללים:
∫ [α f ( x) ± β g ( x)]dx = α ∫ f ( x)dx ± β ∫ g ( x)dx
אינטגרלים מיידיים של פונקציה לינארית
אם
1
, ∫ f ( x)dx =F ( x) + Cאז ∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C
לכל t ≠ −1 , a ≠ 0
לכל , a ≠ 0
לכל a ≠ 0
(ax + b)t +1
+C
)a(t + 1
t
= ∫ (ax + b) dx
1
1
∫ ax + b dx = a ln(ax + b) + C
1 ax+b
e +C
a
= dx
ax +b
∫e
8
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
האינטגרל המסוים
הגדרה תהי ) f ( xפונקציה המוגדרת בקטע ] [ a, bותהי ) F ( xפונקציה קדומה של ). f ( x
האינטגרל המסוים של ) f ( xבקטע ] [ a, bמסומן ב-
b
) f ( x ) dx = F ( x ) = F ( b ) − F ( a
a
b
b
∫ f ( x ) dx
a
ומוגדר כך:
∫
a
הערות:
♦ a, bנקראים גבולות האינטגרציה - aהגבול התחתון - b ,הגבול העליון
♦ האינטגרל המסוים הוא מספר ממשי.
תכונות האינטגרל המסוים )עמוד (27
b
b
a
a
א[α f ( x) ± β g ( x)]dx = α ∫ f ( x)dx ± β ∫ g ( x)dx .
b
c
c
a
בf ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
a
גf ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b
דf ( x)dx = 0 .
a
b
∫
a
b
∫
a
לכל αו β -קבועים.
∫aלכל נקודה cהנמצאת בקטע ]
b
)לינאריות (
[
) . a, bחוק פילוג(
)היפוך גבולות(
∫
a
שטחים
.1השטח באיור הכלוא מתחת גרף הפונקציה ) f ( x
ומעל לציר ה x -בקטע ] [ a, bשווה ל. S = ∫ f ( x ) dx -
b
a
S
9
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
שטח מתחת לציר הx -
נתונה פונקציה ) f ( xהמקבלת ערכים שליליים
2
בלבד בקטע ] . [ a, bאזי השטח בציור המוגבל בין
גרף הפונקציה ) , y = f ( xציר הx -
והישרים x = aוx = b -
S
b
הואS = − ∫ f ( x ) dx :
a
( f ( x ) − g ( x ) ) dx
שטח בין שתי פונקציות
b
∫=S
a
S
שטחים מורכבים
.1סכום שטחים מעל ומתחת לציר ה x -הקשורים לפונקציה אחת
למציאת נקודות החיתוך עם ציר ה x -יש לפתור את המשוואה f ( x ) = 0
c
S2 = − ∫ f ( x ) dx
b
,
b
S1 = ∫ f ( x ) dx
a
]
⇒
S = S1 + S2
[
2כלומר f ( x ) < 0לכל נקודה בקטע . a, b
10
חדו"א לכלכלנים / 10142 /אבי קורן2007 /ג
.2שטח הניתן להפרדה לשני שטחים המוגבלים כל אחד על ידי גרף של פונקציה אחרת
למציאת נקודת החיתוך של הפונקציה ) f ( xעם ציר ה x -יש לפתור את המשוואה
f ( x) = 0
למציאת נקודת החיתוך של הפונקציה ) g ( xעם ציר ה x -יש לפתור את המשוואה g ( x ) = 0
למציאת נקודת החיתוך של שתי הפונקציות ) f ( xו g ( x ) -יש לפתור את המשוואה
)f ( x) = g ( x
b
S2 = ∫ g ( x ) dx
c
,
c
S1 = ∫ f ( x ) dx
a
⇒
S = S1 + S2
11
© Copyright 2025