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銘傳應用統計系
第五講
連鎖律與隱函數微分法
Chain Rule & Implicit Differentiation
5-1
目錄
銘傳應用統計系
§
5.0 ﹕綱要
§
5.1 ﹕合成函數
§
5.2 ﹕連鎖律
§
5.3 ﹕隱函數微分
§
5.4 ﹕動動腦想一想
5-2
綱
要
銘傳應用統計系
本講將介紹連鎖律與隱函數微分法
，前者是有關合成函數之微分公式，後
者則有別於前面第四講之顯函數微分
5-3
∈f o g
合
成
函
( C o m p o s i t e
F u n c t i o n )
銘傳應用統計系
定義﹕5.1
給予兩函數 ƒ 與 g ，則 ƒ 與 g 之合成函數
(ƒ。g)(χ)= ƒ (g(χ))
記作 ƒ。g 定義為
此處ƒ
此處 。g之定義域為函數g
之定義域為函數 定義域內所有χ之
集合，使得g
使得 (χ)在ƒ之定義域
{
即 Df og = x | x ∈ Dg且g(x) ∈ D f
5-4
數
}
合
成
( C o m p o s i t e
函
數
F u n c t i o n )
銘傳應用統計系
例1﹕
若 ƒ(χ)=3X+4 且 g(χ)= x ， 求 (ƒ。g)(χ)及
(g。ƒ)(χ)與其對應之定義域
解：
(ƒ。g)(χ) = ƒ (g(χ)) = f ( x ) = 3 x + 4
3x + 4
(g。ƒ)(χ) = g(ƒ(χ))=g(3X+4)=
D
D
f o g
g o f
≥ 0 } = [0 , ∞ )
4
= { x |x ≥ } = [− 4 3 , ∞ )
3
= { x
|x
註：此例可見，一般而言ƒ。g
5-5
≠
g。ƒ
合
成
( C o m p o s i t e
函
F u n c t i o n )
銘傳應用統計系
例2：
若 f (x) = 9 − x2 且g(x) = x2 + 4 求 (ƒ。g)(χ)
解：
Q D f = [− 3,3]
又 g(x) =x2 + 4 ≥ 4 ⇒ g ( x) ∉ D f
∴D ƒ。g=φ
故 ( f o g )( x ) = 9 − ( x 2 + 4 ) 2 無意義
註：由此例可見，任何函數的合成函數不一定有意義
5-6
數
合
成
( C o m p o s i t e
函
F u n c t i o n )
銘傳應用統計系
例3：
4
2
已知 F ( x) = 3 − (x + 1) 試求函數f、g與h
使得 F = f o g o h
解：
令 f ( x)
4
2
g
(
x
)
=
x
且
h
(
x
)
=
x
+1
= 3 − x、
則 F ( x ) = ( f o g o h )( x ) = f ( g ( h ( x )))
= f ( g ( x 2 + 1)) = f (( x 2 + 1) 4 )
= 3 − ( x 2 + 1) 4
5-7
數
連
鎖
律
銘傳應用統計系
定理：5.1連鎖律
設函數g在點a處有導數存在，函數f在點b=g(a)
處有導數存在，則合成函數 ƒ。g在點 a 處亦有導數
存在，而且( f o g ) ' (a ) = f ' ( g (a)) g ' (a)
5-8
連
鎖
銘傳應用統計系
證明：
( f o g )( x ) − ( f o g )( a )
Q ( f o g ) ( a ) = lim
x→ a
x−a
'
令
則
⎧ f(z) − f(b) 當 z ≠ b 時
⎪
F(z) = ⎨
z− b
⎪⎩ f ' (b)
當 z = b時
f ( z ) − f (b)
lim F ( Z ) = lim
= f ' (b) = F (b)
z →b
z →b
z −b
即 F 在點 b 處連續，因 b = g(a)
故
f ( z ) − f (b) = F ( z )( z − b)
5-9
∀ Z ∈ Df
律
連
鎖
律
銘傳應用統計系
令
G ( x ) = ( f o g )( x )
則 lim
x→ a
z = g (x)
, b = g (a )
G ( x) − G (a )
f ( g ( x )) − f ( g ( a ))
= lim
x→ a
x−a
x−a
F ( g ( x )) [g ( x ) − g ( a ) ]
= lim
x→ a
x−a
g ( x) − g (a )
= lim F ( g ( x )) lim
x→ a
x→ a
x−a
∴ G ' (a ) = F (a )
5 - 10
連
鎖
律
銘傳應用統計系
若令 y
= f (u ) ，u = g(x) 時 ，則有 y = ( f o g )( x)
連鎖率亦可表為
dy dy du
=
⋅
dx du dx
推廣之 dy = dy ⋅ du ⋅ dv …等等
dx
即(
du dv dx
f o g o h) ' ( x) = f ' ( g (h( x))) ⋅ g ' (h( x)) ⋅ h ' ( x)
…等等
5 - 11
連
鎖
銘傳應用統計系
定理：5.2
設f (x)在點x 處有導數存在
d
則
dx
[ f ( x ) ]n
證明：令
n −1
[
]
n f (x)
⋅
=
f '(x)
u = f (x)
n
n
[
]
d
f
(
x
)
du
du
du (連鎖律)
則
=
=
⋅
dx
dx
du dx
n −1
n −1 du
= nu
= n[ f ( x)] ⋅ f ' ( x)
dx
n
5 - 12
律
連
鎖
銘傳應用統計系
例4：
d 3
4
3
3 d
( x + 5 x − 1) = 4( x + 5 x − 1)
( x 3 + 5 x − 1)
dx
dx
= 4( x 3 + 5 x − 1) 3 ⋅ (3 x 2 + 5)
例5： d
dx
5 - 13
1
d
3− x =
(3 − x ) 2
dx
1
−
1
d
2
(3 − x )
= (3 − x )
2
dx
1
= −
2 3− x
律
連
鎖
律
銘傳應用統計系
例6：
d 2
( x (1 − x) 4 ) = 2 x(1 − x) 4 + x 2 ⋅ 4(1 − x) 3 (−1)
dx
3
3
= 2 x(1 − x) (1 − x − 2 x) = 2 x(1 − x) (1 − 3 x)
5 - 14
連
鎖
律
銘傳應用統計系
例7：
d
dx
x +8
d ⎛ x +8⎞
⎜⎜
⎟⎟
=
2x − 3
dx ⎝ 2 x − 3 ⎠
2
3
2
1
=
3
1
=
3
2
=
3
5 - 15
1
3
⎛ x2 + 8 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2x − 3⎠
−
2
3
⎛ x2 + 8 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2x − 3⎠
−
2
3
⎛ x2 + 8 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2x − 3⎠
−
2
3
d
dx
⎛ x2 + 8 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 2x − 3⎠
2 x (2 x − 3) − 2 ( x 2 + 8)
(2 x − 3) 2
( x 2 − 3 x − 8)
(2 x − 3) 2
連
鎖
律
銘傳應用統計系
例8：
d
dx
x+
x+
1 1 1
d
x =
[x + (x + x 2 ) 2 ]2
dx
1 1
1
1 1
−
d
1
[x + (x + x 2 )2 ]
= [x + (x + x 2 )2 ] 2 ⋅
dx
2
1
⎛
⎞
1 −2
1
⎜
⎟
⎞
⎛
⎞
d
1⎛
1
2 ⎟
2 ⎟
⎜
⎜
x
x
x
x
1
+
=
+
+
⎜
⎟⎟
⎟ dx ⎜
⎜
2
⎠⎟
⎝
⎠
⎝
2 x + x + x ⎜⎝
⎠
1
⎛
− ⎞⎞
⎛
1
1
1
⎜1 +
⎜1 + x 2 ⎟ ⎟
=
⎟⎟
⎜
⎜
2
x
x
2
+
⎠⎠
⎝
2 x+ x+ x ⎝
1
=
2 x+
5 - 16
x+
1
⎛
1+
⎜
2 x
⎜1 +
⎜
2 x+ x
x ⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
連
鎖
律
銘傳應用統計系
例9：
[
d
4 x + (5 x 2 − 1) 6
dx
[
2
[
2
[
2
= 3 4 x + (5 x − 1)
= 3 4 x + (5 x − 1)
[
= 12 4 x + (5 x
5 - 17
] ⋅ dxd [4 x + (5x
6 2
]
6 2
2
− 1) 6
]
⎡
⎤
2
5 d
⋅ ⎢4 + 6(5 x − 1)
(5 x 2 − 1)⎥
dx
⎣
⎦
] ⋅ [4 + 6(5x − 1) ⋅10 x]
− 1) ] ⋅ [1 + 15 x(5 x − 1) ]
= 3 4 x + (5 x − 1)
2
]
3
6 2
6 2
2
5
2
5
連
鎖
銘傳應用統計系
例10：
x3
求函數 f ( x ) =
在何處有水平切線 ？
2
(3 x − 2)
解：
Q f ( x) = x 3 (3 x − 2) −2
∴ f ' ( x) = 3 x 2 (3 x − 2) − 2 − 2(3 x − 2) −3 ⋅ 3 ⋅ x 3
3 x 2 ( x − 2)
=
(3 x − 2) 3
f ( x) = 0 ⇒ x = 0 , 2
'
故f 在x =0 與 2 處有水平切線
5 - 18
律
連
鎖
律
銘傳應用統計系
例11：
dy
⎛ 2x −1⎞
若 f ( x) = x 且 y = f ⎜
⎟ 求 dx ？
⎝ x +1 ⎠
'
解：
2
dy d ⎛ 2 x − 1 ⎞
' ⎛ 2x −1⎞ d ⎛ 2x −1⎞
=
f⎜
⎟ ⎜
⎟
⎟= f ⎜
dx dx ⎝ x + 1 ⎠
⎝ x + 1 ⎠ dx ⎝ x + 1 ⎠
⎛ 2 x − 1 ⎞ 2( x + 1) − (2 x − 1) 3(2 x − 1)
=
=⎜
⎟
2
4
( x + 1)
( x + 1)
⎝ x +1 ⎠
2
5 - 19
2
連
鎖
律
銘傳應用統計系
例12：
設 f 是一可微分函數且
f ' (3) = 3 若
f( 1 ) = 1 , f( 2 ) = 2 , f ' ( 1 ) = 1 , f ' ( 2 ) = 2
g ( x) = f ( x 3 + f ( x 2 + f ( x))) 試求 g ' (1)
解：
d 3
2
Qg (x) = f (x + f (x + f (x))) [x + f (x + f (x))]
dx
d 2
' 3
2
2
' 2
= f (x + f (x + f (x)))[3x + f (x + f (x)) (x + f (x))]
dx
' 3
2
2
' 2
'
= f (x + f (x + f (x)))[3x + f (x + f (x)))(2x + f (x))]
'
5 - 20
'
3
2
連
鎖
律
銘傳應用統計系
∴ g ' (1) = f ' (1 + f (1 + f (1)))[3 + f ' (1 + f (1))(2 + f ' (1))]
= f ' (1 + f (1 + 1))[3 + f ' (1 + 1) ⋅ (2 + 1)]
= f ' (1 + f (2))[3 + f ' (2) ⋅ 3]
= f ' (1 + 2)(3 + 2 ⋅ 3) = 9 f ' (3) = 9 ⋅ 3 = 27
5 - 21
隱
函
數
微
分
法
銘傳應用統計系
y = f (x)
給定一方程式
F ( x, y ) = 0
例如由方程式
4 x 2 − 2 y = 6 可求出 y = 2 x 2 − 3
， 有時可由此求出
即 y = f (x)，其中 f ( x) = 2 x 2 − 3 此即為顯函數(explicit function)
F ( x, y ) = 0
在此之前已討論
dy d
= (2 x 2 − 3) = 6 x，但有時由方程式
dx dx
不易解出 y = f (x )， 則只需對原方程式直接微分就可以求出隱函數 f 的
導數，此法稱為隱函數微分法 (implict differentiation) 。
5 - 22
隱
函
數
微
分
銘傳應用統計系
以下為隱函數微分法的例子
例13：
'
y 4 + 3 y − 4x3 = 5x + 1 求 y ？
解：
d
d
4
3
(y + 3y − 4x ) =
(5 x + 1)
dx
dx
dy
3 dy
4 y
+ 3
− 12 x 2 = 5
dx
dx
dy
3
(4 y + 3)
= 12 x 2 + 5
dx
12 x 2 + 5
'
y =
4 y3 + 3
5 - 23
法
隱
函
數
微
分
銘傳應用統計系
例14：
F ( x, y ) = x 2 + y 2 − 25 = 0 求 y ' 及 在 x = 3 處之切線斜率
解：
d
d
2
2
( x + y − 25 ) =
0
dx
dx
2x + 2 y ⋅ y = 0
'
x
y =−
y
'
Q x = 3 ⇒ y 2 = 25 − 9 = 16 ⇒ y = ± 4
故過切點(3,4)之切線斜率為 -3/4
過切點(3,-4)之切線斜率為3/4
5 - 24
法
隱
函
數
微
分
法
銘傳應用統計系
例15：
求過曲線
解：
x 2 y + xy 2 + xy − 2 x 2 − x + 3 = 0 上一點(1,0)之切線方程式
d 2
d
( x y + xy 2 + xy − 2 x 2 − x + 3) = 0
dx
dx
dy
dy
2 dy
2
(2 xy + x
) + ( y + 2 xy ) + ( y + x ) − 4 x − 1 = 0
dx
dx
dx
( x 2 + 2 xy + x) y ' = 4 x + 1 − 2 xy − y 2 − y
Q
2
4
1
2
x
xy
y
+
+
−
−y
∴ y' =
x 2 + 2 xy + x
5
故過點 (1,0) 之切線斜率 m = y |(1, 0 ) =
2
5
所求之切線方程式為
y = ( x − 1)
2
5 - 25
'
隱
函
數
微
分
法
銘傳應用統計系
例16：
2
2
x0 x y0 y
x
y
試證在橢圓
上點
(
x
,
y
)
處之切線方程式為
+ 2 =1
0 0
+ 2 =1
2
2
a
b
a
b
證明：
d ⎛ x2 y2 ⎞ d
Q ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟ = 1
dx ⎝ a
b ⎠ dx
2 x 2 yy '
+ 2 =0
2
a
b
2
yy '
x
b
x
'
=− 2 ⇒ y =− 2
2
b
a
a y
故過點(x0,y0)之切線斜率
5 - 26
2
b
x0
'
m = y |( x 0 , y 0 ) = − 2
a y0
隱
函
數
微
銘傳應用統計系
b 2 x0
切線方程式為 y − y0 = − 2 (x − x0 )
a y0
即 x 0 ( x − x0 ) + y0 ( y − y0 ) = 0
a2
b2
2
2
x0 x
y0 y
x0
y0
⇒
+ 2 = 2 + 2 =1
2
a
b
a
b
2
2
x
y
( ∵ (x0,y0) 為橢圓 2 + 2 = 1 上之點)
a
b
5 - 27
分
法
隱
函
數
微
分
銘傳應用統計系
例17：若 s 2t
解：
+ st =
2
2， 求
ds
dt
與
dt
ds
d
d
2
2
Q
( s t + st ) =
2
dt
dt
ds
ds 2
2
t + s ⋅ 2t ) = 0
(2 s
⋅t + s ) + (
dt
dt
ds
2
(2 st + t )
= − (2 st + s 2 )
dt
ds
− (2 st + s 2 )
=
dt
2 st + t 2
5 - 28
法
隱
函
數
微
分
法
銘傳應用統計系
d
d
2
2
(s t + st ) =
2
ds
ds
dt
2 d t
2
(2 st + s
) + (t + s ⋅ 2 t
) = 0
ds
ds
dt
2
(s + 2 st)
= − (2 st + t 2 )
ds
dt
(2 st + t 2 )
= −
ds
2 st + s 2
ds
1
=
由此例可見
dt
dt
ds
5 - 29
隱
函
數
微
分
銘傳應用統計系
3
例18： xy + y = 2 ， 求 y ''
解：
d
d
3
( xy + y ) =
2
dx
dx
'
2 '
y + xy + 3 y y = 0 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅(1)
d
d
'
2 '
( y + xy + 3 y y ) =
0
dx
dx
y ' + y ' + x y '' + 6 y ( y ' ) 2 + 3 y 2 y '' = 0
5 - 30
法
隱
函
數
微
分
銘傳應用統計系
即
2 y ' + 6 y ( y ' ) 2 + ( x + 3 y 2 ) y '' = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅ (2)
−y
由(1) y =
2 代入(2)
x + 3y
'
得
2 xy
y =
( x + 3 y 2 )2
''
5 - 31
法
隱
函
數
微
分
法
銘傳應用統計系
3
3
⎛
x
+
y
=
3
xy
例19：試證過
上之點⎜⎝
證明：
3 3 ⎞
,
⎟
2 2 ⎠
的法線也會經過原點
d
d
3
3
Q
(x + y ) =
(3 x y )
dx
dx
3 x 2 + 3 y 2 y ' = 3 y + 3 xy '
2
y
−
x
y' = 2
⇒ y ' |⎛ 3 3 ⎞ = − 1
y − x
⎜ , ,⎟
⎝ 2 2 ⎠
表過 ⎛⎜ 32 , 32 ⎞⎟之切線斜率為 -1；法線與切線垂直，故法線斜率為1
⎝
⎠
3
3
y
−
=
x
−
法線方程式
，即法線 y = x 過原點
2
2
5 - 32
隱
函
數
微
分
法
銘傳應用統計系
例20：曲線 x 2 y − xy 2
= 2 上過那一點之切線為垂直切線
解：
dx
= 0 之點
求垂直切線，即求滿足
dy
d
d
2
2
( x y − xy ) =
2
Q
dy
dy
⎛ dx ⎞
⎛ dx ⎞ 2
2
2x ⎜
⎟ y+ x −⎜
⎟ y − 2 xy = 0
⎝ dy ⎠
⎝ dy ⎠
5 - 33
隱
函
數
微
分
銘傳應用統計系
dx 2 xy − x 2 x(2 y − x)
=
=
故
2
dy 2 xy − y
y (2 x − y )
dx
=0 ⇒ x=0或
dy
(1)當 x
, (2 xy ≠ y 2 )
x = 2y
= 0代回曲線方程式，得 0=2 不合理
(2)當 x = 2 y 代回曲線方程式，得 y =1 ∴ x =2
故在點(2,1)處有垂直切線
5 - 34
法
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
1.設 f ( x) = 1 − x 2 ，g( x) = x + 1
試求 f o g ， g o f ，D f o g 及 Dg o f
解：
( f o g )( x ) = f ( g ( x )) = f ( x + 1 )
= 1 − ( x + 1 ) 2 = 1 − ( x + 1) = − x
D f o g = [ − 1, ∞ )
( g o f )( x ) = g ( f ( x )) = g (1 − x 2 )
=
1− x2 + 1 =
D go f = [− 2 ,
5 - 35
2 − x2
2]
想
動
動
腦
想
銘傳應用統計系
2. 設 F ( x) = (3x 2 − 2) 4 + 5(3x 2 − 2) 2 + 7 試求
兩函數 f ( x) 及 g ( x) 使 F = f o g
解：
4
2
2
令 f ( x) = x + 5 x + 7 ， g ( x) = 3x − 2
2
則 ( f o g )( x) = f ( g ( x)) = f (3 x − 2)
= (3 x 2 − 2) 4 + 5(3 x 2 − 2) 2 + 7 = F ( x)
5 - 36
一
想
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
3. 求方程式 y = (2 x − 1)10 的圖形在點(1,1)之切線方程式
解：
d
(2 x − 1) = 20(2 x − 1)9
y = 10(2 x − 1)
dx
y ' (1) = 20
'
9
∴過點(1,1)之切線方程式為 y − 1 =
5 - 37
20( x − 1)
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
4. 求函數 f ( x) = x 2 − 8 x + 20 在何處有水平切線
解：
Q f ( x) = ( x 2 − 8 x + 20)
1
2
1
−
1
∴ f ' ( x) = ( x 2 − 8 x + 20) 2 ⋅ (2 x − 8)
2
x−4
=
2
x − 8 x + 20
水平切線，即切線斜率為 0，故在χ=4 處有水平切線
5 - 38
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
5.若 f ( x) = (2 x − 3) 2 (2 x 2 + 1)3 求 f ' ( x)
解：
3
2⎛ d
⎛d
2⎞
2
2
3⎞
f ( x) = ⎜ (2x − 3) ⎟ ⋅ 2x +1 + ( 2x − 3) ⎜ (2x + 1) ⎟
⎝ dx
⎠
⎝ dx
⎠
= 2(2x − 3) ⋅ 2 ⋅ (2x2 + 1)3 + (2x − 3)2 ⋅ 3(2x2 + 1)2 ⋅ 4x
(
'
)
= 4(2x − 2)(2x2 +1)2 (2x2 +1+ 3(2x − 3))
= 8(2x − 3)(2x +1) ( x + 3x − 4)
2
5 - 39
2
2
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
'
h
(
x
)
=
g
(
f
(
x
))
，
f
(1)
=
2
，
f
(1) = 3
6. 已知
'
與 g (2) = −4 求 h ' (1)
解：
Q h ( x ) = g ( f ( x ))
∴ h ' ( x ) = g ' ( f ( x )) ⋅ f ' ( x )
h ' (1) = g ' ( f (1) ) ⋅ f ' (1)
= g '(2) ⋅ 3
= (−4) ⋅ 3
= −12
5 - 40
想
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
7.若 f ( x) = 1 − 2 − 3 − x 求 f ' ( x)
解：
1 1 1
Q f ( x) = (1 − (2 − (3 − x) 2 ) 2 ) 2
1 1
1
1 1
−
1
d
∴ f ' ( x) = (1 − (2 − (3 − x) 2 ) 2 ) 2 ⋅ (1 − (2 − (3 − x) 2 ) 2 )
2
dx
−
1
2
1
1
⎛
⎞
1
d
=
⋅ ⎜ 0 − (2 − (3 − x) 2 ) ⎟ ⋅ (2 − (3 − x) 2 )
2
⎠ dx
2 1− 2 − 3 − x ⎝
1
5 - 41
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
1
− d
⎛ 1
⎞
2
=
⋅
(3 − x) ⎟
⎜ 0 − (3 − x)
2
dx
⎝
⎠
−
⋅
−
−
2
2
3
x
(
)
2 1− 2 − 3 − x
1
1
1
1
1
=
⋅
⋅
⋅ ( −1)
2 1 − 2 − 3 − x ( −2) ⋅ 2 − 3 − x ( −2) ⋅ 3 − x
1
=−
8 1− 2 − 3 − x ⋅ 2 − 3 − x ⋅ 3 − x
5 - 42
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
8.假設 f 為可微分函數，試利用連鎖律
證明： (1)若 f 為偶函數，則 f ' 為奇函數
'
f
(2)若 f 為奇函數，則 為偶函數
證明：
(1)若f 為偶函數，即 f ( x ) = f ( − x )
d
'
'
'
'
則 ( f ( x)) = ( f (− x)) = f (− x) ⋅ (− x) = − f (− x)
dx
'
'
即 f (− x) = − f ( x)
故 f '為奇函數
5 - 43
想
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
(2)若 f 為奇函數，即 f (− x) = − f ( x)
d (− x)
'
'
'
= f ' (− x)
則 ( f ( x)) = (− f (− x)) = − f (− x) ⋅
dx
即 f ' ( x) = f ' (− x)
'
故 f 為偶函數
5 - 44
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
1
3
f
(
x
)
=
g
(
x
)
=
f
(
x
+ 2)
9.設 f 為可微分函數，且
令
2
x +1
'
求 g ( x)
'
解：
Q g ( x) = f ( x3 + 2)
d 3
∴ g ( x) = f ( x + 2) ⋅ ( x + 2) = 3 x 2 f ' ( x3 + 2)
dx
2
1
3
x
= 3x 2 ⋅ 3
= 6
2
( x + 2) + 1 x + 4 x 3 + 5
'
5 - 45
'
3
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
d
f ( x) '
f ( x) =
⋅ f ( x)
10.若 f 為可微分函數，試證
dx
f ( x)
證明：
Q
=
=
d
d
f ( x ) =
( f ( x ))2
d x
d x
1
−
1
d
2 ⋅
f 2 ( x )
f 2 ( x )
2
d x
1
d f ( x )
⋅ 2 f ( x ) ⋅
d x
2
f 2 ( x )
=
5 - 46
(
f ( x )
⋅ f
f ( x )
)
'
( x )
想
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
x −1⎞
'
11.若 f 為可微分函數，且 f ⎜⎛
求
=
x
f
(0)
⎟
⎝ x +1⎠
解： d
d
⎛ x − 1 ⎞
x
⎟ =
x + 1 ⎠
dx
x − 1 ⎞ d ⎛ x − 1 ⎞
⎟ ⋅
⎜
⎟ = 1
x + 1 ⎠ dx ⎝ x + 1 ⎠
x − 1 ⎞
2
⋅
= 1
⎟
2
x + 1 ⎠ ( x + 1)
( x + 1) 2
⎛ x − 1 ⎞
⎜
⎟ =
2
⎝ x + 1 ⎠
f ⎜
dx
⎝
⎛
⇒ f '⎜
⎝
⎛
⇒ f '⎜
⎝
⇒
f
'
x −1
= 0 ⇒ x =1
令
x +1
5 - 47
∴ f ' (0) = 2
想
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
12.求 x 2
解：
+ y − xy − 7 = 0 之圖形在 χ =1處之切線方程式
2
d 2
Q ( x + y 2 − xy − 7) = 0
dx
2 x + 2 yy ' − y − xy ' = 0
(2 y − x) y ' = y − 2 x
y − 2x
'
∴y =
2y − x
5 - 48
動
動
腦
想
銘傳應用統計系
2
2
x
+
y
− xy − 7 = 0
又 χ =1 代入
得 y − y − 6 = 0 ⇒ y = −2 , 3
2
4
y (1,−2) =
5
'
1
； y (1,3) =
5
'
故過(1,-2)之切線方程式為
4
y + 2 = ( x − 1)
5
過(1,3)之切線方程式為
1
y − 3 = ( x − 1)
5
5 - 49
一
想
動
動
腦
想
銘傳應用統計系
y x
dx
dy
+ =2 求
13.
及
dy
dx
x y
解： d
⎛ y
x ⎞
d
+
=
2
⎜
⎟
d x ⎝ x
y ⎠
d x
y
y '
y − x y '
−
+
+
=
2
2
x
x
y
⎛ 1
⎜
⎝ x
∴
y
'
=
5 - 50
x ⎞
⎟ ⋅ y
y 2 ⎠
y
1
−
x 2
y
=
x
1
−
x
y 2
−
'
=
y
x
y
x
2
0
−
1
y
一
想
動
動
腦
想
銘傳應用統計系
d ⎛ y
x ⎞
+
⎜
⎟ =
d y ⎝ x
y ⎠
y x '
x '
1
−
+
−
2
x
x
y
⎛ 1
⎜
⎝ y
x
'
d
2
d y
x
y 2
⎞
x
'
−
⋅ x =
2 ⎟
x
y 2
⎠
x
1
−
x
y 2
x
=
=
y
1
y
−
y
x 2
5 - 51
y
=
−
0
1
x
一
想
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
'
xy + 1 = y 利用隱函數微分法，求 y
14.
解：
d
dx
(
)
d
xy + 1 =
y ⇒
dx
⎞
d ⎛ 12 12
'
⎜ x y + 1⎟ = y
dx ⎝
⎠
1
1
−
1 − 12 12
1
x y + x 2 ⋅ y 2 y' = y'
2
2
1 y
y
−
y
2
x
x
'
=
=
y =
1 x
x
2 xy − 1
−1
−2
2 y
y
5 - 52
想
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
15. x
解：
2
− t x + t + 11 = 0，求 x
2
3
'
d
d
2
2
3
Q
( x − t x + t + 1 1) =
0
dt
dt
dx
2 dx
2x
) + 3t 2 = 0
− ( 2 tx + t
dt
dt
dx
2
(2 x − t )
= 2 tx − 3 t 2
dt
2
d
x
tx
t
2
3
−
∴ x' =
=
dt
2x − t2
5 - 53
想
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
2
y
= cx 上點 ( x0 , y0 ) 處之切線方程式
16.試證在拋物線
c
為 y0 y = ( x0 + x )
2
證明：
d
d
2
Q
y =
(cx )
dx
dx
⇒
2 yy = c
'
⇒
c
∴ y ( x0 , y0 ) =
2 y0
'
5 - 54
c
y =
2y
'
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
c
( x − x0 )
故過 ( x0 , y0 ) 之切線方程式為 y − y0 =
2 y0
c
2
即 y0 y − y0 = ( x − x0 )
2
c
2
y
y
x
x
y
=
−
+
( 0) 0
故 0
2
c
c
= ( x − x0 ) + cx0 = ( x + x0 ) 為所求
2
2
( ∵ ( x0 , y0 ) 為拋物線 y
5 - 55
2
= cx
上之點)
動
動
腦
想
銘傳應用統計系
17.若 x
3
− 4y + 3 = 0 求 y
2
''
解：
d 3
d
2
Q ( x − 4 y + 3) = 0
dx
dx
即 3x
2
− 8 yy ' = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)
d
d
2
'
(3 x − 8 yy ) = 0
又
dx
dx
' 2
''
即 6 x − (8( y ) + 8 yy ) = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2)
5 - 56
一
想
動
動
腦
想
銘傳應用統計系
2
3
x
'
y
由 (1) 得 =
代入 (2)
8y
2
⎛ 3x ⎞
⇒ 6x −8⎜ ⎟ − 8yy'' = 0
⎝ 8y ⎠
9x4
6x −8⋅
2
4
2
−
48
xy
9
x
64
y
''
∴y =
=
3
8y
64y
2
5 - 57
一
想
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
4
3
18.求過 (2 x − y ) − y = 8 圖形上一點(-1,-2)之切線方程式
解：
d
d
4
3
((2 x − y ) − y ) =
8
Q
dx
dx
3 d
2 dy
=0
4(2 x − y )
(2 x − y ) − 3 y
dx
dx
dy ⎞
3 ⎛
2 dy
=0
4(2 x − y ) ⎜ 2 −
⎟ − 3y
dx ⎠
dx
⎝
dy
∴ (4(2 x − y ) 3 + 3 y 2 )
= 8(2 x − y ) 3
dx
5 - 58
動
動
腦
想
一
銘傳應用統計系
3
−
x
y
8(2
)
⇒ y' =
3
2
4(2 x − y ) + 3 y
∴過(-1,-2)之切線斜率
m = y'
( −1, −2)
=0
故切線方程式為 y + 2 = 0
表過(-1,-2)之切線為水平切線
5 - 59
想
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
19.求過原點且切於圓C: x 2
− 4 x + y 2 + 3 = 0 之切線方程式
解：
原點不在圓C上，故應先求切點P ( x0 , y0 )
d 2
Q ( x − 4 x + y 2 + 3) = 0
dx
2− x
⇒ 2 x − 4 + 2 yy ' = 0 ⇒ y ' =
y
故過切點 ( x0 , y0 ) 之切線斜率為
5 - 60
2 − x0
y0
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
y
又此切線通過原點及(x0，y0) ， ∴切線斜率亦為 0
x0
2 − x0 y0
2
=
由
得 y0 = x0 (2 − x0 )
y0
x0
代入圓C之方程式
x0 2 − 4 x0 + x0 (2 − x0 ) + 3 = 0
1
3
3
2
⇒ x0 =
∴ y0 =
⇒ y0 = ±
2
4
2
故通過原點且與圓C相切之切線有二，且其切點分別為
⎛1 3⎞
⎛1
3⎞
⎜⎜ ,
⎟⎟ ， ⎜⎜ , −
⎟⎟
2
2
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
5 - 61
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
Q y'
⎛1 3⎞
⎜⎜ , ⎟⎟
⎝2 2 ⎠
= 3
，　y '
⎛1
3⎞
⎜⎜ , − ⎟⎟
⎝2 2 ⎠
=− 3
⎛1 3⎞
3
=
∴過切點 ⎜⎜ 2 , 2 ⎟⎟ 之切線方程式為 y −
2
⎝
⎠
1⎞
⎛
3⎜x− ⎟
2⎠
⎝
3
1⎞
⎛
⎛1
3⎞
y
+
=
−
3
x
−
過切點 ⎜⎜ , − ⎟⎟之切線方程式為
⎜
⎟
2
2
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
故 由（1）（2）式化簡
5 - 62
y=± 3
為所求
（1）
（2）
動
動
腦
想
一
想
銘傳應用統計系
2
2
x
−
y
= 1 之交角為直角
xy
=
1
20.試證兩雙曲線
與
證明：
兩雙曲線之交角即為過其交點之兩切線的夾角
d
d
d 2
d
∵
，
( xy ) = ⋅1
( x − y 2 ) = ⋅1
dx
dx
⇒ y + xy ' = 0
y
'
⇒ y =−
x
dx
dx
⇒ 2 x − 2 yy ' = 0
x
'
⇒y =
y
設兩雙曲線之交點為 ( x0 , y0 )
則此二切線斜率分別為 −
x0
y0
與 y ，斜率乘積為 -1
xo
0
故兩雙曲線之交角為直角
5 - 63