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函數的遞增、遞減與極值
銘傳應用統計資訊系
目
§ 綱要
§ 函數的極值
§ 均值定理
§ 單調函數及相對極值判別法
§ 極值的應用問題
§ 動動腦想一想
§ 總複習
§ 練習題
銘傳應用統計資訊系
錄
綱
本講將介紹函數極值 (extreme values of
function)之求法，包括絕對極值 (absolute
maximum & absolute minimum) 與相對極值
(relative maximum & relative minimum)及其
應用與均值定理 (the mean value theorem)。
銘傳應用統計資訊系
要
函
數
的
極
值
( E x t r e m a )
找出『最佳』方法去完成某工作有關的問
題，稱為最適化問題(Optimization)，最適化
問題即為求函數的最大值或最小值並判斷此
值發生於何處
銘傳應用統計資訊系
函
數
的
極
值
定義1：
設函數 f 定義在區間 I 中，且 C ∈ I
(1)若對 I 中的所有χ恆有 f (c) ≥ f ( x)，則稱
f 在 C 處有絕對極大值或簡稱為最大值
(absolute maximum)
(2)若對 I 中的所有χ恆有 f (c) ≤ f ( x)，則稱
f 在 C 處有絕對極小值或簡稱為最小值
(absolute minimum)
銘傳應用統計資訊系
函
數
的
極
值
定義2：
設函數 f 定義在區間 J 中，且 C ∈ J
(1)若存在包含C 之開區間I，使得 f (c) ≥ f ( x)
對I 中的所有χ皆成立，則稱 f 在C 處有
相對極大值或簡稱為極大值
(relative maximum)
(2)若存在包含C 之開區間I，使得 f (c) ≤ f ( x)
對I 中的所有χ皆成立，則稱 f 在C 處有
相對極小值或簡稱為極小值
(relative minimum)
銘傳應用統計資訊系
函
數
的
極
值
以下為絕對極值與相對極值發生之處
f 在[c1,c7]中
在c6處有絕對值大值；
在c2處有絕對極小值
銘傳應用統計資訊系
在c3,c6處有相對極大值；
在c2,c4處有相對值小值
函
數
相對 = More
than One
銘傳應用統計資訊系
的
極
值
在c3,c6處有相對極大值；
在c2,c4處有相對值小值
函
數
相對 = More than One
相對 = Local
銘傳應用統計資訊系
的
極
值
在c3,c6處有相對極大值；
在c2,c4處有相對值小值
函
數
在c6處有絕對值大值；
在c2處有絕對極小值
銘傳應用統計資訊系
的
極
絕對 = Only One
值
函
數
在c6處有絕對值大值；
在c2處有絕對極小值
的
極
絕對 = Only One
絕對 = Global
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值
函
數
的
極
值
定理1：極值存在定理
若函數 f 在閉區間[a.b]連續，則 f 在[a,b]上有絕對
極大值亦有絕對極小值
證明：略
註：此定理中之連續條件不可少且區間必須是閉區間
才一定會有絕對極值，否則未必有絕對極值
銘傳應用統計資訊系
函
數
的
極
以下為函數 f 在 (−∞, ∞)連續之情形
銘傳應用統計資訊系
值
函
數
的
極
以下為 f 在[a,b]連續之情形
銘傳應用統計資訊系
值
函
數
的
極
值
定理2：
'
若函數 f 在 C 處有相對極值，則 f (c) = 0
或 f ' (c) 不存在。其逆不真
證明：
'
f
若函數 f 在C處有相對極值，則 (c) 可能存在亦可能不
存在，如f’ (c) 不存在，則毋須再證
若 f ' (c) 存在且 f ' (c) > 0
f (c + h ) − f (c )
Q f (c) = lim
>0
h →0
h
(1) h → 0+ ⇒ c + h > c 則 f (c + h) > f (c)
−
(2) h → 0 ⇒ c + h < c 則 f (c + h) < f (c)
'
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函
數
的
極
值
表 f 之函數值在C 處附近隨χ 值增加而增加，則 f (c)非相對極
值同理，若 f ' (c) < 0亦可証得 f 之函數值在C處附近隨χ值減少
而減少， f (c)亦非相對極值。
綜合上述討論，f 在C 處有相對極值
則 f ' (c) 不存在或 f ' (c) = 0
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函
數
的
極
值
定義3
'
'
c
∈
D
f
(
c
)
=
0
設
或 f (c)不存在，則稱C為 f 之
f若
臨界點 (critical point)
註：由定理2，若函數有相對極值，則相對極值必發
生於臨界點，反之，在臨界點處未必有相對極值
銘傳應用統計資訊系
函
銘傳應用統計資訊系
數
的
極
值
函
數
的
極
值
在定理1中 f 在[a,b]連續，則有絕對極值，事實上 f 在[a,b]之絕
對極值必發生於端點或臨界點
故欲求 f 在[a,b]之絕對極值，步驟如下：
(1)先求 f 之臨界點C
(2)再求 f ( a ) ，f (b) ，f (c)
(3)比較(2)中函數值最大者，即為絕對極大值；函數值最小
者，即為絕對極小值。
銘傳應用統計資訊系
註：
c C須在[a,b]內才考慮
d f 在[a,b]內之臨界點C可能不止一個，亦可能不存在
e 在定理1中，f 須在閉區間[a,b]連續，絕對極值才必然
存在，然而當 f 在開區間(a,b)或半開區間[a,b) 、(a,b] 、
(-∞,b] 、[a, ∞)連續，則欲找 f 之絕對極值往往須由 f 之函
數圖形中判斷其是否有絕對極值。若 f 在區間I (含開區間、
半開區間或閉區間)連續，且在此區間I 中只有一個臨界點C
而 f '' (c) < 0 則 f (c) 為絕對極大值；
f (c) > 0 則 f (c) 為絕對極小值
''
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3
2
例1：求 f ( x) = 2 x − 3x − 12 x 在 [ −2,3]之絕對極值
解： Q f ' ( x) = 6 x 2 − 6 x − 12 = 6( x + 1)( x − 2)
f 之臨界點 -1 , 2 均在 [ −2,3] 內
又 f (−2) = −4 故 f 在 [ −2,3] 之絕對極大值為：7
絕對極小值為：-20
f (−1) = 7
f (2) = −20
f (3) = −9
銘傳應用統計資訊系
2
3
例2：求 f ( x) = ( x + x) 分別在(1) [ −2,3]
(3) [ 2 , 3 ] 之絕對極值
2
1⎤
⎡
2,
−
−
(2) ⎢⎣
2 ⎥⎦
解：
(
2 2
'
Q f ( x) = x + x
3
1
3
) ( 2 x + 1) =
−
1
f 之臨界點為 −1 ，- ，0
2
2(2 x + 1)
3 3 x2 + x
1
⎛ 1⎞ 3 1
f (−2) = 4 ， f (−1) = 0 ，f ⎜ − ⎟ =
= 3
⎝ 2 ⎠ 16 2 2
3
f (0) = 0
銘傳應用統計資訊系
， f (2) = 3 36 ，f (3) = 3 144 = 23 18
∴ (1) f 在 [ 2 , 3 ]之絕對極大值為：2 3 18
絕對極小值為：0
(2)
1⎤
⎡
−
2,
−
f 在 ⎢⎣
2 ⎥⎦之絕對極大值為
：3 4
絕對極小值為：0
3
(3) f 在 [ −2,3] 之絕對極大值為：2 18
絕對極小值為： 3 36
銘傳應用統計資訊系
例3：求 f ( x) = 8x − 2 x2 − 3 在(1,2)之絕對極值
解：
Q f ' ( x) = 8 − 4 x 在區間(1,2)恆正
表 f 在(1,2)為遞增的，但因 1 , 2 ∉ (1, 2)
故 f 在(1,2)無相對極大值亦無相對極小值
銘傳應用統計資訊系
均
值
定
理
均值定理為微積分裡最重要的結果之一，首先討
論均值定理的特例，即為洛爾定理
定理3：洛爾定理
若函數 f 在[a,b]連續，在(a,b)可微分，且 f (a ) = f (b)
，則在(a,b)中至少存在一數C使得 f ' (c) = 0
銘傳應用統計資訊系
均
值
定
理
證明：
因 f 在[a,b]連續，由定理1(極值存在定理) ，f 在[a,b]有絕
對極大值M與絕對極小值m
(1)若M=m，則f在[a,b]為常數函數
設 f ( x) = k (k為常數) ∀x ∈ [ a, b]
故 f ' ( x) = 0
∀x ∈ [a, b]
(2)若m<M，因 f ( a ) = f (b)，故m,M兩數中至少有一與
f (a ), f (b) 不等，故在(a,b)中至少存在一數C，使得
f(c) 為極值，又 f 在(a,b)可微，根據定理6.2得 f ' (c) = 0
銘傳應用統計資訊系
例4：試證方程式 x
4
+ 3+1 = 0 在區間(-2,-1)中至多有一實根
證明：令 f ( x) = x 4 + 3+1 則 f ' ( x) = 4 x3 + 3
∴ f 只有一臨界點 − 34 且 − 3 ∉ ( − 2, − 1)
3
3
4
若 x 4 + 3 x + 1 = 0 在(-2.-1)中至少有二實根
令此二根為χ1, χ2，則 f ( x1 ) = f ( x2 ) = 0
由洛爾定理，在χ1, χ2間存在一數C
使得 f ' (c) = 0
∴C ≠ −3
3
4
∴ C ∈ (−2. − 1)
與 f 只有一臨界點矛盾
故 x 4 + 3 x + 1 = 0 在(-2,-1)中至多有一實根
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均
值
定
理
定理4：均值定理
若函數 f 在[a,b]連續，且在(a,b)可微分，則在(a,b)中至少存
'
f
(
b
)
−
f
(
a
)
=
f
(c) ⋅ (b − a )
在一數C，使得
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均
值
定
理
f (b) − f (a)
證明：令 g(x) = f (x) − f (a) −
⋅ (x − a) ∀x ∈[a, b]
b−a
則 g 在[a,b]連續
f (b) − f (a)
且 g (x) = f (x) −
∀x∈(a,b)
b−a
'
'
又 g(a) = g(b) = 0 根據洛爾定理
'
g
在(a,b)中至少有一數C，使得 (c ) = 0
f (b) − f (a )
'
故 f (c ) =
b−a
'
即 f (b) − f (a ) = f (c) ⋅ (b − a )
銘傳應用統計資訊系
例5： 設 f (x) = x3 − x2 − x +1
，x ∈[−1.2] ，試求所有 C 值，
使滿足均值定理的結論
解： Q f ' ( x) = 3x 2 − 2 x − 1
f ' (c) = 3c 2 − 2c − 1 =
−1 ± 7
∴c =
3
f (2) − f (−1)
=1
2 − (−1)
−1 − 7
−1 + 7
， c2 =
令 c1 =
3
3
∴ c1 , c2 ∈ (−1, 2) 故c1,c2均滿足
銘傳應用統計資訊系
2
3
例6：設 f (x) = x
， x∈[−8 ,27 ]，試證，均值定理之結論不成
立，並說明其原因
證明： Q f ' ( x ) = 2 x
3
−
1
3
，
x≠0
設存在一數 c∈(−8 ,27 ) 滿足
1
−
2
f (27) − f (−8) 1
=
f ' (c ) = c 3 =
3
27 − (−8)
7
2744
∴c =
但 c∉(−8,27 )
27
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與結論不合，乃因 f 在 (−8 ,27 ) 可微分之條件不符
(Q
銘傳應用統計資訊系
f ' (0)不存在)
1
例7：試利用均值定理 證明： 8 <
9
1
66 < 8
8
解：
1
'
令 f ( x) = x 則 f (x) = 2 x
∵ f 在[64,66]連續且 f 在(64,66)可微分
根據均值定理，存在一數
c ∈ (64, 66) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)
使得
66 − 8
f (66) − f (64)
=
=
f (c) =
66 − 64
2
2 c
1
∴ = 66 − 8 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2)
c
'
銘傳應用統計資訊系
1
1
1
1
<
<
又
66
c
64
1
1
1
>
=
66
81 9
1
1
1
1
8
<
66
<
8
故由(2) < 66 − 8 <
即
9
8
9
8
由(1)
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
定義4：
設函數 f 定義在某區間 I
(1)對 I 中的所有χ1 ,χ2，若 x1 < x2 恆有 f ( x1 ) ≤ f ( x2 )
則稱 f 在 I 為遞增的(increasing)而 I 稱為 f 的遞增區間
(increasing interval)
(2)對 I 中的所有χ1 ,χ2，若 x1 < x2 恆有 f ( x1 ) ≥ f ( x2 )
則稱 f 在 I 為遞減的(decreasing)而 I 稱為 f 的遞減區間
(decreasing interval)
(3)無論 f 在I 為遞增或遞減，均稱 f 在I上為單調的
(monotone)
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
例8：
f ( x) = x 2 在 (-∞,0]為遞減
在(0, ∞)為遞增
故 f 在(-∞,0]與(0, ∞)均為單調函數
但 f 在(-∞, ∞)不為單調函數
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
例9： f ( x) = x 在(-∞, ∞)為單調函數
3
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
定理5：單調性定理(Monotoncity Theorem)
設函數 f 在[a,b]連續，且在(a,b)可微分
(1)若 f ' ( x) > 0對於(a,b)中所有χ均成立，則 f 在[a,b]遞增
(2)若 f ' ( x) < 0對於(a,b)中所有χ均成立，則 f 在[a,b]遞減
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
證明：
(1) ：若對於(a,b)中所有χ皆有 f ' ( x ) > 0
令 x1, x2 ∈(a, b) 且 x1 < x2
則根據均值定理
f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ' (c)( x2 − x1 ) 其中 c ∈ ( x1 , x2 )
因 x1 < x2 故 f ( x1 ) < f ( x2 )
表 f 在[a,b]遞增
(2) ：同(1)理可證得
銘傳應用統計資訊系
(f ' (c)>0)
2x
例10：求 f ( x) = 2
之遞增區間和遞減區間
x +1
解：
2
−
x
2(1
)
'
Q f ( x) = 2
( x + 1) 2
∴−1 < x < 1 ⇒ f ' ( x) < 0
x < 1 或 x > 1 ⇒ f ' ( x) < 0
故 f 之遞增區間為[-1,1]
遞減區間為 (-∞,-1] 與 [1, ∞)
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
定理6：一階導數判別法(First Derivative Test)
設 f 在含臨界點 C 之開區間(a,b)連續
(1)當 f ' (c − ) > 0 且 f ' (c + ) < 0 則
f (c) 為 f 之相對極大值
(2)當 f ' (c − ) < 0 且 f ' (c + ) > 0 則 f (c ) 為 f 之相對極小值
(3)當f ' (c − ) f ' (c + ) > 0 則 f (c ) 不為 f 之相對極值
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
證明：
(1) f ' (c − ) > 0 表 f 在 (c - h, c ) 遞增
f ' (c + ) < 0 表 f 在 (c, c + h)遞減
(其中 h → 0+ ) ，故存在一含 c 之區間 I = (c − h, c + h)
∴ f (c) 為 f 之相對極大值 f (c) ≥ f ( x)
(2)同(1)理可證得
銘傳應用統計資訊系
∀x ∈ I
單調函數及相對極值判別法
'
−
'
+
f
(
c
)
>
0
f
(
c
)>0
(3)若
且
表 f 在 (c - h, c )與 (c, c + h) 均遞增
∴ f 在 (c − h, c + h)為單調遞增
故 f (c) 非相對極值
同理，若 f ' (c − ) < 0 且 f ' (c + ) < 0
∴ f 在 (c − h, c + h) 為單調遞減
亦可得 f (c)非相對極值
銘傳應用統計資訊系
單調函數及相對極值判別法
銘傳應用統計資訊系
3
例11：求 f ( x) = x − 3 x + 3 之相對極值
'
2
f
(
x
)
=
3
x
− 3 = 3( x − 1)( x + 1)
解：
-1
1
Q f ' (−1− ) > 0 且 f ' (−1+ ) < 0
∴ f (−1) = 5
為相對極大值
f ' (−11− ) < 0 且 f ' (−11+ ) > 0
∴ f (1) = 1 為相對極小值
銘傳應用統計資訊系
例12：試證 f ( x) = x 5 + x 3 + x + 1 無相對極值
證明：
Q f ' ( x) = 5x4 + 3x2 +1
2
⎛ 2 3 ⎞ 11
= 5⎜ x + ⎟ + > 0
10 ⎠ 20
⎝
故 f 無相對極值
銘傳應用統計資訊系
∀x ∈ R
3
2
f
(
x
)
=
ax
+
bx
+ cx + a 在
例13：三次函數
極大值3，而在
解：
x = −2 處有相對
x = 1處有相對極小值 0，求 f ( x)
Q f (−2) = −8a + 4b − 2c + d = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)
f (1) = a + b + c + d = 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(2)
又
f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c
= 3k ( x + 2)( x − 1)
= 3kx 2 + 3kx − 6k ⋅⋅⋅⋅⋅⋅(3)
銘傳應用統計資訊系
3
由(3)得 a = k , b = k , c =−6k
2
7
代入(2)得 d = k
2
2
再將之代入(1)得 k =
9
2 3 1 2 4 7
故 f (x) = x + x − x +
9
3
3 9
1 3
= 2x + 3x2 −12x + 7
9
(
銘傳應用統計資訊系
)
1
1
例14：試證若 1 < a < b則 a + < b +
a
b
證明：
令
1
f ( x) = x +
x
則
2
1
x
−1
'
f ( x) = 1 − 2 = 2
x
x
( x ≠ 0)
∴−1 < x < 1 ⇒ f ' ( x) < 0 ( x ≠ 0 )
x < −1 或 x > 1 ⇒ f ' ( x ) > 0
表 f 在 (1, ∞ ) 遞增
Q a, b ∈ (1, ∞) 且 a < b ∴ f (a) < f (b)
即
銘傳應用統計資訊系
1
1
a+ <b+
a
b
極 值 的 應 用 問 題
求函數級值的理論可應用在一些實際問題上，其
步驟如下：
1.
根據問題考慮已知的事實及要求的未知量
2.
儘可能畫出圖形，適當地標上名稱，用變數來表示未知量
3.
寫下已知的事實及變數間的關係，這種關係常以一個方程
式表示
4.
決定要使那一變數為最大或最小，並將此變數表示為其它
變數之函數
5.
再以前面討論過之極值理論解之
銘傳應用統計資訊系
極 值 的 應 用 問 題
以下為極值的應用問題
例15：欲將一長30吋、寬16吋之厚紙板的四個角截去大小相
等的正方形，再將其作成一開口盒子(如下圖) ，如何
作可使盒子體積最大？
銘傳應用統計資訊系
極 值 的 應 用 問 題
解：
設將原厚紙板的四個角各截去邊長 吋之正方形
則可得一長、寬、高分別為 (30 − 2 x ) 吋、(16 − 2 x) 吋、
吋之長方盒（參見上頁之右圖）
Q 30 − 2 x ≥ 0 ，16 - 2 x ≥ 0 且 x ≥ 0 ∴ x ∈ [0,8]
故此盒體積為 v( x) = (30 − 2 x )(16 − 2 x ) x
x ∈ [0,8]
x
x
銘傳應用統計資訊系
極 值 的 應 用 問 題
Q v ( x) = 4( x − 12)(3 x − 10)
'
v
10
在 [0,8]只有一臨界點
3
⎛10⎞
⎛10⎞
且v ⎜ ⎟ <0 ∴v⎜ ⎟ 為最大值
⎝ 3⎠
⎝ 3⎠
''
10
將厚紙板四個角各截去邊長 3 吋之正方形，所作之開口長方
盒體積最大
銘傳應用統計資訊系
極 值 的 應 用 問 題
例16：一正圓柱內接於底半徑為6吋且高為10吋的正圓錐，
若柱軸與錐軸重合，求正圓柱的最大體積？
銘傳應用統計資訊系
極 值 的 應 用 問 題
解：
設圓柱之底半徑 吋、高
2
則圓柱體積 v = r k
r
π
k
吋
10 − k 10
5
=
⇒ k = 10 − r
Q
6
3
r
5 ⎞
⎛
∴ v = π r 2 ⎜10 − r ⎟
r ∈ [0, 6]
3 ⎠
⎝
v ' = 20π r − 5π r 2 = 5π r (4 − r )
Q v(0) = 0
v(4) =
∴正圓柱最大體積為
銘傳應用統計資訊系
160
π
3
v(6) = 0
160
π 立方吋
3
例17：求在拋物線 y 2 = 2 x上與點 (1, 4) 最接近的點
解：
∵點 (1, 4) 與拋物線 y 2 = 2 x上任一點
( x, y ) 之間的距離 d = ( x − 1)2 + ( y − 4)2
使得 d 2 最小之 ( x, y ) 即為使 d 最小之 ( x, y )
2
⎛y
⎞
2
d = (x −1) + ( y − 4) = ⎜ −1⎟ + ( y − 4)
⎝2 ⎠
y4
= − 8y +17
4
2
2
銘傳應用統計資訊系
2
2
極 值 的 應 用 問 題
y4
令 f ( y ) = 4 − 8 y + 17
則 f ' ( y ) = y 3 − 8∴ f 只有一臨界點 2
又 f '' (2) > 0 ∴ f 在 y = 2 處有最小值
y2
y =2 ⇒x = = 2
2
故拋物線 y 2 = 2 x 上最接近 (1, 4)
之點為 (2, 2)
銘傳應用統計資訊系
例18：設柑橘園每公畝種24棵柑橘樹，成熟後每棵每年可收
成600個柑橘，若每公畝再多種一棵，則每棵每年減
少收成12個，今欲得到最多的柑橘，每公畝應種多少
棵？
解：
設每公畝種
24 + x 棵柑橘樹時
每棵可收成 (600 − 12 x) 個柑橘
則柑橘園一年可收成 f ( x) = (24 + x)(600 − 12 x) 個柑橘
f ' ( x) = −24( x − 13) ∴ f 只有一臨界點 13
又 f '' (13) < 0
∴ f (13) 為最大值
故每公畝種37棵時，可得最多之柑橘
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例19：某酒廠以每瓶100元之售價出售散裝葡萄酒，若每天χ瓶的總生產
成本(單位：元)為 c( x) = 100000 + 50 x + 0.0025 x 2且每天最多生產
12000瓶，則每天必須製造並出售多少瓶葡萄酒可得到最大利潤？
解：
設每天製造並出售χ瓶葡萄酒時
利潤函數 p ( x) = 收益函數－成本函數
= 100x − (100000 + 50x + 0.0025x2 )
= −100000 + 50x − 0.0025x2
0 ≤ x ≤ 12000
p' ( x) = 50 − 0.005x = 0 ⇒ x = 10000
p '' (10000) < 0 ∴ p(10000) 為最大值
又
故每天製造並出售10000瓶葡萄酒時，可得到最大利潤
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動
動
腦
想
一
想
1.求 f ( x) = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 6 分別在下列區間(1) [−1,5]
(2) [−1,3] (3) [2,5] 之絕對極值
解：
∵多項函數 f 為連續函數
又 f ' ( x) = 3 x 2 − 12 x + 9 = 3( x − 1)( x − 3)
∴ f 之臨界點為1,3
且 f (−1) = −22 ， f (1) = −2 ， f (2) = −4
f (3) = −6
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， f (5) = 14
動
動
腦
想
∴(1) f 在 [−1,5] 之絕對極大值為：14
絕對極小值為： -22
(2) f 在 [−1,3] 之絕對極大值為： -2
絕對極小值為： -22
(3) f 在 [2,5] 之絕對極大值為： 14
絕對極小值為： -6
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一
想
動
動
腦
2.求 f ( x) = ⎧⎨4 x − 2
⎩ ( x − 2)( x − 3)
解：
想
一
； x < 1 在 ⎡ 1 7 ⎤ 之絕對極值
⎢⎣ 2 , 2 ⎥⎦
；x ≥1
Q f (1− ) = 4 = f (1+ ) = f (1)
∴ f 在 ( −∞, ∞) 連續，即 f 為連續函數
故 f 在 ⎡⎢ 1 , 7 ⎤⎥ 亦連續
⎣2
2 ⎦
'
又 f ( x) = 4
；x <1
表 f 在 (−∞,1) 無臨界點
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想
動
動
腦
想
f ' ( x) = 2 x − 5 ；x > 1
f ' (1− ) = 4 ， f ' (1+ ) = −3
∴ f ' (1) 不存在，而 f ' ⎜⎛ 5 ⎟⎞ = 0
⎝2⎠
5
∴ 1 , 為 f 在 ⎡ 1, 7 ⎤ 之臨界點
⎢ 2⎥
2
⎣
⎦
⎛1⎞
f
又 ⎜ ⎟ = 0 ， f (1) = 2
⎝ 2⎠
1
⎛5⎞
⎛7⎞ 7
f ⎜ ⎟ = − ，　f ⎜ ⎟ =
4
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠ 4
∴ f 在 ⎡⎢ 1 , 7 ⎤⎥ 之絕對極大值為：2
1
⎣2 2 ⎦
−
絕對極小值為： 4
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一
想
動
動
腦
3.洛爾定理對函數 f ( x) = 1 − 3 ( x − 1)2
想
f (0) = f (2) = 0 且 f 在 [0, 2] 連續
−2
'
不存在
∴
f
(1)
3 3 x −1
即 f 在 (0,2)可微之條件不成立
故在 (0,2)內不存在一數 c
使得 f ' (c) = 0
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想
， (0 ≤ x ≤ 2) 能否成立？
解：
但 f ' ( x) =
一
動
動
腦
4.試利用均值定理，証明 lim
x→∞
証明：
設 f ( y) = y
1
'
則 f ( y) =
想
(
一
想
)
x+2 − x =0
， y ∈ [ x, x + 2]
2 y
∵ f 在 [ x, x + 2]連續 (∀x ≥ 0)；且 f 在 ( x, x + 2) 可微
根據均值定理在 ( x, x + 2) 有一數 c 滿足
f ( x + 2) − f ( x) 即 x + 2 − x = 1
1
'
f (c) =
=
2 c
2
c
1
其中 x < c < x + 2 ∴lim x + 2 − x = lim
=0
x→∞
c→∞ c
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動
動
腦
想
一
想
5.試求 a, b之值，使 f ( x) = 2ax 在點3處有相對極大值
x +b
1
'
且 f (0) =
3
2
a
b
−
x
(
)
解：Q f ' ( x ) =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅(1)
2
2
( x + b)
ab a 1
'
∴ b = 3a 代入(1)
f (0) = 2 = =
b
b 23
a (3a − x ) 又 f 在點 3 處有相對極大值
'
f ( x) = 2
( x + 3a ) 2
a (3a − 9)
∴ f ' (3) =
=0
⇒ 3a = 9
2
(9 + 3a )
∴a = 3 ， b = 9
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動
動
腦
想
一
想
6.求在雙曲線 x 2 − y 2 = 1上與點 (0, 2) 最接近之點
解：
2
2
點 (0, 2) 與雙曲線 x − y = 1上任一點( x, y ) 之距離
d = x 2 + ( y − 2) 2 因
x2 = y 2 + 1
故 d = y 2 + 1 + ( y − 2) 2 = 2 y 2 − 4 y + 5
令 d 2 = f ( y) = 2 y 2 − 4 y + 5
'
則 f ( y ) = 4( y − 1) = 0 ⇒ y = 1
銘傳應用統計資訊系
動
動
腦
想
一
∵ f 在 ( −∞, ∞) 連續且只有一臨界點1
又 f '' (1) = 4 > 0 ∴ f (1)為最小值
y =1 ⇒ x = ± 2
故在雙曲線 x 2 − y 2 = 1上與點 (0, 2)
最接近之點為 ( 2,1) 與 (− 2,1) 兩點
銘傳應用統計資訊系
想
動
動
腦
想
一
想
7.有一工廠當其生產之產品單價為5元時，每月可賣出1000個
，若產品單價每減少1分錢，則銷售量可增加10個，問單價定
為多少元時可得最大收益又最大收益為多少？
解：
設產品單價定為 (5 − 0.01x) 元時，銷售量為 1000 + 10x
則收益函數為 R ( x) = (5 − 0.01x)(1000 + 10 x)
x≥0
且
5 − 0.01x ≥ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 500
欲求 R( x) = −0.1x 2 + 40 x + 5000 之最大值
銘傳應用統計資訊系
動
動
腦
想
一
R ' ( x) = −0.2 x + 40 = 0 ⇒ x = 200
∵ R 在[0,500] 連續且只有一臨界點200
R ' (200) < 0 ∴ R(200) = 9000為最大值
又 R“
故當產品單價為3元時，可得最大收益9000元
銘傳應用統計資訊系
想
動
動
腦
想
一
想
8.照相機廠商發現其產品每週以 P 元售出χ台且需求方程
5
p
=
(75 − x) 而χ之總成本為 ⎛ 500 + 15 x − 1 x 2 ⎞ 元，試問
式為
⎜
⎟
3
5 ⎠
⎝
其價格與產量各為多少時，可得到最大利潤
解：
5
R
(
x
)
=
px
=
(75 − x) x
∵收益函數
3
1 2
又總成本函數 C(x)
c ( x ) = 500 + 15 x − x
5
28 2
∴利潤函數
p ( x) = R ( x) − C(x)
c( x) = − x + 140 x + 500
P(x)
15
銘傳應用統計資訊系
動
動
腦
想
一
想
因收益函數 R ( x) ≥ 0 得 0 ≤ x ≤ 75
56
75
'
p ( x) = −
x + 140 = 0 ⇒ x =
欲求 P(x) 在 [0, 75] 之最大值Q P’(x)
15
2
75
56
⎛ ⎞
⎛ 75 ⎞
p '' ⎜ ⎟ = − < 0
P”
∴P
∴
p
⎜ ⎟ 為最大值，然χ應為整數
15
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
故χ=37或38時可得最大利潤
1
2
x = 37 ⇒ p = 63
， x = 38 ⇒ p = 61
3
3
1
故當以單價 63 元賣出37台相機
3
2
以單價 61 元賣出38台相機，可得最大利潤
3
銘傳應用統計資訊系
動
動
腦
想
一
想
9.一窗戶的形狀為一矩形加一半圓形，若該窗戶的周
長為 P，求半圓的半徑為多大時可使窗戶面積最大
(圖形如下)
銘傳應用統計資訊系
動
動
腦
想
一
想
解：
設半圓半徑為χ且以直徑為矩形之長，而矩形之寬為 y，
因窗戶周長 p = π x + 2 y + 2 x（參見6-69之圖形）
p π
∴y = − x−x
2 2
1 2
⎛p π
⎞
f
x
=
x
+
x
−
x
−
x
(
)
π
2
故窗戶面積
⎜
⎟
2
2
2
⎝
⎠
p
Q f ' ( x) = p − (π + 4) x = 0 ⇒ x =
π +4
p ⎞
'' ⎛
又 f ⎜
⎟ = −(π + 4) < 0
⎝π +4⎠
p
故半徑為
時，可使窗戶面積最大
π +4
銘傳應用統計資訊系
動
動
腦
想
一
想
10.一不動產公司擁有180間套房，當月租300元時，可全部租出
去，若月租每增加10元時，則會有5間空出來，為得到最大
的總收入，月租應為多少？
解：
就題意，當月租為 (300 +10x)元時，可租出 (180 − 5x) 間套房
故總收入 f ( x) = (300 + 10 x)(180 − 5 x) ， 0 ≤ x ≤ 36
( Q180 − 5 x ≥ 0)
f ' ( x) = 300 − 100 = 0 ⇒ x = 3
又 f '' (3) = −100 < 0 ∴ f (3)為最大值
故當每間套房月租330元租出165間時，可得最大的總收入
銘傳應用統計資訊系
總
銘傳應用統計資訊系
複
習
遞
銘傳應用統計資訊系
增
遞
減
設y = f(x)為一函數 ，若對一區間中的
任意兩數x1，x2而言:
1.當x1 < x2時，恆有f(x1) ≤ f(x2) ，則稱
函數f在該區間為遞增(increasing)
2.當x1 < x2時，恆有f(x1) ≥ f(x2) ，則稱
函數f在該區間為遞減(decreasing)
銘傳應用統計資訊系
若 f 在區間 [a, b] 上為遞增或遞減，則稱f
在 [a, b] 上為單調 (monotonic) 函數;又若
定義中等號不成立時:
1.即x1 < x2時，恆有f(x1) < f(x2) ，則稱
函數f在該區間為嚴格遞增
2.當x1 < x2時，恆有f(x1) > f(x2) ，則稱
函數f在該區間為嚴格遞減
銘傳應用統計資訊系
y = f(x)
a
b
函數在 [a, b] 內為遞增且為嚴格遞增
銘傳應用統計資訊系
y = f(x)
a
b
函數在 [a, b] 內為遞增但非嚴格遞增
銘傳應用統計資訊系
y = f(x)
a
b
函數在 [a, b] 內為遞減且為嚴格遞減
銘傳應用統計資訊系
y = f(x)
a
b
函數在 [a, b] 內為遞減但非為嚴格遞減
銘傳應用統計資訊系
相
銘傳應用統計資訊系
對
極
值
設f為一函數 ，且f (c) 有定義:
1.若存在一包含 c 的開區間 (a, b)，使得
f(x) ≤ f(c) ，對所有x ∈ (a, b) 均成立，
則稱 f(c) 為 f(x) 之一相對極大值
2.若存在一包含 c 的開區間 (a, b)，使得
f(x) ≥ f(c) ，對所有x ∈ (a, b) 均成立，
則稱 f(c) 為 f(x) 之一相對極小值
銘傳應用統計資訊系
相對極大值
y = f(x)
f(c1)
f(c2)
a
c1
b
相對極小值
銘傳應用統計資訊系
c2
绝
銘傳應用統計資訊系
對
極
值
設 c 為區間 [a, b] 中的一數:
1.對所有x ∈ [a, b]，皆有f(x) ≤ f(c)，則
稱 f(c) 為 f(x) 在 [a, b] 中的極大值或絕
對極大值
2.對所有x ∈ [a, b]，皆有f(x) ≥ f(c)，則
稱 f(c) 為 f(x) 在 [a, b] 中的極小值或絕
對極小值
銘傳應用統計資訊系
相對極大值
y
相對極小值
絕對極大值f(c5)
a
絕對極小值f(a)
銘傳應用統計資訊系
c1
c2
c3
c4
c5
c6
c7
x
b
極
銘傳應用統計資訊系
值
定
理 1
設函數 f(x) 在閉區間 [a, b] 上為連續，
則 f 在 [a, b] 中有極大值，也有極小
值。
銘傳應用統計資訊系
極
銘傳應用統計資訊系
值
定
理 2
若 f(c) 是函數 f 的相對極值，則
f’( c) = 0 或 f’( c) 不存在。
銘傳應用統計資訊系
極
銘傳應用統計資訊系
值
定
理 3
若 f 在 [a, b] 連續且c ∈ (a, b)，f (c )
為 f 的絕對極值，則 f’( c) = 0 或 f’( c)
不存在。
銘傳應用統計資訊系
臨 界 數 定 義
銘傳應用統計資訊系
若 c 在函數 f (x) 之定義域內。若
f’( c) = 0 或 f’( c) 不存在，則稱 c 為
f(x) 之一臨界數。
銘傳應用統計資訊系
洛
銘傳應用統計資訊系
耳
定
理
Rolle’s Theorem (3個假設):
設 f 在 [a, b] 為連續，且 f(a) = f(b) ，則 f
在 (a, b) 內至少有一臨界數
銘傳應用統計資訊系
均
銘傳應用統計資訊系
值
定
理
均值定理 (mean-value theorem) ，
是洛耳定理的推廣，也是可微函數的
一個重要性質。在微積分的理論上，
常用來佐證用。
銘傳應用統計資訊系
設 f 在 [a, b]連續，在 (a, b) 可微 ，則
存在一數 c ∈ (a, b) ，使得
f (b) − f (a )
f ′(c) =
b−a
或 f (b) − f ( a ) = (b − a ) f ′(c )
銘傳應用統計資訊系
練
銘傳應用統計資訊系
習
題
練習1. 設 f(x) = x3 - 12x + 4 在 [-3, 3]的絕對極值
銘傳應用統計資訊系
練習2. 已知函數
f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx − 3，在
x = 1, -3有相對極值，求 a, b 之值
銘傳應用統計資訊系
練習3. 試求
銘傳應用統計資訊系
f ( x) =
3
x2 − x
之臨界數
練習4. 求 f 在 [a, b] 之絕對極值
1.
f ( x ) = 2 ( 3 − x ), [ a , b ] = [ − 1, 2 ]
2.
f ( x ) = − x 2 + 4 x , [ a , b ] = [ 0 ,3 ]
3 . f ( x ) = 3 x − 10 x + 7 , [ a , b ] = [ − 1,3 ]
2
2
3
4.
f ( x ) = 1 − x , [ a , b ] = [ − 1, 8 ]
5.
f ( x ) = x 3 − 12 x , [ a , b ] = [ − 1, 4 ]
銘傳應用統計資訊系
練習5. 求 f 之臨界數
1.
f (x) = 4 x − 3x + 5
2.
f ( x ) = x (3 − 2 x ) 2
2
3 . f ( x ) = ( x + 5)
4.
f (x) =
5.
x
f (x) =
x +1
銘傳應用統計資訊系
23
x−4
x + 16
2
練習6. Verify that the function satisfies the three
hypotheses of Rolle’s Theorem on the
given interval. Then find all numbers c
that satisfy the conclusion of Rolle’s Theorem.
1 . f ( x ) = x 2 − 4 x + 1, [ 0 , 4 ]
2 . f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 2 x + 5, [ 0 , 2 ]
3 . f ( x ) = x x + 6 , [ − 6,0 ]
銘傳應用統計資訊系
練習7. 設函數 f(x) = x2 – 2x - 3，x ∈ [a, b] ，當
a = 0 ，b = 3 時，試求一數 c ∈ [a, b] 滿足
銘傳應用統計資訊系
練習8. 證明 f(x) =
x+2
f ( x) =
x +1
在 [1, 2] 區間滿足均值定
理的假設條件，並求出結論中的 c 值
銘傳應用統計資訊系
練習9. 檢驗 f 在 [a, b] 是否符合洛耳定理
1.
f ( x ) = | x |, [ a , b ] = [ − 2 , 2 ]
2.
f ( x ) = x − x − 1, [ a , b ] = [ − 1,1]
3
2
3
3 . f ( x ) = 5 + 3 ( x − 1) , [ a , b ] = [ 0 , 2 ]
銘傳應用統計資訊系
檢驗 均值定理是否成立，求 c，若不成立，
說明原因
，
1.
f ( x ) = 5 x 2 − 3 x + 1, [ a , b ] = [1, 3 ]
2.
1
f ( x ) = 1 + , [ a , b ] = [1, 3 ]
x
3. f ( x) =
x + 5 , [ a , b ] = [ − 1, 4 ]
4 . f ( x ) = 1 − x 2 , [ a , b ] = [ 0 ,1]
1
5. f ( x) = x + 2 +
, [ a , b ] = [ − 1, 2 ]
x−3
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