‫תורת המספרים ־ הרצאה ‪5‬‬ ‫‪ 10‬בנובמבר ‪2014‬‬ ‫תרגיל מש"ב‬ ‫יהיו ‪ a, b ≥ 1‬שלמים‪ .gcd(a, b) = 1 ,‬צ"ל שכל ‪ x > ab − a − b‬ניתן לרישום כ ‪,x = am + bn‬‬ ‫‪.0 ≤ m, n ∈ Z‬‬ ‫פתרון‬ ‫ראשית‪ ,‬קיימים ‪ m0 , n0 ∈ Z‬כך ש ‪ .1 = m0 a+m0 b‬לכן‪ ,‬גם קיימים ‪ m00 , n00 ∈ Z‬כך ש ‪x = m00 a+n00 b‬‬ ‫)פשוט נכפול ב ‪ x‬את שני הצדדים(‪.‬‬ ‫נותר רק להראות ש ‪ m00 , n00‬אי שליליים‪.‬‬ ‫נשים לב שלכל ‪ k ∈ Z‬מתקיים גם‬ ‫‪x = (m00 − kb)a + (n00 + ka)b‬‬ ‫נבחר את ‪ k‬כך שנרשום ‪ x = ma + nb‬עבור ‪ .0 ≤ m < b‬כאשר ‪ x > ab − a − b‬נובע ש ‪ n ≥ 0‬כי‬ ‫)‪nb = x − ma ≥ ab − a − b + 1 − (b − 1)a = −(b − 1‬‬ ‫כלומר‪) .n ≥ 0 ,‬הא"ש מתקיים בגלל התנאי על ‪ ,x‬והעובדה שלקחנו ‪.(m < b‬‬ ‫‪ n‬אי שלילי‪ ,‬כיוון שאילו היה שלילי‪ ,‬ערכו היה לפחות ‪ ,−1‬ואז ‪ ,nb = −b‬אבל במקרה שלנו‪,‬‬ ‫‪ ,nb = −b + 1‬ולכן לא ייתכן ש ‪.n < 0‬‬ ‫שלשות פיתגוריות‬ ‫מהם הפתרונות השלמים ל ‪?x2 + y 2 = z 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫פתרון‬ ‫כל פתרון שלם נותן פתרון רציונלי ל ‪ ,a2 + b2 = 1‬כי ‪= 1‬‬ ‫פתרון שלם‪.‬‬ ‫‬ ‫‪y 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‬ ‫‪x 2‬‬ ‫‪z‬‬ ‫‪ ,‬וכן‪ ,‬כל פתרון רציונלי נותן‬ ‫המשוואה כמובן מזכירה את מעגל היחידה‪.‬‬ ‫נניח ויש לנו פתרון רציונלי )‪ (a, b‬על מעגל היחידה‪ .‬נמתח ישר ממנו לנקודה )‪ .(1, 0‬הישר יחתוך את‬ ‫ציר ‪ y‬בנקודה כלשהי )‪ .(0, t‬הטענה היא ש ‪ t‬רציונלי אמ"מ )‪ (a, b‬רציונליים‪ .‬בכך עשינו רדוקציה‬ ‫למשתנה יחיד‪.‬‬ ‫נשים לב גם כי ייתכן ונקודת החיתוך של הישר עם ציר ה ‪ y‬תהיה מחוץ למעגל‪.‬‬ ‫נוכיח את הטענה‪ :‬חיתוך של ישר ועקום ריבועי )המעגל( שבו נקודת חיתוך אחת רציונלית‪ ,‬גם השניה‬ ‫תהיה רציונלית‪ .‬הכיוון השני פשוט גם כן ־ ‪ t‬ניתן להבעה באמצעות ‪ a‬ו ‪ ,b‬והיות והם רציונליים‪ ,‬גם‬ ‫‪ t‬רציונלי‪.‬‬ ‫נרשום את )‪ (a, b‬כפונקציה של ‪:t‬‬ ‫השיפוע של הישר הוא‪= −t :‬‬ ‫‪t−0‬‬ ‫‪0−1‬‬ ‫‪b‬‬ ‫=‬ ‫‪ . a−1‬נקבל מערכת משוואות‪:‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪⇒ a2 + (−at + t)2 = 1‬‬ ‫‪= −at + t‬‬ ‫(‬ ‫‪a2 + b 2‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪⇒ a2 + a2 t2 − 2at2 + t2 = 1‬‬ ‫‬ ‫‪⇒ a2 t2 + 1 − 2t2 a + t2 − 1 = 0‬‬ ‫‪p‬‬ ‫)‪2t2 ± 4t2 − 4 (t2 + 1) (t2 − 1‬‬ ‫=‪⇒a‬‬ ‫)‪2 (t2 + 1‬‬ ‫‪2t2 ± 2‬‬ ‫‪t2 − 1‬‬ ‫=‪⇒a‬‬ ‫⇒‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪1,‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2 (t2 + 1‬‬ ‫‪t2 + 1‬‬ ‫נציג גם את ב ‪:b‬‬ ‫‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪t2 − 1‬‬ ‫‪−1 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪t +1‬‬ ‫‪t +1‬‬ ‫‬ ‫· ‪b = −t(a − 1) = −t‬‬ ‫כלומר‪ ,‬כלל הפתרונות הרציונליים עבור ‪ a2 + b2 = 1‬הוא כל הזוגות )‪ (a, b‬כך ש‬ ‫ו ‪ ,t ∈ Q‬וכן )‪.(1, 0‬‬ ‫אם נציב‬ ‫‪u‬‬ ‫‪v‬‬ ‫‪2t‬‬ ‫‪t2 +1‬‬ ‫=‬ ‫‪t2 −1‬‬ ‫‪,b‬‬ ‫‪t2 +1‬‬ ‫=‪a‬‬ ‫= ‪ t‬עבור ‪ u, v ∈ Z‬נוכל לרשום זאת כך‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪u2 − v 2‬‬ ‫‪2uv‬‬ ‫‪(a, b) | a = 2‬‬ ‫‪, b= 2‬‬ ‫‪, u, v ∈ Z‬‬ ‫‪u + v2‬‬ ‫‪u + v2‬‬ ‫נשים לב גם כי דרך הצגה זו כוללת גם את הנקודה )‪.(1, 0‬‬ ‫המעבר פתרונות רציונליים לשלמים בתרגיל‪.‬‬ ‫באופן דומה ניתן היה לפתור משוואות מהצורה ‪ ,ra2 + sb2 = 1‬או ‪ ra2 − sb2 = 1‬ועוד‪.‬‬ ‫הרעיון הוא להתחיל מפתרון אחד )במקרה שלנו היה )‪ ,((1, 0‬וניתן לעשות פרמטריזציה של כל שאר‬ ‫הפתרונות‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫קונגרואנציות‬ ‫חוג השלמים מודולו ‪n‬‬ ‫הגדרה )גאוס(‬ ‫יהי ‪ .n ∈ N‬נאמר ושני מספרים ‪ a, b ∈ Z‬שווים )שקולים‪ ,‬חופפים‪ ,‬קונגרואנטיים( מודולו ‪ n‬אם‬ ‫‪ n|a − b‬ונסמן )‪.a ≡ b ( mod n‬‬ ‫דוגמה‬ ‫‪) 20 ≡ −1 ( mod 3) ,n = 3‬כי )‪) 20 ≡ 2 ( mod 3) ,(3|20 − (−1‬כי ‪ (3|20 − 2‬וכן הלאה‪.‬‬ ‫עבור ‪ n‬נתון התכונה )‪ a ≡ b ( mod n‬היא יחס שקילות על השלמים‪.‬‬ ‫נשים לב שתמיד נוכל לחלק עם שארית ולרשום ש ‪ a = kn + r‬עבור ‪.0 ≤ r < n‬‬ ‫ואז )‪) a ≡ r ( mod n‬ברור‪ ,‬כי ‪.(n|a − r‬‬ ‫באופן זה‪ ,‬לכל ‪ a ∈ Z‬קיים ‪ 0 ≤ r < n‬יחיד כך ש )‪.a ≡ r ( mod n‬‬ ‫לכן הקבוצה }‪ {0, 1, ..., n − 1‬מהווה מחלקה של נציגים ליחס השקילות מודולו ‪.n‬‬ ‫טענה‬ ‫אם ‪ a ≡ a0‬ו ‪ b ≡ b0‬מודולו ‪ ,n‬אז גם‪:‬‬ ‫‪ a + b ≡ a0 + b0 .1‬מודולו ‪n‬‬ ‫‪ a · b ≡ a0 · b0 .2‬מודולו ‪n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫‪ .1‬נתון ש ‪ n|a − a0‬ו ‪ .n|b − b0‬נובע ש ) ‪ ,n|(a + b) − (a0 + b0‬ולכן ‪ 1‬מתקיים‪.‬‬ ‫‪ .2‬נרשום‬ ‫) ‪ab − a0 b0 = ab − a0 b + a0 b − a0 b0 = (a − a0 )b + a0 (b − b0‬‬ ‫וסיימנו‪ ,‬כי ‪ n|a − a0‬ו ‪ ,n|b − b0‬ולכן גם מחלק את הנ"ל‪.‬‬ ‫מסקנה‬ ‫אם )‪ p(x‬פולינום במקדמים שלמים ב ‪ ,x‬אז אם )‪ x ≡ x0 ( mod n‬אז גם )‪.p(x) ≡ p(x0 ) ( mod n‬‬ ‫דוגמה‬ ‫מצא את השארית של ‪ 20n‬לאחר חלוקה ב־‪.7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫פתרון‬ ‫נשתמש במסקנה עבור ‪ .p(x) = xn‬כיוון ש )‪ 20 ≡ −1 ( mod 7‬נקבל )‪,20n ≡ (−1)n ( mod 7‬‬ ‫לכן אם ‪ n‬זוגי השארית היא ‪ 1‬ואם ‪ n‬אי זוגי‪ ,‬השארית היא ‪.6‬‬ ‫דוגמה‬ ‫מהי השארית בחלוקה ב־‪ 7‬של ‪.30n‬‬ ‫פתרון‬ ‫כיוון ש )‪ 30 ≡ 2 ( mod 7‬נקבל ש )‪.30n ≡ 2n ( mod 7‬‬ ‫נרשום ‪ n = 3k + r‬עבור }‪ .r ∈ {0, 1, 2‬ואז‪:‬‬ ‫)‪2n = 23k+r = 8k · 2r ≡ 1k · 2r = 2r ( mod 7‬‬ ‫מכאן שהשארית נקבעת ע"פ שארית החלוקה של ‪ n‬ב ‪.3‬‬ ‫)‪n = 0 ( mod 3‬‬ ‫)‪n = 1 ( mod 3‬‬ ‫)‪n = 2 ( mod 3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪30 ( mod 7) ≡ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫מחלקות שקילות‬ ‫מחלקת השקילות של ‪ a‬מודולו ‪ n‬היא ‪.{a + nk | k ∈ Z} a + nZ‬‬ ‫ישנן בדיוק ‪ n‬מחלקות שקילות‪.0 + nZ, 1 + nZ, ..., n − 1 + nZ :‬‬ ‫הטענה שראינו מראה שניתן להגדיר פעולות חיבור וכפל על מחלקות השקילות‪:‬‬ ‫‪(a + nZ) + (b + nZ) = a + b + nZ‬‬ ‫‪(a + nZ) · (b + nZ) = ab + nZ‬‬ ‫ותחת פעולות אלה‪ ,‬קבוצת מחלקת השקילות מקבלת מבנה של חוג )קיים איבר ‪ ,0‬והוא ‪,0 + nZ‬‬ ‫יש נגדי‪ ,(a + nZ) + (−a + nZ) = 0 + nZ :‬יש איבר יחידה לכפל ‪ ,1 + nZ‬והחיבור והכפל‬ ‫דיסטריבוטיביים‪ ,‬אסוציאטיביים וקומוטטיביים(‪.‬‬ ‫‪Z‬‬ ‫‪. nZ‬‬ ‫החוג הזה נקרא ‪ Zn‬או לפעמים‬ ‫החוג איזומורפי כמו החוג על הקבוצה ‪ {0, 1, ..., n − 1‬עם הפעולות מודולו ‪.n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫איברים הפיכים ב ‪Zn‬‬ ‫איבר ‪ a + nZ ∈ Zn‬הפיך אם קיים ‪ b ∈ Z‬כך ש ‪ .(a + nZ)(b + nZ) = 1 + nZ‬או‪ ,‬באופן שקול‪,‬‬ ‫)‪.ab ≡ 1 ( mod n‬‬ ‫נסמן את אוסף האיברים ההפיכים ב ‪.Z∗n‬‬ ‫משפט‬ ‫יהי ‪ n‬טבעי‪ .‬המחלקה ‪ a + nZ‬הפיכה אמ"מ ‪.gcd(a, n) = 1‬‬ ‫הוכחה‬ ‫⇐‬ ‫נניח כי ‪ a + nZ‬הפיך‪ .‬אז קיים ‪ b ∈ Z‬כך ש )‪ .ab ≡ 1 ( mod n‬כלומר‪ ,n|ab − 1 ,‬כלומר קיים ‪k‬‬ ‫שלם כך ש ‪ ,ab = 1 + kn‬או במילים אחרות‪ .ab − kn = 1 ,‬כלומר‪ ,‬קיים צרוף בשלמים של ‪ a‬ו ‪n‬‬ ‫שנותן ‪ ,1‬כלומר ‪ ,gcd(a, n) = 1‬וסיימנו‪.‬‬ ‫⇒‬ ‫נניח כי ‪ .gcd(a, n) = 1‬אז קיימים ‪ k, l ∈ Z‬כך ש ‪.ka ≡ 1 ( mod n) ⇐ ak + nl = 1‬‬ ‫נשים לב גם שהאוסף ‪ Z∗n‬סגור ביחס לכפל מודולו ‪ ,n‬ולכן מהווה חבורה‪ .‬כיוון שאם ‪a + nZ, b + nZ‬‬ ‫הפיכים מודולו ‪ ,n‬אז יש להם הפכיים ‪ ,a0 + nZ, b0 + nZ‬ולכן גם ‪ ab + nZ‬הפיך‪ ,‬כי‬ ‫)‪ab · a0 · b0 ( mod n) ≡ (aa0 ) · (bb0 ) ( mod n) ≡ 1 ( mod n‬‬ ‫כאשר השוויון השמאלי מתקיים מהעובדה ש ‪ a, a0‬ו ‪ b, b0‬הפכיים זה לזה‪.‬‬ ‫נציין גם שההופכי לאיבר ‪ a + nZ‬יחידה )עובדה שנכונה בכל חוג( כי אם )‪,aa0 ≡ 1 ( mod n‬‬ ‫‪ aa00 ≡ 1‬אז ‪ a00 ≡ a0 aa00 ≡ a0‬מודולו ‪.n‬‬ ‫הגדרה‬ ‫פונקציית ‪ φ‬של אוילר‪,‬‬ ‫}‪φ(n) = |Z∗n | = {1 ≤ a ≤ n | gcd(a, n) = 1, 1 ≤ n ∈ Z‬‬ ‫נבחין שעבור מספר ראשוני ‪ ,φ(p) = p − 1 ,p‬כלומר ‪ Z∗p‬הוא כל האיברים השונים מאפס ב ‪ Zp‬ולכן‬ ‫‪ Zp‬הוא שדה‪.‬‬ ‫גם ההפך נכון ־ אם ‪ p‬אינו ראשוני‪ ,‬אז קיים ‪ 1 ≤ a < p‬כך ש ‪ gcd(a, p) 6= 1‬ולכן ‪ Zp‬אינו שדה‪,‬‬ ‫שכן ‪ Z∗p‬אינו כל האיברים השונים מ־‪ 0‬ב ‪.Zp‬‬ ‫בקונגרואנציה ניתן לצמצם איברים הפיכים‪.‬‬ ‫‪5‬‬ ‫טענה‬ ‫אם )‪ kx ≡ ky ( mod n‬ו ‪ k ∈ Z∗n‬אז )‪.x ≡ y ( mod n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫נכפיל בהפכי של ‪ k‬את שני האגפים‪.‬‬ ‫טענה‬ ‫נניח כי ‪ r‬מחלק משותף של ‪ k‬ו ‪ .n‬אז )‪ kx ≡ ky ( mod n‬אמ"מ‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪r‬‬ ‫‪mod‬‬ ‫‪. kr x ≡ kr y‬‬ ‫הוכחה‬ ‫⇐‬ ‫כלומר ‪ ,n|kx − ky‬כלומר קיים ‪ q ∈ Z‬כך ש ‪ .nq = kx − ky‬נחלק ב‬ ‫נניח כי )‪ky ( mod n‬‬ ‫≡ ‪ .kx‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪k‬‬ ‫‪ ,r‬ונקבל ‪ , r q = kr x − kr y‬ולכן ‪mod r‬‬ ‫‪.rx ≡ ry‬‬ ‫⇒‬ ‫באותו אופן‪ ,‬רק בסדר הפוך‪.‬‬ ‫דוגמה‬ ‫מצא הפכי ל )‪.18 ( mod 25‬‬ ‫פתרון‬ ‫נרצה להציג את ‪ 1‬כצירוף בשלמים של ‪ 18‬ו ‪ .25‬נשתמש באלגוריתם אוקלידס‪.‬‬ ‫‪25 = 1 · 18 + 7‬‬ ‫‪18 = 2 · 7 + 4‬‬ ‫‪7=1·4+3‬‬ ‫‪4=1·3+1‬‬ ‫מכאן ש‬ ‫= ‪1 = 4 − 3 = 4 − (7 − 4) = 2 · 4 − 7‬‬ ‫= ‪= 2 · (18 − 2 · 7) − 7 = 2 · 18 − 5 · 7‬‬ ‫‪= 2 · 18 − 5(25 − 18) = 7 · 18 − 5 · 25‬‬ ‫לכן‪ 7 · 18 ≡ 1 ( mod 25) ,‬ו ‪ 7‬הוא ההפכי שחיפשנו‪.‬‬ ‫‪6‬‬ ‫משפט )אוילר(‬ ‫נניח כי‬ ‫‪n = pe11 · ... · pel l‬‬ ‫עבור ראשוניים ‪ p1 , .., pl‬ומעריכים ‪ e1 , ..., el ≥ 1‬שלמים‪.‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪· ... · 1 −‬‬ ‫‪pl‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪φ(n) = n 1 −‬‬ ‫‪p1‬‬ ‫בפרט‪ φ ,‬פונקציה כפלית‪ ,‬כלומר אם ‪ m, n‬זרים אז )‪.φ(m) · φ(n) = φ(mn‬‬ ‫דוגמה‬ ‫)‪ .φ(4512‬נמצא את הפירוק לראשוניים של ‪ .4512 = 25 · 3 · 47 :4512‬ונקבל‪:‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪φ(4512) = 4512 · 1 −‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪1−‬‬ ‫‪= 1472‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪47‬‬ ‫טענה‬ ‫עבור ‪ n ≥ 2‬טבעי נגדיר‬ ‫)‪φ(d‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= )‪F (n‬‬ ‫‪1≤d|n‬‬ ‫אז ‪.F (n) = n‬‬ ‫הוכחה‬ ‫מתרגיל הבית‪ ,‬גם ‪ F‬כפלית )כי ‪ φ‬כפלית(‪ .‬לכן‪ ,‬מספיק לבדוק שלכל ראשוני ‪ p‬וחזקה ‪ e ≥ 1‬מתקיים‬ ‫‪ .F (pe ) = pe‬כעת‪,‬‬ ‫‬ ‫= ‪φ pj‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪=1+‬‬ ‫‬ ‫‪j‬‬ ‫‪φ p‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪j=0‬‬ ‫= )‪φ(d‬‬ ‫‪X‬‬ ‫= ) ‪F (p‬‬ ‫‪1≤d|pe‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪ e‬‬ ‫‬ ‫‪1 X j‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪j‬‬ ‫‪=1+ 1−‬‬ ‫= ‪p‬‬ ‫‪=1+‬‬ ‫‪p 1−‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪p‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‪j=1‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪1 pe − 1‬‬ ‫‪=1+ 1−‬‬ ‫‪= pe‬‬ ‫‪p p−1‬‬ ‫‪e‬‬ ‫‪X‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪e‬‬