1. No category

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade dubbelintegraler
GENERALISERADE DUBBELINTEGRALER
Dubbelintegralen (Riemannintegral)
∫∫ f ( x, y )dxdy är definierad
om följande två krav är
D
uppfyllda:
V1. Integrationsområdet D är begränsat ,
V2 . Funktionen f ( x, y) är definierad och begränsad i D.
Definition. Om minst en av ovanstående villkor V1, V2 inte är uppfylld säger vi att
integralen
∫∫ f ( x, y )dxdy
är en generaliserad dubbelintegral.
D
==========================================================
Vi betraktar generaliserade integraler med icke-negativ integrand dvs f ( x, y) ≥ 0 .
1. Generaliserade integraler med obegränsat integrationsområdet D
(vi antar den här gången att integranden f ( x, y) är begränsad icke-negativ integrand
f ( x, y) )
För att beräkna I = ∫∫ f ( x, y ) dxdy på ett obegränsat område D beräknar vi först
D
I n = ∫∫ f ( x, y )dxdy
Dn
där Dn är en begränsad, kvadrerbar delmängd till D sådan att Dn → D om n → ∞
Dn = D )
Mer precis D1 ⊆ D2 ⊆ L Dn ⊆ L ⊆ D och ∪
n
In .
Därefter beräknar vi lim
n →∞
( Man kan visa att man får samma gränsvärdet oberoende på vilket sätt vi väljer Dn under
ovanstående förutsättningar om Dn .)
1 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade dubbelintegraler
Eftersom vi betraktar endast icke-negativa integrander kan gränsvärdet vara antingen ett tal
eller ∞ .
DEFINITION
* Om gränsvärdet
lim I n
n →∞
är ett tal ( säg A) säger vi att integralen
∫∫ f ( x, y )dxdy konvergerar
D
och har värdet A.
** Om
lim I n = ∞
n →∞
säger vi att integralen divergerar.
Anmärkning: Talfäljden I n är en växande talföljd. Därför, för att visa att I n konvergerar, räcker
det att visa att I n är begränsad talföljd.
2. Generaliserade integraler med obegränsad icke-negativ integrand f ( x, y)
( Vi antar den här gången att integrationsområdet D är begränsat)
Om vi har en singularitet i en punkt P(x0,y0) som ligger i D eller på randen till D beräknar vi integralen
på följande sätt.
Vi ”isolerar” punkten P (x0,y0) med en cirkel Kε med centrum i P och radien
mängd med diameter ε) och beräknar integralen
∫∫ f ( x, y)dxdy
ε
( eller en annan
på mängden Dε = D\ Kε
Dε
Därefter
∫∫ f ( x, y)dxdy = lim
∫∫ε f ( x, y)dxdy .
ε
D
→0
D
Anmärkning: På liknade sätt beräknar vi generaliserade integraler om integranden har
singulariteter längs ett linjestycke.
2 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade dubbelintegraler
==================================================================
För att bestämma om integral konvergerar eller divergerar (utan att beräkna integralen) kan vi
( på liknande sätt som i envariabelanalys) jämföra integranden med en annan enklare
funktion.
Jämförelsekriterium:
Låt 0 ≤ f1 ( x, y ) ≤ f 2 ( x, y )
för ( x, y ) ∈ D
Då gäller
i) Om ( ”den större” ) integralen
∫∫ f
2
( x, y ) dxdy konvergerar så konvergerar också ( ”den
D
mindre” ) integralen
∫∫ f ( x, y )dxdy .
1
D
ii) Om ( ”den mindre” ) integralen
∫∫ f ( x, y )dxdy
1
divergerar så divergerar också ( ”den
D
större” ) integralen
∫∫ f
2
( x, y ) dxdy .
D
I samband med jämförelsekriterium använder vi oftast följande resultat
A) Följande generaliserade ( obegränsat integrationsområde) dubbelintegral
∫∫ ( x
2
D
1
dxdy ,
+ y 2 )a
där D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1} .
konvergerar om och endast om a > 1 .
B) Följande generaliserade ( obegränsad integrand i (0,0) ) dubbelintegral
∫∫ ( x
2
D
1
dxdy ,
+ y 2 )a
där D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} .
konvergerar om och endast om a < 1 .
Anmärkning: Vi vet från envariabelanalys att
∞
1.
1
∫x
p
dr konvergerar om och endast om p>1,
1
3 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1
1
∫x
2.
p
Generaliserade dubbelintegraler
dr konvergerar om och endast om p<1,
0
Uppgift 1. Bestäm om följande generaliserade dubbelintegral konvergerar eller divergerar.
( Ange också varför integralen är generaliserad.)
a)
∫∫ 3 + x
D
1
2
+ y2
dxdy
där området D = {( x, y ) ∈ R 2 : x > 0, 0 ≤ y ≤ x} .
Lösning:
Integral är generaliserad eftersom området D är obegränsat.
Först integrerar över begränsade området
Dn = {( x, y ) ∈ R 2 : x > 0, 0 ≤ y ≤ x, ,
x2 + y 2 ≤ n2}
(Lägg märke till att Dn → D då n → ∞ )
a)
I n = ∫∫
Dn
=
π /4
∫
0
1
3 + x2 + y 2
dxdy = (Vi byter till polära koordinater x = r cosθ , y = r sin θ , J=r) :
r
π ⎡1
π
⎤ π
dθ ∫
dr = ⎢ ln(3 + r 2 )⎥ = ln(3 + n 2 ) − ln(3)
2
3+ r
4 ⎣2
8
⎦0 8
0
n
n
Om n → ∞ har vi att I n → ∞
4 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Därmed divergerar integralen
∫∫ 3 + x
D
Generaliserade dubbelintegraler
1
2
+ y2
dxdy .
Uppgift 2. Bestäm om följande generaliserade dubbelintegral konvergerar eller divergerar.
∫∫ ( x
D
2
1
dxdy ,
+ y 2 )2
där D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1, 0 ≤ y ≤ x} .
Lösning:
Integral är generaliserad eftersom området D är obegränsat.
(Uttrycket
1
är inte definierad i punkten (0,0)men denna punkt ligger ej i D)
( x + y 2 )2
2
Först integrerar över begränsade området
Dn = {( x, y ) ∈ R 2 : x > 0, 0 ≤ y ≤ x,
x 2 + y 2 ≥ 1,
x2 + y 2 ≤ n2}
1
dxdy =
2 2
(
x
+
y
)
Dn
I n = ∫∫
2
(Polära koordinater x = r cosθ , y = r sin θ , J=r, med gränser 0 ≤ θ ≤ π / 4 och 1 ≤ r ≤ n
) :
=
π /4
∫
1
n
r
dθ ∫ 4 dr =
r
1
π /4
∫
1
n
1
π ⎡ r −2 ⎤ ⎡ π ⎤
π
π
dθ ∫ 3 dr = ⎢ ⎥ = ⎢− 2 ⎥ = − 2 +
r
4 ⎣ − 2 ⎦ 1 ⎣ 8r ⎦ 1
8n
8
1
n
Om n → ∞ har vi att I n →
n
π
8
5 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Därmed integralen
∫∫ ( x
2
D
Generaliserade dubbelintegraler
1
π
dxdy konvergerar och har värdet .
2 2
+y )
8
Uppgift 3. Visa att följande generaliserade dubbelintegral konvergerar om och endast om
a >1 .
∫∫ ( x
2
D
1
dxdy ,
+ y 2 )a
där D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1} .
Lösning:
Integral är generaliserad eftersom området D är obegränsat.
Först integrerar vi över begränsade området .
Låt Dn = {( x, y ) ∈ R 2 : 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ n 2 }
1
dxdy = ( polära koordinater)
2 a
(
x
y
)
+
Dn
I n = ∫∫
2π
2
n
I n = ∫ dθ ∫
1
1
r
r
2a
n
dr = 2π ∫
1
1
r
2 a −1
dr
n
Kvarstår att undersöka enkelintegralen
∫r
1
2 a −1
dr om n → ∞ , dvs att undersöka för vilka a
1
∞
integralen
∫r
1
2 a −1
dr konvergerar.
1
6 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade dubbelintegraler
∞
Vi vet från envariabelanalys att
1
∫x
p
dr konvergerar om och endast om p>1,
1
∞
därför
∫r
1
2 a −1
dr konvergerar om och endast om 2a − 1 > 1 dvs om a > 1 , vad skulle bevisas.
1
Anmärkning: Ovanstående resultat kan användas i samband med jämförelsesatsen.
Uppgift 4. Bestäm om den generaliserade dubbelintegralen
a)
2 + arctan ( xy ) + sin 2 x
dxdy ,
∫∫D
( x 2 + y 2 )2
b)
2 + arctan ( xy ) + sin 2 x
dxdy ,
∫∫D
( x 2 + y 2 )1 / 3
där D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1, } .
konvergerar eller divergerar.
Tips. Använd jämförelsekriterium .
Lösning
a) Eftersom
0≤
och
∫∫ ( x
D
2
2+
π
+1
2 + arctan ( xy ) + sin x
5
2
≤
≤ 2
2
2 2
2
2 2
(x + y )
(x + y )
( x + y 2 )2
2
5
1
dxdy = 5∫∫ 2
dxdy konvergerar ( eftersom a=2 >1)
2 2
2 2
+y )
D (x + y )
så ( enligt jämförelsesatsen konvergerar också ( ”den mindre” ) integralen
2 + arctan( xy ) + sin 2 x
dxdy .
∫∫D
( x 2 + y 2 )2
b) Eftersom
7 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
0≤
Generaliserade dubbelintegraler
2 −π / 2
2 + arctan ( xy ) + sin 2 x
≤
( x 2 + y 2 )1 / 3
( x 2 + y 2 )1 / 3
2 −π / 2
1
dxdy = ( 2 − π / 2) ∫∫ 2
dxdy divergerar ( eftersom a=1/3 < 1)
2
2 1/ 3
+y )
( x + y 2 )1 / 3
D
∫∫ ( x
och
D
så ( enligt jämförelsekriterium) divergerar också ( ”den större” ) integralen
2 + arctan ( xy ) + sin 2 x
dxdy .
∫∫D
( x 2 + y 2 )1 / 3
Uppgift 5. Bestäm om den generaliserade dubbelintegralen
a)
y
∫∫ x
2
dxdy ,
∫∫ x
∫∫ e
y−x
dxdy
D
D
c)
b)
y
1/ 3
D
dxdy ,
d)
∫∫ e
x− y
dxdy ,
e)
D
∫∫ x
D
2
y
dxdy
+ 3x + 5
där D = {( x, y ) ∈ R 2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1} .
konvergerar eller divergerar
Lösning:
a) Integral är generaliserad eftersom området D är obegränsat.
Först integrerar vi över begränsade området .
Låt Dn = {( x, y ) ∈ R 2 : 1 ≤ x ≤ n, 0 ≤ y ≤ 1}
8 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
1
Generaliserade dubbelintegraler
1
n
1
1 ⎡ 1⎤
1
1
y
y
I n = ∫∫ 2 dxdy = ∫ dy ∫ 2 dx = ∫ y dy ∫ 2 dx = ⎢− ⎥ = (1 − )
2 ⎣ x ⎦1 2
x
x
x
n
Dn
0
1
0
1
n
Om n → ∞ har vi att I n →
Därmed är integralen
y
∫∫ x
2
n
1
2
dxdy konvergent och har värdet 1 .
2
D
b) Svar. Integralen konvergerar och har värdet 1 − e −1
c)
I n = ∫∫
Dn
y
x1 / 3
1
n
0
1
dxdy = ∫ dy ∫
n
1
1 ⎡ x2/3 ⎤
1 n2/3
1
dx = ∫ y dy ∫ 1/ 3 dx = ⎢
= (
−
)
⎥
x
2
2
/
3
2
2
/
3
2
/
3
⎣
⎦1
0
1
1
y
x1 / 3
n
Om n → ∞ har vi att I n → ∞ .
därmed är integralen
∫∫ x
y
1/ 3
dxdy divergent.
D
Anmärkning: Vi kunde använda kunskap från envariabelanalys:
∞
1
∫x
p
dr konvergerar om p>1, och divergerar om p ≤ 1
1
∞
och inse direkt att
∫x
1
1/ 3
dx divergerar (för p=1/3 < 1).
1
d) integralen divergerar
e) Integralen konvergerar . Tips
y
y
≤ 2 på D.
x + 3x + 5 x
2
Några exempel där integranden är obegränsad
Uppgift 6. Bestäm om följande generaliserade dubbelintegral konvergerar eller divergerar.
( Ange också varför integralen är generaliserad.)
a)
∫∫ ( x
D
2
1
dxdy
+ y 2 )3
b)
∫∫ ( x
D
2
1
dxdy
+ y 2 )1/ 3
där området D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} .
Lösning a)
9 av 12
c)
∫∫ x
D
2
1
dxdy
+ y2
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade dubbelintegraler
Integralen är generaliserad eftersom integranden är obegränsad ( i närheten av punkten (0, 0).
Vi byter till polära koordinater x = r cosθ , y = r sin θ , J=r ,
1
∫∫D ( x 2 + y 2 )3 dxdy =
2π
1
0
0
∫ dθ ∫
1
1
r
dr = 2π ∫ 5 dr
6
r
r
0
1
1
1
1
1 ⎤
⎡ 1
Vi kan enkelt beräkna ∫ 5 dr = lim ∫ 5 dr = lim ⎢ − +
= ∞ och inse att integralen
4
ε
→
ε
→
0
0
r
⎣ 4 4ε ⎥⎦
ε r
0
divergerar.
( Vi kan även använda kunskap från envariabelanalys:
1
1
∫x
p
dr konvergerar om och endast om p<1, och divergerar om p ≥ 1 )
0
Därför divergerar
∫∫ ( x
2
D
1
dxdy
+ y 2 )3
Svar a) Divergerar
Lösning b)
Vi byter till polära koordinater och får ( den här gången en enkel icke-generaliserad
integral):
1
2π
1
1
⎡ r 4/3 ⎤
1
r
3π
1/ 3
dxdy
d
θ
dr
π
r
dr
π
=
=
=
2
2
⎢ 4 / 3⎥ = 2
∫∫D ( x 2 + y 2 )1/ 3
∫0 ∫0 r 2 / 3
∫0
⎣
⎦0
Svar b) Konvergerar och har värdet
3π
2
Svar c) Divergerar
Uppgift 7. Visa att följande generaliserade dubbelintegral konvergerar om och endast om
a <1 .
∫∫ ( x
2
D
1
dxdy ,
+ y 2 )a
där D = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} .
Lösning
∫∫ ( x
D
2π
2
1
dxdy
+ y 2 )a
1
= ∫ dθ ∫
1
0
r
r
2a
( polära koordinater)
1
dr = 2π ∫
0
1
r
2 a −1
dr
10 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
Generaliserade dubbelintegraler
Sista integralen konvergerar ( envariabelanalys eller direkt beräkning) om och endast om 2a − 1 < 1
dvs a < 1 vad skulle bevisas.
Ett exempel där både integranden och integrationsområde och integranden är
obegränsade
När vi i integralen
∫∫ f ( x, y) dxdy
har både, en singulär punkt och obegränsat område D då
D
delar vi område D i två delar D1 och D2 där D1är begränsat område men innehåller
singularitet. då är
∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫∫ f ( x, y) dxdy + ∫∫ f ( x, y) dxdy .
D1
D
D2
∫∫ f ( x, y) dxdy är konvergent om och endast om både ∫∫ f ( x, y) dxdy och ∫∫ f ( x, y ) dxdy
D1
D
D2
konvergerar.
Uppgift 8. Bestäm om följande generaliserade dubbelintegral konvergerar eller divergerar.
1
dxdy
a) ∫∫ 2
2 2
x
y
(
+
)
D
1
dxdy c)
b) ∫∫ 2
2 2/5
x
y
(
+
)
D
2
2
e− x − y
∫∫D ( x 2 + y 2 ) 2 / 5 dxdy
där D = R2
Lösning:
Vi har( för alla tre integraler) obegränsad integrand ( singularitet i punkten (0, 0) ) och
obegränsat område D.
Vi delar område D i två delar
D1 = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 1} och D2 = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1} .
a)
∫∫ ( x
2
D
1
1
1
dxdy = ∫∫ 2
dxdy + ∫∫ 2
dxdy .
2 2
2 2
+y )
(x + y )
( x + y 2 )2
D1
D2
Eftersom den första integralen
∫∫ ( x
D1
∫∫ ( x
D
2
2
1
dxdy divergerar ( se upp 7) så divergerar också
+ y 2 )2
1
dxdy .
+ y 2 )2
11 av 12
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
b)
∫∫ ( x
2
D
Generaliserade dubbelintegraler
1
1
1
dxdy = ∫∫ 2
dxdy + ∫∫ 2
dxdy .
2 2/5
2 2/5
+y )
(x + y )
( x + y 2 )2/ 5
D1
D2
Eftersom den andra integralen
∫∫ ( x
2
D2
också
∫∫ ( x
2
D
2
1
dxdy divergerar ( se upp 3) så divergerar
+ y 2 )2 / 5
1
dxdy
+ y 2 )2 / 5
2
e− x − y
c) ∫∫ 2
dxdy =
( x + y 2 )2 / 5
D
2
2
2
2
e− x − y
e− x − y
+
dxdy
dxdy
∫∫D1 ( x 2 + y 2 ) 2 / 5
∫∫
(x2 + y 2 )2/ 5
D2
i) Område D1:
2
2
e− x −y
1
Eftersom 2
≤ 2
och
2 2/5
(x + y )
(x + y 2 )2/ 5
2
2
∫∫ ( x
D1
2
1
dxdy konvergerar på området
+ y 2 )2 / 5
2
D1 = {( x, y ) ∈ R : x + y ≤ 1} så , enligt jämförelsekriterium konvergerar också den första
2
2
e− x − y
integralen ∫∫ 2
dxdy .
2 2/5
x
y
(
+
)
D1
ii) Område D2:
2
2
2
2
e− x − y
Eftersom 2
≤ e − x − y och
2 2/5
(x + y )
∫∫ e
− x2 − y 2
dxdy konvergerar ( visa själv genom byte till polära
D2
koord.) på området D2 = {( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≥ 1} så , enligt jämförelsekriterium, konvergerar
2
2
e− x − y
också den andra integralen ∫∫ 2
dxdy .
( x + y 2 )2 / 5
D2
2
2
e− x − y
Eftersom båda integraler konvergerar så konvergerar också ∫∫ 2
dxdy
2 2/5
x
y
(
+
)
D
12 av 12