1. No category

‫סלינר מתקדם באלגברה ‪ -‬הרצאה רביעית‬
‫עומר שכטר‬
‫פירוק ז׳ורדן־שבלי‬
‫בפרק זה נראה אנלוגיה לצורת ז׳ורדן של אלגברה ליניארית‪ ,‬רק הפעם באלגבראות לי‪ .‬הפירוק שנראה תקף‬
‫בשדה ממציין כלשהו‪ ,‬לא רק ממציין אפס‪.‬‬
‫תזכורת‪ :‬עבור שדה סגור אלגברית‪ ,‬העתקה ‪ T‬במרחב וקטורי מממד־סופי ניתנת להצגה בצורת ז׳ורדן‪,‬‬
‫מטריצה המורכבת מבלוקים בצורה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪λi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪λi‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪λi‬‬
‫‪λi‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ai = ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T =‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪Aj‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫כל בלוק ‪ Ai‬כזה הוא למעשה סכום של מטריצה אלכסונית )עם ‪ λi‬על האלכסון( ומטריצה נילפוטנטית‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.1‬נקרא ל־) ‪ ,T ∈ End (V‬כך ש־ ‪ V‬סוף־ממדי פשוט־למחצה )‪ (semisimple‬אם שורשי הפולינום‬
‫המינימלי שלו מעל ‪ F‬זרים‪ .‬הגדרה שקולה בהינתן ש־‪ F‬סגור אלגברית ־ ‪ T‬פשוט־למחצה אם ורק אם ‪T‬‬
‫ניתן ללכסון‪ .‬נציין ששני אנדומורפיזמים פשוטים־למחצה מתחלפים ניתנים ללכסון במקביל‪ ,‬לכן הסכום שלהם‬
‫לדוגמה הוא גם כן פשוט־למחצה‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם ‪ T‬פשוט למחצה ועבור ‪ W ⊂ V‬מתקיים ‪ ,T (W ) ⊆ W‬אזי ‪T |W‬‬
‫פשוט־למחצה‪.‬‬
‫משפט ‪ 0.2‬יהא ‪ V‬מרחב־וקטורי סוף־ממדי מעל שדה ‪ .T ∈ End (V ) ,F‬אזי‪:‬‬
‫‪ .1‬קיימים ) ‪ Ts , Tn ∈ End (V‬יחידים המקיימים ‪ Ts ,T = Ts + Tn‬פשוט־למחצה‪ Tn ,‬נילפוטנטי‪ ,‬וגם ‪Ts‬‬
‫ו־ ‪ Tn‬מתחלפים‪.‬‬
‫‪ .2‬קיימים הפולינומים )‪ q (x) ,p (x‬ללא מקדם חופשי כך ש־) ‪ Ts = p (T‬וגם ) ‪ .Tn = q (T‬באופן כללי‪,‬‬
‫‪ Tn , Ts‬מתחלפים עם כל אנדומורפיזם המתחלף עם ‪.x‬‬
‫‪ .3‬אם ‪ A ⊆ B ⊆ V‬תת־מרחבים‪ ,‬ו־ ‪ T‬מעתיק את ‪ B‬לתוך ‪ ,A‬אזי ‪ Ts‬וגם ‪ Tn‬גם כן מעתיקים את ‪ B‬לתוך‬
‫‪.A‬‬
‫הגדרה ‪ 0.3‬הפירוק ‪ T = Ts + Tn‬מכונה פירוק ז׳ורדן־שבלי )החיבורי( של ‪ ,T‬או פשוט פירוק ז׳ורדן‪ Ts .‬ו־ ‪Tn‬‬
‫מכונים בהתאמה החלק הפשוט־למחצה והחלק הנילפוטנטי של ‪.T‬‬
‫‪Qk‬‬
‫‪i‬‬
‫‪. i=0 (x − am‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהו ‪ a1 , . . . , ak‬הערכים העצמיים השונים של ‪ .T‬הפולינום האפייני של ‪ T‬הוא מהצורה ) ‪i‬‬
‫‪m‬‬
‫אם ‪ ,Vi = ker (T − ai · 1) i‬אזי ‪ V‬הוא סכום ישר של התת־מרחבים ‪ ,V1 , . . . , Vk‬שכל אחד מהם נשמר תחת‬
‫‪1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ .T‬ב־ ‪ Vi‬הפולינום האפייני של ‪ T‬הוא ‪ .(x − ai ) i‬ניישם את משפט השאריות הסיני על חוג־הפולינומים ]‪F [x‬‬
‫כדי למצוא פולינום ‪ p‬המקיים את הנדרש‪ ,‬עם התאמה מודולו‪:‬‬
‫)‬
‫‪mi‬‬
‫) ‪p (x) ≡ ai (mod (x − ai‬‬
‫)‪p (x) ≡ 0 (modx‬‬
‫התנאי השני מיותר כאשר ‪ 0‬הוא ע״ע של ‪ .T‬נגדיר )‪ .q (x) = x − p (x‬בסופו של דבר לשני הפולינומים אין‬
‫מקדם חופשי‪.‬‬
‫נגדיר ) ‪ Ts = p (T‬ו־) ‪ .Tn = q (T‬היות שהפולינומים הם פולינומים ב־ ‪ ,T‬אזי ‪ Tn , Ts‬מתחלפים ביניהם‪,‬‬
‫ומתחלפים למעשה עם כל אנדומורפיזם שמתחלף עם ‪ .T‬הם גם מייצבים כל תת־מרחב המיוצב על ידי ‪ ,T‬בפרט‬
‫‪m‬‬
‫‪ .Vi‬השקילות שקבענו קודם ) ‪ p (x) ≡ ai (mod (x − ai ) i‬מראה ש־‪ Ts − ai · 1‬ב־ ‪ Vi‬הוא ‪ 0‬לכל ‪ ,i‬ולכן ‪Ts‬‬
‫ניתן ללכסון על כל ‪ Vi‬עם ערך־עצמי יחיד ‪ .ai‬עתה‪ ,‬מזה ומההגדרה ‪ Tn = T − Ts‬מתקיים ש־ ‪ Tn‬הוא נילפוטנטי‬
‫ופועל עם ערך־עצמי ‪ 0‬על כל תת־מרחב‪ .‬מכך ומהעובדה שאין מקדם חופשי‪ ,‬סעיף ‪ 3‬מוכח‪.‬‬
‫נותר רק להראות את היחידות ב־‪ .1‬יהא ‪ T = Ws + Wn‬פירוק אחר‪ ,‬אזי ‪ .Ts − Ws = Wn − Tn‬מסעיף‬
‫‪ 2‬כל אלו מתחלפים ביניהם‪ .‬סכום של פשוטים־למחצה הוא פשוט־למחצה‪ ,‬וכנ״ל נילפוטנטי‪ ,‬והיות שיש רק‬
‫אנדומורפיזם יחיד שהוא גם פשוט־למחצה וגם נילפוטנטי‪ ,‬הוא אנדומורפיזם האפס‪ ,‬אזי מתקיים ש־ ‪Ws = Ts‬‬
‫וגם ‪.Wn = Tn‬‬
‫נסתכל על דוגמה כלשהי כדי להבין את חשיבות הפירוק‪ .‬נסתכל על הצגת המצורפת )‪ (Adjoint‬של האלגברת־לי‬
‫) ‪ ,gl (V‬כאשר ‪ V‬סוף־ממדי‪ .‬אם ) ‪ x ∈ gl (V‬נילפוטנטי‪ ,‬אזי גם ‪) ad x‬הוכחנו(‪ .‬בנוסף‪ ,‬אם ‪ x‬פשוט־למחצה‪,‬‬
‫אזי כך גם ‪ .ad x‬נוכיח זאת‪ .‬בהינתן } ‪ {v1 , . . . , vn‬בסיס של ‪ ,V‬כך ש־‪ x‬מיוצג על ידי מטריצה אלכסונית‬
‫בבסיס זה‪ .‬יהא } ‪ {ei,j‬הבסיס הסטנדרטי של ) ‪ gl (V‬אזי ‪) eij (vk ) = δjk vi‬הוכחה בתחילת הספר(‪ .‬מכאן נקבל‬
‫ש־ ‪ .adx (ei,j ) = (ai − aj ) ei,j‬לכן ‪ adx‬מיוצג על ידי מטריצה אלכסונית ביחס לבסיס של ) ‪.gl (V‬‬
‫למה ‪ 0.4‬יהא ) ‪ ,T ∈ End (V‬אנדומורפיזם של מרחב וקטורי סוף־ממדי‪ T = Ts + Tn .‬פירוק ז׳ורדן־שבלי שלו‪.‬‬
‫אזי ‪ adT = adTs + adTn‬הוא פירוק ז׳ורדן־שבלי של ‪ adT‬ב־)) ‪.End (End (V‬‬
‫הוכחה‪ :‬הוכחנו ש־ ‪ adTS‬ו־ ‪ adTn‬פשוט־למחצה ונילפוטנטי בהתאמה‪ .‬הם מתחלפים‪ ,‬היות ש־= ] ‪[ad Ts , ad Tn‬‬
‫‪ ,ad [Ts , Tn ] = 0‬לכן סעיף ‪ 1‬של הטענה תקף‪.‬‬
‫למה ‪ 0.5‬יהא ‪F A‬־אלגברה סוף־ממדית‪ .‬אזי הגזירה של ‪Der A ,A‬מכיל את כל החלקים הפשוטים־למחצה‬
‫והנילפוטנטים )ב־‪ (End A‬של האיברים בו‪.‬‬
‫פירוק ז׳ורדן‬
‫החלקים הפשוט־למחצה והנילופטנטי בהתאמה שלו לפי‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהא ‪ δ ∈ A‬ויהיו ‪o σ, ν ∈ End A‬‬
‫‪k‬‬
‫שבלי‪ .‬מספיק להראות ש־‪ .σ ∈ Der A‬אם ‪ a ∈ F‬הקבוצה ‪.Aa = x ∈ A| (δ − a.1) x = 0 for some k, depending on x‬‬
‫אזי ‪ A‬הוא הסכום הישר של ‪ Aa‬עבור ‪ a‬הוא ערך־עצמי של ‪) δ‬או ‪ ,(σ‬ו־‪ σ‬פועל על ‪ Aa‬ככפל סקלר ב־‪ .a‬נוכל‬
‫לוודא‪ ,‬עבור ‪ a, b ∈ F‬ש־ ‪ Aa Ab ⊆ Aa+b‬על ידי הנוסחה הבאה )שניתן להוכיח באינדוקציה‪ ,‬אך לא נעשה זאת‬
‫כאן(‪ ,‬עבור ‪:x, y ∈ A‬‬
‫ ‬
‫‬
‫‪i‬‬
‫‪x · (δ − b.1) y‬‬
‫‪n−i‬‬
‫)‪(δ − a.1‬‬
‫ ‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪n‬‬
‫‪i‬‬
‫‪n‬‬
‫= )‪(δ − (a + b) .1) (xy‬‬
‫‪i=0‬‬
‫` ‪ ,σ (xy) = (a +‬שכן ‪ .Aa+b‬בכיוון השני = )‪(σx) y + x (σy‬‬
‫כעת‪ ,‬אם ‪ x ∈ Aa‬ו־ ‪ y ∈ Ab‬אזי ‪b) xy‬‬
‫‪ .(a + b) xy‬היות שמדובר בסכום ישר‪ ,A = Aa ,‬ולכן ‪ σ‬היא גזירה‪ ,‬כנדרש‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קריטריון קרטן‬
‫עתה נוכיח קריטריון משמעותית לפתירות של אלגברת לי ‪ L‬בהינתן העקבה של אנדומורפיזם מסויימים של ‪.L‬‬
‫בבירור אם ]‪ [L, L‬נילפוטנטית אזי ‪ L‬פתירה‪ .‬בנוסף‪ ,‬משפט אנגל קובע ש־]‪ [L, L‬נילפוטנטי אם ורק אם כל‬
‫‪ x ∈ [L, L] ,ad[L,L] x‬נילפוטנטי‪ .‬נתחיל איפוא עם קריטריון של עקבה לנילפוטנטיות של אנדומורפיזמים‪.‬‬
‫למה ‪ A ⊆ B 0.6‬שני תת־מרחבים של ) ‪ ,gl (V‬עבור ‪ V‬סוף־ממדי‪ .‬נגדיר }‪.M = {T ∈ gl (V ) | [T, B] ⊆ A‬‬
‫נניח ש־ ‪ T ∈ M‬מקיים ‪ ,∀y∈M T r (T y) = 0‬אזי ‪ T‬נילפוטנטי‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהא ‪ T = Ts + Tn‬פירוק ז׳ורדן־שבלי של ‪ .T‬יהא } ‪ {v1 , . . . , vm‬בסיס של ‪ V‬בו המטריצה המייצגת של‬
‫‪ Ts‬היא אלכסונית עם ) ‪ (a1 , . . . , am‬על האלכסון‪ .‬יהא } ‪ E = span {a1 , . . . , am‬מרחב וקטורי מעל הרציונלים‬
‫נרצה להראות ש־‪ ,Ts = 0‬או לחלופין ש־‪ .E = 0‬היות ש־‪ E‬הוא סוף־ממדי מעל ‪ Q‬מבנייה‪ ,‬אזי יספיק להראות‬
‫שהמרחב הדואלי ∗ ‪ E‬הוא אפס‪ ,‬קרי שכל העתקה ליניארית ‪ f : E → Q‬היא העתקת האפס‪.‬‬
‫תהא ‪ f‬העתקה כזו‪ ,‬ויהי ) ‪ y ∈ gl (V‬מטריצה שביחס לבסיס שלנו היא מטריצה אלכסונית עם )) ‪.(f (a1 ) , . . . , f (am‬‬
‫יהא } ‪ {eij‬הבסיס הסטנדרטי של ) ‪ ,gl (V‬הוכחנו קודם ש־ ‪.ad y (eij ) = (f (ai ) − f (aj )) eij ,ad TS (eij ) = (ai − aj ) eij‬‬
‫עתה‪ ,‬יהא )‪ r (x) ∈ F (x‬פולינום ללא מקדם חופשי המקיים ) ‪ r (ai − aj ) = f (ai ) − f (aj‬לכל זוג ‪ .i, j‬הקיום‬
‫נובע מהאינטרפולציה של לגראנז׳‪ .‬בסופה של הבנייה נקבל ) ‪.ad y = r (ad Ts‬‬
‫מהלמה הראשונה שהוכחנו‪ ad Ts ,‬הוא החלק הפשוט־למחצה של ‪ ,ad T‬אזי היא נתנת לכתיב כפולינום‬
‫ב־ ‪ ad T‬ללא מקדם חופשי‪ .‬נזכור שלפי הנחות המשפט‪ ,[T, B] ⊆ AP‬אזי ‪ ,ad y (B) ⊆ A‬ולכן ‪ .y ∈ M‬בנוסף‬
‫מההנחה‪ ,‬נקבל ש־‪ ,T r (T y) = 0‬ולכן ‪ , ai f (ai ) = 0‬אגף שמאל הוא קומבינציה ליניארית רציונאלית של‬
‫‪P‬‬
‫‪2‬‬
‫איברי ‪ .E‬נפעיל עליה את ‪ f‬ונקבל ‪ , f (ai ) = 0‬אבל זה סכום ריבועים של רציונאלים שמתאפס‪ ,‬ולכן לכל ‪i‬‬
‫מתקיים ‪ .f (ai ) = 0‬לכן ‪ f ≡ 0‬שכן היא מתאפס על כל איברי הבסיס‪.‬‬
‫לפני שנוכיח את הקריטריון עצמו‪ ,‬נוכיח תחילה זהות שימושית‪ .‬עבור ‪ x, y, z‬אנדומורפיזמים של מרחב וקטורי‬
‫סוף־ממדי‪ ,‬אזי מתקיים )]‪ .T r ([x, y] z) = T r (x [y, z‬ההוכחה‪ :‬נזכור ש־‪ [x, y] z = xyz − yxz‬ו־= ]‪x [y, z‬‬
‫‪ .xyz − xzy‬נזכור שמתקיים )‪ ,T r (AB) = T r (BA‬ולכן )‪ ,T r (y (xz)) = T r ((xz) y‬ונקבל את הנדרש‬
‫בהצבה‪.‬‬
‫משפט ‪ 0.7‬תהא ‪ L‬תת־אלגברה של ) ‪ gl (V‬כאשר ‪ V‬סוף־ממדי‪ .‬נניח שלכל ]‪ T ∈ [L, L‬ולכל ‪ y ∈ L‬מתקיים‬
‫ש־‪ ,T r (T y) = 0‬אזי ‪ L‬פתירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ממשפט אנגל מספיק לנו להוכיח שכל אנדומורפיזם ]‪ T ∈ [L, L‬נילפוטנטי‪ .‬נשתמש בלמה שלמעלה‪,‬‬
‫נגדיר ]‪ A = [L, L‬ו־‪ ,B = L‬כך ש־}]‪ .M = {T ∈ gl (V ) | [T, L] ⊆ [L, L‬בבירור ‪ .L ⊆ M‬נוסח המשפט‬
‫מדבר על ‪ T r (T x) = 0‬עבור ]‪ T ∈ [L, L‬ו־‪ ,y ∈ L‬אבל כדי להשתמש בלמה אנחנו זקוקים ל־‪T r (T y) = 0‬‬
‫עבור ]‪ x ∈ [L, L‬ו־ ‪ .y ∈ M‬אם ]‪ [T, y‬הוא יוצר של ]‪ [L, L‬ואם ‪ z ∈ M‬אזי הזהות שהוכחנו קודם מראה‬
‫ש־)‪ .T r ([x, y] z) = T r (x [y, z]) = T r ([y, z] x‬מהגדרת ‪ ,[y, z] ∈ [L, L] ,M‬ולכן אגף ימין הוא תמיד ‪ 0‬לפי‬
‫ההנחה‪ .‬לכן תנאי הלמה מתקיימים ו־‪ L‬פתירה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 0.8‬אם ‪ K‬היא אלגברת־לי כך ששלכל ]‪ x ∈ [L, L‬ולכל ‪ y ∈ L‬מתקיים ש־‪ ,T r (ad x, ad y) = 0‬אזי ‪L‬‬
‫פתירה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ניישם את המשפט על ההצגה המצורפת של ‪ L‬ונקבל ש־‪ ad L‬פתירה‪ .‬היות ש־)‪ ker (ad) = Z (L‬פתירה‪,‬‬
‫אזי ‪ L‬עצמה פתירה‪.‬‬
‫‪3‬‬