. נגזרות מסדר גבוה . נגזרת של פונקציה סתומה
-4-
נגזרות מסדר גבוה.
נגזרת של פונקציה סתומה .
.Iחשב את הנגזרת השניה של ) y (xבנקודה : x = −1
)
1) y = 7 x 4 − 3 x 2 + x
(
2) y = ln x 2 + 1
2
)4) y = (x 3 − 5)(2 x + 3
תשובות1) y′′ = 84 x 2 − 6, y′′(−1) = 78 :
2
;; y′′(−1) = −2
x3
x +1
x
= 3) y
5) y = xe x
) , y ′′(−1) = 0
(
2 1− x2
)
2
+1
2
(x
= 2) y ′′
4) y ′′ = 24 x 2 + 18 x, y ′′(−1) = 6
= 3) y′′
2
5) y ′′ = 2 xe x (2 x 2 + 3), y ′′(−1) = −10e
.IIחשב את את הנגזרת השלישית של ) y (xבנקודה
1) y = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a1 x + a 0
תשובות:
:x = 0
)3) y = e x ( x 2 + x + 3
2) y = x 2 + 1
, y ′′′(0) = 0
1) y ′′′ = 6a3
- 3x
)+ 1
5
2
(x
= 2) y′′′
3) y′′′ = e x ( x 2 + 7 x + 12), y ′′′(0) = 12
dy
כאשר ) y (xנתונה בצורה סתומה .
.IIIחשב את הנגזרת
dx
בטא את הנגזרת כפונקציה של . x, y
− p 1) x - y + lny = 0קבוע 2) y 2 = 2 px ,
dy p
dy
y
=
)2
תשובות:
)1
=
dx y
dx y − 1
3) x 2 + y 4 − y = 2
dy
2x
)3
=
dx 1 − 4 y 3
. IVנתונה המשוואה F ( x, y ) = 0שמגדירה עקומה במישור והנקודה ) . ( x0 , y 0
הראה כי העקומה עוברת דרך ) ( x 0 , y 0ומצא את משוואת המשיק לעקומה ב( x 0 , y 0 ) -
x0 = 1, y 0 = 0
1) e xy + x 2 y 2 − 4 x + 3 = 0,
x0 = 25, y 0 = 9
8a
16a
= , y0
5
5
תשובות:
⎛ 16a 3
⎞8
⎟ = ⎜x −
5
⎝4
⎠5
= a > 0 , x0
)1) y = 4(x - 1
3) y -
x + y =8 ,
)2
3) x 2 + y 2 − 8ax = 0,
3
)2) y − 9 = − ( x − 25
5
-5-
הכלל של לופיטל
:חשב את הגבולות הבאים
x3 − 3x 2 + 4
x → 2 3 x 2 + x − 14
lim
.2
lim
x 4 − 16
.4
x 3 + 5 x 2 − 6 x − 16
x →2
e2 x − 1
x →0 sin x
1− 3 + 2x
x →−1
x + 2 −1
23x − 1
x →0
5x
.5
3 − 5 + 2x
x→2
x2 − 4
.7
lim
.10
x 2 + ln x − 1
ex − e
.12
lim
e kx
x →∞ x n
.14
lim
ln x
xn
.16
( n > 0, k > 0) ,
( n > 0) ,
lim x 2 ln x
x → 0+
lim
(e
lim
xn
lim x
x →∞ e
( n > 0) ,
x →1
.3
x →a
.8
lim
lim
lim
x →∞
x
− 1)( e 2 x − 1)
x2
x →0
x + ln x
x →∞ x ln x
x →−∞
( n > 0) ,
.13
x2 + 1
x →∞
ln x
.15
x2
lim x n ln x
x → 0+
.9
.11
x
lim
.18
1⎞
⎛ 1
lim ⎜
− ⎟
x → 0 sin x
x⎠
⎝
.1
xm − am
xn − an
(a > 0) , lim
.6
lim
lim
3x 2 − 2 x − 1
x →1 5 x 2 + 3 x − 8
lim
.17
1 ⎞
⎛ x
lim ⎜
−
⎟ .19
x →1 x − 1
ln x ⎠
⎝
.20
: תשובות
0 .10 2 .9
0 .20
1
−2 .8 − .7 2 .6
12
1
.19
2
0 .18
0 .17
0.6 ln 2 .5
0 .16
0 .15
16
.4
13
∞ .14
m m−n
.3
a
n
−1 .13
0 .2
4
.1
13
3
.12 0 .11
e
-6חקירת פונקציות בעזרת הנגזרת
.Iמצא את תחומי העלייה והירידה ונקודות קיצון מקומי של הפונקציות הבאות .
חשב את ערך של הפונקציה בנקודות הקיצון .
4
y = 4 x + 2 x − 5 .2
y = −2 x3 − 9 x 2 + 60x .1
x2 + 1
=y
.3
x
3
(
)x + 1
.4
=y
3
y = x ⋅ e x .5
x
y = ln x − 1 .6
.IIמצא את אסימפטוטות אנכיות )אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות :
x2 + 1
.1
x
=y
4+ x
.2
x−3
y = 4 − x 2 .3
=y
y = ln( x 2 − 1) .4
.IIIמצא את אסימפטוטות משופעות )אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות :
.1
x3
2
)2 ( x + 1
=y
.2
.IVמצא את כל אסימפטוטות
x
x2 + 4
=y
.3
x2
x2 +1
.4
=y
(x − 2 )3
=y
)אם הן קיימות( לגרפים של הפונקציות הבאות :
x2 + 1
.1
x
(x + 1)3 .4
y = x2 + 1 5 . 5
=y
x3
תשובות
y ( x) .1עולה כאשר x > 2
y (x) , x < −5 ,יורדת כאשר − 5 < x < 2
.I
x = 2נקודת מינימום מקומי x = −5 ,נקודת מקסימום מקומי ,
. y (−5) = −275
y ( 2) = 100
1
1
y (x) .2עולה כאשר
y (x) , x < −יורדת כאשר − < x
2
2
1
23
1
x = −נקודת מקסימום מקומי . y (− ) = −
2
4
2
y (x) .3עולה כאשר x > 1
y (x) , x < −1,יורדת כאשר − 1 < x < 0, 0 < x < 1
x = 1נקודת מינימום מקומי x = −1 ,נקודת מקסימום מקומי ,
y ( −1) = −2
y (1) = 2
y (x) .4יורדת כאשר . x ≠ 0
=y
x + x −1
.2
2x +1
2
=y
x +1
.3
x
x5
=y
.6
2 − x4
2
=y
y (x) .5עולה כאשר y (x) , x > 1יורדת כאשר x < 1
1
x = −1נקודת מינימום מקומי . y ( −1) = − ,
e
y (x) .6עולה כאשר y (x) , x > −1יורדת כאשר y (x) , x < −1לא קיימת ב-
. x = −1אין נקודות קיצון של )y (x
x = 1,
.3לא קיימת x = −1 .4
x = 3 .2
x = 0 .1 . II
1
. 4לא קיימת
y = 1 .3
y = 1 .2
y = x − 1 .1 . III
2
1
1
1
y = x, y = − x .3
y = x + , x = − .2 x = 0, y = x .1. IV
2
2
4
x = 4 2 , y = − x .4
-7חקירת פונקציות בעזרת הנגזרות
.Iמצא את תחומי קמירות ואת נקודות פיתול של הפונקציות הבאות :
y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 1 .1
.3
.6
4
x
y = 2 x2 +
y = x 2e x
y = 3 x 5 − 5 x 4 + 4 .2
.4
x
x +1
x
.7
x −1
y = ln
2
x2
ex
.5
=y
)
=y
(
y = ln 1 + x 2 .8
תשובות :
y (x) .1קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 3קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 3
x = 3נקודת פיתול .
y (x) .2קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 1קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 1
x = 1נקודת פיתול .
3
y (x) , x < − 2קמורה כלפי מטה ,
y (x) .3קמורה כלפי מעלה ,כאשר , x > 0
x = −3 2נקודת פיתול .
כאשר . − 3 2 < x < 0
y (x) .4קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 3 < x < 0 , x > 3קמורה כלפי מטה ,
כאשר
. x < − 3, 0 < x < 3
x = − 3 , x = 0, x = 3נקודות פיתול .
y (x) .5קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < 2 − 2 , x > 2 + 2קמורה כלפי מטה ,
כאשר
. 2- 2 < x < 2+ 2
x = 2 − 2 , x = 2 + 2נקודות פיתול .
y (x) .6קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < −2 − 2 , x > −2 + 2קמורה כלפי מטה ,
x = −2 − 2 , x = −2 + 2נקודות פיתול .
כאשר . - 2 - 2 < x < −2 + 2
1
y (x) .7קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > , x ≠ 1קמורה כלפי מטה ,
2
1
1
= xנקודת פיתול .
< . x ≠ 0 ,x
כאשר
2
2
y (x) .8קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 1 < x < 1קמורה כלפי מטה ,
כאשר x = ±1, x = ln 2 . x < −1, x > 1נקודות פיתול .
.IIחקור את הפונקציות הבאות)חקירה מלאה( ושרטט את גרף של הפונקציה.
1
.1
1 − x2
=y
x2
.2
x+2
=y
.3
ex
x2
=y
x
.4
ln x
=y
-7חקירת פונקציות בעזרת הנגזרות
.Iמצא את תחומי קמירות ואת נקודות פיתול של הפונקציות הבאות :
y = x 3 − 9 x 2 + 24 x − 1 .1
.3
.6
4
x
y = 2 x2 +
y = x 2e x
y = 3 x 5 − 5 x 4 + 4 .2
.4
x
x +1
x
.7
x −1
y = ln
2
x2
ex
.5
=y
)
=y
(
y = ln 1 + x 2 .8
תשובות :
y (x) .1קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 3קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 3
x = 3נקודת פיתול .
y (x) .2קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > 1קמורה כלפי מטה ,כאשר . x < 1
x = 1נקודת פיתול .
3
y (x) , x < − 2קמורה כלפי מטה ,
y (x) .3קמורה כלפי מעלה ,כאשר , x > 0
x = −3 2נקודת פיתול .
כאשר . − 3 2 < x < 0
y (x) .4קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 3 < x < 0 , x > 3קמורה כלפי מטה ,
כאשר
. x < − 3, 0 < x < 3
x = − 3 , x = 0, x = 3נקודות פיתול .
y (x) .5קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < 2 − 2 , x > 2 + 2קמורה כלפי מטה ,
כאשר
. 2- 2 < x < 2+ 2
x = 2 − 2 , x = 2 + 2נקודות פיתול .
y (x) .6קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x < −2 − 2 , x > −2 + 2קמורה כלפי מטה ,
x = −2 − 2 , x = −2 + 2נקודות פיתול .
כאשר . - 2 - 2 < x < −2 + 2
1
y (x) .7קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , x > , x ≠ 1קמורה כלפי מטה ,
2
1
1
= xנקודת פיתול .
< . x ≠ 0 ,x
כאשר
2
2
y (x) .8קמורה כלפי מעלה ,כאשר y (x) , − 1 < x < 1קמורה כלפי מטה ,
כאשר x = ±1, x = ln 2 . x < −1, x > 1נקודות פיתול .
.IIחקור את הפונקציות הבאות)חקירה מלאה( ושרטט את גרף של הפונקציה.
1
.1
1 − x2
=y
x2
.2
x+2
=y
.3
ex
x2
=y
x
.4
ln x
=y
-8-
מינימום ומקסימום מוחלטים
.Iמצא את מינימום ואת מקסימום של הפונקציות הבאות בתחום הנתון :
x2
.1
x−2
=y
[3,5] ,
y = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 35 .2
][ −4, 4
y = x 2 ln x . 3
][1, e
.4
y = x − 2 ln x . 5
][1, e
תשובות:
⎧2 x + 1, 0 ≤ x < 1
⎨ = )f ( x
.6
⎩ 3 x, 1 ≤ x ≤ 3
= 40, ymin = −41 .2
ymax = 9,
.1
.3
ymax = e , ymin = 0
ymax = 1, ymin = 0.6 .5
ymin = 8
][ −1,1
y = x 2e− x
2
.4
= 0 .6
ymin = 0
ymin
ymax
ymax = e,
y max = 8
.1 .IIמצא את שני מספרים שסכומם 10ומכפלתם מקסימלית.
.2הוכח כי מכפלה של שני מספרים ,שסכומם קבוע ,היא הגדולה ביותר ,כאשר
שני מספרים שווים זה לזה.
.3מצא את מספר x > 0
1
עבורו הסכום
x
S ( x) = x +יהיה מינימאלי .
חשב את . S min
.4נתון מלבן שהיקפו .12
א.מצא את צלעות המלבן עבורם שטחו יהיה מקסימלי .
ב.חשב את שטח המקסימלי של המלבן .
תשובות5.5 .1 :
.3
x = 1, S min = 2
.4א3.3 .
ב9 .
בעיות מינימום ומקסימום בכלכלה.
.1חברה מוכרת כל יום 100מוצרים במחיר של ₪ 40למוצר.על כל הורדה של
שקל אחד ממחיר המוצר החברה מוכרת 4מוצרים יותר ליום.
חשב מה צריך להיות מחיר המוצר כדי שהכנסה היומית של החברה תהיה
מקסימאלית.
תשובה 32.5 :
.2חברת התעופה מתכננת טיסה שבה מתוכנן מחיר כרטיס בין $150ל-
$ 300עבור אדם .החברה מעריכה שמספר הנוסעים בטיסה יהיה
x , 300 – 0.75xהמחיר הדולרי עבור כרטיס .מה צריך להיות
המחיר לכרטיס שייתן הכנסה מקסימאלית ומה תהא הכנסה זו ?
)(200, 30000
תשובה :
- 9 .3בטיסת שכר המחיר לנוסע $ 1000כל עוד מספר הנוסעים לא עולה על .100במידה
ויש פחות מ 50 -נוסעים מתבטלת הטיסה ואם יש יותר מ 100 -הרי שאז יורד מחיר לכל
נוסע ב $ 4 -על כל נוסע מעל ה .100 -מה יהיה המחיר לכרטיס עבורו תתקבל הכנסה
מקסימאלית ומהי הכנסה זו ?
תשובה (75; 122500) . :
4המרחק בין שתי ערים 300ק"מ .נהג אוטובוס מרוויח ₪ 42.25לשעה ויתר ההוצאות
בהסעת האוטובוס במהירות קבועה של xקמ"ש הן 180 + xאגורות לק"מ .המהירויות
המותרות הן מינימום 50קמ"ש ומקסימום 80קמ"ש .מה תהיה מהירות הנסיעה על מנת
תשובה 65 :קמ"ש
שההוצאות יהיו מינימאליות ?
5א .יצרן מוכר מכשירי רדיו ב ₪ 68 -ליחידה .העלות Cבייצור xמכשירים לשבוע ,נתונה
על ידי הפונקציה .C(x) = 1200 + 8x + 0.004x2בהנחה שניתן לייצר לכל היותר
10,000מכשירים בשבוע ,כמה כדאי לו לייצר ולמכור על מנת שהרווח השבועי יהיה
מקסימאלי ומהו רווח זה ?
תשובה ) :א( )(7500, 223800
)ב( אם בשבוע מסוים הוחלט לייצר לכל היותר 7000מכשירים כמה כדאי לייצר
על מנת שיהיה רווח מקסימאלי ? תשובה ) :ב( )(7000,222800
.6חברה מרוויחה ₪ 30עבור כל מכשיר שהיא מייצרת כל עוד היא מייצרת לכל היותר
1000מכשירים .אם הרווח לכל מכשיר יורד ב 3.75 -אגורות על כל מכשיר מעל ה-
,1000כמה תייצר על מנת שהרווח שלה יהיה מקסימאלי ? תשובה (1000,30000) :
.7בפרדס מניב כל עץ 15שקי פרי כל עוד בפרדס לכל היותר 40עצים לדונם .כאשר יש
יותר מ 40 -עצים לדונם יורדת התפוקה של כל עץ ב – 3/10השק על כל עץ מעל ה.40 -
מה יהיה מספר העצים לדונם שייתן תפוקה מקסימאלית ומהי תפוקה זו ?
תשובה (5, 607.5) :
2
.8העלות בייתור xטון זהב היא .₪ x + 40x + 30אם מיוצרים יותר מ 10 -טון ,הדרישה
לתוספת בכוח אדם מגדילה את העלות ב .₪ 20(x-10) -המחיר לטון הוא ₪ 90באופן
קבוע והתפוקה המקסימאלית היא 20טון .כמה כדאי לייצר על מנת שיהיה רווח
מקסימאלי ?
תשובה 15 :
.9חברת תיור מארגנת טיול ל 30-מטיילים כך שהמחיר למטייל הוא .₪ 250על כל מטייל
נוסף שמצטרף ,החברה מורידה את המחיר לכל אחד מהמטיילים ב .₪ 5 -מה צריך להיות
מספר המטיילים כדי שלחברה יהיה הרווח הגדול ביותר ? תשובה 40 :
.10א .תייר מעוניין לעבור דרך של 1000ק"מ במהירות קבועה והיא לכל היותר 75קמ"ש
ולפחות 40קמ"ש .הוצאות שכירות הרכב הן ₪ 16לכל שעת נסיעה .הוצאות הדלק
x
תלויות במהירות הנסיעה .אם מהירות הנסיעה היא xקמ"ש ,הוצאות הדלק הן
400
לכל ק"מ .באיזו מהירות עליו לנסוע כדי לקבל הוצאה מינימאלית ומהי ?
תשובה ) :א()(75, 400.8
ב .כיצד ,אם בכלל ,תשתנה תשובתך באם התייר מוכן לנסוע במהירות קבועה
שלא תעלה על 100קמ"ש ? תשובה ) :ב((80, 400) .
₪
-10 נגזרות חלקיות. פונקציות של שני משתנים
( f ′, f ′) ∂∂fy , ∂∂fx
: של פונקציות הבאות
y
x
f ( x, y ) = 2 x 2 − xy + y 2
.2
f ( x, y ) = 2 x ln y + 4 x 5
.4
x− y
x+ y
.6
f ( x, y ) =
.3
y
.5
x
:תשובות
f ( x, y ) =
∂f
= −6 xy,
∂y
∂f
= 12 x 2 − 3 y 2 , .1
∂x
∂f
1 ∂f
2
=− 2,
= 2 .3
∂x
x ∂y y
y
1
.5
f x′ = − 2 , f y′ =
x
x
מצא את נגזרות חלקיות מסדר גבוה. II
f x′ ,
f ( x, y ) = ln x + ln y
.1
f ( x, y ) = 4 x3 − 3 xy 2
1 2
f ( x, y ) = −
x y
∂f
∂f
= − x + 2 y,
= 4 x − y , .2
∂y
∂x
∂f 2 x ∂f
=
,
= 2 ln y + 20 x 4 .4
∂y
y ∂x
2y
2x
f x′ =
, f y′ = −
.6
2
(x + y )
( x + y )2
:(
מצא את נגזרות חלקיות. I
f y′ ,
f xx′′ ,
.2
f yy′′ ,
f xy′′ ,
f yx′′
)
f ( x, y ) = x 4 y + 2e x .1
f ( x, y ) = y 2 − 2 x 2 y + 7 y .4
z ( x, y ) = x ln y +
y
.3
x
:תשובות
f xy′′ = f yx′′ = 4 x , f y′ = x , f x′ = 4 x y + 2e , .1
3
4
3
x
1
1
, f x′ = , . 2
y
x
1 1
x 1
y
z xy′′ = − 2 z y′ = + , z x′ = ln y − 2 , . 3
y x
y x
x
f xy′′ = 0 f y′ =
f xy′′ = −4 x,
f y′ = 2 y − 2 x 2 + 7,
f x′ = −4 xy , . 4
. III
x = 2, y = −1 בנקודהz = ln( x − y ) חשב את נגזרות חלקיות של הפונקציה
2
z x′ =
2
2x
2y
4
2
, z y′ = − 2 2 , z x′ (2, −1) = , z y′ (2, −1) = : תשובה
2
x −y
x −y
3
3
2
- 11נקודות קריטיות ,מקסימום ומינימום בתנאי ,
,ערך מקסימאלי ומינימאלי של פונקציות בשני משתנים
. Iמצא את נקודות קריטיות של הפונקציות הבאות ומיין אותן :
3
z = 14 x + 27 xy 2 − 69 x − 54 y
.2
f ( x, y ) = x 3 + 8 y 3 − 6 xy + 5
.1
2
2
2
2
.3
f ( x, y ) = x + xy + y − 6 x − 9 y
.4
z = x + y − 2x + 4 y + 8
.5
x
+ 2 ln y + ln (12 − x − y ) .6
6
z = 2 x3 + 2 y 3 − 36 xy + 430
g ( x, y ) = 3ln
z = x 3 + xy 2 + 6 xy .7
f(x,y) = ax 2 + by 2 + cx + dy + e .8כאשר ) a ≠ 0, b ≠ 0מיין את נקודות
קריטיות בהתאם לסימני המקדמים( .
תשובות :
1
min f ( x, y ) = f (1, ) = 4 .1
2
min z = z (1, −2) = 3 .3
min f ( x, y ) = f (1, 4) = −21 . 4
min z = z (6, 6) = −2 .5
max g ( x, y ) = g (6, 4) = 5 ln 2 .6
.2
min z = z (1,1) = −82; max z = z (−1, −1) = 82
max z = z (− 3, −3) = 6 3 .7
c
d
. x0 = − , y 0 = −בהתאם לסימני המקדמים נקבל שלושה המקרים :
.8נקודה קריטית
2a
2b
)א( כאשר a, bבעלי סימנים שונים ,כלומר a > 0, b < 0או ( x0 , y 0 ) , a < 0, b > 0היא
נקודת אוכף
)ב( כאשר a, bמספרים חיוביים ,כלומר ( x0 , y 0 ) , a > 0, b > 0היא נקודת מינימום
;min z = z ( 3, −3) = −6 3
)ג( כאשר a, bמספרים שליליים ,כלומר ( x0 , y 0 ) , a < 0, b < 0היא נקודת מקסימום
. IIמצא את נקודות קריטיות של ) z ( x, yעם האילוץ ,כאשר
, z ( x, y ) = x 2 + 2 y 2 .1האילוץ . 3 x + 2 y = 11תשובה x = 3, y = 1 :
, z ( x, y ) = xy .2האילוץ
.3
.4
5
5
. 2x + 3 y − 5 = 0תשובה x = , y = :
4
6
x y
, z ( x, y ) = x 2 + y 2האילוץ + = 1
4 3
2
, z ( x, y ) = x 2 + y 2האילוץ ( x − 2 ) + ( y − 2 ) 2 = 9
.תשובה x = 1.44, y = 5.76 :
5 2
5 2
= , y2
תשובה :
2
2
= x2
2
2
, y1 = − ,
2
2
x1 = −
.5נסמן - x, yאורכם של ניצבים במשולש ישר זווית - S ,שטחו .
מבין כל משולשים ישרי הזווית בעלי השטח Sמצא את משולש ,אשר יתרו היא
1
S
=
הקטנה ביותר ,אם ידוע כי xy
.
2
תשובה x = 2S , y = 2S :
-12בעיות מינימום ומקסימום בכלכלה )פונקציות של שני משתנים (
.1פונקצית התפוקה של מפעל מסוים נתונה על ידי הנוסחה :
f(x,y) = -0.02x3 + 0.63x2 – 0.01y3 + 0.24y2
כאשר xהוא מספר יחידות העבודה ו y -הוא מספר יחידות ההון.
מהן כמויות העבודה וההון אשר יתנו תפוקה מקסימאלית ? מה תהיה אז התפוקה ?
תשובה f(21,16) = 113.09 , (x, y ) = (21,16) :
.2סופרמרקט קונה את שני סוגים של פחיות מיץ במחירים 3ש''ח ו 4-ש''ח לפחית .
אם המיץ הזול
ימכור ב x -ש''ח ) (x > 3לפחית ,המיץ היקר
ימכור ב y -ש''ח ) ( y > 4לפחית ,אז תוך יום אחד יימכרו ) (700 − 500x + 400 y
פחיות מיץ הזול ,ו (800 + 600 x − 700 y ) -פחיות מיץ היקר .
מצא את מחירים
x, yשמקיימים רווח מקסימאלי .תשובה x = 5.3, y = 5.5 :
) f ( x, y ) = Ax k y1−kפונקצית
.3פונקצית התפוקה של מפעל מסוים נתונה על ידי
( Cobb-Duglasכאשר - xיחידות ההון שנותן בנק להוצאות המפעל ''לעבודה'' ,כגון
-A
משקורות לעובדים - y ,יחידות ההון שנותן בנק להוצאות המפעל על ציוד ,
מקדם קנה –המידה - k ,קבוע . 0 < k < 1 ,
הון ,שנותן בנק להוצאות המפעל ,הוא מוגבל x + y = M :
- M ,קבוע M > 0 ,
מהן כמויות ההון ''לעבודה '' ולציוד כך שפונקצית התפוקה ) f ( x, yתהיה מקסימאלית ?
השתמש בכופלי לגרנז' לפתור את הבעיה עם הנתונים הבאים :
M = 70,
)א( f ( x, y ) = xy
תשובה x = 35, y = 35 :
)ב( f ( x, y ) = 4 3 xy 2
M = 60,
תשובה x = 20, y = 40 :
)ג( f ( x, y ) = 5 x 2 y 3
M = 150,
תשובה x = 60, y = 90 :
)ד( f ( x, y ) = 2 6 xy 5
M = 32,
תשובה x = 5.33, y = 26.67 :
)ה( f ( x, y) = 6 x 2 y 4
M = 64,
תשובה x = 21.33, y = 42.67 :
.4חברה מונופוליסטית משווקת את אותו המוצר בשני מרכזים שונים
במחירים שונים .אם מחיר המוצר במרכז Aהוא ₪ xובמרכז Bהוא ₪ y
אזי הביקושים היומיים יהיו qA = 57 – xו , qB = 82 – 2y -בהתאמה.
עלות הייצור היא .₪ 577 + 3qA – 5qB
מה צריך להיות מחיר המוצר בכל אחד מהמרכזים ,כדי שהרווח יהיה מקסימאלי ?
מהן הכמויות שימכרו ומה יהיה אז הרווח ?
)f(30,18) = 1210 , (q A , q B ) = (27,46) , (x 0 , y 0 ) = (30,18
תשובה :
.5מפעל מייצר שני סוגים של מחסני עץ A :ו B -בכמויות q Aו q B -בהתאמה .
המחירים לצרחן הם p Aו p B -אלפי ₪ליחידה ,בהתאמה .בהנחה שכל כמויות
הייצור משווקות לצרחן ,מהן כמויות הייצור אשר מניבות רווח מקסימאלי ,כאשר
p B = 36 − q B 2ועלות הייצור היא . 3.5q A 2 + 1.5q B 2
, p A = 26 − q A 2
תשובה . q B = 3 , q A = 2 :
-13האינטגרל הלא מסוים
חשב את האינטגרלים הבאים תוך שימוש בטבלת האינטגרלים. I
: והתכונות
∫ (1 + e
∫ (3 x
.3
x 2
) dx
x 2 + 3x 6 − 2 x 4
dx .6
∫
x4
3 ⋅ 2 x − 2 ⋅ 3x
∫ 3x dx .9
∫ (2 cos x − 3 sin x)dx
2
7x5 + x − x2
dx
∫
x3
.5
dx
x
.8
∫2
( x 2 + 1)dx
∫ x
.*12
∫ (x
.2
− 4 x + 5) dx
− 1)( x + 3) dx
.1
∫ (3 x
− 4) 2 dx
.4
4
.7
2
∫ 3x dx
∫(
.11
2
x + 1)( x − x + 1) dx . 10
: לחשב את האינטגרלים הבאים השתמש במשפט. II
1
∫ f (ax + b)dx = a F (ax + b) + c אז, ∫ f ( x)dx = F ( x) + c
∫
3
4 − 5 x dx
.3
∫ (5 − 8 x )
∫ 2 − 3x dx
.6
∫ (9 x − 2)
∫2
.9
1
3−2 x
dx
6
1
∫e
∫ cos 2 xdx .* 12
ax
6
∫ (2 x + 1)
.2
dx
∫
.5
dx
4
x
.1
dx
.4
∫e
.7
4 −3 x
dx
dx
∫3
∫ sin 7 xdx . 11*
∫ cos 5 dx
9
8 − 7 x dx
.8
dx
אם
2 x +1
.10
∫ sin( 4 + 3x)dx .* 13
.* 14
: השתמש בשיטת ההצבה לחשב את האינטגרלים הבאים. III
.
∫ (3x
2
+ 4 x)( x + 2 x ) dx
3
2 3
−x
∫ xe dx .6
∫y
2
x2
∫ 7 − x 3 dx
∫
2 xdx
6 − x2
∫ (x
.3
∫
.12
∫ sin
2
4
∫ (x
.2
− 7) 3 5 x 4 dx
1 + 2 y 2 dy
∫x
.9
5
∫
.5
∫
3 − x 5 dx . 8
6x
3x 2 + 1
dx
x cos x dx .* 14
2
+ 1) 7 2 xdx .1
xdx
x2 − 7
x 3 dx
.4
.7
x 4 −1
4x3
∫ x 4 −16dx . 10
. 11
∫ cos
3
x sin x dx
. *13
-14: חשב את האינטגרלים הבאים תוך שימוש בשיטת ההצבה. IV
dx
xdx
x 2 x − 1 dx .2
.3
.1
∫
∫
x (1 − x )
x +1
∫
xdx
∫ (x − 1) 3 .5
7
∫ (3x + 1) 2 xdx .6
∫ x(2 x + 5)
10
dx .4
ex
x
x
∫ e x −1dx .8
∫ e e − 2dx .7
: השתמש באינטגרציה בחלקים לחישוב את האינטגרלים הבאים. V
ln (1 + x )
∫ x 2 dx .4
∫ x ln xdx .3 ∫ x 2 e 3 x .2 ∫ xe x .1
x
∫ (2 x + 1)3 dx .8
∫ (3x + 2) sin 2 xdx .* 12
dx
∫ ( x − 2)( x + 1)
∫x
2
xdx
+ 5x + 4
.4
.8
.*14
∫ x ln( x
2
∫ sin x dx .* 10
∫ x cos xdx . *11
2
+ 1) dx .5
x
∫ e dx
3
.9
: חשב את האינטגרלים של פונקציות רציונאליות. VI
x −1
x
x
dx
.
3
∫ x + 1dx .2 ∫ x +1dx .1
∫ ( x 2 − 1)
dx
2
− 1)
∫ x (x
x 2 dx
∫ ( x − 2) 2 ( x − 1) .*11
dx
∫ x 3 − 4 x 2 + 5x
3 x
∫ x e dx .6
x
∫ x 2 dx . 7
.7
∫x
2
dx
.6
− 5x + 4
xdx
∫ (x + 2) 2 ( x + 1)
∫x
2
dx
− 5x + 6
dx
∫ x 2 (x − 1)
.*10
x 2 dx
∫ 2x 2 − 9x + 4
dx
∫ x( x 2 + 1) .* 13
.5
.*9
.*12
: ( 13 , 14 'תשובות )עמ
(
)
3
5 2
(
)
4
1
x5 − 7
1 2
+c . 2
+ c .8 − e − x + c .6 x 2 − 7 2 + c .4
.III
4
2
x
1
5 sin + c .14
sin 2 x + c .12 ln x 4 − 16 + c . 10
5
2
1
(2 x + 5)12 − 1 (2 x + 5)11 + c .4 2 (x − 1)7 − 4 (x − 1)5 + 2 (x − 1)3 + c .2 . IV
48
8
7
5
3
2
1
(3x + 1)9 − (3x + 1)8 + c . 6
ln e x − 1 + c .8
81
36
2
1+ x
2
2 ⎞
⎛1
x 2 − 1 e x + c .6 ln x −
ln(1 + x) + c .4 ⎜ x 3 − x + ⎟e 3 x + c .2 .V
9
27 ⎠
x
⎝3
(2 x + 1)3 x 2 ⋅ 3 x
2 sin x − 2 x cos x + c .10
−
+ c .8
ln 3
(ln 3)2
2 3− x
−
15
(
(
)
)
3
⎛3
⎞
sin 2 x − ⎜ x + 1⎟ cos 2 x + c . 12
4
⎝2
⎠
- 15האינטגרל המסוים .נוסחת ניוטון -לייבניץ
חישוב שטחים של תחומים מישוריים על ידי אינטגרל מסוים .
. Iחשב את האינטגרלים הבאים :
.1
2
∫ x(3 − x)dx
3
.2
dx
∫1 x
.5
(2 x + 1)dx
∫0 x 2 − 2 x − 3
0
2
ex
∫1 e x − 1dx . 4
.7
,כאשר
−1
ln xdx .8
e
2
∫x
.9
dx
1
1
תשובות .1 :
3
0
2
x
x
.6
1
3x
∫ (2 x + 5)e dx
−1
π
9
∫ x sin xdx .*10
∫1+
0
4
1
.3
3
ln 3 .2
3
3
− ln 3 .5
2
4
.9
3 + 2 ln
3
2
∫ x x + 4dx . 3
x<0
⎧ x,
f ( x) = ⎨ 2
x≥0
⎩ x + 1,
1
∫ f ( x)dx
5
ln( e + 1) .4
6
19 3 7 −3
e − e .6
9
9
.7
5
6
−
.8
2e 3 + 1
9
π . 10
. IIחשב את שטח של התחום Dהחסום על ידי הקווים הנתונים :
⎪⎫ ⎧⎪ y = x 2 − 2 x − 6,
⎨D:
⎬ .1
2
⎪⎩ y = 6 − x
⎪⎭
⎧ y = − x + 3,
⎫
⎪
⎪
2
D : ⎨ y = x − 2 x − 3, ⎬ .2
⎪
⎪
⎩x ≥ 0
⎭
D : { y = x 3 , y = x} . 4
⎧y = −x2 ,
⎫y = 0
⎨D:
⎬ .5
y = x−2
⎩
⎭
.7
⎧y = x2 ,
⎫y = 0
⎨D:
⎬ .3
⎭ ⎩ y = −x + 6
⎫ ⎧ y 2 = x,
⎨D:
⎬ .6
⎭⎩ y = x − 2
⎧y = x,
⎫y = 0
⎨D:
⎬
y = x−2
⎩
⎭
.8לפרבולה y = x 2העבירו משיק בנקודה . x = 1
מצא את שטח הכלוא בין הפרבולה ,הישר המשיק ,וציר ה.y-
2
תשובות(1) :
3
5
1
)(6) S = (5
S=4
6
2
S = 41
)S = 13.5 (2
10
)(7
3
2
)(3
3
=S
S = 10
1
)(8
3
1
)(4
2
=S
=S
-16אינטגרל כפול
. Iחשב את סכום רימן של ) f ( x, yהמתאים לחלוקה ב 4-חלקים שווים ותלוי בבחירת
הנקודה ) ( x i , y jבמלבן )או ריבוע ( . Di
x
.1
y
0 ≤ y ≤ 1} ,
= ) f ( x, y
D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 2,
2 ≤ y ≤ 4} , f ( x, y ) = x 2 + y 2 . 2
f ( x, y ) = 2 xy − y 2 .3
D = {( x, y ) 1 ≤ x ≤ 3,
D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 4,
0 ≤ y ≤ 2} ,
3
3
= , x1 = 2 , x 2
, x3 = 2
2
2
תשובות .1 :עבור
∑
1
1
i =1
= y0
= , y1
, y 2 = 1 , y3 = 1
2
2
4
x = 1 , x1 = 1 , x 2 = 2 , x 3 = 2
.2עבור
0נקבל f ( xi , y i )∆Di = 36
∑
y 0 = 2 , y1 = 3 , y 2 = 3 , y 3 = 2
i =1
x 0 = 1 , x1 = 1 , x 2 = 3 , x 3 = 3
4
נקבל
f
(
x
,
y
)
∆
D
=
22
∑
i
i
i
1
3
1
.3עבור 3
= , y1
= , y2
= , y3
= y0
i =1
2
2
2
2
= x0
21
נקבל
= f ( xi , y i )∆Di
8
4
. IIתוך שימוש בתכונה )m ⋅ S ( D) ≤ ∫∫ f ( x, y )dxdy ≤M ⋅ S ( D
D
כאשר ) m = min f ( x, y ), M = max f ( x, y
הערך את האינטגרלים הבאים :
D
D
}D ={( x, y ) 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 2
.1
I = ∫∫ ( x + y + 1)dxdy,
D
D = {( x, y ) 0 ≤ x ≤ 2,0 ≤ y ≤ 2} . 2
I = ∫∫ xy( x + y )dxdy,
D
. IIIחשב את האינטגרלים החוזרים הבאים :
2x
1
0
0
∫ dx ∫ dy . 3
y
dy . 4
x
2x
4
x
2
∫ ∫ dx
ln y
2
0
1
x
∫ dy ∫ e dx
.5
. IVחשב את האינטגרלים הכפולים הבאים :
∫∫ e dA, D = {( x, y) 1 ≤ x ≤ 3,−1 ≤ y ≤ 2} . 6
x+ y
D ={( x, y ) x + y = 6, y = 0, x = 0} . 7
D
∫∫ xydA,
D
D = D = {( x, y ) 2 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 2 x} . 8
.9
}
y
∫∫ x dA,
D
{
+ y )dA,
D = ( x, y ) y = x 2 , y 2 = x
2
∫∫ ( x
D
תשובות 2 ≤ I ≤ 8 .1 :
.6
.2
e5 − e3 − e2 + 1
1 .3
0 ≤ I ≤ 64
.7
54
9 .4
9 .8
1
.5
2
33
.9
140
. Vחשב את Vנפח של הגוף החסום על ידי המשטחים הבאים :
x y
+ + z = 1,
x = 0, y = 0, z = 0 . 1
2 3
x = 4, y = 4, x = 0, y = 0, z = 0,
x + 2y + z = 1 . 2
x = 0, y = 0, z = x 2 + y 2 . 3
2 x + 3 y − 12 = 0,
תשובה V = 1 :
תשובה S = 72 :
9
תשובה :
=S
2
© Copyright 2025