1. No category

R
&
R
S
T
E
N
C
R
A
M
O
N
M
A
EN
9 10
8
3
C
RI
ONEN
KS
PE
N AT U R E N S
FORUNDERLIGE
FORMER
AT
I
TREKANT
KE
SCALS
M
AT
E
M
MÅLSCORE I
G
Y
L
D
E
N
D
A
L
TE
1
RÆSONNEMENT
BEVIS
HÅNDBOLD
TE
R
10
Faglige mål:
–Anvende simple statistiske modeller til beskrivelse af et givet datamateriale, kunne stille
EN
spørgsmål ud fra modellen, have blik for, hvilke svar der kan forventes, og være i stand til
at formulere konklusioner i et klart sprog.
–Anvende simple geometriske modeller og håndtere simple geometriske problemstillinger.
–Demonstrere viden om matematikanvendelse samt eksempler på matematikkens samspil
M
med den øvrige videnskabelige og kulturhistoriske udvikling.
Forudsatte begreber:
RI
– Indekseret variabel
– Pythagoras sætning
Materialer:
PE
– Passer og lineal
– Digital fotoapparat
KS
– Diverse naturformer
„Naturen, det billige skidt“(Otto Gelsted, „Under uvejret“, 1934), har vi lige for næsen af os hele tiden.
Den gemmer på mange spændende historier, som den gerne vil fortælle, hvis vi vil ulejlige os med at lytte
KE
og fordybe os lidt.
På de fleste virker naturen med sin umiddelbarhed nok mest igennem farver og dufte, men formen er også
M
AT
I
en meget vigtig bestanddel af naturens spændende fortællinger (se figur 1).
M
AT
E
Fig. 1a: Rødkål gennemskåret www.matx.gyldendal.dk
Fig. 1b: Tulipan
Naturens forunderlige former | 2
EN
TE
R
10
M
Fig. 1c: Skyer i solnedgang
RI
Spiralformen, som er meget tydelig i figur 1a, går igen på et utal forskellige måder i planteverdenen.
Den ses også i de fleste bløddyrs skaller, for slet ikke at tale om spiralgalakser, kraftige lavtryk (torna-
KE
KS
PE
doer, orkaner, hvirvelvinde, skypumper) og dobbeltspiralen i DNA (se fig. 2).
Fig. 2b: Ananas
M
AT
E
M
AT
I
Fig. 2a
Fig. 2c: Spiralgalakse
www.matx.gyldendal.dk
Fig. 2d: Tropisk cyklon
Naturens forunderlige former | 3
Fig. 2f: Dobbet-gennemskåret Nautilus
AT
I
KE
KS
Fig. 2e: Konkylie
PE
RI
M
EN
TE
R
10
Fig. 2g: DNA dobbeltspiral
3-tals formen, som tydeligt ses i figur 1b, er del af en hel gruppe n-tals former, som findes mange steder i
M
AT
E
M
naturen. De er dog mest talrigt repræsenteret i blomsterverdenens kronblads arrangementer (se figur 3).
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 4
Fig. 3b: (4-tals form)
Fig. 3d: (6-tals form)
AT
I
KE
KS
Fig. 3c: Hjulkrone (5-tals form)
PE
RI
M
Fig. 3a: (3-tals form)
EN
TE
R
10
Fig. 3f: (8-tals form)
M
AT
E
M
Fig. 3e:Skovstjerne (7-tals form)
Fig. 3g: (10-tals form)
www.matx.gyldendal.dk
Fig. 3h: Jordskok (14-tals form)
Naturens forunderlige former | 5
TE
R
10
Når antallet af kronblade bliver mere end ti, begynder det at blive sværere at få kronbladene til at danne
RI
M
EN
en regulær n-kant. I det følgende kalder vi dem med mere end 10 kronblade for mange-tals blomster.
Fig. 3j: (mange-tals form med kronblade på
blomsterbundsrand)
blomsterbundsrand)
KE
KS
PE
Fig.3i: (mange-tals form med kronblade på
Fig. 3l: Rose (mange-tals form med
kronblade på blomsterbund)
kronblade på blomsterbund)
M
AT
E
M
AT
I
Fig. 3k: Georgine (mange-tals form med
Fig. 3m: Søstjerne (5-tals form)
www.matx.gyldendal.dk
Fig. 3n: Søpindsvin (5-tals form)
Naturens forunderlige former | 6
EN
TE
R
10
Fig. 3p: Forskellige græskartyper
(10-tals struktur)
(10-tals struktur )
RI
M
Fig. 3o: Græskarfamilie
Næsten alle græskarvarianter udviser 10-talsstruktur.
Betragt randen af skyen i figur 1c. Denne rand fremstår meget krøllet og kantet og er et eksempel på det,
KE
KS
PE
man i dag kalder naturens fraktalformer. I figur 4 finder I en række andre naturlige fraktalformer.
Fig. 4b: Romanesco blomkål
M
AT
I
Fig. 4a: Trækrone
Fig. 4c: Lav på fliser, Provence
Fig. 4d: Vandbobler på stranden ved
Vesterhavet
AT
E
M
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 7
EN
TE
R
10
Fig. 4f: Alger på vandreservoir,
Marseille, Frankrig
Trujillo, Spanien
RI
M
Fig. 4e: Krakeleret maling på dør i Den polske matematiker Benoit Mandelbrot var den første til at se, at mange af naturens former på
en eller anden måde kunne beskrives ved en ny geometri, som nu kaldes fraktalgeometrien. Det var i
1970’erne. Mandelbrot så, at naturens byggeklodser ikke er vores velkendte objekter fra geometrien:
PE
punkt, ret linje, cirkel, polygon osv., men at naturen er krøllet på en sær uregelmæssig måde (se figur 4).
Som sædvanligt med matematikken så er matematiske fraktaler ikke natur, og naturen er ikke matematiske
fraktaler. Men man kan benytte de matematiske fraktaler til at få en dybere indsigt i naturen. I figur 5 er
AT
I
KE
KS
der gengivet matematiske fraktaler, der illuderer naturlige fraktalformer.
Fig. 5b: Jorden set fra Månen
(Computergenereret)
(Computergenereret)
M
Fig. 5a: Solsikkemark
I dag kan man skabe kunstige fraktallandskaber, hvor det ikke er muligt at se forskel på naturens/kulturens former og de kunstigt skabte computergenererede fraktalformer. Mange af de universer, hvori store
M
AT
E
og dyre filmproduktioner udspiller sig, er kunstig skabte. Ofte eksisterer disse universer kun i fraktale,
digitale computerudgaver. Fraktalgeometrien er den mest effektive metode til opbygning af disse kunstige
universer, så de ikke kan skelnes fra vores faktiske virkelighed, da fraktalgeometrien er naturens geometriform.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 8
TE
R
10
RI
M
EN
På figur 6 kan I se to berømte, rent matematiske fraktaler. Disse er ikke modellering af fysiske former.
Fig. 6a: Mandelbrot mængden
Fig. 6b: 11-armet drage som Julia-mængde
PE
Har I lyst til at udforske disse centrale matematiske fraktaler, kan I downloade programmet Winfract fra
internettet. Det er gratis. Se også Projekt 7, Iterationer
Zoom ind og sikre dig, at I forstår dette.
KS
I figur 6b kan man se en meget central egenskab ved fraktaler: Delen ligner helheden.
Del og helhed er to sider af samme sag. Mandelbrot har selv givet en blød definition på fraktalformer, der inde-
KE
holder dette, idet han siger, at fraktalformer er karakteriseret ved, at delen på en eller anden måde ligner helheden.
Som det fremgår af de forskellige fraktalformer i figur 7 kan dette „på en eller anden måde“ fremtræde
AT
I
meget forskelligt.
M
AT
E
M
Naturlige fraktalformer
Fig. 7a: Tør lerholdig jord
www.matx.gyldendal.dk
Fig. 7b: Bregne
Naturens forunderlige former | 9
Fig. 7e: Islandskab
RI
Fig. 7d: Lav
M
EN
TE
R
10
KS
PE
Matematiske fraktalformer
Fig. 7h: „Påfuglehale“
AT
I
KE
Fig. 7g: Mange „påfuglehaler“
M
Fig. 7i: Uendelighed af to-grenede spiraler
M
AT
E
N-tals former
I figur 3 så I en hel række n-talsformer fra blomsterverdenen. Den mest almindelige n-talsform er 5-talsformen. (se figur 8).
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 10
Fig. 8b: Natskyggeblomst
Fig. 8c: Sukkulent
PE
RI
M
Fig. 8a
EN
TE
R
10
Fig. 8d: Akeleje
AT
I
KE
KS
Alle n-talsformer udspænder på en måde en regulær n-kant(se figur 9)
Tulipan med indtegnet hexagon
M
AT
E
M
Fig. 9a: Tulipan
Fig. 9b: Sukkulent www.matx.gyldendal.dk
Sukkulent med indtegnet pentagon
Naturens forunderlige former | 11
TE
R
10
Når antallet af kronblade kommer over 10, bliver n-kanten ikke så markant, hvorfor de i figur 3h, 3i, 3j og
3k blev kaldt for mange-tals blomster. I det følgende ser vi kun på blomster med højst 10 kronblade.
EN
De regulære n-kanter er bestemt ved, at alle sider er lige lange og alle vinkler er lige store. Dvs. at den
regulære n-kant er karakteriseret ved, at figuren ser ens ud set fra alle hjørner. Den regulære trekant er
den ligesidede trekant, mens den regulære firkant er kvadratet. På skema 1 kan I se navnene og formen på
de første regulære n-kanter.
regulær
n-kant
Ligesidet
trekant
4
5
6
7
Kvadrat
Pentagon
Hexagon
8
Heptagon
9
10
Ennagon
Decagon
M
Navn for
3
Octagon
RI
n
Skema 1
Spiralformer
KS
PE
Form
former i planteverdenen.
KE
I figur 2 så vi en række spiralformer hentet forskellige steder i naturen. I det følgende ser vi kun på spiral-
M
AT
I
Disse spiraler forekommer i princippet på to forskellige måder (se figur 10)
M
AT
E
Fig. 10: Tidslig udvikling - ikke sammenpresset
Fig. 11: Tidslig udvikling - sammenpresset
På figur 10 følger vi bladene i deres tidslige udvikling op ad grenen. De ældste blade nederst, de yngste
øverst. Bevæger man sig fra de ældste blade mod de yngste, drejer man hele tiden med en eller anden
vinkel omkring grenen.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 12
TE
R
10
For koglen i figur 11 er der tale om en tilsvarende tidslig udviklingsspiral. Den er dog så tæt vundet
PE
RI
M
EN
omkring koglens kerne (se figur 12),
Fig. 12: Koglekerne
at vi ikke kan følge den tidslige udvikling - for hvilket skæl er kommet efter hvilket skæl i den tidslige
AT
I
KE
forsøgt markeret på en anden kogle.
KS
udvikling? Det er svært, ja nærmest umuligt at se. På figur 13 er nogle af skællene i den tidslige udvikling
M
Fig. 13: Kogle med nummererede skæl. De mindste tal svarer til de yngste skæl
Vi ser, at bevæger vi os fra skæl nr. 30 (større tal svarer til ældre skæl) til skæl nr. 29 så bevæger vi os en
M
AT
E
eller anden vinkel omkring koglekernen. Det ser ud til, at det er en tilsvarende vinkel i bevægelsen fra nr.
29 til nr. 28 og fra nr. 28 til nr. 27. Vi skelner ikke imellem, om vi drejer højre eller venstre omkring koglekernen. Er den ene vinkel v∞, så vil den anden være 360∞ – v∞.
Ved at skællene er presset sammen, opstår der andre spiraler end de tidslige.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 13
TE
R
10
EN
Projekter
FRAKTALFORMER
I dette projekt skal I opsøge fraktalformer i naturen, men først skal I stifte bekendtskab med de processer, der ligger bag de simpleste matematiske fraktaler.
M
Hvis vi i Mandelbrots bløde definition af fraktaler – fraktalformer er karakteriseret ved, at delen
på en eller anden måde ligner helheden, udskifter delen på en eller anden måde ligner helhe-
RI
den med delen er fuldstændig lig med helheden, så får vi en gruppe fraktaler, som kaldes selvsimilære (selvlignende). De selvsimilære fraktaler hører til de første, man arbejdede med i matematikken. Endda længe før Mandelbrot havde udviklet sin fraktalgeometri.
PE
Fraktaler laves i princippet på følgende måde:
Vi starter med et objekt, fx en talmængde eller et geometrisk objekt. Dette objekt udsættes for en
bearbejdning, og vi får et output af denne bearbejdning. Dette output lader vi nu være input til
den samme proces som før. (Dette princip kaldes en iteration og er behandlet i oplæg 7, Iterationer)
KS
Igen får vi et nyt output, som igen bliver input til processen. Sådan fortsættes i det uendelige. Slutproduktet efter disse uendelig mange bearbejdninger vil ofte være en fraktal.
I det følgende skal I arbejde med tre af de mest berømte selvsimilære fraktaler – Cantormængden
KE
fra 1883, Kochs snefnugkurve fra 1904 og Sierpinskis trekant fra 1915.
Eksempel – Cantormængden
Startobjekt: Et linjestykke
Proces C: Fjern midterste tredjedel af alle linjestykker. Endepunkterne af de linjestykker, der
C
M
Starter:
AT
I
fjernes, skal blive tilbage som output.
M
AT
E
Proces C:
Hvad der sker trin for trin kan I se på figur 14 (Husk at output fra processen altid er nyt input til
processen).
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 14
Projekt L
TE
R
10
C0
C1
EN
C2
C3
C4
C5
M
Fig. 14: På vej mod Cantormængden
Alle mængderne C0, C1, C2, C3, C4, C5 er på vej til at blive fraktale mængder, men det er først ude i
RI
uendelig med C∞, at vi har en fraktal. C0, C1, C2, C3, C4, C5 kaldes derfor præfraktaler (de er på vej
til at blive fraktale). Det er C∞, der kaldes Cantormængden. Denne fraktal er selvsimilær. Delen er
helheden. Holder man fx venstre endepunkt af fast og begynder at forstørre op vil omgivelserne
til dette endepunkt hele tiden være ens. Cantormængden er selvsimilær. Delen ligner fuldstændig
PE
helheden.
Kochs snefnug kurve
Startobjekt: Linjestykke
KS
Proces K: Del alle linjestykker i input op i tredjedele og fjern den midterste tredjedel fra
hvert linjestykke. Over hver af disse huller placeres et hak(som et V på hovedet),
hvor hakkets to stykker begge er lige så lange, som hullet de gaber over.(se figur
KE
nedenfor).
AT
I
Starter:
Proces K:
K
M
Kaldes starteren for K0, så er de efterfølgende præfraktaler K0, K1, K2, K3, K4, K5, …
Tegn K0, K1, K2, K3, K4 og K5. (Husk at spidse blyanten).
M
AT
E
Forestil dig med tankens kraft - for dit indre øje, at processen fortsætter i det uendelige til Kochs snefnug kurve K∞.
Hvor langt kan du følge processen for dit indre øje?
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 15
TE
R
10
Sierpinskis trekant
Startobjekt: Ligesidet trekant
EN
Proces S: På hver ligesidet trekant, der er input til processen, opsøges midtpunkterne af
trekantens sider. Disse punkter forbindes til en ligesidet trekant. Der opstår herved 4 ens ligesidede trekanter. Fjern den midterste trekant.
M
Starter:
RI
S
Proces S:
PE
Kaldes starteren for S0 og de efterfølgende præfraktaler for S0, S1, S2, S3, S4, S5, … skal I tegne Sn for
så mange n-værdier som muligt(Husk igen at spidse blyanten). Forestil dig med tankens kraft - for dit
indre øje, at processen fortsætter i det uendelige til Sierpinskis trekant S∞. Hvor langt kan du følge
KS
processen for dit indre øje?
Da uendeligheden altid er indlejret i en matematiske fraktal, kan naturens fraktalformer selvfølgelig
ikke være fuldkomne matematiske fraktaler, da naturen er endelig. Kalder vi naturens præfraktaler
for N0, N1, N2, N3, N4, N5 , , , , Nn så er det forskelligt fra naturform til naturform hvor stor n er. For
KE
bregnen på figur 7c er n=3.
Naturens fraktalformer er normalt ikke selvsimilære, da delen ikke fuldstændig er lig med helheden.
M
AT
E
M
AT
I
Det kan vi fx se på det blomkål, der er i figur 15
Fig. 15: Blomkål med mini blomkål – delen ligner helheden
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 16
TE
R
10
Det lille stykke blomkål har den rigtige blomkålsstruktur, vi er nemlig ikke i tvivl om, at det lille styk-
ke også er blomkål. Vi kan vel se ned til N4 på dette blomkål. Havde vi det i hånden, kunne vi nok se
EN
dybere.
På figur 16 ser vi fire forskellige billeder af blomkål. Hvor brede tror I disse stykker blomkål er i cm.
RI
M
Gæt! (Svaret findes efter projekt N).
KS
KE
PE
Fig. 16: Fire stykker blomkål
Gad vide hvilken mekanisme i naturens vækstprincipper, der bevirker, at naturen på en eller anden
AT
I
måde ligner sig selv i delen?
Opsøg/find naturlige fraktalformer. Tag digitale billeder til din rapport. Tag også bregner og romane-
M
sco blomkål med, da det er to af de få naturlige fraktalformer, der er selvsimilære.
n-talsformer
Projekt M
I skal opsøge forskellige planter i blomstring. Dette kan ske forskellige steder: naturen, botanisk have,
M
AT
E
haven, blomsterforretning, planteskole, gartneri, blomster i hjemmet, blomsterbøger, internettet m.m.
Tag billeder med digitalapparat. Billeder fra bøger kan scannes ind. Billederne kan benytte i Jeres rapport.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 17
TE
R
10
Lav en lille statistisk undersøgelse over de n-tals blomster, I finder og udfyld skema 2(I skal mindst
n-tals-blomster n
3
4
5
6
7
EN
have 50 blomster med i din undersøgelse):
8
9
Hyppighed
M
Frekvens
10
RI
Skema 2
Hvilken blomstringsform blandt n-tals blomsterne op til n=10 er mest hyppig i din undersøgelse?
Når en blomst udspænder en regulær n-kant, som vi så i figur 9, så ligger der jo flere ting gemt i
PE
dette.
Ser vi igen på 4-tals blomsten fra figur 3b, så kan vi indtegne et kvadrat med kronbladsspidserne
som hjørner. Dette kvadrat, som altså er bestemt af blomstens form, har en lang række interessante
a)
KS
matematiske egenskaber:
Alle sider er lige store.
Alle vinkler er lige store.
Da kvadratet kan deles op i to trekanter, så er kva-
KE
dratets vinkelsum 2 · 180∞ = 360∞ . Da der er fire lige
∞
store vinkler, så må de hver være 360 = 90∞. Det
4
vidste I selvfølgelig godt i forvejen, men I kan benytte
AT
I
metoden i dine egne undersøgelser.
b)Kvadratet har to diagonaler. Pythagoras giver, at
1
B
C
|AC|2 = 12 + 12 = 2, hvorfor |AC| = 2. De to diagonaler er lige store, da kvadratet er regulært – alt ser ens
M
ud fra alle hjørner.
M
AT
E
Derfor må de to diagonaler også skære hinanden i
1
1
deres midtpunkter.
A
www.matx.gyldendal.dk
1
D
Naturens forunderlige former | 18
TE
R
10
EN
c)Diagonalernes skæringspunkt O ligger lige langt fra
1
alle hjørner og alle sider, hvorfor O er centrum for
M
kvadratets ind- og omskrevne cirkel.
r
1
Radius R for den omskrevne cirkel må være ⋅ 2
R
2
(en halv diagonal).
1
1
1
1
O
Radius r for den indskrevne cirkel må være ⋅ 1=
2
2
(en halv kvadratside).
RI
1
d)Generelt er den regulære n-kants centrum defineret,
som det punkt der ligger lige langt fra alle hjørner og
PE
dermed også alle sider.
Centrum for en regulær n-kant er altså centrum for
den regulære n-kants ind- og omskrevne cirkel. Fra
dette centrum kan der tegnes forbindelseslinjer ud til
KS
n-kantens hjørner. Herved opstår der n lige store centervinkler.
I tilfældet med kvadratet, er dette centrum diagonalernes skæringspunkt. Og de fire centervinklers størrelse
KE
er .
Når man ser en 4-tals blomst, så får man samtidig hele denne historie om kvadratet foræret.
AT
I
I skal nu lave tilsvarende undersøgelser for 3- og 6-tals blomster:
Start med at konstruere den regulære 3- og 6-kant.
Indtegn diagonalerne.
Bestem centrene for den ind- og omskrevne cirkel. Tegn cirklerne.
M
Bestem vinkler, centervinkler (ved måling).
Idet I sætter sidelængen i den regulære 3- og 6- kant til 1, skal I måle længderne af diagonalerne og
radierne i den ind- og omskrevne cirkel.
M
AT
E
Prøv om I også kan bevise helt eksakt størrelserne af vinkler, diagonaler og radier. Sammenlign med
dine målte resultater.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 19
TE
R
10
Spiralformer
Projekt N
Få fat i forskellige kogler og tæl antallet af højre- og venstre drejede spiraler. Kik fra bunden af koglen
RI
M
EN
(se på figur 17, hvorledes man tæller).
PE
Fig. 17: Indtegnede højre- og venstredrejede spiraler på fyrrekogle
På nogle planter er antallet af disse spiraler lette at tælle som på koglerne(se figur 17), mens det
KE
KS
for andre planter kan være meget vanskeligt(se figur 18)
Fig. 18b: Tidselkugle
AT
I
Fig. 18a: Rose På figur 19 ser I nogle af de planter, hvor spiralerne er meget tydelige. Ligeledes er antallet af spira-
M
AT
E
M
ler den ene og anden vej angivet i parentes i de tilfælde, hvor det har været muligt.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 20
RI
M
EN
TE
R
10
Fig. 19b: Asparges(2/3)
KS
PE
Fig. 19a: Ananas (8/13 eller 8/5) KE
Fig. 19d: Rhododendron(3/5)
M
AT
E
M
AT
I
Fig. 19c: Artiskok (3/5 eller 5/8)
Fig. 19e: Tidsel (5/8 eller 8/13) www.matx.gyldendal.dk
Fig. 19f: Hindbær (5/8 eller 8/13)
Naturens forunderlige former | 21
EN
TE
R
10
Fig. 19i: (21/34)
KE
KS
Fig. 19h: Solsikke(55/89)
PE
RI
M
Fig. 19g: Romanesco blomkål med nærbillede
Fig. 19j: Tusindfryd (21/34) (Lettest at
Fig. 19k: Solsikke(34/55)
AT
I
tælle de venstredrejede spiraler)
Tæl efter på figur 19h, i, j, k. Får I det rigtige antal spiraler?
Det er åbenbart ikke alle tal, der kan forekomme som antal spiraler højre eller venstre om. I figur 16
fik vi tallene:
3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89
M
De er alle del af en meget interessant talfølge:
a, b, c, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, d, e …
M
AT
E
Bestem tallene a, b, c, d og e
Beskriv, hvorledes et nyt tal i følgen fremkommer af de foregående.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 22
TE
R
10
Talfølgen 1, 1, 2, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 … kaldes fibonaccitallene, opkaldt efter middelalderens største europæiske matematiker Leonardo fra Pisa (kaldet Fibonacci). I sin bog Liber Abaci
EN
fra 1202 har han et problem med en idealiseret kaninavlsproduktion, der giver disse tal som løsning.
Fibonaccis kaninavlsproblem
Fibonaccis kaninproblem blev i 1202 formuleret nogenlunde således:
M
Vi starter med et nyfødt kaninpar (en han og en hun). Den første måned er de ikke kønsmodne.
Derefter får de hver måned et par kaniner (en han og en hun). Dette nye par opfører sig lige som
RI
forældrene, og sådan fortsætter det i det uendelige.
Hvor mange kaninpar vil der være efter 0,1, 2, 3, … måneder?
Kan I få fibonaccitallene som løsning?
PE
Prøv, at lave et diagram, der viser, hvorledes kaninparrene udvikler sig.
Kan I se en sammenhæng mellem fibonaccitallene og fraktalformer?
gyldne snit ϕ =
1+ 5
≈ 1618
,
2
KS
Fibonaccitallene dukker op overalt i naturen, når vi ser spiralformer. Tallene er forbundet med det
Det ses tydeligt, at et fibonnacital altid er summen af de to foregående tal i følgen. Dette kan vi
KE
udtrykke matematisk på følgende måde:
f1 = 1, f 2 = 1 og f n = f n −1 + f n −2 ,
hvor f n er det n’te fibonaccital.
M
AT
E
M
AT
I
fn
Med denne notation kan man bevise, at f
(forholdet mellem to på hinanden følgende fibonacn −1
cital) kommer vilkårlig tæt på det gyldne snit, jo længere vi går ud i følgen.
fn
Beregn brøkerne f , altså forholdet mellem to på hinanden følgende fibonaccital. I kan evt. gøre
n −1
det i et regneark, idet I laver en tabel med følgende søjler (se skema 3):
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 23
1
2
1
3
2
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1,000000
ϕ=
1+ 5
≈
2
1,618033
ϕ−
fn
≈
f n −1
0,618033
EN
1
fn
f n −1
M
fn
RI
n
TE
R
10
PE
Skema 3
fn
1+ 5
≈ 1618
,
Prøv at lave et diagram, der viser, hvorledes f
nærmer sig til ϕ =
.
2
n −1
KS
fn
Afsæt n på x-aksen og f
på y-aksen. Forbind punkterne med rette linjestykker.
n −1
Når man skal finde fibonaccital i naturen, er det ikke nok at kikke i fotobøger om naturen, man er
nødt til at have de naturlige spiralformer i hånden, for ellers kan man normalt ikke tælle spiralerne,
KE
da de optager alle tre dimensioner i rummet.
Gå derfor ud i naturen, eller opsøg botanisk have, privat have, planteskole, gartneri, blomsterforretning m.m.. Find spiraler. Tæl antallet af højre- og venstredrejede spiraler, hvis det er muligt. Er det altid
AT
I
fibonaccital?
M
AT
E
M
Svar til spørgsmålet ved figur 19: 19a – 13cm, 19b – 6cm, 19c – 2cm og 19d – 0,6cm.
www.matx.gyldendal.dk
Naturens forunderlige former | 24