Aftagning af Toptex fra dækket roekule.
Trigonometri Teknisk matematik Glamsdalens Idrætsefterskole Agerskov [Skriv tekst] Side 1 Indhold ENHEDSCIRKLEN ......................................................................................................................................... 4 DEFINITION PÅ SINUS, COSINUS OG TANGENS ................................................................................. 5 Opgave 142 ................................................................................................................................................................ 5 Opgave 143 ................................................................................................................................................................ 5 TANGENS ........................................................................................................................................................ 6 Opgave 144 ................................................................................................................................................................ 6 Opgave 145 ................................................................................................................................................................ 6 Opgave 146 ................................................................................................................................................................ 6 GRAFISK OVERSIGT OVER VÆRDIERNE FOR SIN. COS. & TAN..................................................... 7 UDLEDNING AF FORMLER FOR EN RETVINKLET TREKANT......................................................... 8 FORMLEN FOR DEN RETVINKLEDE TREKANT .................................................................................. 9 BEREGNING AF STYKKERNE I RETVINKLEDE TREKANTER ......................................................... 9 Eksempel 45 ..............................................................................................................................................................10 opgave 147 ................................................................................................................................................................10 Eksempel 46 ..............................................................................................................................................................11 Opgave 148 ...............................................................................................................................................................12 Opgave 149 ...............................................................................................................................................................12 opgave 150 (nu snakker vi matematik) ......................................................................................................................12 PROBLEMLØSNINGS-OPGAVER (DEN RETVINKLEDE TREKANT) ........................................... 12 Eksempel 47 ..............................................................................................................................................................13 Opgave 151 ...............................................................................................................................................................14 Opgave 152 ...............................................................................................................................................................14 Opgave 154 ...............................................................................................................................................................14 Opgave155 ................................................................................................................................................................14 Opgave 156 ...............................................................................................................................................................14 Opgave 159 ...............................................................................................................................................................15 Opgave 160 ...............................................................................................................................................................15 Opgave 161 ...............................................................................................................................................................15 Opgave 162 ...............................................................................................................................................................15 Opgave 164 ...............................................................................................................................................................15 SINUS COSINUS OG TANGENS AF VILKÅRLIGE TREKANTER ..................................................... 16 Opgave 165 ...............................................................................................................................................................18 Opgave 166 ...............................................................................................................................................................18 Opgave 167 ...............................................................................................................................................................18 Opgave 168 ...............................................................................................................................................................18 Opgave 169 ...............................................................................................................................................................18 UDLEDNING AF FORMLER FOR DEN VILKÅRLIGE TREKANT .................................................... 19 FORMLER FOR DEN VILKÅRLIGE TREKANT ................................................................................... 23 BEREGNING AF STYKKER I VILKÅRLIGE TREKANTER ................................................................ 24 1. Vi kender de tre sider (fig. 145). ....................................................................................................................24 2. Vi kender to sider og den mellemliggende vinkel (fig. 146). ..........................................................................24 3. Vi kender to vinkler og den mellemliggende side (fig. 147). ..........................................................................24 4. Vi kender to vinkler og den modstående side til en af vinklerne (fig. 148). ...................................................24 5. Vi kender to sider og den modstående vinkel til en af siderne (fig. 149) og (fig. 150) ....................................24 Eksempel 48 ..............................................................................................................................................................25 Eksempel 49 ..............................................................................................................................................................26 Opgave 170 ...............................................................................................................................................................27 Opgave 171 ...............................................................................................................................................................27 Opgave 172 ...............................................................................................................................................................27 Opgave 173 ...............................................................................................................................................................27 PROBLEMLØSNINGS-OPGAVER (DEN VILKÅRLIGE TREKANT) ................................................ 28 Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 2 Opgave 175 ...............................................................................................................................................................28 opgave 177 ................................................................................................................................................................28 Opgave 178 ...............................................................................................................................................................28 TRIGONOMETRISKE GRUNDLIGNINGER .......................................................................................... 29 Eksempel 50 ..............................................................................................................................................................29 Opgave 179 ...............................................................................................................................................................31 Opgave 180 ...............................................................................................................................................................31 Opgave 181 ...............................................................................................................................................................31 Eksempel 53 ..............................................................................................................................................................31 Eksempel 54 ..............................................................................................................................................................32 Opgave 182 ...............................................................................................................................................................32 Opgave 183 ...............................................................................................................................................................32 REPETITIONSOPGAVER ......................................................................................................................... 33 Opgave 184 ...............................................................................................................................................................33 Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 3 Hardcore Trigonometri I har tidligere lært, hvordan man kan tegne trekanter, ved at man kender siderne, og måske også en vinkel I nogle tilfælde er den tegningsmæssige løsning ikke tilstrækkelig, og man må derfor beregne størrelsen på de ubekendte elementer. Læren om trigonometri er knyttet tæt til "trekantberegning", og dette emne vil hovedsageligt omfatte dette område. Enhedscirklen Vi har et koordinatsystem, og med centrum i (0,0) og radius lig 1 tegnes en cirkel. Denne cirkel skærer akserne i punkterne (1,0), (0,1), (-1,0) og (0,1). Vi kalder denne cirkel for enhedscirklen (se. fig. 105). I trigonometrien regner vi vinkler med fortegn, og vi anvender vores enhedscirkel således: Den positive omløbsretning regnes modsat visernes omløb på et ur. Afsætter vi en vinkel v1 med toppunkt i (0,0) og højre ben ud ad x-aksens positive retning, vil vinklen v1 være positiv. Afsætter vi en vinkel v2 med toppunkt i (0,0) og venstre ben ud ad x-aksens positive retning, vil vinklen v2 være negativ. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 4 Definition på Sinus, Cosinus og Tangens I et koordinatsystem og med centrum i (0,0) tegnes en cirkel med radius lig 1 længdeenhed (enhedscirkel). Vi afsætter en vilkårlig vinkel v som vist på (fig. 106.) Fra skæringspunktet (D.) mellem cirkel og vinklens venstre ben tegnes den vinkelret på x-aksen. Der hvor den skærer x-aksen kaldes (E.) Pr. definition har vi, at stykket |DE| kaldes for: sinus til vinkel v, som forkortes til sin v Stykket fra E til centrum (0,0) kaldes pr. definition: cosinus til vinkel v, som forkortes til cos v Skal der angives en talværdi til sin v eller cos v, kan vi måle cos-værdien på x-aksen, mens sin-værdien måles på y-aksen. Disse talværdier kaldes også for funktionsværdier. Opgave 142 Tegn en enhedscirkel med radius 10 cm (enheden 1 = 10 cm). Afsæt følgende vinkler og aflæs vinklens sin- og cos-værdi: vinkel a) v= 0° b) v= 15° c) v=30° sin v cos v vinkel d) v= 45° e) v= 60° f) v= 75° g) v= 90° sin v cos v Opgave 143 Til brug i det daglige anvendes lommeregnerens trigonometriske funktioner. (excel kan også bruges) De tal I fandt i opgave 142 skal I tjekke rigtigheden af. beregnet vinkel sin v cos v d) v= 45° e) v= 60° f) v= 75° g) v= 90° De tal I får på lommeregneren, skal i Gange med 10 for at få det samme som i opgave 142, da radius også er forlænget med 10. vinkel a) v= 0° b) v= 15° c) v=30° Trigonometri sin v beregnet cos v Glamsdalens Idrætsefterskole Side 5 Tangens Udover sin- og cos- funktionerne er der en tredje funktion, vi skal se på. Vi tegner igen vores enhedscirkel og afsætter vinklen v (fig. 107). Fra punktet (1,0) tegnes vinkelret på x-aksen, en linie som forlænges til skæring med vinklens venstre ben, som evt. også forlænges. Dette stykke er pr. definition: tangens til vinkel v, som forkortes til tan v Opgave 144 Anvend cirklen fra opgave 142 og aflæs tan-værdierne for de samme vinkler som i opgave 142. Sammenhold og kontroller de fundne værdier med tan-værdierne, som findes ved indtastning på regnemaskinen. vinkel a) v= 0° b) v= 15° c) v=30° Tan (målt) Tan (aflæst) vinkel Tan (målt) Tan (aflæst) d) v= 45° e) v= 60° f) v= 75° g) v= 90° De tal I får på lommeregneren, skal i Gange med 10 for at få det samme som i opgave 142, da radius også er forlænget med 10. Opgave 145 Find følgende funktionsværdier: vinkel a) sin v, når v = 15,3° c) sin v, når v = 78,8° e) cos v, når v = 66,7° g)tan v, når v = 12,4° Funktions værdi vinkel b) sin v, når v = 25,8° d) cos v, når v 11,3° f) cos v, når v 84,9° h) tan v, når v 88,4° Funktions værdi vinkel Funktions værdi b) v, når sin v 0,2286 d) v, når cos v 0,7816 f) v, når tan v 12,86 vinkel Opgave 146 Find følgende vinkler: Funktions værdi a) v, når sin v 0,1322 c) v, når cos v 0,1115 e) v, når tan v 0,2417 Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 6 Grafisk oversigt over værdierne for sin. Cos. & tan. Vi kan også anskueliggøre vores trigonometriske funktioner grafisk. Vi afsætter vinklerne ud ad den vandrette akse og funktionsværdierne ad den lodrette. Vi får billederne (fig. 108) (tan), (fig. 109) (sin) og (fig. 110) (cos). Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 7 Udledning af formler for en retvinklet trekant Vi vil udlede nogle beregningsformler for den viste trekant ABC, som vi har tegnet i vores enhedscirkel (fig. 111). Vi har tre ensvinklede trekanter, som vi kan anvende til opstilling af følgende forhold: sin A a = π: cos A a = π: tan a 1 π sin A = π = 1 1 = π: ππππ π‘åππππ πππ‘ππ‘π βπ¦πππ‘πππ’π ππ π βππ πππππππππ πππ‘ππ‘π βπ¦πππ‘πππ’π ππ π ππππ π‘åππππ πππ‘ππ‘π cos π΄ π = tan π΄ π = βππ ππππππππ πππ‘ππ‘π Udover disse formler kan vi anvende Pythagorasβs læresætning på den mindste trekant: a2+b2=c2 I vores tilfælde er siden c = 1 Siden a kommer her til at hedde sin A (se (fig. 111) Siden b kommer til at hedde cos A (se (fig. 111) Derfor kan vi sige følgende: sin 2 A + cos2A =1 Vi ser nu på en trekant ABC, hvor højden er tegnet fra vinkel (C.) til hypotenusen(c.) (fig. 112). h deler hypotenusen i to stykker, således at stykket overfor siden b kaldes Ξ² stykket overfor a kaldes Ξ±. Hvis vi benytter tan-formlen på trekant ADC. Får vi: tan π΄ β Ξ² og ligeledes tan-formlen på trekant BDC (vinkel BCD = vinkel A): tan π΄ Ξ± h Vi kan danne en ny ligning af disse to udtryks højre sider: β Ξ² Ξ± = β: h2= Ξ±* Ξ² Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 8 Formlen for den retvinklede trekant Vi vil her sammenfatte alle formler for beregning af sider, vinkler og areal i retvinklede trekanter (fig. 113). sin v = ππππ π‘åππππ πππ‘ππ‘π βπ¦πππ‘πππ’π ππ cos π£ = βππ πππππππππ πππ‘ππ‘π βπ¦πππ‘πππ’π ππ tan v = ππππ π‘åππππ πππ‘ππ‘π βππ ππππππππ πππ‘ππ‘π π2 + π 2 = π 2 π =Ξ±+ Ξ² h2 = Ξ± β Ξ² π΄ππππ = ½ β β β π = ½ β π β π Beregning af stykkerne i retvinklede trekanter I en retvinklet trekant er én vinkel 90°. Ser vi på en sådan trekant (fig. 114), indgår der i trekanten, udover vinklen på 90°, fem andre geometri-elementer eller stykker, som vi også kalder dem Det er to vinkler og tre sider. Kender vi to af størrelserne, hvoraf den ene skal være en side, kan de resterende beregnes. Det vil vi se på i det kommende eksempel. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 9 Eksempel 45 I en retvinklet trekant ABC er givet følgende: C=900, a=4,3cm og b=5,6cm. Beregn vinklerne A og B og siden c. Vi starter med at tegne en trekant ud fra de givne oplysninger (fig. 115). Når vi skal i gang med at beregne, er der flere veje at gå. Vi vælger at finde vinkel A først. tan A = π π tan A = 4,3 5,6 A = 37,52° Da vinkel C er 90° får vi: B=90° -A B=90° - 37,52° B=52,48° Vi mangler siden c og vælger at finde den ved hjælp af: sin A = π π sin 37,52° = c= 4,3 π 4,3 = 7,06ππ sin 37,52° opgave 147 I retvinklet trekant har følgende oplysninger: oplysninger a: C=90° b: C=90° c: C=90° d: C=90° e: A=90° f: B=90° g: C=90° Trigonometri A=47,3° B=37,4° b=3,8km a=2,46cm a=28,3cm A=53,4° B=37,2° c=5,3cm b=176cm c=6,4km b=1,22cm c=16,7cm b=9,5cm c=16,1cm Find/beregn Vinkel B Vinkel A Vinkel A Vinkel A Vinkel B Vinkel C Beregn trekantens areal Glamsdalens Idrætsefterskole Siden a Siden a Vinkel B Vinkel B Vinkel C Siden a Siden b Siden c Siden a Siden c Siden b Siden c Side 10 Vi kan også komme ud for, at den "beregningstrekant", vi har brug for til at løse en opgave eller komme videre med en beregning, ikke umiddelbart er givet. Det vil vi se nærmere på i det kommende eksempel. Eksempel 46 I en retvinklet trekant ABC er C=90°, a=4,2 cm og b=5,8cm. Bestem længden af vinkelhalveringslinien vB. Vi starter med at tegne trekanten (fig. 116) og går videre og tegner trekanten med vinkelhalveringslinjen vB (fig. 117). Vi får herved en retvinklet trekant (den skyggelagte), hvori vi kan beregne vB men vi kender kun en størrelse, nemlig a. Vi må derfor gå tilbage til (fig. 116) og finde vinkel B. Vi benytter: 5,8 tan B = 4,2 ο¨B=54,10° Vi finder: π΅ = 27,05° 2 og kan nu gå videre og bestemme vB i den skyggelagte trekant. Vi får: cos π΅ π = 2 vB Vi indsætter de tal vi kender og får: cos 27,05° = π π£π΅ Vi rykker rundt og løser ligningen med hensyn til vB: 4,2 vB=cos 27,05° ο¨ vB=4,72cm Nu snakker vi matematik Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 11 Opgave 148 I en retvinklet trekant ABC er C = 90°, a=4,2 cm og b=5,8 cm. bestem længden af: a. Tegn trekanten b. Medianen ma c. Højden hc Opgave 149 I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90°, h er højden på hypotenusen, Ξ± & Ξ², er de stykker, hvori h deler hypotenusen. Følgende er givet: a. A= 36,2° og h 2,83 cm. Beregn vinkel B og siderne a, b og c. b. B =15,8° og Ξ²=5,18 cm. Beregn vinkel A og siderne a, b og c. c. Ξ±=3,1 cm og Ξ²=5,64 cm. Beregn vinklerne A og B samt siderne a, b og c. opgave 150 (nu snakker vi matematik) a. I en ligebenet trekant er grundlinjen 18 cm og højden, som sættes på hvert af benene er 14 cm. Beregn længden af benene, radius i trekantens indskrevne cirkel samt trekantens areal. b. I en retvinklet trekant er hypotenusen 4 cm længere end den største katete og 8 cm længere end den mindste. beregn længden af hypotenusen. c. I et kvadrat, er diagonalen 32 mm. Find kvadratets sidelængde. d. I en ligesidet trekant er højden 4 cm. Beregn sidelængden. e. I en rhomben er diagonalerne henholdsvis 5 og 8 cm lange. Beregn rhombens sidelængde. Problemløsnings-opgaver (den retvinklede trekant) Når vi arbejder med praktiske opgaver, får vi ikke umiddelbart serveret en trekant med tilstrækkelige oplysninger. I mange tilfælde er trekanten βgodt pakket ind", og vi skal selv finde frem til de oplysninger, der skal til for at løse opgaven. Der kan imidlertid godt gives nogle tips. I almindelighed vil der ved mange opgaver indgå geometriske elementer. Det kan være linjer, linjestykker, cirkler, tangenter til cirkler osv. Skæringspunkter og røringspunkter mellem disse elementer giver tilsammen en del geometrisk bestemte punkter. Ved at analysere disse punkters beliggenhed i forhold til hinanden, vil man i almindelighed kunne få tegnet en retvinklet trekant, der har de data, der er nødvendige for at kunne regne videre. Det skal også bemærkes, at indgår der en cirkel i det geometriske billede, vil det i almindelighed være ud fra cirklens centrum, at en sådan beregnings-trekant kan dannes. Vi starter med at se på et eksempel. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 12 Eksempel 47 I en aksel med et rundt tværsnit (massivt rør) skal der fræses et spor. Akseltværsnittet er vist på (fig. 118.) Mål er i mm. Til anvendelse ved produktions processen ønskes fræsedybden x bestemt. Vi deler opgaven op i faser: 1. Analyse af problemstillingen Vi tegner tværsnittet (fig. 119) og ser på geometripunkterne. Vi får punkterne A og B, der er røringspunkterne mellem cirklen og korden. Cirklens lodrette centerlinje halverer |AB|, og er samtidig vinkelret |AB|. Vi forbinder cirklens centrum med B, og vi får derved en beregningstrekant med de nødvendige data. 2. Opstilling af løsningsmodeller Vi ser på trekanten. Der er to muligheder: Vi kan anvende trigonometri eller vi kan benytte Pythagoras' læresætning, når vi skal bestemme a. Herefter kan fræsedybden bestemmes: x=24 - a 3. Valg af løsningsmodel Der er i dette tilfælde ikke den store forskel, men vi kommer nemmest igennem ved at benytte Pythagoras' læresætning på trekanten. 4. Dokumentation Vi får: 242 = π2 + 202 242 β 202 = π2 β242 β 202 = π ο¨ a=13,27mm Herefter bestemmesf fræsedybden: π₯ = 24 β π π₯ = 24 β 13,27 π₯ = 10,73ππ 5. Vurdering af løsning Da fig. 119 er tegnet i målestok kan det konstateres, at der er rimelig overensstemmelse mellem de beregnede og de på figuren målte resultater. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 13 Opgave 151 Et spærfag, på et hus, har mål i meter, som vist på (fig. 120.) Bjælkerne er af træ, og der anvendes samme dimension til alle bjælker. Beregn hvor mange meter bjælker, der skal anvendes, når der skal regnes med 10% spild ved afskæring, tilpasning osv. Opgave 152 enden på en aksel er udformet som vist på (fig. 121.) Beregn vinklen v. Opgave 153 I en flange skal der bores 10 huller som vist på (fig. 122.) Afstanden mellem hullerne skal være den samme, og delecirkeldiameteren d=100mm Beregn centerafstanden x (korden) Opgave 154 Et sekskantet skruehoved, som vist på (fig. 123) har afstanden 27,7 mm. Beregn nøglevidden s. Opgave155 en Kileremsskive har spordimensioner som vist på (fig. 124.) Beregn afstandene a og b. Mål er i mm. Opgave 156 Et beton rør ligger delvis nedgravet som vist på (fig. 125.) En opmåling giver følgende: k = 80 cm og højden h = 22 cm. Beregn rørets yderdiameter. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 14 Opgave 159 En kugleformet beholder bliver båret af ben, der er fastgjort til beholderen som vist på (fig. 128.) Benenes forlængelse er tangenter til kuglen. Alle mål er i m. Beregn afstandene a og b. Opgave 160 I forbindelse med kontrolmåling af en føring som vist på (fig. 129) skal målet L beregnes, når de øvrige mål er følgende: A=55 mm, d=12 mm og v=54°. Opgave 161 Et hus med en indvendig kugleform skal udbores som vist på (fig. 130.) (mål i mm). Beregn diameteren d. Opgave 162 Til måling af meget store, runde emner anvendes et specielt værktøj, vist på (fig. 131.) Beregn diameteren d, når s=2 m og h=0,6 m. Opgave 164 I et rør med indvendig diameter på 10 cm skal indlægges 3 lige store rør, således at de netop rører hinanden indbyrdes samtidig med, at de tre rør også rører indersiden af det store rør. beregn hvilken udvendig diameter de tre rør skal have. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 15 Sinus Cosinus og Tangens af vilkårlige trekanter Når vi skal arbejde med vilkårlige trekanter, kommer vi ud for større vinkler end 90°. Vi vil derfor vende tilbage til definitionerne på sinus, tangens for at se, hvordan fortegnene for disse funktioner varierer. vi har vores enhedscirkel (fig. 133) og indtegner en vilkårlig vinkel i 1. kvadrant. Det var jo således, at sinus til en vinkel måles fra vinkelspidsen til x-aksen, og cosinus til vinklen fra vinkelspidsen til y-aksen. I 1.kvadrant er både sinus og cosinus positive. Vi tegner en ny enhedscirkel (fig.134) og indtegner nu en vilkårlig vinkel i henholdsvis 2., 3. og 4. kvadrant. Vi får: 2. kvadrant Her er sinus positiv, mens cosinus er negativ. Cosinus til v2 måles fra vinkelspids, til y-aksen. Da vi er kommet om på venstre side af (0,0); får cosinus en negativ værdi. 3. kvadrant Her er både sinus og cosinus negative. 4.kvadrant Her er sinus negativ og cosinus positiv. For at få fortegnsvariationen på tangens, vender vi tilbage til: π sin A = : π cos π΄ = π = π β sin π΄ π : π π = π β cos π΄ Disse to udtryk indsætter vi i: tan A = π π Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 16 πβsin π΄ tan A = πβcos π΄ Dette udtryk benytter vi til bestemmelse af fortegnsvariationen for tangens. Vi får: V= 0° 0 tan 0° = = 1 1 1. kvadrant: Her er tangens positiv, da: tan v1 = + =+ + 1 tan 90° = = β 0 (kan pr. definition ikke lade sig gøre, men vi siger, at tangens sig uendelig, når vinklen nærmer sig 90°. For uendelig bruges symbolet:β 2. kvadrant: Her er tangens negativ, da: 3. kvadrant: Her er tangens positiv: 4. kvadrant: Her tangens negativ: tan π£4 = β =β + Vi sammenfatter nu vores fortegnsvariationer for sinus, cosinus og tangens på (fig. 135.) Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 17 Opgave 165 Tegn det grafiske billede af sin x, cos x og tan x i intervallet 0°<_x<_360°. Afsæt vinklerne ud ad den vandrette akse og funktionsværdierne ad den lodrette. Nu har vi set, hvordan fortegnene varierer for vore trigonometriske funktioner, men fortegn alene er ikke tilstrækkeligt. For vinkler større end 90° sammenholder vi dem med den vinkel i 1. kvadrant, hvis numeriske funktionsværdi er den samme. Ved at benytte symmetri omkring x-aksen, om y-aksen eller om begge akser efter hinanden, kan vi "flytte" en vinkel beliggende i 2., 3. eller 4. kvadrant til I. kvadrant. Vi har givet en vinkel i 2. kvadrant. Den vinkel i 1. kvadrant, hvis funktionsværdi talmæssigt er den samme, får vi på følgende måde (fig. 136): π£1 = 180° β π£ Har vi en vinkel i 3. kvadrant, finder vi (fig. 137): π£1 = π£ β 180° Endelig 4. kvadrant. Vi har givet vinklen v (fig. 138). Vinklen v1 i 1.kvadrant, hvis funktionsværdi er den samme, findes som: v1 = 360° β v Opgave 166 bestem a) sin 116,9° d) cos 246,3° g) tan 113,5° b) sin 333,5° e) cos 302,1° h) tan 268,5° c) sin 224,4° f) cos 168,7° i) tan 376,6° Opgave 167 Vis ved hjælp af enhedscirklen, hvor følgende måles: a) sin 310° d) cos 200° b) sin 260° e) cos 160° c) sin 125° f) cos 340° Opgave 168 Find vinklerne i intervallet 0° til 360° for følgende funktionsværdier: a) sin v= β 0,835 d) cos v= 0,187 g) tan v =β 0,521 b) sin v= 0,422 e) cos v= β 0,135 h) tan v= 1,5 c) sin v = β 0,8 f) cos v = 0,4 i) tan v = β 0,432 b) cos 860° c) tan 2320° Opgave 169 Bestem a) sin 375° Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 18 Udledning af formler for den vilkårlige trekant Da de udledte formler gerne skulle være alment gældende, ser vi på både en spids- og en stumpvinklet trekant (fig. 139 og 140) For begge trekanter må gælde: Af disse to udtryk kan dannes en ny ligning: som kan omskrives til: Denne formel kan ved bogstavombytning udvides til: Formlen kaldes for sinus-relationen. Sinus-relationen vil ikke kunne anvendes i alle tilfælde. Er der eksemelvis givet tre sider i en trekant, kan vi ikke finde vinklerne. Vi går derfor videre og betragter den retvinklede trekant BDC. Vi får: endvidere får vi ved betragtning af de to trekanter: Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 19 Vi indsætter udtrykkene for hb og |DC| i ligningen: Da |DC| i ligningen er i 2. potens, er det matematisk ligegyldigt, om det er udtrykket fra den spidsvinklede (1) eller den stumpvinklede trekant (2) vi benytter. Vi får: vi har tidligere fundet, at dette indsættes, og ligningen kan skrives: Denne ligning kaldes cosinus-relationen, og ved bogstavombytning får vi: Hvis man i en opgave kender en trekants tre sider, kan de ovennævnte ligninger løses med hensyn til vinklen, og vi får: Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 20 Vi vil finde forskellige udtryk for den vilkårlige trekants areal afhængig af, hvilke størrelser der tænkes givet. Vi har en trekant som vist på (fig. 141) Arealet kan udtrykkes: Vi har: Ved bogstavombytning får vi følgende formler: Vi vil finde et udtryk for trekantens areal ved hjælp af radius R i trekantens omskrevne cirkel (fig. 142). Vi har Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 21 Af (1) kan vi finde et udtryk for beregning af R: Vi vil også finde et udtryk for trekantens areal ved hjælp af radius r i trekantens indskrevne cirkel (fig. 143). Vi får Udtrykket (a + b + c) er trekantens omkreds (perimeter), og vi udtrykker det således: Dette indsættes, og vi får: Endelig medtages uden udledning Herons formel: Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 22 Formler for den vilkårlige trekant For beregning af vilkårlige trekanter (fig. 144) sammenfatter vi her de vigtigste formler fra de foranstående sider. Sinus-relationen Cosinus-relationen Arealformler R: Radius i trekantens omskrevne cirkel. r: radius i trekantens indskrevne cirkel. s: trekantens halve omkreds udtrykt således: Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 23 Beregning af stykker i vilkårlige trekanter Forudsætningen for at vi kan starte en beregning af den vilkårlige trekant er, at vi kender tre elementer, hvoraf en skal være en side. Det giver i alt fem kombinationsmuligheder, som kort kan beskrives således: 1. Vi kender de tre sider (fig. 145). Givet b, c og a. Der skal bestemmes: A, B og C Den første vinkel bestemmes ved hjælp af cosinus-relationen. Det kan anbefales, at der startes med den største vinkel. Cosinus er jo positiv i I. kvadrant og negativ i 2.kvadrant, og man vil derfor altid få den "rigtige" vinkel. Herefter kan både sinus- og cosinus-relationen anvendes, på de sidste vinkler 2. Vi kender to sider og den mellemliggende vinkel (fig. 146). Givet: b, c, og A. Der skal bestemmes: a. B og C. Den ubekendte side (a) bestemmes ved hjælp af cosinus-relationen. Herefter kan vinklerne (B og C) bestemmes enten ved sinus-eller cosinus-relationen. 3. Vi kender to vinkler og den mellemliggende side (fig. 147). Givet A, C og b. Der skal bestemmes B. a og c. Vinkel B bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 180°. Herefter kan a og c bestemmes ved hjælp af sinus-relationen. 4. Vi kender to vinkler og den modstående side til en af vinklerne (fig. 148). Givet: A, C og a. Der skal bestemmes: B. b og c. Vinkel B bestemmes ud fra, at vinkelsummen i en trekant er 180°. Herefter kan b og c bestemmes ved hjælp af sinus-relationen. 5. Vi kender to sider og den modstående vinkel til en af siderne (fig. 149) og (fig. 150) Givet : a, b og A. Der skal bestemmes B, C og c. Vinkel B bestemmes ved hjælp af sinus-relationen. Herefter kan C bestemmes med udgangspunkt i vinkelsummen i en trekant, og c kan bestemmes ved hjælp af sinus- eller cosinus-relationen. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 24 Bemærk! Sinus-relationen giver generelt altid to løsninger, men det er ikke altid, at begge løsninger er brugbare. Er trekantens stykker givet som vist på (fig. 149) er der kun én løsning. Har vi derimod en trekant som vist på (fig. 150), hvor vinkel A er spids og a er mindre end b, vil vi kunne få to løsninger, som begge må regnes igennem. Det kan derfor altid betale sig at tegne trekanten så nøjagtig som og i passende målestoksforhold. Er der mere end én løsning, vil det fremgå af tegningen. Der er også den fordel, at man kan sammenholde beregnede resultater med de målte på tegningen, og er der for store afvigelser, må man gennemgå beregningerne eller kontrollere figuren. Eksempel 48 I en trekant ABC kender vi: a = 30 cm, b = 24 cm og c = 28 cm. a) Beregn trekantens vinkler. b) Beregn trekantens areal. a) Vi starter med at tegne en trekant ud fra de givne oplysninger (fig. 151). Vi fortsætter nu med at beregne og benytter cosinus-relationen: Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 25 b) Ved bestemmelse af trekantens areal anvender vi formlen da vi kender alle størrelserne, får vi: Eksempel 49 en trekant ABC kender vi: A = 24°, a = 3 cm og b = 4 cm. Beregn trekantens manglende stykker. Vi konstruerer trekanten (fig. 152) og konstaterer, at der er to løsninger. Vi starter beregningerne med at anvende sin-relationen: Der er to løsninger, fordi sinus er positiv i både I. og 2. kvadrant. Derfor må vi arbejde videre med begge løsninger. Vi finder vinkel C. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 26 Opgave 170 I en trekant ABC kender vi: a) b) c) d) e) f) a 10 cm, b = 8 cm og C = 60°. Beregn siden c og vinklerne A og B. A 70°, a = 7 cm og b = 5 cm. Beregn siden c og vinklerne B og C. A 41,6°, B 42,3° og a =12,3 cm. Find vinkel C og siderne b og c. A 120°, b =4,6 cm og c =5,8 cm. Beregn siden a og vinklerne B og C. a = 13,6 mm, b = 15,9 mm og c = 16,7 mm. Beregn vinklerne A, B og C. C= 20,3° b = 5 cm og c = 2,5 cm. Beregn vinklerne A og B og siden a. Opgave 171 I en trekant ABC kender vi: a) A = 66,6°, b = 4,6 cm og vA = 3,2 cm. Beregn vinklerne B og C og siderne a og c. b) B = 41,6°. a = 6,8 cm og mc = 5,6 cm. Beregn vinklerne A og C og siderne b og c. c) B = 58°, vB = 4,8 cm og hc = 3,6 cm. Beregn vinklerne A og C og siderne a, b og c. Opgave 172 I en trekant ABC kender vi: a) a = 6,82 m, b = 12,46 m og B = 123,3°. Beregn trekantens areal. b) a = 8 cm, b = 11 cm og c = 13 cm. Beregn trekantens areal. c) A = 127°, b = 4 cm og c = 6 cm. Beregn trekantens areal, samt radius i trekantens indskrevne og omskrevne cirkel. Opgave 173 I firkant ABCD er |AB| = 2,3 cm, |BC| = 2,6 cm, |AC| = 3,2 cm D = 38° og |AD| = |CD|. Find firkantens ubekendte sider, vinkler samt areal. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 27 Problemløsnings-opgaver (Den vilkårlige trekant) De retningslinier, som er beskrevet under Problemløsningsopgaver (den retvinklede trekant)", gør sig også gældende her. Man skal selv finde en "beregningstrekant" for at kunne løse en Opgave, og der kan gives de samme tips. Analyser de geometriske data. Bestem skærings-, røringspunkter mv. Se på det samlede billede af disse geometripunkter. Indgår der en cirkel i det geometriske billede, vil cirklens centrum mange situationer være udgangspunkt for tegning af en "beregningstrekant". "Beregningstrekanten" skal indeholde tre givne stykker, for at man kan starte en beregning og bestemme de ønskede ubekendte størrelser. Denne analysefase er af helt grundlæggende karakter, og den er en absolut forudsætning for at kunne løse disse opgaver. Det kan derfor anbefales, at man er omhyggelig med denne fase i opgaveløsningen. Opgave 175 Bestem arealet af den på (fig. 154) viste stjerne. Dimensionerne er: D = 30 mm, d = 20 mm og antal tænder = 12. opgave 177 profil med tværsnit som en ligesidet seks-kant har mål som vist på (fig.156.) Bestem tværsnitsarealet. Opgave 178 I en pladeproduktion er fremkommet en del klipperester. Disse har alle form som en trekant med sidelængder: 140 mm β 130 mm β 150 mm. Af disse trekanter ønskes fremstillet runde skiver. Beregn den størst mulige diameter, disse vil kunne få. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 28 Trigonometriske grundligninger I det foregående har vi i realiteten allerede løst en del trigonometriske ligninger. Vi vil her præcisere, at kaldes trigonometriske gruncingninger. Vi vil i de kommende eksempler uddybe, hvad vi forstår ved løsning af en trigonometrisk grundligning. Eksempel 50 Løs ligningen: sin v =0,46. Vi går tilbage til enhedscirklen og ser på vores definition af sinus til en vinkel (fig. 157). Sin-værdierne måles på y-aksen, og som det fremgår af figuren får vi to løsninger. Vi får ved hjælp af lommeregner: v = 27,39° eller v = 180° - 27,39° = 152,61° Denne løsning gælder for 0° til 360° eller for en periode. Da sinus er periodisk med 360°, får vi den fuldstændige løsning: v = 27,39° + 360° * n eller v =152,61° + 360° * n hvor n er et helt tal. Løsningen kan også illustreres grafisk (fig. 158). Grafen for y = sin v er tegnet for to perioder. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 29 Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 30 Opgave 179 Løs følgende ligninger: a) sin v=0,88 b) sin v=0,32 Opgave 180 Løs følgende ligninger: a) sin 3v = 0,14 b) sin 5v =0,56 Opgave 181 Løs følgende ligninger: a) sin (v + 30°) = 0,36 c) sin (3v + 20°) = 0,24 b) sin (v -15°) = 0,92 d) sin (2v - 40°) = 0,74 Ser vi på den trigonometriske grundligning cos v = k er principperne for løsning de samme, som er gældende for: sin v = k Det vil vi se på i det kommende eksempel. Eksempel 53 Løs ligningen: cos v = -0,49 Vi går tilbage til enhedscirklen og vores definition på cosinus (fig. 161). Cosinus-værdierne måles på x-aksen, og om det fremgår af figuren, får vi to løsninger: v =119,34° eller v = 360° -119,34° = 240,66° Løsningen gælder for en periode (0° til 360°). Den fuldstændige løsning får vi således: v = 119,34° + 360° * n eller v = 240,66° + 360° * n, hvor n er et helt tal. Løsningen kan grafisk illustreres som vist på (fig. 162.) Grafen for y = cos x er afbildet for en periode. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 31 Vi mangler at se på den trigonometriske grundligning: tan v = k løsningsprincipperne principperne er de samme som for ligninger med sin og cos, men der er alligevel en forskel. Det vil vi se på i det kommende eksempel. Eksempel 54 Ligningen: tan v = 1,2 Vi går tilbage til enhedscirklen og vores definition på tangens (fig. 163). tangens er positiv i 1. og 3. kvadrant, så ved hjælp af lommeregner får vi V= 50,19° eller v = 50,19° + 180° = 230,19° Da tangens er periodisk med 180°, kan den fuldstændige løsning angives således: v=50,19° + 180° * n hvor n er et helt tal. Opgave 182 Løs ligningerne: a)cos v = 0,96 b) cos 2v = β 0,34 c) cos (3v + 20°) 0,21 Opgave 183 Løs ligningerne: a)tan v = β 0,68 b) tan 4v = 3,6 c) tan (2v - 30°) 2,7 Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 32 Repetitionsopgaver Opgave 184 a) I trekant ABC er siden b = 6 cm, C = 135° og hb er 4,5 cm. Beregn trekant ABC's manglende stykker, areal samt radius for omskrevet og indskrevet cirkel. b) I trekant ABC er |AC| = |BC|, højden på |AB| er 6 cm og trekantens omkreds er 36 cm. Beregn trekantens vinkler, sider og areal c) Om trekant ABC oplyses følgende: C = 26,2°, b = 62,5 cm og c = 38,4 cm. Beregn trekantens manglende stykker samt radius for omskrevne og indskrevne cirkel. d) Et emne har udseende som vist på (fig. 164.) Find vinklen a. når c = 26 mm, R = 19 mm og r = 8 min. e) I et trapez er de parallelle sider 1,23 m og 3,70 m, mens de to andre sider er henholdsvis 2,47 m og 2,56 m. Beregn trapezets vinkler og areal. f) Summen af to sider i en trekant er 34 cm. Gør man begge sider 1 cm længere uden at ændre den mellemliggende vinkel, bliver trekantens areal 12,5% større. Beregn de to sider. g) Der er givet en trekant som vist på (fig. 165.) Trekantens areal er 850 mm2, og desuden er x = 40 mm og y = 25 mm. Beregn vinkel v samt a og b. h) I trekant ABC er A = 33°, b = 15 cm og c = 20 cm. Beregn trekantens ubekendte stykker, radius i trekantens indskrevne og omskrevne cirkel samt trekantens areal. i) I trekant ABC er a = 4 cm, b = 5 cm og c = 6 cm. Konstruer trekantens indskrevne og omskrevne cirkel. Beregn trekantens areal samt radierne i trekantens indskrevne og omskrevne cirkel. j) En trykluftcylinder anvendes som vist på (fig. 166.) Vippearm |AB| er 520 mm og vippearm |BC| er 490 mm. Beregn den slaglængde a, der er nødvendig for at armen |AB| drejer 18° om punktet A. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 33 k) En byggegund med skellængder som vist på (fig. 167) skal deles i 2 lige store byggegrunde. Afstandene er i m. Delingen foretages ved at indlægge et nyt skel parallelt med skellinjerne |AB| og |DE|. Beregn afstanden x. Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 34 Trigonometri Glamsdalens Idrætsefterskole Side 35
© Copyright 2026