1. No category

Forløb med
TI-Interactive!
Introduktion
Udregninger
Ligninger
Funktioner
Grafer
Lister
Regression
Sinus, cosinus og tangens
Statistik
Lidt fysik og kemi
Jan Leffers
(2005)
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse ....................................................................................................................2
Indledning...................................................................................................................................4
Dokument-vinduet ......................................................................................................................5
Placering af elementer i dokumentet ......................................................................................5
Udregninger med Mathbox.........................................................................................................6
Standard-indstillinger for Mathbox ........................................................................................6
Math Palette............................................................................................................................6
Simple udregninger, konstanter og bogstav-regning..............................................................7
Simple udregninger ............................................................................................................7
Eksponentiel notation .........................................................................................................7
Bogstavregning...................................................................................................................8
Definition af konstanter og funktioner .......................................................................................9
Konstanter...............................................................................................................................9
Definition af konstanter ......................................................................................................9
Flere udregninger på samme linje ......................................................................................9
Slider kontrol ....................................................................................................................10
Udregninger med konstanter ............................................................................................10
Funktioner.............................................................................................................................11
Math Selection Break ...........................................................................................................11
Løsning af ligninger, faktorisering og nulpunkter................................................................11
Faktorisering.....................................................................................................................11
Nulpunkter ........................................................................................................................12
Løsning af ligninger .........................................................................................................12
Ligninger med bogstaver ..................................................................................................12
Mere avancerede ligninger ...............................................................................................12
Grafer og funktioner .................................................................................................................14
Tegning af grafer ..................................................................................................................14
Funktioner.............................................................................................................................15
Grafer for funktioner ........................................................................................................15
Tabeller over funktionsværdier ........................................................................................15
Tal i lister og indtegning i koordintasystem .............................................................................17
Tal i lister..............................................................................................................................17
Indskrivning af tal i lister .................................................................................................17
Regning med tal i lister.....................................................................................................17
Grafer med tal i lister............................................................................................................18
Bedste rette linje (lineær regression) ....................................................................................18
Beregning af bedste rette linje ..........................................................................................19
Indtegning af bedste rette linje .........................................................................................20
Eksponentiel regression........................................................................................................23
Trigonometriske funktioner (trekanter) ....................................................................................25
Pythagoras’ sætning..............................................................................................................25
Retvinklet trekant med sinus, cosinus og tangens ................................................................25
Siden i en retvinklet trekant..............................................................................................26
Vinkel i en retvinklet trekant ............................................................................................26
Ikke-retvinklede trekanter.....................................................................................................27
Cosinus-relationerne.........................................................................................................27
2
Sinus-relationerne.............................................................................................................28
Opgaver ................................................................................................................................29
Statistik .....................................................................................................................................30
Ikke-grupperede observationer .............................................................................................30
Statistiske diskriptorer ......................................................................................................30
Histogram .........................................................................................................................32
Box-plot ............................................................................................................................34
Kumulerede hyppigheder .................................................................................................34
Trappediagram (med lidt snyd) ........................................................................................35
Trappediagram..................................................................................................................37
Grupperede observationer.....................................................................................................40
Statistiske diskriptorer ......................................................................................................41
Histogram .........................................................................................................................41
Box-plot ............................................................................................................................42
Sumkurve..........................................................................................................................42
Ikke-sorterede observationer ................................................................................................43
Statistiske diskriptorer ......................................................................................................44
Box-Plot............................................................................................................................44
Histogram .........................................................................................................................45
Sumkurve..........................................................................................................................45
Enheder.....................................................................................................................................48
Prædefinerede enheder .........................................................................................................48
Selvdefinerede enheder.........................................................................................................49
Prædefinerede konstanter .....................................................................................................50
Appendiks.................................................................................................................................51
Appendiks A: Problemer med decimaltegn (specielt i lister)...............................................51
Appendiks B: Knapper og genvejstaster ..................................................................................53
Dokument-vinduet ................................................................................................................53
Vigtige genvejstaster ........................................................................................................54
3
Indledning
TI-Interactive er et program, som bedst kan beskrives som en blanding af et
tekstbehandlingsprogram, et regneark, en lommeregner og et avanceret matematikprogram.
Man kan mange af de samme ting, som man normalt vil lave med et
tekstbehandlingsprogram, og i den tekst man skriver, kan man så indsætte udregninger,
formler, grafer og lignende. Det kan man også med f.eks. Word, men med TI-Interactive kan
man få programmet til at foretage beregninger og til at omskrive formlerne.
Først et par praktiske problemer:
Afhængig af hvilken version af TI-Interactive og Windows man bruger, kan der være
problemer med hvilket tegn der benyttes som decimal-komma. I nye versioner af TIInteractive er det kun et problem hvis man bruger lister, og programmet regner rigtigt nok.
Tallene bliver bare vist forkert i Data Editoren. Hvis man har dette problem, og hvis man vil
rette det, så se appendiks A.
Vi vil ikke arbejde med overførsel af data mellem en lommeregner og TI-Interactive, men
hvis man selv har lyst til at prøve dette (og har en lommeregner TI83 eller større), kan der
også være problemer med forskellige kombinationer af lommeregnere-modeller og TIInteractive-versioner.
I det følgende gennemgås forskellige muligheder i TI-Interactive. Det er meningen, at man
selv skal prøve at gøre som der står, og derefter selv prøve at gøre noget lignende med andre
eksempler. Man må gerne eksperimentere med mulighederne. TI-Interactive har udmærkede
hjælpefunktioner, som hurtigt kan kaldes frem ved at trykke F1. Vi arbejder efter princippet
”Prøv og se hvad der sker”. Hvert afsnit afsluttes med nogle øvelser.
4
Dokument-vinduet
Man kan betragte et TI-Interactive dokument som en tekst, der vises i et vindue. Dette vindue,
som jeg i det følgende kalde for dokument-vinduet, ser således ud:
Øverst er der tre række med knapper. Knapperne i de to øverste rækker er sikkert kendte fra
andre programmer, mens knapperne i tredje række er specielle for TI-Interactive. Disse
bruges til at indsætte udregninger, grafer, tabeller osv. i dokumentet, og vi vil se på dem efter
hånden som vi kommer til disse forskellige emner. I appendiks B er der en samlet oversigt
over knapperne fra dette vindue og andre vinduer i TI-Interactive.
Placering af elementer i dokumentet
Det er i dette dokument-vindue vi vil skrive tekst og indsætte objekter (udregninger, grafer og
lignende). De objekter vi indsætter, indsættes på det sted i tekste hvor cursoren står. Ofte vil
vi have tingene placeret anderledes. Hvis man vil flytte et objekt, så det bliver placeret som
man ønsker det, så skal man først højre-klikke på det. Man får så mulighed for at vælge, om
elementet skal stå som en del af teksten (dvs. helt må samme måde som et (meget stort)
bogstav, eller om elementet skal kunne flyttes frit omkring.
5
Udregninger med Mathbox
Man kan tænke på en Mathbox som en (meget) avanceret lommeregner, som, ud over at regne
med tal, også kan regne med bogstaver, løse ligninger og så videre.
Man åbner en Mathbox ved at klikke på knappen
, eller med genvejstasten ctrl+m.
Standard-indstillinger for Mathbox
Inden vi går i gang skal vi lige justere lidt på indstillingerne for math-boxen. Dette gøres i
menuen Edit -> Proporties -> Math box. Her vil vi sætte kryds i boxen ”Justify baseline with
text”, og lige neden under vil vi bede programmet om at sætte ”=” mellem input og output
(husk at sætte kryds ved at der skal skrives noget!). Man kan også her vælge, om man som
standard vil have output på samme linje som input (vælg det). Dette kan senere ændres for de
enkelte udregninger.
Math Palette
Udover at åbne en Mathbox i dokument-vinduet åbnes også et nyt vindue med navnet ”Math
Palette”, som ligner en lommeregner:
Som regel er det hurtigere at indtaste tingene direkte med tastaturet i stedet for at klikke i
Math Paletten, og så kun benytte Math Palette vinduet til specielle symboler som f.eks. √.
Nederst i Math Paletten er der tre felter:
6
Med disse kan man (for denne Mathbox) ændre på standard-indstillingerne fra før. Blandt
andet kan man vælge helt at skjule output:
(dette vil senere vise sig at være
nyttigt) eller afgøre, om output skal komme på samme linje eller på den næste. Der er også en
mulighed: ’None (no eval)’. Den får vi vist aldrig brug for.
Man kan også ændre på alle andre indstillinger ved først at trykke på
.
Simple udregninger, konstanter og bogstav-regning
Simple udregninger
Vi starter med at lave en simpel udregning af 5 + 4 2 (som giver 18.2361).
Start med at skrive lidt tekst (bare for at se, hvordan det ser ud), og åben dernæst en mathbox
eller brug genvejstasten ctrl+m), og skriv i Mathbox’er: 5 +4^2, eller brug
(klik på
Math Paletten til at skrive 5 + 4 2 . ( skrives ved klik på
og potensopløftning ved klik
på
).
Hvis man ønsker det, så kan man for neden i mathboxen kan man ændre på de standardindstillinger vi lavede før: Skal output vises på samme linje, på næste linje eller helt skjules?
Det sidste kan være praktisk hvis man bruger TI-Interactive til tekstbehandling. Bemærk at
der er forskel på ’hide Output’ og ’None (no eval)’. Den sidste mulighed får vi vist aldrig
brug for).
VIGTIGT: Man kan også ændre på, om der skal skrives ”=” eller ⇒ eller noget helt andet
nederst til højre. Hvad man
mellem input og output. Dette gøres ved at klikke på knappen
gør her, har kun betydning for denne ene Mathbox, og ændre ikke på de generelle indstillinger
vi lavede før.
Man afslutter det hele med at trykke ”enter” (eller klikke i dokumentet uden for Mathboxen
eller lukke Math Palette vinduet).
Resultatet ser (formodentlig) ikke helt ud som forventet. Det er fordi TI-Interactive forsøger
at regne eksakt. Vi vil nu ændre dette: Klik en gang på mathboxen med regneudtrykket, og
dernæst på ikonen (eller brug genvejstasten F9). I linjen ”Computation” vælges
”Approximate”, og i linjen ”Display Digits” vælges antallet af cifre. Slut med at trykke ”OK”.
Nu skal der gerne stå det ønskede.
Eksponentiel notation
Bemærk at TI-Interactive i Math Box Paletten har en knap
til at indtaste tal som f.eks.
23
6.2 ⋅10 . Man kan også bare skrive 6.2e23. Prøv begge muligheder i en udregning. Udregn
6.2 ⋅10 23
uden at bruge parenteser. Hvis det giver 31 har man gjort det rigtige. Med
f.eks.
2 ⋅10 22
kanppen
kan man selv bestemme om resultaterne skal skrives i eksponentiel notation.
Først vælger man den Math Box man vil indstille, og dernæst trykkes på ikonen , og sætter
’Numer format’ til ’Scientific’.
En lidt mystisk ting ved TI-Interactive: Hvis man regner med hele tal, så ignoreres disse
indstillinger. Dette kan man råde bod på ved at ændre et at tallene til et decimal-tal, f.eks.
ændre 60 til 60.0
7
Øvelser
3+π
2 +π
b) 3 + 23 (4 + π ) +
(giver 1.65238 og 8.49558)
10 − 2π
7
2. Omskriv de følgende tal til eksponentiel notation med 4 betydende cifre
a) 564234.44 b) 0.022534
3. Udregn (og angiv resultaterne både normalt og med eksponentiel notation med 5 betydende
cifre)
a) 2005 ⋅ 365 ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 b) 227 − π
1. Udregn a)
Bogstavregning
TI-Interactive kan også regne med bogstaver. Prøv at indtaste (i en mathbox)
2(b + a ) − (b − a + 2) * 2 , og se hvad der sker.
x2 + x
i Math Box
. Brøker kan indtastes efter klik på
2x
Paletten, men man kan også bare indtaste (x^2+x)/(2x). TI-Interactive laver det så selv om til
en pæn brøk. Som man kan se, så har TI-Interactive udregnet er resultat. Prøv at forstå hvorfor
det er rigtigt (start med at sætte x uden for parentes for oven).
Vi vil dernæst prøve at udregne
Øvelser
Reducer følgende udtryk
1. − 2(a + 3) + 4(1 − a )
2. − (b − a ) + (− a + 3b) ⋅ 2 − 3(b − a3 )
3. (−1) ⋅ y ⋅ (−2) ⋅ (−3)
−1
−1
4.
⋅ (−2) ⋅ (− x 2 ) ⋅
−x
x
8
Definition af konstanter og funktioner
Konstanter
Definition af konstanter
Ofte vil vi have tal, som skal bruges i flere udregninger. Tallene er måske resultatet af en
udregning, eller blot et tal vi indtaster. Det er praktisk at kunne give et sådant tal et navn, og
gemme det til senere brug. I TI-Interactive gøres dette ved i en Mathbox at skrive
navn := værdi
,hvor man som navn bør vælge noget man kan huske (noget der siger noget om hvad tallet er)
og værdi er et tal eller en udregning.
Bemærk at der skal stå := . Det er fordi TI-Interactive skelner mellem = og := . Det første
bruges til at sammenligne to ting, mens det sidste tildeler en værdi.
Når man definerer en konstant vil det ofte se bedst ud, hvis man skjuler output (der er ingen
grund til at tallet skal stå der to gange).
, f.eks. 4.33 → a. Dette er hverken bedre eller
Man kan opnå samme resultat med knappen
værre, så jeg anbefaler at bruge ’:=’.
Flere udregninger på samme linje
Hvis man skal definerer mange konstanter, så kan man selvfølgelig skrive noget i retningen af
a:=4
b:=6
c:=7
tal:=13
(hvor jeg har bedt om at få skjult output)
Man kan imidlertid spare lidt plads (og få det til at se pænere ud) ved at skrive dem på en
linje, og så adskille dem med symbolet :: (2 gange kolon):
a:=4::b:=6::c:=7::tal:=13
(igen med skjult output)
Helt på samme måde kan man også lave flere udregninger på samme linje. Resultatet af en
sådan udregning er så resultatet af den sidste udregning. Et eksempel:
Det er sjældent en god ide at lave sådanne udregninger, da man let mister overblikket. Den
eneste undtagelse er ved definition af flere konstanter.
9
Slider kontrol
En gang imellem (ikke ret tit!) har vi brug for konstanter eller variable, som let skal kunne
ændres. Dette gøres med en ’Slider Kontrol’. Prøv at klikke på ikonen
. Man får så
følgende vindue
Øverst skriver man navnet på variablen. Prøv at kalde denne a, og nedenunder kan man
indstille de værdier, som a skal ligge mellem (minimum og maximum) og a’s startværde. Gør
dette og tryk på ok.
Skriv dernæst nedenunder (i en mathbox) navnet på slider varialen (a), og se hvad der sker når
slideren flyttes.
Udregninger med konstanter
Når man har defineret konstanter, kan disse indgå i udregninger fuldstændigt som hvis man
skrev tallene. Der hvor man ville skrive tallet skal man blot skrive konstantens navn.
Bemærk: Konstanter kan ikke benyttes ved udregninger før det sted i dokumentet, hvor de er
defineret.
Prøv i to mathboxe at skrive a:=3.454 0g res:= 5 +4^2 . Vi har nu defineret to tal med
navnene ’a’ og ’res’. Prøv dernæst (igen i en mathbox) at lave udregningen 10+res/a. Det skal
gerne give 15.2797.
Lav dernæst en slider-kontrol med navnet b, og lav dernæst en udregning 2 * b + a . Prøv at
flytte skyderen frem og tilbage.
Navngivning af konstanter
Konstanters navne må kun indeholde bogstaver og tal, og skal starte med et bogstav. Nogle
navne er reserveret til andre formål, f.eks. ’pi’ (3.1415…) og ’ans’ (resultatet af sidste
udregning).
VIGTIGT! Der er en fælde ved brug af konstanter: Hvis vi har defineret 2 konstanter a og b,
og så vil udregne 2ab, så tror TI-Interactive at vi vil udregne ’2 gange konstanten med navnet
ab’. Udregningen skulle være skrevet 2a*b eller 2*a*b.
10
Øvelse
1. Gem en konstant a med værdien 3 og opret en ’slider variable’ med navnet b, som kan
antage værdier mellem 0 og 100. Udregn dernæst 2a ⋅ b ⋅ c , og prøv at ændre b (med slideren.
Prøv også at ændre a.
2. Kopierer mathboxen med udregningen 2a ⋅ b ⋅ c , og indfør en konstant c=2 mellem de to
udgaver af udregningen. Prøv igen at ændre b.
Funktioner
Ofte har man brug for den samme regneforskrift for en forskrift i flere sammenhænge. Det
kunne f.eks. være f ( x) = x 2 eller g ( x) = 2 x + 4 eller noget meget større. Man kan definere
en funktion (næsten på samme måde som en konstant) ved i en mathbox at skrive f.eks.
f ( x) := x 2 (det skal være ’:=’ og ikke kun ’=’). Gør dette.
Hvis vi får brug for at udregne tal med funktionen skriver man bare f.eks. f(3) (giver 9).
Funktionsværdier kan indgå alle steder hvor tal kan indgå, f.eks. a := 2 f (3)
Math Selection Break
For ikke at blande konstanter og funktioner fra en opgave sammen med funktioner fra den
næste opgave, er det vigtigt at indsætte en ’Math Selection Break’. Dette gøres ved i menuen
at vælge ’Insert’ -> ’Math Selection Break’. Dette bør man gøre mellem hver opgave, så prøv
at huske genvejstasten (Crtl + k).
Løsning af ligninger, faktorisering og nulpunkter
TI-Interactive har indbygget kommandoer til at faktorisere udtryk, finde nulpunkter for
funktioner og til at løse ligninger. Af disse er løsning af ligninger langt det vigtigste, men vi
tager lige de to andre først.
Faktorisering
TI-Interactive kan også sætte uden for parentes (det kaldes faktorisering). Prøv først selv at
sætte uden for parentes i udtrykket 2 x ⋅ y + 4 x . Prøv først at skrive udtrykket i en mathbox
(husk * mellem x og y). Som det ses kan TI-Interactive godt finde ud af at sætte x uden for
parentes, men det kan gøres bedre hvis vi beder om det. Prøv at skrive factor (2 x ⋅ y + 4 x) .
Hvis man ikke lige kan huske om det hedder ’factor’ eller f.eks. ’faktor’, så kan man se en
liste med alle mulighederne ved i Math Box Paletten at klikke på ikonen
Øvelse
Sæt fælles faktorer uden for parentes i følgende udtryk
1. 2 x + 2 y
2. 2 x − 6 y
3. a 2 x − 9 x
4. a 2 y 2 − by + (1 + b) y
11
.
Nulpunkter
Dette bliver kun en kort gennemgang, da det minder meget om løsning af ligninger. At finde
nulpunkter for f.eks. f ( x) = x 2 − 9 er helt det samme som løsning af ligningen x 2 − 9 = 0 , og
giver som bekendt at x skal være 3 eller –3. I TI-Interactive kan man finde nulpunkterne ved i
en mathbox at skrive zeros ( x 2 − 9, x) . Logikken er, at man skal skrive udtrykket der skal give
nul (her x 2 − 9 ) og også skrive det man skal finde (her x). Det hele minder meget om TIInteractive måde at løve ligninger på, så vi går over til dette med det samme.
Løsning af ligninger
TI-Interactive har også en metode til at løse ligninger (faktisk er der flere metoder). Vi starter
helt simpelt med at løse ligningen 2 x − 5 = 4 . For at løse denne ligningen skal TI-Interactive
vide 2 ting: Ligningen og hvad der skal isoleres (her x). Indstil eventuelt først TI-Interactive
i Math
til at skrive ⇒ mellem input og output (eller gør det senere ved at klikke på
Paletten. Skriv dernæst i en mathbox solve(2 x − 5 = 4, x) . Kontroller om resultatet er rigtigt.
, og funktionen kan også indgå i ligninger. Hvis man har defineret en funktion (ved i en
mathbox at skrive f.eks. f ( x) := x 2 ) kan man også løse ligninger, hvor denne funktion indgår.
Man kan f.eks. i en mathbox skrive ’ solve( f ( x) = 9, x) ’
Ligninger med bogstaver
Det kan måske virke lidt overflødigt at man skal medtage det sidste ’,x’ i solve. Grunden til at
der er nødvendigt er, at TI-Interactive kan regne med bogstager. Prøv at skrive først
solve( x * y = a, y ) og dernæst solve( x * y = a, x) . Resultaterne skulle gerne være henholdsvis
a
a
y = og x = , dvs. at solve-funktionen i TI-Interactive godt kan regne med bogstaver.
x
y
Mere avancerede ligninger
Dette afsnit er mere af hensyn til fremtiden. Vi vil se på 2 eksempler, som begge er lidt
sværere end de tidligere.
1. eksempel: Vi vil løse ligningen x 2 = 9 , hvor vi kun er interesseret i løsninger der ligger
mellem 0 og 10. Vi ved jo godt, at ligningen x 2 = 9 har 2 løsninger, nemlig x = 3 og x = −3 ,
men vi er altså kun interesseret de den ene af dem. Vi kan naturligvis bare løse ligningen med
solve( x 2 = 9, x) , og så selv sortere den ”forkerte” løsning fra, men der findes andre mere
komplicerede eksempler, så vi ser lige på TI-Interactive indbyggede metode: Her skriver man
solve( x 2 = 9, x) | 0 ≤ x and x ≤ 10 ( operatoren ’|’ bruges altså til at indskrænke x’ernes
mulige værdier).
2. eksempel: Vi vil her løse ligningerne x + 2 y = 5 og 2 x − 2 y = x ⋅ y + 1 , det vil sige, at vi vil
finde ud af hvilke tal x og y skal være for at begge ligninger passer. Det lyder svært (og
faktisk er det temmelig svært at gøre med håndkraft), men i TI-Interactive er det ret simpelt:
Bare skriv solve( x + 2 y = 5 and 2 x − 2 y = x ⋅ y + 1, {x, y}) . Logikken er, at man skriver
begge ligninger med et ’and’ imellem, og der hvor vi skal skrive hvad der skal løses for,
skriver vi {x,y}. Prøv det. Vi ser, at der er 2 mulige løsninger: Enten skal x = 3 og y = 1 eller
også skal x = −4 og y = 92 . Hvis vi kun var interesserede i løsninger hvor både x og y er
12
positive tal kunne vi have skrevet
solve( x + 2 y = 5 and 2 x − 2 y = x ⋅ y + 1, {x, y}) | x > 0 and y > 0
Øvelse
Løs følgende ligninger
2x − 4
1.
= x+3
7
3x
2. 23 x − 5 = 13 +
4
13
Grafer og funktioner
Tegning af grafer
TI-Interactive kan naturligvis også tegne grafer. Vi vil starte med at tegne graferne for
funktionerne y = 2 x og y = 12 x + 2 . Først trykkes på . Der åbnes nu 2 vinduer:
I vinduet til venstre indskrives de 2 funktioner. Hvis den uafhængige variabel hedder noget
andet end x, så kan det også rettes her. Knappen nederst til venstre kan bruges til at
indsætte specielle symboler, f.eks. kvadratrod. Når man har skrevet funktionerne (og eventuelt
valgt farve og linje-type for hver af dem), så trykker man på ’Copy All’, og graferne tegnes.
I vinduet til højre (grafvinduet) har man en lang række muligheder. Her er en kort omtale af
de vigtigste.
Knappen overføre graferne til TI-Interactive siden (der hvor man skriver) og lukker
grafvinduet. Man kan komme tilbage til grafvinduet og lave rettelser ved at dobbelt-klikke på
grafen i dokumentet. Hvis man får indsat en graf ved en fejltagelse, så kan man bare markere
den og stykke ’delete’.
Knapperne
bruges til at zoome med, dvs. at de ændre på
inddelingen på akserne. Specielt den sidste er nyttig: Ved klik på indstilles skalaen på yaksen så alle funktionsværdierne kan vises.
Med knapperne
kan man finde nulpunkter, minimum, maksimum og
skæringer for grafer. Man bestemmer selv om resultatet skal vises på grafen, eller om men vil
kopierer resultatet, og så skrive det ind i en tekst.
Knapperne
giver mulighed for selv at tagen linjer mm. Og kappen med
kan man skrive lidt tekst, som man kan placere hvor man vil.
Med knappe
kan man genåbne vinduet til at skrive funktioner ind i
14
Knappe
Efter tryk på
Knappe
giver mulighed for at aflæse funktionsværdier på graferne
får man mulighed for at ændre på layout af grafen
åbner et vindue med en tabel over funktionsværdierne
Øvelse
Prøv noget af alt dette !!!
Øvelse
Opret 2 ’slider-konstanter’ med navnene a og b. De skal begge kunne antage værdier mellem
–10 og 10. Tegn dernæst en funktion y = a ⋅ x + b . Funktionen skal overføres til dokumentet.
Vigtigt: Man skal skrive ’y = a*x+b’. Udelader man ’*’, så tror TI-Interactive jo, at man
mener en variabel med navne ’ax’.
Prøv at ændre ’slider-konstanterne’.
Funktioner
Ofte har man brug for den samme forskrift i flere sammenhænge. Man kan definere en
funktion ved i en mathbox at skrive f ( x) := x 2 (det skal være ’:=’ og ikke kun ’=’). Hvis vi
får brug for at udregne tal med funktionen skriver man bare f.eks. f(3). Har man defineret
ovenstående funktion, kan man altså godt i en mathbox skrive ’ a := 2 f (3) ’, og funktionen
kan også indgå i ligninger. Man kan f.eks. i en mathbox skrive ’ solve( f ( x) = 9, x) ’
Grafer for funktioner
Hvis vi vil tegne grafen for en sådan funktion skriver vi bare f(x) der hvor vi før skrev
forskriften. Alt fungerer ellers som før.
Tabeller over funktionsværdier
Når man har defineret en funktion, så kan man let lave en tabel med funktionsværdier. Dette
gøres (i dokumentet) at trykke . Her skal man så skrive den funktion man vil have udregnet
funktionsværdier for (man kan også direkte indskrive forskriften direkte uden først af definere
funktionen). I tabel-vinduet har man forskellige muligheder for at ændre på indstillingerne.
Med knappen
kan man ændre på de x-værdier der benyttes (starttallet og hoppet mellem
hvert, og om de skal laves automatisk eller om man selv skal indtaste dem).
Hvis man vil have vist værdier for flere funktioner, så skal man bare trykke 2 gange i det
tomme felt over en af søjlerne.
Når alt er som man ønsker, så overføre man tabellen til dokumentet ved at trykke på .
Hvis man allerede har tegnet grafen kan man også gå direkte fra graf-vinduet til tabel-vinduet
ved at trykke på
.
15
Øvelse
Vi vil tegne graferne for funktionerne y = 73 x − 2 og y = − 12 x + 3 , udregne tabeller over
funktionsværdierne, og lave forskellige beregninger.
1. Definer de to funktionerne i Mathboxe (husk at give de 2 funktioner forskellige
navne). Skjul output fra disse Mathboxe.
2. Tegn graferne. Akserne på graferne skal også gå fra –2 til 8.
3. Find skæringspunktet mellem funktionerne (brug knappen
). Resultatet skal vises i
koordinatsystemet.
4. Udregn en tabel over funktionsværdierne, hvor x ligger mellem –2 og 8 i spring af 2.
5. Løs ligningen 73 x − 2 = − 12 x + 3 (brug ’solve’ i en Mathbox).
16
Tal i lister og indtegning i koordintasystem
Tal i lister
Et af TI-Interactive’s stærke sider er regning med til i lister. Vi ser på et eksempel, hvor vi får
opgivet følgende tal
x
y
-1.1
-4.5
1
-1.5
1.8
-0.2
4.1
3.3
7.4
8
Indskrivning af tal i lister
Vi vil først indtaste tallene i lister op prøve at regne lidt med dem.
1. metode.
Først skal tallene indtastes i lister: Tryk på ikonen
. Dette åbner vinduet ”Data Editor”, og
tallene kan nu indtastes. Gem x’erne i liste L1 og y’erne i liste L2. Læg mærke til at der igen
er en toolbar med mange muligheder. Vi skal kun bruge et par stykker, men I må gerne prøve
andre. Når man har indtastet tallene, overføre man dem til dokumentet ved at trykke på
Man kan komme tilbage til ”Data Editor”-vinduet ved at dobbeltklikke på tabellen i
dokumentet. Resultatet ser således ud (efter at jeg har rettet lidt på størelsen af tabellen):
.
Fra starten hedder listerne L1, L2, …, men det kan man ændre ved at klikke på navnet.
Et lille problem: Der kan være et problem med visningen af tal i Data Editor vinduet. I bilag
A er der en nærmere beskrivelse af problemet og af hvordan man løser det.
2. metode.
Der er en anden metode (som jeg selv foretrækker) til at indskrive tal i lister. Fordelen er, at
det fylder mindre og man slipper for problemet. Her skal man blot (i en Mathbox) indskrive
tallene omgivet af {…} og med komma mellem dem. For at huske hvad der er tal og hvad der
er lister kan man f.eks. navngive lister, så de starter med L, f.eks. L1, L2, Lx, Ly, …
Indskrevet på denne måde ser det ud således:
Regning med tal i lister
Vi vil nu tilføje en liste hvor vi udregner x ⋅ y for alle tallene. Denne nye liste kalder vi Lxy
Man kan gøre dette enten i Data Editor vinduet eller i en Mathbox:
17
I Data Editor vinduet: Klik oven over den 3. søjle (der hvor der står L3), omdøb denne liste til
Lxy, og indtast formlen L1*L2, og overfør resultatet til dokumentet (klik på
skulle gerne se således ud
). Resultatet
Det er typisk ved sådanne udregninger at problemet med visning af tal opstår (se bilag A).
Problemet opstår ikke hvis man regner med lister i en Mathbox. Her skriver man bare (i en
Mathbox): Lxy := L1*L2. Resultatet bliver:
Man kan godt regne med et enkelt af tallene i en liste. Prøv i en anden mathbox at skrive
Lxy[2]+1. Dette skulle gerne give det andet tal i listen plus 1.
Grafer med tal i lister
Vi vil nu indtegne tallene ovenfor i et koordinatsystem. Åben først graf-vinduet ved at klikke
på . I det lille vindue (der hvor vi tidligere indtastede funktionerne) vælges fanebladet ’Stat
Plots’, og her skriver man L1 i første række (x’erne) og L2 i anden række (y’erne):
Hvis man klikker på
til venstre for hvor man har skrevet L1 og L2 har man mange
muligheder, men dem lader vi ligge til senere. Tryk nu på ’Copy All’, og punkterne er nu
indtegnet i koordinatsystemet.
Man kan godt indtegne både funktioner og grafer i samme koordinatsystem.
Bedste rette linje (lineær regression)
Vi fortsætter med tallene fra eksemplet overfor. Når vi nu har indtegnet punkterne og set, at
de tilnærmelsesvis ligger på en ret linje, så vil vi også gerne beregne ligningen for den bedste
rette linje, og indtegne linjen sammen men punkterne.
18
Beregning af bedste rette linje
Klik på ikonen
(Stat Calculation Tool). Ikonen findes både i dokument-vinduet og i ”Data
Editor”-vinduet. Dette åbner følgende vindue:
Under ”Calculation Type” vælges ”Linear Regression (ax+b)”,. I feltet “X List” skrives L1,
og i ”Y List” skrives L2. I feltet ”Regression Equation” må man gerne ændre navnet til noget
pænere, for eksempel ”f(x)” (så får den beregnede funktion dette navn). Og i feltet ”Residual
List” kan man også ændre navnet (hvis man vil). Dette er en liste som viser afvigelserne
mellem tallene i YList’en og den beregnede funktion. Vi vender tilbage til dette senere. Når
dette er gjort, så trykker man på knappen ”Calculate”, og beregningen udføres. Resultaterne
vises i et nyt faneblad:
19
Man kan vælge hvilke af resultaterne man vil overføre til dokumentet (sæt passende krydser )
og trykker på knappen ”Save Results”. Knappen ”Copy” laver en kopi, som man selv kan
indsætte (kan ikke anbefales). Tallet r2 viser hvor tæt på en ret linje punkterne ligger. Hvis det
er en perfekt ret linje får man r2 = 1, men det er svært at sige præcist hvad ”tæt på 1” betyder.
Den ovenstående metode kan også benyttes hvis man kun kender 2 punkter. Så finder man
den linje, der går igennem de to punkter.
Indtegning af bedste rette linje
Vi mangler nu bare at tegne grafen. Klik på graf-ikonen . Som funktion vælges regEQ(x)
(eller hvad man nu kaldte den lineære funktion), og under fane-bladet ”Stat Plots” indtastes i
øverste felt ”L1” og i næst-øverste felt ”L2”. Grafen tegnes nu som tidligere. I stedet for
”Zoom Fit” kan man passende bruge (”Zoom Statistics”). Dette tilpasser tallene på x- og yaksen så de passer med at alle punkterne kan vises. Har man gjort alt rigtigt, så har man nu
følgende (måske stillet anderledes op):
20
Som man kan se ligger punkterne ret pænt på linjen, men vi kan lige kontrollere om de nu
også ligger spredt tilfældigt omkring linjen. Listen “Residual List”, som hedder RESID_ (med
mindre man har ændret navnet til f.eks. ”afvigelse” indeholder afvigelserne mellem linjen og
punkterne. Man kan se listen ved at skrive ” RESID_” (eller hvad man nu kaldte den) uden ” ”
i en Mathbox. Dette giver
Som ventet er tallene ret små (linjen går jo næsten igennem punkterne, så afvigelserne er
små). Vi tegner en graf med disse punkter: Vælg L1 som x’ere og RESID_ som y’ere. Dette
giver følgende graf:
Som man kan se, ligger afvigelserne jævnt spredt omkring 0. Dette viser at de oprindelige
punkter tilnærmelsesvis ligger på en ret linje. Dette bekræftes også af, at r2 er meget tæt på 1.
Man kan også undersøge for andre sammenhænge, f.eks. om noget vokser eksponentielt. Det
vender vi tilbage til engang ved lejlighed.
Øvelse
(Fra afleveringsopgaverne)
Peter har klippet en række cirkler ud af et stykke karton. Han har derefter målt deres radius og
omkreds med et målebånd. Resultaterne er angivet i tabellen:
radius
omkreds
cm
cm
x
y
2.0
12.6
4.0
24.8
6.0
41.0
8.0
50.5
10.0
62.7
Indskriv tallene i lister og tegn en graf, der viser y som funktion af x.
Beregn bedste rette linje, og indtegn denne i koordinatsystemet. Hvordan kan man se, at y er
proportional med x? Bestem proportionalitetskonstanten. Indtegn også afvigelserne mellem
punkterne og grafen (RESID_) i et koordinatsystem.
Øvelse
(Fra afleveringsopgaverne)
Hvis en cykelpumpe (med trykmåler) presses sammen, så stiger trykket inden i pumpen. Den
følgende tabel viser sammenhængen mellem rumfanget af luften og trykket:
rumfang
tryk
cm3
atm
x
y
620
1
500
1.25
21
390
1.59
300
2.07
250
2.48
1. Gem tallene i 2 lister med navnene Lx og Ly.
2. Tegn en graf der viser y som funktion af x
3. Beregn en liste som viser x ⋅ y for alle tallene
1
Lx
5. Tegn en graf der viser y som funktion af z (tallene i listen Lz skal altså bruges som x’ere og
tallene i Ly som y’ere)
6. Beregn den bedste rette linje for den sidste graf, og kommenter resultatet (hint: tænk på at
a
1
hvis y er omvendt proportional med x, så gælder y = = a ⋅ = a ⋅ z )
x
x
4. Beregn en liste med navnet Lz som beregnes ved Lz =
22
Eksponentiel regression.
Lige som med linjer kan man også finde den eksponentielle funktion, som passer bedst til
punkterne. Hvis man kun har 2 punkter, så finder man den eksponentielle funktion som går
gennem de 2 punkter.
Dette gøres helt som før, blot skal man her vælge eksponentiel regression i drop-down menue.
Et eksempel
I 1965 boede der 4 mio i Danmark. Dette tal var i 1997 vokset til 5 mio. Vi går ud fra, at der
har været tale om eksponentiel vækst og vil finde forskriften, finde den årlige procentvise
vækst, give en prognose for hvor mange mennesker der vil være i Danmark i 2050, give en
prognose for hvornår befolkningstallet runder 6 mio., og endelig bestemme fordoblingstiden.
Besvarelse: Først indlæses tallene i en tabel:
Vi trykker nu på knappen
, og vælger ”Ekponential Regression”, indtaster navnene på de 2
lister, og laver funktionens navn om (hvis man vil det):
Når man har trykket på ”Calculate” og gemt resultatet skulle man gerne få resultatet
23
Heraf ses, at den årlige procentvise vækst har været 0.7 %.
En prognose for befolkningstallet i 2050 fås ved at indsætte x = 2050 i forskriften:
Årstallet for, hvornår befolkningstallet runder 6 mio. findes ved at løse ligningen f(x)=6:
Altså i løbet af 2023
Til sidst finder vi fordoblingstiden ved at løse ligningen f(x+T) = 2·f(x) (det er T vi skal
finde):
Altså en fordoblingstid på næsten 100 år.
24
Trigonometriske funktioner (trekanter)
VIGTIGT: Der er flere måder at angive vinkler. Vi starter lige med at indstille TI-Interactive
til at regne vinkler i grader: Tryk på og indstil ”Angle format” til ”degree”. Dette har kun
betydning når man bruger sinus, cosinus og sinus.
Pythagoras’ sætning
Vi starter med et lille eksempel, som ikke har noget med trigonometriske funktioner (sinus,
cosinus og tangens) at gøre.
Vi ser på en retvinklet trekant, hvor vinkel C er ret, siden a er 8 og siden c er 15. Vi vil så
finde siden b ved at bruge Pythogoras’ sætning: a 2 + b 2 = c 2 .
Vi starter med at indlæse de kendte størrelser som konstanter:
eller mere elegant:
Nu skal vi bare finde b i ligningen a 2 + b 2 = c 2 . Dette gøres med solve:
Som vi kan se er der 2 løsninger. Det er naturligvis den positive vi skal bruge (det er jo
længden af en side). Dette problem kan let løses ved at skrive
(tasten ” | ” ligger øverst til venstre, tæt på slet-tasten).
Denne mulighed for at begrænse løsningerne virker måske lidt overflødig, men vi bliver
meget glade for den om lidt.
Retvinklet trekant med sinus, cosinus og tangens
Her har vi 3 formler at gøre godt med:
a
c
b
cos( A) =
c
a
tan( A) =
b
Et problem er, at TI-Interactive ikke skelner mellem store og små bogstaver, så A og a
opfattes som det samme. Vi vil løse dette problem ved at kalde vinkel A for vA.
sin( A) =
25
Siden i en retvinklet trekant
Vi vil finde hypotenusen (siden c) i en retvinklet trekant, hvor vi ved at vinkel C er ret, vinkel
A er 40o og siden a er 5.
Vi starter med at finde siden c. Dette gøres ved at finde c i ligningen sin( A) =
a
(efter at vi
c
har defineret konstanterne):
Vinkel i en retvinklet trekant
Vi vil nu finde vinklen A i en retvinklet trekant, hvor siden b er 8 og siden c er 10. Ved at se
b
på formlerne finder vi ud af, at det er formlen cos( A) = vi skal bruge:
c
Dette ser yderst underligt ud. Problemet er, at vi forsøger at løse ligningen cos(vA) = 0.8 , og
denne ligning har uendelig mange løsninger (tænk på enheds-cirklen. Vi kan f.eks. altid lægge
360 grader til vinklen). Det facit TI-Interactive giver betyder, at man hvor der står @n1 må
skrive alle mulige hele tal.
Heldigvis behøver vi ikke at tænke så meget over det, idet vi blot tilføjer en betingelse om, at
vinklen skal ligge mellem 0o og 90o:
Alternativ:
Man kunne også have fundet vinklen ved at udregne A = cos −1 ( 108 ) .
I TI-Interactive kaldes cos-1(…) for arccos( ). Man kan skrive det direkte eller vælge menuen
”Math -> Trigonometry -> Inverse cosine” i Math-paletten.
Man skriver altså bare
Men hvorfor ikke bare bruge solve(…), og lade TI-Interactive gøre arbejdet.
26
Ikke-retvinklede trekanter
Her foregår beregningerne ved hjælp af cosinus- eller sinus-relationerne, og ideen er igen bare
at indskrive de kendte størrelser, og så bruge solve(…) mest muligt. Når man skal finde
vinklerne er det vigtigt at fortælle, at resultaterne skal ligge mellem 0o og 180o, og igen er det
vigtigt at indstille TI-Interactive til at regne vinkler i grader.
Cosinus-relationerne
Her har vi 3 ligninger:
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos(C )
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos( A)
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos( B)
og der er 2 typiske opgaver: Vind vinklerne når siderne er kendte, og find den sidste side når
vi kender 2 sider og vinklen mellem dem.
Find vinklerne når siderne er kendte.
En trekant har siderne a = 4, b = 5 og c = 8, og vi vil finde vinkel C.
Her er udregningen:
(husk at skrive * mellem a og b og cos(C) i det sidste led )
Find den sidste side, når vi kender 2 sider og vinklen mellem dem.
I en trekant har siderne a = 4 og b = 5, og vinkel C er 40o. Vi vil finde den sidste side.
Her er udregningen:
I modsætning til når vi regner med håndkraft, så kan vi med TI-Interactive også finde den
sidste side, hvis vi kender 2 andre sider og en vinkel, som ikke ligger mellem de 2 sider. Dette
vil vi normalt bruge sinus-relationerne til at løse (vinklerne findes først), og lige som når vi
finder vinkler med sinus-relationerne vil der her ofte være 2 løsninger (fordi der er 2
forskellige trekanter, som begge er rigtige). Her er et eksempel:
27
Sinus-relationerne
Her har vi ligningerne
a
b
c
=
=
sin( A) sin( B) sin(C )
Formlerne kan typisk bruges, hvis vi kender en side, vinkelen overfor siden og så en ting
mere.
Udregningerne foregår igen ved at definere konstanterne, og så bruge solve(…).
Find en side
I en trekant er vinkel A 40o, vinkel B er 110o og siden a er 4. Vi vil finde siden b.
Find en vinkel
Her vil der ofte være 2 løsninger (fordi der er to forskellige trekanter, som begge opfylder
kravene). Vi ser på et eksempel:
I en trekant er vinkel A 40o , siden a er 4 og siden b er 5. Vi vil finde vinkel B.
(bemærk: Begge resultater er rigtige!)
28
Opgaver
Opgave 1
B
Find de ukendte sider og
vinkler i trekanten, og
beregn trekantens areal.
c = 10
a=7
A
C
b
Opgave 2
B
Find de ukendte sider og
vinkler i trekanten, og
beregn trekantens areal.
c=6
a
60°
A
b=9
C
Opgave 3
B
Find de ukendte sider og
vinkler i trekanten, og
beregn trekantens areal.
c=6
a
A
60°
b
29
50°
C
Statistik
TI-Interactive er desværre ikke særligt godt til at lave de ting, som vi gerne vil lave i statistik
(og der er vist også en fejl i programmet). Problemet er bare, at det er de fleste andre
programmer heller ikke er kan alle de ting, som vi gerne vil have dem til, og de programmer,
der kan det hele, er ret svære at bruge. Vi prøver alligevel med TI-Interactive, og vil så
forsøge at omgå problemerne under vejs.
Det letteste er (lidt overraskende) hvis tallene ikke på forhånd er sorterede på forhånd. Dette
ser vi på til sidst i dette kapitel.
Ikke-grupperede observationer
Vi ser på et eksempel, hvor 25 personers sms-forbrug skal behandles statistisk. Vi har
følgende tal, hvor ”observation” er antallet af afsendte sms’er og ”hyppighed” er antallet af
personer, der har afsendt det antal sms’er. Vi har følgende tal:
Observation
Hyppighed
0
4
2
2
3
5
4
3
5
3
7
1
Vi starter med at indtaste tallene i 2 lister (klik
”hyp”:
8
4
9
1
10
1
12
1
), som jeg har valgt at omdøbe ”obs” og
Hvis man gerne vil se på frekvenserne i stedet for hyppighederne, så skal man bare i en liste
(klik 2 gange på f.eks.
i liste-vinduet) indtaste formlen ”hyp/25” (eller ”hyp/25*100”)
(da der jo er 25 observationer i alt).
Statistiske diskriptorer
Vi kan let få TI-Interactive til at beregne de forskellige statistiske diskriptorer (middelværdi,
median,…). Bare tryk på knappen
(den samme som når man beregner den bedste rette
linje), vælg ”One-Variable Statistics”, indtast listerne med observationer og hyppigheder, og
klik på knappen ”Calculate”.
30
Resultatet bliver nu vist på en andet faneblad, og man vælger nu hvilke tal man vil overføre
til dokumentet. Man kan også skrive en overskrift:
Lige lidt forklaring:
x er middelværdien
n er antallet af observationer
Q1, Q3 og Median er nedre og øvre kvartil og medianen.
31
minX og maxX er den mindste og den største observation
Som man kan se er der en fejl i programmet: Nedre kvartil er ikke 2.5 men 3.
Hvis man ikke kan se resultatet efter overførelse til dokumentet, så prøv at flytte det ned
under listerne. Det bliver vist således:
Histogram
Vi vil nu tegne et histogram. Først klikker vi på ikonen, som starter graf-tegningen ( ), og
klikker på fanebladet ”Stat Plots”. Her skal vi nu vælge at tegne et histogram. Dette gøres ved
at klikke på feltet, der bestemmer graf-typen:
I det næste vindue starter vi med at vælge ”Histogram”, og husker at sætte kryds i feltet (Use
Frequence”) (bemærk at ”frequency” ikke (behøver) at være frekvens. Det kan godt være det
vi kalder hyppighed.
32
Ud over at indtaste navnene på de 2 lister, som skal bruges, så kan man også vælge
søjlebredde og andet. Når det er gjort klikker man ”Ok”, og ser efter, om det er kryds i det
felt, der bestemmer og tallene indtegnes:
I graf-vinduet mangler man nu bare at indstille akserne, så man kan se det hele (dette gøres
) og kopierer grafen over i dokumentet ( ). Afhængig
som sædvanligt ved at klikke på
af de ens valg af søjlebredde osv., så skulle det gerne ende med et diagram i stil med dette:
33
Box-plot
I TI-Interactive er det let at lave et box-plot. Man skal bare vælge ”Regular Box Plot” som
graftype (i stedet for ”histogram”) , og så ellers gøre som ved histogrammet. Man kan måske
med fordel vælge en lidt tykkere linje.
Resultatet ses her:
Kumulerede hyppigheder
Vi skal naturligvis også have udregnet de kumulerede hyppigheder og tegnet et
trappediagram. Første del er let nok: Vi åbner først liste-vinduet igen, omdøber listen L3 til
”kumhyp”, og vælger menuen ”List” -> ”Operations” -> ”Calculate Cumulative Sum List
…”:
34
Dette åbner et vindue, hvori vi hvilken liste der skal lægges sammen, og i hvilken liste
resultatet skal gemmes. Vi skriver hhv. ”hyp” og ”kumhyp”:
Og efter tryk på ”OK” skulle vi gerne have resultatet, som kan kopieres over i dokumentet.
Resultatet skulle gerne være som følger (måske er det nødvendigt at ændre størrelsen for at få
det hele med):
Trappediagram (med lidt snyd)
Vi er nu klar til at tegne et trappediagram. Dette er desværre ikke helt så lige til i TIInteractive, så her er først en let nødløsning: Vi indtegner bare punkterne med ”obs” som
x’ere og ”kumhyp” som y’ere, og lader være med at forbinde punkterne. Det gør vi så med
håndkraft. Vi klikker altså på graf-knappen ( ), skifter til fanebladet ”StatPlot”, og indtaster
navnene på de 2 lister.
35
Graftypen er formodentlig allerede sat til det rigtige. Ellers må man lige klikke på knappen til
graftypeindstilling (
) og vælge XY-Scatter:
Til sidst justeres akserne, så man kan se det hele (
( ). Resultatet bliver
), og grafen kopieres over i dokumentet
Og vi mangler så (efter udskriften) at tilføje de rigtige linjer med håndkraft.
36
Trappediagram
Hvis vi vil have TI-Interactive til at gøre det hele, så vi slipper for at skulle tilføje linjer i
hånden, så skal vi arbejde lidt mere: Vi skal tilføje et antal punkter. Her er en ”gør efter mig”
”punkt for punkt”-gennemgang:
1. For at det følgende virker, så SKAL computeren indstilles til at bruge engelsk/amerikansk
decimaltegn (dvs. f.eks. 3.14 i stedet for 3,14). Hvordan man gør dette er beskrevet i
appendiks A.
1. Start med at lave en kopi af tallene i listen ”obs” og placerer den i en ledig liste 2 gange
under hinanden:
3. Lav en kopi af tallene i listen ”kumhyp” og placer den i en ledig liste forskudt 1 række
nedad (der bliver automatisk indsat et 0 for oven):
37
4. Placer nu endnu en tallene i listen ”kumhyp” under den første, men rigtigt ud for tallene
fra listen ”obs”, dvs. ikke forskudt (det nederste tal fra før skal overskrives):
5. Vi skal nu have sorteret tallene i de 2 nye lister (her L4 og L5), så tallene i listen L4 (den
med observationerne) står i rækkefølge. Dette gøres ved at vælge menuen ”List” -> ”SortList”
-> ”Advanceret”.
Dette åbner følgende vindue:
38
I feltet ”Sort By” skrives den liste, der skal sorteres efter (de 2 kopier af ”obs”), og i feltet
”Sort” den anden liste (dvs. de 2 forskudte udgaver af ”kumhyp”). Efter tryk på ”OK”, og
efter at have overført tallene til dokumentet skulle listerne gerne se således ud:
6. Vi skal nu bare tegne en graf med tallene i de 2 nye lister: De to lister skrives i fanebladet
) vælges ”XY Line” :
”Stat Plot” som x og y, og som graftype (tryk
Efter tilpasning af grafvinduet (og husk at sætte kryds i feltet, der bestemmer om grafen vises)
skulle resultatet gerne blive noget i retningen af
39
Man kunne i øvrigt overveje at indtegne linjer ved 25%, 50% og 75% (6.25, 12.5 og 18.75)
for at kunne aflæse kvartil-sættet. Dette gøres let ved at indtegne 3 grafer: Y1=6.25, Y2=12.5
og Y3=18.75:
Grupperede observationer
Vi ser på et eksempel, hvor 18 personers læsehastighed (i sekunder) skal behandles statistisk.
Vi har følgende tal, hvor målingerne er grupperede i 7 grupper:
Interval
Hyppighed
]11;12]
3
]12;13]
2
]13;14]
3
]14;15]
2
]15;16]
4
]16;17]
2
]17;18]
2
Vi indtaster igen tallene i lister, idet vi laver 4 lister: En for venstre ende af intervallerne, en
for højre side, en for midten af intervallet (udregnet med formlen (v+h)/2), og en for
hyppighederne. Jeg har også (på samme måde som ved ikke-grupperede observationer)
beregnet de kumulerede hypigheder:
40
Statistiske diskriptorer
Her har vi et problem. Det simpleste er bare at gøre som ved ikke-grupperede observationer,
idet vi benytter midtpunkterne som om det var observationer. Dette giver desværre forkerte
værdier for kvartilsættet, men vi vil gøre det alligevel.
Histogram
Vi vil nu tegne et histogram. Dette gøres også lige som før, men man skal være lidt
opmærksom på de 2 variable ”Class Edge” og ”Class Width”:
Ved at vælge Class Edge til 0.001 (eller et andet meget lille tal) og Class Width til 1 vil det
første interval gå fra 10.001 til 11.001, (næsten) svarende til ]10,11].
Resultatet bliver:
41
Box-plot
Dette laves på samme måde som ved ikke-grupperede observationer (med midtpunkterne som
observationer). Problemet er, at da kvartil-sættet ikke er helt rigtigt, så bliver box-plottet også
lidt misvisende.
Sumkurve
Vi er nu klar til at tegne en sumkurve (de ikke-grupperede observationers version af et
trappediagram). Dette er undtagelsen, der bekræfter reglen: Faktisk er det let at gøre
ordentligt.
Først tilføjes lige en række for oven med højre endepunkt 11 og kumuleret hyppighed 0
(resten af værdierne betyder ikke noget):
Vi har nu følgende tabel:
42
Da punkterne i en sumkurve jo skal afsættes ud for intervallernes højre endepunkter, så skal vi
bare tegne en graf (type: ”XY Line”), med ”h” som x’ere og ”kumhyp” som y’ere:
Man kan også passende indtegne funktioner ved 25% (Y1 = 4.5), 50% (Y2 = 9) og 75% (Y3 =
13.5). Resultatet bliver:
Ikke-sorterede observationer
Dette er langt det letteste at gøre godt. Faktisk så meget lettere, at vi i de ovenstående
eksempler med fordel kunne have brugt det (ved at gentage observationerne det antal gange,
som hyppigheden angiver).
43
Bemærk i øvrigt lige, at mange af disse ting kan laves mere elegant i et program som f.eks.
”Datameter”.
Vi ser på eksemplet (det samme som vi brugte under grupperede observationer): 18 personers
læsehastighed er målt i sekunder:
11.3 - 17.9 - 16.2 - 13.1 - 14.7 - 11.2 - 13.4 - 12.4 - 16.5 - 15.8 - 11.8 - 14.6 - 13.3 - 11.7 15.7 - 15.1 - 17.5 - 13.0
Vi starter med at indlæse tallene i en liste (her vist lidt forkortet):
Statistiske diskriptorer
Disse beregnes som før ved at trykke
, og vælge ”One-Variable Statistics”. Der skal ikke
angives nogen frekvens (da alle jo er med). Resultatet bliver:
Box-Plot
Dette fungerer helt som før, ved at man vælger graftypen ”Regular Box Plot”. Man skal bare
lave være med at angive nogle frekvenser. Resultatet ses her (idet jeg igen har valgt at en lidt
tyk linjetykkelse):
44
Histogram
Histogrammet er også lige til: De eneste ting, man skal huske at tænke over, er ”Class Edge”
og ”Class Width”. De bestemmer inddelingen i grupper. Jeg har her valgt Class Edge til
0.0001 og Class Width til hhv. 1 og 0.5:
Sumkurve
For at kunne tegne sumkurven skal vi først have sorteret tallene, så de mindste står først.
Dette gøres med menupunktet ”List” -> ”Sort List” -> ”Ascending” :
45
Vi har nu listen
Vi skal nu have en søjle med de kumulerede hyppigheder. Da alle observationer har
hyppigheden 1 (de er jo med alle sammen), og da de er sorteret, så skal vi bare tilføje en søjle
med tallene 1, 2, 3, …. Dette kan let gøres automatisk: Vælg først menu-punktet ”List” ->
”Sequence”:
46
Dette åbner et vindue, hvori vi nu indtaster passende værdier:
Dette giver listerne:
Vi mangler nu bare at tegne grafen (graftype: XY Line), med ”sms” som x’ere og ”kumhyp”
som y’ere:
Resultatet bliver:
47
Lidt fysik og kemi: Enheder og konstanter
TI-Interactive har indbygget en mulighed for automatisk at regne med enheder og for at
omregne mellem enheder. Programmet kender også en lang række fysiske og kemiske
konstanter. For at se en komplet liste over disse, så vælg ’Hjælp’ (eller tryk F1) og søg efter
’Units’ (det hedder enheder på engelsk). Vælg derefter punktet ’Pre-defined units and
constants’.
I det følgende kommer en kort gennemgang af det væsentligste.
Enheder
Enheder i TI-Interactive indtastes ved at skrive et understreg-tegn før enheden. For at få TIInteractive til at regne med enheder, skal man bare indtaste enheden efter tallet.
Prædefinerede enheder
TI-Interactive kender på forhånd en lang række enheder (se under hjælp i TI-Interactive for at
få en komplet liste). De fleste enheder hedder det man forventer, men der er et par
undtagelser. Her er nogle af de mest benyttede:
meter
=
kilometer =
centimeter =
kilogram =
gram
=
liter
=
sekund
=
mol
=
timer
=
_m
_km
_cm
_kg
_gm (en af fælderne)
_L
_s
_mol
_hr (en anden fælde).
Grunden til at gram hedder _gm og ikke _g er, at betegnelsen _g bruger til noget andet. Se
under ’Prædefinerede konstanter’
Her følger et simpelt eksempel:
Sprit har densiteten 0.789 g/cm3. Vi vil beregne vægten af 0.5 liter sprit:
Dette gøres ved i en mathbox at skrive
0.789_gm/_cm^3*0.5_L
Som sædvanligt formaterer TI-Interactive det pænt. Resultatet kommer til at se således ud:
TI-Interactive kan også omregne mellem enheder. Hertil bruger man operatoren
(math-paletten):
ved først at trykke
48
som fås
Der er en genvej: Man kan også bare skrive #>.
Hvis man f.eks. vil lave samme udregning som før, men vil have resultatet i gram, så skriver
man (i en mathbox):
0.789_gm/_cm^3*0.5_L#>_gm
(jeg foretrækker genvejs-muligheden #> men resultatet bliver det samme hvis man bruger
TI-Interactive sørger selv for, at det kommer til at se ’pænt’ ud. Her er resultatet:
.
Selvdefinerede enheder
Det er muligt selv at definere andre enheder end dem TI-Interactive kender på forhånd. F.eks.
kender TI-Interactive ikke enheden decimeter, så hvis man i vores eksempel indtastede liter
som dm3 ville resultatet blive mærkeligt:
Vi kunne løse problemet ved først at fortælle TI-Interactive at en decimeter er 10 centimeter.
Dette gøres ved at definere enheden _dm på samme måde, som vi før definerede konstanter
og funktioner: Man skriver (i en mathbox):
_dm:=10_cm
(Man må gerne bruge symbolet
i math-paletten).
49
Dette skal (naturligvis) gøres før man benytter den nye enhed. Resultatet kommer til at se
således ud:
Prædefinerede konstanter
TI-Interactive kender også en lang række konstanter. Her er nogle eksempler:
_g
_c
_q
_me
_mp
_mn
_Na
_Gc
=
=
=
=
=
=
=
=
9.80665_m/_s2
2.99792458e8_m/_s
1.60217733e-19_coul
9.1093897e-31_kg
1.6726231e-27_kg
1.6749286e-27_kg
6.0221367e23 /_mol
6.67259e-11_m3/_kg/_s2
Tyngdeaccelerationen
lyshastigheden
elenktonens ladning
elektronens vægt
protonens vægt
neutronens vægt
Advogadros konstant
gravitationskonstanten
Man regner med disse tal fuldstændig som man regner med de konstanter man selv har
defineret.
Her følger et eksempel:
Når en sten falder gælder der følgende sammenhæng mellem stenens hastighed og den tid,
den falder:
v = g ⋅t
Hvor v er hastigheden, t er tiden og g er tyngdeaccelerationen. Vi vil udregne hastigheden
efter et fald på 1.5 sekunder. Dette gøres ved (i en mathbox) at indtaste:
g*1.5_s
Resultatet bliver:
Hvis vi vil omregne resultatet til km pr. time skriver vi bare
g*1.5_s#>_km/_hr
Resultatet bliver så:
50
Appendiks
Appendiks A: Problemer med decimaltegn (specielt i lister)
Problem.
Hvis man har problemer med, at tal sommetider vises helt forkert i Data Editoren (der hvor
man kan indtaste lister), skyldes det formodedigt, at man i USA bruger punktum som
decimal-tegn og komma til at inddele et tal, mens vi i Danmark gør det lige omvendt (f.eks.
kan 1 million kroner skrives 1.000.000,00 kr.. I USA ville man skrive 1,000,000.00 kr.).
Problemet kan ses i følgende eksempel: Jeg har lavet en liste med tallene {1, 2, 3} i listen L1
og udregner tallene i listen L2 med formlen ’1/L1’.
Som man kan se, bliver det ene af tallene vist lidt mærkeligt. Programmet regner rigtigt nok.
Det kan ses ved at skrive L1 i en Mathbox. Så vises følgende resultat
hvor man kan se, at det 3. tal i liste L2 faktisk er 1/3.
Grafer med tallene i listen vises også rigtigt.
Løsning.
Løsningen kræver desværre, at man ændre på Windows indstillinger. Dette har ikke kun
indflydelse på TI-Interactive, men også på alle andre programmer.
Advarsel: Hvis man bruger f.eks. Home Banking fra den samme computer, så er det nok
bedst ikke at ændre noget.
Her følger løsningen (I Windows XP. I andre versioner af Windows gør man noget
tilsvarende):
Luk først TI-Interactive. Åben dernæst ”kontrolpanel” og vælg muligheden ”Internationale og
sproglige indstillinger”. Man får så nedenstående vindue (det til venstre). Her klikker man på
knappen ”Tilpas…”. Dette åbner vinduet til højre.
51
Her indtaster man som decimal-tegn et punktum, og som Ciffergruppeseparator et komma.
Næste gang TI-Interactive startes, vil problemet være løst.
Eksemplet fra før vil nu vise listerne rigtigt:
52
Appendiks B: Knapper og genvejstaster
Dokument-vinduet
Math Box (Crtl+M)
Den vigtigste enkeltdel i TI-Interactive er nok math-boxen. Denne bruger både til at
skrive formler (hvis TI-Interactive bare skal bruges til tekstbehandling), til at lave
udregninger med, til at definere konstanter og funktioner, og til meget mere.
Mode Settings (F9)
Bruges til hurtig indstilling af antallet af decimaler og lignende
Graph (Crtl+G)
Tegning af grafer for funktioner og indtegning af tal i lister i et koordinat-system
Table (Crtl+T)
Udregning af tabeller med tal udregnet med funktioner
List
Lister til at skrive tal i. Tallene kan senere indtagnes i koordinat-system eller bruges
ved beregninger
Matrix
Det kommer vi vist ikke til at bruge
Regneark
Starter et indbygget regneark
Beregningsværktøj
Bruges til at beregne bedste rette linje eller (ud fra tal i lister). Kan også lave simple
statistiske beregninger (middelværdi, spredning,…)
Statistiske test
Laver mere avancerede statistiske test (det får vi vist ikke brug for)
Slider kontrol
Opretter en variabel, som let kan ændres med slideren. I det følgende vil jeg kalde
sådanne variable ’slider-variable’ eller ’slider-konstanter’
TI DeviceExplore
Bruges sammen med lommeregner
Screen Capture
Bruges sammen med lommeregner
Quick Data Tool
Bruges sammen med CBL eller CBR (fysik)
Web browser
Starter en indbygget internet-browser med genveje som er nyttige i TI-Interactive
sammenhæng
Email
Starter dit mail-program med TI-Interactive filen som vedhæftet fil
53
Vigtige genvejstaster
Crtl+K
Indsætter Math Section Break (bør sættes mellem opgaver).
Crtl+Enter Sideskifte.
F1
Hjælp. Åbner hjælpen, og slår op på det aktuelle emne.
54