اتصال الدوال العددية a lim ( ) f x lim ( ) f x a ∀ ∈
اتصال الدوال العددية -1نعتبر الدالة العددية fالمعرفة على أ)احسب بما يلي : ax 2 3 ; x 1 f ( x) x 1 ; x 1 x 1 ( aعدد حقيقي معلوم) ) lim f ( xو )lim f ( x x1 x1 ب)حدد قيمة العدد الحقيقي aلكي تكون الدالة fمتصلة في . 1 1 -2ادرس اتصال الدالة العددية ) E : x E ( xفي النقطتين x0 1و 2 1 2 ; x0 x sin -3نعتبر الدالة العددية fالمعرفة على بما يلي : f ( x) x f (0) 0 . x1 أ)بين أن : f ( x) x x 1,1 ت)استنتج أن الدالة fمتصلة في . 0 -4نعتبر الدالة العددية fالمعرفة على بما يلي : x2 1 1 ; x0 f ( x) x f (0) 0 ادرس اتصال الدالة fعلى اليمين و على اليسار في . 0 -5نضع : x ; x0 . g ( x) xادرس اتصال الدالة gعلى اليمين في . 0 g (0) 0 -6هل يمكن تمديد الدالة fباالتصال في النقطة x0؟ 1 أ) x 1 cos 2 x د) f ( x) و x0 0 ه) f ( x) (1 sin x) tan 2x 3x 2 x 2 3x 1 f : x متصلة على -7أ)بين أن الدالة x2 1 g : x 2 sin xمتصلة على ب) بين أن الدالة f ( x) x sin ج)ادرس اتصال الدالة و x0 0 1 1 sin x x ب) f ( x) و x0 0 x ج) و 2 cos 2 f ( x) و x0 1 x 1 x0 2 h : x 3x 1على 1 n -8لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم nنضع : un 1 أ)بين أن المتتالية un n1متقاربة و أن : lim un 1 ب) بين أن المتتالية vn n1متقاربة و أن : lim vn 0 1 و vn E 1 n n n ج)استنتج أن الدالة ) E : x E ( xغير متصلة في . 1 x 2 3x 1 -9احسب النهايات التالية : 2 x2 1 lim x x2 1 limsin و x1 x 1 1 2 و lim xE 2 x x 1 tan x و x2 x 2 lim 4 -12أ)بين أن المعادلة x : x x4 تقبل على األقل حال واحدا في المجال 1,2 ب)بين أن كل دالة حدودية درجتها فردية تقبل على األقل جذرا حقيقيا . ج)بين أن المعادلة: x2 cos x x sin x 1 0تقبل على األقل حال واحدا في x I ( x I بمعنى أن -11أ) لتكن fدالة عددية متصلة على مجال Iبحيث f ( x) 0 : بين أن : x I f ( x) 0 ب)حدد إشارة الدالة fالمعرفة على f ( x) 0 أو . fال تغير إشارتها على المجال ) I بما يليf ( x) x x 2 1 : -12لتكن fدالة عددية متصلة على مجال ( I a, bمجال محدود ومغلق) أ)بين أنه إذا كانت الدالة fتحقق f ( I ) Iفإنها تقبل على األقل نقطة ثابتة في المجال f ( x0 ) x0 . I ie x0 I : ب) بين أنه إذا كانت الدالة fتحقق ) I f ( Iفإنها تقبل على األقل نقطة ثابتة في المجال . I ج) من خالل دراسة المثال: f (x) sin xو I 0,1تحقق أن الشرط " I مجال محدود و مغلق" ضروري. 1 1 -13أ) لتكن fدالة متصلة على المجال . I 0,1بين أنه يوجد cمن المجال Iبحيث : c c 1 1 c ب) لتكن fدالة متصلة على المجال 0,1بحيث f (0) 0 :و . f (1) 1بين أن : f (c ) 1 c f (c ) ج)لتكن f : a, متصلة بحيث f (a) 0 : c 0,1 l و . lim f ( x) l 0بين أنه يوجد عدد حقيقي cبحيث : x 2 - 14لتكن fدالة عددية متصلة على المجال 1, 2بحيث f 1, 2 1, 2 : و نضع g ( x) xf ( x) 2 : x 1,2 أ) تحقق أن g (1) 0 :و g (2) 0 ب) بين أنه يوجد عدد حقيقي cمن المجال 1, 2 -15أ) بين أن المتتالية un nالمعرفة بما يلي : 2 يحقق : c f (c ) n u0 و un1 un2 1 ب)حدد النهايات الممكنة للمتتالية un nفي الحالتين التاليتين : -16نعتبر المتتالية الترجعية un nالمعرفة بما يلي u0 1 : 1 un u0 0 ; un1 2 2un 3 و un 2 un1 غير متقاربة (متباعدة) و u0 0 ; un1 un 5 n n 0 -1أ)بين أن un 1, 3 : ب)تحقق أن المتتالية un nرتيبة . -2أ)بين أن un nمتقاربة و أن نهايتها ال يمكن أن تكون إال 1أو 3 ب)بين أن lim un 3 : n -17ليكن nعدد صحيح طبيعي غير منعدم .نعتبر المعادلة أ)بين أنه يوجد عدد حقيقي وحيد nحل للمعادلة . En 1 n En : x3 5 x 1 ب)ادرس رتابة المتتالية . n n ج)بين أن المتتالية n nمتقاربة و حدد نهايتها . -18ليكن nعدد صحيح طبيعي غير منعدم .نعتبر الدالة العددية f nالمعرفة على أ)بين أن المعادلة f n ( x) 1تقبل حال وحيدا nفي المجال . 0,1 2 f (c ) بما يلي f n ( x) x x 2 ...... x n : ب)ادرس رتابة المتتالية . n n ج)بين أن n nمتقاربة . د)بين أن lim n 0 :ثم استنتج نهاية المتتالية n n -19نعتبر الدالة العددية fالمعرفة على \ 1 n n بما يلي : 2x 1 x 1 f ( x) انتباه هناك خطأ -1ادرس تغيرات الدالة . f -2نعتبر المتتالية un nالمعرفة بما يلي u0 \ 1 : أ) تحقق أن f 1, 1, : 2un 1 و un 1 un1 n و أن f ,1 ,1 3 13 3 13 أو ب) بين أنه إذا كانت المتتالية un nمتقاربة فإن نهايتها الممكنة هي 2 2 ج) بين أنه إذا كان u0 1فإن المتتالية un nمتقاربة ثم حدد نهايتها. -22لتكن fدالة عددية متصلة و تناقصية قطعا على المجال 0,1بحيث f (1) 0 : لكل عدد صحيح طبيعي غير منعدم nنضع gn ( x) f ( x) x n : -1أ)بين أن الدالة g n x 0,1 متصلة و تناقصية قطعا على المجال 0,1 ب)بين أن المعادلة g n ( x) 0 :تقبل حال وحيدا nفي المجال . 0,1 -2أ)تحقق أن gn1 ( x) gn ( x) 0 : x 0,1 ب)بين أن المتتالية n nرتيبة قطعا. ج)استنتج أن المتتالية n nمتقاربة . د) بين أن lim n 0 :ثم حدد نهاية المتتالية . n n n x 1 sin ; x 0 ( f ( x) x حيث بما يلي : -21نعتبر الدالة العددية fالمعرفة على f (0) a 1 1 un و لكل عدد صحيح طبيعي nنضع : vn 2n 2n 2 2 -1تحقق أن lim un lim vn 0 :وأن f (un ) 1و f (vn ) 1 n n -2استنتج أن الدالة fغير متصلة في . 0 3 ) a
© Copyright 2024