1. No category

‫‪ n‬ﻣﻠﺨﺺ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺎت ﻓﻲ ‪n Z‬‬
‫دروس اﻟﺪﻋﻢ و اﻟﺘﻘﻮﻳﺔ‬
‫ﻣﺎ دة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫‪ -I‬اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ‪: Z‬‬
‫‪∀(a , b ) ∈ Z ∃ !(q, r ) ∈ Z × IN / a = b q + r‬‬
‫ﺑﺤﻴﺚ ‪. 0 ≤ r 〈 b‬‬
‫‪ c‬ﻋﻨﺪﻣﺎ ﻧﺤﺪد اﻟﺰوج ) ‪ (q, r‬ﻧﻘﻮل أﻧﻨﺎ أﺟﺮیﻨﺎ أﺟﺮیﻨﺎ‬
‫اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ل ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪. b‬‬
‫‪ a d‬یﺴﻤﻰ اﻟﻤﻘﺴﻮم و ‪ b‬اﻟﻤﻘﺴﻮم ﻋﻠﻴﻪ و ‪ q‬اﻟﺨﺎرج و ‪r‬‬
‫اﻟﺒﺎﻗﻲ ‪.‬‬
‫‪- -II‬ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ ﻓﻲ ‪: Z‬‬
‫‪ c‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻓﻲ ‪.Z‬‬
‫‪ a ) ⇔ ∃k ∈ Z / b = ka‬یﻘﺴﻢ ‪. a / b (b‬‬
‫‪∀a ∈ Z‬‬
‫‪:‬‬
‫‪a /a‬‬
‫‪d‬‬
‫‪2‬‬
‫*‬
‫‪n‬‬
‫‪∀(a , b )∈ Z ∀n ∈ IN : a / b ⇒ a / b e‬‬
‫‪ b a ⇔ a = b f‬و ‪∀(a , b )∈ Z 2 : a b‬‬
‫*‬
‫‪2‬‬
‫‪∀(a , b, c )∈ Z 3 5‬‬
‫‪ d b ⇒ ∀(α, β ) ∈ Z 2 : d αa + βb‬و ‪d / a‬‬
‫‪ -III‬اﻟﻤﻮاﻓﻘﺔ ﺑﺘﺮدﻳﺪ‪:‬‬
‫‪a ≡ b [n ] ⇔ a − b = kn (k ∈ Z) ⇔ n a − b c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪5‬‬
‫] ‪a ≡ b [n ] ⇔ ac ≡ bc [n‬‬
‫] ‪a ≡ b [n ] ⇔ a + c ≡ b + c [n‬‬
‫] ‪⎧a ≡ b [n‬‬
‫] ‪⇔ ac ≡ bd [n‬‬
‫⎨‬
‫] ‪⎩c ≡ d [n‬‬
‫] ‪⎧a ≡ b [n‬‬
‫] ‪⇔ a + c ≡ b + d [n‬‬
‫⎨‬
‫] ‪⎩c ≡ d [n‬‬
‫‪ -IV‬اﻟﻘﺎﺱﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ‪:‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ d‬ﻓﻲ ‪. Z‬‬
‫‪ d c‬ﻗﺎﺱﻢ ﻣﺸﺘﺮك ل ‪ a‬و‪ b‬یﻌﻨﻲ أن ‪ d a :‬و ‪. d b‬‬
‫‪ d‬أآﺒﺮ ﻗﺎﺱﻢ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻮﺟﺐ ﻟﻠﻌﺪدیﻦ ‪ a‬و ‪ b‬یﺴﻤﻰ اﻟﻘﺎﺱﻢ‬
‫اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ ل ‪ a‬و ‪ b‬و یﺮﻣﺰ ﻟﻪ ب ‪:‬‬
‫‪ a ∧ b‬أو ) ‪ pgdc (a , b‬أو ) ‪∆(a ; b‬‬
‫‪ db‬و ‪d = a ∧b ⇒ da‬‬
‫‪e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪7‬‬
‫‪8‬‬
‫‪9‬‬
‫‪⎧⎪d ' a‬‬
‫‪⇒ d' a ∧ b‬‬
‫⎨‬
‫‪⎪⎩d ' b‬‬
‫‪ a‬و‪ b‬أوﻟﻴﺎن ﻓﻴﻤﺎ ﺑﻴﻨﻬﻤﺎ ⇔ ‪a ∧ b = 1‬‬
‫‪⎧∃(a' , b') ∈ Z 2 / a' ∧ b' = 1‬‬
‫⎨ ⇔‪d =a∧b‬‬
‫'‪ b = d.b‬و '‪⎩a = d.a‬‬
‫‪d = a ∧ b ⇒ ∃(u, v ) ∈ Z 2 / d = ua + vb‬‬
‫‪(bezout) a ∧ b = 1 ⇔ ua + vb = 1‬‬
‫‪ b c‬و ‪⎧a c‬‬
‫‪⇒ ab c‬‬
‫⎨‬
‫‪⎩a ∧ b = 1‬‬
‫‪[email protected]‬‬
‫اﻷﺱﺘﺎذ ‪ :‬ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬
‫ﻗﺴﻢ ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ‪.‬رﻳﺎﺿﻴﺔ‬
‫‪⎧d / ab‬‬
‫⎨ ‪(Gauss) ∀(a , b, c ) ∈ Z 3 :‬‬
‫‪⇒ d/bl‬‬
‫‪⎩d ∧ a = 1‬‬
‫‪⎧a ∧ b = 1‬‬
‫‪⇔ a ∧ bc = 1 cc‬‬
‫⎨ ‪∀(a; b; c ) ∈ Z‬‬
‫‪⎩a ∧ c = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪∀(n , m ) ∈ IN * : a ∧ b = 1 ⇔ a n ∧ b n = 1 cd‬‬
‫‪[a = bq + r / 0 ≤ r ≤ b] ⇒ a ∧ b = b ∧ r‬‬
‫‪ce‬‬
‫‪ -V‬اﻟﻤﻀﺎﻏﻒ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ‪:‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬و‪ m‬ﻣﻦ ‪. Z‬‬
‫‪ m c‬ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﺸﺘﺮك ل ‪ a‬و ‪ a / m ⇔ b‬و ‪b / m‬‬
‫‪ d‬أﺻﻐﺮ ﻣﻀﺎﻋﻒ ﻣﺸﺘﺮك ﻣﻮﺟﺐ ﻟﻠﻌﺪدیﻦ ‪ a‬و ‪ b‬یﺴﻤﻰ‬
‫اﻟﻤﻀﺎﻋﻒ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷﺻﻐﺮ ل ‪ a‬و ‪ b‬و یﺮﻣﺰ ﻟﻪ ب ‪:‬‬
‫‪ a ∨ b‬أو ) ‪ppcm(a; b‬‬
‫‪ b/m e‬و ‪m = a ∨ b ⇒ a /m‬‬
‫‪⎧⎪a c‬‬
‫⎨ ‪∀(a , b, c ) ∈ Z 3 :‬‬
‫‪⇒ (a ∨ b ) c f‬‬
‫‪⎪⎩b c‬‬
‫‪∀(a , b, c ) ∈ Z 2 : (a ∨ b )(a ∧ b ) = a.b 5‬‬
‫‪ -VI‬اﻷﻋﺪاد اﻷوﻟﻴﺔ‪:‬‬
‫‪ c‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ d‬ﻓﻲ‪ . Z‬ﻧﻘﻮل إن ‪ d‬ﻗﺎﺱﻢ ﻓﻌﻠﻲ ل ‪a‬‬
‫إذا آﺎن ‪ d‬یﻘﺴﻢ ‪ a‬و یﺨﺎﻟﻒ اﻷﻋﺪاد ‪-1 ، 1 ، -a ، a :‬‬
‫‪ d‬ﻧﻘﻮل أن ﻋﺪدا ﺻﺤﻴﺤﺎ ﻧﺴﺒﻴﺎ ‪ a‬أوﻟﻲ إذا آﺎن ﻣﺨﺎﻟﻒ ل‬
‫‪ 1‬و ‪ -1‬و ﻟﻴﺲ ﻟﻪ ﻗﻮاﺱﻢ ﻓﻌﻠﻴﺔ ‪.‬‬
‫‪ /‬ﻣﻠﺤﻮﻇﺔ ‪:‬‬
‫ اﻷ ﻋﺪاد ‪ 1 ، -1 ،0 :‬ﻟﻴﺴﺖ أوﻟﻴﺔ ‪.‬‬‫ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻷﻋﺪاد اﻷوﻟﻴﺔ ﻻ ﻣﻨﺘﻬﻴﺔ ‪.‬‬‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ p‬ﻋﺪد أوﻟﻲ ‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫‪pa ⇒ pa‬‬
‫‪e‬‬
‫‪f‬‬
‫‪ p b‬أو ‪p ab ⇒ p a‬‬
‫‪p a 1 × a 2 ....... × a n ⇒ ∃i ∈ {1,...., n} : p a i 5‬‬
‫‪6‬‬
‫‪p∧a = p ⇒ p a‬‬
‫‪7‬‬
‫‪p¬ a ⇒ p ∧a =1‬‬
‫‪ -VII‬ﺥﻮارزﻣﻴﺔ إﻗﻠﻴﺪس‪:‬‬
‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬ﻓﻲ ‪ IN‬ﺑﺤﻴﺚ ‪. a 〉 b :‬‬
‫ﻧﻨﺠﺰ اﻟﻘﺴﻤﺔ ل ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪: b‬‬
‫‪ a = bq 0 + r0‬و ‪0 ≤ r0 ≤ b‬‬
‫*إذا آﺎن ‪r0 = 0 :‬‬
‫ﻓﺈن ‪ b a :‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪. a ∧ b = b :‬‬
‫* إذ اآﺎن ‪0 〈 r0 〈 b :‬‬
‫ﻧﻨﺠﺰ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ل ‪ b‬ﻋﻠﻰ ‪. r0‬‬
‫‪ b = r0 q 1 + r1‬و ‪. 0 ≤ r1 〈 r0 〈 b‬‬
‫* إذا آﺎن ‪r1 = 0 :‬‬
‫‪ o‬ﻣﻠﺨﺺ اﻟﺤﺴﺎﺑﻴﺎت ﻓﻲ ‪o Z‬‬
‫دروس اﻟﺪﻋﻢ و اﻟﺘﻘﻮﻳﺔ‬
‫ﻣﺎ دة اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬
‫ﻓﺈن ‪ r0 b :‬و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪. a ∧ b = b ∧ r0 = r0 :‬‬
‫* إذا آﺎن ‪r1 ≠ 0 :‬‬
‫ﻧﻨﺠﺰ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ل ‪ r0‬ﻋﻠﻰ ‪. r1‬‬
‫‪ r0 = r1q 2 + r2‬و ‪. 0 ≤ r2 ≤ r1‬‬
‫* ﺑﻌﺪ إﻋﺎدة ﻧﻔﺲ اﻟﻄﺮیﻘﺔ ﻋﺪة ﻣﺮات ﺱﻮف ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ‬
‫ﺑﺎق ﻣﻨﻌﺪم و اﻟﻘﺎﺱﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك ل و أﺥﺮ ﺑﺎﻗﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ‪.‬‬
‫‪ - VIII‬ﺕﻔﻜﻴﻚ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم إﻟﻰ ﺟﺪاء‬
‫ﻋﻮاﻣﻞ أوﻟﻴﺔ ‪:‬‬
‫‪c‬آﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ ‪ n‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ﻣﺨﺎﻟﻒ ل‪ 1‬و‪-1‬‬
‫یﻤﻜﻦ أن یﻜﺘﺐ ﺑﻜﻴﻔﻴﺔ وﺡﻴﺪة ﻋﻠﻰ اﻟﺸﻜﻞ ‪:‬‬
‫‪n = ε × p1α1 × p α2 2 × ........ × p αr r‬‬
‫)‪(ε = ±1‬‬
‫ﺡﻴﺚ ‪ p1 :‬و ‪ p 2‬و ‪.....‬و ‪ p r‬أﻋﺪاد أوﻟﻴﺔ ﻣﻮﺟﺒﺔ و‬
‫ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﻨﻰ ‪ ،‬ﻣﺜﻨﻰ ‪.‬‬
‫‪ α 1‬و ‪ α 2‬و‪ ......‬و ‪ α r‬أﻋﺪاد ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻃﺒﻴﻌﻴﺔ ﻏﻴﺮ‬
‫ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ‪.‬‬
‫‪ d‬إذا آﺎن‬
‫‪αi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ a = ∏ pi‬و‬
‫‪βi‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪b = ∏ pi‬‬
‫اﻷﺱﺘﺎذ ‪ :‬ﻋﻠﻲ اﻟﺸﺮﻳﻒ‬
‫ﻗﺴﻢ ‪ :‬اﻟﺜﺎﻧﻴﺔ ﺑﺎك ﻋﻠﻮم ‪.‬رﻳﺎﺿﻴﺔ‬
‫‪ – X‬ﻧﻈﻤﺎت اﻟﻌﺪ‪:‬‬
‫‪ c‬ﻟﻴﻜﻦ ‪ x‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ﺑﺤﻴﺚ ‪:x ≥2‬‬
‫آﻞ ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻃﺒﻴﻌﻲ ‪ b‬یﻤﻜﻦ أن یﻜﺘﺐ ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ ‪:‬‬
‫‪b = a n .x n + a n −1 .x n −1 + .... + a 1 .x + a 0‬‬
‫ﺡﻴﺚ ‪ a n ≠ 0‬و ]‪∀i ∈ [0 ; n ] : a i ∈ [0 ; n - 1‬‬
‫و ﻧﻜﺘﺐ ﺑﺼﻴﻐﺔ ﻣﺨﺘﺼﺮة ‪:‬‬
‫) ‪(n‬‬
‫) ‪(n‬‬
‫‪b = a n a n −1 ....a 1a 0‬‬
‫ﻧﻘﻮل أن ‪ a n a n −1 ....a 1a 0‬هﻮ اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﻤﺨﺘﺼﺮ ﻟﻠﻌﺪد ‪b‬‬
‫ﻓﻲ ﻧﻈﻤﺔ اﻟﻌﺪ ذات اﻷﺱﺎس ‪. x‬‬
‫‪ d‬إذا آﺎن و ﻣﻦ ﻣﻤﺜﻠﻴﻦ ﻓﻲ ﻧﻈﻤﺔ اﻟﻌﺪ ب ‪:‬‬
‫) ‪ x = a n a n −1 .....a 1a 0 (b‬و ) ‪y = c m c m −1 .....c1c 0 (b‬‬
‫و آﺎن‪ m 〉 n :‬ﻓﺈن ‪. y 〉 x :‬‬
‫‪ e‬إذا آﺎن ‪:‬‬
‫) ‪ x = a n a n −1 .....a 1a 0 (b‬و ) ‪y = c n c n −1 .....c1c 0 (b‬‬
‫و ‪c i +1 = a i +1 ، c n −1 = a n −1 ، c n = a n‬‬
‫و ‪ c i ≠ a i‬ﻓﺈن ﺕﺮﺕﻴﺐ ‪ x‬و ‪ y‬هﻮ ﻧﻔﺲ ﺕﺮﺕﻴﺐ ‪ a i‬و ‪c i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫) ‪ p i‬أﻋﺪاد ﻣﺨﺘﻠﻔﺔ ﻣﺜﻨﻰ ﻣﺜﻨﻰ‪.‬‬
‫و ‪ α i ; β i ∈ IN‬و ‪ 1 ≤ i; j ≤ n‬ﻓﺈن‪:‬‬
‫) ‪inf (α i ;βi‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ a ∧ b = ∏ pi‬و‬
‫) ‪sup (α i ;β i‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪a ∨ b = ∏ pi‬‬
‫‪i =1‬‬
‫‪ - IX‬اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺔ ‪:Z/Nz‬‬
‫‪∀(a ; b ) ∈ Z 2 : a ≡ b[n ] ⇔ a - b = k.n c‬‬
‫اﻟﻌﻼﻗﺔ "≡" ﻋﻼﻗﺔ ﺕﻜﺎﻓﺆ ‪.‬‬
‫‪ d‬ﺻﻨﻒ ﺕﻜﺎﻓﺆ ‪: (x ∈ Z) x‬‬
‫}] ‪ x = {y ∈ Z / y ≡ x [n‬أو‬
‫}‪x = {x + k.n / k ∈ Z‬‬
‫‪ e‬ﻣﺤﻤﻮﻋﺔ أﺻﻨﺎف اﻟﺘﻜﺎﻓﺆ ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻌﻼﻗﺔ "≡" ﺕﻜﺘﺐ‬
‫ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ ‪ Z / nZ‬ﺡﻴﺚ ‪Z / nZ = 0 ; 1 ;...; (n - 1) :‬‬
‫}‬
‫‪f‬‬
‫{‬
‫) (‬
‫‪∀ x ; y ∈ Z / nZ × Z / nZ :‬‬
‫‪x + y=x + y ; x×y=x×y‬‬
‫(‬
‫)‬
‫‪(Z / nZ ; + ; ×) h‬‬
‫‪ Z / nZ ; + g‬زﻣﺮة ﺕﺒﺎدﻟﻴﺔ ‪.‬‬
‫ﺡﻠﻘﺔ ﺕﺒﺎدﻟﻴﺔ وواﺡﺪیﺔ وﺕﻜﻮن ﺟﺴﻢ‬
‫إذاآﺎن ‪ n‬أوﻟﻲ ‪.‬‬
‫‪ a i‬ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﻠﺐ ﻓﻲ ‪a ∧ n = 1 ⇔ Z / nZ‬‬
‫)ﻗﺎﺑﻞ ﻟﻠﻘﻠﺐ یﻌﻨﻲ‪( ∃ x ∈ Z / nZ / x × a = a × x = 1 :‬‬
‫یﻘﻮم ﺑﻌﻤﻞ ﻋﻈﻴﻢ ذاك اﻟﺬي ﻻیﺆﺟﻞ ﻋﻤﻞ اﻟﻴﻮم إﻟﻰ اﻟﻐﺪ‬
‫‪[email protected]‬‬
‫‪Baltasar Graci 1601-56 Spanish‬‬