1. No category

ìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ðîññèéñêîé åäåðàöèè
Ôåäåðàëüíîå àãåíòñòâî ïî îáðàçîâàíèþ
Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò
(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)
Êàåäðà îáùåé èçèêè
ÌÅÒÎÄ ÝËÅß ÄËß ÅØÅÍÈß
ÇÀÄÀ×È ÄÈÔÀÊÖÈÈ
ÍÀ ÓËÜÒÀÇÂÓÊÎÂÎÉ ÂÎËÍÅ
Ê ëàáîðàòîðíîé ðàáîòå  4.3.2 (5.14)
ïî êóðñó Îáùàÿ èçèêà
ÌÎÑÊÂÀ 2009
1. Ââåäåíèå
Ìåòîäè÷åñêàÿ ðàçðàáîòêà ïîñâÿùåíà ëàáîðàòîðíîé ðàáîòå 4.3.2 (5.14)
¾Äèðàêöèÿ ñâåòà íà óëüòðàçâóêîâîé âîëíå â æèäêîñòè¿. Çàäà÷à äèðàêöèè íà ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðå ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ýëåÿ êàê êðàåâàÿ çàäà÷à.  ìåòîäå ýëåÿ âîëíîâîå ïîëå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ âîëí. Íàãëÿäíî èëëþñòðèðóåòñÿ ìåòîä âåêòîðíûõ äèàãðàìì ïðè íàõîæäåíèè ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, ïðîèçâîäèòñÿ ñðàâíåíèå àìïëèòóäíîé è àçîâîé ðåø¼òîê.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðû ðàññìàòðèâàåòñÿ ñòîÿ÷àÿ óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà â æèäêîñòè, êîòîðóþ ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê àçîâóþ ðåø¼òêó
â èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
2. Äèðàêöèÿ ñâåòà íà îäíîìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé
ñòðóêòóðå
 ëàáîðàòîðíîé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ äèðàêöèÿ ñâåòà íà óëüòðàçâóêîâîé âîëíå â æèäêîñòè. Óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà â æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðû. Ïîä ¾ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðîé¿ çäåñü ïîíèìàåòñÿ ïðåïÿòñòâèå, ñòîÿùåå íà ïóòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ
âîëíû, îáëàäàþùåå ñâîéñòâîì ïåðèîäè÷íîñòè. Óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà â
æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðîé â èêñèðîâàííûé ìîìåíò
âðåìåíè, íàøè ðàññóæäåíèÿ áóäóò ïðèìåíèìû èìåííî äëÿ óëüòðàçâóêîâîé âîëíû â èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðè äèðàêöèè ïëîñêîé âîëíû íà áåñêîíå÷íîé ïåðèîäè÷åñêîé ñòðóêòóðå âîçíèêàåò ìíîæåñòâî
ïëîñêèõ âîëí, ïðè÷¼ì èõ íàïðàâëåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ èç óñëîâèÿ ñèíàçíîñòè êîëåáàíèé, èñïóñêàåìûõ ïåðèîäè÷íî ðàñïîëîæåííûìè ó÷àñòêàìè.
Ñëó÷àé äèðàêöèè, ïðè êîòîðîì ïîëå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ñóïåðïîçèöèÿ ïëîñêèõ âîëí, íîñèò íàçâàíèå äèðàêöèè Ôðàóíãîåðà (äèðàêöèè
â ïàðàëëåëüíûõ ëó÷àõ). Åñëè ðàñïîëîæèòü íà ïóòè ïëîñêîé âîëíû êþâåòó, â êîòîðîé ñîçäà¼òñÿ ñòîÿ÷àÿ óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà, íà âûõîäå êþâåòû áóäåò íåñêîëüêî ïëîñêèõ âîëí ñ ðàçëè÷íûì íàïðàâëåíèåì âîëíîâûõ
âåêòîðîâ. Òàêèì îáðàçîì, âîëíîâîå ïîëå çà êþâåòîé ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñóïåðïîçèöèè ïëîñêèõ âîëí; äàííîå ïðåäñòàâëåíèå íîñèò
íàçâàíèå ïðîñòðàíñòâåííîãî ñïåêòðàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ.  ðàáîòå ïëîñêàÿ âîëíà ñîçäà¼òñÿ ñ ïîìîùüþ ëèíçû O1 è ùåëè S , ðàñïîëîæåííîé â
å¼ îêàëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 1).  ñèëó êîíå÷íûõ ïîïåðå÷íûõ ðàçìåðîâ
ëèíçû, à òàêæå òîãî, ÷òî øèðèíà ùåëè íå ìîæåò áûòü áåñêîíå÷íî ìàëà,
âîëíà ïîñëå âûõîäà èç ëèíçû O1 ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîé ëèøü ïðèáëèæ¼ííî.
Ïîýòîìó, ñòðîãî ãîâîðÿ, âîëíîâîå ïîëå ïîñëå âûõîäà èç ëèíçû ïðåäñòàâëÿåò ãðóïïó ïëîñêèõ âîëí, âîëíîâûå âåêòîðû êîòîðûõ â êàæäîé ãðóïïå
ñëàáî îòëè÷àþòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ.
3
Q
Ê
Ë
Ô
O1
F
CO2
Ì
S
Ï
èñ. 1. Ñõåìà óñòàíîâêè äëÿ íàáëþäåíèÿ âîëíîâîãî ïîëÿ
Ïëîñêîñòü íàáëþäåíèÿ åñòü îêàëüíàÿ ïëîñêîñòü F ëèíçû Î2.  ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ âîëíû â êþâåòå, â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ ìîæíî âèäåòü
èçîáðàæåíèå ùåëè. Åñëè â êþâåòå ñîçäà¼òñÿ óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà, â
ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ âîçíèêàåò êàðòèíà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïðîñòðàíñòâåííîìó ñïåêòðàëüíîìó ðàçëîæåíèþ; â äàííîì ñëó÷àå êàðòèíà ïðåäñòàâëÿåò ðàçìíîæåííîå èçîáðàæåíèå ùåëè. Ýòî ñëåäóåò èç òîãî àêòà,
÷òî êàæäàÿ ãðóïïà ïëîñêèõ âîëí íà âûõîäå èç êþâåòû ñîçäà¼ò íîâîå
èçîáðàæåíèå ùåëè (ðèñ. 2).
èñ. 2. Êàðòèíà ïðè íàáëþäåíèè âîëíîâîãî ïîëÿ
 ñëó÷àå, åñëè ìîùíîñòü óëüòðàçâóêîâîé âîëíû äîñòàòî÷íî ìàëà, ðåø¼òêó ìîæíî ñ÷èòàòü ÷èñòî àçîâîé, ïðè÷¼ì èçìåíåíèå àçû ìíîãî
PSfrag replaements
ìåíüøå 1, â ýòîì ñëó÷àå ïîñëå ðåø¼òêè îáðàçóåòñÿ òðè ãðóïïû âîëí (òî
åñòü íàáëþäàåòñÿ òðè èçîáðàæåíèÿ ùåëè). Åñëè ìîùíîñòü âåëèêà, ðåø¼òêà ÿâëÿåòñÿ ñëîæíîé, âîîáùå ãîâîðÿ, àìïëèòóäíî-àçîâîé, íà âûõîäå
îáðàçóåòñÿ íåñêîëüêî ãðóïï ïëîñêèõ âîëí (ñîîòâåòñòâåííî, íàáëþäàåòñÿ
íåñêîëüêî èçîáðàæåíèé ùåëè). Çíàÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó èçîáðàæåíèÿìè
ùåëè è ïàðàìåòðû ëèíç, âîçìîæíî ðàññ÷èòàòü ïåðèîä ðåø¼òêè.
Âîçìîæíî íàáëþäàòü íåïîñðåäñòâåííîå èçîáðàæåíèå ðåø¼òêè. Äëÿ
ýòîãî ñòàâèòñÿ åù¼ îäíà ëèíçà O (ðèñ. 3).
Q
O1
S
a
F
CO2
b
Î
P
b′
Ì
a′
èñ. 3. Ñõåìà óñòàíîâêè äëÿ àêòè÷åñêîãî íàáëþäåíèÿ àçîâîé ðåø¼òêè
4
Ëèíçû O è O2 ñîçäàþò èçîáðàæåíèå âûõîäíîé ïëîñêîñòè C êþâåòû Q
â ïëîñêîñòè P . Äëÿ íàáëþäåíèÿ îáúåêòà òðåáóåòñÿ èçìåíåíèå èíòåíñèâíîñòè â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ. Ôàçîâàÿ ðåø¼òêà íå äà¼ò èçìåíåíèÿ èíòåíñèâíîñòè, ïîýòîìó, íàáëþäàÿ å¼ ñèñòåìîé ëèíç O è O2, ìû óâèäèì
ðàâíîìåðíóþ çàñâåòêó. ×òîáû ðåø¼òêó ìîæíî áûëî íàáëþäàòü, ïðèìåíÿþòñÿ òðè ìåòîäà: ìåòîä ò¼ìíîãî ïîëÿ (èñïîëüçóåìûé â ðàáîòå), ìåòîä
äåîêóñèðîâêè è ìåòîä àçîâîãî êîíòðàñòà.  ìåòîäå ò¼ìíîãî ïîëÿ â
óðüå-ïëîñêîñòü (îêàëüíóþ ïëîñêîñòü) F ëèíçû O2 ïîìåùàåòñÿ ïðîâîëîêà, çàêðûâàþùàÿ öåíòðàëüíûé ìàêñèìóì, â ðåçóëüòàòå ïîëå â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå ãðóïïû ïëîñêèõ âîëí, èíòåðåðåíöèîííóþ êàðòèíó îò êîòîðûõ âîçìîæíî íàáëþäàòü. Â ìåòîäàõ äåîêóñèðîâêè è àçîâîãî êîíòðàñòà òðåáóåòñÿ èçìåíèòü àçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âîëíàìè íà âûõîäå èç ðåø¼òêè, ÷òîáû ïîÿâèëîñü èçìåíåíèå
àìïëèòóäû. Ïðîùå âñåãî ýòî ñäåëàòü, îòîäâèãàÿ ïëîñêîñòü íàáëþäåíèÿ;
äàííûé ìåòîä íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà äåîêóñèðîâêè. Åñëè íà âûõîäå
èç ðåø¼òêè ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ òðè âîëíû ñ êîìïëåêñíûìè àìïëèòóäàìè, ïðîïîðöèîíàëüíûìè eikz , ei(kz cos θ+kx sin θ), ei(kz cos θ−kx sin θ), òî, ñìåùàÿ ïëîñêîñòü íàáëþäåíèÿ íà ðàññòîÿíèå △z , k△z(1 − cos θ) = π/2 + 2πn,
ìû äîáèâàåìñÿ àçîâîãî ñäâèãà íà π/2, òî åñòü êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû
áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû ñ òî÷íîñòüþ äî îáùåãî àçîâîãî ìíîæèòåëÿ
eikz eiπ/2 , ei(kz cos θ+kx sin θ) , ei(kz cos θ−kx sin θ) . Ýòî åñòü èçîáðàæåíèå àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè, êîòîðóþ âîçìîæíî íàáëþäàòü ïî èçìåíåíèþ èíòåíñèâíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî ýòî åñòü àíàëîã ñàìîðåïðîäóêöèè.  ñëó÷àå ìåòîäà
àçîâîãî êîíòðàñòà â óðüå-ïëîñêîñòü ëèíçû O2 â îáëàñòü öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà ïîìåùàåòñÿ ïëàñòèíêà, âíîñÿùàÿ íàáåã àçû äëÿ âîëíû,
ñîîòâåòñòâóþùåé öåíòðàëüíîìó ìàêñèìóìó, â ýòîì ñëó÷àå â ïëîñêîñòè
íàáëþäåíèÿ îðìèðóåòñÿ èçîáðàæåíèå àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè.
Îäíàêî, âèäíîñòü èíòåðåðåíöèîííîé êàðòèíû â ñëó÷àå ìåòîäà ò¼ìíîãî ïîëÿ áóäåò ñóùåñòâåííî âûøå âèäíîñòè äëÿ ìåòîäîâ äåîêóñèðîâêè
è àçîâîãî êîíòðàñòà (âî âòîðîì è òðåòüåì ñëó÷àå íàêëàäûâàåòñÿ çàñâåòêà îò öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà). Ïîìèìî êà÷åñòâåííîãî îòëè÷èÿ âèäíîñòè, ãëàâíîå îòëè÷èå â êàðòèíàõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî, òîãäà êàê â
ìåòîäàõ äåîêóñèðîâêè è àçîâîãî êîíòðàñòà ìû íàáëþäàåì íåïîñðåäñòâåííîå èçîáðàæåíèå ðåø¼òêè, â ìåòîäå ò¼ìíîãî ïîëÿ ìû íàáëþäàåì èíòåðåðåíöèîííóþ êàðòèíó îò äâóõ âîëí; â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ðàññòîÿíèå
ìåæäó èíòåðåðåíöèîííûìè ïîëîñàìè áóäåò â äâà ðàçà ìåíüøå ïåðèîäà
ðåø¼òêè.
Ïðèìåíèòåëüíî ê ñëó÷àþ óëüòðàçâóêîâîé âîëíû, êàðòèíà â ñëó÷àå ìåòîäà àçîâîãî êîíòðàñòà áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ïðàêòè÷åñêè ðàâíîìåðíóþ
çàñâåòêó. Óñðåäí¼ííàÿ çà ïåðèîä óëüòðàçâóêîâîé âîëíû èíòåíñèâíîñòü
ñâåòà, íàáëþäàåìàÿ ãëàçîì, â óçëàõ âîëíû ñòðîãî ïîñòîÿííà, à â ïó÷íî5
ñòÿõ èñïûòûâàåò êîëåáàíèÿ îêîëî ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Ïîäîáíûì ýåêòîì îáëàäàåò è ìåòîä äåîêóñèðîâêè.  ñëó÷àå ìåòîäà ò¼ìíîãî ïîëÿ èíòåíñèâíîñòü â óçëàõ ðàâíà íóëþ, à â ïó÷íîñòÿõ ðàâíà íåêîåìó ñðåäíåìó
çíà÷åíèþ. Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå íàáëþäåíèÿ äèðàêöèè íà óëüòðàçâóêîâîé âîëíå ãëàçîì, ïðèãîäåí ìåòîä ò¼ìíîãî ïîëÿ, ìåòîäû àçîâîãî
êîíòðàñòà è äåîêóñèðîâêè íåïðèãîäíû.
3. Äèðàêöèÿ ñâåòà íà îäíîìåðíîé áåñêîíå÷íîé
ïåðèîäè÷åñêîé ðåø¼òêå
àññìîòðèì äèðàêöèþ ñâåòà íà áåñêîíå÷íîé äâóìåðíîé ðåø¼òêå.
Ïóñòü íà ðåø¼òêó, ðàñïîëîæåííóþ â ïëîñêîñòè XY , ïàäàåò îäíîðîäíàÿ
ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ïîëÿðèçîâàííàÿ ïëîñêàÿ âîëíà E0 ñ âîëíîâûì âåêòîðîì, íàïðàâëåííûì ïî îñè Z (ðèñ. 4).
Îáîçíà÷èì êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó âîëíû â ïëîñêîñòè XY íà âõîäå â
ðåø¼òêó ÷åðåç Eˆ0. Ýòà àìïëèòóäà íå çàâèñèò îò x,y, ïîñêîëüêó âîëíîâîé
âåêòîð íàïðàâëåí ïî îñè Z . Ââåä¼ì êîìïëåêñíûé êîýèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ ðåø¼òêè aˆ(x,y). Íà âûõîäå èç ðåø¼òêè â òî÷êå x,y êîìïëåêñíàÿ
ˆ
àìïëèòóäà âîëíû E(x,y)
áóäåò ðàâíà aˆ(x,y)Eˆ0 . Êîìïëåêñíûé êîýèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ ìîæíî çàïèñàòü ÷åðåç àìïëèòóäó è àçó
a
ˆ(x,y) = a(x,y)eiϕ(x,y) .
Ýòà çàïèñü áîëåå íàãëÿäíà: a(x,y) åñòü ÷èñëî, ðàâíîå îòíîøåíèþ àìïëèòóä âîëí íà âûõîäå ðåø¼òêè è å¼ âõîäå, à ϕ(x,y) ÷èñëî, íà êîòîðîå èçìåíÿåòñÿ àçà âîëíû ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ðåø¼òêè. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
íà ðèñ. 5 èëëþñòðèðóåò ñêàçàííîå.
X
a
ˆ(x,y)
,
E0 k
PSfrag replaements
Z
Y
èñ. 4. Äèðàêöèÿ ñâåòà íà ðåø¼òêå
6
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óãëû íà âåêòîðIm
íîé äèàãðàììå îáîçíà÷àþò àçû ðàçëè÷a(x,y) = E(x,y)
E
íûõ âîëí, è íå èìåþò íåïîñðåäñòâåííîé
ˆ
E(x,y)
àíàëîãèè ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè
îáPSfragóãëàìè,
replaements
ðàçóåìûìè âîëíîâûì âåêòîðîì
ñ êîîðäèíàòíûìè îñÿìè.
ˆ0
E
Äâóìåðíàÿ êîìïëåêñíàÿ óíêöèÿ aˆ(x,y)
ϕ(x,y)
ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåò ïàðàìåòðû ðåø¼òêè. Åñëè óíêöèÿ aˆ(x,y) íå çàâèñèò
Re
îò êîîðäèíàòû y, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ òîëüêî
óíêöèåé x, òîãäà ðåø¼òêà ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíîé. Åñëè óíêöèÿ aˆ(x) ÿâëÿåòñÿ ïåðè- èñ. 5. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
îäè÷åñêîé óíêöèåé, òî ìû èìååì äåëî ñ äëÿ ïîëÿ â êîíêðåòíîé òî÷êå
x,y
îäíîìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé ðåø¼òêîé. Îáîçíà÷èì ïåðèîä óíêöèè aˆ(x) ÷åðåç d (ðèñ. 6).
Íà ðèñ. 7 ìû âèäèì
ïðåäñòàâëåíèå óíêöèè aˆ(x) äëÿ ñëóPSfragíàãëÿäíîå
replaements
÷àÿ îäíîìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé
ðåø¼òêè.
0
,
X
,
E0 k
Im
d
a
ˆ(x,y)
plaements
ϕ(x)
X
ϕ(x)
Z
O
O
èñ. 6. Äèðàêöèÿ ñâåòà íà îäíîìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé ðåø¼òêå
d
Re
èñ. 7. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ
îäíîìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé ðåø¼òêè
Íàéä¼ì ðàñïðåäåëåíèå âîëíîâîãî ïîëÿ çà îäíîìåðíîé ïåðèîäè÷åñêîé
ðåø¼òêîé. Áóäåì èñêàòü ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ êàê ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è
â îáëàñòè z > 0 ñ êðàåâûì óñëîâèåì, çàäàííûì íà ãðàíèöå z = 0. Íà ýòîé
ãðàíèöå ðàñïðåäåëåíèå êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ïîëÿ åñòü ïåðèîäè÷åñêàÿ
ˆ
ïî îñè x ñ ïåðèîäîì d, íåçàâèñÿùàÿ îò y óíêöèÿ E(x)
= a
ˆ(x)Eˆ0 . Ïî
òåîðåìå Ôóðüå âñÿêàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ êîìïëåêñíàÿ óíêöèÿ ìîæåò áûòü
ˆ :
ðàçëîæåíà â ðÿä Ôóðüå. àçëîæèì â ðÿä Ôóðüå óíêöèþ E(x)
ˆ
E(x)
=
∞
X
ˆn exp i 2π nx .
E
d
−∞
7
X
PSfrag replaements
q
,
E0 k
d sin θ = nλ
θ
θ
O
Z
qx =
2π
d n
, sin θ = qk
x
=
2πnλ
d2π
èñ. 8. Âîëíîâîå ïîëå çà îäíîìåðíîé
ïåðèîäè÷åñêîé ðåø¼òêîé
ˆ
Ïîñêîëüêó E(x)
=a
ˆ(x)Eˆ0 , à
a
ˆ(x) =
∞
X
2π
a
ˆn exp i n ,
d
−∞
òî aˆnEˆ0 = Eˆn. Íàéä¼ì òåïåðü ðåøåíèå âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ â îáëàñòè
z > 0 ñ êðàåâûì óñëîâèåì, ðàâíûì n-îìó ÷ëåíó ðÿäà íà ãðàíèöå z = 0,
êîòîðûé ðàâåí
2π
Eˆn exp i nx .
d
Ýòî ðåøåíèå åñòü ïëîñêàÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêàÿ ïîëÿðèçîâàííàÿ âîëíà
Eˆn exp (iqr)
p
q qx = 2π
k 2 − qx2 k =
d n qz =
2π
ñ âîëíîâûì âåêòîðîì ,
,
,
λ . Åñëè k > qx ,
âîëíà ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé, ñ ïîëîæèòåëüíûì çíà÷åíèåì qz , ÷òî èçè÷åñêè ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, óõîäÿùåé îò ðåø¼òêè. Âåêòîð q ñîñòàâëÿåò
ñ îñüþ Z óãîë θ, sin θ = nλ/d, ÷òî ñîâïàäàåò ñ èçâåñòíîé îðìóëîé äëÿ
íàïðàâëåíèÿ íà ìàêñèìóì â ñëó÷àå äèðàêöèè Ôðàóíãîåðà íà ðåø¼òêå
d sin θ = nλ (ðèñ. 8).
Åñëè æå k < qx , âîëíà ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíîé ñ àìïëèòóäîé
ˆn eiqx x e−qz z .
E
8
PSfrag replaements
X
âèíòîâàÿ ëèíèÿ
ïðàâûé âèíò ïðè qx < 0
ëåâûé âèíò ïðè qx > 0
Im
,
E0 k
q
g replaements
X
θ
Re
O
O
Z
èñ. 10. Êîìïîíåíòà ïîëÿ ïëîñêàÿ âîëíà íà âûõîäå èç ðåø¼òêè
èñ. 9. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
äëÿ ïëîñêîé âîëíû
Ìû âûáðàëè çíà÷åíèå êîðíÿ ñ ïîëîæèòåëüíîé ìíèìîé ÷àñòüþ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò âîëíå, çàòóõàþùåé â íàïðàâëåíèè îñè Z . Âûáîð êîðíÿ äèêòóåòñÿ èçè÷åñêèì óñëîâèåì, ÷òî àìïëèòóäà âîëíû íå ìîæåò âîçðàñòàòü
ïî ìåðå óäàëåíèÿ îò ðåø¼òêè.
Ïðîèëëþñòðèðóåì ñêàçàííîå ðèñ. 9, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà çàâèñèìîñòü êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû ïëîñêîé âîëíû îò êîîðäèíàòû x äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ qx > 0 (ðèñ. 10). Ýòè ðèñóíêè âåðíû êàê äëÿ îäíîðîäíîé, òàê
è äëÿ íåîäíîðîäíîé âîëí.
PSfrag replaements X
X
replaements E0, k
2π
d
Ex
E
Z
q
O
,
θ
O
Z
èñ. 12. Äèñêðåòíûé
ñïåêòð äëÿ íåîãðàíè÷åííîé ðåø¼òêè
èñ. 11. Ó÷¼ò ïðîåêöèè âåêòîðà E
Âîîáùå ãîâîðÿ, â íàøèõ ðàññóæäåíèÿõ äëÿ ìîíîõðîìàòè÷åñêîé ïîëÿðèçîâàííîé âîëíû åñòü íåòî÷íîñòü, ñâÿçàííàÿ ñ òåì, ÷òî ìû ïðèáëèæ¼ííî ñ÷èòàåì ïðîåêöèþ âåêòîðà íàïðÿæ¼ííîñòè íà ïëîñêîñòü XY . Åñëè
ðàññìîòðåòü âîëíó, ïîëÿðèçîâàííóþ â ïëîñêîñòè XZ (ðèñ. 11), òî ïðè
áîëüøîì óãëå θ óæå íåëüçÿ ñ÷èòàòü, ÷òî Exy ∼ E , (cos θ ∼ 1), ãäå E 9
X
∆ϕ ∼
PSfrag replaements
λ
D
Z
O
èñ. 13. Ïåðåõîä îò äèñêðåòíîãî ñïåêòðà ê íåïðåðûâíîìó ïðè êîíå÷íîì ðàçìåðå ðåø¼òêè
âåùåñòâåííàÿ àìïëèòóäà ïëîñêîé âîëíû, à Exy å¼ ïðîåêöèÿ íà ïëîñêîñòü XY . Îøèáêà
áóäåò òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå n. Äëÿ î÷åíü áîëüøèõ
n
>
k , âîëíà áóäåò íåîäíîðîäíîé, êîòîðàÿ çàòóõíåò ïðè
n, òàêèõ ÷òî 2π
d
z è íå ïîâëèÿåò íà ðåøåíèå â îáëàñòè áîëüøèõ z .
äîñòàòî÷íî áîëüøèõ
Äëÿ n, òàêèõ ÷òî 2πd n ∼ k, áóäåò íàèáîëüøàÿ îøèáêà. Îäíàêî, åñëè â ðÿä
ˆ
Ôóðüå äëÿ E(x)
îñíîâíîé âêëàä âíîñÿò ÷ëåíû ñ n, òàêèìè ÷òî 2πd n ≪ k,
íàøå ïðèáëèæåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü îïðàâäàííûì. Ìû ðàññìîòðåëè áåñêîíå÷íóþ ðåø¼òêó. Åñëè ðåø¼òêà îãðàíè÷åíà ïî îñè X , òî ðàçëîæåíèå â
ðÿä Ôóðüå ñòàíîâèòñÿ íåâåðíûì. Âìåñòî íåãî íóæíî ïèñàòü ðàçëîæåíèå
â èíòåãðàë Ôóðüå, ÷òî èçè÷åñêè ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó îò äèñêðåòíûõ
qx ê íåïðåðûâíûì (ðèñ. 12).
 ýòîì ñëó÷àå ïîÿâèòñÿ ðàçìûòèå ïîðÿäêà λ/D äèñêðåòíûõ ÷ëåíîâ
ðÿäà, ãäå D ðàçìåð ðåø¼òêè ïî îñè X , ÷òî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 13.
4. ×àñòíûå ñëó÷àè àìïëèòóäíàÿ è àçîâàÿ ðåø¼òêè
Êàê óïîìèíàëîñü â ïðîøëîì ðàçäåëå, óíêöèÿ aˆ(x,y) ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçóåò ïàðàìåòðû ðåø¼òêè. àññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè ýòîé óíêöèè, äëÿ àìïëèòóäíîé è àçîâîé ðåø¼òîê.
4.1. Àìïëèòóäíàÿ ðåø¼òêà
 ñëó÷àå àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè ìåíÿåòñÿ òîëüêî àìïëèòóäà âîëíû,
ïðè ýòîì å¼ àçà îñòà¼òñÿ íåèçìåííîé, òî åñòü óíêöèÿ aˆ(x,y) ìîæåò
ïðèíèìàòü òîëüêî äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîð
10
PSfrag replaements
íà êîìïëåêñíîé ïëîñêîñòè ìîæåò èçìåíèòüñÿ òîëüêî ïî ìîäóëþ. Íà
ðèñ. 14 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû âîëíû íà âûõîäå
èç ðåø¼òêè ïðè èêñèðîâàííîì y â çàâèñèìîñòè îò x. Äëÿ óäîáñòâà àçà
Eˆ0 âûáðàíà ðàâíîé íóëþ.
Eˆ0
eplaements
Im
Im
ˆ0 a
E
ˆ(x,y)
a
ˆ(x)
X
X
Re
O
π
K
O
Re
èñ. 15. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ
àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè ñ
óíêöèåé ïðîïóñêàíèÿ aˆ(x) =
èñ. 14. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà
äëÿ àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè
= a0 (1 + m cos Kx)
Âàæíûì ñëó÷àåì àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêà ñ óíêöèåé
ïðîïóñêàíèÿ
a
ˆ(x) = a0 (1 + m cos Kx),
m < 1.
Ýòà óíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû x è ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì
2π/K . Íà ðèñ. 15 íàãëÿäíî ïðåäñòàâëåíà óíêöèÿ a
ˆ(x) â êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè.
Íàéä¼ì ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ çà ðåø¼òêîé. àñïðåäåëåíèå êîìïëåêñíîé
àìïëèòóäû ïîëÿ íà âûõîäå èç ðåø¼òêè äà¼òñÿ îðìóëîé
ˆ
E(x)
= Eˆ0 a0 (1 + m cos Kx).
àñïèñûâàÿ êîñèíóñ ÷åðåç ýêñïîíåíòû, ïîëó÷àåì
eiKx + e−iKx
,
2
ˆ
ˆ0 a0 1 + m eiKx + m e−iKx .
E(x)
=E
2
2
cos Kx =
Ñðàâíèâàÿ ñ îáùåé îðìóëîé äëÿ ðàçëîæåíèÿ â ðÿä Ôóðüå, âèäèì, ÷òî â
ˆ
íåíóëåâûå ÷ëåíû ðÿäà åñòü ÷ëåíû ñ íîìåðàìè
ðàçëîæåíèè óíêöèè E(x)
−1, 0, 1, ïðè÷¼ì
ˆ+1 ,
ˆ−1 = Eˆ0 a0 m = E
E
2
ˆ00 = Eˆ0 a0 .
E
Íàãëÿäíî èëëþñòðèðóÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïîëå
çà ðåø¼òêîé ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé òð¼õ ïëîñêèõ âîëí, ÷òî èçîáðàæåíî íà ðèñ. 16.
11
X√
PSfrag replaements
k2 − K 2
K
θ
Z
O
èñ. 16. Âîëíîâîå ïîëå çà ðåø¼òêîé ñóïåðïîçèöèÿ òð¼õ
ïëîñêèõ âîëí
Íà ðèñ. 17 ïðèâåäåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ íàéäåííûõ âîëí. Îáðàòèì âíèìàíèå íà àçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âîëíàìè. Åñëè àçó
âîëíû ñ íîìåðîì 00 ïðèíÿòü çà π2 , òî àçà âîëíû ñ íîìåðîì +1 áóäåò
Kx + π2 , à ñ íîìåðîì −1 áóäåò −Kx + π2 .
PSfrag replaements
Im
Im
Kx
−Kx
ˆ 0 a0
E
ˆ 0 a0 m −iKx
E
e
2
X
Re
Re
O
O
èñ. 17. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ïîëÿ çà àìïëèòóäíîé ðåø¼òêîé
Ñèíóñ óãëà, êîòîðûé ñîñòàâëÿþò âîëíû ñ íîìåðàìè ±1 ñ îñüþ Z , ðàâåí
, òî åñòü ïðèñóòñòâóþò ìàêñèìóìû òîëüêî ïåðâîãî ïîðÿäêà. Â
ñëó÷àå, åñëè θ ≪ 1, K ≪ k, íåòî÷íîñòü ïðè ðàñ÷¼òå ïðîåêöèè êîìïîíåíòû
àìïëèòóäû âåêòîðà E íåñóùåñòâåííà.
sin θ = K/k
4.2. Ôàçîâàÿ ðåø¼òêà
 ñëó÷àå àçîâîé ðåø¼òêè ìåíÿåòñÿ òîëüêî àçà âîëíû, ïðè ýòîì å¼
àìïëèòóäà îñòà¼òñÿ íåèçìåííîé. Ýòî ñîîòâåòñòâóåò óíêöèè
a
ˆ(x,y) = a
ˆ0 eiϕ(x,y) ,
12
Im
ˆ0 a
E
ˆ(x,y)
X
PSfrag replaements
ϕ(x,y)
Re
O
èñ. 18. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ àçîâîé ðåø¼òêè
òî åñòü ó êîìïëåêñíîé óíêöèè aˆ(x,y) ìîæåò ìåíÿòüñÿ òîëüêî àçà. Íà
ðèñ. 18 ïðèâåäåíà çàâèñèìîñòü êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû âîëíû íà âûõîäå
èç ðåø¼òêè ïðè èêñèðîâàííîì y â çàâèñèìîñòè îò x. Î÷åâèäíî, êîíåö
âåêòîðà Eˆ0aˆ(x,y) ëåæèò íà öèëèíäðå ðàäèóñà E0 a0. Äëÿ óäîáñòâà àçà
ˆ0 âûáðàíà ðàâíîé íóëþ.
E
Im
X
ϕ(x) = ϕ0 cos(Kx)
rag replaements
O
Re
èñ. 19. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ
àçîâîé
ðåø¼òêè ñ óíêöèåé ïðîïóñêàíèÿ aˆ(x) = a0 eiϕ cos(Kx)
0
Âàæíûì ñëó÷àåì àçîâîé ðåø¼òêè ÿâëÿåòñÿ ðåø¼òêà ñ óíêöèåé ïðîïóñêàíèÿ
iϕ cos(Kx)
a
ˆ(x) = a0 e
13
0
.
Im
X
ϕ(x) = ϕ0 cos(Kx)
PSfrag replaements
O
Re
èñ. 20. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ
àçîâîé
ðåø¼òêè ñ óíêöèåé ïðîïóñêàíèÿ aˆ(x) = a0 eiϕ cos(Kx) ïðè
0
ϕ0 ≪ 1
Ýòà óíêöèÿ çàâèñèò òîëüêî îò êîîðäèíàòû x è ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì
2π/K . Íà ðèñ. 19 íàãëÿäíî ïðåäñòàâëåíà óíêöèÿ a
ˆ(x) â êîìïëåêñíîé
ïëîñêîñòè äëÿ ñëó÷àÿ ϕ0 ∼ π/6.
àññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ϕ0 ≪ 1.  ýòîì ñëó÷àå ýêñïîíåíòó ìîæíî
ðàçëîæèòü â ðÿä, ïðè ýòîì îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî ïåðâûì ÷ëåíîì
a
ˆ(x) = a0 eiϕ0 cos(Kx) = a0 (1 + iϕ0 cos(Kx)).
Íà ðèñ. 20 íàãëÿäíî ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü êîìïëåêñíîãî êîýèöèåíòà ïðîïóñêàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò x.
Ñðàâíèâàÿ ñî ñëó÷àåì àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè, ðàññìîòðåííîì â ïðîøëîì ïîäðàçäåëå, ìû âèäèì, ÷òî îðìóëû îòëè÷àþòñÿ òîëüêî òåì, ÷òî
â îðìóëó äëÿ àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè âõîäèò m, à â îðìóëó äëÿ àçîâîé âõîäèò iϕ0 . Îòñþäà ìû ñðàçó ìîæåì íàïèñàòü ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ çà
ðåø¼òêîé:
ˆ−1 = 1 E
ˆ0 a0 iϕ0 = E
ˆ+1 ,
E
2
ˆ00 = E
ˆ 0 a0 .
E
ðèñ. 16 îñòà¼òñÿ âåðíûì è äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ.
Íà ðèñ. 21 ïðèâåäåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ íàéäåííûõ âîëí. Îáðàòèì âíèìàíèå íà àçîâûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âîëíàìè, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ îò ñîîòíîøåíèé äëÿ àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè. Åñëè àçó âîëíû ñ
íîìåðîì 00 ïðèíÿòü çà π/2, òî àçà âîëíû ñ íîìåðîì +1 áóäåò Kx + π,
à ñ íîìåðîì −1 áóäåò −Kx + π.
14
Im
Im
ˆ0 a0 m −iKx+i π
E
2
e
2
rag replaements−Kx
Kx
X
ˆ 0 a0
E
Re
O
Re
O
èñ. 21. Âåêòîðíàÿ äèàãðàììà äëÿ ïîëÿ çà àçîâîé ðåø¼òêîé
Íåòî÷íîñòü ïðè ðàñ÷¼òå ïðîåêöèè êîìïîíåíòû àìïëèòóäû âåêòîðà E
íåñóùåñòâåííà, êàê è â ñëó÷àå àìïëèòóäíîé ðåø¼òêè, ïðè óñëîâèè K ≪ k.
5. Ôàçîâàÿ ðåø¼òêà íà óëüòðàçâóêîâîé âîëíå
 ðàáîòå èçó÷àåòñÿ äèðàêöèÿ ñâåòà íà àçîâîé ðåø¼òêå, êîòîðàÿ
îáðàçóåòñÿ ïðè ïðîõîæäåíèè óëüòðàçâóêîâîé âîëíû. Åñëè â æèäêîñòè
ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà, òî â íåé âîçíèêàþò ëîêàëüíûå
èçìåíåíèÿ ïëîòíîñòè. Èçìåíåíèå ïëîòíîñòè ïðèâîäèò ê èçìåíåíèþ êîýèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ. Ëîêàëüíûå èçìåíåíèÿ êîýèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ ïðèâîäÿò ê ëîêàëüíûì îïòè÷åñêèì íåîäíîðîäíîñòÿì. Íà ðèñ. 22
ïîêàçàíî èçìåíåíèå êîýèöèåíòà ïðåëîìëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò êîîðäèíàòû z äëÿ èêñèðîâàííîãî ìîìåíòà âðåìåíè â ñëó÷àå ðàñïðîñòðàíåíèÿ ïëîñêîé óëüòðàçâóêîâîé âîëíû ñ âîëíîâûì âåêòîðîì, íàïðàâëåííûì
ïî Z , ÷åðåç ïîëóïðîñòðàíñòâî z > 0.
Ýòî áåãóùàÿ âîëíà ñ äîñòàòî÷íî ìàëîé àìïëèòóäîé, ïðè ýòîì ëîêàëüíîå èçìåíåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíî sin(Ωt−Kz−ϕ0),
êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ eiKz+iϕ +i ,
êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà âîëíû ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ eiKz+iϕ . Ìû
âèäèì, ÷òî àçû êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ñìåùåíèÿ è èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ îòëè÷àþòñÿ íà π/2. Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî èçìåíåíèå
ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíî èçìåíåíèþ ïëîòíîñòè, êîòîðîå, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðîïîðöèîíàëüíî ãðàäèåíòó ñìåùåíèÿ, òî åñòü åãî
ïðîèçâîäíîé. Åñëè íà ðàññòîÿíèè D ïîñòàâèòü ïîâåðõíîñòü, èãðàþùóþ
ðîëü çåðêàëà äëÿ óëüòðàçâóêîâûõ âîëí, òî âîçíèêíåò îòðàæ¼ííàÿ âîëíà,
ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè, ñ êîìïëåêñíîé
àìïëèòóäîé eiKD+iϕ eiK(D−z) eiπ (ðèñ. 23). Ìíîæèòåëü eiπ ââîäèòñÿ èç
óñëîâèÿ òîãî, ÷òî àìïëèòóäà âîëíû íà çåðêàëå äîëæíà áûòü ðàâíà íóëþ.
0
0
0
15
π
2
PSfrag replaements
n
ag replaements n
e(ikz+iϕ0 )
s
0
s
0
e(ikD+iϕ0 ) eik(D−z) eiπ
Z
O
D Z
O
èñ. 22. Ñìåùåíèå è èçìåíåíèå
èñ. 23. Îáðàçîâàíèå ñòîÿ÷åé
ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ
óëüPSfragâ replaements
âîëíû
òðàçâóêîâîé âîëíå
n
ag replaements n
0
x + dx
s
x
δ
0
X
O
c dt
X
èñ. 24. Ñìåùåíèå è èçìåíåíèå
ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ â ñòîÿ÷åé âîëíå
èñ. 25. Ïîâîðîò âîëíîâîãî
ðîíòà íà âûõîäå èç êþâåòû
Ýòî óñëîâèå âûòåêàåò èç ïîïåðå÷íîñòè êîëåáàíèé óëüòðàçâóêîâûõ âîëí
(òàêæå ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü óïðóãèì îòðàæåíèåì êîëåáëþùèõñÿ ìîëåêóë îò çåðêàëà). Áóäó÷è ñíîâà îòðàæ¼ííîé îò ïîâåðõíîñòè z = 0, âîëíà
áóäåò èìåòü êîìïëåêñíóþ àìïëèòóäó e2iKD+iϕ eiKz .
Åñëè àçû êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä ïåðâîíà÷àëüíîé è äâóêðàòíî îòðàæ¼ííîé âîëí ñîâïàäóò, âîçíèêíåò ñòîÿ÷àÿ âîëíà, â êîòîðîé ëîêàëüíîå èçìåíåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíî cos(ωt − ϕ0) cos(Kz).
Óñëîâèå ñîâïàäåíèÿ àç åñòü óñëîâèå e2iKD = 1, 2KD = 2πn, ãäå n íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ýòî óñëîâèå èçè÷åñêè ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþ, ÷òî íà
äâîéíîì ðàññòîÿíèè ìåæäó çåðêàëàìè äîëæíî óêëàäûâàòüñÿ öåëîå ÷èñëî
äëèí âîëí. Ôàçà ϕ0 áåãóùåé âîëíû ìîæåò áûòü, âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâîëüíîé, îíà íå íåñ¼ò èçè÷åñêîãî ñìûñëà.  ðàáîòå àçîâàÿ ðåø¼òêà
îáðàçóåòñÿ â ñòåêëÿííîé êþâåòå (ðèñ. 24).
 íàøåì ñëó÷àå êîìïëåêñíàÿ àìïëèòóäà èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ åñòü nˆ − n0 = n0a cos(Kx), ãäå K ìîäóëü âîëíîâîãî âåêòîðà
0
16
äëÿ óëüòðàçâóêîâîé âîëíû, K = 2π/Λ, a ãëóáèíà ìîäóëÿöèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ nˆ = n0(1 + a cos(Kx)), a ≪ 1. Òàêèì îáðàçîì, ïðè
èêñèðîâàííîì x ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ èçìåíÿåòñÿ ïî ñëåäóþùåìó
çàêîíó n(t) = n0(1 + a cos(Kx) cos(Ωt)), ãäå Ω ÷àñòîòà óëüòðàçâóêîâîé
âîëíû. Ïîñêîëüêó ÷àñòîòà óëüòðàçâóêîâîé âîëíû ìíîãî ìåíüøå ÷àñòîòû ñâåòîâîé âîëíû, ïðè ðàñ÷¼òå ïîëÿ ñâåòîâîé âîëíû óëüòðàçâóêîâóþ
âîëíó ìîæíî ñ÷èòàòü íåïîäâèæíîé.  ñëó÷àå áåãóùåé âîëíû óëüòðàçâóêîâóþ âîëíó òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü íåïîäâèæíîé, ïîñêîëüêó å¼ ñêîðîñòü
ìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà. Òî÷íåå, õàðàêòåðíûå ñêîðîñòè äâèæåíèÿ
÷àñòèö ìíîãî ìåíüøå ñêîðîñòè ñâåòà, à òàêæå õàðàêòåðíîå âðåìÿ èçìåíåíèÿ êîîðäèíàòû ìíîãî ìåíüøå âðåìåíè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñâåòà. Ñ÷èòàÿ
ðåø¼òêó íåïîäâèæíîé, ìû òàêæå ïðåíåáðåãàåì ñìåùåíèÿìè ÷àñòîòû è
íàïðàâëåíèÿ ñâåòîâîé âîëíû, ïðîèñòåêàþùèìè èç ïåðåèçëó÷åíèÿ âîëí
äâèæóùèìèñÿ ÷àñòèöàìè.
Ñäåëàåì ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èñêðèâëåíèåì ëó÷åé
ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç êþâåòó. Òîãäà çàâèñèìîñòü àçû ëó÷åé îò êîîðäèíàòû x íà âûõîäå èç êþâåòû áóäåò ψ = knL = ψ0 (1 + a cos(Kx)), k ìîäóëü âîëíîâîãî âåêòîðà äëÿ ñâåòà, k = 2π/λ, λ äëèíà âîëíû ñâåòà, ψ0 = kn0L. àññìîòðèì äâà ëó÷à, âûøåäøèõ èç êþâåòû â òî÷êàõ ñ
êîîðäèíàòàìè x è x + dx. Ïóñòü äëÿ îïðåäåë¼ííîñòè dn/dx > 0. Òîãäà
ïåðâûé ëó÷ ñ êîîðäèíàòîé x äîñòèãíåò âûõîäà êþâåòû ÷åðåç âðåìÿ Ln/c,
à âòîðîé ëó÷ ñ êîîðäèíàòîé x + dx ÷åðåç áîëüøåå âðåìÿ L(n + dn)/c. Ê
òîìó âðåìåíè, êàê âòîðîé ëó÷ äîñòèãíåò âûõîäà, ïåðâûé óñïååò ïðîéòè
ðàññòîÿíèå c dt, dt = L dn/c (ðèñ. 25).
Óãîë ïîâîðîòà âîëíîâîãî ðîíòà
δ=c
dn 1
dn
dt
= cL
=L .
dx
dx c
dx
Ýòî óñëîâèå ìîæíî çàïèñàòü ïî-äðóãîìó:
δ=L
dn
1 dψ
=
,
dx
k dx
δ = Kn0 La{− sin(Kx)},
δmax = Kn0 La;
â ñëó÷àå, åñëè δmaxL ≪ Λ, òî åñòü ñìåùåíèå ëó÷à âñëåäñòâèå èñêðèâëåíèÿ ìíîãî ìåíüøå õàðàêòåðíîé äëèíû èçìåíåíèÿ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñâåò ÷åðåç êþâåòó ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî, à ñëåäîâàòåëüíî, ðåø¼òêó ÷èñòî àçîâîé. Èíà÷å, ýòî óñëîâèå
âûðàæàåò ìàëîñòü êîýèöèåíòà ìîäóëÿöèè a ≪ (Λ/L)2. Óñëîâèå íà
ïðåíåáðåæåíèå èñêðèâëåíèåì äîâîëüíî ãðóáîå, ïîñêîëüêó îíî íàïèñàíî
äëÿ ìàêñèìàëüíîãî ñìåùåíèÿ â âîçäóõå. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå òîãî,
÷òî ðåø¼òêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷èñòî àçîâóþ, ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå
ìàëîñòè êîýèöèåíòà ìîäóëÿöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ äîëæíî áûòü ìàëî, ÷òî ñïðàâåäëèâî äëÿ äîñòàòî÷íî ìà17
ëîé àìïëèòóäû óëüòðàçâóêîâîé âîëíû. Ïîñêîëüêó äëèíà óëüòðàçâóêîâîé
âîëíû ìíîãî áîëüøå äëèíû âîëíû ñâåòà, òî îáðàòíîå âåðíî äëÿ ìîäóëåé âîëíîâûõ âåêòîðîâ: K ≪ k. Ýòî óñëîâèå îïðàâäûâàåò ïðåíåáðåæåíèå
íåòî÷íîñòüþ ïðè ðàñ÷¼òå ïðîåêöèè êîìïîíåíòû àìïëèòóäû âåêòîðà E .
Åñëè èçìåíåíèå ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ íå ìàëî, ðåø¼òêà ÿâëÿåòñÿ
ñëîæíîé àìïëèòóäíî-àçîâîé. Ïîëå â êîíêðåòíîé òî÷êå íà âûõîäå èç
ðåø¼òêè óæå íåëüçÿ ñ÷èòàòü êàê ïðîèçâåäåíèå ïîëÿ â ýòîé æå òî÷êå íà
âõîäå è êîìïëåêñíîãî êîýèöèåíòà ïðîïóñêàíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïîëå
íà âûõîäå áóäåò ïðåäñòàâëÿòüñÿ êàê ñóïåðïîçèöèÿ ïîëåé èç íåêîòîðîé
îêðåñòíîñòè òî÷êè. Òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå íóæíî ââîäèòü ¾êîìïëåêñíûé
óíêöèîíàë¿ ïðîïóñêàíèÿ Jˆ,
ˆ
ˆE
ˆ0 ) =
E(x,y)
= J(
 ÷àñòíîì ñëó÷àå
ZZ
′ ′
ˆ
,y )dx′ dy ′ .
Eˆ0 A(x,y,x
′ ′
ˆ
A(x,y,x
,y ) = a
ˆ(x,y)δ(x − x′ )δ(y − y ′ )
¾êîìïëåêñíûé óíêöèîíàë¿ ïåðåõîäèò â êîìïëåêñíûé êîýèöèåíò ïðîïóñêàíèÿ.
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì èçìåíåíèè ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ (áîëüøîé àìïëèòóäå) óëüòðàçâóêîâàÿ âîëíà ïåðåñòà¼ò áûòü ñèíóñîèäàëüíîé,
òî åñòü óíêöèÿ çàâèñèìîñòè àìïëèòóäû îò êîîðäèíàòû â èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè èìååò ñëîæíûé âèä.  ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêîé óíêöèè, î÷åâèäíî, ïîëå íà âûõîäå èç êþâåòû òàêæå ìîæíî ïðåäñòàâèòü êàê
ñóïåðïîçèöèþ ïëîñêèõ âîëí ñ òåìè æå âîëíîâûìè âåêòîðàìè (ðèñ. 12,
ðèñ. 13), îäíàêî, ìåæäó íèìè áóäóò èíûå àìïëèòóäíûå è àçîâûå ñîîòíîøåíèÿ. Êàê ìû âèäåëè, äëÿ ñëó÷àÿ ìàëîãî êîýèöèåíòà ìîäóëÿöèè
íàèáîëüøåé ÿâëÿåòñÿ àìïëèòóäà âîëíû Eˆ00 . Åñëè óíêöèÿ çàâèñèìîñòè
àìïëèòóäû óëüòðàçâóêîâîé âîëíû îò êîîðäèíàòû íå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, àìïëèòóäíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó âîëíàìè íà âûõîäå èç êþâåòû
ìîãóò ñèëüíî èçìåíèòüñÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññìîòðåííûìè. Âîçìîæíî,
÷òî íàèáîëüøåé áóäåò àìïëèòóäà âîëíû Eˆ+3 , ïðè ýòîì |Eˆ+3| =6 |Eˆ−3 |, â
ýòîì ñëó÷àå âîëíîâîå ïîëå çà êþâåòîé íàïîìèíàåò ïîëå âîëíû, äèðàãèðîâàâøåé íà ýøåëåòå.
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
1. Êàêîâà áóäåò çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè è êîîðäèíàòû óñðåäí¼ííîé ïî ïåðèîäó
ñâåòîâîé âîëíû èíòåíñèâíîñòè â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ
ìåòîäà àçîâîãî êîíòðàñòà?
2. ×òî ïðîèçîéä¼ò ñ íàáëþäàåìîé êàðòèíîé â ìåòîäå ò¼ìíîãî ïîëÿ, åñëè äëÿ îäíîé
èç âîëí âíåñòè íàáåã àçû ïëàñòèíêîé
λ/4?
3. Êàêàÿ êàðòèíà áóäåò â ïëîñêîñòè íàáëþäåíèÿ, åñëè â ñëó÷àå ìåòîäà ò¼ìíîãî
ïîëÿ çàêðûòü âìåñòî öåíòðàëüíîãî ìàêñèìóìà áîêîâîé?
18