SISTEMAS ELECTRÓNICOS Y AUTOMÁTICOS
Tema 7
DISEÑO DE SISTEMAS CONTROL MEDIANTE REALIMENTACIÓN DEL ESTADO
Resumen del tema
1. INTRODUCCIÓN. REALIMENTACIÓN DEL ESTADO.
2. DISEÑO DEL BUCLE DE REALIMENTACIÓN PARA SISTEMAS MONOVARIABLES.
2.1. Modelo de estado en variables de fase.
2.2. Transformación del modelo de estado a variables de fase.
3. AJUSTE DEL RÉGIMEN PERMANENTE.
4. CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS.
4.1. Diseño del bucle de realimentación.
4.2. Respuesta con oscilaciones muertas.
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1. INTRODUCCIÓN. REALIMENTACIÓN DEL ESTADO:
El objetivo de la realimentación de estado es, partiendo del comportamiento del sistema original,
modificarlo para que cumpla ciertas especificaciones.
- Para ajustar el régimen transitorio, REALIMENTACIÓN DEL ESTADO.
• En algunos casos, las variables de estado no son medibles directamente. Deben ser
estimadas mediante un OBSERVADOR DEL ESTADO.
- Para ajustar el régimen permanente, CONTROLADOR INTEGRAL.
Resumen control clásico:
Existen dos alternativas para el control:
A) Control en bucle abierto. Conociendo G(s) Î Y(s) = G(s)·U(s)
• A partir de la salida deseada, podemos conocer la entrada que debemos aplicar al sistema.
• Problemas:
- G(s) es un modelo teórico simple, que no modeliza la planta con total exactitud.
- Presencia de perturbaciones
• Se aplica únicamente en sistemas lógicos. Control mediante autómatas programables.
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B) Control en bucle cerrado o realimentado. U(s) no se calcula en función del modelo del sistema,
sino comparando la entrada de referencia con la salida real.
• Si hay una perturbación, aumenta la diferencia entre la salida y la entrada y se incrementa la
acción de control para anular la perturbación.
• Si se han cometido errores en el modelizado (G(s)), también son compensados, puesto que
la acción de control no depende directamente del modelo.
• Normalmente, para mejorar el control del sistema se añade un regulador (PID).
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Ajustando correctamente los parámetros del PID, podemos conseguir que la salida siga unas ciertas
especificaciones. Estas especificaciones se suelen dar suponiendo que el sistema es de segundo
orden. En un sistema subamortiguado son:
Especificaciones del transitorio:
Tiempo de respuesta: Es el tiempo que la respuesta tarda en alcanzar por 1ª vez el valor final:
tr =
π − θ 1 .5
≈
ωd
ωn
Sobreoscilación: Es la diferencia entre el valor máx. de la respuesta y el valor final. Esta diferencia
se suele expresar en tanto por cien. El máximo se alcanza en el instante t p (tiempo de pico).
tp =
π
ωd
Mp =
y (t p ) − y (∞ )
y (∞ )
⋅ (100% ) = e −π tgθ ⋅ (100% )
Especificaciones del régimen permanente:
Tiempo de establecimiento: Es el instante de tiempo a partir del cual la respuesta oscila en un
entorno del ± 5% del valor final. A partir de este instante se considera que el sistema ha pasado al
régimen permanente (la respuesta es estable).
ts ≈
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π
σ
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Valor final: Depende de la ganancia K del sistema. El valor final de la salida es el valor de la
entrada multiplicado por K.
La siguiente gráfica muestra estos parámetros cuando la entrada es un escalón unitario:
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Todos los valores anteriores dependen de la posición de los polos del sistema. Si la función de
transferencia del sistema es:
G (s ) =
kωn2
s 2 + 2ζω n s + ωn2
Los polos estarán situados en:
s 2 + 2ζω n s + ω n2 = 0 ⇒ s = −ζω n ± ω n 1 − ζ 2 j = σ ± j ⋅ ω d
Donde σ es la parte real y ω d es la parte imaginaria, que se conoce como FRECUENCIA
AMORTIGUADA. Gráficamente, los polos están situados sobre el plano complejo de la siguiente forma:
Donde cosθ = ζ
⇒ θ = arccosζ .
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Si el sistema es de orden mayor, entonces, los polos y ceros adicionales modifican el comportamiento
del sistema de la siguiente forma:
- En general, añadir un cero al sistema lo hace más rápido y más oscilatorio. Este efecto es
mayor cuanto más cercano al origen se encuentra dicho cero. Si el cero se encuentra lejos
del origen, se desprecia su efecto.
- Al añadir un polo al sistema, la respuesta final será más lenta y con menor sobreoscilación.
Cuanto más cerca del origen esté el polo, mayor será esta ralentización del sistema. Si el
polo está muy lejos del origen, se puede despreciar su efecto.
Con el control clásico, se tratan todos los sistemas de la misma forma, como sistemas de segundo
orden, desaprovechando toda la información que hay almacenada dentro del sistema. Además, se
complica el control de sistemas de orden elevado.
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Realimentación del estado:
Dado un sistema lineal e invariante:
r
r
r
x& (t ) = Ax (t ) + Bu (t )
r
r
r
y (t ) = Cx (t ) + Du (t )
Cuando realimentamos el estado del sistema, las ecuaciones quedan:
r
r
r
x& (t ) = [A − BK ]x (t ) + Br (t )
r
r
r
y (t ) = [C − DK ]x (t ) + Dr (t )
Donde K = [k1
k2
k3 K k n ]
Al realimentar, ha cambiado la matriz A del sistema, siendo la nueva matriz Ar = A-BK.
Se pueden cambiar las propiedades del sistema eligiendo adecuadamente la matriz Ar deseada y
despejando la matriz de realimentación K necesaria para ello.
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Sin embargo, no siempre será posible modificar el sistema a voluntad.
•
Si el sistema tiene una parte no controlable, no se podrá modificar A como se desee. De igual
modo, si no es observable, no se puede controlar puesto que no se puede acceder al estado
para realimentarlo.
o El primer paso consistirá en la extracción de la parte controlable y observable, puesto que será
la única con la que se pueda trabajar. En lo sucesivo, se asumirá que trabajamos con sistemas
controlables y observables.
•
El tamaño de Ar es [nxn] (número de ecuaciones) y el de K es [mxn] (número de incógnitas),
teniendo en cuenta que lo habitual es que el número de entradas sea menor al de variables de
estado:
o No es posible ajustar los nxn elementos de la matriz Ar de forma arbitraria, puesto que no se
cuenta con los suficientes grados de libertad en la matriz K (sistema incompatible, con más
ecuaciones que incógnitas).
o Será necesario elegir una representación adecuada de A de forma que se eliminen incógnitas.
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2. DISEÑO DEL BUCLE DE REALIMENTACIÓN EN SISTEMAS
MONOVARIABLES:
2.1. REPRESENTACIÓN EN VARIABLES DE FASE:
Supongamos que partimos de un sistema monovariable con función de transferencia:
G (s ) =
Y (s ) bn s n + bn −1s n −1 + K + b1s + b0
=
U ( s ) s n + an −1s n −1 + K + a1s + a0
Una de las posibles representaciones en el espacio de estados es la de variables de fase:
⎡ x&1 ⎤ ⎡ 0
⎢ x& ⎥ ⎢ 0
⎢ 2 ⎥ ⎢
⎢ M ⎥=⎢ M
⎢
⎥ ⎢
⎢ x&n −1 ⎥ ⎢ 0
⎢⎣ x&n ⎥⎦ ⎢⎣− a0
y = [b0 − bn a0
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0 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡0⎤
0
1 K
0 ⎥⎥ ⎢⎢ x2 ⎥⎥ ⎢⎢0⎥⎥
M
M K
M ⎥ ⋅ ⎢ M ⎥ + ⎢M⎥ ⋅u
⎥ ⎢
⎥ ⎢ ⎥
0
0 O
1 ⎥ ⎢ xn −1 ⎥ ⎢0⎥
− a1 − a2 K − an −1 ⎥⎦ ⎢⎣ xn ⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎢x ⎥
b1 − bn a1 K bn −1 − bn an −1 ]⋅ ⎢ 2 ⎥ + [bn ]⋅ u
⎢M⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ⎦
1
0
K
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Al realimentar, el sistema en bucle cerrado queda:
r
r
r
r
r
x& (t ) = [A − BK ]x (t ) + Br (t ) = Ar x (t ) + Br r (t )
r
r
r
r
r
y (t ) = [C − DK ]x (t ) + Dr (t ) = Cr x (t ) + Dr r (t )
Como se puede observar, las matrices B y D no cambian.
La nueva matriz A quedará:
⎡ 0
⎢ 0
⎢
Ar = A − BK = ⎢ M
⎢
⎢ 0
⎢⎣− k1 − a0
1
0
M
0
0
1
M
0
− k2 − a1 − k3 − a2
0
K
⎤
⎥
0
K
⎥
⎥
K
M
⎥
1
O
⎥
K − kn − an −1 ⎥⎦
Es decir, el nuevo polinomio característico del sistema es:
P (s ) = s n + (kn + an −1 )s n −1 + K + (k2 + a1 )s + (k1 + a0 )
La dinámica del sistema depende de este polinomio, por lo tanto, gracias a la realimentación del estado
podemos modificar la dinámica del sistema.
Si al realimentar, deseamos que el polinomio característico del sistema en bucle cerrado sea:
P (s ) = s n + α n −1s n −1 + K + α1s + α 0
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Este es el polinomio característico deseado. A partir de las especificaciones deseadas para la
respuesta transitoria del sistema, calcularemos la posición que deben tener los polos del sistema
realimentado, y ello nos llevará al polinomio deseado.
Comparando el polinomio obtenido al realimentar con el deseado, podremos calcular el valor de los
coeficientes de la matriz de realimentación:
K = [k1 k 2
k3 K k n ] = [α 0 − a0 α1 − a1 α 2 − a2 K α n − an ]
Por otro lado, la nueva matriz C será:
Cr = C − DK = [b0 − bn a0 b1 − bn a1 K bn −1 − bn an −1 ] − bn ⋅ [k1 k 2 K k n ] =
= [b0 − bn a0 b1 − bn a1 K bn −1 − bn an −1 ] − bn ⋅ [α 0 − a0 α1 − a1 K α n −1 − an −1 ] =
= [b0 − bnα 0 b1 − bnα1 K bn −1 − bnα n −1 ]
Observando las matrices Ar y Cr, vemos como, al realimentar el sistema, la función de transferencia en
bucle cerrado queda:
G (s ) =
Y (s ) bn s n + bn −1 s n −1 + K + b1s + b0
=
R ( s ) s n + α n −1 s n −1 + K + α1 s + α 0
Con lo cual, las conclusiones son:
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• Calculando adecuadamente los coeficientes de la matriz de realimentación, conseguimos
modificar el polinomio característico del sistema (posición de los polos) y, por tanto,
podemos modificar la dinámica del sistema para que cumpla unas ciertas especificaciones.
• Los coeficientes del numerador de la función de transferencia siguen siendo los mismos que
tenía el sistema sin realimentar. La realimentación del estado no modifica la posición de los
ceros del sistema.
o Si se modifica la posición de los polos y no se modifica la posición de los ceros, cambia la
ganancia estática del sistema, lo cual desajustará el régimen permanente.
Ejemplo 1:
Dado el siguiente sistema continuo representado mediante su función de transferencia:
G (s ) =
3s + 6
s + 3s 2 + 7 s + 1
3
Se pide calcular la realimentación del estado necesaria para que los polos del sistema realimentado
queden posicionados en:
s1, 2 = −1 ± j
s3 = −10
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2.2. TRANSFORMACIÓN DEL MODELO DE ESTADO A VARIABLES DE FASE:
Si partimos de una representación cualquiera del estado del sistema a controlar, será necesario
realizar una transformación a variables de fase para poder calcular adecuadamente los coeficientes de
la matriz de realimentación.
Supongamos que el sistema es controlable. En este caso, la matriz Q tiene rango n, es invertible, y su
inversa estará compuesta por n filas
[
Q= B
AB
A2 B K An −1 B
]
eiT
⇒
(n es el orden del sistema):
⎡e1T ⎤
⎢ T⎥
e
−1
Q =⎢ 2⎥
⎢M⎥
⎢ T⎥
⎣⎢en ⎦⎥
La inversa de la matriz de transformación necesaria se construye a partir de la última fila, de la
siguiente forma:
⎡ enT ⎤
⎢ T ⎥
e A
−1
TC = ⎢ n ⎥
⎢ M ⎥
⎢ T n −1 ⎥
⎣⎢en A ⎦⎥
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Mediante esta matriz cambio de base, pasamos de cualquier representación del sistema a la
representación en variables de fase, también denominada FORMA CANÓNICA CONTROLABLE:
⎡ 0
⎢ 0
⎢
~
−1
A = TC ATC = ⎢ M
⎢
⎢ 0
⎢⎣− a0
~
C = CT = [b0 − bn a0
1
0
0
1
M
M
0
0
− a1 − a2
0 ⎤
K
0 ⎥⎥
K
K
M ⎥
⎥
1 ⎥
O
K − an −1 ⎥⎦
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
~
−1
B = TC B = ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢⎣1⎥⎦
b1 − bn a1 K bn −1 − bn an −1 ]
Cuando tenemos esta representación del estado, sí que es posible calcular la matriz de realimentación:
~ ~ ~~
Ar = A − B K C
~
K C = [k1 k 2 k3 K k n ] = [α 0 − a0 α1 − a1 α 2 − a2 K α n − an ]
Donde el polinomio característico del sistema original es:
~
P(s ) = sI − A = s n + an −1s n −1 + K + a1s + a0
Y el polinomio característico del sistema realimentado (polinomio deseado) es:
(
)
~ ~~
PR (s ) = sI − A − B K C = s n + α n −1s n −1 + K + α1s + α 0
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El estado que al que se le debe aplicar la matriz de realimentación calculada es el representado en
variables de fase
−1 r
~
x = TC x , es decir, el esquema del sistema realimentado quedará:
Lo cual equivale a aplicar una matriz de realimentación
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~
−1
K = KC ⋅ TC .
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Ejemplo 2:
Dado el siguiente sistema continuo:
6
2.5 ⎤
⎡ 4.5
⎡− 0.5⎤
r& ⎢
r ⎢
⎥
x = ⎢− 4.5 − 5 − 1.5 ⎥ ⋅ x + ⎢ 0.5 ⎥⎥ ⋅ u
⎢⎣ − 3.5 − 5 − 2.5⎥⎦
⎢⎣ 0.5 ⎥⎦
r
y = [9 3 6]⋅ x
Se pide calcular la realimentación del estado necesaria para que los polos del sistema realimentado
queden posicionados en:
s1, 2 = −1 ± j
s3 = −10
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3. AJUSTE DEL RÉGIMEN PERMANENTE.
Tal y como se ha estudiado, la realimentación del estado permite la localización de los polos del
sistema en los puntos que se desee mediante la modificación de los parámetros del polinomio
característico. En cambio, el polinomio del numerador (posición de los ceros) permanece invariable.
Esto provoca que se modifique la ganancia del sistema y, por tanto, el régimen permanente.
• Antes de realimentar, el sistema es:
G (s ) =
Y (s ) bn s n + bn −1s n −1 + K + b1s + b0
=
U ( s ) s n + an −1s n −1 + K + a1s + a0
• Tras la realimentación, el sistema se ha convertido en:
Y (s ) bn s n + bn −1 s n −1 + K + b1 s + b0
G (s ) =
=
R ( s ) s n + α n −1 s n −1 + K + α1 s + α 0
• El error en régimen permanente es: erp = r (∞ ) − y (∞ )
¾ Cuando la entrada del sistema realimentado es un escalón de amplitud K r :
r (t ) = K r
⇒ R (s ) =
Kr
s
⎛ b ⎞
erp = r (∞ ) − y (∞ ) = K r ⎜⎜1 − 0 ⎟⎟
⎝ α0 ⎠
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[ y(t )] = lim
[s ⋅ Y (s )]
donde: lim
t →∞
s →0
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erp
b
0
¾ Expresándolo como error relativo a la entrada: K = 1 − α
r
0
¾ Para que erp = 0, se debe cumplir que b0 = α 0 . Sin embargo, b0 viene impuesto por el
sistema, y α 0 se ha fijado de forma que se cumplan unas determinadas especificaciones
en el transitorio, por lo que no se puede modificar.
Una posible solución para ajustar el régimen permanente consiste en incluir una ganancia delante de la
entrada:
El modelo de estado del sistema queda:
r
r
r
x& (t ) = [ A − BK ]x (t ) + BK s r (t )
r
r
r
y (t ) = [C − DK ]x (t ) + DK s r (t )
Tema 7: Control por realimentación del estado
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Es decir, la matriz Ar no cambia con la inclusión de dicha ganancia.
La nueva función de transferencia queda:
G (s ) =
Y (s ) (bn s n + bn −1 s n −1 + K + b1 s + b0 )⋅ K s
=
R( s)
s n + α n −1 s n −1 + K + α1 s + α 0
Con lo cual, el nuevo error en régimen permanente cuando la entrada es un escalón de amplitud K r
queda:
erp
Kr
=1−
b0 K s
α0
Dicho error se puede disminuir ajustando adecuadamente el valor de la ganancia K s .
Problemas de este método:
• Saturación de la señal de control.
• Muy sensible a errores de modelización del sistema ( b0 no lo conozco de forma exacta).
• Amplifica las posibles perturbaciones del sistema.
Solución: Inclusión de un regulador integral.
Ejemplo 3:
En el problema anterior, calcular la ganancia Ks para que (i) la ganancia estática del sistema
realimentado sea 1 e (ii) que el sistema realimentado tenga la misma ganancia que el sistema inicial.
Tema 7: Control por realimentación del estado
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Ejemplo 4:
Dado el siguiente sistema continuo:
⎡ − 1.6 1.8 ⎤ r
⎡− 0.4⎤
r
⋅ x (t ) + ⎢
x& (t ) = ⎢
⎥
⎥ ⋅ u (t )
⎣− 0.2 − 0.4⎦
⎣ 0.2 ⎦
r
y (t ) = [1 2]⋅ x (t )
Se pide diseñar un sistema de control por realimentación del estado, de forma que el sistema
realimentado tenga una sobreoscilación máxima menor al 20% y un tiempo de establecimiento menor a
1 s, con un error de posición menor a 0.01 unidades.
Tema 7: Control por realimentación del estado
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4. CONTROL DE SISTEMAS DISCRETOS.
4.1. DISEÑO DEL BUCLE DE REALIMENTACIÓN:
La forma de calcular la realimentación necesaria en el caso de un sistema discreto es idéntica al
proceso descrito para sistemas continuos.
Dado un sistema discreto:
r
r
x (k + 1) = Gx (k ) + Hu (k )
r
y (k ) = Cx (k ) + Du (k )
Si realimentamos el estado con una matriz
K C = [k1 k2 K kn ] , la entrada u queda:
r
u (k ) = r (k ) − K C ⋅ x (k )
Por tanto, el nuevo sistema es:
r
r
x (k + 1) = (G − HK C )x (k ) + Hr (k )
r
y (k ) = (C − DK C )x (k ) + Du (k )
Por tanto, como en un sistema continuo, mediante la realimentación se puede cambiar la matriz G y,
por tanto, los polos del sistema. Para obtener un sistema de ecuaciones compatible del que se puedan
[
despejar los componentes de la matriz de realimentación K C = k1 k 2 K
expresar las matrices G y H en la forma canónica controlable (variables de fase).
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kn ] , es necesario
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Supongamos que el sistema es controlable. En este caso, la matriz Q tiene rango n, es invertible, y su
T
inversa estará compuesta por n filas ei (n es el orden del sistema). La inversa de la matriz de
transformación necesaria se construye a partir de la última fila:
[
Q= H
GH
G 2 H K G n−1H
]
⇒
⎡e1T ⎤
⎢ T⎥
e
−1
Q =⎢ 2⎥
⎢M⎥
⎢ T⎥
⎢⎣en ⎥⎦
⇒
TC
−1
⎡ enT ⎤
⎢ T ⎥
e G
=⎢ n ⎥
⎢ M ⎥
⎢ T n−1 ⎥
⎢⎣en G ⎥⎦
Mediante esta matriz cambio de base, pasamos de cualquier representación del sistema a la
representación en variables de fase, también denominada FORMA CANÓNICA CONTROLABLE:
⎡ 0
⎢ 0
⎢
~
−1
G = TC GTC = ⎢ M
⎢
⎢ 0
⎢⎣− a0
~
C = CT = [b0 − bn a0
1
0
M
0
1
M
0
− a1
0
− a2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
1 ⎥
O
K − an−1 ⎥⎦
K
K
K
0
0
M
⎡0 ⎤
⎢0 ⎥
⎢ ⎥
~
−1
H = TC H = ⎢ M ⎥
⎢ ⎥
⎢0 ⎥
⎢⎣1⎥⎦
b1 − bn a1 K bn−1 − bn an−1 ]
Que corresponde a la función de trasferencia:
G (z ) =
Y ( z ) bn z n + bn −1 z n −1 + K + b1 z + b0
= n
U ( z)
z + an −1 z n −1 + K + a1 z + a0
Tema 7: Control por realimentación del estado
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Donde el polinomio característico del sistema original es:
~
P( z ) = zI − G = z n + an−1 z n−1 + K + a1 z + a0
Si una vez realimentado el sistema, deseamos que el nuevo polinomio característico sea (este nuevo
polinomio se calcula a partir de los polos deseados):
(
)
~ ~~
PR (z ) = zI − G − HK C = z n + α n−1 z n−1 + K + α1 z + α 0
Entonces, la matriz de realimentación necesaria para conseguir este nuevo polinomio característico
es:
~
K C = [k1
k2
k3 K k n ] = [α 0 − a0 α1 − a1 α 2 − a2 K α n − an ]
Tras la realimentación, el sistema se ha convertido en:
G(z ) =
Y (z ) bn z n + bn−1 z n−1 + K + b1 z + b0
=
R( z ) z n + α n−1 z n−1 + K + α1 z + α 0
Por lo que, al igual que en sistemas continuos, se ha modificado la ganancia del sistema y, por tanto,
también se habrá visto modificado el error ante entrada escalón.
Tema 7: Control por realimentación del estado
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Para ajustar el error en régimen permanente también se podría optar por introducir una ganancia Ks al
principio del diagrama de bloques.
Cuando trabajamos con sistemas discretos, cabe tener en cuenta que la transformada de la secuencia
escalón unitario es:
r (k ) = {1,1,1,1,1, K} ⇒ R( z ) =
1
1 − z −1
Y que el teorema del valor final es:
[(
)
]
lim [ y (k )] = lim 1 − z −1 ⋅ Y (z )
k →∞
z →0
Tema 7: Control por realimentación del estado
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4.2. RESPUESTA CON OSCILACIONES MUERTAS:
La realimentación de un sistema discreto ofrece una posibilidad de situación de los polos muy
interesante.
La solución de la ecuación de estado de un sistema discreto, tal cual se estudió en el tema 4, es:
k −1
r
k r
x (k ) = G ⋅ x0 + ∑ G k −1− i H ⋅ u (i )
i =0
Cuando trabajamos con un sistema realimentado, dicha solución será:
k −1
r
k r
k −1− i
(
)
(
)
(H − DK C ) ⋅ u (i )
x k = G − HK C ⋅ x0 + ∑ (G − HK C )
i =0
Cuando aparece una perturbación en el sistema, se provoca un incremento en el estado. Al
desaparecer la perturbación, el estado evolucionará libremente hasta el valor que tenía antes de la
perturbación. De este modo, podemos estudiar cómo se comporta el sistema ante una perturbación,
sometiendo al sistema a un estado inicial y estudiando como evoluciona hasta el estado de equilibrio.
r
k r
x (k ) = (G − HK C ) ⋅ x0
Tema 7: Control por realimentación del estado
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r
k r
x (k ) = (G − HK C ) ⋅ x0
Si la matriz G − HK C tiene todos sus valores propios (polos del sistema) dentro del círculo unidad, el
sistema es estable y la perturbación provocará una respuesta dada por una exponencial decreciente,
tanto más rápida cuando cuanto más lejanos estén los polos del límite de estabilidad (circunferencia
unidad).
Si fijamos todos los polos del sistema en z=0, tendremos el sistema más rápido posible y, por tanto,
anulará las perturbaciones en el menor número posible de muestras. Dicha respuesta se conoce como
RESPUESTA CON OSCILACIONES MUERTAS.
Un sistema de orden n que tiene una respuesta con oscilaciones muertas elimina cualquier
perturbación (estado inicial) en n muestras.
En este caso, el polinomio característico deseado es:
PR ( z ) = z n
α n−1 = K = α1 = α 0 = 0
Por lo que la matriz de realimentación necesaria será:
~
K C = [k1
k2
k3 K k n ] = [− a0
− a1
− a2 K − an ]
Al realimentar con esta matriz, obtendremos una nueva matriz G:
Tema 7: Control por realimentación del estado
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⎡0
⎢0
⎢
~
~ ~
GR = G − HK C = ⎢ M
⎢
⎢0
⎢⎣0
1 0 K 0⎤
0 1 K 0⎥⎥
M M K M⎥
⎥
0 0 O 1⎥
0 0 K 0⎥⎦
Esta matriz de denomina matriz de potencia nula, y cumple la propiedad de que:
(G~ )
n
R
=0
Por tanto, independientemente de lo que valga el estado inicial, en el instante n y sucesivos el estado
del sistema valdrá:
( )
r
~ n r
x (n ) = GR ⋅ x0 = 0
En este tipo de respuestas no existe ningún tipo de libertad de diseño. El único parámetro que
podemos variar es el periodo de muestreo T, de forma que el tiempo de establecimiento será n·T.
-
Si T es muy pequeño, se elimina rápidamente la perturbación, pero esto supondrá valores de
la señal de control muy altos, que pueden saturar el sistema.
-
Si T es alto, no se corre el riesgo de saturar el sistema, pero se eliminan las perturbaciones
más lentamente.
Tema 7: Control por realimentación del estado
28
Sistemas Electrónicos y Automáticos
4º Ingeniería Industrial
Ejemplo 5:
Dado el siguiente sistema discreto, en el que el periodo de muestreo es de 0.1 segundos:
1⎤ r
⎡ 0
⎡0 ⎤
r
⋅ x (kT ) + ⎢ ⎥ ⋅ u (kT )
x ((k + 1)T ) = ⎢
⎥
⎣− 0.16 − 1⎦
⎣1⎦
r
y (kT ) = [1 2]⋅ x (kT )
Se pide diseñar un sistema de control por realimentación del estado, de forma que el sistema
realimentado se comporte:
a) Respuesta con oscilaciones muertas.
b) Respuesta subamortiguada una sobreoscilación máxima menor al 20% y un tiempo de
establecimiento menor a 1 s, con un error de posición menor a 0.01 unidades.
Tema 7: Control por realimentación del estado
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