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Estimateurs MCO en présence de l’autocorrélation des erreurs
(support de cours)
On suppose qu’on connaît les valeurs réelles des paramètres d’un modèle de régression
simple donné par :
Yt = α 0 + α 1 Xt + u t
(1)
où α0 = 5 et α1 = 0.7
On suppose que ut suit un processus AR(1). On a donc :
ut = ρut−1 + t
(2)
où t satisfait toutes les hypothèses de MCO. On suppose également que t ∼ N (0, 1)
On va considérer une autocorrélation positive avec ρ = 0.75.
On crée tout d’abord une série t puis en utilisant Eq. (2) on obtient la série pour ut . 1 Le
Tableau 1 présente ces séries.
Tableau 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
+---------------------+
|
epsilon
u |
|---------------------|
| 1.435194
4.43519 |
| -.5523433
2.77405 |
| -.3915626
1.68898 |
| .8068707
2.0736 |
|
1.70123
3.25643 |
|---------------------|
| -.4839957
1.95833 |
| 1.837664
3.30641 |
| .7744436
3.25425 |
| .4378094
2.8785 |
| -1.30839
.850483 |
+---------------------+
On obtient aussi la figure suivante pour ut .
1. Pour calculer ut pout t = 1 il faut donner une valeur initiale à cette série, on a donc mis u0 = 4.
1
Pour simplifier, supposer aussi que X=1,2,...,10. On utilise maintenant Eq. (1) avec les valeurs de ut que l’on vient d’obtenir (i.e. Y1t = 5 + 0.7Xt + ut ).
Cette série va donc contenir un terme d’erreur qui est AR(1). Pour comparaison, on va également créer Y2t = 5 + 0.7Xt + t pour lequel le terme d’erreur n’est pas autorégressif (i.e.
ρ = 0 et donc t = ut ). Les deux séries sont présentées dans le Tableau 2.
Tableau 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
+------------------------+
|
Y1
Y2
X |
|------------------------|
| 10.1352
7.13519
1 |
| 9.17405
5.84766
2 |
| 8.78898
6.70844
3 |
| 9.8736
8.60687
4 |
| 11.7564
10.2012
5 |
|------------------------|
| 11.1583
8.716
6 |
| 13.2064
11.7377
7 |
| 13.8543
11.3744
8 |
| 14.1785
11.7378
9 |
| 12.8505
10.6916
10 |
+------------------------+
En utilisant les valeurs des séries dans le Tableau 2 on estime maintenant les deux modèles
suivants :
Y1t = α10 + α11 Xt + ut
(3)
Y2t = α20 + α21 Xt + t
(4)
Les résultats de ces ajustements sont présentés dans les Tableaux 3 et 4, respectivement.
Tableau 3
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model |
26.887208
1
26.887208
Residual | 8.01527428
8 1.00190928
-------------+-----------------------------Total | 34.9024823
9 3.87805358
Number of obs
F( 1,
8)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
=
10
26.84
0.0008
0.7704
0.7416
1.001
-----------------------------------------------------------------------------Y1 |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------X |
.5708814
.1102014
5.18
0.001
.3167564
.8250063
_cons |
8.357776
.6837819
12.22
0.000
6.780972
9.934579
------------------------------------------------------------------------------
2
Tableau 4
Source |
SS
df
MS
-------------+-----------------------------Model | 33.0764707
1 33.0764707
Residual |
9.9975894
8 1.24969867
-------------+-----------------------------Total | 43.0740601
9 4.78600668
Number of obs
F( 1,
8)
Prob > F
R-squared
Adj R-squared
Root MSE
=
=
=
=
=
=
10
26.47
0.0009
0.7679
0.7389
1.1179
-----------------------------------------------------------------------------Y2 |
Coef.
Std. Err.
t
P>|t|
[95% Conf. Interval]
-------------+---------------------------------------------------------------X |
.6331879
.1230767
5.14
0.001
.3493726
.9170032
_cons |
5.793159
.7636706
7.59
0.000
4.032131
7.554186
------------------------------------------------------------------------------
Les droites de régression pour ces deux ajustements sont données dans la figure suivante où
on a également les valeurs de la population Yt = 5 + 0.7Xt .
3