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第 30 回 愛媛和算研究会
『現代数学教育に取り入れたい和算家の解法』
(資料発表)
長崎和算研究会
〒856-0827
米光 丁
大村市水主町 1-978-90
Tel＆Fax 0957-54-4507
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URL
http://hyonemitsu.web.fc2.com
はじめに
第 30 回愛媛和算研究大会のご案内を頂き、参加できないが資料発表ということでお願いできれば
と思い、『精要算法』巻之下(1781 年藤田定資著)の問題を『初等数学』(松田康雄氏発行)という研究誌
に掲載さて頂いている和算講座の次回分を発表してみます。皆様のご指導、ご教示をお願いします。
『精要算法』巻之下、問題 37. より
原文
問題.37
今図の如く、直角三角形内に大中小の円が内接している。
中円の直径 4635 寸、小円の直径が 2060 寸のとき大
円の長径はいくらか。
小円
釣
答曰く 大円の長径 7031 寸 000 有奇
術
大
中径に小径を掛けて平方に開きこれを天とする。天を
円
股
中
2 倍して中径と小径を加えてこれを地とする。1.5 より
円
斜率( 2)を引き余りに地を掛けてこれを人とする。
人に 2 天を加え人を掛けてこれを平方に開き、人と天
を加えると大径に合問
- １ -
術
天＝ 中径×小径＝ 4635×2060＝3090
地＝2 天＋中径＋小径＝12875
人＝(1.5－ 2)地＝1104.500389
(人＋2天)×人＝ (7284.500389)×1104.500389＝2836.50022
大径＝ (人＋2天)×人＋人＋天＝7031.000609 寸となる。
(解法)
解法)1. 『精要算法集解』北川孟虎著文政 8 年 1825 年の解法
補助円を加え『算法天生法指南』第五巻会田安明著(1810)・『精要算法』等の結果を利用したもの。
1.黒円(補助円)を入れ
小
釣
小
⇒
大
釣
⇒
大
中
円
小
円
中
円
股
全
大
股
中
2.全＝ 大・ 中＋ 大・ 小＋ 中・ 小を利用する。
A
小円
O3
O1
O1
極
⇒
円
小
円
大
中
O2
O4
B
D
E
O4
円
B
C
股
D
E
△OBE に大円と B の間に極小円を内接させて考える。大円、中円、小円、極小円の中心をそれぞれ
O1,O2,O3,O4、各円の直径を d1,d2,d3,d4 とすると
d1
d1 d4 d4
O1B の長さは
2＝ ＋ ＋
2 ,
2
2 2 2
d1
BE の長さは d1d4,O1E の長さは
2
2(d1－d4)＝d1＋d4 両辺を平方して 2(d12－2d1d4＋d42)＝d12＋2d1d4＋d42,
d12－6d1d4＋d42＝0
d4＝3d1± 9d12－d12＝3d1－2 2d1 ,d4＝2d1－2 2d1＋d1
d4＝2d1－2 2d1＋d1＝( 2d1－ d1)2
,
d4＝ d1( 2－1)
小
円
ここで『算法天生法指南』第五巻会田安明著(1810)
・『算法新書』千葉胤秀著(1830)
全
・『精要算法』巻之下前問結果などを利用する。
円
※『初等数学』第 72 号和算講座 35 回(拙著)
大
を参照してください。
円
- 2 -
中
円
全＝甲＝ 大・ 中＋ 大・ 小＋ 中・ 小
だから
全＝d1,大＝d4 ,中＝d2,小＝d3 ,とすると
d1＝ d4・ d2＋ d4・ d3＋ d2・ d3
d2・ d3＝A とおく
d1－A－ d4 ( d2＋ d3)＝0
d4＝ d1( 2－1)より
d1－A－ d1( 2－1)( d2＋ d3)＝0
d2＝4635 寸、d3＝2060 寸
A＝ 4635×2060＝3090 , 2－1＝B, B2＝3－2 2≒0.171572 とおく
d1－3090＝ d1B( d2＋ d3)
d12－6180d1＋9548100＝d1B2(d2＋2A＋d3)
d12－d1(6180＋2208.9895)＋9548100＝0
d12－2d14194.49475＋9548100＝0
d1＝4194.49475± 17593786.2－9548100(－は不適当)
d1＝4194.49475＋2836.491882＝7030.986632
d1≒7031 寸
(解法 2.)
2.)内接円に六斜を書き、子丑＋寅卯＝辰巳(トレミーの定理:『数理無尽蔵』1830 年池田純夫著を
利用したもの
『精要算法解』梅村重徳著明治 4 年(1871 年)より
子丑＋寅卯＝辰巳(トレミーの定理)を利用する。
小
釣
小
⇒
大
大
卯 辰 丑
中
円
子
股
中
巳
寅
(解法)
六斜便覧矩合によって
氐＝ 大( 中＋ 小)
(『算法助術』(前田賀前著 1841 年)第 40 番より)
子＝
大
2
(子は直角三角形に内接する大円の半径の斜辺)
大氐
丑＝
( 大＋ 中)( 大＋ 小)
小
氐
大
卯 辰 丑
子
(『算法助術』第 51 番より)
- 3 -
巳
寅
中
寅＝
卯＝
大 中
大＋ 中
小
大 小
大＋ 小
大
O
大A 2
2 寅
(証明)
正弦定理より
中
B
1
1
寅 2＝ 大 2－ 大 2cos∠BOA
2
2
1
1
大－中
大 中
大 小
＝ 大 2－ 大 2・
,寅＝
同様にして卯＝
2
2
大＋中
大＋ 中
大＋ 小
大( 大＋ 小)
辰＝
2 大＋小
小
(証明)
卯
中勾 辰
子
子卯
中勾＝
(『算法助術』第 25 番より)
大
辰＝ 子2－中勾2＋ 卯2－中勾2＝子
＝
大
2
(
卯2
1－ 2＋卯
大
子2
1－ 2
大
中
大
)2
2
大 小
1 大( 大＋ 小)
1－
＋
・ ＝
大2
大＋ 小
2
2 大＋小
大( 大＋ 中)
同様に巳＝
2 大＋中
子丑＋寅卯＝辰巳(トレミーの定理:『数理無尽蔵』)に代入する
大
大氐
大 中
大 小
大( 大＋ 小) 大( 大＋ 中)
・
＋
・
＝
・
2 ( 大＋ 中)( 大＋ 小)
大＋ 中
大＋ 小
2 大＋小
2 大＋中
1
大2氐
大2( 大＋ 中)( 大＋ 小)
{
＋大 2 中小－
}＝0
2
( 大＋ 中)( 大＋ 小)
2
{
大( 中＋ 小)
( 大＋ 中)( 大＋ 小)
＋ 中小－
}＝0
2
2
2 大( 中＋ 小)＋2 中小－( 大＋ 中)( 大＋ 小)＝0
2 大 中＋ 2 大 小＋ 中小－(大＋ 大 小＋ 大 中)＝0
大 中( 2－1)＋ 大 小( 2－1)＋ 中小－大＝0
( 2－1)( 中＋ 小) 大＋ 中小－大＝0
( 2－1)( 中＋ 小) 大＝大－ 中小
平方して
大(3－2 2)(中＋小＋２ 中小)＝大 2－2 大 中小＋中小
ここで中＝4635 寸、小＝2060 寸、 中小＝3090 寸を代入して
大(3－2 2)(4635＋2060＋6180)＝大 2－大 6180＋9548100
大 2－大(44805－ 225750)＋9548100＝0
大 2－25750 大(1.74－ 2)＋9548100＝0
大＝12875(1.74－ 2)± 128752(1.74－ 2)2－9548100
- 4 -
大＝4194.500389± 128752(1.74－ 2)2－9548100 (－は不適当)
＝4194.500389＋2836.500215
＝7031.000604 寸
≒7031 寸となる。
同様の問題を扱っている文献
『滋賀の算額』桑原秀夫・山口正・吉田柳二著昭和 52 年 p.16 大浜神社
『算法浅問抄解義』和算書の紹介北原勲著平成 17 年 p.91
などがある。
おわりに
「愛媛和算研究会」に参加させてもらいこの問題の説明をすべきところ、資料発表とさせて頂きました。
大変心苦しいところがありますが、この資料を先生方が生徒の皆さんに利用して頂けるならば
たいへん幸せに思います。
尚「初等数学」・「和算を楽しむ会・大村」・「長崎和算研究会」・「チャレンジ問題」のレジュメは毎
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てみてください。
- 5 -