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位相空間と分離公理
コンパクトそして
コホモロジー
S. Kusafusa
位相空間
定義. Xを集合,B(X)を巾集合とする.
集合族O⊂B(X)がXの位相 (topology)とは, 次を満たすこと:
(1) ∅, X ∈ O.
(2) ∀O1, O2 ∈ O, O1 ∩ O2 ∈ O.
(3) ∀Oλ (λ∈Λ),Uλ∈Λ Oλ ∈O.
集合 X と位相 O の組 (X, O) を 位相空間(topological space)と呼ぶ.
O:= Ｂ(X). 離散位相
O:= Ｂ{∅, X} 密着位相
分離公理
分離公理とは、位相が弱すぎないための条件
定義 位相空間 (X, O) に対して, 次の条件を 分離公理 と呼ぶ:
(T1) ∀x, y ∈ X (x ≠ y), ∃O ∈ O : x ∈ O, y ∉ O.
(T2) ∀x, y ∈ X (x ≠ y), ∃O1, O2 ∈ O : x ∈ O1, y ∈ O2, O1 ∩ O2 = ∅.
(T3) ∀F ∈ A, ∀x ∉ F , ∃O1, O2 ∈ O : x ∈ O1, F ⊂ O2, O1 ∩ O2 = ∅.
(T4) ∀F1, F2 ∈ A (F1 ∩ F2 = ∅), ∃O1, O2 ∈ O : F1 ⊂ O1, F ⊂ O2, O1 ∩ O2 = ∅
(T2) 2 点を, 開集合で分離できる.
(T3) 点と閉集合を, 開集合で分離できる.
(T4) 2 つの閉集合を, 開集合で分離できる.
実数 R に対して、
(1) 標準的な位相と離散位相は, (T1), (T2), (T3), (T4) を全て満たす.
(2) 密着位相と位相 {(a, +∞)} ∪ {∅,R} は, (T1), (T2), (T3), (T4) を全て満たさない.
位相空間 (X, O) に対して,
(1) (X, O) が ハウスドルフ空間 であるとは, (T2) を満たすこと.
(2) (X, O) が 正則空間 であるとは, (T1) と (T3) を満たすこと.
(3) (X, O) が 正規空間 であるとは, (T1) と (T4) を満たすこと.
コンパクトをイメージで理解
位相空間の部分集合について、その任意の開被覆が有限部分被覆を持つことを
コンパクトという
開被覆とは、位相空間Xの部分集合Aと、Oλ
これがAを覆うとき、{Oλ|λ∈J} をAの被覆という、開披服は無限にある
AはXの コンパクト集合
コンパクト 有界かつ閉
CをRにおけるコンパクト集合とする。まず有界性を示す
{(−n,n):n∈N}はCの開被覆となるので、有限個を選んでCを覆うことができる
そのうち右端の最大のものを(−m,m)とすればCはこれに含まれ、上界mと下界−mを
持つ
次にCがRの閉集合であることを示す
Cの補集合R−Cの任意の要素aをとる
Cの各要素xに対してϵ(x)=|a−x|/2とすれば、ϵ(x)>0であり、(x−ϵ(x),x+ϵ(x))∩(a−ϵ
(x),a+ϵ(x))=∅となる
{(x−ϵ(x),x+ϵ(x)):x∈C}は集合Cの開被覆であるので、この中から有限個の(xi−ϵ(xi),xi+
ϵ(xi)) (i=1,2,…n)を適切に選んでVをその和集合とすればC⊂Vとなる
い一方、ϵ(xi) (i=1,2,…n)の最小値をpとすればV∩(a−p,a+p)=∅、したがって
(a−p,a+p)⊂R−C
以上によりR−CはRの開集合であるから、Cは閉集合である。Q.E.D.
有界かつ閉 コンパクト
CはRにおいて有界かつ閉集合であるとする. 集合族UをCの開被覆とし、その有限個の要
素を選んでCを覆うことはできないと仮定して矛盾を導く.
Cは有界であるので、C⊂[a,b]となる閉区間が存在する. [a,b]を半分に分けて[a,(a+b)/2],
[(a+b)/2,b]を考え、Cとの共通部分をそれぞれCleft, CrightとすればC=Cleft ∪ Crightであ
る. したがって、Cleft,Crightのうち少なくとも一方はUから有限個を選んで覆うことがで
きない. 覆えない方を包含する閉区間を[a1,b1]とし同じ操作を繰り返すと、区間縮小列
[a,b]⊃[a1,b1]⊃⋯⊃[an,bn]⊃⋯ができ、どのnに対してもC ∩ [an,bn]は、Uの有限個で覆え
ない. 一方、カントールの共通部分定理により、これらの区間のすべてに属する要素pが
存在する.
(i)p∈Cのとき：p∈V∈Uなる開集合Vが存在するが、十分大きなnをとれば[an,bn]⊂Vとなる
ようにすることができる. そのためには(p−ϵ,p+ϵ)⊂Vを満たすϵ>0をとり、[an,bn]の幅
(b−a)/2nがϵより小さくなるようにnをとればよい. (アルキメデス公理)
(ii)p∉Cのとき：CはRの閉集合なのでR−Cは開集合であり、(i)と同様の方法で十分大きな
nをとれば[an,bn]⊂R−Cとなるようにすることができる.
(i)(ii)のいずれにせよ、C∩[an,bn]がUの有限個の要素で覆えないことに矛盾する. Q.E.D.
有限次元空間 Rm では、有界閉集合
コンパクト集合
無限次元空間では 有界閉集合 ⇐ コンパクト集合 のみ成立
(注意) Rm の距離は,通常のユークリッドノルム から決まる距離.
(実は,ノルムのとり方によらずに,上のことが成り立つ.)
(注意) Rm の部分集合 K が有界とは,ある実数 M > 0 が存在して,任意の x ∈ K に対し
て、 ||x||2 ≤ M が成り立つことをいう.
・コンパクト集合上の連続関数は,最大値と最小値をもつ ← 最適化ができる
・コンパクト集合上の連続関数は,一様連続 ← 近似ができる
例えば,
・f (x) = x(1 − x) は,開区間 (0, 1) において最大値をもつ(f (1/2) = 1/4)が、最小値をも
たない.
・f (x) = tan x は,開区間 (−π/2, π/2) において最大値も最小値ももたない.
・f (x) = 1/x は,開区間 (0, 1) において連続であるが一様連続でない.
点列によるコンパクト性の定義
(X, d): 距離空間, K: X の部分集合
定義(点列コンパクト): 集合 K が点列コンパクト
K に含まれる任意の点列 (xn)n∈N が
K の中の点に収束する部分列をもつ.
定義(有界):集合K が有界
あるM > 0とa ∈ K が存在して、任意のx ∈ K に 対して
d(x, a) ≤ M が成り立つ.
(注意) 有界の定義における a は、任意に選ぶことができる.
すなわち、
∃M > 0, ∃a∈K, ∀x∈K : d(x,a)≤M
∃M > 0, ∀a∈K, ∀x∈K : d(x,a)≤M
が成り立つ.
証明:⇐ は明らか.
は,ある a ∈ K について成り立つとき、別の b ∈ K を任意にとると、
任意のx ∈ K に対してd(x,b) ≤ d(x,a)+d(b,a) ≤ 2M となる.
基本群と被覆
X は弧状連結な位相空間として、基点 x0 ∈ X を固定する.
連続 写像γ : [0,1] → X でγ(0) = γ(1) = x0 を満たすものを、x0 を基点とする X のループ
とよぶ.
このようなループ全体に基点を固定するホモトピー による同値関係を入れ、同値類の
集合を π1(X, x0) で表す.
x0 を基点とす る X のループ α, β に対して合成 α · β を、α · β(t) = α(2t) 0 ≤ t ≤ 1/2 、
β(2t−1) 1/2≤t≤1 で定義すると、π1(X, x0) に群構造を定めることがわかる.
このようにし て定義された群 π1(X, x0) を X の基本群 (fundamental group) とよぶ.
一般に基本群が単位元のみからなる位相空間は、単連結 (simply connected) であると
いう.
また、G-被覆 π : X → X で、X~ が単連結である とき、π : X~ → X を普遍被覆
(universal covering) という.
被覆写像は、局所自明条件を満たす
直感的には、そのような写像は局所的には、パンケーキのスタックを開いた領域
U の上へ射影する
コホモロジー
「何か似たようなことあり、共通するものがある」
コホモロジーの始まりは、混沌とした存在の中で
aは、bに似ている
aとbには共通なものがある
どうでもいいところを無視すると、
aとbは本質的には同じだ
コホモロジーは、割り算のこと
14を3で割ると、14=4・3+-2だが、この余り2がコホモロジーの元にあたる
核(kernel)
像(image)
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