4e – Chapitre IV – Géométrie analytique
CHAPITRE IV
GEOMETRIE ANALYTIQUE
Table des matières
A) Repères ……………………………………………….. p 1
B) Calcul vectoriel élémentaire (opérations, #, milieu,
centre de gravité, équations vectorielles) ......................
p3
C) Vecteurs colinéaires, alignement, vecteurs directeurs
p5
D) Equations d’une droite ………………..........................
p6
E) Divers …………………………………………………. p 8
A) Repères
1)
Soit ABCD un parallélogramme de centre O et I, J, K, L les milieux des quatre
côtés (voir figure).
a) Déterminez les coordonnées des points O, A, B, C, D, I, J, K et L
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4e – Chapitre IV – Géométrie analytique
(
)
dans le repère ( C, OI, OJ )
i) dans le repère O, OI, OJ
ii)
iii) dans le repère (B, BA, BC)
b) Déterminez les coordonnées des vecteurs AB , BC , IJ , LC , BD et JA dans le
(
)
repère O, OI, OJ :.
2)
Soit ABCDEF est un hexagone régulier de centre O :
(
)
Déterminez les coordonnées des vecteurs suivants dans le repère O, OA, OB :
AF , FE , ED , DC , CB , BA , BF , BE , FD , DB .
3)
Dans un repère orthonormé du plan, on donne les points A ( −1, 4 ) , B ( 3, 7 ) et
C ( 2, −5 ) . Calculez les coordonnées du point K défini par AK + 2BK − 4KC = 0 :
a) dans le repère orthonormé.
(
)
b) dans le repère A, AB, AC .
4)
Calculez les coordonnées exactes des points A et B de la figure suivante :
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4e – Chapitre IV – Géométrie analytique
5)
Soient ∆ ( ABC ) un triangle quelconque et G son centre de gravité. Calculez les
(
)
coordonnées de G dans le repère A, AB, AC .
B) Calcul vectoriel élémentaire (opérations, #, milieu, centre de gravité,
équations vectorielles)
6)
 1
Soient les points A ( −2; 0 ) , B 1;  et C ( −20; −3) .
 2
a) Calculez les coordonnées des vecteurs AB , AC et 5 ⋅ CB .
b) Calculez les coordonnées du point D tel que ABDC est un parallélogramme.
c) Calculez les coordonnées du point E tel que 3 ⋅ BA + 7 ⋅ EC = 0 .
d) Calculez les coordonnées du milieu de [ AC] .
e) Calculez les coordonnées du centre de gravité de (ABC).
7)
 3   −5 
 4
On donne u   , v   et w   dans un R.O.N.. Calculez :
 −4   −2 
 6
a) a = 3 ⋅ u − 2 ⋅ v + w .
1
3
b) b = − ⋅ v + 2 ⋅ u − ⋅ w .
2
2
8)
Soient A ( −8;3) , B ( 5; −7 ) , C ( −1; −3) et D ( 5;0 ) .
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4e – Chapitre IV – Géométrie analytique
a) Déterminez E et F tels que (ABCE) = # et (BFDC) = #.
b) Déterminez H tel que 3 ⋅ BA − 5 ⋅ CD = BC − 2 ⋅ AH .
c) Déterminez K tel que AK − 3 ⋅ KB + 2 ⋅ CK = 0 .
d) Déterminez A ' = mil [ AB] , B ' = mil [ BC] , C ' = mil [ CD ] et D ' = mil [ DA ] puis
examinez la nature du quadrilatère (A’B’C’D’).
9)
On donne A ( −3;5 ) , B ( 4; 2 ) , C ( 7; −5 ) et on appelle A’, B’ et C’ les milieux
respectifs de [ BC] , [ AC] et [ AB] .
a) Calculez les coordonnées des vecteurs BC et B' C' .
b) Que peut-on conclure en comparant ces deux vecteurs ?
c) Calculez AA ' + BB' + CC '
10) Soit un triangle ABC, A ' = mil [ BC] , B ' = mil [ AB] , C ' = mil [ BC] . Montrez en
vous servant des coordonnées de ces points dans un repère bien choisi que les
triangles ∆ ( ABC ) et ∆ ( A′B′C′ ) ont le même centre de gravité.
11) Soient A ( 3x;5 ) , B ( x − 6; y + 13) , C ( 8; y ) , D ( 5x + 1; −8 ) , E ( 5; −1) et F ( x + 1; −7 )
avec x, y ∈ ℝ . Analysez s’il est possible de trouver x et y tel que :
a) E soit le milieu de [ AB] ?
b) (ABCD) soit un # ?
c) E soit l’image de A par la symétrie de centre D ?
d) E soit le centre de gravité du triangle ∆ ( ABC ) ?
e) t DA ( F ) = E ?
12) Soient A ( −5;7 ) , B ( 4; −9 ) et C ( −8; −2 ) .
a) Déterminez les points D, E, F définis par les équations vectorielles suivantes :
2 ⋅ AD = DB
CE − 3 ⋅ AB + 3 ⋅ AE = BE
AC + 3 ⋅ CB + AF = AB − 2 ⋅ BF
b) Montrez que les triangles ∆ ( ABC ) et ∆ ( DEF ) ont le même centre de gravité.
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4e – Chapitre IV – Géométrie analytique
13) Soient A ( −5, 4 ) , B ( 4,3) et C (1, −4 ) .
a) Déterminez les coordonnées du centre de gravité G du triangle ∆ ( ABC ) .
b) Déterminez les coordonnées du milieu A ' de [ BC] .
c) Déterminez les coordonnées du symétrique D de G par rapport à A ' .
d) Quelle est la nature du quadrilatère (GBDC) ? Justifiez !
C) Vecteurs colinéaires, alignement, vecteurs directeurs.
 2 15 
 9
 3 
14) Soient A ( −13; 7 ) , B  ; −  , C  x;  et D  − ; y  . Déterminez x et y pour
3 8 
 5
 11 
que A, B, C, D soient alignés.
 −3 
15) Soient les points A ( −3; 6 ) , B ( −1; −1) , C ( 4; −3) et le vecteur u   avec a ∈ ℝ .
a 
a) Calculez les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.
b) Déterminez de deux manières différentes les coordonnées du point D pour que
(DABC) soit un parallélogramme.
c) Déterminez le réel a pour que les vecteurs AC et u soient colinéaires.
d) Calculez les coordonnées du point E = t CB ( A ) .
e) Calculez les coordonnées du point F = s A ( C ) .
16) Soit (ABCD) un parallélogramme, I le milieu de [AD], P le point défini par
AP = 13 AB et Q = s A ( I ) (figure !). En choisissant un repère approprié, montrez que
les points Q, P et C sont alignés !
17) Soient A ( −7;3) , B ( 2;5) , C ( 4; −2 ) et D ( −12,6; 22, 6 ) . Montrez que (ABCD) est
un trapèze.
18) Soient points A ( −4, −3) , B ( 2, −1) , C ( 0,3) et D ( −8,5 ) .
a) Est-ce que (ABCD) est un parallélogramme ?
b) Est-ce que (ABCD) est un trapèze ?
c) Déterminer les coordonnées du point E tel que (ABCE) soit un parallélogramme.
d) Montrer analytiquement et géométriquement que A, E et D sont alignés.
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19) Soit ∆ ( ABC ) un triangle quelconque, I le milieu de [AB], J le point tel que
AJ = − AC et K le point tel que 2KB + KC = 0 .
a) Déterminez les coordonnées des points A, B, C, I, J et K dans le repère
( A, AB, AC ) .
b) Montrer que les points I, J et K sont alignés.
D) Equations d’une droite
3
20) Représentez la droite d passant par A ( −2;5 ) et de vecteur directeur u   .
 −7 
Trouvez une équation cartésienne de d.
21) Déterminez une équation de la droite d passant par E ( 9; −7 ) et par F ( −2; 0 ) .
22) Déterminez une équation cartésienne de la droite a qui passe par le point A ( −3;5 )
et qui est parallèle à la droite d ≡ y = 3x − 67 .
23) Déterminez une équation de la droite d passant par A ( 6;1) et parallèle à la droite
a≡y=
2
x+4.
3
24) Soient la droite d ≡ 7x − 2y + 2 = 0 et le point A ( 2;8 ) .
a) Déterminez le coefficient angulaire (pente) de d.
b) Analysez si d passe par A.
c) Déterminez une équation de la droite d′ d passant par l’origine du repère.
25) Dessinez les droites suivantes dans un repère (unités : 1 cm) :
a ≡ y = 2x − 3
3
b ≡ y=− x+4
2
c ≡ 2x + y + 1 = 0
d ≡ y = −3 ( x + 2 ) + 5
e ≡ 3x − 2y + 1 = 0
f ≡ 3( x − 2) = 6
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26) Donnez l’équation réduite de chacune des quatre droites de la figure suivantes :
27) Soient les points A ( −3; −1) , B ( 2;1) et C ( 6; x ) . Calculez x sachant que C ∈ ( AB ) .
28) Complétez le tableau suivant par les infomations manquantes sur les droites a, b, c
et d :
droites
Equation
générale
a
x + 3y − 5 = 0
b
Equation Vecteur Pente Ordonnée
Point à
réduite directeur
à
coordonnées
l’origine
entières
y=
4−x
3
−8
c
d
7
d 
 −2 
C ( 4, 0 )
D ( −3,5)
29) Soient R ( 3; −2 ) , S ( 5;1) , T ( −4; −1)
a) Déterminez une équation cartésienne de (RS).
b) Est-ce que T ∈ ( RS) ?
c) Déterminez une équation cartésienne de la droite d telle que T ∈ d et d
d) Trouvez trois autres points de d
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( RS) .
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30) Soient les points A ( −4,1) , B (12, −3) et C ( 24, −6 ) .
a) Est-ce que A, B et C sont alignés ?
b) Déterminez une équation cartésienne de la droite ( AB ) .
c) Les points O ( 0, 0 ) et D ( 21, −5 ) appartiennent-ils à la droite ( AB ) ?
31) Dessinez dans un repère les droites a, b, c passant par l’origine et ayant pour pentes
2
5
respectivement − , 0 et .
3
2
32) Soient A ( −3; 0 ) , B ( 5; −2 ) , C ( 3;3) .
a) Déterminez une équation cartésienne de la droite d1 passant par A et de vecteur
directeur BC .
b) Déterminez une équation cartésienne de la droite d 2 passant par C et parallèle à
la droite (AB).
E) Divers
33) Résolvez d’abord graphiquement puis algébriquement le système :
2x + 5y = 10

 3x − 2y = 6
34) Résolvez algébriquement les systèmes suivants :
2x − 1 = 8y − x
a) 
16y = 6x − 4
x
 2 − 9y = 14x
b) 
 7x + y = 3
 4 6
2x + 3y = 12
c) 
 x − 6 − 2y = 0
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3 ( x − 2y ) − 7x = 5 − ( x + 8 )

d) 
x y+2
−
=1

5
7

 3x − 3 1 − 2y
 2 − 6 = 2
e) 
−2x − 8y + 2 = 5

3
3x − 4y = 13

f) 
8
−2x + 3 y = 3
 4x − 3 ( 2y − 6 ) = 5

g)  x − 1 2y − 5
 3 − 2 = x −2

x + 2 y + 4
 2 + 3 = 5
h) 
 2x − 1 − y + 1 = −2
 4
7
i)
2x − 3

=6
y −
3

2x − 3y = 5
 3x − 2 7 − y
 2 + 3 = 1
j) 
 6 − 5x − y + 2 = y
 5
15
35) M. Dupont a acheté au total 30 bouteilles de vin. Une bouteille de vin rouge coûte
18 € et une bouteille de vin blanc coûte 12 €. Sachant que M. Dupont a dû payer un
montant de 438 €, combien de bouteilles de chaque sorte a-t-il acheté ?
36) Soient A ( 2x − 1; 4y + 5) , B ( 4 − y;7 − 2x − 3y ) et I ( −8;3) où x et y sont deux
nombres réels. Est-il possible de trouver x et y tel que I soit le milieu de [ AB] ?
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4e – Chapitre IV – Géométrie analytique
37) Soient A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K et L les points définis par :
A ( −1, −1) , B ( 3, −1) , C ( 3,3) , D ( −1,3) ,
E = mil [ AB] , F = mil [ BC] , G = mil [ CD] , H = mil [ AD] ,
I ∈ ( DE ) ∩ ( AF ) , J ∈ ( AF ) ∩ ( BG ) , K ∈ ( BG ) ∩ ( CH ) et L ∈ ( CH ) ∩ ( DE )
a) Figure.
b) Calculez les coordonnées de E, F, G et H.
c) Calculez les coordonnées de I, J, K et L.
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