Propagation guidée Contents I II Petits trucs à connaître 2 Guide diélectrique 2 III Fibre optique 3 IV Modèle de la ligne à constantes réparties 3 1 Propagation guidée Pougne Pandore Dans le cas général, il s’agit de retrouver dans le cours/BE/exos la partie qui correspond. Part I Petits trucs à connaître Les formules contenant U sont valables pour E et B. → −→ → − − → − Formule de Helmoltz ∆ U + ω 2 µ0 i U = 0 Formule de dispersion kx2 + ky2 + kz2 = k 2 Rapport d’ondes stationnaires (ROS) Puissance transportée AX S = | VVMmin | P (z) = 12 Re(V I∗) Les différents modes • mode TEM : Ez et Hz nuls • mode TE : Ez nul et Hz non nul • mode TM : Hz nul et Ez non nul • mode hybride : Ez et Hz non nuls Z impédance de mode • TEM : Z = q • TE : Z = ωµ kz • TM : Z = kz ω µ Part II Guide diélectrique Ceci est dans le poly de cours, on rappelle les grandes étapes. Rappel : ∂ ∂x ≡ iβ où β = d2 H ⇒ dx2zi + χ2i Hzi = 0 où χ2i = µ0 i ω 2 − β 2 χ2i peut être : • positive ⇒ χi réel, donc une solution en exp • ou négative ⇒ χi imaginaire pur, donc une solution en cos ou sin Condition de propagation Dans le milieu d’indice n1 : n2 : n3 : sup(n2 , n3 ) ≤ kβ0 ≤ n1 solution en cos/sin (pour canaliser l’onde) solution en exp décroissante (limx→+∞ U (x) = 0) solution en exp croissant (limx→−∞ U (x) = 0) page 2 2π λ Propagation guidée Pougne Pandore Méthodes on résout grâce aux conditions limites et à la continuité des composantes tangentielles Eyi (x = 0+ ) = Eyi (x = 0− ) Eyi (x = d+ ) = Eyi (x = d− ) r Si on note e l’épaisseur normalisée, la formule générale est e = 2πd λ = √ 12 (arctan[ n1 −α α2 −n22 ] + arctan[ n21 −α2 r α2 −n23 ]+ n21 −α2 nπ) • α= β k0 : dépend de λ en gros • n : correspond à l’ordre du mode TE et ec = e(α = sup(n2 , n3 )) Pour un e0 donné, on peut savoir les modes disponibles (il suffit de voir les courbes e(α) qui coupent e0 ) Part III Fibre optique On se place en coordonnées cylindriques. 2 1 ∂2U 2 Helmoltz donne ∂∂rU2 + 1r ∂U ∂r + χi U + r2 ∂ϕ2 = 0 Résolution : • Séparation des variables U = R(r)Φ(ϕ)Z(z)T (t) • résolution en r puis en ϕ q 2πa 2 2 Fréquence normalisée : V = πa λ0 n1 − n2 = λ0 ON où ON est l’ouverture numérique de la fibre Part IV Modèle de la ligne à constantes réparties • γ constante de propagation • Γ1 = Z1 −Zc Z1 +Zc • Zc = V (x) I(x) et Γ1 = On obtient V (x) = Z1 −Zc Z1 +Zc 1−Γ1 E −γx 2 1−Γ1 Γ2 e−2γl0 (e + Γ2 eγ(x−2l0 ) ) On étudie chaque ligne séparément. page 3 Propagation guidée Pougne Pandore • ligne 2 : ∀x ∈ [l1 , l1 + l2 ], V (x) = V (e−jγ2 x + Γejγ2 (1−2(l1 +l2 )) ) R −R ici, l0 = l1 + l2 et Γ2 = Rcc2 +Rcc2 = 0 (ligne adaptée), donc V2 (x) = V2 ejγ2 x 2 • ligne 1 : Γ1 = Rc2 −Rc1 Rc2 +Rc1 , 2 V1 (x) = V1 (e−jγ1 x + Γ1 ejγ1 (x−l1 ) ) On récupère V1 et V2 grâce aux conditions limites. (et continuité) E(0) = V1 (0) + Rc1 I1 (0) V1 (l) = V 2(l) page 4
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