Propagation guidée
Contents
I
II
Petits trucs à connaître
2
Guide diélectrique
2
III
Fibre optique
3
IV
Modèle de la ligne à constantes réparties
3
1
Propagation guidée
Pougne Pandore
Dans le cas général, il s’agit de retrouver dans le cours/BE/exos la partie qui correspond.
Part I
Petits trucs à connaître
Les formules contenant U sont valables pour E et B.
→
−→
→
−
−
→
−
Formule de Helmoltz ∆ U + ω 2 µ0 i U = 0
Formule de dispersion kx2 + ky2 + kz2 = k 2
Rapport d’ondes stationnaires (ROS)
Puissance transportée
AX
S = | VVMmin
|
P (z) = 12 Re(V I∗)
Les différents modes
• mode TEM : Ez et Hz nuls
• mode TE : Ez nul et Hz non nul
• mode TM : Hz nul et Ez non nul
• mode hybride : Ez et Hz non nuls
Z impédance de mode
• TEM : Z =
q
• TE : Z =
ωµ
kz
• TM : Z =
kz
ω
µ
Part II
Guide diélectrique
Ceci est dans le poly de cours, on rappelle les grandes étapes. Rappel :
∂
∂x
≡ iβ où β =
d2 H
⇒ dx2zi + χ2i Hzi = 0 où χ2i = µ0 i ω 2 − β 2
χ2i peut être :
• positive ⇒ χi réel, donc une solution en exp
• ou négative ⇒ χi imaginaire pur, donc une solution en cos ou sin
Condition de propagation
Dans le milieu d’indice n1 :
n2 :
n3 :
sup(n2 , n3 ) ≤ kβ0 ≤ n1
solution en cos/sin (pour canaliser l’onde)
solution en exp décroissante (limx→+∞ U (x) = 0)
solution en exp croissant (limx→−∞ U (x) = 0)
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2π
λ
Propagation guidée
Pougne Pandore
Méthodes
on résout grâce aux conditions limites et à la continuité des composantes tangentielles
Eyi (x = 0+ ) = Eyi (x = 0− )
Eyi (x = d+ ) = Eyi (x = d− )
r
Si on note e l’épaisseur normalisée, la formule générale est e =
2πd
λ
=
√ 12 (arctan[
n1 −α
α2 −n22
] + arctan[
n21 −α2
r
α2 −n23
]+
n21 −α2
nπ)
• α=
β
k0
: dépend de λ en gros
• n : correspond à l’ordre du mode TE
et ec = e(α = sup(n2 , n3 ))
Pour un e0 donné, on peut savoir les modes disponibles (il suffit de voir les courbes e(α) qui coupent e0 )
Part III
Fibre optique
On se place en coordonnées cylindriques.
2
1 ∂2U
2
Helmoltz donne ∂∂rU2 + 1r ∂U
∂r + χi U + r2 ∂ϕ2 = 0
Résolution :
• Séparation des variables U = R(r)Φ(ϕ)Z(z)T (t)
• résolution en r puis en ϕ
q
2πa
2
2
Fréquence normalisée : V = πa
λ0 n1 − n2 = λ0 ON
où ON est l’ouverture numérique de la fibre
Part IV
Modèle de la ligne à constantes réparties
• γ constante de propagation
• Γ1 =
Z1 −Zc
Z1 +Zc
• Zc =
V (x)
I(x)
et Γ1 =
On obtient V (x) =
Z1 −Zc
Z1 +Zc
1−Γ1
E
−γx
2 1−Γ1 Γ2 e−2γl0 (e
+ Γ2 eγ(x−2l0 ) )
On étudie chaque ligne séparément.
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Propagation guidée
Pougne Pandore
• ligne 2 : ∀x ∈ [l1 , l1 + l2 ], V (x) = V (e−jγ2 x + Γejγ2 (1−2(l1 +l2 )) )
R −R
ici, l0 = l1 + l2 et Γ2 = Rcc2 +Rcc2 = 0 (ligne adaptée), donc V2 (x) = V2 ejγ2 x
2
• ligne 1 : Γ1 =
Rc2 −Rc1
Rc2 +Rc1 ,
2
V1 (x) = V1 (e−jγ1 x + Γ1 ejγ1 (x−l1 ) )
On
récupère V1 et V2 grâce aux conditions limites. (et continuité)
E(0) = V1 (0) + Rc1 I1 (0)
V1 (l) = V 2(l)
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