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Movimiento peri´odico
F = −k x
La fuerza ejercida por el resorte est´a en la direcci´on del resorte y
con sentido contrario al desplazamiento del objeto.
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Movimiento peri´odico
~ 6= cte. −→ ~a 6= cte.
F
El movimiento se repite, de ida y de vuelta,
entre x = A y x = −A.
La rapidez del objeto es m´axima, vmax , al
pasar por x = 0.
amplitud, A [m]
ciclo
per´ıodo, T [s]
frecuencia, f [Hz]
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f=
1
T
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Energ´ıa potencial el´astica
Un resorte almacena energ´ıa
cuando es deformado y puede
hacer trabajo al liberarlo.
¯ d = ( 1 k xf ) (xf ) = 1 k xf2
W=F
2
2
Uel´astica =
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1 2
kx
2
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Energ´ıa potencial el´astica
E = K + Uel´astica =
1
1
m v2 + k x2
2
2
Suponiendo que no hay roce,
1
1
1
m v2 + k x2 = k A2
2
2
2
v2max =
k 2
A
m
r
v = ±vmax
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1−
x2
A2
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Tarea en grupo
Un resorte se estira 0.150 m cuando una masa de 0.300 kg se
cuelga de e´ l. El sistema resorte+masa se coloca horizontalmente
sobre una mesa sin fricci´on. La masa es luego desplazada hasta
que el resorte se estira 0.100 m, desde el punto de equilibrio, y se
lo deja libre desde el reposo.
Determinar
la constante el´astica del resorte, k.
la amplitud de la oscilaci´on horizontal, A.
la magnitud de la velocidad m´axima de la masa, vmax .
la magnitud de la velocidad cuando la masa est´a a 0.050 m
del equilibrio.
la magnitud de la aceleraci´on m´axima de la masa, amax .
Rtas.: 19.6 N/m, 0.100 m, 0.808 m/s, 0.70 m/s y 6.53 m/s2 .
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Movimiento arm´onico simple
Cualquier sistema cuya aceleraci´on es proporcional al negativo
del desplazamiento experimenta movimiento arm´onico simple
Fexterna = Fresorte = −k x = m a → a = −
k
x
m
El movimiento de una masa unida
a un resorte es comparable con el
movimiento de un objeto rotando
en un c´ırculo.
La proyecci´on del movimiento circular sobre una l´ınea recta
constituye un ejemplo de movimiento arm´onico simple.
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Movimiento arm´onico simple
v
vmax
√
=
vmax =
A2 − x 2
A
r
→ v = vmax
2πA
= 2πAf
T
1
1
k A2 = m v2max
2
2
T = 2π
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→ T=
→
r
1−
A
vmax
2πA
vmax
r
=
x2
A2
m
k
m 1
=
k
f
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Movimiento arm´onico simple
¿Cu´al es la posici´on de la masa m en funci´on del tiempo?
x = A cos θ
θ = ωt = 2πf t =
2π
t
x = A cos
T
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2π
t
T
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Movimiento arm´onico simple
¿Cu´ales son la velocidad y aceleraci´on de la masa m en funci´on
del tiempo?
v = −vmax sin θ
2π
v = −vmax sin
t
T
k
kA
a=− x → a=−
cos
m
m
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2π
t
T
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Ejercicio
Una ara˜na de 0.30 g est´a en su telara˜na de masa despreciable. Un
sutil movimiento provoca que la tela vibre con una frecuencia de
aproximadamente 15 Hz.
Estime el valor de la constante de dureza de la tela.
¿A qu´e frecuencia vibrar´a la telara˜na si un insecto de 0.10 g
quedara atrapado?
Rtas.: 2.7 N/m y 13 Hz.
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Movimiento arm´onico amortiguado
En los sistemas reales, las fuerzas disipativas son proporcionales
a la rapidez del objeto en movimiento y retardan el movimiento.
La energ´ıa mec´anica del sistema disminuye en el tiempo.
b
x(t) = A e− 2m t sin(ω t+δ)
s
ω=
k
−
m
b
2m
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Movimiento arm´onico forzado - Resonancia
Para compensar la p´erdida de energ´ıa en un sistema amortiguado
puede aplicarse una fuerza peri´odica externa que haga trabajo
positivo en el sistema.
Fext /m
x(t) = A sin(ωt + δ)
A= q
2
(ω 2 − ωo2 )2 + bmω
El sistema oscilar´a con la frecuencia de la fuerza impulsora
ωo es la frecuencia natural del sistema
Si el amortiguamiento es d´ebil (b ≈ 0),
A se vuelve muy grande cuando ω → ωo
resonancia
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Tarea para la casa
El amortiguamiento es despreciable para una masa de 0.150
kg colgada de un resorte ligero de 6.30 N/m. El sistema es
impulsado por una fuerza oscilante con amplitud de 1.70 N.
¿A qu´e frecuencia debe actuar la fuerza para que haga
vibrar a la masa con una amplitud de 0.440 m?
Una bola de masa m est´a conectada a dos ligas de hule de
longitud L, cada una bajo una tensi´on T conocida, como
muestra la figura. La bola se desplaza una peque˜na distancia
y perpendicular a la longitud de las ligas. Suponiendo que la
tensi´on no cambia, demostrar que el sistema efect´ua un
movimiento arm´onico simple con una frecuencia angular
r
2T
ω=
mL
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