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Temas Selectos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
Tarea 1
Última modificación: Abril 30, 2015
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Instrucciones: Responda clara y apropiadamente. Soluciones incompletas
o confusas recibirán crédito parcial o nulo, aún si parecieran correctas.
1. Use el método de promediación (variación de parámetros) para determinar
una aproximación uniforme de primer orden para:
u00 + u + εu05 = 0, ε << 1.
Verifique su aproximación con la solución numérica de Runge-Kutta o
pplane7.m
2. Encuentre una aproximación asintótica de segundo orden para las cuatro
raices de la ecuación: εx4 − x − 1 = 0. Resuelva de manera exacta con las
fórmulas de Cardano y haga la expansión de Taylor alrededor de ε = 0.
Compare.
3. Encuentre la aproximación a primer orden para las raices de: ε2 x6 − εx4 −
x3 + 8 = 0. Aquí ya no conoce solución exacta por radicandos. ¿Cómo
puede validar su aproximación de asintótica? Donde pueda compare.
4. Use el método de Poincaré-Lindstedt para obtener una aproximación de
dos términos en amplitud y frecuencia para el problema:
y 00 + y = εyy 02 , y (0) = 1, y 0 (0) = 0.
Verifique su aproximación con la solución numérica de Runge-Kutta o
pplane7.m
5. Use el método de ajuste asintótico para obtener una solución aproximada
uniforme a los problemas:
(a)
εy 00 + (1 + x) y 0 = 1, y (0) = 0, y (1) = 1 + ln 2.
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(b)
εy 00 − 2 − x2 y = −1, y 0 (0) = 0, y (1) = 1.
De ser posible investigue en Matlab como resolver problemas con
condiciones a la frontera y compare.
6. Considere los problemas de valor inicial:
dx
= f (t, x) + δ (ε) g (t, x; ε) , x (t0 ) = x0
dt
y
dy
= f (t, y) , y (t0 ) = x0 ,
dt
en la cual f y g son Lipschitz con respecto a xD ⊆ Rn y continuas con
respecto a (t, x, ε) [t0 , ∞) xDx (0, ε0 ] ; δ (ε) es una función de orden. Si
g (t, x; ε) = O (1) en la escala de tiempo 1 muestre que
xε (t) − y (t) = O (δ (ε))
en la escala de tiempo 1. Sugerencia: Use la desigualdad de Gronwall y la
propiedad de Lipschitz.
7. Use el método WKB para encontrar una solución aproximada:
(a) Al problema de valor inicial:
y 00 − λ 1 + x2
2
y = 0, y (0) = 0, y 0 (0) = 1
para λ grande.
(b) La edo
ε2 y 00 + 2y 0 + x2 y = 0, x > 0.
Sugerencia: Use primero la transformación de Liouville.
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