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SGUICES012MT21-A15V1
SOLUCIONARIO
Raíces
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
Raíces
Ítem Alternativa Habilidad
1
C
Aplicación
2
B
Aplicación
3
D
Aplicación
4
A
Aplicación
5
D
Aplicación
6
A
Aplicación
7
E
ASE
8
C
ASE
9
B
Aplicación
10
E
ASE
11
B
Aplicación
12
E
Aplicación
13
B
Aplicación
14
A
Aplicación
15
C
Aplicación
16
B
Aplicación
17
E
Aplicación
18
D
ASE
19
C
Aplicación
20
A
Aplicación
21
D
Aplicación
22
E
Aplicación
23
C
ASE
24
E
ASE
25
A
ASE
2
1. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Factorizando las cantidades subradicales resulta
81  2  16  2 
36  2
, y al separar
6
las raíces queda:
36  2
6 2
 9 2 4 2

6
6
81  2  16  2 
13 2 –
2 =
12 2
2. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
7
Potenciación
Aplicación
49  3

7
72  3

7
3

7
73 
21
3. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Al racionalizar por
2

3  15  3
 3
2
3 queda
2 3  15 3
que da como resultado:

3
3

 
2

23 3 5
32 5
2 3  353


 2 5

3
3
3
Observación. Para resolver el ejercicio con mayor rapidez se sugiere factorizar y
simplificar:
2 3  15
3

2 3  35
3

2 3 3 5
3
3

3 (2  5 )
3
 2 5
4. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad

La expresión
Potenciación
Aplicación

20  80  45 : 5 es equivalente a:
4  16  9  (2 + 4 – 3) = 3
20 : 5  80 : 5  45 : 5 
5. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación


Racionalizando por 5  3 resulta

2 5 3

5  3  5  3 
=

2 5 3
5 
2
 3

2
=
2
5  3 
3  5  3 


5 

2 5 3
25  3
=
que es igual a:

2 5 3
22

=
6. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
 2  3  resulta
4 6
2 6
3
=
=
23
1
3
Racionalizando por
2
2 3



2
2
= 2 6 =
6 2
7. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
ASE
I) Es equivalente, ya que
4 2  3  4 6  4 2  6  16  6  96
4
5 3
11
II) Es equivalente, ya que
III) Es equivalente, ya que
192
2
192
 96
2

16 
36  16  6  16  6  96
Por lo tanto, las tres afirmaciones son equivalentes a
96 .
8. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
ASE
Analizando cada una de las opciones, tenemos que encontrar la expresión
I) Verdadera, ya que
II) Falsa, ya que
72
8
3
. Luego:
2
1 3
3
1

 3 
2 1
2
2
 9 3
III) Verdadera, ya que racionalizando
3
2 3

3
3

3 3
3

23
2
Por lo tanto, solo las expresiones I y III son iguales a la mitad de
3.
9. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Multiplicando los índices y racionalizando
Observación: Trabajando la raíz como potencia permite llegar al resultado de una
manera más rápida
5
10. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
ASE
I)
Verdadera.
2  50  2  50  100  10
II)
Verdadera.
32  338  16  2  169  2  4 2  13 2  17 2
III)
Verdadera.
4
625 3 

4
625

3
 5 3  125
Por lo tanto, ninguna de ellas es falsa.
11. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Aplicando la propiedad de multiplicación de raíces de igual índice:
3
p5  3 p 2 =
3
p5  3 p 2 =
3
p5  3 p 2 =
3
p5  3 p 2 =
3
p6  p
3
p5  3 p 2 =
3
p6  3 p
3
p5  3 p 2 = p 2  3 p
Por lo tanto,
3
p5  p2
3
3
3
(Aplicando la propiedad de multiplicación de potencias)
p 5 2
p7
(Descomponiendo)
(Simplificando el índice y el exponente en la primera raíz)
p5  3 p 2 = p 2  3 p
.
6
12. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Ya que no hay propiedad para la multiplicación de raíces de distinto índice y distinta
cantidad subradical, entonces se transforman a potencias de exponente fraccionario:
8
3
8
x  x = x x
3
4
5
x3  4 x5 = x
8
x  x =
x
8
x3  4 x5 =
8
4
5
(Aplicando propiedad de la multiplicación de potencias)
3 5

8 4
8
3
5
4
3 5
3 10
13
(Sumando         )
8 4 8 8  8
13
8
(Transformando a raíz)
x13
Por lo tanto, la expresión que es igual a
8
x3  4 x5 es
8
x13 .
13. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Distribuyendo en el exponente de la segunda raíz:
4
m 7 x 5  4 m 5( x1) =
4
m 7 x 5  4 m 5( x1) = 4 m 7 x 5  m 5 x5 (Aplicando propiedad de multiplicación de potencias)
4
m 7 x 5  4 m 5( x1) =
4
m 7 x 5  4 m 5( x1) =
4
4
4
m 7 x  5  4 m 5 x 5
4
4
4
m 7 x 5  5 x 5
m12x 10
m 7 x 5  4 m 5( x1) =
m
7 x 5
 m
4
5( x 1)
m
m
=
m 7 x 5  4 m 5( x1) =
Por lo tanto,
4
m
7 x 5
 m
(Reduciendo términos en el exponente)
(Transformando a potencia de exponente fraccionario)
12 x 10
4
12 x 10

4 4
m
4
(Multiplicando las cantidades subradicales)
(Simplificando en el exponente)
5
3x
2
5( x 1)
es igual a m
3x
7
5
2
14. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Como z – 1 =
Potenciación
Aplicación
n – 1, entonces
1
=
z
n – 1. Luego, z =
1
n 1
.
Reemplazando cada variable con la expresión correspondiente:
z · w² =
z · w² =
2
1
n 1
1
n 1
 1 


 n 1
1
1
·
n 1
n 1
·
·
(Factorizando el cuadrado)
(Agrupando los dos primeros factores)
 1
1 
1

 ·
z · w² = 
n 1
 n 1 n  1
1
1
z · w² =
·
n 1
n 1
(Aplicando suma por su diferencia)
(Racionalizando el segundo factor)
z · w² =
1
n 1
 1
n 1

· 


n

1
n

1


z · w² =
1
n 1
·
n 1
n 1
(Multiplicando)
n 1
(n  1) 2
z · w² =
Por lo tanto, zw² es igual a
n 1
(n  1) 2
15. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Se comienza racionalizando ambas fracciones:
2
2n
2
2n
–
–
2
2 n
2
2 n
=
=
2
2n

2n
2n
2 2n
2n
–
–
2
2 n

n
n
2n
2n
(Restando las fracciones)
8
2
2n
2
2n
–
–
2
2 n
2
2 n
=
2 2n  2n
2n
=
2n
2n
2
2
2n

es equivalente a
.
2n
2n 2 n
Por lo tanto,
16. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
2
2x
2
2 x
2 2
–
–
–
8
8
8
2 2
8 2
2 x
2 2
2
– 4
x
2
x
2
x
2
6
1
3
1
9
Potenciación
Aplicación
=
2
(Descomponiendo los denominadores)
=
2
(Multiplicando toda la expresión por
=
2 2
(Simplificando)
= 2
(Despejando)
= 2 +4
= 6
=
x
(Simplificando)
=
x
(Elevando al cuadrado)
= x
Por lo tanto, x es igual a
1
9
9
2)
17. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Si llamamos y al factor buscado, entonces podemos plantear:
 3x 
1
1
·y= 3 x
(Interpretando el exponente negativo)
·y= 3 x
(Despejando y)
3x
y = 3 x  3x
(Multiplicando las raíces)
y = 3 3x 2
y = 3 3  x2
(Como x > 0, entonces
x2  x )
y = 3 3x
Por lo tanto, para obtener 3 x hay que multiplicar
 3x 
1
por 3 3  x
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
I) Verdadera, ya que
Potenciación
ASE
 4a
8 a
enteros, es decir un racional.

2 a
8 a
 2 1

, que es una fracción de números
8
4

7  2 . La suma de dos números irracionales no
II) Falsa, ya que a 7  a 2  a 
opuestos siempre es irracional, luego




7  2 es irracional, y el producto entre un
natural y un irracional siempre es irracional, entonces a 


7  2 es irracional.
III) Verdadera, ya que 25a  a  25a 2  5 a 2  5a (por ser a > 0). Como a es
natural, entonces 5a también es natural y por ende racional.
Por lo tanto, solo I y III son siempre racionales.
10
19. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Ya que no hay propiedad para la multiplicación de raíces de distinto índice y distinta
cantidad subradical, entonces se transforman a potencias de exponente fraccionario:
20. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
21. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
Racionalizamos ambas expresiones:
p

p 1 1
1

p
p
p 1

p 1

p 1 1
1
p
p 1
p
1

11
12
22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
Aplicación
13
23. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
ASE
24. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
ASE
(1) y  0 . Con esta información, no es posible determinar que la expresión
x
y
es un
número racional, ya que no se conocen valores o condiciones para x e y.
(2) x es múltiplo de y. Con esta información, no es posible determinar que la expresión
x
y
es un número racional, ya que nos asegura que la fracción es simplificable, pero no
que la raíz es reductible.
Con ambas informaciones, no es posible determinar que la expresión
x
y
es un número
racional, ya que la suma de las dos condiciones no asegura que la raíz resultante sea
reductible.
Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.
14
25. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Potenciación
ASE
(1) M es impar. Con esta información, se puede afirmar que M a  b es un número real,
ya que una raíz de índice natural impar distinto de 1 siempre es un número real, ya sea
que la cantidad subradical sea negativa, cero o positiva.
(2) a es distinto de b. Con esta información, no se puede afirmar que M a  b es un
número real, ya que si a fuera menor que b (o sea, a – b < 0) y M fuera par, entonces la
expresión
M
a  b no sería un número real.
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
15