1. No category

How to improve performance of a complex system
in a multi-criteria assessment context
Jacky Montmain (EMA/LGI2P)
EcoTech and Tools 2011 – Montpellier, 30th nov. – 2nd dec.
Centre de recherche LGI2P, Parc Scientifique et Technique Georges Besse , 30035 Nîmes cedex
1
1. Problematic and definitions (1/3)
To deal with the complexity of the current industrial context, new control strategies
for industrial performance improvement have to include the multi-criteria aspect of
industrial performance (economic, environment protection, security, safety,
durability, public image, sanitary, etc.)
The Performance Measurement Systems (PMS) are instruments to support
decision-making in complex systems (CS) : a PMS is made of a set of
performance expressions to be consistently organized w.r.t. the objectives of the
complex system management
Aggregated performance synthesizes elementary performances and thus
facilitates decision-making
The aggregated performance framework has consequences upon improvements
policies and notions like efficiency
In revenge, it provides a formal framework that facilitates mathematical modeling
of improvements policies in terms of optimization problems
Control improvement policies
• semantic comparison
• quantitative comparison based on different interpretations of the mean
value of a criterion contribution to overall performance
2
1. Performance indicators (2/3)
« The indicator of performance is basically a boucle of feedback in a decision-making
process, defined by a coherent objective with the strategy of company, with a
variables of action, a course of action and a measurement of efficiency » [Berrah 97]
An indicator of performance is concretized by the triplet (objective, measurement,
variable) [Berrah 02]
Performance
CD
Objective
Measure
Variables
Action
Flow of matters or information
3
1. Framework and hypotheses (3/3)
Flow of matters or information
The association of a
relative importance
wi to each elementary
performance,
Ag.P
The possible association
of the interactions
between the elementary
performances.
Performanc
e
Objective
Measure
Various operators of
aggregation can be used: the
weighted average mean, the
Choquet Integral…
4
2. Aggregated performance (1/3)
n
urk
k
k
k
P = Cµ (P ) = Cµ (P1 , P2 ,..., Pn ) = ∑(P(ki) − P(ki−1) ).µ( A(ki) )
k
Ag
i =1
where (.) is a permutation
P k ∈ [0,1] a partial performance,
(.)
0 ≤ P(1)k ≤ K ≤ P( kn ) ≤ 1 and A(ki ) = {c( i ) ,.., c( n ) }
n
Cµ (P ,.., P ) = ∑
k
1
.
.
k
n
i =1
k
(P(i )
µ
k
− P(i −1) ).
µ (kn +1) = 0
n
k
( A(i ) )
= ∑∆µ(i ) .P(i )
k
k
i =1
k
k
k
k
µ(ki ) = µ ( A(i ) ) ∆µ (i ) = µ (i ) − µ (i +1)
2-additive case
C µ ( P1 , K , Pn ) =
n
∑ν
i =1
i
⋅ Pi −
1
Pi − Pj ⋅ I ij
∑
2 i> j
1
⋅ P1 − P2 .I12
2
1
1
Simplex ( P1 ≥ P2 ) ⇒ C µ ( P1 , P2 ) = (ν 1 − .I12 ) ⋅ P1 + (ν 2 + .I12 ) ⋅ P2
2
2
1
1
Simplex ( P1 ≤ P2 ) ⇒ C µ ( P1 , P2 ) = (ν 1 + .I12 ) ⋅ P1 + (ν 2 − .I12 ) ⋅ P2
2
2
C µ ( P1 , P2 ) = ν 1 ⋅ P1 + ν 2 ⋅ P2 −
5
2. Notion of efficiency in this framework (2/3)
Designing a strategy that leads to the required overall performance
improvement with a minimal increase w.r.t. each elementary performance
(risk, cost, capacity, etc.)
When a precise goal or a limited budget is assigned to the improvement, it
can be expressed by the optimization problem:
n
r r
min c ( P, δ ) = min(∑ ci ( Pi , δ i ))
i =1
Constraints
r :r
Cµ (P + δ ) = P *
∀i, 0 ≤ δ i ≤ 1 − Pi
r*
⇒P ⇐
r
r
max C µ ( P + δ )
Constraints:
n
δ C = ∑ ci ( Pi , δ i )
i =1
∀i, 0 ≤ δ i ≤ 1 − Pi
Efficient improvement (P1 and P2 problems), a static viewpoint:
No dynamical aspects of improvement
are considered in this modeling - Which
r
trajectory for performance vector P ?
Which criteria should be improved first ?
r
The improvement δ *determines the setpoint
r to be reached and the associated
cost but nothing about the way to achieve P *
The contribution of a criterion to the Choquet aggregated performance has a
key role in the trajectory computation
6
3. Improvement control policies
r*
Sup
Efficiency optimization problem P →PA
Control?
r
r
r
Providing the series of intermediate points P k from P I to P *enables to define
the guidelines that the managers would like the CS improvements follow
which decisive factor?
3.1. Maximal expected profitability principle (1/2)
r
c
I
A worth indexr value ω A (C µ )( P ) relatively to the aggregation C µoperator, the
initial profile P I and the coalition of criteria A ⊂ C that indicates the criteria on
which the CS performance should be improved first (Labreuche, IPMU 2004)
r
r
He constructs ω CA (Cµ )( P I ) that will be large if improving P I w.r.t. criteria A yields a
r
large improvement in the overall evaluation C (P)
µ
r
c
The subset of criteria that maximizes ω A (C µ )( P ) provides the criteria on which
the CS performance should be improved first
7
3.1. Maximal expected profitability principle (2/2)
[P '
A
, PC \ A ]
is the composite profile such that:
Pi ' > Pi if i ∈ A else Pi
rI
c
ωA (Cµ )(P ) =
'
A
I
Sup
r*
Sup
P
1
● = PA
r
[Cµ (PA' , PCI\A ) −Cµ (PI )].dPA'
1
∏i∈A (1− PiI ) ∫P ∈[PA ,PA
P3
r●
PI
c(PAI , PA' − PAI )
]
P2
P1
r
ωAc (Cµ )(PI ) is thus the mean value of gain related to the aggregated
'
I
performance calculated over all the expected values PA ∈[PA ,1A] the
improvement can take
Coalitions of criteria that give:
rI
rI
c
A / ω ( C µ )( P ) = max ω A ( C µ )( P )
*
c
A
*
A⊂ C
r
Statistical approach: maximizing the expectancy of the variate
Cµ (PA' , PCI\ A) − Cµ (PI )
c ( PA , PA − PA )
I
'
I
8
3.2. Worth index improvement control policy
r1
ω (C µ )( P )
c
A
r
PI
r
P1
*
r
P2
……..
r
P*
rI
ω (C µ )( P )
c
A
*
3.3. Local efficiency iterative improvement
r1 2
( P1 )( P , P )
rI
P
r1
P
r2
P
……..
r
P*
rI 1
( P1 )( P , P )
9
3.4. Improvement control policies semantics
Local efficiency improvement control policy
Worth index improvement control policy
How justifying both improvement policies?
r
ωAC ( H )( P I ) warranties that criteria in A* maximize the odds to reach a high overall
*
performance maximal expectancy of the gain variate
it provides the criteria that are expected to
provide a maximal gain expectancy
rk
The local efficiency policy warranties that each intermediate P points
reached in an efficient manner but intermediate setpoints (objective) are to be
provided by decision makers
10
4. Improvement control policies:
quantitative comparison (1/6)
r
rI
r*
Determination of the trajectory of P from P to P
Decisive criteria based
upon
the contribution of a criterion to the global
r*
rI
improvement Cµ ( P ) − Cµ ( P )
0
x2
bissectrice
bisector
H2: x2>x1
( P1, P
, P)2 =
) =∆∆µµ' 1. x.P1 ++∆∆µµ' 2..xP2
CCµ (µ P
1
2
1
2
1
2
r
P I= ( P1I, P2I)
P*
t2
t3
dp
t1
uur
P*
H1: x1>x2
x1
C µC
( P1 (,PP2, P
) =) ∆=µ∆
P1 . +
P2 . x
2 .µ
1 .µ
x ∆+µ∆
C1t 1 = ∆µ1 .( P1* − P1I )
µ
1
2
1
1
2
C1t 2 = ∆µ1' .( P1* − P1I )
2
C1t 3 = ∆µ1 .dp + ∆µ1' .( P1* − P1I − dp )
11
4. The profitability index (2/6)
Decisive factor based upon the contribution of a criterion to the global
improvement
rI
r*
The a priori contribution of a criterion from profile P to P is not
a precise quantity
Providing the minimal and maximal expected profitability of a criterion
to the global improvement
A criterion necessarily contributes at least up to Ci = min Ci
N
t
t
Π
but it is possible the contribution reaches Ci = max Ci
t
t
N
Π
[Ci , Ci ] characterizes the imprecision of the a priori contribution
r*
rI
of criterion i to overall improvement C µ ( P ) − C µ ( P )
12
4. Profitability bounds computation (3/6)
[CiN , CiΠ ] computation principles
13
4. Profitability bounds computation (4/6)
14
4. Profitability bounds computation (5/6)
15
4. Profitability bounds other uses (6/6)
[CiN (t ), CiΠ (t )] ⊇ [CiN (t + 1), CiΠ (t + 1)]
The imprecisionrof a criterion contribution decreases with time
*
(when the target P becomes clothier)
[CiN (k = 1), CiΠ (k = 1)]
r
PI
r
P1
r
P2
……..
r
P*
[CiN (k = I ), CiΠ (k = I )]
Potential for performances monitoring in time
The trajectory can be determined in respect to:
maximizing or minimizing the expected
coalition of criteria
N
maximizing min Ci (t ) (homogeneity)
contribution
of
a
i =1..n
Π
maximizing max Ci (t ) (elitism)
i =1..n
A reward management policy can be designed on profitability index (!)
16
5. Illustration (1/3)
Production
Availability equipment
Stocks
Operators' skill
1
2
3
4
Quality
Performance Indicators
νi
Cost (c i)
PI
Stocks
Equipment availability
Quality
Operators’ skill
0.30
0.25
0.30
0.15
1 000k€
3 000k€
2 000k€
3 000k€
0.80
0.25
0.75
0.50
Interactions
Stocks – Availability
Stocks – Quality
Operator’s skill – Quality
Iij
0.30
0.20
0.25
r
Cµ ( P I ) = Cµ ( 0.8,0.25,0.75,0.5) = 0.483
r*
P* = 0.9 P = (1,1,1, 0.636)
Efficient improvement
17
5. Illustration (2/3)
Trajectory computation
Local efficiency policy
r
P
C1
1ere année
1st year
2ème année 2nd year
3ème année
rI
r1
r
P
P
P2
0.8
0.8
0,914
C2
0.25
0,759
0,914
1
C3
0,75
0,759
0,914
1
C4
0.5
0,5
0,636
Cµ ( P )
0,483
0,5
0,69
0,8
0,9
r
n
r r
min c ( P , δ ) = min(∑ ci ( Pi , δ i ))
3rd year
Cµ (P + δ ) = P *
∀i, 0 ≤ δ i ≤ 1 − Pi
rI
rI
*
c
c
A / ω ( C µ )( P ) = max ω A ( C µ )( P )
1ere année
2ème année
r
P
C1
r
PI
0.8
r
P1
0.8
3ème année
r
P2
0,914
r
P*
1
C2
0.25
0,759
0,914
1
C3
0,75
0,759
0,914
1
C4
0.5
0,636
0,483
0,5
0,69
0,5
Cµ ( P )
0,8
0,9
r
Worth index policy
ere
1
A
année
1st year
2ème année
2nd year
3rd year
0,8
3ème année
r
P4
1
0.25
0,65
0,9
1
C3
0,75
0,75
0,8
1
C4
0.5
0,5
0,643
0,5
0,636
0,768
0,9
r
P
C1
r
PI
0.8
C2
r
Cµ ( P )
0,483
r
P3
i =1
SousConstraints
lesrcontraintes
:
r
r
P*
1
*
A
C1 , C 2 , C 3 , C 4
r
P*
1
C1, C 2 , C 4
C2,C3,C4
C1, C 2 , C3
C1, C3 , C 4
C1 , C 2
C1 , C 3
C1 , C 4
C2,C3
C2,C4
C3,C4
C1
C2
C3
C4
A⊂ C
rI
C
ϖ A ( C µ )( P )
ϖ A ( C µ )( P )
ϖ A ( C µ )( P )
0,01191
0,01232
0,01185
0,00963
0,01146
0,01235
0,00989
0,00769
0,01186
0,01227
0,00863
0,00500
0,01303
0,00893
0,00917
0,01102
0,01147
0,01069
0,00963
0,00965
0,0112
0,00989
0,00769
0,00992
0,01043
0,00863
0,00500
0,01133
0,00893
0,00917
0,01196
0,01357
0,01098
0,01144
0,01196
0,01333
0,01375
0,00917
0,01357
0,01098
0,01144
0
0,01333
0,01375
0,00917
C
r3
C
r4
18
5. Illustration (3/3)
Trajectories
1ere année
2ème année
r
P
C1
r
PI
0.8
r
P1
0.8
3ème année
r
P2
0,914
C2
0.25
0,759
0,914
C3
0,75
0,759
0,914
1
C4
0.5
0,5
0,636
Cµ ( P )
0,483
0,5
0,69
0,8
0,9
r
r
P*
1
1
Expected and measured contributions and profitabilities
k€
Ci ( t )
Ci ( t )
Minimal
Expected
Profitability
(%)
Cost
Criterion Improvt
N
Π
Observed
Contribution
Maximal
Expected
Profitability
(%)
Strategy 1
local efficiency
Observed
profitability
(%)
Observed
Contribution
Strategy 1
Strategy 2
worth index
Observed
profitability
(%)
Strategy 2
C1
0.2
200
0,0099
0,11
4.95 E -3
5.5 E -2
0,11
5.5 E -2
0.01
5E -3
C2
0.75
2250
0,24
0,3
1.067E-2
1.33E-2
0,24
1.067E-2
0.3
1.33E-2
C3
0.25
500
0,02875
0,06875
5.75E-3
1.375E-2
0,02875
5.75E-3
0.06875
1.375E-2
C4
0.136
408
0,0374
0,0374
9.17E-3
9.17E-3
0,0374
9.17E-3
0.0374
9.17E-3
Somme
3358
0,41615
0,41615
19
6. Conclusion
Both control policies may be justified
L.E.P., step by step efficiency
W.I.P, maximal expectancy gain
The average contribution of a criterion to the improvement plays
a key role in the trajectory computation but average has not the
same sense
1ere année
2ème année
r
P
C1
r
PI
0.8
r
P1
0.8
3ème année
r
P2
0,914
C2
0.25
0,759
0,914
C3
0,75
0,759
0,914
1
C4
0.5
0,5
0,636
Cµ ( P )
0,483
0,5
0,69
0,8
0,9
r
r
P*
1
1
The efficient improvement computation is decomposed into
clearly identified phases:
r
-The P1 optimization problem that fits the setpoint P*
- The improvement control strategy
They correspond to the static and dynamical parts of the
improvement problem
20
Thank you for your attention
21
2. Characteristics of an efficient improvement (3/3)
2D Graphical interpretation:
n
r r
min c ( P , δ ) = min(∑ ci ( Pi , δ i ))
∀i, 0 ≤ δ ( i )
i =1
Constraints
r :r
Cµ (P + δ ) = P *
∀i, δ ( i ) ≤ 1 − P( i )
∀i, 0 ≤ δ i ≤ 1 − Pi
P*
0
P2'
∀i , P( i ) ≤ P( i +1)
1
x2
The realizable solutions related to a linear programming
r
problem belong to a convex
hull, the associated vertices
x
have a particular profile due to the 3 types of
inequalities involved in the problem modeling:
r
P = ( P1 , P2 )
δ ( i ) = 0 ⇒ x = P( i )
Ligne d’equi-Choquet
P*
*
dans H2 : Cµ ( x1 , x2 ) = P
(i)
H2: x2>x1
δ ( i ) = 1 − P( i ) ⇒ x( i ) = 1
'
1
P
H1: x1>x2
P( i ) = P( j )
1
⇒
x( i ) = x( j )
Bissectrice
x1
Ligne d’equi-Choquet
*
dans H1 : Cµ ( x1 , x2 ) = P
An efficient improvement can be rewritten:
Pi
α
1
22
Les différents niveaux de pilotage
Adapter
Système de
Contrôle/commande
Conduire
Commandes
(C)
Entrées
(E)
Conduire
État (X)
Système Réel
Modèles de fonctionnement
et de dysfonctionnement
Mesures (S)
Anticiper
Système de
Performances
Indicateurs de
performances
Stratégie
d’amélioration
des performances
Système
de Décision
Interprétation en termes
d’objectifs
Interprétation en termes de
résultats
Efficacité, efficience, effectivité
Logique de fonctionnement
Pilotage de supervision
dX
= F1 ( E , C , X )
dt
S = F2 ( X )
Monde du pouvoir
Grandeurs physiques
Logique de performance
Pilotage tactique
Logique de prospective
Pilotage stratégique
K ( P, S )
PAg = H ( P )
Interface
Monde du vouloir
Préférences
23
Les différents niveaux de pilotage
F (u (T (γ ))) = F (u1 (T1 (γ )),.., uk (Tk (γ )),.., un (Tn (γ )))
Agrégation
Utilité agrégée
Satisfaction globale
Espace des utilités
Monde du vouloir
Expression de préférences
u1 (T1 (γ )) …
uk (Tk (γ ))
…
un (Tn (γ ))
Idéologie
X1
…
Xk
…
Xn
T1 (γ )
…
Tk (γ )
…
Tn (γ )
Espace des attributs
Observation du
process Ti (γ )
Modèle de comportement
Simulateur T (γ )
Restrictions
Contraintes
opérationnelles
Espace des paramètres
Réalité
Process
Monde du pouvoir
Expression de contraintes
physiques
Domaine autorisé des jeux de paramètres
γ 1...γ i ...γ j ...γ p
24
5. Exemple d’illustration
25
5. Exemple d’illustration
26
5. Exemple d’illustration
27
1. Contexte et Besoin
Le caractère multidimensionnel de la performance industrielle, la
complexité de l’entreprise et les contraintes liées à la concurrence
et aux fluctuations économiques rendent la mesure de la
performance et son amélioration permanente un enjeu d’actualité.
En effet, l’entreprise ne se doit plus seulement d’être performante
mais de l’être de plus en plus.
Comment mettre en place un système d’indicateurs pour un
pilotage « efficace »?
Comment effectuer un diagnostic?
Qu’est-ce qu’une amélioration optimale ?
Disposer de méthodes et d’outils adaptés
28
2.2. Le système d’indicateurs
Le système d’indicateurs:
C’est un ensemble d’indicateurs exploités pour une finalité commune,
l’aide au pilotage, il peut être vu comme une structure composée
d’indicateurs ayant entre eux un certain nombre de liens. [Clivillé 04]
Les liens les plus connus :
Le lien indicateur synthétique / indicateur local pour construire une
expression de performance agrégée,
Le lien indicateur de résultat / indicateur de processus pour
améliorer la contrôlabilité du système piloté.
29
3.1. Cadre de l’approche - hypothèses
L’objectif d’amélioration est un objectif global qui se décompose en
objectifs élémentaires
Objectif global
objectif
élémentaire
objectif
élémentaire
objectif
élémentaire
Décomposition par niveau, nécessite
l’élaboration des expressions de performances.
objectif
élémentaire
objectif
élémentaire
objectif
élémentaire
Agrégation des performances élémentaires
- par un opérateur mathématique -
Modélisation de l’importance relative des critères et des
interactions entre ceux-ci
Remplacer dans le schema les obj par les perf et animation
sur l’apparition des liens de subordination et de coordination
30
3.2. L’intégrale de Choquet 2-additive
σ ()
: représente une permutation des performances élémentaires:
0 ≤ Pσ (1 ) ≤ K ≤ Pσ ( n ) ≤ 1
Un simplexe : est l’ensemble des vecteurs de performances élémentaires
qui respectent une permutation donnée.
s5
r  0, 4  r  0,3
PA =   , PB =   sont dans le même simplexe {0 ≤ Pσ (1) =P1 ≤ Pσ (2) =P2 ≤ 1}.
 0,5 
 0,8
n
C µ ( P1 , P2 , ..., Pn ) =
ou: ∆µσ ( i ) = vσ ( i ) +
∑P
i =1
σ (i )
.∆µσ ( i )
1
I σ ( j )σ ( i )
∑ I σ ( i )σ ( j ) − ∑
2 j >i
j <i
L’intégrale de Choquet est linéaire dans chaque simplexe
31
Diapositive 31
s5
définir le terme mathématique du simplexe
Hr={.... ..... .. ..}
sofisoft; 16/02/2007
4. L’amélioration optimale
les différents problèmes d’amélioration
1. (Optimisation de l’amélioration à performance
agrégée finale connue)
Comment atteindre l’objectif global (efficacité) au moindre coût
d’amélioration (efficience) ?
Quel est le coût de l’amélioration réalisée ?
2. ( Optimisation de l’amélioration de la performance
à budget fixé)
Quelle est la plus grande amélioration au vu du budget alloué ?
( il existe d’autres variantes du problème 1 et 2 )
32
4.1. la modélisation mathématique
1. (Optimisation de l’amélioration à performance
agrégée finale connue)
Les Données:
r
P > Cµ ( P ) ∈ [ 0,1] : Performance agrégée à atteindre
r
P : Le vecteur initial des performances élémentaires.
Pi : La ième performance élémentaire.
*
Les Variables:
δ i ∀i : amélioration de la ième performance élémentaire
Le modèle mathématique:
n
m in f = ∑ ci ( Pi , δ i )
i =1
Cui
Sous les contraintes :
r r
Cµ (P + δ ) = P *
∀i,
0 ≤ δ i ≤ 1 − Pi
1
0
a1
a2
Pi
Une fonction coût unitaire.
33
4.2. la méthode de résolution
le modèle mathématique est un programme linéaire sur
chaque simplexe défini par la fonction de permutation
( voir l’écriture du IC )
n
m in f = ∑ ci ( Pi , δ i )
Programme linéaire
i =1
Sous les contraintes :
r r
Cµ (P + δ ) = P *
∀i,
0 ≤ δ i ≤ 1 − Pi
Pour une permutation
donnée
Programme linéaire
n!
Programme linéaire
Le problème se décompose en n!
programmes linéaires
D’où la possibilité de résoudre les
n! de manière exacte
la solution optimale est la meilleure solution parmi les
solutions optimales des programmes linéaires
34
4.2. la méthode de résolution
Sommet d’un simplexe
Performance
initiale
Performance
optimale
Simplexe final
Simplexe
initial
Isoquante de la
performance
agrégée P*
•On considère que les sommets sur l’isoquante P*
• Réduction de la complexité de l’optimisation
Simplexe (enveloppe
convexe) d’un programme
linéaire
La performance optimale un Sommet d’un simplexe
35
4.3. Nature de l’amélioration optimale
un sommet d’un simplexe est l’intersection de n équations
parmi les contraintes du programme linéaire
δ i = 1 − Pi
δi = 0
Une équation du
modèle mathématique
Pi = Pj = α
Un sommet
d’un
simplexe
(
0 ≤ δ i , δ i ≤ 1 − Pi
Pi ≤ Pj
)
r r
Cµ P + δ = P *
Nature de l’amélioration optimale
Le profil de l’amélioration optimale est particulier, composé de 3
blocs ( lié à la nature d’un sommet) :
Pi
α
1
s6
les performances élémentaires inchangées (qui restent à
leurs valeurs initiales),
Les performances élémentaires ajustées (à la même valeur),
Les performances élémentaires totalement satisfaites
(objectif associé totalement satisfait) .
36
Diapositive 36
s6
comparais avec la moyenne pondérée
sofisoft; 16/02/2007
4.3. Nature de l’amélioration optimale
Le décideur a une manière pertinente pour décider si le
profil d’amélioration est potentiellement optimal ou non à
partir de sa structure.
Des profils
d’amélioration
potentiellement
optimaux
P1
α
α
Pi
α
P3
1
Pi
α
α
α
1
Pi
Pi
α
β
1
Profil d’amélioration non optimal
37
4.4. Diagnostic
Diagnostic / explication
Quelles sont les performances élémentaires les plus
impactantes sur la performance globale ?
Quels sont les objectifs élémentaires qui n’ont pas été
atteints ?
Quelles sont les proportions de budget pour chaque
dimension?
 T t
t 
Im
=
δ
⋅∆
µ
∑i i ∑
i 
∑ i
i =1  t =1

n
i
T
Imi = ∑ δ it ⋅∆µit
t =1
: L’impacte de l’amélioration de la performance élémentaire i sur
l’amélioration globale.
38
4.6. Analyse de sensibilité
Analyse de sensibilité
Comment évoluent les performances élémentaires en
fonction d'une variation de la performance agrégée?
Comment évolue la performance globale en fonction
d'une petite variation du budget?
Performance
1
P1
P2
Profil de
performance initiale
P3
0
A
1 Performance
agrégée
39
2. Performance agrégée et intégrale de Choquet
Pi :
La ième performance élémentaire ∈ [0,1] .
ν i : Indice de Shapley ( poids) de la ième perf. élémentaire.
I ij : Interaction entre les paires de performance (i,j)
L’intégrale de Choquet 2-additive ne considère que les interactions des performances
prises 2 à 2


1
Cµ ( P1 ,K, Pn ) = ∑ min ( Pi , Pj ) Iij + ∑ max ( Pi , Pj ) Iij + ∑ Pi ν i − ∑ Iij 
2 i≠ j
Iij > 0
Iij < 0
i =1


n
Terme Conjonctif
n
Cµ ( P1 ,K , Pn ) = ∑ν i ⋅ Pi −
i =1
Terme Disjonctif
Terme Additif
1
Pi − Pj ⋅ I ij
∑
2 i> j
Moyenne Pondérée
Interactions
40
1. Problématique et définitions (3/3)
Soit la mesure floue
µ : P(C)→[0,1]/
µ (φ ) = 0, µ (C ) = 1
A ⊂ B
µ ( A) ≤ µ ( B )
µ(A) représente l’importance de la coalition de critères A
Intégrale de Choquet relativement à µ :
n
C µ ( x1 , x2 ,..., xn ) = ∑ ( xσ (i ) −xσ (i −1) ).µ ( Aσ ( i ) )
i =1
xσ ( 3 )
xσ ( 2 )
avec
σ / 0 = xσ ( 0 ) ≤ xσ (1) ≤ ... ≤ xσ ( n ) ≤ 1
xσ (1)
Cµ(x1, x2, x3)
Aσ ( i ) = {cσ ( i ) ,..., cσ ( n ) }
µ({(1),(2),(3)})
µ({(2),(3)})
µ({(3)})
{
Cµ est linéaire dans chaque simplexe H σ = x ∈ [0,1]n / xσ (1) ≤ ... ≤ xσ ( n )
}
41
3. Calcul de l’indice de plus-value (3/3)
Adaptation et calcul pratique
P ' A = [(1 − τ 1 ).P1 + τ 1 ,.., (1 − τ A ).PA + τ A ] ∀i ∈ {1,.., A }, τ i ∈ [0,1]
I
I
Borne supérieure qui n’est pas nécessairement 1A mais PASUP
rI
P
c
ωA (Cµ )(P ) =
..∫ [Cµ ((1−τ1).P1I +τ1.P1Sup ,..,
∫τ ∫τ
1∈[0,1]
3
τ ∈[0,1]
A
2∈[0,1]
rI
I
Sup I
(1−τ A ).PA +τ A .PA , PC\A ) −Cµ (P )].dτ1.dτ2..dτ A
r●
PI
Si l’on introduit les fonctions coût partiel, on a l’extension :
r
ωAc (Cµ )(PI ) =
P
rI
I
Sup
I
Sup I
Cµ ((1−τ1).P1 +τ1.P1 ,..,(1−τ A ).P +τ A .P , PC\A ) −Cµ (P )
A
A
].dτ1.dτ2..dτ A
∫∫∫ [
A
τi ∈[0,1]
∑c (P ,τ .(P
I
i=1
i
i
Sup
i
i
r*
1
●P
= PASup
P2
1
− Pi I ))
rI
c
ωA (Cµ )(P ) est la valeur moyenne de l’amélioration de la performance
agrégée pour toutes les améliorations espérées τ A ∈[0A,1A] rapportée
au coût de l’amélioration
L’amélioration portera sur les critères de
rI
rI
*
c
c
A / ω ( C µ )( P ) = max ω A ( C µ )( P )
A
*
A⊂ C
42
Presentation
1. Problematic
2. Aggregated performance and efficiency
3. Improvement control policies
3.1. The worth index viewpoint
3.2. The local efficiency procedure
3.3. Semantics comparison
4. Quantitative comparison based on the expected
profitability
5. Illustration
43