‫הוכחה מתמטית לחוק אי רציפות של הטבע משפטים ‪ 3 -1‬במאמר מיקסומיה‪ -‬תורת‬
‫הטבע השלמה‪.‬‬
‫נוכיח כי הנחת רציפות התנועה בטבע‪ ,‬האינטואיטיבית והקלה לחשיבה‪ ,‬שאינה דורשת מאמץ אינטלקטואלי‬
‫להבנתה ובמיוחד שאין צורך להוכיחה‪ ,‬היא שגויה בבסיס‪ ,‬סותרת עצמה‪ ,‬ומוכיחה שאין לפיה שום אפשרות‬
‫לקיום תנועה בטבע‪ .‬לפיכך‪ ,‬מעצם קיום הטבע מוכח ע"י מיקסומיה‪ ,‬כי חייב להתקיים חוק אי רציפות‬
‫הטבע‪.‬‬
‫משפט ‪ .1‬אם קיימת רציפות תנועה בטבע אין שום תנועה בטבע ולכן הנחת הרציפות מופרכת‪.‬‬
‫הוכחה ‪ .1‬הנחת הרציפות פירושה הוא שכאשר ‪ X‬הולך ומתקרב ל‪ X0 -‬שהוא הגבול )למשל‪ ,‬המספר ‪ ,( 5‬אזי‬
‫ההפרש ‪ X -X0‬הולך וקטן ושואף לאפס‪ .‬לכן הגבול הוא ‪) X0‬למשל ‪.( 5‬‬
‫אולם מנקודת מבט מדעית של שיטות קפדניות ודקדקניות )ריגורוזיות( את ההגדרה המדויקת יותר ניסח‬
‫המתמטיקאי קושי כדלהלן‪ :‬המספר הממשי ‪ L‬נקרא גבול של הפונקציה ) ‪ f ( x‬בנקודה ‪ ,X0‬אם לכל ‪ε>0‬‬
‫קיים ‪ δ>0‬כך שלכל ‪ x‬שעבורו ‪< δ‬׀‪X -X0‬׀ מתקיים ‪<ε‬׀‪f(x)-L‬׀‪ .‬במקרה זה רושמים ‪. lim f ( x ) =L‬‬
‫‪x→𝑋0‬‬
‫א‪ .‬פירוש הדבר הוא כי הגדרת גבול היא שתמיד בין שני ערכים ‪ ε>0‬של הפונקציה ) ‪ f ( x‬שמקורו ‪ δ>0‬ב‪,x-‬‬
‫ניתן להקטינם ולמצוא תמיד ערכים של ‪ f ( x ) , x‬קטנים יותר הקרובים לגבול ‪ f (x0 ), X0‬וכך מגיעים‬
‫לגבול‪.‬‬
‫אך‪ ,‬כך למעשה שאיפה לגבול אינה מובילה לגבול לעולם ותמיד תישאר שארית כלשהי בכל זמן שייבדק‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬לעולם לא קיימת רציפות בטבע‪ ,‬אלא‪ ,‬התקרבות לרציפות‪ ,‬שכן‪ ,‬הגעה לגבול היא עיגול פינות ואינה‬
‫רציפות‪.‬‬
‫ב‪ .‬הנחת רציפות תנועה בטבע פירושה כי אין אפשרות לשום אגיד ‪ A‬להיפרד‪/‬לעזוב את קו ההתחלה שהוא‬
‫נקודת האפס )‪ ,(0‬כיוון שהאגיד ‪ A‬צמוד לאפס ואינו יכול לעולם להתנתק מהאפס‪ .‬אחרת‪ ,‬הנחת הרציפות‬
‫בטלה כיוון שאז חייב להיווצר הפרש ריק מתנועה בגודל ‪ 0 < S‬בין האגיד לאפס‪ .‬לפיכך‪ ,‬זה בלתי אפשרי‬
‫ליצור איזו שהיא תנועה במקרה של הנחת הרציפות‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬נניח כי אתם רוצים לספור‪/‬לצעוד החל מהאפס )‪ (0‬עד ‪ 100‬מטר‪ .‬כדי לעשות זאת עליכם בהכרח‬
‫להיפרד מהאפס‪ ,‬אחרת תהיו תקועים שם באפס )‪ (0‬ללא ספירה‪/‬צעד לעולם‪ .‬לכן‪ ,‬כדי להתחיל בספירה‪/‬צעד‪,‬‬
‫אתם חייבים שהמספר‪/‬צעד ככל שיהיה קטן חייב תמיד להיות<אפס )‪ ,(0‬אחרת לא קיימת תנועה בטבע‪ .‬אך‬
‫בפועל כן קיימת תנועה! זה סותר רציפות‪ .‬לכן‪ ,‬גם כאשר תמשיכו הלאה להקטין את המספר‪/‬צעד עוד ועוד‬
‫לפי הנחת הרציפות‪ ,‬תהליך ההקטנה חייב להיות סופי‪ ,‬כיוון שאחרת לא תוכלו לספור‪/‬לצעוד לעולם ולהגיע‬
‫ל‪ 100 -‬מטר‪ .‬אם הנחת הרציפות נכונה‪ ,‬אין אפשרות להתחיל בשום מספר‪/‬צעד‪ .‬כך לא תוכלו לבצע שום‬
‫צעד‪ ,‬לחשוב שום מחשבה‪ ,‬לא תוכלו לדבר‪ ,‬לא תוכלו לנוע‪ ,‬לא תוכלו לבנות‪ ,‬לא תוכלו לעשות כלום‪ .‬בפועל‪,‬‬
‫עובדה שאתם סופרים‪ ,‬צועדים‪ ,‬בונים וחושבים‪ ,‬וזאת משום שהטבע קיים בפועל‪ .‬מכאן שהנחת הרציפות‬
‫מופרכת‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫ג‪ .‬אולם‪ ,‬כדי שלא תהיה אי הבנה ולו הקלה ביותר‪ ,‬אציג ההוכחה בדרך השלילה‪ ,‬בדרך של הגדרת קושי‬
‫את הגבול‪ .‬נניח כי אגיד ‪ A‬הצליח להתנתק מהאפס )‪ (0‬ולבצע תנועה בגודל ‪ .a‬אולם‪ ,‬בגלל קיום הנחת‬
‫הרציפות ניתן לבצע תנועה קטנה יותר בגודל ‪ a >b‬לפי גישת קושי‪ .‬אך‪ ,‬שוב‪ ,‬בגלל הרציפות המאפשרת‬
‫שאיפה לאפס‪ ,‬ניתן לבצע תנועה עוד יותר קטנה בגודל ‪ b >c‬וכך הלאה‪ .‬מנימוק זה של שאיפה לאפס‬
‫‪1‬‬
‫שמקורה בהנחת הרציפות‪ ,‬ניתן כל הזמן להקטין את תנועת אגיד ‪ A‬לגבול ‪ ,0‬כמודגם בתרשים א‪ .‬לכל גודל‬
‫תנועה ‪ a‬ניתן למצוא תנועה קטנה יותר ‪ ,b‬אח"כ ‪ c‬המתקרבת יותר לאפס‪ ,‬וכך הלאה ‪ e ,d‬ועוד‪ .‬לכן‪,‬‬
‫התוצאה הסופית היא כי לעולם אין אפשרות לבצע כל תנועה בכלל‪ .‬מכאן שבפועל‪ ,‬אין אפשרות להתנתק‬
‫לעולם‪ ,‬מהאפס! דבר זה נכון לגבי כל תנועה בטבע‪ ,‬בכל מקום ובכל נקודה ולכן‪ ,‬לעולם‪ ,‬אין שום תנועה של‬
‫שום אגיד בטבע אם קיימת רציפות‪ .‬זה סותר את מציאות הטבע‪ .‬מכאן שהנחת הרציפות מופרכת‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫אילו קושי היה פועל בדרך המוצעת על ידי תורת מיקסומיה‪ ,‬שהיא בעצם דרכו‪ ,‬וממשיך עוד צעד אחד בלבד‪,‬‬
‫היה מגלה טעותו הקריטית שמשמעותה כי אין אפשרות לקיום הטבע‪ .‬קושי היה מגיע למסקנה הכרחית כי‬
‫השאיפה לתנועה לאחור )לאחר שנעשתה התנועה קדימה( לגבול אפס )‪) (0‬שהיא נקודת המוצא לתנועה‬
‫קדימה(‪ ,‬פירושה הוא שאין אפשרות לעולם להתנתק מהאפס קדימה‪ ,‬שכן לכל תנועה לפי הנחת הרציפות‬
‫ניתן למצוא תמיד לפי קושי תנועה קטנה יותר‪ ,‬ולכן לא קיים טבע‪ ,‬כי אין אפשרות לנוע קדימה מהאפס )‪.(0‬‬
‫אך‪ ,‬בפועל הטבע קיים‪ .‬לכן‪ ,‬מוכח כי הנחת הרציפות מופרכת בשיטת קושי עצמה‪ .‬מש"ל‪ .‬גם ניוטון ולייבניץ‬
‫לפניו שגו בדרך דומה וכך גם שגו כל המתמטיקאים והפיזיקאים עד עתה‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫תרשים א‪.‬‬
‫)‪A (T‬‬
‫)‪A (T‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪c‬‬
‫‪d‬‬
‫‪0‬‬
‫‪e‬‬
‫תרשים א‪ .‬הקטנת הקטע ‪ 0 a‬על פי הנחת הרציפות מוכיחה כי ניתן תמיד להקטין כל קטע לקטן ממנו ולכן לא ניתן לבצע שום‬
‫תנועה‪.‬‬
‫מכאן שתורת מיקסומיה מוכיחה בוודאות ללא שום אפשרות להפרכה )ולא מניחה כלום( כי הנחת רציפות‬
‫הטבע שגויה‪ ,‬בשורש‪ .‬המסקנה ההכרחית מעצם קיום הטבע בפועל היא לפי הוכחת תורת מיקסומיה‬
‫שקיימת אי רציפות תנועה בטבע שמשמעות היא‪ :‬כל תנועה חייבת להיות לא רציפה ולהיעשות בקפיצה‬
‫קוונטית וללא זמן‪ .‬כלומר כל הטבע לפי תורת מיקסומיה בנוי רק מקפיצות קוונטיות ללא זמן‪ .‬כיוון שקיים‬
‫זמן בטבע‪ ,‬הוא חייב להיווצר בזמן השהייה בין כל שתי קפיצות קוונטיות ואת זאת אוכיח להלן‪:‬‬
‫משפט ‪ .2‬כל תנועת אגיד במציאות הטבע מחייבת אי רציפות‪ ,‬ולכן‪ ,‬מושג הגבול קיים רק במחשבה‬
‫המוטעית של ניוטון ולייבניץ‪ ,‬המחייבת רציפות תנועה‪.‬‬
‫הוכחה ‪ .2‬הוכח ע"י מיקסומיה במשפט ‪ 1‬כי אין אפשרות לרציפות תנועה בטבע‪ ,‬שכן‪ ,‬לא מתקיימת אז שום‬
‫תנועה בטבע‪ ,‬כי אין אפשרות לשום אגיד להתנתק מהאפס‪ .‬אבל‪ ,‬בפועל‪ ,‬מעצם קיום מציאות הטבע‪ ,‬חייבת‬
‫להיות קיימת תנועה לא רציפה של אגיד ‪ A‬המנתקת עצמה באופן מוחלט מהמקום הקודם "האפס" )‪,(0‬‬
‫שהיא התנועה הקטנה ביותר בגודל ‪ 0 <a0‬היוצרת התנתקות מוחלטת מהאפס‪ .‬אין אפשרות לקיום תנועה‬
‫קטנה ממנה‪ ,‬למשל ‪ a1‬כך ש ‪ 0 < a1 < a0‬תיכנס ביניהן‪ ,‬כי אז ‪ a0‬אינו גודל התנועה הקטן ביותר‪ ,‬ולכן כל ‪=a1‬‬
‫‪ , a0‬שהיא הקטנה ביותר‪ ,‬כמודגם בתרשים ב‪ .1‬הערה‪ :‬תנועה לא רציפה פירושה היא כי קיים ריק מכול‬
‫תנועה שהיא של אגיד ‪ ,A‬מלבד שני מופעים של אגיד ‪ A‬בפתיחה ובסיום ללא שום מידע נוסף על מתווה‬
‫התנועה‪.‬‬
‫תרשים ב‪.1‬‬
‫)‪A (T‬‬
‫)‪A (T‬‬
‫‪a‬‬
‫`‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫תרשים ב‪ .1‬אגיד ‪ A‬מבצע את התנועה הקטנה ביותר‪ ,‬שהיא קטע ‪ .0 a‬לכן אין אפשרות לקיום קטע ‪ .0 a' < 0 a‬יש לשים לב כי‬
‫בקטע ‪ 0 a‬קיים ריק מתנועת‬
‫)‪A(T‬‬
‫כיוון שאגיד ‪ A‬אינו מתקדם מנקודה ‪ 0‬לנקודה ‪ , a‬אלא מופיע בהפתעה בכל אחת מהנקודות‪.‬‬
‫‪2‬‬
‫קיום התנועה הקטנה ביותר של אגיד ‪ A‬שהיא ‪ a0‬אינה מאפשרת אם כך קיום תנועה קטנה ממנה ‪ .a1‬אולם‪,‬‬
‫ניוטון ולייבניץ התעלמו מכך והמשיכו במחשבתם המוטעית בהקטנת התנועה הקטנה ביותר בטבע ‪ a0‬כך ש‬
‫‪ 0 < a1 <a0‬ואח"כ ‪ 0 < a2< a1 <a0‬וכך הלאה כמודגם בתרשים ב‪ 2‬המוכיח כי למרות שאין אפשרות‬
‫במציאות הטבע ליצור תנועה קטנה מ ‪ ,a0‬ניוטון ולייבניץ‪ ,‬לא היו מודעים לאי הרציפות‪ ,‬שכן‪ ,‬רק תורת‬
‫מיקסומיה מוכיחה את קיום אי הרציפות‪ .‬לכן‪ ,‬שניהם התבססו על הנחת רציפות הטבע‪ ,‬בנו את מושג‬
‫השאיפה לגבול שהוא בתרשים זה האפס )‪ (0‬המבוסס על רציפות הטבע המופרכת במשפט ‪ .1‬מכאן שאין‬
‫שום אפשרות לא לשאיפה ולא ליצירת הגבול אפס )‪ (0‬במציאות כפי שביצעו ניוטון ולייבניץ במחשבתם‪ ,‬בגלל‬
‫שלא קיימת רציפות בטבע‪ ,‬כפי המוכח עתה‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫תרשים ב‪.2‬‬
‫גודל תנועת האגיד ‪A‬‬
‫‪CU‬‬
‫‪a0‬‬
‫מרחק מינימלי של‬
‫תנועת אגיד ‪ A‬מהאפס‬
‫‪a1‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪a3‬‬
‫מספר חלוקות המרחק המתבסס על רציפות התנועה‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫תרשים ב‪ .2‬בתרשים זה קיימת רק נקודה אחת של התנועה הלא‪-‬רציפה של אגיד ‪ ,A‬והיא הנקודה ‪ ,a0‬שהיא גודל התנועה הקטן‬
‫ביותר‪ .‬זוהי הנקודה האחת והיחידה הקיימת במציאות מרחב הטבע‪ .‬לאחריה שוב תהיה תנועה לא רציפה בגודל ‪ ,b0‬שאינה‬
‫קיימת בתרשים זה‪ .‬לפיכך‪ ,‬בכל המרחב הזה קיים רק גודל תנועה לא‪-‬רציפה אחד במציאות הטבע‪ ,‬והוא ‪ a0‬הקיים במרחב‬
‫הטבע‪ .‬למשל‪ ,‬מושג הגבול והשאיפה אליו‪ ,‬המיוצג ע"י העקומה ‪ ,CU‬אינו קיים במציאות‪ ,‬אלא רק במחשבה המוטעית של ניוטון‬
‫ולייבניץ‪ .‬כמו‪-‬כן‪ ,‬לא קיימות במציאות הנקודות ‪ a1….a3‬על העקומה‪ ,‬אלא רק במחשבה המוטעית שלהם‪ ,‬המבוססת על הנחת‬
‫רציפות הטבע‪ ,‬שאינה קיימת במציאות‪.‬‬
‫תמיכה נוספת המוכיחה את טעות ניוטון ולייבניץ‪ .‬השאיפה לגבול אפס )‪ ,(0‬לפי ניוטון ולייבניץ מוכיחה כי‬
‫לעולם לא ניתן להגיע לגבול שהוא האפס )‪ (0‬עצמו‪ .‬לכן‪ ,‬יצירת הגבול על ידם הינה טעות כפולה‪ :‬ראשית אין‬
‫שום שאיפה לגבול לעולם כאשר קיימת אי רציפות‪ ,‬ושנית‪ ,‬הקטנה של תנועת אגיד ‪ A‬לעולם לא מגיעה לגבול‬
‫עצמו שהוא האפס )‪ .(0‬מכאן שניוטון ולייבניץ ביצעו "עיגול פינות" הסותר אמת מדעית‪ ,‬רק כדי שלא לוותר‬
‫על הכלי הנוח אך השגוי שפיתחו‪ ,‬שהוא החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי )חדו"א(‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫תורת מיקסומיה מוכיחה במשפטים ‪ 24 -17‬כי החשבון הדיפרנציאלי והאינטגראלי )חדו"א( מופרך בשורש‬
‫כיוון שאין רציפות בטבע‪ ,‬וכן מופרך ע"י מיקסומיה במשפט ‪ 25‬מושג האינסוף‪ .‬לכן‪ ,‬יש לבטל את חדו"א‬
‫וליצור במקומו מתמטיקה אחרת המבוססת על אי רציפות הטבע‪.‬‬
‫משפט ‪ .3‬תנועה לא רציפה של אגיד בטבע חייבת להיעשות בקפיצה קוונטית באפס זמן )ללא זמן(‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫הוכחה ‪ .3‬בפועל קיים זמן בטבע‪ .‬נוכיח בדרך השלילה כי הזמן ‪ T‬אינו יכול להיווצר במהלך תנועה לא‬
‫רציפה‪ .‬נניח כי קיים זמן נמדד ‪ t0‬תוך כדי מהלך תנועה לא רציפה של אגיד ‪ .A‬לכן‪ ,‬ניתן למצוא תנועה לא‬
‫רציפה קטנה יותר למשל‪ 'a ,‬כך ש ‪ .0 < 'a < a‬אך הוכח במשפט ‪ ,2‬כי התנועה הלא רציפה הקטנה ביותר של‬
‫אגיד ‪ A‬היא בגודל ‪ 0 < a‬ואין קטנה ממנה‪ .‬לכן‪ ,‬כל תנועה לא רציפה בטבע נעשית בפתאומיות‪ ,‬בקפיצה‬
‫קוונטית באפס זמן‪ .‬תרשים ג‪ .‬מש"ל‪.‬‬
‫תרשים ג‪.‬‬
‫‪a‬‬
‫‪S0‬‬
‫)‪A(T‬‬
‫'‪a‬‬
‫‪S'0‬‬
‫)‪A(T‬‬
‫‪t0‬‬
‫‪t'0‬‬
‫‪0‬‬
‫תרשים ג‪ .‬בתנועה לא רציפה הקטנה ביותר אין אפשרות כי תתבצע בזמן ‪ t0‬שכן במקרה כזה קיים זמן '‪ t0‬בו יתקדם אגיד ‪A‬‬
‫לנקודה '‪ .a‬זה אומר כי קיימת הנחה ‪ ,0<a'<a‬ואז ‪ a‬אינו התנועה הקטנה ביותר‪ .‬סתירה‪.‬‬
‫‪4‬‬