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statements. But it would do us no good, for we do not want to give up the use of the
simple laws of Aristotelian logic. No one, though he speaks with the tongues of angels,
would keep people from negating arbitrary statements, or from forming partial
propositions, or from using the tertium non datur (PEM). How, then, are we to behave?
Let us remember that we are mathematicians and that as such we have often been in a
[Hesseling, 2003, p.313] 8
similarly precarious situation from which we have been rescued by the ingenious
methods of ideal elements.9
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Supplementing the finitary statements with ideal statements, to preserve the simple formal
rules of ordinary Aristotelian logic.10
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own daily use. Very many, however, admitted that Weyl and Brouwer were prima facie
right, but they themselves continued to trespass, that is, to do their own mathematics, in
the old, ‘easy’ fashion – probably in the hope that somebody else, at some other time,
might find the answer to the intuitionistic critique and thereby justify then a posteriori12.
[Hesseling 2003, p.313]12
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1. Hesseling, David E.
Gnomes in the Fog: The Reception of Brouwer'
s intuitionism in the 1920s.
Basel, Boston, Berlin: Birkhu-ser Verlag, 2003.
2. Pourciau, Bruce.
Intuitionism as a (Failed) Kuhnian Revolution in Mathematics.
Stud. His. Phil. Sci, Vol. 31, No. 2 (2000), p. 297-329
3. Snapper, Ernst.
The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism and Formalism.
Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 4 (Sep., 1979), p. 207-216.
4. Streicher, Thomas.
Introduction to Constructive Logic and Mathematics.
2000-2001, Electronic document, Accessed august 5th,
http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~streicher/CLM/clm.ps.gz
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