1. No category

IZRAČUN MASE JUPITRA
FIZIKA IN ASTRONOMIJA
Raziskovalna naloga
Avtor: Anže Kastelic
Razred: 9. a
Mentorica: Maja Karlovčec
Somentor: Matic Smrekar
Šolsko leto: 2011/2012
Šola: OŠ Kašelj
POVZETEK
Cilj raziskovalne naloge je izmeriti maso Jupitra s pomočjo opazovanja vrtenja Galilejevih
lun. Grafa gibanja Evrope in Io sta zaradi premajhne pogostosti opazovanj neuporabna.
Rezultate opazovanj lun Kalisto in Ganimed sem povezal v sinusni krivulji, iz katerih sem
razbral obhodni čas lun in njuni navidezni razdalji od Jupitra. Nato sem s pomočjo
gravitacijskega zakona in fizikalnih zakonov za vrtenje izračunal maso Jupitra iz opazovanj
lun Ganimed in Kalisto.
Ključne besede: masa Jupitra, Jupitrove lune, obhodni čas lune, razdalja med luno in
Jupitrom.
2
Kazalo:
1. UVOD ................................................................................................................................................. 4
2. TEORETIČNI DEL ............................................................................................................................. 5
2.1 Podatki ........................................................................................................................................... 5
2.2 Zgradba.......................................................................................................................................... 5
2.3 Lega in orbita ................................................................................................................................ 6
2.4 Videz ............................................................................................................................................. 6
2.5 Zgodovina...................................................................................................................................... 6
2.6 Vreme in atmosfera ....................................................................................................................... 7
2.7 Prstani ............................................................................................................................................ 7
2.8 Lune............................................................................................................................................... 8
2.8.1 Io............................................................................................................................................. 9
2.8.2 Evropa .................................................................................................................................... 9
2.8.3 Kalisto .................................................................................................................................. 10
2.8.4 Ganimed ............................................................................................................................... 11
2.9 Velika rdeča pega ........................................................................................................................ 11
3. EKSPERIMENTALNI DEL ............................................................................................................. 13
3.1 Opis pripomočkov ....................................................................................................................... 13
3.1.1 Optična cev ........................................................................................................................... 13
3.1.2 Montaža ................................................................................................................................ 14
3.1.3 Fotoaparat ............................................................................................................................. 15
3.2 Opazovanje .................................................................................................................................. 18
4. REZULTATI ..................................................................................................................................... 19
4.1 Zbiranje rezultatov ...................................................................................................................... 19
4.2 Izpeljava formule za maso Jupitra ............................................................................................... 22
4.3 Določitev razmerja med pikslom in kilometrom ......................................................................... 24
4.4. Izračun mase Jupitra ................................................................................................................... 26
4.4.1 Masa Jupitra preko meritev lune Ganimed ........................................................................... 26
4.4.2 Masa Jupitra preko meritev lune Kalisto .............................................................................. 28
4.4.3 Povprečna masa Jupitra ........................................................................................................ 29
4.4.4 Risanje grafov s programom GeoGebra ............................................................................... 30
5. RAZPRAVA ..................................................................................................................................... 33
6. ZAKLJUČEK .................................................................................................................................... 33
7. SEZNAM UPORABLJENE LITERATURE .................................................................................... 34
3
1. UVOD
Odločil sem se, da bom raziskoval Jupiter, saj je moj najljubši planet. Cilj raziskovalne naloge
je izračunati maso Jupitra s pomočjo vrtenja njegovih štirih največjih lun – Io, Evrope, Kalisto
in Ganimeda (Galilejevih lun). Po podatkih iz Wikipedije je masa Jupitra 1,9 1027
kilogramov. Predstavil bom opazovalne metode in postopek izračuna mase Jupitra ter težave,
ki so se pojavljale med raziskovanjem.
4
2. TEORETIČNI DEL
2.1 Podatki
Masa
318 Zemljinih mas
Premer (ekvatorialni)
143 tisoč km
Povprečna oddaljenost od Sonca
778,3 milijonov km
Obhodni čas okoli Sonca
11,86 let
Nagnjenost osi
3°
Vrtilni čas
9,93 h
Število lun
več kot 60
Ubežna hitrost
60 km/s
Povprečna tirna hitrost
13 km/s
Albeldo
0,52
2.2 Zgradba
Kamnito jedro Jupitra je sestavljeno iz primesi kovin in vodikovih spojin. Temperatura
dosega 30 000 °C. Okoli jedra, kjer je tlak kar 4 milijone barov, je kovinski vodik. Zunanja
plast je sestavljena iz tekočega vodika in helija. Na površju pa sta helij in vodik v plinastem
stanju. Tu je temperatura okoli –110 °C. Pojavljajo se tudi voda, ogljikov dioksid, metan in
druge spojine v majhnih količinah. Gostota Jupitra je na splošno majhna.
Njegova masa je 2,5-krat večja kot masa vseh drugih planetov v našem Osončju skupaj. Če bi
bil približno 100-krat bolj masiven, bi postal zvezda. V njega bi lahko spravili nekaj več kot
1300 Zemelj.
Naše znanje o notranjosti Jupitra je zelo površno (tudi o notranjosti ostalih plinastih planetov)
in tako bo vsaj še nekaj časa (sonda Galileo je raziskovala Jupiter le 150 km pod oblaki).
5
2.3 Lega in orbita
Jupiter je peti planet po vrsti in največji v našem Osončju. Nahaja se za asteroidnim pasom.
Sodi med zunanje planete in je plinasti orjak. Nima letnih časov, saj je njegova os nagnjena za
samo 3° glede na navpičnico na ravnino kroženja. Zaradi zelo hitrega vrtenja okoli svoje osi
je sploščen (za okoli 6 %) in ima ekvatorialni premer za 10 000 km večji od polarnega. Jupiter
je pomemben za naše življenje, saj z gravitacijskim privlakom lovi komete in asteroide, ki bi
lahko drugače trčili v Zemljo.
Položaj Jupitra v Osončju; velikosti planetov so v razmerju, razdalje med planeti pa ne.
Vir: http://www.prestonhall.com/solar-system-poster.html (24. 2. 2012).
2.4 Videz
Na nebu je zelo svetel (doseže tudi do –2,9 magnitude) in je četrti najsvetlejši objekt na nebu
(takoj za Soncem, Luno in Venero). Že z majhnim teleskopom se da videti njegove večje štiri
lune, veliko rdečo pego in dva velika pasova – severni ekvatorialni pas in južni ekvatorialni
pas.
2.5 Zgodovina
Jupiter se imenuje po najpomembnejšem rimskem bogu (v grški mitologiji znan kot Zevs),
lune pa se imenujejo po ljubicah, potomcih in spremljevalcih Jupitra. Leta 1630 so bili odkriti
glavni pasovi.
6
Na Jupiter je bilo poslano že kar nekaj vesoljskih plovil (Pioneer 10, Pioneer 11, sonde
Voyager 1, Voyager 2 in Galileo). Pioneer 10 je bilo prvo plovilo, ki je prečkalo asteroidni
pas. Sondi Voyager 1 in Voyager 2 sta posneli več kot 30 000 slik Jupitra in njegovih 5
največjih lun. Sonda Galileo je bila poslana v atmosfero Jupitra, kjer je zbirala podatke o
temperaturnih spremembah, atmosferi in sestavi oblakov.
2.6 Vreme in atmosfera
Jupiter ima veliko vrtincev, ovalov, pasov, oblakov, neviht, močnih vetrov in peg. Najbolj
znana je rdeča pega. Preko barve oblakov lahko ocenimo višino oblakov. Modri so najnižji,
sledijo jim rjavi in beli ter najvišje rdeči. Jupiter seva 1,7-krat več energije, kot pa je prejema
od Sonca. Vzrok: Jupiter še ni imel dovolj časa zgubiti vse odvečne toplote. Vetrovi na
Jupitru dosegajo hitrost 600 km/h. Jupitrovo atmosfero sestavlja približno 90 % vodika in
približno 10 % helija.
2.7 Prstani
Prstane je leta 1979 odkrila sonda Voyager 1. So manjši in šibkejši (albeldo 0.05) od
Saturnovih. Vidi se jih, ker se svetloba sipa na prašnih delcih v prstanu in na robu atmosfere.
Prstani so sestavljeni iz treh delov:
– notranji prstan, znan kot Halo – njegovi delci segajo do vrha Jupitrovih oblakov,
– glavni prstan – prah je verjetno prišel z lun Adrasteja in Metis,
– zunanji prstan Gossamer – tu je material prišel z lun Thebe in Amalteja.
Računalniška shema Jupitrovih prstanov: s sivo barvo je narisan prstan Halo, z rdečo glavni prstan ter
z rumeno in zeleno prstan Gossamer. Vir: http://www.orion-drustvo.si/40/ (25. 2. 2012).
7
Glavni prstan je posnela sonda Galileo, ko je bilo Sonce za Jupitrom.
Vir: http://www.orion-drustvo.si/40/ (25. 2. 2012).
2.8 Lune
Leta 1610 je Galileo Galilei odkril 4 največje Jupitrove lune (Io, Ganimed, Kalisto in
Evropo). Imenujemo jih Galilejeve lune ali Medičejski sateliti. To je bilo prvo odkritje
gibanja teles, ki se ne vrtijo okoli Zemlje (takrat so verjeli, da je Zemlja v središču vesolja in
da se vse vrti okoli nje).
Jupiter ima več kot 60 lun. Nekatere lune so nastale skupaj s planetom, nekatere pa so zajeti
asteroidi ali deli večjega asteroida. Jupitrove lune lahko delimo na 2 veliki skupini:
– pravilne lune (nastale so z nastajanjem Jupitra):


Amaltejina skupina (4 lune s premerom manj kot 200 km),
Galilejeve lune (štiri največje Jupitrove lune);
– nepravilne lune (manjše lune, ki so zašle v Jupitrovo orbito):




Himalijna skupina,
Karmina skupina,
Anakina skupina,
Pasifajina skupina.
8
2.8.1 Io
Ime je dobila po Zevsovi ljubimki. Je najbližja Galilejeva luna (oddaljena je 421 600 km).
Jupiter obkroži v približno 42,5 urah in je malo večja od naše Lune. Vedno je obrnjena z isto
stranjo proti Jupitru. Je najbolj vulkansko aktivno telo v Osončju. Na njej so odkrili več kot
300 bruhajočih žrel in 80 ognjeniških območij. Nekaj vulkanov je celo dejavnih. Tu je tudi
najvišja temperatura izmed vseh teles v Osončju – razen Sonca –, kar 1230 °C. Njeno površje
se stalno razteza (tudi do 100 m), saj jo na eni strani močno privlači Jupiter, na drugi pa
Evropa.
Luna Io
Vir: http://www.seasky.org/space-gallery/space-gallery-01-14.html (26. 2. 2012).
2.8.2 Evropa
Evropa je najmanjši Medičejski satelit (njen premer je 3122 km). Prekrita je z ledom. Pod njo
naj bi ležalo morje tekoče vode. V njem naj bi bilo več vode, kot je vode na Zemlji. Možno je
tudi, da so tam ugodne življenjske razmere. Vedno je z isto stranjo obrnjena proti Jupitru.
Njena skorja je polna razpok, ki so dolge tudi več tisoč kilometrov. NASA naj bi v
prihodnosti poslala sondo na Evropo, da bi raziskala morje pod ledom.
9
Luna Evropa
Vir: http://www.seasky.org/space-gallery/space-gallery-01-13.html (26. 2. 2012).
2.8.3 Kalisto
Izmed štirih večjih lun je Kalisto najtemnejša in najbolj oddaljena od Jupitra (1,88 milijonov
km). Jupiter obkroži v 16,7 dneh. Je tretja največja luna v Osončju, velika je približno toliko
kot Merkur. Ima zelo veliko kraterjev – največ v Osončju. To pomeni, da je površje neaktivno
in zelo staro. Na njej ni nobene gore. Poimenovana je po eni izmed Zevsovih ljubic. Ima
kamnito jedro in debel leden plašč.
Luna Kalisto
Vir: http://www.seasky.org/space-gallery/space-gallery-01-11.html (26. 2. 2012).
10
2.8.4 Ganimed
Je največja luna v našem Osončju, je celo večja od planeta Merkur. Njen premer meri 5262
km. Če ne bi bila gravitacijsko vezana na Jupiter, bi bila lahko planet. Ima tanko kisikovo
atmosfero. Tudi Ganimed (tako kot Evropa) naj bi imel pod površjem vodo, toda v manjših
količinah. Zanimivo je, da medtem ko Ganimed naredi en obhod okoli Jupitra, naredi Evropa
dva obhoda, Io pa štiri (Laplaceova resonanca).
Luna Ganimed
Vir: http://www.seasky.org/space-gallery/space-gallery-01-12.html (26. 2. 2012).
2.9 Velika rdeča pega
Je največja značilnost Jupitra. Nahaja se 22° južno od ekvatorja. Je velika anticiklonska
nevihta, ki je večja od Zemlje. Prvič so jo opazili že pred vsaj tristo leti. Vrti se v nasprotni
smeri urinega kazalca. Obrat traja 6–7 dni. Oblika, velikost in barva se stalno spreminjajo. Tu
vetrovi presegajo hitrost 800 km/h. Je največji vihar v Osončju. Pega lahko za nekaj let ali
mesecev celo izgine. Med leti 1996 in 2006 se je pega po dolžini zmanjšala za kar 15 %.
11
Velika rdeča pega
Vir: http://www.nasa.gov/mission_pages/juno/multimedia/pia00065.html (26.2.2012).
12
3. EKSPERIMENTALNI DEL
3.1 Opis pripomočkov
Pri opazovanju Jupitra in njegovih lun sem uporabljal različne pripomočke, ki jih bom
podrobneje opisal.
3.1.1 Optična cev
Vsa opazovanja sem izvedel z refraktorjem D = 150 mm, F = 1200 mm in f/8. D pomeni
premer objektiva, F pomeni gorišče teleskopa in f/ pomeni svetlobno moč teleskopa (razmerje
med goriščno razdaljo objektiva in premerom objektiva).
Teleskop D = 150 mm, F = 1200 mm (foto: Anže Kastelic)
13
3.1.2 Montaža
Montaža EQ6 (foto: Anže Kastelic)
Pri vseh opazovanjih sem uporabljal motorizirano ekvatorialno montažo EQ6. Pri prenašanju
sem imel nekaj težav, saj tehta skupaj kar 36 kilogramov!
EQ6 je ekvatorialna montaža. To pomeni, da polarno os montaže s pomočjo polarnega iskala
(imel sem ga brez osvetlitve) najprej usmerimo v Severnico, nato ročno obrnemo teleskop
proti opazovanemu telesu in ga potem še z ročnim upravljalnikom postavimo na sredino ter
nazadnje še vključimo sledenje.
14
Ročni upravljalnik (foto: Anže Kastelic)
3.1.3 Fotoaparat
Fotoaparat Nikon D3000 (foto: Anže Kastelic)
Vse raziskovalne rezultate sem fotografiral s fotoaparatom Nikon D3000. Je zrcalno refleksni
(DSLR) fotoaparat in je bolj uporaben od kompaktnega, saj lahko pri zrcalno refleksnih
menjavamo objektive (pri kompaktnih jih ne moremo). Tako sem objektiv fotoaparata
odstranil in nanj pritrdil »T-ring« (obroček, ki ga pritrdimo na fotoaparat, da se lahko
»poveže« s teleskopom).
15
»T-ring« za Nikon (foto: Anže Kastelic)
Fotoaparat, pritrjen na teleskop (foto: Anže Kastelic)
Poleg menjave objektivov lahko z zrcalno refleksnimi fotoaparati fotografiramo z različnimi
ekspozicijami. Ekspozicija pomeni čas osvetlitve. Če je nek motiv bolj svetel, potrebujemo
krajši čas osvetlitve, in obratno. Zrcalno refleksni fotoaparati imajo še tipko »bulb«, ki nam
omogoča izbiro poljubno dolgega časa osvetlitve.
16
Nikon D3000 omogoča ISO od 100 do 1600. ISO pomeni občutljivost na svetlobo. Čim nižji
je ISO, tem manj je fotoaparat občutljiv na svetlobo in manj bo zrnata fotografija (manj
»šuma«). Čim višji je ISO, tem bolj je občutljiv na svetlobo in več bo zrnatosti. Če
uporabljamo dolge ekspozicije, je dobro uporabiti večji ISO, saj se na sliki ne bo tako veliko
poznalo tresenje rok ali teleskopa.
ISO 1600, 1/10 sekunde (foto: Anže Kastelic)
ISO 200, 1/10 sekunde (foto: Anže Kastelic)
17
3.2 Opazovanje
Vsako noč sem opazoval na sledeči način: najprej sem postavil stojalo, zatem montažo in
uteži. Nato sem polarno os umeril v Severnico. Po mojem mnenju je bilo to najtežje delo in
tudi zelo zamudno, ker polarno iskalo ni bilo osvetljeno. V tem primeru sem si pomagal s
svetilko – pod kotom sem posvetil v polarno iskalo. Za polarno nastavitev sem tako
potreboval vsakič okoli 20 min. Potem sem vključil napajalnik in ročni upravljalnik povezal z
montažo. Sledilo je ročno obračanje teleskopa proti Jupitru. Takoj, ko sem dobil Jupiter in
njegove lune v vidno polje okularja, sem premaknil tipko na ročnem upravljalniku na N –
north (na severni pol, ker smo na severni polobli). To pomeni, da bo montaža sledila Jupitru
(ali drugim objektom) s konstanto hitrostjo, s tako, kot se navidezno vrti nebo. Nato sem
fotografiral Jupiter in njegove lune približno na vsakih 15 minut. Na začetku sem imel nekaj
težav. Prvi dve noči sem se moral naučiti natančnega ostrenja. Poleg tega na začetku nisem
uporabil časovnega zamika pri proženju, zato so bile fotografije razmazane. Zgodilo se mi je
tudi, da je v fotoaparatu zmanjkalo baterij. Tako sem se tekom opazovanj naučil uporabe
opreme in odpravil začetniške težave, ki opazovanja in raziskovanje lahko spremljajo.
Neuspela slika Jupitra in lun (z leve proti desni: Kalisto, Evropa in Ganimed), datum in ura: 7.
1. 2012 ob 00:01 uri. Foto: Anže Kastelic.
Jupiter in njegove lune (z leve proti desni: Evropa, Io, Ganimed in Kalisto), datum in ura: 18.
2. 2012 ob 20:13. Foto: Anže Kastelic.
18
4. REZULTATI
4.1 Zbiranje rezultatov
Ko sem poslikal Jupiter in njegove lune, sem slike odprl v računalniškem programu Gimp.
Program ima napisano koordinatno mrežo. Na mestu, kjer je miška, izpiše nahajališče miške v
koordinatnem sistemu v danem trenutku. Iz vsake slike sem razbral, kje na koordinatni mreži
se nahaja središče Jupitra in kje so središča vseh Galilejevih lun. Nato sem y vsake lune odštel
od y središča Jupitra in to ponovil še za x. Nazadnje sem po Pitagorovem izreku izračunal
oddaljenost posamezne lune od središča Jupitra:
Oddaljenost lune od središča Jupitra po y osi je označena s spremenljivko y, x je oddaljenost
lune od Jupitra po x osi, r pa je končna razdalja lune od Jupitra v točkovnih elementih
(pikslih).
Da sem lahko naredil graf, sem datum in čas opazovanja spremenil v ure. Jupitra in njegove
lune sem prvič uspešno poslikal 18. 2. 2012 ob 20:14 uri, zato sem določil, da naj bo 18. 2.
2012 ob 00:00 uri čas 0 ur (npr.: 19. 2. 2012 ob 01:00 je bil čas 25 ur). Tako sem sešteval ure,
da sem lahko čas uporabil na grafu. Nato sem za vsako luno naredil graf. Vodoravna os
pomeni čas t v urah, navpična os pa pomeni razdaljo r lune od Jupitra v pikslih.
Graf za Kalisto
19
Graf za Ganimed
Graf za Evropo
20
Graf za Io
Zaradi pomanjkanja opazovalnih dni sem maso Jupitra lahko izračunal le iz grafov lun
Ganimed in Kalisto. Nato sem natisnil grafa za Kalisto in Ganimed in med seboj povezal
meritve v sinusno krivuljo.
Sinus Ganimeda
21
Sinus lune Kalisto
Iz grafov sem izmeril največjo oddaljenost lune od Jupitra (v pikslih) in en obhodni čas lune
okoli Jupitra.
4.2 Izpeljava formule za maso Jupitra
Da bi lahko izračunal maso Jupitra, sem iz treh zakonov dobil končno formulo.
Ti zakoni so:
– 2. Newtonov zakon, ki opisuje zvezo med silo F, maso m in pospeškom a:
– gravitacijski zakon, kjer je F sila, m1 masa prvega telesa, m2 masa drugega telesa, g
gravitacijski pospešek, r je razdalja med masnima središčema in G gravitacijska konstanta:
22
– zakon kroženja, kjer je F sila, m masa, a pospešek, r polmer,
in to je obhodni čas:
, kjer je
V formuli
,
in
lahko namesto frekvence
, zato dobimo :
je kotna hitrost, frekvenca
.
vstavimo formulo za frekvenco:
.
Do formule za maso Jupitra sem prišel preko izpeljav, ki so opisane spodaj.
Po 2. Newtonovem zakonu je

gravitacijski sili, je torej
,
in ker je v mojem primeru vsota sil enaka
. Z upoštevanjem gravitacijskega zakona dobim
. Krajšam masi telesa m1 in dobim
Za pospešek a vstavim
in dobim
.
Nato iz te formule izrazim maso vira gravitacije in dobim
omego
vstavimo formulo
.
. Potem še za
. Nato še uredimo
in dobimo
formulo in dobimo končno formulo:
.
Masa m2 je v mojem primeru masa Jupitra in v nadaljevanju sem jo označil z oznako mj.
V formulo moram vstaviti samo še polmer kroženja lune okoli Jupitra r in obhodni čas lune
okoli Jupitra . Iz grafa sem razbral lune, pri polmeru pa je bilo malo bolj zapleteno.
23
4.3 Določitev razmerja med pikslom in kilometrom
Ker sem na slikah in grafih dobil vse razdalje lun v pikslih, za izračune pa sem potreboval
resnične razdalje, sem moral piksle pretvoriti v kilometre.
Da sem si lažje predstavljal problem, sem si pomagal s spodnjo skico, v kateri je dj premer
Jupitra v resnici, rzj je razdalja Zemlja–Jupiter, f je goriščna razdalja objektiva, senzor kamere
(ali premer Jupitra na kameri) pa je v formuli označen z djkamera.
Trikotnika na skici sta si podobna, zato velja:
24
In ker v resnici želim dobiti premer Jupitra, ga izrazim:
Podatek o razdalji med Zemljo in Jupitrom sem vzel iz programa Stellarium. Ta je bila 29. 2.
2012 819 milijonov kilometrov.
Goriščna razdalja teleskopa f je 1200 mm.
Za določitev premera Jupitra sem potreboval podatke o dolžini senzorja kamere ls, ki sem jih
dobil na internetu (vir 1). Nato sem izmeril celotno dolžino dobljene slike lsl. Ker sem
potreboval podatek o velikosti piksla v milimetrih z, sem izračunal tako:
mm/piksel
Vrnil sem se na svojo sliko in po Pitagorovem izreku izračunal ekvatorialni premer – spet sem
šel z miško na en navidezni konec ekvatorja in potem še na drugi navidezni konec ekvatorja,
pri obeh razbral koordinate miške, odštel med sabo y obeh navideznih koncev ekvatorja in x
obeh koncev navideznega ekvatorja in nato izračunal premer ekvatorja. Potreboval sem
premer ekvatorja na Jupitru, zato sem izračunal:
mm
Ko sem imel vse številke, sem jih vstavil v formulo:
km
Iz podatka, da je 34 pikslov v resnici 141 000 km, sem izračunal vrednost enega piksla, ki je
4147 km.
25
4.4. Izračun mase Jupitra
Ker sem iz grafa razbral oddaljenost lune v pikslih, jih sedaj lahko pretvorim v km (1 piksel =
4147 km). Izmeril sem, da je največja oddaljenost Ganimeda od središča Jupitra 248 pikslov,
odstopanje tega rezultata pa sem ocenil na 16 pikslov. Oddaljenost sem preračunal v 1028 456
km
66 352 km. Za Kalisto sem izmeril oddaljenost 454 pikslov
19 pikslov, torej je
oddaljenost lune od Jupitra, preračunana v kilometre, 1882 738 km 78 793 km.
4.4.1 Masa Jupitra preko meritev lune Ganimed
Vse pridobljene podatke sem vstavil v končno formulo, v kateri
pomeni masa Jupitra
preko opazovanja Ganimeda, rg pomeni razdalja med Ganimedom in Jupitrom, tog obhodni čas
lune in G gravitacijsko konstanto.
kg
Ker sem sinusno krivuljo narisal ročno, je seveda prišlo do odstopanj. Zato sem ocenil za
koliko sem se zmotil pri branju meritev.
pomeni obhodni čas Ganimeda, pa je razdalja
Ganimeda od Jupitra:
26
V formuli
imam dano vse razen razdalje in obhodnega časa, zato
sta pri izračunu napake pomembni samo ti dve količini, in dobim sledečo formulo:
Ker se pri množenju in deljenju relativne napake seštevajo, dobim:
, kjer je
,
in
zato je formula za relativno napako:
Masa Jupitra z relativno napako preko meritev lune Ganimed:
In še masa Jupitra z absolutno napako:
kg
27
4.4.2 Masa Jupitra preko meritev lune Kalisto
G je gravitacijska konstanta, mjk je masa Jupitra prek Kaliste, tok je obhodni čas Kaliste okoli
Jupitra in rk je razdalja med Kalisto in Jupitrom.
kg
Tudi tukaj sem ocenil relativno napako, tok je obhodni čas lune in rk je razdalja med luno in
planetom:
s
km
Tudi tukaj dobim enako formulo za relativno napako (z enako izpeljavo kot pri Ganimedu):
Tako dobim končni izračun mase Jupitra z relativno napako preko meritev lune Kalisto:
28
Na koncu še masa Jupitra z absolutno napako preko lune Kalisto:
kg
4.4.3 Povprečna masa Jupitra
Sedaj bom izračunal še povprečno maso iz rezultatov izračunov iz obeh lun:
kg
kg
kg
kg
Absolutna napakamjg pomeni absolutna napaka mase Jupitra preko meritve Ganimeda,
absolutna napakamjk pa pomeni absolutno napako mase Jupitra preko meritve Kaliste.
Na koncu to še med seboj povežem in dobim:
kg
29
4.4.4 Risanje grafov s programom GeoGebra
Nato sem z računalniškim programom GeoGebra povezal podatke med seboj in tako dobil
sinusno krivuljo.
To je neuspela sinusna krivulja lune Evropa, ki jo je naredil program.
Sinusna krivulja lune Kalisto
30
Program je lepo povezal podatke med seboj in tako dobil sinusno krivuljo. Iz enačbe krivulje:
sem razbral amplitudo, ki je 463 pikslov in izračunal obhodni čas lune, ki je 403 h.
b pomeni amplitudo in
pomeni krožno frekvenco s formulo
.
Iz te formule sem izpostavil obhodni čas in ga izračunal.
Nato sem še preko teh podatkov izračunal maso Jupitra (mjgg pomeni masa Jupitra preko
meritev lune Ganimed in programa GeoGebra):
Sinusna krivulja lune Io
31
Tudi tu program ni mogel narisati krivulje. Npr. pri točki 1 vidim, da je eno meritev kar
izpustil, pri točki 2 pa bi morala krivulja iti navzdol (to se namreč vidi iz meritev).
Sinusna krivulja lune Ganimed
Tudi iz te spodnje enačbe sem razbral amplitudo (262 pikslov) in obhodni čas (171,6 h). Nato
sem še tukaj izračunal maso (mjkg pomeni masa Jupitra preko meritev lune Kalisto in
programa GeoGebra):
32
Na koncu sem še izračunal povprečno maso Jupitra s pomočjo programa GeoGebra:
5. RAZPRAVA
Izračunal sem, da je masa Jupitra
kg, po podatkih iz Wikipedije pa ima
27
Jupiter maso
10 kg. To pomeni, da prava masa Jupitra nekaj odstopa od moje,
vendar je znotraj napake moje meritve. S tem sem zelo zadovoljen, saj sem imel malo
opazovalnih dni in zato posledično večjo napako meritev. Za natančnejši rezultat meritev s
pomočjo lun Ganimed in Kalisto bi potreboval vsaj pol meseca opazovanj skozi večino noči.
Takšna opazovanja je bilo med zimo nemogoče opraviti zaradi slabega vremena. Preko risanja
sinusne krivulje v računalniškem programu sem prišel do natančnejšega rezultata, saj je
program seveda bolje narisal krivuljo. Izračunana masa je
. To pomeni, da
sem resnično maso zgrešil za dobre 4 %. K natančnosti opazovanj bi pripomogel tudi večji
teleskop z večjo goriščno razdaljo, saj bi tako lahko bolj natančno odčital koordinate lun na
svoji fotografiji. Za meritev iz obhodnih časov lun Io in Evrope pa bi potreboval dve celotni
zaporedni noči meritev, kjer bi se natančno videli obe luni.
6. ZAKLJUČEK
Ko sem se odločil pisati raziskovalno nalogo, sem sprva misli, da bo naloga lahka in da bo
hitro opravljena brez posebno težkega dela. Toda že takoj na začetku, pri postavljanju
montaže in pri obrazložitvi naloge, sem spoznal, da ne bo tako lahka, kot sem si sprva
predstavljal. Že ob pogledu na vse formule sem se malo prestrašil. Ko sem jih vse povezal
med sabo in večkrat prebral, pa so mi postale razumljive.
Iz naloge sem se veliko novega naučil – od postavljanja montaže, fotografije, opazovanja
neba, uporabe teleskopa in lastnosti teleskopov do novih izrazov, fizikalnih zakonov,
računanja napak meritev itd.
Pri pisanju raziskovalne naloge sem se tudi zabaval in za vedno mi bo ostala v lepem
spominu.
33
7. SEZNAM UPORABLJENE LITERATURE
http://www.dpreview.com/reviews/nikond3000 (vir 1, 8. 3. 2012).
http://www.skywatcher.com/swtinc/product.php?id=71&class1=3&class2=302 (25. 2. 2012).
http://www.orion-drustvo.si/40/ (25. 2. 2012).
http://www.andros.si/vesolje/jupiter.html (26. 2. 2012).
http://nineplanets.org/jupiter.html (26. 2. 2012).
http://en.wikipedia.org/wiki/Jupiter (26. 2. 2012).
Vesolje. Velika ilustrirana enciklopedija (prevedla in uredila Andrej Guštin, Boštjan Kambič),
Ljubljana 2008.
Andrej GUŠTIN, Gospodar, Spika, let. 11, št. 7/8, 2003, str. 300–310.
Andrej GUŠTIN, Velikan, Spika, let. 11, št. 6, 2003, str. 250–258.
Uporabil sem tudi prosto dostopna računalniška programa Stellarium in GeoGebra.
34