1. No category

Veriˇznica
Izleti v matematiˇcno vesolje
Marko Razpet
Pedagoˇska fakulteta, Univerza v Ljubljani
Koper, 22. oktober 2010
Marko Razpet
Veriˇznica
Kaj je veriˇznica?
Tanka, gibka, neraztegljiva in homogena nit ali veriga, ki jo
obesimo v dveh toˇckah tako, da prosto visi, zaradi teˇznosti po
umiritvi zavzame obliko krivulje, ki ji pravimo veriˇznica.
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica na vsakem koraku
Marko Razpet
Veriˇznica
Galilei
Znanstveniki so se ˇze od nekdaj zanimali, kako bi to znamenito
krivuljo opisali tudi matematiˇcno. Galileo Galilei (1564–1642) je
trdil, da je veriˇznica kar parabola.
Marko Razpet
Veriˇznica
Huygens, Mersenne, Jungius
Okrog leta 1646 je Christiaan Huygens (1629–1695) v nekem
pismu Marinu Mersennu (1588–1648) zaupal, da veriˇznica ni
parabola. Do tega sklepa je priˇsel tudi Joachim Jungius
(1587–1657) in to tudi potrdil z eksperimentom.
Marko Razpet
Veriˇznica
Bernoulli, Gregory, Leibniz
Ko je bil na voljo infinitezimalni raˇcun, so se s problemom oblike
veriˇznice na pobudo Jakoba Bernoullija (1654–1705) spopadli
Johann Bernoulli (1667–1748), David Gregory (1659–1708) in
Gottfried W. Leibniz (1646–1716). Priˇsli so do ugotovitve, da je
veriˇznica del grafa funkcije x 7→ a ch(x/a).
Marko Razpet
Veriˇznica
Leibniz
Marko Razpet
Veriˇznica
Hooke
Robert Hooke (1635–1703) je raziskoval trdnostne lastnosti
obokov, ki imajo v preseku obliko narobe obrnjene veriˇznice. V
gradbeniˇstvu so take oboke izdelovali ˇze veliko prej.
Robert Hooke – upodobitev Rite Greer, 2004.
Marko Razpet
Veriˇznica
O imenu
V SSKJ najdemo dva pomena:
veriˇ
znica1 -e ˇz (i) ˇzenska oblika od veriˇznik, prekupˇcevalec:
veriˇznica z jajci
veriˇ
znica2 -e ˇz (i) teh. kolo z ˇzlebom na obodu, po katerem teˇce
veriga: natakniti verigo na veriˇznico
♢ mat. krivulja, ki ima obliko prosto viseˇce, v dveh toˇckah pritrjene
vrvice; navt. ladijsko skladiˇsˇce verig
Marko Razpet
Veriˇznica
Jefferson
Baje je angleˇsko besedo za veriˇznico, catenary, predlagal Thomas
Jefferson (1743–1826), tretji predsednik ZDA. Beseda temelji na
latinski catena, kar pomeni veriga. Raziskovali so tudi
nehomogene, raztegljive, vrteˇce se in druge veriˇznice.
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica v nekaterih drugih jezikih
Angleˇsko: catenary;
nemˇsko: Kettenlinie;
nizozemsko: kettinglijn;
ˇsvedsko: kedjekurva;
francosko: chaˆınette;
italijansko, ˇspansko: catenaria;
katalonsko: caten`
aria;
portugalsko: caten´
aria;
madˇzarsko: l´
ancg¨
orbe;
ˇceˇsko: ˇretˇ
ezovka;
poljsko: krzywa ̷la´
ncuchowa;
hrvaˇsko: lanˇ
canica;
rusko: цепная линия;
ukrajinsko: ланцюгова лінія.
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica v arhitekturi. Taq-i Kisra, Irak.
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica v arhitekturi. Barcelona, Casa Mil`a, arh. Antoni
Gaud`ı.
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica v arhitekturi. Sheffield, Winter Garden, arh.
Pringle Richards Sharratt Architects.
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica v arhitekturi. St. Louis, Missouri, Gateway Arch,
arh. Eero Saarinen.
Marko Razpet
Veriˇznica
Hiperboliˇcne funkcije
Neodvisno drug od drugega sta jih vpeljala leta 1760 Johann
Heinrich Lambert (1728–1777) in Vincenzo Riccati (1707–1775).
Marko Razpet
Veriˇznica
Hiperboliˇcne funkcije – osnovne formule
1
sh x = (e x − e −x )
2
sh x
th x =
ch x
1
ch2 x − sh2 x = 1, 1 − th2 x = 2
ch x
th x
sh x = √
1 − th2 x
1
ch x = (e x + e −x ),
2
(ch x)′ = sh x,
ch(−x) = ch x,
Marko Razpet
(sh x)′ = ch x
sh(−x) = − sh x
Veriˇznica
Grafi hiperboliˇcnih funkcij
...
..
..
...
......
.........
...
....
...
...
......
.
.
.
.
...
......
....
...
...
......
...
.. .
...
...
......
....
.
.
.
.
.
.
....
..
....
....
.... ...
.....
.... ..
...
.....
.... .
....... ...
..... ...
........................... .....
...
...
....
...
....
... ........
... ......
.. ....
.........................................................................................................................................................................................
.... .
.... ....
.
.
.
.... ...
....
....
....
....
...
....
.
...
.
...
...
.
..
...
.
..
...
.
..
...
.
..
...
.
..
...
.
..
...
.
..
.
...
..
.
...
..
.
...
..
.
y
ch
0
x
sh
Marko Razpet
..
.........
...
....
..
...
...
...
...
...
...
...................................
.........................
...................
...
.........
...
......
... ..........
... ......
.. ...
..........................................................................................................................................................................................
.. .
.... ....
.
.
.
.
.
.....
....
.....
...
.......
.
..........
.................................................. . . . . . . . . . . . . . ....
....
..
....
...
...
....
..
...
...
....
.
y
th
1
0
−1
Veriˇznica
x
Hiperboliˇcne funkcije – adicijska izreka in posledice
Vrednosti: ch 0 = 1, sh 0 = 0, th 0 = 0. Limite:
lim ch x = ∞, lim sh x = ±∞, lim th x = ±1
x→±∞
x→±∞
x→±∞
Adicijska izreka:
ch(x + y ) = ch x ch y + sh x sh y
sh(x + y ) = sh x ch y + ch x sh y
Posledici:
x −y
x +y
sh
2
2
x −y
x +y
sh x − sh y = 2 ch
ch
2
2
ch x − ch y = 2 sh
Marko Razpet
Veriˇznica
Inverzne hiperboliˇcne funkcije ali area funkcije – osnovne
formule
Za vse x ≥ 1 velja:
y = ar ch x ⇐⇒ x = ch y ⇐⇒ y = ln(x +
√
x 2 − 1)
Za vse realne x velja:
y = ar sh x ⇐⇒ x = sh y ⇐⇒ y = ln(x +
√
1 + x 2)
Za vse ∣x∣ < 1 velja:
y = ar th x ⇐⇒ x = th y ⇐⇒ y =
Marko Razpet
Veriˇznica
1 1+x
ln
2 1−x
Inverzne hiperboliˇcne funkcije ali area funkcije – odvodi
1
1
(ar ch x)′ = √
za x ≥ 1, (ar sh x)′ = √
,
2
x −1
1 + x2
1
za ∣x∣ < 1
(ar th x)′ =
1 − x2
Marko Razpet
Veriˇznica
Dolˇzina loka krivulje
ˇ je funkcija x 7→ f (x) zvezno odvedljiva na intervalu [𝛼, 𝛽], je
Ce
dolˇzina krivulje y = f (x) (𝛼 ≤ x ≤ 𝛽):
∫
𝛽
s[𝛼,𝛽] =
√
1 + [f ′ (x)]2 dx.
𝛼
V posebnem primeru imamo za veriˇznico y = a ch(x/a):
s[𝛼,𝛽] = a[sh(𝛽/a) − sh(𝛼/a)]
s[0,𝛼] = a sh(𝛼/a)
Marko Razpet
(𝛼 ≤ x ≤ 𝛽),
(𝛼 ≥ 0).
Veriˇznica
Do enaˇcbe veriˇznice – po fizikalno
⃗ = (Tx , Ty ),
T
....
........
..................................................................
....
.
....
..........
.......
...
..
..... ..
..... ...
...
...
....
.
.
...
..
...
.
.
...
... .....
...
...
........
...
..
..
..........
.
.
...
...
.
.
........
.
...
..
...
.
......
.
.
...
...
...
.
.
.. ........
..
...
...
... .......
...
.....
.
...
.
.................................................................
.
.
...
.
..
.
.
.
...
.
...
.
.
.
...
.
.
.....
...
.....
...
..... ..
...
..... ..
..... ....
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .....
.........
.......
...
...
...... ..
...
...
..
........ ...
.............
...
..
...
...................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. .
.................
..
...
............................................ .......... ....
.
..
... .........
...
.......
..
..
.................
...
...........................................................
..
....
...
..
....................................................................................................................................................................................................................................
....
..
..
y
⃗ + ΔT
⃗
T
Ty + ΔTy
Δs ...
..... Tx + ΔTx
....
−Tx
𝜑
⃗
G
−Ty
⃗
−T
x
𝜎0 =
⃗∣
T = ∣T
dm
ds
⃗ = (0, −𝜎0 g Δs)
G
⃗ + (T
⃗ + ΔT
⃗)+G
⃗ = ⃗0
−T
⃗ +G
⃗ = ⃗0
ΔT
ΔTx = 0
ΔTy = 𝜎0 g Δs
Tx = T0 = konst.
dTy
= 𝜎0 g
ds
Marko Razpet
Veriˇznica
Do enaˇcbe veriˇznice - nadaljevanje
Tx = T cos 𝜑 = T0
Ty = T sin 𝜑 =
T0
⋅ sin 𝜑 = T0 tg 𝜑 = T0 y ′
cos 𝜑
dTy
d
dy ′ dx
dy ′
= (T0 y ′ ) = T0
= T0
⋅
= 𝜎0 g
ds
ds
ds
dx ds
√
ds
T0 y ′′ = 𝜎0 g
= 𝜎0 g 1 + y ′2
dx
T0
>0
a=
𝜎0 g
Diferencialna enaˇcba veriˇznice:
y ′′ =
1√
1 + y ′2
a
Marko Razpet
Veriˇznica
Reˇsevanje enaˇcbe veriˇznice
Enaˇcbi
y ′′ =
1√
1 + y ′2
a
zniˇzamo red z vpeljavo p = y ′ :
dp
1√
=
1 + p2
dx
a
Loˇcimo spremenljivki:
dp
dx
√
=
2
a
1+p
Integriramo:
x − x0
a
Pri tem je x0 prva integracijska konstanta.
ar sh p =
Marko Razpet
Veriˇznica
(DE − 1)
Reˇsevanje enaˇcbe veriˇznice – nadaljevanje
Izrazimo:
x − x0
dy
= sh
dx
a
Z drugo integracijo dobimo iskano reˇsitev:
p=
y = a ch
x − x0
+ y0
a
Pri tem je y0 druga integracijska konstanta.
Sploˇsna oblika enaˇcbe veriˇznice je:
y = a ch
x − x0
+ y0
a
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica izbrane dolˇzine skozi dani toˇcki
Veriˇznica
x − x0
+ y0
a
naj ima dolˇzino ℓ in naj poteka skozi toˇcki M(𝛼, A) in N(𝛽, B). Pri
tem je 𝛼 < 𝛽. Veljati morajo enaˇcbe:
∫ 𝛽√
𝛼 − x0
𝛽 − x0
− sh
)=ℓ
(1)
1 + [f ′ (x)]2 dx = a(sh
a
a
𝛼
y = f (x) = a ch
𝛼 − x0
+ y0 = A
(2)
a
𝛽 − x0
a ch
+ y0 = B
(3)
a
Neznanke so a, x0 in y0 . Naloga je enoliˇcno reˇsljiva pri pogoju
∣MN∣ < ℓ oziroma
a ch
(𝛽 − 𝛼)2 + (B − A)2 < ℓ2
.
Marko Razpet
Veriˇznica
(P)
Reˇsevanje problema
Naj bo pogoj (P) izpolnjen. Iz enaˇcbe (1) dobimo z uporabo
posledic adicijskih izrekov za funkciji ch in sh:
ℓ = 2a ch
𝛼 + 𝛽 − 2x0
𝛽−𝛼
sh
2a
2a
(4)
Iz enaˇcb (2) in (3) pa:
B − A = 2a sh
𝛽−𝛼
𝛼 + 𝛽 − 2x0
sh
2a
2a
(5)
Delimo in dobimo:
B −A
𝛼 + 𝛽 − 2x0
= th
ℓ
2a
Marko Razpet
Veriˇznica
(6)
Reˇsevanje problema – nadaljevanje
Izrazimo funkcijo sh s funkcijo th in iz (6) dobimo:
sh
0
th 𝛼+𝛽−2x
(B − A)/ℓ
𝛼 + 𝛽 − 2x0
2a
=√
=√
2a
1 − ((B − A)/ℓ)2
0
1 − th2 𝛼+𝛽−2x
2a
Vstavimo dobljeni rezultat v (5):
(B − A)/ℓ
𝛽−𝛼
B − A = 2a √
sh
2a
1 − ((B − A)/ℓ)2
ˇ je A ∕= B, krajˇsamo, preoblikujemo in imamo:
Ce
√
𝛽−𝛼
𝛽−𝛼
ℓ
=
⋅
1 − ((B − A)/ℓ)2
sh
2a
2a
𝛽−𝛼
Marko Razpet
Veriˇznica
(7)
Reˇsevanje simetriˇcnega problema
Ko je A = B, dobimo za reˇsitev simetriˇcno krivuljo. Tedaj iz (6)
takoj najdemo
𝛼+𝛽
x0 =
2
Iz (4) je potem
sh
𝛽−𝛼
ℓ
𝛽−𝛼
ℓ
=
=
⋅
2a
2a
2a
𝛽−𝛼
Marko Razpet
Veriˇznica
Reˇsevanje problema – transcendentna enaˇcba
V (7) vpeljemo konstanto
ℓ
𝜚=
𝛽−𝛼
√
1 − ((B − A)/ℓ)2
in novo neznanko
𝛽−𝛼
2a
Poiskati je treba pozitivni koren z0 transcendentne enaˇcbe
z=
sh z = 𝜚z
(8)
Enaˇcba ima pozitivno reˇsitev le, ˇce je 𝜚 > 1. To je pri pogoju (P)
res. Opazimo, da pridemo do iste enaˇcbe tudi, ko je A = B. Tedaj
je
ℓ
𝜚=
𝛽−𝛼
Marko Razpet
Veriˇznica
Enaˇcba sh z = 𝜚z
y ...............
y = 𝜚z
y=
. shz
.
..... 𝜚 > 1
.
.....
.. 𝜚 = 1
.
.
..
.
.
𝜚<1
..
.
.
..
.
.
.
.
z
z0
..... O
.
.
.
.
.
...
..
...
..
...
...
...
...
...
...
...
.
...
.
..
...
...
...
....
.....
...
... ....
.
...
.
.. .
...
... ....
...
...
...
.. ........
...
.. .....
...
...
. ..
.
...
.
.......
..
.
.
.
.
...
.
.
.
..
..... ..
...
...
..... .
...
...
..... ....
...
.....
...
..
...
.....
..
.
.
.
...
.
.
..
...
.....
...
.. ............
... .........
.
..
...
.
.. .......
.........
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..... ..
.. ........
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..
.....
.. .......
.
.
.
.
.
..
...
.
.
.
..
. .
..
... ............. ..............
..
... ........... ...........
..
..
.......................
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
................................................................................................................................................................................
.
.
.
.
.
................ ...
.
.
.
.
.
.
..... ........... ...
.
.
.
.
.
.
.. . .
....
....... .............. ...
.......
...
... ..
.......
..... ...
...
..... .....
.
.
.
...
.
... ....
.
.
.
...
.
.... ....
.
.
.
...
.... .....
.
.
...
.
..
.
.
.
...
..
.
.
...
..
.
...
.
.
..
...
Marko Razpet
Veriˇznica
Reˇsevanje problema – izraˇcun vseh neznank
Enaˇcbo (7) reˇsimo numeriˇcno. Ko imamo znan z0 , dobimo ˇse:
a=
𝛽−𝛼
2z0
𝛼+𝛽
B −A
− a ar th
2
ℓ
𝛼 − x0
y0 = A − a ch
a
S tem je naloga v celoti reˇsena.
x0 =
Marko Razpet
Veriˇznica
Primer
Za
M(0, 0), N(2, 1), ℓ = 3
dobimo:
𝜚 = 1.4142135, z0 = 1.4914, a = 0.6705, x0 = 0.7676, y0 = −1.600
y ...............
..
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
..
..
..
..
...
.
...
...
...
...
.
.......................................................................................................................
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.......................................................................................................................
..
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
...
...
..
...
...
...
.................................................................................................................................................................................................................................
...
...
...
...
....
..
..
..
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
..
..
..
.......................................................................................................................
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
.
.
.
.
N
.....∙
..
.
.
..
.
.
.
.
∙....
.
.
1
M .....
......... ............
..........
1
Marko Razpet
Veriˇznica
x
Veriˇznica kot kavstika
V koordinatnem sistemu Oxy naj padajo svetlobni ˇzarki od zgoraj
vzporedno z osjo y in naj se na eksponentni krivulji y = ae x/a
odbijejo po odbojnem zakonu. Ogrinjaˇca odbitih ˇzarkov je veriˇznica
)
(
x +a
y = a ch
a
Marko Razpet
Veriˇznica
Enaˇcba odbitega ˇzarka
....
.
.
normala
.....
𝜑 ...
.. M
𝜑 ...∙
. 𝜑
.....
..
.
.
..
.
.
..
.
.
.. tangenta
.
.
.
.
....
y = ae x/a .........
.....
................. 𝜓 a 𝜑
y ..............
...
..
...
...
...
...
...
..
....
.
...
...
...
...
...
...
...........
.........
..
...
...........
....
..
.
.
...........
.
.
... ..
...........
....
...........
. .
...........
............ ....
...
...........
....
... ..
..
...........
...
.
... ...
..............
.
............
..
... ...
.. ............ ....
... ..
...........
...
..
..
...
... ..................... ........
.............
..
...
..
.................
.
.
...
.
...........
..
..........
.......
..
...
... .. ..
..
..
...
..
... .. ..
..
...
...
... ... ..
...
.
... ..... ... ....
.
...
..
..... ... ..
.
.
.
...
.. . . .....
...
... .... ........
...
.
...
...
...
...
...
.
...
..
.
...
...
.
..
..
..
.
.
...
.
.
.
..
.
.
...
...
.
.
.
..
..
.
.
...
.
.
.
.
..
.
.
...
...
.
.
.
..
... .....
.
..
... ....
.
.......
....
..
.....
...
.....
..
... ..
..
... ....
.
.
.
.
.. ...
...
...
...
...
....
..
...
...
..
...
.
.
.
.
.
.
..
......
....
...
.....
...
... ......
...
..
........ ...
...
...
..
..... ....
.
.
.
.
.
.
...
...
..
...
....
..
..
..
...
.
.
.
.
..
.
.
.
.. ..
.
..
..
.
.
.
.
.
.
.. .. ..
..
..
.
.
..
.
.
.
.. .. ..
..
.
.
.
.
.
.
...........................................................................................................................................................................................................
.
.
.. ..
...
O
Izberemo toˇcko M(t, ae t/a ) na
eksponentni krivulji. Iz trikotnika,
ki ga omejujejo os x, odbiti ˇzarek
v toˇcki M in tangenta v toˇcki M,
vidimo, da velja:
𝜑 = 𝜓 +(𝜋/2−𝜑), 𝜓 = 2𝜑−𝜋/2
Zato je smerni koeficient premice
nosilke odbitega ˇzarka:
tg 𝜓 = − ctg(2𝜑) = −
tg 𝜓 =
x
Marko Razpet
Veriˇznica
1
tg(2𝜑)
tg2 𝜑 − 1
= sh(t/a)
2 tg 𝜑
Ogrinjaˇca odbitih ˇzarkov
Premice nosilke odbitih ˇzarkov za vse realne t sestavljajo
enoparametriˇcno druˇzino:
y − ae t/a = sh(t/a)(x − t)
(D)
Z odvajanjem (D) na parameter t dobimo:
−e t/a =
1
ch(t/a)(x − t) − sh(t/a)
a
(E)
Iz (E) najdemo s preurejanjem t = x + a, kar vstavimo v (D) in ˇze
smo pri enaˇcbi veriˇznice s temenom v toˇcki (−a, a):
(
)
x +a
y = a ch
a
Marko Razpet
Veriˇznica
Derive in veriˇznica
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica kot sled goriˇsˇca kotaleˇce se parabole
V koordinatnem sistemu Oxy imejmo parabolo 4ay = x 2 , kjer je
a > 0. Njeno goriˇsˇce je v toˇcki F (0, a), vodnica pa je premica
ˇ parabolo kotalimo brez drsenja po osi x, opiˇse njeno
y = −a. Ce
goriˇsˇce veriˇznico
y = a ch(x/a)
Marko Razpet
Veriˇznica
Kotaleˇca se parabola
...
... y
E∙
tangenta
veriˇznica 𝒱 ..
.
...
....
..
.
...
....
.
.
....
.
...
.
.
....
...
F′
..
.....
.
.
.
∙
.....parabola Π .... F ∙ ∙
....
.
.
....
......
.
.
...
..... ′D
.
......
.
.
.
.
.∙.....O.
........
........................ parabola Π′
...........
...
.. .....
......
∙ .......∙.......∙.............. ∙ ...................∙...................... x
...
....
....
.........
.....
.....
....
....
..
.
.
.
...
..
.....
..... ....
........
...
..... ..
.....
..... ..
..... ..
...
. ....... .... ..........
.
.
.
.......
...
. .......
. ......
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
......
...
........
............
.......
.......
...
... ......
..... ..
.......
...
..... ....
... .......
.... .........
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
...
.... ....
.....
....
....
...
....... ......
.....
....
...
...
......... .....
.....
....
..............
...
...
....
.....
.....................
.
.
.
....
.
.
...
.
.
.
.....
.....
.
.............
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.....
..... .........
..
.....
.
.
...
.
.
......
.
......
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
......
........ ..........
.
.
.
.
.
...
....
.......
.
.
................ ... ......
.
.
.
.........
.
.
.
.
.
...
.
.
.
......................................... ......... .. ......
...
.
.
.....
.
.... ...... ...........
.
.
.
.
...
.
....
.
.....
......
.. .
.. ......
.....
...
... .......... ........
.. .....
.
.
...
.
.......... ......
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..
..... .....
... ... ......
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..
..... .....
.... ... ......
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
..... .....
..
.....
....
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
..... ....
..
......
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..... ..... ....
.. ...
..
...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
......... ...
..
.. ...
....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
...... ..
..
.
....
...
...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
.
.....
.
..
....
.....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.....
....
.....
....
.....
....
.....
.
.
.
.
.
.
.
.....
.
.
.
.
....
...
.
.
.
.....
.
.
.
.
.
.
.
...
.....
.....
....
...
..
....
...
...
...
...
...
A
vodnica
B O
G
normala
os parabole
Marko Razpet
C
Veriˇznica
Do sledi goriˇsˇca kotaleˇce se parabole
Parabola Π ima enaˇcbo 4ay = x 2 , zato je njen parameter p = 2a.
Njeno goriˇsˇce je v toˇcki F (0, a), teme v O(0, 0). Po kotaljenju po
osi x preide Π v Π′ , F v F ′ , O v O ′ . Tedaj se Π′ dotika osi x v
toˇcki C . To je trenutna os rotacije. Zato normala skozi toˇcko F ′
na iskani krivulji 𝒱, ki jo zariˇse F , poteka skozi C . Toˇcka E je
preseˇciˇsˇce osi parabole Π′ in normale na Π′ v C . Toˇcka D pa je
pravokotna projekcija toˇcke C na os parabole Π′ . Zato je ∣DE ∣
subnormala za Π′ v C . Vemo, da je pri paraboli vsaka subnormala
dolga toliko kot njen parameter p. Torej je ∣DE ∣ = 2a.
Marko Razpet
Veriˇznica
Do sledi goriˇsˇca kotaleˇce se parabole – nadaljevanje
Preseˇciˇsˇce tangente na iskano krivuljo z osjo x naj bo A, preseˇciˇsˇce
osi parabole Π′ z osjo x naj bo B, pravokotna projekcija goriˇsˇca F ′
na os x pa G .
Pri paraboli vsaka njena tangenta oklepa enaka kota s spojnico
dotikaliˇsˇca z goriˇsˇcem in z osjo. Torej je pri paraboli Π′ trikotnik
BCF ′ enakokrak. Smerni kot tangente na 𝒱 naj bo 𝜑 = ∠GAF ′ .
Zato je ∠GF ′ C = 𝜑, 𝜀 = ∠GCF ′ = ∠GBF ′ = 𝜋/2 − 𝜑 in
∠CED = 𝜋/2 − 𝜀 = 𝜑.
Marko Razpet
Veriˇznica
Do diferencialne enaˇcbe iskane krivulje
Iz pravokotnih trikotnikov DEC in DF ′ C dobimo:
∣DC ∣ = ∣DE ∣ tg 𝜑 = 2a tg 𝜑,
sin(𝜋 − 2𝜀) = sin 2𝜀 =
∣DC ∣
∣F ′ C ∣
Torej je
∣F ′ C ∣ =
∣DC ∣
2a tg 𝜑
2a sin 𝜑
a
=
=
=
2
sin 2𝜀
sin(𝜋 − 2𝜑)
2 sin 𝜑 cos 𝜑
cos2 𝜑
Za iskano krivuljo 𝒱 je potem
y = ∣GF ′ ∣ = ∣CF ′ ∣ cos 𝜑 =
√
√
a
= a 1 + tg2 𝜑 = a 1 + y ′2
cos 𝜑
S tem smo naˇsli diferencialno enaˇcbo krivulje 𝒱. Zaˇcetni pogoj je
y (0) = a.
Marko Razpet
Veriˇznica
Do enaˇcbe iskane krivulje
Diferencialno enaˇcbo
y =a
√
1 + y ′2
(DE − 2)
pri zaˇcetnem pogoju y (0) = a reˇsimo po ustaljenem postopku.
Izrazimo za x ≥ 0:
√
dy
ay ′ = a
= y 2 − a2
dx
Loˇcimo spremenljivki in integriramo:
a dy
√
= dx,
y 2 − a2
a ln(y +
√
y 2 − a2 ) = x + C
Za x = 0 je y = a, zato imamo najprej C = a ln a in nato
√
√
a ln(y + y 2 − a2 ) − a ln a = a ln(y /a + (y /a)2 − 1) = x
Piˇsemo
a ar ch(y /a) = x,
Marko Razpet
y /a = ch(x/a)
Veriˇznica
Reˇsitev – veriˇznica
Nazadnje dobimo enaˇcbo veriˇznice
y = a ch(x/a)
Zaradi simetrije je rezultat pravilen tudi za x ≤ 0.
...
y
.. ..
...
.
...
..
.
....
.
..
....
.
.
......
.
........... ..............
.......
..
.........
...
....
..
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...........................................................................................................................................................................................................
..
y = a ch(x/a)
a
x
O
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica s pritisnjeno parabolo in kroˇznico v temenu
Pritisnjena parabola veriˇznice y = a ch(x/a) v temenu:
y =a+
x2
2a
Polmer pritisnjene kroˇznice na veriˇznico v poljubni toˇcki je odvisen
le od ordinate:
y2
R=
a
V temenu:
R0 = a
Marko Razpet
Veriˇznica
Veriˇznica, parabola in kroˇznica
x
y = a ch ,
a
y =a+
x2
,
2a
x 2 + (y − 2a)2 = a2
...
..........
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..
........................................................................................................................................................................................................
..
y
...
..
. ... ... ...
.
.
.
.
.
...
.
.
....
....
..... ....
.
.
.
.. ....
...... ..
.. ....
..... ..
∙
.........
.... ..
.
......
......
a
.
.......
.
.
.
..................
..............
a
x
O
Marko Razpet
Veriˇznica
Zanimiva lastnost veriˇznice
Lastnost (L)
Projekcija ordinate v katerikoli toˇcki M veriˇznice y = a ch(x/a) na
normalo v M je konstantna, enaka a.
...
.
y
M ..
...
∙
.
...
..
.
.
...
.. ..
...
.
...
..
.
....
.
yM
.
.....
.
.
.
.
.
........................
𝜑
∙
....
........
.....
.........................................................
...
...........
...................
..
........
......
.................
.......
.......
...
... ...
.
......
.
.
.. ..
.
...
.
... .....
.. ....
....
.
.
.. .........
.
...
.
.
....
. ...
..
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.. .....
..
...
...
...
.
.
.
...
...
...
... ....
...
...
..
..
..
...
...
.
.
.
...
...
..
..
..
...
.
.
.
...
...
..
..
... ....
.
.
...
...
..
..
... ...
...
.
.
...
.
..
.
...
... ...
.
.
...
.
...
.
... ...
....
.
...
.
.
.
... ...
.
.
..
...
.
..
..
.
... ...
.
.
.
...
..
.
.
..
.
... ....
.
.
.
...
.
.
..
.
.
... ...
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
..
...
...
...
...
...
..
..
...
...
...
...
...
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
...
.
...
.
.
.
.
.
.
. .
..
...
..
........ .... ...
...
...
.....
..
.....
... ...
...
.....
..... ... .......
... ...
.....
..... .. ..
...
... ..
.....
....... ...
.
.
.
...
.
.
.
..............
.. .
.....
..................
...
.......
......... ......... ........
..
.........
................................................................................................................................................................................................................................................................................................
..
y = a ch(x/a) T
a
P∙
O
Marko Razpet
∙Q
𝒦
a
∙
M′
Veriˇznica
x
Zanimiva lastnost veriˇznice – dokaz
Naj bo M(t, a ch(t/a)). Konstruiramo yM = ∣MM ′ ∣ = a ch(t/a) in
kroˇznico 𝒦 skozi M in M ′ premera yM . Po znanem postopku
vˇcrtamo kroˇznici 𝒦 veriˇznici priˇcrtan pravokotnik PMQM ′ , kjer je
∣M ′ P∣ = a. Kot 𝜑 = ∠PM ′ M je tudi naklonski kot premice nosilke
stranice PM. Pri tem je
cos 𝜑 =
√
tg 𝜑 =
a
1
a
=
=
yM
a ch(t/a)
ch(t/a)
1
−1=
cos2 𝜑
√
ch2 (t/a) − 1 = sh(t/a)
Strmina tangente na veriˇznico v toˇcki M pa je tudi sh(t/a), zato je
stranica MP res na tangenti, stranica ∣MQ∣ = a pa na normali
veriˇznice skozi M. Torej je projekcija ordinate yM na normalo
veriˇznice konstantno enaka a.
Marko Razpet
Veriˇznica
Uporabna lastnost veriˇznice
Dolˇzina stranice PM pravokotnika PMQM ′ je po Pitagorovem
izreku:
√
√
2
2
∣PM∣ = yM − a = a2 ch2 (t/a) − a2 = a sh(t/a) = s[0,t]
Ugotovili smo: pri veriˇznici je dolˇzina loka med temenom T in
poljubno toˇcko M je enaka tangentni stranici priˇcrtanega
pravokotnika.
Marko Razpet
Veriˇznica
Evolventa veriˇznice
Lastnost (L) veriˇznice omogoˇca konstrukcijo evolvente veriˇznice, to
je krivulje, ki jo dobimo z odvijanjem niti z nje. To pomeni
krivuljo, ki jo zariˇse toˇcka P(𝜉, 𝜂), ko toˇcko M(x, y ) vodimo po
veriˇznici. Evolventa veriˇznice je traktrisa.
Za koordinati 𝜉, 𝜂 toˇcke P dobimo s prejˇsnje slike:
𝜉 = x − a sin 𝜑,
𝜂 = a cos 𝜑
Ker je tg 𝜑 = y ′ = sh(x/a), hitro dobimo:
𝜉 = x − th(x/a),
Marko Razpet
𝜂=
Veriˇznica
a
ch(x/a)
Veriˇznica in traktrisa
.
..
y
.
..
.
..
.
..
..
.
....
.
.....
....
.
.
.
.
........ ........
......
....
.
.
.
.. .............
.
.
.
.
.
.
.
.................
a
....
........
.....................
..
........
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
..........................................................................................................................................................................................................
...
x
O
Marko Razpet
Veriˇznica
Kvadratno kolo na grbinah
Lastnost (L) omogoˇca tako kotaljenje kvadrata stranice 2a po
grbinah, pri katerem bo njegovo srediˇsˇce potovalo po premici. Za
grbine vzamemo simetriˇcne loke veriˇznice s parametrom a nad
intervalom (−x0 ≤ x ≤ x0 ), ki jih periodiˇcno nadaljujemo in
prezrcalimo prek osi x. Za osnovni lok vzamemo
y = a ch(x/a), x0 = a ar sh 1, s[−x0 ,x0 ] = 2a, y ′ (x0 ) = 1
Marko Razpet
Veriˇznica
Grbine
Srediˇsˇce kotaleˇcega se kvadrata potuje po premici.
.....
........
.........
.....
.....
.................
.... .........
....
.....
............ ..........
.....
.....
.....
.....
........ ... .... ..........
.....
.....
......
......
.....
.....
. ... .......
.......
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
..........
..........
.
.
...
............
...
...............................
..................................... ....
..
........................
...
..
...
...
...
..
.......
...
..
.......
..
...
..
.......
..
.
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.....
... ...
...
.......
.. ..
...
.......
.......
...
... ....
.......
...
.. ..
...
..............
.. ..
...
...
......
.
...
.
......
.. ..
...
...
..
.
......
...
...
.......
......
...
...
...... ....
...
..
...
..
........
...
.
...
......
...
..
...
..
.
..
...
.
......
...
......
...
...
.
......
...
...
...... .....
...
.
.....
.
.
...
.
.......
.
.
.
.
...
.
....
.
.
.
.
...
.
...
.
..
...
.......
..
.......
...
..
.......
...
..
.......
..
...
.......
.
.
.
...
.
...
.
.
....
...
..
.......
... ...
.......
... ...
.......
... .. ..............
.............
.
Marko Razpet
Veriˇznica
Minimalna potencialna energija
Idealno homogeno verigo dolˇzine ℓ obesimo v toˇckah M(𝛼, A) in
N(𝛽, B). Pri tem je izpolnjen pogoj (P). Veriga se umiri tako, da
je njena potencialna energija minimalna oziroma tako, da je njeno
teˇziˇsˇce najniˇze. Infinitezimalno majhna masa dm v toˇcki M(x, y )
na iskani krivulji y = y (x) ima potencialno energijo
√
gy dm = g 𝜚y ds = g 𝜚y 1 + y ′2 dx
Pri tem je 𝜚 = dm/ds krivuljska gostota mase verige. Za
homogeno verigo je 𝜚 konstanta. Potencialna energija verige je:
∫
𝛽
Wp [y ] = g 𝜚
y
√
1 + y ′2 dx
𝛼
pri pogoju
∫
𝛽
𝒫[y ] =
√
1 + y ′2 dx = ℓ
𝛼
Marko Razpet
Veriˇznica
Variacijski raˇcun
Reˇsiti je treba tipiˇcno variacijsko nalogo. Poiskati moramo zvezno
odvedljivo funkcijo x 7→ y (x), za katero je integral
∫
𝛽
√
1 + y ′2 dx
(G)
√
1 + y ′2 dx = ℓ
(H)
ℱ[y ] =
y
𝛼
minimalen pri pogoju
∫
𝛽
𝒫[y ] =
𝛼
Reˇsevanje naloge nas pripelje do diferencialne enaˇcbe
√
y − 𝜆 = a 1 + y ′2
ki pa smo jo pravzaprav ˇze sreˇcali in jo znamo reˇsiti. V njej sta a
in 𝜆 konstanti.
Marko Razpet
Veriˇznica
Reˇsevanje diferencialne enaˇcbe
ˇ diferencialno enaˇcbo
Ce
y −𝜆=a
odvajamo, dobimo
√
1 + y ′2
y ′ y ′′
y′ = a√
1 + y ′2
Ker je oˇcitno y ′ ∕= 0, lahko krajˇsamo z y ′ in dobimo diferencialno
enaˇcbo (DE-1):
√
ay ′′ = 1 + y ′2
Konstanta a mora biti pozitivna, ker je veriˇznica konveksna, to
pomeni y ′′ > 0, zaradi energijskih zahtev.
Naprej pa ˇze znamo.
Marko Razpet
Veriˇznica
Minimalna rotacijska ploskev
ˇ krivuljo y = y (x) dane dolˇzine ℓ na intervalu [𝛼, 𝛽] zasukamo
Ce
okoli osi x za 360∘ , dobimo rotacijsko ploskev. Problem, kdaj je
povrˇsina te ploskve minimalna, nas spet vodi do iskanja minimuma
integrala
∫ 𝛽 √
P = 2𝜋
y 1 + y ′2 dx
𝛼
pri pogoju
∫
𝛽
𝒫[y ] =
√
1 + y ′2 dx = ℓ
𝛼
Reˇsitev poznamo: krivulja y = y (x) je veriˇznica, rotacijsko ploskev
pa imenujemo katenoid.
Marko Razpet
Veriˇznica
Katenoid – minimalna rotacijska ploskev
Katenoid je ploskev, ki nastane z rotacijo veriˇznice y = a ch(x/a)
okoli osi x.
Marko Razpet
Veriˇznica
Psevdosfera – model neevklidske geometrije
Psevdosfera je ploskev, ki nastane z rotacijo traktrise okoli njene
asimptote.
Marko Razpet
Veriˇznica
Prava veriˇznica
Zamislimo si idealno homogeno veriˇznico v gravitacijskem polju
⃗ (⃗r ) = −GM ⃗r ,
F
r3
r = ∣⃗r ∣ > 0,
kjer je G sploˇsna gravitacijska konstanta in M masa Zemlje ali
kakega drugega nebesnega objekta, nad katerim bi veriˇznico
realizirali.
Enaˇcbo veriˇznice bomo iskali v polarnih koordinatah: r = r (𝜑).
Njena celotna potencialna energija je
∫
𝛽
Wp [r ] = −GM𝜚
𝛼
1√ 2
r + r ′2 d𝜑
r
(I)
pri pogoju
∫
𝛽
𝒫[r ] =
√
r 2 + r ′2 d𝜑 = 2ℓ
𝛼
Marko Razpet
Veriˇznica
(J)
Prava veriˇznica in variacijski raˇcun
Pri tem smo uporabili izraz za diferencial loka krivulje r = r (𝜑) v
polarnih koordinatah in oznaˇcili r ′ = dr /d𝜑 ter upoˇstevali, da ima
infinitezimalno majhna masa dm na razdalji r od toˇcke O
potencialno energijo −GM dm/r . Iˇsˇcemo tako pozitivno in
odvedljivo funkcijo 𝜑 7→ r (𝜑), definirano na intervalu [𝛼, 𝛽], ki
minimizira integral (I) pri pogoju (J) in z dodatkoma r (𝛼) = r1
r (𝛽) = r2 . Graf reˇsitve, ekstremalo v polarnih koordinatah,
imenujemo prava veriˇznica.
Problem reˇsujemo z variacijskim raˇcunom.
Marko Razpet
Veriˇznica
Raziskovalca prave veriˇznice
Pravo veriˇznico sta predstavila Jochen Denzler in Andreas M. Hinz
v ˇclanku Catenaria Vera – The True Catenary v reviji Expositiones
Mathematicae leta 1999.
Marko Razpet
Veriˇznica
Primerjava med klasiˇcno in pravo veriˇznico enake dolˇzine
∙...
....∙
.......
.
.
.
........
......
.
.......
.
......
........
.
.
........
......
.
.......
.
..........
.......
.
.
.
.
.........................
..........
∙O
Marko Razpet
Veriˇznica
Hvala za vaˇso pozornost!
Marko Razpet
Veriˇznica
Tricycle.flv Grbine
Marko Razpet
Veriˇznica
Marko Razpet
Veriˇznica