1. No category

Matrike
Lastne vrednosti
Podobnost matrik
Matrika A ∈ Rn×n je podobna matriki B ∈ Rn×n , cˇ e obstaja
obrnljiva matrika P, da je B = P −1 AP.
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Vsaka matrika je podobna sama sebi.
ˇ je matrika A podobna matriki B, je tudi B podobna
Ce
matriki A.
Res: Iz B = P −1 AP sledi A = PBP −1.
ˇ je matrika A podobna matriki B in matrika B podobna
Ce
matriki C, je tudi A podobna C.
ˇ je B = P −1 AP in C = Q −1 BQ, je
Res: Ce
C = Q −1 P −1 APQ = (QP)−1 A(QP).
ˇ je B = P −1 AP, za vsak m ∈ N velja
Ce
ˇ
Matjaˇz Zeljko
FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo
14. teden
(Zadnja sprememba: 23. maj 2013)
B m = P −1 AP · P −1 AP · · · P −1 AP = P −1 Am P.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
1
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Lastne vrednosti
Matrike
3
Lastne vrednosti
Matrika A je diagonalizabilna, cˇ e je podobna kakˇsni diagonalni
matriki.
ˇ je A diagonalna matrika, je izraˇcun enostaven:
Ce


λ1 0 . . . 0
 0 λ2 . . . 0 


A =  .
= diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ),
.
.
..
.. 
 ..

0 0 . . . λn
 m

0 ... 0
λ1
 0 λm ... 0 
2


m
m
m
Am =  .
..
..  = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ).
 ..

.
.
0
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Diagonalizacija matrik
ˇ
Dana je matrika A ∈ Rn×n . Zelimo
hitro izraˇcunati Am za velik
m ∈ N.
0
ˇ
Matjaˇz Zeljko
2
Zgled
Matrika A =
−2 3
0 1
je diagonalizabilna.
. . . λnm
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
4
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
ˇ je A diagonalizabilna matrika, velja D = P −1 AP. Za vsako
Ce
naravno sˇ tevilo m velja D m = P −1 Am P in od tod Am = PD m P −1 .
Zgled
Zgled
Dokaˇzi, da matrika A =
Izraˇcunaj A7 za matriko A =
−2 3
.
0 1
0 1
0 0
Lastne vrednosti
ni diagonalizabilna.
Kot smo zˇ e prej videli,
A diagonalizabilna,
tj.
je matrika
1
1
−2
0
P −1 AP = D za P =
in D =
. Sledi
0 1
0 1
1 1
(−2)7 0
1 −1
7
7 −1
A = PD P =
=
0 1
0 17
0
1
1 1
−128 0
1 −1
=
=
0 1
0 1
0
1
−128 1
1 −1
−128 129
=
=
.
0 1
0
1
0
1
5
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
6
Lastne vrednosti
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Lastne vrednosti
Lastne vrednosti in lastni vektorji
Poglejmo si lastnost diagonalizabilnosti podrobneje. Naj torej
velja P −1 AP = D = diag(λ1 , . . . , λn ). Oznaˇcimo z
ek = (0, . . . , 1, . . . , 0)T ∈ Rn×1 matriko–stolpec, ki ima v k-ti
vrstici sˇ tevilo 1, vsa ostala sˇ tevila pa so enaka 0. Torej je

  
0
 0

λ1 0 . . . 0  ..   .. 


. 
 0 λ2 . . . 0  
  . 



 
Dek =  .
..  
..
 1  =  λk  = λk e k .
 ..
.  .   . 
.
 ..   .. 
0 0 . . . λn
0
0
ˇ
Stevilo
λ je lastna vrednost matrike A ∈ Rn×n , cˇ e obstaja
kakˇsen neniˇceln vektor (stolpec) x ∈ Rn×1 , da je
Ax = λ x.
Vektor x imenujemo lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti λ .
ˇ je x lastni vektor, ki
Lastni vektor ni enoliˇcno doloˇcen. Ce
pripada lastni vrednosti λ , je tudi kx lastni vektor k isti lastni
vrednosti za poljuben k ∈ R \ {0}.
Res: A(kx) = kAx = k λ x = λ (kx).
ˇ oznaˇcimo
Iz AP = PD sledi APek = PDek = P λk ek = λk Pek . Ce
k-ti stolpec matrike P s pk , velja pk = Pek in
Kot bomo kasneje videli, je moˇzno, da k neki lastni vrednosti
obstaja veˇc linearno neodvisnih lastnih vektorjev.
Apk = λk pk .
Ker je matrika P obrnljiva, so stolpci p1 , . . . , pn linearno
neodvisni.
7
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
8
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Matriˇcno enaˇcbo Ax = λ x lahko zapiˇsemo v obliki Ax = λ Ix oz.
v obliki homogenega sistema linearnih enaˇcb
Lastne vrednosti
Karatkeristiˇcni polinom matrike A ∈ Rn×n je polinom stopnje n z
realnimi koeficienti, njegove niˇcle pa so lastne vrednosti matrike
A.
Polinom det(A − λ I) ima n niˇcel, ki pa niso nujno realna sˇ tevila.
(A − λ I)x = 0.
Zgled
Gornji homogen sistem ima netrivialno reˇsitev, cˇ e je
determinanta tega sistema enaka 0, tj. det(A − λ I) = 0.
Doloˇci vse lastne vrednosti matrike A =
Matrika



A−λI = 

a11 − λ
a21
..
.
a12
a22 − λ
..
.
an1
an2
...
...
a1n
a2n
..
.
. . . ann − λ
cos ϕ
sin ϕ
− sin ϕ
cos ϕ
.





se imenuje karakteristiˇcna matrika matrike A, njena
determinanta det(A − λ I) pa karakteristiˇcni polinom matrike A.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
9
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
10
Lastne vrednosti
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Lastne vrednosti
Za λ = λ1 = −2 imamo homogeni sistem
Zgled
(A − λ1 I)x = 0,
Doloˇ
ci vse lastne
vrednosti in lastne vektorje matrike
−2 3
A=
.
0 1
Karakteristiˇcni polinom matrike A je
−2 − λ
3
det(A − λ I) = 0 1−λ
in ima niˇcli λ1 = −2, λ2 = 1.
kjer je x = (x1 , x2 )T neznani vektor. Ta sistem lahko v
popolnosti popiˇsemo z razˇsirjeno matriko
−2 − (−2)
0 3 0
3 0
=
∼
[A − λ1 I|0] =
0 1 − (−2) 0
0 3 0
0 1 0
.
∼
0 0 0
= (−2 − λ )(1 − λ )
Lastne vektorje k lastnima vrednostima λ1 in λ2 doloˇcimo tako,
da poiˇscˇ emo vse reˇsitve homogenega sistema
Od tod sledi, da je x2 = 0. Ker je x1 poljuben, so vsi lastni
vektorji, ki pripadajo lastni vrednosti λ1 , oblike
x = (x1 , 0)T = x1 (1, 0)T , kjer je x1 ∈ R. Ker nas pri lastnih
vektorjih obiˇcajno zanimajo le linearno neodvisni lastni vektorji,
izmed vseh vektojev izberemo le tistega, ki ga najenostavneje
zapiˇsemo. V naˇsem primeru je to vektor (1, 0)T .
(A − λ I)x = 0,
za λ = λ1 in λ = λ2 .
11
ˇ
Matjaˇz Zeljko
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
12
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Za λ2 = 1 naredimo podobno. Ker gre ponovno za homogeni
sistem, desnih strani ne piˇsemo. Skratka
−3 3
3
1 −1
−2 − 1
=
∼
A − λ2 I =
.
0 0
0 1−1
0
0
Poglejmo si metodo sˇ e enkrat.
Ker je sistem (A − λ1 I)x = 0 homogen, desnih strani ni potrebno
pisati. Gornji raˇcun za λ1 = −2 zato na kratko zapiˇsemo kot
3
−2 − (−2)
0 3
0 1
A − λ1 I =
=
.
∼
0 1 − (−2)
0 0
0 3
Tudi ta sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v prvem
stolpcu. Sledi x1 = x2 .
Ta matriˇcni sistem ima rang 1, izrazljiva neznanka pa je v
drugem stolpcu. Sledi x2 = 0, x1 pa je (prost) parameter.
Reˇsitev je torej oblike x = (x2 , x2 )T , kjer je x2 ∈ R poljuben. Vsi
lastni vektorji k λ2 = 1 so torej oblike x2 (1, 1)T .
Torej x = (x1 , 0)T , kjer je x1 ∈ R poljuben. Vsi lastni vektorji k
λ1 = −2 so torej oblike x1 (1, 0)T .
ˇ
Matjaˇz Zeljko
13
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
ˇ
Matjaˇz Zeljko
14
Lastne vrednosti
Matrike
Izrek
Zgled
Matrika A ∈ Rn×n je diagonalizabilna natanko tedaj, ko ima n
linearno neodvisnih lastnih vektorjev.
Diagonaliziraj matriko A =
Za dokaz v drugo smer pa vzemimo, da so p1 , . . . , pn linearno
neodvisni lastni vekorji. Matrika, sestavljena iz stolpcev p1 , . . . ,
pn , je obrnljiva. Iz zveze Apk = λk pk izpeljemo APek = DPek za
D = diag(λ1 , . . . , λn ). Ker APek = DPek velja za vsak k (tj. k-ta
stolpca se ujemata), je AP = DP oz.
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Lastne vrednosti
−2 3
.
0 1
bo diagonalizirana matrika enaka
λ1 0
−2 0
−1
D = P AP =
=
.
0 λ2
0 1
Opozorilo. Lastne vrednosti lahko naˇstejemo tudi v drugem
vrstnem redu. Pomembno je le, da v matriko D in matriko P
zloˇzimo lastne vrednosti in pripadajoˇce lastne vektorje v
enakem vrstnem redu.
P −1 AP = D.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Videli smo zˇ e, da ima matrika lastni vrednosti λ1 = −2 in λ2 = 1
ter pripadajoˇca (linearno neodvisna) lastna vektorja p1 = (1, 0)T
ˇ zapiˇsemo
in p2 = (1, 1)T . Ce
1 1
,
P = [p1 p2 ] =
0 1
ˇ je matrika A diagonalizabilna, velja D = P −1 AP. Obrnljiva
Ce
matrika P je sestavljena iz linearno neodvisnih vektorjev
pk = Pek , ki imajo lastnost Apk = λk pk . Torej so pk lastni
vektorji k lastnim vrednostim λk .
15
Lastne vrednosti
16
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Karakteristiˇcni polinom
Zgled


2 −2
1
Diagonaliziraj matriko A =  −1
1 −1 .
−4
4 −3
det(A − λ I) = (1 − λ )λ (1 + λ )
ima torej niˇcle λ1 = 1, λ2 = 0 in λ3 = −1.
Pri λ1 = 1 imamo


 
1 −2
1
2−1
−2
1
det(A − λ1I) =  −1 1 − 1
0 −1  ∼
−1  =  −1
−4
4 −4
−4
4 −3 − 1

 

1 −2 1
1 0 1
∼  0 −2 0  ∼  0 1 0  .
0 0 0
0 −4 0
Najprej moramo izraˇcunati karakteristiˇcni polinom det(A − λ I).
2−λ
−1
−4
det(A − λ I) =
−2
1−λ
4
1
−1
=
−3 − λ
2 − λ −2
1
2 − λ −2
−1 1 − λ
−1
−1 1 − λ =
=
−4
4
−3 − λ −4
4
= (2 − λ )(1 − λ )(−3 − λ ) − 8 − 4 −
Reˇsitev tega sistema je x2 = 0 in x1 = −x3 , torej vsi vektorji
oblike (−x3 , 0, x3 ) = −x3 (1, 0, −1). Pripadajoˇci lastni vektor k
λ1 = 1 je npr. p1 = (1, 0, −1).
−(−4)(1 − λ ) − (−4)(2 − λ ) − 2(−3 − λ ) =
= (2 − λ )(1 − λ )(−3 − λ ) + 6 − 6λ =
17
= (1 − λ ) ((2 − λ )(−3 − λ ) + 6) = (1 − λ )(λ + λ 2 ).
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in drugemu stolpcu.
Lastne vrednosti
Matrike

2−0
−2
1
det(A − λ2 I) =  −1 1 − 0
−1  =
−4
4 −3 − 0


 
1 −1
1
2 −2
1
1 ∼
=  −1
1 −1  ∼  2 −2
−4
4 −3
−4
4 −3


 
1 −1 0
1 −1
1
0 1 .
∼  0
0 −1  ∼  0
0
0 0
0
0
1
Lastne vrednosti

2 − (−1)
−2
1
−1 1 − (−1)
−1  =
A − λ3 I = 
−4
4 −3 − (−1)

 

3 −2
1
1 −2
1
=  −1
2 −1  ∼  3 −2
1 ∼
−4
4 −2
−4
4 −2

 

1 0
0
1 −2
1
4 −2  ∼  0 1 − 12  .
∼  0
0 −4
2
0 0
0
Reˇsitev tega sistema je x3 = 0 in x1 = x2 , torej vsi vektorji oblike
(x2 , x2 , 0) = x2 (1, 1, 0). Pripadajoˇci lastni vektor k λ2 = 0 je npr.
p2 = (1, 1, 0).
Reˇsitev tega sistema je x1 = 0 in x2 = 12 x3 , torej vsi vektorji
oblike (0, 21 x3 , x3 ) = 21 x3 (0, 1, 2). Pripadajoˇci lastni vektor k
λ3 = −1 je npr. p3 = (0, 1, 2).
Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in tretjemu stolpcu.
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Pri λ3 = −1 imamo


ˇ
Matjaˇz Zeljko
ˇ
Matjaˇz Zeljko
18
Pri λ2 = 0 imamo
19
Lastne vrednosti
Izrazljivi neznanki pripadata prvemu in drugemu stolpcu.
20
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Videli smo, da ima matrika lastne vrednosti λ1 = 1, λ2 = 0 in
λ3 = −1 ter pripadajoˇce (linearno neodvisne) lastne vektorje
ˇ zapiˇsemo
p1 = (1, 0, −1)T , p2 = (1, 1, 0)T in p3 = (0, 1, 2)T . Ce


1 1 0
P = [p1 p2 p3 ] =  0 1 1  ,
−1 0 2
Zgled
Lastne vrednosti


−1
1
1
Diagonaliziraj matriko A =  −2 −2 −3 .
2
1
2
Najprej moramo izraˇcunati karakteristiˇcni polinom det(A − λ I).
−1 − λ
1
1
−1 − λ
1
−2
−2 − λ −3
−2
−2 − λ =
det(A − λ I) =
2
1
2−λ
2
1
= (−1 − λ )(−2 − λ )(2 − λ ) − 6 − 2 −
bo diagonalizirana matrika enaka


 
1 0
0
λ1 0 0
D = P −1 AP =  0 λ2 0  =  0 0
0 .
0 0 −1
0 0 λ3
−2(−2 − λ ) − (−3)(−1 − λ ) − (−2)(2 − λ ) =
= (−1 − λ )(−2 − λ )(2 − λ ) − 3 − 3λ =
= (−1 − λ ) ((−2 − λ )(2 − λ ) + 3) =
= (−1 − λ )(−1 + λ 2) = −(λ + 1)2 (λ − 1).
ˇ
Matjaˇz Zeljko
21
Matrike
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
22
Lastne vrednosti
Matrike
Karakteristiˇcni polinom ima lastne vrednosti λ1,2 = −1 in λ3 = 1.
Oglejemo si A − λ1,2 I. Matrika homogenega sistema je

−1 − (−1)
1
−2 −2 − (−1)
A − λ1,2 I = 
2
1

 
0
1
1
2



−2 −1 −3 ∼ 0
=
2
1
3
0

1
−3  =
2 − (−1)

 
1 3
1 0 1
1 1  ∼  0 1 1 .
0 0 0
0 0
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Lastne vrednosti
Reˇsitev tega sistema je x1 = 0 in x2 = −x3 , torej vsi vektorji
oblike (0, −x3 , x3 ) = −x3 (0, 1, −1).
Sedaj lahko tudi na drug naˇcin utemeljimo, da matrika ni
diagonalizabilna. Kot je raˇcun pokazal, smo dobili le dva
linearno neodvisna lastna vektorja, in sicer (1, 1, −1) in
(0, 1, −1), za diagonalizabilnost pa bi potrebovali 3.
Za vajo doloˇcimo sˇ e lastne vektorje, ki pripadajo lastni
vrednosti λ3 = 1.
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Za λ3 = 1 je matrika homogenega sistema enaka


−1 − 1
1
1
A − λ3 I = 
−2 −2 − 1
−3  =
2
1 2−1
 


 
1 0 0
−2
1
1
1 − 21 − 21
=  −2 −3 −3  ∼  0 −2 −2  ∼  0 1 1  .
0 0 0
2
1
1
0
2
2
Reˇsitev tega sistema je x1 = −x3 in x2 = −x3 , torej vsi vektorji
oblike (−x3 , −x3 , x3 ) = −x3 (1, 1, −1). Opazimo, da imamo le
ˇ
enoparametricno
druˇzino reˇsitev, cˇ eprav je bila λ = −1 dvojna
niˇcla polinoma. Kot bomo kasneje videli, je zˇ e to zadostna
ovira, da matrika ni diagonalizabilna.
23
ˇ
Matjaˇz Zeljko
24
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Matrike
Lastne vrednosti
Matrike
Lastne vrednosti
ˇ pa enakost (1) pomnoˇzimo z λk , dobimo
Ce
Izrek
Razliˇcnim lastnim vrednostim pripadajo linearno neodvisni
lastni vektorji.
λk xk = µ1 λk x1 + µ2 λk x2 + . . . + µk −1 λk xk −1 .
Iz (2) in (3) sledi protislovna enakost
Naj bodo λ1 , . . . , λm razliˇcne lastne vrednosti in x1 , . . . , xm
pripadajoˇci lastni vektorji matrike A. Z indukcijo bomo pokazali,
da je za vsak k vektor xk linearno neodvisen od x1 , . . . , xk −1 .
ˇ je k = 1, ni kaj dokazovati. Vektor x1 je neniˇceln in je
Ce
linearno neodvisen.
µ1 (λ1 − λk )x1 + µ2 (λ2 − λk )x2 + . . . + µk −1 (λk −1 − λk )xk −1 = 0.
Slednje pa ne drˇzi, saj je µi 6= 0 za neki i < k in λi 6= λk , vektorji
x1 , . . . , xk −1 pa so pravzaprav linearno neodvisni.
V dokazu indukcijskega koraka pa za hip privzemimo, da je
xk = µ1 x1 + µ2 x2 + . . . + µk −1 xk −1 .
(1)
ˇ to enakost (matriˇcno) pomnoˇzimo z A, dobimo
Ce
Axk = µ1 Ax1 + µ2 Ax2 + . . . + µk −1 Axk −1
oziroma
25
λk xk = µ1 λ1 x1 + µ2 λ2 x2 + . . . + µk −1 λk −1 xk −1 .
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matrike
(2)
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
Lastne vrednosti
Posledica
Matrika, ki ima same razliˇcne lastne vrednosti, je
diagonalizabilna.
ˇ je λ niˇcla reda r karakteristiˇcnega polinoma det(A − λ I),
Ce
pravimo, da ima lastna vrednost λ algebraiˇcno veˇckratnost r .
ˇ lahko k lastni vrednosti λ poiˇscˇ emo m linearno neodvisnih
Ce
lastnih vektorjev, pravimo, da ima λ geometriˇcno veˇckratnost m.
Vedno je 1 ≤ m ≤ r in matrika je diagonalizabilna natanko tedaj,
ko je algebariˇcna veˇckratnost vsake lastne vrednosti enaka
njeni geometriˇcni veˇckratnosti.
27
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)
(3)
26
ˇ
Matjaˇz Zeljko
Matematika II (FKKT – Kemijsko inˇzenirstvo)