1. No category

UNIVERZA V MARIBORU
FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO ,
ˇ
RACUNALNIŠTVO
IN INFORMATIKO
L ABORATORIJ ZA VODENJE
ELEKTROMEHANSKIH SISTEMOV
Smetanova ulica 17, 2000 Maribor, SLOVENIJA
DINAMIKA EES
Drago Dolinar, Boštjan Polajžer
Maribor, april 2010
ii
Dinamika EES
Prva izdaja:
april, 2010
Avtorja:
prof. dr. Drago Dolinar
doc. dr. Boštjan Polajžer
Recenzenta:
prof. dr. Gorazd Štumberger
prof. dr. Bojan Grˇcar
Jezikovni pregled:
Nada Polajžer
Naklada:
10 izvodov na CD ROM-u
Vrsta publikacije:
skripta
Izdala in založila:
UM, FERI
Natisnil:
Laboratorij za vodenje elektromehanskih sistemov
Dinamika EES / Drago Dolinar, Boštjan Polajžer. - 1. izd. – Maribor: UM, FERI, 2010
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
Kazalo
1 Povezan EES Evrope
2 Modeliranje hidro in turboagregatov
2.1
2.2
1
11
Vkljuˇcitev sinhronskega generatorja v EES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.1
Otoˇcno obratovanje sinhronskega generatorja . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.1.2
Paralelno obratovanje sinhronskega generatorja . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Modeli vodnih turbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.1
Enaˇcba navora turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.2
Enaˇcba pretoka skozi turbino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.3
Enaˇcba neto padca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.4
Enaˇcba kombinacijske odvisnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.5
Enaˇcba dinamiˇcnega ravnotežja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.6
Doloˇcitev cˇ asovne konstante vodnega udara . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.2.7
Dinamiˇcni model Kaplanove turbine v obliki blokovne sheme . . . . . . . . .
20
2.2.8
Dinamiˇcni model Francisove turbine v obliki blokovne sheme . . . . . . . . .
21
2.2.9
Dinamiˇcni model poenostavljene vodne turbine v obliki blokovne sheme . . . .
22
2.2.10
Model Peltonove turbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
iv
KAZALO
2.3
2.2.11
Kompenzacija pojava vodnega udara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.12
Poenostavljeni model vodne turbine s kompenzacijo vodnega udara s poenostavljenim
modelom elektriˇcnega podsistema sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . 25
Regulacija delovne moˇci turboagregata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Sinhronski stroj
24
27
29
3.1
Vezni model sinhronskega stroja za analizo stacionarnih stanj . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.2
Moˇc in navor sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.3
Prehodni pojavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.3.1
Nenadni simetriˇcni kratki stik statorskih navitij . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.3.2
Mehanski prehodni pojavi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
Dinamiˇcni model sinhronskega stroja v obliki blokovne sheme . . . . . . . . . . . . . .
59
3.4
4 Regulacija napetosti sinhronskega stroja
63
4.1
Model sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.2
Sinhronski stroj na lastnem omrežju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
4.3
Paralelno obratovanje sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
5 Poenostavljeni model dveh povezanih EES
75
5.1
Dinamiˇcni model reguliranega obmoˇcja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
5.2
Dinamiˇcni model dveh povezanih reguliranih obmoˇcij . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
6 Analiza stabilnosti
83
6.1
Oddana moˇc sinhronskega generatorja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.2
Poenostavljeni model mehanskega podsistema sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . .
86
6.3
Poenostavljeni model sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.4
Stacionarni model sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
6.5
Poenostavljeni dinamiˇcni model sinhronskega stroja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.6
Obratovanje sinhronskega generatorja preko vmesne reaktance na togem omrežju . . . . 101
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
P OGLAVJE
1
Povezan EES Evrope
Slovenski elektroenergetski sistem (EES) je vkljuˇcen v evropski EES. Združenje, ki koordinira interese vseh
paralelno obratujoˇcih EES v Evropi, se imenuje ENTSO-E (European Network of Transmission Sytems
Operators for Electricity). Skupni cilj vseh cˇ lanic združenja je zagotavljanje nemotenega obratovanja povezanega sistema znotraj dogovorjenih okvirjev. Združenje ima petdesetletno tradicijo. Preko povezanega
omrežja skrbi ENTSO-E za preskrbo veˇc kot 450 milijonov ljudi, letna poraba pa znaša veˇc kot 2100 TWh.
Od julija 2009 ETSO-E združuje 42 operaterjev prenosnega omrežja iz 34 držav, slovenski operater prenosnega omrežja je podjetje ELES, d.o.o. Slika 1.1 prikazuje cˇ lane ENTSO-E v letu 2010. Posamezni cˇ lani
se združujejo v regionalne skupine, ki so prikazane na sliki 1.2 in v tabeli 1.1, kjer so navedena tudi bivša
združenja. Slovenski EES v letu 2010 prikazuje slika 1.3.
V ENTSO-E je dogovorjen zelo strog režim regulacije frekvence, sistem pa naj bi zaradi povezanosti in
naˇcina vodenja ostal stabilen tudi v primeru velikih izpadov (vse do 3000 MW). Frekvenˇcne spremembe in
pretoke moˇci po izpadu 1060 MW proizvodnje v Španiji prikazuje slika 1.4.
Evropski EES se je seveda povezoval postopoma. V letih 1997-98 je k UCTE pristopil CENTREL (Poljˇ
ska, Ceška,
Slovaška in Madžarska) in skupna moˇc sistema se je s 400 GW poveˇcala na 460 GW. Razvoj
evropskega povezanega sistema prikazuje slika 1.5.
2
POVEZAN EES EVROPE
http://www.entsoe.eu/fileadmin/template/other/images/map_entsoe.png[23.2.2010 8:30:26]
ˇ
Slika 1.1: Clani
ENTSO-E v letu 2010
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
3
Slika 1.2: Povezani EES Evrope v letu 2010
Tabela 1.1: Regionalne skupine v ENTSO-E
Regionalna skupina
Države
Kontinentalna Evropa (bivši UCTE) Avstrija, Belgija, Bosna in Hercegovina,
ˇ
Bolgarija, Ceška,
Hrvaška, Danska-zahod,
Francija, Makedonija, Nemˇcija, Grˇcija,
ˇ
Madžarska, Italija, Luksemburg, Crna
Gora,
Nizozemska, Poljska, Portugalska, Romunija,
Srbija, Slovaška, Slovenija, Španija in Švica
Nordijska (bivši NORDEL)
Danska-vzhod, Finska, Norveška in Švedska
Baltik (bivši BALTSO)
Estonija, Latvija in Litva
Velika Britanija (bivši UKTSOA)
Velika Britanija
Irska (bivši ATSOI)
Irska, Velika Britanija
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
4
POVEZAN EES EVROPE
Slika 1.3: Slovenski EES 2010
Slika 1.4: Frekvenˇcne spremembe in pretoki moˇci v ENTSO-E po izpadu 1060 MW proizvodnje v Španiji
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
5
Slika 1.5: Razvoj evropskega povezanega sistema UCTE- TESIS (Trans European Synchronously Interconected System)
Slika 1.6: Povezani EES Evrope v letu 2000
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
6
POVEZAN EES EVROPE
Slika 1.7: Stanje mediteranskega obroˇca
1st synchronous UCTE region
2nd synchronous UCTE region
Synchronous operation with 1st resp.2nd UCTE region
941
Associate member of UCTE
873
S
657
3608
DK
GB
NL
355
495
1948
B 402
L
845
1032
3964
4267
348
F
6554
726
365
4981
D
1223
25
1913
4900 3448
289
CZ
2390
248
SK
3600
2744
CH
22
3000
123
1461
3
9496
412
1640
3
1952
222
32
BiH
869
1500
1006
362
YU
22
BG
1684
480
437
26
1971
461
AL
E
P
RO
961
SLO
I
2066
18
1098
22
HR
247
H
3679
2804
1238
5067
A
976
UA
186
499 109
56
1217
833 13848 66
4327
BY
PL
8908
9051
8853
Values in GWh
LT
390
55
2371
20
GR
14
667
6
571
12
MA
Exporting Countries
Importing countries
B
D
E
F
GR
I
SLO
HR
BiH
YU
L
NL
A
P
CH
CZ
H
PL
SK
III1
B
D
E
3964
845
2371
-
8853
402
55
3000
1217
4900
390
4481
4327
1971
12
F
Sum of physical energy flows
1
GR
I
495
56
437
- 9496
6
247
14
- 2804
- 461
976
833
- 13848
355 1684
-
SLO
HR
BiH
YU
22
1952
1640
-
1461
222
0
3679
-
1006
362
-
20
0
1500
1098
1856
L
NL
A
P
1032
2390
-
1948
8908
-
3600
22
66
3448
412
-
2066
-
in UCTE = 131982 GWh
CH
CZ
9051
6554
3
2744
-
248
0
4981
499
-
3
0
123
5067
1238
Total = 150560 GWh
Third countries: Albania, Belarus, Bulgaria, Denmark, Great Britain, Morocco, Rumania, Sweden and Ukraine
Slika 1.8: Fiziˇcni pretoki moˇci
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
H
PL
SK
III1
726
25
0
1595
1913
1005
571
4267
667
534
18
109
-
1223
186
7
Regions in parallel operation
16.01.2002, 11:00 (GMT + 1)
N
S
1st synchronous UCTE region
DK
2nd synchronous UCTE region
LT
GB
NL
PL
D
B
CZ
L
UA
SK
Radial operation
Parallel operation
A
F
Associate member of UCTE
BY
H
CH
RO
Direct current link
SLO
HR
BiH
JIEL
BG
I
P
AL
E
GR
MA
T1
Day
Power produced in parallel operation at 11a.m.(G.M.T. + 1) (including autoproduction) in MW
L
NL
A
P
CH
CZ
PL
SK
DK
17.10.01
9966 73100 26131 66460
B
D
E
F
GR
5663 37706
I
SLO
1681
HR
1769
JIEL
4192
795
9361
8455
5446 11275
9227
4516 19221
3817
1530
21.11.01
10105 79300 30055 72691
5731 42003
1796
2191
5889
741 10093
8109
5790 10414 10841
5179 21624
4406
2550
19.12.01
10588 80200 33015 74546
6664 44804
1888
2630
6432
722 11361
7847
6409 11226 10392
5277 22410
4680
2340
16.01.02
10796 76400 30661 77771
6762 43939
1795
2572
5665
800 10999
7188
6066
9491 10623
5179 22462
4586
2400
20.02.02
10905 77600 30033 74278
5817 40414
1806
2187
5006
821
9781
6384
5562 10095 10869
4777 20691
4360
2430
20.03.02
10493 75500 26729 67389
5571 37520
1760
1876
4911
716
9543
7824
5731
4453 19504
3896
1770
9661 10122
H
Slika 1.9: Paralelno delujoˇca podroˇcja
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
2nd synchronous UCTE region
576
I = 5702
3100
Synchronous operation with 1st resp.2nd UCTE region
* G.M.T. + 1
I = Import balance
E = Export balance
Slika 1.10: Pretoki moˇci
Sum of load flows UCTE = 25508 MWh
P = 28759
I = 333
P = 1685
E = 131
P = 1142
Total = 30352 MWh
HR
623
207
SLO
193
I = 602
E = 80
1087
P = 23643
211
P = 4394
H
E = 63
26
AL
BiH
83
131
P = 3826
1421
P = 5705
125
199
FYROM
P = 6582
I = 912
YU
215
947
A
857
I
500
1196
E = 649
P = 3684
SK
9
333
56
GR
P = 4944
I = 179
266
BG
RO
UA
BY
322
MA
Associete member
P
3556
CH
CZ
P = 7676
E = 999
1196
180
E = 1132
P = 17001
430
E
1400
I = 2711
P = 52400
PL
1113
P = 7837
1538
1059
P = 716
777
270
E = 3982
1234
481
L
D
293
P = 65278
145
P = 9761
I = 922
2094
LT
&'%
E = 1884
F
1424
B
I =1068
P = 7453
RUS
NL
I = 670
S
I = 49
49
GB
DK
8
POVEZAN EES EVROPE
V
"!
255
75
9
Slika 1.11: Pretoki moˇci
T2
Maximum output capacity as of 31.12.2001
....üüü
Thermal conventional
Country
?
Thermal nuclear
Hydropower
Total
MW
%
MW
%
MW
%
MW
%
B
D
E
F
GR
I
SLO
HR
JIEL
L
NL
A
P
CH
CZ
H
PL
SK
8248
68000
25046
23700
6297
54440
1241
1631
6753
460
17342
5620
5065
295
9588
5608
31189
2294
-0.9
-5.2
15.6
1.9
4.5
0.5
0.0
14.2
0.0
513.3
-8.8
6.9
4.3
1.7
-9.2
0.0
-0.1
0.1
5738
20700
7816
63200
0.4
-1.4
4.5
0.0
670
0.0
449
-10.0
3200
1637
1772
0.0
0.0
0.8
2640
20.0
1403
8500
17955
24300
3060
20346
778
2076
3893
1128
37
11160
4408
13285
1945
46
2185
2427
-0.2
1.0
1.7
0.0
3.3
-0.7
0.0
0.0
0.0
0.0
-4.9
0.5
0.5
0.3
-6.3
0.0
2.1
0.1
15651
100700
547
111200
9512
75903
2689
3707
10646
1608
19404
16860
9676
17310
13171
7824
33387
8057
0.2
-2.9
11.6
0.4
-47.1
0.0
0.0
5.8
0.0
32.0
-6.3
2.8
0.7
0.5
-7.7
1.3
0.1
6.3
UCTE
272817
-0.4
107822
0.4
118932
0.3
512016
-1.2
Slika 1.12: Pretoki moˇci
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
10
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
POVEZAN EES EVROPE
P OGLAVJE
2
Modeliranje hidro in turboagregatov
2.1 Vkljuˇcitev sinhronskega generatorja v EES
Veliki generatorji v elektrarnah so izkljuˇcno sinhronski stroji. Ne glede na to, da obiˇcajno govorimo o
sinhronskih generatorjih, ti stroji lahko obratujejo kot generatorji (kompenzatorji) ali motorji. Veˇc o razliˇcnih obratovalnih možnostih bo pojasnjeno v nadaljevanju, najprej pa se bomo omejili predvsem na analizo
obratovanja generatorja. Osnovne pojme, povezane z vodenjem sinhronskega generatorja, najenostavneje
pojasnimo s pomoˇcjo dinamiˇcnega modela, ki ima dva vhoda in dva izhoda (slika 2.1). Vhoda sta pogonski
navor turbine tm in vzbujalna napetost Uv , izhoda pa sta bodisi hitrost vrtenja ω (frekvenca f ) in napetost
na sponkah stroja Us bodisi delovna moˇc P in jalova moˇc Q, kot je na sliki navedeno v oklepajih.
tm
ω
(P )
Us
(Q)
Model
sinhronskega
Uv
stroja
Slika 2.1: Blokovna shema sinhronskega generatorja
Kot vhode in izhode bi seveda lahko izbrali tudi druge spremenljivke in vzbujanja, vendar je bil izbor
navedenih vhodov in izhodov opravljen zato, da bo enostavneje pojasniti razliko med dvema znaˇcilnima
obratovalnima stanjema sinhronskega generatorja.
Sinhronski stroj lahko obratuje otoˇcno ali paralelno. V prvem primeru en sam sinhronski stroj napaja breme
ali skupino bremen neodvisno od preostanka EES in torej deluje kot izoliran otok. V drugem primeru gre
za paralelno obratovanje sinhronskega stroja v povezanem EES z vsaj dvema strojema.
12
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
2.1.1 Otoˇcno obratovanje sinhronskega generatorja
Sinhronski stroj ima dva izhoda, zato bo njegovo vodenje zajemalo regulacijo obeh izhodov. V primeru
otoˇcnega obratovanja stroja bomo tako imeli opraviti z regulacijo hitrosti (frekvence) in regulacijo napetosti
na sponkah stroja. Karakteristike otoˇcno obratujoˇcega sinhronskega stroja so prikazane na slikah 2.2 in 2.3.
Reguliran agregat
ω
Nereguliran agregat
0
P
Slika 2.2: Stacionarni delovni karakteristiki otoˇcno delujoˇcega sinhronskega stroja - regulacija hitrosti
Us
Reguliran agregat
∆U
Nereguliran agregat
0
Q
Slika 2.3: Stacionarni delovni karakteristiki otoˇcno delujoˇcega sinhronskega stroja - regulacija napetosti
Na sliki 2.2 sta prikazani stacionarni karakteristiki ω = f (P ) otoˇcno delujoˇcega stroja. V primeru nereguliranega stroja se s poveˇcevanjem delovne moˇci hitrost vrtenja znižuje (ˇcrtkana cˇ rta), kadar pa je stroj
reguliran, se hitrost vrtenja z delovno obremenitvijo ne spreminja (polna cˇ rta).
ˇ je stroj nereNa sliki 2.3 sta prikazani stacionarni karakteristiki Us = f (Q) otoˇcno delujoˇcega stroja. Ce
guliran, se s poveˇcevanjem jalove moˇci napetost na sponkah seseda (ˇcrtkana cˇ rta), v primeru reguliranega
stroja pa napetost na sponkah ostaja neodvisna od jalove obremenitve (polna cˇ rta).
2.1.2 Paralelno obratovanje sinhronskega generatorja
Sinhronski generator lahko sinhroniziramo z omrežjem tedaj, ko se napetosti generatorja po faznem kotu
in amplitudi ujemajo z napetostmi omrežja. Zaradi zahtevanega ujemanja sta seveda enaki obe napetosti
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
13
2.1 Vkljuˇcitev sinhronskega generatorja v EES
ˇ bi z omrežjem sinhronizirali predhodno otoˇcno delujoˇci regulirani sinhronski generator s
in frekvenci. Ce
tako imenovano astatiˇcno karakteristiko, delovanje stroja ne bi bilo stabilno. Delovni karakteristiki stroja
in omrežja bi namreˇc bili paralelni brez preseˇcišˇca, zato bi stroj lahko omrežju oddajal katero koli delovno
moˇc. Razmere stabiliziramo tako, da astatiˇcno delovno karakteristiko stroja nagnemo za vrednost statike
in tako dobimo statiˇcno karakteristiko. Preseˇcišˇce karakteristike generatorja in karakteristike omrežja enoumno doloˇci delovno toˇcko (slika 2.4). Na podoben naˇcin z nagibom delovne karakteristike agregata zagotovimo stabilnost regulacije jalove moˇci (slika 2.5). Pri paralelnem obratovanju torej nimamo veˇc opraviti
z regulacijo hitrosti (frekvence) in napetosti, temveˇc z regulacijama delovne in jalove moˇci P in Q.
ωr
Karakteristika paralelno
delujoˇcega agregata
ωs
Karakteristika omrežja
Delovna toˇcka A
0
Pgn
P
Slika 2.4: Stacionarni delovni karakteristiki paralelno delujoˇcega sinhronskega stroja - regulacija delovne
moˇci
Usr
Karakteristika paralelno
delujoˇcega agregata
Us
Karakteristika omrežja
Delovna toˇcka A
0
Qgn
Q
Slika 2.5: Stacionarni delovni karakteristiki paralelno delujoˇcega sinhronskega stroja - regulacija jalove
moˇci
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
14
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
Nagib delovne karakteristike agregata opišemo s statiko. Opraviti imamo z dvema statikama, in sicer s
hitrostno β in napetostno βu , ki sta v skladu s slikama 2.4 in 2.5 definirani z izrazoma:
β=
βu =
(ωr − ωs )
· 100
Pgn
(2.1)
(Usr − Us )
· 100 ,
Qgn
(2.2)
kjer sta s Pgn in Qgn oznaˇceni normirani vrednosti ustreznih nazivnih moˇci, ωr in ωs pa sta normirani
vrednosti ustreznih kotnih hitrosti. Obe statiki sta torej podani v odstotkih, vrednosti pa se najpogosteje
gibljejo v obsegu 4% do 6%. S statikama β in βu astatiˇcni karakteristiki nagnemo in ju preoblikujemo v statiˇcni. Imeni sta nekoliko neobiˇcajni, vendar za obravnavano podroˇcje zelo znaˇcilni. Statiki je torej potrebno
vpeljati hkrati s sinhronizacijo stroja, kot bomo v nadaljevanju videli, pa sta izvedeni z dvema dodatnima
povratnima vezavama. Pri prehodu iz režima otoˇcnega obratovanja v paralelnega se torej spremeni tudi
zgradba regulatorjev.
Vprašajmo se, kaj smo poleg enoumno doloˇcene delovne toˇcke posameznega agregata dodatno dosegli z
uvedbo obeh statik? S tem smo dosegli primerno obnašanje reguliranega sistema v primeru spremembe
frekvence ali napetosti omrežja (razmere pojasnjujeta sliki 2.6 in 2.7) in enoumno porazdelitev oddanih
moˇci v primeru veˇc paralelno delujoˇcih sinhronskih generatorjev (razmere pojasnjujeta sliki 2.8 in 2.9).
ωr
ωs + ∆ω
ωs
ωs − ∆ω
Pg
0
Pg (ωs + ∆ω)
Pg (ωs − ∆ω) P
Slika 2.6: Oddana delovna moˇc sinhronskega stroja v primeru spremembe omrežne frekvence
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
15
2.1 Vkljuˇcitev sinhronskega generatorja v EES
Usr
Us + ∆U
Us
Us − ∆U
Qg
0
Qg (Us + ∆U )
Qg (Us − ∆U ) Q
Slika 2.7: Oddana jalova moˇc sinhronskega stroja v primeru spremembe omrežne napetosti
Kot je razvidno iz slik 2.6 in 2.7, zmanjšanje omrežne frekvence ali napetosti povzroˇci pripadajoˇce poveˇcanje delovne in jalove moˇci iz vrednosti Pg in Qg na Pg (ωm − ∆ω) in Qg (Us − ∆U ). Podobno poveˇcanje
omrežne frekvence ali napetosti povzroˇci pripadajoˇce zmanjšanje delovne in jalove moˇci iz vrednosti Pg in
Qg na Pg (ωm + ∆ω) in Qg (Us + ∆U ).
Tako bo stroj s 5% hitrostno statiko v primeru 5% upada omrežne frekvence poveˇcal oddano delovno moˇc
za 100%, v primeru porasta frekvence pa se bo moˇc ustrezno znižala. Seveda so spremembe frekvence
v omrežju praviloma bistveno manjše (∼0,1%), zato so ustrezno manjše tudi spremembe delovne moˇci.
Podobno velja tudi za napetostno statiko, vendar so spremembe napetosti v omrežju bistveno veˇcje (5% do
10%), zato so spremembe jalove moˇci med obratovanjem zelo velike.
ωr1
ωr2
ωm
3
2
1
0
Pg2
Pg1
P
Slika 2.8: Oddani delovni moˇci sinhronskih strojev v primeru paralelnega obratovanja dveh sinhronskih
strojev
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
16
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
Usr1
Usr2
Us
3
2
1
0
Qg2
Qg1
Q
Slika 2.9: Oddani jalovi moˇci sinhronskih strojev v primeru paralelnega obratovanja dveh sinhronskih
strojev
Pogosto želimo, da sprememba omrežne frekvence ne bi vplivala na spremembo oddane moˇci generatorja.
V tem primeru govorimo o tako imenovanem blokiranem turbinskem regulatorju. Razmere so prikazane
na sliki 2.10. V primeru blokiranega turbinskega regulatorja majhne spremembe omrežne frekvence ωm
ne povzroˇcijo spremembe oddane moˇci stroja. Morebitno veliko poveˇcanje frekvence bi sicer zmanjšalo
pripadajoˇco oddano moˇc, vendar je taka sprememba malo verjetna.
ωr
Blokiran regulator
ωm
Neblokiran regulator
Blokiran z omejitvijo
(obratuje v neblokiranem delu)
0
Pgo
Pg
P
Slika 2.10: Primer blokiranega turbinskega regulatorja
Primer porazdelitve moˇci na dva generatorja
Predpostavimo, da dva generatorja obratujeta paralelno in napajata breme z moˇcjo Pb = 200 MW. Nazivna
moˇc prvega generatorja je Pg1 = 100 MW, nazivna moˇc drugega pa je Pg2 = 200 MW. Statika obeh
generatorjev je β = 4%. Kakšen delež moˇci bo prevzel posamezni generator?
Na podlagi zapisanega velja:
P1 + P2 = 200
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
MW
(2.3)
17
2.2 Modeli vodnih turbin
Razmere ponazarjajo karakteristike na sliki 2.11, kjer sta s tanjšimi cˇ rtami, ki izhajata iz referenˇcne vrednosti ωnr = 1, 04 p.u. narisani delovni karakteristiki obeh generatorjev v primeru proizvodnje nazivne moˇci
P1n in P2n . Drugi dve karakteristiki, ki izhajata iz toˇcke ωr , sta narisani za primer s skupno obremenitvijo
200 MW, kjer moramo porazdelitev na moˇci P1 in P2 še doloˇciti.
ωnr = 1, 04 [pu]
ωr
ωm = 1, 00 [pu]
0
P1
P1n
P2
P2n
Slika 2.11: Primer porazdelitve delovne moˇci na dveh sinhronskih strojih
Karakteristike na sliki 2.11 tvorijo podobne trikotnike, za katere velja razmerje:
ωnr − ωm
ωr − ωm
=
P2n
P2
ωnr − ωm
ωr − ωm
=
P1n
P1
200
(2.4)
= P1 + P2
Na podlagi treh enaˇcb 2.4 lahko izraˇcunamo tri neznanke P1 = 66, 66 MW, P2 = 133, 33 MW in ωr =
1, 0267 p.u.
2.2 Modeli vodnih turbin
V nadaljevanju bomo doloˇcili dinamiˇcne modele vodnih turbin. Dinamiˇcni model bomo najprej doloˇcili za
Kaplanovo turbino, pri kateri se lahko spreminja naklon statorskih (vodilnikovih) in rotorskih (tekaˇcevih)
lopatic. Potem bomo na podlagi modela Kaplanove turbine doloˇcili še model Francisove turbine, pri kateri
lahko spreminjamo samo naklon statorskih lopatic. Na koncu bo doloˇcen še poenostavljeni model vodne
turbine, ki se po priporoˇcilih združenje IEEE uporablja v analizi povratnih vplivov hidro agregatov na
omrežje.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
18
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
2.2.1 Enaˇcba navora turbine
Navor turbine je v skladu z zapisom (2.5) funkcija padca h, hitrosti vrtenja ω, odprtja vodilnika (ali kar
pomika glavnega servomotorja) y in kota lopatic tekaˇca ϕ:
tm = f (h, ω, y, ϕ)
(2.5)
Funkcijska odvisnost f je nelinearna, zato bomo zapis (2.5) linearizirali v okolici delovne toˇcke. Po linearizaciji bo za mala odstopanja od delovne toˇcke veljala linearizirana odvisnost:
∆tm =
∂tm
∂tm
∂tm
∂tm
∆h +
∆ω +
∆y +
∆ϕ ,
∂h
∂ω
∂y
∂ϕ
(2.6)
kjer so vsi odvodi vzeti v delovni toˇcki.
2.2.2 Enaˇcba pretoka skozi turbino
Pretok skozi turbino je funkcija istih spremenljivk kot navor turbine in ga doloˇca enaˇcba:
q = f (h, ω, y, ϕ)
(2.7)
Funkcijska odvisnost f je ponovno nelinearna, zato bomo zapis (2.7) linearizirali v okolici delovne toˇcke.
Po linearizaciji bo za mala odstopanja od delovne toˇcke veljala linearizirana odvisnost:
∆q =
∂q
∂q
∂q
∂q
∆h +
∆ω +
∆y +
∆ϕ ,
∂h
∂ω
∂y
∂ϕ
(2.8)
kjer so vsi odvodi prav tako vzeti v delovni toˇcki.
2.2.3 Enaˇcba neto padca
Sprememba pretoka vpliva na spremembo padca, odvisnost pa je prav tako nelinearna, zato bomo v nadaljevanju uporabili linearizirano odvisnost v okolici delovne toˇcke. Predpostavimo, da je ∆q vhod, ∆h pa
izhod, potem poenostavljeno zvezo med obema doloˇca enaˇcba:
∆h = −Tw
d
∆q ,
dt
(2.9)
kjer je Tw tako imenovana cˇ asovna konstanta vodnega udara in bo doloˇcena v nadaljevanju. Potrebno pa je
poudariti, da ta enaˇcba zelo poenostavljeno ponazarja zgolj tako imenovani togi vodni udar, ki predpostavlja nestisljivost vode in popolno togost cevovodov.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
19
2.2 Modeli vodnih turbin
2.2.4 Enaˇcba kombinacijske odvisnosti
Tudi odvisnost med položajem bata servo motorja vodilnika y in kotom lopatic tekaˇca ϕ je nelinearna, zato
bomo uporabljali lineariziran zapis:
d
∆ϕ + ∆ϕ = Kk ∆y ,
(2.10)
dt
ki pa bo veljal le v okolici delovne toˇcke, kjer je Kk koeficient ojaˇcanja kombinacijske zveze, Tk pa pripadajoˇca cˇ asovna konstanta.
Tk
2.2.5 Enaˇcba dinamiˇcnega ravnotežja
Enaˇcba gibanja hidro agregata (spremenljivke so zaradi linearizirane obravnave celotnega sistema podane
z malimi odmiki spremenljivk od delovne toˇcke) je doloˇcena z izrazom:
d
∆ω = ∆tm − ∆te ,
(2.11)
dt
kjer je cˇ asovna konstanta Ta normirana vrednost skupnega vztrajnostnega momenta turbine in generatorja
J (oba sta togo speta na isti osi). Doloˇcena je z enaˇcbo:
Ta
Ta =
Jωb
,
tb
(2.12)
kjer je ωb = 2πfb bazna vrednost omrežne hitrosti (fb = 50 Hz), tb pa je bazna vrednost navora generatorja.
Pri tem je potrebno poudariti, da so zaradi preglednejše obravnave vrednosti vseh vhodov in spremenljivk
normirane (zato so vrednosti v obmoˇcju med 0 in 1), za osnovo (bazo) pa so vzete bazne vrednosti (·)b .
2.2.6 Doloˇcitev cˇ asovne konstante vodnega udara
ˇ
Casovno
konstanto vodnega udara doloˇcimo na podlagi razmer na sliki 2.12 s pomoˇcjo enaˇcbe (2.13).
Zgornja voda
L
x
Bazen
Q, v
Turbina
Ht
H
Spodnja voda
Slika 2.12: Shematski prikaz zgradbe elektrarne
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
20
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
Tw =
Lv
,
Ht g
(2.13)
kjer je L dolžina kanala v [m], v je hitrost v [m/s], Ht je padec v [m], g pa je zemeljski pospešek v [m/s2 ].
2.2.7 Dinamiˇcni model Kaplanove turbine v obliki blokovne sheme
Model Kaplanove turbine v cˇ asovnem podroˇcju podaja sistem enaˇcb:
∆tm
=
∂tm
∆h
∂h
∆q
=
∂q
∆h
∂h
+
+
∂tm
∆ω
∂ω
∂q
∆ω
∂ω
+
+
∂tm
∆y
∂y
∂q
∆y
∂y
+
+
∂tm
∆ϕ
∂ϕ
∂q
∆ϕ
∂ϕ
Tk dtd ∆ϕ + ∆ϕ = Kk ∆y
∆h
= −Tw dtd ∆q
Ta d∆ω
dt
= ∆tm − ∆te
(2.14)
S pomoˇcjo Laplace-ove transformacije bomo model (2.14) pretvorili v Laplace-ovo podroˇcje in ob tem
predpostavil, da so zaˇcetni pogoji niˇc. V prvih dveh enaˇcbah zapisa (2.14) bomo vse parcialne odvode v
delovni toˇcki nadomestili s konstantami po naslednjem vzorcu ∂x
= Kxy . Dobljeni model je tako:
∂y
∆tm (s)
= Kth ∆h(s) + Ktω ∆ω(s) + Kty ∆y(s) + Ktϕ ∆ϕ(s)
∆q(s)
= Kqh ∆h(s) + Kqω ∆ω(s) + Kqy ∆y(s) + Kqϕ ∆ϕ(s)
∆ϕ(s)
∆y(s)
=
∆h(s)
∆q(s)
= −sTw
Kk
1 + sTk
(2.15)
1
∆ω(s)
=
∆tm (s) − ∆te (s)
sTa
Model Kaplanove turbine v obliki enaˇcb (2.15) lahko narišemo v obliki blokovne sheme na sliki 2.13. Pri
tem smo zaradi lažjega risanja spremenili sistem oznaˇcevanja Laplace-ovih transformirank na naslednji
naˇcin (·) = (·)(s), dodali pa smo regulator hitrosti.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
21
2.2 Modeli vodnih turbin
Regulator
−∆ωm
Gsm (s)
∆y
E(s)
∆ωr
∆ϕ
Kty
+
+
Ktω
∆ω
−
−
Kk , Tk
Ktϕ
∆ωδ
+
+
Tsm
∆ω
∆tm
+
−
Kth
Ta
Klr
β
−
∆te
Gd (s)
Kqy
Kqϕ
+
Td , T 0
d
+
∆ten
∆h
+
−
+
+
1
0
Ta
+
Kqω
Kqh
0
Tw , Tw
Slika 2.13: Blokovna shema Kaplanove turbine
V osnovi imamo seveda opraviti z regulatorjem hitrosti, pri katerem pa je upoštevan tudi pospešek. Regulator sestavljajo trije bloki, kjer je prenosna funkcija hidravliˇcnega servo motorja Gsm (s) integrator, v
povratni zanki regulatorja pa se nahaja ojaˇcanje z vrednostjo statike β in realni diferenciator Gd (s) s cˇ asovnima konstantama Td in Td0 . Posamezni prenosni funkciji elementov v regulatorju sta doloˇceni z izrazoma:
Gsm (s) =
1
sTsm
(2.16)
Gd (s)
sTd
=
1 + sTd0
Pri tem je treba poudariti pomembno znaˇcilnost, da ima nadomestna zaprtozanˇcna prenosna funkcija regulatorja proporcionalni znaˇcaj, kar preprosto preverimo tako, da izraˇcunamo nadomestno zaprtozanˇcno
prenosno funkcijo regulatorja.
2.2.8 Dinamiˇcni model Francisove turbine v obliki blokovne sheme
Francisova turbina ima fiksne nastavitve lopatic vodilnika, zato je ∆ϕ = 0, s tem pa se dinamiˇcni model
agregata v Laplace-ovem podroˇcju v obliki sistema enaˇcb (2.15) skrˇci in poenostavi v zapis:
∆tm (s)
= Kth ∆h(s) + Ktω ∆ω(s) + Kty ∆y(s)
∆q(s)
= Kqh ∆h(s) + Kqω ∆ω(s) + Kqy ∆y(s)
∆h(s)
∆q(s)
= −sTw
(2.17)
∆ω(s)
1
=
∆tm (s) − ∆te (s)
sTa
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
22
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
Kot vidimo sta v zapisu (2.17) glede na zapis (2.15) izginila zadnja dva cˇ lena v prvih dveh enaˇcbah, tretje
enaˇcbe iz (2.15) sploh ni veˇc, preostali dve pa sta ostali enaki. Blokovno shemo Francisove turbine kaže
slika 2.14.
Regulator
−∆ωm
+
∆y
∆ωr
+
Ktω
∆tm
Kty
∆ω
−
−
+
+
Tsm
∆ω
∆ωδ
−
Kth
Ta
Klr
−
β
∆te
Kqy
+
∆ten
∆h
+
Td , T 0
d
+
−
+
+
Kqω
1
0
Ta
Kqh
0
T w , Tw
Slika 2.14: Blokovna shema Francisove turbine
2.2.9 Dinamiˇcni model poenostavljene vodne turbine v obliki blokovne sheme
Model vodne turbine s slike 2.14 bomo v nadaljevanju dodatno poenostavili. Pri tem bomo izhajali iz
modela Francisove turbine v Laplace-ovem podroˇcju, kjer bomo predpostavili, da je v okolici delovne
toˇcke vpliv sicer zelo male spremembe hitrosti ∆ω na spremembo pretoka ∆q tako majhen, da ga lahko
zanemarimo.
V tretji enaˇcbi zapisa (2.17) izrazimo spremenljivko ∆h z ∆q in za slednje vstavimo izraz za ∆q, v katerem
ne upoštevamo srednjega cˇ lena Kqω ∆ω(s). Tako dobimo naslednji zapis:
∆h(s) = −sTw ∆q(s) = −sTw (Kqh ∆h(s) + Kqy ∆y(s))
(2.18)
Izraz (2.18) preuredimo in dobimo:
∆h(s) = −(Kqh sTw ∆h(s) + Kqy sTw ∆y(s))
(2.19)
in na levi strani izpostavimo spremenljivko ∆h(s), tako da dobimo:
∆h(s)(1 + Kqh sTw ) = −Kqy sTw ∆y(s)
(2.20)
Iz (2.20) izrazimo ∆h(s) in dobimo:
∆h(s) =
−Kqy sTw
∆y(s)
1 + Kqh sTw
(2.21)
Sedaj vstavimo izraz (2.21) v prvo enaˇcbo sistema (2.17) namesto cˇ lena ∆h(s) in dobimo (2.22). Pri tem
drugega cˇ lena Ktω ∆ω v (2.17) v izrazih (2.22) do (2.25) najprej ne bomo upoštevali. Rrazlog je zgolj lažje
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
23
2.2 Modeli vodnih turbin
raˇcunanje dela navora, ki ga bomo zato oznaˇcili z ∆t0m (s), na koncu pa bomo v (2.26) manjkajoˇci cˇ len
ponovno prišteli k ∆t0m (s) in tako dobili ∆tm (s).
∆t0m (s) = Kth ∆h(s) + Kty ∆y(s) = Kty ∆y(s) −
Ã
=
Kqy sTw
Kth ∆y(s)
1 + Kqh sTw
(2.22)
!
Kty −
Kqy sTw
Kth ∆y(s)
1 + Kqh sTw
Za idealno turbino veljajo naslednje konstante:
Kqh = 0, 5
Kth = 1, 5
Kqω = 0, 0
Ktω = −1, 0
Kqy = 1, 0
Kty = 1, 0 ,
(2.23)
ki jih upoštevamo v (2.22) in dobimo:
Ã
∆t0m (s)
!
sTw
= 1−
1, 5 ∆y(s)
1 + 0, 5sTw
ˇ poišˇcemo prenosno funkcijo Gvt (s) =
Ce
∆t0m (s)
,
∆y(s)
(2.24)
dobimo izraz:
Gvt (s) =
1 − sTw
1 + 0, 5sTw
(2.25)
V izrazu (2.25) upoštevamo še izpušˇceni vpliv spremembe hitrosti na navor in dobimo:
∆tm (s) =
1 − sTw
∆y(s) + Ktω ∆ω
1 + 0, 5sTw
(2.26)
ˇ sedaj upoštevamo prenosno funkcijo (2.25) in izraz (2.26) v blokovni shemi na sliki 2.14, je mogoˇce
Ce
narisati blokovno shemo poenostavljene vodne turbine na sliki 2.15, ki je bistveno preprostejša od vseh
dosedanjih.
Regulator
-∆ωm
Ktω
∆y
∆ωr
1−Tw s
1+0.5sTw
∆ω
−
−
Tsm
+
∆t0m
+ ∆tm
+
∆ω
∆ωδ
−
Ta
Klr
−
β
∆te
+
+
∆ten
Td , Td0
1
0
Ta
Slika 2.15: Blokovna shema vodne turbine
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
24
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
Primer doloˇcitve Tw
ˇ
Casovno
konstanto vodnega udara Tw je mogoˇce izraˇcunati tudi z naslednjim izrazom:
Tw =
g2
lP
,
Ht2 A η
kjer je l srednja dolžina dovodnega cevovoda v [m], P je moˇc agregata v [kW], g je zemeljski pospešek v
[m/s2 ], Ht je padec v [m], A je presek cevovoda v [m2 ], η pa je izkoristek agregata. Za izbrane vrednosti
parametrov P = 50 MW, Ht = 50 m, l = 86 m, A = 25 m2 in η = 0, 9, dobimo Tw = 0, 8 s.
2.2.10 Model Peltonove turbine
Model Peltonove turbine bi dobili z dodatnim poenostavljanjem modela Francisove turbine, vendar bi v tem
primeru že bilo treba upoštevati elastiˇcni vodni udar. Modela Peltonove turbine ne bomo doloˇcevali.
2.2.11 Kompenzacija pojava vodnega udara
Upoštevanje togega vodnega udara v poenostavljenem modelu vodne turbine Gvt (s) ima seveda negativni
vpliv na celotno dinamiko, saj ponazarja prenosna funkcija Gvt (s) fazno neminimalni sistem. Znaˇcilnost
cˇ asovnega odziva fazno neminimalnih sistemov je ta, da se izhod na spremembo vhoda v prvem trenutku
odzove z nasprotnim predznakom, kot ga ima vhod. Neželen pojav je tem bolj izrazit, cˇ im veˇcja je cˇ asovna
konstanta Tw .
Negativne posledice znatno zmanjšamo tako, da regulatorju dodamo tako imenovano kompenzacijo vodnega udara v obliki prenosne funkcije Gkw (s), kot je to prikazano na sliki 2.16.
Gkw (s)
−∆ωm
Ktω
−
∆y
∆ωr
1−Tw s
1+0.5sTw
∆ω
−
−
Tsm
+
+ ∆tm
+
∆ω
∆ωδ
−
Ta
Klr
−
β
∆te
+
+
∆ten
Td , Td0
1
0
Ta
Slika 2.16: Blokovna shema vodne turbine s kompenzacijo vodnega udara Gkw (s)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
25
2.2 Modeli vodnih turbin
Prenosna funkcija Gkw (s) je doloˇcena z izrazom:
Ã
1
0, 5Tw s
1
1
=
1−
Gkw (s) =
1 + Taa s 1 + 0, 5Tw s
1 + Taa s
1 + 0, 5Tw s
!
,
(2.27)
kjer je Taa = 0, 5Ta .
2.2.12 Poenostavljeni model vodne turbine s kompenzacijo vodnega udara s poenostavljenim modelom elektriˇcnega podsistema sinhronskega stroja
V nadaljevanju bomo poenostavljenemu modelu vodne turbine na sliki 2.16 dodali še poenostavljeni model
elektriˇcnega podsistema sinhronskega stroja. Model je predstavljen na sliki 2.17.
Gkw (s)
−∆ωm
Ktω
−
∆y
∆ωr
1−Tw s
1+0.5sTw
∆ω
−
−
+
+ ∆tm
+
Tsm
∆ω
∆ωδ
∆δ
−
1
ωb
Ta
∆te
Klr
−
Kdn
+
β
+
∆ten
S
+
Td , T 0
d
1
xd
E
1
0
Ta
Us
Slika 2.17: Blokovna shema vodne turbine s kompenzacijo vodnega udara in s poenostavljenim modelom
elektriˇcnega podsistema sinhronskega stroja
V modelu elektriˇcnega podsistema na sliki 2.17 je upoštevano, da je sprememba elektriˇcnega navora ∆te v
skladu z enaˇcbo (2.28) sestavljena iz treh delov: prvi je tako imenovani prispevek zaradi spremembe lastne
rabe agregata Klr ∆ω (pri hidroagregatu je vrednost relativno mala), drugi je sprememba zaradi prispevka
dušilnega navitja sinhronskega generatorja Kdn ∆ωδ (doloˇcen bo v poglavju z modeliranjem sinhronskega
generatorja), tretji prispevek pa predstavlja neto vrednost spremembe elektriˇcnega navora ∆ten . Sprememba
skupnega elektriˇcnega navora okrog delovne toˇcke (linearizacija) je doloˇcena z izrazom:
∆te
= Klr ∆ω + Kdn (∆ω − ∆ωm ) + ∆ten
∆ten
Us E
cos δ 0 ∆δ ,
=
xd
(2.28)
kjer je xd tako imenovana reaktanca sinhronskega stroja v vzdolžni smeri, δ 0 je vrednost kolesnega kota
sinhronskega stroja v toˇcki, kjer smo opravili linearizacijo, S = cos δ 0 pa je parameter linearizacije.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
26
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
Simulacijska analiza obratovanja hidroagregata s poenostavljenim modelom elektriˇcnega podsistema
sinhronskega stroja
V programskem paketu MATLAB/SIMULINK izvedite analizo obratovanja hidroagregata s poenostavljenim modelom elektriˇcnega podsistema sinhronskega stroja, ki ga prikazuje slika 2.17. Parametri modela
naj ustrezajo hidroagregatu velikostnega razreda HE Zlatoliˇcje:
β
= 0, 05
Ktω = −1, 0
Td
= 4, 0 s
Td0
Tw
= 0, 8 s
Klr = 0, 2
Taa = 0, 5Ta
S
Td
10
=
= 1
Tsm
= 3, 0 s
Ta
= 3, 0 s
Kdn
= 0, 3
Us E
xd
= 1, 0
(2.29)
1. Model odklopite od omrežja in opazujte odziv hitrosti vrtenja ∆ω(t) na stopniˇcno spremembo referenˇcne
ˇ simulacije nastavite na 80 s, korak na 0,2 s in primerjajte dobljene
vrednosti ∆ωr (t) iz 0 na 0, 1 p.u. Cas
cˇ asovne odzive za naslednje primere:
•
•
•
•
brez vodnega udara,
z vodnim udarom (Tw = 0, 8 s) in brez kompenzacije,
z vodnim udarom (Tw = 5 s) in brez kompenzacije, ter
z vodnim udarom (Tw = 5 s) in s kompenzacijo.
2. Model priklopite na omrežje in opazujte odziv hitrosti vrtenja ∆ω(t), navora turbine ∆tm (t) in kolesnega
ˇ
kota ∆δ(t). Casovna
konstanta vodnega udara naj bo Tw = 0, 8 s, kompenzacija pa naj bo vkljuˇcena.
ˇCas simulacije nastavite na 900 s, korak na 0,2 s in izvedite simulacije za naslednja vzbujanja:
• stopniˇcna spremeba referenˇcne vrednosti ∆ωr (t) iz 0 na 0, 1 p.u., pri cˇ emer je frekvenca mreže nespremenjena ∆ωm = 0 in
• stopniˇcna sprememba frekvence mreže ∆ωm (t) iz 0 na −0, 05 p.u., pri cˇ emer je referenˇcna vrednost
nespremenjena ∆ωr = 0.
Dobljene rezultate pojasnite s stacionarno karakteristiko iz slike 2.18.
ω2r
ω1r
ωs
ωs − ∆ω
5
4
ωs + ∆ω
1
3
2
0
Pg1,5
Pg2,4
Pg3
P
Slika 2.18: Stacionarna delovna karakteristika sinhronskega generatorja v razliˇcnih delovnih režimih
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
27
2.3 Regulacija delovne moˇci turboagregata
2.3 Regulacija delovne moˇci turboagregata
Regulacija vrtljajev oziroma delovne moˇci turboagregata je precej bolj kompleksna kot je bila pri hidroagregatu. Mehanski navor turbine in s tem tudi delovna moˇc sta odvisna od pretoka pare skozi turbino.
Spremenljiv pretok pare skozi turbino pa pomeni spremenljivo koliˇcino pare, ki jo lahko zagotovimo s spremembo kurjenja. Hitrost spremembe proizvodnje pare je povezana z regulacijo kurjenja, hitrost spremembe
kurjenja pa je spet odvisna od vrste kurišˇca. Za fosilna goriva je hitrost manjša, za tekoˇca in plinasta pa
veˇcja. Hitro regulacijo koliˇcine pare vršimo z vbrizgavanjem hladne vode (res hitre spremembe) in s spreminjanjem dotoka goriva.
Model turboagregata, ki ga bomo izpeljali v nadaljevanju, bomo zelo poenostavili. Z modeliranjem proizvodnje pare se ne bomo ukvarjali. Predpostavili bomo, da imamo na voljo poljubno koliˇcino pare, mehanski
navor turbine tm pa bomo regulirali s spreminjanjem odprtja ventila, s katerim bomo linearno spreminjali
pretok pare skozi turbino.
Shematiˇcen prikaz izvedbe regulacije vrtljajev kaže slika 2.19.
Regulator
vrtljajev
Pogon
ventila
Omrežje
ωr
−
Pe
−
ventil
dotok pare
Turbina
SG
ω
Vzbujanje
β
Slika 2.19: Shematski prikaz turboagregata
Pogon za odprtje ventila predstavlja servomotor, ki ga opišemo s cˇ lenom prvega reda s cˇ asovno konstanto
Tsm . Parno turbino predstavimo z dvema poenostavljenima modeloma. Model, ki ga prikazuje slika 2.20a
je zelo poenostavljen, saj je turbina predstavljena le z enim cˇ lenom prvega reda s cˇ asovno konstano Tt .
V drugem modelu, ki ga prikazuje slika 2.20b je turbina predstavljena s tremi cˇ leni prvega reda. V tem
modelu posamezni cˇ leni ponazarjajo zakasnitve visokotlaˇcnega, srednjetlaˇcnega in nizkotlaˇcnega dela parne
turbine, pripadajoˇca ojaˇcanja in cˇ asovne konstante pa so oznaˇcene s Kvt , Tvt , Kst , Tst in Knt , Tnt .
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
28
MODELIRANJE HIDRO IN TURBOAGREGATOV
u
α
tm
Tsm
Tt
a)
u
α
Tsm
Tvt
Tst
Tnt
Kst
Kvt
Knt
tm
Kvt + Kst + Knt ≤ 1
b)
Slika 2.20: Poenostavljena modela parne turbine
Blokovna shema regulacije vrtljajev za enostavni primer modela turbine, v obliki enega cˇ lena prvega reda
je prikazana na sliki 2.21, kjer je pretok pare omejen (αmin , αmax ). Meritev delovne moˇci je upoštevana s
cˇ lenom prvega reda z ojaˇcanjem Km in cˇ asovno konstanto Tm in dodatno statiko β. Hkrati predpostavimo,
da velja model celotnega regulacijskega sistema samo za mala odstopanja v okolici delovne toˇcke. V
delovni toˇcki je bila opravljena linearizacija modela, ki je nelinearen ne glede na to, da nelinearnosti nismo
posebej omenjali.
−∆ωm
∆ω
αmax
−
∆ωr
∆tm
+
−
KR
αmin
Tsm , Ksm
Kt , Tt
∆ω
−
∆te
∆ωδ
∆δ
1
ωb
Ta
Klr
Kdn
+
Km
+
∆ten
S
+
Tm , β
1
xd
E
Us
Slika 2.21: Blokovna shema regulacije delovne moˇci parne turbine
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
P OGLAVJE
3
Sinhronski stroj
Sinhronski stroj lahko v EES obratuje v enem od naslednjih obratovalnih stanj:
• generator (SG),
• motor (SM) ali
• kompenzator.
Zgradba stroja:
• dvopolni z neizraženimi poli (turbo) ali
• veˇcpolni z izraženimi poli (hidro).
Predpostavimo, da je porazdelitev magnetnega polja na obodu statorja harmoniˇcna, kar med drugim pomeni,
da zanemarimo popaˇcenja zaradi oblike utorov. Pri stroju z izraženimi poli je geometrija magnetnega polja
odvisna od lege rotorja, kar bo veljalo tudi za nekatere induktivnosti.
• Lastna induktivnost rotorskega navitja je neodvisna od položaja rotorja, ker se geometrija magnetnega
polja vzbujalnega navitja s spreminjanjem kota Θ ne spreminja. Enako velja za dušilna navitja.
• Lastna induktivnost statorskega navitja se spreminja s položajem rotorja Θ, ker se spreminja geometrija
magnetnega kroga tega navitja. Sprememba vsebuje drugo harmonsko komponento.
• Medsebojne induktivnosti med navitji na statorju in rotorju se spreminjajo zaradi:
1. medsebojne lege in
2. spremembe magnetnega kroga oziroma njegove magnetne upornosti.
30
SINHRONSKI STROJ
d- os
Θ
α- os
α0
β0
v0
q- os
v
α
β
β- os
Slika 3.1: Shematiˇcni prikaz dvofaznega sinhronskega stroja z izraženimi poli
α0
α0
α0
β0
β0
α
α
β
β0
α
β
β
a) Lββ = maksimalna
c) Lαα = Lββ = konstantna
b) Lαα = maksimalna
Lββ = minimalna
Slika 3.2: Grafiˇcno tolmaˇcenje vpliva rotorske izraženosti na pojav drugega harmonika pri induktivnostih
Predpostavimo linearno magnetilno karakteristiko, kar nam bo omogoˇcilo uporabo naˇcela superpozicije.
Hkrati zanemarimo vrtinˇcne tokove in histerezo.
Za medsebojno induktivnost navitij α in v velja:
ψαv = Nα φv cos Θ = Nα φαv = Nα
oziroma:
Lαv =
N α Nv
Nα φαv
=
cos Θ
iv
Rmαv
Induktivnost Lαvm ima najveˇcjo vrednost pri kotu Θ = 0.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
Nv iv
cos Θ
Rmαv
(3.1)
(3.2)
31
d- os
vα
Θ
(Θ − 900)
q - os
vβ
Slika 3.3: Geometriˇcna predstavitev magnetnih napetosti statorskih navitij
Za navitje β velja po analogiji z navitjem α, da je:
Lβv =
N β Nv
sin Θ = Lβvm sin Θ
Rmβv
(3.3)
Lastne induktivnosti statorskih navitij α in β:
Vzbujanje tuljave α, to je magnetno napetost vα = Nα iα , razdelimo vzdolž d in q osi:
vαd = vα cos Θ
vαq = vα sin Θ
(3.4)
Magnetni krog ima vzdolž d in q osi nespremenljivo geometrijo in s tem nespremenljivi magnetni polji
zaradi magnetnih napetosti vαd in vαq :
φαd =
vαd
vα cos Θ
=
Rmαd
Rmαd
(3.5)
φαq =
vαq
vα sin Θ
=
Rmαq
Rmαq
(3.6)
Z navitjem α se, v skladu s sliko 3.4, sklepajo samo komponente naslednjih dveh magnetnih tokov:
φαd cos Θ
φαq sin Θ
(3.7)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
32
SINHRONSKI STROJ
d- os
Φαd
Θ
Φα
Φαd sinΘ
α- os
Φασ
β0
α0
Φαd cosΘ
Vαd
Θ
Φαq cosΘ
Θ
Vαd
q- os
Φαq
α
β
β- os
Slika 3.4: Definicija magnetnih tokov v stroju z izraženimi poli
Magnetni tok, sklenjen z navitjem α, je torej:
φα = φαd cos Θ + φαq sin Θ =
vα cos Θ
vα sin Θ
cos Θ +
sin Θ
Rmαd
Rmαq
(3.8)
Z upoštevanjem trigonometrijskih odvisnosti sin2 Θ = 12 (1 − cos 2Θ) in cos2 Θ = 21 (1 + cos 2Θ) dobimo:
Ã
φα = Nα iα
Nα iα
=
2
cos2 Θ sin2 Θ
+
Rmαd
Rmαq
"Ã
1
Rmαd
+
!
!
1
Ã
+
Rmαq
1
Rmαd
−
!
1
(3.9)
#
cos 2Θ
Rmαq
Lastna induktivnost tuljave α je:
Lαα
Nα φ α
N2
=
= α
iα
2
"Ã
1
Rmαd
+
1
!
Ã
+
Rmαq
1
Rmαd
−
1
Rmαq
!
#
cos 2Θ
(3.10)
= Lα0 + LαΘ cos 2Θ
Stresano induktivnost dodamo konstantnemu delu, tako da v nadaljevanju upoštevamo naslednje:
Lα0 = Lασ + Lα0
(3.11)
Na podoben naˇcin doloˇcimo tudi lastno induktivnost navitja β:
Lββ
Nβ2
=
2
"Ã
1
Rmβd
+
1
Rmβq
!
Ã
−
1
Rmβd
−
1
Rmβq
!
#
cos 2Θ
(3.12)
= Lβ0 − LβΘ cos 2Θ
Medsebojna induktivnost med statorskima navitjema α in β je dana z magnetnim tokom φα , ki se sklepa z
navitjem β.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
33
Tok iα vzbudi v navitju α magnetni tok vzdolž osi d in q:
φαd =
vα cos Θ
Rmαd
(3.13)
vα sin Θ
Rmαq
Glede na sliko 3.4 dobimo komponente teh magnetnih tokov, ki se sklepajo z navitjem β takole:
φαq =
φαβ = −φαd sin Θ + φαq cos Θ
Torej velja:
φαβ = −
φαβ
(3.15)
Nα iα cos Θ sin Θ Nα iα sin Θ cos Θ
+
Rmαd
Rmαq
Nα i α
=−
2
Ã
1
Rmαd
(3.16)
!
1
−
(3.14)
Rmαq
sin 2Θ
(3.17)
Medsebojna induktivnost med navitjema α in β je torej:
Lαβ
Nβ Nα
Nβ φαβ
=
=
iα
2
Ã
1
Rmαd
−
1
!
Rmαq
sin 2Θ = Lαβm sin 2Θ
(3.18)
Induktivnosti sinhronskega stroja z izraženimi poli:
Lvv =
Nv2
Rmv
Lαv =
Nv N α
cos Θ = Lαvm cos Θ
Rmαv
Lβv =
Nv N β
sin Θ = Lβvm sin Θ
Rmβv
Lαβ
Lαα
Lββ
Nα Nβ
= Lβα =
2
= Lαβm sin 2Θ
Ã
1
Rmβd
−
1
Rmβq
!
sin 2Θ
(3.19)
"Ã
!
Ã
!
#
"Ã
!
Ã
!
#
Nα2
1
1
1
1
=
+
+
−
cos 2Θ
2
Rmαd Rmαq
Rmαd Rmαq
= Lα0 + Lασ + LαΘ cos 2Θ
Nβ2
1
1
1
1
+
−
−
cos 2Θ
=
2
Rmβd Rmβq
Rmβd Rmβq
= Lβ0 + Lβσ − LβΘ cos 2Θ
Pri stroju z enakimi statorskimi navitji Nα = Nβ = N dodatno velja:
Rmαd = Rmβd
Rmαq = Rmβq
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
34
SINHRONSKI STROJ
in
LαΘ = LβΘ = Lαβ
(3.20)
Pri cilindriˇcnem rotorju so magnetne upornosti v obeh oseh enake, zato se zaradi Rmd = Rmq enaˇcbe (3.19)
dodatno poenostavijo:
N2
Rmαd
Preostale induktivnosti ostanejo enake.
Lββ =
Lαα =
N2
Rmβd
Lαβ = 0
(3.21)
3.1 Vezni model sinhronskega stroja za analizo stacionarnih stanj
d- os
Θ
α- os
α0
Θ − 900
β0
Vv
Vα
q - os
Vβ
α
β
β - os
Slika 3.5: Vezni model sinhronskega stroja, ki je primeren za stacionarno analizo
Elektriˇcne razmere v stroju doloˇcajo naslednje enaˇcbe:
dψv
dt
dψα
= Rα iα +
dt
dψβ
= Rβ i β +
dt
uv =
uα
uβ
Rv iv +
(3.22)
Uporabimo skrajšane oznaˇcbe Lvα = Lvαm , Lvβ = Lvβm in dobimo:
ψv = iv Lvv + iα Lvα cos Θ − iβ Lvβ sin Θ
ψα = iα Lαα + iv Lαv cos Θ − iβ Lαβ
= iα (Lα0 + LαΘ cos 2Θ) − iβ Lαβ sin 2Θ + iv Lαv cos Θ
ψβ = iβ Lββ − iv Lβv sin Θ − iα Lαβ
= iβ (Lβ0 − LβΘ cos 2Θ) − iα Lαβ sin 2Θ − iv Lβv cos Θ
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(3.23)
35
3.1 Vezni model sinhronskega stroja za analizo stacionarnih stanj
Magnetne sklepe uvrstimo v napetostne enaˇcbe (3.22) in po odvajanju dobimo:


uv
 uα  =
uβ


Rv + Lvv p
Lvα cos Θp
−Lvβ sin Θp
 

˙
˙
−L
sin
Θ
Θ
−L
vα
vβ cos ΘΘ
 i

 v
 L cos Θp
Rα + (Lα0 + LαΘ cos 2Θ)p
−Lαβ sin 2Θp
 
 αv
 iα

˙
˙
˙

 −Lαv sin ΘΘ
−2L
sin
2Θ
Θ
−2L
cos
2Θ
Θ
αΘ
αβ
 i

 −Lβv sin Θp
−Lαβ sin 2Θp
Rβ + (Lβ0 − LβΘ cos 2Θ)p  β
˙
˙
˙
−Lβv cos ΘΘ
−2Lαβ cos 2ΘΘ
+2LβΘ sin 2ΘΘ
(3.24)
kjer smo vpeljali operator odvajanja p = dtd . Napetostne enaˇcbe (3.24) transformiramo v skupen rotorski
(dq) koordinatni sistem z uporabo transformacije:

1

T = 0
0

T−1

0
0

cos Θ sin Θ 
− sin Θ cos Θ
1
0

=  0 cos Θ
0 sin Θ
(3.25)

0

− sin Θ 
cos Θ
(3.26)
Za doloˇcitev transformirane impedanˇcne matrike opravimo trojni matriˇcni produkt in dobimo:
Zvdq = T−1 Zvαβ T
(3.27)
cos2 Θ + sin2 Θ
= 1
cos Θ cos 2Θ + sin Θ sin 2Θ = cos Θ
sin 2Θ cos Θ − cos 2Θ sin Θ = sin Θ
(3.28)
Z upoštevanjem trigonometrijskih enakosti:
in
Rα = Rβ
Lαv = Lvβ
Lα0 = Lβ0
LαΘ = LβΘ = Lαβ
dobimo napetostni model sinhronskega stroja v skupnem rotorskem (dq) koordinatnem sistemu:



Rv + Lvv p
uv



Lαv p
 ud  = 
˙
uq
−Lαv Θ


Lvα p
0
iv
 
˙
Rα + (Lα0 + Lαβ )p
(Lα0 − Lαβ )Θ   id 
˙
iq
−(Lα0 + Lαβ )Θ
Rα + (Lα0 − Lαβ )p
(3.29)
Sprememba sosledja d in q osi:
Preoblikovane napetostne enaˇcbe so ob upoštevanju novih oznaˇcb parametrov (prvotnemu navitju α pripadajoˇci indeks α zamenjata d in q, odvisno od tega, katero navitje oznaˇcujemo) nekoliko spremenjene:



Rv + Lvv p
uv



=
Lvq p
u

 d
˙
uq
Lqv Θ


Lvq p
0
iv
 
˙ 
Rd + (Ld0 + Ldq )p
−(Ld0 − Ldq )Θ
  id 
˙
iq
(Ld0 + Ldq )Θ
Rq + (Lq0 − Ldq )p
(3.30)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
36
SINHRONSKI STROJ
d- os
d
v
id
ud
θ˙
iv
uv
q
iq
q- os
uq
ROTOR
STATOR
Slika 3.6: Vezni model sinhronskega stroja v skupnih rotorskih koordinatah
d- os
d
v
q- os
id
ud
θ˙
iv
uv
q
iq
uq
ROTOR
STATOR
Slika 3.7: Vezni model sinhronskega stroja v skupnih rotorskih koordinatah z zamenjanima osema d in q
Enaˇcbe za stroj s cilindriˇcnim rotorjem (Ldq = 0) se še poenostavijo:


Rv + Lvv p
uv


Lvq p
 ud  
˙
Lvq Θ
uq
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
Lvq p
Rd + Ld0 p
˙
Ld0 Θ


iv
0
 
˙
−Lq0 Θ   id 
iq
Rq + Lq0 p
(3.31)
37
3.2 Moˇc in navor sinhronskega stroja
3.2 Moˇc in navor sinhronskega stroja
Trenutna elektriˇcna moˇc je:
p = iT u = iT Zi ,
(3.32)
kjer je u = Zi. Za sinhronski stroj z izraženimi poli dobimo ob predpostavki enakih statorskih navitij
(Rd = Rq , Ldv = Lqv , Ld0 = Lq0 , Ldv = Lvq ):

T 

Rv + Lvv p
iv
  
p =  id   Ldv p
˙
iq
Ldv Θ

Lvq p
0
iv
 
˙ 
Rd + (Ld0 + Ldq )p
−(Ld0 − Ldq )Θ
  id 
˙
(Ld0 + Ldq )Θ
Rd + (Ld0 − Ldq )p
iq
T  
˙
iv (Rv + Lvv p) + id Ldv p + iq Ldv Θ
iv

 
˙ 
=  iv Ldv p + id (Rd + (Ld0 + Ldq )p) + iq (Ld0 + Ldq )Θ
  id 
˙ + iq (Rd + (Ld0 − Ldq )p
iq
id (−Ld0 + Ldq )Θ
˙
= iv (Rv + Lvv p)iv + id Ldv piv + iq Ldv Θiv + iv Ldv pid + id Rd id
˙ d − id (Ld0 − Ldq )Θi
˙ q
+id (Ld0 + Ldq )pid + iq (Ld0 + Ldq )Θi
+iq Rd iq + iq (Ld0 − Ldq )piq
=
i2v Rv + i2d Rd + i2q Rq
{joulske izgube
(
delež moˇci, ki ustreza spre+iv Lvv piv + id (Ld0 + Ldq )pid
membi energije v polju la+iq (Ld0 − Ldq )piq
stnih induktivnosti

(3.33)
(
delež moˇci, ki ustreza spremembi energije v polju medsebojnih induktivnosti
+id Ldv piv + iv Ldv pid
˙ + id iq (Ld0 + Ldq )Θ
˙
+iq iv Ldv Θ
˙
−id iq (Ld0 − Ldq )Θ
{mehanska moˇc
Mehanska moˇc sinhronskega stroja je:
˙ + id iq (Ld0 + Ldq )Θ
˙ − id iq (Ld0 − Ldq )Θ
˙
pm = iq iv Ldv Θ
˙
˙ + id iq 2Ldq Θ
pm = iq iv Ldv Θ
(3.34)
(3.35)
in za stroj s cilindriˇcnim rotorjem (Ldq = 0):
˙
pm = iq iv Ldv Θ
Trenutna vrednost mehanskega navora je;
te =
pm
˙
Θ
(3.36)
(3.37)
Za stroj z izraženimi poli velja:
te = iq iv Ldv + id iq 2Ldq
(3.38)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
38
SINHRONSKI STROJ
Navor za ustaljeno stanje je:
Te = Iq Iv Ldv + 2Id Iq Ldq
(3.39)
in za stroj s cilindriˇcnim rotorjem (Ldq = 0):
Te = Iq Iv Ldv
(3.40)
Izraˇcun stacionarne vrednosti navora
Vektor napetosti je:




uv
−Ev




(3.41)
 ud  =  Uα cos ωt

π
uq
Uα cos (ωt + 2 )
Napetostni vektor 3.41 transformiramo v skupen koordinatni sistem. Uporabimo kot Θ, ki je za dvopolni
stroj v sinhronizmu:
π
Θ = ωt + δ +
(3.42)
2
Pri tem dovoljujemo premik δ med lego rotorja in amplitudo napetosti na sponkah. π2 predstavlja prostorski
premik π2 med d–lego rotorja in navitjem na statorju, kjer je istoˇcasno amplituda napetosti pri δ = 0 najveˇcja.
Poiskati moramo zmnožek:





uv
1
0
0
−Ev




π 
π
 ud  =  0 cos (ωt + δ + 2 ) − sin (ωt + δ + 2 )   Uα cos ωt

0 sin (ωt + δ + π2 ) cos (ωt + δ + π2 )
uq
Uα cos (ωt + π2 )
Rezultat je:




uv
−Ev




 ud  =  −Uα sin δ  ,
uq
Uα cos δ
kjer so napetosti za doloˇceno vrednost δ enosmerne.
Za ustaljeno stanje velja

di
dt
(3.43)
(3.44)
= 0. Napetostne enaˇcbe (3.30) dobijo naslednjo obliko:



−Ev
Rv
0
0
Iv


 
˙ 
Rd
−(Ld0 − Ldq )Θ
 −Uα sin δ   0
  Id 
˙ (Ld0 + Ldq )Θ
˙
Uα cos δ
Iq
Ldv Θ
Rq
(3.45)
˙
V enaˇcbo (3.45) vpeljemo še inducirano napetost Ea := Iv Ldv Θ.
Matriˇcno enaˇcbo (3.45) rešimo in dobimo:
Ea
Ev
=
Iv = −
˙
Rv
Lvq Θ
(3.46)
Id =
˙ − Ea (Ld0 − Ldq )Θ
˙
Uα sin δRd + Uα cos δ(Ld0 − Ldq )Θ
˙ Θ(L
˙ d0 + Ldq )(Ld0 − Ldq )
Rd Rq + Θ
(3.47)
Iq =
˙
Uα cos δRd − Ea Rd + Uα sin δ(Ld0 + Ldq )Θ
˙ Θ(L
˙ d0 + Ldq )(Ld0 − Ldq )
Rd Rq + Θ
(3.48)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
39
3.2 Moˇc in navor sinhronskega stroja
˙ = ω in definiramo lahko ustrezne reaktance:
Analiziramo ustaljeno obratovalno stanje, zato velja pΘ = Θ
˙ (Ld0 + Ldq ) = ω (Ld0 + Ldq )
xd = Θ
˙ (Ld0 − Ldq ) = ω (Ld0 − Ldq )
xq = Θ
(3.49)
Stacionarni vrednosti statorskih tokov sta:
Id =
=
Iq =
˙ − Ea (Ld0 − Ldq )Θ
˙
Uα cos δ(Ld0 − Ldq )Θ
˙ 2 (Ld0 + Ldq )(Ld0 − Ldq )
Θ
Eα cos δ(xq ) − Ea xq
xd xq
(3.50)
˙
Uα sin δ(Ld0 + Ldq )Θ
Uα sin δxd
=
˙ 2 (Ld0 + Ldq )(Ld0 − Ldq )
xd xq
Θ
(3.51)
Izraˇcunane toke vstavimo v navorno enaˇcbo (3.39) in ob upoštevanju, da je Lqv = Lvq , dobimo:
µ
Te = Iv Iq Lqv + 2Id Iq Ldq
"
Ea
=
˙
Θ
¶Ã
!
˙
Uα sin δ(Ld0 + Ldq )Θ
+
˙ 2 (Ld0 + Ldq )(Ld0 − Ldq )
Θ
#
˙
˙ − Ea (Ld0 − Ldq )Θ
˙ Uα sin δ(Ld0 + Ldq )Θ
Uα cos δ(Ld0 + Ldq )Θ
L
˙ 2 (Ld0 + Ldq )(Ld0 − Ldq )
˙ 2 (Ld0 + Ldq )(Ld0 − Ldq ) dq
Θ
Θ
(3.52)
Ea Uα sin δ
Uα2 Ldq sin 2δ
=
+
˙ 2 (Ld0 + Ldq ) Θ˙ 2 (Ld0 + Ldq )(Ld0 − Ldq )
Θ
Konˇcna enaˇcba za navor v stacionarnem stanju je tako:
Ea Uα
U2
Te =
sin δ + α
ω m xd
2ωm
Ã
!
1
1
−
sin 2δ
xq xd
(3.53)
Za stroj s cilindriˇcnim rotorjem (xd = xq ) ostane samo prvi cˇ len:
Te =
Ea Uα
sin δ
ω m xd
(3.54)
Navorne karakteristike sinhronskega stroja Te = f (δ) so prikazane na sliki 3.8, kjer je za stroj s cilindriˇcnim
rotorjem odvisnost opisana samo z osnovnim harmonikom, za stroj z izraženimi poli pa z vsoto osnovnega
in drugega harmonika.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
40
SINHRONSKI STROJ
Te
vsota (izraženi poli)
osnovni harmonik (cilindriˇcen)
π
2
−π
− π2
π
0
δ
drugi harmonik
Slika 3.8: Navorne karakteristike sinhronskega stroja
3.3 Prehodni pojavi
Model sinhronskega stroja je nelinearen sistem. Model je brez poenostavitev mogoˇce reševati le, cˇ e hkrati
izraˇcunavamo napetostne enaˇcbe (3.30) in mehansko enaˇcbo:
¨ + fΘ
˙ = tp = te ± tm
JΘ
(3.55)
¨ = 0 in Θ
˙ = ω, hitrost vrtenja pa je konstantna.
V ustaljenem stanju je Θ
ˇ opazujemo samo elektriˇcni del modela sinhronskega stroja, lahko ugotovimo, da je s predpostavko
Ce
konstantne hitrosti vrtenja postal linearen.
Elektriˇcne prehodne pojave lahko grobo razvrstimo na:
1. spremembe bremena na generatorju,
2. spremembe enosmernega vzbujanja v generatorju ali motorju in
3. spremembe izmeniˇcne statorske napetosti pri motorju.
Pri prehodni analizi bomo upoštevali tudi vpliv dušilnih navitij. Dušilno navitje na rotorju je v veznem
modelu na sliki 3.9 upoštevano z dodatnima navitjema Q in D. Navitji sta namešˇceni v d in q osi in sta
kratko sklenjeni.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
41
3.3 Prehodni pojavi
d- os
d
id
ud
iv
v
q
q- os
Q
D
uv
iD
iQ
iq
uq
ROTOR
θ˙
STATOR
Slika 3.9: Vezni model sinhronskega stroja, ki omogoˇca dinamiˇcno analizo
Na podlagi pravil, ki jih poznamo iz splošne teorije elektriˇcnih strojev, pripadajo veznemu modelu sinhronskega stroja na sliki 3.9 naslednje napetostne enaˇcbe:





uv
Rv + Lvv p
0
LDv p
Lvq p
0
iv
u  


0
RQ + LQQ p
0
0
LQq p   iQ 
 Q 


 


0
RD + LDD p
LDd p
0
 uD  =  LDv p
  iD 

 


˙
˙   id 
 ud  

Lvd p
−LQd Θ
LDd p
Rd + Ld p
−Lq Θ
˙
˙
˙
uq
Lvq Θ
LQq p
LDq Θ
Ld Θ
Rq + Lq p
iq
Lq = Ld0 − Ldq
(3.56)
Ld = Ld0 + Ldq ,
kjer smo dodatno upoštevali, da je Lαβ = Lβα .
3.3.1 Nenadni simetriˇcni kratki stik statorskih navitij
Pred nastopom kratkega stika (v praznem teku) so napetosti in toki:
u T = [ uv
0 0
ud
uq ]
in
iT = [ iv
0 0
in
iT = [ iv
iQ
0
0]
(3.57)
Po nastopu kratkega stika se oba vektorja spremenita:
u T = [ uv
0 0
0 0
]
iD
id
iq ]
(3.58)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
42
SINHRONSKI STROJ
Pojavi se problem pravilnega upoštevanja zaˇcetnih pogojev. Vektor tokov zapišemo kot vsoto dveh vektorjev. Prvi vektor vsebuje toke pred nastopom kratkega stika, torej zaˇcetne pogoje, drugi pa prehodne.
i = i0 + i∼
(3.59)
u = Z (i0 + i∼ ) = Zi0 + Zi∼
(3.60)
u − Zi0 = Zi∼
(3.61)
Napetostne enaˇcbe se spremenijo:
Vektor i0 vsebuje samo vzbujalni stacionarni tok Iv pred nastopom kratkega stika in potem, ko je kratkostiˇcni prehodni pojav konˇcan.
i0 T = [ Iv 0 0 0 0 ]
(3.62)
ˇ izraˇcunamo produkt Zi0 , dobimo le prvi stolpec ”impedanˇcne” matrike Z, pomnoženo z Iv . Iv je enoCe
smeren in konstanten, zato odpadejo vsi cˇ leni, ki so pomnoženi s p.


Rv Iv

0 




Zi0 = 
0




0 
˙ v
Lvq ΘI
(3.63)
Prvi cˇ len v vektorju (3.63) je enosmerni padec napetosti Uv . Pri izraˇcunu leve strani enaˇcbe (3.61) postane
ta cˇ len zaradi razlike enak niˇc, kar je za nadaljevanje izvajanj ugodno. Zadnji cˇ len v vektorju (3.63) je
˙ v = U0 .
napetost praznega teka Lvq ΘI
Zato ker je:
u − Zi0 T = [ 0 0
0
0
0
U0 ]T ,
(3.64)
dobijo napetostne enaˇcbe po nastopu KS naslednjo obliko:





0
Rv + Lvv p
0
LDv p
Lvd p
0
iv∼
 0  


0
RQ + LQQ p
0
0
LQq p   iQ 

 


 


0
RD + LDD p
LDq p
0
 0  =  LDv p
  iD 

 


˙
˙   id 
 0  

Lvd p
−LQq Θ
LDq p
Rd + Ld p
−Lq Θ
˙
˙
˙
U0
Lvq Θ
LQq p
LDq Θ
Ld Θ
Rq + Lq p
iq
(3.65)
Tok iv∼ je prehodni del vzbujalnega toka in smo ga izraˇcunali z:
iv∼ = iv − Iv
(3.66)
Preostali toki v napetostni enaˇcbi (3.65) so kompletni. Izraˇcun tokov iz napetostne enaˇcbe (3.65) je navidezno preprost:
(3.67)
i = Z−1 u ,
saj ima vektor u le en element razliˇcen od niˇc (stopniˇcna funkcija). Rešitev poišˇcemo v Laplace-ovem
podroˇcju, rezultat pa je podoben tistemu v cˇ asovnem podroˇcju:
I(s) = Z−1 (s)U(s)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(3.68)
43
3.3 Prehodni pojavi
Z−1 (s) je kvocient dveh polinomov. Polinom v števcu je cˇ etrte stopnje, polinom v imenovalcu pa pete
stopnje. Postopek reševanja je naˇceloma razumljiv, ni pa enostaven. Oˇciten problem predstavlja doloˇcitev
inverzne impedanˇcne matrike v Laplace-ovem podroˇcju. Tudi cˇ e bi jo na katerikoli naˇcin bilo mogoˇce dolocˇ iti brez poenostavitev, bi imeli velike težave z interpretacijo rešitev. Vsak izraˇcunan tok bi bil kombinacija
petih osnovnih cˇ lenov, ki imajo v Laplace-ovem podroˇcju obliko:
A
1 + Ts
Rešitev v cˇ asovnem podriˇcju pa je:
(3.69)
t
A(1 − e− T )
(3.70)
Posamezni toki bi torej bili pripadajoˇca linearna kombinacija petih eksponencialnih prispevkov. Dosleden
roˇcni izraˇcun neznanih tokov bi bil brez ustrezne programske podpore na raˇcunalniku popolnoma nesmiseln.
Zato bomo napetostne enaˇcbe (3.65) sinhronskega stroja rešili z nekaterimi smiselnimi poenostavitvami,
zaradi cˇ esar pa tudi rezultati ne bodo povsem toˇcni. Z uporabo Gaussove eliminacije spremenljivk bomo v
napetostnem modelu (3.65) nastopajoˇca toka (spremenljivki) navitij Q in D eliminirali tako, da bo njun vpliv
ohranjen. Eliminacija tokov je ugodna tudi zato, ker ju v dušilnem navitju ne moremo meriti. Mehanizem
Gaussove eliminacije spremenljivk si poglejmo na matriˇcnem zgledu.
Izhodišˇcne napetostne enaˇcbe stroja v matriˇcni obliki u = Zi izrazimo s podmatrikami:
·
kar je enako tudi
¸
·
u1
Z11
=
u2
Z21
Z12
Z22
¸·
¸
i1
,
i2
(3.71)
u1 = Z11 i1 + Z21 i2
u2 = Z21 i1 + Z22 i2
(3.72)
Iz enaˇcbe (3.71) bomo eliminirali podsistem 2 na tak naˇcin, da ga bomo posredno upoštevali v prvem
podsistemu. Iz napetostne enaˇcbe (3.72) izrazimo tok i2 in dobimo:
i2 = Z22 −1 u2 − Z22 −1 Z21 i1
(3.73)
Rezultat vstavimo v enaˇcbo (3.71) in za u1 dobimo:
u1 − Z12 Z22 −1 u2 = Z11 i1 − Z12 Z22 −1 Z21 i1
(3.74)
Napetostna enaˇcba za opis drugega podsistema je izginila, prvo pa lahko zapišemo drugaˇce:
u0 = Z 0 i 1
(3.75)
V enaˇcbi (3.75) nastopa le vektor tokov i1 , vektor tokov i2 je eliminiran, njegov vpliv pa je ohranjen. Tak
naˇcin eliminacije bo v nadaljevanju ugoden, saj so v analiziranem primeru kar štiri navitja v kratkem stiku
in je napetost na njihovih sponkah niˇc.
Vrnimo se k primeru sinhronskega stroja. Matriko Z iz cˇ isto praktiˇcnih razlogov preuredimo iz zaporedja
(v Q D d q) v (q d v D Q) in upoštevajmo, da smo opravili pretvorbo v Laplace-ovo podroˇcje.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
44
SINHRONSKI STROJ
Hkrati Laplace-ov transform zaenkrat cˇ asovno nespremenljive hitrosti vrtenja sinhronskega stroja sΘ(s) v
˙
nadaljevanju oznaˇcimo skrajšano s Θ:


˙
˙
˙
Rq + L q s
Ld Θ
Lvq Θ
LDq Θ
LQq s
 −L Θ
˙
˙ 
Rd + Ld s
Lvd s
LDd s
−LQq Θ
q




Z=
0
Lvd s
Rv + Lvv s
LDv s
0





0
LDd s
LDv s
RD + LDD s
0
LQq s
0
0
0
RQ + LQQ s
(3.76)
V skladu s pokazanim zgledom najprej eliminirajmo navitje Q:
Z0 = Z11 − Z12 Z22 −1 Z21 =

Rq + Lq s
 −L Θ
˙

q


0
0

L2Qq s2
RQ +LQQ s



˙
L2 sΘ

 − Qq
 RQ +LQQ s




0
0
˙
˙
˙
Ld Θ
Lvq Θ
LDq Θ
Rd + L d s
Lvd s
LDq s
Lvd s
Rv + Lvv s
LDv s
LDd s
LDv s
RD + LDD s



−


0 0 0



0 0
0
0
(3.77)
0




0
0
0 0

˙
˙
˙
Ld Θ
Lvq Θ
LDq Θ
Rd + L d s
Lvq s
LDd s
Lvq s
Rv + Lvv s
LDv s
LDd s
LDv s
RD + LDD s
Rq + L∗q s

˙
−L∗q Θ
Z0 = 


0
0





Pri izpeljavi enaˇcbe (3.77) smo uporabili naslednje podmatrike:
Z22 = RQ + LQQ s
Z21 = [ LQq s 0
Z22 −1 Z21 =
h
Z22 −1 =
→
0
LQq s
RQ +LQQ s
1
RQ + LQQ s
0]

0
0 0
i
Z12

LQq s
 −L Θ
˙ 

Qq 
=


0 
0
(3.78)
Matrika Z0 je sestavljena enako kot bi bila brez dušilnega navitja Q. Dušilno navitje spremeni cˇ len Lq v
tako imenovano dušeno preˇcno induktivnost L∗q :
L∗q
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
L2Qq s
= Lq −
RQ + LQQ s
(3.79)
45
3.3 Prehodni pojavi
in predstavlja nekakšno stresanje. L∗q ni cˇ ista induktivnost, ker vsebuje tudi RQ . Samo v stacionarnih
stanjih, ko je s = 0, je L∗q cˇ ista induktivnost. Fizikalni pomen dušene preˇcne induktivnosti L∗q vidimo iz
enaˇcbe:
L2Qq s2
∗
Rq + Lq s = Rq + Lq s −
(3.80)
RQ + LQQ s
Enaˇcba predstavlja transformator s primarnim navitjem d in s sekundarnim navitjem Q v kratkem stiku.
ˇ enaˇcbo (3.80) predstavimo s pripadajoˇcim nadomestnim vezjem, dobimo tako imenovano nadomestno
Ce
vezje sinhronskega stroja v preˇcni smeri, prikazano na sliki 3.10.
Rq
(Lq − LQq )s
Rq + L∗q s
RQ
LQq s
(LQQ − LQq )s
Slika 3.10: Nadomestno vezje sinhronskega stroja v preˇcni smeri
V nadaljevanju eliminiramo tok iD ter s tem zadnjo vrstico in stolpec, ki pripadata dušilnemu navitju D
v vzdolžni osi. Postopek eliminacije je podoben postopku, opisanemu v predhodnem koraku. Rezultat je
matrika dušenih impedanc:


Rq + L∗q s
˙
Z∗ = 
 −L∗q Θ
0

0

˙
˙
Ld Θ
Lvq Θ

 

−

Rd + Ld s
Lvq s
0


Lvq s
Rv + Lvv s
0
˙
L2Dq sΘ
RD +LDD s
L2Dq s2
RD +LDD s
LDq LDv s2
RD +LDD s
˙
LDq LDv sΘ
RD +LDD s




LDq LDv s2 
RD +LDD s 


(3.81)
L2Dv s2
RD +LDD s
Z vpeljavo novih oznak lahko matriko dušenih impedanc (3.81) zapišemo tudi drugaˇce:

˙
˙ 
Rq + L∗q s
L∗d Θ
L∗vq Θ

˙
Z∗ = 
 −L∗q Θ
Rd + L∗d s
L∗vq s  ,
0
L∗vq s
Rv + L∗v s
(3.82)
kjer so dušene induktivnosti v vzdolžni osi:
L∗d
= Ld −
L2Dq s
RD +LDD s
L∗vq = Lvq −
LDq LDv s
RD +LDD s
L∗v
L2Dv s
RD +LDD s
= Lvv −
(3.83)
Dobili smo popolnoma enako zgradbo matrike kot brez dušilnega navitja, le da namesto nedušenih induktivnosti nastopajo dušene induktivnosti v preˇcni in vzdolžni osi. Dušene induktivnosti povzroˇcita dušilni
kratkostiˇcni navitji Q in D na rotorju. Vpliv dušilne kletke je posredno upoštevan v impedanˇcni matriki
(3.82), cˇ eprav sta v napetostnem zapisu s to isto matriko toka dušilnih navitij eliminirana.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
46
SINHRONSKI STROJ
Preden opravimo eliminacijo vzbujalnega navitja, moramo iz pripadajoˇcega napetostnega zapisa, v katerega
vstavimo impedanˇcno matriko (3.82), izraziti prehodno komponento vzbujalnega toka iv∼ . Iz enaˇcbe (3.84)
torej izraˇcunamo vzbujalni tok:
uv = 0 = L∗vq sid + (Rv + L∗v s)iv∼
iv∼ = −
(3.84)
L∗vq s
id
Rv + L∗v s
(3.85)
Tok iv∼ bomo torej lahko izraˇcunali takoj, ko bo doloˇcen tok id .
V nadaljevanju opravimo še eliminacijo vzbujalnega navitja v. V primeru analize prehodnega pojava ob nastanku trifaznega simetriˇcnega kratkega stika na statorskih sponkah iz predhodnega obratovanja v praznem
teku je tudi vzbujalno navitje v kratkem stiku, saj smo predhodno izloˇcili stacionarni tok Iv in imamo v
pripadajoˇcem napetostnem modelu upoštevan samo prehodni tok i∼ . Eliminacijo opravimo podobno kot v
prvih dveh primerih. Rezultat je dušena impedanˇcna matrika:
"
Z∗∗ =
"
Z∗∗ =

#
0
˙
Rd + L∗q s
L∗d Θ

−
˙
−L∗q Θ
Rd + L∗d s
0
˙
Rd + L∗q s
L∗∗
d Θ
˙
−L∗q Θ
Rd + L∗∗
d s
˙
L∗2
vq sΘ
Rv +L∗v s
2
L∗2
vq s
Rv +L∗v s



(3.86)
#
,
kjer je vzdolžna dušena induktivnost celotnega stroja enaka:
∗
L∗∗
d = Ld −
L∗2
vq s
Rv + L∗v s
(3.87)
Dušeno induktivnost (3.87) je z upoštevanjem okrajšav (3.83) mogoˇce predstaviti z nadomestnim vezjem
za vzdolžno os sinhronskega stroja na sliki 3.11. Trditev ni preveˇc oˇcitna. Z uporabo pravil za raˇcunanje
nadomestnih impedanc vzporedno in zaporedno vezanih elementov je, izhajajoˇc iz vezja na sliki 3.11,
veliko enostavneje dokazati obratno trditev, da nadomestnemu vezju sinhronskega stroja v vzdolžni osi na
sliki 3.11 pripada nadomestna impedanca Rd +L∗∗
d . Nadomestno vezje sinhronskega stroja v vzdolžni osi je
na podlagi slike 3.11 takšno, kot bi ga imel transformator s tremi navitji v, D in Q v kratkem stiku. Z Rv in
Lvv sta vkljuˇceni tudi upornost in induktivnost vzbujalnega navitja, torej impedanca celotnega vzbujalnega
tokokroga. Hkrati s poenostavitvijo impedanˇcne matrike so se na videz poenostavile tudi napetostne enaˇcbe,
ki opisujejo razmere ob nastanku simetriˇcnega kratkega stika na statorskih sponkah. Enaˇcbe imajo obliko
·
#· ¸
"
¸
˙
L∗∗
Rd + L∗q s
iq
u0
d Θ
=
∗∗
∗
˙
0
Rd + Ld s id
−Lq Θ
(3.88)
Iz enaˇcbe (3.88) lahko razmeroma preprosto izraˇcunamo oba toka in dobimo:
iq =
|Dq |
u0 (Rd + L∗∗
d s)
´
=³
∗∗ ∗ ˙ 2
|D|
Rd + L∗q s (Rd + L∗∗
d s) + Ld Lq Θ
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(3.89)
47
3.3 Prehodni pojavi
Rd (Ld −
Lvq LDq
LDv
L
Dq 2
Rv ( LDv
)
)s
L
vq 2
(( LvD
) LDD −
Rd + L∗∗
d s
(
Lvq LDq
LDq
)s
L
Lvq LDq
LvD
Dq 2
(( LDv
) Lvv −
L
)s
Lvq LDq
LDv
)s
2
vq
)
RD ( LvD
Slika 3.11: Nadomestno vezje sinhronskega stroja v vzdolžni smeri
˙
−u0 L∗q Θ
|Dd |
³
´
id =
=
∗∗ ∗ ˙ 2
|D|
Rd + L∗q s (Rd + L∗∗
d s) + Ld Lq Θ
(3.90)
Z opisanim postopkom Gaussove eliminacije smo matriko impedanc in napetostni zapis (3.88) zelo poeˇ v nastavku obeh predhodno omenjenih rešitev
nostavili, kar pa ne velja za obe rešitvi (3.89) in (3.90). Ce
upoštevamo okrajšave (3.79) in (3.83), dobimo v števcu izraza za iq še vedno s3 , za id pa s4 , v imenovalcu
obeh pa s5 . Ugotovitev, da nastavka rešitev za oba modelna tokova s tem nismo neposredno poenostavili,
je popolnoma oˇcitna, izrazili pa smo ju na tak naˇcin, da bo poenostavitve na smiselni naˇcin v nadaljevanju
sploh mogoˇce napraviti.
a) Doloˇcitev zaˇcetnega toka kratkega stika
Najprej bomo v enaˇcbah (3.89) in (3.90) zanemarili vse ohmske upornosti. Zanemaritev utemeljujemo
z dejstvom, da razmeroma male ohmske upornosti navitij na cˇ asovne poteke tokov v prvih trenutkih po
nastopu kratkega stika sploh ne vplivajo bistveno. Trditev pojasnimo s primerom izraˇcuna vklopnega toka
v preprostem R, L vezju.
Elektriˇcne razmere v R, L vezju opišemo z enaˇcbo:
di
(3.91)
dt
Predpostavimo, da je tok i v zaˇcetnem trenutku niˇc in da je napetost u, podobno kot u0 v (3.89) in (3.90),
stopnica z vrednostjo U . Rešitev enaˇcbe (3.91) je:
u = Ri + L
´
R
U³
1 − e− L t
(3.92)
R
Rešitev (3.92) v dovolj mali okolici zaˇcetnega trenutka nadomestimo s prvima dvema cˇ lenoma Taylorjeve
vrste in dobimo:
U
.
(3.93)
i(0 + h) = i(0) + hi0 (0) = h
L
Mali odmik h lahko v okolici t = 0 nadomestimo kar s t. Na podlagi zapisa (3.93) ugotavljamo, da je
cˇ asovni potek toka v prvih trenutkih v okolici t = 0 neodvisen od ohmskih upornosti, kar je presenetljiva
ugotovitev.
i=
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
48
SINHRONSKI STROJ
˙ = ω = konstanta,
Ob zanemaritvi vseh ohmskih upornosti in pri upoštevanju konstantne hitrosti vrtenja Θ
∗
∗∗
ˇ
sta Lq in Ld cˇ isti induktivnosti. Ce ju pomnožimo z ω, dobimo izredno pomembni zaˇcetni induktivni
upornosti:
!
Ã
L2vq LDD + L2Dd Lvv − 2Lvq LDd LvD
00
Xd = ω Ld −
(3.94)
LDD Lvv − L2vD
in
L2
00
Xq = ωLq − ω Qq
(3.95)
LQQ
00
00
Xd je vzdolžna zaˇcetna induktivna upornost sinhronskega stroja, Xq pa je preˇcna zaˇcetna induktivna upornost sinhronskega stroja.
Z upoštevanjem obeh zaˇcetnih induktivnih upornosti v enaˇcbah (3.89) in (3.90) dobimo za toka iq in id
preoblikovani enaˇcbi:
ωu0 (s)s
ω 2 u0 (s)
iq = 00 2
(3.96)
in
i
=
−
d
00
Xq (s + ω 2 )
Xd (s2 + ω 2 )
Simetriˇcen kratki stik na statorskih sponkah je nastopil iz predhodnega praznega teka, zato so zaˇcetne
vrednosti tokov enake niˇc. Oba statorska toka z inverzno Laplace-ovo transformacijo pretvorimo cˇ asovno
podroˇcje. Z upoštevanjem u0 (s) = U0 dobimo:
iq =
U0
sin ωt
Xq00
in
id = −
U0
00 (1 − cos ωt)
Xd
(3.97)
Tok v navitju α na statorju dobimo z uporabo transformacije (3.26):
iα = iq sin Θ + id cos Θ
(3.98)
Vzemimo, da je Θ = ωt + Θ0 , kjer je kot Θ0 kot med osjo navitja α in rotorjem v trenutku nastopa kratkega
stika. Z upoštevanjem predhodno zapisanega dobimo:
iα =
U0
U0
00 (1 − cos ωt) cos Θ
00 sin ωt sin Θ −
Xq
Xd
"
U0 cos Θ0 cos (2ωt + Θ)
=
−
Xq00
2
2
#
(3.99)
"
U0
cos Θ0 cos (2ωt + Θ0 )
− 00 cos (ωt + Θ0 ) −
−
Xd
2
2
#
Enaˇcbo (3.99) preoblikujemo in dobimo:
iα =
n
U0
cos (ωt + Θ0 )
Xq00
1
+U0
2
+U0
1
2
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
Ã
Ã
1
1
00 +
Xd
Xq00
1
1
00 −
Xd
Xq00
izmeniˇcna komponenta
(
!
cos Θ0
!
cos (2ωt + Θ0 )
enosmerna komponenta, ki poskrbi,
da tok zaˇcne iz niˇc


komponenta, odvi-
sna od dvojne fre-

kvence, zaradi iz-
raženosti polov
(3.100)
49
3.3 Prehodni pojavi
Tok iβ preprosto izraˇcunamo na podlagi toka iα tako, da namesto kota Θ0 v enaˇcbi (3.100) uporabimo
(Θ0 + 90o ). Za doloˇcitev trifaznih tokov pa bi morali opraviti še dvofazno – trifazno pretvarjanje.
b) Doloˇcitev prehodnega toka kratkega stika
Tudi pri doloˇcitvi prehodnega toka kratkega stika bomo opravili nekaj poenostavitev. Pri poenostavitvah se
moramo zavedati, da so ohmske upornosti sicer male in jih smemo izjemoma zanemariti, vendar ne tedaj,
ko so pomnožene z zelo velikimi vrednostmi, kot je na primer lahko cˇ as t. Mogoˇce je namreˇc, da cˇ len Rt
ni zanemarljiv.
Izraˇcun prehodnega toka bomo opravili postopoma. Najprej bomo opravili poenostavitev skupnega imenovalca za toka iq in id .
Imenovalec je:
Ime =
³
´
∗ ∗∗ 2
Rd + L∗q s (Rd + L∗∗
d s) + Lq Ld ω
"
=
L∗q L∗∗
d
!
Ã
Ã
Rd
Rd
Rd2
2
s2 +
+
s
+
ω
+
L∗q
L∗∗
L∗q L∗∗
d
d
!#
(3.101)
∗
Upoštevamo, da je upornost Rd mala in da smemo Rd2 v primerjavi z ω 2 L∗q L∗∗
d zanemariti, za Lq pa vzamemo
že znano enaˇcbo:
L2Qq s
∗
Lq = Lq −
RQ + LQQ s
1
LQQ s + RQ
´
= ³
∗
Lq
LQQ Lq − L2Qq s + RQ Lq

=
LQQ

2 
LQQ Laq − LQq s +
RQ
LQQ
RQ Laq
Laq LQQ −L2Qq
s+
(3.102)



00
Z vpeljavo Xq lahko izraz (3.102) zapišemo v obliki:
ω s+α
1
= 00
,
∗
Lq
Xq s + β
(3.103)
kjer smo uporabili novi oznaki:
α=
RQ
LQQ
β=
in
RQ Laq
Laq LQQ − L2Qq
(3.104)
RQ je majhen in z razvojem (3.103) v potenˇcno vrsto za RQ dobimo prvo aproksimacijo:
1 .
=
L∗q
Ã
ω
Xq00
!
+ kRQ
(3.105)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
50
SINHRONSKI STROJ
Od tod sledi:
Ã
!
Rd
. ωRd s
s=
∗
Lq
Xq00
(3.106)
Vse ostale cˇ lene smo zanemarili, saj so produkti RQ Rd mali. Podobno lahko vzdolžno os opišemo z
Ã
Rd .
s=
L∗∗
d
Imenovalec je zdaj:
"
.
s2 + ωRd
Ime = L∗q L∗∗
d
Vpeljemo srednjo vrednost:
1
1
00 =
Xh
2
Ã
ωRd s
00
Xd
Ã
!
(3.107)
1
1
00
00 +
Xq
Xd
1
1
00
00 +
Xq
Xd
!
#
s+ω
2
(3.108)
!
(3.109)
in razdelimo izraz v oklepaju enaˇcbe (3.108) na dva dela, da dobimo:
Ã
ωRd
.
s + jω + 00
Ime = L∗q L∗∗
d
Xh
!Ã
ωRd
s − jω + 00
Xh
!
(3.110)
c) Rešitev za preˇcni tok iq
Števec enaˇcbe (3.89) za izraˇcun toka iq je:
u0 (Rd + L∗∗
d s) ,
kar lahko napišemo kot:
Ã
u0 L∗∗
d
R
s + ∗∗
Ld
!
(3.111)
"
ωRd
.
= u0 L∗∗
s + 00
d
Xd
#
(3.112)
00
Pri tem smo ponovno vpeljali Xd , zanemarili pa smo produkte upornosti.
∗
V rešitvi za iq se zdaj krajša L∗∗
d v števcu in imenovalcu, v imenovalcu pa ostane le Lq . Upoštevamo še
izraz (3.105) brez drugega cˇ lena in dobimo:
¶
µ
iq = µ
ω
Xq00
s + jω +
s+
ωRd
00
Xd
u0
¶µ
ωRd
00
Xh
¶
s − jω +
ωRd
00
Xh
(3.113)
Z upoštevanjem u0 (s) = U0 je rešitev po zanemaritvi upornosti (v eksponentih upornosti ne zanemarimo)
v cˇ asovnem podroˇcju:
µ
¶
−
U0
iq = 00 sin ωt e
Xq
Zaˇcetna cˇ asovna konstanta dušenja je:
t
(3.114)
00
X
Th = h
ωRd
00
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
ωRd
00
X
h
(3.115)
51
3.3 Prehodni pojavi
d) Rešitev za vzdolžni tok id
V imenovalec enaˇcbe (3.90) lahko za izraˇcun vzdolžnega toka id vstavimo že poprej izpeljani izraz (3.110),
imenovalca za iq in id v nastavku rešitve sta enaka, in tako dobimo:
id =
=
−u0 L∗q ω
µ
¶µ
L∗q L∗∗
s + jω +
d
ωRd
00
Xh
¶
s − jω +
ωRd
00
Xh
(3.116)
−u0 ω
¶µ
µ
L∗∗
s + jω +
d
ωRd
00
Xh
¶
s − jω +
ωRd
00
Xh
∗
V izrazu za id je v primerjavi s tistim za iq v števcu ω namesto s, v imenovalcu pa L∗∗
d namesto Lq , kar je
gotovo zahtevnejše za reševanje. Najprej poglejmo podrobneje izraz za L∗∗
d .
ˇ v enaˇcbi za L∗∗
Ce
d upoštevamo uporabljene okrajšave, dobimo:
h
L∗∗
d =
i
(Lvv LDD − L2vD ) Ld − L2Dd Lvv − L2vq LDD + 2Lvq LDd LvD s2
(Lvv LDD − L2vD ) s2 + (Lvv RD + LDD Rv ) s + Rv RD
+
L2vv RD
(3.117)
L2DD Rv ] s
[(Lvv RD − LDD Rv ) Ld −
−
+ Rv RD Ld
2
(Lvv LDD − LvD ) s2 + (Lvv RD + LDD Rv ) s + Rv RD
Enaˇcbe ne smemo poenostaviti tako, da enostavno zanemarimo produkte upornosti. V tem primeru bi lahko
enaˇcbo krajšali s s in izgubili en koren, oziroma en koren bi bil enak niˇc. Zelo mali koren v imenovalcu
operatorske enaˇcbe predstavlja zelo dolgo cˇ asovno konstanto. To je cˇ len, ki definira poˇcasne spremembe in
ga ne smemo zanemariti.
ˇ
Clene
s produkti upornosti, ki so samostojni, moramo torej ohraniti, da dobimo upoštevane tudi poˇcasne
prehode. Vseeno pa moramo najti ustrezne poenostavitve, ki bodo omogoˇcile rešitev enaˇcbe. Poenostavitve bomo opravili z upoštevanjem nekaterih fizikalnih dejstev. Pri sinhronskem stroju ima vzbujalno navitje
v zelo velike lastne in medsebojne induktivnosti ter relativno male upornosti. Ima torej veliko cˇ asovno
konstanto.
ˇ
Smiselno poenostavitev izraza za L∗∗
d opravimo tako, da ne izgubimo malega korena v imenovalcu. Ce
zanemarimo medsebojne vplive dušilnega navitja, oziroma vzamemo, da je LDd = LvD = 0, lahko v L∗∗
d
krajšamo faktorje (RD + LDD s) ter LDD in dobimo:
³
.
L∗∗
d =
´
Lvv Ld − L2vq s + Ld Rv
Lvv s + Rv
(3.118)
Ta približna induktivnost bo torej relativno dobro ponazorila prehod med zaˇcetnim in konˇcnim kratkim
stikom in je definirana z vzbujalnim navitjem, ki je transformatorsko vezano s statorskim navitjem, katero
ˇ zdaj poenostavimo in vzamemo, da je Rv = 0 in ga pomnožimo z ω, dobimo namesto
je v kratkem stiku. Ce
zaˇcetne prehodno vzdolžno reaktanco stroja, ko izginejo vplivi dušilne kletke.
Ã
Xd0
L2
= ω Ld − vq
Lvv
!
(3.119)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
52
SINHRONSKI STROJ
ˇ len
Poglejmo imenovalec celotnega izraza za L∗∗
d . Imenovalec sestavimo tako, da bo pravkar dobljeni c
∗∗
2
(Lvv + Rv ) eden od faktorjev imenovalca v izrazu za Ld . Pri tem naj ostaneta cˇ lena ob s in cˇ len brez s v
prvotnem in novem imenovalcu za L∗∗
d enaka. Imenovalec ima ob upoštevanju zapisanega obliko
Ã
Lvv LDD − L2Dv
Ime = (Lvv s + Rv )
s + RD
Lvv
!
Razlika proti natanˇcnemu imenovalcu je le v cˇ lenu z operatorjem s.
Prvotno je veljalo:
µ
Lvv RD + LDD Rv = Rv RD
sedaj pa velja:
Lvv LDD
+
Rv
RD
¶
,
Ã
Lvv LDD − L2Dv
Lvv LDD
L2vD
Rv = Rv RD
+
−
Lvv RD +
Lvv
Rv
RD
Lvv RD
!
Lvv
LDD
>>
,
Rv
RD
kjer sta:
Lvv
Rv
cˇ asovna konstanta vzbujanja pri odprtih ostalih vezjih in
pri odprtih vezjih.
LDD
RD
cˇ asovna konstanta vzdolžne dušilne kletke
s– cˇ len v imenovalcu je sestavljen iz dveh delov, enega zelo velikega in drugega zelo malega. Veliki del
( LRvvv ) je predstavljen natanˇcno oziroma pravilno. Pogrešek poenostavitve je pri malem, ki je v natanˇcnem
zapisu
LDD
LDD
L2vD
,
v približku pa
−
RQ
RD
Lvv RD
Razstavljanje imenovalca na faktorje lahko zdaj opravimo s približno formulo, zraven pa upoštevajmo novi
oznaˇcbi za cˇ asovne konstante:
L2
LDD − LDv
Lvv
00
0
vv
T0 =
in T0 =
(3.120)
Rv
RD
00
T0 je zaˇcetna cˇ asovna konstanta praznega teka oziroma dušilnega navitja s kratko vezanim vzbujalnikom.
T00 je prehodna cˇ asovna konstanta praznega teka oziroma vzbujanja.
Zdaj je imenovalec:
³
´
00
.
Ime = Rv RD (1 + T00 s) 1 + T0 s
(3.121)
cba 3.117).
Podobno lahko približno razstavimo na faktorje tudi števec L∗∗
d (enaˇ
Šte = [(Ld Lvv − L2dv ) s + Ld Rv ] ·
·µ
LDD −
L2vD Ld +L2a3 Lvv −2Ldv LDd LvD
Ld Lvv −L2dv
¸
¶
(3.122)
s + RD
Prvi cˇ len s s2 in tretji brez s sta enaka kot pri pravem. Srednji cˇ len pri s je sestavljen iz velikega in malega
dela. Pri tem je veˇcji del natanˇcen, manjši pa je nekoliko premajhen.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
53
3.3 Prehodni pojavi
Da poenostavimo števec, vpeljemo dve novi cˇ asovni konstanti:
Ã
L2
1
T =
Lvv − vq
Rv
Ld
!
0
in
(3.123)
Ã
1
L2 Ld + L2a3 Lvv − 2Ldv LDd LvD
T =
LDD − DD
RD
Ld Lvv − L2dv
!
00
(3.124)
T 0 je prehodna cˇ asovna konstanta vzbujalnega navitja ob kratkem stiku statorskega navitja.
00
T je zaˇcetna, kratkostiˇcna cˇ asovna konstanta dušilnega navitja pri kratkem stiku.
Števec je tako:
³
´
00
Šte = Ld Rv RD (1 + T 0 s) 1 + T s
Celotni izraz za L∗∗
d je približno:
³
L∗∗
d = Ld
Hitro vidimo, da je:
´
00
(1 + T 0 s) 1 + T s
³
(3.125)
00
´
(3.126)
(1 + T00 s) 1 + T0 s
T00
Xd
ωLd
¶
= 0 = µ
0
L2dv
T
Xd
ω Ld − Lvv
00
00
T0
Xd0
T00 T0
Xd
00
00
00 =
00 =
0
T
Xd
TT
Xd
Tako doloˇceni izraz za L∗∗
cbo za id in enaˇcbo (3.127) rešimo v Laplace-ovem podroˇcju.
d vstavimo v enaˇ
³
id =
´
00
−ω (1 + T00 s) 1 + T0 s u0
µ
Ld (1 +
T 0 s) (1
¶µ
ωRd
00
Xh
00
+ T s) s + jω +
¶
s − jω +
(3.127)
ωRd
00
Xh
Tok id v vzdolžni smeri ima po inverzni transformaciji v cˇ asovno podroˇcje z upoštevanjem u0 (s) = U0
naslednjo obliko:
"
id = −U0
Ã
1
1
1
+
−
0
Xd
Xd Xd
!
Ã
− Tt0
e
1
1
+
00 −
Xd
Xd0
!
−
e
t
00
T
− t00
1
− 00 cos ωt e Th
Xd
#
(3.128)
00
X
00
Th = h
ωRd
Tok v navitju α dobimo z inverzno transformacijo (3.26).
iα = iq sin Θ + id cos Θ
·
iα = −U0
¶
µ
1
Xd
+U0 X100
h
e
+
−
t
00
T
h
Θ = ωt + Θ0
in
1
Xd0
−
1
Xd
µ
t
e− T 0 +
¶
1
00
Xd
−
·
cos Θ0 +
U0 12
1
00
Xd
−
1
00
Xq
1
Xd0
¸ −
e
e
t
00
T
h
−
t
00
T
¸
cos (ωt + Θ0 )
(3.129)
cos (2ωt + Θ0 )
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
54
SINHRONSKI STROJ
V navitju β je tok premaknjen za 90o , oziroma kot Θ0 v transformaciji nadomestimo z (Θ0 + 90o ). Poteke
trifaznih tokov bi dobili z dvofazno – trifaznim pretvarjanjem.
Statorski toki v navitjih vsebujejo tri prispevke:
1. Izmeniˇcna komponenta zaˇcne z zelo veliko zaˇcetno vrednostjo
00
U0
00 ,
Xd
ki se z zaˇcetno cˇ asovno konstanto T
00
U0
hitro zmanjša na prehodno vrednost X
je dana v glavnem s statorskim kletkinim in rotorskim stre0 . T
d
0
sanjem. T je veliko daljša, ker jo doloˇca stresanje in polje vzbujalnega navitja. Izmeniˇcne komponente
so v trifaznem sistemu v vseh treh navitjih enake in premaknjene za 120o .
2. Enosmerna komponenta ( XU000 cos Θ0 ) daje zaˇcetni celotni tok v vsaki fazi, enak niˇc. Te komponente se od
h
00
navitja do navitja moˇcno razlikujejo. Komponenta hitro izgine s cˇ asovno konstanto Th , ki je v glavnem
00
dana z Xh .
3. Komponenta z dvojno frekvenco je v vseh treh navitjih enaka, le da je premaknjena. Nastane samo pri
00
izraženosti polov na rotorju in izgine enako hitro kot enosmerna s Th .
f) Rešitev za rotorski tok iv
Že prej smo izraˇcunali, da je prehodna komponenta vzbujalnega toka:
iv∼ =
L∗vq s
id
Rv + L∗v s
(3.130)
ˇ za id in dušene induktivnosti vstavimo predhodno izraˇcunane vrednosti, dobimo:
Ce
iv∼ =
(Lvq LDD − LDd LDv ) s2 + Lvq RD s
id
(Lvv LDD − L2Dv ) s2 + (Lvv RD + LDD Rv ) s + Rv RD
(3.131)
ˇ
Clen
z daljšo cˇ asovno konstanto dobimo, cˇ e zanemarimo dušilno navitje, oziroma cˇ e vzamemo, da je LDd =
LDv = 0 in krajšamo z (RD +LDD s). Za števec dobimo LvD , za imenovalec pa (Rv +Lvv s). Predpostavimo,
da sta to faktorja pravega imenovalca in v rešitev vpeljimo novo cˇ asovno konstanto.
³
iv∼ =
00
´
Ldv s 1 + T1 s
³
00
µ
00
´ id
Rv (1 + T00 s) 1 + T0 s
T1 =
La3 LDv
1
LDD −
RD
Ldv
(3.132)
¶
Zdaj vstavimo vrednosti za id in za u0 = ωLdv Iv in dobimo:
Ã
iv∼ =
L2dv Iv
³
!
Rv Ld
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
00
´
ω 2 1 + T1 s s
µ
(1 +
T 0 s) (1
00
+ T s) 1 + jω +
ωRd
00
Xh
¶µ
¶
1 − jω +
ωRd
00
Xh
(3.133)
55
3.3 Prehodni pojavi
Rešitev te enaˇcbe za celotni vzbujalni tok iv = Iv + iv∼ je:
Ã
!
"
Ã
00
t
Xd − Xd0
T
iv = Iv +
Iv e− T 0 − 1 − 100
0
Xd
T
!
−
e
t
00
T
00
T1 − Tt00
− 00 e h cos ωt
T
#
(3.134)
Poleg prvotnega toka Iv se pojavi v rotorju še zelo dolgo trajajoˇc in velik dodatni prehodni tok. Zaˇcetno
povišanje in izmeniˇcna komponenta sta kratkotrajna.
3.3.2 Mehanski prehodni pojavi
Ravnotežna navorna enaˇcba:
J δ¨ + Dδ˙ + f (δ) = tm
(3.135)
kjer so δ, δ˙ in δ¨ kolesni kot ter njegova cˇ asovna odvoda, kotna hitrost in kotni pospešek.
Oznake:
• f (δ) – sinhronizacijski navor sinhronskega stroja, ki je v splošnem nelinearna funkcija kolesnega kota.
Linearizacijo je mogoˇce opraviti samo za male odmike v okolici doloˇcene delovne toˇcke.
• tm – zunanja motnja. Ta navor je pogosto niˇc, zato se stroj poskuša sam sinhronizirati.
• D – koeficient dušenja vsebuje viskozno trenje in elektromagnetni navor dušilne kletke in je, podobno
˙ Konstanten je samo v
kot pri asinhronskem stroju, odvisen od slipa. D je lahko nelinearna funkcija δ.
linearnem delu karakteristike asinhronskega navora.
• J – vztrajnostni moment, preraˇcunan na os sinhronskega stroja. Definiran je z naslednjim izrazom:
i
mD2 h
J=
kgm2
4
in je veˇcinoma konstanten, cˇ eprav je lahko pri pogonu nekaterih premoˇcrtnih ali nihajoˇcih gibanj tudi
nelinearen (kompresor ali diesel motor). Pri tem so:
– m – masa rotorja,
– D – premer rotorja in
– mD2 – zamašni moment.
Ko sta J in D konstantna, f (δ) pa je linearna funkcija δ okrog delovne toˇcke, dobimo linearizirani model
odstopanj:
J∆δ¨ + ∆Dδ˙ + Tsin ∆δ = ∆tm ,
(3.136)
kjer je Tsin vrednost sinhronizacijskega navora v delovni toˇcki, ki je definirana v nadaljevanju. Enaˇcbo (3.136)
delimo z J in jo zapišemo takole:
∆tm
,
∆δ¨ + 2ζωn ∆δ˙ + ωn2 ∆δ =
J
(3.137)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
56
SINHRONSKI STROJ
kjer sta:
s
ωn =
Tsin
J
D
ζ= √
2 JTsin
frekvenca nedušenega nihanja in
koeficient dušenja.
Kolesni kot v stacionarnem stanju (∆δ¨ = ∆δ˙ = 0) je:
∆δ∞ =
Tm
Jωn2
(3.138)
Obliko odziva doloˇca karakteristiˇcna enaˇcba:
s2 + 2ζωn s + ωn2 = 0
(3.139)
Stopniˇcni odziv je:
Ã
∆δ(t) = ∆δ∞
µ
q
e−ξωn t
1− √
·
sin
ω
1 − ζ2 · t − ϕ
n
1 − ζ2
kjer je:
√
ϕ = arctan
¶!
,
(3.140)
1 − ζ2
ζ
Doloˇcitev koeficienta dušenja D
Izhajamo iz enaˇcbe za navor asinhronskega stroja v Laplace-ovem podroˇcju, ki jo poznamo iz splošne teorije
elektriˇcnih strojev:


TDe =
m1 
³
ωS
RS +
kjer je slip je definiran kot:
s :=
0 ´2
RR
s
US2
+ (XσS +
0
XσR
)2
0
 RR
,

s
δ˙
ωs − ωm
=
ωs
ωs
(3.141)
(3.142)
R0 2
Pri malih slipih (s je v okolici 0) v imenovalcu predhodne enaˇcbe cˇ len sR po velikosti prevlada nad vsemi
drugimi, zato ostale cˇ lene zanemarimo. Enaˇcba (3.141) se zato poenostavi:
TDe =
m1 US2
s
0
ωs RR
(3.143)
V enaˇcbo (3.143) uvrstimo oznake, ki so uporabljene pri obravnavi sinhronskega stroja in dobimo:
TDe =
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
m1 Ua2
s,
0
ωs RD
(3.144)
57
3.3 Prehodni pojavi
0
kjer je US napetost na sponkah stroja, m1 je število faz, RD
pa je nadomestna upornost dušilne kletke.
Rešitev v cˇ asovnem podroˇcju je:
m1 Ua2 δ˙
TDe =
(3.145)
= De δ˙ ,
0
ωs RD
ωs
kjer je:
m1 U 2
De = 2 0a
ωs RD
elektriˇcno dušenje, ki ga moramo poveˇcati še za mehansko trenje. Tako je skupno dušenje:
D = De + Dviskozni
Sinhronizacijski navor f (δ)
Sinhronski stroj s cilindriˇcnim rotorjem ima navor v skladu z enaˇcbo (3.54):
m1 Ea Ua
Te =
sin δ = Tom sin δ
(3.146)
ω m xd
Predpostavimo, da stroj obratuje stacionarno pri kotu δ0 (slika 3.12). Spremembi obremenitve, ki jo smatramo kot motnjo v sistemu, ustreza novo stacionarno stanje δ∞ . Sinhronizacijski navor je v δ = δ∞ v
skladu s sliko 3.12 definiran z:
¯
dTe ¯¯
Tsin =
(3.147)
¯
= Tom cos δ∞
dδ ¯δ∞
T
Tom
δ0
δ∞
π
2
π
δ
Slika 3.12: Interpretacija sinhronizacijskega navora
Elektriˇcni kot δ spremenimo v mehanski z upoštevanjem števila polovih parov n:
δ
⇒ Tsin = Tom n cos δm = f δm
(3.148)
δm =
n
Pri stroju z izraženimi poli je doloˇcitev f (δ) nekoliko bolj zamudna, saj je poleg sinhronskega navora treba
upoštevati še reluktanˇcnega.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
58
SINHRONSKI STROJ
Doloˇcitev dinamiˇcne stabilnosti po metodi enakih površin
Pri doloˇcitvi dinamiˇcne stabilnosti z metodo enakih površin predpostavimo, da je dušenje enako niˇc. Glede
na to, da je v realnih razmerah dušenje vedno prisotno in nikdar ni enako niˇc, omenjena predpostavka
ˇ v analizi dokažemo, da je
pomeni, da bomo analizirali najneugodnejši primer, ki praktiˇcno ni mogoˇc. Ce
sistem stabilen v primeru, ko je dušenje enako niˇc, potem lahko upraviˇceno trdimo, da bo sistem z doloˇceno
stopnjo dušenja zagotovo stabilen.
Analiza stabilnosti je grafiˇcno predstavljena na sliki 3.13. Predpostavimo, da neobremenjen stroj (toˇcka 0)
obremenimo, in da bo po konˇcanem prehodnem pojavu prešel v toˇcko δ∞ . Pri prehodu iz enega stacionarnega stanja v drugo bo rotor stroja akumuliral kinetiˇcno energijo, ki je premosorazmerna površini med
toˇckami 0AB0 (površina I). Zaradi dušenja niˇc bo v prenihaju enako energijo, ki je premosorazmerna površini BCDB (površina II), tudi oddal. Površini I in II sta torej enaki.
Stabilnostni kriterij je enostaven in pravi, da bo sistem stabilen, cˇ e toˇcka C leži nad toˇcko B, kar je v primeru
na sliki 3.13 izpolnjeno.
T
C
II
E
A
B
D
I
π
2
0
δ0
δ∞
δmax
π
δ
Slika 3.13: Doloˇcitev stabilnosti s pomoˇcjo metode enakih površin
Stabilnost je mogoˇce izboljšati s poveˇcanjem vzbujalnega toka, saj z njegovim poveˇcanjem v ustreznem
sorazmerju navor iz polno izrisane krivulje poveˇcamo na cˇ rtkano izvleˇceno vrednost (slika 3.14). Ukrep je
seveda samo kratkotrajen, saj se s poveˇcanjem vzbujalnega toka poveˇca tudi segrevanje, kar je za kratek cˇ as
dopustno. S poveˇcanjem vzbujanja se v skladu s skico na sliki 3.14 toˇcke A, B, C, D in E premaknejo višje
00
v A”, B”, C”, D” in E”, površine pa se tudi spremenijo v I” in II”. Toˇcka δmax se ob izpolnjenem pogoju
I”=II” pomakne precej v levo, v okolico kota δ = π2 .
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
59
3.4 Dinamiˇcni model sinhronskega stroja v obliki blokovne sheme
T
C”
II”
B”
C
D”
E”
A”
I”
II
E
A
B
D
I
00
δmax
0
δ0
δ∞
δmax
π
δ
Slika 3.14: Izboljšanje stabilnosti s pomoˇcjo poveˇcanja vzbujalnega toka
3.4 Dinamiˇcni model sinhronskega stroja v obliki blokovne sheme
Napetostne enaˇcbe in ravnotežna navorna enaˇcba so:
ud = R d i d + L d
div
diD
did
˙ (Lq iq + LQd iQ )
+ Lvq
+ LDd
−Θ
dt
dt
dt
uv = Rv iv + Lvq
did
div
diD
+ Lvv
+ LDv
dt
dt
dt
0 = RD iD + LDd
uq = R d i q + L q
diQ
diq
˙ (Ld id + Lvq iv + LDq iD )
+ LQq
+Θ
dt
dt
0 = RQ iQ + LQq
¨ =
Θ
did
div
diD
+ LDv
+ LDD
dt
dt
dt
(3.149)
diq
diQ
+ LQQ
dt
dt
1
(tm − te )
J
dδ
˙ −Θ
˙S
= Θ
dt
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
60
SINHRONSKI STROJ
Elektriˇcni navor izraˇcunamo z izrazi:
te = id ψq − ψd iq
ψq = Lq iq + LQq iQ
(3.150)
ψd = Ld id + Lvq iv + LDq iD
˙ pa je krožna hitrost rotorja.
ψd in ψq sta ustrezna magnetna sklepa v vzdolžni in preˇcni smeri, Θ
Z uvedbo naslednjih novih oznak:
z1 :=
did
dt
z2 :=
div
dt
z4 :=
diq
dt
z5 :=
diQ
dt
z3 :=
diD
dt
˙ (Lq iq + LQq iQ )
uv = ud − Rd id + Θ
(3.151)
u2 = uv − Rv iv
u3 = −RD iD
˙ (Ld id − Lvq iv + LDq iD )
u 4 = uq − R d i q − Θ
u5 = −RQ iQ
lahko model elektriˇcnega podsistema sinhronskega stroja v obliki enaˇcb (3.149) zapišemo v preglednejši
obliki (3.152), ki je primernejša za nadaljevanje raˇcunanja.
u1
u2
u3
u4
u5
= Ld z1 + Lvq z2 + LDd z3
= Lvq z1 + Lvv z2 + LDv z3
= LDd z1 + LDv z2 + LDD z3
=
=
(3.152)
Lq z4 + LQq z5
LQq z4 + LQQ z5
Iz strukturirane oblike zapisa enaˇcb (3.152) vidimo, da je sistem razklopljen. Neodvisno lahko rešimo prve
tri enaˇcbe in zadnji dve. Predpostavimo, da ima rešitev sistema (3.152) naslednjo obliko:
z1
z2
z3
z4
z5
= d1 u1 + d2 u2 + d3 u3
= d2 u1 + d4 u2 + d5 u3
= d3 u1 + d5 u2 + d6 u3
=
=
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(3.153)
d7 u4 + d8 u5
d8 u4 + d9 u5
61
3.4 Dinamiˇcni model sinhronskega stroja v obliki blokovne sheme
Konstante d1 do d9 , ki nastopajo v sistemu (3.153), imajo naslednje vrednosti:
k1
k2
d1
d2
d3
d4
d5
d6
k3
d8
d9
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Lvq LDd LDv
Lvv Ld LDD − Ld L2Dv − Lvv L2Dd − LDD L2vq + 2k1
(Lvv LDD − L2Dv ) /k2
(LDd LDv − Lvq LDD ) /k2
(Lvq LDv − Lvv LDd ) /k2
(Ld LDD − L2Dd ) /k2
(L
³ vq LDd − Ld´LDv ) /k2
Ld Lvv − L2vq /k2
Lq LQQ − L2Qq
−LQq /k3
−Lq /k3
(3.154)
Z definicijo naslednjega nabora spremenljivk:
x1 := id
x2 := iq x3 := iv x4 := iD
˙ x7 := δ
x5 := iQ x6 := Θ
(3.155)
lahko popolni matematiˇcni model sinhronskega stroja zapišemo v nekoliko bolj pregledni diferencialni
obliki:





x1
a11 0 a13 a14 0 a16 ψq 0
x1
x 
 0


a22 0
0 a25 a26 ψd 0 
 2

  x2 





 x3 
 a31
 x3 
0 a33 a34 0 a36 ψq 0 






d 


x =
0 a43 a44 0 a46 ψq 0 
 a41
  x4 
dt  4 




a52 0
0 a55 a56 ψd 0   x5 
 x5 
 0






 x6 
 a61 a62


0
0
0
0
0
x6 
x7
0
0
0
0
0
a76
0
x7
(3.156)

 

a17 sin x7
b11 0
0
 a cos x   0
0
0 
7
 27




 

 a37 sin x7   b31
 uv
0
0

 


 
+
0
0 
 a47 sin x7  +  b41
  tL 

 
0
0 
 a57 cos x7   0
 ωS

 


  0
0
b62 0 
0
0
0 b73
V enaˇcbah (3.156) imajo nastopajoˇce oznake naslednji pomen:
a11
a22
a31
a41
a52
a61
a76
= −d1 Rd
= −d7 Rd
= −d2 Rd
= −d3 Rd
= −d8 Rd
= ψq /J
=1
a13
a25
a33
a43
a55
a62
= −d2 Rv
= −d8 RQ
= −d4 Rv
= −d5 Rv
= −d9 RQ
= −ψd /J
a14
a26
a34
a44
a56
= −d3 RD
= −d7
= −d5 RD
= −d6 RD
= −d8
a16
a27
a36
a46
a57
= d1
a17 = −d1 U
= −d7 U
= d2
a37 = −d2 U
= d3
a47 = −d3 U
= −d8 U
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
62
SINHRONSKI STROJ
b11 = −d2 b31 = −d4 b41 = −d5 b62 =
in
1
J
b73 = 1
ψd = c1 x1 + c2 x3 + c3 x4
ψ q = c 4 x2 + c 5 x5
c1 = Ld
c2 = Lvq
c3 = LDq
c4 = Lq
c5 = LQq
Slika 3.15: Blokovna shema sinhronskega stroja s petimi navitji
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(3.157)
(3.158)
P OGLAVJE
4
Regulacija napetosti sinhronskega stroja
O regulaciji napetosti lahko govorimo dobesedno samo takrat, kadar generator deluje na lastno omrežje.
Ko generator deluje paralelno z omrežjem, pa imamo opraviti z regulacijo jalove moˇci. Povezava med
napetostjo na sponkah stroja in jalovo moˇcjo je linearna in doloˇcena z nastavitvijo statike, kot smo že
pokazali v poglavju 2. Pri obravnavi regulacije vzbujanja bomo predpostavili, da regulaciji frekvence in
napetosti nista povezani. To je seveda samo idealizacija, ki ne drži povsem, pa cˇ eprav so dovoljena samo
majhna odstopanja frekvence. Zagotovo pa je napetostna regulacija znatno hitrejša od regulacije frekvence,
zato bomo v veˇcjem delu obravnavanja regulacije napetosti predpostavili konstantno frekvenco.
4.1 Model sinhronskega stroja
Za osnovo bomo uporabili model (4.1), ki pa smo ga doloˇcili že v poglavju 3 – enaˇcbe (3.149). Na tem
mestu morda ne bo odveˇc, da še enkrat navedemo osnovne predpostavke, na podlagi katerih je bil model
sinhronskega stroja sploh izpeljan. Te predpostavke so bile:
• Vpliv nasiˇcenja železnega jedra smo zanemarili.
• Zanemarili smo histerezne izgube, izgube zaradi vrtinˇcnih tokov in izriva toka.
• Zanemarili smo višje harmonske komponente, ki se pojavijo zaradi konˇcnega števila utorov, neenakomerne zraˇcne reže in izvedbe navitij.
• V vzdolžni d in v preˇcni q smeri smo na rotorju predpostavili samo dve dušilni navitji.
• Predpostavili smo simetriˇcno grajen dvopolni stroj.
Omenjene poenostavitve so pri modeliranju sinhronskega stroja obiˇcajne, kadar nameravamo takšne modele
uporabiti za analizo povratnih vplivov stroja na omrežje.
64
REGULACIJA NAPETOSTI SINHRONSKEGA STROJA
Model sinhronskega stroja v obliki enaˇcb (4.1) pa se kljub temu razlikuje od modela (3.149), saj smo pri
zapisu uporabili drugaˇcne oznake, ki pa so v elektroenergetiki, zlasti v Evropi, obiˇcajne. Korespondenˇcna
tabela oznak je podana z zapisom (4.3).
ud = rid + ld
did
div
diD
˙ (lq iq + lhd iQ )
+ lhd
+ lhd
−Θ
dt
dt
dt
uq = riq + lq
diq
diQ
˙ (ld id + lhd iv + lhd iD )
+ lhq
+Θ
dt
dt
uv = rv iv + lhd
did
div
diD
+ lv
+ lhd
dt
dt
dt
0 = rD iD + lhd
div
diD
did
+ lhd
+ lD
dt
dt
dt
0 = rQ iQ + lhq
diq
diQ
+ lQ
dt
dt
¨ =
Θ
(4.1)
1
(tm − te )
J
dδ
˙ −Θ
˙S
= Θ
dt
te = ψq id − ψd iq
ψd = lhd (iD + iv ) + ld id
(4.2)
ψq = lq iq + lhd iq
V zapisu (4.1) so poleg vzbujanj (napetosti) in spremenljivk (toki, hitrosti, koti in magnetni sklepi) normiˇ ni normiran.
rani tudi vsi parametri, zato so namesto z velikimi cˇ rkami oznaˇceni z malimi. Cas
Ldd
LQd
LDd
Lvv
Lvq
LQQ
=
=
=
=
=
=
ld
lhd
lhd
lv
lhd
lQ
Pri normiranju so izbrane naslednje bazne vrednosti:
• bazna vrednost toka
√
Ib = In 2,
• bazna vrednost napetosti
• bazna vrednost moˇci
√
Ub = Un 2,
Sb = 3 Un In = 32 Ub Ib ,
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
Lvd
Ldq
LQv
LDq
LQq
LDD
=
=
=
=
=
=
lhd
lq
lhd
lhq
lhd
lD
(4.3)
65
4.2 Sinhronski stroj na lastnem omrežju
• bazna vrednost navora za p = 1
• bazna impedanca
• bazna induktivnost
• bazna kotna hitrost
Sb
3
1
= Ub Ib ,
ωb
2
ωb
Tb =
Ub
,
Ib
zb
Lb =
in
ωb
zb =
ωb = 2πfb ,
kjer smo z (·)n oznaˇcili nazivne vrednosti, z (·)b pa bazne vrednosti. Normirano vrednost doloˇcimo v skladu
z zapisom:
X
x=
,
(4.4)
Xb
kjer je x normirana vrednost, X je nenormirana vrednost, Xb pa je bazna vrednost.
Medsebojne induktivnosti, ki smo jih podali z zapisom (4.4), ponazarja slika 4.1.
d- os
d
id
ud
lhd
lhd
iv
uv
v
lhd
lhq
q - os
Q
q
iq
iD
iQ
D
uq
Slika 4.1: Vezni model sinhronskega stroja v skupnem koordinatnem sistemu dq
4.2 Sinhronski stroj na lastnem omrežju
Za obratovanje sinhronskega stroja na lastnem omrežju je znaˇcilno naslednje:
• Napetost na sponkah Us in frekvenca f nista konstantni, ne glede na to ali je generator reguliran ali ne.
Generator mora pokrivati padce napetosti, ki se spreminjajo z odjemom moˇci.
• Sinhronizacijskega navora ni, zato lahko pride do relativno velike spremembe frekvence, kar je potrebno
upoštevati v elektriˇcnih prehodnih pojavih.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
66
REGULACIJA NAPETOSTI SINHRONSKEGA STROJA
• Regulator napetosti je lahko astatiˇcen; vpliv spremembe toka (obremenitve) se tukaj neposredno odraža
v spremembi padcev napetosti. V tem primeru je za izvedbo regulacije dovolj dobra meritev napetosti na
sponkah stroja.
V nadaljevanju bomo doloˇcili poenostavljeni model sinhronskega generatorja, ki bo služil samo za sintezo
regulatorja napetosti otoˇcno delujoˇcega stroja. V ta namen najprej še enkrat zapišimo tretjo enaˇcbo iz
zapisa (4.1) v nekoliko spremenjeni obliki, kjer vse cˇ lene na levi in desni strani enaˇcbe pomnožimo z (−1).
Dobimo naslednji zapis:
did
div
diD
−uv = −rv iv − lhd
− lv
− lhd
(4.5)
dt
dt
dt
Enaˇcba (4.5) je preoblikovana, vendar je kljub temu ekvivalentna izhodišˇcni enaˇcbi, s tem da je tako preoblikovane nikakor ne moremo veˇc vstaviti nazaj v model 4.1, cˇ esar tudi ne nameravamo.
Sedaj bomo skupaj zapisali enaˇcbo (4.5) in cˇ etrto enaˇcbo iz zapisa (4.1), s tem da bomo dodatno spremenili
predznak vzbujalnega toka iv . Tako dobimo zapis:
uv = rv iv − lhd
did
div
diD
+ lv
− lhd
dt
dt
dt
did
div
diD
0 = rD iD + lhd
− lhd
+ lD
,
dt
dt
dt
(4.6)
ki ga s pomoˇcjo Laplace-ove transformacije pretvorimo v Laplace-ovo podroˇcje in in hkrati predpostavimo,
da so zaˇcetni pogoji niˇc. Dobimo zapis:
Uv (s) = rv Iv (s) − slhd Id (s) + slv Iv (s) − slhd ID (s)
(4.7)
0 = rD ID (s) + slhd Id (s) − slhd Iv (s) + slD ID (s)
Iz druge enaˇcbe v 4.7 izrazimo tok ID (s) in dobimo enaˇcbo:
ID (s) =
s(lhd Iv (s) − lhd Id (s))
rD + slD
(4.8)
Tok ID (s) vstavimo v prvo enaˇcbo zapisa (4.7) in dobimo:
Uv (s)(rD + slD ) =
2
) + s(lv rD + rv lD ) + rv rD ]
Iv (s)[s2 (lv lD − lhd
(4.9)
2
− Id (s)[s (lD lhd −
2
)
lhd
+ slhd rD ]
ˇ v zapisu (4.9) upoštevamo lastni cˇ asovni konstanti vzbujalnega in dušilnega navitja Tv in TD , doloˇceni
Ce
z zapisom (4.10), dobimo:
lD
lv
in
TD :=
(4.10)
Tv :=
rv
rD
Iv (s)[rD rv s2 (Tv TD −
Uv (s)rD (1 + sTD ) =
2
− Id (s)[rD lhd s (TD −
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
2
lhd
)
rD rv
lhd
)
rD
+ srD rv (Tv + TD ) + rD rv ]
+ slhd rD ]
(4.11)
67
4.2 Sinhronski stroj na lastnem omrežju
Enaˇcbo (4.11) delimo z rD , uredimo in dobimo enaˇcbo:
Iv (s)rv [s2 (Tv TD (1 −
Uv (s)(1 + sTD ) =
2
− Id (s)lhd [s TD (1 −
2
lhd
)
lD lv
lhd
)
lD
+ s(Tv + TD ) + 1]
(4.12)
+ s] ,
ki jo lahko zapišemo v naslednji obliki:
Iv (s) = Gv (s)Uv (s) + Gvz (s)Id (s) ,
(4.13)
kjer sta prenosni funkciji Gv (s) in Gvz (s) doloˇceni na naslednja naˇcina:
Gv (s) =
Gvz (s) =
1
rv (Tv TD (1 −
1 + sTD
2
lhd
)s2
lD lv
+ (Tv + TD )s + 1
)s + 1
TD (1 − llhd
lhd
D
s
2
rv (Tv TD (1 − lhd )s2 + (Tv + TD )s + 1
lD lv
(4.14)
(4.15)
ˇ analiziramo enaˇcbo (4.13) in predpostavimo, da je izhod vzbujalni tok Iv , lahko ugotovimo, da nanj deCe
lujeta dva vhoda in sicer vzbujalna napetost Uv (s) in tok Id (s) kot motnja. Enaˇcbo (4.13) lahko predstavimo
v obliki blokovne sheme na sliki 4.2.
Id (s)
Gvz (s)
Uv (s)
Iv (s)
Gv (s)
Slika 4.2: Blokovna predstavitev zapisa 4.13
Sedaj nas zanima, kakšna je povezava med vzbujalnim tokom Iv (s) in statorsko napetostjo Ua (s). V skladu
s prvo in drugo enaˇcbo v (4.1) je statorska inducirana napetost pri q
zanemarjeni vrednosti statorske upornosti
v stacionarnem stanju (odvodi tokov po cˇ asu so niˇc) enaka ua = e2d + e2q , kjer sta ed in eq doloˇceni kot:
ed = −ω(lq iq + lhd iQ )
eq = ω(ld id + lhd (iv + iD ))
(4.16)
Sedaj opazujmo, kako (v Laplace-ovem podroˇcju) majhna sprememba vzbujalnega toka ∆Iv (s) okrog doloˇcene delovne toˇcke vpliva na spremembo statorske napetosti ∆Ua (s). Ker se tok Iv (s) pojavlja le v izrazu
za Eq (s), je sprememba le–te enaka:
(4.17)
∆Eq (s) = ω(s)∆ψd (s)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
68
REGULACIJA NAPETOSTI SINHRONSKEGA STROJA
Za malo spremembo magnetnega sklepa ∆ψd velja:
∆ψd (s) = −lhd ∆Iv (s) + lhd ∆ID (s) + ld ∆Id (s) ,
(4.18)
kar se ujema z zapisom (4.2), kjer pa je predznak vzbujalnega toka spremenjen. Namesto toka ID (s)
vstavimo v (4.18) izraz (4.8) in dobimo:
∆ψd = Gdd (s)ld ∆Id (s) + Gdv lhd ∆Iv (s)
(4.19)
Pti tem smo vpeljali dve novi prenosni funkciji:
1 + sTDd
Gdd (s) =
1 + sTD
in TDd
2
1
lhd
=
(1 −
)
rD
ld
(4.20)
1 + sTDσ
lD − lhd
ldσ
(4.21)
in TDσ =
=
,
1 + sTD
rD
rD
kjer oznaka σ predstavlja stresanje. Prenosni funkciji Gdd (s) in Gdv (s) opisujeta vpliv spremembe statorskega toka na spremembo magnetnega sklepa v vzdolžni smeri in s tem na spremembo statorske inducirane
napetosti.
Gdv (s) =
ˇ sistemu dodamo rePoenostavljeni model sinhronskega stroja, ki deluje otoˇcno, imamo sedaj doloˇcen. Ce
gulator napetosti s prenosno funkcijo GR (s), prenosno funkcijo vzbujalnika, ki je lahko na primer tiristorski
in v povratni zanki merilni filter s prenosno funkcijo Gf (s), lahko narišemo zaprtozanˇcni sistem v obliki
blokovne sheme na sliki 4.3.
∆Id (s)
Gdd (s)
ld
Gvz (s)
ω
∆Uv (s)
∆Uar (s)
GR (s)
−
Gp (s)
Gv (s)
Gdv (s)
lhd
∆Iv (s)
KR , T i
∆Ua (s)
−
∆ψd (s)
Gf (s)
Slika 4.3: Blokovna shema regulacije napetosti sinhronskega stroja pri otoˇcnem naˇcinu obratovanja
Predpostavimo, da ima tiristorski vzbujalnik ojaˇcanje ena in da je v primerjavi z vsemi ostalimi elementi
tako hiter, da lahko njegovo zakasnitev zanemarimo.
Regulator napetosti bomo nastavili tako, da motnje ne bomo upoštevali, predvidena bo samo sprememba
referenˇcne vrednosti. Blokovna shema na sliki 4.3 se poenostavi v blokovno shemo na sliki 4.4.
Odprtozanˇcna prenosna funkcija sistema na sliki 4.4 je doloˇcena z izrazom:
Go (s) = GR (s) Gv (s) Gdv (s)lhd ωb Gf (s)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(4.22)
69
4.2 Sinhronski stroj na lastnem omrežju
∆Ua (s)
∆Uar (s)
GR (s)
−
Gv (s)
Gdv (s)
xhd
KR , Ti
Gf (s)
Slika 4.4: Poenostavljena blokovna shema regulacije napetosti sinhronskega stroja pri otoˇcnem naˇcinu
obratovanja
Predpostavimo PI regulator s prenosno funkcijo:
GR (s) = KR
Filter opišemo s cˇ lenom prvega reda:
Gf (s) =
1 + sTi
sTi
(4.23)
1
1 + sTf
(4.24)
Upoštevamo predhodno doloˇceno prenosno funkcijo (4.14):
Gv (s) =
1
rv (Tv TD (1 −
1 + sTD
2
lhd
)s2
lD lv
+ (Tv + TD )s + 1
,
(4.25)
ki jo lahko zapišemo na takšen naˇcin:
Gv (s) =
K1 1 + sTD
1 + sTy 1 + sTx
(4.26)
Primer doloˇcitve parametrov regulatorja napetosti
Podatki sinhronskega generatorja v normirani obliki so:
ld
lQ
lvσ
rv
lq
lhd
lDσ
rD
=
=
=
=
=
=
=
=
0, 00456
0, 00431
0, 0003
0, 001
0, 00456
0, 00414
0, 00016
0, 001
lv
lhq
lQσ
rQ
lD
laσ
r
Ta
=
=
=
=
=
=
=
=
0, 00454
0, 00414
0, 00017
0, 001
0, 0043
0, 00042
0, 003
3, 0 s
(4.27)
V skladu s (4.25) in (4.26) doloˇcimo ojaˇcanje K1 :
K1 =
1
= 1000
rv
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
70
REGULACIJA NAPETOSTI SINHRONSKEGA STROJA
V nadaljevanju doloˇcimo imenovalec prenosne funkcije Gv (s). Najprej doloˇcimo izraz (1 −
0,004142
)
0,0043·0,00454
2
lhd
)
lD lv
= (1 −
= 0, 122 in dobimo:
Imev (s) = Tv TD 0, 122 s2 + (Tv + TD )s + 1 ,
(4.28)
kjer sta cˇ asovni konstanti Tv in TD :
Tv =
lv
rv
TD =
lD
rD
=
0,00454
0,001
=
0,0043
0,001
= 4, 54 s
(4.29)
= 4, 3 s
Vstavimo (4.29) v (4.28), poišˇcemo niˇcli polinoma:
Imev (s) = 2, 38s2 + 8, 84s + 1 = (1 + sTx )(1 + sTy )
in doloˇcimo cˇ asovni konstanti:
Tx = 8, 56 s,
Ty = 0, 28 s
Sedaj lahko ponovno zapišemo odprtozanˇcno prenosno funkcijo:
Go (s) = KR
K1 1 + sTD 1 + sTDσ
1
1 + sTi
xhd
sTi 1 + sTx 1 + sTy 1 + sTD
1 + sTf
(4.30)
Hkrati izraˇcunamo še cˇ asovno konstano:
TDσ =
lD − lhd
0, 0043 − 0, 00414
=
= 0, 16 s
rD
0.001
(4.31)
Upoštevamo, da je K1 xhd = K1 lhd ωb = 1000·0, 00414·2π50 = 1300 in izberemo cˇ asovno konstanto filtra
pri meritvi napetosti Tf = 0, 02 s. Odprtozanˇcna prenosna funkcija je tako:
Go (s) = KR
1 + sTi 1300 1 + s0, 16
1
sTi 1 + s8, 56 1 + s0, 28 1 + s0, 02
(4.32)
Parametre regulatorja doloˇcimo s poenostavljeno kompenzacijsko metodo, kjer z izborom regulatorjeve
niˇcle skušamo kompenzirati najpoˇcasnejši pol reguliranca. V skladu z zapisanim izberemo za cˇ asovno
konstano regulatorja najveˇcjo v procesu:
Ti = Tx = 8, 56 s
Izbrano vrednost cˇ asovne konstante vstavimo v prenosno funkcijo Go (s) in opravimo ustrezno krajšanje.
Temu sledi risanje frekvenˇcne karakteristike v Bode-jevem diagramu. Ojaˇcanje regulatorja KR doloˇcimo
tako, da je ob izbrani fazni rezervi pripadajoˇca amplituda enaka ena. Za ϕrez = 450 dobimo pripadajoˇce
ojaˇcanje KR = 0, 65.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
71
4.3 Paralelno obratovanje sinhronskega stroja
Simulacija delovanja regulacije napetosti sinhronskega stroja na lastnem omrežju
V programskem paketu MATLAB/SIMULINK model sinhronskega stroja s petimi navitji (slika 3.15) ustrezno prilagodite in dopolnite z merilnikom in s PI regulatorjem napetosti. Simulirajte stopniˇcno spremembo
ˇ simulacije nastavite na 30 s, korak na
referenˇcne napetosti uar (t) iz 1 p.u. na 1,2 p.u. pri cˇ asu 15 s. Cas
1 ms in opazujte naslednje odzive:
• napetosti ud (t), uq (t), norma ku(t)k =
• toka id (t), iq (t) in norma ki(t)k =
q
q
u2d (t) + u2q (t) in referenca uar (t),
i2d (t) + i2q (t),
• vzbujalna napetost uv (t),
• delovna in jalova moˇc p(t) = ud (t)id (t) + uq (t)iq (t) in q(t) = uq (t)id (t) − ud (t)iq (t),
˙
• hitrost vrtenja Θ(t)
in kolesni kot δ(t).
4.3 Paralelno obratovanje sinhronskega stroja
Doloˇcitev blokovne sheme sinhronskega stroja, ki je deloval otoˇcno, je bila relativno enostavna. Za paralelno delujoˇci generator je doloˇcitev poenostavljenega modela podobna, vendar je zaradi potrebnega upoštevanja lastnosti omrežja izraˇcun znatno daljši. Celotno izpeljavo bomo zato izpustili in za osnovo uporabili
kar konˇcni rezultat, to je model paralelno delujoˇcega sinhronskega stroja v obliki blokovne sheme.
Pri doloˇcitvi regulatorja vzbujanja sta upoštevani naslednji dve znaˇcilnosti:
• Predpostavili bomo konstantno omrežno frekvenco, zato bodo odpadli vsi transformacijski vplivi napetosti med statorjem in rotorjem. Pojavil se bo sinhronizacijski navor, ki bo izboljšal stabilnost obratovanja
v primerjavi s strojem, ki deluje otoˇcno.
• Predpostavili bomo konstantno omrežno napetost. Regulacija napetosti bo zato prešla v regulacijo jalove
moˇci, ki jo generator daje omrežju.
Zaradi vsiljene napetosti na sponkah stroja se za zagotovitev stabilnega obratovanja pojavi potreba po
uvedbi statike, s katero napetostno karakteristiko generatorja ustrezno nagnemo in s tem dosežemo eno
samo preseˇcišˇce s karakteristiko omrežja.
Predpostavimo, da je sinhronski generator v skladu s sliko 4.5 prikljuˇcen na togo omrežje preko vmesne
reaktance xpv .
Model regulacije jalove moˇci paralelno delujoˇcega sinhronskega generatorja v obliki blokovne sheme je
prikazan na sliki 4.6. Kot smo omenili, smo izpeljavo omenjene blokovne sheme izpustili.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
72
REGULACIJA NAPETOSTI SINHRONSKEGA STROJA
Vzbu- uv
janje iv
|Ea |6 δ
SG
jxpv
Ua
Um 6 0o
Slika 4.5: Paralelna vezava sinhronskega generatorja na omrežje
∆Um (s)
Gpm (s)
∆Ua (s)
∆Ia (s)
∆Uar (s)
Gp (s)
GR (s)
−
Gpv (s)
1
axd
+
KR , Ti
+
Gf (s)
βu
−
Slika 4.6: Blokovna shema regulacije napetosti paralelno delujoˇcega sinhronskega generatorja
Prenosni funkciji Gpv (s) in Gpm (s) sta definirani z naslednjima izrazoma:
Gpv (s) =
a
1
1
K 0 xd
1+a
1 + sTv rv
(4.33)
a 1 + s bTv0
,
1 + a 1 + s Tv
(4.34)
Gpm (s) =
kjer so parametri in cˇ asovne konstante, ki nastopajo v obeh prenosnih funkcijah doloˇceni z izrazi:
xd
= ω0 ld
Tv
=
b
1
= 1−
(1 + ba )(1 + bv )
b+a
Tv0
1+a
s
K0 =
1+
=
lpv
ld
Tv0 =
lv
rv
a
1
1
+
sin ϕ0
2
xd xd
ba
ld − lhd
=
ld
bv
=
(4.35)
lv − lhd
lv
Podobno kot pri otoˇcno delujoˇcem sinhronskem generatorju bomo tudi tukaj predpostavili, da je ojaˇcanje
tiristorskega pretvornika za vzbujanje ena in da deluje hitro brez zakasnitve.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
73
4.3 Paralelno obratovanje sinhronskega stroja
Primer doloˇcitve parametrov regulatorja jalove moˇci
Za sinhronski stroj s podatki (4.27) izraˇcunamo:
xpv
= 0, 2
βu
= 0, 05
cos ϕ0 = 0, 86
xd
= ωb ld = 2π50·0, 00456 = 1, 432
K0
=
1+
1
x2d
+
bv
=
lv −lhd
lv
=
0,00454−0,00414
0,00454
= 0, 088
ba
=
ld −lhd
ld
=
0,00456−0,00414
0,00456
= 0, 092
b
= 1−
a
=
lpv
ld
Tv0
=
lv
rv
Tv
=
b+a
T
1+a v0
Tf
= 0, 02 s
r
1
xd
sin ϕ0 = 1, 38
1
(1+ba )(1+bv )
0,2/(2π50)
0,00456
=
=
0,00454
0,001
=
=1−
1
1,092·1,088
(4.36)
= 0, 158
= 0, 14
= 4, 54 s
0,158+0,14
4, 54
1,14
= 1, 18 s
Vpliv spremembe omrežne napetosti na spremembo statorskega toka predstavlja motnjo, ki je pri naˇcrtovanju regulatorja ne bomo upoštevali. Blokovna shema, ki jo bomo upoštevali pri doloˇcitvi parametrov
regulatorja je prikazan na sliki 4.7.
∆Ua (s)
∆Uar (s)
GR (s)
−
Ks
∆Ia (s)
1
1+sTv
−
1
axd
KR , T i
+
Gf (s)
βu
−
Slika 4.7: Blokovna predstavitev zapisa
Odprtozanˇcna prenosna funkcija Go (s) je doloˇcena z izrazom:
Ã
Go (s) = GR (s)Gpv(s)
!
βu
Gf (s)
1−
a xd
oziroma podrobneje:
1 + sTi a
1
1
Go (s) = KR
K0 xd
sTi 1 + a
1 + sTv rv
Ã
βu
1−
a xd
(4.37)
!
1
1 + sTf
(4.38)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
74
REGULACIJA NAPETOSTI SINHRONSKEGA STROJA
Vsa ojaˇcanja združimo v eno samo in dobimo:
Ã
aK0 xd
βu
Ks =
1−
(1 + a)rv
a xd
!
Ã
0, 14 · 1, 38 · 1, 432
0, 05
1−
=
1, 14 · 0, 001
0, 14 · 1, 432
!
= 182
Odprtozanˇcna prenosna funkcija je tako:
Go (s) = KR
1 + sTi
182
1
sTi 1 + s1, 18 1 + s0, 02
(4.39)
Parametre regulatorja doloˇcimo s poenostavljeno kompenzacijsko metodo, kjer z izborom regulatorjeve
niˇcle skušamo kompenzirati najpoˇcasnejši pol reguliranca. V skladu z zapisanim izberemo za cˇ asovno
konstano regulatorja najveˇcjo v procesu:
Ti = Tv = 1, 18 s
Izbrano vrednost cˇ asovne konstante vstavimo v prenosno funkcijo Go (s) in opravimo ustrezno krajšanje.
Temu sledi risanje frekvenˇcne karakteristike v Bode-jevem diagramu. Ojaˇcanje regulatorja KR doloˇcimo
tako, da je ob izbrani fazni rezervi pripadajoˇca amplituda enaka ena. Za ϕrez = 450 dobimo pripadajoˇce
ojaˇcanje KR = 0, 45.
Simulacija delovanja regulacije jalove moˇci sinhronskega stroja na lastnem omrežju
V programskem paketu MATLAB/SIMULINK model sinhronskega stroja s petimi navitji (slika 3.15) dopolnite z merilnikom in s PI regulatorjem jalove moˇci. Simulirajte stopniˇcno spremembo referenˇcne jalove
ˇ simulacije nastavite na 30 s, korak na 1 ms in opazujte
moˇci qr (t) iz 1 p.u. na 1,2 p.u. pri cˇ asu 15 s. Cas
naslednje odzive:
• napetosti ud (t), uq (t), norma ku(t)k =
• toka id (t), iq (t) in norma ki(t)k =
q
q
u2d (t) + u2q (t),
i2d (t) + i2q (t),
• vzbujalna napetost uv (t),
• delovna in jalova moˇc p(t) = ud (t)id (t) + uq (t)iq (t), in q(t) = uq (t)id (t) − ud (t)iq (t), ter referenca qr (t),
˙
• hitrost vrtenja Θ(t)
in kolesni kot δ(t).
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
P OGLAVJE
5
Poenostavljeni model dveh povezanih EES
S popolnimi modeli generatorjev in ostalih elementov EES lahko analiziramo hitre dinamiˇcne prehodne pojave manjših zakljuˇcenih sistemov (primarna regulacija). Izraˇcun velikih povezanih EES z veˇc sto vozlišˇci s
popolnimi modeli bi bil zaradi preobsežnosti nesmiseln. Zato v teh primerih raje uporabimo poenostavljene
modele. Kompleksni EES razdelimo na posamezna obmoˇcja, zanje poišˇcemo ustrezne poenostavljene modele, ki jih potem ponovno povežemo med sabo na naˇcin, ki bo pojasnjen v okviru tega poglavja. Za
posamezna obmoˇcja, ki so ponazorjena z ustreznim poenostavljenim modelom potem velja, da je v njih
frekvenca regulirana in enotna. S povezovanjem obmoˇcij lahko tvorimo povezan EES. Tak pristop k modeliranju omogoˇca analizo medsistemskih nihanj, vpliv sekundarne regulacije in analizo delovanja regulacije
frekvenca - moˇc.
Pri izpeljavi nadomestnega poenostavljenega dinamiˇcnega modela obmoˇcja bomo izhajali iz naslednjih
predpostavk:
• Uporabljeni modeli obmoˇcij bodo nelinearni, zato bomo opravili linearizacijo v okolici delovne toˇcke,
ki jo bomo splošno oznaˇcevali z (·)0 . Po opravljeni linearizaciji bomo dalje uporabljali poenostavljene
linearizirane modele.
• Sprememba jalove moˇci v na primer i– tem vozlišˇcu bo imela za posledico predvsem spremembo iznosa
vozlišˇcne napetosti |Ui |, ki bo najmoˇcneje izražena prav v vozlišˇcu i. V skladu s sliko 5.1a) bo tako v
primeru spremembe cˇ iste jalove moˇci (ohmska upornost r = 0) prišlo samo do spremembe amplitud
(dolžin).
• V nasprotju s tem bo sprememba delovne moˇci vplivala predvsem na spremembe kotov napetosti, sprememba pa bo spet najbolj oˇcitna v tistem vozlišˇcu, kjer bo nastopila sprememba (slika 5.1b).
• Predpostavili bomo, da je regulacija napetosti dosti hitrejša od regulacije frekvence, zato bomo v izracˇ unih uporabljali konstantne napetosti. Posledica tega bo, da regulacija napetosti (jalove moˇci) ne bo
vplivala na regulacijo frekvence (delovne moˇci), kar seveda ne drži povsem.
76
POENOSTAVLJENI MODEL DVEH POVEZANIH EES
• V poenostavljenem dinamiˇcnem modelu obmoˇcja bomo veˇcjo skupino generatorjev s podobnimi lastnostmi nadomestili z enim ekvivalentnim. Od ekvivalentnega modela bomo zahtevali, da bodo dane
sistemske motnje na njem povzroˇcile enake spremembe frekvence, kot bi jo povzroˇcile na skupini posameznih generatorjev.
E0
I 0 jxs
E
E
U
Ijxs
E0
Ijxs I 0 jxs
I
I
I0
U
I0
a)
b)
Slika 5.1: Kazalˇcni diagram razmer v reguliranem obmoˇcju: a) cˇ ista sprememba jalove moˇci, b) cˇ ista
sprememba delovne moˇci
5.1 Dinamiˇcni model reguliranega obmoˇcja
ˇ elektroenergetski sistem obratuje s konstantno frekvenco v stacionarnem stanju, mora biti vsota vseh
Ce
mehanskih moˇci vedno enaka vsoti proizvedene elektriˇcne moˇci in izgub, kar doloˇca ravnotežni pogoj v
obliki enaˇcbe:
Ã
!
n
X
i=1
Pm (i) −
n
X
i=1
Pg (i) +
n
X
Pizg (i) = 0 ,
(5.1)
i=1
kjer je Pm mehanska moˇc posamezne turbine, Pg je elektriˇcna moˇc posameznega generatorja, Pizg so izgube
ˇ je bilanca moˇci
posameznega generatorja, n pa je število generatorjev, ki jih upoštevamo v modelu. Ce
pozitivna, bo frekvenca sistema narašˇcala tako dolgo, da bo vzpostavljeno ravnotežje moˇci (5.1), cˇ e pa bo
bilanca moˇci negativna, bo frekvenca omrežja upadala, dokler ne bo izpolnjeno potrebno ravnotežje.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
77
5.1 Dinamiˇcni model reguliranega obmoˇcja
Regulacija vzbujanja
Sekundarna regulacija
Primarna regulacija
Regulator
napetosti
Ojaˇcevalnik
Moˇci izmenjav
|U |r
Dovod pare
Integrator
Mešalnik
signalov
f
Regulator
hitrosti
Preob.
signala
Pr
Pogrešek
obmoˇcja
|U |
Hidravliˇcni
ojaˇcevalnik
Ventil
za
paro
ω
Vzbujalnik
Pm
Merilnik
hitrosti
Generator
Turbina
Meritev
napetosti
Pg
f
Merilnik
frekvence
Transformator
Pg
Pb
Lokalna bremena
Pv
Povezovalni vod
Slika 5.2: Shematski prikaz reguliranega obmoˇcja
V skladu s sliko 5.2 je proizvedena elektriˇcna moˇc generatorja Pg enaka vsoti moˇci bremen in izmenjav po
vodih:
Pg = Pb + Pv
(5.2)
Modeli posameznih elementov EES, ki jih bomo uporabili v nadaljevanju, bodo nelinearni. Zaradi lažjega
raˇcunanja bomo opravili linearizacijo nelinearnosti v okolici delovne toˇcke in opravili analizo z lineariziranimi modeli. Elektriˇcne in mehanske moˇci generatorjev Pg in Pm , ter moˇci bremen in povezovalnih vodov
Pb in Pv so doloˇcene z naslednjimi izrazi:
Pg
=
Pg0 + ∆Pg
Pm = Pm0 + ∆Pm
Pb0 + ∆Pb
Pb
=
Pv
= Pv0 + ∆Pv ,
(5.3)
0
kjer P(·)
oznaˇcuje posamezne stacionarne vrednosti, ∆P(·) pa so pripadajoˇci mali odmiki od delovne toˇcke.
0
Ker nas bo zanimala samo dinamika malih sprememb, bomo stacionarna stanja P(·)
odšteli od modela in od
tukaj dalje raˇcunali samo z malimi odmiki ∆(·).
Linearizirano obliko zapisa (5.2) tako predstavlja enaˇcba:
∆Pg = ∆Pb + ∆Pv
(5.4)
Ravnotežje gibanja sinhronskega agregata doloˇca enaˇcba:
J
dω
= tm − te ,
dt
(5.5)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
78
POENOSTAVLJENI MODEL DVEH POVEZANIH EES
kjer je J vztrajnostni moment, ω je hitrost, tm in te pa sta trenutni vrednosti mehanskega in elektriˇcnega
navora. Enaˇcbo (5.5) pomnožimo z ω0 , zato dobimo na desni strani enaˇcbe (5.6) namesto navorov moˇci:
Jω0
dω
= pm − pg
dt
(5.6)
Enaˇcbo (5.6) normiramo z bazno vrednostjo navidezne moˇci Sb in dobimo:
Jω0 dω
pm pg
−
,
=
Sb dt
Sb
Sb
(5.7)
kjer velja, da je ω = ω0 + ∆ω. Iz zapisa (5.7) ni takoj razvidno, da je enaˇcba nelinearna, kar je posledica
nelinearne odvisnosti pm in pg od ∆ω. Enaˇcbo (5.7) zato lineariziramo in dobimo:
H d∆ω
= ∆P ,
πf0 dt
kjer je ∆P =
∆pm
Sb
−
∆pg
,
Sb
(5.8)
vpeljali pa smo parameter H, ki je doloˇcen z naslednjima izrazoma:
M :=
1
Jω 2 2
Jω0
W0 1
= 2 0
= kin
Sb
Sb ω0
Sb πf0
0
Wkin
[MJ/MVA]
Sb
Ravnotežje moˇci je v skladu s sliko 5.2 doloˇceno z enaˇcbo:
H :=
∆P = ∆Pm − ∆Pg − ∆Pb0 = ∆Pm − ∆Pb − ∆Pv − ∆Pb0 ,
(5.9)
(5.10)
(5.11)
kjer ∆Pb0 predstavlja dušenje zaradi frekvenˇcne odvisnosti bremen.
Sedaj moramo doloˇciti še pospeševalno moˇc ∆P , ki je enaka odvodu kinetiˇcne energije po cˇ asu in je torej:
∆P =
d
Wkin
dt
=
d 1 ˙2
( JΘ )
dt 2
.
˙Θ
¨ =
¨
= JΘ
Jω0 ∆Θ
(5.12)
Jω0 dtd ∆ω = Jω0 2π dtd ∆f
=
ˇ predpostavimo, da imamo eno samo povezavo generatorja z drugim omrežjem, potem lahko preneseno
Ce
moˇc po povezovalnem vodu izrazimo z enaˇcbo:
Pv =
|U1 ||U2 |
sin(Θ1 − Θ2 ) ,
x12
(5.13)
kjer sta |U1 |, |U2 | efektivni vrednosti Θ1 , Θ2 pa kota napetosti na obeh koncih povezovalnega voda. x12 je
induktivna upornost povezovalnega voda, ohmska upornost je zanemarjena.
Z enaˇcbo (5.13) doloˇcena prenosna moˇc voda je nelinearna, zato jo bomo linearizirali v okolici izbrane
toˇcke in stacionarni stanji odšteli. Linearizirano obliko zapisa (5.13) predstavlja enaˇcba:
∆Pv =
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
|U1 ||U2 |
cos(Θ01 − Θ02 )(∆Θ1 − ∆Θ2 ) ,
x12
(5.14)
79
5.1 Dinamiˇcni model reguliranega obmoˇcja
kjer sta Θ01 in Θ02 stacionarni vrednosti kotov obeh napetosti glede na <e – os, ∆Θ1 in ∆Θ2 pa sta ustrezna
mala odmika od stacionarnih vrednosti.
Zaradi odvisnosti:
Z
∆Θ = 2π
∆f dt
(5.15)
lahko enaˇcbo (5.14) zapišemo v drugaˇcni obliki:
µZ
¶
Z
∆f1 dt −
∆Pv = 2πS12
∆f2 dt
,
(5.16)
kjer je S12 tako imenovani sinhronizacijski koeficient, doloˇcen z enaˇcbo:
S12 =
|U1 ||U2 |
|U1 ||U2 |
cos(Θ01 − Θ02 ) =
cos ∆Θ0
x12
x12
(5.17)
V enaˇcbi dinamiˇcnega ravnotežja (5.11) smo upoštevali spremembo moˇci ∆Pb0 , ki je posledica frekvenˇcne
odvisnosti moˇci bremen, doloˇcene z dušenjem D, ki je definirano na naslednji naˇcin
D :=
∆Pb0
∆f
[MW/Hz]
(5.18)
Sprememba moˇci, ki je posledica frekvenˇcne odvisnosti moˇci bremen je torej:
∆Pb0 = D∆f
(5.19)
V ravnotežno enaˇcbo (5.11) najprej vstavimo (5.12) in dobimo zapis:
∆Pm − ∆Pb − Jω0 2π
d
∆f − ∆Pv − D∆f = 0
dt
(5.20)
ki ga s pomoˇcjo Laplace-ove transformacije pretvorimo v Laplace-ovo podroˇcje in hkrati predpostavimo,
da so zaˇcetni pogoji niˇc. Dobimo zapis:
∆Pm (s) − ∆Pb (s) − Jω0 2πs∆f (s) − ∆Pv (s) − D∆f (s) = 0
(5.21)
V enaˇcbo (5.21) vstavimo namesto ∆Pv še (5.16) in dobimo:
∆Pm (s) − ∆Pb (s) − Jω0 2πs∆f (s) −
2πS12
(∆f1 (s) − ∆f2 (s)) − D∆f (s) = 0
s
(5.22)
Na levi strani izpostavimo spremenljivko ∆f (s):
∆f (s)(Jω0 2πs + D) = ∆Pm (s) − ∆Pb (s) −
2πS12
(∆f1 (s) − ∆f2 (s))
s
(5.23)
izraz preuredimo in dobimo:
µ
∆f (s) = ∆Pm (s) − ∆Pb (s) −
¶
2πS12
Kn
(∆f1 (s) − ∆f2 (s))
s
1 + Tn s
(5.24)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
80
POENOSTAVLJENI MODEL DVEH POVEZANIH EES
V izrazu (5.24) smo uporabili dva nova parametra Kn in Tn , ki sta doloˇcena z naslednjima zapisoma:
Kn =
1
D
[Hz/MW] in
Tn =
2πJω0
D
[s]
(5.25)
V modelu reguliranega obmoˇcja bomo upoštevali tudi dinamiko servomotorja in turbine. Servomotor bomo
predstavili s prenosno funkcijo Gsm (s), model turboagregata z Gt (t), model hidroagregata pa z Gvt (s):
Gsm (s) =
1
1 + Tsm s
(5.26)
1
(5.27)
1 + Tt s
1 − Tw s
Gvt (s) =
(5.28)
1 + 0.5Tw s
Poenostavljeni model enega povezanega obmoˇcja (dela elektroenergetskaga sistema, lahko pa tudi enega
samega generatorja) je prikazan na sliki 5.3. Blokovna shema je dopolnjena s primarnim regulatorjem
z ojaˇcenjem Kp in s sekundarnim regulatorjem z ojaˇcenjem Ki . Primarna regulacija ima P znaˇcaj in je
praviloma izvedena lokalno na posameznem agregatu, medtem ko ima sekundarna regulacija PI znaˇcaj in
je izvedena centralizirano, torej za celotno obmoˇcje (obiˇcajno je to kar država).
Gt (s) =
Poleg regulacije frekvence, sekundarna regulacija skrbi tudi za regulacijo moˇci izmenjav, ki na sliki 5.3 ni
upoštevana. V tem primeru je vhod v sekundarni regulator tako imenovana napaka regulacijskega obmoˇcja,
oziroma Area Control Error:
ACE1 = ∆Pv + K1 ∆f1 ,
(5.29)
kjer je K1 faktor frekvenˇcnega prispevka, ki je za vsako regulirano obmoˇcje doloˇcen na osnovi proizvodnje
elektriˇcne energije obmoˇcja v preteklem letu.
Sekundarna regulacija
Primarna regulacija
Omrežje
∆Pb
∆Pm − ∆Pv − ∆Pb
∆Pr
Ki
s
−
1
1+Tsm s
−
∆f1
∆Pm −
Kn
1+Tn s
Gt (s)
−
∆Pv
Kp
∆f1
∆f1 − ∆f2
∆f1
2πS12
s
−
∆f2
Slika 5.3: Blokovna shema reguliranega obmoˇcja
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
81
5.2 Dinamiˇcni model dveh povezanih reguliranih obmoˇcij
5.2 Dinamiˇcni model dveh povezanih reguliranih obmoˇcij
Shemo dveh povezanih reguliranih obmoˇcij prikazuje slika 5.4. V skladu s to sliko povežemo dva dinamiˇcna
modela reguliranih obmoˇcij in dobimo model, ki ga prikazuje slika 5.5.
Pv12
Pg1
Pg2
Obmoˇcje
1
Obmoˇcje
2
Pb1
Pb2
Br. 1
Br. 2
Slika 5.4: Shema dveh reguliranih obmoˇcij
∆Pb1
Ki1
s
∆Pm1
∆Pr1
−
1
1+Tsm1 s
−
∆Pm1 − ∆Pv1 − ∆Pb1
−
∆f1
Kn1
1+Tn1 s
Gt1 (s)
−
∆f1
Kp1
∆f1 − ∆f2
∆f1
∆Pv1
∆Pv2
2πS12
s
−
−
2πS21
s
∆f2 − ∆f1
Ki2
s
∆Pm2
∆Pr2
−
−
1
1+Tsm2 s
∆Pm2 − ∆Pv2 − ∆Pb2
−
Gt2 (s)
−
Kn2
1+Tn2 s
∆f2
∆f2
Kp2
∆Pb2
∆f2
Slika 5.5: Blokovna shema dveh reguliranega obmoˇcij
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
82
POENOSTAVLJENI MODEL DVEH POVEZANIH EES
Simulacijska analiza dveh povezanih reguliranih obmoˇcij
V programskem paketu MATLAB/SIMULINK izvedite analizo obratovanja dveh povezanih reguliranih
obmoˇcij, ki ju prikazuje slika 5.5. Parametri modela obmoˇcja 1 naj ustrezajo agregatu TEŠ5, parametri
modela obmoˇcja 2 pa agregatu NEK:
Kp1
= 83, 6
Kp2
= 150, 0
Ki1
= 90, 0
Ki2
= 156, 0
Tsm1
= 0, 10 s
Tsm2 = 0, 10 s
Tt1
= 0, 35 s
Tt2
= 0, 40 s
Kn1
= 0, 17
Kn2
= 0, 17
Tn1
= 2, 0 s
Tn2
= 6, 6 s
2πS12 = 2πS21 = 21, 2
Sestavite simulacijski model in ga preizkusite za naslednje vkljuˇcitve regulatorjev:
1. samo primarna regulacija frekvence,
2. primarna in sekundarna regulacija regulacija frekvence,
3. primarna in sekundarna regulacija frekvence in moˇci; model dopolnite z ACE.
Vse tri modele vzbujajte tako, da stopniˇcno spremenite odstopanje moˇci bremena loˇceno v 1. sistemu
∆Pb1 (t) iz 0 na 10 MW in loˇceno v 2. sistemu ∆Pb2 (t) iz 0 na 30 MW. Pri tem opazujte naslednje odzive:
• odstopanje frekvence v obeh sistemih ∆f1 (t) in ∆f2 (t),
• odstopanje mehanske moˇci v obeh sistemih ∆Pm1 (t) in ∆Pm2 (t),
• odstopanje moˇci izmenjav na povezovalnem vodu ∆Pv1 (t) = −∆Pv2 (t),
• prispevek sekundarne regulacije v obeh sistemih ∆Pr1 (t) in ∆Pr2 (t) in
• regulacijsko odstopanje v obeh sistemih ACE1 (t) in ∆ACE2 (t).
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
P OGLAVJE
6
Analiza stabilnosti
Paralelno delujoˇci sinhronski generatorji v elektroenergetskem sistemu so dinamiˇcni sistem, zato so mogoˇca
elektromehanska nihanja. Naravo teh nihanj bomo obravnavali v nadaljevanju.
Kaj lahko povzroˇci probleme s stabilnostjo? Glavna razloga sta dva:
• neustrezno izvedena regulacija napetosti in
• povezovanje posameznih EES (nizkofrekvenˇcna nihanja).
Od EES želimo, da sta v stacionarnem stanju napetost in frekvenca konstantni. Motnje v obliki spremembe
bremen, spremembe zgradbe sistema (vklopi in izklopi vodov) povzroˇcijo prehodne pojave (odmike od
stacionarnih stanj), ki naj bi bili cˇ im prej konˇcani.
V elektroenergetsko usmerjeni literaturi (v sistemskem smislu podobnih definicij ne poznamo!) se razliˇcni
avtorji sklicujejo na tri vrste stabilnosti:
• Stacionarna stabilnost (Steady State Stability): EES s svojimi vzbujanji in regulacijskimi napravami
zmore brez veˇcjih težav odpraviti majhne (hkrati tudi poˇcasne) spremembe in ob tem ostane stabilen.
• Dinamiˇcna stabilnost (Dynamic Stability): V tem primeru gre za relativno male spremembe (tudi trenutne motnje) v okolici delovne toˇcke (daljši cˇ asovni intervali). Za analizo lahko uporabimo linearizirane
modele.
• Prehodna stabilnost (Transient Stability): Ta stabilnost se nanaša na veˇcje strukturne spremembe v
EES (krajši cˇ asovni intervali), uporabljajo se nelinearni modeli.
84
ANALIZA STABILNOSTI
Elektromehanska nihanja so vidna predvsem kot nihanja kolesnega kota δ, hitrosti ω in prenesene delovne
in jalove moˇci P in Q. Nihanja so lahko:
• medsistemska (0,2 do 0,5 Hz) in
• nihanja enega agregata.
Poleg tega lahko imamo še:
• nihanja med posameznimi agregati znotraj sistema, cˇ e so regulatorji neustrezno nastavljeni (1,5 do
2,5 Hz) in
• torzijska nihanja gredi (predvsem pri turbogeneratorjih).
Negativne vplive na nihanja povzroˇca naslednje:
• dolgi cevovodi,
• turbinski regulatorji s svojimi mrtvimi cˇ asi,
• napetostni regulatorji z velikimi ojaˇcanji,
• poddimenzionirani povezovalni vodi,
• nepravilno nastavljen frekvenˇcni kanal, ...
Pozitivni vplivi pa so:
• dušilna navitja na SS,
• mehanske izgube,
• ohmska bremena,
• moˇcne medsistemske povezave,
• dodatni stabilizacijski signali,
• povišane napetosti v vozlišˇcih, ...
V nadaljevanju bomo nekoliko natanˇcneje obravnavali predhodno navedeno dinamiˇcno stabilnost.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
85
6.1 Oddana moˇc sinhronskega generatorja
6.1 Oddana moˇc sinhronskega generatorja
Za sinhronski generator, predstavljen z vezjem na sliki 6.1, lahko narišemo kazalˇcni diagram na sliki 6.2.
jxs
Ia
+
+
jxst
Ea
jxσs
r
Uag
SG
Ua
−
−
Slika 6.1: Vezje sinhronskega stroja, prikljuˇcenega na omrežje
xs = xst + xσs
. E − Ua
Ia = a
jxs
Ea
Ea − U a
Ia
δ
Ua
Slika 6.2: Kazalˇcni diagram - sinhronski stroj je prikljuˇcen na togo omrežje
Kompleksna navidezna moˇc je definirana takole:
Ã
Sg =
U a I ∗a
= Ua
Ea − U a
zg
!∗
;
z g = r + jxs ,
kjer sta oddana delovna in jalova moˇc Pg in Qg pri stroju z izraženimi poli doloˇceni z izrazoma:
|Ea ||Ua |
|Ua |2
Pg =
sin δ +
xd
2
Ã
Ã
!
1
1
−
sin 2δ
xd xq
|Ea ||Ua |
cos2 δ sin2 δ
Qg =
cos δ − |Ua |2
+
xd
xd
xq
(6.1)
!
(6.2)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
86
ANALIZA STABILNOSTI
V primeru turbo stroja (xd = xq = xs ) pa sta obe moˇci doloˇceni z izrazoma:
|Ea ||Ua |
sin δ
xs
(6.3)
|Ua |(|Ea | cos δ − |Ua |)
xs
(6.4)
Pg =
Qg =
Sinhronska referencna os v t = 0,
1
1
50 , 100 , ...
Θ0 + ∆Θ
S
a0
a
N
δ
δ = Θ0 + ∆Θ −
π
2
Slika 6.3: Skica modela sinhronskega stroja z oznaˇcitvijo kota δ
6.2 Poenostavljeni model mehanskega podsistema sinhronskega stroja
V nadaljevanju bomo najprej doloˇcili poenostavljeni model mehanskega podsistema sinhronskega stroja.
Pred nastopom prehodnega pojava v stacionarnem stanju (oznaˇceno z (·)0 ) velja ravnotežje med mehansko
in elekriˇcno moˇcjo Pm in Pg :
Pm0 = Pg (δ 0 ) ,
(6.5)
kjer je Pg skupna trifazna elektriˇcna moˇc generatorja.
Med prehodnim pojavom sprememba hitrosti povzroˇci spremembo kinetiˇcne energije stroja, kar se v skladu
z zapisom (6.6) odrazi v poveˇcanju ali zmanjšanju moˇci.
Pm0 = Pg (δ) +
d
Wkin
dt
(6.6)
Vsako energijsko pretvorbo spremljajo izgube, zato jih bomo v obliki moˇci trenja Ptrenja tudi upoštevali:
Pm0 = Pg (δ) +
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
d
Wkin + Ptrenja
dt
(6.7)
87
6.2 Poenostavljeni model mehanskega podsistema sinhronskega stroja
Enaˇcbo (6.7) zapišemo nekoliko drugaˇce, da dobimo:
d
Wkin = Pm0 − Pg (δ) − Ptrenja
dt
(6.8)
Kinetiˇcno energijo vrteˇcega rotorja doloˇca enaˇcba:
1 ˙2
Wkin = J Θ
,
2
(6.9)
˙ pa je
kjer je J skupni vztrajnostni moment turbine in generatorja (seštevek vsega, kar je na skupni osi), Θ
π
kotna hitrost rotorja. Ob upoštevanju ustrezne vrednosti kota Θ = ωt+δ + 2 , je pripadajoˇci odvod kinetiˇcne
energije po cˇ asu, ki nastopa v enaˇcbi (6.8), enak izrazu:
µ
¶
d
d 1 ˙2
.
˙Θ
¨ =
¨ = Jω0 δ¨
Wkin =
JΘ = JΘ
Jω0 ∆Θ
dt
dt 2
(6.10)
Ravnotežje gibajoˇcega se rotorja sinhronskega stroja je podano z enaˇcbo gibanja:
¨ + DΘ
˙ + te = tm ,
JΘ
(6.11)
kjer je elektriˇcni navor stroja te , ob upoštevanju spremenjenih predznakov v (6.54) za ud in uq (predznak za
uv ni spremenjen) in izrazov za ψd in ψq , prav tako v (6.54), doloˇcen z enaˇcbo:
te = iq ψd − id ψq
(6.12)
Z upoštevanjem slednjega lahko zapišemo enaˇcbo (6.11) v obliki:
¨ + DΘ
˙ + iq ψd − id ψq = tm
JΘ
(6.13)
˙ in dobimo (6.14), kjer je mehansko ravnotežje namesto z navori
Enaˇcbo (6.13) pomnožimo s hitrostjo Θ
opisano z moˇcmi.
µ
¶
d 1 ˙2
˙ 2 + Θ(i
˙ q ψd − id ψq ) = Θt
˙ m
J Θ + DΘ
(6.14)
dt 2
Enaˇcbo (6.14) lahko torej izrazimo tudi takole:
d
˙ q ψd − id ψq ) = Pm ,
Wkin + Ptrenja + Θ(i
dt
(6.15)
kjer smo z Wkin oznaˇcili kinetiˇcno energijo, s Ptrenja pa pripadajoˇco moˇc, ki se troši za premagovanje
trenja. V nadaljevanju poglejmo nekoliko podrobneje še elektriˇcno moˇc, doloˇceno z izrazom 6.16.
˙ q ψd − id ψq ) = iq vq + id vd + r(i2 + i2 )
Θ(i
d
q
= 3(Iq Uq + Id Ud ) + 3r(Iq2 + Id2 )
= 3Re{U a I ∗a } + 3r|Ia |2
(6.16)
= 3Pg1f + 3r|Ia |2 = Pg + 3r|Ia |2 ,
kjer smo vzeli Pg = 3Pg1f , pri cˇ emer je Pg1f vrednost moˇci. Zaradi male upornosti r so tudi joulske izgube
3r|Ia |2 zelo male, zato jih bomo zanemarili.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
88
ANALIZA STABILNOSTI
ˇ
Clen
Ptrenja , ki nastopa v (6.15), predstavlja moˇc trenja. Predpostavimo, da se moˇc trenja s hitrostjo
spreminja premosorazmerno, kot to doloˇca enaˇcba:
˙ 2 = k(ω0 + ∆Θ)
˙ 2
Ptrenja = k Θ
˙ + k∆Θ
˙2
= kω02 + 2kω0 ∆Θ
.
˙
= kω02 + 2kω0 ∆Θ
(6.17)
= kω02 + 2kω0 ∆δ˙ ,
ˇ
kjer je k koeficient viskoznega trenja. Clen
kω02 predstavlja izgube v stacionarnem stanju in ga bomo
0
preprosto odšteli od Pm in tako dobili Pm := Pm − kω02 . Ker je kω02 ¿ Pm , bomo dodatno predpostavili,
da velja Pm = Pm0 .
Enaˇcbo gibanja (6.11) lahko z upoštevanjem (6.10) in (6.17) sedaj zapišemo v naslednji obliki:
Jω0 δ¨ + 2kω0 ∆δ˙ + Pg (δ) = Pm
(6.18)
Sedaj bomo enaˇcbo gibanja (6.18) še normirali, za osnovo pa bomo izbrali skupno trifazno navidezno moˇc
Sb . Enaˇcbo (6.18) levo in desno delimo z bazno moˇcjo in dobimo enaˇcbo:
Jω0 ¨ 2kω0 ˙
3Pg (δ)
Pm
Θ+
=
δ+
Sb
Sb
Sb
Sb
(6.19)
Z izrazi (6.20) uvedemo nove parametre, ki so znaˇcilni v elektroenergetiki:
1 Wkin
Jω0
:=
Sb
πf0 Sb
H :=
Wkin
Sb
M :=
H
πf0
D :=
2kω0
Sb
3Pg (δ)
:= Pg (δ)
Sb
[MJ/MVA]
(6.20)
[p.u.]
Z upoštevanjem novih paramerov v (6.19) se ta zapis preoblikuje v enaˇcbo:
M δ¨ + Dδ˙ + Pg (δ) = Pm
[p.u.]
(6.21)
Poudariti je treba, da je enaˇcba zaradi predhodnega normiranja zapisana z relativnimi vrednostmi. Enaˇcba
ˇ upoštevamo, da moˇc Pg (δ) doloˇca
(6.21) predstavlja poenostavljen model mehanskega podsistema. Ce
enaˇcba (6.1) ali (6.3), vidimo, da je (6.21) v osnovi nelinearna. Predpostavimo, da imamo opraviti s turbogeneratorjem, kjer je moˇc Pg (δ) podana s (6.3). Enaˇcbo (6.21) z upoštevanjem (6.3) zapišemo še enkrat in
dobimo:
|Ea ||Ua |
sin δ = Pm [p.u.]
(6.22)
M δ¨ + Dδ˙ +
xs
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
89
6.2 Poenostavljeni model mehanskega podsistema sinhronskega stroja
Izraz (6.22) lineariziramo v okolici delovne toˇcke δ0 . Upoštevajmo torej, da je δ = δ 0 + ∆δ. Linearizacijo
opravimo tako, da Pg v okolici delovne toˇcke δ 0 razvijemo v Taylor-jevo vrsto in uporabimo samo prva dva
cˇ lena. Tako dobimo izraz:
¨ + D(δ˙ 0 + ∆δ)
˙ + |Ea ||Ua | sin δ 0 + |Ea ||Ua | cos δ∆δ = P 0 + ∆Pm
M (δ¨0 + ∆δ)
m
xs
xs
[p.u.]
(6.23)
V stacionarnem stanju zagotovo velja, da je δ¨0 = δ˙ 0 = 0. Vpeljimo še dve novi okrajšavi:
Pg0 :=
|Ea ||Ua |
sin δ 0
xs
S :=
|Ea ||Ua |
cos δ 0
xs
(6.24)
V zapisu (6.23) upoštevamo okrajšavi (6.24), hkrati pa od (6.23) odštejemo stacionarno stanje (moˇci Pg0 in
Pm0 ) in dobimo lineariziran model mehanskega podsistema v obliki enaˇcbe:
M ∆δ¨ + D∆δ˙ + S∆δ = ∆Pm
[p.u.]
(6.25)
Karakteristiˇcna enaˇcba ima naslednjo obliko:
M s2 + Ds + S = 0
(6.26)
Korena sta doloˇcena na takšen naˇcin:
s1,2 =
Obiˇcajno velja, da je
4M S À D2
⇒
−D ±
√
D2 − 4M S
2M
(6.27)
s1,2 = α ± jωd .
Do podobnega poenostavljenega modela mehanskega podsistema sinhronskega stroja v obliki enaˇcbe (6.25)
bi lahko prišli tudi nekoliko drugaˇce, s preoblikovanjem zadnjega dela blokovne sheme na sliki 5.5, ki je še
enkrat prikazan na sliki 6.4.
∆Pm (s)
−
Kn
1+Tn s
∆f (s)
2πS
s
Slika 6.4: Blokovna shema poenostavljenega modela mehanskega podsistema sinhronskega stroja
ˇ sedaj ojaˇcanje 2π upoštevamo v zgornjem bloku in ne v povratni vezavi, dobimo kot izhod iz bloka v
Ce
direktni zanki namesto spremembe frekvence ∆f (s) spremembo hitrosti ∆ω(s). Po integriranju (množenje
z 1s v Laplace-ovem podroˇcju) dobimo na izhodu ∆δ(s), kot je to prikazano na sliki 6.5.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
90
ANALIZA STABILNOSTI
∆Pm (s)
2πKn
1+Tn s
−
1
s
∆δ(s)
S
Slika 6.5: Preoblikovana blokovna shema poenostavljenega modela mehanskega podsistema sinhronskega
stroja
ˇ sedaj za primer na sliki 6.5 izraˇcunamo zaprtozanˇcno nadomestno prenosno funkcijo T (s) dobimo:
Ce
2πK
T (s) =
1
n
∆δ(s)
2πKn
1+Tn s s
=
2πKn 1 = 2
∆Pm (s)
s Tn + s + 2πKn S
1 + 1+Tn s s
1
1
= 2 Tn
= 2
,
1
s M + sD + S
s 2πKn + s 2πKn + S
(6.28)
kjer sta M in D doloˇcena s (6.29). Oˇcitno smo dobili enak rezultat, kot ga predstavlja zapis (6.25).
M=
Tn
2πKn
D=
1
2πKn
(6.29)
Pripadajoˇc model v obliki blokovne sheme je prikazan na sliki 6.6.
∆Pm (s)
∆δ(s)
1
M s2 +Ds+S
Slika 6.6: Blokovna predstavitev enaˇcbe (6.28)
V primeru nedušenih nihanj (D = 0) sta realna dela korenov karakteristiˇcne enaˇcbe (6.27) oba enaka
niˇc, s konjigiranokompleksina deloma pa je doloˇcena lastna frekvenca nihanj generatorja. Z upoštevanjem
H
(M = πf
) je le-ta izražena kot:
0
s
s
S
Sπf0
ωn =
=
(6.30)
M
H
Z narašˇcanjem moˇci Pg pada S (6.24) in to niža frekvenco nihanja. Nihanja so skicirana na sliki 6.7.
Analogijo bi lahko poiskali v primeru s slike 6.8, kjer lahko zakljuˇcimo, da mehkejša kot bo vzmet, nižje
bodo frekvence nihanj.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
91
6.2 Poenostavljeni model mehanskega podsistema sinhronskega stroja
Pm
π
2
0.0
ωt
π
δ
ωt
Slika 6.7: Nihanja rotorja sinhronskega generatorja za dve razliˇcni obremenitvi
δ
M
Pm
0.0
Slika 6.8: Ponazoritev gibajoˇcega se rotorja
Simulacijska analiza lastnih nihanj generatorja pri razliˇcnih obremenitvah
Sinhronski generator je prikljuˇcen na toge zbiralke (neskonˇcna kratkostiˇcna moˇc) preko voda z reaktanco
xv = 0, 4 p.u. Napetost na zbiralkah je |U∞ | = 1 p.u., notranja inducirana napetost je |Ea | = 1, 8 p.u.,
reaktanca cilindriˇcnega rotorja je xd = xq = 1 p.u., vztrajnostna konstanta pa je H = 1, 25.
1. Za vrednosti obremenitve Pg0 = 0, 05; 0, 5 in 1, 2 p.u. izraˇcunajte vrednost kolesnega kota v delovni toˇcki
δ 0 v [0 ], parameter linearizacije S, ter frekvenco nedušenih nihanj fn = ωn /2π v [Hz].
2. V programskem paketu MATLAB/SIMULINK sestavite nelinearen in linearizirani model mehanskega
podsistema sinhronskega stroja. Za vrednosti obremenitve Pg0 = 0, 05; 0, 5 in 1, 2 p.u. in za razliˇcna
dušenja D = 0; 0, 03 in 0, 3 opazujte cˇ asovne odzive kolesnega kota δ(t) v [0 ] obeh dinamiˇcnim modelov.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
92
ANALIZA STABILNOSTI
Poenostavljeni model dveh paralelno delujoˇcih sinhronskih strojev
Model dveh paralelno delujoˇcih sinhronskih generatorjev, s katerim bomo analizirali lastna nihanja, dobimo tako, da ustrezno sestavimo dva modela s slike 6.5. Tako dobimo model dveh paralelno delujoˇcih
generatorjev na sliki 6.9, ki je zelo podoben tistemu iz predhodnega poglavja.
∆Pm1
−
2πKn1
1+Tn1 s
1
s
∆δ1
+
S1
−
∆Pm2
−
2πKn2
1+Tn2 s
1
s
∆δ2
+
S2
−
Slika 6.9: Model dveh paralelno delujoˇcih generatorjev
Model dveh paralelno delujoˇcih strojev ponazarjata enaˇcbi:
M1 ∆δ¨1 + D1 ∆δ˙1 + S1 (∆δ1 − ∆δ2 ) = ∆Pm1
(6.31)
M2 ∆δ¨2 + D2 ∆δ˙2 + S2 (∆δ2 − ∆δ1 ) = ∆Pm2
(6.32)
Predpostavimo, da so joulske izgube enake niˇc (vse ohmske upornosti so niˇc) in naj velja:
S1 (∆δ1 − ∆δ2 ) + S2 ∆(δ2 − ∆δ1 ) = 0
(6.33)
∆Pm1 + ∆Pm2 = 0
(6.34)
Hkrati predpostavimo:
D2
D1
=
∆Pm2 = −∆Pm1
M1
M2
Z upoštevanjem (6.33) in (6.35) v enaˇcbi (6.32) dobimo enaˇcbo:
M2 ∆δ¨2 + D2 ∆δ˙2 − S1 (∆δ1 − ∆δ2 ) = −∆Pm1
(6.35)
(6.36)
Sedaj enaˇcbo (6.31) delimo z M1 , enaˇcbo (6.36) pa z M2 in dobimo enaˇcbi:
∆δ¨1 +
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
D1 ˙
S1
1
∆δ1 +
(∆δ1 − ∆δ2 ) = ∆Pm1
M1
M1
M1
(6.37)
93
6.3 Poenostavljeni model sinhronskega stroja
D2 ˙
S1
1
∆δ2 −
(∆δ1 − ∆δ2 ) = −∆Pm1
M2
M2
M2
Enaˇcbo (6.38) odštejemo od (6.37) in dobimo:
∆δ¨2 +
µ
¶
µ
(6.38)
¶
D1 ˙
1
1
1
1
∆δ¨12 +
∆δ12 +
+
S1 (∆δ12 ) =
+
∆Pm1
M1
M1 M2
M1 M2
(6.39)
ˇ predpostavimo, da sta obe dušenji enaki niˇc D1 = D2 = 0, lahko za doloˇcitev lastne frekvence uporaCe
bimo metodo enakih površin. Lastna frekvenca nedušenega nihanja ωn dveh paralelno delujoˇcih generatorjev je tako:
s
ωn
S1 (M1 + M2 )
ωn =
fn =
(6.40)
M1 M2
2π
ˇ morda hkrati velja še M1 = M2 je v skladu z enaˇcbo (6.40) lastna frekvenca nedušenega nihanja ωn dveh
Ce
paralelno delujoˇcih generatorjev za koren iz dva krat veˇcja od lastne frekvence enega samega generatorja
6.3 Poenostavljeni model sinhronskega stroja
Sinhronski generatorji delujejo v elektoenergetskem sistemu paralelno. Generatorji so trifazni, v sistem jih
povezuje trifazno omrežje. Uveljavljeni model sinhronskega stroja, ki se uporablja v analizi obratovalnih
lastnosti, je dvofazni model stroja v skupnem dq-koordinatnem sistemu. Podoben model bomo uporabili
tudi za študij stabilnosti. Samo po sebi se sedaj postavlja vprašanje, kako je v analizi mogoˇce med sabo
povezati dvofazni model generatorja s trifaznim omrežjem ali z veˇc podobnimi modeli sinhronskih strojev.
Ena od možnosti je shematiˇcno prikazana na sliki 6.10, kjer je prikazano, kako je mogoˇce n generatorjev
povezati z modelom omrežja in bremeni, s tem da je tudi omrežje obravnavano dvofazno.
tm1
Uv1
Iq1 , Id1
Model
generatorja Uq1 , Ud1
1
Transformacija
1
In+1
Ia1
zn+1
Ua1
Un+1
δ1
Model
EES
I0 = Y0 U0
tmn
Uvn
Iqn , Idn
Model
generatorja Uqn , Udn
n
Transformacija
n
Ian
In+m
zn+m
Uan
Un+m
δn
Slika 6.10: Blokovna shema povezave sinhronskih strojev in bremen z omrežjem
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
94
ANALIZA STABILNOSTI
Sistem obravnave in vkljuˇcevanja generatorjev v omrežje pa velja v okviru dveh omejitev. Z njim je mogoˇce
preprosto raˇcunati v primeru simetrije, ko je vsota tokov in napetosti enaka niˇc (i0 = u0 = 0) in torej imamo
opraviti samo s “pozitivnim sistemom”. Druga znaˇcilnost, ki niti ni omejitev, je ta, da tak model velja samo
za stacionarna stanja in poˇcasne spremembe.
Model omrežja, ki povezuje generatorje in bremena je podan z matriˇcnim zapisom:
Io = Yo Uo ,
(6.41)
kjer je Io matrika omrežnih tokov, Yo je admitanˇcna omrežna matrika, Uo pa je matrika omrežnih napetosti.
V primeru numeriˇcne analize – reševanja kompleksnega sistema na sliki 6.10, se je treba zavedati, da je
potrebno zapis (6.41) v skladu z izbrano cˇ asovno diskretizacijo reševati skupaj z modeli generatorjev in
bremen.
V pojasnjevanje sistema reševanja se v nadaljevanju ne bomo spušˇcali, saj naš namen ni pojasnjevanje
delovanja programov, ki takšno analizo omogoˇcajo. Pojasniti želimo samo to, kakšne so povezave med
spremenljivkami v modelu sinhronskega stroja in tistimi, ki nastopajo v omrežju, torej v matriˇcnem zapisu (6.41).
Povezave najlažje pojasnimo s kazalˇcnim diagramom na sliki 6.11.
Im– os
d– os
q – os
Ua
Im{U a }
Uq ejδ
jUd
δ
ejδ
Re{U a }
Re– os
Slika 6.11: Kazalˇcni diagram z dvema razliˇcnima sistemoma
Na sliki imamo dva koordinatna sistema. Prvi dq-koordinatni sistem je referenˇcen za sinhronski stroj, saj
je vezan na magnetno polje vzbujalnega sistema vsakega posameznega generatorja, ki deluje v sistemu.
Na podlagi zapisanega je jasno, da ima vsak sinhronski stroj svoj lasten dq-koordinatni sistem, ki je za
njemu lasten kot δ premaknjen od koordinatnega sistema omrežja, ki je podan z realno (Re) in z imaginarno (Im) osjo. Omrežni koordinatni sistem je torej skupni imenovalec, na katerega je potrebno pretvoriti
spremenljivke (toke ali napetosti) posameznih generatorjev, ki so zajeti v analizo.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
95
6.3 Poenostavljeni model sinhronskega stroja
Predpostavimo, da so cˇ asovni poteki statorskih napetosti generatorja doloˇceni z naslednjimi zapisi:
√
ua =
2|U | cos(ω0 t + 6 U )
√
(6.42)
+ 6 U)
ub =
2|U | cos(ω0 t − 2π
3
√
uc =
2|U | cos(ω0 t − 4π
+ 6 U) ,
3
kjer velja Θ = ω0 t + π2 + δ, |U | je modul napetosti ua (efektivna vrednost napetosti ua ), 6 U je kot napetosti
√
glede na Re os, 2|U | pa je torej vršna vrednost te napetosti. Z ustrezno transformacijo (6.43), ki smo jo
spoznali že pri splošni teoriji elektriˇcnih strojev, pretvorimo napetosti v dq-sistem (6.45). Pri tem je zaradi
zahtevane simetrije (glej zaˇcetne predpostavke) napetost u0 = 0.



s
− sin Θ
uq
2


 ud  =
 cos Θ
3
√1
u0
2


− sin(Θ − 1200 ) − sin(Θ − 2400 )
ua


cos(Θ − 1200 )
cos(Θ − 2400 ) 
  ub 
1
1
√
√
uc
2
2
(6.43)
Transformacija (6.43) je invariantna na moˇc (ortogonalna), zato dobimo inverzno transformacijo preprosto
tako, da transformacijsko matriko transponiramo. Napetosti uq in ud torej doloˇca zapis:
√
uq = 3|U | cos(6 U − δ)
(6.44)
√
ud = 3|U | sin(6 U − δ)
Obe komponenti dvofaznih napetosti lahko združimo v kompleksnem zapisu:
√
√
√
6
uq + jud = 3|U |(cos(6 U − δ) + j sin(6 U − δ)) = 3|U |ej( U −δ) = 3U a e−jδ ,
(6.45)
6
kjer je kazalec napetosti U a doloˇcen kot U a = |U |ej U . Iz izraza (6.45) sedaj izrazimo kazalec napetosti
U a in dobimo:
Ã
!
uq
ud
√ + j √ ejδ
Ua =
3
3
(6.46)
(Uq + jUd )ejδ
=
Transformacije med napetostima v generatorskem dq-koordinatnem sistemu in omrežnim koordinatnim
sistemom z Re in Im osjo podajata transformaciji:
·
"
Uq
Ud
Re{U a }
Im{U a }
"
¸
=
#
"
=
cos δ sin δ
− sin δ cos δ
cos δ − sin δ
sin δ
cos δ
#"
#·
Re{U a }
Im{U a }
Uq
Ud
¸
#
(6.47)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
96
ANALIZA STABILNOSTI
6.4 Stacionarni model sinhronskega stroja
V stacionarnem stanju sta toka v dušilnih navitjih niˇc, torej iD = iQ = 0. Zato v modelu elektriˇcnega
podsistema sinhronskega stroja (4.1) upoštevamo samo prve tri enaˇcbe in v njih dodatno vzamemo, da sta
toka iD in iQ niˇc:
ud = −rid − ω0 ψq
uq = −riq + ω0 ψd
uv = r v i v
(6.48)
ψd = ld id + klhd iv
ψv = klhd id + lv iv
ψq = l q i q
Napetost na sponkah stroja je v skladu z definicijama (6.46) enaka zapisu:
1
(Uq + jUd )ejδ = −r(Iq + jId )ejδ + (ω0 ld Id − jω0 lq Iq )ejδ + √ ω0 klhd iv ejδ ,
3
kjer velja:
(6.49)
U a = (Uq + jUd )ejδ
I a = (Iq + jId )ejδ
1
ω0 lhd
E a = √ ω0 klhd iv ejδ = √ iv ejδ
3
2
xd = ω0 ld
ψd = ld id + klhd iv
xq = ω0 lq
s
k
=
(6.50)
3
2
Pri zadnjem cˇ lenu enaˇcbe (6.49) smo dodali konstanto √13 zato, ker velja Uq =
(6.49) sedaj zapišemo krajše, z upoštevanjem (6.50), in dobimo:
U a = −rI a + xd Id ejδ − jxq Iq ejδ + E a
u
√q
3
in Ud =
ud
√
.
3
Enaˇcbo
(6.51)
ˇ z izrazom (6.52) definiramo dva nova toka, Iad in Iaq , lahko kazalec inducirane napetosti E a v (6.51)
Ce
izrazimo s (6.53).
(6.52)
Iad := jId ejδ
Iaq := Iq ejδ
E a = U a + rI a + jxd Iad + jxq Iaq
(6.53)
Enaˇcbo (6.53) grafiˇcno ponazarja kazalˇcni diagram na sliki 6.12. Preden narišemo kazalˇcni diagram na sliki
6.12, moramo doloˇciti položaj koordinatnega sistema dq, kar storimo tako, da kazalcu napetosti U a grafiˇcno
prištejemo ustrezen ohmski padec napetosti rI a in induktivni padec napetosti jxq I a oziroma jxs I a (ˇcrtkana
oznaka).
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
97
6.5 Poenostavljeni dinamiˇcni model sinhronskega stroja
d–os
Im– os
q–os
Ea
jxq Iaq
Iaq
δ
Re– os
ϕ
Ua
Ia
Iad
rI a
jxd Iad
jxq I a
jxs I a
Slika 6.12: Kazalˇcni diagram sinhronskega stroja – ponazoritev enaˇcbe (6.53)
6.5 Poenostavljeni dinamiˇcni model sinhronskega stroja
Pri doloˇcitvi poenostavljenega dinamiˇcnega modela sinhronskega stroja bomo predpostavili naslednje:
• Sinhronski generator obratuje paralelno, imamo simetriˇcne napetosti (u0 = i0 = 0).
• Transformacijski kot je Θ = ω0 t +
π
2
˙ ¿ ω0 .
+ δ in |δ|
• ψ˙ d in ψ˙ q sta mala v primerjavi z ω0 ψd in ω0 ψq , zato ju zanemarimo.
• Toka v dušilnih navitjih sta niˇc, torej iD = iQ = 0.
Model stroja, ki bo služil za doloˇcitev poenostavljenega dinamiˇcnega modela sinhronskega stroja (6.54), je
zelo podoben stacionarnemu (6.48). Razlika se pojavi samo v zapisu tretje enaˇcbe, ki opisuje dogajanje v
vzbujalnem navitju:
ud = −rid − ω0 ψq
uq = −riq + ω0 ψd
uv = rv iv + ψ˙ v
(6.54)
ψd = ld id + klhd iv
ψv = klhd id + lv iv
ψq = l q i q
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
98
ANALIZA STABILNOSTI
Z izrazom (6.55) bomo sedaj definirali tako imenovano statorsko napetost E 0a , ki se bo razlikovala od tretje
enaˇcbe v zapisu (6.50) po tem, da bo v njej namesto toka iv nastopal vzbujalni magnetni sklep ψv .
ω0 lhd
E 0a := √ ejδ ψv
2lv
(6.55)
V zapisu (6.55) je |Ea0 | dolžina kazalca E 0a in je sorazmerna ψv , podobno kot je bila dolžina kazalca |Ea |
premosorazmerna vzbujalnemu toku iv .
ˇ sedaj v izraz (6.55) za ψv uvrstimo peto enaˇcbo iz zapisa (6.54) dobimo zapis:
Ce
ω0 lhd
ω0 kl2
ω0 lhd
E 0a := √ ejδ ψv = √ hd ejδ id + √ ejδ iv
2lv
2lv
2lv
(6.56)
Drugi cˇ len v enaˇcbi (6.56) je oˇcitno napetost E a , kot je bila definirana s (6.50). Prvi cˇ len v (6.56) bomo
sedaj izrazili nekoliko drugaˇce, z zapisom:
√ 2
2
√
ω0 klhd
ω0 3lhd
k 2 l2
jδ
√
e id = √ √ ejδ 3Id = ω0 hd ejδ Id = ω0 (ld − ld0 )ejδ Id ,
(6.57)
lv
2lv
2 2lv
kjer smo upoštevali nekatere že znane odvisnosti:
id =
√
s
3Id
;
k=
3
2
;
ld0
(klhd )2
= ld −
lv
(6.58)
Z upoštevanjem (6.58) lahko enaˇcbo (6.57) zapišemo v obliki:
E 0a = ω0 (ld − ld0 )Id ejδ + E a = j(x0d − xd )jId ejδ + E a
(6.59)
Enaˇcbo (6.59) bomo sedaj preoblikovali tako, da vanjo za E a vstavimo izraz (6.53). Rezultat preoblikovane
enaˇcbe predstavlja zapis:
E 0a = jx0d jId ejδ + xd Id ejδ + U a + rI a + jxd Iad + jxq Iaq
= jx0d jId ejδ + xd Id ejδ + U a + rI a − xd Id ejδ + jxq Iaq
= U a + rI a + jx0d Iad + jxq Iaq
Enaˇcbo (6.60) grafiˇcno ponazarja kazalˇcni diagram na sliki 6.13.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(6.60)
99
6.5 Poenostavljeni dinamiˇcni model sinhronskega stroja
d–os
Im– os
q–os
Ea
E 0a
jxq Iaq
Iaq
jxq Iaq
δ
Re– os
ϕ
Ua
Iad
Ia
jx0d Iad
rI a
j(xd −
x0d )Iad
Slika 6.13: Kazalˇcni diagram sinhronskega stroja – ponazoritev enaˇcbe (6.60)
Izraz za uv (tretja enaˇcba v zapisu (6.54)) pomnožimo s faktorjem
ω
√0 lhd
2rv
in dobimo:
ωl
ωl
ωl d
√0 hd uv = √0 hd rv iv + √0 hd ψv
2rv
2rv
2rv dt
(6.61)
Iz izraza za ψv (peta enaˇcba v zapisu (6.54)) izrazimo tok iv in dobimo:
ψv = klhd iv + lv iv
⇒
iv =
ψv klhd
−
id
lv
lv
(6.62)
Tok iv vstavimo v prvi cˇ len v zapisu (6.61) in dobimo zapis:
Ã
!
ωl
ωl
ψv klhd
√0 hd rv iv = √0 hd rv
−
id
lv
lv
2rv
2rv
ω0 lhd ψv
ω0 lhd klhd
− √ rv
id
= √ rv
lv
2rv lv
2rv
2
ω0 klhd
0
√
= |Ea | −
id
2lv
= |Ea |
(6.63)
Pri tem smo upoštevali, da v skladu s tretjo enaˇcbo iz zapisa (6.50) – stacionarni model sinhronskega stroja,
velja:
ωl
ω0 lhd
√0 hd uv = √
iv = |Ea |
(6.64)
2rv
2
saj v stacionarnem stanju velja, da je iv = urvv . Prav tako lahko ugotovimo, da se tretja vrstica v zapisu
(6.63) ujema s (6.59), kjer je treba upoštevati (6.57).
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
100
ANALIZA STABILNOSTI
ˇ sedaj še enkrat izpišemo drugi cˇ len izraza (6.61) in hkrati upoštevamo, kako smo z izrazom (6.55)
Ce
definirali kazalec E 0a (trenutno nas zanima samo absolutna vrednost |Ea0 | brez kota), v skladu z (6.65)
dobimo zelo preprost rezultat, ki ga bomo v nadaljevanju upoštevali v preoblikovanem zapisu enaˇcbe (6.61).
ωl d
l ωl d
l d
√0 hd ψv = v √0 hd ψv = v |Ea0 |
rv 2lv dt
rv dt
2rv dt
(6.65)
ˇ z zapisom (6.66) v enaˇcbi (6.61) uvedemo dodatno novo oznako:
Ce
ω0 lhd
Evd := √ uv
2rv
(6.66)
lahko enaˇcbo (6.61) zapišemo v njeni konˇcni obliki (6.67), kjer smo poleg (6.66) upoštevali še (6.64) in
(6.65).
lv d 0
0 d
Evd = |Ea | +
|Ea | = |Ea | + Td0
|E 0 |
(6.67)
rv dt
dt a
0
Pri tem smo vpeljali cˇ asovno konstanto Td0
= rlvv . Razmerje med |Ea0 | in |Ea | je razvidno iz kazalˇcnega
diagrama na sliki 6.13. Napetost Evd je na nek naˇcin na stator preraˇcunana (skalirana) vrednost vzbujalne
napetosti uv ; enota Evd je torej primerljiva z enoto |Ea |, v primeru uporabe relativnih vrednosti pa za
normiranje obeh uporabimo isto bazno vrednost napetosti.
Poenostavljeni dinamiˇcni model sinhronskega stroja v normirani obliki tako doloˇcata dve diferencialni
enaˇcbi (6.21) in (6.67), ki ju zapišemo še enkrat:
M δ¨ + Dδ˙ + Pg (δ) = Pm
0
Td0
[p.u.]
d 0
|E | + |Ea | = Evd
dt a
in dve algebrajski kompleksni enaˇcbi:
E a = U a + rI a + jxd Iad + jxq Iaq
(6.68)
E 0a = U a + rI a + jx0d Iad + jxq Iaq
(6.69)
V (6.68) in (6.69) lahko opravimo tudi zamenjavi Iad = jId ejδ in Iaq = jIq ejδ . V (6.21) je splošno
ˇ zanemarimo upornost, torej r = 0, velja naslednje:
Pg = Re{U a I ∗a }. Ce
|Ua |2
|Ea ||Ua |
sin δm +
Pg =
xd
2
oziroma:
Pg0
|Ua |2
|E 0 ||Ua |
sin δm +
= a0
xd
2
kjer velja δm := 6 Ea − 6 Ua = 6 Ea0 − 6 Ua = δ − 6 Ua .
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
Ã
Ã
!
1
1
−
sin 2δm
xd xq
(6.70)
!
1
1
−
sin 2δm ,
0
xd xq
(6.71)
101
6.6 Obratovanje sinhronskega generatorja preko vmesne reaktance na togem omrežju
6.6 Obratovanje sinhronskega generatorja preko vmesne reaktance
na togem omrežju
Predpostavimo, da obratuje generator preko vmesne reaktance na togem omrežju, kot je to razvidno iz slike
6.14.
SG
|Ea0 |6 δ
jxv
U∞ 6 0o
x
¯ = x + xv
Slika 6.14: Obratovanje generatorja preko vmesne reaktance na togo omrežje
Razmere so prikazane v obliki kazalˇcnega diagrama na sliki 6.15
d–os
Im– os
U∞ cos δ
Iaq
δ
U∞
ϕ
Iad
E 0a
j x¯0d Iad
q–os
Ea
jxq Iaq
j(¯
xd − x¯0d )Iad
Re– os
Ia
Slika 6.15: Kazalˇcni diagram sinhronskega stroja – ponazoritev primera na sliki 6.14
Na podlagi razmer na sliki 6.15 lahko zapišemo odvisnost:
x¯d |Iad |
x¯d
|Ea | − |U∞ | cos δ
= 0
= 0
0
|Ea | − |U∞ | cos δ
x¯d |Iad |
x¯d
(6.72)
Na tej podlagi lahko |Ea | izrazimo z |Ea0 | in δ neposredno iz enaˇcbe (6.72), tako da dobimo enaˇcbo:
|Ea | =
x¯d 0
x¯d0 − x¯d
|
+
|U
|
|E
cos δ
∞
x¯0d a
x¯0d
(6.73)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
102
ANALIZA STABILNOSTI
ˇ v enaˇcbi 6.73 upoštevamo na novo uvedeni parameter:
Ce
x¯0d
x0 d + xv
K3 =
=
,
x¯d
xd + xv
(6.74)
lahko izrazimo |Ea | zapisom:
µ
|Ea | =
¶
1
1
|Ea0 | + 1 −
|U∞ | cos δ ,
K3
K3
(6.75)
kjer velja naslednje: xv > 0 in x0d < xd ⇒ 0 < K3 < 1.
Sedaj 6.75 vstavimo v enaˇcbo (6.67) in tako dobimo:
d 0
|Ea | + |Ea0 | = K3 Evd + (1 − K3 )|U∞ | cos δ
dt
Enaˇcbi (6.76) sedaj pridružimo še enaˇcbo gibanja (6.21):
0
K3 Td0
M δ¨ + Dδ˙ + Pg (δ) = Pm
(6.76)
[p.u.] ,
kjer je moˇc Pg doloˇcena z zapisom:
Pg =
Pg (δ, |Ea0 |)
|U∞ |2
|Ea0 ||U∞ |
sin δ +
=
x¯0d
2
Ã
!
1
1
−
sin 2δ
x¯q x¯d
(6.77)
Predpostavimo stacionarno obratovanje in stacionarne vrednosti spremenljivk (·) v delovni toˇcki 0 oznacˇ imo na naslednji naˇcin (·)0 , torej:
δ
= δ0
|Ea0 | = |Ea0 |0
Pg = Pg0 = Pg (δ 0 , |Ea0 |0 )
0
Evd = Evd
(6.78)
Sicer nelinearni model bomo linearizirali tako, da bomo sistem opazovali samo v bližnji okolici toˇcke, kjer
bomo linearizacijo opravili. Male odmike od delovne toˇcke oznaˇcimo po naslednjem vzorcu:
δ = δ 0 + ∆δ,
|Ea0 | = |Ea0 |0 + ∆|Ea0 |,
...
(6.79)
Z izrazom (6.79) uvedene spremenljivke sedaj vstavimo v (6.76) in (6.21) in odštejemo vrednosti v stacionarni delovni toˇcki. Razmere med ∆δ, ∆|Ea0 |, ∆Evd in ∆Pm sedaj doloˇcata linearizirani diferencialni
enaˇcbi:
0 d
∆|Ea0 | + ∆|Ea0 | = K3 ∆Evd − (1 − K3 )|U∞ | sin δ 0 ∆δ
K3 Td0
dt
(6.80)
∂Pg (δ 0 , |Ea0 |0 )
∂Pg (δ 0 , |Ea0 |0 )
0
¨
˙
∆|Ea | = ∆Pm
M ∆δ + D∆δ +
∆δ +
∂δ
∂|Ea0 |
Enaˇcbi (6.80) bomo v nadaljevanju dodatno preoblikovali z uvedbo treh novih parametrov K1 , K2 in K4 :
∂Pg (δ 0 , |Ea0 |0 )
∂δ
∂Pg (δ 0 , |Ea0 |0 )
=
∂|Ea0 |
µ
¶
1
=
− 1 |U∞ | sin δ 0
K3
K1 =
K2
K4
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
(6.81)
103
6.6 Obratovanje sinhronskega generatorja preko vmesne reaktance na togem omrežju
ˇ opravimo Laplace-ovo transformacijo obeh
Parametra K1 in K2 doloˇcimo z odvajanjem enaˇcbe (6.77). Ce
enaˇcb zapisa (6.80) in predpostavimo, da so zaˇcetni pogoji niˇc, ter hkrati upoštevamo (6.81), dobimo model
v obliki enaˇcb:
0
(K3 Td0
s + 1)∆|Ea0 | = K3 ∆Evd − K3 K4 ∆δ
(6.82)
(M s2 + Ds + K1 )∆δ = ∆Pm − K2 ∆|Ea0 |
Enaˇcbi (6.82) lahko ponazorimo z blokovno shemo na sliki 6.16.
∆Pm
G1 (s)
G2 (s)
∆|Ea0 |
∆Evd
−
K3
1+K3 T 0 s
d0
−
K2
∆δ
1
M s2 +Ds+K1
K4
Slika 6.16: Blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamiˇcnega modela sinhronskega stroja
Generator z regulacijo napetosti, prikljuˇcen na togo omrežje preko vmesne reaktance
Predpostavimo, da napetostno reguliran sinhronski generator obratuje preko vmesne reaktance na togo
omrežje, kot je to prikazano na sliki 6.17.
Ua
Regul.
napet.
SG
|Ea0 |6 δ
Ua
jxv
U∞ 6 0o
x
¯ = x + vv
Slika 6.17: Obratovanje generatorja z regulacijo napetosti, prikljuˇcen na togo omrežje preko vmesne reaktance
Odstopanje napetosti ∆|Ua | od vrednosti v delovni toˇcki na sponkah stroja doloˇca enaˇcba (6.83), ki je
povzeta po literaturi.
(6.83)
∆|Ua | = K5 ∆δ + K6 ∆|Ea0 |
Reaktanco voda xv ponovno upoštevamo v x0d in xq in dalje raˇcunamo z x¯0d = x0d + xv in x¯q = xq + xv .
Inducirano napetost E 0a predstavlja zapis:
E 0a = U ∞ + j x¯0d jId ejδ + j x¯q Iq ejδ
(6.84)
Enaˇcbo (6.84) pomnožimo z ejδ in tako doloˇcimo ustrezno amplitudo inducirane napetosti |Ea0 | (absolutna
vrednost ali norma):
|Ea0 | = |U∞ | cos δ − j|U∞ | sin δ − x¯0d Id + j x¯q Iq
(6.85)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
104
ANALIZA STABILNOSTI
V (6.85) sta ustrezna toka Id in Iq doloˇcena z enaˇcbama:
Id =
|U∞ | − |Ea0 |
x¯0d
in
Iq =
|U∞ |sinδ
x¯q
(6.86)
Sedaj lahko izraˇcunamo napetost U a v obliki izraza:
U a = U ∞ + jXv I a
(6.87)
V (6.87) upoštevamo:
U a = (Uq + jUd )ejδ
I a = (Iq + jId )ejδ
in
(6.88)
in dobimo:
(Uq + jUd ) = |U∞ | cos δ − j|U∞ | sin δ + jxv (Iq + jId )
(6.89)
Zapis (6.89) lahko loˇcimo na dva dela in sicer:
Uq = |U∞ | cos δ − xv Id =
xv 0
xv
|Ea | + 0 |U∞ | cos δ
0
x¯d
x¯d
in
Ud = −
xq
|U∞ | sin δ
x¯q
(6.90)
Amplituda kazalca napetosti U a je doloˇcena z izrazom:
1
|Ua | = (Uq2 + Ud2 ) 2
(6.91)
V zapisu (6.91) upoštevamo (6.90). Tako doloˇcena amplituda napetosti |Ua | je nelinearna (v zapisu nastopajo sinusne in kosinusne funkcije), zato opravimo linearizacijo v okolici delovne toˇcke |Ea0 | = |Ea0 |0 ,
δ = δ 0 in |Ua | = |Ua |0 . Rezultat linearizacije je linearizirana odvisnost:
∆|Ua | =
∂|Ua |0
∂|Ua |0
∆δ +
∆|Ea0 |
∂δ
∂|Ea0 |
(6.92)
ˇ primerjamo (6.92) z (6.83) oˇcitno velja:
Ce
K5 :=
∂|Ua |0
∂δ
in K6 :=
∂|Ua |0
∂|Ea0 |
(6.93)
Sedaj izraˇcunajmo parameter K5 . S posrednim odvajanjem (6.83) po kotu δ dobimo:
Ã
´− 1
1³ 2
∂Uq
∂Ud
∂|Ua |
=
Uq + Ud2 2 2 Uq
+ Ud
∂δ
2
∂δ
∂δ
!
(6.94)
Z upoštevanjem (6.90) dobimo:
∂|Ua |0
= −|U∞ |
K5 =
∂δ
Ã
x0d Uq0
xq Ud0
0
sin
δ
+
cos δ 0
x¯0d |Ua |0
x¯q |Ua |0
!
(6.95)
Pri doloˇcitvi K5 moramo iz podanih vrednosti δ 0 in |Ea0 |0 torej doloˇciti Uq0 in Ud0 , potem pa iz tega |Ua |0 in
K5 . Pri tem je pomembno, da je lahko K5 pozitiven ali negativen. Pri malih obremenitvah je K5 pozitiven,
pri velikih pa negativen, kar lahko povzroˇci stabilnostne probleme, saj je napetost Uq0 pozitivna, napetost
Ud0 pa negativna.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
105
6.6 Obratovanje sinhronskega generatorja preko vmesne reaktance na togem omrežju
Sedaj bomo izraˇcunali še K6 in pri tem upoštevali, da velja x¯0d = x0d + xv . S posrednim odvajanjem (6.83)
po napetosti |Ea0 | dobimo:
Ã
´ 1
∂|Ua |
1³ 2
∂Uq
∂Ud
2 −2
=
U
+
U
2 Uq
+ Ud
q
d
0
0
∂|Ea |
2
∂|Ea |
∂|Ea0 |
!
(6.96)
Z upoštevanjem (6.90) izraˇcunamo:
K6 =
∂|Ua |0
xv Uq0
=
|E 0 |0
∂|Ea0 |
x¯0d |Ua |0 a
(6.97)
Glede na zapis (6.97) je torej K6 v normalnih razmerah pozitiven.
Sedaj lahko linearizirani poenostavljeni model sinhronskega stroja v obliki blokovne sheme na sliki 6.16
dopolnimo z izrazom (6.92) in tako dobimo linearizirani model sinhronskega stroja, z upoštevano regulacijo
napetosti na sliki 6.18.
1
1+Tf s
∆|Ua |
+
K5
+
K6
∆Pm
G1 (s)
−
G2 (s)
∆Evd
∆Ur
Gv (s)
∆Uv
−
K3
1+K3 T 0 s
d0
K2
∆|Ea0 |
−
(y)
∆δ
1
M s2 +Ds+K1
(x)
K4
Slika 6.18: Blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamiˇcnega modela sinhronskega stroja, z
upoštevano regulacijo napetosti
Na sliki 6.18 Gv (s) predstavlja prenosno funkcijo, v kateri sta zajeta modela regulatorja napetosti in vzbujalnika. Blok Gf (s) z zelo malo cˇ asovno konstanto Tf predstavlja filter in ga v nadaljnji obravnavi lahko
tudi izpustimo.
Za lažjo analizo stabilnosti bomo opravili nekatere dodatne poenostavitve, s tem da bomo izbrali Tf = 0,
prenosno funkcijo Gv (s) nadomestimo s Kv = Gv (0); Kv > 0 in ∆Ur = 0.
Z uporabo pravil blokovne algebre preoblikujemo blokovno shemo na sliki 6.18 levo od toˇcke (y) tako, da
ostane sistem med toˇckama (x) in (y) nespremenjen. Na podlagi slike 6.18 velja naslednje:
∆|Ea0 |(s) =
K3
[−K4 ∆δ(s) − Kv (K5 ∆δ(s) + K6 ∆|Ea0 |(s))]
0
1 + K3 Td0
s
(6.98)
Spremenljivka ∆|Ea0 |(s) nastopa na levi in desni strani izraza (6.98), zato jo v izrazu (6.99) izpostavimo na
levi strani enaˇcbe.
Ã
!
K3 Kv K6
−K3 (K4 + Kv K5 )
0
∆|Ea |(s) 1 +
=
∆δ(s)
(6.99)
0
0
1 + K3 Td0 s
1 + K3 Td0
s
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
106
ANALIZA STABILNOSTI
Sedaj z izrazom uvedemo novo prenosno funkcijo:
∆|Ea0 |(s)
−K3 (K4 + Kv K5 )
Gvv (s) =
=
0
∆δ(s)
1 + K3 Kv K6 + K3 Td0
s
(6.100)
Blokovno shemo na sliki 6.18 lahko sedaj zaradi omenjene spremembe narišemo tako, kot jo kaže slika
6.19.
∆Pm
G2 (s)
Gvv (s)
−K3 (K4 +Kv K5 )
0 s
1+K5 Kv K6 +K3 Td0
K2
∆δ
−
1
M s2 +Ds+K1
∆|Ea0 |
Slika 6.19: Blokovna shema preoblikovanega poenostavljenega lineariziranega dinamiˇcnega modela sinhronskega stroja, z upoštevano regulacijo napetosti
V zvezi z blokovno shemo na sliki 6.19 je treba poudariti, da vhod v sistem, ki je oznaˇcen z 0 zaradi predhodnega preoblikovanja niˇc veˇc ne predstavlja referenˇcne napetosti ∆Ur (s). Hkrati vidimo, da predstavlja
preoblikovani poenostavljeni linearizirani dinamiˇcni model sinhronskega stroja, z upoštevano regulacijo
napetosti na sliki 6.19, sistem tretje stopnje. Parametri K3 , Kv in K6 so vedno pozitivni, pol ki pripada
0
cˇ asovni konstanti Td0
pa leži daleˇc "levo"v s-ravnini. Ker je K4 pozitiven, ni težav s stabilnostjo, dokler je
K5 pozitiven, saj v tem primeru poli vedno ležijo "levo"v s-ravnini.
Težave s stabilnostjo se pojavijo, ko postane K5 negativen, kar se lahko zgodi pri velikih delovnih obremenitvah ali pa pri velikih prenosnih razdaljah. V tem primeru je lahko (K4 + Kv K5 ) < 0 in predhodno
negativna povratna vezava postane pozitivna. Ker sta pola, ki doloˇcata dinamiko rotorja relativno blizu jω
osi v s-ravnini, lahko postane sistem že pri normalnih ojaˇcanjih Kv nestabilen. Razmere ponazarja skica
diagrama lege korenov (DLK) na sliki 6.20.
(K4 + Kv K5 ) < 0
jω
K2 je spremenljiv
−σ
−jω
Slika 6.20: Skica diagrama lege korenov
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
107
6.6 Obratovanje sinhronskega generatorja preko vmesne reaktance na togem omrežju
To pomanjkljivost odpravimo s tem, da sistem naredimo neodvisen od K5 tako, da sistemu na sliki 6.18
dodamo povratno vezavo in vanjo vkljuˇcimo ustrezno prenosno funkcijo, ki se imenuje stabilizator nihanja
kota δ (angleško Power System Stabilizer ali kratko PSS). Stabilizator je predstavljen na sliki 6.21 in ga
opisuje prenosna funkcija:
!
µ
¶Ã
T1 s + 1
1
GP SS (s) = KP SS
,
(6.101)
T2 s + 1
Tf s + 1
kjer je KP SS ojaˇcanje stabilizatorja, T1 in T2 sta cˇ asovni konstani cˇ lena za dvig faze (T1 > T2 ), Tf pa je
cˇ asovna konstana filtra.
K5
+
+
K6
∆|Ua |
∆Pm
G1 (s)
G2 (s)
−
∆Evd
∆Ur
K3
1+K3 T 0 s
d0
Kv
∆Uv
−
K2
0
∆|Ea
|
∆δ
−
1
M s2 +Ds+K1
(y)
(x)
K4
∆δ˙
GP SS (s)
s
Slika 6.21: Blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamiˇcnega modela sinhronskega stroja, z
upoštevano regulacijo napetosti in stabilizatorjem kolesnega kota δ (oznaˇcen s PSS)
Odvajanju kota ∆δ se je mogoˇce izogniti s preoblikovanjem zadnjega dela blokovne sheme 6.21, kot je to
pokazano na sliki 6.22.
+
K5
+
K6
∆|Ua |
∆Pm
K1
G1 (s)
−
∆δ
∆Evd
∆Ur
Kv
∆Uv
−
K3
1+K3 T 0 s
d0
K2
0
∆|Ea
|
−
−
1
s
1
M s+D
K4
∆δ˙
GP SS (s)
2π
Slika 6.22: Preoblikovana blokovna shema poenostavljenega lineariziranega dinamiˇcnega modela sinhronskega stroja, z upoštevano regulacijo napetosti in stabilizatorjem kolesnega kota δ (oznaˇcen s PSS)
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
108
ANALIZA STABILNOSTI
Simulacijska analiza nihanj kolesnega kota sinhronskega generatorja, z upoštevano regulacijo napetosti
V programskem paketu MATLAB/SIMULINK izvedite analizo stabilnosti sinhronskega stroja, z upoštevano regulacijo napetosti. Uporabite poenostavljeni lineariziran dinamiˇcni model s slike 6.22, ki ima naslednje parametre:
M = 9, 26/(2π50) D = 0
Kv = 50
0
= 7, 76 s
Td0
K1 = 0, 5441
K2 = 1, 2067
K3 = 0, 6584
K4 = 0, 6981
K5 = var
K6 = 0, 8159
Parametri stabilizatorja kolesnega kota pa so:
KP SS = 7, 091/(2π50) Tf = 3 s
T1
= 0, 685 s
T2 = 0, 1 s
Sestavite simulacijski model, cˇ as simulacije nastavite na 50 s, korak na 0,001 s in opazujte cˇ asovni odziv
odstopanja kolesnega kota ∆δ(t) za naslednje primere:
1. brez PSS in K5 = 0, 0955,
2. brez PSS in K5 = −0, 017,
3. s PSS in K5 = 0, 0955 in
4. s PSS in K5 = −0, 017.
D. Dolinar, B. Polajžer : Dinamika EES
Literatura
[1] R. T. Byerly, E. W. Kimbark, Stability of Large Electric Power Systems. IEEE Press, 1974.
[2] O. I. Elgerd, C. E. Fosha, JR., Optimum Megawatt-Frequency Control of Multiarea Electric Energy
Systems. IEEE Trans. PAS-89, št. 49, 1970.
[3] A. R. Bergen, V. Vittal, Power System Analysis (2nd Edition). Prentice-Hall, 1999.
[4] D. Dolinar, P. Jereb, Splošna teorija elektriˇcnih strojev. Založniška dejavnost FERI, 1995.
[5] D. Dolinar, Dinamika linearnih sistemov in regulacije. Založniška dejavnost FERI, Maribor, 1997.
[6] D. Dolinar, G. Štumberger, Modeliranje in vodenje elektromehanskih sistemov, druga izdaja. Založniška dejavnost FERI, 2004.