1. No category

Dean Koro²ak
Kinematika
in
dinamika
(skripta za vaje)
Katedra za aplikativno ziko//Fakulteta za gradbeni²tvo//Univerza v Mariboru
Maribor, februar 2006
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
1
1
Naloge
1. Gibanje delca opisuje krajevni vektor:
1
~r = ctˆi + at2 ˆj,
2
kjer sta a in c konstanti. Dolo£ite krivuljo gibanja, hitrost in pospe²ek delca.
2. Gibanje delca je podano z:
x = b cos kt, y = c sin kt.
Dolo£ite krivuljo gibanja delca in pospe²ek delca. Pokaºite, da je velikost hitrosti
delca v katerikoli to²ki krivulje gibanja obratno sorazmeren z razdaljo od izhodi²£a
do tangente na krivuljo v izbrani to£ki.
3. Za delec, ki se giblje v skladu z:
x˙ + 2y = −R sin t, y˙ − 2x = R cos t,
kjer je R konstanta, dolo£ite krivuljo gibanja. V za£etku (t = 0) je delec v koordinatnem izhodi²£u.
4. Delec se giblje po elipsi:
c2 x2 + b2 y 2 = b2 c2 ,
s pospe²kom v smeri osi y . Za£etni poloºaj delca je (0, c), za£etna hitrost pa v0~i.
Dolo£ite pospe²ek delca v vsaki to£ki krivulje gibanja.
5. Delec z maso m se nahaja na gladki ºici, ki se vrti s konstantno kotno hitrostjo ω
okoli navpi£ne osi s katero oklepa kot ϕ. Dolo£ite ena£bo gibanja delca in jo re²ite.
6. Delec se giblje po polkrogu s polmerom R s spremenljivo hitrostjo tako, da se projekcija delca na os x giblje s konstantno hitrostjo c. Dolo£ite hitrost in pospe²ek delca
kot funkcijo kota ϕ, ki oklepa kot med osjo x in krajevnim vektorjem delca ter smer
pospe²ka delca.
7. Delec se giblje po polkrogu s polmerom R tako, da je velikost tangentnega pospe²ka
povsod enaka velikosti normalnega pospe²ka. Kako se spreminja hitrost delca s £asom, £e je za£etna hitrost v0 ?
8. Izra£unajte odvod krajevnega vektorja po £asu v polarnem koordinatnem sistemu.
9. Delec se giblje s konstantno hitrostjo ~v = uˆi vzdolº premice y = 2. Zapi²ite ~v v
polarnih koordinatah.
10. Delec z maso m se giblje po gladki kroºnici s polmerom R, ki se vrti v vodoravni
ravnini s konstantno kotno hitrostjo ω okoli ene izmed to£k na kroºnici. Poi²£ite
ena£bo gibanja delca.
2
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
11. Gibanja delca je podano s krajevnim vektorjem ~r(t), ki pri gibanju opisuje konusno
povr²ino z vrhom v izhodi²£u koordinatnega sistema. V £asovnem intervalu ∆t opi²e
povr²ino s plo²£ino:
1
∆A = (~r × ∆~r),
2
kjer je £asovni interval tako majhen, da je povr²ina skoraj ravna. Plo²£inska hitrost
delca je tako enaka:
~
~ = dA = 1 (~r × ~v ),
S
dt
2
kjer je ~v trenutna hitrost delca.
Izra£unajte plo²£insko hitrost delca v polarnih koordinatnah, ki se giblje v ravnini
0xy .
12. Delec se giblje v ravnini tako, da sta radialna in tangentna hitrost, konstantni:
vρ = a, vϕ = b.
Dolo£ite krivuljo gibanja in plo²£insko hitrost gibanja delca. Za£etni poloºaj delca
je ρ0 = R in ϕ0 = 0.
13. Delec se giblje po krivulji ρ = 4(1 − cos ϕ) s konstantno plo²£insko hitrostjo katere
projekcija na pravokotnico na ravnino gibanja je S = 4. Izra£unajte velikost hitrosti
delca, ko je ϕ = π .
14. Gibanje delca je dano z ena£bama:
ρ = ct, ϕ = kt,
kjer sta c in t konstanti. Dolo£ite krivuljo gibanja in hitrost delca.
15. Delec se giblje v ravnini s konstantno plo²£insko hitrostjo po spirali z ena£bo:
ρ = c expkϕ ,
kjer sta c in k konstanti. Pokaºite, da je hitrost obratno sorazmerna oddaljenosti od
izhodi²£a koordinatnega sistema.
16. Delec se giblje s konstantno hitrostjo po lemniskati, ki se v polarnih koordinatah
zapi²e tako:
ρ2 = c2 cos 2ϕ.
Kako je plo²£inska hitrost delca odvisna od oddaljenosti od izhodi²£a koordinatnega
sistema?
17. Delec se giblje po krivulji
ρ = exp ϕ
√
s konstantno velikostjo hitrosti v = 2. Kako je velikost pospe²ka odvisen od oddaljenosti od koordinatnega izhodi²£a r?
3
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
18. Delec se giblje v ravnini tako, da je radialna komponenta njegove hitrosti konstantna
in pozitivna vr = c, za radialno komponentno pospe²ka pa velja:
ar = −
b
.
r3
Pri tem sta b in c konstanti. Dolo£ite krivuljo gibanja delca in plo²£insko hitrost.
19. Velikost hitrosti delca je podana z ena£bo:
v = t2 − 3t + 2.
Kako se naravna koordinata krivulje spreminja s £asom? Kolik²no pot opravi delec
do trenutka t = 5?
20. Gibanje delca je v kartezi£nem koordinatnem sistemu opisano tako:
x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), a = const., 0 ≤ t ≤ 2π.
Kako se naravna koordinata delca spreminja s £asom? V za£etnem trenutku je s(t =
0) = 0.
21. Kolo s polmerom R se kotali brez drsenja po vodoravnih tleh. Hitrost sredi²£a kolesa
je ~vc . Kolik²no pot opravi to£ka na obodu kolesa, ki je sprva v stiku s tlemi, do
trenutka, ko je v najvi²jem poloºaju?
22. Gibanje delca opisuje krajevni vektor:
ˆ b, ω = const.
~r(t) = 2b cos2 ωtˆi + b sin 2ωtˆj + 2bk,
Dolo£ite naravno koordinato delca v odvisnosti od £asa ter enotne vektorje naravnega
triedra v poljubni to£ki krivulje.
23. Delec se giblje v ravnini tako, da je normalna komponentna pospe²ka sorazmerna s
tangentno:
an = at /λ
ter da je eksijska ukrivljenost krivulje gibanja obratno sorazmerna naravni koordinati:
1
1
=
.
Rpr
2λs
Dolo£ite hitrost to£ke kot funkcijo naravne koordinate in £as v katerem je vrednosti
naravne koordinate 2s0 , £e je za£etna velikost hitrosti delca v0 in za£etna naravna
koordinata s0 .
24. Delec se giblje po povr²ini krogle tako, da je:
vθ
= const.
vϕ
Dolo£ite ena£bo krivulje gibanja delca.
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
4
25. Delec se giblje po krivulji:
ˆ
~r = exp(t) cos(t)ˆi + exp(t) sin(t)ˆj + exp(t)k.
Dolo£ite vektorje naravnega triedra v to£ki A(1, 0, 1). Dolo£ite ena£be normalne,
pritisnjene in tangencialne ravnine krivulje gibanja delca v to£ki A(1, 0, 1).
26. Delec se giblje po krivulji za katero velja, da je razmerje med torzijo in ukrivljenostjo
konstantno C = τ /κ. Kak²na zveza velja med enotnimi vektorji naravnega triedra?
27. Delec se giblje po krivulji:
ˆ
~r(t) = (cos t − a sin t)ˆi + (sin t + a cos t)ˆj + tk.
Izra£unajte razmerjem med torzijo in ukrivljenostjo v poljubni to£ki krivulje.
28. Pokaºite, da je torzija krivulje:
1 + t ˆ 1 − t2 ˆ
~r(t) = tˆi +
j+
k
t
t
v vsaki to£ki krivulje enaka ni£ in da se delec, ki se giblje po tak²ni krivulji, giblje v
ravnini.
29. Dolo£ite kotno hitrost palice, ki ima konce v to£kah A(1, 5, 1) in B(5, 1, 1) in se vrti
okoli nepremi£ne to£ke 0. Hitrost ~v leºi v xy ravnini, projekcija hitrosti sredi²£a
palice na os x je vx = 3. Trenutna os oklepa ostra kota√ z osema x in y , smerni
kosinus cos γ (kot med trenutno osjo in osjo z )pa zna²a − 3/2.
30. Telo se giblje s kotno hitrostjo ω = 6. Trenutna os oklepa v danem trenutku s
koordinatnimi osmi kote, ki so podani s smernimi kosinusi: cos α = 1/3, cos β = 2/3,
γ > π/2. Dolo£ite poloºaj tiste to£ke telesa, ki se nahaja v ravnini z = 0 in se giblje
s komponentnama hitrosti vx = vy = 2.
31. Valj se kotali po vodoravni podlagi brez drsenja s kotno hitrostjo ω in kotnim
pospe²kom α. Dolo£ite hitrost in pospe²ek poljubne to£ke na obodu valja.
32. Tanka plo²£a se giblje v ravnini xy . V nekem trenutku ima to£ka T (1, 2, 0) hitrost
2ˆi + 3ˆj . Kolik²na je hitrost to£ke T1 (−1, 4, 0), £e je kotna hitrost plo²£e −2kˆ?
33. Na tanki plo²£i, ki se giblje v ravnini xy je razdalja med dvema to£kama T in T1
enaka −5ˆi + 10ˆj . Dolo£ite kotno hitrost plo²£e, £e je hitrost to£ke T enaka 7ˆi − 2ˆj ,
x-komponenta hitrosti to£ke T1 pa je enaka 5. Dolo£ite hitrost to£ke T1 .
34. Palica z dolºino L drsi ob gladki navpi£ni steni tako, da se zgornje kraji²£e A vseskozi
dotika stene, spodnje kraji²£e B pa drsi po vodoravnih tleh. V nekem trenutku je
to£ka B oddaljena za b od stene ter se giblje s hitrostjo vB . Dolo£ite hitrost to£ke A
in kotno hitrost palice.
5
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
35. Palica AB se giblje tako, da se njen konec A stalno dotika dna polkroºne jame, to£ka
C pa drsi po njenem robu. Dolo£ite hitrost v to£ki C, ko se to£ka A nahaja na dnu
polkroºne jame ter se giblje s velikostjo hitrosti vA .
36. Kroºna plo²£a se kotali brez drsenja po vodoravni ravnini tako, da njeno sredi²£e
opisuje kroºnico s polmerom R s stalno hitrostjo ~v0 , okoli sredi²£a pa se vrti s kotno
hitrostjo ω . Dolo£ite pol pospe²ka plo²£e.
37. Palica AB z dolºino L se giblje vpeta med dve pravokotni vodili. Dolo£ite pol
pospe²ka palice v trenutku, ko se spodnje kraji²£e palice giblje s pospe²kom ~aA
v levo,√ zgornje pa s pospe²kom ~aB , pri £emer sta velikosti pospe²kov sorazmerni
aA = 3aB . Palica pri tem oklepa z osjo x kot 30 o .
38. Palica dolºine L, ki se giblje v ravnini xy v nekem trenutku leºi vzdolº osi x. Pospe²ka
kraji²£ palice sta med seboj vzporedna v nasprotnih smereh in oklepata s smerjo
palice kot α. Dolo£ite kotno hitrost, kotni pospe²ek in pol pospe²ka palice.
39. V nekem trenutku so projekcije vektorja trenutne kotne hitrosti telesa,√ki se vrti√okoli
nepremi£ne
to£ke, na osi pravokotnega koordinatnega√sistema ω
√x = 3, ωy√= 5 in
√
ωz = 7. Dolo£ite hitrost to£ke s koordinatami x = 12, y = 20 in z = 28.
40. To£ka C(0, 1, 2) telesa, ki se vrti okoli nepremi£ne to£ke 0, ima v nekem trenutku
hitrost, ki oklepa s koordinatnimi osmi pravokotnega koordinatnega sistema kote
s smernimi kosinusi cos α = −2/3, cos β = 2/3 in cos γ = −1/3. Hitrost to£ke
B(0, 0, 2) pa je takrat ~vB = ˆi + 2ˆj . Dolo£ite velikost hitrosti to£ke C , velikost kotne
hitrosti in ena£bo trenutne osi vrtenja telesa.
41. Vektor kotne hitrosti togega telesa, ki se vrti okoli nepremi£ne to£ke v nekem trenutku
zna²a ω
~ = t2ˆi + tˆj + 3kˆ. Dolo£ite koordinate to£ke T , ki ima v trenutku t1 = 1
pospe²ek ~aT = 2ˆi + 2ˆj + kˆ.
42. Matrika A je ortogonalna, £e je:
A−1 = AT ,
kjer je
ATij = Aji .
(a) Pokaºite, da je produkt dveh ortogonalnih matrik tudi ortogonalna matrika.
(b) Pokaºite, da £e je A ortogonalna matrika velikosti 3x3, so stolpi£ni vektorji enotni
in medsebojno pravokotni.
43. Denimo, da je vektor ~x podan s transformacijo vektorja ~x:
0
0
~x = A~x,
kjer je A transformacijska matrika. Za dano matriko F poi²£ite matriko F 0 , da bo:
0
0
0
~x T F ~x = ~xT F ~x.
6
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
44. Delec z maso m se giblje pod vplivom sile F = a − bt, kjer je t £as. Dolo£ite £asovni
interval T v katerem se delec ustavi, £e se je pri£el gibati s hitrostjo v0 v smeri
delovanja sile. Kolik²no pot opravi do ustavljanja?
45. Na delec deluje konstantna sila K v sredstvu, ki deluje na gibanje z uporom sorazmernim kvadratu hitrosti delca. Dolo£ite silo K tako, da se hitrost delca pove£a
iz v0 na v1 , ko opravi pot s.
46. Homogena veriga z maso m in dolºino 2l leºi na gladki mizi s polovico dolºine. Kako
se veriga giblje pri drsenju z mize?
47. Delec z maso m, ki se giblje s hitrostjo v1 preide iz polprostora s konstantno potencialno energijo U1 v polprostor s konstantno potencialno energijo U2 . Dolo£ite
spremembo smeri gibanja delca pri tem prehodu.
48. Preverite katere od naslednjih sil so konservativne in za njih poi²£ite pripadajo£e
potencialne energije:
Fx = 6abyz 3 − 20bx3 y 2 , Fy = 6abxz 3 − 10bx4 y, Fz = 18abxyz 2 ,
Fx = 18abyz 3 − 20bx3 y 2 , Fy = 18abxz 3 − 10bx4 y, Fz = 6abxyz 2 .
49. Sistem sestavljata delca z masama m1 in m2 . Pokaºite, da se kineti£na energija
sistema lahko zapi²e kot vsota kineti£ne energije sredi²£a mase in kineti£ne energije
relativnega gibanja delcev:
1
1
2
T = mvcm
+ µvr2 ,
2
2
kjer je m = m1 + m2 skupna masa sistema, µ = m1 m2 /(m1 + m2 ) reducirana masa
sistema, vcm velikost hitrosti sredi²£a mase in vr velikost relativne hitrosti delcev.
50. Na delec, ki se giblje v ravnini xy , deluje sila s komponentama:
Fx =
∂U
∂U
, Fy =
.
∂y
∂x
Pokaºite, da je prvi integral ena£be gibanja oblike:
m
dx dy
= U + const.
dt dt
51. Na vrhu gladke polkrogle se nahaja delec z maso m. Delec se pri£ne gibati s velikostjo
hitrosti v0 v vodoravni smeri.
(a) Dolo£ite Lagrangev mnoºitelj za gibanje delca po polkrogli. (b) Kje telo zapusti
polkroglo?
52. Delec z maso m se giblje po gladki ºici s polmerom a, ki leºi v horizontalni ravnini.
Za£etna hitrost delca je v0 . Pri gibanju deluje nanj upor, ki je sorazmeren kvadratu
hitrosti Fu = −kmv 2 , kjer je k konstanta. Kako se s £asom spreminja poloºaj delca?
Kak²na je reakcija ºice? Vpliv teºe zanemarimo.
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
7
53. Delec se giblje po ºici v obliki parabole y = ax2 , ki leºi v navpi£ni ravnini iz to£ke
(x0 , y0 ) brez za£etne hitrosti. Dolo£ite ena£be gibanja delca in reakcijo ºice v vsaki
to£ki.
54. Delec z maso m se giblje po notranji strani rotacijskega paraboloida z ena£bo x2 +y 2 =
2az , kjer je a konstanta, teºa pa deluje v smeri negativnega dela osi z . Za£etni poloºaj
delca je (x0 , 0, z0 ), za£etna hitrost pa (0, v0 , 0). Kako se giblje delec in kak²na je
reakcija povr²ine?
55. Plo²£ato togo telo s povr²insko gostoto σ(x, y) leºi v ravnini z = 0 kartezi£nega
koordinatnega sistema.
(a) Pokaºite, da je os z glavna os za to telo.
(b) Pokaºite, da je v diagonaliziranem tenzorju vztrajnostnega momenta za to telo,
najve£ji element tenzorja enak vsoti manj²ih.
56. Trije delci z enakimi masami so postavljeni v naslednjih to£kah kartezi£nega koordinatnega sistema: (a, 0, 0), (0, 2a, 2a) in (0, 2a, a). Dolo£ite glavne vztrajnostne
momente in glavne osi za vrtenje sistema delcev okoli izhodi²£a koordinatnega sistema.
57. Tanka kvadratna plo²£a z maso m in stranico a leºi v xy ravnini kartezi£nega koordinatnega sistema tako, da se sredi²£e mase plo²£e ujema s koordinatnim izhodi²£em,
osi x in y pa sta pravokotni na stranici plo²£e. V nekem trenutku je kotna hitrost
ˆ . Dolo£ite vrtilno koli£ino plo²£e v tem trenutku. ƒez koliko
plo²£e ω
~ = ω0 (ˆi + k)
£asa se bo vrtilna koli£ina zavrtela iz xz v yz ravnino?
58. Z uporabo Eulerjevih ena£b gibanja togega telesa pokaºite, da je prosto gibanje togega telesa okoli ene izmed glavnih osi stabilno le, ²e telo vrti okoli osi s pripadajo£im
najve£jim ali najmanj²im glavnim vztrajnostnim momentom.
59. Tanka homogena palica dolºine l in z maso m se vrti s konstantno kotno hitrosto ω
okoli osi, ki gre skozi koordinatno izhodi²£e in oklepa s smerjo palice kot ϕ.
(a) Dolo£ite glavne vztrajnostne momente za glavne osi, ki gredo skozi koordinatno
izhodi²£e.
(b) Dolo£ite vrtilno koli£ino palice in navor, ki deluje nanjo.
60. (a) Za homogen valj z maso m, polmerom osnovne ploskve R in vi²ino h dolo£ite
teºi²£e in glavne osi z izhodi²£em v teºi²£u. Izra£unajte glavne vztrajnostne momente
valja.
(b) Denimo, da se valj vrti s kotno hitrostjo ω okoli osi, ki gre skozi teºi²£e in to£ko
na robu med osnovno ploskvijo in pla²£em valja. Dolo£ite vrtilno koli£ino v telesnem
koordinatnem sistemu.
(c) Zapi²ite Eulerjeve ena£be za gibanje valja in izra£unajte navor na valj.
8
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
2
Re²itve
1. y =
a 2
x ,
2c2
2. v =
kbc
d ,
parabola.
d= q
1
2
x2
+ y4
b4
c
.
3. x = R(cos 2t − cos t), y = R(sin 2t − sin t)
s transformacijo: x0 = x + R, y 0 = y lahko zapi²emo re²itev v polarnih koordinatah
ρ = R(2 cos ϕ − 1).
4 2
4. y¨ = − bc2 yv03 .
5. v krogelnem koordinatnem sistemu: T = 21 (r˙ 2 + r2 ω 2 sin2 ϕ)
V = mgr cos ϕ
2
2
˙ ∂L
L = T − V, ∂L
∂ r˙ = mr,
∂r = mrω sin ϕ − mg cos ϕ
r¨ − ω 2 r sin2 ϕ + g cos ϕ = 0
√
√
r = b/a + c1 exp( at) + c2 exp(− at), b = g cos ϕ, a = ω 2 sin2 ϕ.
c
6. x˙ = c, x¨ = 0, y˙ = −cctgϕ, y¨ = − R sin
3 ϕ.
2
R
7. v = v0 R−v
.
0t
8. ~r˙ = ρˆ
˙ eρ + ρϕˆ
˙ eϕ .
9. ~v = u(cos ϕˆeϕ ).
10. ϕ = ωt
x = R cos ϕ + R cos(ϕ + θ),
y = R sin ϕ+R sin(ϕ+θ), kjer je θ kot med premico, ki gre skozi izhodi²£e koordinat-
nega sistema in sredi²£e kroºnice ter med premico skozi sredi²£e kroºnice in trenutni
poloºaj delca.
˙ 2 + 2ω(ω + θ)
˙ cos θ)
L = T = 21 mR2 (ω 2 + (ω + θ)
θ¨ + ω 2 sin ϕθ = 0.
11. Sρ = 0, Sϕ = 0, Sz = ρ2 ϕ.
˙
12. ρ = R exp
a
bϕ
.
13. v = 1.
14. ρ = kc ϕ, v =
√
15. v =
2S
ρ
16. S =
v 3
ρ .
2c2
√
2
ρ .
17. a =
p
k 2 + 1.
c2 + k 2 ρ2 .
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
18. ρ =
9
bρ0
b−cρ0 (ϕ−ϕ0 ) .
19. s = 14, 5.
20. s = 8a sin2 (t/4).
21. s = 4R.
22. s = 2bωt
eˆt = − sin(s/b)ˆi + cos(s/b)ˆj
eˆn = − cos(s/b)ˆi − sin(s/b)ˆj
eˆb = kˆ.
q
√
23. v = v0 ss0 , t = 2 vs00 ( 2 − 1).
24. tan(θ/2) = C1 exp(cϕ), C je integracijska konstanta, c pa razmerje θ in ϕ komponent
hitrosti delca.
25. eˆt =
ˆ
√1 (ˆ
i + ˆj + k)
3
eˆn = √12 (−ˆi + ˆj)
eˆb = eˆt × eˆn
normalna ravnina: x + y + z − 2 = 0
pritisnjena ravnina: x + y − 2z + 1 = 0
tangentna ravnina: x − y − 1 = 0
~ c, A
~ = const.
26. eˆb + C eˆt = A,
27.
κ
τ
=
√ 1
.
2+a2
28.
29. ω
~ =
3√
, 3√ , − 1+√1 3/3
1+3 6 1+3 6
.
30. ~r = (−1/2, 1/2, 0).
31. ~v = −ωR(1 + sin ϕ)ˆi + ωR cos ϕˆj,
~a = (−αR(1 + sin ϕ) − ω 2 R cos ϕ)ˆi + (αR cos ϕ − ω 2 R sin ϕ)ˆj.
32. ~vT1 = 6ˆi + 7~j.
ˆ ~vT = 5ˆi − 3ˆj.
33. ω
~ = 51 k,
1
34. ~vA = − √Lbv2B−b2 ˆj, ω
~ =
35. vC = vA
36. ρ =
37. ρ =
√
v02
.
Rω 2
√
3L
2 .
2
2 .
ˆ
√ vB
k.
L2 −b2
10
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
38. ω˙ =
aA +aB sin α
,
L
ω=
q
aA +aB cos α
,
L
A
ρ = L aAa+a
.
B
39. ~v = (0, 0, 0).
40. vc = 3, ω =
√
41. ~r = − 52ˆi − ˆj −
41/2, −x = 2y = z/3.
11 ˆ
2 k.
42. a) (AB)(AB)T = ABB T AT = ABB −1 A−1 = AA−1 = I.
b) ~xj naj bo vektor sestavljen iz elementov j -tega stolpca matrike A
xji = Aij
P
P
~xj · ~xk = i xji xki = i Aij Aik
P T
= i Aki Aij = (AT A)kj = Ikj = δkj .
43. ~x0 = A~x
~xT = ~x0T (A−1 )T = ~x0T A
~xT F ~x = ~x0T AF A−1 ~x0
F 0 = AF A−1 .
√
a+ a2 +2mbv02
.
44. T =
b
kv02 −v12 exp(2ks)
1−exp(2ks) ,
45. K =
46. x =
47.
l
2
sin ϕ1
sin ϕ2
k je koecient upora.
p
p
exp(t g/2l) + exp(−t g/2l) .
=
q
1+
2
(U1
mv12
− U2 ).
48. U = −6abxyz 3 + 5bx4 y 2 .
49. T = 21 m1 v12 + 21 m2 v22 .
2
~v1 = ~vcm + m1m+m
~vr ,
2
m1
~v2 = ~vcm − m1 +m2 ~vr .
2 +
T = 21 (m1 + m2 )vcm
50. m¨
xdy =
1 m1 m2 2
2 m1 +m2 vr .
∂U
∂y dy
∂U
∂x dx
m¨
y dx =
m(¨
xy˙ + y¨x)dt
˙
= dU
mx˙ y˙ = U + const.
51. λ =
mgz−mv 2
,
2R2
52. Rn =
λ = 0, z =
mv02
,
a(1+kv0 t)2
ϕ=C+
√2amgx
53. m dv
dt = − 1+4a2 x2 , Rn =
v02 +2gR
.
3g
1
ak ln(1
+ kv0 t).
4mag(x20 −x2 )
(1+4a2 x2 )3/2
+
√ mg
.
1+4a2 x2
11
Kinematika in dinamika: skripta za vaje
ˆ
~ = λ(2xˆi + 2yˆj − 2ak)
54. R
2
2)
−z˙
λ = − m(ag+v
2(a2 +2az)
v 2 = v02 + 2g(z0 − z), z˙ 2 =
2z(v02 +2gz0 )−4gz 2
.
a+2z
55. (a) plo²£a je tanka: Jxz = Jyz = 0
J kˆ = Jxzˆi R+ Jyz ˆj + Jzz kˆ = Jzz kˆ R
(b) JxxR = σ(x, y)y 2 dxdy, Jyy = σ(x, y)x2 dxdy
Jzz = σ(x, y)(x2 + y 2 )dxdy = Jxx + Jyy .
56. Jij =
mk (rk2 δij − rki rkj )
Jxx = 13ma2 , Jyy = 6ma2 ,√Jzz = 9ma2 , Jxy = Jzx = 0, Jzy = −6ma2 .
λ1 = 13ma2 , λ2,3 = 23 (5 ± 17)ma2
√
~x1 = [1, 0, 0]T , ~x2,3 = [0, (1 ± 17)/4, 1]T .
P
k
ˆ
57. ~Γ = ma2 ω0 (ˆi + 2k)
∆t =
π
2ω0 .
58. Naj bo J1 najve£ji glavni vztrajnostni moment in ω1 = ω = const. Eulerjeve ena£be
so:
Ji omega
˙ i − (Jj − Jk )ωj ωk = 0,
i = {1, 2, 3}, j = {2, 3, 1}, k = {3, 1, 2}
za majhne spremembe kotnih hitrosti: ω1 = ω + δω1 , ω2 = δω2 , ω3 = δω3 sledi:
δω
¨2 +
(J1 − J3 )(J1 − J2 ) 2
ω δω2 = 0.
J2 J3
Spremembe kotne hitrosti ostanejo majhne le kadar je J1 > J3 in J1 > J2 ali J1 < J3
in J1 < J2 oziroma kadar je J1 najve£ji ali najmanj²i vztrajnostni moment.
59. (a) J1 = J2 = ml2 /12, J3 = 0.
2
~
e1
(b) Gamma
= ml
12 ω sin ϕˆ
ml2
~
M = 12 ω sin ϕ cos ϕˆ
e2 .
m
(3R2 + h2 ), J3 = mR
60. (a) J1 = J2 = 12
2
(b) ~Γ = J1 ω sin αˆe2 + J3 ω cos αˆe3 , tan α = 2R/h.
~ = (J1 − J3 )ω 2 sin α cos αˆ
(c) M
e1 .
2
Literatura
[1] B. Cvikl, Kinematika
, Fakulteta za gradbeni²tvo, Maribor, 1998.
in dinamika