1. No category

Krivuljni in ploskovni integrali
1. Najprej narisi krivuljo C, ki jo dobis kot presek valja x2 + y 2 = 1 in elipti nega
paraboloida
Ù Ix2 + yM
z
x2 + 2 y 2 ,
=
nato
pa
izra unaj
krivuljni
integral
1 + 4 x2 y 2 â s, kjer C1 ozna uje del krivulje C, za katerega velja, da je x£
C1
0.
Rezultat:
3Π
4
Clear@x, y, z, tD
x = Cos@tD;
y = Sin@tD;
z = x^2 + 2 y^2
rt = 8x, y, z<
ParametricPlot3D @rt, 8t, 0, 2 Pi<D
Integrate@Hx ^ 2 + yL * Sqrt@1 + 4 * x ^ 2 * y ^ 2D *
Sqrt@HD@x, tDL ^ 2 + HD@y, tDL ^ 2 + HD@z, tDL ^ 2D, 8t, - Pi  2, Pi  2<D
Cos@tD2 + 2 Sin@tD2
9Cos@tD, Sin@tD, Cos@tD2 + 2 Sin@tD2 =
2.0
1.0
1.5
0.5
1.0
0.0
-1.0
-0.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
-1.0
3Π
4
2. Iza unaj krivuljni integral druge vrste Ù Log@x yD â x + y z â y + ArcSin@zD x â z, kjer
C
C predstavlja polkroznico x2 + y 2 + z2 = 2 x, z=x, y>0 od to ke A(0,0,0) do to ke
B(1,0,1). Krivuljo C najprej narisi!
Rezultat:
1
24
H- 52 + 3 Π + 4 Log@8DL
2
vaja5.nb
2. Iza unaj krivuljni integral druge vrste Ù Log@x yD â x + y z â y + ArcSin@zD x â z, kjer
C
x2
+ y2
+ z2
C predstavlja polkroznico
= 2 x, z=x, y>0 od to ke A(0,0,0) do to ke
B(1,0,1). Krivuljo C najprej narisi!
Rezultat:
In[1]:=
H- 52 + 3 Π + 4 Log@8DL
1
24
Clear@x, y, zD
x=t
Solve@2 x ^ 2 + y ^ 2 Š 2 x, yD
y=
x - x2
2
z=x
ParametricPlot3D @8x, y, z<, 8x, 0, 1<D
Integrate@HLog@x * yD * D@x, tD + y * z * D@y, tD + ArcSin@zD * x * D@z, tDL, 8t, 0, 1<D
Out[2]=
t
Out[3]=
::y ® -
Out[5]=
t - t2 >, :y ®
t - t2 >>
2
t - t2
2
Out[4]=
2
t
1.0
0.5
0.0
1.0
Out[6]=
0.5
0.0
0.0
0.5
1.0
1
Out[7]=
24
3.
H- 52 + 3 Π + 4 Log@8DL
Prepri aj
ÙA - 2 x y +
se,
da
CosB F
je
integral
y
2xy
B
z3
1-x4 y 2 z6
, - x2 +
x2
z3
1-x4 y 2 z6
+
z
z
y CosB F
y
, ãz +
3
x2
y z2
1-x4 y 2 z6
-
z
z2
gracijske poti in ga izra unaj za primer A(1,0,2), B(0,Pi,2).
Rezultat: 1
Ó
.â r neodvisen od inte-
vaja5.nb
3.
B
ÙA
Prepri aj
se,
da
CosB F
je
integral
y
2 x y z3
-2 x y +
1-x4
y2
,
- x2
x2 z3
+
z6
1-x4
y2
+
z6
z
z
y CosB F
y
,
ãz
3 x2 y z2
+
1-x4
y2
z6
-
z
z2
Ó
.â r neodvisen od inte-
gracijske poti in ga izra unaj za primer A(1,0,2), B(0,Pi,2).
Rezultat: 1
Clear@x, y, z, tD
2 x y z3
V1 = - 2 x y +
;
1-
x4
y2
z6
CosA E
y
x2 z3
V2 = - x2 +
1-
x4
y2
V3 = ã +
y CosA E
y
z
1-
x4
y2
;
z
z6
3 x2 y z2
z
z
+
;
z2
z6
rotor = Simplify@8D@V3, yD - D@V2, zD, D@V1, zD - D@V3, xD, D@V2, xD - D@V1, yD<D
Integrate@V1, xD;
Integrate@V2, yD;
Integrate@V3, zD;
y
u = ãz + ArcSinAx2 y z3 E + SinB F - x ^ 2 * y
z
prvi = - u . 8x ® 1, y ® 0, z ® 2<;
drugi = u . 8x ® 0, y ® Pi, z ® 2<;
rezultate = prvi + drugi
80, 0, 0<
y
ãz - x2 y + ArcSinAx2 y z3 E + SinB F
z
1
4. Izra unaj ploskovni integral prve vrste Ù Ù ý xyz ý â S, kjer je S del paraboloida
S
z = x2 + y 2 , ki ga odreze ravnina z=1.
Rezultat:
1
420
I- 1 + 125
5M
3
4
vaja5.nb
Clear@x, y, z, r, uD
Plot3D@8x ^ 2 + y ^ 2, 1<, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<D
RegionPlot@x ^ 2 + y ^ 2 <= 1, 8x, - 2, 2<, 8y, - 2, 2<D
x = r Cos@tD
y = r Sin@tD
z = r^2
s = 8x, y, z<
EGF2 = Simplify@Dot@D@s, rD, D@s, rDD * Dot@D@s, tD, D@s, tDD - HDot@D@s, rD, D@s, tDDL ^ 2D
Integrate@Abs@x * y * zD * Sqrt@EGF2D, 8t, 0, 2 * Pi<, 8r, 0, 1<D
8
6
2
4
1
2
0
-2
0
-1
-1
0
1
-2
2
2
1
0
-1
-2
-2
r Cos@tD
r Sin@tD
-1
0
1
2
vaja5.nb
r2
9r Cos@tD, r Sin@tD, r2 =
r2 + 4 r4
1
420
J- 1 + 125
5 N
5. Dano je vektorsko polje V={xy, xz, z^2} in kroznica C = {(x, y, z);
= 1, z = 1}.
Narisi kroznico in izra unaj krivuljni integral druge vrste
ÙC V .â r
®
®
Kroznica naj bo odebeljena in rde e barve.
Rez: Π
x^2 + y^2
5
6
vaja5.nb
Clear@x, y, zD
V = 8x y, x z, z ^ 2<
x = Cos@fiD
y = Sin@fiD
z=1
rt = 8x, y, z<
drt = D@rt, fiD
Krivulja = ParametricPlot3D @rt, 8fi, 0, 2 Pi<, PlotStyle -> 8Red, Thick<D
Integrate@Hx * y * D@x, fiD + x * z * D@y, fiD + z ^ 2 * D @z, fiDL, 8fi, 0, 2 * Pi <D
9x y, x z, z2 =
Cos@fiD
Sin@fiD
1
8Cos@fiD, Sin@fiD, 1<
8- Sin@fiD, Cos@fiD, 0<
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Π
6. Preveri Stokesovo formulo za krivuljni integral iz prejsnje naloge, tako da
izra unas ploskovni integral
ÙS
®
®
rot V .âS
kjer je
a) krog S = {(x,y,z); z=1, x^2+y^2<1}.
b) stozec S = {(x,y,z); z=Sqrt[x^2+y^2], z < 1}.
c) krogelna kapica S = {(x,y,z); x^2+y^2+z^2=2, z > 1}.
Narisi krivuljo C iz 5.naloge in posamezno ploskev S v isto sliko!
vaja5.nb
6. Preveri Stokesovo formulo za krivuljni integral iz prejsnje naloge, tako da
izra unas ploskovni integral
ÙS
®
®
rot V .âS
kjer je
a) krog S = {(x,y,z); z=1, x^2+y^2<1}.
b) stozec S = {(x,y,z); z=Sqrt[x^2+y^2], z < 1}.
c) krogelna kapica S = {(x,y,z); x^2+y^2+z^2=2, z > 1}.
Narisi krivuljo C iz 5.naloge in posamezno ploskev S v isto sliko!
Primerjaj dobljene rezultate z rezultatom prejsnje naloge!
<< "VectorAnalysis` "
Clear@x, y, zD
V = 9x y, x z, z2 = ;
rotV = Curl@V, Cartesian@x, y, zDD
x = r Cos@fiD;
y = r Sin@fiD;
z = 1 ; H* Eksplicitna ea ba ploskve za primere aL bL in cL *L
s = 8x, y, z<;
PloskevA = ParametricPlot3D @s, 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D;
Show@Krivulja, PloskevAD
ni = Cross@D@s, rD, D@s, fiDD
[email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D
[email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D
8- x, 0, - x + z<
7
8
vaja5.nb
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
90, 0, r Cos@fiD2 + r Sin@fiD2 =
Π
1.0
vaja5.nb
Clear@x, y, zD
V = 9x y, x z, z2 = ;
rotV = Curl@V, Cartesian@x, y, zDD
x = r Cos@fiD;
y = r Sin@fiD;
z = r; H* Eksplicitna ea ba ploskve za primere aL bL in cL *L
s = 8x, y, z<;
ni = Cross@D@s, rD, D@s, fiDD
[email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D
PloskevA = ParametricPlot3D @s, 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D;
Show@Krivulja, PloskevAD
8- x, 0, - x + z<
9- r Cos@fiD, - r Sin@fiD, r Cos@fiD2 + r Sin@fiD2 =
Π
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
9
10
vaja5.nb
Clear@x, y, zD
V = 9x y, x z, z2 = ;
rotV = Curl@V, Cartesian@x, y, zDD
x = r Cos@fiD;
y = r Sin@fiD;
z = Sqrt@2 - r ^ 2D ; H* Eksplicitna ea ba ploskve za primere aL bL in cL *L
s = 8x, y, z<;
ni = Cross@D@s, rD, D@s, fiDD
[email protected], 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D
PloskevA = ParametricPlot3D @s, 8r, 0, 1<, 8fi, 0, 2 Pi<D;
Show@Krivulja, PloskevAD
8- x, 0, - x + z<
:
r2 Cos@fiD
r2 Sin@fiD
,
2 - r2
, r Cos@fiD2 + r Sin@fiD2 >
2 - r2
Π
-0.5
0.5
0.0
1.0
-1.0
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
zGnuDRIObWJJ2Nk6vaOcsS/teVj+zsEd3MMdjJywc1ag8jjs
vaja5.nb
Clear@x, z, yD
V = Hx ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2L 8x, y, z<
divV = Div@V, Cartesian@x, y, zDD
x = r Cos@fiD
y = r Sin@fiD
z = 2 - r^2
s = 8x, y, z<
PloskevA = ParametricPlot3D @s, 8r, 0, Sqrt@2D<, 8fi, 0, 2 Pi<D
ni = Cross@D@s, rD, D@s, fiDD
[email protected], 8r, 0, Sqrt@2D<, 8fi, 0, 2 Pi<D
Clear@zD
Integrate@divV * r, 8r, 0, Sqrt@2D<, 8fi, 0, 2 Pi<, 8z, 0, 2 - r ^ 2<D
9x Ix2 + y2 + z2 M, y Ix2 + y2 + z2 M, z Ix2 + y2 + z2 M=
5 x2 + 5 y2 + 5 z2
r Cos@fiD
r Sin@fiD
2 - r2
9r Cos@fiD, r Sin@fiD, 2 - r2 =
-1
-1
0
0
1
1
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
92 r2 Cos@fiD, 2 r2 Sin@fiD, r Cos@fiD2 + r Sin@fiD2 =
40 Π
3
40 Π
3
11