1. No category

Univerza v Mariboru
GRADBENA FIZIKA
(Delovno gradivo)
BRUNO CVIKL
Fakulteta za gradbeništvo
Katedra za aplikativno fiziko
2002
POTREBNA PREDZNANJA IN POGOJI ZA
OPRAVLJANJE IZPITA IZ PREDMETA
GRADBENA FIZIKA
Program UNI
Pogoji za vpis predmeta GRADBENA FIZIKA;
program UNI, III letnik;
št. ur 40/20
zimski semester
Opravljeni izpiti:
I. letnik UNI:
1. Matematika A in B
2. Fizika
3. Tehniška mehanika
II. letnik UNI:
4. Matematika C
5. Hidromehanika
LITERATURA:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Rudolf Kladnik: Visokošolska fizika 1-3 del, DZS, Ljubljana 1985
Gerhard Hilbig, Grundlagen der Bauphysik (Wärme-Feuchte-Schall). Fachbuchverlag
Leipzig, Nemčija, 1999.
Erich Schild, H. F, Gasselmann, Günter Dahmen, Rainer Pohlenz, Građevinska fizika;
projektovanje i primena, Građevinska knjiga, Beograd, 1985.
Carl-Eric Hagentoft: Introduction to Building Physics; Studentlitteratur, Lund, Švedska,
2001.
Dragan Popović: Buka-štetna dejstva, merenje i zaštita,
Ivan Jecelj: Zaščita pred hrupom-akustika v gradbeništvu (zbrano gradivo); Fakulteta za
gradbeništvo, Univerza v Mariboru, 1995.
Hikec Andrija: Građevinska fizika u zgradarstvu – I. dio i II. dio,
Ernst Neufert: Projektiranje v stavbarstvu (prevod), TZS, Ljubljana, 2002.
Skupina avtorjev: Gradbeniški priročnik, TZS, Ljubljana, 1998.
I. G. Aramanovič, V. I. Levin: Uravnenija matematičeskoj fiziki, Nauka, Moskva, 1964.
Hugo Hens, Building Physics – Heat, Air and Moisture, Ernst&Sons, Berlin 2007.
1
UVOD
Gradbeni objekti so podvrženi najrazličnejšim časovno odvisnim zunanjim in
notranjim vplivom, katerih posledica se odraža v spreminjanju pogojev bivanja bitij, ki te
objekte uporabljajo za delo ali za vsakodnevno življenje. Človek in druga živa bitja
potrebujejo za svoj obstoj izpolnitev določenih eksistenčnih zahtev, pri čemer najbolj
učinkovito delujejo, kot je to dobro znano, pod zelo natančno opredeljenimi pogoji svetlobe
in osvetljenosti, temperature, vlažnosti zraka, hrupa, kakovosti zraka, protipožarne in drugih
oblik zaščite in podobno. Gradbena fizika je področje tehnike, ki na osnovi znanih fizikalnih
zakonov, ki podajajo naravne zakonitosti povezav za človekovo bivanje pomembnih
fizikalnih količin, proučuje, podaja pogoje in predlaga takšne korektivne ukrepe, ki
zagotavljajo, da bo človekovo delovanje in bivanje, kot ga opredeljujejo zdravstvene,
sociološke, ekološke, fiziološke, ekonomske in druge zahteve izražene v obliki predpisanih in
zahtevanih standardov grajenja objektov, tudi v resnici izpolnjene. To seveda pomeni, da
morajo biti predlagane projektne arhitektonske rešitve, tehnologija uporabljenih materialov in
tehnologija gradnje gradbenih objektov takšne narave, da je zahtevanim standardom v celoti,
tako v času zasnove, izgradnje in uporabe objekta, v polni meri in v celoti ustreženo.
Padavine
(dež, toča, sneg)
Svetloba
Atmosferni vplivi
Veter
Zvok
Vlaga
Vlaga
Zemljina-prst
Skica 1.1
2
Zunanje vplive, ki pod običajnimi pogoji – samostojno ali v sočasnem
medsebojnem prepletanju - učinkujejo na gradbeni objekt in s tem posredno ali neposredno na
kakovost bivanja in delovanja, prikazuje skica 1.1. Zaradi te danosti, je potrebno posebej
ločeno proučiti tiste fizikalne procese, ki odločujoče vplivajo na pogoje:
1.
2.
3.
4.
5.
toplotne zaščite
zaščite pred vlago
protihrupne zaščite
protipožarne zaščite
pogoje osvetljenosti in svetlosti.
V nadaljnjem bodo obširneje obravnavana prva tri, zgoraj navedena, področja, pri čemer
bodo kot izhodišče služila zakonska določila, ki opisana področja opredeljujejo v podrobnosti.
Namen pričujičega gradiva je podati fizikalna načela, ki služijo kot temelj zakonskim
opredelitvam določanja obratovalnih lastnosti in omejitev uveljavljenih znotraj vsakega
področja in to na način, da je pazljivemu bralcu omogoča podrobnejše razumevanje pomena
predpisanih standardov in s tem tudi njihova uporaba.
Energija (grobo rečeno je to zmožnost opravljanja koristnega dela) je ena od bistvenih
svojstev človekovega bivanja, katere poraba vsakoletno skokovito narašča in se v današnjih
pogojih, med drugim, odraža v kvarnem vplivu na kakovost bivalnega okolja. Tudi zaradi
tega razloga je potrebno gospodarno ravnati z energijo in to na vseh področjih človekovega
udejstvovanja in na tej osnovi je nastal Pravilnik o toplotni zaščiti in učinkoviti rabi energije
v stavbah (Uradni list RS št. 42/2002), ki predstavlja merila (vključno z računskimi postopki)
z obvezno uporabo, tako imenovani standard, za največje dopustne toplotne izgube stavb in s
tem povezanimi procesi difuzije in kondenzacije vodne pare. Slovenski pravilnik v bistvenih
točkah povzema ključna določila evropskega standarda SIST EN 832, 1998, Thermal
performance of buildings-Calculation of energy use for heathing-Residental buildings
(dosegljiv je pri Slovenskem inštitutu za standardizacijo, SIST) s tem, da podrobneje
opredeljuje vrednosti vhodnih podatkov, ki so značilni za Slovenijo.
I. TOPLOTA
Zunanji plašč vsake zgradbe je sestavljen iz materialov, ki so vsi v večji ali manjši meri
toplotni prevodniki. To pomeni, da površine stavbe, v odvisnosti od zunanjih pogojev,
prevajajo toploto in sicer pozimi, ko je notranjost stavbe ogrevana, navzven, poleti pa v
obratni smeri. Toplotne izgube pozimi in dovajanje toplote poleti imajo za posledico
spreminjanje temperature v notranjosti zgradb in posledično neželjeno spreminjanje bivalnih
in delovnih pogojev.
Prehajanje toplote skozi plašč zgradbe sestoji iz deleža, ki nastane zaradi prevajanja
toplote in deleža, ki nastane zaradi prezračevanja. Toplotne izgube. ki nastanejo zaradi
prevajanja toplote skozi zidove, okna, strope, balkone, strehe in podobno (to je kondukcije –
odsotnost snovnih tokov) se lahko določi dokaj natančno, dočim izgube, ki nastanejo zaradi
nestacionarnih pojavov (zaradi snovnih tokov, t.j. konvekcije) , n.pr. prezračevanja, netesnosti
odprtin (okna, vrata), vpliva vetra, itd. pa se lahko zajame v izračunih le bolj ali manj
približno. Celotne toplotne izgube tedaj določajo projektne osnove za izračun potrebnih
ogrevnih teles, ob pogoju, da je zadoščeno optimalnim ekonomskim merilom. Velja namreč
3
dejstvo, da je minimiziranje toplotnih izgub sicer fizikalno izvedljivo, toda zelo redko je pa
ekonomsko tudi upravičeno.
1.1
PRENOS TOPLOTE
1.1.1 Prevajanje toplote (kondukcija)
Obvezno ponovi:
178 – 209.
R. Kladnik: Visokošolska fizika I: Mehanski in toplotni pojavi, str.
Osnovna enačba prevajanja toplote (brez snovnih tokov, to je t.im. kondukcija toplote)
za primer palice dolžine L in prečnega preseka A (iz angleške besede area, t.j. površine),
krajišči katere se nahajata (stacionarno prevajanje toplote) na konstantnima temperaturama T1
in T2 , pri čemer je plašč palice toplotno izoliran (naj velja T1 > T2) je,
P
=
A
λ
T1 − T2
,
L
I-1
kjer je λ koeficient toplotne prevodnosti dane snovi in P je toplotni tok, ki je definiran kot
(skica 1.2),
T1
A
λ
P
T2
L
Skica 1.2
P =
dQ
= Q& ,
dt
I-2
množina toplote, ki preteče skozi (neko) ploskev, ki stoji pravokotno na smer prevajanja
toplote, v časovnem intervalu dt, to je v intervalu časa med t in t+dt.
Pri stacionarnem pojavu teče skozi presek v danem časovnem intervalu dt vedno enaka
množina toplote dQ, torej je toplotni tok P konstanten zato velja (torej samo za stacionarne
pojave), da je
4
dQ
Q
= Q& =
.
dt
t
P =
saj velja tedaj Q = ∫ dQ =
I-3,
∫ Pdt
= P ∫ dt = P t, od koder neposredno sledi P = Q/t.
Pomembna fizikalna količina, ki podaja množino toplote, ki preteče v dani časovni enoti
skozi dani presek (ki stoji pravokotno na smer širjenja toplote) je gostota toplotnega toka, j,
pri čemer je slednja definirana kot,
j =
P
.
A
I-4
Za primer prevajanja toplote (skozi eno plast poljubne površine A), skica 1.2, z uporabo
enačbe I-1 sledi,
P =
λ
L
A ∆T = K ∆T =
∆T
RT
I-5
izraz, ki definira toplotno prevodnost plasti K ( enota je stopinja Kelvina na vat, ozroma
K/W), ali pa toplotni upor plasti RT. Seveda velja,
K =
λ
L
A =
1
RT
I-6
kjer je toplotni upor ene same plasti definiran kot,
RT =
L
.
λA
I-7
V splošnem se pa enačba prevajanja toplote zapiše v zaokroženi obliki,
v
j = - λ grad T,
I-8
ki velja splošno tudi v primeru, ko je telo anizotropno. V tem primeru pomeni λ tenzor (= 3 x
3 matrica) toplotne prevodnosti danega telesa. Kot je znano je gradient skalarne funkcije
vektor, ki kaže v smer najhitrejšega »spreminjanja« skalarne funkcije. V izbranem
kartezičnem koordinatnem sistemu se gradient zapiše,
grad T =
∂T ) ∂T ) ∂T )
i+
j+ k .
∂x
∂y
∂z
I-9
v
Smer vektorja gostote toplotnega toka, j , je torej določena s smerjo gradienta temperature.
v
Pozor: vektor j je bistveno drugačna (fizikalna) količina kot enotni vektor vzdolž y-osi
)
izbranega kartezičnega koordinatnega sistema, j .
Koeficiente toplotne prevodnosti nekaterih snovi podaja Tabela I.
5
TABELA I.
Koeficienti toplotne prevodnosti
Vrsta materiala
1. Zidovi
iz modularne opeke
do 15% v apneni malti
(giter opeka)
Gostota
ρ
kg/m3
1800
1600
1400
iz betonskih blokov z agregati
-pesek
1200
-elektrofiltrski pepel
1500
-votla žlindra z
zamaknjenimi odprtinami
1400
-penasti beton siporeks
800
zid iz klinker opeke
1900
zid iz lahkega betona.
zaparjen
1400
zid iz lahkega betona,
naravno sušen
1200
2. Malte
podaljšana malta
1800
apnena malta
1700
cementna malta
2100
mavčni omet na rabič mreži
1000
mavčna plošča, ovita s
papirjem
1700
zunanji omet, apneni
podaljšani
1500
ometana trstika
1000
3. Beton
iz gramoza, rečnega peska ali
drobljenega kamna. armiran,
vibriran
2400
iz kamnitega agregata in
gramoza, mešan ročno ali
strojno
2400
iz gramoza ali lomljenega kamna,
zbit ali vibriran
trdota B 120
2200
iz enako zmletega agregata
1400
suh perlitni beton
600
iz drobljene opeke
1400
penasti beton siporeks
800
12. Pesek, gramoz, kamen. glina, zemlja
naravni kamen, granit
2800
domači kamen amorfne ali
školjkaste strukture
2900
amorfni peščenec
2500
5. Talne obloge
azbestnocementne plošče
asfalt,liti
lepenka
keramične in klinker
1800
2100
1100
Specificna
toplota
c
kJ/kg.K
Koef. topl.
prevodnosti
λ
W/m.K
0.92
0.92
0.92
0.76
0.64
0.61
0,92
0,92
0.52
0,58
0,92
1.05
0,88
0,58
0.35
1.05
0,84
0,64
0.84
0,52
1,05
1.05
1.05
0.92
0,87
0,81
1.40
0.47
0.92
0,70
0.92
0,92
0,70
0,47
0,96
2.04
0.96
2,33
0.96
1.00
1,05
1,02
1.05
1,51
0.58
0,23
0,65
0,30
0,92
3,50
0,92
0,92
3,50
1,74
0,96
1,05
1.67
0,35
0,70
0.19
6
ploščice
linolej
guma
lesena tla (parket)
mehki les
smrekov les
pluta
teraco
filc, plošče iz tekstilnih
vlaken
tekstilna vlakna
2000
1250
1000
800
600
350
135
2000
0,92
1,88
1,47
1.67
1,67
2,09
1,67
0,98
0,92
0,19
0,16
0,21
0,15
0.14
0,044
1,20
300
20
1,46
1,21
0,09
0.052
1,67
0.081
2,09
2.09
1.67
1,26
1.38
0.13
0.099
0,044
0.041
0.035
0.84
0,041
0,84
1,67
1.26
0,056
0.15
0.041
200
50
50
20
100
1700
0,84
0.84
0,92
0,84
0.92
2,09
0,84
0.84
0,33
0,84
0,84
0.58
0,81
0,50
0,22
0.41
0.09
0,04
0,046
0.035
0.05
2.10
800
500
600
2.20
2.09
2,09
0.21
0.14
0.12
9. Kovine
aluminij
baker
svinec
cink
jeklo
lito železo
2800
9000
11500
7100
7800
7100
0.88
0.38
0,55
0,39
0.46
0,50
10. Steklo
ravno okensko
žično steklo
2700
2700
6. Izolacijski materiali
plošče iz lesne volne
(heraklit. tarolit. izolit)
400
plošče iz lesnih vlaken, trde
(lesonit)
400
trda iverka. panelna plošča
600
ekspandirana pluta
135
stiroporne plošče
225
poliuretanska pena v ploščah
30
mineralna volna v obliki
blazin
30-200
steklena volna v obliki
blazin
145
brizgani azbest
600
fenolne plošče
40
7. Polnila
pesek: suh
gramoz: suh
premogova žlindra
plavžna žlindra
drobljena opeka
leseni odpadki
drobljena pluta
mineralna volna
ekspandirani stiropor
perlit
vlažna koherentna tla
8. Les
trdi les
mehki les
vezana plošča
1800
1700
700
350
0.84
0,84
203
308
35
110
59
46,5
0,81
0,44
7
1.1.1.1 Prevajanje toplote skozi dve in več plasti
a) dve zaporedno vezani vzporedni plasti, skica 1.3
A
λ1
λ2
v
j1
v
j2
T1
T´
L1
0
T2
L2
x1
x2
x
Skica 1.3
V stacionarnem stanju (temperatura je v vsaki točki snovi-tudi na mejnem stiku- od časa
neodvisna količina, seveda pa se vzdolž smeri pretakanja
v toplote od točke do točke prostora
spreminja) mora veljati, da je gostota toplotnega toka j skozi vsako snov konstantna saj se
toplota nikjer ne nabira
nikjer
ne ponikne (v snovi ni izvorov in ponorov toplote).
v oziroma
v
v
Veljati mora torej, j1 = j2 ≡ j , zaradi česar v izbranem koordinatnem sistemu, izraz I9, sledi,
x1
T
- λ 1 ∫ dT
=
T1
j1 ∫ dx
⇒
- λ 1 (T ´ - T1 ) = j1 L1
I-10
⇒
- λ 2 (T2 - T ´) = j2 L2.
I-11
0
T2
x2
T
x1
- λ 2 ∫ dT = j2 ∫ dx
Iz obeh enačb izračunamo temperaturo mejne plasti T ´. Dobljeni izraz vstavimo v katerokoli
od zapisanih enačb desne strani in dobimi gostoto toplotnega toka, ki prehaja iz mesta višje
temperature na mesto nižje temperature. Tako n.pr. iz I-10 izrazimo T´,
T´ = T1 -
j L1
λ1
8
dobljeni izraz vstavimo v I-11, preuredimo in dobimo,
j =
T1 − T2
L1 L2
+
λ1
λ2
in sedaj še vmesno temperaturo na steni, T´, ki je tedaj enaka,
T´ = T´ - j
L1
λ1
=
T1 -
T1 − T2 L1
L1 L2 λ1
+
λ1
λ2
V splošnem se izkaže, da je ta problem, oziroma posplošitev na N planparalelnih plasti v
tesnem stiku, ki so opredeljene s podatki, λ i, Li, i = 1, 2, ...., N, v splošnem bistveno
enostavnejše izračunljiv z uporabo analogije zaporedno vezanih električnih uporov, skica 1.4,
RT1
RT2
RTN
Skica 1.4
kjer je
Rcelotni = RT1 + RT2 + ..... + RTN
I-12
vsota toplotnih upornosti posamezne plasti, ki sistem sestavljajo. Velja seveda,
P =
∆T
,
Rcelotni
I-13
pri čemer je toplotni upor, po analogiji z električnim vezjem (toplotni tok ustreza
električnemu toku, razlika električnega potenciala, t.j. električna napetost, ustreza
temperaturni razliki, toplotna upornost pa električni upornosti) dane plasti debeline L,
prečnega preseka A in koeficienta toplotne prevodnosti λ definiran, kot, enačba I-1,
R=
L
.
λA
I-14
saj velja,
9
P = lA
T1 − T2
=
L
∆T
∆T
=
L
R
λA
Rešitev zgornje naloge je tedaj preprosto enaka,
P=
T1 − T2
=
Rcelot
T1 − T2
= K ∆T
L1
L2
+
λ1 A λ 2 A
I-15
Pri čemer je (celotna) toplotna prevodnost sistema danih dveh, zaporedno vezanih, ravnih
plasti K enaka,
K =
1
I-16
L1
L
+ 2
λ1 A λ 2 A
Temperatura na stičiščih površin se preprosto izračuna izhajajoč iz enakosti toplotnh
tokov torej,
P = P1 = P2
P = K (T1-T2) = K1 (T1-T´) = K2 (T´ - T2)
I-17
kjer sta K1 in K2 toplotni prevodnosti prve in druge plasti. Rezultat je očitno enak,
T´ =
T1 -
K
( T1 - T2),
K1
I-18
torej temperatura na stični plasti v primeru stacionarnega prevajanja toplote linearno pada z
razliko temperatur, oziroma, ker velja Rcelotni = RT1 + RT2 sledi, K-1 = K1-1 + K2-1, zato je
K = K1K2/(K1+K2) in od tod je temperatura stene,
T´ =
K1
T1 +
K1 + K 2
K2
T2
K1 + K 2
I-19
utežena aritmetična sredina obeh temperatur na krajiščih.
Temperaturni profil vzdolž prve plasti se za stacionarni primer prevajanja toplote skozi
obe (ali več) plasti izračuna iz izraza,
P = P2 = P 1 =
K1 (T1 – T´)
I.-20
kjer je toplotna prevodnost prve plasti podana z recipročno vrednostjo toplotne upornost, t.j.
izraza I-14,
K1 =
λ 1A
1
=
RT 1
L1
I-21
10
in se tedaj temperatura mejne plasti, T´, od njene začetne vrednosti T1 linearno zmanjšuje z
debelino plasti L1, saj je toplotni tok P v stacionarnem stanju vseskozi konstanten,
T´ = T1 -
P
L1,
λ1 A
I-22
glej skico 1.5.
T´
L1
Skica 1.5
b)
dve vzporedno vezani plasti, skica 1.6
V tem primeru je smer vektorja gostote toplotnega toka usmerjena vzdolž planarnih
plasti, ki se nahajajo v tesnem medsebojnem stiku, z okolico pa so idealno toplotno izolirane
tako, da nič toplotnega toka ne uhaja v okolico, oziroma je sistem iz okolice ne prejme.. Vse
plasti so enako dolge, torej L1=L2 =L3 = ..... = LN = L, njihov prečni presek pa je različen
torej A1, A2, ....., AN. Temperatura na levem delu sistema je T1 na desnem krajišču pa je T2.
Obe temperaturi sta stalni in toplotno prevajanje je stacionarno, skica 1.6. V poljubnem
preseku pravokotno na plasti je na vsakem mestu temperatura enaka, saj ni izvorov in ponirov
toplote v sistemu. Sedaj velja,
11
L
A1
λ1
T´
T1
T2
A2
λ2
T´
Skica 1.6
P =
T1 − T2
,
Rcelot
I-23
toda sedaj je, po analogiji z vzporedno vezanimi električnimi upori, nadomestna upornost
vezja, Rcelot, podan z izrazom,
1
Rcelot
=
1
i =1 Ri
N
∑
I-24
kjer je toplotni upor i-te plasti podan z izrazom,
Ri =
L
=
λi Ai
1
Ki
I-25
Toplotni tok P v stacionarnem stanju, ki teče skozi takšen sistem je tedaj enak, saj v tem
primeru velja,
1
=
R
1
1
+
,
R1 R2
oziroma
K = K1 + K2.
12
Po definicji, glej I-17, ob upoštevanju I-14 je,
P = K ∆T
I-26
pri čemer je celotna toplotna prevodnost zapisanega sistema K sedaj podana z,
K =
c)
 λ1 A1 λ 2 A2 
+


L 
 L
I-27
Ravninski polarni koordinatni sistem
V odsotnosti izvorov in ponorov toplote je stacionarno prevajanje toplote skozi neskončno
dolgi kolobar valja odvisen samo od radija in nič od azimuta, t.j. kota ϕ, skica 1.7.
y
r
ϕ
x
T1
T2
Skica 1.7
Za primer kolobarja debeline d, kjer se notranja stena, oddaljena na razdalji r1 od izhodišča,
vseskozi nahaja na enakomerni temperaturi T1 na zunanji steni pa vlada stalna temperatura T2,
se gradient temperature v cilindričnem polarnem koordinatnem sistemu zapiše kot,
grad T =
∂T )
1 ∂T ) ∂T )
eρ +
eϕ +
ez
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
I-28
)
kjer so ei , enotni vektorji, ki definirajo prostorski polarni koordinatni sistem. V danem
primeru kjer je po predpostavki T = T(ρ) in temperatura v stacionarnem stanju ne zavisi od
kota ϕ ter od razdalje z, se gornji izraz prevajanja toplote poenostavi v,
v
dT )
j = -λ
eρ
dρ
I-29
13
in gostota toplotnega toka je tedaj usmerjena samo vzdolž radija. Celotni stacionarni toplotni
tok, P, ki teče skozi plašč kolobarja debeline debeline stene d ter višine h je tedaj enak,
P = jA= λ2πρh
dT
dρ
I-30
in je konstanten, neodvisen od časa. Od tod sledi,
P
r2
∫
dρ
2πλh r1 ρ
=
T2
∫ dT
I-31
T1
in zato je toplotni tok skozi plašč kolobarja valja višine h enak,
P = 2πλh
T2 − T1
.
 r2 
ln 
 r1 
I-32
Tu je r2 = r1 + d, kjer je d debelina plasti kolobarja. Če se sedaj definira toplotni upor plašča
kolobarja višine h z izrazom,
RT
 d
ln1 + 
r
= 
2πλ h
I-33
kjer pomeni r radialno oddaljenost (nitranje površine) plasti debeline d, katere koeficient
toplotne prevodnosti je λ in ki se nahaja na (stacionarni) temperaturi T1.
V primeru, da kolobar sestavlja sistem N koncentrično razporejenih plasti različnih
snovnih lastnosti in debelin je celotni toplotni upor takšnega sistema enak,
  r2
 ln
N
1   r1
Rcelot = ∑ Ri =
2πh  λ1
i =1



r
 ln 3
 +  r2
λ2


+
 r 
ln N  
r
˙+  N −1  
λN 


Če so plasti iz enake snovi, tedaj velja λ1 = λ 2 = … = λ
poenostavi v,
Rcelot =
 r
ln  2
2πλ h
 r1
1
  r3
 
  r2
  rN 
r 
1
 =
 L
ln  N 
2πλ h
  rN −1 
 r1 
I-34
N
= λ , tako, da se enačba (I-31)
I-35
kar pa je isto kot en. (I-33), če le upoštevamo, da je rN = r1 + d, kjer je d debelina kolobarja.
14
1.1.2
Prestop toplote (konvekcija)
Dolgo, toplotno izolirano, homogeno palico prečnega preseka A, dolžine lo in
koeficienta toplotne prevodnosti λ, prečno prerežemo in dobljena kosa razmaknemo za dano
razdaljo L. Vmesni prostor napolnimo s plinom ali kapljevino (tekočino) in počakamo, da se
vzpostavi temperaturno ravnovesje (sistem –tudi plin-se nahaja na temperaturi n. pr. na T2). V
nekem trenutku vzpostavimo temperaturni gradient kar pomeni, da se površina enega dela
palice ob stiku s plinom nahaja na stalni temperaturi T1, površina drugega dela pa se nahaja na
stalni temperaturi T2, kjer je n.pr. T1 > T2, skica 1.8. Poizkusi pokažejo, da je toplotni tok, P,
ki prehaja ob stiku s površino palice, ki se nahaja na višji temperaturi, na plin sicer
sorazmeren razliki temperatur površine in plina, ∆T = T1 – T2, toda poizkusi kažejo, da je
toplotni tok,
A
T1
T2
A
P
L
Skica 1.8
ki prestopa s površine telesa v plin odvisen tudi od tlaka plina, od velikosti stične površine, od
orientacije sistema v prostoru (za sistem v vodoravni legi se toplotni tok razlikuje od primera,
ko se sistem nahaja v navpični smer), itd. Zapisane vplive v splošnem ni mogoče zajeti
analitično temveč le eksperimentalno.
Toplotni tok, P, ki se ob stični površini prenese (prestopi) iz enega telesa na drugega, pri
čemer nastopijo snovni tokovi, se v splošnem zapiše,
P = α (T1 – T2) A
I-36
kjer je α koeficient toplotnega prestopa. V izrazu I-36 pomenita temperaturi T1 temperaturo
površine stične površine na levi, skica 1.8, temperatura T2 pa je temperatura plina, ki se
nahaja v ravnovesju z desno stično površino in je to torej temperatura plina na nekoliko večji
oddaljenosti od leve površine.
Prestop toplote je odvisen od vrste plina, tlaka plina, hitrosti plina ob stični površini
(veter), od stične površine, od oblike in obdelanosti stične površine, močno pa zavisi, pri dani
15
snovi, še od agregatnega stanja (plin oziroma kapljevina, oziroma para). Zaradi zapisane
zapletenosti koeficienta prestopa toplote, se le-ta določa skoraj izključno eksperimentalno.
V splošnem se lahko zapiše, da leži toplotna prestopnost α pri plinih in tekočinah v
intervalu,
plini
kapljevine (tekočine)
(14 - 40 )
W/m2K
(2000 - 4000) W/m2K
I-37
Če se agregatno stanje snovi ob prestopu toplote spreminja zavzame koeficient prestopa
α še posebno velike vrednosti. Tako n.pr. leži α v intervalu,
kapljevina ob stiku vre
(3000 - 16000) W/m2K,
kapljevina (para) ob stiku se kondenzira in tvori:
a) zelo tanko plast vrele tekočine
(6000 - 12000) W/m2K
b) posamezne kapljice
(30000 - 46000) W/m2K.
I-38
Koeficiente prestopa toplote iz notranje strani določene površine podaja Tabela II
spodaj.
TABELA II
Koeficienti prestopa toplote za primer:
α [W/m2K]
a) prehoda iz notranjih površin
zidov in notranjih oken, tal in stropa, pri prehodu
toplote od spodaj navzgor
8
tal in stropa pri prehodu toplote od zgoraj navzdol
6
zunanjih oken
12
b) prehoda iz zunanjih površin
odprtega prostora
23
V splošnem je potrebno razlikovati med naravno in vsiljeno konvekcijo. Naravna
konvekcija nastopi tedaj, kadar se zaradi temperaturnih sprememb pojavijo razlike gostote
snovi (in s tem njene teže). Prisilna ali vsiljena konvekcija toplote nastopi zaradi dodatnih
zunanjih vplivov, n. pr. učinka črpalk, ventilatorjev, najbolj pogosto zaradi vetra, itd.
V vseh primerih konvekcije je potrebno koeficient prestopa toplote, α, enačba I-36,
določiti za vsak primer posebej. V nadaljnjem bodo te značilnosti prikazane na nekaterih
najbolj pogostih (in enostavnih) primerih prestopa toplote iz enega sredstva na drugo.
16
1.1.2.1
Prestop toplote z vertikalne (ravne) stene v zrak
P
Ts
P
Tz
P
Skica 1.9
Za prikazani primer prestopa toplote z vertikalne stene v zrak je koeficient prestopa
α naslednji:
1.
za primer prisilne konvekcija v primeru, da je hitrost gibanja zraka, vzporedno stični
površini, znana je v praksi za koeficient prestopa toplote α (enota W/m2K) mogoče uporabiti
izraz,
α =
α =
6 +4 v
7.41 v0.78
za hitrost zraka, v ≤ 5 m/s, oziroma
v ≥ 5 m/s.
2. V primeru zunanje stene ovoja zgradbe, n.pr. fasade ali strehe, če je hitrost vetra znana
velja,
α = 6 + 4.5 v - 0.14 v2
α = 5 + 1.5 v
3.
privetrna stran in
zavetrna stran in
v ≤ 10 m/s, oziroma
v ≤ 8 m/s.
Za primer naravne konvekcije v notranjosti zgradbe se uporablja
α =
2 | Tz - Ts |1/4,
kjer je Tz temperatura zraka dovolj daleč od stene, Ts pa temperatura površine stene.
17
1.1.2.2
Prehod toplote skozi enoslojno plast; koeficient toplotnega prehoda U
Površina dane snovi je običajno na obeh straneh obdana s plastmi zraka ali
kapljevine kjer je zaradi mejnih pojavov težko natančno določiti začetno temperaturo na
površini snovi skozi katero teče toplotni tok P. Običajno je povprečna temperatura okolice
v
j
T1
T2
α1
mejna plast 1
λ
mejna plast 2
d
α2
x
Skica 1.10.
dovolj natančno poznana in naj bo T1 in T2, pri čemer predpostavimo, da velja T1 > T2, skica
1.10. Naj bo koeficient prestopa toplote z okolice na levo površino plasti enak α1, koeficient
prestopa toplote z okolice na desni na desno površino plasti pa enak α2. Če je koeficient
toplotne prevodnosti same plasti enak λ, tedaj mora veljati, da je v stacionarnem stanju
gostota toplotnega toka iz leve na desno skozi vsako plast enaka,
j = α1 (T1 – Tstene1)
j =
j =
λ
d
(Tstene1 - Tstene2 )
α2 (Tstene2 – T2 )
I - 39
I - 40
I – 41
Če se iz zgornjih izrazov eliminira temperaturi obeh površin Tstene1 in Tstene2 je gostota
toplotnega toka j enaka,
18
j =
T1 − T2
1 d 1
+ +
P
=
A
α1
λ
I – 42
α2
Po definiciji je 1/α specifični toplotni upor prestopa toplote v mejni plasti in d/λ je specifični
upor prevajanja toplote skozi plast debeline d. Celotni toplotni upor v enačbi (I-42) je tedaj,
1 d 1
1
=
+ +
RT
α1 λ α 2
I – 43
tako, da je toplotni tok vzdolž x-osi podan z izrazom,
P = Q& =
A U (T1 – T2)
I – 44
kjer je U koeficient prehoda toplote, ki je enak, (I – 42),
U =
1
α1
+
1
d
λ
+
1
I – 45
α2
V primeru prevajanja toplote skozi steno valja notranjega polmera R1 in zunanjega
polmera R2, kjer je debelina stene d = R2 – R1, je toplotni tok skozi steno podan z izrazom,
2π L (T1 − T2 )
Q& =
1 R2
ln
λ R1
I – 46
V zgornjem izrazu je temperatura T1 temperatura v notranjosti cevi, T2 je temperatura na
zunanji strani cevi in L je dolžina cevi. Gostota toplotnega toka je,
j =
P
Q&
=
2π r L
A
I – 47
in je funkcija polmera, r, cevi. Iz dobljenega izraza je očitno, da je gostota toplotnega toka
skozi notranjo površino cevi večja kot skozi zunanjo površino, saj velja R1 < R2, toda v
stacionarnem stanju je toplotni tok, P = Q& , skozi cev konstanten (ker ni ne ponora ne izvora
toplote).
V primeru prevajanja toplote skozi n-slojno cev je mogoče na analogni način kot zgoraj
pokazati, da velja,
P = Q& =
2πL(T1 − T2 )
n 1
R
∑ ln i +1
Ri
i 01 λi
I – 48
19
V primeru, ko je potrebno upoštevati še razmere na mejni plasti valjaste cevi debeline
stene d, se enačbe toplotnega toka glasijo,
P = α1 (T1 – Tstene1) A = 2πLR1 α1 (T1 – Tstene1)
2π L (Tstene1 − Tstene 2 )
1 R2
ln
λ R1
P =
P = 2πLR2 α2 (Tstene2 – T2)
I - 49
I - 50
I – 51
od koder sledi, da je toplotni tok enak,
2πL(T1 − T2 )
1
1 R
1
+ ln 2 +
R1α1 λ R1 R2α 2
Q& =
I - 52
Ob upoštevanju definicije,
Q&
A (T1 − T2 )
U =
I – 53
da je koeficient prehoda toplote funkcija polmera tako, da je le-ta za notranjo površino enak,
U1 =
1
R
R
+ ln 2 + 1
α1 λ R1 R2α 2
R1
1
I – 54
za zunanjo površino pa je podan z izrazom,
U2
=
1
1
α2
+
R2
λ
ln
R2
R
+ 2
R1 R1α1
I – 55
Toda ker pa je toplotni tok skozi vsako površino skozi katero prehaja konstanten mora veljati,
P = U1 A1 (T1 – T2) = U2 A2 (T1 – T2)
I – 56
in zato velja,
U1A1 = U2 A2
I – 57
20
Na podoben način se izračuna toplotni tok skozi valjasto cev, ki jo sestavlja nkolobarjev,
2πL(T1 − T2 )
n 1
R j +1
1
1
+ ∑ ln
+
R1α1 j =1 λ j
Rj
R j +1α 2
P = Q& =
I – 58
Iz enačbe (I-49) je razvidno, da je toplotni tok, P, skozi steno cevi, pri konstantnem
notranjem polmeru R1 in danih snovnih lastnostih, funkcija debeline stene, oziroma polmera
zunanje stene R2. Toplotni tok skozi cev bo največji tedaj, ko velja
1
λR2
−
1
R2 α 2
2
= 0
I – 59
Rešitev gornje enačbe je enaka
R2 =
λ
α2
I – 60
in podaja polmer zunanje stene, R2, t.j. optimalni zunanji polmer, za katero je toplotni tok v
stacionarnem stanju skozi cev danega notranjega polmera R1 največji.
Opozorilo:
Na skici 1.10 prikazani mejni plasti zraka, ki se nahajata ob vertikalnemu zidu debeline
d in koeficienta toplotne prevodnosti λ, povzročata da se (v stacionarnem stanju) temperaturi
sten razlikujeta od temperatur zraka na večji oddaljenosti od sten. To je nemudoma razvidno
n.pr. iz enačb I-41 in I-42 ter I-45, saj velja (stanje je stacionarno),
α2 (Tstene2 – T2 ) = U (T 1 – T2 ),
Tstene 2 = T2 +
T
U
α2
I-60 a
(T1 – T2),
T1
Tstene 1
Tstene 2
T2
x
Skica 1.11
21
od koder sledi, da je Tstene 2 > T2. Na podoben način se pokaže, da je Tstene 1 < T1. To dejstvo
je posebej poudarjeno na skici 1.11 (ob predpostavki, da je T1 > T2).
1.1.2.3
Vertikalna zračna reža
Če je zračna reža dovolj široka, steni pa se nahajata na temperaturah T1 in T2 tedaj je
prenos toplote med stenama, skica 1.12 kombinacija kondukcije in naravne konvekcije.
T¸
T2
konvekcija
P
kondukcija + konvekcija
L
Skica 1.12.
V prikazanem primeru je tedaj celoten toplotni tok, ki prestopa med stenama reže enak,
P
=
αkk (T1 – T2) A
I-61
kjer je αkk koeficient prestopa toplote za oba navedena primera. V običajnih pogojih se izraža,
αkk =
λ zraka
L
+ α
I-62
kjer je λzraka koeficient toplotne prevodnosti zraka. V primerih zelo ozke reže zrak v reži
miruje in αkk je tedaj podan samo s kondukcijo, torej s prvim členom desne strani izraza I-62.
22
1.1.3
Toplotni tok skozi večplastni sistem; koeficient prehoda U
Skica 1.13 ponazarja sistem N vzporednih plasti, različnih debelin in lastnosti
materiala, ki so z obeh straneh obdani z zrakom temperature Tz na zunanji strani in Tn na
notranji strani. Zunanja temperatura stene v splošnem ni enaka temperaturi zunanjega zraka
daleč od stene zaradi vrste pojavov, ki ob steni nastopajo. Takšni značilni pojavi so:
konvekcija toplote, sevanje, vpadli solarni energijski tok in prenos latentne toplote
(izparevanje, kondenzacija in zmrzovanje vodne pare). Iz navedenih razlogov je potrebno
razlikovati temperaturo zunanje stene Tsz od temperature zunanjega zraka daleč od stene, Tz,
pričemer torej velja Tsz ≠ Tz. V splošnem za notranjo steno velja podobno razmišljanje,
temperatura notranje stene Tsn ni enaka temperaturi zraka v notranjosti, Tn, daleč od mejne
plasti.
Tsn
Tz
Tn
Tsz
1
αz
d1
λ1
d2
λ2
d3
1
λ3
αn
1
Λ
U
Skica 1.13
23
V stacionarnem stanju je toplotni tok, ki teče skozi opisani sistem (ob upoštevanju
pojavov na mejnih plasteh) podan z izrazom (po predpostavki velja Tn > Tz ) ,
P = U A (Tn – Tz)
I-63
kjer je U celotna toplotna prehodnost, ki upošteva prehod toplote skozi sistem ravnih sten in
vključuje prevajanje, konvekcijo in sevanje.
Iz definicije izhaja, da je celotna toplotna prehodnost U enaka recipročni vrednosti
celotnega toplotnega upora RTcel sistema, ki je v prikazanem primeru kar vsota zaporedno
vezanih toplotih uporov,
RTcel = Rsz +
∑R
Ti
+ Rsn
I-64
i
in zato je
U =
1
I-65
RTcel
Celotni upor toplotnega pretoka RTcel , skozi sistem zaporedno postavljenih elementov,
vključno z obema mejnima plastema je podan,
1
RTcel =
αz
+
1
1
,
+
Λ
αn
I-66
kjer je Λ, upor toplotnega pretoka večslojnega elementa, definiran kot,
1
=
Λ
di
∑λ
i
,
I-67
i
glej skico 1.13 za primer, ko je element sestavljen iz 3 različnih plasti.
Očitno 1/Λ, recipročna vrednost upora toplotnega pretoka (t.j. prevodnost toplotnega pretoka),
podaja toplotno karakteristiko sestave medtem, ko pa koeficient U, toplotna prehodnost
[W/m2K] podaja toplotno karakteristiko elementa upoštevaje še mejni plasti zraka, katerih
koeficient prestopa toplote je αz in αn.
Na skici 1.13 prikazane temperature pomenijo, Tz, in Tn zunanja, oziroma notranja
temperatura daleč od ustreznih sten, Tzs in Tns sta temperaturi sten na zunanji in notranji
strani, črtkani ploskvi pa predstavljata mejno plast zraka, kjer je temperatura še Tz, oziroma
Tn. Seveda velja, Tz < Tzs in analogno, Tn > Tns, v primeru, da temperatura v notranjosti
prostora presega zunanjo, t.j. Tn > Tz..
Na osnovi zapisanega sledi, da je toplotna prehodnost, U, sistema na skici 1.13, podana z
U =
1
3 d
1
+ ∑ i
α z i =1 λi
+
1
I-68
αn
24
1.1.3.1 Pomen temperature notranjih sten
Vsako telo, ki se nahaja na dani temperaturi T, oddaja energijo s sevanjem (t.j.
elektromagnetno valovanje) v okolico. Če se okolica nahaja na enaki temperaturi tedaj
tolikšen del energije, kot jo oddaja s sevanjem v okolico iz okolice tudi prejme. Telo se nahaja
v toplotnem ravnovesju. Če je temperatura okolice nižja, kot je temperatura telesa, tedaj telo
oddaja več energije, kot jo iz okolice prejme in v kolikor te razlike ne nadomesti, se prične
telo hladiti in njegova temperatura se znižuje (po predpostavki je okolica toplotni rezervar
konstantne temperature). Čim večja je razlika temperatur telesa in okolice tem izrazitejše je
ohlajevanje (tu ne gre za linearno zvezo, marveč je pojav bistveno izrazitejši, glej poglavje o
sevanju teles). V primeru človeka (več kot 80% energije oddaja telo s sevanjem), ki se nahaja
v bližini hladnih sten je odvajanje energije intenzivno in to povzroča fiziološki občutek
neprijetnosti. Očitno je tadaj fiziološko najugodneje, da se stene (pozimi) nahajajo na
temperaturi, ki kar najbolje ustreza temperaturi telesa. Toda pozimi je temperatura sten, Tns
zaradi mejne plasti zraka ob steni, ki deluje kot toplotni izolator, vedno manjša kot je
temperatura segretega zraka v notranjosti prostora, Tn. V kolikor ni mogoče zadovoljiti
zahteve, Tsn = Tn, tedaj je potrebno stremeti za čim manjšo temperaturno razliko, Tn – Tns.
To temperaturno raliko se izračuna, v primeru stacionarnega stanja, iz znanih enačb,
P = U A (Tn – Tz) = αz A (Tn – Tns)
I-69
in od tod,
1
Tn – Tns =
αn
(Tn − Tz )
1
1 1
+ +
αz Λ αn
.
I-70
V zgornjem izrazu je, αz (αn), koeficient prestopa toplote preko mejne zračne plasti na
zunanjo (notranjo) površino zidu.
V splošnem se zahteva, da je v stacionarnem stanju razlika temperatur notranjosti
ogrevanega prostora in temperature stene, vsaj 3 stopinje, kar pomeni, da je potrebno
projektirati toplotno izolacijo 1/Λ, zunanje stene,
1
1
1
1 (Tn − Tz )
,
=
Λ
α n (Tn − Tns ) α z
αn
I-71
skladno enačbi I-67.
25
1.1.3.2 Ocene toplotnega toka skozi reže oken in vrat
A)
Stacionarna temperaturna razlika med območjima različnih temperatur (T1 > T2, glej
skico 1.14)
h
d
T1
T2
T2
d
h
l
T1
P
h
Skica 1.14
Primer prikazan na skici 1.14 nastopa ob pogojih stalnih temperaturnih razlik med
danima prostoroma; v praksi je to najpogosteje v pogojih klimatiziranega bivališča poleti,
oziroma stacionarnega gretja pozimi. Po predpostavki teče toplotni tok skozi dano režo
prečnega preseka A = l d in širine h, skica 1.14, kjer je l dolžina robu reže, d pa njena višina.
Zaradi temperaturnih razlik prostora na levi temperature T1 in prostora na desni temperature
T2, obstaja med njima tlačna razlika, ki je enaka:
Δp = p1 - p2 =
m1 RT1
m RT
- 2 2 ≈ G ( T1 - T2 )
M V1
M V2
I-72
kjer je konstanta G enaka
G =
ρR
M
,
I-73
pri čemer je ρ povprečna gostota zraka, R je splošna plinska konstanta in M je molekularna
masa zraka. Ocena za masni tok zraka, ki ga potiska nastala tlačna razlika skozi režo je tedaj
podana z izrazom,
Φm = ρ ΦV = ρ A v = ρ l d v,
I-74
26
kjer je v povprečna hitrost zraka skozi režo. Hitrost v se oceni posebej z upoštevanjem
laminarnega toka zraka skozi celotno območje reže. Iz definicije izraza za viskoznost namreč
sledi:
F′
v
= η ,
A′
d
I-75
kjer je η viskoznost zraka in F´ rezultanta strižnih sil, ki ležijo vzdolž ploskve A´ = l h. V
ravnovesju sledi, da je strižna sila enaka sili zaradi nastale tlačne razlike ΔpA tako, da velja,
F´ = A Δp
2 l h η v/d = l d G ( T1 - T2 )
d 2 G (T1 − T2 )
=
v =
2 hη
d2Δp
2 hη
I-76
Toplotni tok, ki teče skozi režo kot posledica nastale temperaturne razlike med zunanjim in
notranjim delom prostorov tedaj znaša,
P =
dQ
Gd 2
dm
cp (T1 – T2) = Φm cp (T1 – T2) = ρ l d
=
cp (T1 – T2)2
2 hη
dt
dt
I-77
Toplotni tok je torej v primeru, da ga poganja tlačna razlika zaradi nastalih temperaturnih
razlik med prostoroma tedaj podan z izrazom,
P =
ρR
M
ρ l d
3
cp
2 hη
2
(T1 – T2)
=
ρ 2 Rc p ld 3
(T1 – T2)2
2 Mη
h
I-78
Zgled: Oceni toplotni tok skozi d = 0.5 mm ozko špranjo praga vrat dolžine l = 1 m, širine h
= 1.5 cm. Podatki so: R = 8300 J/K, cp zraka je 1010 J/(kg K), povprečna molekularna masa
zraka, M = 29 kg, viskoznost zraka (pri 20o C in 1 bar) η = 1.82 x 10-5 kg/(m s) in gostota
zraka (200 C in 1 bar) znaša ρ = 1.29 kg/m3, če je zunanja temperatura T1 = 350 C, notranja pa
T2 250 C.
Pri zapisanih pogojih je vrednost izraza I-78 enaka,
P = 1.1 104 W = 11 kW;
kar je docela nesprejemljiva vrednost. Vzrok je iskati v izrazu za razliko tlakov, I-72, ki
podaja – v izbranem približku - bistveno preveliko vrednost, kajti sprememba gostote zraka s
temperaturo je v tem izrazu zanemarjena. Iz splošne plinske enačbe idealnega plina namreč
sledi, naslednja ocena,
ln p – ln ρ = ln T + ln (R/M)
27
dρ
dT
dp
=
p
ρ
T
in od tod približno sledi,
ρ − ρ2
T − T2
p1 − p2
= 1
+ 1
p
ρ
T
Tlačna razlika je sedaj podana z približnim izrazom,
⎛ ρ − ρ 2 T1 − T2
+
Δ p = p1 – p2 = p ⎜⎜ 1
T
⎝ ρ
⎡ ⎛ 1 1 ⎞ T − T2 ⎤
⎞
⎟⎟ = p ⎢T ⎜⎜ − ⎟⎟ + 1
⎥.
T
T
T
⎠
2 ⎠
⎣ ⎝ 1
⎦
Pri izpeljavi je uporabljena splošna plinska enačba in sicer v oblikah: ρ = p
I-79
M
ter ρ i =
RT
M
, kjer je i = 1, 2 in črtica nad simbolom pomeni povprečno vrednost. Za zapisane
R Ti
vrednosti je Δ p = - 0.9 N/m2, torej je p1 < p2, če je povprečni tlak enak p = 1.013 x 105 Pa
in povprečna temperatura T = 303 K. Zapisana tlačna razlika povzroči pretok hladnega zraka
v toplejšo okolico, ki pa nikakor ni stacionaren, kajti tlak v (sicer zaprtem) prostoru se zato
bolj ali manj hitro izenačuje z zunanjim. V primeru, da pa lahko v prostor vstopa (skozi druge
odprtine) zunanji zrak, pa se tedaj temperatura v notranjosti približuje zunanji. Za
vzpostavitev stacionarnega stanja je torej potrebno nenehno nadomeščati izgubo toplote ob
hkratnem dovajanju zraka iz okolice s čimer se vzpostavi konstanten tlak v notranjosti. Če se
zadovoljimo z oceno za toplotni tok tedaj zgornji tlačni razliki ustreza hitrost v, enačba I-76,
ki znaša v = 0.4 m/s. Ocena za toplotni tok P skozi opisano režo, ki sedaj nadomesti enačbo I77, izhajajoč iz izrazov I-74 ter I-76, tedaj podaja vrednost,
p
P = Φm cp (T1-T2) = ρ l v d cp (T1-T2) = 2.6 W
kar predstavlja konservativno oceno toplotnih izgub skozi opisano režo.
B)
Toplotni tok skozi režo zaradi vetra
V tem primeru predpostavimo, da mastane pretok zraka skozi režo izključno zaradi tlačne
razlike, t.im. zastojnega tlaka. Iz Bernoulijeve enačbi sledi, da v primeru, ko pade hitrost vetra
v ob dani steni (okno, vratih, itd) na vrednost nič nastopi med notranjostjo in zunanjostjo
tlačna razlika, zastojni tlak, ki je enak,
Δp =
ρv2
2
,
I-80
ki je vzrok masnega toka (t.j. pretoka) zraka skozi režo. V izrazu I-80 pomeni v hitrost vetra v
večji oddaljenosti pred ovojem stavbe, ρ pa gostoto zraka. Podobno kot zgoraj mora v
ravnovesju veljati,
28
F´ = A Δp = d l Δp
I-81
2 l h η v´/d = l Δp d
I-82
kjer je privzeto, da je tok skozi režo laminaren, t.j. največja hitrost zraka v´, je v reži na višini
d/2 na obeh površinah reže pa 0. Iz izraza I-82 sledi, da je povprečna hitrost zraka skozi režo,
v´, približno enaka,
v´ =
Δp d 2
.
2 hη
I-83
Toplotni tok, ki nastane samo zaradi zastojnega tlaka, pri čemer se območji na nasprotnih
straneh reže nahajata na različnih temperaturah, je tedaj približno enak,
P = Φm cp (T1 – T2)
P = ρl d
Δp d 2
cp (T1 – T2)
2 hη
ρ c p Δp d 3
l (T1 – T2)
P =
2 hη
I-84
I-85
I-86
in je torej toplotni tok, pri dani hitrosti vpadlega vetra v, izraz I-83, sorazmeren tretji potenci
špranje, d, ter obratno sorazmeren širini reže h. Iz izraza I-84 je razvidno, da je pri danih
vrednostih zapisanih parametrov ter temperaturne razlike, toplotni tok povezan z vdorom (ali
pa izsesavanjem zraka) v dani prostor skozi špranjo, sorazmeren kvadratu hitrosti vetra,
enačba I-80.
Toplotni tok P, izračunan za primer zgoraj navedenih vrednosti in ob pogoju rahlega
vetra v = 1 m/s, je tedaj ocenjen na vrednost,
P = 1.8 W.
V kolikor pa pri danih pogojih znaša hitrost vetra v = 10 m/s (oziroma to je 36 km/h) je tedaj
toplotni tok kar 100 krat večji in znaša
P = 180 W.
Iz izrazov I-74 in I-83 izhaja, da je prostorninski tok zraka (ΦV = dV/dt = v´ l d), ki
pronica skozi špranjo na dolžinsko enoto špranje (v izpeljanem približku) enak,
ΦV
=
l
d 3 Δp
2 hη
I-87
29
Veter, ki vpada na čelni del zgradbe s hitrostjo v, zaradi zaustavitve na steni (fasadi)
povzroči nadtlak, ki ga približno podaja enačba (I-80), na zavetrni strani zgradbe pa kot
posledica nastopi podtlak. Posledica delovanja vetra je tedaj dotok zunanjega zraka skozi reže
v oknih in vratih v privetrni del zgradbe in izsesavanje zraka iz prostorov (skozi odprtine rež)
v zunanjost na zavetrni strani zgradbe.
Dopustne vrednosti propustnosti rež oken in vrat (tudi balkonskih) za pretok zraka,
ΦV/ l , povzemajo standardi in zavisijo od položaja vgradnje teh elementov ter od višine,
oblike in izloženosti zgradbe zunanjim vplivom. V grobem so elementi uvršeni v štiri razrede
tesnenja (nepropustnosti za zrak), pri čemer razred A podaja najblažje (najnezahtevnejše)
pogoje. Te vrednosti razredov povzema TABELA III:
TABELA III
Propustnost oken in balkonskih vrat
Kategorija
Razlika tlakov Δp
/Pa/
A
B
C
Posebni pogoji
10 - 50
10 - 150
10 - 300
10 - 500
Dopustna prepustnost
zraka na enoto robu
reže, ΦV/ l
[m3/m h]
2,0 - 6,0
2,0 - 9,5
1,0 - 12,5
1,0 - 13,5
Hitrost vetra
[km/h]
33
55
79
105 in več
Dopustne prepustljivosti oken in balkonskih vrat za pretok vode podaja TABELA IV.
TABELA IV
Propustnost oken in balkonskih vrat za dopuščeno količino vode 2,0 l/m2 in vetru v trajanju
10 minut.
Kategorija
A
B
C
Posebni pogoji
Razlika tlakov
[Pa]
50
150
300
---
Zahteva
Okna in balkonska vrata
morajo biti vodotesna pod
navedenimi pogoji
30
1.1.3.3 Toplotni tok skozi okno
Tn
Tsn
Tsz
Tz
Skica 1.15
Gostota toplotnega toka, j, ki prehaja iz zunanje površine stekla temperature Tsz v
okolico stalne temperature Tz je podan z izrazom,
j = αz (Tsz – Tz ),
I-88
ki je enak gostoti toplotnega toka iz sobe stalne temperature Tn na steklo katere notranja
površina se nahaja na temperaturi Tsn. Le-ta je,
j = αn (Tn – Tsn )
I-89
in je v stacionarnem stanju seveda enak gostoti toplotnega toka skozi steklo,
j= λ
(Tsn − Tsz )
d
I-90
V zapisanih izrazih pomeni α koeficient toplotne prestopa med steklom in zrakom, λ pa
koeficient toplotne prevodnosti stekla.
Po kratkem računu sledi, da je gostota toplotnega toka skozi steklo enaka,
j = U (Tn – Tz )
I-91
kjer je koeficient toplotne prehodnosti U, skozi steklo podan z izrazom
31
U =
1
αz
+
1
d
λ
+
I-92
1
αn
Če se za vrednosti vzame αz = 25 W/m2K, αn = 8 W/m2K, d = 4 mm, λ = 1 W/mK, sledi za
vrednost koeficienta toplotne prehodnosti U,
U = 5,74 W/m2K
in če znaša razlika temperatur zraka Tn – Tz = 20 K, tedaj je gostota toplotnega toka skozi
steklo,
j = 116 W/m2.
Iz izraza I-90 nemudoma sledi, da pri teh pogojih znaša temperaturna razlika med površinama
stekla,
jd
Tsz – Tsn =
λ
= 0,46 K
in je docela zanemarljiva. Iz zapisanega razloga je tedaj mogoče definirati povprečno
temperaturo steklene šipe, Tp, kot,
Tp = Tsn ≈ Tsz
I-93
tako, da je tedaj,
αz (Tp – Tz ) = αn (Tn – Tp )
I-94
tako, da je povprečna temperatura stekla, tedaj podana z,
Tp =
αn
αn +αz
Tn +
αz
αn +αz
Tz
I-95
Za zadani primer, če znaša notranja temperatura T = 20 C, zunanja pa 0 C, tedaj je povprečna
temperatura stekla Tp = 5 C, kar je zelo blizu temperaturi rosišča vodne pare.
1.1.3.4.
Časovna sprememba temperature
V splošnem se zaradi prehoda toplote skozi stekleno okno spreminja temperatura v
steklu. To spremembo se opiše na naslednji način,
Pvpadli - Poddani = Pstekla
I-96
32
kjer pomenijo Pvpadli toplotni tok na steklo, Poddani toplotni tok skozi steklo v zunanjost in Pstekla
toplotni tok za segrevanje stekla. Iz zgornjega izraza sledi (ker je P = dQ/dt in dQ = mcpdT),
αn (Tn – T ) A - αz (T – Tz ) A = m cp
dT
dt
I-97
kjer je masa stekla enaka, m = ρ A d, in cp je specifična toplota stekla pri konstantnem tlaku.
Po preureditvi se dobi naslednja diferencialna enačba za temperaturo T = T(t),
T& + (bn+bz ) T = bn Tn + bz Tz
I-98
kjer sta konstanti,
bn =
αn
ρ cd
I-99
bz =
αz
ρ cd
I-100
Izraz I-97 je nehomogena navadna diferencialna enačba 1. reda za temperaturo stekla T(t) .
Rešitev je vsota partikularne in splošne rešitve homogene enačbe. Koeficienta b imata enoti
enaki recipročni vrednosti časa, zato je umestno vpeljati časovno konstanto τ kot,
τ =
1
1
=
bn + bz
b
I-101
Za αn = αz = α , ρ = 2 g/cm3, cp = 1000 J/kgK in d = 4 mm je vrednost časovne konstante
enaka,
τ ≈ 400 s = 6.6 min.
Splošna rešitev izraza I-98 je tedaj enaka,
T = T(t=0) e
−
t
τ
+
bnTn + bz Tz
bn + bz
I-102
Po daljšem času, ob pogojih, da sta notranja in zunanja temperaturi konstantni gre prvi člen
proti 0 in v tem primeru, to je v stacionarnem stanju, je temperatura šipe enaka,
T =
bnTn + bz Tz
bn + bz
I-103
V primeru, da je αn = αz, tedaj je temperatura steklenega okna enaka,
33
T =
1
(Tn+Tz )
2
I-104
kar je v primeru, da je Tn = 20 C, Tz = 0 C, enako T = 10 C. V primeru neurij pa je lahko
koeficient prestopa toplote v zunanjosti tudi tri krat večji kot v notranjosti in tedaj je T = 5 C
Toplotni tok, ki teče skozi okno pri normalnih, zgoraj navedenih, pogojih je tedaj,
P = αn A (Tz - T ) = 100 W,
če je αn = 10 W/m2K, A = 1m2 in Tz – T = 10 K.
Za primerjavo vzemimo toplotni tok skozi zid debeline d = 40 cm, λ = 0.8 W/mK, αn = αz
= 10W/m2 in Tn – Tz = 20 K. Za navedene vrednosti je toplotni tok skozi zid enak,
P = 28 W.
Z izboljšanimi vrednostmi λ, se izgube skozi zid lahko še dodatno zmanjša..
Toplotne izgube preko oken se lahko bistveno zmanjšajo v primeru dvojnih oken, torej
v primeru štirih stičnih površin. Koeficient prehoda toplote U je tedaj,
U =
1
1
α1
+
1
α2
+
1
α3
+
1
I-105
α4
in za zgoraj zapisane konstante se za U dobi vrednost U = 2.5 W/m2K tako, da znaša toplotni
tok skozi dvojno zasteklitev,
P = U A (Tn – Tz ) = 50 W,
če je ΔT = 20 K in A = 1 m2.
Na tem mestu velja pripomniti, da je mogoče prepuščeni toplotni tok še dodatno zmanjšati s
spuščeno roleto. V tem primeru v imenovalcu za U nastopata še dodatna dva identična izraza
1/α tako, da je tedaj U = α/6 = 1.7 W/m2K.
Najmanjše toplotne izgube omogočajo dvojna okna, pri katerih je notranjost enega od
stekel prekrita z zelo tanko plastjo zlata ali pa srebra. Vmesni prostor med stekloma je
napolnjen z žlahtnim plinom (argon ali pa kripton). Za argon je koeficient toplotne
prevodnosti enak λAr(41 oC) = 187 x 10-4 W/Km kar je zaznavno manjše kot za zrak, kjer je
λ = 257 x 10-4 W/(m st.) Na takšen način je moč dobiti U v intervalu 0.6 do 0.7 W/m2K.
34
1.1.4
Termično sevanje teles – energijski tok elektromagnetnega valovanja
Vsako telo temperature T oddaja iz svoje površine v okolico elektromagnetno
valovanje različnih valovnih dolžin, ki segajo od neskončnosti pa vse do spodnje meje, ki je
enolično določena s temperaturi telesa. Pravimo, da telo seva. Čim višja je temperatura telesa
tem večji je delež elektromagnetnega valovanja krajših valovnih dolžin (hkrati pa se
zmanjšuje delež daljših valovnih dolžin) v celotnem izsevanem energijskem toku telesa.
Energijski tok, ki ga telo dane temperature T oddaja (seva) v okolico in njegova porazdelitev
po izsevanih valovnih dolžinah v splošnem zavesi od velikosti, vrste in lastnosti površine
sevalca. Energijski tok se najpreprosteje izraža samo za primer sevanja popolnoma črnega
telesa (sevanje votline poljubnega telesa skozi majhno odprtino v njegovi steni).
Del (ali pa tudi celota) izsevanega elektromagnetnega (termičnega) valovanja telesa
vpada na površino drugega telesa, kjer se del vpadnega energijskega toka odbije, del se
apsorbira in del (če je telo »prozorno« za termično sevanje) prehaja skozi telo. Tisti del
vpadlega elektromagnetnega valovanja, ki se absorbira v telesu povzroči spremembo
(povečanje) notranje energije telesa, ki se navzven pokaže kot sprememba (dvig) temperature.
Po I. stavku termodinamike namreč velja ΔWn = Arez + Q, pri čemer je dovedena (ali
odvedena toplota) Q 0, celotno dovedeno (ali odvedeno) delo, Ares, pa enako spremembi
polne (celotne) energije, ki je v opisanem primeru sevalca kar enako dovedeni energiji
elektromagnetnega sevanja Wsevanja. Torej notranja energija snovi se poveča (kar se navzven
kaže kot zvišanje temperature snovi) na račun dovedene (in absorbirane) energije
elektromagnetnega valovanja. V vsakdanjem žargonu v tehniki se temu pojavu zmotno priredi
pojem toplote, torej telo je prejelo toploto zaradi vpadlega sevanja. Temu seveda ni tako, kajti
toplota je energija, ki spontano prehaja ob stiku dveh teles s telesa višje temperature na telo
nižje temperature.
Najpomembnejši sevalec v vsakdanjem življenju je sonce. Sonce seva
elektromagnetno valovanje, ki ga je mogoče približno poistovetiti s termičnim sevanjem
črnega telesa, ki se nahaja na temperaturi T. Črno telo je telo, ki vse nanj vpadlo sevanje
absorbira tako, da je delež odbitega od na telo vpadlega energijskega toka enak nič.
Porazdelitev energijskega toka sevanja črnega telesa temperature T po valovni dolžini (t.j.
spekter termičnega sevanja), dP/dλ, je podana z eksperimentalno verificirano Planck-ovo
porazdelitveno funkcijo,
2πhc 2
dP
= A
dλ
λ5
1
e
hc
λkT
,
I-106
−1
kjer je A površina sevalca, h = 6.626 x 10-34 Js, je Planck-ova konstanta, c je hitrost svetlobe
v vakuumu, k = 1.38 x 10-23 J/K, je Boltzmann-ova konstanta in λ je valovna dolžina
elektromagnetnega sevanja.
∞
⎛ dP ⎞
Integral gornjega izraza po vseh valovnih dolžinah, t.j. P = ∫ ⎜
⎟dλ , podaja
d
λ
⎝
⎠
0
znameniti Štefanov-Boltzmannov zakon,
P = A σ T4,
I-107
35
kjer je σ Stefan-Boltzmann-ova konstanta (σ = 5.67 x 10-8 W/m2K4). Dobljeni izraz podaja
celotni energijski tok P termičnega sevanja (vseh valovnih dolžin), ki ga oddaja popolnoma
gladka površina A črnega telesa v polprostor nad površino, skica 1.16.
Skica 1.16
Sonce seva gostoto energijskega toka, j, ki je približno enak sevanju črnega telesa
temperature T = 5700 K in je popisan z zgornjima izrazoma. Gostota energijskega toka sonca
(na ploskev, ki stoji pravokotno na smer sončnih žarkov) na zgornjih plasteh ozračja znaša
pozimi 1.4 kW/m2, poleti tedaj, ko je razmak med Soncem in Zemljo večji, pa 1.31 kW/m2.
Povprečna vrednost sevane gostote energijskega toka sonca, t.j. 1.35 kW/m2, se imenuje
solarna konstanta. Zaradi absorpcije v ozračju prispe na površino zemlje (kadar je sonce v
zenitu) zmanjšana gostota energijskega toka, ki znaša j0sol = 1.0 kW/m2. V okviru prispelega
energijskega toka odpade okoli 48 % delež na infrardečo svetlobo, na vidno svetlobo odpade
okoli 47 % delež energijskega toka in preostanek, t.j. okoli 5 % na ultravijolični del spektra.
Zaradi termičnega sevanja sonca je energijski tok, ki ga prejema ovoj zgradbe približno
podan z izrazom,
Psonca = A αsol j0sol cos Θ,
I.-108
kjer je αsol absorptivnost ovoja zgradbe za sevanje in Θ podaja kot med normalo na površino
ovoja zgradbe ter smerjo upadlega solarnega energijskega toka j0sol = 1.0 kW/m2.
1.1.4.1
Ekvivalentna temperatura – sestavljanje energijskih doprinosov
Običajno se notranja energija danega telesa spreminja zaradi hkratnega vpliva
energijskih tokov, ki izvirajo iz več različnih procesov. Tako n.pr. je ovoj zgradbe
izpostavljen prenosu toplote zaradi konvekcije zraka, sevanju zgradb iz okolice, sončnemu
sevanju in toploti, ki se ustvarja pri faznih pretvorbah, n.pr. kondenzaciji (ali uparjevanje)
vodne pare. Vsi takšni procesi se lahko združijo na način, ki definira ekvivalentno zunanjo
temperaturo, Te. Kot zgled naj služi skica 1.17, kjer so ti procesi predstavljeni s pomočjo
analogije električnega vezja
Zapisane procese energijskih doprinosov je mogoče predstaviti na naslednji način:
36
Psonca
Pkonden
Pprev
Pokol
Pkonvek
=
=
=
=
=
A αsol j0sol
q Φm
A K ( Tpovrš - Tzn)
A αsev (Tsevanja - Tpovrš )
A αc (Tzz - Tpovrš )
I-109
Izraz Pokol
= A αsev (Tsevanja - Tpovrš ), kjer je αsev prestopni koeficient sevanja
(enota je W/m2K, za podrobnosti glej poglavje 1.3.3), predstavlja sevanje iz okolice
temperature Tsevanja na zunanjo površino stene temperature Tpovrš. V izrazu I-109 pomenijo Tzn
temperaturo notranje površine stene (t.j. kar je približno temeratura zraka v notranjosti), αc je
koeficient toplotnega prestopa zraka v zunanji mejni plasti na steno, Tzz je temperatura
zunanjega zraka daleč od stene, q specifično izparilno toploto vode pri fazni pretvorbi (q=2.5
x 106 J/kg) in Φm masni tok na steno vpadne vodne pare.
Tsevanja zavisi od površin v okolici in atmosfere s katero si zunanja površina izmenjuje
energijo s sevanjem. V približku velja, da je (temperature so izražene v oC)
Tsevanja = 1.2 Tzz – 14
Tsevanja = 1.1 Tzz - 5
Tsevanja = Tzz
za horizontalno površino ob jasnem nebu,
za navpično površino ob jasnem vremenu in
v oblačnem vremenu
I-109a
I-109b
I-109c
Celotni toplotni tok, ki vpada na površino stene, zaradi zunanjih prispevkov se lahko
združi v en sam člen, če se definira Pskupni = Ke (Te – Tpovrš). Pri tem se ekvivalentna zunanja
temperatura Te definira na osnovi ekvivalentnega vezja predstavljenega na skici 1.17, kjer Ke
pomeni ekvivalentno prevodnost zraka pred zunanjo površino temperature Tpovrš.
sevanje
okolice
sevanje
sonca
prevajanje
toplote
fazne
pretvorbe
konvekcija
zunanja površina
notranja površina
Skica 1.17
Ekvivalentno električno vezje, ki popiše dogajanja na skici 1.17 podaja skica 1.18 spodaj.
37
Te
Ke
Tpovrš
K
Tzn
Skica 1.18
Sedaj je potrebno določiti ekvivalentno temperaturo in ekvivalentno prevodnost. S
posplošitvijo definicije toplotne prevodnosti, I-15, mora veljati,
Ke (Te – Tpovrš) = Psonca + Pkonden + Pokol + Pkonvek =
= A ( αsol j0sol + q Φm /A + αsev Tsev - αsev Tpovrš + αc Tzz - αc Tpovrš )
I-110
Zapisana enačba se takoj razstavi v dva izraza in sicer,
Ke
= A ( αsev + αc )
Te
=
1
A ( αsol j0sol + q Φm /A + αsev Tsevanja + αc Tzz )
e
K
I-111
I-112
V posebnem primeru notranje stene je temperatura sevalca enaka temperaturi zraka v
notranjosti, Tsevanja = Tzn, in zaradi dejstva, da je tedaj Tzz potrebno poistovetiti s temperaturo
Tzn, velja j0sol = 0 in če ni faznih pretvorb na steni tedaj iz zgornjih izrazov sledi, da je pod
zapisanimi pogoji
Te = Tzn
I-113
ekvivalentna temperatura notranje stene kar enaka notranji temperaturi zraka v večji
oddaljenosti od stene.
Zgled uporabe je predstavljen na strani 101!
38
1.2.1 OSNOVE PREZRAČEVANJA PROSTOROV
S prezračevanjem se v prostorih zagotavlja potrebna kakovost zraka, pri čemer se
prezračevanje odvija na naravni ali pa na prisilni način.
Potrebna količina zraka za prezračevanje prostorov se določa z ozirom na
namembnost prostora, velikosti prostora in delovnemu procesu, ki se v prostoru odvija.
Potrebna množina zraka za prezračevanje se izraža s številom izmenjav svežega zraka na
časovno enoto (običajno uro), n´, pri čemer velja,
n´ =
ΦV
,
V
I-114
kjer je ΦV prostorninski tok dovedenega (svežega) zraka v dani prostor, ki zajema
prostornino V. Seveda velja, da v stacionarnem stanju enak prostorninski tok (slabega)
zraka iz prostora tudi odteka. Poleg izraza I-114 je v uporabi še definicija n = Φ V , ki
podaja izmenjano prostornino zraka na časovno enoto, podaja jo n.pr. Tabela V, ali pa je
podana z množino svežega zraka na enoto časa na osebo, n*, Tabela VI.
Naravna ventilacija nastopi kot posledica delovanja vetra toda nastopa tudi v
primeru obstoja razlike gostot zraka v danem prostoru in v njegovi okolici. Praviloma
zrak vstopa oziroma izstopa v prostore (t.j. izmenjava zraka) skozi posebej za to
določene odprtine v konstrukciji. Okna, vrata in posebne namenske ventilacijske
odprtine, ki se lahko odpirajo, omogočajo kontrolirano naravno ventilacijo.
Nekontrolirana izmenjava zraka, ki poteka skozi špranje in razpoke v gradbenih
elementih (špranje oken, pragovi, netesnosti, itd.) se imenuje infiltracija zraka.
Na zgradbo vpadajoči veter povzroča na različnih mestih zgradbe polje tlačne
razlike (relativno glede na stanje tlaka v odsotnosti vetra), ki ga v splošnem ni mogoče
enostavno popisati, kajti zavisi od vrste vplivov, kot na pr. oblike in višine zgradbe, vrste
fasade, porazdelitev in oblika sosednjih objektov, itd. Na privetrni strani se vzpostavi v
splošnem polje povečanega, na vseh drugih delih pa polje nekoliko znižanega tlaka, skica
1.19 in Tabela XIII. Zaradi, na takšen način, vzpostavljene tlačne razlike nastopi
pretakanja zraka skozi vse dopustne odprtine v zgradbi.
Zastojni tlak, izražen relativno glede na zunanji zračni tlak, pv, zaradi gibajočih
se zračnih plasti, t.j. vetra katerega hitrost je v, ki deluje na površino poljubne točke
zgradbe je mogoče izraziti (z uporabo Bernoullijeve enačbe) z naslednjim približnim
izrazom:
pv =
Cv
ρv2
2
,
I-115
kjer je Cv t. im. koeficient tlaka vetra (je brezdimenzijski koeficient) in v hitrost vetra na
dani višini zgradbe. Koeficient tlaka vetra Cv je dobljen na modelnih poiskusih v
vetrovnih tunelih in lahko zavzame pozitivno (nadtlak) ali pa negativno vrednost (t.j.
podtlak). Tabela XIII podaja nekatere vrednosti koeficienta tlaka vetra Cv za nekatere
vpadne kote (z ozirom na normale na vertikalne površine zgradbe).
39
TABELA V
Priporočljivo število izmenjav zraka v različnih prostorih na
enoto časa
Število izmenjav zraka, n,
na enoto časa [m3/h]
Namembnost prostora
Bazeni
Knjižnice
Običajni delovni prostor
Šole
Garaže
Uradi
Trgovine
Gostinski prostori
Gledališča in kinodvorane
Sanitarije
Konferenčne dvorane
Kuhinje: velike
srednje
male
3....4
3....5
3.....6
3.....6
4.....5
4.....8
4.....8
4.....8
4.....8
4.....8
6.....8
8....12
10...20
15...30
TABELA VI
PRIPOROČENE VREDNOSTI VOLUMSKEGA PRETOKA ZRAKA
PRI PREZRAČEVANJU
Množina svežega zraka na osebo na uro, n*,
[m3/h]
Prostornina prostora
na osebo [m3]
najmanjša
3
6
9
12
40
25
20
15
priporočljiva
prostor za nekadilce
prostor za kadilce
60
80
40
50
30
40
20
30
40
podtlak
300
podtlak
nadtlak
nadtlak
podtlak
veter
podtlak
450
nadtlak
podtlak
veter
Skica 1.19. Prikazuje tlačno polje, ki se vzpostavi na raznih delih zgradbe zaradi vpliva
vetra.
2
Tloris zgradbe
3
4
1
veter
Θ
Skica 1.20
41
TABELA VII
Koeficient tlaka vetra Cv v odvisnosti od lege točke na površini zidu in vpadnega kota
vetra. Koeficient Cv podja povprečno vrednost za primer trinadstropne zgradbe.
Lokacija na steni
št. 1
št. 2
št. 3
št. 4
Streha: nagib manj
kot 100
Lokacija
spredaj
zadaj
Streha: nagib med
100 in 300
Lokacija
spredaj
zadaj
Streha: nagib večji
kot 300
Lokacija
spredaj
zadaj
Vpadni kot vetra 00
0.4
-0.2
-0.3
-0.3
Vpadni kot vetra 450
0.1
-0.35
0.1
-0.35
Vpadni kot vetra 00
-0.6
-0.6
Vpadni kot vetra 450
-0.5
-0.5
Vpadni kot vetra 00
-0.35
-0.35
Vpadni kot vetra 450
-0.45
-0.45
Vpadni kot vetra 00
0.3
-0.5
Vpadni kot vetra 450
-0.5
-0.5
V Tabeli VII negativna vrednost koeficienta tlaka vetra pomeni, da se na dani
površini zgradbe ustvarja podtlak, ki posledično povzroči srk zraka iz zgradbe.
Hitrost vetra se v meteorologiji podaja kot hitrost zračnih mas na višini 10 m nad
tlemi. Približno korekcijo hitrosti vetra vz na višini z podaja aproksimativna enačba,
vz = v k zφ
I-116
kjer sta k in φ konstanti, ki zavisita od lokacije zgradbe in njene okolice ter sta podani v
Tabeli VIII.
TABELA VIII
Koeficienta korekcije hitrosti vetra z višino
odprte, ravne površine terena
področje s posamezimi vetrovnimi
ovirami
urbano okolje
lokacija v mestu
k
φ
0.68
0.52
0.17
0.20
0.35
0.21
0.25
0.33
42
Tlak v notranjosti zgradbe se lahko približno popiše z izrazom,
p n = Cn
ρv2
2
,
I-117
kjer je ρ gostota zraka in v hitrost vetra in je, zaradi dejstva, da je tlak v okolici zgradbe
večinoma podtlak (t.j. pripisana mu je negativna vrednost), zato tlak v notranjosti
zgradbe, pn, I-117, prav tako negativna količina. Za primer zgradbe, kjer so odprtine
približno enakomerno porazdeljene po vseh površinah znaša koeficient Cn v enačbi
zgoraj, Cn = -0.3.
Razlika tlakov, ki nastane zaradi vetra na površinah zgradbe je tedaj popisana z
izrazom,
∆pvet = (Cv - Cn)
ρv2
2
.
I-118
Negativna vrednost dobljenega izraza ∆pvet pomeni izsesavanje zraka iz zgradbe.
1.2.1.1
Naravno prezračevanje prostora; nevtralna ravnina
Drugi način spontane izmenjave zraka v prostoru nastopa zaradi razlike gostot
zračnih plasti v njem, ρzn, ter v njegovi okolici, ρzz. Ob tem je potrebno navesti, da se
znotraj danega prostora, ki je ogrevan, tople (in posledično lažje) zračne plasti nahajajo
pod stropom, hladne (težje) plasti pa so porazdeljene na območju nad površino tal. To
dejstvo je razvidno na osnovi naslednjega razmisleka. Iz izraza za spremembo
hidrostatičnega tlaka z globino sledi,
dp = ρ g dz,
I-119
kjer je z-os koordinatnega sistema usmerjena v navpični smeri navzol (tlak raste z
globino). Za zrak velja enačba idealnega plina, p V = n R T, kjer je število kilomolov
podano z izrazom n = m/M, m je masa zraka in M je molekularna masa zraka (M = 29
kg), torej
ρ = p
M
RT
I-120
Iz obeh gornjih izrazov sledi,
p
∫
p zn
Mg
dp
=
p
RT
z
∫ dz ,
I-121
0
43
p(z) = pzn
Mg
z
e RT .
I -122
kjer je pzn tlak zraka v prostoru. Za zrak je izraz Mg/RT pri sobni temperaturi enak,
Mg/RT = 1.2 x 10-4 m-1
I-123
in zato se lahko dobljeni izraz I-122, v zelo dobrem približku, zapiše kot,
p(z) = pzn (1 +
Mg
z).
RT
I-124
Iz dobljenega izraza sledi, da je – pri konstantni temperaturi T - razlika tlaka (glede na
nevtralno ravnino določeno z ravnino v prostoru na kateri je tlak enak pzn) z naraščajočo
globino pozitivna (tlak narašča) in znaša,
∆ p = p(z) – pzn = pzn
Mg
z,
RT
I-125
kjer je (pozitivna) razdalja z merjena od nevtralne ravnine navzdol, skica 1.21. V
splošnem se temperatura v zunanjosti, Tzu, razlikuje od notranje temperature Tn.
Posledica tega dejstva je pojav tlačne razlike med notranjostjo in zunanjostjo, ki se s
koordinato (nivojem) z spreminja.
V splošnem se privzame, da je zračni tlak v zunanjosti, pzz, na višini enaki višini
nevtralne ravnine enak zračnemu tlaku v nevtralni ravnini, pzn. Sprememba tlaka v
zunanjosti v odvisnosti od spremenljivke z je podana z izrazom I-122,
p(z)zunaj = pzn (1 +
Mg
z)
RTzu
I-126
v notranjosti pa,
p(z)n
= pzn (1 +
Mg
z)
RTn
I-127
Tlačno razliko, ∆p, med zunanjim in notranjim tlakom (na enaki vertikalni oddaljenosti z
od nevtralne ravnine) podaja izraz,
∆p(z) = p(z)zunaj - p(z)n = pzn
Mg 1
1
(
)z
R Tzu
Tn
I-128
44
Dobljeni izraz je pozitiven za vse pozitivne vrednosti z, t.j. od nevtralne ravnine proti
tlem, če je zunanja temperature Tzu manjša kot je notranja temperatura Tn, torej za Tzu <
Tn. To pomeni, da je p(z)zunaj > p(z)n in zato velja, da je področje med talno površino in
nevtralno ravnino v notranjosti prostora področje podtlaka Področje v notranjosti, ki se
nahaja nad nevtralno ravnino je opredeljeno z negativno koordinato, - z, in zato je tedaj
p(z)zunaj < p(z)n, torej vlada v tem območju nadtlak. Posledica na takšen način nastali
gradient tlaka v notranjosti prostora je pojav naravne ventilacije, kjer hladni zrak priteka
skozi odprtine pri tleh in odteka skozi odprtine blizu stropa, skica 1.21.
pzn
nadtlak
Tzu
pzz
Tn
nevtralna plast
podtlak
z - os
Skica 1.21.
Prav nasprotno od zgoraj navedenega pojava pa velja v primeru, da je zunanja
temperatura večja kot je temperatura v notranjosti prostore, Tzu > Tn. Toda vedno je
mogoče nekje v področju na sredini med tlemi in stropom najti območje zračnih plasti, ki
jim je mogoče pripisati nevtralni tlak, t.j. tlak enak aritmetični sredini nad- in potlaka
zračnih plasti pod stropom in nad talno površino (t.j. notranji tlak zraka, pzn). Zaradi
obstoja tlačne razlike zračne mase v okolici danega prostora in hladnih zračnih plasti nad
talno površino v prostor (skozi odprtine, ki se nahajajo izpod nevtralnega pasu zraka v
danem prostoru) priteka zunanji zrak, iz prostora pa zato odteka (skozi podstropne
prezračevalne odptine) topli zrak. Opisani potek naravnega prezračevanja poteka tem bolj
intenzivno čim večja je temperaturna razlika med notranjim in zunanjim zrakom in čim
večja je višinska razlika med prezračevalnima odprtinama pri tleh in pod stropom.
V primeru, da sta tlaka v zunanjosti in nevtralne ravnine različna se izraz I-128
prevede na,
∆p(not) = z
gM
(pz - pn)
R
1 1
 − 
 Tz Tn 
I-129
kjer je R splošna plinska konstanta, R = 8300 J/(kmol K) in M je molekularna masa
zraka, M = 29 kg/kmol.
45
V primeru, da je temperatura v prostoru manjša, kot je temperatura zraka v
zunanjosti, tedaj spontani proces prezračevanja poteka v nasprotni smeri kot opisano
zgoraj.
V kolikor dani prostor nima vgrajenih prezračevalnih odprtin, tedaj se
izmenjava zraka odvija skozi reže in špranje vrat in okenskih okvirov. V zimskih pogojih
je privzeto, da je prezračevanje ustrezno v kolikor se na opisani način odvija od 0.3 do 1
kratna izmenjava zraka v prostoru na uro, kar seveda zavisi od velikosti in načina izvedb
oken (omarice za rolete) in vrat (pragovi).
Pri večjih prostorih se za namene učinkovitega naravnega prezračevanja
vgrajuje prezračevalna okna kar se da visoko, s čimer se doseže, da se nevtralni pas
zračne gmote premakne po višini navzgor s težnjo, da po celem prostoru prevladuje
območje podtlaka. Na takšen način se poiskuša doseči, da prezračevanje poteka po načelu
dimniške izmenjave, pri čemer je potrebno poskrbeti za ustrezen dovod zraka skozi
odprtine nad talno površino.
Naravno prezračevanje močno zavisi od temperaturne razlike med zunanjostjo
in notranjostjo ter od jakosti vetra. V splošnem je najizrazitejše pozimi, najpotrebnejša pa
je običajno prav poleti. Iz zapisanega razloga se naravno prezračevanje izrablja v
prostorih, kjer potekajo procesi, ki se odražajo v veliki količini proizvedene toplote.
V splošnem je zato prikladnejše uporabljati prisilno prezračevanje, ki poteka z
uporabo številnih ventilatorjev. Poudariti velja, da prisilno prezračevanje poteka kot
izsesalno prezračevanje (ustvarja podtlak v prostoru in se ga uporablja za manjše prostore
kjer obstaja potreba po hitri in učinkoviti izmenjavi zraka, n.pr. kuhinje, sanitarije,
pralnice, digestoriji, itd), tlačno prezračevanje (ustvarja se nadtlak v prostoru in s tem s
preprečuje vdor zraka iz sosednih prostorov; zrak izhaja skozi špranje in reže) in sesalnotlačno prezračevanje (za večje prostore in hale). Prisilno prezračevanje se odvija preko
celoletnega obdobja. Da postopek pozimi ne bi povzročil prekomernega hlajanja
prostorov se zrak v posebnih prezračevalnih komorah predgreva na sobno temnperaturo,
po potrebi pa ga je mogoče hkrati prečiščevati, filtrirati, vlažiti in podobno.
1.2.2
MNOŽINA TOPLOTE PRI PREZRAČEVANJU
Naj bo Tn trenutna vrednost temperature v notranjosti prostora z dobro
premešanim zrakom, ki je po predpostavki po celotnem območju enaka. Ker se z
izmenjavo zraka prenaša tudi toplota je zato temperatura Tn funkcija odvedene ali
dovedene toplote in zaradi prezračevanja je torej v splošnem funkcija časa, torej Tn =
Tn(t). Zaradi dnevnih temperaturnih nihanj zraka, zaradi vrremenskih vplivov in
podobno, je tudi zunanja temperatura zraka, Tz, funkcija časa, Tz = Tz(t). V primeru, da
se pri enkratnemu prezračevalnemu ciklu zamenja prostornina V zraka, je tedaj pri n´
izmenjavah zraka (v časovni enoti) prostoru odvzeti (ali dodani) toplotni tok Pz zaradi
konvekcije zraka tedaj enak,
Pz = n´ V ρ cp [Tz(t) - Tn(t)]
I-130
46
Zapisani izraz I-130 izhaja iz definicije P = dQ/dt, kjer je dQ množina prenesene toplote
elementa zraka mase dm pri dani temperaturni razliki enaka dQ = dm cp DT, odkoder
nemudoma sledi, da je dm/dt = Fm = r FV = r n´ V ob upoštevanju enačb I-74 ter I-114.
Konstanta ρ cp zavzame za zrak pod običajnimi pogoji vrednost 1 250 J/(m3K) in se
imenuje volumetrična toplotna kapaciteta zraka.
1.2.2.1 Spreminjanje temperature prostora ob prezračevanju
V danem prostoru v trenutku t = 0 izklopimo gretje. Privzemimo, da je začetna
temperatura dobro pomešanega zraka v danem prostoru povsod enaka in znaša Tn(t = 0)
= Tn(0) = Tn0. Dodatna poenostavitev je v predpostavki, da je v procesu prezračevanja
tudi zunanja temperatura konstantna in znaša Tz = Tz0 , pri čemer velja, da je Tn(0) > Tz.
Skozi (sicer toplotno izolirane) stene teče v zunanjost toplotni tok Pstene, ki je enak,
Pstene = U´ A´ [Tn(t) - Tz0]
I-131
kjer črtici pri koeficientu prehoda toplote U´ in površini A´ pomenita, da v izrazu nastopa
povprečni koeficient prehoda toplote v katerem so zaobjeti toplotni tokovi skozi stene, tal
in stropa, skupne povprečne površine A´. S prezračevanjem iz prostora odteka tudi še
dodatni toplotni tok, I-130 tako, da je celotni odvedeni toplotni tok v zunanjost enak,
P = Pstene+ Pz = U´ A´ [Tn(t) - Tz0] + n´ V ρ cp [Tn(t) - Tz0] = Φ [Tn(t) - Tz0], I-132
kjer je
Φ = U´A´ + n´ V ρ cp.
I-133
Zapisana toplota, dQ = P dt, ki odteka iz prostora povzroča zmanjševanje notranje
energije zraka v prostoru in zato mora veljati,
- dWnot zraka = dQ,
I-134
torej,
- mzraka cp dTn = P dt
I-135
od koder sledi (masa zraka v prostoru je ves čas izmenjave konstantna),
- ρ cp V
d Tn
= Φ [Tn(t) - Tz0].
dt
I-136
Rešitev gornje diferencialne enačbe je očitno,
47
Tn = Tz0 + [Tn(0) - Tz0] e
−t
tc
I-137
kjer je karakteristični čas tc spreminjanja temperature definiran kot
tc =
ρcpV
Φ
.
I-138
Temperatura v notranjosti prostora eksponencialno pada in po dveh ali treh
karakterističnih časih postane praktično enaka zunanji temperaturi.
1.2.2.2
Povprečna sobna temperatura v primeru dnevnega (t.j. periodičnega) nihanja
temperature zraka v zunanjosti
Temperatura zunanjega zraka vsakodnevno niha okoli dane povprečne
vrednosti, ki je funkcija letnega časa in atmosferskih pogojev. Predpostavimo, da je v
nekem obdobju povprečna temperatura zraka T* in da se njegova temperatura periodično
spreminja s periodo tp = 12 h in z dano amplitudo temperature enako ∆T*. Po
predpostavki se torej temperatura zunanjega zraka spreminja po enačbi,
Tz(t) = T* + ∆T* sin (2 π t/tp )
I-139
Zaradi nihanja temperature zunanjega zraka bo tudi toplotni tok v dani prostor periodična
funkcija časa, pri čemer se bo proces odvijal z določeno časovno zakasnitvijo, ki zavisi
od velikosti pretoka zraka, toplotne izolacije prostora itd. V najpreprostejšem približku je
mogoče vzeti poenostavitev, kjer temperatura zraka in toplotni tok nihata sočasno, torej
fazna razlka med njima je 0. Toplotni tok je tedaj naslednja funkcija časa,
Pz prost(t) = P* + ∆P* sin (2π t/tp )
I-140
Zapisani toplotni tok je pa vsota toplotnih tokov v prostor, ki vstopa skozi toplotno
izolacijo in zaradi prezračevanja tako, kot to popisuje izraz (I-132) zgoraj. Velja torej,
Pz prost(t) = Ps(t) +
Pz (t) = - Φ [Tz(t) - Tn(t)]
I-141
pri čemer predznak minus pomeni, da teče toplotni tok iz zunanjosti v dani prostor. Če se
poenostavljeno privzame, da notranja temperatura niha sočasno z zunanjo, tedaj je
Tn(t) =
Tn0 + ∆Tn sin (2π t/tp ).
I-142
Iz enačbe (I-141) z uporabo izrazov (I-139), (I-140) in (I-142) potlej sledi,
P* + ∆P* sin (2π t/tp ) = - Φ [T* - Tn0 + ( ∆T* - ∆Tn ) sin (2π t/tp ) ],
I-143
48
oziroma,
P* = - Φ [T* - Tn0 ]
I-144
∆P* sin (2π t/tp ) = - Φ ( ∆T* - ∆Tn ) sin (2π t/tp ).
I-145
Iz poslednjih dveh enačb neposredno sledi,
Tn0 =
∆Tn =
T* +
∆T* +
P*
Φ
=
T* +
P*
U´A´ + n ′ V ρ c p
∆P *
.
U´A´ + n ′ V ρ c p
I-145
I-147
Povprečna vrednost temperature zraka v prostoru tedaj ni kar enaka povprečni zunanji
temperaturi temveč zavisi tako še od razmerja vrednosti povprečnega toplotnega toka, ki
vpada na stene prostora in karakteristik prehoda toplote v notranjost prostora. Podoben
zaključek velja prav tako tudi za primer amplitude temperaturne razlike zraka v prostoru.
Izhajajoč iz zgoraj zapisanih pojavov mora sedaj biti razvidno, da je celotna tlačna
razlika na zunanji površini zgradbe sestavljena iz prispevkov tlačne razlike vetra, ∆pvet,
(I-118), notranje tlačne razlike ∆p(not), enačba (I-129) in zaradi tlačne razlike pri
prisilnem prezračevanja, ki nastane pri mehanskem načinu izmenjave zraka, ∆pventil.
∆p = ∆pv + ∆pz +
∆pventil
I-148
Zaradi različnih hitrosti vetra, spreminjanja hitrosti po višini, razliki temperatur med
notranjim in zunanjim zrakom in inducirane razlike tlakov zaradi mehanskega načina
prezračevanja je celotna sprememba tlaka zapletena funkcija letnih časov, vremenskih
pogojev in delovnega režima mehanskega ventilacijskega sistema. Vse te spremenljivke
močno vplivjo na rezultate analiz prehoda toplote in posledično na pogoje vlažnosti, ki se
lahko pojavlja v posameznih delih in komponentah zgradbe.
49
1.2.3.
Izgube toplote skozi talne površine
Pomembni delež toplotnih izgub skozi ovoj zgradbe tvori prehod toplote skozi
talne površine. Razmere si je mogoče najpreprosteje predočiti v približku tal v obliki
vodoravne temeljne plošče, skica 1.22.
B
R
P(t)
Skica 1.22.
Tovrsten problem je matematično zapleten saj je potrebno poiskati rešitev
parcialne differencialne enačbe prevajanja toplote, ob danih začetnih in robnih pogojih,
∇2 T =
1 ∂T
a ∂t
I-149
kjer je Laplace-ov operator, ∇ 2 ≡ Δ , matematični oprerator, ki se v kartezičnem
)
koordinatnem
sistemu, katerega smeri koordinatnih osi so definirane z enotni vektorji, i ,
v
v
j in k , zapiše
∇2 T =
∂2T ∂2T
∂2T
+
+
∂x2 ∂ y2
∂z2
I-150
50
in konstanta a je za homogeno telo definirana kot termalna difuzivnost,
a =
λ
ρ cp
I-151
kjer pomeni λ, koeficient toplotne prevodnosti, ρ gostoto snovi in cp specifično toploto
snovi pri konstantnem tlaku. Nekaj zapisanih vrednosti je podanih v TABELI IX.
TABELA IX
λ
[W/mK]
0.6
1.7
3.5
0.22
84
0.14
0.04
0.14
Opeka
Beton
Granit
Mavec
Železo
Lahki beton
Mineralna volna
Les
ρ cp [ x 106 J/m3K]
1.35
1.8
2.2
0.72
3.6
0.5
0.12
0.75
a
[ x 10-6 m2/s]
0.44
1.0
1.6
0.31
23
0.28
0.3
0.19
1.2.3.1 Toplotna vdornost
Zapletenost zapisanega problema je mogoče predočiti na osnovi dveh zelo
poenostavljenih primerih nestacionarnega prevajanja toplote. Kot prvi takšen primer
služi izračun časovne odvisnosti temperature na stiku dveh teles, ki vsaka zase zapolnjuje
polprostor pri čemer znaša temperatura teles v času t < 0, T1 in T2 telesi pa se stakneta v
trenutku t = 0. Potek temperatur v trenutku t = 0 je podan na skici 1.23.
Enačba I-149 se v danem enodimenzionalnem primeru zapiše,
∂ 2T
∂T
- a
=
∂t
∂x2
0
I-152
Rešitev zapisane parcialne diferencialne
izrazom,
T(x,t) - T0 = C
1
t
x
∫e
−
v2
4 at
dv
je podana (glej poglavje 1.7.2) z
I-153
0
51
T(x, t=0)
T2(x,t=0) = T2(∞)
T1(x,t = 0) = T1(∞)
0
x
Skica 1.23
kjer je C še nedoločena konstanta. Da je izraz I-153 res rešitev se je mogoče prepričati
tako, da se ga vstavi v I-152.
V zgornjem primeru dano telo zavzema polprostor zato potekajo meje integracije
of 0 do ∞. Tedaj se izraz I-153 prevede v,
T(x=∞, t) - T0 = C
1
t
∞
∫e
0
−
v2
4 at
∞
dv = C
4a
−u
∫ e du ,
2
I-154
0
kjer je bila uporabljena zamenjava spremenljivke,
u=
v
I-155
4at
Toda integral na desni izraza I-154 je sorazmeren verjetnostnemu integralu (error
function) erf(x), ki je definiran,
erf(x) =
2
π
x
∫e
−u 2
du ,
I-156
0
katerega vrednosti so tabelirane in ki v limiti x → ∞ zavzame vrednost,
52
erf(∞) = 1
I-157
Graf funkcije erf(x) je prikazan na skici 1.24.
Skica 1.24
Izraz I-154 se torej poenostavi v,
T(x=∞, t) – T0 = C π a ,
I-158
in če se izraz za konstanto C vstavi v enačbo I-153, tedaj je rešitev podana z,
T(x,t) - T0 = [T(x=∞, t) - T0 ] erf(
x
4 at
)
I-159
r
)
Gostota toplotnega toka, j = j(x, t) i , preko stične površine je podana z izrazom,
r
∂T )
j (x, t) = - λ grad T(x,t) = - λ
i
∂x
I-160
in je tedaj gostota toka j(x=0, t) na mestu x = 0,
j(x=0, t) =
Cλ
e
−
x2
4 at
=
t
T (∞ ) − T0
π
λρc
1
t
,
I-161
x =0
kjer je že upoštevana definicija konstante a, izraz I-151. Ker mora veljati izrek o ohranitvi
energije, sledi
j1 + j2 = 0
I-162
53
in zatorej se izraz I-162 razčleni v,
[ T2(∞) – T0 ] b2 + [ T1(∞) – T0 ] b1 = 0
I-163
tako, da je (končna) temperatura T0, temperatura stičišča, podana z izrazom,
T0 =
b1 T1 (∞ ) + b2 T2 (∞ )
b1 + b2
I-164
kjer pomeni konstanta b,
b =
λ ρ cp
I-165
koeficient stične površine (t.im. toplotna vdornost). Iz izraza I-164 sledi, da je v primeru
enakih teles, t.j. b1 = b2, temperatura stičišča kar aritmetična sredina njunih začetnih
temperatur,
T0 =
T1 (∞ ) + T2 (∞ )
2
I-166
V splošnem, če sta telesi različne sestave, pa je temperatura stične ploskve bliže
temperaturi telesa z večjim koeficientom b. Telo z večjim koeficientom b se na stični
površini manj ohladi (oziroma segreje) kot snov z manjšim b. Če, n.pr. stopimo na hladna
betonska tla, se temperatura nog zniža bolj kot temperatura betona, nekoliko bolje je če
stopimo na opečnata tla (dvakrat manjša toplotna vdornost kot beton), ali pa na lesena tla
(šestkrat manjša toplotna vdornost od betonskih tal). Podobno velja ob dotiku z vročim
telesom.
Na betonsko ploščo toplotne vdornosti b1 = 2360 s W/m2K in temperature
T1(∞) = - 10 C, postavimo debele hrastove plohe toplotne vdornosti b2 = 640 s W/m2K
in temperature T2 = 20 C. Kolikšna je temperatura njune stične ploskve? Kolišno gostoto
toplotnega toka prejema hladnejše telo?
Zgled:
T0 =
j =
b1T1 (∞ ) + b2T2 (∞ )
b1 + b2
T2 (∞ ) − T0
π
λρc
= 0.21 T2 + 0.79 T1 = - 3.7 C.
1
t
=
T2 (∞ ) − T0
π
b2
1
t
= 8557.6
1 W s
2
t m K
54
Zgled: za primer betonske plošče, ki zapolnjuje - ∞ ≤ x ≤ 0 polprostora s temperaturo T
= -5 0C, ki se v trenutku t = 0 sklene z lesenim prekritjem, 0 ≤ x ≤ ∞, temperature T =
25 0C nariši potek temperature za t = 600 s, t = 10000 s in t = 50000 s v intervalu prostora
- 0.7 m ≤ x ≤ 0.7 m. Za podatke uporabi konstante iz TABELE IX.
Po podatkih TABELE IX velja:
abeton = 1.0 x 10-6 m2/s in toplotna vdornost bbeton = 1.75 x 103 W√s/m2K ter
ales = 0.19 x 10-6 m2/s in toplotna vdornost bles = 0.32 x 103 W√s/m2K
Iz izraza I-164 je temperatura na stiku tedaj enaka,
T0 =
b1 T1 (∞ ) + b2 T2 (∞ )
b1 + b2
= 272.6 K = - 0.4 0C
Izračunati in narisati je potrebno izraz I-159, za izbrane vrednosti parametra t,
T(x,t) - T0 = [T(x=∞, t) - T0 ] erf(
x
4 at
)
posebej za negativne in pozitivne vrednosti x. Rezultat je prikazan na skici 1.25
Skica 1.25
Prostorski potek temperature T(x, t) v odvisnosti od razdalje od stične površine x, za
različne vrednosti parametra t. Krivulje so izračunane za t = 600 s (v prvem kvadrantu
leva krivulja), za t = 10000 s (sredina) in za t = 50000 s (desna krivulja). V tretjem
kvadrantu se krivulje vrstijo v nasprotnem vrstnem redu. Rezultat n.pr. pomeni, da je po
času t = 10000 sekund temperatura lesa v globini 5 cm od stika samo še približno
polovica njegove vrednosti v začetku.
55
1.2.3.2 Časovna sprememba temperature tal
Temperatura zraka je podvržena vsakodnevnim časovnim spremembam, ki
izhaja iz periodičnega (dnevnega in pa letnega) vrtenja zemlje okoli sonca. Amplituda
periodičnega nihanja temperature je v danem trenutku odvisna od lokalnih klimatskih
pogojev, močno pa seveda zavisi tudi od letnega časa, skica 1.26, ki prikazuje dnevne
Skica 1.26
variacije temperature, kot so zabeležene na reaktorskem centru Inštituta »J. Stefan« v
Ljubljani med 13. februarjem in 15. marcem 2007. Letno nihanje temperature na
zapisanem mestu podaja skica 1.27. Zapleteno spreminjanje temperature na površini bo v
nadaljnjem opisano v najbolj grobem približku v obliki,
T(z=0, t) = Tp + [ΔT(z=0)]cos(ω t)
I-167
kjer je Tp povprečna temperatura v danem časovnem obdobju, ΔT je amplituda nihanja
temperature in ω je krožna frekvenca, ki je s časovno periodo τ povezana z izrazaom,
ω =
2π
τ
.
I-168
56
Skica 1.27
Za primerjavo. dnevno nihanje temperature zraka n.pr. zadovoljivo popiše enačba I-139,
kot poseben primer izraza I-167.
Spreminjanje temperature tal, skica 1.28, pod vplivom periodične spremembe
T(z=0, t) = Tp + [ΔT (z=0)] cos(ω t)
0
z
Za z -> ∞ je T(z, t) = Tp
Skica 1.28
57
temperature površine, ki se nahaja v koordinatnem izhodišču, z = 0, skica 1.28, se
najpreprosteje izračuna pod predpostavko, da je temperatura zemlje na veliki oddaljenosti
od površine konstantna in enaka Tp, snovne lastnosti zemlje, a, izraz I-151, so neodvisne
od globine (in od temperature) ter v njeni notranjosti ni nikakršnih dodatnih izvorov ali
ponorov toplote tako, da je struktura zemljine (v območju polprostora) vseskozi enaka.
Časovna in krajevna odvisnost temperature je podana z izrazom I-149, pri čemer
gre za sorazmerno enostaven problem v eni razsežnosti, ki se zapiše,
∂2T
1 ∂T
=
2
a ∂t
∂z
I-169
kjer je temperatura T = T(z, t) funkcija globine z ter časa t.
Rešitev se išče z nastavkom,
T(z, t) = T* + T1(t) T2(z)
I-170
tako, da se I-169 poenostavi v,
T1(t) T2˝(z) -
1
T2(z) T&1 (t ) = 0,
a
I-171
oziroma
a
T& (t )
T2′′( z )
= 1
=
T2
T1
-c
I-172
kjer označuje c (negativno) separacijsko konstanto, kajti leva stran, ki zavisi zgolj od
globine z je enaka desni, ki pa je funkcija časa t. Enačaju je lahko zadoščeno samo tedaj,
če sta kvocienta neodvisna od argumentov in enaka dani konstantno vrednosti, ki je
označena kot –c. Toda po predpostavki je temperatura T periodična funkcija časa t, I-167,
in torej je realno pričakovati, da bo podobno časovno odvisnost izkazovala tudi rešitev
enačbe I-169. To je mogoče se se za separacijsko konstanto postavi imaginarno število c
= i u, kjer je i = − 1 in u je realna konstanta.
Potrebno je poiskati periodično rešitev navadne diferencialne enačbe 1. reda,
T&1 (t ) + i u T1(t) = 0,
I-173
ki pa je podana z
T1(t) = T1(t=0) e
−iu t
I-174
pri čemer je konstanta T1(t=0) še nedoločena.
Rešitev izraza,
58
iu
T2(z) = 0
a
T˝2(z) +
I-175
iščemo z nastavkom,
T2(z) = Konst e
−α z
I-176
(lahko pa tudi z nastavkom v v obliki e- i α t, kar ne spremeni rezultata) kjer se izkaže, da
mora parameter α zadoščati izrazu,
−i
α = ±
u
iu
= ±i
a
a
= ± (i-1)
u
2a
kar sledi z uporabo relacije (1+i)2 = 2i in zato
Izraz I-176 se torej zapiše v obliki,
T2 (z) = A e
i
u
z
2a
e
−
u
z
2a
+B e
u
z
2a
−i
e
I-177
i = (1+i)/ 2 .
u
z
2a
I-178
toda, ker mora temperatura v limiti, ko gre z -> ∞ zavzeti dano končno vrednost mora biti
konstanta B = 0 in tako se tedaj splošna rešitev I-169 glasi,
T(z, t) = T* + A1
⎛ u
⎞
z − u t ⎟⎟
i ⎜⎜
2a
⎠
e⎝
e
−
u
z
2a
I-179
kjer sta še nedoločeni konstanti združeni v novo konstanto A1. Realni del izraza I-179, je
tedaj iskana rešitev, saj zadošča diferencialni enačbi I-169 in robnemu pogoju I-167. Iz
primerjave s slednjo, velja namreč,
T* = Tp
A1 = ΔT(z=0)
u
=
ω
I-180
tako, da je končna rešitev zadanega problema tedaj,
T(z, t) = Tp + [ΔT(z=0)] e
−
ω
2a
z
cos
⎛ ω
⎞
⎜⎜
z − ω t ⎟⎟ .
⎝ 2a
⎠
I-181
Grafična predstavitev izraza I-181 je prikazana na skici 1.29 za naslednje
vrednosti parametrov: Tp = 3 st C, [ΔT(z=0)] = 20 st C, τ = 24 h in a = 6 x 10-7 m2/s =
59
2.16 x 10-3 m2/h, za naslednje vrednosti z: z = 0 m (krivulja največje amplitude), z = 0.1
m (srednja amplituda), z = 0.3 m (najnižja amplituda) ter z = 0.7 m (vodoravna črta), ki
dokazuje, da je na tej globini temperatura tal konstantna. Vpliv dnevnega nihanja
temperature zraka se pri danih pogojih torej zaznava vse do globine z ≈ 0.4 m. Iz skice je
razvidno, da so tla zamrznjena (pod danimi pogoji računa) vse do 30 cm pod površino
zemlje.
Skica 1.29
Če se namesto dnevnega nihanja temperature zraka upošteva pogoje letne spremembe
temperature, τ = 365 dni, pri čemer se za povprečno temperaturo vzame vrednost Tp = 8
0
C, za amplitudo nihanja temperature pa vrednost 16 0C, (a = 6 x 10-7 m2/s = 5.18 x 10-2
m2/dan) tedaj skica 1.30, kjer si krivulje zaporedoma vrstijo od najvišje vrednosti (na
ordinatni osi) izračunane za z = 0 m, z = 2m, z = 4m in z = 6m, kaže, da za zapisane
vrednosti celo na globini 6 m temperatura še ne doseže stacionarne (konstantne)
vrednosti, t.j. 8 0C.
Skica 1.30
60
1.2.3.3 Prehod toplote med zrakom in tlemi
Nihanje temperature zraka v bližini tal približno popisuje izraz,
Tz = Tpz + ΔTz e −iωt
I-182
kjer imajo zapisane količine svoj običajni pomen, t.j. Tpz je povprečna temperatura zraka,
amplituda nihanja temperature zraka pa je ΔTz. Na mejni plasti med zrakom in tlemi, t.j.
pri z = 0, prehaja toplota iz zraka v tla, pri čemer za gostoto toplotnega toka velja,
⎡
∂T ⎤
⎢α(Tz (t ) − T ( z , t )) = − λ ∂ z ⎥
⎣
⎦ z =0
I-183
kjer T(z, t) označuje temperaturo tal. Slednja seveda mora zadoščati izrazu I-169,
∂2T
1 ∂T
=
2
a ∂t
∂z
I-169
katerega rešitev je podana z že znanim izrazom I-179
T(z, t) = Tp + A1
⎛ ω
⎞
i ⎜⎜
z − ω t ⎟⎟
2a
⎠
e⎝
e
−
ω
2a
z
= Tp + A1 e i(Ω z − ωt )
I-179
kjer je novi parameter Ω definiran z vpeljavo,
Ω =
(1 + i ) ω
2a
.
I-184
Izraz I-183 se sedaj prevede v,
α (Tpz
+
ΔTz e −iωt - Tp - A1 e i( − ωt ) ) = - λ A1 ( i Ω) e i( − ωt )
I-185
od koder nemudoma sledi,
Tpz = Tp
I-186
α ( ΔTz - A1 ) = - λ A1 ( i Ω)
I-187
61
Torej je povprečna temperatura zraka, Tzp, enaka povprečni temperaturi tal, Tp, skladno
pričakovanjem saj v odsotnosti toplotnih ponorov in toplotnih izvorov v tleh tako, da se
tla dodatno ne hladijo oziroma se dodatno ne segrevajo. Iz druge enačbe sledi, da je
amplituda A1 podana z,
ΔTz
A1 =
λ
1− i Ω
α
=
ΔTz
I-188
λ ω
λ ω
−i
1+
α 2a α 2a
Na tem mestu je ugodno definirati sistemsko funkcijo FA,
1
FA =
I-189
λ ω
λ ω
−i
1+
α 2a α 2a
katere modul je enak,
FA =
F A FA * =
1
⎛ λ
⎜1 +
⎜ α
⎝
ω ⎞⎟
2
⎛λ
⎜
+
2a ⎟⎠ ⎜⎝ α
ω ⎞⎟
2
I-190
2a ⎟⎠
in tanges kota ϕ, ki je enak kvocientu imaginarne z realno komponento sistemske
funkcije FA je tedaj,
λ ω
α 2a
tg ϕ =
λ ω
1+
α 2a
I-191
tako, da se sistemska funkcija FA lahko zapiše tudi v obliki,
FA = FA e i ϕ
I-192
Če se vpelje oznaka,
Θ =
λ ω
α 2a
I-193
tedaj je odvisnost modula sistemske funkcije FA (krepka krivulja) in faznega faktorja ϕ
(tanka črta) v odvisnosti od Θ prikazana na skici 1.31.
62
Skica 1.31
Na tem mestu gre poudariti, da je gostota toplotnega toka iz zraka v tla podana z
izrazom,
v
∂T )
j (z, t) = - λ grad T = - λ
k
∂z
I-194
)
kjer je k enotni vektor, ki definira smer osi z. T pomeni temperaturo tal, katere
funkcijska odvisnost od parametrov z in t je poznana, enačba I-179. Z uporabo izrazov I188 in I-190 se temperatura (konstanten faktor Tp je izpuščen), izraz I-179, lahko zapiše,
T(z, t) = ΔTz |FA| e i ϕ e i(Ω z − ωt )
I-195
tako, da je tedaj velikost gostote toplotnega toka j v tla,
j(z, t) = - λ i Ώ T(z, t) = (1-i) λ
ω
2a
T(z, t)
I-196
Če se izračuna realni del gostote toka, I-196, je tedaj mogoče pokazati, da je v časovnem
povprečju,
< Re j(z, t) > =
1τ
τ
∫ (Re j (z , t )) d t = 0
I-197
0
kar pomeni, da je enak delež gostote toplotnega toka, kot je prenesen na tla v prvi
polovici periode v drugi polovici vrnjen v zrak. V časovnem povprečju je torej celoten
63
(presežni) transport toplotne energije, izračunan v okviru zapisanih predpostavk, enak
nič.
1.2.3.4
Prehod toplote s plošče končnih razsežnosti v tla
Toplotni tok zaradi periodičnega nihanja temperature v tla je bil dosedaj
obravnavan za primer polprostora. V primeru plošče končnih razsežnosti, skica 1.22, je
račun zahteven in zato bodo navedeni le splošni rezultati. Podrobnosti so raziskane v
člankih J. Claesson, C-E. Hagentoft, Int. J. Building and Environment 26, str. 195-208
(1991), J. Claesson, C-E. Hagentoft, ibid, stran 395-403.
Skica 1.22 prikazuje nepodkleteno zgradbo pravokotne oblike širine B in
dolžine L talne AB (t.j. armirano-betonske) plošče toplotne upornosti R. Temperatura
zraka (v intervalu enega leta) v notranjosti niha periodično, toda z določenim faznim
zamikom Δ glede na nihanje zraka v zunanjosti torej,
T(z=0, t) = Tp + [ΔT(z=0)]cos(ω t - Δ)
I-198
Toplotni tok v ploščo (in s tem v tla) se zapiše kot vsota stacionarnega deleža
Ps ter deleža, ki se periodično (na letni ravni) spreminja, P´(t),
P(t) = Ps + P´(t)
I-199
pri čemer je stacionarni toplotni tok pravokotne plošče (konstantne toplotne upornosti)
površine L x B podan z izrazom,
⎛L d⎞
, ⎟
⎝B B⎠
Ps = λ (Tn – T0 ) L hs ⎜
d = Rλ
I-200
pri čemer je hs(u,v), faktor izgube toplote, brezdimenzijska funkcija dveh neodvisnih
spremenljivk, ki je numerično izvrednotena in podana v obliki grafa. V izrazu I-199
pomenita Tn in T0 temperaturo v notranjosti zgradbe in povprečno letno zunanjo
temperaturo zraka.
Periodična komponenta toplotnega toka se pa glasi,
P´(t) = - λ T1 (2L+2B) |hp0 | sin [(ω t – Δ) - ϕp0 ]
pri čemer zavisita (brezdimenzijski) funkciji |hp0 | in ϕp0 od razmerja d
I-201
at p π , kjer
je tp časovna perioda in obe funkciji sta prav tako podani numerično.
64
1.2.3.5
Ocena toplotnih izgub zunanjega ovoja zgradbe
Celotna površina zunanjega plašča zgradbe naj bo A. Sestavlja jo posamezne površine, ki
odpadejo na okna, vrata in druge odprtine plašča, zunanje stene, podstrešje, talna
površina nad kletjo, itd. Vsaka od teh posameznih ploskev je opredeljena z njej lastnim
koeficientom prehoda toplote Uj, j = 1, 2,....., p, s skupaj p vrednostmi koeficientov U.
Oceno toplotnih izgub zunanjega plašča zgrabe podaja povprečna U-vrednost, ki se jo
izračuna po obracu,
p
∑U
< U> =
Upov =
j =1
j
A
Aj
,
I-202
kjer je,
p
A =
∑A
j =1
j
,
I-203
celotna skupna površina zunanjega plašča zgradbe. Zgornja ocena je ustrezna v primeru,
ko je temperatura tistih prostorov zgradbe, ki mejijo na zunanjost približno enaka. Pozimi
temu ni vedno tako, saj je temperatura talne površine običajno višja, kot pa znaša zunanja
temperature, Tz, daleč od zunanje mejne površne zidu, prav tako je ob sončnem dnevu
temperatura tal podstrešja-zaradi segrevanja pod vplivom sonca- višja kot Tz, itd. Tudi
65
temperatura stopnišča, garderobe, garaže, in drugi pomožnih prostorov so običajno
drugačne, kot pa je Tn. V teh primerih se ustrezne koeficiente U dodatno uteži, tako se
npr. koeficient prehoda toplote podstrešne površine Upodstr, v zgoraj zapisani enačbi
pomnož z utežjo 0.8, koeficient prehoda toplote talne površne Utalne se pomnoži s
faktorjem 0.5, itd. Te uteži na same pripadajoče površine seveda ne vplivajo.
Kar zadeva koeficient prehoda toplote tlorisne površine, velja opozoriti, da se v
enačbi za 1/U, spodnje mejne površine, t.j. faktorja upora prestopa toplote 1/αz ne
upošteva.
Pogosto je ustrezno navesti aritmetično povprečeni koeficient prehoda toplote Ua,
ki je definiran kot,
Ua =
U zp Azp + U ov Aov
Azp + Aov
,
I-204
kjer pomenijo Uzp koeficient toplotnega prehoda vseh zunanjih površin (brez odprtin!)
zgradbe, Azp je seštevek zunanjih površin zgradbe, Uov je koeficient toplotnega prehoda
vseh odprtin v zunanjih stenah (okna in vrata), katerih skupna površina znaša Uov.
Očitno je, da je za vzdrževanje čim ugodnejših bivalnih pogojev preko celega leta
in ob upoštevanju energetske krize, potrebno določiti tako projektirane koeficiente U, da
bodo toplotne izgube čim manjše. Čeprav je to do neke mere tehnično izvedljivo, pa je ob
teh prizadevanjih potrebno upoštevati še ekonomski faktor, tako, da se v praksi išče
optimalno razmerje med še dopustnimi toplotnimi izgubami in cenovno učikovitostjo.
66
1.2.4
Toplotni most
Po definiciji je toplotni most vsako lokalno področje v zgradbi, kjer se toplotni
tok energijskih izgub v konstrukciji zaznavno poveča v primerjavi s toplotnim tokom v
širši soseščini. To seveda kaže na pomanjkljivo izvedeno toplotno izolacijo na danem
mestu ali pa sploh vsakršne odsotnosti le-te. Toplotni most najpogosteje predstavljajo
naslednje konstrukcijske rešitve:
1. omarice za roloje pri oknih in vratih (zunanje stene)
2. AB (armiranobetonske) preklade in stropne konstrukcije, ki segajo do zunanjega
roba zidu,
3. slabo zaliti stiki med zidnimi elementi,
4. protipotresne vertikalne in horizontalne AB vezi.
Poleg zaznavnih energijskih izgub skozi toplotni most je običajna posledica
obstoja toplotnega mostu v vlažnem in nezračenem okolju nabiranje vlage in pojavljanje
plesni. Posledično to vodi do konstrukcijskih problemov nastalih kot posledica zmrzali
ter do zdravju škodljivega bivalnega in delovnega okolja.
Izračuni toplotnih izgub zaradi toplotnih mostov so običajno matematično
zapleteni in se praviloma rešujejo z numeričnimi metodami. Primer analitičnega izračuna
temperaturnega polja preproste konstrukcije podaja naslednji zgled.
Zgled: določi potek temperature, T(x,z), toplotnega mostu, ki nastane v vogalu
dveh neskončnih, med seboj pravokotnih sten različne debeline, skica 1.32, če sta
temperaturi v zunanjosti, Tz, in v notranjosti Tn (v večji oddaljenosti od sten) stalni.
V stacionarnem stanju mora biti temperatura predstavljenega toplotnega
mostu neodvisna od časa. Zadani problem je torej dvodimenzionalni, ker je temperatura
funkcija dveh neodvisnih spremenljivk, x in y koordinate. Celotno obravnavano območje
razdelimo na tri področja, skica 1.32, pri čemer izhajamo iz bolj splošnega primera, ki je
določen z robnimi pogoji temperatur, t1(y), t2(x), t3(y) in t4(x).
Ker je stanje stacionarno mora temperatura vsakega območja posebej zadoščati
(dvodimenzionalni) Laplace-ovi enačbi, torej,
∆T
=
∇2 T =
∂ 2T
∂ 2T
+
= 0
∂x 2
∂y 2
I-205
pri čemer mora zadoščati še danim robnim pogojem. Za zgornji primer privzemimo, da je
potek temperature na robovih področja II v naprej predpisan, n.pr. izhajajoč iz izvedenih
meritev. Torej za temperaturo, T2(x,y), področja II mora v stacionarnem stanju veljati,
∂ 2T2
∂ 2T2
+
= 0
∂x 2
∂y 2
I-206
pri čemer so zahtevani robni pogoji naslednji,
67
0
t2(x)
t1(y)
D
T2(x,y)
L
t3(y)
II
x
T3(x,y)
III
E
t4(x)
T1(x,y)
I
B
y
Skica 1.32
T2(0,y) =
T2(D,y) =
T2(x,0) =
T2(x,E) =
t1(y)
t3(y)
t2(x)
t4(x).
I-207
Rešitev izraza I-205 se poišče z nastavkom,
T2(x,y) = T2 (1)(x,y) + T2 (2)(x,y)
I-208
pri čemer uporabimo metodo separacije spremenljivk za funkciji T2(1) in T2(2), t.j. rešitve
iščemo z nastavkom,
T2(i) (x,y) = X(i)(x)Y(i)(y),
i = 1, 2
I-209
68
V nadaljnjem računajmo najprej s funkcijo T2(1)(x,y) pri čemer zaradi enostavnosti
izpustimo zgornji indeks. Vsaka od funkcij na levi strani izraza, zaradi I-208, ločeno
zadoščata Laplaceovi enačbi tako, da za funkcijo T2(1)(x,y) sledi,
∂2 X
∂ 2Y
Y 2 + X
= 0
∂x
∂y 2
I-210
(zgornji indeks 1 je izpuščen) in po preureditvi,
X ′′
Y ′′
= = - θ2
X
Y
I-211
kjer je - θ 2 še nedoločena konstanta, kajti leva stran izraza, ki je funkcija spremenljivke
x, je enaka desni strani, ki pa je funkcija spremenljivke y. Enačbi je lahko zadoščeno
samo tedaj, če sta obe strani izraza I-207 neodvisni od spremenljivk x, y in sta torej
konstanti. Separacijska konstanta je označena kot - θ2. Iz izraza I-211 sledi,
X˝ + θ2 X = 0
I-212
Y˝ - θ2 Y = 0
I-213
katerih splošne rešitve se zapišejo,
X(x) = a sin θ x + b cos θ x
I-214
Y(y) = c sh θ x + d ch θ x.
I-215
kjer so konstante, a b, c in d še nedoločene. Splošna rešitev I-205 je podana vsota
partikularnih rešitev, ki zadoščajo robnim (in začetnim) pogojem, ki jih v danem primeru
izberemo tako, da velja,
X(0) = 0 in
X(D) = 0
I-216
Rešitev izraza I-214, ki zadošča zapisanima robnima pogojema je izražena z diskretnimi
vrednostmi separacijske konstante θ = n p/D in sicer, ker je b = 0,
X(x) ≡ X(1)n(x) = an sin
nπ
x
D
I-217
zato se partikularna rešitev izraza I-215 zapisana za izbrana homogena robna pogoja
Y(0) = 0 in
Y(E) = 0
I-218
69
glasi,
Y(1)(y) = c¤n sh
nπ
nπ
(E-y) + d ¤n sh
y
D
D
I-219
kjer je funkcija sh z hiperbolični sinus, t.j. funkcija definirana z izrazom,
sh z =
e z − e−z
.
2
I-220
Partikularna rešitev izraza I-209 zapisana za homogene robne pogoje I-216 in I-218 je
tedaj podana v obliki,
T2(n) =
nπ
nπ

c n sh D (E − y ) + d n sh D
nπ

y  sin
x
D

I-221
pri čemer sta novi konstante, ki nastopajo kot produkt, označeni z cn in dn.
Splošna rešitev homogene diferencialne enačbe je tedaj podana kot neskončna
linearna kombinacija partikularnih rešitev I-221, torej
∞

∑ c
T2(1) (x,y) =
n =1
n
sh
nπ
(E − y ) + d n sh nπ
D
D
nπ

y  sin
x.
D

I-222
V zapisanem izrazu so koeficienti cn in dn še vedno nedoločeni. Izračunamo jih izhajajoč
iz zahteve, da mora rešitev diferencialne I-208, t.j. temperatura T2(x,y), enolično
zadoščati robnim pogojem, kot so podani v I-207 torej,
∞
t2(x) =
∑c
n =1
n
 nπ   nπ 
sh
E  sin 
x
 D   D 
I-223
in od tod je
2
 nπ
t 2 ( x ) sin 
∫
 nπ  0
 D
D sh
E
 D 
D
cn =

x dx

I-224
Na podoben način so določene konstante dn saj velja,
∞
t4(x) =
∑d
n =1
n
 nπ   nπ 
sh
E  sin 
x ,
 D   D 
I-225
tako, da je rezultat
70
2
 nπ 
t 4 ( x ) sin 
x dx
∫
D 
 nπ  0

D sh
E
 D 
D
dn =
n = 1, 2, 3, ...
I-226
S temi izrazi je funkcija T2 (1) (x,y) sedaj enolično določena. Izračunana je za homogena
T2(1) (0,y) = 0
T2 (1)(D,y) = 0
I-227
in nehomogena robna pogoja
T2 (1)(x,0) = t2(x)
T2 (1)(x,E) = t4(x).
I-228
ter zadošča Laplaceovi enačbi I-205.
Na podoben način se poišče rešitev funkcije T2(2)(x,y). Le-ta mora ustrezati
naslednjima nehomogenima robnima pogojema,
T2 (2)(0,y) = t1(y)
T2 (2)(D,y) = t3(y)
I-229
ter še dvema homogenima robnima pogojema, ki sta
T2 (2)(x,0) = 0
T2 (2)(x,E) = 0
I-230
pri čemer je T2(2)(x,y) rešitev Laplaceove enačbe,
(2 )
∂ 2T2
∂x 2
(2 )
∂ 2T2
+
∂y 2
= 0.
I-231
Separacija spremenljivk,
T2(2)(x,y) = X(2)(x) Y(2)(y)
I-232
prevede izraz I-231 (zgornji indeks 2 je v nadaljnjem izpuščen) v dve navadni
diferencialni enačbi, ki sta
Y ′′
X ′′
= = + σ2
X
Y
I-233
kjer je σ2 sedaj nova separacijska konstanta tako, da je rešitev izraza
Y˝ + σ2 Y = 0
I-234
71
ki zadošča robnim pogojem,
Y(0) = 0
Y(E) = 0
I-235
podana z,
Y(2)m(y) = Gm sin
mπ
y
E
I-236
pri čemer lahko zavzame separacijska konstanta σ samo diskretne vrednosti
σ =
mπ
.
E
I-237
kjer je m = 1, 2, 3, .....
Rešitve navadne diferencialne enačbe za X (2) = X(2)(x), I-233, je tedaj
X˝ - σ2 X = 0
X(2)m(x) = hm sh
I-238
mπ
mπ
(D-x) + um sh
x
E
E
I-239
tako, da se splošna rešitev za funkcijo T2(2)(x,y), lahko zapiše
∞

∑ h
T2(2)(x,y) =
m =1
m
sh
mπ
(D − x ) + u m sh mπ
E
E
mπ

x  sin
y
E

I-240
pri čemer mora zadoščati še robnim pogojem I-229,
∞
t1(y) =
m =1
∞
t3(y) =
m
sh
mπ 
mπ
D  sin
y
E
E

I-241
m
sh
mπ 
mπ
D  sin
y
E 
E
I-242

∑ h

∑ u
m =1
Konstanti hm in um, izračunani iz zapisanih izrazov, sta očitno enaki,
2
 mπ 
t1 ( y ) sin 
y dy
∫
E 
 mπ  0

E sh
D
 E 
E
hm =
I-243
72
2
 mπ 
t 3 ( y ) sin 
y dy
∫
E 
 mπ  0

E sh
D
 E 
E
um =
m = 1, 2, ....
I-244
Temperatura T2(x,y) znotraj in na robu področja II je na takšen način sedaj enolično
določena. Podana je s štirimi skalarnimi vrednostmi, cn, dn, hn in un, ki zavisijo od
vrednosti celoštevilčnega indeksa n (oziroma m) in odražajo stacionarne vrednosti
temperatur predpisanih na vseh štirih robovih danega paralelograma območja II.
Na docela analogen način je potrebno poiskati rešitve za območji I in III. Vsaka
rešitev je zapisana kot vsota dveh rešitev (shematskih) oblik I-222 in I-240, ki sta skupaj
opredeljeni s štirimi (seveda drugačnimi od zgoraj zapisanih) skalarnimi konstantami,
kjer vsaka zase prav tako zavisi še od vrednosti ustreznega celoštevilčnega indeksa.
Temperatura mora biti povsod po definicijskem polju in na robu zvezna in zvezno
odvedljiva funkcija svojih argumentov. Od tod sledjo naslednje dodatne zahteve,
T1(x,E) = T2(x,E)
∂T1
∂y
=
y=E
∂T2
∂y
y=E
T3(D,y) = T2(D,y)
∂T3
∂x
x=D
∂T1
∂y
y=B
∂T3
∂x
x= L
=
∂T2
∂x
x=D
= 0
=
0
I-245
Poslednji dve enačbi podajata zahtevi, da sta robova y = B področja I in x = L področja
III toplotno izolirana, t.j. grad T = 0 na zapisanih robovih. To seveda ni nujno potreben
pogoj; vpeljan je zaradi popolnosti opisa splošnega problema.
Gornji pogoji povezujejo 6 od skupaj dvanajstih parametrov cn, dn, hm, ......, ki
opredeljujejo splošno rešitev T(x,y) na danem (celotnem) področju. Za enolično rešitev
danega problema je potrebno določiti še preostalih 6 parametrov pri čemer se izhaja iz
dejstva, da na stranskih površinah nastopajo zaradi prestopa toplote energijske izgube iz
danega sistema. Velja torej (gostota toplotnega toka prestopa je enaka gostoti toplotnega
toka prevajanja skozi stene, t.j. α (T – Tzunaj) = λ grad T in podobno za notranjost),
73
∂T1 

α z (T1 − Tz ) = λ ∂x 

 x =0, E ≤ y ≤ B
∂T2 

α z (T2 − Tz ) = λ ∂x 

 x = 0 , 0≤ y ≤ E

∂T2 
α z (T2 − Tz ) = λ ∂y 
 0≤ x ≤ D , y = 0

∂T3 

α z (T3 − Tz ) = λ ∂y 
 D ≤ x≤ L , y =0

∂T1 

α n (Tn − T1 ) = λ ∂x 

 x= D, E ≤ y≤ B
∂T3 

α n (Tn − T3 ) = λ ∂y 
 D ≤ x ≤ L , y =0

I-246
V izrazih I-246 pomeni αz prestopni koeficient med steno in zunanjostjo, αn med
notranjo steno in notranjostjo prostora, Tz je temperatura v zunanjosti, Tn v notranjosti in
λ je koeficient toplotne prevodnosti stene.
Kot kaže pravkar predstavljeni zgled toplotnega mostu je analitični izračun
temperatur in s tem toplotnih tokov sorazmerno obsežen in to celo v primeru razmeroma
preproste geometrije V primerih bolj zapletenih geometrij toplotnih mostov se je skoraj
praviloma potrebno poslužiti numeričnih metod reševanja parcialne diferencialne enačbe
z zadanimi začetnimi in robnimi pogoji. Kot je razvidno v predstavljenem primeru, pa je
le-te zelo pogosto potrebno posebej določiti in to na osnovi meritev.
Za veliko število primerov so potrebni računi že izvedeni in rezultati se navajajo
v obliki tabel.
Če se je mogoče zadovoljiti s približno oceno toplotnih tokov tedaj se realni
toplotni most poiskuša opisati s približki, ki omogočajo uporabo znanih analitičnih
rešitev. Kot zgled naj ponovno služi prej opisani dvodimenzionalni primer vogala stavbe.
74
Zgled:
Oceni toplotne tokove skozi vogal zgradbe, če znaša debelina zidu D, zunanja
temperatura stene je stalna in enaka Tz, stalna notranja temperatura pa Tn, skica 1.33
Tz
D
Tz
T
Tn
T
D
Skica 1.33
Za oceno toplotnih tokov skozi vogal se je ugodno poslužiti približek kolobarja. V
ta namen se kvadrat stranice D vogala preslika v dodatne tri kvadrate, tako kot kaže slica
1. 33. V težišču kvadrata v notranjosti se definira krožnici polmera rn = D/2 in rz = 3 D/2,
ki se dotikata notranjih in zunanjih sten. Pravokotni vogal, ki ga opisujeta obe steni, se v
danem približku nadomesti z ¼ površine kolobarja (višine H – ni prikazana) tako, da je
toplotni tok Pz skozi zunanjo površino (zapisanega dela) kolaborja enak,
Pz = Az αz (T˝ – Tz ) =
1
2π rz H αz (T˝ – Tz )
4
I-247
kjer je T˝temperatura površine kolobarja polmera rz. Podobno velja za notranjo površino
kolobarja,
Pn = An αn (T´ – Tn ) =
1
2π rn H αn (T˝ – Tn )
4
I-248
75
kjer je sedaj T´ temperatura notranje površine kolobarja. Toda toplotni tok skozi ¼
površine kolobarja višine H je podan z izrazom I-32,
Pkol =
T ′ − T ′′
r 
ln z 
 rn 
1
2πλH
4
I-249
Toda v stacionarnem stanju mora veljati Pn = Pkol = Pz, zato je
T ′ − T ′′
r 
ln z 
 rn 
rz αz (T˝ – Tz ) = λ
T ′ − T ′′
r 
ln z 
 rn 
rn αn (T´ – Tn ) = λ
I-250
I-251
kar predstavlja sistem dveh enačb za dve neznanki T´in T˝. Rešitvi sta,
T˝ =
χ1 (χ 2 + 1) Tz + χ 2 Tn
(χ 2 + 1)(χ1 + 1) − 1
I-252
T´ =
(χ1 + 1) T˝
I-253
- χ 1 Tz
kjer konstanti χ1 in χ2 pomenita,
χ1 =
χ2 =
r
ln z
r
λ
 n




I-254
r
ln z
r
λ
 n




I-255
rzα z
rnα n
Kot zgled naj služi zid debeline D = 0.3 m (rn 0.15 m in rz = 0.45 m).. V primeru, da
znaša koeficient toplotne prevodnosti zidu λ = 1 W/mK, zunanji koeficient prestopa
toplote αz = 15 W/m2K, koeficient prestopa toplote na notranjo steno αn = 8 W/m2K,
notranja temperatura Tn = 20 oC, zunanja pa Tz = - 5 oC, in tedaj sta koeficienta χ1 in
χ2,
76
χ1 =
7.42
χ2 =
1.32,
temperatura zunanje površine kolobarja v vogalu je enaka,
T˝ =
5000.2
K = 269.8 K = - 3.2 oC
18.53
notranje površine kolobarja pa,
T =
283.0 K
=
+ 10 oC.
Zgled:
Vogal v zgornjem primeru, skica 1.31, je nadomeščen s kolobarjem. Kolikšno je
razmerje toplotnih tokov skozi zid kolobarja, Pkol, in ravne stene enake površine, Pstene?
Toplotni tok skozi ¼ plašča kolobarja višine H podaja izraz I-52,
Pkol =
1
4
2π H (Tn − T z )
1
rnα n
+
1  rz 
1
ln  +
λ  rn  rz α z
toplotni tok skozi ravni del zidu pa je
Pstene = ¼ 2π rn H
(Tn − Tz )
1
αn
+
D
λ
+
1
,
αz
tako, da je razmerje toplotnih tokov podano z izrazom,
Pkol
=
Pstene
 1
D
1 


+
+
α

 n λ αz 
r 
r
r
1
+ n ln z  + n
α n λ  rn  rz α z
kjer je koeficient prehoda toplote skozi zid U enak
77
U =
1
αz
+
1
D
λ
+
1
.= 2.0 W/m2K
αn
in zato je rezmerje toplotnih tokov,
Pvog
Pstene
=
0 .5 m 2 K / W
0 .3 m 2 K / W
= 1.66
ali rečeno drugače, skozi kolobarjasti vogal zgradbe v danem primeru oddteka približno
66 % večji toplotni tok, kot skozi (ravno) steno enake debeline zato se vogal (če ni
nadomestila za izgubljeno toploto) bistveno hitreje ohlaja kot ravni del stene kar vodi do
kondenzacije vodne pare na notranji steni kolobarja in posledično do pojava plesni.
78
Standardi EN ISO 10211 določajo splošne metode izračuna toplotnega toka and
temperatur površin toplotnih mostov poljubne oblike in s poljubnim številom robnih
pogojev. Bistvena poenostavitev nastopi v primerih t.im. linearnih toplotnih mostov, za
katere je značilno dejstvo, da povezujejo okolji dveh različnih temperatur. Kot posledica
tega dejstva se lahko linearni toplotni most predstavi s presekom, oziroma z
dvodimenzionalnim geometrijskim modelom.
Skica 1.34
Skica 1.34 prikazuje primer štirih linearnih toplotnih mostov v ravnini (označene s
puščicami), ki nastopajo v talni (oziroma stropni) konstrukciji večnadstropne zgradbe.
79
1.3
PRENOS ENERGIJE S SEVANJEM
1.3.1
Uvod
Vsako telo katerega temperatura je T, absorbira iz okolice in hkrati oddaja tej
okolici elektromagnetno valovanje, katerega samo del je izsevan tudi v vidnem delu
svetlobnega spektra, spektra, ki je omejen na interval valovnih dolžin med 0.4 µm do 0.8
µm, t.j. na interval občutljivosti človeškega očesa. Zveza med valovno dolžino λ
elektromagnetnega valovanja, frekvenco valovanja, ν, in hitrostjo razširjenja valovanja,
c, je podana z znanim izrazom
c = νλ
I-256
Kot je znano, frekvenca valovanja zavisi izključno od izvora valovanja, hitrost valovanja
zavisi od sestave sredstva v katerem se širi valovanje, valovna dolžina valovanja pa
potemtakem zavisi tako od izvora kot od sredstva. Za praktične namene je hitrost
elektromagnetnega valovanja kar enaka hitrosti v vakuumu, ki znaša c= 3 x 108 m/s.
V splošnem seva črno telo (t.j. sevanje iz votline skozi majhno odprtino na
površini sicer poljubnega telesa v okolico) temperature T elektromagnetno valovanje
valovnih dolžin, ki se umeščajo znotraj zelo širokega intervala. Poudariti pa je potrebno,
da je pri tem izsevana energija razporejena zelo neenakomerno z ozirom na valovne
dolžine izsevanega valovanja. To porazdelitev za črno telo (torej iz votline skozi majhno
odprtino ne pa sevanje s površine telesa) analitično zelo dobro popisuje Planckov zakon
sevanja I-106,
E(l)dl =
2π h c 2
λ
1
5
e
hc
kλT
dl
I-106
−1
kjer je E(ν)dν energija izsevana v interval valovne dolžine dl (med l in l+dl) na enoto
površine sevalca (t.j. energijski tok). Konstanta h se imenuje Planckova konstanta, ki
znaša h = 6.626 x 10-34 Js, konstanta k pa je Boltzmannova konstanta in je enaka, k =
1.381 x 10-23 J K-1. Transformacija gornjega izraza na porazdelitev po frekvenci ν izhaja
iz enakosti izrazov,
E(λ) dλ = E(ν) dν
E(ν) = E(λ)
dλ
dν
Porazdelitev po valovnih dolžinah, kot ga podaja (desni del) izraz (I-106) prikazuje
skica 1.35 za primer T = 1200 K (spodnja krivulja), T = 1800 K (srednja krivulja) in T =
2400 K (najvišje ležeča krivulja).
80
Skica 1.35
Očitno se maksimumi izsevanega energijskega toka na enoto intervala valovne dolžine z
rastočo temperaturo črnega telesa pomikajo proti krajšim valovnim dolžinam.
Maksimum kot funkcijo temperature se dobi iz pogoja dE(λ)/dλ = 0 in po krajšem
računu se pokaže, da maksimum porazdelitve nastopi pri pogoju,
λmaks T = 0.2898 x 10-2
Km
I-257
ki se imenuje Wienov zakon. To pomeni, da se s spremembo temperature črnega telesa
maksimum spektra sevanja premakne sorazmerno inverzni temperaturi, kar se odraža v
dejstvu, da z rastočo temperaturo barva telesa prehaja od rdeče, preko bele proti modri
barvi barvnega spektra.
Termin črno telo pomeni, da takšno telo vso nanj vpadlo elektromagnetno
valovanje katerekoli frekvence (tudi vidni del svetlobnega spektra) absorbira tako, da je
delež odbitega valovanja enak 0. Vsa energija na črno telo vpadnega elektromagnetnega
valovanja se zaradi absorpcije pretvori v spremembo notranjo energije snovi, kar se
navzven kaže kot porast temperature torej kot segrevanje črnega telesa. Po I. zakonu
termodinamike namreč velja, da je dWn = dẪ (kajti pri absorpciji elektromagnetnega
valovanja je dQ = 0) in ker je v splošnem sprememba notranje energije telesa enaka dWn
= mcvdT, sledi odtod, da je v obliki elektromagnetnega valovanja dovedeno delo dẪ, ki
ga črno telo absorbira povezano s porastom temperature telesa, torej dẪ = mcvdT.
Celotna gostota energijskega toka (enota je W/m2), jsev , ki jo izseva črno telo (t.j.
ali s sajami premazana površina telesa, ali pa telo poljubne sestave, ki seva iz svoje votle
notranjosti skozi majhno odprtino na površini), ki se nahaja na temperaturi T je tedaj
sorazmerna integralu izraza (I-106) in je enaka,
∞
jsev ∝ ∫ E (ν ) dν
I-258
0
Končni izraz je znani Stefanov – Boltzmannov zakon, ki se zapiše v kompaktni obliki kot,
81
jsev = σ T4
I-259
kjer je Stefanova konstanta σ = 5.67 x 10-8 W m-2 K-4. Izraz (I-259) podaja celotni
energijski tok P (vseh valovnih dolžin) sevalca (zelo majhne, t.j. skoraj točkaste) površine
∆A0 , ki ga seva absolutno črna ploskev v celotni polprostor (to je v prostorski kot 2π),
skica 1. 36,
∆A0
Skica 1.36
pri čemer je
jsev =
celotni
energijski
tok sevanja
∆A0
v
polprostor
Zgled:
Natančne meritve gostote energijskega toka, ki ga Zemlja prejema od Sonca
(nad plastmi ozračja kjer še ni absopcije energije) podajo vrednost j = 1.36 kW/m2
(zapisana vrednost se imenuje solarna konstanta). Razdalja Zemlje od Sonca je približno
r = 1.5 108 km, in zorni kot s katerim se vidi Sonce z Zemlje znaša približno φ = 0.50.
Ob predpostavki, da Sonce seva kot črno telo izotropno v prostor je mogoče oceniti
temperaturo T na njegovi površini.
Celotni energijski tok, ki ga seva površina Sonca v prostor je tedaj,
Psev = j Akrogle = j 4π r2
kjer je j solarna konstanta in r je oddaljenost Zemlje od Sonca. Zapisani energijski tok
oddaja krogelna površina Sonca A0 = 4 π R2, ki je zato
Psev = 4 π R2 σ T4 = j 4π r2
od koder sledi, da je temperatura površine Sonca
82
 j  r 2 
T =    
σ  R  


1
4
Zorni kot je definiran
2R
r
tg φ ≈ φ =
tako, da je končni rezultat,
 4j 
T =  2 
φ σ 
1
4
=
6000 K
Poudariti sicer velja, da podaja enačba (I-259) gostoto energijskega toka, jsev,
ki ga seva absolutno črna ploščica v celotni polprostor. To pa nikakor ne pomeni, da je
sevanje črnega telesa v vse smeri prostora enakomerno. V primeru, da je sevalec točkasto
telo (tedaj so namreč prečne razsežnosti telesa zanemarljivo majhne v primerjavi od
oddaljenosti do tega telesa) je umestno vpeljati novo fizikalno količino svetilnost
točkastega telesa, I, ki je za ta primer definirana, glej skico 1.37 spodaj,
r
dA
o
dPs
dΩ
Skica 1.37
Svetilnost I takšnega točkastega telesa je v splošnem definirana kot,
I =
dPs
dΩ
I-260
kjer je dPs tisti delež (izsevanega) energijskega toka točkastega svetila, ki prehaja
izbrano ploskvico dA pravokotno na smer širjenja elektromagnetnega valovanja (glej
skico) in dΩ je prostorski kot pod katerim je vidna ploskvica dA, ki se nahaja na razdalji
r od točkastega sevalca. Po definiciji prostorskega kota (ploskev dA je orientirana
pravokotno z ozirom na energijski tok sevanja) je,
83
dΩ =
dA
.
r2
I-261
tako, da je fizikalna enota svetilnosti J/s (= W).
V primeru, da točkasto svetilo seva energijski tok izotropno kar pomeni, da
točkasto telo seva enakomerno v vse smeri prostora (t.j. izotropno v prostorski kot 4π),
velja
Ps =
∫ I dΩ
= I ∫ d Ω = I 4π
I-262
od koder sledi, da je v primeru enakomerne porazdelitve energijskega toka po celotnem
prostoru svetilnost točkastega sevalca enaka,
I =
dPs
dΩ
=
Ps
.
4π
I-263
V običajnih primerih, kadar svetilo ni mogoče obravnavati kot točkasto se pa
primeri, da se svetilnost posameznega dela sevalca lahko v splošnem, preko njegove
površine spreminja, svetilnost je torej funkcija izbranega mesta na površini sevalca. Za
sevalce, ki niso točkasta telesa se zato definira nova fizikalna količina, svetlost, B, ki jo
podaja kvocient,
B =
I
,
∆A0
I-264
pri čemer je I svetilnost ploskvice ∆A0 danega sevalca v smeri vzdolž normale na
ploskvico. Svetlost je v splošnem funkcija koordinat na površini sevalca, poleg tega pa v
splošnem zavisi še od smeri prostora (t.j. od prostorskega kota) iz katerega opazujemo
dani sevalec. Toda izkaže se, da je svetlost B v primeru, ko je sevalec črno telo,
konstantna. To torej pomeni, da je za črno telo svetlost B enaka za vsak delček površine
sevalca ter je neodvisna od smeri opazovanja danega črnega telesa. To spoznanje ima za
posledico dejstvo, da se pa mora svetilnost črnega telesa spreminjati v odvisnosti od
smeri opazovanja, kot je to pokazano spodaj.
Iz definicije svetlosti, namreč sledi,
I = B ∆A0,
I-265
kjer je ∆A0 majhna ploskvica sevalca, torej ploskvica katere celotno površino oko zazna.
To dejstvo implicitno pomeni, da instrument (oko) opazuje ploskvico v smeri njene
)
normale, N , saj v nasprotnem primeru detektor zazna le projekcijo ploskvice ∆A0 v
izbrani smeri, to je ploskvico ∆A0´(ϕ) = ∆A0 cos ϕ, kjer je ϕ kot, ki ga oklepa delež
izsevanega energijska toka v prostorski kot, ki se nahaja v smeri opazovanja kot je to
nemudoma razvidno iz spodnje skice 1.38.
84
I(0) = B ∆A0
I(ϕ)
)
N
ϕ
ϕ
∆A´0 = ∆A0 cos ϕ
∆A0
Skica 1.38
V splošnem je torej svetlost B definirana kot kvocient svetilnosti sevalca izmerjena v
izbrani smeri, I(ϕ), z navidezno površino sevalca v tej smeri, ∆A0´(ϕ),
B =
I (ϕ )
,
′
∆A0 (ϕ )
I-266
in ker je za popolnoma črno telo svetlost, B, konstanta, torej neodvisna od kota
opazovanja, sledi,
I(ϕ) = B ∆A0 cos ϕ.
I-267
Če se označi izraz
I(0) = B ∆A0
I-268
tedaj se enačba I-267 zapiše,
I(ϕ) = I(0) cos (ϕ) .
I-269
Dobljeni izraz za izsevani energijski tok na enoto prostorskega kota se imenuje
Lambertov zakon in velja le za primere, ko je sevalec popolnoma črno telo.
Energijski tok, Ps, ki ga oddaja črno telo v polprostor tedaj, če se njegova
svetilnost spreminja skladno Lambertovemu zakonu se izračuna iz definicije, enačba (I263). V splošnem torej velja,
dPs = I(ϕ) dΩ
=
I(ϕ)
dA
r2
I-270
85
in z uporabo enačbe (I-269) ter definicijo prostorskega kota dΩ, izraz (I-261), zapisan v
krogelnem koordinatnem sistemu,
r sin (ϕ) dγ
r sin ϕ
dγ
ϕ
dA
r dϕ
r
dϕ
)
N
y
∆A0
γ
x
Skica 1.39
kjer je dA = r dϕ r sin(ϕ) dγ sledi, da je energijski tok Ps, ki ga črno telo izseva v
polprostor enak,
Ps = I(0)
2π
π 2
0
0
∫ dγ ∫ sin (ϕ ) cos(ϕ )d ϕ
I-271
tako, da se z uporabo izraza (I-268) končni rezultat glasi,
Ps = π B ∆A0
(celotni energijski tok sevanja v polprostor)
I-272
Na tem mestu velja opozoriti, da v posebnem primeru, če bi le bila svetilnost (ne
zamenjati s svetlostjo!) črnega telesa neodvisna od smeri (kar ne velja), bi iz enačbe (I260) sledil naslednji rezultat,
Ps =
∫ IdΩ
Ps = I
= I ∫ dΩ
1
4π
2
= 2 π B∆A0.
I-273
I-274
86
kar pa je natančno dvakrat toliko, kot v predhodnem primeru zgoraj. V rezultatu (I-274)
je že upoštevano, da je polprostor opisan kot polovica polnega prostorskega kota, ki
znaša Ω = 4π.
V primeru tedaj, ko delež izsevanega energijskega toka dPs danega sevalca
zadene (poljubno) ploskvico dA drugega telesa je umestno uvesti novo fizikalno količino
osvetljenost, E, ki je definirana z izrazom,
E =
dPs
dA
I-275
kjer pa je potrebno posebej poudariti, da predstavlja dPs tisti delež energijski tok sevalca,
ki vpada na ploskvico telesa dA danega prejemnika. Enota osvetljenosti je W/m2 in je
formalno enaka enoti fizikalne količine gostote energijskega toka j. Ključna razlika med
obema je v dejstvu, da gre pri gostoti energijskega toka j (= dP/dA) za množino energije,
ki v časovni enoti preteče ploskev dA, pri čemer ploskev dA stoji pravokotno na smer
razširjanja valovanja (sevanja). Izraz (I-275), t.j. osvetljenost ploskvice, v nasprotju z
zapisanim pa podaja energijski tok, ki vpada na ploskvico dA neodvisno od orientacije
ploskvice. V primeru, ko je ploskvica vzporedna smeri razširjanja (t.j. žarkom)
energijskega toka je osvetljenost tedaj enaka nič. Zapisano naj ilustrira primer točkastega
sevalca svetilnosti I, katerega delež energijskega toka dPs vpada na ploskvico dA telesa
na oddaljenosti r od sevalca, skica 1.40.
ϕ
I
dA
r
dA´ = dA cos ϕ
Skica 1.40
V opisanem primeru točkastega sevalca svetilnosti I je osvetljenost ploskvice dA podana
z izrazom,
dPs
E =
=
dA
E =
I dΩ
=
dA
I
cos (ϕ)
r2
I
dA′
r2
dA
I-276
I-277
87
saj v tem primeru sevalec oddaja energijski tok v prostorski kot dΩ = dA´/r2 = dA
cos(ϕ)/r2.
V primeru, da sevalca ni mogoče obravnavati kot točkasto telo je tedaj potrebno
razdeliti površino sevalca na diferencialno majhne sevalne ploskvice dA0, ki vsaka zase
seva kot točkasti sevalec in te prispevke nato sešteti po celotni površini sevalca, skica
1.41.
O1
r
β
ϕ
dA0
Skica 1.41
Osvetljenost v točki O1 zaradi prispevka sevalca dA0 na levi je tedaj enaka,
dE =
dI
cos (ϕ)
r2
I-278
kjer je dI svetilnost izvora dA0, kot jo je zaznati iz točke O1,
dI = dI0 cos (β) = B dA0 cos (β)
I-279
pri čemer je smiselno uporabljen izraz (I-269). Osvetljenost v točki O1 telesa na desni je
tedaj zaradi sevalca na levi podana z izrazom,
E =
∫ dE
=
∫B
cos(ϕ ) cos(β )
dA0
r2
I-280
pri čemer je privzeto, da je v splošnem svetlost B lahko (v primeru, da sevalec ni črno
telo) še funkcija koordinat sevalca pri čemer integracija poteka po celotni površini
sevalca. Iz izraza I-275 tedaj sledi, da je na ploskvico dA v okolici točke O1 vpadli
energijski tok sevalca podan z izrazom dPvpadli = E dA kjer je osvetljenost E popisana z
enačbo I-280.
Iz zgoraj zapisanih vsebin bi moralo biti razvidno, da podaja izraz (I-252) gostoto
energijskega toka, kot ga seva (majhna površina ∆A0) popolnoma črnega telesa
temperature T v celotni polprostor 2π. Ker je svetlost B črnega telesa neodvisna od smeri
opazovanja velja, da je izsevani energijski tok na enoto prostorskega kota takšnega
88
sevalca I(ϕ) ≡ dPsev(ϕ)/dΩ = I(ϕ = 0) cos(ϕ) = [dPsev(0)/dΩ ] cos(ϕ), kjer je ϕ kot med
smerjo opazovanja površine črnega telesa in njeno normalo, enačba I-262. Energijski tok,
ki ga oddaja črno telo je tedaj dPsev(ϕ) = dP(0) cos(ϕ) in gostota sevanega energijskega
toka j = dPsev/dA0 se tedaj spreminja po enačbi,
j(ϕ) = j(0) cos ϕ
I-274
v kolikor se telo opazuje pod kotom ϕ glede na normalo ploskve črnega telesa. Iz
zapisanega je razvidno, da je tako kot svetilnost I(ϕ) tudi gostota izsevanega energijskega
toka črnega telesa v smeri opazovalca, j(ϕ), opisana z Lambertovim zakonom.
Realna telesa (toda, če gre za sevanje s površine in ne iz votline telesa) sevajo
samo približno tako, kot to napoveduje Stefanov-Boltzmannov zakon. Izkaže se, da za
realna telesa v splošnem Lambertov zakon ne velja, gostoto izsevanega energijske toka
(toda samo, če gre za sevanje s površine telesa) pa približno podaja izraz,
j = e(λ, T) jčrno
I-275
kjer je e(λ,T) monokromatski emisijski koeficient telesa. Samo za siva telesa se izkaže,
da le-ta ne zavisi od valovne dolžine marveč je samo funkcija temperature T. Emisijski
koeficient je v splošnem manjši od 1, e < 1, seveda pa je za popolnoma črno telo ečrno t
=1.
V splošnem velja dejstvo, da vsako realno telo (tudi črno), ki se nahaja pri
konstantni temperaturi (torej v toplotnem ravnovesju z okolico) seva takšno gostoto
energijskega toka, kot ga samo absorbira, če nanj seva črno telo, ki se nahaja na enaki
temperaturi. Od to sledi, da je emisijski koeficient sivega telesa enak absorpcijskemu
koeficientu tega telesa, t.j. e(T)=a(T), kar predstavlja vsebino Kirchhoffovega stavka.
1.6.2
Geometrijski faktor konfiguracije pri sevanju
V splošnem si telesa, ki se vzajemno ne dotikajo, izmenjujejo energijo s
sevanjem (večinoma gre za sevanje s površin teles). To pomeni, da ne samo, da seva
toplo telo na hladnejše telo marveč seva tudi hladno telo nazaj na toplo. V kolikor gre za
črna telesa je proces izmenjave energije sorazmerno preprost, saj črno telo vso na
površino vpadlo energijo sevanja v celoti absorbira. Kolikšni delež izsevane energije v
prostor pa dano telo absorbira pa zavisi predvsem od vzajemne orientacije površin, t.j. od
tako imenovanega geometrijskega faktorja konfiguracije.
V kolikor gre za izmenjavo energije s sevanjem med sivimi (ali celo
obarvanimi) telesi pa so razmere bistveno bolj zapletene. Upoštevati je namreč potrebno,
da je samo določeni delež energije, ki vpada na sivo telo absorbiran, preostanek energije
pa se od telesa odbije, pri čemer je ta odbiti delež lahko usmerjen nazaj na prvo telo, ki
seva, ali pa mimo njega.
89
Prejeta gostota energije črnega telesa zavisi od orientacije le-tega z ozirom na
sevalca. Razmere si lahko predočimo na primeru dveh ravnih površin črnih teles v
poljubni orientaciji, ki si izmenjujeta energijo s sevanjem. Če označimo površini teles z
A1 in A2, njuni temperaturi pa z T1 in T2, je tedaj pri izmenjavi energije s sevanjem
potrebno upoštevati t.im. geometrijski faktor konfiguracije, e12, ki je definiran kot
razmerje med prejeto gostoto energijskega toka drugega telesa in celotno izsevano
gostoto energijskega toka prvega telesa.
Energijski tok, ki ga seva črna površina 1 na površino 2 je enak jč1A1e12, kjer je
e12 geometrijski faktor konfiguracije obeh površin. Podobno velja, da je jč2A2e21
energijski tok, ki ga seva drugo telo nazaj na površino 1 telesa.
V primeru, da sta obe površini črni je tedaj rezultirajoči energijski tok, ki ga
prejema ena od površin (tista z nižjo temperaturo) podan z izrazom,
P12 = Q&12 = jč1A1e12 - jč2A2e21
I-276
V posebnem primeru, ko sta temperaturi obeh črnih površin enaki, T1 = T2, je
tedaj rezultirajoči (presežni) energijski tok P12 = 0 in ker tedaj velja, da mora biti tudi
gostota toka jč1 = jč2 sledi od tod, da je
A1e12 = A2e21
I-277
Če se dobljeni izraz vstavi v (I-¸276) sledi,
P12 = A1e12 (jč1 – jč2) = A2e21 (jč1 – jč2)
I-278
dA2
T2
A2
)
N1
A1
T1
r
ϕ1
dd
ϕ2
)
N2
d
dA1
Skica 1.40
Za izračun geometrijskega faktorja konfiguracije je potrebno izhajati iz skice 1.40. S
črko r je označena razdalja med dvema infinitezimalnima elementoma ploskev dA1 in
90
gostota toka jč1 = jč2 sledi od tod, da je
A1e12 = A2e21
I-284
Če se dobljeni izraz vstavi v (I-¸283) sledi,
P12 = A1e12 (jč1 – jč2) = A2e21 (jč1 – jč2)
I-285
Za izračun geometrijskega faktorja konfiguracije je potrebno izhajati iz skice 1.42. S
črko r je označena razdalja med dvema infinitezimalnima elementoma ploskev dA1 in
)
dA2, pri čemer daljica r oklepa kot ϕ1 z normalo N1 na ploskev dA1 in kot ϕ2 z
)
normalo N 2 elementa ploskve dA2. Opazovalec nameščen na elementu ploskve dA1
vidi površinski element dA2, ki pripada drugemu telesu v prostorskem kotu
dΩ1 =
dA2 prav
r
2
=
dA2 cos ϕ 2
I-286
r2
kjer je dA2prav, projekcija površinskega elementa dA2 na ravnino, ki stoji pravokotno
)
na r, skica 1.40, pri čemer oklepa normala N 2 na element ploskve dA2 kot ϕ2 z
veznico obeh ploskvic r. Obratno, na podoben način se ugotovi, da ploskovni element
dA1 prvega telesa, gledajoč iz ploskvice dA2 drugega telesa, podaja prostorski kot
dΩ2, ki je enak,
dΩ2 =
dA1 prav
r
2
=
dA1 cos ϕ1
I-287
r2
)
Gostota energijskega toka, ki ga seva ploskev dA1 v smeri normale N 1 je podan z
)
N1
dA
ϕ1
r
dΩ = sin ϕ1 dγ dϕ1
y
dA1
x
γ
Skica 1.43
91
)
izrazom (I-259), v smeri spojnice, ki oklepa kot ϕ1 glede na N 1 pa z enačbo (I-281),
če se privzame, da velja Lambertov zakon. Toda spojnica leži v intervalu prostorskega
kota dΩ1 med Ω1 in Ω1+dΩ1, pri čemer je prostorski kot definiran s sferičnima
koordinatama (ϕ1 , γ), skica 1.43.
r sin ϕ1 dγ r dϕ1
=
r2
dA
=
r2
dΩ =
sin ϕ1 dϕ1 dγ
I-288
Celotni kot, ki pripada polprostoru je tedaj enak,
π
Ω
∫ dΩ
=
=
2π
2
0
0
∫ dγ ∫ sin ϕ 1 dϕ 1
=
2π
I-289
Za ploskvico dA0 črnega telesa, ki seva skladno Lambertovem zakonu velja, da
je celotni, v polprostor izsevani energijski tok, Psevcel, enak
Psev
2π
π 2
0
0
= ∫ I (ϕ1 )dΩ = B ∆A0 ∫ dγ ∫ sin ϕ1 cos ϕ1 dϕ1
cel
πB∆A0
=
I-290
Z upoštevanjem izraza (I-267) ter (I-270) tedaj sledi, da je izsevani energijski tok
dPsev v interval prostorskega kota dΩ1 med Ω1 in Ω1+dΩ1 podan z enačbo,
dPsev = I(ϕ1) dΩ1 = B∆A0 cos ϕ1 dΩ1 =
Psev cel cos ϕ1
π
dΩ 1
I-291
kjer je Psevcel celotni energijski tok izsevan v polprostor. Za izračun geometrijskega
faktorja oziroma faktorja konfiguracije velja izhajati iz enačbe (I-271). Za majhno
sevalno ploskev črnega telesa ∆A sledi,
Psevcel = jčrt ∆A
I-292
zato je energijski tok, ki ga prejema del drugega (črnega) telesa v prostorskem kotu
Ω1 in Ω1+dΩ1 zaradi sevanja prvega telesa enako,
dPsev2 =
Psev cel cos ϕ1
π
σT1 4
dΩ 1 =
cos ϕ1 dΩ1dA1
π
I-293
pri čemer je privzeta limita ∆A1 Æ dA1, skica 1.42. Na podoben način se izrazi
energijski tok, ki ga prejema prva ploskev zaradi sevanja druge površine črnega
telesa,
dPsev1
σT 2 4
=
cos ϕ2 dΩ2 dA2
π
I-294
92
Presežni (rezultirajoči) energijski tok na površino črnega telesa nižje temperature se
tedaj zapiše kot,
P12 = σ (T14 - T24) ∫ ∫
A1 A2
cos ϕ1 cos ϕ 2
π r2
dA1 dA2
I-295
kjer je bila uporabljena definicija prostorskih kotov prvega in drugega telesa, izraza
(I-286) in (I-287) zgoraj.
Primerjava z enačbo (I-285) privede do končnega rezultata po katerem sta
faktorja konfiguracije določena z izrazom
A1e12 = A2e21 =
∫ ∫
A1 A2
cos ϕ1 cos ϕ 2
π r2
dA1dA2
I-296
Vrednost integrala na desni očitno zavisi izključno od velikosti in oblike
površin obeh sevalnih teles in od njune vzajemne orientacije. Izračunane vrednosti
faktorja konfiguracije za dvoje vzporednih površin oddaljenih za D so prikazane na
skici 1.44, za dve med seboj pravokotni površini pa na skici 1.45.
Skica 1.44. Faktor konfiguracije, e12, za dve vzporedni površini črnih teles oblike
paralelograma s stranicama L in W, ki se nahajata na medsebojni oddaljenosti D.
93
Skica 1.45. Faktor konfiguracije, e12, za dve vzajemno pravokotni površini črnih
teles. Površina v obliki paralelograma s stranicama W in D z indeksom 2 je
nameščena vertikalno, površina paralelograma dimenzij L in D označena z »1« pa
vodoravno.
1.3.3
Medsebojno sevanje nečrnih teles
V splošnem se energijski tok, P, ki vpada na dano površino telesa razdeli na
tri deleže, tako kot je to predočeno na skici 1.46. Del energijskega toka se (zrcalno ali
pa difuzno) odbije, ta del je označen z rP, delež, ki se absorbira je označen z aP in v
splošnem je potrebno privzeti, da določeni del vpadlega energijskega toka, pP, zapusti
telo, skica 1.46.
P
rP
Skica 1.46.
pP
Seveda mora veljati,
P = rP + aP +
pP
I-297
94
ali
j = rj+aj+pj
I-298
tako, da je
r+a+p = 1
I-299
Večina teles je za energijski tok sevanja neprosojnih (ena od izjem je steklo, ki je za
energijski tok vidnega in infrardečega dela spektra- prosojno) zato je za neprosojna
telesa koeficient prepustnosti, p = 0. Za takšne primere velja, da je rezultirajoče
sevanje, t.j. gostota energijskega toka, φ, nečrnega telesa podano z vsoto lastnega
sevanja (s površine) ter gostote energijskega toka odbitega sevanja (valovanja), velja
torej,
φ =
e jčr + r jvpadni
I-300
Toda zaradi izraza (I-282), ob pogoju, da je p = 0 in zaradi Kirchhoffovega stavka, po
katerem za sivo telo velja e(T) = a(T), se gornji izraz prevede v
φ =
e jčr + (1-e) jvpadni = e (jčr – jvpadni ) + jvpadni
I-301
Celotna lastna gostota energijskega toka, j12, ki ga seva takšno telo je podana z razliko
med gostoto sevanega energijskega toka, φ, in gostoto vpadnega energijskega toka,
jvpadni, torej
j12 =
φ - jvpadni =
e (jčr - jvpadni)
I-302
Gostota lastnega sevanega energijskega toka jneč takšnega telesa je tedaj enaka,
jneč = j12 =
P12
A
=
e [ jčr - jvpadni ]
I-303
oziroma, ker zaradi izraza (I-301),
jvpadni =
φ − e j čr
(1 − e )
velja
(jčr – jvpadni ) = jčr =
φ
1− e
+
j čr − φ
1− e
e
jčr =
1− e
I-304
se enačba I-302 tedaj zapiše,
95
P12
A
j čr − φ
1− e
e
=
I-305
Torej je lastni sevani energijski tok s površine A nečrnega (prvega) telesa na drugo
telo, P12lastni, podan z izrazom,
j čr − φ
1− e
Ae
P12lastni =
I-306
Izmenjava energije med dvema nečrnima površinama se obravnava na naslednji
način. Od celotne energije, ki jo seva površina A1 prejme površina A2 energijski tok,
ki je enak φ1A1e12. Toda tudi površina A2 seva in energijski tok, ki ga prejme prvo telo
je zato enako φ2A2e21 tako, da je presežni energijski tok enega telesa z ozirom na
drugega enak,
P12presežni = φ1A1e12 - φ2A 2 e21
I-307
Ob upoštevanju izraza (I-296) se torej (presežni) energijski tok, ki ga seva prva
(nečrna) površina telesa na površino drugega telesa zapiše v obliki,
P12presežni =
φ1 − φ 2
I-308
1
A1e12
Oddani (presežni) energijski tok s površine prvega telesa je v stacionarnem stanju
enak energijskemu toku, ki ga absorbira drugo telo. Velja torej,
P12presežni =
j čr1 − φ1
1 − e1
A1 e1
=
φ1 − φ 2
1
A1e12
=
φ 2 − j čr 2
1 − e2
A2 e2
I-309
Če se sedaj definira t.im. sevalna upora površine, RS, in prostora RP, kjer sta
RS =
Rp =
1− e
Ae
1
A1 e12
I-310
I-311
je mogoče, s pomoćjo izraza I-309, hitro pokazati, da velja,
96
RS1 P12 = jč1 - f1
Rp P12 = f1 - f2
RS2 P12 = f2 - jč2
odkoder je neposredno razvidno, da je
P12presežni ≡
φ1 − φ 2
RP
=
j čr1 − j čr 2
.
R S1 + R P + R S 2
I-312
Dobljeni rezultat, I-312, pomeni, da je (rezultirajoči) energijski tok, ki se izmenjuje
med dvema površinama (nečrnih teles) podan z razliko gostot energijskega toka obeh
teles, kot da sta črni telesi, deljeno z rezultirajočim uporom sevanja. Iz izraza I-312 je
razvidno, da je rezultirajoči sevalni upor geometrično ekvivalenten trem zaporedno
vezanim uporom električnega tokokroga med dvema telesoma, ki sevata kot, da sta
črni telesi, skica 1.47.
P12
jč2
jč1
Rp
RS1
RS2
Skica 1.47
Skladno z zapisanim, je rezultirajoči energijski tok, ki se izmenjuje s sevanjem dveh
nečrnih površin različnih temperatur podan z izrazom,
P12 =
jč1 − jč 2
1 − e1
1 − e2
1
+
+
A1e1 A1e12 A2 e2
=
(
σ T1 4 − T2 4
)
1 − e1
1 − e2
1
+
+
A1e1 A1e12 A2 e2
I-313
v popolni analogiji z Ohmovim zakonom, če se privzame, da je napetost podana z
razliko gostot energijskih tokov, ki jih sevata obe površini (kot da sta črni telesi).
97
OPOMBA
Enačba (I-313) vsebuje temperaturi, ki se med seboj običajno ne razlikujeta znatno,
poleg tega pa tudi nista natančno znani. Če se definira povprečna temperatura Tpov z
izrazom
T pov =
(T1 + T2 )
2
,
I-314
kjer je tedaj,
T1 = T pov + ∆T
T2 = T pov - ∆T,
je kaj enostavno pokazati, da velja,
T14 – T24 = 8 Tpov3 ∆T + 8 Tpov ∆T3 ≈ 4 T pov 3 (T1 – T2 ),
Na takšen način definirane vrednosti prevedejo tedaj izraza (I-313) v docela
ekvivalentni zapis
P12 =
4σ T pov 3 (T1 − T2 )
1 − e1
1 − e2
1
+
+
A1e1 A1e12 A2 e2
I-315
kar pa je mogoče zapisati tudi drugače,
P12 = A1 asev (T1 – T2)
I-316
kjer je asev prestopni koeficient sevanja (enota je W/m2K) definiran z izrazom,
asev =
4σ T pov 3
1 − e1
1 1 − e2 A1
+
+
e1
e12
e2 A2
I-317
kjer je povprečna temperatura T pov definirana z enačbo I-314. Ta koeficient je tisti, ki
nastopa v izrazu za sevani energijski tok stene v enačbah I-109.
98
Zgled:
Izračunati je potrebno rezultirajoči energijski tok med dvema neskončnima
vzporednima stenama, ki se nahajata na temperaturah T1 in T2, če sevata kot sivi telesi
z emisivnostima e1 in e2 ter reflektivnostima r1 in r2, skica 1.48.
T1
T2
Skica 1.48
P12
Ker gre za neskončni površini je A1 = A2 in faktor
konfiguracije e12 = 1, saj sevanje prve površine v
celoti prestreza druga površina. Iz enačbe (I-313) sledi,
P12 =
(
Aσ T1 − T2
1 1
+ −1
e1 e2
4
4
)
I-318
Prestopni koeficient sevanja, asev, je v tem primeru enak,
asev = 4 e12* s T pov 3
I-319
kjer je očitno,
e12* =
1
1
+
−1
e1 e2
V primeru, da obe površini sevata kot črni telesi, tedaj je e1 = e2 = 1, pa je zato
presežni energijski tok, ki se izmenjuje s sevanjem enak,
P12 = A σ (T14 - T24)
I-320
V kolikor pa je samo ena od sten črno telo, n.pr. stena »2« je tedaj e2 = 1, toda e1 < 1
in zato, v tem primeru, velja
P12 = A e1 σ (T14 - T24 ).
I-321
99
1.3.4
Sevanje telesa obdanega z zaključeno površino
Podobno kot v prejšnjem zgledu je tudi v tem primeru geometrijski faktor
konfiguracije e12 = 1 saj se v ravnovesju sevanje v popolnosti odvija izključno med
obema sevalnima površinama stalnih temperatur T1 in T2. Iz izraza (I-313) tedaj
sledi,
T2 ; e2; A2
T1; e1; A1
Skica 1.49.
P12 =
(
)
A1 σ T14 − T2

1 A1  1
+  − 1
e1 A2  e2

4
I-322
Iz zapisanega rezultata je mogoče izpeljati dva limitna primera:
a) če je površina votline črno telo, tedaj je e2 = 1 in (I-322) se poenostavi v
P12 = A1e1σ ( T14 - T24 )
I-323
Natančno enak rezultat se dobi v primeru, če je votlina zelo oddaljena tako, da velja
A1/A2 → 0, oziroma. če sevalec temperature T1 limitira proti točkastemu telesu, t.j.
A1 → 0, oziroma, če sevalec seva v neskončni prostor, A2 → ∞. Druga limita,
b) nastopi tedaj, ko limitira kvocient površin obeh teles proti 1, t.j. A1/A2 → 1. V
tem primeru se izraz (I-313) poistoveti z izrazom (I-318), ki popisuje razmere med
dvema neskončnima, bližnjima, površinama.
100
Zgled:
Ravna streha v nočnem času. Če je temperatura zunanjega zraka Tzz = 10 C oceni
ekvivalentno temperaturo, Te podano z izrazom I-112, na zunanji strani ravne strehe,
če znaša αc = 20 W/m2 K in emisivnost strehe e = 0.9.
Navodilo: približno oceno za energijski tok sevanja med talno ploščo podstrešja,
opredeljeno z indeksom 1, skica 1.50, in streho (indeks 2) podaja modficirani izraz I317, v obliki,
asev =
4σ T pov 3
I-324
1 1 − e2
+
cosθ
e1
e2
T2
T2
θ
θ
T1 ; A1
Skica 1.50
Za ravno streho je primernejši izraz I-317 v katerega se vstavi, A1/A2 = 0, e12 = 1 in
prestopni koeficient sevanja je tedaj,
 Tsevanja + T zz  3

asev = 4 e s T pov 3 = 4 e s 

2


kjer je predpostavljeno, da je temperatura strehe v stacionarnem stanju enaka
temperaturi zraka. Temperatura Tsevalna, to je temperatura nebeškega svoda je pa v tem
primeru podana z enačbo I-109a na strani 37, in torej znaša,
Tsevalna = 1.2 Tzz – 14 = - 12.8 0C
Iz enačbe I-112, stran 38 tedaj sledi, upoštevajoč, da je asev = 3.9 W/m2K,
Te =
α sev Tsev + α c Tzz
= - 1.25 0C
α sev + α c
Ekvivalentna temperatura je torej pod nič stopinjami Celzija. To pomeni, da bo v
primeru dobro izolirane strehe (zelo majhno prevajanje toplote navzven) površina
strehe zaradi zmrzali vodnih hlapov poledenela.
101
1.3.5
Stacionarno sevanje neskončnih ravnih površin z vmesnim zaslonom
Izmenjava energije s telesa višje temperature na telo nižje temperature se v
praksi zmanjšuje s pomočjo vmesnega zaslona. V primeru, ko se vzpostavi
stacionarno stanje temperatur mora veljati, da sta gostoti energijskega toka med
neskončnima ravnima površinama in zaslonom enaki, skica 1.51, torej
T1; e1; r1
T2; e2; r2
P1z
P2z
Skica 1.51.
Tz; ez; rz
j1z = j2z = j12
I-325
Gostoto energijskega toka med telesom temperature T1 in zaslonom temperature Tz se
lahko izrazi s pomočjo enačbe (I-314) tako, da velja,
P
=
A
(
σ T14 − T z 4
1
1
+
−1
e1 e z
)
=
(
σ T z 4 − T2 4
1
1
+
−1
e z e2
)
I-326
Iz zapisanega izraza, ko se vzpostavi stacionarno stanje, se izračuna temperatura
zaslona, ki je,
102
Tz4 =
1
e1
1
e1
T14
T2 4
+
1
1
1
+
−1
+
−1
ez
e z e2
1
1
+
1
1
1
+
−1
+
−1
ez
e z e2
I-327
Sedaj je mogoče izračunati ravnovesni energijski tok, ki se izmenjuje med
neskončnimi ravninami. Rezultat je,
P12 = A
(
σ T14 − T2 4
)
 2

1
1
+
− 1 + 
− 1
e1 e2
 ez

.
I-328
Dobljeni izraz kaže, da je potrebno, če se želi zmanjšati izmenjava energijskega toka
med stenama z vstavitvijo zastora, izbrati takšen zastor, da je njegova emisivnost, ez ,
kar se da majhna.
Na podoben način se izračuna energijski tok v primeru, da je sevalec obdan z
poljubno zaključeno površino tedaj, ko je v vmesni prostor vstavljen zastor.
1.3.6
Energijski tok v primeru stacionarnega prestopa toplote in sevanja
Pogosto se primeri, da se izmenjava energije dveh teles vrši s sočasnim
prestopom toplote v danem sredstvu in hkratnim sevanjem, pri čemer je absorbcija
sevanja v samem sredstvu dovolj majhna. Proces izmenjave energije (v stacionarnem
stanju) ponazarja skica 1.52.
T2; A2; e2
P12
Pt
T1; A1; e1
Tsred
α
Skica 1.51.
103
Naj bo α koeficient prestopa toplote s površine telesa temperature T1, ki je
opredeljeno z emisivnostjo e1 in površino A1. Površina A2 drugega telesa se nahaja na
temperaturi T2 in emisivnost znaša e2. Ravnovesna temperatura sredstva Tsred je
znana. Toplotni tok, ki prestopa iz prvega telesa na sredstvo označimo z Pt, presežni
energijski tok sevanja v stacionarnem stanju, ki prehaja iz prvega telesa na drugega pa
z P12. Slednji je podan z izrazom (I-313),
P12 =
(
σ T1 4 − T2 4
)
1 − e1
1 − e2
1
+
+
A1e1 A1e12 A2 e2
,
I-329
ki ga je mogoče zapisati v alternativni obliki,
P12 =
A1 α* ( T1 - Tsred )
I-330
pri čemer je »prestopni« koeficient za sevanje α* definiran kot,
α* =
(
)
σ T1 − T2
1
.
1 − e2
1
A1 (T1 − Tsred ) 1 − e1
+
+
A1e1 A1e12 A2 e2
4
4
I-331
Toplotni tok, ki se s konvekcijo prenaša iz stene na sredstvo je podan z izrazom (I36),
Pt =
α A1 ( T1 - Tsred )
I-332
tako, da je celotni energijski tok prenesen s toplega na hladnejše telo v stacionarnem
stanju s konvekcijo in sevanjem podan z izrazom,
P = Pt + P12 =
αskupni A1 ( T1 - Tsred )
I-333
kjer je skupni prestopni koeficient αskupni,
αskupni = α + α*,
I-334
kar vsota prestopnega koeficienta toplote s konvekcijo, α, in »sevalnega« koeficienta
prestopa α*.
104
Zgled:
Okno sobe meri 2 m2, temperatura stekla pa znaša 15 oC. Če je površina zidov enaka
70 m2 in njihova temperatura 20 oC, kolikšni toplotni tok P prejema površina okna
zaradi sevanja sten? Emisivnosti šipe in sten je e1 = e2 = 0.9, e12 = 1.
Iz enačbe (I-313) sledi,
P =
P =
1.4.1
(
σ T1 4 − T2 4
)
1 − e1
1 − e2
1
+
+
A1e1 A1e12 A2 e2
(
)
5.67 10 −8 Wm −2 K −4 293 4 − 288 4 K 4
0 .1
1
0.1
+
+
63m 2 70m 2 1.8m 2
= 389 W
Ocena transmisijskih toplotnih izgub
V nadaljnjem je prikazana poenostavljen način za hitro oceno transmisijskih
toplotnih izgub, ki jo je mogoče uporabiti kot začetno indikacijo toplotne zaščite
zgradbe. Za razliko od zgoraj navedenega postopka ocena temelji na toplotnih tokovih
stacionarnega stanja, kjer je zahteva po ogrevanju vključena neposredno.
Transmisijske toplotne izgube danega prostora, P0 = Q& 0, se ocenijo z ozirom na
stanje najnižje pričakovane zunanje temperature, ki obdaja dani prostor. V splošnem
je toplotna izguba Q& 0 podana,
Q& 0 =
∑ Q&
I-335
i0
i
kot vsota toplotnih izgub izračunanih za vsako površino (opredeljene z indeksom i)
danega prostora,
Q& i0 = Ui Ai (Tn – Tz)i ,
I-336
pri čemer je Ui koeficient prehoda toplote za določeno i-to površino, Ai, Tn je
notranja temperatura i-te površine, Tz pa je njena zunanja temperatura (ali temperatura
sosednjega prostora). Koeficient prehoda toplote za posamezno plast oziroma za več
plasti v medsebojnem stiku se izračuna po izrazu,
Ui =
1
 1

αn
  dm
 +  ∑
 i  m λm
  dz
 +  ∑

i  p λz
  1 
 +  

i  α z i
I-337
105
pri čemer pomenijo, αn koeficient prestopa toplote iz notranje strani dane i-te
površine (glej Tabelo II), dm pomeni debelino m-tega (posameznega) sloja, ki
TABELA IX
d z m2 K 
λ z  W 
Upor prehoda toplote zračnega sloja
Debelina zračnega sloja, dz
Lega zračnega sloja
1 cm
2 cm
5 cm
10 cm
15 cm
20 cm
navpično
0.154
0.172
0.18
0.18
0.189
0.189
horizontalno, topla stran spodaj
0.137
0.154
0.163
0.163
0.163
0.163
horizontalno, topla stran zgoraj
0.154
0.189
0.215
0.232
0.232
0.24
sestavlja i-ti (večslojni) zid pri čemer je koeficient, λm, toplotne prevodnosti danega
m-tega sloja podan v Tabeli I, 1/λz je upor prevajanja toplote skozi zračni sloj (dane
debeline dz), kjer se toplota prenaša s konvekcijo in sevanjem, Tabela IX ter αz
pomeni koeficient prestopa toplote iz zunanje strani določene površine (Tabela II).
Za standardne primere oken in vrat so koeficienti prehoda toplote, t.j. faktor U,
podani v Tabeli X.
106
TABELA X
Koeficienti prehoda toplote, faktorji U, za okna in balkonska vrata
U
[W/m2 K]
Okenski okvirji iz lesa, PVC ali kombinirani
dvojno okno z razmaknjenimi krili
enojno okno z vezanimi krili ( z dvema izolacijskima stekloma)
enojnookno z vezanimi krili (1 x izolacijsko steklo, 1 x navadno steklo)
enojno z vezanimi krili (krilo na krilo)
enojno s trikratnim izolacijskim steklom (razdalja med stekli 2 x 12 mm)
enojno okno z dvojnim izolacijskim steklom (razdalja med stekloma 12 rnrn)
enojno z dvojnim izolacijskim steklom (razdalja med stekloma 6 mm)
2.6
1.7
2.0
2.8
1.9
3.0
3.3
Okenski okvirji iz toplotno izoliranih kovinskih profilov
enojno okno z vezanimi krili (z dvema izolacijskima stekloma)
enojno okno z vezanimi krili (1 x izocijsko steklo,1x navadno)
enojno okno z vezanimi krili (krilo na krilo)
enojno okno s trojnim izolacijskim steklom (razda1ja med stekli 2 x 12 rnrn)
enojno okno z dvojnim izolacijskim steklom (razda1ja med stekloma 12 mm)
enojno okno z dvojnim izolacijskim steklom (razdalja med stekloma 6 mm)
2.0
2.6
3.0
2.1
3.3
3.5
Kovinski ali betonski okvirji
enojno okno z vezanimi krili (z dvema izolacijskima stekloma)
enojno okno z vezanimi krili (1 x izolacijsko steklo, 1 x navadno)
enojno okno z vezanimi krili (krilo na krilo)
enojno okno s trojnim izolacijskim stek1om (razda1ja med stekli 2 x 12 rnrn)
enojno okno z dvojnim izolacijskim stek1om (razda1ja med stekloma 12 rnrn)
2.3
2.8
3.3
2.3
3.5
V izrazu (I-336) nastopajo notranje in zunanje projektne temperature, ki se jih
določi posebej. Notranja projektna temperatura Tn je temperatura, ki jo je potrebno
stalno vzdrževati v določenem ogrevanem prostoru zgradbe. Temperaturo se meri v
težišču tlorisa prostora, v višini 1,5 m od tal, s termometrom, zaščitenim pred
zračnimi tokovi. Vrednosti notranjih projektnih temperatur so odvisne od namena
zgradbe in danega prostora in so zapisane v Tabeli XI.
91
TABELA XI.
Standardne notranje projektne temperature, Tn
1. Stanovanjske stavbe
-dnevna soba, spalnica, kuhinja
-kopalnica
-WC, ločeni
-vzporedni prostori (predsobe, hodniki)
Tn [o C]
20
24
15
15
2. Poslovni prostori
-kabineti, biroji, pisarne, knjiznice, ateljeji, lokali,
konferenčne sobe itd.
-pomožni prostori, hodniki
20
15
3. Trgovine
-prodajni prostori, glavna stopnišča
-prodajalne živil
-pomožni prostori
20
18
15
4. Hotelsko-gostinski lokali
-hotelske sobe, dvorane, avle, knjižnice, upravni prostori
-kopalnice
-pomožni prostori
20
24
15
5. Šolski objekti
-učilnice, večnamenski prostori, avle, knjižnice,
upravni prostori
-šolske kuhinje
-delavnice (odvisno od fizičnega napora)
-zdravniški kabineti, kopalnice, tuši
-pomožni prostori
20
18
15-20
24
15
6. Gledališke in koncertne dvorane
-vključno s preddverji
-vzporedni, pomožni prostori
20
15
7. Cerkve
-cerkveni prostori na splošno
15
8. Bolnišnice
-operacijske sobe, prostori za anestezijo, prostori za
pripravo, prostori za nedonošenčke
-vsi ostali prostori
25
22
9. Prostori za proizvodnjo in delo
-splošno, najmanj
-pri sedečem delu
15
20
10. Zaprti plavalni bazeni
-bazenske dvorane (sicer najmanj 2°C več, kot je temperatura vode)
-drugi kopalniski prostori (tuši)
-garderobe, vzporedni prostori, stopnišča
28
24
22
107
Zunanja projektna temperatura Tz je temperatura, s katero pri preračunavanju
potrebne količine toplote za ogrevanje upoštevamo k1imatske razmere kraja, kjer je
ogrevani objekt.
Vrednosti zunanjih projektnih temperatur za nekatere kraje v Sloveniji so podane na
osnovi dogovorjenih k1imatskih področij Slovenije. V splošnem se lahko zapiše, da
leži severna in južna Primorska v I. klimatski coni, kjer je predpisana Tz = -12 0C,
severovzhodni in osrednji del Slovenije nekako do veznice Jelšane-Jesenice skupaj z
Dolenjsko in Gorenjsko se nahaja v III klimatskem področju s predpisano Tz = -24 oC,
preostanek (del Notranjske in del Gorenjske) pa je v II klimatskem področju, za
katero je značilna zunanja temperatura Tz = -18 oC.
Količina Q& 0, enačba (I-335), t.j. transmisijska toplotna izguba, ki se izračuna
posebej za vsak prostor zgradbe pri čemer se upošteva vse površine danega prostora
in rezultat sešteje za vse prostore. Izkustva kažejo, da je tako izvrednotena ocena
celotnih toplotnih izgub dokaj konservativna in so dejanske izgube večje kot
ocenjeno. Empirično je bilo ugotovljeno, da je v splošnem potrebno transmisijske
toplotne izgube povečati s t.im. »Z« faktorjem, ki je v splošnem vsota posameznih
členov,
Z = 1 + Zn + Zh + Zs
I-338
kjer je Zn faktor, ki upošteva prekinjeno ogrevanje, Zh faktor, ki podaja vpliv hladne
zunanje površine in Zs je člen, ki podaja vpliv orientacije površine z ozirom na strani
neba.
Celotne transmisijske izgube dane zgradbe se torej ocenijo po obrazcu,
Q& t = Q& 0 Z = Q& 0 (1 + Zn + Zh + Zs)
1.4.1.1
I-339
Ocena z – faktorjev
Kot že ime samo pove so Z-faktorji izkustvene približne vrednosti za katere pa
se izkaže, da je umestno, če se jih navaja z ozirom na pričakovane karakteristike
termotehničnih lastnosti danega prostora, ki se v praksi izraža, kot t.im. vrednost D.
Vrednost D je podana z definicijo,
D =
Q& 0
S celotna (Tn −Tz )
I-340
(enota D je W/(m2K)) kjer pomeni Q& 0 transmisijsko toplotno izgubo brez vseh
dodatkov, Scelotna je celotna površina danega prostora (stene plus tla plus strop), Tn je
notranja projektna temperatura prostora in Tz je zunanja projektna temperatura (ki
zavisi od klimatske zone).
a)
Zn -
dodatek za prekinitev ogrevanja
Notranjost prostorov se v kurilni sezoni nahaja na dani (projektni) temperaturi,
ki ga vzdržuje sistem ogrevanja (dovajanje toplote). Dovod toplote največkrat ni
108
enakomeren in zvezen marveč zavisi od režima obratovanja. V tem smislu se v
splošnem razločuje tri različne režime obratovanja grelnih teles in sicer:
1. neprekinjeno obratovanje z zmanjšanim ogrevanjem ponoči,
2. dnevna 9 - 12 urna prekinitev ogrevanja in
3. dnevna 12 – 16 urna prekinitev ogrevanja
Z ozirom na dejstvo, da naj notranja predpisana temperatura ne pade pod minimalno
projektno temperaturo je zato potrebno dovod toplote prilagoditi nastalim izgubam.
Slednje pa zavisijo od vrste izbranega režima dovajanja toplote. Tako je n.pr privzeto,
da za 1. režim obratovanja znaša faktor Zn približno 0.1, t.j. 10%, za 2. režim
približno je Zn = 0.2 in za tretjega, Zn = 0.3. Nekoliko izbojšane ocene faktorja Zn se
doseže z uporabo izračunane vrednosti D. Odvisnost faktorja Zn v odvisnosti od
vrednosti D, kjer je parameter režim obratovanja toplotnega ogrevanja, je prikazan na
diagramu 1.1.
Primer:
Pri majhni vrednosti D, to je tedaj, ko so transmisijske toplotne izgube na enoto
površine prostora in na enoto temperature majhne, je potrebno delež toplote, ki se
izgublja skozi površine prostora nadomestiti samo zaradi prekinjenega režima
ogrevanja, diagram 1. Z rastočo vrednostjo D v dani prostor prehaja toplota iz
sosednjih prostorov zato je vpliv režima obratovanja ogrevanja manj izrazit,
posledično se zato faktor Zn zmanjšuje, je pa seveda še vedno odvisen od režima
obratovanja. Tako n.pr. če je D = 0, tedaj je Zn za režim 1 približno 0.8, za režim 2 je
Zn = 0.2 in za režim 3 je Zn = 0.3. V primeru, ko je D = 1 W/(m2 K) so faktorji Zn
enaki: 0.04 (režim 1), 0.09 (režim 2) in 0.14 (režim 3), glej diagram 1.
109
b) Dodatek, ki upošteva hladne zunanje stene, Zh
V primeru, da dani prostor vsebuje večje steklene površine (povečane toplotne
izgube, toda to tudi hkrati pomeni, da prostor meji na zunanjost), ali pa je slabše
toplotno izoliran proti zunanji okolici nastopajo velike temperaturne razlike med
notranjostjo prostora in temperaturo površin, ki mejijo navzven. Izgube, ki nastopijo
zaradi zapisanih dejstev se izravnava z ustreznim dodatkom, t.j. s faktorjem Zh.
c) Zd faktor – združeni dodatek k transmisijski toploti
Tako dodatek za prekinitev ogrevanja, kot dodatek, ki upošteva hladne zunanje
zidove, zavisita od vrednosti D danega prostora, zato se ju, na osnovi empiričnih
izkustev, združi v združeni faktor Zd = Zn + Zh. Slednji, Zd, je prikazan v Tabeli
XII.
TABELA XII
Vrednosti združenega faktorja Zd v odvisnosti od parametra D
Vrednost D
Način ogrevanja
[W/(m2K)]
0.1 – 0.29
0.3 – 0.69
0.7 – 1.49
1.5
1. zmanjšano obratovanje
0.07
0.07
0.07
0.07
2. 9 – 12 urna prekinitev
0.2
0.15
0.15
0.15
3. 12 – 16 urna prekinitev
0.3
0.25
0.20
0.15
d) Dodatek za strani neba Zs
Zunanje stene zgradbe obrnjene proti soncu so zaradi sončnega sevanja
toplejše kot tiste, ki so orientirane proti severu, oziroma tiste, ki so pred soncem
zastrte. To razliko upošteva dodatek za strani neba, faktor Zs, ki ga podaja Tabela
XIII. Ob tem je potrebno poudariti, da se toplotne izgube zmanjšajo, če zunanji zidovi
zaradi bližine sosednjih zgradb niso osončeni, kar velja predvsem za spodnja
nadstropja zgradb, ki se nahajajo v ozkih ulicah.
110
TABELA XIII
Vrednosti dodatka Zs v odvisnosti od orientacije zunanjega zidu
Strani neba:
J
Faktor Zs
-0.05
JZ
Z
SZ
S
SV
V
JV
-0.05
0
+0.05
+0.05
+0.05
0
-0.05
1.4.1.2 Toploti tok Q& v potreben za nadomestilo izgub zaradi vetra
Poleg transmisijskih toplotnih izgub Q& 0 je potrebno upoštevati toplotne
izgube, ki jih povzroči vdor hladnega zraka v ogrevani prostor. Hladni zrak prodre v
prostor skozi špranje pri vratih in oknih njegov vpliv pa je zlasti izrazit tedaj, ko
vstopa v prostor pod vplivom vetra. Zaradi zastojnega tlaka, ki natane ob zidu tedaj,
ko pade hitrost zračnih mas na nič, je tedaj zračni tlak na zunanji strani zidu nekoliko
večji tako, da je tlačna razlika med zunanjostjo in notranjostjo v primeru vetra
približno podana z izrazom
∆p =
ρz v2
2
I-341
kjer je ρz gostota zraka, v pa povprečna hitrost vetra (gibanja zračne mase) na
območju, kjer ni ovir. Opisani pojav je, zaradi nastale tlačne razlike, tem večji, čim
večja je hitrost zraka. Hladni zrak, ki prodre v notranjost danega prostora, znižuje
temperaturo zraka v njem. Za segrevanje tako ohlajenega zraka nazaj na prvotno
temperaturo je potrebno dovesti toplotni tok Q& v, ki se ga oceni po obrazcu,
Q& v = [ ∑ (α ⋅ l ) ] . R . H . (Tn – Tz) . Zc
I-342
kjer simboli pomenijo:
α podaja propustnost špranj (enota je m3/hm)
l
podaja dolžino okenske ali vratne špranje (enota je m)
R podaja karakteristiko prostora (W/m3 K)1/2
H podaja karakteristik stavb (W/m3 K)1/2
Tn in Tz
sta temperaturi notranjega in zunanjega zraka
Zc
dodatek za okna: Zc = 1.0 v splošnem, razen v primerih, ko so okna
nameščena tako, da si stojijo nasproti, ko je Zc = 1.2
V zgornjem izrazu, (I-326) pomeni simbol ∑ (α ⋅ l ) seštevek produktov dolžin špranj
in njihovih propustnosti (n. pr. v smislu propustnosti špranje za primer na strani 35,
kjer je α podan z enačbo I-108). Propustnost špranj, oken in vrat podaja Tabela XIV.
111
TABELA XIV
Propustnost špranj, oken in vrat
Okno
α [m3/hm]
leseno ali iz umetnih smol
enojno
vezano
dvojno ali enojno z zajamčenim tesnenjem
3.0
2.5
2.0
kovinsko
enojno
vezano
dvojno ali enojno z zajamčenim tesnenjem
1.5
1.5
1.2
notranja vrata
ne tesnijo (brez praga)
tesnijo (s pragom)
40.
15.
Karakteristika prostora R
Karakteristiko prostora opredeljujejo špranje. Odvisna je od propustnosti oken
in vrat za zrak, ki prodira v prostor in propustnosti za zrak, ki uhaja iz prostora. V
splošnem gre pri tem za dvoje različnih vrednosti, ki jih izraža kvocient zunanjih in
notranjih površin oken in vrat.
Karakteristiko prostora R, osnovano na izkušnjah, podaja Tabela XV.
TABELA XV
Karakteristika prostora R
Okna
[W/m3K]1/2
Notranja vrata
Azun/Anot #
R
lesena in iz umetnih smol
me tesnijo
tesnijo
<3
< 1.5
0.9
Kovinska
ne tesnijo
tesnijo
<6
< 2.5
lesena in iz umetnih mas
ne tesnijo
tesnijo
3–9
1.5 – 3
ne tesnijo
tesnijo
6 – 20
2.5 – 5
kovinska
#
0.7
Azun površina zunanjih oken in vrat
Anot površina notranjih oken in vrat
112
Karakteristika stavbe H
Ocena s katero se podaja izpostavljenost stavbe vetru, splošno vrednost
pokrajine, kjer je postavljena zgradba in gradbeni tip stavbe podaja t.im. karakteristika
stavbe H, Tabela XVI.
TABELA XVI
Karakteristika stavbe H
H [ W/m3K]1/2
stavba v nizu
Pokrajina
Lega
normalna pokrajina
zaščitena lega
odprta lega
izrazito odprta lega
0.24
0.41
0.60
0.34
0.58
0.84
vetrovna pokrajina
zaščitena lega
odprta lega
izrazito odprta lega
0.41
0.60
0.82
0.58
0.84
1.13
1.5
prostostoječa stavba
Določevanje potrebne toplote
Na osnovi predhodnih spoznanj je ocena za potrebni toplotni tok dane zgradbe
podana z izrazom,
Q& = Q& 0 (1 + Zd + Zs ) + Q& v
I-343
Ta izračun je v praksi izveden – zaradi preglednosti- na posebnih mamenskih
formularjih, pri čemer se pri oceni potrebne količine toplote za posamezne gradbene
površine, oziroma elemente, uporablja naslednje dogovorjene označbe:
OE
OKK
OD
ODZ
SE
SD
T
VN
VZ
VB
ZN
ZZ
S
enojno okno
okno, krilo na krilo
dvojno okno
okno, dvojna zasteklitev
svetlobni izvor, enojni
svetlobni izvor, dvojni
tla
notranja vrata
zunanja vrata
balkonska vrata
notranji zid
zunanji zid
strop
113
Ocena potrebnega toplotnega toka (in s tem zagotovitve potrebne toplote Q =
&
Q t) je izvedena na osnovi zahtevane projektne dokumentacije, ki jo oskrbi investitor.
Ta dokumentacija je opisana spodaj.
1. Situacijski načrt podaja strani neba in smeri vetra, prav tako pa podaja vplive
drugih stavb in okolice na karakteristiko zgradbe (n.pr. višina in oddaljenost
sosednjih zgradb).
2. Prerezi. Na njih morajo biti vidne svetle višine prostorov, etažne višine
okenskih okvirov, oken in vrat.
3. Gradbeni opis. Za vse gradbene elemente in sestavne dele so potrebni podatki
o toplotni prevodnosti in podrobnosti o konstrukciji in izgradnji (uporabljeni
materiali, debeline slojev, gostoti materiala, itd). Pri opisu oken in prav tako za
primer zunanjih vrat, so potrebni podatki o načinu zasteklitve, sestava
okenskih okvirjev, dolžini okenskih špranj in pripadajočih propustnostnih
koeficientih. Pri vratih je potrebno navesti podatke o materialih uporabljenih
za izdelavo, velikosti zastekljenega dela ter o prepustnosti zraka ter dejstvo, če
je predviden prag.
4. Namembnost prostora. Za vsak prostor mora biti podan opis namenov za
katere je prostor projektiran.
5. Izbira temperature. Standardna zunanja temperatura je določena s klimatsko
cono v kateri se nahaja stavba, notranja temperatura pa je določena z
namenom uporabe.
Na osnovi tako določene ocene za potrebno toploto ogrevanja zgradbe se pristopi
k projektiranju ogrevalnih naprav, ki se zaključi s projektom načina njenega
prezračevanja.
114
1.6 OCENA TOPLOTNIH IZGUB ZGRADBE ZA PRIMER STACIONARNEGA
STANJA
Materiali iz katerih je zgrajena zgradba so boljši ali slabši toplotni prevodniki,
poleg tega pa povzročajo toplotne izgube še vrsta drugih činiteljev, kot n.pr., različne
netesnosti, vpliv vetra, padavine, izmenjava notranjega zraka (prezračevanje) in
podobno.
V splošnem se toplotne izgube delijo na:
e) delež toplotnih izgub, ki jih je moč oceniti analitično, kjer gre za prevajanje in
prestop toplote skozi zidove, okna, strehe, balkone, itd, na prosto, t.im.
transmisijske izgube in
f) delež toplotnih izgub, ki nastane zaradi prezračevanja, kar je ekvivalentno
toploti potrebni za segrevanje zraka, ki kroži po zgradbi.
V splošnem, se transmisijske izgube lahko na osnovi projektnih zasnov, oziroma
izvedbenih projektov, ocenijo dokaj natančno, dočim so izgube zaradi prezračevanja
(kamor sodijo vplivi netesnosti različnih rež, vetra, vlage,itd.) ocenjene na podlagi
empiričnih preiskusov in so rezultat inovacijskih dosežkov v stavbarstvu.
Vsi ti vplivi zajeti skupaj se odražajo v izgubi toplote, to je celotnih toplotnih
izgubah stavbe, Q1, ki jo je zato potrebno nadomestiti z ustreznimi grelnimi telesi, pri
čemer predstavlja količina Q1 toplotne izgube izračunane za ogrevalno sezono enega
leta! Iz definicije sledi, da je vrednost celotnih toplotnih izgub Q1 v primerih, ko je
zunanja temperatura enaka ali večja, kot je temperatura v notranjosti zgradbe Q1
identično nič, t.j. Q1 ≡ 0.
Celotne toplotne izgube Q1 so podane z naslednjim izrazom,
Q1 =
H × DD
I-344
kjer je H koeficient celotnih toplotnih izgub stavbe (enota je W K-1) in DD t.im.
temperaturni primanjkljaj (enota je dan K) in predstavlja razliko med notranjo
temperaturo v ogrevanem prostoru (t.j. 200 C po dogovoru) in povprečno dnevno
zunanjo temperaturo zraka. Temperaturni primanjkljaj upošteva le dneve, ko je
povprečna zunanja temperatura zraka nižja od 120 C in je podan, za posamezno
geografsko območje v tabelah (glej n.pr. Uradni list RS št. 42/2002). Tako n.pr. znaša
temperaturni primanjkljaj DD za južno primorsko cono 2400 dni K za koroško regijo
pa DD = 4000 K dan. Povprečna dnevna temperatura zraka, Td, je definirana z
meritvami temperatur zraka izvedenimi ob 7 h, 14 h in 21 uri po srednjeevropskem
času,
Td = ¼ (T7 + T14 + 2 T21)
I-345
Koeficient H, t.j. koeficient skupnih toplotnih izgub ogrevanega prostora, je
definiran kot vsota koeficienta transmisijskih toplotnih izgub HT in koeficienta
toplotnih izgub zaradi prezračevanja, HV,
H = HT + HV
I-346
V izrazu I-346 zapisani koeficient transmisijskih toplotnih izgub, HT, je
neposredno povezan s toplotnimi izgubami skozi ovoj stavbe iz ogrevanih prostorov v
zunanjost, toplotnih izgub skozi tla in toplotnih izgub skozi neogrevane prostore dane
stavbe. Podan je z enačbo,
115
HT = LD + LS + HU
I-347
pri čemer LD pomeni specifične toplotne izgube skozi ovoj stavbe iz ogrevanega
prostora v zunanjost, LS specifične toplotne izgube skozi tla in HU specifične toplotne
izgube skozi neogrevane prostore.
V splošnem standardi priporočajo, da se neposredne specifične toplotne izgube
skozi ovoj stavbe izračunajo po izrazu,
LD =
∑AU
i
i
+
i
∑I
k
Ψk +
k
∑X
I-348
j
j
kjer je Ai površina i-tega dela ovoja stavbe, Ui njegova toplotna prehodnost, Ik je
dolžina k-tega linijskega toplotnega mostu (enota je m), Ψk je njegova toplotna
prehodnost (enota je W/(mK)) in Xj je točkovna toplotna prehodnost j-tega
točkovnega toplotnega mostu (enota je W/K). Toplotni most je področje v ovoju
zgradbe, kjer je prehod toplote povečan in nastane zaradi spremembe materiala,
projektnih debelin ali pa geometrije konstrukcije. Toplotni mostovi so podani v
standardu SIST EN ISO 14683 ali pa v katalogih toplotnih mostov.
Alternativni izračun neposrednih specifičnih toplotnih izgub skozi ovoj
zgradbe iz ogrevanega prostora v zunanjost podaja izraz,
LD =
∑AU
i
i
+
i
∑I
k
k
Lk
2D
+
∑L
3D
j
I-349
j
kjer pomenita Lk2D in Lj3D izračunano dvodimenzionalno in tridimenzionalno linijsko
toplotno prehodnost skladno predpisanim standardom (EN ISO 10211).
Zapisane vrednosti toplotnih mostov so običajno podani v standardih ter v
katalogih toplotnih mostov toda v splošnem je namesto teh vrednosti, v primerih
obstoja običajnih toplotnih mostov (in zgradbah ne prevelike uporabne površine),
enostavneje računati na način, da se vrednost toplotne prehodnosti cele konstrukcije
poveča za 0.1 W/(m2K).
Transmisijske toplotne izgube skozi talne površine LS so podane z enačbo,
LS = A U0 + Otal ∆ψ
I-350
kjer je U0 toplotna prehodnost tal (izračun za različne primere podaja standard EN
ISO 13370), A je površina tal, Otal je obseg tal in ∆ψ je linearni popravek, ki upošteva
rob tal.
Koeficient toplotnih izgub zaradi prezračevanja HV, enačba I-135, podaja
standard EN 832, ki definira,
HV = n° V ρz cp
I-351
kjer je n° minimalna stopnja izmenjave zraka v zgradbi (za povsem tesne prostore n°
= 0, za tesne prostore s tesnimi okni in vrati je n° = 0,5, za prostore z manjšimi
odprtinami za prezračevanje je n° = 1, za prostore z odprtinami je n° = 5 in za
prostore s stalnim prepihom je n° = 10), V je neto prostornina ogrevanega prostora in
produkt, t.j. prostorninska toplotna kapaciteta zraka, ρz cp, ki znaša 1200 J(m3 K).
Celotne toplotne izgube v eni ogrevalni sezoni, Q1, ob predpostavki
konstantne temperature v notranjosti, je tedaj,
116
Q1 = H (Tzunaj - Tznotraj) t = H × DD
I-352
kjer pomeni t trajanje celotne ogrevalne sezone enega leta.
Toda v vsaki (naseljeni) zgradbi obstaja vrsta energijskih virov, ki oddajajo
toploto neodvisno od ogrevalnih teles. Najpomembnejši tovrstni izvori so n.pr.,
sevanje uporabnikov, energija svetil in raznovrstnih naprav (hladilniki itd.) in toplota
ogrevane sanitarne in odpadne vode. V primerih, ko ne obstajajo posebni predpisi, ki
bi opredeljevali te t.im. notranje toplotne dobitke, Qi, se le-ta računa z izrazom,
Qi = Φi t
I-353
kjer se za notranje toplotne pritoke vzame priporočeno vrednost Φi = 5 W/m2
pomnoženo s površino ogrevanega prostora, t pa je računsko obdobje ogrevanja.
Poleg notranjih toplotnih dobitkov je pomemben energijski vir predvsem
sončno sevanje, Qs, ki zavisi od orientacije obsevanih elementov, trajnega zasenčenja
ter karakteristik prepustnosti in absorpcije obsevanih površin (stekla, zidovi, tla, itd.).
Dobitki energije sončnega sevanja se izračunajo na naslednji način,
Qs =
∑I ∑A
sj
j
snj
,
I-354
n
kjer pomeni Isj skupno energijo sončnega obsevanja (v računskem obdobju) na enoto
površine katere orientacija je podana z indeksom j in Asnj je n-ta površina
izpostavljena sončnemu obsevanju katere orientacijo opredeljuje indeks j.
Za zastekljeni del ovoja stavbe je efektivna zbirna površina (n.pr. okna) As
podana z izrazom,
As = g A Fs Fc Ff
I-355
kjer je A velikost zbirne površine (okna, steklene stene, in pd.), Fs je faktor
osenčenosti, Fc faktor zaves, Ff faktor okvirja (razmerje stekla s celotno površino
zastekljenega elementa) in g pomeni celotno transmisivnost sončne energije.
K toplotnim izgubam stavbe je potrebno prišteti toplotne dobitke, pri čemer je
potrebno upoštevati še dodatne zahteve, n. pr. preprečitev kondenzacije vodne pare,
predpisane največje dopustne vrednosti toplotne prehodnosti, vključitev sprejemnikov
sončne energije (kolektorjev) in hranilnikov toplote, itd. Podrobnosti so razdelane v
standardu SIST EN 832 iz l. 1998 z naslovom »Toplotne karakteristike stavb-Izračun
potrebne energije za ogrevanje- Stanovanjske zgradbe«, oziroma v originalu
»Thermal performance of buildings-Calculation of energy use for heating-Residental
buildings«.
117
1.7 TOPLOTNA IZOLACIJA
1.7.1 Splošno
Vse trdne in tekoče snovi prevajajo toploto s kondukcijo (prevajanje toplote
ne, da bi se ob tem razvili snovni tokovi), tekočine predvsem pa plini pa s konvekcijo,
ki je zapleten fizikalni pojav in se ga večinoma obravnava na osnovi empiričnih
spoznanj. Kjerkoli nastopa temperaturna razlika le-ta posledično nujno privede do
toplotnih tokov (toplota je energija, ki se prenaša ob stiku dveh teles z mesta višje na
mesto nižje temperature), ki jih –v praksi- ni mogoče preprečiti. Z ustrezno izbiro
materiala je mogoče prehajanje toplote zgolj zmanjšati, z ustrezno izbiro toplotne
izolacije, toda to le do meje ekonomske upravičenosti, ki takšno izbiro narekuje.
Toplotni tokovi med zgradbo in okolico potekajo pozimi v obratni smeri kot
poleti in so ob največjih temperaturnih razlikah nezaželeni. Iz ekonomskih in
fizioloških razlogov jih je zato potrebno zmanjšati na še sprejemljivo mejo, kar se pa
ekonomsko najustreznejše doseže že v začetni fazi načrtovanja (projektiranja)
zgradbe. V tej fazi je zlasti potrebno v kar največji možni meri zagotoviti, da:
• se za zunanje stene, tla, strope, okna in balkonska vrata izberejo najustreznejši
materiali, ki zadoščajo tako konstrukcijskim kot toplotnim zahtevam,
• se toplotne mostove zmanjša na minimum
• se zagotovi čim večja tesnost oken in vrat tako, da poteka zračenje izključno
po zračnih kanalih
• poseduje stavba čim manjšo površino zunanjih zidov
• je toplotna izolacija nameščena na zunanji strani zidov in stropov (v kolikor je
izolacija nameščena na notranji strani mora posedovati čim večjo specifično
toploto tako, da se tam nabira čim večja akumulacijo toplote)
Delež in področja toplotnih izgub skozi stavbo prikazuje skica 1.53
Skica 1.53
118
1.4.1
Materiali za toplotno izolacijo
Na tržišču je vrsta najrazličnejših materialov za toplotno izolacijo, ki se
razlikujejo po namenu uporabe. Z ozirom na uporabo se izolacijski materiali za
zmanjšanje toplotnih izgub razdelijo na spodaj razvrščene najpomembnejše skupine.
1. Izolacijski material v zvitkih: kamena volna, steklena volna, polistiren,
polietilen, pluta, organska in sintetična klobučevina. Običajno je snov na eni
strani oblepljena z aluminijasto, papirnato ali bitumensko folijo. Debelina
izolacije je 2 – 24 cm, širina 60 – 120 cm, dolžina traku pa od 6 –10 m.
Uporablja se za izolacijo strešnih konstrukcij.
2. Mehke in poltrde izolacijske plošče: kamena volna, steklena volna, polistiren,
mešanica stiropora lesenih vlaken povezanih s cementnim vezivom, organska
in sintetična klobučevina, pluta. Debelina izolacije je 1 – 14 cm, dolžina plošč
je od 50 – 200 cm. Uporabne so za toplotno izolacijo sten in tal, kot n.pr.
fasade, mansarde, izolacije med kletmi in previsi itd. Nekatere plošče so zelo
dobra podlaga za omet.
3. Trde izolacijske plošče: kamena in steklena volna, poliuretan, perlit, pluta,
lesna volna (vezivo cement), penasta guma. Običajne površina plošč so 50 x
200 cm, debeline pa od 2.5 – 10 cm. Vgrajujejo se v montažne elemente za
izdelavo predelnih sten in stropov, za opaž-enje betonskih konstrukcij kot
izgubljen opaž ter za izdelavo plavajočih podov. Plošče izdelane iz
vodoodporne mineralne volne ter posebnih cementnih mas so uporabne v
pogojih protipožarne in protihrupne zaščite ter so skoraj neobčutljive na
običajne kemijske vplive.
4. Utorjene plošče: polistiren, poliuretan. Utori zagotavljajo vsaj delno
neprekinjeno toplotno izolacijo, kar zmanjšuje vpliv toplotnih mostov.
Uporabljajo se za toplotno izolacijo fasad in streh.
5. Večplastne plošče: so sestavljene iz vrste različnih materialov s čimer se
zagotavlja dobra toplotna izolacija, konstrukcijska trdnost in kakovosten
zaščitni sloj.
6. Izolacijski trakovi: kamena in steklena volna, poliuretan, polietilen.
Uporabljajo se za zvočno izolacijo pri plavajočih estrihih, toplotno in zvočno
izolacijo podbojev in pd.
7. Drugi izolacijski materiali: izolacijska pena, omet, zrnati material, itd.
Uporabljajo se za izolacijo podbojev, cevi, sanitarne opreme, utorov, razpok in
podobno.
V Sloveniji se za toplotno izolacijske namene najpogosteje uporabljajo
proizvodi podjetij Novolit, Nova vas na Blokah, TIM Laško, Termo, Škofja Loka,
Pfleiderer, Novo Mesto, Terranova, Ljubljana, Izolirka, Ljubljana, Rockwool,
Ljubljana. Večino podatkov o proizvodih, namenu uporabe in lastnostih je mogoče
poiskati na spletnih straneh pod naslovom: http://www.peg-online.net.
Najboljši toplotni izolator je mirujoči suh zrak, torej zrak kjer je
onemogočene toplotna izmenjava s konvekcijo (s snovnimi tokovi). V splošnem velja
empirična ugotovitev, da je koeficient toplotne prevodnosti v obratnem sorazmerju z
gostoto snovi. Voda (vodna pare) je sorazmerno gosto sredstvo, zato se povsod tam,
kjer voda prodre v sloje toplotne izolacije toplotne izgube povečajo, hkrati pa ob
zmrzovanju prihaja do mehanskih poškodb in posledično odstopanja danega toplotno
izolirnega sloja. Iz zapisanega razloga se zato toplotna izolacija na strani podvrženi
vplivom vlage ali zunanjim vplivom, z t.im. parno zaporo zavaruje pred vstopom
119
vlage. Parna zapora predstavlja posebna, za vodo nepropustna tanka folija, običajno
na osnovi poltena, lahko pa je iz aluminija.
Zgled toplotne izolacije je podan na skicah 1.54 in 1.555
Skica 1.54.
priporočljivo
Izolacija betonske stene s toplotno izolacijo: a-pomanjkljivo, b-
Skica 1.55 zgoraj - toplotna izolacija AB stropa nad katerim je podstrešje
spodaj - toplotna izolacija lesenega stropa proti podstrešju
120
1.7
NESTACIONARNO PREVAJANJE TOPLOTE
1.7.1 DIFUZIJSKA ENAČBA
V prejšnjem poglavju je bila podana definicije gostote toplotnega toka,
matematični obliki kot,
v
j =
- λ grad T
v
j, v
I – 356
v
pri čemer sta toplotni tok, P, in gostota toplotnega toka j povezana z izrazom
P =
v )
v v
∫ j ⋅ dS = ∫ j ⋅ ndS
I – 357
S
)
kjer je n enotni vektor normale na infinitesimalni element ploskve dS in integral poteka po
površini S.
Če se integrira izraz (I-356) po poljubni zaključeni površini je tedaj dobljeni toplotni
tok skozi zaključeno površino enak množini toploti, ki v enoti časa preide skozi to zaključeno
površino,
Pcelotni =
v
)
∫ j ⋅ ndS
=
S
dQ
dt
I – 358
Toda v primeru trdnih teles in tekočin, ki so podvrženi toplotnim spremembam je sprememba
notranje energije telesa enaka,
dWn = m cV dT ≈
m cP dT ≡ dQ
I – 359
saj je za trdna telesa in tekočine, v prvem približku, mogoče privzeti, da je
cV ≅ cP
I – 360
in zato v prvem približku velja,
v )
∂T
∫ j ⋅ ndS = - m cP ∂t
S
I – 361
V enačbi (I-361) je vstavljen predznak minus zato ker je celotni toplotni tok skozi zaključeno
površino, ki izhaja iz telesa enak odvedeni toploti na časovno enoto.
Izraz na levi se lahko poenostavi s pomočjo Gaussovega izreka,
v
)
∫ j ⋅ ndS
S
=
v
∫ div j dV
I – 362
121
ki pravi, da je integral gostote toplotnega toka po zaključeni površini enak prostorninskemu
integralu divergence gostote toplotnega toka po celotni prostornini, ki jo zaključena ploskev
obdaja.
Iz poslednjih dveh izrazov sledi,
v
∂T
div
∫ j dV + m cP ∂t = 0
I – 363
oziroma,
 v
∫  div j +
V
ρcP
∂T 
 dV = 0
∂t 
I –364
Dobljeni izraz predstavlja ohranitev toplotnega toka in je torej kontinuitetna enačba za
prevajanje toplote, ki se zapiše v alternativni obliki, kot
v
div j =
-
ρ cP
∂T
∂t
I - 365
Na tem mestu je potrebno dodati, da v primeru, ko so v notranjosti zaključene površine še
kakšni izvori toplote (n.pr. snovi, ki so podvržene kemijskim spremembam, radioaktivni
izvori in pd.) tedaj je potrebno ta del prišteti na desni strani dobljenega izraza tako, da je
v
div j = -
ρ cP
∂T
+ q
∂t
I–366
Tu je q toplotni tok na enoto prostornine, ki se poraja znotraj zaključene površine. V
nadaljnjem bomo privzeli, da je q identično enak nič, t.j. da ni izvorov (ali ponorov) toplote
znotraj zaključene površine.
Z uporabo enačb (I-356) in (I-369) se dobi,
div grad T =
ρcP ∂T
λ ∂t
I –367
pri čemer je privzeto, da je snov homogena in sta zato gostota ter koeficient toplotne
prevodnosti konstanti po celem telesu.
Toda div grad je enaka Laplaceovemu operatorju,
div grad = ∇⋅∇ = ∇2
I –368
ki se, zapisan v kartezičnem koordinatnem sistemu, glasi,
122
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
∇2 =
I– 369
Če se vpelje nova konstanta D, kjer je
D =
λ
ρcP
I –370
t.im. »difuzijska« konstanta prevajanja toplote, se splošna parcialna diferencialna enačba
nestacionarnega prevajanja toplote zapiše v obliki,
∇2 T =
1 ∂T
D ∂t
I–371
Laplaceov operator ∇2 zapisan v kartezičnih koordinatah je podan z enačbo (I-369). Iz
matematike je poznano, da se ta operator zapiše v prostorskem cilindričnem koordinatnem
sistemu v obliki,
∇2 =
1 ∂  ∂  1 ∂2
∂2
+
r + 2
r ∂r  ∂r  r ∂ϕ 2 ∂z 2
I–372
v krogelnih koordinatah pa,
∇2 =
1.7.2
∂2
∂ 
∂ 
1  ∂ 2 (r ) 
1
1


+
+ 2
 sin ϑ

2 
2
2
2
∂ϑ 
r  ∂r  r sin ϑ ∂ϕ
r sin ϑ ∂ϑ 
I–373
Zgledi reševanja enačbe prevajanja toplote (difuzijske enačbe) v eni razsežnosti
1.7.2.1 Fourierova metoda reševanja za primer neskončnega sredstva
Potrebno je poiskati rešitve diferencialne enačbe prevajanja toplote v eni razsežnosti in
sicer,
∂ 2T
=
D
∂x 2
∂T
∂t
I–374
pri danem začetnem pogoju in sicer pri predpisani porazdelitvi temperature po sredstvu v času
t=0,
T|t=0 = f(x)
I– 375
123
kjer je f(x) znana funkcija na intervalu -∞ < x < +∞.
Z uvedbo nove sprejemljivke
τ =Dt
I–376
tako, da je
∂T
∂t
=
∂T ∂τ
∂T
= D
∂τ ∂t
∂τ
I–377
tako, da se izraz (I-374) preobrazi v preprostejšo obliko,
∂ 2T
∂T
=
∂τ
∂x 2
I–378
ki se jo rešuje pri nespremenjenem začetnem pogoju (I-375).
Za rešitev enačbe (I-378) se uporabi nastavek,
T(x,t) = T(t) X(x)
I–379
s čimer se parcialna diferencialna enačba preobrazi v navadno diferencialno enačbo, ki je
T ′(τ )
X ′′( x )
=
T (τ )
X (x )
I–380
Leva stran zavisi izključno od parametra τ, desna pa od koordinate x. Enačbi je zadoščeno
lahko le tedaj, če sta leva in desna stran med seboj enaki, to pa pomeni, da sta enaki isti
konstanti, ki se označi kot – χ2. Velja torej,
T ′(τ )
= – χ2,
T (τ )
X ′′( x )
X (x )
= – χ2
I–381
Tedaj se rešitev navadne diferencialne enačbe za temperaturo, T, zapiše v obliki,
- χ2 τ
T(τ) = C e
I–382
pri čemer mora separacijska konstanta χ zadoščati naslednji navadni diferencialni enačbi
drugega reda za funkcijo krajevne spremenljivke X(x),
X´´(x) + χ2 X(x) = 0
I–383
Splošna rešitev enačbe (I-383) je podana z izrazom,
X(x) = A cos(χ x) + B sin(χ x)
I–384
tako, da se splošna rešitev enačbe (I-378) zapiše,
124
T(x, τ) = (AC cos (χ x) + BC sin(χ x)) e- χ2 τ
I–385
oziroma v obliki,
[α(χ) cos(χ x) + β (χ ) sin(χ x)] e − χ
Tχ(x, τ ) =
2
τ
I–386
kjer so bile uvedene nove konstante α = AC in β =BC, pri čemer je privzeto, da so le-te v
splošnem lahko še funkcija separacijske konstante χ . Slednja očitno lahko zavzame poljubne
vrednosti in se zato najsplošnejša rešitev za temperaturo T zapiše,
+∞
∫ T χ ( x , τ ) dχ
T(x, τ ) =
=
−∞
+∞
∫ [α (χ ) cos(χ x ) + β (χ ) sin (χ x )]e
=
− χ 2τ
dχ
I–387
−∞
Ta rešitev mora ustrezati tudi začetnemu pogoju (I-375), zato je
+∞
T|τ =0
=
∫ [α (χ ) cos(χ x ) + β (χ ) sin (χ x )] dχ
= f(x)
I–388
−∞
Toda iz matematike je poznano, da lahko zvezno in zvezno odvedljivo funkcijo f(x) zapišemo
v obliki Fourierovega integrala,
f(x) =
1 +∞ +∞
∫ dχ ∫ f (ξ ) cos[χ (ξ − x )dξ ]
2π − ∞ − ∞
I – 389
Toda zaradi razčlenitve izraza
cos [χ (ξ - x)] = cos(χ ξ) cos(χ x) + sin(χ ξ) sin(χ x)
I - 390
je mogoče Fourierov integral zapisati tudi v obliki,
f(x) =

 1 + ∞

 1 +∞

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
f
ξ
cos
χξ
d
ξ
cos
χ
x
f
ξ
sin
χξ
d
ξ
sin
χ
x
+
 dχ
∫  2π ∫
∫

 2π − ∞

− ∞ 
−∞

+∞
I - 391
od koder iz primerjave z enačbo (I-388) nemudoma sledi, da je
125
1 +∞
∫ f (λ ) cos(χλ )dλ
2π − ∞
α (χ ) =
β (χ)
1 +∞
∫ f (λ ) sin (χλ )dλ
2π − ∞
=
I–392
Splošna rešitev diferencialne enačbe prevajanja toplote v neskončnem enorazsežnostnem
področju, pri čemer rešitev zadošča danemu začetnemu pogoju je tedaj enaka,
1 +∞ +∞
− χ 2τ
[
]
(
)
(
)
d
χ
f
ξ
cos
χ
x
−
ξ
e
dξ
∫ ∫
2π − ∞ − ∞
T(x, τ) =
I –393
Toda dobljeni splošni izraz je mogoče še nadalje preoblikovati v bolj poznano
alternativno obliko, kot prikazano v nadaljnjem.
V splošni rešitvi (I-393), če se zamenja vrstni red integracije nastopa integral,
+∞
∫e
cos[χ ( x − ξ )dχ ]
− χ 2τ
I – 394
−∞
ki se ga z uvedbo novih spremenljivk,
σ
τ
χ =
x −ξ
in
τ
=
ω
I –395
prevede v izraz,
1
+∞
τ
−∞
∫e
−σ 2
cos(σω )dσ =
1
τ
I(ω )
I –396
kjer je integral I(ω ) definiran z izrazom,
+∞
I(ω ) =
∫e
−σ 2
cos(σω )dσ
I – 397
−∞
Vrednost integrala I(0) je poznana saj velja,
I(0)
=
+∞
∫e
−σ 2
dσ
=
π
I –398
−∞
Če se odvaja izraz (I-397) po spremenljivki ω se dobi,
126
+∞
∫e
I´(ω ) = -
−σ 2
σ sin (σω )dσ =
−∞
ω
+∞
∫e
2 −∞
-
−σ 2
cos(σω )dσ = -
1 −σ 2
+∞
e
sin (σω ) −∞
2
ω
2
I(ω )
I – 399
Rešitev navadne diferencialne enačbe za funkcijo I(ω) je tedaj,
I´(ω ) -
ω
2
I(ω ) =
Konst e
I(ω ) =
−
0
ω2
4
I –401
π je rešitev ,
oziroma, ker je I(0) =
π e
I(ω ) =
−
I – 400
ω2
I –402
4
S tako določeno funkcijo I(ω ) je sedaj mogoče zapisati splošno rešitev (I-393) v bolj
običajni obliki, ki je
T(x, t) =
1
+∞
2 πDt
−∞
∫ f (ξ )e
−
( x −ξ )2
4 Dt
dξ
I – 403
Zgled 1.:
Začetno temperaturno porazdelitev neskončnega homogenega nosilca podaja funkcija f(x), ki
je definirana, skica 1.56.
f(x)
T0
-l
Skica 1.56.
0
l
x
127
f(x) =
 
x
 T0 1 − l  0 ≤ x ≤ l

 
x
 
T0 1 +  − l ≤ x ≤ 0
l
 
 0 x ≤ −l in x ≥ l


I – 404
Rešitev lahko formalno takoj zapišemo, saj po enačbi (I-403) sledi,
( x −ξ )2
0
−
T0
  ξ
T(x, t) =
 ∫ 1 +  e 4 Dt dξ
l
2 Dπt − l 

+
l
 ξ
∫ 1 − l  e

0
−
( x −ξ ) 2
4 Dt


dξ 


I – 405
Po daljšem računu je mogoče pokazati, da se gornji izraz lahko zapiše v končni obliki,
T(x, t) =
T0
2

x  x+l
1 + Φ
l   2 Dt

T0
l
+

x  x
 − 2 Φ
l  2 Dt

 
x  x−l
 − 1 − Φ
l   2 Dt
 
( x − l )2
x2
 ( x + l )2
−
−
−
Dt 
e 4 Dt − 2 e 4 Dt + e 4 Dt
π 


 +






I – 406
kjer pomeni funkcija Φ(u) verjetnostni integral, ki je definiran,
Φ(u ) =
2 u −s2
∫ e ds
π
I – 407
0
Kaj lahko je pokazati, da je verjetnostni integral liha funkcija argumenta, zatorej velja,
Φ(u) =
- Φ(-u)
I – 408
Vrednost verjetnostnega integrala Φ(u) je prikazana na skici 1.57.
128
Skica 1.57
V primeru, da se zastavi vprašanje, kako se spreminja temperatura v koordinatnem
izhodišču kot funkcija časa (pri danem začetnem pogoju, I-404), je tedaj

T0   l
Φ
2   2 Dt

T(0, t) =

 −l
 − Φ

 2 Dt
 2T0
 +
l

  l 2 

−
 
Dt   2 Dt 
−1 
e

π 

 

I – 409
V prvem približku se gornja rešitev po daljšem časovnem intervalu zapiše kot,
T(0, t) ≈
T0 l
I – 410
2 πDt
in je torej temperatura v izhodišču koordinatnega sistema obratno sorazmerna
t.
Zgled 2.
Pokaži, da se rešitev enačbe prevajanja toplote, pri začetnem pogoju, t = 0, v primeru, da je
prostorska porazdelitve temperature f(x) vzdolž neskončnega nosilca podana z izrazom,
f(x) =
T0 e
− β 2 x2
I – 411
kjer je konstanta α > 0, glasi,
T(x, t) =
T0
1 + 4 Dα t
2
e
−
α 2x2
1+ 4 Dα 2 t
I – 412
1.7.2.2 Fourierova metoda reševanja za primer končnega sredstva
Zaradi preglednosti se je ponovno vredno omejiti na proučevanje prevajanja toplote v
eni razsežnosti. V zapisanem smislu se zato obravnava omeji na telo dolžine l (nosilec,
plošča, itd.), katerega temperatura T je funkcija kraj in časa, T = T(x, t), kjer je 0 ≤ x ≤ l
pri čemer temperatura zadošča enačbi prevajanja toplote (I-371)
129
∂T
∂t
∂ 2T
= D
∂x 2
I- 413
in funkcija T zadošča še danemu predpisanemu začetnemu pogoju, t.j.,
T|t=0 = f(x)
I –414
kjer je f(x) znana funkcija podana na intervalu 0 < x < l . Poleg začetnega pogoja pa je
potrebno navesti še robne pogoje, ki se v splošnem zapišejo,
λ
-λ
∂T
∂x
∂T
∂x
=
α0( T
=
α1( T
x =0
x =l
x =0
x =l
- T0*)
- Tl * )
I-415
kjer sta koeficienta prestopa toplote na začetku, x = 0 in na krajišču nosilca, x = l , označena
s črko α, T* pa označuje naprej predpisano temperaturo na ustreznih krajiščih.
Po metodi Fourier se išče rešitev zadanega problema v obliki,
T(x, t) = γ + γ 1 x + w(x, t)
I-416
kjer sta γ in γ 1 koeficienta, ki se ju posebej določi iz robnih pogojev. Očitno mora veljati,
∂T
∂w
=
+ γ1
∂x
∂x
I-417
zato mora biti ustreženo pogojem,
∂w
∂x
∂T
-λ
∂x
λ
=
x =0
=
x =l
α 0 ( w x = 0 + γ - T0*) - λ γ 1
α 1 ( w x =l + γ + l
- Tl * )
- λγ1
I-418
Sedaj se določi še neznana koeficienta γ in γ1 tako, da zadoščata sistemu 2 nehomogenih
linearnih enačb,
α 0γ - λ γ 1 = α 0T0*
α 1 γ + ( l α 1 + λ ) γ 1 = α 1 Tl *
I-419
130
ki je netrivialno rešljiv, če je determinanta koeficientov večja kot nič. S tako postavljeno
zahtevo, se sistem robnih pogojev (I-419) prevede na preprostejšo obliko v kateri nastopa
samo še neznana funkcija w(x, t),
∂w
∂x
∂T
-λ
∂x
λ
=
α 0 w x =0
=
α 1 w x =l
x =0
x =l
I-420
Toda, funkcija w(x, t) mora zadoščati tudi začetnim pogojem torej,
w t =0 = T
t =0
- γ - γ 1x
=
f(x) - γ - γ 1 x
F(x)
I-421
kjer je na takšen način definirana nova funkcija F(x), ki zadošča predpisani (krajevni)
porazdelitvi temperature v času t=0.
Iz enačb (I-414) in (I-416) je razvidno, da mora funkcija w(x, t) zadoščati izrazoma,
∂T
∂w
=
∂t
∂t
∂ 2T
∂2w
=
∂x 2
∂x 2
I-422
od koder sledi, da se je enačba prevajanja toplote (I-371) prevedla v naslednji problem:
potrebno je poiskati funkcijo w(x, t), ki na intervalu 0 < x l in za vsak t > 0, zadošča
enačbi,
∂2w
∂w
= D
∂t
∂x 2
I-423
začetnemu pogoju (I-414) ter robnima pogojema kot sta zapisana v izrazu (I-420).
Rešitev se šče na podoben način, kot so si sledili koraki pri reševanju enačbe (I-413) in
naprej. Z metodo separacije spremenljivk je mogoče pokazati, da je nastavek za reševanje
izraza (I-423) podan z
w(x, t) = X(x) e
− χ 2 Dt
I-424
kjer je funkcija X(x) definirana kot
X(x) = [ξ cos(χ x) + η sin(χ x)]
I-425
131
Izkaže se, da funkcija X(x) zadošča naslednjima diferencialnima enačbama, t.j. robnima
pogojema (I-420),
λ X´(0) = α 0 X(0)
- λ X´( l ) = α 1 X( l )
I-426
Z uporabo definicije za X(x), enačba (I-425) sledi,
λ β χ = α0 ξ
λ ξ χ sin(χ l ) - λ η χ cos(χ l ) = α 1 ξ cos (χ l ) + α 1 η sin(χ l )
I-427
odkoder sledi, da mora veljati,
ξ
λ
=
χ
α0
η
η [α 1sin(χ l ) + λ χ cos(χ l )] = ξ [λ χ sin(χ l ) - α 1cos(χ l )]
I-428
tako, da je končni izraz enak,
α1 sin (χl ) + λχ cos(χl )
ξ
=
η
λχ sin (χl ) − α1 cos(χl )
I-429
Z uporabo prve od enačb (I-428) ter enačbe (I-429) se dobi končni rezultat, ki mu mora
zadoščati separacijska konstanta χ ,
λ (α 0 + α1 ) χ
tg(χ l ) =
I-430
λ 2 χ 2 − α 0 α1
kar pa je transcendentna enačba. V splošnem izrazu (I-430) ustreza vrsta korenov, ki jih
označimo z χ n, kjer je indeks n celo število, n = 0, 1, 2, ......, pri čemer velja, da je
χ n = χ n (λ , α 0, α 1, l )
n=0, 1, 2,....
I-431
in je splošna rešitev za funkcijo w(x, t) podana s superpozicijo, torej
w(x, t) =
∑ w n ( x, t )
I-432
n
kjer je
wn(x, t) = [ξ n cos(χn x) + ηn sin(χn x)] e
−χ n 2 D t
I-433
Z ozirom na vrsto robnih pogojev obstajata naslednji najpomembnejši možnosti.
A) Prva od le-teh je primer, ko sta krajišči nosilca toplotno izolirani kar pomeni, da mora
veljati,
132
α0 = α1 = 0
I-434
Enačba (I-430) se v tem primeru prevede na enostavnejšo obliko,
tg(χ l ) = 0
I-435
katere rešitev je podana z,
χ l = nπ
I-436
in je zato separacijska konstanta, χ, enaka
χn =
nπ
l
n = 0, 1, 2, .....
I-437
Funkcija w(x, t) je sedaj podana z izrazom,
 nπx 
 nπx 
 + ηn sin 
]
 l 
 l 
[ ξn cos 
wn(x, t) =
e
−
n 2π 2 Dt
l2
I-438
pri čemer mora, zaradi zadanih robnih pogojev, veljati
∂wn
∂x
=
∂wn
∂x
0,
x =0
=
0
I-439
x =l
odkoder izhaja, da mora veljati,
ηn = 0,
n = 0, 1, 2, 3,....
I-440
Rešitev v primeru, da sta obe krajišči nosilca toplotno izolirani je,
 nπx  −
ξn cos 
 e
 l 
wn (x, t) =
n 2π 2 Dt
l2
I-441
tako, da je splošna rešitev za w(x, t) enaka,
 nπx  −
w(x, t) = ∑ ξ n cos
e
n=0
 l 
∞
n 2π 2 Dt
l2
I-442
Koeficiente ξn se izračuna iz začetnega pogoja,
w t =0 =
n πx 

 l 

∑ ξ n cos
∞
n=0
=
F(x)
0<x< l
I-443
133
kar pa je splošna oblika Fourierove vrste za poljubno odsekovno zvezno funkcijo u(x), ki se v
splošnem glasi,
u(x) =
1
ξ0 +[ξ1 cos(πx/ l )+η1 sin(πx/ l )] + [ξ2 cos(2πx/ l )+η2 sin(2πx/ l )] + ...... I-444
2
tako, da je
ξ0
=
ξn =
1l
∫ F ( x) dx
l0
2l
 nπx 
∫ F (x ) cos l  dx


l 0
I-445
s čimer je sedaj enolično podana rešitev toplotnega prevajanja končnega nosilca, katerega
krajišči sta toplotno izolirani.
Popolnoma podoben rezultat se dobi v primeru, če se v enačbo (I-430) vstavi vrednosti
α0 Æ ∞ ter α1 Æ ∞.
Na tem mestu je potrebno pripomniti, da za robne pogoje, kjer je temperatura na
krajišču enaka predpisasnim vrednostim temperature tako, da velja,
wn
wn
x =0
x =l
=
0,
=
0
I-446
zadoščajo koeficienti ξn = 0, kjer n =1, 2, 3, .... , enačba (I-439). V tem primeru se rešitve za
funkcijo wn(x, t) zapišejo,
 nπx  −
wn (x, t) = ηn sin 
 e
l


n 2π 2 Dt
l2
I-447
Z ozirom na dejstvo, da je splošna rešitev podana s superpozicijo rešitev (I-447)
w (x, t) =
 nπx 

 l 
∑ ηn sin 
n =1
e
−
n 2π 2 Dt
l2
I-448
pri čemer mora w(x, t) zadoščati še začetnemu pogoju,
w t =0
=
∞
 nπx 
 =
 l 
∑ ηn sin 
n =1
F(x)
I-449
S pomočjo izraza (I-449) se nato izračuna koeficiente ηn, ki so
134
ηn =
2l
 nπx 
∫ F ( x) sin  l  dx


l 0
I-450
Enačbi (I-447) skupaj z pravkar izpeljanim izrazom (I-450) enolično določata rešitev
zadanega problema.
B)
Druga možnost je tista, kjer se robna pogoja med seboj razlikujeta. Pa naj bo α0 =
0 iz česar sledi, da mora veljati,
αl
λχ
tg(χ l ) =
ctg (χ l )
ali
=
λχ
αl
I-451
Če velja α1 Æ ∞ se tedaj izraz (I-430) pretvori v enačbo
ctg (χ l )
= 0.
I-452
katere rešitev je očitno,
(2n + 1)π
χn =
n = 0, 1, 2, .......
2l
I-453
tako, da je n-ta rešitev podana z,
 (2n + 1)πx 
 (2n + 1)πx 
 + ηn sin 
]
2
l
2l




[ ξn cos 
wn(x, t) =
e
−
( 2 n +1)2 π 2 Dt
4l 2
I-454
Če sta robna pogoja n.pr podana z zahtevo,
∂wn
∂x
=
0
wn
in
x =0
x =l
=
0
I-455
tedaj sledi, da mora biti
ηn = 0,
n = 0, 1, 2, 3, ....
I-456
Tudi v tem primeru je formalna pot do rešitve problema podobna kot zgoraj. Funkcija w(x,t),
ki je sedaj podana z izrazom,
w(x, t) =
∞
∑ ξn
n=0
 (2n + 1)πx  −
e
cos


2l
(2n +1)2 π 2 Dt


4l 2
I-457
mora zadostiti še začetnemu pogoju,
135
w t =0
 (2n + 1)πx 
∑ ξ n cos 2l  = F(x)
∞
=
n = 01


I-458
od koder sledi, da je
2l
 (2n + 1)πx 
∫ F ( x) cos  2l  dx


l 0
ξn =
I-459
s čimer je problem prevajanja toplote po nosilcu v pogojih različnih robnih zahtev zaključen.
Na podoben način poteka račun tudi v splošnem primeru tedaj, kadar je potrebno
reševati karakteristično enačbo (I-430) v celoti.
Zgled:
1)
V sredstvu katerega krajišči sta toplotno izolirani je začetna porazdelitev temperature
podana z izrazom,
f(x)
=
T0 za 0 < x < l / 2

 0 za l / 2 < x < l
I-460
Izračunaj kako se spreminja temperatura kot funkcija kraja in časa.
Z ozirom na dejstvo, da sta krajišči pri x=0 in x= l toplotno izolirani velja α0 = α1 = 0
in za zadane robne pogoje lahko neposredno uporabimo rešitev (I-440), pri čemer velja, da sta
γ in γ 1 enaka 0, koeficienti ξn, enačba (I-442) pa so enaki,
ξ0
l
2
=
ξn =
=
2
∫ T0 dx
l 0
I-461
l
2
 nπx 
F ( x ) cos
 dx
∫
l 0
 l 
=
l
2
2
 nπx 
∫ T0 cos l  dx


l 0
l
2T0
 nπx  2
sin 

nπ
 l 0
136
m = 1, 2, 3,..
n = 2m + 1,
m = 0,1, 2,..
 0 za n = 2m

(− 1)m 2T0

(2m + 1)π
=
I-462
Rešitev je torej podana z naslednjim izrazom,
2T0
T0
+
2
w(x. t) =
π
 ( 2m + 1)πx  (2 m +1)2 π 2 Dt
cos
 −
l

e
m
l2
∑ (− 1)
2m + 1
m=0
∞
pri čemer je sedaj w(x, t) ≡
I-463
T(x, t) tako, da je problem enolično rešen.
2)
V končno razsežnem sredstvu, katerega površina je toplotno izolirana se krajišči
nahajata na predpisanih temperaturah in sicer:T|x=0 = T0* ter T|X= l =
T l *, pri
čemer je začetna teperatura posiana z izrazom, f(x) = T0 (0<x< l ). Izračunaj porazdelitev
temperature v odvisnosti od kraja in časa.
Pri tem problemu gre za zvrst obravnavano v splošni obliki zgoraj, pri čemer velja,
da je α 0 = α1 Æ ∞. Z uporabo izraza (I-419) se dobi,
γ
=
γ + l γ1
= T l*
T0 *
I-464
odkoder neposredno sledi,
γ = T0 *
γ1 =
Tl ∗ − T0∗
l
F(x) = T0 - T0* - x (Tl* - T0*)/ l
I-465
Iz izraza (I-431) sledi,
w(x, t) =
∞
∑ ηn e
−
n 2π 2 Dt
l2
n =1
 nπx 
sin 

 l 
I-466
kjer je,
ηn =
2
l
l

0
x


 nπx 
 dx =
 l 
∫ T0 − T0 ∗ − l (Tl − Tl ∗) sin
137
=
[
]
2
n
T0 − T0 ∗ +(− 1) (Tl ∗ −T0 )
nπ
I-467
Če se enačbo (I-467) vstavi v izraz (I-466) sledi,
w(x, t) =
[
∞
2
]
∑ T0 − T0 ∗ +(− 1)n (Tl ∗ − T0 ) e
π n =1
−
n 2π 2 Dt
l2
 nπx 
sin 

 l 
n
I-468
tako, da je končna rešitev podana z izrazom,
T(x, t)
=
Tl ∗ − T0 ∗
x
l
w(x, t) + T0* +
I-469
3)
V končnem sredstvu, kjer je površina toplotno izolirana je robni pogoj za levo
∂T
= 0, za desno krajišče pa je predpisana konstantna
krajišče podan z zahtevo
∂x x = 0
temperatura, torej T
∗
x =l
= Tl , pri čemer je začetni pogoj predpisan z zahtevo, T
t =0
= T0.
Kako se spreminja temperatura v sredstvu kot funkcija časa in kraja?
Iz predpisanih pogojev sledi, da mora veljati, α = 0 in α1 = ∞ ter posledično
∗
je zato γ = 0 in γ1 = Tl , odkoder je očitno,
T = w + Tl
∗
F(x) = T0 - Tl
∗
I-470
Zaradi tega dejstva se funkcija w(x, t) zapiše,
∞
∑ξ n e
w(x, t) =
−
( 2 n +1)2 π 2 Dt
4l 2
n=0
 (2n + 1)πx 
cos 

2l


I-471
pri čemer je,
ξn =
(
2 T0 − Tl
π
∗
)
 (2n + 1)πx 
∫ cos  2l  dx =


0
l
(-1)n
(
*
4 T0 − Tl
(2n + 1)π
)
I-472
Končna rešitev se tedaj zapiše kot,
138
∗
4
T(x, t) = Tl +
4)
 (2n + 1)πx 
2 2
cos

 − ( 2 n +1) 2π Dt
∞
2l
n


4l
e
∑ (− 1)
2n + 1
n=0
(T − T )
*
0
π
l
Pokaži, da je rešitev v primeru, ko se začetni pogoj zapiše v obliki T
x < l ) podana z izrazom,
∗
T(x, t) = Tl +
(T − T )
*
4
0
π
l
t =0
=
T0
x (0 <
l
 (2n + 1)πx 
2 2
cos

 − ( 2 n +1) 2π Dt
∞
2l
n


4l
e
∑ (− 1)
2n + 1
n=0
 (2n + 1)πx 
2 2
cos 
 − ( 2 n +1) 2π Dt
8T0
2
l
 e
4l
∑ 
π 2 n = 0 (2n + 1) 2
∞
1.7.3
I-473
I-474
Prevajanje toplote v polprostoru
V nadaljnjem privzamemo dejstvo, da se polprostor razteza od x=0 pa do x Æ +∞,
pri čemer je sredstvo po površini toplotno izolirano. V splošnem se robni pogoj pri x = 0 tedaj
zapiše,
λ
∂T
∂x
= α0 ( T
x =0
∗
x =o
− T0 )
I-475
pri čemer je začetni pogoj predpisan z izrazom,
T
t =0
=
f(x)
x > 0
I-476
Prevajanje toplote v polprostroru je mogoče preprosto reševati v primeru, ko je
krajišče toplotno izolirano, t.j. tedaj, ko je α0 = 0, ali v primeru, ko je α0 = ∞, t.j. v primeru,
ko gre za predpisano temperaturo na krajišču sredstva.
A)
Pa si nekoliko podrobneje poglejmo prvi primer, t.j. primer, ko je sredstvo na
krajišču toplotno izolirano,
∂T
∂x
=
0
I-477
x =0
139
in če še dodatno velja, da je funkcija f(x) (t.j. začetna temperatura) soda funkcija svojega
argumenta, t.j. f(-x) = f(x) , je tedaj rešitev diferencialne enačbe prevajanja toplote (I-413),
podana z enačbo (I-403).
T(x, t)
=
1
+∞
2 πDt
−∞
∫ f (ξ )e
−
( x −ξ )2
4 Dt
dξ
I-478
Da je izraz (I-478) res rešitev zadanega problema prevajanja toplote v polneskončnem
sredstvu je razvidno iz dejstva, da ta rešitev zadošča danemu začetnemu pogoju (I-375),
potrebno pa je še pokazati, da hkrati zadošča tudi pogoju (I-374).
Očitno velja,
+∞
−
1
∂T
(
)(
)
= f
ξ
ξ
−
x
e
∫
∂x
4t πD 3 t − ∞
( x −ξ )2
4 Dt
dξ
I –479
tako, da je
∂T
∂x
=
x =0
+∞
1
4t πD t
3
−
∫ ξ f (ξ ) e
( x −ξ )2
dξ
4 Dt
I-480
−∞
Toda dobljeni izraz (I-480) je zaradi dejstva, da je funkcija ξ f(ξ) liha fukcija, identično enak
0. Torej je izraz I-478 zares rešitev enačbe prevajanja toplote v polneskončnem sredstvu pri
zadanem robnem in začetnem pogoju.
Zapisano rešitev (I-478) pa je mogoče še nadalje nekoliko preobraziti. Velja namreč,
T(x, t) =
1
0
∫ f (ξ )e
2 πDt
−
( x −ξ )2
4 Dt
dξ +
−∞
1
+∞
2 πDt
0
∫ f (ξ )e
−
( x +ξ )2
4 Dt
dξ +
1
+∞
2 πDt
0
∫ f (ξ )e
1
+∞
2 πDt
0
∫ f (ξ )e
−
−
( x −ξ )2
4 Dt
( x −ξ )2
4 Dt
dξ =
dξ
I-481
pri čemer je očitno, da se s substitucijo ξ Æ - ξ, prevede levi integral v prvi vrstici v izraz
zapisan v drugi vrstici tako, da se (I-478) v kompaktni obliki glasi:
T(x, t) =
1
+∞
2 πDt
0
∫ f (ξ )( e
−
( x −ξ )2
4 Dt
+e
−
( x +ξ )2
4 Dt
) dξ
I-482
To je rešitev zadanega problema.
140
B)
Drugi primer nastopa tedaj, ko je temperatura levega krajišča pri x = 0 predpisana
konstanta T0*, torej
T
x =0
=
T0 *
I-483
Tedaj se izkaže, da velja,
w = T - T0 *
F(x)
= f(x) -
T 0*
I-484
pri čemer je očitno, da je F(-x) = - F(x), je liha funkcija. Funkcija,
w(x, t) =
1
+∞
2 πDt
−∞
∫ F (ξ )e
−
( x −ξ )2
4 Dt
dξ
I-485
zadošča diferencialni enačbi prevajanja toplote, zadanemu začetnemu pogoju w t = 0 = F(x)
(x > 0) ter robnemu pogoju w x = 0 = 0. Slednjemu je ustreženo neposredno, saj je
w x =0
=
1
+∞
2 πDt
−∞
∫ F (ξ )e
−
ξ2
4 Dt
dξ = 0
I-486
ker je F(x) liha funkcija svojega argumenta.
Končna rešitev se sedaj zapiše,
T(x, t) = T0* +
=
=
T0 *
T0 *
1
+∞
2 πDt
−∞
+
∫ F (ξ )e
1
+∞
2 πDt
0
−
( x −ξ )2
4 Dt
∫ F (ξ )(e
−
dξ
=
( x −ξ )2
−e
4 Dt
−
( x +ξ )2
4 Dt
-
( x +ξ )
 − ( x −ξ )
−
4 Dt
− e 4 Dt
∫ e
2 πDt 0 
+
( x +ξ )
 − ( x −ξ )
−
4 Dt
− e 4 Dt
∫ f (ξ )e
2 πDt 0

T0 *
1
∞
∞
2
2
2
) dξ
=

 dξ +

2

 dξ

I-487
141
Na tem mestu naj omenimo, da je prvi integral dobljenega izraza mogoče, z zamenjavo
sprememnljivke, zapisati s t.im. verjetnostim integralom Φ(z), skica 1.54, ki je definiran kot,
Φ(z) =
2
π
z
∫e
−u 2
du
I-488
0
Verjetnostni integral je podan v tabelah. Končni rezultat je tedaj enak


 +
 2 Dt 

T(x, t) = T0* 1 − Φ

+
x
( x + ξ )2
 ( x − ξ )2
−
 − 4 Dt
− e 4 Dt
∫ f (ξ )e
2 πDt 0


1
∞


 dξ


I-489
142
2. VLAŽNOST SNOVI
2.1
UVOD
Vlaga, to je voda v kapljevinastem stanju, v plinskem stanju ali hkrati v obeh
agregatnih stanjih, ki se nahaja v gradbenih materialih v splošnem zaradi svojih
kemijskih in mehanskih lastnosti, ki močno zavisijo od temeperature (n.pr. taljenjezmrzovanje) večinoma škodljivo vpliva na zastavljene projektne zasnove, celo do takšne
mere, kjer se s časom kakovost bivalnega okolja lahko odrazi celo kot zdravju škodljivo,
v nekaterih drugih primerih pa lahko privede do mehanskih poškodb snovi in
uporabljenih materialov (n.pr. korozija, galvanski pojavi, strukturne spremembe v
materialih, in podobno), kar lahko v skrajni meri postavi pod vprašaj varnost konstrukcij
in objektov. Iz teh in podobnih razlogov je v splošnem pojav vlage v snovi večinoma
nezaželjen in je zato potrebno preprečiti morebitni vpliv ali vdor vlage že v sami začetni
fazi projekta načrtovanja in izgradnje.
V kolikor se v snovi nenačrtovano pojavi vlaga se jo odstranjuje z sušenjem.
Slednje je postopek pri katerem se kapljevina iz vlažne snovi (telesa) odstranjuje z
uparjevanjem v nezasičeno plinsko fazo, t.j. običajno v nezasičeno vlažen zrak. Sušenje
je postopek, pri katerem hkrati nastopata prenos mase snovi (kapljevine) ob sočasnem
prenosu toplote, pri čemer se dovedena toplota uporablja za prenos vodne mase skozi
snov kot kapljevina ali plin (difuzija) na ustrezno površino telesa odkoder se, z
vplinjanjem kapljevine v vodno paro, odstranjuje v okolico. Prehod kapljevine v paro pri
temperaturi snovi, ki je nižja kot je vrelišče kapljevine v njej, pri čemer se paro s površine
odvaja s pomočjo danega plina (običajno je to zrak), ki ni nasičen z vodno paro, se
imenuje izhlapevanje. V kolikor zapisani postopek poteka pri temperaturi snovi, ki
ustreza vrelišču kapljevine v snovi pri normalnem tlaku se imenuje uparjevanje.
Snovi, ki jo je potrebno sušiti se običajno dovaja toplota preko: a) konvekcije
(površina snovi je obdana s pretokom plina, ki služi za sušenje-najpogosteje je to suh
zrak), b) neposrednim prevajanjem toplote (stik vlažne površine z drugo ustrezno suho
površino na višji temperaturi) ali c) s sevanjem (radiacijsko), pri čemer se snov segreva
zaradi absorbcije vpadlega elektromagnetnega valovanja.
V vrsto gradbenih materialov zlasti tistih, ki sicer niso izpostavljeni neposrednim
vremenskim vplivom (toplotna izolacija notranjih zidov, streh in podobno), prodre vlaga
zaradi stika z vlažnim zrakom. Pri tem se vlaga (nasičena vodna para in voda v
kapljevinasti obliki) z materialom lahko veže tako, da tvori z njim kemijsko vez, ali
fizikalno-kemijsko vez ali pa fizikalno-mehansko vez.
Vlage, ki je kemijsko vezana z danim materialom (malte, estrihi, itd), kar se
dogaja v točno določenem stehiometrijskim razmerjem (kemična reakcija) je zelo močno
vezana zato vlage pri takšnih materialih ni mogoče odstraniti z običajnimi sušilnimi
postopki (temperature do 1200 C).
Vlaga je lahko vezana z materialom tudi na fizikalno-kemijski način, pri čemer
gre običajno za adsorpcijo vlage na površino snovi ali pa za vlago, ki prodre v material
preko osmoze. Pri procesu adsorpcije se vlaga kondenzira na površini snovi pri čemer
prihaja do odajanja toplote in kontrakcije prostornine. Osmoza (nekatere gradbene
tesnilne pene, starejše zvrsti kombi plošč in mavčnih oblog in podobno), predstavlja
143
difuzijo vlage skozi polpropustne membrane in nastopa brez spremljajočih toplotnih
pojavov in sprememb prostornine.
Fizikalno-mehansko vezana vlaga je površinska vlaga in pa kapilarna vlaga.
Kapilarna vlaga zapolnjuje kapilare oziroma mikrokapilare snovi (premera reda velikosti
10-7 m) in jo je mogoče sorazmerno preprosto izsušiti oziroma odstraniti že samo z
mehanskimi metodami.
2.1.1
VLAŽNI ZRAK (glej Rudolf Kladnik Visokošolska fizika 1. del)
Vlažni zrak je mešanica plinov in vodne pare, pri čemer je vsebnost plinov v
mešanici praktično konstantna medtem, ko se delež vodne pare v mešanici lahko močno
spreminja. Trenutni delež vlage v zraku je izrazita funkcija tlaka in temperature; v
primeru, da se v zraku ne nahaja vodna para govorimo o suhem zraku, mešanica suhega
zraka in vodne pare (para je sicer plin, ki se nahaja na temperaturi, ki je nižja kot je
kritična temperatura tega plina) pa je po definiciji vlažen zrak. V primeru, da je delni
(parcialni) tlak vodne pare v zraku manjši od nasičenega parnega tlaka pri tej temperaturi
(tedaj ne nastopa kondenzacija vodne pare v –vrelo-tekočino) se mešanica vlažnega zraka
obnaša kot idealni plin. Kot je znano so prostornina, p, (absolutna) temperatura, T, in
tlak, p, idealnega plina povezani z enačbo idealnega plina,
pV = n RT
II-1
kjer je R splošna plinska konstanta, R = 8314 J/ (kmol K) in n število kilomolov
idealnega plina,
n =
m
M
II-2
pri čemer je m masa plina, M pa masa kilomola danega plina. Po definiciji je kilomol
enak množini snovi katere masa znaša toliko kilogramov, kolikor je relativna
molekularna masa snovi.
Če je plin mešanica več plinov (ki se nahajajo v prostornini V in na enaki
temperaturi T), ki se med seboj kemijsko ne vežejo, je celotni (totalni) tlak te mešanice
enak vsoti delnih (parcialnih) tlakov posameznih plinov, ki mešanico sestavljajo
(Daltonov zakon),
p = p1
+
p2
+
p3
+......+
pk
II-3
Parcialni tlak, pj, je tlak j-tega plina (j = 1, 2, ..., k) v posodi v primeru, da bi odstranili
vse preostale pline, ki mešanico sestavljajo. Tedaj torej velja,
144
RT
V
p =
 m1
m 
m

+ 2 + L + k 
Mk 
 M1 M 2
II-4
Dobljeni izraz (za mešanico) pa je izraz, ki spominja na enačbo idealnega plina, če le
definiramo število kilomolov mešanice kot,
m
m 
m
k

n =  1 + 2 + L +
M k 
 M1 M 2
II-5
Torej, vlažni zrak se v pogojih, ko ne nastopa kondenzacija vodne pare v zraku, obnaša
kot idealni plin.
Zgled:
Suhi zrak je sestavljen iz 78% deleža dušika, N2, MN2 = 28 kg/kmol, 21 % deleža kisika,
O2, MO2 = 32 kg/kmol in 1 % deleža ostalih plinov, Mpl = 40 kg/kmol. Kolikšna je
povprečna molekularna masa mešanice?
Ker je celotna masa mešanice suhega zraka sestavljena iz mas dušika, kisika in ostalih
plinov mora veljati,
m = mO + mN +
mpl
II-6
kjer je mN = 0.78 m, m0 = 0.21 m in mpl = 0.01 m tako, da je
nmeš =
m
M meš
=
 m1
m 
m

+ 2 + 3 
 M1 M 2 M 3 
II-7
in velja,
1
M meš
=
 m1
m3 
m2


+
+
mM
mM
mM
1
2
3 

II-8
Povprečna molekulska masa mešanice plinov je torej,
Mmeš
= 28.8 kg/kmol = 29 kg/kmol
145
Absolutna vlažnost zraka (vsebnost vlage v zraku), x, je po definiciji podana z
razmerjem med maso vode (t.j. vodne pare) v zraku, mv in maso suhega zraka, msz,
mv
m sz
x =
II-9
Pri dani temperaturi in danem tlaku je vlažnost zraka, x, navzgor omejeno število.
Maksimalna vrednost vlažnosti je, pri dani temperaturi in tlaku, podana z nasičenostjo
zraka, kar pomeni, da je zrak zasičen z vodno paro. Delni tlak vodne pare v nasičenem
zraku je ravnovesni parcialni tlak vodne pare v zraku pri teh pogojih, pv*. Presežek
vlage v zraku se ob teh pogojih nemudoma kondenzira v obliki megle ali večjih kapljic
vode.
Relativna vlažnost zraka je razmerje med delnim tlakom vodne pare v zraku, pv,
pri dani temperaturi in danem tlaku in ravnovesnim parcialnim tlakom vodne pare (=
nasičenim parnim tlakom) pv* pri istih pogojih:
pv
pv *
η =
II-10
Vlažnost zraka x je seveda povezana z relativno vlažnostjo η na naslednji način:
x=
mv
=
m sz
p vVM v
pv M v
Mv
pv
RT
=
=
p sz VM sz
p sz M sz
M sz p − p v
RT
II-11
kjer sta uporabljena izraza (II-1) in (II-3). Ker je natančna vrednost Mv = 18.02 kg/kmol
in Msz = 28.96 kg/kmol sledi, da je absolutna vlažnost zraka povezana z relativno
vlažnostjo z izrazom,
x =K
pv * η
p − pv *η
II-12
kjer znaša koeficient sorazmernosti K = 0.622. Absolutna vlažnost nasičenega zraka,
x*, (maksimalna vrednost absolutne vlažnosti zraka) je tedaj enaka,
x* = K
pv *
p − pv *
II-13
saj je relativna vlažnost zraka η tedaj enaka 1.
146
Toplota, ki je potrebna, da se pri stalnem tlaku, segreje masa m neke snovi katere
specifična toplota je cp iz začetne temperature To na končno temperaturo T je enaka,
Q = m cp (T – T0 )
II-14
Izkaže se kot ugodno. če se definira termodinamska funkcija specifična entalpija h, kot
h = cp T
II-15
ki je na enostaven način povezana s toploto saj velja
h =
Q
+ c p T0
m
II-16
Skladno tej definiciji je specifična entalpija suhega zraka (pri čemer je specifična
entalpija idealnega plina pri 0 0 K po definiciji nič) enaka ,
hsz = cpsz T
II-17
specifična entalpija vodne pare pa je po analogiji enaka
hvp = cpvp T + r0
II-18
kjer je cpvp specifična toplota vodne pare pri stalnem tlaku, r0 pa je specifična entalpija
uparjevanja vode pri temperaturi T0 = 0 o C.
Entalpija vlažnega zraka je vsota entalpije suhega zraka ter deleža entalpije, ki
pripada vodni pari v zraku pri tej temperaturi, torej
hvz = hsz + x hvp = (cpsz + x cpvp ) T + x r0
II-19
Poslednjo enačbo je mogoče zapisati tudi kot
hvz = cpvz T + x r0
II-20
Tu sedaj pomeni
cpvz = cpsz + x cpvp
II-21
specifično toploto vlažnega zraka pri konstantnem tlaku.
Za določanje katerekoli od treh spremenljivk, kot so temperatura, delež vlage in
relativna vlažnost v primeru če sta preostali dve poznani se uporablja t.im.Mollierov (h,
x) diagram, Tabela II.1. Diagram izraža odvisnost temperature, vsebnosti vlage v zraku,
relativne vlažnosti in specifične entalpije vlažnega zraka za primer konstantnega tlaka 1
bara. Na ordinato so nanesene vrednosti specifične entalpije na apcisi pa absolutna
vlažnost zraka. Krivulja nasičenosti zraka ϕ = 1 (na diagramu je relativna vlažnost
147
označena z ϕ in je torej za krivuljo nasičenosti ϕ ≡ η = 1) spaja vse točke rosišča in
razmejuje področje nenasičenega vlažnega zraka od področja megle.
TABELA II.1
Vlažni tlak v nasičenem področju (megla) v splošnem vsebuje poleg nasičene vodne pare
še vlago v kapljevinasti fazi. V področju nenasičenosti so izoterme ravne črte, ki
monotono naraščajo proti zgornjemu desnemu delu Mollierovega diagrama. Ta diagram
torej prikazuje spremembo vlažnega zraka v odvisnosti od spremembe temperature,
oziroma spremembo vlažnega zraka v odvisnosti od adiabatne spremembe (odvzem ali
dodajanje) vodne pare.
148
2.2
VLAGA V SNOVI
Vlaga se na površino trdne snovi veže s privlačnimi silami, ki obstajajo med
molekulami vode in molekulami površine trdnine. Ta pojav, adsorpcija, ima za posledico
relativno šibko vez med vlago in trdnino, ki se jo kaj enostavno prekine, najpogosteje s
sušenjem, lahko pa tudi z drugimi načini razdvajanja trdne in kapljevinaste faze.
Potovanje vlage v notranjost materiala zavisi predvsem od same strukture snovi.
Če je snov zrnate ali kristalne strukture tedaj se vlaga prebije v vmesno področje med
delci snovi in zapolnjuje vse pore. Gibanje vlage v tovrstnih materialih poteka na osnovi
kapilarnega mehanizma, ki je rezultat vzajemnega delovanja sile teže in površinske
napetosti vode. Z ozirom na dejstvo, da vlaga večinoma pri tako strukturiranih snoveh ne
vpliva bistveno na njihove fizikalne lastnosti se pri sušenje le-te bistveno ne spremenijo.
V nasprotnem primeru, ko gre za vlago v snoveh, ki nimajo zrnate strukture in so zato
amorfne, vlaknaste ali pa v obliki raznih gelov, zelo pogosto so to prav razne organske
snovi, se vlaga zadržuje v vlaknih ali porah in se razširja z difuzijo vodnih molekul po
snovi. Odstranjevanje vlage iz takšnih materialov poteka s počasnim in skrbno
nadzorovanim sušenjem kajti sicer nastopijo močni gradienti koncentracije vlage v snovi,
ki večinoma kvarno vplivajo na fizikalne lastnosti materiala (nastajajo deformacije,
razpoke, lom in podobno).
V primeru, da se voda z zelo močnimi silami kemijsko veže s snovjo
(kemisorpcija) ali se celo vgrajuje v kristalno rešetko materiala postopek odstranjevanja
vlage običajno spremlja bistveno spreminjanje fizikalno-kemijskih lastnosti, ki vodijo
lahko celo do razgradnje materiala. Primer takšnih snovi so malte, cementi itd.
2.2.1
Vodna para – kondenzacija (rosenje) in uparjevanje
Zrak je mešanica plinov, ki ga sestavlja približno 80 % dušika (O2), 18 % dušika
(N2) ter 2 % vseh ostalih plinov, med katerimi je zlasti pomembna vodna para. Para v
zapisanem smislu pomeni plin, ki se nahaja na temperaturi, ki je manjša kot znaša
kritična temperatura in je torej, v primeru ustreznih pogojev temperature in tlaka, lahko
podvržena fazni pretvorbi – para kondenzira v kapljevino. V primeru vodne pare
govorimo o rosenju in temperatura kondenzacije vodne pare se imenuje rosišče. V
primeru, vse dotlej, ko sta parna faza in kapljevinasta faza v ravnovesju je tlak nad
kapljevino (in tlak kapljevine) enak nasičenemu parnemu tlaku, pn, in temperatura zmesi
pare in kapljevine je temperatura vrelišča. Zmes je torej sestavljena iz vrele kapljevine in
parne faze tlaka, ki je enak nasičenemu parnemu tlaku pri temperaturi vrelišča.
Vsak plin v mešanici se vede tako, kot da ostali plini niso prisotni. Tlak mešanice
plinov, ki med seboj kemijsko ne reagirajo je zato kar vsota delnih (parcialnih) tlakov
plinov, ki mešanico sestavljajo (Daltonov zakon). V območju temperaturnih intervalov,
kot jih določajo dnevna ali pa sezonska temperaturna nihanja je vodna para podvržena
faznim spremembam.
149
Spreminjanje nasičenega parnega tlaka, pn, s temperaturo podaja p – T diagram.
To odvisnost, ki jo dovolj dobro popiše eksponentna funkcija, podajajo tabele in je
prikazana na skici 2.1
Skica 2.1
pn = {{-10, 260}, {-8, 309}, {-6, 368}, {-4, 437}, {-2, 517}, {0, 611}, {2, 705}, {4, 813},
{6, 935}, {8, 1072}, {10, 1228}, {12, 1403}, {14,1590}, {16, 1817}, {18, 2064},{20,
2338}, {22, 2644}, {24, 2984}, {26,3361}, {28, 3780}, {30, 4242}, {32, 4754}, {34,
5320}, {35, 5624}}
Opomba Predočene merske vrednosti nasičenega parnega tlaka vode v odvisnosti od
temperature je mogoče predstaviti v obliki aproksimacijske funkcije. V ta namen se
običajno definira količino vn, ki pomeni prostorninsko vlažnost nasičenja (enota je kg/m3)
in je DIN standardu (4108) definirana v obliki,
k
T 

ab +

100 

vn =
461.4 (T + 273.15)
 kg 
 m 3 
(a)
kjer so parametri definirani kot,
0 ≤
T ≤ 30
- 20 ≤
T ≤ 0
a = 288.68 Pa
b = 1.098
k = 8.02
a =
b = 1.486
k = 12.3
(b)
4.689 Pa
in temperaturo T je potrebno izraziti v stopinjah celzija.
150
Krivulja, ki veže točke na zgornjem diagramu je krivulja nasičenega parnega
tlaka vodne pare, pn, v odvisnosti od temperature. Poudariti velja, da delni tlak vodne
pare pri dani temperaturi nikoli ne more preseči vrednosti nasičenega parnega tlaka pri tej
temperaturi kajti brž, ko delni tlak pare postane enak nasičenemu tlaku (pri tej
temperaturi) se prične odvijati proces kondenzacije pare v kapljevino. Ob kondenzaciji
para oddaja kondnzacijsko toploto okolici. Seveda pa velja tudi obratno, če nasičeno
vlažni zrak segrevamo, prehaja (vrela kapljevina pri tej temperaturi, ki je konstantna tako
dolgo dokler vsa kapljevina ne izpari) kapljevina v paro. Za ta proces je potrebno dovesti
izparilno toploto. Ko je vsa kapljevina uparjena se prične temperatura zraka in hkrati s
tem vodne pare povečevati. Tlak zraka je ob tem konstanten in enak zunanjemu tlaku.
Toda tlak zraka je enak vsoti delnih tlakov mešanice, zato mora veljati, da so delni tlaki
tudi konstantni, kar pomeni, da je delni tlak vodne pare v zraku pri segrevanju zraka prav
tako nenehno konstanten. Opisani postopek poteka vzdolž n.pr. vodoravne črte prikazane
na p – T diagramu vodne pare zgoraj.
Za opis množine vodne pare v zraku pri dani temperaturi, T, se navaja t.im.
absolutna vlažnost, ki je definirana kot,
ρvp =
m H 2O
V
II-22
kjer pomeni m H 2O maso vodne pare, ki je vsebovana v prostornini V zraka. Iz enačbe (a)
torej sledi, da je zgoraj definirana prostorninska vlažnost nasičenja, vn, kar enaka
absolutni vlažnosti zraka v pogojih nasičenega parnega tlaka vode.
Poleg zapisane definicije je še v uporabi relativna vlažnost zraka, η, (glej II-10)
definirana kot,
η =
p vp (T )
p n (T )
II-23
pri čemer je pvp(T) delni tlak vodne pare v zraku pri temperaturi T in pn(T) nasičeni parni
tlak vodne pare pri tej temperaturi. Relativno vlažnost se izmeri s temperaturo rosišča.
Gre za postopek ohlajevanja zraka vse do trenutka, ko se na živosrebrnem termometru
prične pojavljati rosa. Očitek te temperature, T', je podatek s pomočjo katerega se iz
zgornje tabele razbere vrednost delnega tlaka vodne pare pri začetni temperaturi T.
Zgled: Kolikšna je relativna vlažnost zraka pri T = 32 st C, če pri ohlajevanju le-tega
nastopi kondenzacija vodne pare pri T' = 16 st C.
Iz zgornjega diagrama, oziroma tabele, se razbere, da je nasičeni parni tlak vodne pare
pri T = 32 st C enak pn(32 st C) = 4754 Pa. Delni tlak vodne pare pri tej temperaturi
pvp(32 st C) je tedaj kar enak nasičenemu parnemu tlaku pri temperaturi rosišča, to je
pvp(32 st C) ≡ pn(T'). Zrak se namreč ohlaja pri konstantnem celotnem tlaku (t.j. n.pr.
1013 mbar), zato tudi pri konstantnem delnem tlaku vodne pare v danem zraku. To
dejstvo ponazarja horizontalna premica, ki seka krivuljo nasičenega parnega tlaka pri
151
temperaturi T' = 16 st C. Iz diagrama, oziroma tabele se razbere, da znaša nasičeni parni
tlak vodne pare pri 16 st C, pn = 1817 Pa tako, da je relativna vlažnost zraka tedaj,
η =
1817 Pa
= 0.38 = 38 %
4754 Pa
II-24
Če je poznana temperatura zunaj zgradbe in relativna vlažnost zunanjega zraka iz
definicije relativne vlažnosti sledi,
pvpz(Tz) = η pn(Tz)
II-25
in analogno za notranjost zgradbe,
pvpn(Tn) = η pn(Tn)
II-26
Iz enačbe (a), ki definira nasičeno (absolutno) vlažnost zraka pri temperaturi T in
iz definicije absolutne vlažnosti, enačba (1) pri tej temperaturi je relativna vlažnost η,
prav tako tudi,
η =
ρ vp
vn
II-27
Zgled: relativna vlaga zraka η = 30 %. Temperatura zraka je 30 st C. Kolikšna je
absolutna vlažnost zraka v teh pogojih?
ρvp = η vn(T=30 stC) = 0.3 x 0.03031 kg/m3 = 9.09 10-3 kg/m3 = 9.09 g/m3.
Prostorninsko vlažnost nasičenja (= gostota nasičenja vodne pare), vn, je izračunana po
obrazcu (a), zgoraj.
152
2.2.2
Difuzija vodne pare skozi gradbene elemente
a) Prenos vlage v zraku
ρvp1
ρvp2
j
Skica 2.2
d
Na skici 2.2. je predstavljena mirujoča zračna plast, debeline d. Absolutna vlažnost
zraka na levi naj bo ρvp1, na desni pa ρvp2. Prehod vlage iz mesta visoke na mesto nižje
absolutne vlažnosti (ali pa tudi relativne vlažnosti) je podan z empiričnim zakonom po
Fick-u, ki se glasi,
j = D
ρ vp1 − ρ vp 2
d
II-28
kjer je j gostota difuzijskega toka vodne pare,
j =
dm
=
Adt
Φm
A
II-29
in podaja maso vodne pare na časovno enoto, ki preteče dano površino A, orientirano
pravokotno na smer gibanja delcev pare, oziroma masni tok pare na enoto površine. D je
difuzijska konstanta vodne pare v zraku in znaša,
D = 25 10-6 m2/s pri 20o C
II-30
V splošnem se pa Fick-ov zakon (v eni razsežnosti) zapiše,
 dρ vp 

j = - D 
dx


II-31
153
in predstavlja posebni primer splošnega izraza za gostoto difuzijskega toka, ki je vektor.
Fickov zakon se v najbolj splošnem primeru (toda samo, če je difuzijska konstanta
izotropna) zapiše kot,
v
j = -
D grad ρvp
II-32
b) Prenos vlage z difuzijo v porozni snovi
ρ1
ρ2
j
Skica 2.3
0
d
x
Potemnjena plast, skica 2.3, debeline d, predstavlja porozno snov skozi katero se širi
vlaga z difuzijo molekul vode iz mesta višje vlažnosti na mesto nižje vlažnosti. V
stacionarnem stanju se vzpostavi gostota toka, j, ki je podana z izrazom,
j = δv
ρ1 − ρ 2
d
II-33
kjer je δv (enota je m2/s) permeabilnost snovi za vodno paro, ρ pa je absolutna vlažnost
zraka na levi in desni strani porozne snovi. Splošni izraz za gostoto toka difuzije vodne
pare v eni razsežnosti se torej glasi,
 dρ vp 

j = - δ v 
 dx 
II-34
kar je Fickov zakon za difuzijo vodne pare v porozni snovi.
v
Splošni izraz za gostoto difuzijskega toka j je pa podan z izrazom,
154
kp
v
k
D′ p
j = (grad c + T grad T +
grad p )
T
p
kT
II-35
ki popisuje število delcev dane snovi na dano površino na enoto časa pod pogojem, da so
gradient tlaka, p, gradient koncentracije, c in gradient temperature, T, različni od nič. V
izrazu (II-35) pomeni k Boltzmanovo konstanto, D´ difuzijski koeficient,
brezdimenzijska količina kT je razmerje termalne difuzije, količina kT D´ je koeficient
termalne difuzije in faktor kPD´ je koeficient difuzije tlaka.
V gradbeni praksi, ko gre za difuzijo vodne pare, je v ta namen najpomembnejši člen
izraza II-35 podan z gradientom tlaka, tako da se izraz II-35 poenostavi v,
k p D′
j = -
kT
grad p =
k p D ′ p v1 − p v 2
kT
d
II-36
Iz kinetične teorije plinov je difuzijska konstanta molekule idealnega plina D´ podana z,
D´ = u Lp/3, kjer je u povprečna hitrost molekule pri (dani) temperaturi T in Lp je
povprečna prosta pot pri tem pogoju.
Po analogiji z II-33 se enačba II-36 lahko zapiše tudi v obliki,
p v1 − p v 2
d
j = δ*
II-37
kjer je δ* (= kpD´/kT) koeficient, ki očitno zavisi še od temperature in katerega merska
enota je [kg m/Ns = s].
Na tem mestu je umestno definirati t.im. faktor upora difuzije vodne pare, µ, ki je
podan z razmerjem,
µ =
D
II-38
δv
in je koeficient brez enot. Faktor upora difuzije vodne pare, µ, podaja torej primerjavo
med difuzijo v zraku in difuzijo v dani porozni snovi. Za primerjavo služi izhodišče po
katerem je razlika absolutnih vlažnosti zraka ∆ρ na razdaljah d1 (zrak) in d (porozna
snov) enaka kar neposredno vodi do izraza, jz/jpor = D d/(δv d1) in kvocient gostot
difuzijskih tokov bo enak le tedaj, ko je d1 = µ d. Na tem mestu je umestno vpeljati novo
količino difuzijski ekvivalent plasti zraka, kot produkt faktorja upora difuzije vodne pare
in debeline poroznega sloja, µ d. Difuzijski ekvivalent plasti zraka, µ d, (enota je m)
podaja debelino sloja zračne plasti, d1, ki poseduje isti upor prehoda pare kot plast
porozne snovi debeline d , pri faktorju upora difuzije µ.
S tako definiranim faktorjem µ, se Fickov zakon zapiše,
j = -
D dρ vp

µ  dx

 .

II-39
155
Vrednosti faktorja µ so za nekatere vrste snovi prikazane v TABELI 2.1 spodaj:
TABELA 2.1
Snov
Mineralna volna, lahek beton, opeka, malta
Beton, les, cementna malta
Linolej, PVC-folije, polietilenske folije,
steklo
µ
1 - 10
15 - 100
103 -
106
Izraz II-37 se s tako definiranim faktorjem upora difuzije vodne pare lahko
izrazi tudi v obliki,
j = δ*
µ
µ
p v1 − p v 2
δ
= L (pv1 – pv2 )
d
µd
II-40
oziroma,
j =
p v1 − p v 2
1
∆
II-41
kjer je nova fizikalna količina, upor propustnosti pare, 1/∆, definirana kot,
1
1
= µd
.
∆
δL
II-42
pri čemer je δL = δ* µ. Merska enota upora prepustnosti pare 1/∆ je enaka [m/s].
V zapisanem izrazu je δL koeficient prevajanja pare po zraku, ki je, čeprav
nekoliko zavisi od temperature, v dovolj dobri aproksimaciji enak,
1/δL = 1.6 106
[s-1]
II-43
Iz enačbe sledi, da je upor propustnosti pare N-plastnega gradbenega elementa enak,
1
=
∆
1
=
i =1 ∆ i
N
∑
1
δL
N
∑ µi di
i =1
II-44
Opomba: podobno vlogo kot jo ima koefiecient toplotne prevodnosti, λ, pri prevajanju
toplotnega toka skozi gradbeni element poseduje tudi faktor upora difuzije, µ, pri
računanju prehoda vodne pare. Ob tem je potrebno poudariti, da veljajo podatki za λ za
popolnoma suhi element, oziroma za primer minimalne vlage, ki se je iz elementa pod
156
običajnimi pogoji ne da izsušiti. V primeru, da se takšen element dodatno navlaži zaradi
kondenzacije vodne pare, tedaj se lahko koeficient toplotne prevodnosti močno poveča in
s tem se lahko zaznavno povečajo toplotne izgube, glej poglavje 2.9.
2.3
a)
Parni tlak in temperatura v preseku gradbenega elementa
1
- p diagram
∆
Izkušnje kažejo, da se lahko pri proučevanju stacionarne gostote difuzijskega toka vodne
pare v gradbenih elementih, ki nastopi zaradi konstantne razlike delnih tlakov vodne pare
med obema površinama elementa, pojave na mejni plasti popolnoma zanemari (v
primeru, da element ne vsebuje posebnega izvora ali ponora vodne pare). Pod temi
pogoji je zelo ustrezno definirati 1/∆ - p diagram. Na ordinatno os le-tega se nanaša
pvp
pvp
pvpn
pvpn
p2-3
j
j
p1-2
Θ
pvpz
1
∆
Skica 2.4
pvpz
1
∆1
1
∆2
1
∆3
1
∆
delni tlak vodne pare, na abscisno os pa upore propustnosti pare, 1/∆, in sicer po vrstnem
redu plasti, kot sestavljajo gradbeni element, začenši od zunanje strani elementa. V
najbolj idealnem primeru, tedaj ko difuzija vodne pare skozi gradbeni element ni
podvržena faznim spremembam (kondenzaciji oziroma uparjevanju) je takšen diagram
preprost in ga prikazuje skica 2.4
157
v
Gostota difuzijskega toka, j , je na digramu prikazan kot vektor, ki kaže vzdolž
veznice iz pvpn (t.j. delnega tlaka vodne pare v zraku v notranjosti) do točke pvpz. Ta
veznica oklepa kot θ z vodoravnico. Iz levega dela skice 2.4, ob upoštevanju dejstva, da
je tanges brez enote, sledi,
n
p vp − p vp
tg θ = konst
1
∆
z
II-45
kjer je konst = m3/Ns, kar pa je upoštevaje enačbi (II-41) in (II-42) enako gostoti
difuzijskega toka j, vodne pare skozi porozno snov
n
p vp − p vp
j = (konst) tg θ =
1
∆
z
-1
1
U
b)
II-46
- T diagram
Naj bosta temperaturi na zunanji in notranji strani gradbenega elementa konstantni,
neodvisni od časa. V tem primeru je tudi gostota toplotnega toka, j, ki prehaja dani
element od časa neodvisna količina. Za te primere se definira 1/U - T diagram, ki
T
T
Tn
Tns
Tn
Tns
T2-3
T1-2
Tzs
Tzs
Tz
Tz
1
αz
1
Λ
1
1
U
αn
Skica 2.5.
158
omogoča grafično določitev poteka temperature znotraj gradbenega elementa. Na
abscisno os se nanese posamezne upore toplotnemu pretoku d/λ plasti, ki dani element
sestavljajo, na ordinatno os pa temperaturi Tz in Tn, glej skico 2.5.
Poleg obeh temperatur, zunanje in notranje, se na diagram nanese ustrezne
materialne konstante, oziroma koeficient rezultirajoče toplotne upornosti 1/U. V
stacionarnem stanju se lahko tedaj temperature na mejnih ploskvah, oziroma stenah
neposredno odčitajo iz diagrama. Iz pogoja stacionarnosti toplotnega toka sledi, da je
toplotni tok skozi vsako plast enak. Od tod neposredno sledi,
j =
Tn − Tz
=
1
U
Tn − T1− 2
1 d3 d2
+
+
αn
λ3
II-47
λ2
oziroma, podobno, za
Tn − Tz
T − T2−3
= n
1
1 d3
+
U
α n λ3
j =
II-48
odkoder se izračuna temperatura mejne plasti T2-3 in končno,
j =
T − Tns
Tn − Tz
= n
1
1
U
αn
II-49
V zapisanih izrazih je koeficient prehoda toplote, U, glej tudi I-68, str. 24, definiran kot,
U =
1
1
1
1
+ +
αz Λ αn
II-50
kjer je izraz 1/Λ definiran,
1
=
Λ
d
∑ λi
i
II-52
i
in indeks poteka preko vseh plasti danega gradbenega elementa.
V primerih difuzije vodne pare pozimi, pa je potrebno preprečiti kondenzacijo (in
kasneje posledično uparjevanje) vodne pare v gradbenem elementu. Pojav rosenja je tedaj
nekoliko bolj zapleten.
159
2.4 Kondenzacija vodne pare v enoslojnem gradbenem elementu
Izhodiščno spoznanje pri konstrukciji 1/∆ - p diagrama je dejstvo, da je delni tlak
vodne pare pri dani temperaturi kvečjemu enak ali pa je manjši, kot je nasičeni parni tlak
vodne pare pri tej temperaturi. V primeru, da je delni tlak vodne pare enak nasičenemu
parnemu tlaku pride do procesa kondenzacije (rosenja) vodne pare v gradbenem
elementu, skica 2.6.
1/∆´
pvp
1/∆´ ´
pnasn
pnasn0
pvpn
pnas˝
pnas´
pnasz0
pnasz
pvpz
1/∆
Skica 2.6
Legenda k skici 2.6: pvpz je izmerjeni ali izračunani delni tlak vodne pare zunaj, pvpn je
dejanski delni tlak vodne pare v notranjosti prostora, pnasz0 je nasičeni parni tlak (ob
zunanji temperaturi stene Tzs) ob steni, pnasn0 je nasičeni parni tlak vode ob notranji steni
(temperature Tns), pnasz je nasičeni parni tlak vode pri temperaturi Tz, pnasn je nasičeni
parni tlak vodne pare pri temperaturi na sredini prostora Tn, pnas´ je nasičeni parni tlak pri
temperaturi T´, ki vlada na tem mestu v elementu in pnas˝ je nasičeni parni tlak pri
temperaturi T˝, ki vlada na pripadajočem preseku elementa. Temperature T´in T˝ se
odčita iz (1/U - T) diagrama za dani element. Daljici pvpn - pnas˝ in pnas´ - pvpz ,
ponazarjata gostoto difuzijskega toka med pripadajočim mestom in desnim mejnim
področjem kondenzacije in levim mejnim področjem kondenzacije ter zunanjo steno.
Strmini premic se razlikujeta zato je tudi gostota difuzijkega toka v obeh primerih
160
različna. Ta razlika obeh gostot difuzijskega toka podaja gostoto toka kondenzata, ki
znaša (konst v izrazu II-45 in II-46 je sedaj izpuščena).
n
jkond = j ˝ - j ´ =
p vp − p nas ˝ p nas ´− p vp
−
1
1
∆´
∆˝
z
II-53
V času t se potemtakem kondenzira (na enoto površine mejne plasti) masa,
mkonden = jkond t
II-54
vodne pare.
Debelo izvlečena krivulja, ki poteka skozi gradbeni element je krivulja nasičenega
parnega tlaka na danem mestu elementa, ki se jo določi iz tabele nasičenega parnega tlaka
vodne pare in to za temperature na posamezni legi od zunanje stene, temperature kot jih
napove (1/U – T) diagram.
Zasenčeno področje na skici predstavlja področje kondenzacije vodne pare pri danih
pogojih delnih tlakov in temperatur v zunanjosti in notranjosti ter za dani upor
prepustnosti pare, 1/∆, obravnavanega enoslojnega gradbenega elementa.
OPOZORILO: zgoraj opisani pristop je sicer uveljavljen v praksi, ni pa popolnoma
pravilen. Gre namreč za dejstvo, da sta v naprej opredeljeni dve poljubno izbrani mesti
znotraj preseka gradbenega elementa ter se nato za tako izbrana preseka izračuna nasičen
parni tlak iz temperatur, kot jih podaja (1/U – T) diagram. V resnici pa nastopi
kondenzacija vodne pare v področju že pred tema presekoma in sicer znotraj celotnega
področja, ki ga omejujeta sečišči krivulje nasičenega parnega tlaka vodne pare in
(linearna) premica parnih tlakov na zunanji in notranji strani elementa. Ti sečišči sta na
zgornji skici sicer vidni in sta posebej označeni s puščicama.
161
2.5
Kondenzacija vodne pare v večplastnem gradbenem elementu
Pojav kondenzacije vodne pare nastopa tedaj, ko delni tlak vodne pare (kar se dogaja
ob ohlajevanju zraka, glej vodoravni prehod na skici 2.1) postane enak nasičenemu (toda še
vedno je to le delni tlak – zunanji tlak se seveda le malo spreminja okoli normalnega zračnega
tlaka 1013 mb) parnemu tlaku vode pri temperaturi ohlajenega zraka. To se torej najpogosteje
pojavlja v zimskih mesecih tedaj, ko se temperature bistveno spustijo pod temperaturo
notranjosti prostora.
Za obravnavanje rosenja večplastnega gradbenega elementa je ključno razumevanje
skic 2.7 in 2.8. Pomembno je poudariti, da v primerih večslojnega elementa zadošča, da se
krivulje nasičenega delnega tlaka vodne para opiše v približku daljice in ne dejanske
eksponentne krivulje, kajti takšna natančnost v tem primeru ni potrebna.
T
pvp
pnasn
Tn
pnass
pnas2-3
Tsn
T2-3
T1-2
Tsz
nas
p
pnas1-2
s
pnasz
Tz
1
d1
αz λ
d2
λ2
d3
1
λ
αn
1
Δ1
1
U
1
Δ2
1
Δ3
1
Δ
Skica 2.7
K zunanji temperaturi Tz, diagrama (1/U – T) se iz tabele poišče pripadajoči nasičeni parni
tlak vode, pnasz, in se ga vnese na ustrezno mesto v (p – 1/Δ) diagram, k temperaturi zunanje
stene, Tsz, ustreza nasičeni parni tlak pnass, k temperaturi na mejni ploskvi prve in druge plasti
elementa T1-2, ustreza nasičeni parni tlak pnas1-2, itd. Zlagoma se na takšen način konstruira
celotni (1/Δ – p) diagram iz katerega je na takšen način mogoče prebrati potek krivulje
nasičenega parnega tlaka vode za večslojni element, ob pogoju Tz < Tn.
162
V nekem danem trenutku (pozimi!) znaša vrednost delnega tlaka vodne pare v
zunanjosti pz, vrednost delnega tlaka vodne pare v notranjosti prostora pa pn. V (1/Δ - p)
diagramu, se obe te vrednosti delnih tlakov. za dani triplastni element poveže s premico. Če je
tako dobljena linearna zveza delnega tlaka vodne pare višja kot je lomljena črta nasičenega
delnega tlaka vodne pare, tedaj nastopi rosenje (kondenziranje vodne pare), glej skico 2.8
p
pnassn
pn
pnas2-3
j˝
pnas1-2
pnassz
pz
j´
1
Δ1
1
Δ2
1
Δ3
1
Δ
Skica 2.8
Skica 2.8 ustreza pogojem, ki nastopajo v zimskem obdobju. Na skici predstavlja lomljena
črta veznico trenutnih delnih tlakov vodne para v zunanjosti, pz, in notranjost prostora, pn, ki
se jih dobi iz tabele na osnovi znanih temperatur Tz in Tn ter podatkov za ustrezni relativni
vlažnosti. Krivulja (toda premica v vsaki plasti posebej) nasičenega parnega tlaka - debela
črta, ki poteka v plasti 1, plasti 2 in plasti 3, leži v območju mejne površine stika plasti 1-2
(prva in druga z leve) pod krivuljo delnega tlaka vodne pare (črtkano). V tem območju se
tedaj vodna para nujno kondenzira (temno črtkani del skice 2.8 v okolici mejne površine 1-2,
ki sega zaznavno v 1. plast in nekaj manj v 2. plast, katere vidni del je označen svetlo
črtkano). Območje rosenja potemtakem obsega tiste dele plasti 1 in 2, ki sta omejeni s sečišči
delnega tlaka vodne para s krivuljo nasičenega parnega tlaka v vsakem od obeh stičnih slojev.
Potrebno je opozoriti, da predstavlja skica 2.8 dano stacionarno stanje, ki pa se v resnici preko
dneva vendarle spreminja. Natančno zasledovanje teh sprememb v okviru zapisanih
predpostavk ni smiselno in zadostuje, da se določi nasičeni parni tlak vodne pare na mejni
ploskvi 1-2, ki določa masni tok kondenzata (t.j. vlage). Le-ta je na skici 2.8 predočen s
163
puščicama, ki kažeta vzdolž veznic-dvojna črta- nasičenega parnega tlaka pn – pnas1-2 in pz –
pnas1-2. Razliki gostot masnih tokov tedaj podajata gostoto masnega toka nastalega kondenzata
vodne pare (rose) v okolici mejne površine 1-2, ki je podana (glej enačbo II-53), z
jkond = j˝ - j´ = tg Θ˝ - tg Θ ´ =
p n − p nas 1− 2
1
1
+
Δ2 Δ3
p nas 1− 2 − p z
.
1
Δ1
II-55
(kjer je konst od sedaj naprej izpuščena, glej II-45 in II-46). V času t se bo v stacionarnem
stanju kondenzirala množina vode, ki je enaka (II-54),
mvode = jkond A t,
II-56
kjer je A celotna (prečna, t.j. pravokotno na ravnino papirja) površina stika plasti 1 in plasti 2.
Poenostavljena predstavitev sušenja vlage eno in večplastnih gradbenih elementov je podana
v nadaljevanju.
2.6
RAVNOVESNA VLAŽNOST SNOVI
Vlažnost snovi, y, se izraža z razmerjem mase vodne pare z maso suhe tvarine. S
sušenjem na zraku, ki ni zasičen z vodno paro se odstranjuje nevezana vlaga, najprej iz
površine, nato iz večjih por in nazadnje iz najmanjših por kjer je vlaga še v nevezanem stanju.
Po določenem času se vzpostavi med vlago v materialu in vlago v zraku dinamično
ravnovesje kar pomeni, da se postopek sušenja snovi tedaj samodejno prekine. Vlažnost
materiala v ravnovesju z vlažnostjo zraka se imenuje ravnovesna vlažnost snovi, y´ in v
največji meri zavisi od njene strukture. Za nehigroskopske snovi je značilna odsotnost ozkih
por v notranjosti in zaradi tega je sorazmerno malo vlage v notranjosti vezano z močnimi
adsorpcijskimi silami. Sušenje takšnih snovi je preprosto kar pomeni, da je njihova
ravnovesna vlažnost nizka. V higroskopskih snoveh, ki običajno vsebujejo veliko
koncentracijo ozkih por se vlaga močno veže, kar priča nizki delni (parcialni) tlak vodne pare
nad površino snovi v primerjavi z delnim tlakom vodne pare pri tej temperaturi. Gre za
mikroporozne materiale za katere je značilno, da je njihova ravnovesna vlažnost zelo visoka.
Vlažnosti materiala v odvisnosti od relativne vlažnosti zraka se podaja z ravnovesno
krivuljo, ki je krivulja izotermnega ravnovesja (torej pri konstantni temperaturi), skica 2.1.
Posebej je potrebno, za dano snov, navesti ali je ravnovesna krivulja dobljena v fazi sušenja
ali v fazi vlaženja materiala. Toda neodvisno od zapisanega dejstva, je potrebno ugotoviti, da
se bo snov sušila v kolikor je pri danih pogojih (z ozirom na lastno vlažnost in vlažnost zraka)
v stanju, ki odgovarja področju nad ravnovesno krivuljo vlažnosti. Če je stanje snovi pod
krivuljo vlažnosti tedaj se bo pri teh pogojih snov (še nadalje) vlažila vse do polnega
nasičenja (pri tej temperaturi).
Netopne in neporozne snovi, kot sta to n.pr. steklena volna, mineralna volna, kaolin in
podobne, posedujejo relativno nizke stopnje ravnovesne vlažnosti, nasprotno pa porozne
snovi (zlasti tisti na osnovi celuloze) posedujejo zelo visoke vrednosti ravnovesne vlažnosti.
164
Vlažnost materiala [%]
Vlažno stanje snovi
Vlažen material
Krivulja ravnovesne vlažnosti
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
[η]
Skica 2.9: podaja krivuljo ravnovesne vlažnosti v odvisnosti od relativne vlažnosti zraka za
dano snov pri konstantni temperaturi.
Spremembe ravnovesne vlažnosti materiala s temperaturo so običajno majhne in
zato zanemarljive. Odvisnost ravnovesne vlažnosti snovi od temperature za vlažne snovi pri
dani relativni vlažnosti zraka podaja izraz,
∂y ′
= - A y´
∂T
II-57
kjer je A konstanta, ki se v odvisnosti od vrste snovi nahaja v intervalu od 0.005 K-1 pa do
0.01 K-1 , pri čemer je relativna vlažnost lahko v intervalu od 0.1 do 0.9.
165
2.6.1
Osnove sušenja snovi
2.6.1.1 Krivulja sušenja in krivulje hitrosti sušenja trdnih snovi
Sušenje trdne snovi pomeni zmanjševanje povprečne vsebnosti vlage v odvisnosti od
časa. Vlažnost snovi, y, kot funkcija časa je za večino trdnin shematsko predstavljena s
krivuljo na skici 2.10, ki jo je očitno moč razstaviti na štiri značilne segmente.
y
A
B
C
D
0
t
Skica 2.10: krivulja sušenja trdne snovi je sestavljena iz štirih značilnih segmentov: AB
(gretje), BC (konstantna hitrost sušenja), CD (površina snovi je samo še mestoma prekrita s
kapljevino) in od D naprej (uparjevanje vlage iz notranjosti snovi).
Postopek sušenja trdnih snovi sestoji iz naslednjih procesov: del krivulje, ki ga
omejuje segment AB odgovarja kratkemu časovnemu intervalu segrevanja snovi v katerem se
temperatura površine približuje konstantni vrednosti. Delež krivulje sušenja označen z BC
predstavlja časovni interval v katerem je hitrost sušenja konstantna in predstavlja proces pri
katerem je površina snovi prekrita s tanko plastjo vode konstantne temperature. Segment CD
predstavlja časovno obdobje v katerem je površina snovi mestoma še vedno prekrita z
nasičeno kapljevino, ki pa v intervalu od točke D naprej popolnoma izgine. V tem delu
krivulje sušenja prehaja vlaga iz notranjosti na površino in ko postane vlažnost snovi enaka
ravnovesni vlažnosti snovi je doseženo dinamično ravnovesje kar pri nespremenjenih pogojih
(temperature in tlaka) pomeni, da se sušenje prekine. Črtkana asimptota predstavlja
ravnovesno vsebnost vlage za dani postopek sušenja.
166
Hitrost sušenja običajno podaja odvod krivulje sušenja dy/dt v odvisnosti od
vsebnosti vlage y.
Ko je dosežena kritična vsebnost vlage v snovi tedaj prenos vlage iz notranjosti na
površino snovi ne poteka dovolj hitro, da bi se lahko nadoknadilo izparjeno kapljevino s
površine snovi. Zaradi zapletene in nehomogene strukture poroznih snovi se kritična vsebnost
vlage za vsako snov določa eksperimentalno, pri čemer je potrebno posebej navesti
prostornino vzorca, hitrost sušenja in postopek sušenja.
2.6.2
Načini prehoda vlage skozi snov
Sušenje površine materiala povzroči prehod vlage iz notranjosti (notranjih plasti)
trdne snovi na površino. Ta prehod vlage se odvija preko vsaj enega od možnih načinov, ki v
splošnem sestojijo iz:
• prenosa vlage z difuzijo skozi homogeno snov,
• prenosa vlage na osnovi kapilarnega učinka skozi granularne porozne trdnine,
• prenosa zaradi pojava gradienta tlaka in
• prenosa zaradi sile teže (gravitacijski prenos).
Prenos vlage v obliki difuzije kapljevine (tekočine) poteka skozi homogene snovi,
zlasti v takšnih, kjer sta trdna snov in vlaga vzajemno raztopljena (n.pr. glina). V splošnem
difuzija kapljevine poteka v vseh tistih primerih kadar je vsebnost vlage v intervalu med
maksimalno higroskopsko vsebnostjo vlage in ravnovesno vsebnostjo vlage v trdnini (n.pr.
les, lepila in pd.).
Prenos vlage z difuzijo vodne pare nastopi tedaj, ko se v snovi zaradi temperaturnega
gradienta ustvari bistvena razlika delnega tlaka vodne pare. Uparjevanje in difuzija pare
nastopajo pogosto tedaj, ko se snov na eni strani segreva, druga stran pa je izpostavljena
sušenju. Ta prenos se pojavlja tudi tedaj, če je vlaga v granulatu snovi medsebojno bolj ali
manj izolirana.
Kapilarni prenos vlage nastopa tedaj, kadar je kapljevina v trdnini medsebojno
povezana s porami, ki se raztezajo do površine dane snovi. Prenos vlage na kapilaren način
poteka do vrednosti maksimalne higroskopične vsebnosti vlage, ne odvija pa se v tistih
snoveh, ki sestojijo iz zelo drobno zrnatih materialov in prahov, kot n.pr. glina, pesek,
pigmenti barve itd.
2.6.2.1 Prenos vlage z difuzijo kapljevine
Pri konvektivnemu načinu sušenja poslednjo fazo sestavlja prenos vlage iz notranjosti
snovi na površino odkoder jo odnaša sušilno sredstvo (n.pr. zrak). V tej fazi sušenja očitno
velja, da je odnesena vlaga s površine enaka masnemu toku vlage, ki prodira iz notranjosti na
površino. Množina vlage je očitno sorazmerna gradientu vsebnosti vlage v snovi, mehanizem
prenosa na površino pa določa struktura snovi.
V homogenih trdninah (n. pr vlaknaste strukture, porozne sestave in pd.) poteka
prenos vlage na površino (najverjetnejše) v obliki difuzije vodnih molekul. Hitrost prenosa
vlage podaja modificirani Fikov zakon,
167
δ2y
dy
= D
dt
δ x2
II-58
kjer je izraz (poenostavljeno) zapisan za difuzijo v smeri osi x pri čemer konstanta D
predstavlja difuzijska konstanta za vodo v dani snovi.
V primeru, da je D konstanta je rešitev enačbe (II-58) enostavno najti za ravno ploščo,
ki je na eni strani podvržena sušilnemu sredstvu, vse ostale stranice pa so toplotno izolirane.
Za robne pogoje se običajno privzame, da je začetna vsebnost vlage v plošči povsod enaka in
podana s kritično vsebnostjo, ykrit ter, da je na površini izpostavljeni sušenju, vsebnost vlage
enaka njeni ravnovesni vsebnosti, y´. Pod temi pogoji je rešitev izraza (II-58) podana z
⎛π ⎞
y − y′
8 ⎡ −⎜⎝ l ⎟⎠
⎢e
=
y krit − y ′
π 2⎢
⎣
2
Dt
⎛π ⎞
1 −9⎜ ⎟
+ e ⎝l⎠
9
2
Dt
⎛π ⎞
1 − 25⎜⎝ l ⎟⎠
+
e
25
2
Dt
⎤
+ L⎥
⎥
⎦
II-59
pri čemer pomeni l debelino plošče.
Dobljeni izraz (II-59) običajno slabo popisuje eksperimentalno določeno krivuljo
hitrosti sušenja kar se pripisuje dejstvu, da difuzijski koeficient ni konstanten, poleg tega pa
velja, da je kritična vsebnost vlage v materialu nehomogeno porazdeljena. Samo če je čas
sušenja zelo dolg, tedaj je približna rešitev izraza (II-59)
⎛π ⎞
y − y′
8 −⎜⎝ l ⎟⎠
=
e
y krit − y ′
π2
2
Dt
II-60
osnova za aproksimacijo hitrosti sušenja, ki je podana tedaj z
dy
π 2D
( y krit − y ′)
= dt
2l 2
II-61
Potrebno je navesti, da se pri kontaktnemu, sevalnemu in dielektričnemu načinu
sušenja v snovi pojavlja poleg gradienta koncentracije vlage še mestoma izraziti temperaturni
gradient, ki pogojuje prenos vlage v smeri prenosa (prevajanja) toplote. Temperaturni gradient
vodi do povečane difuzije vode oziroma vodne pare, zmanjšanja površinske napetosti vode ter
lokalnega povečanja temperature zaradi česar se v kapilarah poroznih snovi pojavi prenos
tekočine na nižje temperaturne predele ter povzroča segrevanje zraka v kapilarah. Ob širjenju
se potiska vlaga v smer nižjega pritiska oziroma nižje temperature.
Pri konvektivnem sušenju, ko je gradient vlažnosti usmerjen od površine snovi v
njegovo notranjost, pri čemer ima gradient temperature ravno nasprotno smer, difuzija vlage
zmanjšuje skupni pretok vlage iz snovi.
Pogosto je difuzija vlage v sredstvu podvržena robnim pogojem, ki eksplicitno
zavisijo od časa (podoben primer predstavlja prevajanje toplote). Torej, potrebno je poiskati
rešitev difuzijske enačbe, (II-58),v eni razsežnosti, ki se ob zamenjavi zapisa za koncentracijo
kondenzata vode c, zapiše,
168
∂c
∂ 2c
= D
∂x 2
∂t
II-62
pri danemu začetnemu,
c t =0 = 0
(x > l )
II-63
in znanim robnim pogojem,
c x = l = φ (t)
(t > 0)
II-64
kjer c, ki je funkcija razdalje od koordinatnega izhodišča in časa, c = c(x, t), označuje
koncentracijo vlage v snovi. Seveda mora veljati, da za t Æ 0 sledi, da je φ (t) Æ 0.
Zadani proble, je reševanje homogene parcialne diferencialne enačbe ob
nehomogenem robnem pogoju. Z nastavkom,
g(x, t) = c(x, t) - φ (t)
II-65
pri čemer je g(x, t) še neznana funkcija, ki ustreza nehomogeni parcialni diferencialni enačbi,
∂g
∂φ
∂2g
= D
2
∂t
∂x
∂t
II-66
začetnemu pogoju,
g t =0 = 0
(x> l )
II-67
in homogenemu robnemu pogoju,
g
x =l
= 0
II-68
Na tem mestu je ustrezno, če se seznanimo z značilnostmi izraza,
t
∫ψ (t − τ ) χ (τ )dτ
II-69
0
ki ga odvajajmo po času t. V ta namen se je, zaradi dejstva, da je v izrazu (II-69) zgornja meja
integrala od časa odvisna, potrebno poslužiti relacije,
b(t )
d
f (u, t )du = f(b, t) b´(t) - f(a, t) a´(t) +
dt a∫( t )
b(t )
∂f
du
∂t
a (t )
∫
II-70
kjer a´ in b´ pomenita odvod spodnje in zgornje meje po času. Z uporabo (II-70) je tedaj
časovni odvod izraza (II-69) enak,
169
t
t
d
ψ (t − τ ) χ (τ )dτ =
dt ∫0
ψ(0) χ(t)
+
∫ψ ′(t − τ ) χ (τ )dτ
II-71
0
Pa vzemimo sedaj poljubno rešitev, c1(x, t), homogene parcialne diferencialne enačbe, (II-62)
in označimo,
t
∫ c (x, t − τ ) χ (τ )dτ
1
g1(x, t)
II-72
0
in odvajajmo po času. Tedaj neposredno sledi,
∂g1
∂t
∂c1 ( x, t − τ )
χ (τ )dτ
∂t
0
t
= c1(x, 0) χ(t) +
∫
II-73
drugi odvod funkcije g1(x,t) po neodvisni spremenljivki x, pa se izrazi v obliki,
∂ 2 g1
=
∂x 2
∂ 2 c1 (x, t − τ )
∫0 ∂x 2 χ (τ )dτ
t
II-74
Od tod zato neposredno sledi,
∂g1
∂t
- D
∂ 2 g1
∂x 2
= c1(x, 0) χ (t) +
⎧ ∂c1 ( x, t − τ )
∂ 2 c1 ( x, t − τ ) ⎫
−
D
⎬ χ (τ )dτ
∫0 ⎨⎩ ∂τ
∂x 2
⎭
t
+
II-75
Toda funkcija c1(x, t) zadošča izrazu (II-62), za t > τ zato sledi, da mora veljati,
∂g1
∂ 2 g1
- D
∂t
∂x 2
= c1(x, 0) χ (t).
II-76
Pa naj funkcija c1(x, t) zadošča parcialni diferencialni enačbi (II-62) pri začetnemu pogoju,
c1(x, 0) = -1
(x> l )
II-77
in danemu robnemu pogoju,
c1( l , t) = 0
(t>0)
II-78
S smiselno uporabo izraza (I-472), modificiranega za primer začetnega pogoja (I-459), ki se
sedaj zapiše,
f(x) = -1,
170
se lahko pokaže, da je rešitev c1(x, t), ki zadošča (II-76) ob pogojih (II-77) in (II-78 ) podana
z izrazom,
⎛ x−l ⎞
c1(x, t) = - Φ⎜
⎟
⎝ 2 Dt ⎠
(x> l , t> 0)
II-79
kjer je Φ verjetnostni integral, definiran z (I-471), skica 1.54.
Da je izraz (II-79) res rešitev parcialne diferencialne enačbe (II-62) in zadanega
začetnega, (II-77) ter robnega (II-78) pogoja je mogoče uvideti tudi kar z neposredno
substitucijo (II-79) v izraz (II-62). Z uporabo definicije verjetnostnega integrala pa je
neposredno očitno, da takšna rešitev zadošča zgoraj predpisanima začetnemu in robnemu
pogoju.
Na osnovi izraza (II-72) se potemtakem lahko zapiše,
⎛
⎞
x−t
⎜
Φ
∫0 ⎜ 2 D(t − τ ) ⎟⎟ χ (τ )dτ .
⎝
⎠
t
g1(x, t) = -
II-80
Funkcija g1(x, t) je rešitev izraza (II-76) pri danih pogojih (II-77) in (II-78), kar pomeni,
da je rešitev diferencialne enačbe,
∂g1
∂ 2 g1
= D
∂t
∂x 2
- χ (t),
II-81
kar pa je enačba, ki je identična z enačbo (II-66),
∂g
∂t
= D
∂φ
∂2g
2
∂x
∂t
II-82
pri čemer funkcija g1(x, t) zadošča začetnemu in robnemu pogoju,
g1
t =0
g1
= 0,
x =l
= 0.
II-83
Očitno tedaj velja, da je sta funkciji χ (t) in φ (t) povezani z izrazom,
χ (t ) =
dφ
.
dt
II-84
Rešitev nehomogene parcialne diferencialne enačbe g(x, t), ki zadovoljuje (II-66) in
predpisana homogena začetni in robni pogoj (II-67) in (II-68) se sedaj zapiše kot,
⎛
⎞
x−t
⎜
Φ
∫0 ⎜ 2 D(t − τ ) ⎟⎟φ ′(τ )dτ ,
⎝
⎠
t
g(x, t) = -
II-85
pri čemer je φ(t) v naprej predpisana funkcija, skladno izrazu (II-64).
Z nadaljnim preoblikovanjem enačbe (II-85) je mogoče izraziti iskano rešitev, t.j.
koncentracijo vlage, izraz (II-87), ki ustreza od časa odvisnemu robnemu pogoju, (II-64) in
171
danemu začetnemu pogoju (II-63). Do te rešitve se pride, če se izraz (II-85) integrira per
partes, torej
⎛
⎞ t
x−t
⎟φ +
g(x, t) = - Φ⎜
⎜ 2 D(t − τ ) ⎟ 0
⎝
⎠
t
⎛
∂
x−t
⎞
∫ φ (τ )∂τ Φ⎜⎜ 2 D(t − τ ) ⎟⎟ dτ .
⎝
⎠
II-86
0
Toda, φ(0) = 0 in Φ(∞) = 1 in ker je,
⎡
∂ ⎛⎜ x − l ⎞⎟
∂ ⎢ 2
Φ
=
⎢
∂τ ⎜⎝ 2 D(t − τ ) ⎟⎠
∂τ ⎢ π
⎣
x −l
2 D (t −τ )
−z2
∫e
0
x−l
=
2 πD (t − τ )
⎤
⎥
dz ⎥ =
⎥
⎦
3
e
−
( x −l )2
4 D (t −τ )
II-87
2
tako, da je funkcija g sedaj podana kot,
g(x, t) = - φ(t)
+
x−l
2 πD
t
φ (τ )
∫ (t − τ )
0
3
e
−
( x −l )2
4 D (t −τ )
dτ .
II-88
2
Končno, krajevna in časovna odvisnost koncentracije vlage, c(x, t), se sedaj, skladno izrazu
(II-65) zapiše,
c(x, t) =
x−l
2 πD
t
φ (τ )
∫ (t − τ )
0
3
e
−
( x −l )2
4 D (t −τ )
dτ .
II-89
2
172
Zgled:
Neskončno plast sestavljata dve (polneskončni) sredstvi, ki se stikata na razdalji x = l
od koordinatnega izhodišča. V prvem sredstvu (x < l ) je difuzijski koeficient enak D1 v
drugem sredstvu (x > l ) pa znaša D2. V trenutku t = 0 je koncentracija difundirajoče snovi v
koordinatnem izhodišču enaka 1. Izračunaj koncentracijo kot funkcijo kraja in časa, skica
2.11
y
l
0
x
Skica 2.11
V prvem sredstvu x < l koncentracija c1(x, t) zadošča difuzijski enačbi (II-62),
∂c
∂t
= D1
∂ 2c
∂x 2
II-90
in začetnemu pogoju,
c1
t =0
= δ (x)
II-91
Rešitev gornje diferencialne enačbe je pa že poznana iz poglavja o prevajanju toplote, kjer je,
skladno izrazu (I-461), mogoče zapisati,
1
c1(x, t) =
2 πD1t
∞
∫ f (ξ )e
−
( x −ξ )2
4 D1t
dξ ,
II-92
−∞
kjer znana funkcija f(ξ ) predstavlja krajevno porazdelitev koncentracije v času t=0. Če
vstavimo podani začetni pogoj, t.j.,
f(ξ) =
δ(ξ)
II-93
tedaj je koncentracija v prvem sredstvu v odvisnosti od kraja in časa namudoma lahko
izračunljiva in zato poznana in znaša,
c1(x, t) =
1
e
2 πD1t
−
x2
4 D1t
.
II-94
Pri izpeljavi izraza (II-94) je uporabljeno znano pravilo integracije Diracove delta funkcije,
δ(x), ki je,
173
∞
∫ δ (x − x )u(x )dx
0
= u(x0),
II-95
−∞
pri čemer je δ (x – x0 ) funkcija, ki je povsod 0 razen v točki x = x0 kjer je njena vrednost
neskončna pri čemer pa je integral delta funkcije enak 1,
∞
∫ δ (x − x )dx
0
=
1.
II-96
−∞
Dekta funkcija, δ (x-x0) je prikazana na skici 2.12
.
y
y(x) = δ (x – x0)
0
x0
x
Skica 2.12.
⎧ 0 za x < x 0
⎪
δ ( x – x0 ) = ⎨∞ za x = x 0
⎪ 0 za x > x
0
⎩
II-97
Za to, da bi poiskali rešitev difuzijske enačbe v drugem sredstvu, x > l , izhajamo iz
difuzijske enačbe,
∂c2
∂ 2 c2
= D2
∂x 2
∂t
II-98
za katero mora veljati začetni pogoj,
174
c2
t =0
(x > l )
= 0
II-99
in robni pogoj, ki sledi iz postavljenega problema,
c2
x =l
=
c1
x =l
= c1( l , t)
II-100
Toda to pa je prav primer homogene difuzijske enačbe in nehomogenega robnega pogoje zato
je rešitev izraza podana z (II-89),
c2 (x, t) =
x−l
2 πD2
t
c1 (l, τ )
∫ (t − τ )
0
3
e
−
( x −l )2
4 D2 (t −τ )
dτ
II-101
2
kjer je koncentracija c1( l , τ ) podana z izrazom (II-93) če vanj vstavimo x= l in t=τ .
175
2.6.2.2
Kapilarni prenos vlage
V snoveh, ki vsebujejo nezapolnjene pore in v granularnih tvarinah je kapilarni
pojav, to je pojav katerega vzrok gre pripisati dejstvu, da površina vode poseduje napetostno
stanje – površinsko napetost – odločujoč mehanizem prenosa vlage.
Na ukrivljenost gladine poljubne kapljevine ob stiku s trdno površino (t.j. steno
posode v kateri se nahaja kapljevina) odločujoče vpliva površinska napetost mejne plasti med
kapljevino in njeno paro, ki je ena od štirih zvrsti napetosti, ki v splošnem obstajajo na
takšnem stiku, skica 2.13. Te površinske napetosti, označimo jih z γ , ležijo v ustreznih
mejnih plasteh in sicer: na mejni plasti med trdnim telesom in plinasto fazo vlada γ tp, med
trdnim telesom in kapljevino, γ tk, med kapljevino in njeno paro, γ kp.
mejna plast trdna snov-para
Ftp
Stena (trdna snov)
mejna plast kapljevina-para
Fa
mejna plast kapljevinatrdnina
dno posode
θ
Ftk
Fkp
kapljevina
Skica 2.13. Rezultanta sil površinskih napetosti (sile ležijo v pripadajočih mejnih plasteh)
med kapljevino-paro, Fkp, kapljevino-trdno snovjo, Ftk, in trdno snovjo-paro, Ftp, v mirujoči
kapljevini uravnoveša adhezija, Fa. V odvisnosti od kontaktnega kota θ je rob kapljevine
(dolžine l , ki je v smeri pravokotno na ravnini skice) usločen (za 0 < θ < 900 ; tedaj po
definiciji kapljevina moči steno posode) ali izbočen (900 < θ < 1800 ; po definiciji
kapljevina ne moči stene). Velikost kontaktnega kota zavisi predvsem od vrste kapljevine in
kemijske sestave stene posode.
Ob upoštevanju definicije površinske napetosti γ ,
γ =
F
l
II-102
kjer je l dolžina robu mejne površine, F pa rezultirajoča sila s katero površina deluje vzdolž
roba, pri čemer sila F leži v mejni plasti, skica 2.13, velja v ravnovesju,
176
γ kp l sin θ - Fa l
= 0
(γtp - γ tk) l - γ kp l cos θ = 0
II-103
odkoder sledi, da je v ravnovesju,
Fa =
γ kp sin θ
γtp - γ tk =
γ kp cos θ .
II-104
Prva enačba izraza II-104 določa silo adhezije med kapljevino in steno posode, iz druge
enačbe pa je razvidno, da je kontaktni kot θ določen z rezliko površinskih napetosti med steno
posode in paro ter steno in dano kapljevino. V primeru, da sta zapisani vrednosti enaki, je
kontaktni kot natančno 900 in gladina kapljevine oklepa tedaj natančno pravi kot s steno
posode. To je n.pr. primer čiste vode, ki se nahaja v posodi iz srebra. Površinska napetost γ
zavisi od temperature, toda je zlasti močno odvisna od primesi, ki se jih (pri dani temperaturi)
doda kapljevini. Tako n.pr. pralni praški (detergenti) spremenijo kontaktni kot med tkaninami
in vodo iz vrednosti, ki je običajno večja kot 900 na vrednosti, ki bi naj bile čim nižje, θ < 900.
Prav obraten proces seveda velja, ko gre za pripravo vodonepropustnih tkanin.
Površinska napetost kemijsko čiste vode, γ kp, ki se nahaja v stiku z zrakom znaša:
75.6 x 10 –7 N/m pri T = 00 C, 72.8 x 10 –7 N/m pri T = 200 C, 66.2 x 10 –7 N/m pri T = 600 C
in 58.9 x 10 –7 N/m pri T = 1000 C.
V odvisnosti od vrednosti kontaktnega kota θ, ki ga oklepa mejna površina kapljevine s
steno posode, enačba (II-104) je povezan t. im. kapilarni pojav, skica 2.14..
F
2R
p0
z
p0
z
θ
θ
Skica 2.14.
Simbol F podaja sile površinske napetosti kapljevina-para za primer
kontaktnega kota θ < 900 (levo) in θ > 900 (desno). Vertikalna komponenta rezultante sil
površinske napetosti uravnoteža: težo stolpca višine z kapljevine v kapilari premera 2r (levo),
oziroma rezultanto sile zaradi razlike tlakov zraka in hidrostatičnega tlaka mirujoče
kapljevine.
177
Zaradi dejstva, da sta površinski napetosti med kapljevino in steno kapilare polmera
2R ter paro in steno kapilare različni, enačba (II-104), se mejna površina kapljevine ukrivi
tako, da je kontaktni kot θ ali manjši kot 900 (levo na skici 2.14) ali pa večji kot 900 (desno).
Kapljevina se, zaradi vertikalne komponente rezultante površinskih sil, v kapilari ali dviguje
ali pa znižuje z ozirom na preostali del kapljevine v posodi. V ravnovesju je vertikalna
komponenta rezultante površinskih napetosti enaka teži stolpca kapljevine v kapilari, oziroma
sili tlačne razlike zaradi atmosferskega zraka in hidrostatičnega tlaka mirujoče kapljevine
(desno, skica 2.14). Višina stolpca kapljevine z gostote ρ, v kapilari polmera R je v
ravnovesju tedaj enaka,
mg = F cos θ
ρ g π R2 z = γkp 2 π R cos θ
II-105
in odtod sledi višina z, ki je enaka
z =
2γ kp cosθ
II-106
ρ gR
Popolnoma enak izraz se dobi za znižanje nivoja kapljevine v kapilari, saj velja
(p0 + ρ g z ) A - p0 A = F cos θ
II-107
če se upošteva, da je presek kapilare A = π R2.
V vsakdanjem življenju so primeri kapilarnega učinka vode najbolj očitni pri uporabi
raznih papirnih brisač, robčkov in vrste drugih vpojnih tkanin.
Kar zadeva gradbene materiale se s kapilarnim pojavom prenaša vlaga predvsem v
granularnih snoveh in pa poroznih snoveh toda takšnih, ki vsebujejo množico med seboj
povezanih por, ki so na površini odprte. V navedenih primerih se predpostavlja, da snov
sestoji iz pravilno razporejenih neporoznih krogel (razporejene v romboederski ali
tetraederski porazdelitvi) med katerimi se oblikujejo pore, ki so seveda različnih polmerov. V
splošnem se nad vodo v kapilari nahaja mešanica zraka in (nasičene) vodne pare, zato se
enačba (II-106) prevede v soroden, toda približen, izraz
Δp = z g (ρk - ρp) =
z =
χγ
r (ρ k − ρ p )
χγ
r
II-108
kjer je χ faktor polnitve, ki zavisi od načina razporeditve krogel, γ je površinska napetost, ρk
in ρp sta gostoti kapljevine in njene pare, r pa je krivinski polmer meniskusa kapljevine v
kapilari. V primeru popolnega močenja, tj., ko je kontaktni kot θ = 0 sledi, da je tedaj r ≡ R.
Razlika tlakov Δp kot jo podaja izraz (II-108) se običajno imenuje sesalni potencial
kapljevine (vode).
178
Kapljevina v kapilarah zlagoma (zelo počasi) izpareva. V primeru, ko je na razpolago
kapljevina, ki lahko nadomesti nastalo izgubo se višine meniskusov v kapilarah ne
spreminjajo bistveno. Sistem se nahaja v ravnovesju – stene zgradb, ki so v stiku s talno vodo
ostajajo permanentno vlažne. V primeru, ko izgube pare kapljevine ni mogoče nadomestiti
nastopi sušenje. Slednji je v bistvu zapleten pojav, ki poteka zelo na grobo nekako takole: po
predpostavki so kapilare v notranjosti med seboj povezane zato je tlak v notranjosti vsota
hidrostatičnega tlaka kapljevine povečanega za delež zunanjega tlaka. Z izparjevanjem se zato
zmanjšuje delež hidrostatičnega tlaka kapilare odprte na zunanjo površino snovi (višina
kapljevine v površinski kapilari se zmanjšuje), kajti zaradi zunanjega tlaka se mora vzdrževati
ravnovesno stanje. Izparjevanje iz gladine kapilare se nadaljuje vse dokler se kapilara ne
izprazni, t.j. skoznjo prodre v kapljevino v površinsko plast snovi zunanja atmosfera.
(večinoma zrak). Posledica je prerazporeditev kapljevine v vseh plasteh snovi, vzpostavi se
novo eavnovesno stanje, kjer so kapilare zaradi površinske napetosti pod prvo plastjo
materiala sedaj zapolnjene do nivoja kot to zahteva sesalni potencial, enačba (II-108),
postopek se ponovi, pride do nove prerazporeditve kapljevine v notranjosti snovi itd. Toda
hitrost sušenja se sedaj zmanjšuje, kajti para iz notranjosti prehaja (skozi osušene plasti) na
površino snovi z difuzijo, ki pa poteka zelo počasi. Izparilno toploto je potrebno dovesti iz
okolice, hitrost difuzije pa je monotono naraščajoča funkcija temperature zato hitrost sušenja
bistveno zavisi od temperature.
V splošnem je potrebno ugotoviti, da zaradi površinske napetosti, ker niso prav vse pore
snovi na obeh straneh odprte, permanentno ostane v porah majhen delež kapljevine in je
popolna izsušitev snovi (zaradi zahtev po kar se da nespremenjenih lastnosti in pa obstojnosti
danega materiala) praktično redko izvedljiva.
179
2.7.
Naravno sušenje kondenzata vodne pare
2.7.1
Enoslojni element – poletno obdobje
T
p
pnasz
Tz
Tsz
p
nas
pnassred
sz
pnassn
Tsred
pnasn
Tsn
Tn
1
U
1
Δ
Skica 2.15
Senčeni del skice 2.15 predstavlja področje kondenzata v enoslojnem elementu. S pomočjo T
– 1/U diagrama se iz zunanjih in notranjih temperatur, Tz in Tn, določi temperaturo na sredini
ovlaženega področja gradbenega elementa, Tsred, ter temperaturi na površini sten zunaj in v
notranjost, Tsz in Tsn. Tako pridobljene temperature služijo za določitev krivulje nasičenega
delnega tlaka vodne pare na ustrezno pripadajočih mestih enoslojnega gradbenega elementa.
Konstrukcija (p – 1/Δ) diagrama, ki naj ponazarja sušenje (enoslojnega elementa), sloni na
podatkih, ki jih podaja desna stran zgornje skice 2.15. Na ta del diagrama se nanese trenutne
vrednosti delnega tlaka zunaj, pz, in v notranjosti prostora, pn. Ugotoviti je potrebno, da so leti poleti, tedaj so temperature visoke, praktično vedno ležijo zaznavno nižje, kot je krivulja
nasičenega delnega tlaka vode pri teh temperaturah., glej skico 2.16.
180
p
pnasz
nas
p
pnassred
sz
pnassn
pnasn
j˝
j´
pn
pz
1
Δ′
1
Δ ′′
1
Δ
Skica 2.16.
Delni tlaki vodne pare pri poletnih temperaturah v zunanjosti, pz, in v notranjosti, pn, se pod
običajnimi pogoji nahajajo zaznavo pod krivuljo nasičenega delnega tlaka vodne pare pri teh
temperatura. Kot posledica tega dejstva nastopi sušenje, to je prehajanje kondenzata vodne
pare (črtkano) na obe zunanji površini enoslojnega gradbenega elementa (dvojni črti). Gostota
toka, j˝ in j´ sta na skici 2.16 označeni s puščicama.
181
2.7.2
Večplastni gradbeni element (poletno obdobje)
Iz ygoraj zapisanega je že razviden potek določanja temperatur na mejnih plasteh
gradbenega elementa ter način določanja gostota toka sušenja vlage iz njegove notranjosti.
T
p
pnasz
Tz
Tzs
T1-2
T2-3
pnass
Tsn
pnas1-2
Tn
pnas2-3
pnassn
j´
j˝
pnasn
pn
pz
1
k
1
Δ
Skica 2.17.
Iz (T – 1/U) diagrama določene temperature na mejnih površinah, skica 2.17,
služijo za določanje nasičenega parnega tlaka na teh mejnih površinah večslojnega
gradbenega elementa. Delna tlaka vodne pare v zunanjosti in znotraj prostora sta pz in pn.
Področje vlažnosti je na desnem, (p – 1/Δ), diagramu podano senčeno. Daljici, ki vežeta
nasičeni parni tlak pri temperaturi T1-2, t.j. pnas1-2 s trenutnima vrednostima delnega tlaka
vodne pare v zunanjosti in notranjosti, podajata gostoto toka vlage, ki je podvržen izsuševanju
na zunanji in notranji steni. Iz diagrama je razvidno, da v danem primeru obstajajo pogoji
temperatur in vlažnosti takšne narave, da se nahaja veznica (pnas1-2 – pn) pod daljico
nasičenega parnega tlaka (pnas1-2 – pnas2-3). To pomeni, da je na vsem področju plasti 1-2 in 2-3
delni tlak vodne pare (ob danih pogojih) manjši, kot je nasičeni parni tlak pri teh pogojih kar
neposredno vodi, do uparjevanja rose. To ilustrira gostota masnega toka uparjevanja (t.j.
sušenja) vlage, j˝. Iz diagrama je razvidno, da se v poletnih razmerah, rosa na mejni plasti 1-2,
vedno suši skozi prvo plast elementa v smeri navzven, j´.
182
V pogojih hladnega poletja pa se lahko pripeti primer, ki je v povečanem merilu,
prikazan na spodnji skici 2.18. V tem primeru se daljica delnega tlaka vodne pare umešča nad
krivuljo nasičenega parnega tlaka, kot le-ta poteka preko drugega sloja. V tem primeru,
uparjevanje ni mogoče in zato se rosa iz mejne plasti 1-2 (temno senčeno) »prestavi« še na
mejno plast 2-3 (svetleje senčeno). V tem primeru se govori o oteženem sušenju. Kondenzat
vodne pare na mejni površini 1-2 odteka na mejno površino 2-3, kar je na diagramu prikazano
z gostoto masnega toka vlage, j. Sušenje tedaj poteka vzdolž puščic j´ in j˝, podobno kot v
zgornjem primeru, toda zaradi zmanjšanih strmin obeh daljic, z zmanjšano intenziteto.
p
pnasz
pnaszs
pnas1-2
jvlage
pnas2-3
pnasns
j´
pn
pz
pnasn
j˝
1
Δ1
1
Δ2
1
Δ3
1
Δ
Skica II.18.
Primer oteženega sušenja nastopi tedaj, ko leži nasičeni parni tlak na mejni plasti 2-3 pod
veznico delnega tlaka vodne pare med nasičenim parnim tlakom kondenzirane vlage na meji
1-2, pnas1-2 in trenutnim delnim tlakom vodne pare v notranjosti prostora.
183
2.8.
Gostota (masnega) toka uparjevanja vlage
Gostota toka vlage, ki se v opisanih okoliščinah lahko izsuši, pa je v primeru uparjevanja
podana z vsoto prispevkov gostote toka, kajti uparjevanje poteka hkrati na zunanji in notranji
strani večslojnega gradbenega elementa, glej skice.
a) Običajni pogoji uparjevanja kondenzata (skica 2.17)
Iz skice 2.17, je neposredno razvidno,
1− 2
jupar = j´ tg θ ´ + j˝ tg θ ˝ =
pnas
1
Δ1
− pz
1− 2
p
− pn
+ nas
.
1
1
+
Δ 2 Δ3
II-109
b) Pogoji oteženega uparjevanja (skica 2.18)
V primerih, ko pade daljica delnega parnega tlaka vode nad daljico nasičenega parnega
tlaka, skica 2.18, tedaj se prične element na orošeni mejni površini sicer delno sušiti,toda
večina kondenzirane vlage se preko gostote masnega toka, jvlage, prenese na sosednjo mejno
plast, kjer kondenzat počasi preko gostote tokov, j´in j˝ prehaja nazaj v parno stanje. Iz skice
2.18 sledi, da je gostota toka uparjevanja enaka,
2 −3
jupar = j´ tg θ ´ + j˝ tg θ ˝ =
2 −3
pnas − pz
p
− pn
+ nas
.
1
1
1
+
Δ1 Δ 2
Δ3
II-110
Masa vlage, ki se upari v času t na enoto mejne površine večplastnega gradbenega elementa je
v obeh zgoraj zapisanih primerih tedaj podana z izrazom,
mvlage
S
= jvlage t,
II-111
ob predpostavki, da so vsi opisani pojavi stacionarni,torej neodvisni od časa. V praksi temu ni
vedno tako, toda zapisani izrazi so približek, ki so uporabni za oceno razmer tudi v pogojih,
ko se gostote toka vlage, j´in j˝, s časom spreminjata.
184
2.9 Vpliv kondenzata vode na toplotno izolacijo
Kondenzat vodne pare nastane kot posledica spremenjenih vremenskih pogojev na mejnih
plasteh gradbenega elementa. Kondenzat se v elementu delno absorbira, delno pa difundira v
okolico, v kolikor je ta pojav neoviran (odsotnost difuzijskih zapor). Večinoma se s
kondenzatom navlažijo plasti toplotne izolacije, kadar je le-ta iz takšne snovi, ki vpija vodo. V
teh primerih pa se vpijanje kondenzata odraža v spremembi toplotne izolativnosti takšnega
sloja, ki s tem izgubi del svoje predhodne lastnosti.
Mero za absorpcijsko sposobnost vode v snovi podaja t.im. višina omočenja. Za nekatere
snovi je podana v Tabeli II.1 spodaj.
Tabela II.1
Snov
Višina
omočenja
[cm]
Ocene sposobnosti absorpcije
kondenzata vode
Toplotno obdelana pluta
Smolnata pluta
do 0,5
do 5,0
mala
srednje
Poliuretan
Polistirol-granulat
Polistirol-ekstrudiran
Plošče iz lesnih vlaken in slame
Lahke gradbene plošče iz lesne
volne
Toplotno izolacijske snovi iz
mineralnih vlaken brez bitumna
do 1,0
blizu 1,0
0,0
> 30,0
> 30,0
malo
malo
nična
zelo velika
zelo velika
> 30,0
zelo velika
Steklena volna
0,0
nična
V kolikor se gradbeni element sestoji tudi iz sloja hidroskopske plasti toplotne izolacije,
tedaj velja pravilo, da takšna plast sama prevzame celotno dopustno množino vode.
Koeficient njene toplotne prevodnosti se zaradi tega dejstva spremeni, kot zapisano v
nadalnjem, in to dejstvo je potrebno upoštevati v računih toplotnih izgub, oziroma toplotne
bilance.
Podatek o množini absorbirane vlage v snovi se navaja na dva načina:
a) v utežnem deležu, Ug, t.j. v % deležu mase (teže) snovi, ki vpija vlago,
Ug =
mvlage
m
=
j vlage At
m
,
II-112
kjer je mvlage masa kondenzirane vlage, A površina mejne ploskve, m pa masa
gradbenega elementa, ter
b) v prostorninskem deležu, UV, t.j. v % deležu prostornine snovi, ki vpija vlago,
185
UV =
Vvlage
V
,
II-113
kjer je Vvlage prostornina vlage v dani snovi.
2.9.1
Sprememba koeficienta toplotne prevodnosti snovi zaradi prisotnosti vlage
V prvem približku je sprememba koeficienta toplotne prevodnosti snovi v vlažnem stanju
podana z izrazom,
Z ⎞
⎛
λV = λ ⎜ 1 + U g
⎟,
100 ⎠
⎝
II-114
če je znan delež vlažnosti v odstotkih teže snov, Ug, oziroma,
Z ⎞
⎛
λV = λ ⎜ 1 + U V
⎟,
100 ⎠
⎝
II-115
v odstotkih deleža prostornine snovi, UV. V obeh izrazih pomeni Z dodatek, zaradi povečane
vlažnosti, ki izhaja iz Tabele 2.2, spodaj.
186
Tabela 2.2
Snov
Polna opeka
Votla opeka
Beton
Apnena malta
Plinobeton
Malta
Lesobeton
Mavčne plošče
Iverna plošča
(DIN 68 761)
Plošča
iz
lesnih
vlaken (DIN 68 750)
Plošče iz slame in
trsja (DIN 1101)
Druge
organske
snovi iz izolativnega
materiala
Plošče iz plute
Izolacijske snovi iz
mineralnih vlaken
Penasti
umetni
materiali
Vsebnost vlage z ozirom na suh zrak
utežni delež
prostorninski delež
1
2
Dodatek Z
20
12,5
5
12
2
12,5
20
1
20
1
10
5
1
2
5
2
187
2. 10 Kondenzacija vodne pare na notranjih stenah zunanjih gradbenih elementov
Posebnega pomena, kar zadeva kondenzacije vodne para na notranjih površinah
zunanjega gradbenega elementa predstavlja vogal stavbe, skica 2.19. Pozimi je namreč velika
površina zunanjosti vogala izpostavljena nizkim temperaturam, ki oddajajo toplotni tok kot ga
prejema relativno manjša površina notranjega dela vogala.
T = -200
Tzs
T = -100
T = 00
T = +100
Tns
Tn = +200
1
α n kot
Tns
Tn
1
1
αz
αn
1
U
Skica 2.19.
.
Temperaturo notranje stene v primeru, velike, popolnoma ravne površine se izračuna iz
izraza,
Tns = Tn -
Tn − Tz
1
,
1 1 1 αn
+ +
α z Λ αn
II-116
ali pa se jo določi s pomočjo (T-1/U) diagrama.
188
Zapisani izraz pa ne velja za primer, dveh elementov, ki se nahajata pravokotno drug na
drugega, torej za vogal zgradbe. Temperaturno polje za takšen primer, približno predstavlja
zgornja skica. Očitno je razsežnost in prostorska porazdelitev mejne plasti zraka v kotu
bistveno drugačna kot pri ravni površini zato se koeficient prestopa toplote za primer kota,
αnkot, zaznavno razlikuje od αn. To pomeni, da je upor prestopa toplote v kotu, 1/αnkot večji,
kot je upor prestopa toplote preko mejne zračne plasti ob ravni vertikalni površini. Za primer
določitve temperature notranje površine vogala, se je v praksi uveljavilo načelo, po katerem
velja,
1
αn
kot
= 3
1
αn
.
II-117
Temperaturo notranje vogalne stene se tedaj izračuna s pomočjo gornje enačbe tako, da se
zanemari upor prestopa na zunanji steni kota. Na takšen način se za temperaturo stene kotne
površine v notranjosti prostora dobi izraz,
Tnskota = Tn -
Tn − Tz
1
3
.
1
1 αn
+3
αn
Λ
II-118
K tako izračunani temperaturi površine vogalne stene v notranjosti se s pomočjo tabele
nasičenega delnega tlaka vodne pare (ali iz izračuna) določi vrednost nasičenega delnega tlaka
pri tej temperaturi, pnas(Tnskot). Delni tlak vodne para pri temperaturi v notranjosti prostora, Tn,
je p(Tn) in je načelno poznan. V kolikor je le-ta večji, kot je vrednost nasičenega parnega
tlaka pri temperaturi vogala, tedaj se bo na vogalni steni pričela kondenzirati vodna para.
Zaradi dejstva, da je upor prehoda vodne pare, 1/βn, (to je količino, ki smo jo vse do sedaj
zanemarili) v primeru vogala zelo majhna količina (kar je značilnost vogalov) je masa
kondenzirane pare na časovno enoto, na vogalni steni v splošnem velika. Na teh površinah se
torej najprej izloča kondenzat in tudi najtežje ga je izsušiti. Posledice (če izvzamemo
mehanske in toplotne pojave) se odražajo v dejstvu, da se na takšnem mestu najprej razvije
zdravju škodljiva plesen.
189
2. 11
Preprečevanje kondenzacije vodne pare
2.11.1 Osnove zaščite pred vlago
Zgradbe so izpostavljene najrazličnejšim vplivom okolja, ki kvarno delujejo na
lastnosti uporabljenih materialov in s tem na delovne in bivalne pogoje, ki jim je objekt
namenjen. V tem smislu sta izrazita kvarna vpliva nihanje temperature in s tem povezan vpliv
vlage na mikroklimatske pogoje bivanja, ki se odražajo v poslabšanju zdravstvenih pogojev,
povečanju porabe energije za gretje in nenazadnje posledični vkvarni vpliv na nosilne
konstrukcije objekta.
Tako n.pr. se vpliv poškodbe toplotne izolacije zgradbe odraža v njeni notranjosti
in to na način, da se lahko zgodi, da je temperatura kakšnega prostora v zgradbi pozimi
manjša kot je temperatura rosišča zraka v tem prostoru. Namreč pri dani temperaturi lahko
suhi zrak vsebuje omejeno količino vodne pare (mešanica se obnaša kot idealni plin). Delni
tlak vodne pare v zraku je torej navzgor omejen. Če je vodne pare več kot jo lahko zrak
sprejme (pri dani temperaturi) se presežek kondenzira v obliki padavin (kapljice, sneg). Če
vodne pare v zraku ni tedaj je delni tlak vodne pare enak nič (tlak mešanice je vsota delnih
tlakov komponent, ki mešanico sestavljajo) delni tlak vodne pare (pri dani temperaturi) kadar
je vsebnost vlage v zraku največja mogoča (pri tej temperaturi) pa je tedaj nasičeni parni tlak.
Nasičeni parni tlak s temperaturo raste to pomeni, da dana prostornina zraka lahko z višanjem
temperature vsebuje vedno večjo množino vodne pare in sicer do vrednosti, ki je določena z
nasičenim parnim tlakom vodne pare pri tej (višji) temperaturi. Velja seveda tudi obratno;
vlažen zrak n.pr. pri temperaturi T1 pričnemo hladiti, s padajočo temperaturo se zmanjšuje
tudi količina vodne pare, ki je še lahko vsebovana v mešanici. Eventuelno dosežemo
teperaturo, ko je količina vodne para – ves čas prisotne v mešanici- enaka množini, ki jo
mešanica (zrak) pri tej temperaturi lahko še sprejme. Ta temperatura je rosišče. Vsako
nadaljnje (tudi najmanjše) znižanje temperature povzroči, da se določen majhen del vlage
kondenzira. Pravimo, da je postal zrak (pri tej nižji temperaturi) nasičeno vlažen. Delni tlak
vodne pare pri (prvotni višji temperaturi) pa se je sedaj znižal na vrednost nasičenega parnega
tlaku vodne pare (pri tej temperaturi). V obeh primerih je masa vodne pare v mešanici seveda
nespremenjena; saj gre zgolj za znižanje temperature mešanice.
Torej, če se zaradi pomanjkljive toplotne izolacije temperatura v prostorih zniža pod
temperaturo rosišča, se del vodne pare iz zraka kondenzira. Nastala vlaga povečuje možnost
gojenja mikroorganizmov v prostoru ter nastanek plesni in s tem kvarno vpliva na zdravstvene
pogoje bivanja. Podobno vpliv ima talna vlaga, ki nastane zaradi pomanjkljivosti
hidroizolacije, ki pa večinoma dodatno kvarno vpliva na mehanske lastnosti konstrukcije in
sten. Za preprečevanje vdora atmosferske vlage v notranjost konstrukcij se zato uporablja
parna zapora, za preprečevanje vdora kapilarne vlage pa hidroizolacija.
190
2.11.2
Parna zapora
Parna zapora v ustreznih konstrukcijskih delih (ostrešje, streha, preprečuje
difuzijo vodne pare skozi konstrukcijo. Če se zraku dane relativne vlažnosti η, kjer je
η =
pvp (T )
II-119
pn (T )
pvp delni tlak vodne para v zraku temperature T, pn pa nasičeni parni tlak pri tej temperaturi,
znižuje temperatura se zmanjšuje maksimalno mogoča količina vodne pare, ki jo lahko zrak
vsebuje in če pade temperatura pod rosišče se del vlage v zraku kondenzira v obliki rose.
Odvisnost vsebnosti vodne pare v nasičenem zraku (absolutna vlažnost, t.j. masa vodne pare
na enoto prostornine) podaja Tabela 2.3. Zaradi razlike parcialnih tlakov na obeh straneh
konstrukcije in zaradi poroznosti (izolacijskih) in paropropustnosti materialov vodna para
difundira skozi konstrukcijo. Če med difuzijo delni tlak vodne pare postane enak nasičenemu
parnemu tlaku vode pri dani temperaturi se bo del pare kondenziral in ta del lahko povzroči
poškodbe konstrukcije (zlasti ob zmrzali). Za preprečitev te možnosti se v konstrukcijo vstavi
parno zaporo iz paronepropustnega materiala.
TABELA 2.3
Vsebnost vodne pare v zraku
Temperatura zraka
o
C
Del vlage
g/kg
Absolutna vlažnost
g/m3
- 40
- 30
- 20
- 10
0
10
20
30
40
50
60
70
0,007
0.232
0,641
1,618
3,822
7,727
14,88
27,55
49,52
87,52
154,7
281,5
0,115
0,332
0,881
2,136
4,855
9,391
17,27
30,32
51,04
82,72
129,6
196,8
Nasičeni
tlak vode
kPa
parni
0,103
0,260
0,610
1,227
2,337
4,243
7,372
12,332
19,865
31,064
Upor parne zapore difuziji vodne pare (oziroma difuzijski ekvivalent plasti zraka,
glej str. 155) je definiran kot produkt koeficienta upora μ (brez enote) difuziji vodne pare v
materialu parne zapore ter debeline parne zapore d. Iz prakse je znano, da mora biti
minimalna vrednost upora parne zapore μ d > 100 m ob pogoju, da je ta produkt večji kot
upor parne zapore ostalih plasti, ki nastopajo v konstrukciji.
191
Koeficient upora difuziji vodne pare dane snovi je število, ki pove kolikokrat je upor
difuziji vodne pare dane snovi večji kot je upor difuziji sloja zraka enake debeline pri enakih
pogojih. Ti podatki se navajajo v tabelah, kot n.pr. v Tabeli 2.4
TABELA 2.4
Koeficienti upora difuziji vodne pare v snovi
Snov
μ
Bitumenski trak s folijo iz aluminija:
a) debeline 0,1 mm
b) debeline 0,2 mm
Polietilenska folija
poliizobutilenski trak
100 000
150 000
80 000
300 000
Če je koeficient upora difuziji vodne pare μ majhen ali pa je manjši kot je koeficient
upora plasti, ki naj služi kot zaščita pred vlago, tedaj je konstrukcija nepravilno
dimenzionirana kar pomeni, da se bo v konstrukciji s časom pojavila vlaga, ki bo privedla do
poškodb.
Napačno projektirana parna zapora (ali pa celo njena odsotnost v knstrukciji)
povzroča poškodbe toplotne izolacije, kajti zaradi nakopičene vlage se toplotna prevodnost
tako navlaženih snovi poveča (izolativnost se zmanjša) tako, da poleg povečanih toplotnih
izgub nastopijo na spojih (zaradi kemijskih reakcij ob prisotnosti vlage) sčasoma običajno še
dodatne mehanske poškodbe.
Pomembno je navesti, da mora biti parna zapora mehansko nepoškodovana in ne
sme biti podvržena neposrednim atmosferskim vplivom (zlasti je škodljivo UV sevanje).
Pravilna umestitev parne zapore v dani konstrukciji je podana na skici 2.23 in skici
2.24 na strani 195.
192
2.11.3
Hidroizolacija
Pomanjkljivo dimenzionirana toplotna izolacija, zlasti in posebej (ravnih) streh ali
pa napačno izvedeno zaporedje potrebnih plasti celostne toplotne in vodne zaščite ima lahko
za posledico, da pride pod ustreznimi atmosferskimi pogoji do kondenzacije vodne pare v
notranjosti konstrukcije. Na skici 2.20 je podan posplošen prikaz značilnih načinov možnega
prodiranja vlage v objekt oziroma njegove posamezne dele.
Skica 2.20. Najpogostejši načini prodiranja vlage v objekt oziroma dele objekta.
Da se prepreči kvarni vpliv vlage na bivalne in delovne pogoje je potrebno objekt
zaščititi pred vdorom vlage. To se stori s skrbno in na pravilen način izvedeno hidroizolacijo,
ki sestoji iz nanosa ustreznega števila za vlago nepropustnih plasti, ki pa morajo biti same
posebi zaščitene pred mehanskimi poškodbami pa tudi pred prevelikimi temperaturnimi
spremembami, ki lahko kvarno vplivajo na njihove vodonepropustne lastnosti. Hidroizolacija
ravnih površin je prikazana na skici 2.21.
Skica 2.21. Hidroizolacija ravnih površin: (1) zaščitni sloj hidroizolacije (beton, gramoz), (2)
plasti med seboj spojenih hidroizolacijskih trakov, (3) AB plošča oziroma podložni tlak.
193
Hidroizolacijo se polaga izključno na sorazmerno gladke in popolnoma suhe
površine pri čemer je posebej potrebno paziti na dejstvo, da se trakovi hidroizolacije pri spojih
medsebojno prekrivajo za približno 10-20 cm ter da so med seboj zanesljivo,
vodonepropustno, spojeni (bitumenski zgolj s termalno obdelavo) in popolnoma brez
mehanskih poškodb. Zlasti kočljiva mesta pri izvedbi hidroizolacije so vogali in razni
zaključki. Posebej je potrebno paziti, da je horizontalna izolacija tlaka zanesljivo povezana s
horizontalno izolacijo pod zidom, ki se mora nato zvezno nadaljevati v vertikalni
hidroizolaciji najmanj v višini 20-30 cm.
Vertikalno hidroizolacijo zunanjih zidov kletnih prostorov se poveže z
hidroizolacijo horizontalnih talnih površin na način, da je zagotovljena popolna zaščita pred
vodo in vlago iz okolnega zemljišča. Vertikalna hidroizolacija je običajno izvedena tako, da
se nosilno steno premaže z debelejšo plastjo cementne prevleke sledi premaz z ibitolom, nato
prevleka z naneseno (vročo) bitumensko maso, na katero se toplotno privari bitumenski trak,
ki se ga nato proti zunanjosti še dodatno mehansko zaščiti.
Običajni postopek hidroizolacije z uporabo bitumenskih trakov je naslednji: ena do
dva premaza podlage z ibitolom, en premaz z bitumensko maso, plast bitumenskih trakov, ki
se jih s toplotno obdelavo spoji s podlago, ki ji lahko sledi ponovni premaz z bitumensko
maso ali pa samo plast mehanske zaščite.
Na skici 2.22 je predstavljen nepravilen (a) in pravilen (b) način izvedbe
hidroizolacije podnožja zgradbe.
a
b
Skica 2.22. Zaključek vertikalne hidroizolacije podnožja zgradbe, (a) napačna in (b) pravilna
izvedba: 1 neravna podlaga vertikalne hidroizolacije, 2 nezaščiteno podnožje, 3 odprt
zaključek vertikalne hidroizolacije, 4 vertikalna in horizontalna hidroizolaciji sta povezani, 5
dovolj visoko podnožje, 6 toplotna zaščita.
194
Zaradi različnega termalnega raztezanja toplotno izolacijskih plasti ter preostalih
plasti oziroma delov konstrukcije nastajajo razpoke, skica 2.23 in skica 2.24.
Skica 2.23. Izvedbeni detail toplotne izolacije na robu ravne strehe. Leva skica (a) prikazuje
pomanjkljivo izvedbo, desna skica (b) pa pravilno projektirano izolacijo. Številke pomenijo
naslednje: 1 gramoz s peščenjakom, kot mehanska zaščita hidroizolacije, 2 hidroizolacija, 3
toplotna izolacija, 4 parna zapora, 5 nosilna konstrukcija (AB plošča), 6 pločevinasti rob, 7
podaljšani fasadni omet, 8 razpoke zaradi toplotno nezaščitene AB plošče, 9 prekritje iz
aluminija ali bakra, hidrofobni omet z vložkom žičnega pletiva, 11 kondenzirana vodna para.
Skica 2.24. Toplotna izolacija okoli žleba na ravni strehi. (a) nepravilna in (b) pravilna
izvedba. Številke pomenijo: 1 gramoz, 2 hidroizolacija, 3 toplotna izolacija, 4 parna zapora,
beton z nagibom, 6 nosilna konstrukcija, 7 žleb, 8 kondenzirana vodna para.
Zaradi nekakovostne izvedbe del lahko pride do poškodb toplotne izolacije, ki
posledično lahko omogočijo, da se vodna para kondenzira na notranji hladnejši strani tako
poškodovanega dela, skica 2.25.
Skica 2.25. Poškodbe konstrukcije zaradi mehanskih poškodb hidroizolacije: 1 poškodovana
hidroizolacija, 2 toplotna izolacija, 3 parna zapora, 4 konstrukcija, 5 kondenzacija in
delovanje vodne pare pod hidroizolacijo, 6 mehansko poškodovana toplotna izolacija, 7
kondenzacija vodne pare.
195
Za hidroizolacijo se ponavadi najpogosteje uporabljajo bitumenski proizvodi,
sintetični hidroizolacijski materiali, kovinski trakovi in pločevina.
Bitumenski materiali so bitumenski trakovi z vložki iz mineralnih snovi, kartona,
jute in kovinskih folij in bitumenske mase. Za ravne strehe se ne smejo uporabljati juta in
kartoni impregnirani z bitumnom, kajti zaradi sorazmerno majhne količine bitumna s katerim
so ti materiali zaliti je njihova stabilnost (vzdržljivost) in vlečna trdnost manjša od ostalih
bituminiziranih snovi. Bitumenski trakovi se polagajo na sloj vroče segretega bitumna pri
čemer mora biti preklop med dvema trakoma vsaj 10 cm. Na zadnji sloj bitumenske
hidroizolacije se nanese premaz iz vročega bitumna ali bitumenske mase. Hidroizolacijo, ki je
izpostavljena mehanskim vplivom in pa insolaciji sonca je potrebno skrbno zaščititi, zaščita
pa je potrebna tudi pred požarom.
Sintetični hidroizolacijski materiali so v obliki folij, trakov ali pa premazov in so
proizvedeni na osnovi poliizobutilena, polivinilklorida, butila in klorprena. Uporabljajo se tam
kjer so postavljene pred projektanta posebne zahteve (zelo neugodni klimatski pogoji, posebni
kemijski vplivi, stalne zelo visoke temperature itd.).
Pri hidroizolaciji streh je potrebno paziti, da je število slojev hidroizolacije
ustrezno, saj premajhno število povzroči naglo propadanje hidroizolacije. Zlasti je pomembna
izdelava plasti, ki služi kot vmesna plast med hidroizolacijo in podloge s čimer se omogoči
izenačitev tlaka. V nasprotnem primeru se v hidroizolacijskem sloju pojavljajo večje
napetosti, ki kmalu privedejo do njene mehanske poškodbe (razpoke).
Prav tako je potrebno paziti, na dejstvo, da s v hidroizolacijskem sloju nahajajo
ustrezne dilatacijske rešetke, sicer hidroizolacija lahko na določenih mestih,zaradi tega ker je
preprečena dilatacija, popoka.
Hidroizolacija streh mora biti, zaradi dejstva, da je podvržena velikim nihanjem
temperature, zadovoljivo toplotno zaščitena, sicer pride do mehanskih poškodb, ki omogočijo
vdor vode v notranjost. Zaradi povišane temperature pod vplivom sončnega sevanja voda, ki
se zbira pod izolacijskim slojem, izpari pri čemer se pojavijo mehurji v hidroizolaciji, skica
2.26 (a). Raztezanje materiala na enem delu hidroizolacijskega sloja pa povzroči močne
lokalne obremenitve materiala, ki lahko privede do pojava razpok. Zaradi močnih nihanj
temperatur in napetostih, ki se pojavijo v sloju hidroizolacije, lahko pride do poškodb sloja, ki
služi za podogo sloju hidroizolacije (toplotna izolacija, podložni beton z nagibom, izd.). Skozi
Skica 2.26. Poškodbe zaradi pomanjkljive zaščite hidroizolacije pred prevelikimi dnevnimi
temperaturnimi spremembami: 1 hidroizolacija, 2plinobeton kot toplotna izolacija, 3 AB
plošča, 4 kondenzacija vodne pare, 5 parna zapora, kondenzacija pod izolacijo, 7 razpoke, 8
raztezanje sloja zaradi parnega tlaka.
196
razpoke v sloju toplotne izolacije se uvleče hladen zrak do toplotno nezaščitenega dela
konstrukcije kjer se zato kopičita kondenzirana voda in vodna para, skica 2.26 (b).
Zunanja obloga slojevite fasade nudi zaščito pred vetrom in atmosferskimi
padavinami pri čemer toplotna izolacija omejuje (preprečuje) prehod toplote med okolico in
notranjostjo objekta. Med zunanjo oblogo fasade in toplotno izolacijo je lahko vmes plast
zraka, ki se prezračuje. Tedaj govorimo o prezračevalni (ventilirani) fasadi. Primer nepravilne
in pravilne izvedbe neprezračevalne fasade je prikazan na skici 2.27.
Skica 2.27. Podrobnost slojevita neprezračevalna fasada, ki vključuje stropno konstrukcijo;
nepravilna izvedba (a), pravilna izvedba (b). Številke pomenijo: 1 obložni opečnati zid zidan z
običajno malto, 2 pred vplivom vlage nezaščitena toplotna izolacija, 3 toplotno nezaščitena
AB plošča, 4 prodor vode, 5 obložni opečnati zid zidan s hidrofobno malto, 6 s hidroizolacijo
obojestransko zaščitena toplotna izolacija, 7 hidroizolacija kritičnih mest, 8 toplotna zaščita
AB plošče, 9 kondenzirana vodna para, 10 trajno elastičen kit.
Poškodbe slojevitih neprezračevalnih fasad nastanejo zaradi difuzije vodne pare iz
notranjosti prostorov v stene objekta. Vodna para po prehodu stene naleti na zunanjo
nepropustno prepreko pri čemer lahko povzroča neposredne poškodbe te zunanje fasadne
obloge, pozimi pa se kondenzira na toplotni izolaciji. Iz tega razloga je potrebno predvideti še
na notranji strani celotne fasadne obloge dodatni paronepropustni sloj.
Z prezračevalnimi (ventiliranimi) fasadami je zaščita objekta in toplotne izolacije
v splošnem zadovoljivejša kot v primerih neprezračevalnih fasad. Ventilirane fasade v načelu
že omogočajo odcejanje vode v primeru njenega prodora v obloge še preden se lahko navlaži
toplotna izolacija. V takšnih fasadah je omogočeno neposredno sušenje vlage zaradi česar so
prezračevalne fasade od vseh izvedb časovno tudi najbolj trajne.
Izhajajoč iz zgoraj zapisanih vsebin bi moralo biti razumljivo, da je kondenzacija vodne
pare posledica pomanjkljive analize vloge in učinkov toplotne izolacije in/ali (občasno) tudi
neustrezno nameščenih parnih zapor.
197
Osnovno vodilo preprečevanja kondenzacije je predvsem v dejstvu: povečati toplotno
izolacijo zunanje površine! Iz te zahteve izhaja,
a) toplotna izolacija zunanje vogalne stene mora biti najmanj 3 krat tolikšna, kot znaša
toplotna izolacija ravne zunanje površine,
b) lokalno, tam kjer je z ovirami preprečena konvekcija zraka –posledica je veliki upor
prestopa toplote 1/αn - (za velikimi, stropnimi, omarami, razsežnimi zavesami tesno ob
zidu, itd) je potrebno predvideti možnost kondenzacije in jo preprečiti z dodatno zunanjo
toplotno izolacijo,
c) v primeru sicer pravilno dimenzionirane toplotne izolacije in njene kakovostne izvedbe
(kar ni nujno povezano) se lahko zaradi posameznih toplotnih mostov (n.pr. škatle za
rolete, slabo tesnjene okenske police, okenski okviri, balkoni, itd.) lokalno temperature
tako znižajo, da pride do nastanka kondenzacije vodne pare.
198
2.11.4 Pomen pravilnega zaporedja plasti toplotne izolacije
Dogajanja v zimskih pogojih temperatur na mejni plasti gradbenega elementa, ki
sestoji iz dveh različnih slojev je shematsko predstavljeno na skici 2.28.
T
p
Tn
pnasn
pn
pnasz
Tz
pz
d
d
Tn
pnasn
pn
pnasz
pz
Tz
d
d
Skica 2.28.
Skica 2.28 prikazuje dvoslojni gradbeni element, kjer potemnjena površina
predstavlja sloj velike toplotne izolacije. Zunanja temperatura je pozimi znatno nižja, kot
je Tn. Vse skice se nanašajo na identične parametre, debelin, temperatur, tlakov, itd. V
primeru zgoraj je premica delnega tlaka vodne pare pod krivuljo nasičenega parnega tlaka
pri zadanih temperaturah in zato ni pogojev za nastop kondenzacije.
199
Spodnja diagrama prikazujeta (sicer identične) razmere, toda za primer, ko sta
toplotno izolacijski sloj in sloj toplotno prevodnega materiala v vrstnem redu zamenjana
(torej, gre za primer izolacije »od znotraj«). Daljica pn-pz je v tem primeru na mejni
plasti višja, kot je pa krivulja nasičenega parnega tlaka in zato tedaj nastopi kondenzacija
vodne pare.
Zaključek: pravilna izvedba toplotne izolacije zahteva tako razvrščene plasti
gradbenega elementa, kjer upori toplotne prevodnosti posamezne plasti upadajo pri
prehodu od zunaj proti notranjosti, ob dejstvu, da pa morajo upori prepustnosti pare v tej
smeri naraščati.
2. 12. Enoslojna neprezračna streha (topla streha)
Shemo tople strehe v zimskem temperaturnem obdobju podaja skica 2.29 na zavrtenem
(p -
1
) diagramu.
Δ
p
pnasz
psz
strešno prekritje
pnas*
toplotna izolacija s parno zaporo
1
Δ
strešna konstrukcija
psn
pnasn
Skica 2.29.
200
Na tovrstnih enoslojnih neprezračnih strehah se pogosto pojavljajo poškodbe, ki
nastanejo zaradi kondenzacije in posledično zmrzovanja kondenzirane vodne pare na
mejni plasti. Le ta običajno prehaja preko strešne konstrukcije in skozi parno zaporo na
področje mejne plasti (med toplotno izolacijo in strešnim prekrijem). Problem, ki nastopi
je izjemno velika nepropustnost za vodno paro sloja strešnega prekritja kar posledično
prevede do kondenzacije na mejni plasti med strešnim prekritjem in plastjo toplotne
izolacije. Ta problem je tem bolj akuten čim manjša je absorptivna sposobnost vpijanja
kondenzata vodne para plasti toplotne izolacije (n.pr. če gre za pene umetnih materialov,
in pd.).
V primeru višjih spomladanskih temperatur in vpliva sončnih žarkov lahko pride do
uparjevanja vode, ki se nahaja pod strešnim prekrijem. Ker je prostornina pare pri
uparjevanju tekočine približno 1000 kat večja kot je prostornina vode, se ob tej fazni
pretvorbi pojavljajo široka področja mehurjev vodne para, kar vodi do poškodb prekritja.
Ta pojav mehurjenja je povezan z dnevnimi nihanji temperature in vodi do mehanskih
poškodb samega prekritja (n. pr. hidroizolacije ravne strehe ) ali pa do poškodb vezi med
toplotno izolacijo in prekrijem.
Tovrstno streho je potrebo projektirati na način, da se prepreči prehod vodne pare
skozi sloj toplotne izolacije na mejno površino s strešnim kritjem. To se doseže z
vgradnjo močne parne zapore pod plastjo toplotne izolacije. Praksa kaže, da mora biti
ekvivalentna difuzijska zaščita takšne parne zapore reda velikosti μ d = 100 do 150 m.
Tolikšno vrednost se dobi z uporabo aluminijske folije približne površinske mase 12
g/m2, ki je kaširana z obeh strani (nalepljena je plast toplotne izolacije na obeh straneh
folije). Kod druga možnost je uveljavljena uporaba bitumenskih strešnih trakov, pri
čemer pa je predhodno potrebno preveriti vrednosti ekvivalentne difuzijske dolžine
takšnega bitumenskega traku.
Toda sočasno z uporabo parne zapore (na spodnji stran toplotne izolacije) je
potrebno projektirati t. im. izravnalni sloj, ki se ga vgradi takoj pod plastjo strešnega
prekritja. Gre za plast, ki običajno sestoji iz valovite lepenke ali poroznih bitumenoznih
strešnih trakov iz steklene volne. Na to plast se točkasto zalepi strešno prekrije. Vloga
izravnalnega sloja je v dejstvu, da služi kot prostorska omejitev parnim mehurjem in jih v
horizontalni smeri prenaša, t.j. omogoči izravnavaje tlaka (večja je razpoložljiva
prostornina tem manjši je tlak v mehurju). Parni mehurji se lahko razporedijo po celotni
površini (razen v točkah pritrditve strešnega prekritja) izravnalnega sloja in s tem se tlak
mehurjev pare močno zmanjša.
V obdobju izgradnje strehe je potrebno položiti sloj toplotne izolacije, kar je
mogoče v suhem stanju, kajti v nasprotnem primeru tako vgrajene vodne pare (v kolikor
se le-ta vpije v izolacijo med vgradnjo) ni več mogoče naknadno izsušiti. Običajno se
nepropustno strešno kritje polaga hkrati s slojem toplotne izolacije.
201
2.12.1
Priporočljiva sestava tople strehe
Zaščitna plast (gramoz,
mivka, cementne plošče)
Bitumensko prekritje
Ekspanzijski sloj
Toplotna izolacija
Parna zapora
Spodnji ekspanzijski
sloj
Strešna konstrukcija
Skica 2.30
Komentar:
Zaščitna površina preprečuj pregretje materiala strehe. Le-ta mora vedno posedovati
majhen nagib za odvodnjavanje meteorske vode.
Bitumenski sloj: temperaturno spajanje bitumenskih trakov mora potekati pazljivo, tako,
da je zagotovljena popolna nepropustnost.
Ekspanziski sloj: gre za izravnalni sloj iz n.pr. valovite lepenke.
Toplotno-izolacijski sloj, je edini dejanski sloj toplotne izolacije. V tem smislu (toplotne
izolacije) je delovanje ostalih slojev zanemarljivo, zato mora biti ustrezno dimenzioniran.
Parna zapora: ekvivalentna difuzijska dolžina, μ d, tega sloja mora biti v intervalu od
100 – 150 m. Če je večja (n. pr > 200 m) to dejstvo zgolj otežuje izsuševanje vlage iz
območja toplotne izolacije.
Strešna konstrukcija: pod parno zaporo ni priporočljivo vgrajevati nikakršne dodatne
plasti toplotne izolacije, ali parne zapore in pd.. Vse te dodatne dejavnosti vodijo ob
ustreznih vremenskih pogojih do kondenzacije vodne pare na vmesnih plasteh tople
strehe.
202
2.12.2
Dvoslojna prezačevalna streha (hladna streha)
Zaščitni sloj
Bituminozni sloj
Izravnalni sloj
Podporna konstrukcija
Prezračevalna reža
Toplotna izolacija
Skica 2.31.
Tovrstna konstrukcija poseduje lastnost, da se vzdolž prezračevalne reže koncentracija
vodne pare (z gibajočim se zrakom) povečuje. Ta pojav je obratno sorazmeren hitrosti
gibanja zračne mase vzdolž reže (če zrak miruje, tedaj je to plast dodatne toplotne
izolacije!). Pozimi se pod hladnim strešnim prekritjem ustvarja kondenzat vodne pare.
Tudi v primeru, dobrega prezračevanja se prične pozimi na določeni razdalji od ustja
prezračevalne reže (če je streha dovolj velika) kondenzirati vodna para. Pod plastjo
toplotne izolacije se mora zato nahajati učinkovita parna zapora.
Zahteve, ki jim mora ustrezati hladna streha:
1. spodnja obloga hladne strehe mora posedovati ekvivalentno debelino difuzije zračnega
sloja najmanj 10 m. Na noben način ni dovoljena povezava prezračevalne reže z
notranjostjo podstrešja.
2. Najmanjša dopustna mera zračne reže znaša 10 cm. Priporočljivo je, da znaša višina
reže med 30 in 60 cm. Največja dolžina zračnega kanala naj ne presega razdalje 20 m.
3. Streha mora posedovati nagib najmanj 6 % z namenom, da se zagotovi termični
pritisk.
4. Na obeh straneh kanala se mora nahajati odprtina za prezračevanje katere površine
znaša najmanj 1/500 površine strehe.
5. V kolikor ni mogoče zagotoviti zapisanih pogojev je potrebno namesto prezračevalne
strehe projektirati enoslojno neprezračevalno (toplo) streho.
6.
Preprečiti je potrebno, da bi se vgrajevala toplotna izolacija na spodnji strani
dvoslojne prezračevalne strehe in ni dopustno, da bi v zračni reži obstajalo področje
mirujočega zraka.
203
2.13.
Elektroosmoza
Elektroosmoza je pojav kjer se pod vplivom električnega polja tekočina giblje
preko ali skozi mirujočo trdnino. Pojav si je najlažje predočiti s pomočjo vode v stekleni
cevi, pri čemer je električno polje usmerjeno vzdolž simetrijske osi cevi. V splošnem se
ob površinah dveh različnih snovi, ki sta v medsebojnem stiku pojavi raznoimenski
električni naboj. Empirično je ugotovljeno, da se tista snov (faza), ki poseduje večjo
dielektrično konstanto kot druga, nabije na površini pozitivno (torej odda elektrone),
druga površina pa jih sprejme. Celotni presežni naboj je seveda enak nič-snov v celoti
ostaja električno nevtralna tako kot pred stikom. V splošnem se torej ob stiku pojavi
električno polje (oziroma pride do pojava spreminjajočega se lektričnega potenciala) kar
za primer stika trdne snovi in apljevine ponazarja skica 2.32 Na skici je prikazana
trdnina, ki se je naelektrila negativno, kapljevina v stiku z njo pa pozitivno. V tem
primeru prvi sloj debeline δ , ki obdaja trdnino, sestoji iz ioniziranih molekul, ki se s
pomočjo elektrostatičnih privlačnih sil in sil apsorbcije trdno vežejo na steno. Z ozirom,
da je trdnina negativno naelektrena je zunanji del tega sloja prav tako v povprečju
negativen (ta sloj torej predstavlja nake vrste dipolno plast). Električni potencial se preko
tega (močno vezanega) sloja hitro spreminja, debelina sloja pa je približno enaka
ionskemu radiju adsorbiranih ionov. Temu sloju sledi preostali del kapljevine, kjer na
adsorbirani ioni
povečana
koncentracija
ionov
nasprotnega
predznaka
-
+
+
kot so presežni naboji
trdnine
-
+
-
+ - + - + - - +
-
+
δ
-
-
+
+
+ ζ
- + - +
električni potencial
oddaljenost od površine stene
Skica 2.32.
površine.
Prikazane so razmere, ki nastanejo ob stiku kapljevine elektrolita in trdne
204
ione delujejo samo elektrostatične sile in termično gibanje molekul. V sami neposredni
bližini prvega sloja je koncentracija ionov sprva močno povečana z nabojem nasprotnega
predznaka kot je trdnina (v danem primeru torej pozitivno). Seveda pa mora biti naboj
kapljevine kot celota po velikosti enak, toda nasprotnega predznaka, kot je presežni naboj
naboj na trdnini.
Pri relativnem gibanju kapljevine (pod vplivom zunanjega električnega polja) z
ozirom na trdnino na skici 2.32 predočeni mejni plasti v povprečju mirujeta. Večinoma
gre za gibanje ionov elektrolita, ki se nahajajo na (drugi) črtkani površini skice 2.32, ki je
opredeljena s potencialom ζ, elektrokinetičnim potencialom, katerega vrednost je
ζ =
σ
ε 0 εκ
II-120
pri čemer je κ-1 definirana kot efektivna debelina električnega dvosloja,
κ =
2 n0 z 2 e 2
.
εε 0 kT
II-121
V izrazih (II-120) in (II-121) pomenijo, ε dielektrično konstanto raztopine, ε0 je
influenčna konstanta, σ površinska gostoto naboja na površini stene, n0 gostota ionov
elektrolita, z valenčno število ionov, e osnovni naboj, k je Boltzmannova konstanta in T
je temperatura.
V primeru vode v stekleni cevki se notranja površina stekla naelektri negativno;
voda torej v povprečju pozitivno, skica 2.32. Če se sistem v cevki vstavi v zunanje
električno polje vzporedno osi cevke tedaj se pričnejo pozitivni ioni gibati proti katodi,
pri čemer na tej svoji poti proti katodi s seboj povlečejo še (polarizirane) nevtralne
molekule vode. Na takšen način se ustvari elektrosmostsko gibanje vode (kapljevine) v
cevki. Zapisani pojav najbolj izrazito nastopa v kapilarah.
V ravnovesnem stanju mora biti sila viskoznosti (strižna sila) kapljevine enaka sili
na naboje v električnem polju, torej
Aη
v
= z e n0 E Vol
d
II-122
kjer je A dana površina stene cevke v stiku z elektrolitom, d pa je debelina plasti
elektrolita, ki se giblje, pod vplivom električnega polja usmerjenega vzdolž cevke, s
hitrostjo v. Hitrost elektrolita ob steni cevke je, zaradi viskoznih sil, enaka nič. V plasti
elektrolita debeline d in površine A se nahaja naboj, ki je poenostavljeno gledano enak (z
e n0 A d). Prostornina takšne plasti je tedaj enaka Vol = A d, v njej se nahaja N ionov in
odtod sledi, da je hitrost v iona v stacionarnem stanju tedaj približno enaka,
v =
z e N Ed
Aη
II-123
205
Toda kvocient (zeN/A) predstavlja površinsko gostoto nabija, σ, tako, da se s pomočjo
izraza (II-120) enačba (II-124) zapiše,
v =
ε ε 0 κζ E d
≈
η
εε 0ζ E
η
II-124
pri čemer je bil uporabljen približek, κ d ≈ 1.
V primeru, da je kapilara izdelana v obliki črke U, se bo tok tekočine pod
vplivom električnega polja (elektroosmotski tok) prekinil tedaj, ko se bo hidrostatični tlak
na katodo došle kapljevine izenačil z t.im. elektroosmotskim tlakom. Slednjega se oceni
na naslednji način; laminarni pretok kapljevine skozi cevko popišemo z Poisseuilleovim
zakonom,
ΦV =
π R 4 Δp
8η l
II-125
kjer je R polmer cevke (kapilare), l dolžina kapilare preko katere vlada tlačna razlika
Δp, ki je vzrok prostorninskega toka kapljevine.
Za nestisljivo kapljevino je prostorninski tok, ΦV , definiran v splošnem kot,
ΦV = A v = π R2 v
II-126
kjer je v povprečna hitrost kapljevine preko prečnega preseka A. Če za v uporabimo
izraz (II-124), tedaj sledi,
εε 0ζ E
πR
η
2
=
π R 4 Δp
8η l
II-127
in odtod je elektroosmotski tlak enak,
Δp =
8ζ ε ε 0
El =
R2
8ζ ε ε 0
U
R2
II-128
V poslednjem koraku je bila uporabljena definicija električnega polja v reži »ploščnega
kondenzatorja«, ki se glasi, E = U/ l , kjer sedaj l pomeni razmak med anodo in
katodo, U pa je potencialna razlika med njima.
Iz zapisanega izraza se vidi, da je elektroosmotski tlak sorazmeren jakosti
električnega polja med elektrodama, oziroma njuni potencialni razliki, t.j. električni
napetosti U med njima.
206
Dodatek: k izpeljavi izraza II-120
Na skici 2.32 je prikazana koncentracija ionov elektrolita, ki se spreminja v odvisnosti od
oddaljenosti od poršine stene, torej v eni razsežnosti.
V splošnem je električni potencial φ
v
v
= φ( r ) povezan z električno poljsko jakostjo E preko izraza,
v
v
E = - grad φ( r ),
II-129
pri čemer pa je vzrok obstoja električne poljske jakosti v prostoru neka dana razporeditev
prostega (torej nevezanega) električnega naboja eprosti, saj velja (izrek o električnem
pretoku skozi poljubno zaključeno površino),
v v
D
∫ ⋅ dS = eprosti
II-130
v
kjer je D električna poljska gostota, ki je z električno poljsko jakostjo povezana preko
izraza,
v
v
D = εε0 E
II-131
in ε je dielektrična konstanta snovi, ε0 pa influenčna konstanta, ε0 = 8.854 10-12 AsV-1m-1.
Enačba (II-130) se z uporabo Gaussovega integralskega izreka prevede na
identiteto,
v
div D = ρprosti
II-132
pri čemer je gostota (prostih) nabojev definirana kot,
ρ =
de
dV
II-133
množina prostih nabojev de, ki se nahaja v pripadajoči prostornini dV snovi.
Iz zgornjih enačb sledi, da je
v
v
div D = - εε0 div grad φ( r )
II-134
v
od koder nemudoma izhaja parcialna diferencialna enačba za električni potencial φ( r ),
v
∇φ (r ) =
-
ρ
εε 0
II-135
kjer je ∇ Laplace-ov operator.
V obravnavanem enodimenzionalnem primeru je potrebno torej poiskati rešitev
izraza (II-135),
207
∂ 2φ
ρ
= 2
εε 0
∂x
II-136
kjer mora potencial φ(x) zadoščati pogoju, da je za x → ∞ potencial φ → 0.
Ioni se nahajajo v območju električnega polja, pri čemer le-to ni konstantno
temveč se spreminja vzdolž x-koordinatne osi. V nadaljevanju je potrebno ugotoviti, da
se ioni nahajajo v termalnem (t.j. toplotnem) ravnovesju z okolico, pri čemer vsak ion,
katerega naboj je e´, poseduje električno potencialno energijo (kinetična je zanemarljivo
majhna, kajti zaradi velike mase ionov je njihova potovalna hitrost majhna) Epot, ki zavisi
od koordinate x in znaša,
Epot = e´ φ(x),
II-137
kajti tudi električni potencial je (še neznana) funkcija oddaljenosti x od koordinatnega
izhodišča.
V opisanem primeru, ko se delec, ki mu je mogoče pripisati polno energijo E =
Epot + Ekin + ..., nahaja v termalnem ravnovesju z okolico je po Boltzmannovemu teoremu
iz statistične mehanike, gostota ioniziranih delcev, n(x) podana z izrazom,
n(x) = n0 e −E ( x ) / kT ,
II-138
kjer je n0 gostota ionov na mestu x = 0, k je Boltzmannova konstanta (k = 1,381 10-23 J
K-1) in T je (absolutna) temperatura.
Če se privzame, da je ion v raztopini nosi naboj, ki je enak mnogokratniku z krat
osnovnega naboja, tedaj velja, ker je raztopina električno nevtralna, da je gostota
pozitivnih in gostota negativnih ionov podana z,
n(x)+ = n0 e − z eφ ( x ) / kT
II-139
n(x)- = n0 e + z eφ ( x ) / kT
II-140
tako, da je celotna gostota prostih (nevezanih) nabojev enaka,
ρ(x) = z e n(x)+ - z e n(x)-.
II-141
Diferencialna enačba (II-136) se sedaj eksplicitno zapiše,
z en0 − z eφ ( x ) / kT
∂ 2φ
= e
− e + z eφ ( x ) / kT
2
εε0
∂x
[
]
II-142
V primeru, ko je potencial dovolj majhen in je temperatura dovolj visoka, je rešitev izraza
(II-142) kaj enostavno poiskati, saj tedaj velja,
208
2 z 2 e 2 n0
∂ 2φ
=
φ(x)
ε ε 0 kT
∂x2
II-143
Rešitev je podana z nastavkom,
φ(x) = A e − x λ + B e + x λ
II-144
kjer je konstanta λ (Debye-jeva dolžina) definirana z izrazom,
εε 0 kT
λ =
2 z 2 e 2 n0
II-145
Konstanti A in B se določi iz robnih pogojev. Zaradi zahteve, da je električni potencial v
neskončnosti enak 0 sledi zato, da mora biti B = 0. Električni potencial se torej glasi,
φ(x) = A e − x λ
II-146
kjer se konstanto A določi iz pogoja, da je električna poljska jakost neskončne ravne
površine katere površinska gostota naboja znaša σ enaka,
E = E(0) =
σ
εε 0
II-147
toda, iz izraza (II-129) in (II-100) sledi, da velja
E = -
dφ
A −x λ
= +
e
dx
λ
II-148
in iz zadnjih dveh izrazov izhaja, da za x = 0,
E(0) =
σ
A
=
εε 0
λ
II-149
in zato je konstanta A enaka,
A =
σλ
εε 0
II-150
tako, da je električni potencial φ(x) v raztopini podan z izrazom,
φ(x) =
σλ −x λ
e
εε 0
II-151
209
in eksponencialno pojema z oddaljenostjo od stene posode tako, kot je to shematsko
prikazano na skici 2.32. Električni potencial na mestu x = 0 je tedaj enak,
φ(0) =
σλ
εε 0
II-152
kar pa je, upoštevaje, da je efektivns debelina električnega dvosloja κ enaka recipročni
Debye-jevi dolžini λ, identično enako izrazu (II-120).
2. 14
Primeri uporabe elektroosmoze v gradbeništvu
V nekaterih posebnih primerih se izkaže, da je pojav elektroosmoze tehnično
ustreznejši in ekonomsko upravičnejši poseg izvajanja gradbenih dejavnosti, kot pa bi bil
z uporabo samih klasičnih metod. Takšni primeri, kjer se je metoda elektroosmoze že
dodobra uveljavila v strokovni praksi so n.pr.:
• odvodnjavanje tal in podpovršinskih slojev,
• elektroosmotsko injektiranje in
• elektroosmotsko sušenje in izoliranje proti kapilarnemu pronicanju vlage
Elektroosmotski pojavi pridejo najbolj do izraza v zemljinah, katerih koeficient
propustnosti tal je manjši od 10-4 cm/s, to so predvsem zamuljeni in zaglinjeni peski,
glinasta tla in podobno, kjer sicer klasične metode odvodnjavanja in stabilizacije tal
odpovedo ali pa so ekonomsko vprašljive. Pod klasične metode se uvrščajo postopki
odvodnjavanja preko sistema ustrezno izvrtanih vodnjakov-filtrov in njihovega
izčrpavanja, ali postopki injektiranja (prisilnega transporta v zemljini) vodonepropustnih
materialov kar se doseže ali z visokotlačnimi tlačilkami ali pa z ustrezno konstruiranimi
podtlačnimi (vakuumskimi) črpalkami. Dobro je poznano dejstvo, da učinkovita
stabilizacija glinenih materialov zahteva veliko gostoto vodnjakov-filtrov, ki pa niso
vedno učinkoviti v takšnih zemljinah, prav tako pa injektiranje z visokotlačnimi
tlačilkami pogosto povzroča razslojevanje zemljin, vsekakor pa je doseg injektiranega
materiala v takšnih zemljinah zelo majhen.
Elektroosmotski posegi se na opisanih zemljinah uporabljajo zlasti za naslednje
dejavnosti:
1. odvodnjavanje terena z zniževanjem nivoja podzemskih voda,
2. drenaže nasipov in nasipanih jezov,
3. utrditve tal pri zemeljskih delih (stene izkopa, ravne in poševne površine nasipov,
temelji nasipov),
4. preprečevanje drsenja tal,
5. preprečevanje izpiranja tal v okolici tekočih in precejnih voda,
6. pospešitev sesedanja (konsolidacije) tal,
7. strjevanje (zgoščevanje) tal na osnovi konglomerizacije delcev in zapolnjevanjem
por (tvorjenje delno nepropustnih ali popolnoma nepropustnih plasti),
8. povečanje nosilnosti tal za temelje,
210
9. utrjevanje sten vrtin,
10. stabilizacija podzemskih slojev (n. pr. živega peska in pd.),
11. preprečitev kapilarnega transporta vlage v tleh in zidovih iz betona, kamna in
opeke,
12. sušenje zidov in temeljev objektov prepojenih z vlago v primerih betona, kamna
in opeke,
13. zapolnjevanje tekočih sredstev v kapilarne sisteme.
Uporaba elektroosmotskih postopkov za dosego zgoraj zapisanih namenov je
upravičena šele po tem, ko je izvedena vrsta potrebnih terenskih raziskav in meritev na
osnovi katerih je mogoče določiti izbor metode in načina uporabe metode elektroosmoze.
V zapisanem smislu so poebnega pomena raziskave kemijske sestave tal, vode,
granulometrijske sestave tal, poroznost in propustnost tal, indeks plastičnosti tal,
vlažnost, električna prevodnost tal, vse z namenom, da se optimira delovne parametre
(delovne napetosti, gostote toka, medsebojne oddaljenosti elektrod, kemijske sestave
elektrod, velikosti elektrod), ki vplivajo na spremembe kemijske sestave tal in s tem na
lastnosti tal, na trajanje celotnega procesa elektroosmotskega delovanja in podobno.
Osnova učinkovite uporabe elektroosmoze je temeljito poznavanje elektrokemije,
oziroma poglavij o električnem toku v raztopinah v povezavi z razumevanjem fizikalnih
lastnosti prenosa snovi in temperature v poroznih materialih ter temeljnih znanj mehanike
tal.
211
2.14.1
Odvodnjavanje tal in podpovršinskih slojev z elektroosmozo
Osnovno načelo delovanja prikazuje skica 2.33. V vertikalni jašek s številnimi
drobnimi izvrtinami v steni se vstavi kovinska cev –elektroda- ki je prav tako na številnih
mestih prevrtana. Kovinsko cev, ki se jo vztavi vzdolž simetrijske osi jaška, se v jašku
zasiplje z dovolj velikimi kamni rečnega proda za to, da je elektroda mehansko učvrščena
elektrodo, hkrati pa je omogočen dotok vode do kovinske cevi.
Izvor istosmerne napetosti
+
-
k črpalki
( + )
anoda
katoda ( - )
Skica 2.33. Odvodnjavanje tal in podpovršinskih voda je izvedeno s pomočjo
elektroosmotskega pojava. Puščice kažejo smer nastale gostote električnega polja vzdolž
katere se gibljejo ioni vode.
Perforirana kovinska cev, katoda, je priključena na negativni pol istosmernega izvora
napetosti, ena ali pa več kovinskih palic, anoda, vstavljenih v zemljino pa so priključene
na pozitivni pol izvora napetosti. V območju nastalega stalnega električnega polja se ioni
vode gibljejo skozi zemljino proti katodi, kjer se nevtralizirajo in na takšen način došlo
vodo v jašku se sproti črpa s črpalkami.
212
2.14.2
Injektiranje na osnovi elektroosmoze
Elektroosmotsko injektiranje poteka v obratni smeri, kot odvodnjavanje, skica
2.34. Pri tem pojavu je namen s pomočjo osmoze uvesti v tla raztopine izbranih
kemijskih spojine, ki z zemljino kemijsko reagirajo lahko pa tudi same s seboj. Najbolj
pogosto gre za raztopine vodnega stekla, fosforne kisline, natrijevega karbonata,
kalcijevega klorida, sulfata (dvo valentnega) bakra in drugih kemikalij.
Vnos kemikalij
katoda ( - )
anoda ( + )
katoda
( - )
Skica 2.34. Elektroosmotsko injektiranje. Anoda je perforirana kovinska cev, v katero se
običajno nasuje raztopina izbrane kemikalije, katere ioni pod vplivom nastalega
konstantnega električnega polja potujejo v smeri proti katodam.
Elektroosmotsko injektiranje je mogoče izvajati tudi na drugačne načine kot je
zgoraj predočeno. Često se je pokazalo kot umestno, da se po določenem času prekine
dovajanje raztopine kemikalij v centralni anodi ter se raztopino vnaša v dotedanje (v ta
namen izdelane votle) katode pri čemer se takoj nato spremeni polariteto napajanja tako,
da te elektrode sedaj postanejo nove anode, prvotna pa postane nova katoda. Na takšen
način se zaznavno povečuje delež zemljine, ki je podvržena injektiranju. Seveda obstoja
še vrsta drugačnih možnih geometrij izvedbe kot predstavljeno zgoraj, ki očitno poseduje
213
cilindrično simetrijo. Bolj običajne geometrije so tiste, kjer so elektrode izvedene v ravni
črti na določeni medsebojni oddaljenosti; to se odvija povsod tam, kjer je potreba po
injektiranju stene oziroma zidu.
V primeru, ko je anoda izdelana iz aluminija, se le-ta v postopku elektroosmoze
raztaplja in nastali ioni aluminija pri svojem potovanju skozi zemljino z njo reagirajo ter
jo pretvarjajo v trdnejšo sestavo.
2.14.3
Sušenje in izolacija pred vlago z metodo elektroosmoze
V primerih običajnih gradbenih materialov (beton, opeka, kamen) je
elektroosmoza posebej prikladen postopek odstranjevanja vlage, katere vzrok nastanka je
lahko rezultat zunanjih dejavnikov (atmosferska vlaga in padavine), notranjih dejavnikov
(bivališča, tehnološki procesi, ki povzročajo nastanek vlage v proizvodnih procesih in
pd.) ali pa je njen vzrok v kapilarnem pojavu (podzemska vlažnost). V tem smislu je
metoda uporabna za sušenje in izoliranje podzemnih (tuneli, temelji, kleti, itd.) in
nadzemnih delov konstrukcij in objektov (zidovi, fasade, pregrade, nasipi itd). Posebna
zvrst uporabnosti elektroosmoze je odstranjevanje vlage iz raznih predmetov likovne
umetnosti, kot so n.pr. slike, kipi, freske, štukature itd.
Sam postopek odstranjevanja vlage in izvedba izolacije z elektroosmozo je
običajno dvofazni postopek, samo v nekaterih primerih je to enofazni postopek. Prva faza
je običajno časovno omejena in jo opredeljuje uporaba zunanjega istosmernega
anoda ( + )
kapilarna vlaga
temelj
katoda ( - )
Skica 2.35.
Skema pasivnega sistema elektroosmotskega sušenja zidu v primeru
kapilarne vlage, ki izvira iz temeljev.
214
napetostnega izvora. Tej fazi sledi dolgotrajna (lahko permanentna časovna) faza, kjer je
zunanji izvor istosmerne napetosti popolnoma odstranjen, elektrode se nato med seboj
električno spojijo in zaradi t.im. galvanskih tokov se postopek elektroosmoze (v bistveno
zmanjšani meri) še naprej nadaljuje, vse dokler se ena od elektrod v celoti ne potroši
(raztopi). Toda poudariti je potrebno, da v enostavnih primerih zadostuje lahko uporaba
zgolj ene same faze in sicer aktivne, če postopek poteka ob uporabi zunanjega
enosmernega izvora napetosti, sicer pa gre za uporabo pasivne faze. Posebno pogosti
primer uporabe pasivne faze je t.im. pasivni sistem odstranjevaja vlage z globoko
ozemljitvijo. Pri tem gre za sistem, kjer se potrebna potencialna razlika ustvarja s tem, da
se anode nahajajo v vrtinah zidu, ki se ga izsušuje, katoda pa je kovinska palica, ki je
potisnjena globo v zemljino tako, da je v stiku z nivojem podtalnice na danem mestu (ki
pronica skozi temelje v zid), skica 2,35.
Alternativni način nameščanja katode je vstavitev v same temelje namesto v
podtalnico.
Pri uporabi elektroosmoze za sušenje je potrebno zagotoviti, da sta elektrodi,
anoda in katoda, nameščeni tako, da smer gibanja ionov tekočine nasprotuje kapilarnemu
dvigu, oziroma, da je smer gibanja ionov tekočine pod vplivom elektroosmoze v
nasprotni smeri toka tekočine. V primeru, ko gre za pasivno sušenje je običajno
Skica 2.36. Sušenje zidu v smeri pravokotno na steno. Na njenem zunanjem (osenčena
površina na skici) in notranjem delu je postavljena mreža iz ustreznih elektrodnih
materialov, ki sta priključeni na istosmerni izvor napetosti (aktivni sistem) ali pa sta
neposredno povezani med seboj (pasivno sušenje). Vlaga pronica na površino zunanje
stene (kar zahteva namestitev katode na zunanjo površino zidu) in z nje izhlapeva.
215
napetostna razlika, ki nastane ob vstavitvi para katoda-anoda (t.j. galvanskega člena) sicer
premajhna za izničenje vpliva kapilarne vlage toda pripomore pa, da se vsebnost vlage v
zidu lahko zaznavno zmanjša. Potrebno je poudariti, da je pasivna zaščita stalne narave,
torej zaščita je bolj ali manj trajna vse dokler se ena od izbranih elektrod ne raztopi
oziroma prestane delovati.
Za dejansko sušenje vlage v betonskih ali opečnatih zidih pa se uporablja aktivni
pristop, to je tisti kjer z izbiro velikosti zunanje (istosmerne) napetosti neposredno
vplivamo na jakostv ustvarjenega
električnega polja (striktno govorjeno gostote
v
električnega polja D = εε o E , kjer je ε dielektrična konstanta zidu) v področju
izsuševanja in posredno s tem na hitrost elektroosmotskega toka. Šele, ko doseže
koncentracija vlage dopustno mejo se preide na pasivni (permanentni) pasivni sistem, t.j.
izvor napetosti se izključi in elektrode se neposredno poveže med seboj. Takšno stanje
potem lahko traja dalj časa, celo do kašnih deset let.
Izsuševanje vlage v zidovih s pomočjo elektroosmoze se lahko odvija tudi v
prečni smeri, to je v smeri pravokotno na zid, skica 2.36.
Izsuševanje velikih površin v smeri vzdolž pronicanja vlage (iz temeljev) je pa
izvedeno s pomočjo množice horizontalih elektrod, skica 2.37.
rob vlage
anoda ( + )
katoda ( - )
Skica 2.37. Aktivni postopek izsuševanja zidu z elektroosmotskimi tokovi v ravnini zida.
Potemnejni kvadratki predstavljajo izbrane elektrode, s pomočjo katerih se odvija
transport ionov vode v temelje.
216
V primeru pasivnega sušenja je učinkoviteje, če se poveže vsak par elektrod
ločeno, kot pa če se spojita žici s katerimi so bile elektrode priključene na izvor
istosmerne napetosti.
2.14.4
Materiali za elektrode pri elektroosmotskih postopkih
Po definiciji se imenuje elektroda vsaka prevodna trdna snov, ki jo vstavimo v
raztopino elektrolita. Elektroliti so raztopine soli, kislin in lugov v vodi (ali v drugih
topilih). Brž, ko se elektroda nahaja v (poljubni) raztopini se med elektrodo in raztopino
pojavi potencialna razlika (električna napetost). Ta potencialna razlika se imenuje
elektrokemični potencial dane elektrode v dani raztopini.
Kadar se v elektrolit vstavita dve elektrodi nastane med elektrodama
potencialna razlika, ki je enaka razliki elektrokemičnih potencialov posamezne elektrode.
Galvanski element tvori sistem dveh različnih poljubnih elektrod vstavljenih v dano
raztopino elektrolita.
Če na elektrodi pritisnemo zunanji izvor istosmerne napetosti je anoda tista
elektroda, ki je zvezana s pozitivnim priključkom, katoda pa je elektroda, ki je zvezana z
negativnim priključkom izvora napetosti.
Raztopina elektrolita je sama po sebi električni prevodnik, zato v primerih, ko
sta elektrodi priključeni na zunanji izvor enosmerne napetosti nastopi pojav elektrolize.
Pri elektrolizi izloča električni tok, ki teče v tokokrogu, sestavine elektrolita ali produkte
sekundarnih reakcij nastalih sestavin s topilom na elektrodah s tem, da se na elektrodah
izločajo med seboj različne sestavine. V splošnem velja, da se pozitivni ioni ali kationi v
električnem polju znotraj elektrolita gibljejo proti katodi, negativni ioni ali anioni pa proti
anodi.
Masa snovi, ki se pri elektrolizi izloči na dani elektrodi, je sorazmerna z
množino pretečenega naboja, e, skozi elektrolit tako, da velja,
m = K e.
II-153
Sorazmernostna konstanta K med (na elektrodi) izločeno maso snovi m
pretečenim nabojem e se imenuje elektrokemični ekvivalent te snovi. Poiskusi so
pokazali, da je elektrokemični ekvivalent snovi sorazmeren razmerju med atomsko maso
elementa A in njegovo (kemijsko) valenco Z. Izkaže se, da za vse snovi, ki se izločijo na
elektrodi velja izraz,
m =
e A
F Z
II-154
kjer je F t.im. Faradayevo število enako,
F = 9.648 x 107 As/kg-ekv.
II-155
217
Faradayevo število je naboj, ki je potreben za izločitev (pri elektolizi) mase snovi enako
kvocientu A/Z. Zapisani kvocient se imenuje kemijski ekvivalent snovi.
Celotni pretečen naboj skozi elektrolit e je po definiciji enak,
e = It
II-156
kjer je I (istosmerni) tok in t čas elektrolize. Atomska masa A se navaja v atomskih
masnih enotah (skrajšano a.m.e.), pri čemer je
a.m.e. =
1
mase atoma C12 = 1.661 x 10 –27 kg.
12
II-157
Elektrokemijske ekvivalente za nekatere ione podaja Tabela 2.5, elektrokemično
napetostno vrsto pa Tabela 2.6.
TABELA II.5
Elektrokemijski ekvivalenti
Število kg v 1 kgekvivalentu
K [mg/As]
Ion
H+
O- Al + + +
OH Fe + + +
Ca + +
Na +
Fe + +
1,008
8,0
9,0
17,0
18,6
20,1
23,0
27,8
0,0104
0,0829
0,0936
0,1762
0,1930
0,2077
0,2388
0,2895
Ion
Število kg v 1 kgekvivalentu
K
[mg/As]
CO2- Cu+ +
Zn + +
Cl SO4 - NO2 Cu +
Ag+
30
31,8
32,7
35,5
48,0
62,0
63,6
107,9
0,3108
0,3297
0,3387
0,3672
0,4975
0,642
0,6590
1,118
V Tabeli II.5 pomeni število plusov ali minusov ob danem ionu število
elementarnih nabojev, t.j. stopnja ionizacije.
218
TABELA II.6
Elektrokemična napetostna vrsta
Normalni potenciali proti vodikovi elektrodi
Element
fluor
klor
brom
platina
ogljik
baker
baker
bizmut
antimon
vodik
svinec
nikelj
kadmij
železo
krom
cink
aluminij
magnezij
kalcij
kalij
litij
Prehod
2 F - Æ F2 (plin)
2 Cl - Æ Cl2 (plin)
2 Br - Æ Br2 (plin)
Pt Æ Pt ++++
C Æ C ++
Cu Æ Cu +
Cu Æ Cu ++
Bi Æ Bi+++
Sb Æ Sb+++
H 2 Æ 2 H+
Pb Æ Pb++
Ni Æ Ni++
Cd Æ Cd++
Fe Æ Fe++
Cr Æ Cr++
Zn Æ Zn++
Al Æ Al+++
Mg Æ Mg++
Ca Æ Ca++
K Æ K+
Li Æ Li+
Potencial [V]
+ 2,85
+ 1,36
+ 1,08
+ 0,87
+ 0,75
+ 0,51
+ 0,35
+ 0,23
+ 0,20
0,00
- 0,13
- 0,25
- 0,40
- 0,44
- 0,56
- 0,76
- 1,30
- 2,38
- 2.87
- 2,92
- 3,02
Pri električnem stiku dveh različnih kovin v elektrolitu se razkraja tista
elektroda, ki se v elektrokemični napetostni vrsti nahaja nižje.
219
III.
OSNOVE AKUSTIKE – hrup
Obvezno ponoviti: Rudolf Kladnik, Visokošolska fizika, 1 del str. 108 – 125 in Visokošolska
fizika, 3. del str. 4 – 56.
3.1.1
Uvod
Akustika je nauk o zvoku. Po definiciji je zvok vsako longitudinalno valovanje
katerega frekvenca leži med 16 Hz in 20000 Hz (1 Hz = s-1). Za longitudinalno valovanje je
značilno, da se širi v sredstvih, kjer ne nastopajo strižne sile (predvsem plini, notranjost
neviskoznih kapljevin), pri čemer delci snovi nihajo okrog svojih ravnovesnih leg vzdolž
smeri razširjanja valovanja (periodičnih motenj, ki jih povzroči izvor valovanja). Zvok se
torej širi v obliki zgoščin in razredčin, ki potujejo skozi sredstvo s hitrostjo zvoka c. Če delci
snovi nihajo okrog svojih ravnovesnih leg v smeri, ki je pravokotna na smer širjenja valovanja
(to je v vseh elastičnih sredstvih) je to primer transverzalnega valovanja, ki pa ni zvok v
smislu pomena te besede.
Enačba nedušenega ravnega sinusnega valovanja frekvence ω
3.1.2
Naj bo trenutni odmik delca iz njegove ravnovesne lege popisan s simbolom s. Tedaj
se enačba zvočnega ravnega valovanja frekvence ω, ki se razširja vzdolž pozitivne osi x
zapiše v obliki,
s = s0 sin [ω (t -
x
)] = s0 sin (ω t - k x)
c
III-1
kjer smo definirali valovni vektor, k, kot,
k =
ω
c
=
2πν
2πν
=
c
νλ
=
2π
λ
.
III-2
pri čemer pomeni s0 amplitudo valovanja (t.j. odmika delca iz njegove ravnovesne lege). Pri
tem smo uporabili poznano zvezo,
c = λν
III-3
kjer je v frekvenca valovanja kot jo določa izvor valovanja (zvočilo), λ pa valovna dolžina
valovanja v danem sredstvu. Slednja je odvisna tako od zvočila kot od sredstva v katerem se
razširja valovanje, kajti hitrost valovanja, c, zavisi samo od lastnosti sredstva samega. Tako
n.pr. je hitrost zvoka (razširjanja motnje) v stistljivih sredstvih enaka,
c =
1
χS ρ
III-4
220
kjer je χS adiabatna (izentropna) stisljivost sredstva in ρ gostota sredstva. Zapisani izraz
dobro velja za hitrost valovanja v kapljevinah za elastična telesa pa je mogoče pokazati, da se
le-ta nadalje pretvori v,
c =
E (1 − μ )
ρ 1 − μ − 2μ 2
(
)
III-5
kjer je E elastični modul snovi in μ je Poissonovo število.
Za idealni plin se enačba III-4 pretvori v
c =
κRT
M
III-6
pri čemer je κ razmerje specifičnih toplot plina, M pa molekularna masa plina.
Izraz (III-1) popisuje ravni val, t.j. valovanje katerega valovne fronte (t.j. ploskve, ki
vežejo delce katerih odmiki iz ravnovesne lege so v danem trenutku opazovanja največji in
torej enaki amplitudi valovanja) so ravne ploskve. Valovna dolžina λ je najkrajša razdalja
med dvema delcema sredstva, ki nihata v fazi. Shematska predstavitev nihanja delcev
longitudinalnega valovanja ter temu gibanju ustrezno nihanje gostote delcev je predstavljeno
na skici 3.1.
Skica 3.1.
Nihanje delcev okoli ravnovesne lege v smeri širjenja valovanja se pri
rezultirajočemu longitudinalnemu (ravnemu) valovanju se odraža v periodični spremembi
lokalne gostote delcev kar vodi do periodičnega potovanja (valovanje) zgoščin in razredčin.
Na ordinato je nanešen trenutni odmik delcev (v trenutku t = t1) vzdolž smeri razširjanja
zvoka, katerega amplituda je na skici označena z A. Skica prikazuje trenutno smer gibanja
delcev (označeno z vodoravnima puščicama na zgornjem diagramu) in odgovarjajoč vpliv
tega gibanja na spremembo gostote snovi od njene ravnovesne vrednosti (spodaj), t.j. tedaj, ko
v sredstvu ni zvoka. V točki x = B abcise (prostora) je zato v trenutku t = t1 razredčina, v točki
x = A apcise pa se tedaj nahaja zgoščina delcev snovi.
221
V praksi je poleg ravnega valovanja pomembno še cilindri;no in krogelno
valovanje, ki se razširjata v prostoru v primeru, da je zvočilo premica (n. pr. hrup z avtoceste,
železnice, letališča) oziroma točkasto. Odmik delca, ki se nahaja na razdalji r od izvora, od
njegove ravnovesne lege v primeru cilindričnega in krogelnega valovanja v odvisnosti od časa
popiše izraz,
s =
s =
s0
r
sin (ω t – kr)
s0
sin (ω t – kr)
r
III-7
kjer je s0 amplituda valovanja v danem izhodišču. Očitno velja, da je amplituda krogelnega
valovanja, s0/r, obratno sorazmerna oddaljenosti od izvora valovanja. Valovne ploskve
cilindričnega valovanja so površine valjev, krogelnega valovanja pa so podane s površino
krogle. Obe zvrsti valovanj se na zelo veliki oddaljenosti od izvora valovanja lahko lokalno
popišeta kot ravno valovanje.
Če je amplituda longitudinalnega valovanja (zvoka) v sredstvu majhna tedaj vedno
velja kontinuitetna enačba,
1 ∂ρ
v
div v = ρ ∂t
III-8
pri čemer je enačba gibanja podana z izrazom,
v
1
∂v
= grad p,
∂t
ρ
III-9
v
kjer je v hitrost, ρ gostota sredstva in p tlak v sredstvu. Če se upošteva še povezavo med
gostoto sredstva in tlakom,
∂ρ
= χρ
∂p
III-10
kjer je χ stisljivost sredstva sledi enačba valovanja, ki se v splošnem zapiše kot,
∇2 p = χρ
∂2 p
∂t 2
III-11
oziroma,
1 ∂2 p
∂2 p ∂2 p ∂2 p
+
+
=
c 2 ∂t 2
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
III-12
v kartezičnem koordinatnem sistemu. Izraz (III-11) oziroma (III-12) je valovna enačba za tlak
v sredstvu, pri čemer je
222
1
c =
χρ
III-13
hitrost longitudinalnega valovanja, skladno izrazu (III-4).
3.1.3
Energija valovanja
Izvor valovanja (zvoka) povzroči gibanje (nihanje okoli ravnovesne lege) delcev
snovi skozi katero se razširja valovanje s (fazno) hitrostjo c. Gostota energijskega valovanja,
j, je podana z izrazom,
j
≡
dP
= cw
dA
III-14
kjer je c hitrost valovanja in w je gostota energije,
w =
dW
.
dV
III-15
pri čemer je v trenutna hitrost delca sredstva skozi katero se razširja valovanje s hitrostjo
potovanja c. V izrazu (III-14) pomeni dP energijski tok valovanja (energijo na časovno
enoto), ki preteče površino dA, ki je orientirana pravokotno na smer razširjanja valovanja. V
akustiki se običajno namesto izraza gostota energijskega toka, III-14, uporablja
poimenovanje intenziteta zvoka, ki se označi s črko I.
Za harmonično nedušeno nihanje velja zakon o ohranitvi energije zato sledi, da je v
vsakem trenutku vsota kinetične in potencialne energije delca konstantna. Ta vsota je tedaj
enaka ali največji vrednosti kinetične energije (v trenutku, ko je potencialna energija 0), ali pa
amplitudi potencialne energije (v trenutku, ko je vrednost Wkin enaka 0). Velja torej,
w =
1
ρ v02.
2
III-16
kjer je v0 amplituda hitrosti delca. Z upoštevanjem izraza (III-1), ki velja za ravno valovanje
je,
v = s& = s0ω cos(ω t – k x)
III-17
je zato
v0 = s0 ω.
III-18
in gostota energijskega toke valovanja, t.j. intenziteta, je v časovnem povprečju podana z
izrazom,
j =
ρ cs0 2 ω 2
2
III-19
223
3.1.4
Zvočni tlak
Privzemimo, da se skozi sredstvo povprečne gostote ρ, razširja ravno longitudinalno
valovanje, kot ga popisuje izraz (III-1). Zamislimo si masni element sredstva mase dm in
prečnega preseka dA, skica 3.2. Leva ploskev elementa se nahaja na oddaljenosti x od
koordinatnega izhodišča, desna pa na razdalji x+dx, kjer je privzeto, da je debelina elementa
mase dm enaka dx. Seveda velja,
dm = ρ dV = ρ A dx
III-20
Ker se delec mase dm giblje (zaradi potujočega valovanja niha okoli ravnovesne lege) tako,
kot veleva ravno valovanje, izraz (III-1) velja zato,
p(x)
p(x+dx)
x
dx
Skica 3.2. K izpeljavi nihanja tlaka pri razširjanju ravnega longitudinalnega valovanja (zvoka)
v sredstvu.
a = &s&
= - s0 ω2 sin (ω t – k x)
III-21
Delec se giblje z zapisanim pospeškom kot posledica delovanja rezultante sil. Slednja nastopi
zaradi tlačne razlike s katero okolica deluje na delec in sicer,
dF = A [p(x) - p(x+dx)] = - A dp
III-22
tako, da je tedaj
- A dp = dm a =
ρ A dx [- s0 ω2 sin (ω t – k x)]
III-23
Tlačna razlika (v danem intervalu širine dx na oddaljenosti med x in x+dx) se torej spreminja
(niha) po enačbi,
dp = ρ s0 ω2 sin(ω t – k x) dx
III-24
Izraz integriramo med dano začetno točko t.j. na mestu x = 0 (izhodišče) ter med točko, ki se
nahaja na razdalji x od koordinatnega izhodišča.
224
p ( x ,t )
∫ dp
2
= ρ s0 ω
p ( 0 ,t )
x
∫ sin (ωt − kx )dx
III-25
0
Očitno velja,
[p(x,t) - p0 ] - [p(0,t) - p0] =
ρ s0 ω 2
k
[cos(ω t – kx) - cos(ω t)]
III-26
Tlak se torej na danem mestu na razdalji x od koordinatnega izhodišča spreminja s časom od
stalne vrednosti p0 (t.j. tlak v sredstvu, ko ni valovanja) po enačbi,
ρ s0 ω 2
cos(ω t – kx) = (ρ s0 ω c) cos(ω t-kx)
III-27
p(x,t) - p0 =
k
kjer smo se za valovni vektor k poslužili definicije, izraz (III-2). Tlak v točki x torej niha z
amplitudo (Δp)0 okoli ravnovesne vrednosti tlaka p0, pri čemer je amplituda tlačne razlike
sedaj definirana z izrazom,
(Δp)0 = ρ s0 ω c
III-28
tako, da se nihanje tlaka izraža v obliki,
Δp(x, t) = (Δp)0 cos(ωt-kx).
3.1.5
III-29
Akustična impedanca. Jakost zvoka in merjenje hrupa
Enačba (III-28) definira amplitudo tlačne razlike pri širjenju ravnega valovanja v
danem sredstvu. Pri dani frekvenci zvoka ω in amplitudi nihanja delca, s0 (kar zavisi od
lastnosti zvočila) je amplituda tlačne razlike odvisna od faktorja ρ c, kar je izključno lastnost
sredstva skozi katerega se razširja ravno (harmonično, nedušeno) valovanje. Produkt Z ≡ ρc
se po definiciji imenuje zvočna impedanca snovi.
Gostota energijskega toka valovanja je podana z izrazom (III-19) in sicer,
j =
ρ cs0 2 ω 2
2
III-19
z upoštevanjem definicije amplitude tlačne razlike, (III-28) je mogoče gostoto energijskega
toka zapisati v alternativni obliki,
j =
(Δp )0 2
2ρ c
III-30
in je torej pri dani amplitudi tlačne razlike gostota energijskega toka valovanja obratno
sorazmerna akustični impedanci sredstva.
225
Pri meritvah zvoka se običajno meri zvočni tlak, Δp. Najšibkejši, komaj še slišni
zvok, kot ga zazna povprečno uho, je opredeljen z amplitudo zvočnega tlaka, ki je približno
enaka,
(Δp)0 = 20 μPa = 2 x 10-5 N/m2.
III-31
Toda po definiciji je kot spodnja meja gostote energijskega toka, ki ga uho še lahko zazna
enaka,
j0 = 10-12 W/m2,
III-32
Zgornja meja gostote zvočnega toka jzg , ki jo lahko še brez bolečin uho sprejema je
približno jzg = 1 W/m2. Meritve kažejo, da je zapisana zgornja meja gostote zvočnega toka
približno neodvisna od frekvence danega zvoka, dočim pa spodnja meja gostote zvočnega
toka močno zavisi od frekvence. Vrednost j0 = 10-12 W/m2 je pravzaprav minimalna
gostota zvočnega toka, ki jo uhe še zazna, če je frekvenca zvoka blizu 4000 Hz ( 1 Hz = s-1).
Ne oziraje se na to dejstvo, je definirana nova fizikalna količina, jakost zvoka (ali glasnost), J,
z enačbo,
⎛ j ⎞
J = 10 log ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ j0 ⎠
III-33
Iz definicije je razvidno, da je glasnost fizikalna količina, ki nima enote. Iz tradicionalnih
razlogov pa se jakosti zvoka (glasnosti) prida “enota” decibel, ki se zapiše kot db. Iz definicije
izhaja, da ustreza gostota zvočnega toka, ki je enaka minimalni gostoti t.j., j = j0, glasnosti J
= 0 db, največja, za uho še dopustna vrednost jzg = 1 W/m2 pa glasnosti, J = 120 db.
Ker je gostota zvočnega toka sorazmerna kvadratu amplitude tlačne razlike, enačba
(III-30), se glasnost izraža tudi v alternativni obliki kot,
⎡ (Δp )0 ⎤
J = 20 log ⎢
⎥
⎣ (Δp )0 min ⎦
III-34
pri čemer je amplituda minimalne tlačne razlike, ki jo uho še zazna, (Δp)0min, podana z enačbo
(III-31).
Jakost zvoka v odvisnosti od frekvence tona je prikazana na skici 3.3.
Občutljivost ušesa za zvok zavisi od, na uho vpadle, gostote energijskega toka j, toda
pri dani vrednosti gostote energijskega toka je občutljivost ušesa močno odvisna še od
frekvence danega zvoka. Krivulje na skici 3.3 ponazarjajo takšno frekvenčno odvisnost.
Predstavljene krivulje podajajo enak nivo “slišnosti” (enako dojemanje zvoka, gre torej za
fiziološki odziv ušesa) neodvisno od frekvence zvoka. Izofonska krivulja označena z 0 (torej
zvok, ki ga uho komajda še zazna) podaja minimalno gostoto zvočnega toka v odvisnosti od
frekvence, j0 = j0(ν). Kot zgled si poglejmo najnižje ležečo krivuljo približne oblike črke U.
Jakost zvoka za slednjo je pri frekvenci ν ≈ 1000 Hz enaka J = 0 db, torej je gostota
vpadlega energijskega toka na uho pri tej frekvenci enaka j0 = 10-12 W/m2. Toda jakost zvoka
sicer natančno enake gostote energijskega toka, j0, toda frekvence 100 Hz pa znaša približno
38 db (glej skico 3.3) toda, če se frekvenca zvoka zapisane gostote energijskega toka
spremeni na 104 Hz je glasnost tedaj približno 10 db.
226
Skica 3.3. Jakost zvoka ali glasnost se močno spreminja s frekvenco tona, ki ga zaznava uho.
Diagram prikazuje množico izofonskih krivulj (vsi toni na dani krivulji imajo isti nivo
glasnosti izraženega v fonih), ki so definirane tako, da je (samo) pri frekvenci zvoka 1000 Hz
jakost zvoka izražena v decibelih natančno enaka jakosti zvoka izražena v fonih.
Frekvenčno odvisnost jakosti zvoka (glasnosti) se zato podaja s posplošenim
izrazom,
⎡ j (ν ) ⎤
J = 10 log ⎢
⎥
⎣ j 0 (ν ) ⎦
III-35
in “enota” tako definirane glasnosti je fon. Po definiciji je 1 fon enak 1 db če je frekvenca
zvoka enaka 1000 Hz. Iz te definicije izhaja, da se enoti fon in db natančno ujemata samo pri
zvoku katerega frekvenca je natančno 1 kHz. Tako n.pr. je pri 100 Hz minimalna gostota
zvočnega toka, ki jo uho še zazna enaka, glej skico III.2
J
j = j0 10 10
III-36
j = 10-12 103,8 W/m2 = 6.3 x 10-9 W/m2
III-37
Torej je minimalna gostota zvočnega toka zvoka frekvence 100 Hz približno 6300 krat večja
kot zvoka frekvence 1 kHz, obe vrednosti pa predstavljata skrajni meji, ko uho še ravno uspe
zaznati zvok. Iz skice III.2 je razvidno, da je glasnost zvoka katerega frekvenca je približno 4
kHz celo negativna. To samo dodatno potrjuje dejstvo, da je spodnja meja gostote
energijskega toka zvoka, ki jo uho še zaznava močno odvisna funkcija frekvence, ki je v
227
bližini frekvenčnega intervala 4 kHz celo nižja, od zgoraj definirane in osvojene vrednosti, t.j.
10-12 W/m2.
Izraz (III-1) popisuje monokromatski val (krožne) frekvence ω kar je v akustiki
pojmovano kot ton. Občutek, ki ga vzbudi v ušesu ton (torej ena sama frekvenca) je dokaj
neprijeten. Diagram gostote zvočnega toka v odvisnosti od frekvence ima v tem primeru eno
samo črto, skica 3.4. Zven je rezultat sočasnega sestavljenega valovanja več tonov (sinusnih
valovanj) različnih frekvenc, ki se med seboj razlikujejo za celoštevilčni mnogokratnik, zato
je spekter zvena črtasti. Najnižja frekvenca, ν0, se imenuje osnovna frekvenca, sledi ji prva
harmonska frekvenca, ν1 = 2 v0, druga harmonska frekvenca, ν2 = 3 ν0, itd. Rezultat
sestavljanja več sinusnih valovanj različnih frekvenc (in stalnih faznih zamikov) je periodična
funkcija, ki pa nikakor ni več sinusna. Barva zvena je odvisna od števila in jakosti višjih
harmonskih komponent v zvenu. Šum je sestavljen iz tako velikega števila valovanj različnih
frekvenc, ki med seboj niso povezane tako, da spekter šuma postane zato zvezni spekter.
j
j
ν
j
ν0
(a)
ν1
ν2 ν
(b)
ν
(c)
Skica 3.4. Spekter tona (a), ki vsebuje vsebuje eno samo frekvenco, zvena, ki sestoji iz
končnega števila tonov, ki se razlikujejo za celoštevilčne mnogokratnike in šuma, ki vsebuje
veliko število med seboj neodvisnih frekvenc.
V tehniški akustiki je uveljavljen nekoliko drugačen zapis fizikalnih količin kot so
bile predstavljene zgoraj. Tako se n.pr. za gostoto energijskega toka zvoka j, uporablja pojem
intenziteta zvoka I, ki je seveda definirana kot,
I ≡ j =
dP
=
dA
d ⎛ dW
⎜
dA ⎜⎝ d t
⎞
⎟⎟
⎠
III-38
množina energije (zvočnega valovanja), ki preteče na enoto časa skozi ploskev dA, ki stoji
pravokotno na smer razširjanja valovanja. Zapisani izraz je mogoče dodatno preobraziti,
d 2W
d 2W dx
d 2W dx
I =
=
dx =
dt = c w
dt dV
dt dV dt
dt dA dx
III-39
kjer je c hitrost valovanja za katerega je privzeto, da se širi v smeri osi x in w je gostota
energije valovanja, III-15. Ker velja, da je v vsakem trenutku gostota energije valovanja,
228
w = ρ v2 = ρ {
d
[s0 sin (ωt – k x)] }2 = ρ ω2 s02 cos2 (ωt – k x)
dt
III-40
in v časovnem povprečju preko nihajnega časa T (ali poljubnega mnogokratnika nihajnega
časa) je izraz za gostoto energije enak,
1 1
1T
< w > = ρ ω s0
cos 2 (ω t − kx ) dt = ρ ω2 s02
∫
T0
Tω
2
2
ω T − kx
∫ cos
− kx
2
u du =
ρ ω 2 s0 2
2
III-41
in v časovnem povprečju (v praksi se obravnava samo takšne količine, ki se nanašajo na
časovno povprečje) je tedaj intenziteta zvoka podana z izrazom III-19,
I ≡ <I> =
ρ cω 2 s0 2
2
Z ω 2 s0 2
=
,
2
III-42
kjer je Z akustična impedanca, Z = ρ c.
V akustiki se je tudi za jakost zvoka J, uveljavil alternativni zapis, raven intenzitete
zvoka, L, torej,
⎛ I ⎞
⎟⎟
I
⎝ 0⎠
L ≡ J = 10 log ⎜⎜
III-43
kjer je I0 minimalna intenziteta zvoka, I0 ≡ j0 , enačba III-32.
Gornji izraz za nivo zvočne intenzitete L, glej tudi enačbo III-33, je uporaben tedaj,
če med izvorom zvoka (zvočilo) in merilnim mestom (t.j. sprejemnikom) ni ovire. Če obstaja
ovira med zvočilom in sprejemnikom je tedaj raven intenzitete zvoka L* podana z,
⎛ I´ ⎞
⎟,
⎝I⎠
L* = 10 log ⎜
III-44
kjer je I˙ izmerjeni nivo zvoka v prisotnosti ovire in I intenziteta zvoka, če ovire ni. Zgornji
izraz se lahko preoblikuje v,
⎛ I´ I 0 ⎞
⎟⎟ = 10 log
I
I
0⎠
⎝
L* = 10 log ⎜⎜
⎛ I′ ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ - 10 log
⎝ I0 ⎠
⎛ I ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ .
⎝ I0 ⎠
III.-45
V primeru prisotnosti večjega števila zvočil velja, da je merjena intenziteta zvoka sprejemnika
I podana z,
I = I(1) + I(2) + I(3) + …..
III-46
oziroma,
229
I
I (1)
=
+
I0
I0
I (2 )
I (3)
+
+ ….
I0
I0
III-47
toda,
L
I (k )
= 1010 ,
I0
1
(k )
III-48
zato je nivo intenzitete zvoka vseh izvorov, Lcelota, enaka,
1 ( )
⎛
L
Lcelota = 10 log ⎜ ∑1010
⎜k
⎝
k
⎞
⎟
⎟
⎠
III-49
izražena v »enotah« decibel dB.
V akustiki je v uporabi tudi količina t.im. raven zvočne moči, LN, ki je definirana na
naslednji način. Celotni energijski tok dW/dt, ki ga oddaja zvočilo je podan z izrazom,
P =
dW
=
dt
∫ I dA ,
III-50
ki se v primeru točkastega izvora zvoka, ki enakomerno seva v ves prostor, poenostavi v,
P = I A = I 4 π R2
III-51
Zvočila običajno ne sevajo enakomerno v prostor, zato se definira raven zvočne moči, LN, kot
logaritem razmerja v določeni prostorski kot Ω izsevanega in na razdalji R izmerjenega, P1
zvočnega (t.j. energijskega) toka – zvočne moči, ter v isti prostorski kot toda na razdalji (R+r)
izmerjene zvočne moči, P2
⎛ P (Ω ) ⎞
⎟⎟
LN = 10 log ⎜⎜ 2
⎝ P1 (Ω ) ⎠
III-52
V splošnem velja,
P1
= I1 A1
= I1 R2 Ω
III-53
P2
= I2 A2
= I2 (R+r)2 Ω
III-54
če je oddaljenost med merilnima mestoma, znotraj stožca prostorskega kota Ω, enaka r.
Zgornja definicija se lahko preoblikuje v,
230
⎛ I 2 A2
⎜
I
LN = 10 log ⎜ 0
⎜ I1 A1
⎜ I
⎝ 0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
III-55
kar se poenostavi v,
⎛I ⎞
⎛I ⎞
⎛A ⎞
LN = 10 log ⎜⎜ 2 ⎟⎟ - 10 log ⎜⎜ 1 ⎟⎟ + 10 log ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ I0 ⎠
⎝ I0 ⎠
⎝ A1 ⎠
III-56
Količini nivo intenzitete zvoka ter raven zvočne moči sta torej med seboj soodvisni količini.
V vsakdanjem življenju je velikega pomena hrup, ki lahko resno ogroža človekovo
zdravje. Spekter hrupa je približno popisan na skici 3.4 (c) in je zato v primeru hrupa, v
splošnem, težko govoriti o neki določeni frekvenci hrupa. Kot je razvidno zgoraj, skica 3.3, pa
je jakost zvoka močno odvisna od frekvence, ki pa je pri hrupu večinoma zvezno
porazdeljena. Zaradi tega se pri meritvah hrupa za nivo hrupa mora podati tri vrednosti
meritev, ki ustrezajo (frekvenčno) uteženim krivuljam, kot so bile dogovorjene z
mednarodnimi predpisi IEC (International Electrotechnical Commission) med leti 1961 in
1973. Gre za t. im. utežne krivulje (ali korekcijske karakteristike), kjer se nivo (raven) hrupa
izražen v db podaja s krivuljami “A”, “B”, “C” in “D”, kjer je na dogovorjeni način privzeto
dejstvo, da minimalna gostota zvočnega toka (ali pa alternativno, amplituda tlačne razlike)
zavisi od frekvence. Te korekcijske krivulje so prikazane na skici 3.5, pri čemer se prve tri
uporabljajo v urbanih okoljih, četrta, t.j. krivulja “D”, pa v okolici letališč.
Pri meritvah hrupa so korekcijske krivulje že samodejno upoštevane s tem, da so v
merilniku vgrajeni posebni filtri za posamezno krivuljo. Tako n.pr. se pri meritvah hrupa
večinoma meri jakost zvoka, kot jo podaja krivulja “A” in se zato navaja hrup v obliki mersko
Skica 3.5 Korekcijske krivulje “A”, “B”, “C” in “D”, na osnovi katerih temeljijo meritve
hrupa.
231
število x dB(A), ali pa kar dBA. V akustiki se izmerjena vrednost hrupa označi s črko L, tako
n. pr. pomeni, L(t) izmerjena raven hrupa v trenutku t, LAI(t) izmerjena raven hrupa v trenutku
t, pri čemer je filter merilnika nastavljen na krivuljo”A” in sicer na impulzno meritev “”I”
hrupa, nadalje Ld, oziroma Ln pomenita dnevno, ki se šteje od 6. do 22. ure ter (nočno) raven
hrupa, in podobno.
Meritve, način izračunavanja, mejne (dopustne) vrednosti hrupa, ukrepi za
zmanjševanje hrupa in načini izračunavanja hrupa gledena vir hrupa so podane z ustreznimi
pravilniki in odloki. V Tabeli III.1 so n.pr. podane mejne dnevne in nočne ravni hrupa za
posamezna bivalna okolja.
TABELA III.1
Območje naravnega ali
življenskega okolja
IV. območje
III. območje
II. območje
I. območje
Mejne ravni hrupa (dBA)
nočna raven Ln
dnevna raven Ld
70
50
45
40
70
60
55
50
Mejne konične ravni za posamezna bivalna območja podaja Tabela III.2.
Šteje se, da vir hrupa povzroča prekomerno obremenitev, če velja, da konična raven
hrupa presega mejno konično raven podano v Tabeli III.2, ali pa dnevna (ali nočna) raven
presega mejno raven kot jo določa Tabela III.1.
V tabelah pomenijo: I. območje je območje namenjenemu turizmu in rekreaciji,
okolica bolnišnic, zdravilišč, okrevališč in naravnih parkov, II. območje obsega bivalna
območja, šole, vrtce, zdravstvenih domov, javnih parkov ter igrišč, III. območje je trgovskoposlovno-stanovanjsko okolje ter kmetijska območja in IV. območje obsega območja
namenjena industrijski ali obrtni proizvodnji, transportni, skladiščni in servisni dejavnosti ter
hrupnejšim komunalnim dejavnostim.
TABELA III.2
Območje naravnega in
življenjskega okolja
IV. območje
III. območje
II. območje
I. območje
Mejna konična raven hrupa LI (dBA)
nočna raven Ln
dnevna raven Ld
od 22. do 6. ure
od 6. do 22. ure
90
70
65
60
90
85
75
75
232
Shema enega od instrumentov za merjenje hrupa družbe Brüel & Kjaer, je prikazana na
skici 3.6.
Skica 3.6 Shematski prikaz merilca hrupa, fonometra. Mikrofon pretvarja spremembe
zvočnega tlaka v električno napetost, predojačevalec signal ojača, hkrati pa spremeni visoko
impedanco na nizko imedanco. Sledi ojačanje signala in nato detektorska stopnja, kjer je na
izhodu istosmerni signal, ki podaja raven prejetega hrupa. Ta signal se privede na
linearni/logaritmični konvertor in nato na kazalčni ali digitalni instrument za neposredno
odčitavanje jakosti zvoka v decibelih. Atenuator služi za izbiro ustreznega merilnega obsega
instrumenta.
Skica 3.7. Primer enega od številnih merilnikov hrupa družbe Brüel & Kjaer.
Na levi strani preprostejše izvedbe merilnika hrupa, skica 3.6, je prikazan adapter
za druge mikrofone, ki niso serijsko vgrajeni v instrument in s katerimi je mogoče meriti
različne obsege ravni hrupa. Prikazani merilec n.pr. meri raven hrupa s standardnim obsegom
233
od 26 – 140 dB(A) ob upoštevanju karakteristične krivulje »A«, s preklopom pa meri tudi s
karakterističnima krivulema »B« in »C«, poseduje priključke za zapisovalnik, računalnik, itd.
Za frekvenčno analizo zvoka je k zgoraj prikazanemu merilcu potrebno dodati komplet
oktavnih filtrov, drugi merilci pa ta del vsebujejo že v osnovni izvedbi sami. Za impulsne
meritve, za integralne meritve, za meritve konic, za meritve Leq, to je ekvivalentne ravni hrupa
in podobno je potrebno izbrati druge, namenu ustrezne, merilnike.
Osnovne meritve, ki se običajno izvajajo v akustiki so: analiza zvoka, merjenje
gostote zvočnega toka (zvočne moči), meritev udarnega signala, nadzor hrupa, absorpcija
zvoka, zvočna zaščita, reverberacijski čas (to je čas v katerem se zniža jakost zvoka za 60 dB
od trenutka prekinitve delovanja zvočila) in porazdelitev zvoka v prostoru (gledališča,
koncertne dvorane, itd.). Vsaka vrsta naštetih meritev zahteva svojstveno izvedbo merilne
metode, ki jo podrobneje opredelijo izdelovalci akustične opreme.
3.2
Zvočno polje
Področje kjer se razprostira zvok je zvočno polje. V primeru, da je v prostoru
prisotnih več točkastih sočasnih izvorov zvoka se valovno vronto rezultirajočega zvoka
konstruira s pomočjo Huyghens-onovega načela: vsaka točka prvotne valovne fronte je izvor
elementarnega krogelnega valovanja, ki se širi s hitrostjo valovanja v prostor – envelopa
elementarnih krogelnih valovanj podaja novo valovno fronto v danem časovnem trenutku. Iz
zapisanega je razvidno, da je rezultirajoči tlak zvoka v dani točki prostora v danem trenutku
algebrajska vsota tlakov vseh elementarnih krogelnih valovanj, ki v danem trenutku dosežejo
izbrano točko prostora.
V primeru enega samega točkastega izvora krogelnega valovanja v prostoru velja,
p = P
R
R
sin(ω t - kr) = P
Im [e-i(ω t – k r)]
r
r
III-57
Zgornji izraz predstavlja enačbo nihanja pulzirajoče krogle polmera R kot najenostavnejšega
točkastega zvočila krogelnega valovanja, pri čemer je amplituda tlaka na površini krogle
enaka P. V splošnem je enostavneje računati s kompleksnimi števili le spomniti se je
potrebno, da je končni rezultat podan z imaginarno vrednostjo rezultirajočega izraza.
Že za primer dveh identičnih točkastih krogelnih izvorov valovanj na medsebojni
oddaljenosti d, ki nihata v fazi je rezultirajoče valovanje ni več enakomerno (izotropno)
porazdeljeno po prostoru marveč je usmerjeno. To je razvidno iz skice III.7.
0
d/2
r1
ϕ
d/2
r
0
T
r2
Skica 3.8. Nihanje tlaka v točki T prostora pod vplivom dveh krogelnih točkastih izvorov.
234
Rezultirajoči tlak v točki T prostora je v primeru sočasnega nihanja dveh
točkastih izvorov krogelnega valovanja podan z izrazom,
R
R
III-58
p = p1 + p2 = P ei(ω t-kr1) + P ei(ω t-kr2)
r1
r2
Iz skice 3.8 sledi,
v
d
v
v
r1 = r +
2
III-59
tako, da je
r12 = r2 + (d/2)2 + 2 (d/2) r cos[(π/2) - ϕ]
III-60
oziroma,
2
⎛ d ⎞ ⎛d ⎞
1 + ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ sin ϕ ≈ r [1 – (d/2r) sinϕ]
⎝ 2r ⎠ ⎝ r ⎠
r1 = r
III-61
kjer smo upoštevali, da je d/2 << r tako, da se končni rezultat glasi,
r1 = r -
d
sin ϕ
2
III-62
Na podoben način se da pokazati, da je
r2 = r +
d
sin ϕ
2
III-63
Rezultirajoči tlak v točki T je tedaj enak,
[
]
p =
PR iωt −ikr1
e e
+ e −ikr2
r
p =
PR i (ωt − kr )
⎡ kd
⎤
e
2 cos ⎢ sin ϕ ⎥
r
⎣2
⎦
=
[
PR iωt − i (kr −k ( d / 2 ) sin ϕ ) −i [kr + k ( d / 2 ) sin ϕ ]
e
e
+e
r
]
III-64
III-65
kjer smo v imenovalcu postavili r1 ≈ r2 ≈ r. Rezultirajoči tlak v točki T prostora zaradi
prisotnosti dveh točkastih krogelnih valovanj na medsebojni razdalji d, ki nihata sočasno, pri
čemer po predpostavki velja d << r, je zato tedaj,
p = 2
PR i (ωt − kr )
⎡πd
⎤
e
cos ⎢ sin ϕ ⎥
r
⎣λ
⎦
III-66
in močno zavisi od smeri točke T v prostoru.
Porazdelitev rezultirajočega valovanja po smeri podaja usmeritvena funkcija,
235
⎡πd
⎤
cos ⎢ sin ϕ ⎥
⎣λ
⎦
III-67
ki zavisi tudi še od razmerja d/λ . Tako je n.pr. za vrednost d/λ = ½ vrednost usmeritvene
funkcije vzdolž izvorov (ϕ = 0) enaka 0, za vrednosti d/λ = ¾ je enaka nuli v smereh, ki
oklepajo kot 420 z ozirom na vertikalo na spojnico obeh izvorov valovanj itd. Na skici III.8 je
grafični prikaz usmeritvene funkcije za tri primere razmerja d/λ.
(a)
(b)
(c)
Skica 3.9. Usmeritvena funkcija v odvisnosti od parametra d/λ: (a) d/λ = ¼ , (b) d/λ = ½,
(c) d/λ = ¾. Točkasta izvora krogelenega valovanja, ki nihata sočasna sta na skici 3.9
predstavljena s črnima pikama na vodoravni premici dolžine d.
V primeru, da ravno valovanje v prostoru naleti na oviro katere prečna razsežnost
je velikostnega reda valovne dolžine zvoka se zvok na oviri uklanja (potuje znotraj področja
geometrijske »sence«). Tudi v tem in podobnih primerih se konstruira novo valovno fronto s
pomičjo Huyghensovega načela. V primeru uklonske mrežice (zaporedja ekvidistantnih ovir
ali pa odprtin, ki prepuščajo zvočno valovanje, skica 3.10) se valovanje v določenih smereh
ojačuje v drugih smereh pa se izničuje. Pojav se imenuje interferenca.
λ
λ
φ
φ
d
236
Skica III.9. K računanju uklona zvoka na uklonski mrežici.
Iz skice 3.10 je razvidno, da je pot dveh zaporednih uklonjenih žarkov, ki izhajata iz rež na
oddaljenosti d enaka
Δr = d sin φ
III-68
V dani točki prostora bo nastala konstruktivna interferenca, če se ta razdalji Δr razlikuje za
celoštevilčni mnogokratnik valovnih dolžin λ valovanja in destruktivna interferenca, kadar je
Δr enak mnogokratniku λ/2. Velja tedaj,
d sin φ = n λ ,
n = 0, ±1, ±2, ±3, ....
III-69
Če je prečna dimenzija n. pr. valja d na katerega pravokotno vpada ravni zvočni val
valovne dolžine λ, pri čemer je d<<λ, se izkaže, da je energijski tok P z valja sipanega
valovanja podan z izrazom,
2
P = P0
π d ⎛ πd ⎞
2
⎜ ⎟ (1 − 2 cos φ ) ,
16 r ⎝ λ ⎠
d/λ << 1
III-70
kjer je P0 energijski tok (intenziteta) na valj vpadlega ravnega vala. V zapisanem izrazu sta r
in φ ravninski polarni koordinati točke T v prostoru, skica 3.11.
r
φ
Skica 3.11. Definicija polarnih koordinat r, φ za primer sipanja zvočnega vala na valju
katerega premer d je dosti manjši, kot je valovna dolžina vpadajočega zvočnega ravnega vala
λ, izraz (III-51).
Prostorsko usmeritev valovanja, ki se siplje na tankem valju podaja skica 3.12. Iz
diagrama je jasno razvidno, da je večina energijskega toka sipanega vala vsebovano v smeri
nazaj.
237
Skica 3.12. Usmerjevalna karakteristika sipanega zvočnega vala na tankem valju, premera
dosti manjšega kot je valovna dolžina zvoka, pri pravokotnem vpadu ravnega zvočnega
valovanja.
Zgornji zgled sipanja ravnega zvočnega vala na, ki pravokotno vpada na togi valj
katerega premer je dosti manjši, kot je valovna dolžina vpadlega zvoka je mogoče posplošiti
na sistem malih delcev. V tem primeru se namreč izkaže, da je glavnina rezulturajočega
sipanega zvočnega valovanja, s sistema delcev kjer je velikost delcev mnogo manjši
kot je valovna dolžina zvoka, koncentrirana na področje pred delci. Neposredni učinek tega
dejstva je, da povzroča sipanje zvoka na takšnem sistemu delcev t.im. radiacijski tlak, s
katerim zvok deluje na sistem delcev. To je zlasti lepo razvidno pri razširjanju zvoka skozi
kapljevino blizu vrelišča kjer se intenziteta (in s tem energija) prepuščenega zvočnega
valovanja, ob trenutku nastopa majhnih mehurčkov pri vrenju, bistveno zmanjša. Podobni
pojavi nastopajo pri razširjanju zvoka skozi zemljine; ob zrnati strukturi se intenziteta
prepuščenega zvoka skozi plast prav tako zaznavno zmanjša.
V primeru, da se ravni val siplje na predmetih katerih prečne razsežnosti so mnogo
večje kot je valovna dolžina zvoka se glavnina sipane intenzitete, v nasprotju z zgornjim
primerom, nahaja izza zapreke. Sipano valovanje za zapreko zato interferira z neposredno
prepuščenim (t.j. vpadnim) zvočnim valovanjem pri čemer kot rezultat pride do pojava
lokalne oslabitve zvoka. Pravimo, da je v tem primeru prišlo do nastanka zvočne sence.
3.2
Absorpcija zvoka v homogeni snovi
Zvok, ki je definiran kot longitudinalno valovanje med 16 Hz in 20 kHz se razširja (v
obliki zgoščin in razredčin) samo v snovi. Zvočnega valovanja v vakuumu ni. Zaradi
vzajemnega delovanja delcev snovi se energijski tok zvoka na tej poti skozi snov zmanjšuje.
Spremljajoči pojavi, ki ob tem nastopajo so v splošnem zapleteni, med drugimi izgubami se
n.pr. del energije zaradi viskoznih sil (trenje), ki nastopajo med delci, pretvarja tudi v toplotno
238
energijo, ki se nato porazdeli po snovi. Neodvisno od podrobnosti, se pojav absorpcije zvočne
energije skozi snov opiše s terminom absorpcija zvoka.
Absorpcija zvoka skozi homogeno snov opredeljuje absorpcijski, pogosto imenovani
tudi atenuacijski, koeficient, ki je karakterističen za vsako snov posebej. Predpostavimo, da se
skozi homogeno snov širi ravno zvočno valovanje. Zvočni tok se z pretečeno razdaljo v snovi
zaradi absorpcije zmanjšuje. Naj bo gostota zvočnega toka na razdalji x od koordinatnega
izhodišča enaka j(x). Gostota zvočnega toka je zaradi absorpcije v infinitezimalni plasti snovi
debeline dx, ki se nahaja med x in x+dx zmanjšana, skica 3.13.
j0
j(x)
0
j(x+dx)
x x+dx
j
x
Skica 3.13. K izpeljavi atenuacije zvoka v snovi.
Razlika med, na plast homogene snovi debeline dx, vpadno gostoto zvočnega toka in
prepuščenim zvočnim tokom,
j(x+dx) = j(x) +
1 d2 j
dj
dx +
2 dx 2
dx x
(dx )2 + K
III-71
x
je v linearnem približku enaka,
j(x) - j(x+dx) = - dj
III-72
in mora biti sorazmerna debelini plasti, dx, ter pri dani debeli še sorazmerna vpadli gostoti
zvočnega toka j(x),
- dj ∝ j(x) dx
III-73
Pri zapisanih pogojih mora absorbirana gostota zvočnega toka zaviseti tudi od vrste
(homogene) snovi v katerem se zvočno valovanje. To lastnost snovi označimo s koeficientom
μ, ki se imenuje absorpcijski ali atenuacijski koeficient, tako, da velja,
239
dj
= - μ dx
j
III-74
Izraz sedaj integriramo v mejah med x=0 kjer je gostota zvočnega toka enaka j0 in razdaljo x,
kjer je gostota zvočnega toka enaka j(x).
j
x
dj
∫j j = - μ ∫0 dx
0
II-75
Rešitev izraza je podana z enačbo,
j = j 0 e- μ x
III-76
Če se skozi snov širi ravni val se tedaj gornji izraz lahko zapiše tudi v obliki,
P = P0 e- μ x
III-77
kjer je P zvočni tok, saj v tem preprostem primeru velja, da je j = P/S.
Iz izpeljanega izraza je razvidno, da ima atenuacijski koeficient μ enoto m-1.
3.3
Absorpcija zvoka v nehomogeni snovi
V preprostih oblikah nehomogene snovi, kot je n.pr. prehod zvoka iz ene snovi v
drugo, poleg absorpcije nastopa na meji še odboj zvoka. Odboj je tem izrazitejši čim večja je
razlika zvočnih impedanc plasti, ki se stikata.
V gradbeništvu je pomemben podatek delež zvočnega toka, ki prodre skozi oviro (zid,
pregrado, itd) in se na drugi strani širi naprej in delež vpadnega toka, ki se od ovire odbije.
Vzemimo, da zvočni tok vpada pravokotno na oviro, skica 3.14.
Če označimo z j0, na sloj debeline x, vpadlo gostoto zvočnega toka se od te
vrednosti odbije (reflektira) delež jr, v sloju samem absorbira delež ja, preostali delež, jp pa je
prepuščen in se širi naprej v prostoru. Očitno mora veljati,
j0 = j r + j a + j p
III-78
Kvocient (jp/j0) je definiran kot zvočna prepustnost sloja, kvocient
a = (jr/j0)
III-79
pa kot zvočna odbojnost (albedo) sloja. Oba koeficienta sta odvisna predvsem od razlike
zvočnih impedanc sloja in okolice (zraka).
Absortivnost ploskve, α , je definirana kot kvocient
α =
j0 − j r
j
= 1 - r = 1 - a
j0
j0
III-80
240
j0
jp
jr
x
Skica 3.14. Zvočni tok gostote j0 pravokotno vpada na sloj debeline x. del gostote zvočnega
toka, jr, se od mejne plasti odbije, del se ansorbira, ja, in del vpadne gostote zvočnega toka je
prepuščen skozi oviro, jp.
absorbirane in prepuščene gostote zvočnega toka z vpadlo gostoto zvočnega toka. Ta količina
torej podaja kolikšen delež vpadle gostote zvočnega toka preide v snov in je zato za dani
prostor, kjer zadeva ob oviro, izgubljen. Absortivnost ploskve α (količina brez enote, glej
enačbo III-61), ki podaja stanje na meji s snovjo, ne gre enačiti z absorpcijskim koeficientom
snovi, μ, ki ima enoto m-1, enačba III-57 in ki se nanaša na dejansko absorpcijo zvočnega toka
v dani snovi. To je podrobneje predočeno na skici 3.15, kjer je prikazan odbiti delež gostote
zvočnega toka jr = a j0 = (1-α ) j0, na zunanji mejni plasti in preostanek, t.j. j0 – jr = α j0, ki je
prešel vanjo. Od tega deleža, t.j. α j0, se en del absorbira na razdalji x, preostanek pa iz plasti
iztopa in se širi naprej po prostoru.
j0
(1-α ) j0 = a j0
α j0
Skica 3.15. Razmere na vpadni mejni plasti pri prodiranju gostote zvočnega toka v snov.
241
Absorptivnost ploskve, α , za nekatere primere snovi je podana v Tabeli III.3. V
splošnem je absorptivnost ploskve odvisna še od frekvence zvoka in sicer monotono raste z
naraščajočo frekvenco. Zaradi te lastnosti se pri prehodo zvoka skozi snov močneje
absorbirajo komponente zvočnega spektra višjih frekvenc. To lastnost izraža tudi tabela III.3.
TABELA III.3
Absorptivnost ploskve, α
Snov
Opeka
Lesen opaž
Les
Steklo
Ladijski pod
Žametna zavesa
Parket
Marmor
Okno-zaprto
Omet
Opečni zid, neometan
Betonski zid
Steklena volna (9 cm)
frekvence zvoka [Hz]
125
250
500
1000
2000
4000
0,02
0,1
0,10
0,04
0,04
0,14
0,04
0,01
0,35
0,025
0,024
0,01
0,32
0,02
0,11
0,05
0,04
0,04
0,35
0,04
0,03
0,11
0,05
0,03
0,03
0,55
0,07
0,01
0,18
0,06
0,032
0,02
0,51
0,04
0,08
0,04
0,03
0,03
0,75
0,06
0,05
0,08
0,04
0,02
0,03
0,70
0,060
0,015
0,07
0,043
0,049
0,02
0,65
0,05
0,11
0,04
0,02
0,02
0,60
0,07
0,25
0,045
0,025
0,01
0,40
0,12
0,085
0,041
0,02
0,60
0,04
0,058
0,07
0,03
0,60
Poudariti je potrebno, da je za določitev reflektirane oziroma prepuščene gostote toka
proučiti število odbojev na mejnih ploskvah in absorpcijo zvoka pri prehodu skozi snov. Tako
n.pr. za plast debeline x na skici 3.15 velja naslednje:
j0
=
gostota na zid (na levo mejo) vpadlega energijskega toka zvoka, ki potuje iz
smeri levo proti desni,
(1-α) j0 =
na (levi) meji odbita gostota zvočnega energijskega toka,
α j0
=
gostota zvočnega toka na (levi) meji, ki vstopa v snov
j1(x)
=
α j0 e- μ x = gostota zvočnega toka na drugi (t.j. desni) meji snovi po
pretečeni dolžini x,
α j1(x)
=
gostota prepuščenega toka skozi plast debeline x, ki vstopa v zrak (na desni
meji),
(1-α) j1(x) = gostota odbitega zvočnega toka zdesne meje, ki potuje v snovi nazaj proti
levi meji,
(1-α) j1(x) e- μ x = gostota zvočnega toka na levi meji, katere vzrok je bil odboj z desne meje,
(1-α ) {(1-α) j1(x) e- μ x } = odbita gostota zvočnega toka na levi meji, ki se širi proti desni,
α (1-α) j1(x) e- μ x = prepuščena gostota zvočnega toka, ki se širi v prostor na levi (odkoder
prihaja prvotni zvočni tok j0),.......
242
Postopek se nadaljuje v smislu predočene razčlembe in traja vse dokler ne postanejo
posamezni členi zanemarljivo mali. Po večkratnih odbojih je celotni reflektirana gostota
energijskega toka z leve strani meje sistema zrak/zid enaka,
jr = (1-α) j0 + α2 (1-α) j0 e- 2μx + α2 (1-α)3 j0 e- 4μx + α2 (1-α)5 j0 e- 6μx + .... =
= (1-α) j0 + α2 (1-α) j0 e- 2μx [1 + (1-α)2 e- 2μx + (1-α)4 e- 4μx + ...]
III-81
V zgornjem izrazu je v oglatem oklepaju vsota geometrijske vrste, 1+q+q2+q3+.... = 1/(1-q),
pri čemer je kvocient zaporednih členov geometrijske vrste q podan z izrazom,
q = (1-α)2 e- 2μx
III-82
in zato je končni rezultat enak,
jr =
(1 − α )(1 + α 2 e −2 μx )
2
1 − (1 − α ) e −2 μx
j0
III-83
Na podoben način se da pokazati, da je gostota prepuščenega zvočnega toka, ki z desne mejne
plasti stopa v zrak, enaka,
jp =
α 2 e −2 μx
j0 .
2
1 − (1 − α ) e − 2 μx
III-84
Apsorbirana gostota zvočnega toka v plasti je seveda enaka,
ja = j 0 – jr – jp .
III-85
V kolikor je absorpcija v snovi debeline x majhna je tedaj člen e- 2μx ≈ 1 in velja,
jr =
2(1 − α )
j0
2 −α
III-86
in
jp =
α
2 −α
j0 .
III-87
Iz tabele III.3 je razvidno, da v pogojih zanemarljivo majhne absorpcije zvoka v n.pr. lesenem
opažu (α =0.11), le ta prepušča 6 % vpadne gostote zvočnega toka, 94 % delež vpadle
gostote zvočnega toka pa se od opaža odbije.
243
3.3.1
Faktor izolacije
V bivalne prostore prehaja hrup iz okolja skozi vrata, okna, prezračevalne vodnike,
razpoke in druge odprtine; skozi stene, preko kovinskih instalacij in toge strukturne vezi
zgradbe same. Faktor izolacije je definiran kot razmerje energijskega toka vpadnega in
prepuščenega zvoka v prostoru. Izkaže se, da faktor izolacije za toge stene zavisi logaritmično
od kvocienta mase stene in njene površine, skica 3.16.
kg/m2
Skica 3.16. Faktor izolacije enoslojnega zidu zavisi od mase zidu na enoto površine.
Iz skice 3.16 je razvidno, da je za večje zvočne izolacije potrebno ugraditi zelo
masivne stene zato v primerih, ko je zahtevana vrenost faktorja izolacije ∼ 50 db bolje izvesti
rešitev, ki izhaja iz dveh masivnih sten, ki sta medsebojno spojeni s plastjo močno
absorbirajočega materiala.
V Tabeli III.4 so navedeni faktorji izolacije za nekatere gradbene elemente.
TABELA III.4
Zvočna izolacija gradbenih elementov
Faktor izolacije v db
Lesena vrata
25
Okno z dvojno šipo
30
Okno, dvojno
55
Ladijski pod
35
Betonski pod
50
244
Zvočna izolacija prostora poleg izbranih materialov močno zavisi od načina
izvedbe. V primeru pojava razpok ali rež med posameznimi elementi izniči zvočno
izolativnost uporabljenih materialov. Kovinske konstrukcije in kovinske napeljave dovajajo
zvok v prostore skoraj neovirano zato je potrebno napeljave vsake toliko prekiniti in jih spojiti
z elastičnimi dušilnimi elementi.
3.4
Zvok v prostoru
Zvok se na stenah odbije in skupaj z vpadlim zvokom interferira tako, da v prostoru
nastopi stoječe valovanje. Glede na dejstvo, da se zvok v prostoru širi na vse strani in da se
večkrat odbije je dejansko rezultirajoče valovanje zelo zapleteno in se ga da približno oceniti
le za najpreprostejše geometrije. Kot je znano je stoječe valovanje opredeljeno z vozli
valovanja (zvočni tlak je tam največji) oziroma s hrbti valovanja (kjer je sprememba tlačne
razlike enaka 0, glej enačbo III.27) nastane pa za takšne frekvence zvoka pri katerih se
večkrat odbita valovanja medsebojno vzdržujejo. Vsi delci zraka v prostoru nihajo z enako
frekvenco, amplituda nihanja pa se od točke do točke v prostoru zvezno spreminja; v vozlih je
identično enaka nič, v hrbtih pa največja. Takšna nihanja, ker se samousklajeno vzdržujejo v
prostoru ostanejo najdlje, toda zaradi energijskih izgub se zlagoma tudi sama zadušijo.
Razmere je najenostavneje proučiti na primeru sobe v obliki paralelograma s
stranicami A, B in C. Izhodišče koordinatnega sistema x,y,z naj bo v oglišču in
predpostavimo, da so stene idealno toge tako, da so na stenah vozli stoječega valovanja.
Valovna enačba, ki jo je potrebno rešiti je podana z izrazom, ki je podoben izrazu III12 in podaja odmik delcev iz ravnovesne lege φ(x,y,z; t), torej
1 ∂ 2φ
∇ φ = 2
c ∂t 2
2
III-88
kjer pomeni simbol ∇ običajni operator nabla.
Rešitev izraza III-88 iščemo z nastavkom,
φ (x,z;t) = s(x,y,z) sin(ω t)
III-89
kjer sta funkcija s(x,y,z) ter frekvenca stoječega valovanja, ω , še nedoločeni. Če vstavimo
nastavek III-89 v izraz III-88 dobimo,
∂2s
∂2s
∂2s
+
+ 2 + k2 s = 0
2
2
∂x
∂y
∂z
III-90
kjer pomeni k,
k =
ω
c
III-91
Enačbo rešujemo pri naslednjih robnih pogojih,
245
s = 0
⎧ x = 0 in A, y, z poljubna
⎪
⎨ y = 0 in B, x, z poljubna
⎪ z = 0 in C , x, y poljubna
⎩
III-92
saj so na stenah vozli valovanja (odmik delcev s je tam enak nič). Če funkcijo s(x,y,z)
zapišemo kot produkt treh še neznanih funkcij, X(x), Y(y) in Z(z),
s(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)
III-93
Robni pogoji, enačba III-71 se sedaj glasijo:
X(0) = X(A) = 0
Y(0) = Y(B) = 0
Z(0) = Z(C ) = 0
III-94
Z tako uvedeno substitucijo se valovna enačba, po deljenju obeh strani enačbe z izrazom
XYZ(=s) zapiše,
1 d 2 X 1 d 2Y 1 d 2 Z
+
+
+k2 = 0
2
2
2
X dx
Y dy
Z dz
III-95
Prvi člen na levi zavisi formalno izključno od spremenljivke x, drugi samo od spremenljivke
y, tretji od z, četrti člen pa je konstanta. Zapisani enačbi je hkrati zadoščeno le tako, da so vsi
trije členi neodvisni od spremenljivk in so zato konstante. Veljati mora tedaj,
1 d2X
= - kx 2
X dx 2
III-96
1 d 2Y
Y dy 2
= - ky2
III-97
1 d 2Z
Z dz 2
= - kz2
III-98
kjer smo (še neznane) konstante zapisali v obliki – kj2, j = x, y, z. Seveda mora veljati,
k2 = kx2 + ky2 + kz2
III-99
tako kot to zapoveduje izraz III-95.
Dobljeni sistem navadnih, homogenih, diferencialnih enačb III-96 do III-98 je kaj
lahko rešljiv. Če označimo z »˝« drugi odvod po ustrezni koordinati je potrebno rešiti sistem
treh neodvisnih izrazov skupne oblike,
X˝ + kx2 X = 0
III-100
katere splošna rešitev se zapiše,
246
X = α sin(kx x) + β cos(kx x)
III-101
ki mora zadostiti robnemu pogoju III-94. Od tod izhaja, da je rešitev, ki ustreza diferencialni
enačbi ter robnemu pogoju tedaj,
β
= 0
α sin(kx A) + β cos(kx A) = 0
III-102
kar pomeni, da je rešitev izraza III-100 pri predpisanem robnem pogoju enaka,
X = α sin(kx x)
III-103
kjer je
π
kx = nx
A
,
nx = 1, 2, 3, ……….
III-104
in α je še nedoločena konstanta, ki se jo opredeli iz drugih podanih začetnih pogojev.
Na popolnoma podoben način se da pokazati, da sta rešitvi preostalih dveh izrazov
podani z,
Y = γ sin(ky y)
ky = ny
π
B
III-105
,
ny = 1, 2, 3, ………
III-106
Z = η sin (kz z),
kz = nz
π
C
,
III-107
nz = 1, 2, 3, ………
III-108
Splošna rešitev valovne enačbe pri danih robnih pogojih se sedaj lahko zapiše kot
linearna kombinacija produktov rešitev za funkcije X, Y in Z ter se glasi,
(
∞ ∞ ∞
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
φ(x,y,z) = ∑ ∑ ∑ Θ nx n y nz sin ⎜ n x ⎟ sin ⎜ n y ⎟ sin ⎜ n z ⎟ sin ω nx n y nz t
nx n y nz
⎝ A⎠ ⎝ B ⎠ ⎝ C ⎠
)
III-109
kjer je Θ ≡ α γ η, krožna frekvenca pa,
2
ωn
x ,n y ,nz
= c
2
2
⎛ π⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π⎞
⎜ nx ⎟ + ⎜ n y ⎟ + ⎜ nz ⎟
⎝ A⎠ ⎝ B ⎠ ⎝ C ⎠
2
III-110
in zavisi pri danih A, B in C še od vrednosti, ki jih zavzamejo cela števila nx, ny in nz. Vsaka
trojica celih števil določa eno od lastnih (krožnih) frekvenc nihanja zraka v paralelogramu.
Dobili smo splošni izraz za stoječe (longitudinalna) valovanje v sobi, katere razsežnosti so
podane z pravokotnimi razdaljami A, B in C. Čim večje so dimenzije prostora tem nižja je
247
osnovna lastna frekvenca stoječega valovanja (ter s to povezane vse višjeharmonske
frekvence), pri čemer je osnovna lastna frekvenca enaka,
2
ω1,1,1 = c
2
2
⎛π ⎞ ⎛π ⎞ ⎛π ⎞
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .
⎝ A⎠ ⎝ B ⎠ ⎝C ⎠
2
III-111
Na osnovi zgoraj zapisanega ugotovimo, da so v prostoru z med seboj pravokotnimi
stenami možna stoječa longitudinalna valovanja s točno določenimi frekvencami, ki jih
opredeljuje velikost prostora. Če v danem prostoru prodre zvočno valovanje dane frekvence
se s tem dejanjem v prostoru vzbuja valovanje zraka pri tej frekvenci. Zrak prične nihati pri
čemer je amplituda nihajočih delcev tedaj, ko je vsiljena frekvenca enaka lastni frekvenci
stoječega valovanja v prostoru. Povedano drugače, če je vsiljena frekvenca enaka eni od
lastnih frekvenc stoječega valovanja (s temi frekvencami lahko delci zraka v prostoru nihajo
sami po sebi) v prostoru je vpadni zvok v resonanci z lastnim nihanjem zraka v prostoru.
Vpadnemu zvoku se tedaj pridruži še zvok zaradi resonančnega nihanja zračnih delcev v
prostoru.
V primeru, da vpadni zvok vsebuje različne frekvence se v prostoru odzove stoječe
valovanje tistih lastnih frekvenc, ki so enake (ali vsaj zelo blizu) frekvencam vpadnega
zvočnega valovanja.
V praksi se zvok razširja v prostorih najrazličnejših oblik. Ti prostori seveda prav tako
posedujejo lastne rezonančne frekvence, ki pa jih je po številu bistveno več kot v primeru
paralelopipeda, povrhu pa se zelo malo razlikujejo med seboj. Stoječi valovanje ne oklepa več
pravega kota s stenami, stene niso več idealno gladke in idealno toge; tudi zaradi odboja
valovanja se v vsaki točki prostora sestavljajo valovanja, ki prihajajo iz številnih smeri –
pravimo, da se v prostoru vzpostavi difuzno zvočno polje.
Za primer difuznega zvočnega polja je potrebno, tako se izkaže, uporabiti neko
povprečno vrednost absorbcijskega koeficienta α, kajti slednji ni le značilnost posamezne
snovi marveč zavisi še od vpadnega kota zvočnega vala, frekvence zvoka, velikosti in lege
absorbirajoče stene, oblike in velikosti prostora, itd. V Tabeli III.3 podani absorbcijski
koeficienti veljajo za primer difuznega zvočnega polja ob predpostavki, da je absorbcija zidov
med seboj enaka. Za splošne primere se zato definira povprečni absorbcijski koeficient <α> z
naslednjim predpisom,
N
<α> =
∑A α
j =1
j
A
j
III-112
kjer je Aj površina j-te ploskve zidu katere absorpcijski koeficient je αj in A je celotna
površina prostora.
Pri projektiranju je potrebno paziti na dejstvo, da < α > ne preide vrednosti 0.3, kajti
sicer se zvok v takšnem prostoru hitro zaduši in ne pride do nastanka difuznega zvočnega
polja.
Po prekinitvi izvora zvoka prične zvočno polje slabiti zaradi absorpcije zvoka na stenah
in v zraku. Čas, ki je potreben, da pade gostota energije difuznega zvočnega polja na 10-6
prvotne vrednosti (torej za 60 db) se imenuje čas odjeka (reverberacijski čas), T, ki je podan z
enačbo,
248
T =
55,3V
c[4 mV − A ln(1− < α > )]
III-113
kjer je V prostornina prostora, A celotna skupna površina prostora, <α > povprečni
absorpcijski koeficient prostora, c hitrost zvoka in m je koeficient dušenja zvoka v zraku, kot
ga podaja skica 3.17.
Skica 3.17. Atenuacijski koeficient za zrak pri temperaturi 200 C v odvisnosti od relativne
vlažnosti zraka.
Prav tako kot povprečni absorpcijski koeficient <α > tudi čas odjeka T zavisi od
frekvence zvoka. Optimalni čas odjeka zavisi od velikosti in namembnosti danega prostora.
Izkušnje kažejo, da je optimalni čas odjeka v odvisnosti od frekvence zvoka v odnosu, kot je
to prikazano na skici3.18. Na tem diagramu je na vertikalno os naneseno razmerje T/Ts, kjer
je Ts standardni čas odjeka pri frekvenci 500 Hz.
ν [Hz]
Skica 3.18 Na čas odjeka pri frekvenci 500 Hz normirana porazdelitev optimalnega časa
odjeka v odvisnosti od frekvence zvoka.
249
Poslušalec lahko sliši zvok, ki prihaja neposredno iz izvora ali pa po odboju. Priporoča
se, da se prostor oblikuje tako, da znaša razlika med razdaljami za neposredno dojemanje
zvoka ali pa odbitega zvočnega valovanja največ 15 m. V nasprotnem primeru nastopi za uho
sicer neprijetna interferenca neposrednega in odbitega zvočnega vala. Posebej se je potrebno
izogniti možnostim z interferenco ali pa z odbojem ustvarjenega lokalnega porasta zvočne
energije, zvočna gorišča, ki pogosto nastopajo pri eliptično ukrivljenih svodih dvoran. Veliki
avditoriji, dvorane, gledališča, koncertne dvorane, običajno sestavljajo štiri medsebojno
spojeni prostori: oder, glavna dvorana, balkon in prostor izpod balkona. Izkušnje kažejo, da
mora biti čas odjeka za vsakega od zapisanih prostorov približno enak. Pri izračunu je
potrebno upoštevati, da leži koeficient absorpcije praznine, ki zapisane prostore razdvaja, v
intervalu od 0,4 do 0,8, pri čemer se nižje vrednosti upoštevajo za področje pod balkonom, ki
je nekoliko plitkejše in v splošnem slabo absorptivno.
Najugodnejše razmerje stranic malih, pravokotnih, prostorov je podano z 1 : 21/3 : 22/3,
kar je približno 1 : 1,26 : 1,6. Skica 3.19 podaja optimalna razmerja dolžin za prostor pri dani
vrednosti prostornine. V vseh prostorih je potrebno ustvariti difuzno zvočno polje, kar se
doseže ali z ustrezno namestitvijo notranje opreme (pohištva) ali pa z posebej za ta namen
izvedenimi ukrivljenimi površinskimi oblogami.
Skica 3.19.
polja.
Optimalne dimenzije manjših prostorov za zagotovitev difuzijskega zvočnega
250
Dodatek – AKUSTIKA
A.1
Transverzalno valovanje elastične palice – upogibno valovanje
Po notranjosti elastičnega nosilca se, ob ustreznem načinu vzbujanja (n.pr. periodični
udarci po osnovni ploskvi) širi longitudinalno valovanje, ki se ga opiše z izrazom,
s = s0 sin[ω (t – x/c)],
(a-1)
kjer je s odmik delca, ki se nahaja na mestu x od koordinatnega izhodišča (in niha vzdolž
smeri razširjanja valovanja) iz njegove ravnovesne lege, s0 je amplituda valovanja (določena z
izvorom valovanja) in c je hitrost longitudinalnega valovanja v elastični palici,
E
c=
ρ
,
(a-2)
s
nevtr.
nevtralna ravnina
R
dθ
x
Skica 3a.1
kjer je E modul elastičnosti palice in ρ njena gostota. Izraz (a-1) ponazarja širjenje valovanja
v obliki zgoščin in razredčin, ki si periodično sledijo v elastični palici. Seveda izraz (a-1)
opisuje longitudinalno valovanje v neskončnem sredstvu, to je tedaj, ko ni odbojev valovanja
in zato ne pride do interference valovanj. Slednji vodi, kot je dobro znano, do pojava
stoječega valovanja.
V elastični snovi pa se poleg longitudinalnega valovanja lahko širi tudi transverzalno
valovanje, ki pa je v tem primeru v splošnem zapletena oblika gibanja. Njegove značilnosti
naj bodo razvidne na primeru transverzalnega valovanja elastične palice stalnega prečnega
(t.j. transverzalnega) prereza. Palico uklonimo (zakrivimo) v del loka krožnice polmera R,
skica 3a.1. Črtkani element na tej skici zgoraj je element širine dx, ki se je prvotno, v
251
odsotnosti valovanja, ki povzroča deformacijo palice, skica 3a.2, nahajal na mestu x elastične
palice preseka A.
dx
x
A
x+dx
x
Skica 3a.2
Očitno se je element pri transverzalnem valovanju deformiral (upognil) tako, da sedaj mejni
ploskvi elementa (nad in pod nevtralno ravnino) oklepata kot dθ, skica 3a.1. Toda poleg te
upogibne deformacije je potrebno ugotoviti, da se je element še dodatno premaknil v prečni
smeri za odmik s, skica 3a.1, ki je funkcija položaja in časa, s = s(x,t). Velja,
dx = R dθ
(a-3)
kjer je R polmer krivinskega radija očrtanega kroga na nevtralno ravnino na mestu x. Slednji,
kot je znano iz matematike, je podan z absolutno vrednostjo izraza (za obravnavano krivuljo s
=s(x,t)),
⎡ ⎛ ds ⎞ 2 ⎤
⎢1 + ⎜ ⎟ ⎥
⎢ ⎝ dx ⎠ ⎥⎦
R = ⎣
d 2s
dx 2
32
(a-4)
V nadaljnem privzemimo, da gre za majhne odmike v prečni smeri, t.j. ds/dx << 1, zato velja,
dθ =
d 2s
dx
≈ dx
.
R
dx 2
(a-5)
Iz skice 3a.1 je razvidno, da se vse (vzdolžne) plasti palice, ki ležijo nad nevtralno ravnino pri
opisani elastični deformaciji (ukrivitev) raztegnejo, dočim se plasti pod nevtralno ravnino
u
dA
u
u
dF
dF
nevtralna
plast
dθ
Skica 3a.3. Presek A palice je razdeljen na infinitezimalne plasti površine dA. Levo: tloris.
Desno: stranski ris deformiranega elementa.
252
ustrezno skrčijo. Pa vzemimo dano plast preseka dA, ki leži nad nevtralno ravnino in se
nahaja na razdalji u nad nevtralno ravnino. Po definiciji je ta razdalja (koordinata) pozitivna
za plasti nad nevtralno ravnino, in negativna za tiste pod njo, skica 3a3. Označena plast
prečne površine dA se pri opisani deformaciji deformira (raztegne) za vrednost udθ, kajti po
definiciji je raztezek (deformacija) nevtralne plasti, dolžine dx, enak 0. Po Hookovem zakonu
so deformacijo povzročile elastične sile, dF, ki stojijo pravokotno na dA, skica 3a.3 desno, in
zato mora veljati,
udθ
dF
= E
dA
dx
(a-6)
Toda z ozirom na vrtišče v nevtralni ravnini, te sile povzročajo navor, ki je enak,
dM = u dF = u E
udθ
dA
dx
(a-7)
tako, da znaša rezultanta navorov, M (t.j. upogibni navor), teh vzdolžnih sil (ki stojijo
pravokotno na ploskev dA) na vrtišče v nevtralni ravnini,
⎛ dθ ⎞ 2
M = E⎜
⎟ ∫ u dA .
⎝ dx ⎠
(a-8)
Integral na desni poteka po celotnem prerezu, A, nosilca. Njegova vrednost je odvisna od
oblike in velikosti prereza in se imenuje upogibni vztrajnostni moment ter označi z Ju,
Ju = ∫ u 2 dA .
(a-9)
Običajno se definira nova količina upogibni radij prereza, ru, preko enačbe
Ju = ru2 A,
(a-10)
tako, da velja,
⎛1⎞
ru2 = ⎜ ⎟ ∫ u 2 dA .
⎝ A⎠
(a-11)
Iz enačbe (a-8) z uporabo izrazov (a-5) in (a-10) sledi,
M = E ru2 A
d 2s
dx 2
(a-12)
torej rezultanta (upogibnih) navorov preko (prečnega) prereza palice je povezana z njeno
ukrivljenostjo na danem mestu.
Rezultanta upogibnih navorov se pa lahko od prereza do prereza spreminja in je torej
funkcija položaja prereza v odvisnosti od razdalje x od koordinatnega izhodišča. V tem
primeru postane ukrivljenost palice funkcija x-a, toda poleg teh, na presek, pravokotnih sil
(nateznih sil), ki prispevajo k skupnemu upogibnemu navoru se pojavijo v prerezu še strižne
253
sile, P(x). Prav zaradi teh sil namreč nastopi dejstvo, da postane upogibni navor preko
prereza, M, funkcija x-a. To si je najenostavneje predočiti na primeru, ko je vodoravno vpeta
palica (t.j. nosilec) obrememnjena z dodatno zvezno porazdeljeno obremenitvijo, h(x), v
prečni smeri (n. pr. posut s sipkim materialom).
dx
x
x+dx
Skica 3a.4
Če sedaj zapišemo ravnovesne enačbe za prikazani element mase nosilca debeline dx, tedaj
mora veljati,
h(x)
M(x)
P(x)
P(x+dx)
x
dx
M(x+dx)
x+dx
Skica 3a.5.
Rezultanta sil je 0, ker se element palice nahaja v ravnovesju,
- P(x) + P(x+dx) - h(x) dx = 0
(a-13)
kjer je h(x)dx velikost zvezno porazdeljene sile na element debeline dx in h(x) je n.pr.,
h(x) =
m( x )
g
L
(a-14)
254
porazdelitev (dodatne) mase (torej teže) na nosilcu dolžine L. Iz enačbe (a-13) je razvidno, da
smo privzeli, da je sama teža elementa nosilca, v primerjavi z ostalimi silami, ki tu nastopajo,
zanemarljivo majhna (kar pa ni vedno primer). V izrazu (a-13) pomeni - P(x) velikost strižne
sile na preseku elementa, ki se nahaja na mestu x in s katero deluje levi del elastične palice na
izbrani element palice. Ta element debeline dx, pa deluje naprej na desni del palice s strižno
silo - P(x+dx). Desni del palice deluje na element torej z nasprotno enako (reakcijsko) silo, ki
znaša +P(x+dx).
Strižna sila je povezana s strižno napetostjo na mestu x in je torej τ(x) = P(x)/A.
Poleg enačbe za ravnovesje sil, (a-13), mora veljati še dejstvo, da je tudi rezultanta
navorov vseh (zunanjih) sil in navorov, okoli poljubno izbranega vrtišča (n.pr. premice skozi
spodnji desni vogal elementa palice), ki na element delujejo enaka 0,
M(x) - P(x+dx) dx - M(x+dx) = 0,
(a-15)
kjer smo vzeli, da je navor levega dela palice na izbrani element pozitiven in zato sta preostala
navora negativna. Tudi v tem primeru je navor sile teže samega elementa ter navor zunanjih
navpičnih sil (dodatne obtežbe) zanemarjen.
Iz enačbe (a-13) sledi,
h(x) =
dP
dx
(a-16)
in iz enačbe (a-15) pa
P(x) = -
dM
.
dx
(a-17)
Enačba (a-16) podaja povezavo med porazdelitvijo (dodatne) sile vzdolž palice ter strižno
silo v preseku, P(x), enačba (a-17) pa povezavo med le-to in gradientom navora. Očitno zares
velja, da v primeru, ko je rezultirajoči navor sil pravokotnih na presek palice konstanten je
strižna sila preko preseka identično enaka nič. Vidimo, da zaradi upogiba palice kot funkcije
koordinate x pride do spremembe upogibnega navora vzdolž palice, kar se posledično odraža
v dejstvu, da je tedaj strižna sila v preseku palice od nič različna.
Iz izraza (a-17) z uporabo (a-12) dobimo,
P = - E ru2 A
d 3s
dx 3
(a-18)
Ker obravnavamo transverzalno valovanje elastične palice nas zanimajo pomiki v prečni
smeri, torej s = s(x,t). Le-ti nastopijo zaradi rezultante sil v tej smeri, t.j. rezultante strižnih sil.
Le-ta je enaka,
P(x+dx) – P(x) =
dP
dx
dx
(a-19)
kjer smo vpliv obtežbe na element zanemarili.
Rezultanta zunanjih sil podeli elementu palice pospešek a in torej velja,
dF = dm a
(a-20)
255
d 2s
dP
dx = A ρ dx 2
dx
dt
(a-21)
in s pomočjo izraza (a-18) dobimo,
d 4s
d 2s
=ρ 2
dx 4
dt
(a-22)
⎛ E ru 2 ⎞ d 4 s
d 2s
⎟
+ ⎜⎜
⎟ dx 4 = 0 .
ρ
dt 2
⎝
⎠
(a-23)
- E ru
2
ali
Dobili smo diferencialno enačbo, ki pa ni podobna enačbi transverzalnega valovanja (n. pr. za
napeto struno velja, s=s0 sin[ω (t-x/c)], kjer je c2 = F L/m in odmik s zadošča valovni enačbi,
d2s/dt2 = (1/c2) d2s/dx2 ). Toda izkaže pa se, da je ena od možnih rešitev izraza (a-23) tudi
naslednja,
s(x,t) = s0 sin [ω t –k x]
(a-24)
pri čemer je s0 poljubna amplituda, ω /k pa je fazna hitrost valovanja,
ω
c =
k
.
(a-25)
Konstanta k pa je določena z enačbo (a-23), t.j.
-ω
2
⎛ E ru 2
+ ⎜⎜
⎝ ρ
⎞ 4
⎟k = 0
⎟
⎠
(a-26)
od koder sledi, da je
c =
ω
= k ru
k
E
ρ
=
2π ru
E
λ
ρ
(a-27)
kjer iz enačbe (a-25) in zaradi dejstva, da za valovanje vedno velja splošni izraz c = ν λ,
sledi,
k =
2π
λ
.
(a-28).
Iz enačbe (a-27) izhaja, da je hitrost upogibnega (t.j. transverzalnega) valovanja v elastični
palici odvisna od valovne dolžine, λ, valovanja ki se širi v njej. Kratki valovi se širijo hitreje
kot dolgi valovi. Ta pojav se imenuje disperzija valovanja.
Primerjava izraza (a-27) s hitrostjo longitudinalnega valovanja v palici, (a-2),
256
cup =
2π ru
λ
clong
(a-29)
ponazarja zapleteno odvisnost hitrosti transverzalnega valovanja v elastični palici od valovne
dolžine valovanja. Zapisana oblika transverzalnega valovanja, ki poseduje takšno lastnost in
ki je podana z enačbo (a-24) se zato imenuje upogibno valovanje.
A.2
Vpoj (izolacija) zvoka v gradbenih elementih - empirične ugotovitve
Osnovni pojmi in definicije
V tem poglavju je pozornost usmerjena na pojave, ki zadevajo prehod zvoka skozi
enostavni ali pa sestavljeni gradbeni element z namenom, da se jakost zvoka, ki izhaja iz
danega prostora v sosednji prostor čim bolj zmanjša. Vseskozi bomo izhajali iz empiričnih
ugotovitev, kajti izkazalo se je, da teoretični pristopi, četudi še tako zapleteni, lahko večinoma
samo v približni meri popišejo rezultate ustreznih meritev.
Ključni fizikalni pojavi, ki oblikujejo zvočno izolativnost gradbenega elementa so
naslednji:
1. vpad zvočnega valovanja (t.j. longitudinalnega valovanja med 16 s-1 in 20 kHz) na
gradbeni element, pri čemer se del zvočnega valovanja odbije (vpadni kot je enak
odbojnemu) nazaj v prostor izvora zvoka,
2. na gradbeni element vpadlo zvočno valovanje vzbudi v njem tako upogibno kot tudi
longitudinalno valovanje, ki se širi po celotnem območju gradbenega elementa (t. im.
strukturni zvok),
3. del energije takšnega valovanja v gradbenem elementu se apsorbira, (del prehaja tudi
v druge gradbene elemente) preostanek valovanja pa
4. iz danega gradbenega elementa izstopa v obliki zvoka (t.j. longitudinalnega valovanja)
in se po zraku širi v sosednji prostor (ob predpostavki, da so ostale stene tega prostora
idealno toge in zato zvoka ne prenašajo).
Poudariti velja, da je upogibno valovanje tisto, ki je v največji meri povezano s
vpojem zvoka v danem gradbenem elementu. Hitrost upogibnega valovanja v homogeni
plošči je približno enaka,
cup ≈ 1.4
clong ν d
[m/s]
(a-30)
kjer je clong hitrost longitudinalnega valovanja, glej (a-2), ν je frekvenca valovanja in d je
debelina homogene plošče.
V akustiki se običajni fizikalni simbol za jakost zvoka, J, enačba (III-33), nadomesti s
črko L, nivojem zvoka, pri čemer seveda velja (III-34),
L = 10 log
p
p2
= 20 log
2
p0
p0
[dB]
(a-31)
kjer p sedaj pomeni amplitudo tlačne razlike, p0 pa amplitudo minimalne tlačne razlike, glej
III-34, ki jo uho še lahko zazna.
257
Zgled: v danem prostoru delujeta dva zvočna izvora, pri čemer izkazuje eden dvojno
amplitudo tlačne razlike kot drugi izvor oba pa delujeta z enako fazo (oddajata istočasno,
fazna razlika je torej 0). Kakšen je nivo zvoka L v primerjavi če deluje samo en izvor?
p2 = 2 p12+p22 = 3 p12
L = 10 log(3 p2/p02) = 10 [log 3 + log (p2/p02)] = 4.8 dB + L1
Nivo zvoka kot ga zazna uho (jakost zvoka) je torej večji samo za 4.8 dB v primerjavi, če
slišimo samo šibkejši izvor.
Zvočna izolativnost elementa – izolacijska moč R
Izolacijska moč gradbenega elementa (črtkano, skica 3a.6) je definirana z zvočno
močjo (t.j. energijskim tokom) P1 v prostoru pred elementom in zvočno močjo P2 v prostoru
za steno, kot se ju izmeri z ustreznimi mikrofoni.
mikrofoni
m
Skica 3a.6. K definiciji zvočne izolativnosti stene R
Po definiciji je zvočna izolativnost stene R podana z izrazom,
⎛P
R = 10 log ⎜⎜ 1
⎝ P2
⎞
⎟⎟
⎠
[dB]
(a-32)
V praksi je pomembnejši podatek kot izolativnost stene sama razlika nivojev D, ki obstaja
med glasnim in tišjim prostorom. Ta zavisi tudi še od površine stene S, od opremljenosti
tihega prostora z apsorbirajočim materialom in podobno. Po definiciji je razlika nivojev D
enaka,
258
⎛ P ⎞
⎛ P ⎞
D = L1 – L2 = 10 log ⎜⎜ 1 ⎟⎟ - 10 log ⎜⎜ 2 ⎟⎟
⎝ A j0 ⎠
⎝ A0 j0 ⎠
⎛ A⎞
⎟⎟
D = L1 - L2 = R - 10 log ⎜⎜
A
⎝ 0⎠
[dB]
(a-33)
kjer parameter A0 označuje ekvivalentno površino apsorbcije zvoka. Le-ta je definirana kot
A0 = ∑ α i Ai
[m2]
(a-34)
i
kjer je αi koeficient apsorbcije i-te stene in Ai je njena (apsorbcijska) površina (ki zavisi od
opremljenosti stene v prostoru).
V primeru, da se izolativna moč nekega elementa meri v vgrajenem stanju je
dobljena vrednost R' manjša kot, če se jo meri v laboratoriju. Upoštevati velja tudi, da je
koeficient absorpcije, α, funkcija frekvence zvoka, zato meritve potekajo v intervalu
frekvenc, ki po dogovoru zajema najpomembnejše območje od 100 Hz pa do 3200 Hz, torej
področju kjer je uho najbolj občutljivo za zvok. Ta interval je razdeljen na oktavne dele
(oktava pomeni, spremembo frekvence za faktor 2), vsak takšen interval pa še na tri
podintervale obsega terce, to je 1/3 oktave.
Zvočna izolativnost elementa – izolacijska moč R
Izolacijska moč gradbenega elementa (črtkano, skica 3a.7) je definirana z zvočno
močjo (t.j. energijskim tokom) P1 v prostoru pred elementom in zvočno močjo P2 v prostoru
za steno, kot se ju izmeri z ustreznimi mikrofoni.
Skica 3a.7. K definiciji zvočne izolativnosti stene R. Levo je predstavljen enostavni in
priročni način merjenja, na sliki desno pa priporočljivi način meritve zvočne izolativnosti
stene. Sama stena, katere zvočna izolativnost se meri, je predstavljena črtkano.
259
Krivulja zvočne izolativnosti r
Za primer, ko so resonančni pojavi zanemarljivi (glej podpoglavje z naslovom Koincidenca,
str. 251) so meritve zvočne izolativnosti sorazmerno enostavne. Meritve zvočne izolativnosti
zidu je potrebno opraviti v intervalu frekvenc od 100 Hz do 3200 Hz, skladno izrazu (a-32).
Standardi predpisujejo postopek (DIN 4109) na osnovi katerega se iz dobljenih meritev
izlušči karakteristične podatke merjenca, ki so naslednji:
a) srednja vrednost izolacijske moči stene, Rsr,
b) merodajna izolacijska moč stene Rw in
c) indeks izolacije zračnega zvoka LSM, glej skico 3a.8.
Postopek določanje zvočne izolativnosti kot ga določa standard DIN 4109 je naslednji:
izmerjeno krivuljo zvočne izolativnosti danega elementa, r, se primerja s standarno krivuljo
nL, ki jo v zgornjem primeru predpisuje DIN 52 210. To referenčno krivuljo se premika iz
njene zadane (t.j. »ničelne« lege) proti izmerjeni krivulji, r, vse dokler se ne dobi ujemanja, ki
dopušča skupaj največ 30 dB znižanje, torej negativnih tercnih odstopanj. To vsoto se dobi s
seštevanjem nastopajočih razlik pri vseh tercnih frekvencah (opredeljenih z mrežo na
zgornjem diagramu) med izmerjeno krivuljo r in med standardno, nL, torej
∑ [r ( f ) − nLV ( f )] ≤ − 30 dB , pri čemer se odstopanja
f
Skica 3a.8. Določanje karakteristik zvočne izolativnosti po DIN 4109 za na obeh straneh
ometan zid debeline d = 24 cm, površinske mase M = 480 kg/m2, za izmerjene vrednosti kot
jih podaja krivulja r. Na diagramu pomenijo nL frekvenčno odvisnost, kot jo predpisujejo
standardi za tovrstne elemente, nLV pa je translatorno premaknjena standardna krivulja tako,
da je zadoščeno pogoju ∑ [r ( f ) − n LV ( f )] ≤ − 30 dB .
f
260
pri najnižji frekvenci 100 Hz in pri najvišji frekvenci 3200 Hz šteje polovično. Srednja
vrednost izolativne moči stene Rsr je vsota izmerjenih vrednosti krivulje r, deljena z 16-2x1/2
= 15.
Celoštevilčni pomik referenčne krivulje iz »nultega« položaja do njene končne lege
definira, t.im. indeks izolacije zračnega zvoka LSM. Ta vrednost je pozitivna če se je krivulja
premaknila navzgor in je negativna, če se je premaknila navzdol.
Merodajna izolacijska moč elementa Rw je podana z vrednostjo premaknjene referenčne
krivulje, ki se jo odčita pri frekvenci 500 Hz. V splošnem velja, Rw = LSM + 52 dB (glej
diagram na skici 3a.9).
Za zgornji diagram so vse zgoraj zapisane vrednosti naslednje:
a) izmerjena krivulja je r
b) referenčna krivulja je nL
c) translatorno premaknjena referenčna krivulja za zadani primer je označena z nLV,
d) področje dovoljenih negativnih odstopanj je označeno s črko a na diagramu, in znaša v
konkretnem primeru skupaj 29 dB
e) srednja vrednost zvočne izolativnosti zidu, Rsr = 52 dB,
f) merodajna vrednost zvočne izolativnosti zidu je Rw = 55 dB.
g) indeks izolacije zračnega zvoka znaša LSM = + 3 dB.
261
Empirične lastnosti zvočne izolativnosti enoslojnega gradbenega elementa
1. Zakon mase
Od energijskega toka zvoka, ki vpada na dano površino gradbenega elementa se delež
odbije (po odbojnem zakonu, toda lahko pa tudi difuzno-izotropno na vse strani), delež vzbudi
v elementu upogibno in pa longitudinalno valovanje, del se v elementu absorbira in
preostanek (prepuščena gostota energijskega toka) se v obliki zvoka širi od (druge) površine
elementa v prostor za njim. Iz zapisanega je razvidno, da čim večji delež upadlega zvoka se s
površine elementa odbije nazaj v dani prostor in čim večji delež se v elementu absorbira, tem
večja je zvočna izolativnost danega elementa. Toda ob tem je očitno, da mora vzbujanje
valovanja v elementu zaviseti še od mase samega elementa, saj je za vzbujanje večje mase
potrebna večja energija vzbujanja. To dejstvo potrjujejo eksperimentalne ugotovitve, da je pri
enaki vrednosti amplitude tlačne razlike dušenje zvoka za element večje mase znatnejše, kot
za gradbeni element katerega masa je manjša. Izkaže se, da v primeru pravokotnega vpada
zvočnega valovanja na površino elementa zvočna izolativnost R elementa naraste za 6 dB, če
se površinska masa M danega gradbenega elementa (t.j. M = m/A = ρ d, kjer je ρ gostota in
d debelina elementa) ali pa frekvenca f, poveča za faktor 2. V primeru, da vpada zvok
difuzivno (enakomerno porazdeljen po vseh smereh v prostoru) se tedaj zapisani empirični
zakon mase (R. Berger, 1910) v prvem približku glasi,
R = 20 log (f M) - 45
(dB),
(a-35)
pri čemer je f frekvenca vpadlega zvoka in M je površinska masa elementa v enotah kg/m2.
Zapisani izraz je bil kasneje dopolnjen tako, da je v praksi za izračun srednje vrednosti zvočne
izolativnosti, Rsr, uporabna enačba,
Rsr ≈ 12 + 5.3
3
M
(dB)
(a-36)
2. Koincidenca
Vpadli zvok, ki vpada poševno na površino gradbenega elementa element, t.j. pod
vpadnim kotom δ, vzbudi v danem enoslojnem elementu upogibno valovanje, ki se širi vzdolž
stene. Hitrost upogibnega valovanja zavisi od gostote zidu, njegovega modula elastičnosti,
debeline zidu ter še od frekvence valovanja.
V primeru, ko se nastalo upogibno valovanje zidu tako po hitrosti valovanja kot tudi po
valovni dolžini ujema z zvočnim valovanjem pride do pojava posebne oblike interference obeh
valovanj, ki se ga opisuje s pojmom »resonanca prostora«. Ta pojav interference se imenuje
koincidenca in je shematsko predstavljen na spodnji skici 3a.9
K pojavu koincidence prispeva vpadno zvočno valovanje iz vseh smeri prostora pri
čemer je očitno, da obstaja zgornja meja valovne dolžine zvoka, ki še vpliva na ta pojav. Ta
zgornja meja je določena, če se v splošni izraz za valovno dolžino koincidenčnega valovanja v
elementu
λB
= N λL sin δ,
(a-37)
262
λB
δ
λL
λL sin δ
Skica 3a.9. Desno. Shematski prikaz pojava koincidence med upogibnim valovanjem, ki se
širi vzdolž zidu z valovno dolžino λB in pod kotom δ vpadlim ravnim zvočnim (t.j.
longitudinalnim) valovanjem v zraku valovne dolžine λL. Za pojav je značilno dejstvo, da
nastopi sovpadanje amplitude upogibnega valovanja z zgoščino (t.j. amplitudo tlaka)
zvočnega valovanja. Na skici sta prikazana žarka ravnega zvočnega valovanja pri čemer velja,
da stoji zgoščina (t.j. valovna fronta zvoka) pravokotno na žarek. Levo. Za dani vpadni kot δ
velja torej λB = N λL sin δ , kjer je N ustrezni celoštevilčni mnogokratnik, N = 1, 2, 3…..
za celoštevilčni mnogokratnik N vstavi vrednost N = 1 in vpadni kot δ = π/2. Žarki zvoka se v
tem primeru nahajajo vzporedno s površino gradbenega elementa, oziroma valovne fronte
zvoka so pravokotno na površino elementa. Z ozirom na dejstvo, da za zvok velja izraz,
c = f λ
(III-3)
obstaja torej najnižja, t.j. mejna, frekvenca koincidence zvoka, fm, za katero pojav
koincidence še lahko nastopi.
d
λL
Skica 3a10. Prikazan je mejni primer skice 3a.9, ko žarki (puščici na skici) zvočnega
valovanja valovne dolžine λL vpadajo vzporedno s površino gradbenega elementa debeline d.
V tem primeru iz izraza a-37 zaradi λB ≡ d sledi, da je razmak med sosednjima valovnima
frontama zvoka enak debelini elementa, torej λL = d in tedaj, zaradi, III-3, fm = c/d.
263
Mejna frekvenca koincidence zvoka, fm, je tedaj podana z upoštevanjem enačbe III-5,
fm =
1
d
E (1 − μ )
(
ρ 1− μ − μ 2
)
(a-38)
kjer je d debelina zidu (podana v cm), ρ gostota E elastični modul zidu in μ je Poissonovo
število ( za kovine je 0.3, za druge snovi je približno 0.4).
V praksi je dovolj dober približek za mejno frekvenco koincidence, fm, ki je
fm =
1 E
.
d ρ
(a-39)
V difuznem zvočnem polju obstaja longitudinalno valovanje vseh frekvenc, torej tudi
valovanja katerih frekvence presegajo mejno frekvenco koincidence, fm, (a-39). Zvočna
izolativnost stene (zidu), R, enačba (a-32), je funkcija vzbujevalne frekvence ter mejne
frekvence koincidence. Shematski prikaz njene frekvenčne odvisnosti podaja spodnja skica
3a.11.
Skica 3a.11. Shema zvočne izolativnosti enoslojnega zidu, R, v odvisnosti od frekvence f
vpadlega zvoka. Zvočna izolativnost je v splošnem linearna funkcija frekvence vpadlega
zvoka, f. V primeru nastopa koincidence, tedaj je frekvenca na zid vpadlega zvoka enaka
mejni koincidenčni frekvenci zidu, f = fm, zvočna izolativnost zavzame izrazito in dobro
definirano minimalno vrednost.
Zvočna izolativnost enoslojnega gradbenega elementa je torej v območju frekvenc zvoka
blizu mejne frekvence koincidence izrazito poslabšana, skica 3a.11, zgoraj. Splošno krivuljo
zvočne izolativnosti, R, za primer zidu iz mavca, debeline 70 mm, prikazuje spodnja skica
3a.12. Za enoslojne gradbene elemente je takšno krivuljo, v kvantitativnem smislu, mogoče
opredeliti že v naprej. Postopek poteka na naslednji način:
264
Skica 3a.12. Levo: zvočna izolativnost enoslojnega zidu pri mejni frekvenci koincidence, Rg,
je funkcija produkta površinske mase zidu, M in frekvence koincidence, fm.
Desno: konstrukcija krivulje A-> Rg -> B -> premica b, zvočne izolativnosti R
za primer enoslojnega gradbenega elementa (zidu). Vrednosti so dobljene za primer zidu iz
mavca debeline 70 mm. Konstrukcija je izvedena s pomočjo diagrama, ki podaja izolativnost
platoja, Rp, za različne snovi. (diagram spodaj). Tako konstruirana krivulja tedaj lahko služi
kot dovolj sprejemljiv približek dejanskim izmerjenim vrednostim zvočne izolativnosti
enoslojnega zidu, R, podane z izmerjeno krivuljo g.
Skica 3a.13. Diagram izolativnosti platoja, Rp, za vrsto različnih snovi v odvisnosti od
površinske mase enoslojnega zidu. Prikazana krivulja velja tako za beton, opečni zid in za
mavčno steno. Za vrsto snovi je krivulja približno popisana s horizontalno premico katerih
višina zavisi od vrste snovi. Tako velja n.pr. za svinec vrednost 56 dB, jeklo 40 dB, aluminij
29 dB, steklo 27 dB, les in vezane plošče 20 dB ter leseni izdelki 20 dB.
265
1. za dani enoslojni gradbeni element se iz enačbe (a-35) izračuna zvočno izolativnost
elementa R, kot funkcijo frekvence zvoka f. Te vrednosti povezuje premica (v linearnolog diagramu) katere strmina znaša 6 dB na oktavo, saj velja,
R(f) = 20 log(f M) – 45 in
R(2f) = 20 [log2 + log(f M)] – 45 = 6.0 + R(f)
2.
3.
4.
5.
6.
torej, se vrednost zvočne izolativnosti če se spremeni frekvenca za faktor 2 (t.j. ene
okteve) poveča za 6 dB.
Premica označena s črko a, poteka skozi izhodišče A (desni diagram, skica 3a.12).
Mejno frekvenco koincidence, fm, se izračuna iz izraza (a-39).
Zvočno izolativnost elementa pri tej koincidenčni frekvenci, Rm, se odčita iz diagrama
mejne zvočne izolativnosti (levi diagram, skica 3a.12) in se jo nanese na diagram-točka
Rg, desni diagram na skici 3a.12.
Skozi tako dobljeno vrednost Rg, poteka premica b katere naklonski koeficient je 7.5 dB
na oktavo. Premici a in b se poveže s tretjo – horizontalno- premico, katere vrednosti
podaja diagram na skici 3a.13, diagram izolacijske moči platoja, t.j. diagram Rp v
odvisnosti od M.
Tako dobljeni plato – za nekatere materiale (jeklo, aluminij, les, itd) namesto prikazane
krivulje nastopa v diagramu kar premica - seka premico a v točki A in premico b v točki
B. Točki A in B povežemo preko ustrezne zvezne krivulje, ki poteka skozi Rg.
Tako zarisana krivulja, skupaj s premico b predstavlja tedaj približek krivulji zvočne
izolativnosti izbranega enoslojnega elementa.
266
Zvočna izolativnost dvoslojnega gradbenega elementa
Dvoslojni gradben element je mehanski sistem, ki ga je mogoče popisati z modelom dveh
prožno sklopljenih mas. Sklopitev med masama (stenama, konstrukcijskima elementoma in
pd.) predstavlja vmesni zračni prostor, ali vmesna zvočna izolacija iz mehkega materiala.
Zvočna izolativnost takšnega gradbenega elementa močno zavisi od vzbujevalne
frekvence, ki povzroči upogibno valovanje v elementu in od njegove resonančne frekvence
(definirana v nadaljnjem). Tako je v splošnem potrebno razlikovati 4 področja, ki bistveno
oblikujejo odziv dvoslojnega gradbenega elementa in sicer:
1. frekvenčno področje pod resonančno frekvenco,
2. področje resonančne frekvence,
3. področje kjer vzbujevalna frekvenca presega resonančno frekvenco in
4. področje obstoja stoječega valovanja.
V primeru, ko je vzbujevalna frekvenca zvočnega izvora manjša kot je resonančna
frekvenca opisanega sistema se le-ta odziva kot celota, torej kot enoslojni element. V tem
primeru veljajo za dvoslojni gradbeni element vsa tista spoznanja, kar je navedeno v
prejšnjem razdelku, velja torej Bergerjev zakon mase, enačbi (a-35), oziroma (a-36), s
posledicami, ki se posledično odražajo v izolativnosti takšnega elementa R.
V primeru resonance, torej v primeru, kadar je vzbujevalna frekvenca enaka resonančni
frekvenci dvoslojnega gradbenega elementa, ki je približno podana z izrazom,
f0 = 500
E ⎛ 1
1 ⎞
⎟
⎜⎜
+
d vmes ⎝ M 1 M 2 ⎟⎠
[Hz]
(a-40)
kjer je elastični modul E podan v enotah 105 N/m2, debelina vmesne plasti, dvmes, v cm,
površinski masi obeh elementov M pa v kg/m2, nastopi velik prenos energije iz izvora
valovanja v dvoslojni gradbeni element. Posledica tega dejstva je, da je zvočna izolativnost
tega sistema v primeru nastopa resonance zelo majhna. Empirično je ugotovljeno, da se je v
tem primeru mogoče poslužiti približka (neodvisno od vrste sestave elementa) po katerem se
lahko vzame, da znaša globina prodora zvoka v element 10 dB, in sicer v območju 2 oktav
okoli resonančne frekvence.
Resonančna frekvenca je funkcija 4 parametrov, obeh mas, modula elastičnosti E in
razdalje med elementoma (stenama, pregradama itd.), dvmes. Pri ostalih konstantnih vrednostih
je f0 minimalna tedaj, ko je M1 = M2.Na resonančno frekvenco seveda vpliva tudi celotna
masa sistema, t.j. M1+M2. Sistem mora biti tako projektiran, da je resonančna frekvenca
dvoslojnega gradbenega elementa kar je mogoče nizka.
Na resonančno frekvenco, enačba (a-40), je mogoče vplivati z ustrezno izbiro
parametrov, ki v njej nastopajo. Čeprav v enačbi nastopata površinski masi obeh sten je
očitno, da je resonančna frekvenca odvisna tudi od vsote obeh mas, M0. Resonančna
frekvenca se torej lahko niža z ustrezno izbiro vrednosti M0, pri čemer se izolativnost sistema
dveh sten sicer izboljšuje, toda ne zaradi dveh slojev, marveč preprosto zaradi Bergerjevega
zakona mase, enačba (a-35). V tem posebnem oziru, kar zadeva vpliv celotne mase na zvočno
izolativnost, se torej sistem odziva podobno kot enoslojni sistem.
Lastnost dvoslojnosti pa nastopi tedaj, če se spreminja razdalja med stenama, dvmes, ki
prav tako izrazito kot masa vpliva na resonančno frekvenco sistema dveh gradbenih
elementov (sten). To odvisnost, toda v implicitni obliki, prikazuje spodnja skica 3a.14, kjer je
prikazano povečanje (ocenjene) izolativnosti Rw v odvisnosti od medsebojne razdalje sten, d .
267
Diagram podaja spremembo zvočne izolativnosti, ΔRw, za dvoslojni zid z ozirom na
enoslojno steno enake mase. Kot parameter nastopa razmak med stenama, d . Iz diagrama je
mogoče razbrati oceno, da je zvočna izolativnost dveh sten dane mase M0, ki se nahajata na
medsebojni oddaljenosti d = 10 cm izboljšana v intervalu od vrednost 10 dB do 20 dB v
primerjavi z enoslojno steno enake mase.
Skica 3a.14. Povečanje ocenjene moči izolacije Rw dvoslojnega gradbenega elementa v
primerjavi z enoslojnim elementom enake mase v odvisnosti od medsebojne oddaljenosti
obeh sten, d .
Ocena frekvenčne odvisnost (t.j. M0 in d sta konstanta) zvočne izolativnosti danega
sistema dveh gradbenih elementov je prikazana na spodnjem diagramu. Na abscisno os je
nanesena frekvenca na ordinatno os pa zvočna izolativnost sistema. Opazna odstopanja
(poslabšanje zvočne izolativnosti) se pojavljajo pri resonančni frekvenci sistema, fres, pri
mejnih koincidenčnih frekvencah posamezne stene, fm1 in fm2 ter pri tistih frekvencah, ki so
enaka celoštevilčnemu mnogokratniku osnovne frekvence stoječega valovanja zvoka, ki
nastane med stenama.
Na diagramu 3a.15 so s številkami označena področja, ki se nanašajo na intervale
vzbujevalnih frekvenc, ki se nahajajo: 1) pod področjem resonančne frekvence, 2) na področje
resonančne frekvence, itd, skladno z razdelitvijo podano na strani 256 zgoraj. V področju
pod resonančno frekvenco je strmina premice podana z vrednostjo 6dB/oktava, skladno
Bergerjevemu zakonu mase, enačba (a-35), saj velja,
R2f = 20 log 2 + 20 log (f M) - 45 = Rf + 6
[dB]
(a-41)
zvočna izolativnost v primeru 2 krat višje frekvence (oktave) se poveča za 6 dB.
V območju 2, t.j. v območju, kjer je fvzb > f0, sistem v bistvu predstavlja dve neodvisni
steni in torej, kar zadeva zvočno izolativnost (oziroma njeno frekvenčno odvisnost) se na prvi
steni poveča za 6 dB po prehodu druge pa še za enako vrednost. Iz tega razloga premica, ki
poteka izven intervala dogovorjenih 2 oktav (začetek področja 3 na diagramu) zato poseduje
strmino 12 dB/oktavo. Področje 3 vključuje področji obeh mejnih koincidenčnih frekvenc,
področje 4 pa se razteza od bližine osnovne frekvence stoječega valovanja, fst1, navzgor. Le-to
se oceni iz izraza,
268
Skica 3a.15 Prikaz ocenjene frekvenčne odvisnosti zvočne izolativnosti, R, dvoslojnega
gradbenega elementa v odvisnosti od vzbujevalne frekvence upadlega zvoka. V resonanci, fvzb
= f0, znaša odklon (zmanjšanje) zvočne izolativnosti od interpolirane vrednosti približno za 10
dB, ki nastopa v intervalu vzbujevalne frekvence 2 oktav. Pri prvi (nižji) vrednosti mejne
koincidenčne frekvence, fvzb = fg1, in višji je vsakokrat odklon ocenjen na 12 dB, toda pri
frekvencah, ki so celoštevilčni mnogokratnik osnovne frekvence stoječega valovanja, fvzb =
fst1, itd, znaša vdor od ustrezne premice nagiba 12 dB/oktavo približno 20 dB.
d =
λ
(a-42)
2
saj velja, da morata biti na stenah, ki se nahajata na medsebojni oddaljenosti, d, vozla
stoječega valovanja. Od tod sledi,
fst1 =
c
2d
=
17000
d
[Hz]
(a-43)
pri čemer je v zapisanem izrazu hitrost zvoka, c izražena v cm/s, d pa v cm.
Spodnja meja vdora zvočne izolativnosti R sistema dveh sten je torej omejena s
premico strmine 6 dB/oktavo (tedaj, ko se celotni sistem odziva kot enoslojni gradbeni
element).
269
Vpliv zvočnega mostu
Do tega trenutka je bilo predpostavljeno, da je sestava sistema enega ali pa dveh
gradbenih elementov homogena in da ne poseduje nikakršnih rež, odprtin ali netesnosti med
spoji. Vpliv vpetja sistema v nosilno konstrukcijo pri tem ni bil obravnavan. Sedaj je potrebno
ugotoviti, da togo vpetje sistema v samo konstrukcijo predstavlja t.im. zvočni most, ki znatno
poslabšuje zvočno izolativnost sistema. V določenih primerih je lahko vpliv zvočnih mostov
sistema dveh (ali več) gradbenih elementov tolikšen, da je njegova zvočna izolativnost
manjša, kot pa zvočna izolativnost enega samega elementa identične mase na tem danem
mestu.
Toda v primeru, ko se stenski elastični element preko zvočnega mostu neposredno poveže
z enoslojnim zidom enake mase se zvočna izolativnost takšnega sistema izboljša. Povečanje
zvočne izolativnosti, ΔR, se lahko oceni z izrazom,
ΔR = 10 log
1
4
⎛ f0 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + nσ
⎝ f ⎠
[dB]
(a-44)
kjer pomeni f0 resonančno frekvenco sistema, enačba (a-40), n je število zvočnih mostov (t.j.
vpetij elastičnega elementa z zidom) in σ je koeficient sevanja, ki se ga oceni z ozirom na
način vpetja tako, kot je podano v nadaljnjem. Koeficient sevanja je
σ =
8
c2
π 3 fm2 A
(a-45)
Zapisani koeficient velja v primerih, ko je je elastična obloga zidu, površine A, točkasto
pritrjena na samo steno zidu, pri čemer je fm mejna frekvenca koincidence obloge.
Za primer, ko je obloga povezana s steno z vzdolžnimi zvočnimi mostovi (n.pr. letvami,
ali pa kar neposredno na zid) je koeficient sevanja σ tedaj podan z,
σ =
2 c
π fm l
(a-46)
kjer pomeni l dolžino vzdolžnega zvočnega mostu (ki leži v ravnini zidu – n.pr. dolžino
letve).
Povečanje zvočne izolativnosti, ΔR, zaradi namestitve elastične stene pred zidom ter
vpliv zvočnih mostov (načina vpetja) na te vrednosti je prikazano na spodnjem diagramu.
Očitno je, da predstavlja točkasto vpetje obloge izboljšavo v primerjavi z vzdolžnim
(linijskim) vpetjem, zaradi povečanega zvočnega mostu v slednjem primeru.
Ob vpetju gradbenega elementa v konstrukcijo se zvočnemu mostu ni mogoče izogniti. Z
ozirom na dane pogoje je potrebno težiti na možnosti izvedbe, ki izhaja iz elastičnega načina
vpetja, s čimer se zmanjšuje možnost prenosa energije (transverzalnega) elastičnega valovanja
stene (t. im. strukturnega zvoka) na konstrukcijo ter posledično možnega odboja v prostor.
270
Skica 3a.16. Izboljšanje izolacijske moči ΔR težkega zidu z dodatkom obloge iz mavca in
kartona debeline 10 mm. Krivulja označena s črko p podaja točkasto vpetje elastične obloge
(krivulja p' pa izračunane vrednosti), krivulja I predstavlja izmerjene vrednosti za primer
vzdolžnega (linijskega) vpetja obloge (I' je izračunana krivulja).
Vpliv vrat in oken na zvočno izolativnost gradbenih elementov
Vsaka nehomogenost gradbenega elementa, torej tudi okna in vrata, predstavlja
poslabšanje zvočne izolativnosti elementa. Vzrok je iskati v dejstvu, da okna in vrata
predstavljajo elemente same po sebi in so torej odzivajo skladno do sedaj zapisanemu vedenju
zvočne izolativnosti. Le-ta je, zaradi njihove sorazmerno majhne mase, običajno majhna.
Skica 3a.17. Prikaz zmanjšanja izolacijske moči elementa zaradi odprtine, ki jo zapolnjuje
predmet manjše zvočne izolativnosti. R1 je izolativnost gradbenega elementa, R2 je
izolativnost vgrajenega predmeta površine A2 (t.j. S2 na diagramu) manjše zvočne
izolativnosti in Ages (t.j. Sges) je celotna površina stene vključno s odprtino površine A2.
271
Vpliv stavbnih elementov (odprtin) na izolacijsko moč danega gradbenega elementa zavisi
od površine in oblike oken in vrat, to je objektov manjše zvočne izolativnosti, kot jo poseduje
sama stena. Zmanjšanje izolacijske moči, ΔR, zaradi odprtin površine A2 v katerih so vgrajeni
elementi manjše zvočne izolativnosti podaja diagram 3a.17.
Zvočna izolativnost oken zavisi tako od števila in debeline šip kot tudi od vrste
okenskega okvira ter načina umestitve (spoja) okvira v steno. Očitno je, da največji delež
zvočnega toka prehaja skozi same šipe. Zaradi tega je izolacijska moč okna, ki je običajno
zaradi majhne mase šip, majhna, tesno povezana z vdorom koincidence (upogibnega
valovanja), katere mejna frekvenca se pri običajnih šipah nahaja v intervalu od 1500 Hz do
4000 Hz. Vpliv koincidence se običajno proučuje za statistično porazdelitev (po frekvenci in
pa vpadni smeri) upadlega zvočnega toka. Vpliv koincidence na zvočno izolativnost okna je
najizrazitejši v primeru vpada zvočnega toka pod kotom 750 z ozirom na vertikalo okna, glej
skico 3a.18, spodaj.
Skica 3a.18. Zvočna izolativnost okna z zasteklitvijo debeline 3.8 mm za različne primere
vpadnih kotov (z ozirom na normalo stekla) zvočnega kota. Povprečna izolacijska moč je
naslednja: Rpov(00) = 32 dB, Rpov(450) = 29 dB, Rpov(750) = 24 dB. V primeru
statističnega vpada zvočnega toka na zasteklitev znaša Rpov(stat.) = 28 dB.
Splošna načela zvočne izolativnosti
a) Enoslojne stene
Zaradi odvisnosti od površinske mase in vpliva mejne frekvence koincidence (kjer se
izolativnost zmanjša) je potrebno težiti k čim večji masi in debelini (enoslojnega) zidu. V
praksi je mogoče z materialom površinske mase od 350 - 400 kg/m2 doseči zvočno
izolativnost največ do 52 dB.
Izolacijska moč lahkih, togih sten, izdelanih iz mavca itd., je zaradi njihovih majhnih
površinskih mas in neugodnih leg koincidence običajno v intervalu od 15 dB do 25 dB.
Podobne vrednosti zvočne izolativnosti se dobi z lahkimi, prožnimi pregradami, čeprav
leži njihova frekvenca koincidence dovolj visoko in se nahaja blizu 3200 Hz.
272
V poslednjih dveh primerih je mogoče zvočno izolativnost poboljšati z nekaterimi
ustreznimi dopolnilnimi ukrepi. Tako n.pr. v primeru lahkega elementa v obliki satovja, ki se
ga napolni s peskom se zvočna izolativnost poveča, toda ne samo zaradi povečanja površinske
mase marveč tudi zaradi dejstva, da je bistveno zmanjšan minimum izolativnosti, ki sicer
nastopa pri frekvenci koincidence. To je razvidno na spodnjem diagramu, kjer v primeru
polnitve s peskom, koincidenčni minimum v diagramu izolacijske moči splahni.
Skica 3a.19. Vpliv na zvočno izolativnost danega elementa strukture satovja po napolnitvi s
peskom. Očiten je premik frekvence koincidence k višjim, pri čemer zvočna izolativnost pri
frekvenci koincidence ne izkazuje karakterističnega minima. Meritve so bile opravljene na
plošči strukture satovja, z obeh strani obložene z mavčnima stenama debeline 7 mm (vsaka).
Celotna debelina sistema je znašala d = 5.4 cm, površinska masa pa M = 20 kg/m2. Pri teh
pogojih znaša povprečna izolacijska moč Rpov = 22 dB (krivulja 1).
V primeru napolnitve satovja s peskom se površinska masa poveča na vrednost
2
M = 65 kg/m . Vdor (minimum) koincidence splahni in povprečna izolativna moč Rpov = 35
dB (krivulja 2).
Primeri lahkih, večplastnih konstrukcij so izjeme. Le-te običajno sestojijo iz lahkih
tankih prekrivnih plasti umetnih materialov ali materialov na osnovi lesa in jedra iz umetne
pene ali elementov iz satovja. Odlikujejo se predvsem po svoji stabilnosti in so zato uporabne
predvsem za premične pregradne stene. Zaradi nastopa resonance in koincidence so njihove
zvočne lastnosti slabe, kajti njihova zvočna izolativnost se nahaja v intervalu od 10 dB pa do
največ 30 dB. V primeru, da pa prekrivne plasti niso med seboj togo vezane (toda s tem se
zmanjša njihova strukturna trdnost), marveč se dopustni medsebojni pomiki, se zvočna
izolativnost takšnega sistema poveča. To dejstvo nastopi zaradi povečane površinske mase
(obloge morajo biti tedaj debelejše) in zaradi tega, ker pri takšnemu sistemu frekvenca
koincidence ostaja približno nespremenjena.
273
b) Dvoslojne stene
Večjo zvočno izolativnost kot zgoraj, pri dani površinski masi in debelini sten, se doseže
samo z dvoslojnimi konstrukcijami pri čemer je potrebno upoštevati vsa prej zapisana
spoznanja. Le-ta so:
-- čim večja vrednost površinske mase zidu,
-- čim večji razmak med stenama,
-- pritrditev (bočna vpetost)na ločenih konstrukcijah,
-- v kolikor to ni izvedljivo tedaj je potrebno med steni vnesti mehki material
-- priporočljivo je, da je bočna vpetost elastična,
-- za dosego različnih frekvenc koincidence se naj steni razlikujeta po svoji vrednosti
površinske mase.
Nekateri napotki za konstrukcijo dvoslojnega zidu so prikazani spodaj.
Skica 3a.20. Načela izvedbe dvoslojnega zidu. Skica (a) - zgoraj: težiti je k čim večjemu
razmiku sten (1); v vmesni prostor je potrebno vstaviti (ne pritrditi) čim več poroznega
materiala (2); sloja se naj razlikujeta po vrednosti površinske mase (3); pazljiva zapolnitev
spojev (4). Vpenjanje sistema - skica (b) - spodaj: po obsegu naj bo vpenjanje na bočni
konstrukcijo čim bolj elastično (1); pritrditev naj bo mestoma točkasta (2); vertikalne stebre
oddvojiti (3), oziroma jih prostorsko razmestiti (4).
Najboljšo zvočno izolativnost nudita dve težki togi steni, pri čemer je ključnega
pomena, da je vmesni prostor popolnoma brez zvočnih mostov, kot n.pr. preostanka malte,
zdrobljene opeka, ostanka opažev in pd, skica 3a.21, spodaj.
274
Skica 3a.21. Zvočna izolacija s pomočjo težkih togih sten, uporabna tudi za medetažno
zvočno zaščito. Vmesna reža med stenama mor biti popolnoma brez zvočnih mostov, to pa
pomeni, da mora potekati reža tudi skozi stropno AB ploščo. V kolikor armirano betonska
plošča ostane kot celota tedaj učinkuje kot zvočni most (skica desno). Največje vrednosti
zvočne izolativnosti za primer površinske mase (vsakega) sloja M = 200 kg/m2 , ki jih je
mogoče doseči na opisani način so: Rw = 67 dB (levo, primer 1) in Rw = 57 dB (desno,
primer 2).
c) Spoji in odprtine
Vse konstrukcije je potrebno izvesti čim bolj (zvočno) neprepustno; popolnoma brez rež
in nezapolnjenih odprtin. To je med drugim tudi vzrok za oblaganje zidov z malto in za
skrbno izvedbo spojev. Preboji stene morajo biti izvedeni najmanj 29 cm od njenega roba, pri
čemer je potrebno težiti k odprtinam okroglega ali pa vsaj kvadratnega preseka.
Vpliv rež in spojev na zvočno izolativnost zidu podaja spodnji diagram 3a.22.
Enoslojna okna, zaradi majhne površinske mase, posedujejo le majhno zvočno
izolativnost. V primeru povečanja površinske mase (t.j. debeline stekla) pa nastopi
poslabšanje zaradi premaknitve mejne frekvence koincidence v frekvenčno področje običajnih
izvorov zvoka in s tem do pojavov minimuma zvočne moči R. Po pravilu je mogoče doseči
zvočno izolativnost vse do Rw = 25 dB, če je le debelina stekla manjša kot n.pr. 6 mm. Toda
upoštevati je potrebno, da je enoslojno okno dopustno (zaradi pogojev toplotne zaščite) zgolj
v notranjosti objekta in ne na njegovi fasadi, zato je takšna zvočna izolativnost običajno še
ustrezna.
275
Skica 3a.22. Vpliv rež in nezapolnjenih odprtin za spoje na zvočno izolativnost zidu iz
težkega betona, debeline 19 cm. Krivulja (1) predstavlja primer z malto zapolnjenih rež in
odprtin spojev, Rw = 54 dB, krivulja (2) odraža zvočno izolativnost zidu v primeru
zapolnjenih rež toda nezapolnjenih odprtin, Rw = 49 dB in krivulja (3) prikazuje razmere v
primeru nezapolnjenih rež in odprtin, Rw = 41 dB.
d) Okna
Zunanja okna so iz zapisanih razlogov dvoslojna, toda zaradi majhne površinske mase se
večja zvočna zaščita doseže z dvema enoslojnima oknoma, kjer je mogoče prilagoditi njuno
medsebojno oddaljenost.
Razmere povezane z zvočno izolativnostjo okna so prikazane na skici 3a.23 spodaj.
Skica 3a.23. Povprečna zvočna izolativnost, Rpov, termo stekla v odvisnosti od razmaka med
šipama. Krivulja (1): dvoje stekel enake debeline 3 mm; krivulja (2): eno steklo debeline 3
mm, drugo pa 5.5 mm. Primer enoslojnih stekel ponazarjata krivulji (a) in (b): krivulja (a)
enoslojno okno debeline stekla 3 mm; krivulja (b): enoslojno okno, debelina stekla 5.5 mm.
276
Najboljšo zvočno izolativnost posedujejo okna s škatljami. V tem primeru gre za
dodatno vgraditev poroznega materiala po obodnem delu okna. Le-ta služi (delni) udušitvi
stoječega valovanja in prečnega valovanja v vmesnem prostoru med zasteklitvijo. Na takšen
način je mogoče doseči zvočno izolativnost tovrstnih oken do 45 dB.
V splošnem je potrebno navesti, da je pomemben faktor zvočne izolacije okna (tako pri
enoslojnih kot večslojnih oknih) tudi masa okenskega okvira. Čim večja je tem boljša je
izolativnost okna.
Primer okna s škatlo je prikazan na skici 3a.24 spodaj.
Skica 3a.24. Konstrukcijska podrobnost okna s škatlo. Pomen številk je naslednji: (1) dvoje
stekel različnih debelin (običajno 3mm in 6 mm); (2) material za dušenje zvoka med šipama
(3) prekritje s pločevino ali lesenimi ploščami; (4) tesnitve v spojnicah; (5) trajni elastični
tesnilni material.
e) Vrata
Zvočno izolativnost vrat se obravnava podobno kot v primerih lahkih gradbenih
elementov. Zvočno izolativnost enoslojnih vrat je mogoče povečati samo z zvečanjem mase
vrat. V ta namen lahko služi tudi polnitev s peskom (vsaj za t.im. notranja vrata). Toda več
prožnih plošč elastično spojenih med seboj predstavlja boljšo rešitev kot zgolj povečanje
mase vrat. Običajna zvočna izolativnost enoslojnih vrat znaša 20 – 35 dB.
Boljšo zvočno izolativnost nudijo dvoslojna vrata, kjer je zgornja meja blizu 50 dB ob
pogoju, da se hkrati z vrati uporablja tudi še prag. Pokazalo se je namreč, da uporaba
izolacijskih profilov (kar prag vsekakor je) pri spojih znatno poveča zvočno izolativnost.
Zid je potrebno projektirati na takšen način, da bo, ob upoštevanju slabše zvočne
izolativnosti v njem vgrajenih vrat in oken, zadoščal projektnim merilom. To običajno
pomeni, da je potrebno zvočno izolativnost samega zidu že v naprej ustrezno povečati.
Konstrukcijsko podrobnost vrat podaja spodnja skica 3a.25.
277
Skica 3a.25. Načela konstrukcije dvoslojnih vrat je prikazana na skici (1). Pomen simbolov je
naslednji: (d) dušilni material; (f) izolacija spojev; (I) prekritje votlin s pločevino ali vezano
ploščo, itd; (t) enostranska vrata z dobro zvočno izolacijo (Rpov > 35 dB). Skica (2): dušenje
v področju praga vrat in na bočni strani. (d) podaja dušilni material; (I) prekritje votlin, kot
zgoraj. Skica (3): izolacija praga s pomočjo mehanske izolacije vrat. (s) šarniri; (p) elastični
izolacijski profil. Skica (4): izolacija praga s pomočjo talnega profila p.
Učinek zvočne izolativnosti gradbenega elementa (merodajna moč izolacije Rw) na
okolico je prikazan v tabeli spodaj:
Merodajna moč
izolacije, Rw
32 dB
42 dB
52 dB
62 dB
72 dB
Izvor zvoka:
običajni govor
dobro razumljiv
še razumljiv
nerazumljivo
skoraj neslišni
neslišno
vpitje
zelo jasno zaznavno
dobro razumljivo
še razumljivo
nerazumljivo
nerazumljivo
glasba iz radia
zelo slišna
zelo slišno
slabo slišno
skoraj neslišno
neslišno
Opomba: dandanašnji akustični aparati, ki so v uporabi po stanovanjih, posedujejo
nazivno izhodno moč tudi 100 W in več. Merodajna zvočna moč, Rw, tovrstnih naprav se
nahaja v intervalu od 80 dB pa do 100 dB (ali več) kar predstavlja velik izziv projektantom,
da lahko ob upoštevanju ekonomskih pogojev, zagotovijo primerno zvočno izolativnost
dandanašnjih modernih bivališč.
278
Udarni zvok
Na bivalne pogoje v veliki meri, poleg ustrezne zvočne zaščite obravnavane v
prejšnjem poglavju, močno vpliva tudi zaščita pred udarnim zvokom, ki se širi po celotnem
območju konstrukcije in torej prehaja iz nadstropja v nadstropje.
V splošnem se je pokazalo, da zadovoljevanje predpisane vrednosti minimalnih
zahtev zvočne izolativnosti pred udarnim zvokom, ki znaša Rw = 52 dB ter indeksa izolacije
pred udarnim zvokom TSM = 0 dB, je hkrati zadoščeno tudi pogojem zvočne izolativnosti
gradbenih elementov.
Uvod: meritve (normaliziranega) nivoja udarnega zvoka Ln in definicije
Kot izvor udarnega zvoka, se uporablja poseben vzbujevalec s kladivci (tapping machine), ki
zagotavlja, da se pokrije celotni predpisani frekvenčni spekter zvoka, da je zvok periodičen in
da je mogoče uravnavati jakost zvočnega izvora. V ta namen je izdelan poseben sistem, ki je
predstavljen na spodnji skici 3a.26.
Skica 3a.26. Meritev udarnega zvoka. Zvočni izvor s kladivci se nahaja na medetažni
konstrukciji nad danim prostorom. Na skici sta prikazana dva načina merjenja nivoja
udarnega zvoka: a) sistem, ki omogoča snemanje šuma in b) sistem, ki omogoča merjenje in
snemanje frekvenčne odvisnosti (z uporabo 1/3 oktavnih filtrov) udarnega zvoka.
Na meritev nivoja udarnega zvoka L, vpliva apsorbcija zvoka v merilnem prostoru, zato
se kot rezultat navaja normalizirani nivo udarnega zvoka, Ln, ki je definiran z ozirom na
279
referenčno površino apsorbcije (t.j. po dogovoru 10 m2) in pa dejansko ekvivalentno površino
apsorbcije A (izraženo v m2), pri čemer velja,
⎛ 10 ⎞
⎟
⎝ A⎠
Ln = L - 10 log ⎜
[dB]
(a-47)
Izmerjene vrednosti normaliziranega nivoja udarnega zvoka, Ln, se nanašajo na diagram, ki
podaja normalizirani nivo udarnega zvoka In (t.j. iz ustreznih standardov). Postopek je
podoben, kot pri meritvah izolacije zračnega zvoka in služi za kvalitativno proučitev
kakovosti nadstropja konstrukcije. Normalno uho je za višje frekvence nekoliko bolj
občutljivo zato z rastočo frekvenco referenčna krivulja normaliziranega nivoja zvoka
monotono upada. Sama referenčna krivulja, s svojo izhodiščno (t.im. »ničelno«) lego, že v
naprej podaja minimalne zahteve zaščite pred udarnim zvokom večine gradbenih elementov.
Indeks izolacije pred udarnim zvokom, TSM, se določi na naslednji način: referenčno
krivuljo se pomika v smeri izmerjene, normalizirane krivulje nivoja udarnega zvoka, In, vse
dokler vsota negativnih (to je tedaj, ko je potrebno referenčno krivuljo premakniti navzgor
do izmerjenih vrednosti – premaknitev navzdol podaja pozitivne) vrednosti odstopanj med
krivuljama, izračunanih za oktavne frekvence ne dosega (toda ne presega) meje 20 dB
(oziroma, če se računa za vrednosti frekvenc, ki se razlikujejo za interval terce, t.j. 1/3 oktave,
ne presega meje 30 dB, pri čemer se v tem primeru na mejah, pri f=100 Hz in f=3200 Hz
upošteva samo polovična vrednost). Poudariti velja, da se pozitivnih razlik pri primerjavi ne
upošteva, glej skico 3a.27 spodaj.
Skica 3a.27.
Krivulja In predstavlja izmerjene (v intervalih terc, t.j. 1/3 oktave)
normalizirane vrednosti udarnega zvoka prihajajoč iz danega nadstropja. Krivulja nT je
referenčna krivulja udarnega zvoka, kot jo predpisuje standard DIN 52 210. Krivulja nTv je
premaknjena referenčna krivulja v smeri navzgor in sicer v tolikšni meri, da znaša vrednost
dopustnih (negativnih) odstopanj največ 30 dB (ker gre za frekvenčni interval v tercah). To
mejo predstavlja črtkana površina, označena s črko a. Pozitivna odstopanja v tej primerjavi se
ne upoštevajo (na skici je to frekvenčni pas med 400 Hz do približno 1350 Hz).
280
Premaknitev referenčne krivulje se odvija v celoštevilčnih korakih in dobljena
vrednost podaja indeks izolacije pred udarnim zvokom, TSM. Za zgoraj predstavljeni primer
znaša TSM očitno, TSM = - 10 dB.
Mednadstropje konstrukcije pa se v praksi oblagajo z različnimi oblogami za katere je
pomembno, da so njihove zvočno-tehnične lastnosti poznane. Zato se povečanje zvočne
izolativnosti, ki nastopi zaradi dane talne obloge, za dano vrednost frekvence, izraža z
izboljšanjem izolacije pred udarnim zvokom, ΔL. Krivuljo v Ln-f diagramu , ki se jo dobi
na takšen način se imenuje izboljšanje izolacije pred udarnim zvokom in se jo označi z ΔI.
Skica 3a.28, prikazuje primer kombinacije mednadstropje konstrukcije ter vpliv obloge
tal na izolativnost pred udarnim zvokom.
Skica 3a.28. Diagram (1), zgoraj: normalizirane krivulje nivoja udarnega zvoka. Inr podaja
meritve (v intervalih terce) dane mednadstropne konstrukcije, InE meritve mednadstropne
konstrukcije vključno s cementno srajčko, InB mednadstropne konstrukcijo pa s cementno
srajčko in talno oblogo. Diagram (2): krivulje izboljšanja izolacije pred udarnim zvokom: ΔIE
podaja izboljšanje zaradi cementne srajčke, ΔIB pa izboljšanje zaradi vgraditve talne obloge.
Prikazani zgornji primer podaja način, ki vodi do normalizirane krivulje izboljšanja
izolacije pred udarnim zvokom, ΔI.
Za talne obloge danega nadstropja je definirana količina vrednost izboljšanja, VM,
ki podaja izolativnost oblog pred udarnim zvokom. To vrednost se po definiciji dobi na način,
281
da se za celotno (t.j. vključno z oblogami) mednadstropno konstrukcijo izračuna indeks
izolacije pred udarnim zvokom, TSM ter se od tako dobljene vrednosti odšteje indeks
izolacije pred udarnim zvokom dane, toda referenčne, mednadstropne konstrukcije.
Izolacija pred udarnim zvokom enoslojne gradbene konstrukcije
V splošnem, v naprej ni mogoče dovolj natančno opredeliti izolacijo pred udarnim
zvokom enoslojnega gradbenega elementa, kajti le-ta zavisi od specifičnosti danega materiala,
njegove debeline ter od frekvence vzbujanja. Samo v primeru homogene plošče je mogoče
zapisati nivo udarnega zvoka, L, kot,
⎞
⎛
f 0.25
L ~ 20 log ⎜⎜ 0.38 0.63 1.75 ⎟⎟ .
⎝E ρ d ⎠
[dB]
(a-48)
Iz zapisanega izraza je mogoče videti, da najpomembnejši vpliv na izolativnost pred udarnim
zvokom ima debelina homogene plošče. Izraz (a-48) n.pr. pokaže, da se v primeru
dvakratnega povečanja dane količine, nivo udarnega zvoka masivnega, homogenega,
gradbenega elementa:
„ debeline gradbenega elementa, zmanjša za vrednost 10.5 dB,
„ gostote zmanjša za vrednost 3.8 dB in
„ modula elastičnosti, E, zmanjša za 2.3 dB, dočim v primeru
„ frekvence, se pa poveča za vrednost 1.5 dB, če je konstrukcija homogena ter vse do
4.5 dB v primeru, če je konstrukcija nehomogene (lesena konstrukcija).
Izolativnost (indeks izolacije TSM) pred udarnim zvokom v odvisnosti od debeline enoslojne
plasti je predstavljena na spodnji skici 3a.29.
Skica 3a.29. Indeks izolacije pred udarnim zvokom (enoslojne) armirano-betonske plošče
mednadstropne konstrukcije v odvisnosti od njene debeline, d.
Na osnovi zapisanega je mogoče sklepati, da nehomogeni enoslojni gradbeni element kar
zadeva izolativnost pred udarnim zvokom izkazuje podobne lastnosti (pri enaki debelini in
enaki masi) kot v primeru izolacije zračnega zvoka. V splošnem velja enačba (a-48) le v
282
primerih nad mejno frekvenco koincidence; pod to frekvenco je normalizirani nivo udarnega
zvoka manjši, kot napove enačba. Izkaže se, da v splošnem enoslojni gradbeni elementi, tudi
zaradi neustrezne frekvenčne odvisnosti normalizirane krivulje nivoja udarnega zvoka v
primerjavi z občutljivostjo ušesa, ne morejo zagotavljati ustrezne izolativnosti pred udarnim
zvokom.
Izolacija pred udarnim zvokom večslojnih gradbenih konstrukcij
Zahtevano mero indeksa izolacije pred udarnim zvokom, v primerih realnih mas
gradbenih elementov, je mogoče doseči zgolj le z (praviloma) dvoslojnimi gradbenimi
konstrukcijami. Le-te delujejo po znanem načelu prožnega sistema mase-vzmeti-masa. V
poglavju o zaščiti od zračnega zvoka dvoslojnih konstrukcij je bilo navedeno, da njihova
izolativnost v odvisnosti od frekvence monotono narašča z vrednostjo 12 dB/oktavo. V
nadaljevanju je potrebno proučiti glavne značilnosti raznovrstnih večslojnih gradbenih
elementov, kot so to n.pr. plavajoči podi, elastične talne obloge, plafoni in rebraste medetažne
konstrukcije itd.
Plavajoči podi
Plavajoči pod je v striktnem smislu cementna srajčka (t.im. estrih) nanošena na vmesni mehki
plasti, ki leži na AB (armirano betonski) plošči medetažne konstrukcije. Gre za tipski sistem
masa-vzmet-masa, kjer vlogo vzmeti prevzame vmesni mehki sloj. Resonančna frekvenca
opisanega dvoplastnega sistema je podana z že znanim izrazom,
f0 = 500
E
d
⎛ 1
1 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
+
⎝ME MD ⎠
[Hz]
(a-49)
Skica 3a.30. Vpliv površinske mase cementne srajčke ME in togosti s' sloja izolacije udarnega
zvoka na indeks izboljšanja VM.
283
kjer pomeni E modul elastičnosti vmesne plasti (v enotah 105 N/m2), d je debelina vmesne
plasti (izražena v cm), ME in MD sta pa površinski masi cementne srajčke in AB plošče (v
enotah kg/m2). Vpliv cementne srajčke (estrih) je zaznavno v frekvenčnem področju nad
resonančno frekvenco, f0, zato je potrebno poskrbeti, da je le-ta čim nižja. V območju
običajnih površinskih mas medetažnih konstrukcij, t.j. v intervalu 250 kg/m2 do 350 kg/m2, in
za vrednosti površinske mase estriha okoli 100 kg/m2 (razmerje mas približno 3 : 1) je vpliv
mase AB plošče na resonančno frekvenco sicer majhen, toda še vedno zaznaven, v razmerju
mas 10 : 1 pa je ta vpliv zanemarljiv. Iz zapisanega razloga je tedaj mogoče v naprej oceniti
indeks izboljšanja, VM, danega plavajočega poda na osnovi togosti vmesnega prostora in
površinske mase estriha, skladno z zgoraj prikazanim diagramom. Togost danega sistema, s',
je definirana z enačbo,
s' =
E
d
(a-50)
Iz zgoraj prikazanega diagrama je razvidno, da pri previsoki vrednosti togosti vmesne plasti
estriha ni mogoče pričakovati, da bi bilo mogoče izboljšano izolativnost doseči samo na račun
povečane površinske mase estriha, marveč je potrebno, za doseganje optimalnih rezultatov,
spreminjati tako togost kot tudi maso cementne srajčke hkrati.
Estrih položen neposredno na AB ploščo vpliva na zvočno izolativnost le v tolikšni
meri v kolikor se zato poveča površinska masa celotnega sistema, zato je takšna oblika za
izboljšanje zvočne izolativnosti docela neustrezna. V ta namen je potrebno izhajati iz sistema
Skica 3a.31. Običajna izvedba plavajočega poda. Številke pomenijo: (1) kar je mogoče
masivnejša (težja) plošča cementne srajčke (estrih), (2) izolacijski sloji za preprečitev zvočnih
mostov, (3) čim mehkejša vmesna prožna plast, (4) lepenka za zmanjšanje vpliva zvočnih
mostov, (5) čim masivnejša homogena plošča medetažne konstrukcije, (6) mehek izolacijski
trak, ki poteka po celotnem področju bočnih elementov in (7) ločitev obloge (n.pr. keramičnih
ploščic) bočne stene od tal v primeru vlažnih prostorov.
284
sestavljenega iz estriha, elastične vmesne plasti in AB plošče, ki pod ustreznimi pogoji
omogoča, da je dosežen indeks izboljšanja v intervalu od 15 dB pa vse do 35 dB. Posplošena
oblika izvedbe takšne konstrukcije je prikazana na zgornji skici 3a.31.
Cementna srajčka je običajno izdelana iz mešanice cementa, mavca in anhidriranega
apna, toda bistveno izboljšano izolativnost v primerjavi z njo izkazuje plast vlitega asfalta.
Vmesni sloj je lahko iz vlaknastega materiala, umetne pene ali pa nasutega materiala (sipki
pesek). Upoštevati je potrebno, da se pri nekaterih materialih, s povečano maso estriha, lahko
njihova elastičnost bistveno zmanjšuje, zato je vedno potrebno preveriti njihovo togost v
stanju obremenitev. Posebna pozornost mora biti podeljena zvočnim mostom, ki kot
prikazano spodaj, bistveno zmanjšujejo izolativnost pred udarnim zvokom. Iz zapisanega
razloga mora zato pod estrihom (in bočno) obstajati vodo nepropustna folija, ki preprečuje ob
strjevanju estriha nastanek neposredne trdne vezi s podlago (AB ploščo) in bočnimi stenami.
Dodatno povečanje izolativnosti pred udarnim zvokom se doseže s pomočjo prožnih
(gibkih) talnih oblog in sicer v večslojnih kombinacijah. Takšno izboljšanje zavisi od načina
polaganja oblog in se giblje v intervalu od 5 dB do nekako 20 dB in več (ob dodatku debelih
gostih preprog). Lesene obloge (tudi parket) je učinkovit izolator samo v primerih, če se ga
vgrajuje na podlage iz gibkih materialov.
Viseči strop
Viseči strop predstavlja eno od načinov dušenja zvoka, ki ga seva v prostor sama stropna
konstrukcija. Zvok prehaja skozi viseči strop in se z bistveno manjšo jakostjo širi po prostoru
pod njim. Za ta proces pa morata biti izpolnjena dva pogoja: (a) plošča visečega stropa ne sme
biti porozna in (b) med njo in med stropno konstrukcijo AB plošče mora obstajati dovolj
velika razdalja, kajti konstrukcija visečega stropa je sama podvržena vplivu resonance. Zaradi
možnosti nastanka stoječega valovanja med stropom in visečim stropom je navedeni razmik
navzgor omejen. Za zmanjšanje vpliva, oziroma preprečitev, stoječega valovanja je v vmesi
prostor potrebno namestiti ustrezni absorbirajoči material.
Dodaten učinek izolativnosti pred udarnim zvokom omogoča izbira elastične plošče, za
spodnjo oblogo visečega stropa. Takšen pristop je učinkovit tudi v primerih, ko je razmak
med stropno konstrukcijo in opisano spodnjo (elastično) ploščo visečega stropa sorazmerno
majhna. Ta lastnost je razvidna n. pr. na enem od praktičnih primerov podanih na zgornji
skici, kjer se ob ustreznih dopolnitvah stropne konstrukcije zvočna izolativnost pred udarnim
zvokom v vrsti od (a) do (d) zaznavno povečuje.
Priporočljivi obliki izgradnje visečega stropa sta prikazani na spodnji skici. Poudariti
velja, da je le-ta tem bolj učinkovit, čim večji je razmak med stropno konstrukcijo in sistemov
visečega stropa ter čim bolj masiven je ta sistem. Zaradi zahteve, da bo sevanje zvoka z dolnje
obloge visečega stropa minimalno, mora biti njegov poslednji sloj, ki zre v prostor, iz gibkega
materiala. V vmesni prostor je potrebno vnesti prožen absorbirajoči material, toda tako, da se
ne poveča togost visečega stropa. Tako kot v primeru ostalih sistemov dveh teles se
učinkovitost zvočne izolativnosti hitro zmanjšuje z naraščajočim številom zvočnih mostov.
V primeru kakovostnih izvedb visečega stropa je tako izdelana konstrukcija
najučinkovitejši (tudi v primerih, ko so stropi izdelani brez plavajočih podov) sistem
izolativnosti pred udarnim zvokom. Takšen primer izvedbe je prikazan na skici spodaj.
V kolikor je viseči strop izveden pod stropom ostrešja je potrebno preprečiti, da bi v
(sicer zaprtem) vmesnem prostoru, lahko prišlo do rošenja.
285
Skica 3a.32. (a) Normalizirani nivo udarnega zvoka, Ln, armirano betonske stropne
konstrukcije in povečanje zvočne izolativnosti pred udarnim zvokom s tremi primeri izvedb
visečega stropa. (b) Z neposredno vpetjem lesenih letev ter mavčno-kartonske plošče. (c)
Viseče lesene letve z mavčno-kartonsko ploščo. (d) Tako kot primer (c) toda z zapolnitvijo
vmesnega prostora s polnilom iz mineralnih vlaken.
286
Skica 3a.33. Prikazana sta dva načina izvedbe visečega stropa.
(a) Vpetje je izvedeno na bočne gradbene elemente. Številke pomenijo: (1) kar je
mogoče večji razmak, (2) lahki in prožni zvočni absorber, (3) kar je mogoče
masivnejši, toda elastični, sistem visečega stropa, (4) zvočno izolirane bočne
opore.
(b) Viseče opore. Številke pomenijo: (1) pravokotno prekrižane nosilne (lesene)
letve, (2) vpetje sistema preko primerno dimenzioniranih vzmeti, pri čemer
morajo biti špranje celotne konstrukcije prekrite z elastičnim tesnilnim trakom,
ki je vezan na bočne gradbene elemente.
Skica 3a.34 Primer učinkovite izvedbe izolativnosti pred udarnim zvokom. Številke
pomenijo: (1) 3.5 mm PVC industrijske obloge, (2) 12 mm cementne malte (izravnalni sloj),
(3) 30 mm lahkega betona, (4) 7 mm debela plast sloja bitumeniziranega filca, (5) 100 mm
plast armiranega betona v profilirani pločevini, (6) 20 mm debela plast steklenih vlaken in (7)
8 mm debela plast gibke plošče (nadomestek azbestno- cementne plošče).
287
Vpliv zvočnih mostov
Zvočni mostovi plavajočega poda nastanejo tedaj, ko prodre tekoči material estriha skozi
elastični loj do trdne podlage (n.pr. AB plošče) in otrdi. V takšnih primerih lahko nastanejo ali
točkasti ali pa linijski zvočni mostovi. Neodvisno od njihove oblike je vpliv takšnih zvočnih
mostov ali na zvočno izolativnost ali pa na izolacijo zračnega zvoka dvoslojnih gradbenih
elementov nadvse škodljiv in se izraža predvsem v področju višjih frekvenc. Vpliv zvočnih
mostov po preseku konstrukcije se pa nekoliko razlikuje od vpliva zvočnih mostov na bočne
konstrukcije, pri čemer je učinek slednjih na samo izolativnost manjši.
Vpliv zvočnih mostov na izolacijo pred udarnim zvokom stropne konstrukcije s plavajočim
podom je prikazan na spodnji skici 3a.35.
Skica 3a.35. Primer točkastih zvočnih mostov s podlago je prikazan na diagramu (1).
Posamezne krivulje pomenijo: (a) normalizirana raven (nivo) udarnega zvoka, Ln,
konstrukcije brez zvočnih mostov, (b) enako toda v primeru obstoja 1. zvočnega mostu, (2)
poslabšanje v primeru 10 zvočnih mostov, (d) 10 zvočnih mostov z lepenko med
mednadstropno konstrukcijo in izolacijskim slojem ter (e) primer mednastropne konstrukcije
brez izvedbe plavajočega poda.
288
Na diagramu (2), so prikazane razmere v primeru linijskih zvočnih mostov razporejenih
samo po obsegu. Pomen krivulj je naslednji: (a) brez zvočnih mostov, (b) 0.1 m zvočnega
mostu, (c) 0.5 m zvočnega mostu, (d) 2.5 m zvočnega mostu in (e) mednadstropna
konstrukcija brez plavajočega poda.
289