1. No category

Naloge za seminar - ANALIZA
VS – 2013/2014
1.vaje: Linearna in kvadratna funkcija
1.1.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dane so točke A(1, 2), B(2, −1) in C(4, 3). Zapišite enačbo premice skozi točko C, ki je
vzporedna premici skozi A in B, v vseh treh oblikah. Obe premici narišite.
1.2.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dani sta točki A(3, 5 in B(7.5, 12). Narište ju v koordinatni sistem.
a) Ali točke A, B in izhodišče ležijo na isti premici? Odgovor utemeljite.
b) Določite y tako, da bo točka C(−6, y) ležala na premici skozi izhodišče in točko A.
c) Določite x tako, da bo D(x, −6) ležala na premici skozi izhodišče in točko B.
d) Ali točke C, D in A ležijo na isti premici? Odgovor utemeljite.
1.3.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Premica odreže na abscisni osi odsek 3, na ordinatni osi pa odsek -2. Premico narišite.
a) Zapišite enačbo premice v segmentni obliki in eksplicitni.
b) zapišite enačbo pravokotnice k dani premici, ki poteka skozi točko T (1, 1). Premico
narišite v isti koordinatni sistem.
c) Določite a tako, da bo premica 2ax − y + 12a = 0 vzporedna prvi premici. Dobljeno
premico narišite.
1.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite inverzno funkcijo funkcije y = 3x − 1. Obe funkciji narišite v istem koordinatnem
sistemu, izračunajte presečišča obeh funkcij s koordinatnima osema. Poiščite še presečiše
obeh funkcij.
1.5.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Družba Mobilček ponuja naročniški paket za 19.99e. Paket vključuje 350 brezplačnih
minut, vsaka nadaljna minuta pa se zaračuna 0.1e.
a) Zapišite funkcijo, ki podaja mesečne stroške naročnika (funkcija bo sestavljena iz
dveh delov).
b) Dobljeno funkcijo narišite.
c) Izračunajte mesečni strošek naročnika, če na mesec kliče 200, 351 ali 365 minut.
Koliko minut na mesec je klical naročnik, če je dobil račun 24.99e?
1
1.6.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V istem koordinatnem sistemu narišite grafe funkcij f (x) = x2 , f1 (x) = x2 + 3, f2 (x) =
(x + 1)2 , f3 (x) = −3x2 in f4 (x) = −(x − 2)2 + 3.
Izračunajte še presečišča funkcij f1 in f2 .
1.7.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zapišite temensko obliko kvadratne funkcije, ki ima teme v točki T (4, −5), njen graf pa
gre skozi točko (2, −1). Narišite njen graf. V kateri točki seka graf funkcije ordinatno
os? Poiščite tudi presečišča z x osjo.
1.8.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite vrednosti parametra m, za katerega teme parabole y = 4x2 − 2mx + 1 leži na
premici −3x + y + 6 = 0. Dobljeno parabolo in premico narišite.
1.9.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dani sta kvadratni funkciji f (x) = −x2 + 2x + 3 in g(x) = 12 x2 − 4x +
narišite v istem koordinatnem sistemu.
15
.
2
Obe funkciji
a) Zapišite presečišča obeh funkcij.
b) Za katere x je f (x) > g(x)?
1.10.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cena p je podana kot funkcija p = − 61 x + 100 (e), kjer je x količina prodanih izdelkov za
katere velja 0 ≤ x ≤ 600.
a) Izrazite prihodke R kot funkcijo x-a. Narišite funkcijo prihodka. (Namig: prihodek=cena
· število prodanih izdelkov)
b) Kakšen je prihodek, če je prodanih 200 izdelkov?
c) Katera količina prodanih izdelkov x maksimizira prihodek? Kakšen je maksimalen
prihodek?
2. e-vaje: Polinomi in racionalne funkcije
Glej navodila v spletni učilnici!
3. vaje: Eksponentna in logaritemska funkcija
3.1.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V isti koordinatni sistem narišite grafe funkcij f1 (x) = 3x , f2 (x) = 3−x , f3 (x) = 3x+2 ,
f4 (x) = 3x−3 ter f5 (x) = |3x − 2|.
2
3.2.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Narišite graf funkcije

x

 e ;
x≤0
0<x<2
f (x) =  x + 1;

2
(x − 1) + 2; x ≥ 2
Zapišite definicijsko območje in zalogo vrednosti.
3.3.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rešite naslednje enačbe:
a) 0.25x−1 · 82x+1 = 2
b) 4x−4 = 64−x
c) 2x
2 −x−6
=1
3
d) 53x+1 − 125x − 25 2 x−1 = 495
3.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Narišite graf funkcije

−1

 −x ;
x ≤ −1
−1 < x < 1
f (x) =  e ;

2
(x − 2) ; x ≥ 1
x
Zapišite presečišča funkcije f s premico y = 1.
3.5.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dana je funkcija f (x) = 3−x+1 − 1.
a) Izračunajte presečišča funkcije f s koordinatnima osema.
b) Narišite graf funkcije f . Določite definicijsko območje in zalogo vrednosti.
c) Rešite neenačbo f (x) < 2.
3.6.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rešite naslednje enačbe:
a) log(x + 1) − 2 log x = log 6
b) ln(1 − 4x) − ln x = 1
c) log(x − 1) − log x = log(x + 3) − log(x − 4)
√
d) log4 x − log2 x − log8 x = 2
3.7.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V istem koordinatnem sistemu narišite funkciji f (x) = log3 (x) in g(x) = log3 (x + 2).
Določite definicijsko območje in ničle obeh funkcij.
3
3.8.
5
število točk:
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V istem koordinatnem sistemu narišite funkcije f (x) = ln(x) in g(x) = ln(x − 2) in
h(x) = ln(x) − 1. Določite definicijsko območje in ničle vseh funkcij.
3.9.
5
število točk:
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje funkcij
a) f (x) = ln (−x2 − 4x − 3)
√
b) g(x) = x2 − 4x + 3
3.10.
5
število točk:
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dana je funkcija f (x) = log2 (2 +
√
x + 4).
a) Kje seka graf funkcije ordinatno in kje abscisno os?
b) Določite presečišča grafa funkcije f s premico y = 3.
c) Določite funkciji f inverzno funkcijo.
4. vaje: Sumacijski simbol, lastnosti zaporedij, stekališča
in limita zaporedja ter aritmetično in geometrijsko zaporedje
4.1.
5
število točk:
a) Za
5
X
x = (−3, 2, −5, 7,!−2) in!
xi yi
i=1
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
X
ter
xi
i=1
5
X
y = (1, −2, 3, −4, 5) izračunajte vsoti
yi .
i=1
b) Za y = (3, 2, 5, 6, 1) izračunajte vsoti
5
X
(2yi + 2) ter
število točk:
Če je
80
X
5
xi = 20 in
4.3.
število točk:
Izračunajte
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
X
x2i = 105, izračunajte vsoto
5
n
X
80
X
i=1
i=1
i=1
2yi + 2 .
i=1
i=1
4.2.
5
X
(3xi − 2)2 .
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(3k 2 − 3k + 1).
k=1
4
4.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zapišite splošni člen zaporedja
2 5 8
, , ···
2 4 6
in raziščite njegove lastnosti (naraščanje/padanje, omejenost). Ugotovitve ustrezno utemeljite.
4.5.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dano je zaporedje an = 2 · 3n−1 .
a) Narišite prvih pet členov zaporedja.
b) Ali je zaporedje monotono. Odgovor utemeljite.
c) Ali je zaporedje omejeno? Odgovor utemeljite.
4.6.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite stekališča zaporedja an =
n2 + 3
, za n ≥ 2. Pomagajte si s predstavitvijo členov
n2 − 1
zaporedja na številski premici.
Ali ima zaporedje limito? Odgovor utemeljite.
4.7.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite stekališča zaporedja an =
(2 + (−1)n ) · n
. Pomagajte si s predstavitvijo členov
3n + 2
zaporedja na številski premici.
Ali ima zaporedje limito? Odgovor utemeljite.
4.8.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raziščite konvergenco oz. divergenco zaporedij:
a) an =
4.9.
b) an =
1−3n
,
1+2n
1−3n
,
1+2n2
c) an =
1−3n3
,
1+2n3
d) an =
1−3n3
.
1+2n2
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte limito zaporedja an =
1
za več kot ε = 66
.
n+1
.
2n+3
Koliko členov se od limitne vrednosti razlikuje
5
4.10.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drugi člen aritmetičnega zaporedja je 5, četrti člen pa 9.
a) Poiščite splošni člen zaporedja.
b) Nariši prvih pet členov zaporedja.
c) Izračunajte 12 člen zaporedja.
d) Ali je 98 člen zaporedja? Odgovor utemeljite.
4.11.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Četrti člen geometrijskega zaporedja je 3, šesti člen pa
1
.
27
a) Poiščite splošni člen zaporedja.
b) Nariši prvih pet členov zaporedja.
c) Izračunajte 2 člen zaporedja.
5. vaje: Številske vrste, obrestno-obrestni račun
5.1.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dano je zaporedje 4, 2, 1, 21 .
a) Iz zaporedja sestavite vrsto.
b) Zapišite prvih pet delnih vsot vrste.
c) Ali je vrsta geometrijska? Odgovor utemeljite.
d) Ali je vrsta konvergentna? Odgovor utemeljite.
5.2.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V neskončni geometrijski vrsti je a1 = 1 in a3 = 19 . Vrsta je alternirajoča. Ali je konvergentna? Odgovor utemeljite in če je, izračunajte njeno vsoto.
5.3.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Za katere vrednosti x vrsta 2 + 4x + 8x2 + 16x3 + . . .
konvergira in kolikšna je njena vsota? Določite tak x, pri katerem je vsota enaka 4.
5.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Raziščite konvergenco vrste s splošnim členom
an =
2n2 + 3n + 5
.
3n
6
5.5.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
S kvocientnim kriterijem raziščite konvergenco vrste podane s splošnim členom
an =
5.6.
število točk:
5
n!
(2n − 1)!
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Preučite konvergenco (divergenco) vrst
1 2 3 4
+ + + + . . . in
2 3 4 5
6
8
2 4
+
+ . . ..
b) + +
3 9 27 81
a)
5.7.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) Na kolikšno vrednost naraste vloga 60000 epo petih letih pri letni obrestni meri 3%?
Primerjajte navadne in obrestne obresti.
b) Neka glavnica se obrestuje obrestno obrestno pri 3% letni obrestni meri in letni
kapitalizaciji. V koliko letih se vrednost glavnice potroji?
5.8.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V začetku leta 2011 smo vložili na banko 10.000 e.
a) Kolikšna bodo privarčevana sredstva ob koncu leta 2015, če je kapitalizacija letna in
se vloga obrestuje s 2.3% letno obrestno mero?
b) Po koliko letih bo vrednost glavnice narasla na 14065 e, če se vloga obrestuje s 2.3%
letno obrestno mero?
5.9.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Po devetih letih varčevanja imamo na banki 31222e. Kolikšna je bila vložena glavnica,
če se je vloga obrestovala obrestno s 2.5% letno obrestno mero? Koliko časa bi morali
varčevati pri dani obrestni meri, da bi se vrednost glavnice podvojila?
6. e-vaje: Pravila za odvajanje, odvod sestavljene funkcije,
tangenta
Glej navodila v spletni učilnici!
7
7.
7.1.
vaje: Analiza funkcij s pomočjo odvoda (naraščanje,
ukrivljenost, ekstremi)
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določi točke nezveznosti in nariši funkcijo

x

 e
7.2.
število točk:
5
Dokažite, da za funkcijo y =
7.3.
število točk:
5
;x ≤ 0
f (x) =  x − 1 ; 0 < x ≤ 1

ln x
;x > 1
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e5x + 2
velja: 12y + 13y ′ = y ′′′ .
ex
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Poiščite ekstreme funkcije f (x) = x − ln(1 + x) .
7.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje, lokalne ekstreme in asimptote funkcije y =
cirajte njen graf.
7.5.
število točk:
5
x2
ter skix−1
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite lokalne ekstreme funkcije f (x) = x4 − x2 . Funkcijo natančno narišite. Opomba:
Nalogo rešite na dva načina in sicer utemeljite naravo ekstremov najprej samo s pomočjo
prvega odvoda funkcije, nato še z drugim odvodom.
7.6.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite lokalne ekstreme funkcije f (x) = x6 + x4 . Funkcijo natančno narišite.
7.7.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje, zalogo vrednosti ter lokalne ekstreme funkcije
y = x2 · e−x in skicirajte njen graf.
7.8.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Določite definicijsko območje ter lokalne ekstreme funkcije
8
y = 2x2 − 24 ln(1 − x).
8.
8.1.
vaje: Analiza funkcij s pomočjo odvoda (naraščanje,
ukrivljenost, ekstremi), ekstremalni problemi
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dana je funkcija f (x) = 21 x4 − 2x3 . Poiščite njene prevojne točke in intevale konveksnosti
in konkavnosti. Natančno narišite graf funkcije f (x).
8.2.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dana je funkcija f (x) = x3 + 2x2 − 1.
• Poiščite intervale naraščanja in padanja funkcije f (x).
• Poiščite intervale na katerih je funkcija f (x) konveksna oz. konkavna.
c) Natančno narišite graf funkcije f (x).
8.3.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z žično ograjo nameravamo omejiti pravokotno zemljišče površine 450m2 , ki naj na eni
strani meji na že obsoječ raven zid. Kolikšni morata biti dolžina in širina ograjenega
zemljišča, da bo poraba žične ograje najmanjša? Naravo ekstrema utemeljite.
8.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Iz kartona izdelujemo škatle (brez pokrova) s kvadratnim dnom in predpisano prostornino
4 dm3 . Kolikšna naj bosta rob dna in višina škatle, da bomo porabili čim manj kartona?
Naravo ekstrema utemeljite!
8.5.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rezervoar ima obliko kvadra s kvadratnim dnom. Poiščite dimenzije najcenejšega rezervoarja s prostornino 3 m3 , če stane kvadratni meter stranske ploskve 30 e, kvadratni
meter dna 50 ein kvadratni meter pokrova 10 e.
9
9. vaje: Nedoločeni integral, pravila za integriranje, uvedba
nove spremenljivke v nedoločeni integral. Določeni integral.
9.1.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte naslednje integrale:
a)
b)
Z
Z
(x3 + x2 + x) dx
(4x3 + 7x2 + 8) dx
8
(5x3 + 7 + ) dx
x
Z
√
d) (6x2 + 2 x + 5) dx
9.2.
c)
Z
e)
Z √
3
( x + x2/3 + 2x−1 ) dx
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte naslednje integrale:
a)
b)
c)
9.3.
Z
Z
Z
(2ex + 3) dx
(4x1 1 + x−4 + 3x ) dx
(ln 3 · 3x + 2ex + 8) dx
število točk:
Izračunajte
9.4.
Z
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1q √
(2 − 3 x x) dx.
x
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte naslednje integrale:
a)
Z
(2x − 7)9 dx
dx
2x − 9
Z
6
c)
dx
−3x + 5
b)
Z
10
9.5.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte naslednje integrale:
a)
b)
c)
9.6.
Z
4(x5 + 8)7 x4 dx
Z
(5xe3x
Z
x−8
dx
x2 − 16x
2 +7
) dx
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte naslednje integrale:
a)
Z
5(x3 + x)(x4 + 2x2 − 11)9 dx
15x4 + 8x3 + 18x2 − 2x
dx
b)
3x5 + 2x4 + 6x3 − x2
Z
√
c) 3x 2x2 + 3 dx
Z
9.7.
število točk:
Izračunajte
Z
2
0
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(x − 2)2 dx na tri različne načine:
a) s poenostavljenim izrazom pod integralom,
b) z vpeljavo nove spremenljivke in ohranjenimi mejami integrala,
c) z vpeljavo nove spremenljivke in spremenjenimi mejami integrala.
Kaj predstavlja izračunani integral? Narišite skico.
9.8.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte
Z
0
−2
x(x2 − 4)3 dx .
a) Narišite skico in označite ploščino lika, ki jo predstalja zgornji integral.
b) Izračunajte ploščino lika, ki ga omejuje podana funkcija z x-osjo v IV. kvadrantu.
11
10. vaje: Določeni integral, ploščine likov
10.1.
število točk:
V integralu
10.2.
Z
a
5
√
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x + 1 dx določite zgornjo mejo tako, da bo njegova vrednost
−1
število točk:
5
16
.
3
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte ploščino lika med abscisno osjo, krivuljo y = x−1 ln x ter premicama x = 1
ter x = e.
10.3.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte ploščino lika, ki ga oklepajo krivulja y = (x − 3)2 , tangenta nanjo v točki z
absciso x = 5 ter abscisna os.
10.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Na spodnjih slikah (Slika 1 na strani 13) je prikazanih 12 likov, ki jih omejujejo različne
kombinacije funkcij f (x) = −x2 + 9, g(x) = x + 7, h(x) = −1 in koordinatnih osi. Za
vsakega izmed likov zapiši ustrezno navodilo naloge, ki opisuje narisani lik ter izračunaj
oznaćeno ploščino.
12
y
y
y
−9
−9
−9
−8
−8
−8
−7
−7
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
−2
−1
−1
|
1
|
2
|
3
|
4
x
−−1
h(x) = − 1
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
(a) Lik 1
|
−3
|
−2
−2
−1
−1
|
2
|
3
|
4
x
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
|
1
−5
−2
−1
−1
x
|
−7
|
−6
|
−5
−4
g (x ) = x + 7
−3
−2
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
−3
−2
−1
|
1
|
2
|
3
|
4
x
−−1
h(x) = − 1
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
(h) Lik 8
|
1
y
y
−9
−9
−8
−1
|
1
−−2
(j) Lik 10
|
2
|
3
|
4
x
|
−7
|
−6
|
−5
h(x) = − 1
−4
g (x ) = x + 7
−3
−2
−−1
−5
−4
−1
|
−4
|
−3
|
−2
|
−1
−−2
(k) Lik 11
−3
−2
−1
|
1
−−1
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
−2
|
−1
−7
f(x) = − x + 9
2
−6
g(x) = x + 7
x
−8
−7
−3
|
4
(i) Lik 9
y
−4
|
3
−−2
−9
f(x) = − x + 9
|
2
−−1
h(x) = − 1
−−2
2
f(x) = − x2 + 9
−6
−4
|
4
x
−7
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
|
3
|
4
(f) Lik 6
−7
|
2
|
3
−−2
y
|
1
|
2
−−1
h(x) = − 1
−8
−5
h(x) = − 1
x
−9
−6
|
−2
|
4
y
−−2
|
−3
|
3
−8
−−1
|
−4
|
2
−9
−7
|
−5
−1
|
1
y
−8
|
−6
−2
−8
(g) Lik 7
|
−7
−3
−9
|
−1
g ( x) = x + 7
−4
(e) Lik 5
g(x) = x + 7
f(x) = − x2 + 9
−6
g (x ) = x + 7
−−2
f(x) = − x2 + 9
x
−5
−−1
h(x) = − 1
|
4
−7
f(x) = − x2 + 9
−3
−2
|
1
|
3
(c) Lik 3
−4
g(x) = x + 7
|
2
−−2
−5
−3
h(x) = − 1
|
1
−−1
h(x) = − 1
−6
−4
|
−2
|
−1
−7
f(x) = − x2 + 9
−5
|
−3
|
−2
y
−−2
|
−4
|
−3
−8
−6
|
−5
|
−4
−9
−7
|
−6
|
−5
y
(d) Lik 4
|
−7
|
−6
−8
−−1
g ( x) = x + 7
|
−7
−9
|
−1
h(x) = − 1
x
y
−3
|
−4
|
4
−8
−4
|
−5
|
3
−9
−5
|
−6
|
2
(b) Lik 2
−6
|
−7
−1
|
1
−−2
−7
g ( x) = x + 7
−3
−2
−−1
h(x) = − 1
−−2
−4
g (x ) = x + 7
−3
−2
|
−1
−5
−4
g(x) = x + 7
−3
f(x) = − x2 + 9
−6
−5
−4
g ( x) = x + 7
−7
f(x) = − x2 + 9
−6
|
2
|
3
|
4
x
|
−7
|
−6
|
−5
|
−4
h(x) = − 1
|
−3
|
−2
|
−1
|
1
−−1
−−2
(l) Lik 12
Slika 1: Funkcije f , g in h omejujejo več različnih likov
|
2
|
3
|
4
x
11. vaje: Uporaba določenega integrala: povprečna vrednost funkcije, ploščina med krivuljama, prostornina vrtenine
11.1.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte povprečni vrednosti funkcij na danih intervalih
(a) f (x) = 3x − 2,
(b) f (x) = (x − 4)2 ,
11.2.
število točk:
5
[1, 4]
[3, 5]
in
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Izračunajte ploščino lika med krivuljama y = 41 x2 in y = 3x − 12 x2 .
11.3.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Izračunajte ploščino lika med krivuljama f (x) = x in g(x) = x3 . Narišite skico in iz
skice s pomočjo kvadratne mreže še ocenite ploščino lika P ′ . Izračunajte relativno napako
ocene.
11.4.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lik, ki ga oklepata graf funkcije f (x) = x3 in graf njej inverzne funkcije v prvem kvadrantu, zavrtimo okrog osi x. Izračunajte prostornino nastale vrtenine.
11.5.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lik omejen s krivuljami y = (x − 2)2 , y = x in y = 0 vrtimo okrog abscisne osi. Izračunajte prostornino nastale vrtenine.
11.6.
število točk:
5
Ime in priimek (tiskano): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Z določenim integralom izračunajte prostornino prisekanega stožca s polmeroma 3m in
5m ter višino 6m.
14