1. No category

7. VAJA IZ TRDNOSTI
(upogib ravnega nosilca z osno silo,
raˇcunanje pomikov in notranjih sil ravninskih okvirjev)
NALOGA 1: Absolutno toga greda teˇze G je podprta, kot kaˇze skica. Doloˇci osne sile v podpornih palicah. Za koliko moramo spremeniti temperaturo palice 34, da v palicah 12 in 13 ne bo
napetosti.
Reˇsitev: N12 = N13 = −42.4 kN, N34 = −170 kN, ∆T = 20 K.
NALOGA 2: Absolutno togo gredo teˇze G centriˇcno poloˇzimo na 3 stebre. Krajna stebra sta
jeklena, srednji pa je iz aluminija in je pred obteˇzitvijo za 1 mm krajˇsi od krajnih. Doloˇci napetosti
v stebrih in njihovo novo doˇzino po obteˇzitvi! Za koliko moramo spremeniti temperaturo stebrov,
da bodo napetosti v vseh stebrih enake.
kN
kN
Reˇsitev: σ j = −16 cm
2 , σa = −3 cm2 , ∆T = 103.7 K.
NALOGA 3:
Toga sˇipa AB1 je podprta, kot kaˇze skica. Doloˇci osni sili v palicah 12 in 13,
reakcije v podpori A ter pomike toˇcke B.
Reˇsitev: N12 = 25.359 kN, N13 = 25.359 kN, VA = 5.359 kN, HA = −9.282 kN, uB = 0 cm, vB =
−0.242 cm.
NALOGA 4: Absolutno toga, enakomerno debela stena teˇze G je podprta, kot kaˇze skica. Doloˇci
osne sile v palicah in vektor pomika toˇcke 7 v odvisnosti od teˇze G.
Reˇsitev:√Togost palic k1 = k2 = k √
= 1000 kN
cm . Pomik u7 =
N13 =
2 2
3 G,
N14 = − 61 G, N24 =
2
3 G,
N25 = − 65 G.
G
k
1
13
6 ex + 6 ez
. Osne sile v palicah so
NALOGA 5: Togo tanko ploˇscˇ o teˇze G, kvadratnega prereza z robom a, debeline d, obesimo v
toˇcki T na 4 vrvi enakih dolˇzin l. Premer vrvi AT oznaˇcimo s φA , premer vrvi BT s φB , premer vrvi
CT s φC in premer vrvi DT s φD . Elastiˇcni modul E vseh vrvi je enak. Izraˇcunaj sile v posameznih
vrveh.
kN
Podatki: a = 2 m, l = 1.5 m, E = 2 · 104 cm
2 , φA = φB = φD = 8 mm, φC = 10 mm.
Reˇsitev:
NALOGA 6:
Izraˇcunaj notranje sile in nariˇsi diagrame notranjih sil v podani okvirni konstrukciji. Vsi
nosilci so iz enakega materiala in imajo enak
preˇcni prerez.
4 kN
Podatki: a = 3 m, q = 2 kN
m , E = 2 · 10 cm2 ,
2
4
Ax = 1 00 cm , Iy = 1 000 cm .
Reˇsitev:
NALOGA 7: Doloˇci potrebni preˇcni prerez vrvi AB, cˇ e je dopustni navpiˇcni pomik toˇcke A enak
1 cm. Doloˇci in skiciraj notranje sile v tem primeru.
Reˇsitev: Ploˇscˇ ina prereza vrvi znaˇsa A p = 2.34 cm2 . Osna sila v vrvi N = 39.85 kN.
NALOGA 8: Doloˇci osno silo, ki nastopi v palici 13, cˇ e celotno kostrukcijo segrejemo za 40 K.
Nasvet: Upoˇstevaj simetrijo!
Reˇsitev: Osna sila N13 = −45.202 kN.
NALOGA 9: Nosilec 05 je podprt s trikotnim veˇsalom. Doloˇci vodoravni pomik toˇcke 0.
Reˇsitev: Vodoravni pomik u0 = 0.189 m.
NALOGA 10:
Vrvi s katerimi je stabiziran steber BT lahko prevzamejo natezne, ne pa tudi
tlaˇcnih osnih sil. Doloˇci in skiciraj potek notranjih sil vzdolˇz stebra ter vodoravni pomik toˇcke T .
Pri tem lahko zanemariˇs osno podajnost stebra v primerjavi z osno podajnostjo vrvi.
Reˇsitev: VB = 76.68 kN, HB = 12 kN, uT = 27.32 cm.
NALOGA 11: Doloˇci osni sili v palicah 23 in 24 v odvisnosti od obteˇzbe q.
Reˇsitev: N23 = 0, N24 = −3.562 q.
NALOGA 12: Nosilec je v toˇcki 1 elastiˇcno podprt. Konstanta linearne vzmeti je kw , konstanta
spiralne vzmeti pa kϕ . Doloˇci pomike in zasuke obeh podpor.
Reˇsitev: Pomik w1 = 0.126 m. Zasuk ω1 = 0.0138 rad.
NALOGA 13: Doloˇci vektor pomika toˇcke 2 glede na koordinatni sistem (x, z). Doloˇci in skiciraj
diagrame notranjih sil.
Reˇsitev: Pomika sta ux =
−R a
E Ax
4
√
3
3
Ax a
in uz = q 247Ea Iy − R 43 E3Iay , kjer je R = q 24 (I7+4
.
a2 A )
y
x
NALOGA 14:
Jeklen nosilec INP-30 je na levem koncu togo vpet v podlago (skica a). Po
celi dolˇzini je izpostavljen enakomerni spremembi temperature: na zgornji povrˇsini se temperatura
poveˇca za 15 K, na spodnji pa za 45 K. Predpostavimo, da se temperatura linearno spreminja viˇsini
preˇcnega prereza. Doloˇci pomika in zasuk desnega konca nosilca, reakcije v podporah in potek
notranjih sil vzdolˇz nosilca, in sicer v dveh primerih:
a) desni konec nosilca je prost,
b) desni konec nosilca je vrtljivo nepomiˇcno podprt.
kN
−5 1 .
Podatki o nosilcu: L = 340 cm, Ax = 69.1 cm2 , Iyy = 9800 cm4 , E = 21 000 cm
2 , αT = 1.2 · 10
K
Reˇsitev:
a) Reakcije in notranje sile so enake niˇc. Pomika u j = 0.1224 cm, w j = −0.6936 cm in zasuk
ω j = 0.00408 rad. (glej sliko (b)).
b) Potek notranjih sil je prikazan na sliki (c) spodaj. Reakcije Hi = −H j = 522.4 kN, Vi = −V j =
−10.9 kN, Mi = 3704.4 kNcm. Zasuk ω j = 0.00102 rad..
NALOGA 15: Fasadni element CD je zelo tog v primerjavi z nosilcem AC. V toˇcki C sta oba
dela konstrukcije togo povezana. Doloˇci navpiˇcni pomik toˇcke D v odvisnosti od velikosti zvezne
obteˇzbe q.
sitev:
cni pomik
toˇcke D je wD = wC = 2.167 q.
tostno stanje Reˇ
telesa
je Navpiˇ
podano
s
V toˇcki P (5,NALOGA
4, z > 0),16:ki leˇElastiˇ
zi
cen nosilec je v toˇcki 2 togo vpet v masiven temelj. Doloˇci reakcije, ki
em v koordinatnem
izhodiˇ
s
ˇ
c
u
in
nastopijo v podporah 0 in 1, cˇ e se masivni temelj enakomerno posede za δt . Rezultate izrazi v
(1) napetostni odvisnosti
vektor, kiod
pripada
posedka δt .
2
2
S v toˇcki P na sferi S , (2) normponento napetostnega vektorja
rninske obteˇzbe, pri katerem so
e enaˇcbe v vsaki toˇcki telesa.


2x xy 2
σ(x, y, z) =  xy z yz 
2 yz 10
136 148 88 √ ,iz
√ mehanike
, √50 , f = (−x
− 2,
pit
trdnih
teles, 26. junij 2001
50
50
Reˇsitev: Reakciji sta: V0 = −δt
18 E Iy
, V1
7 a3
= δt
66 E Iy
.
7 a3
NALOGA 17: Doloˇci moment X tako, da se bo v toˇcki B ohranil pravi kot tudi v deformirani
legi. Izraˇcunaj tudi pripadajoˇce reakcije v podporah in nariˇsi diagrame notranjih sil Nx , Nz in My .
neobteˇzeno ploˇcevino debeline δ
Podatki: a, M, E Iyy
merom r. Pod vplivom obteˇzbe,
oˇ
cevine (RNS),
ploˇ
moment
X tako,ostane
da se bo
vcevina
toˇcki
remeni
v
pravilno
elipso,
katere
udi v deformirani legi. Izraˇcunaj
na zav kot
α. Doloˇ
kcije
podporah
inci:nariˇsi diagraeNdeformacije
ter novo debelino
z in My .
y
na
koordinatni sistem (x, y, z),
M
M
A
sti=glavnih
striˇ
napetosti.
0, AZ =
−znih
X
18a , MY = 18
m, α = 30◦ , r = 10 mm, a =
4 mm, E = 210 000 MPa, ν = 0.3
20
20.78
0
20.78 −4
M
A
0 Reˇsitev:
X = M9 , AX = 0, AZ = −M
18 a , MY = 18 .
0
0
−6.9
NALOGA 18: Toga greda teˇze G je cˇ lenkasto pritrjena na tri stebre, kot kaˇze slika. Izraˇcunaj
vektor pomika toˇcke T .
Podatki: a, G, E, A1 = 3 A0 , A2 = 6 A0 , A3 = 2 A0 .
ikazano ravninsko mreˇzo izraˇcugreda
teˇze Gcenosti,
je ˇclenkasto
pritrjena
iˇcne nedoloˇ
(2) reakcije
v
e
slika.
Izraˇ
c
unaj
vektor
pomika
ˇsi diagrame notranjih sil Nz , Mx
= 2AI0yy ,
1q =
0, A
2 = 6A
=3A
100
kN/m,
ν0 ,=A30.25,
aG
EA0
eZ
= 0, AZ = − 29+24ν
7+6ν
aq
16
naj vertikalni pomik toˇcke D. Za
Reˇsitev: u(T ) =
37 a G
54 E A0
eZ .
NALOGA 19:
Enakomerno debela homogena ploˇscˇ a teˇze G je togo pritrjena na dva enaka
previsna nosilca. Doloˇci zasuk ploˇscˇ e v ravnini (x, z)!
z MEHANIKE TRDNIH TELES, 22. marec 2002
rajiˇsˇcema teˇziˇsˇcne osi A(0, 0, 0) in B(a, a, a) se pod
unanje obteˇzbe raztegne za ∆L vzdolˇz teˇziˇsˇcne osi
ti pa preˇcni prerez palice po deformaciji ohrani
iko in velikost, kot jo je imel pred deformacijo.
erez, ki je bil pred deformacijo pravokoten na os
ne tudi po defomaciji pravokoten to os.
tku linearizirane teorije elastiˇcnosti in upoˇstevanju
da je deformacijsko stanje v palici konstantno,
zor majhih deformacij v poljubni toˇcki palice v
m koordinatnem sistemu na sliki.
Uvedi nov koordinatni sistem, kjer ima en vektor
AB, ostala dva leˇzita v ravnini, ki je pravokotna na
Reˇsitev: Zasuk ploˇscˇ e ω = −2.534 · 10−4 (rad).
nzor deformacij ima v tem koordinatnemy sistemu
komponento razliˇ
cno od niˇc20:
.
NALOGA
Ravninski okvir na sliki je obremenjen z horizontalno silo F. Z uporabo diferen∆L = 1 mm, acialnih
= 1 m.enaˇcb upogibnice doloˇci horizontalni pomik toˇcke C.
kN
2
4
Podatki: F = 2 kN, a = 4 m, h = 3 m, E = 20 000 cm
2 , Ax = 70 cm , Iy = 5000 cm .
okvir na sliki je obremenjen z horiilo F . Z uporabo diferencialnih enaˇcb
e doloˇci horizontalni pomik toˇcke C.
F = 2 kN, a = 4 m, h = 3 m,
kN
2
4
0 cm
2 , Ax = 70 cm , Iy = 5000 cm .
sitev:
okvir na Reˇ
sliki
je Iskani
obteˇzpomik
en z znaˇsa
no zvezno obteˇzbo q, kot prikazuje
nosilca med toˇckama B in C je zelo
Fh2 ha2 E Ax + a3 E Ax + 3 hE Iy
merjavi s preostalim delom okvirja.
u = −1/3
.
a2 E A x E I y
jo prerezov zanemari.
Izraˇcunaj
ile in nariˇsi diagrame notranjih sil.
poˇstevaj antisimetrijo obteˇzbe.
Ko vstavimo numeriˇcne podatke dobimo u = −0.4202 cm.
q = 3 kN
m , a = 4 m, b = 3 m,
4
5000 cm , INALOGA
= 20000
cm4c, unaj notranje sile v podani okvirni konstrukciji. Osna togost stebrov je zelo
x
21: Izraˇ
kN
0 cm
2 , ν = 0.3. velika (A = ∞) v primerjavi z upogibno togostjo.
x
kN
4
Podatki: b = 4 m, h = 3 m, F = 5 kN, E = 2 · 104 cm
2 , Iy = 1 000 cm .
40 % + 40 % + 40 % = 120 %.
0
0
0
rja napetosti so podane v [
0
12.5000
kN
].
cm2
e sile v podani okvirni konogost stebrov je zelo velika
rjavi z upogibno togostjo.
m, h = 3 m, F = 5 kN,
= 1 000 cm4 .
4.4445 kN, Az = −0.4166 kN,
kN m, Bx = −0.5555 kN,
MyB = 3.3329 kN m.
preˇcnih sil [kN] in upogibm]:
Reˇsitev: Ax = −4.4445 kN, Az = −0.4166 kN, MyA = 13.3335 kNm, Bx = −0.5555 kN, Bz = 0.4166 kN,
MyB = 3.3329 kNm.
Diagrami osnih, preˇcnih sil [kN] in upogibnih momentov [kNm]:
NALOGA 22: Izraˇcunaj notranje sile v podani okvirni konstrukciji. Osne togosti nosilcev so
zelo velike (Ax = ∞) v primerjavi z upogibnimi togostmi. V toˇcki E so nosilci togo povezani med
seboj.
kN
4
Podatki: a = 4 m, h = 3 m, F = 5 kN, E = 2 · 104 cm
2 , Iy = 1 000 cm
oˇci takˇsno ravnino in napetost σyy .
en = √16 ex − √26 ey + √16 ez ,
kN
,
m2
sile v podani okvirni kongosti nosilcev so zelo velike
ANIKE
TRDNIH TELES, 30.
javi z upogibnimi togostmi.
togo povezani med seboj.
m, h = 3 m, F = 5 kN,
= 1 000 cm4
no–plastiˇ
4242 kN,cnega,
Az = izotropnega,
−3.1818 kN, mavloˇzeno
dve
povsem
1.3636
kN,med
Cx =
2.4242
kN, togi
vki, da v telesu vlada homogeno
acijsko stanje doloˇci obteˇzbo p,
emu kriteriju plastiˇcnega teˇcenja
tifikacije. Upoˇstevaj εzz = 0,
htudi
sil [kN]
in upogibnih
momentov
pripadajaˇ
co volumsko
de- [kNm].
imer.
avgust 2002
Reˇsitev: Ax = −2.4242 kN, Az = −3.1818 kN, Bx = 0 kN, Bz = 1.3636 kN, Cx = 2.4242 kN, Cz =
−3.1818 kN.
NALOGA 23: Izraˇcunaj upogibne momente in nariˇsi diagram upogibnih momentov v podani
okvirni konstrukciji. Osna togost stebrov in preˇck je zelo velika (Ax = ∞) v primerjavi z upogibno
togostjo.
4 kN
4
Podatki: a = 4 m, b = 3 m, h = 3 m, q = 2 kN
m , E = 2 · 10 cm2 , Iy = 1 000 cm .
σY
.
nastopi pri obteˇzbi p = √
2
1
−
ν
+
ν
−1 + ν + 2 ν 2 p
a telesa znaˇsa εV =
.
E
momente in nariˇsi diamentov v podani okvirni
ogost stebrov in preˇ
ck
= ∞) v primerjavi z
= 3 m, h = 3 m, q = 2
1 000 cm4 .
ele na hrbtni strani.
Reˇsitev:
kN
m,
NALOGA 24: Doloˇci pomike podpore 1 ter skiciraj notranje sile.
Reˇsitev: Pomika podpore 1: w1 = 0, u1 = 0.15398 m.
Notranje sile:
NALOGA 25: Doloˇci in skiciraj notranje sile.
Reˇsitev:
NALOGA 26: Doloˇci in skiciraj notranje sile.
Reˇsitev:
NALOGA 27: Temperaturno stikalo je narejeno iz togega okvirja, vpetega upogibnega elementa
AB in paliˇcnega termoˇclena CD. Doloˇci spremembo temperature ∆T termoˇclena CD, pri kateri se
vzpostavi kontakt.
Reˇsitev: Sprememba temperature termoˇclena ∆T = 208.5 K.