1. No category

Naloga
Pomik tanke stene stranico b = 1 m debeline d = 1 cm je podan z
vektorjema
(a) u(x, y, z) = ux ex + uy ey = a y ex + a x ey =⇒ ux = a y, uy = a x,
(b) u(x, y, z) = ux ex + uy ey = −a y ex + a x ey =⇒ ux = −a y, uy = a x.
Doloˇci:
Komponente tenzorja majhnih deformacij εij , komponente
tenzorja rotacij ωij v karteziˇcnem koordinatnem sistemu in
vektor zasuka ω.
Specifiˇcne spremembe dolˇzin daljic AB, AC, AD in BC in
spremembi pravih kotov CAB in CED.
Glavne normalne deformacije in pripadajoˇce smeri.
Podatki: a = 10−4 , A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0), D(1, 1, 0) in
E(0.5, 0.5, 0). Vse razdalje so v metrih.
Deformacija stene v primerih (a) in (b)
Prvotno nedeformirano stanje stene na sliki podajata kvadrata z ogliˇscˇ i
A, B, C in D, deformirano pa paralelograma ogliˇscˇ i A, B0 , C0 in D0 .
Komponente tenzorja majhnih deformacij v kartezijskem
koordinatem sistemu (x, y, z)
εxx =
εxy =
εxz =
εyy =
εyz =
εzz =
∂ ux
,
∂
x
1 ∂ ux ∂ uy
+
,
2 ∂y
∂x
1 ∂ ux ∂ uz
+
,
2 ∂z
∂x
∂ uy
,
∂y
1 ∂ uy ∂ uz
+
,
2 ∂z
∂y
∂ uz
.
∂z
Komponente tenzorja rotacij in vektorja rotacij v
kartezijskem koordinatem sistemu (x, y, z)
Z upoˇstevanjem enaˇcb
ωxy =
ωzx =
ωyz =
1 ∂ uy ∂ ux
−
,
2 ∂x
∂y
1 ∂ ux ∂ uz
−
,
2 ∂z
∂x
1 ∂ uz ∂ uy
−
2 ∂y
∂z
lahko piˇsemo

 

ωxx ωxy ωxz
0
ωz −ωy
0
ωx  ,
[ωij ] = ωyx ωyy ωyz  = −ωz
ωzx ωzy ωzz
ωy −ωx
0
ω = ωx ex + ωy ey + ωz ez .
Komponente tenzorjev majhnih deformacij in rotacij v
primerih (a) in (b) v kartezijskem koordinatem sistemu
(x, y, z)
 


0 a 0
εxx εxy εxz
(a)
[εij ] = εyx εyy εyz  = a 0 0 ,
0 0 0
εzx εzy εzz
 


0 0 0
ωxx ωxy ωxz
(a)
[ωij ] = ωyx ωyy ωyz  = 0 0 0 ,
ωzx ωzy ωzz
0 0 0


0 0 0
(b)
[εij ] = 0 0 0 .
0 0 0


0 a 0
(b)
[ωij ] = −a 0 0 .
0 0 0
Specifiˇcna sprememba dolˇzin stranic AB, AC, AD in BC
Obravnavali bomo samo primer (a). Izhajamo iz enaˇcbe Dαα ≈ εαα .
√
0
|AB | − |AB|
1 + a2 − 1
=
= Dxx ≈ εxx = 0,
DAB =
|AB|
1
√
|AC0 | − |AC|
1 + a2 − 1
DAC =
=
= Dyy ≈ εyy = 0.
|AC|
1
√
√
2
Z uvedbo enotskih vektorjev eξ = 2 (ex + ey ) in eη = 22 (−ex + ey ) v
smereh AC in BD, komponent εξ ξ = εxx e2ξ x + εyy e2ξ y + 2 εxy eξ x eξ y = a
in εηη = εxx e2ηx + εyy e2ηy + 2 εxy eηx eηy = −a dobimo
√
√
2(1 + a) − 2
√
=
= a = Dξ ξ ≈ εξ ξ = a,
DAD =
|AD|
2
√
√
0
0
|B C | − |BC|
2(1 − a) − 2
√
DBC =
=
= −a = Dηη ≈ εηη = −a.
|BC|
2
|AD0 | − |AD|
Spremembi pravih kotov CAB in CED
Ponovno bomo obravnavali samo primer (a). Izhajamo iz enaˇcbe
Dαβ ≈ 2 εαβ . Oznaˇcimo spremembi pravih kotov z DCAB in z DCED .
Z upoˇstevanjem slike dobimo
sin(DCAB ) = sin(2 α) = 2 sin α cos α
2a
√
≈ 2 εxy = 2 a.
=√
1 + a2 1 + a2
Spremembo pravega kota CAB zapiˇsemo z Dξ η ≈ 2 εξ η . Izraˇcunamo
εξ η = εxx eξ x eηx + εxy eξ x eηy + εyx eξ y eηx + εyy eξ y eηy = 0.
Poslediˇcno je Dξ η = 0 = 2 εξ η .
Glavne normalne deformacije v primeru (a)
Glavne normalne deformacije so kar lastne vrednosti matrike [εij ]. To
so niˇcle polinoma
−λ
a
0 a −λ
0 = −λ (λ 2 − a2 ) = −λ (λ − a) (λ + a) = 0.
0
0 −λ λ1 = a = ε11 ,
λ2 = 0 = ε22 ,
λ3 = −a = ε33 .
Smeri glavnih ravnin
Smeri glavnih ravnin so doloˇcene s pripadajoˇcimi lastnimi vektorji
matrike [εij ].
Lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti ε11 = a reˇsi enaˇcbo
([εij ] − ε11 [I]) x = 0
([εij ] − a [I]) x = 0

   
−a a
0
x1
0
 a −a 0  x2  = 0 .
x3
0
0 −a
0
Sploˇsna reˇsitev gornje enaˇcbe se glasi
T
x = α α 0 , 0 6= α ∈ R.
Izberemo en sam bazni vektor
h√
e1 = 22
√
2
2
ki se ujema z vektorjem eξ .
0
iT
,
Smeri glavnih ravnin
Lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti ε22 = 0 reˇsi enaˇcbo
([εij ] − ε22 [I]) x = 0
([εij ] − 0 [I]) x = 0

   
0 a 0
x1
0
a 0 0 x2  = 0 .
0 0 0
x3
0
Sploˇsna reˇsitev gornje enaˇcbe se glasi
T
x= 0 0 α ,
0 6= α ∈ R.
Izberemo en sam bazni vektor
T
e2 = 0 0 1 ,
ki se ujema z vektorjem ez .
Smeri glavnih ravnin
Lastni vektor, ki pripada lastni vrednosti ε33 = −a reˇsi enaˇcbo
([εij ] − ε33 [I]) x = 0
([εij ] + a [I]) x = 0

   
a a 0
x1
0
a a 0 x2  = 0 .
0 0 a
x3
0
Sploˇsna reˇsitev gornje enaˇcbe se glasi
T
x = −α α 0 ,
Izberemo en sam bazni vektor
h √
e3 = − 22
ki se ujema z vektorjem eη .
√
2
2
0 6= α ∈ R.
0
iT
,