1. No category

Sammendrag R1
26. januar 2011
1
1 Notasjon
Implikasjon Vi skriver A ⇒ B hvis påstanden A impliserer B . Det vil si at hvis påstand A er riktig, så er påstand B riktig.
Ekvivalens Vi skriver A ⇔ B hvis to påstander A og B er ekvivalente. Det vil si at
påstand A er riktig hvis, og bare hvis, påstand B er riktig. To likninger er ekvivalente
hvis de har nøyaktig de samme løsningene.
Og ∧ Skrivemåten A ∧ B betyr påstand A og samtidig B .
Eller ∨ Skrivemåten A ∨ B betyr påstand A eller B .
Intervaller La a og b være reelle tall.
x er større enn a og mindre enn b skrives: x ∈ 〈a, b〉
x er større enn a og mindre enn, eller lik b skrives: x ∈ 〈a, b]
x er større enn eller lik a og mindre enn b skrives: x ∈ [a, b〉
x er større enn eller lik a og mindre enn eller lik b skrives: x ∈ [a, b]
Union ∪ Skrivemåten A ∪ B betyr A union B , altså “A eller B ”
Snitt ∩ Skrivemåten A ∩ B betyr A snitt B , altså “A og samtidig B ”
Ikke Skrivemåten A betyr “ikke A”. Hvis A er en hendelse kalles A den komplementære hendelse til A.
Grenseverdi Symbolet lim f (x) betegner grenseverdien til funksjonen f når varix→a
abelen x nærmer seg a. I de tilfellene det er mulig å finne grenseverdien, er denne et
reelt tall.
2
2 Algebra
Andregradslikningen Likningen ax 2 + bx + c = 0 har løsningene
p
−b ± b 2 − 4ac
x=
2a
Antall løsninger Likningen ax 2 + bx + c = 0 har
to løsninger dersom b 2 − 4ac > 0
en løsning dersom b 2 − 4ac = 0
ingen reelle løsninger dersom b 2 − 4ac < 0
Nullpunkt Dersom andregradslikningen ax 2 +bx +c = 0 har har løsningene x = x 1
og x = x 2 , er
b
c
og x 1 + x 2 = −
x1 x2 =
a
a
x 1 og x 2 kalles nullpunktene til andregradsuttrykket ax 2 + bx + c.
Faktorisering av andregradsuttrykk Dersom andregradsuttrykket ax 2 +bx +c har
de to nullpunktene x = x 1 og x = x 2 , er
ax 2 + bx + c = a · (x − x 1 ) · (x − x 2 )
Dersom andregradsuttrykket har ett nullpunkt x = x 1 , er
ax 2 + bx + c = a · (x − x 1 )2
Dersom andregradsuttrykket ikke har nullpunkter, er det ikke mulig å faktorisere
uttrykket i førstegradsfaktorer.
Polynom Andregradsuttrykket ax 2 + bx + c er et polynom av andre grad. Et polynom av grad n er på formen
P (x) = a n x n + a n−1 x n−1 + ... + a 1 x + a 0
der n er et positivt helt tall og a 0 , a 1 ...a n alle er reelle tall.
Polynomdivisjon Når vi dividerer et polynom P (x) med et polynom Q(x), får vi en
rest med lavere grad enn Q(x). Hvis Q(x) er et førstegradsuttrykk, blir resten et tall.
Resten ved en polynomdivisjon Når vi dividerer P (x) med (x−x 0 ) blir resten P (x 0 ).
Divisjonen P (x) : (x − x 0 ) går opp hvis og bare hvis P (x 0 ) = 0.
Faktor i et polynom (x −x 0 ) er en faktor i polynomet P (x) hvis og bare hvis P (x 0 ) =
0.
Rasjonale uttrykk Et rasjonalt uttrykk er på formen
nomer.
Forkorting av rasjonale uttrykk
Vi kan forkorte
3
P (x)
Q(x) , der P (x) og Q(x) er poly-
P (x)
x−x 0
hvis og bare hvis P (x 0 ) = 0.
3 Logaritmer
Den briggske logaritmen
opphøye 10 i for å få a.
Den briggske logaritmen til a, lg a, er det tallet vi må
10lg a = a
Den briggske logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er
a > b ⇔ lg a > lg b
Regneregler for briggske logaritmer
lg a x = x · lg a
lg(a · b) = lg a + lg b
lg
Eulertallet e
³a´
b
= lg a − lg b
1
e = lim(1 + t ) t ≈ 2.7 1828 1828 4590 4523 536
t →0
Den naturlige logaritmen
opphøye e i for å få a.
Den naturlige logaritmen til a, ln a, er det tallet vi må
e ln a = a
Den naturlige logaritmen er voksende. For to positive tall a og b er
a > b ⇔ ln a > ln b
Regneregler for den naturlige logaritmen
ln a x = x · ln a
ln(a · b) = ln a + ln b
ln
³a´
b
= ln a − ln b
4
4 Sannsynlighetsregning
Sum av sannsynligheter
P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B )
Komplementære hendelser
P (A) = 1 − P (A)
Betinget sannsynlighet
P (B | A) =
P (A ∩ B )
P (A)
Produktsetningen
P (A ∩ B ) = P (A) · P (B | A) = P (B ) · P (A | B )
Total sannsynlighet
P (B ) = P (A) · P (B | A) + P (A) · P (B | A)
P (B ) = P (A ∩ B ) + P (A ∩ B )
Bayes’ setning
P (B | A) =
P (B ) · P (A | B )
P (A)
Uavhengige hendinger To hendinger A og B er uavhengige hvis, og bare hvis, P (A |
B ) = P (A) eller P (B | A) = P (B )
Produktsetningen for uavhengige hendinger La A 1 , A 2 , . . . , A n være n uavhengige
hendinger. Da er
P (A 1 ∩ A 2 ∩ . . . ∩ A n ) = P (A 1 ) · P (A 2 ) · . . . · P (A n )
Fakultet
n! = n · (n − 1) · . . . · 3 · 2 · 1
Binomialkoeffisient
à !
n
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
=
k
k!
0! = 1
à !
n
=1
0
Multiplikasjonsprinsippet Vi skal gjøre k valg med n 1 alternativer i det første valget, n 2 valg i det andre, osv. Det er da i alt n 1 · n 2 · . . . · n k mulige kombinasjoner. Hvis
det er n kombinasjoner i hvert valg, er tallet på kombinasjoner n k .
Ordnet utvalg I et ordnet utvalg tar vi hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir
trukket ut i.
5
Ordnet utvalg med tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand
med tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt n k forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i.
Ordnet utvalg uten tilbakelegging Vi har n gjenstander og trekker en gjenstand
uten tilbakelegging. Hvis vi trekker k ganger, fins det i alt
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1)
forskjellige kombinasjoner når vi tar hensyn til rekkefølgen vi trekker i.
Uordnet utvalg I et uordnet utvalg tar vi ikke hensyn til den rekkefølgen gjenstandene blir trukket ut i.
Uordnet utvalg uten
Vi har n gjenstander og skal velge ut k av dem.
¡ tilbakelegging
¢
Det kan vi gjøre på nk forskjellige måter når rekkefølgen vi velger i, ikke har betydning.
Hypergeometrisk forsøk I et hypergeometrisk forsøk har vi n gjenstander av to
eller flere typer. Anta at det er n 1 gjenstander av type 1 og n 2 gjenstander av type
2. Vi trekker tilfeldig k gjenstander uten tilbakelegging. Sannsynligheten for å få k 1
gjenstander av type 1 og k 2 gjenstander av type 2 er da
¡n1 ¢ ¡n2 ¢
k1 · k2
¡n ¢
k
For flere enn to typer gjenstander gjelder formlen
¡n1 ¢ ¡n2 ¢
¡ni ¢
k 1 · k 2 · ... · k i
¡n ¢
k
der i er antall ulike typer gjenstander det trekkes blant.
Binomisk forsøk I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk og teller hvor
mange ganger vi får en hending A. I hvert delforsøk er sannsynligheten for hendingen A lik p. La X være antallet ganger A inntreffer. Sannsynligheten for at A skal
inntreffe nøyaktig k ganger, er
à !
n
P (X = k) =
· p k · (1 − p)n−k
k
6
5 Geometri
Pythagoras’ setning La a, b og c være sidekanter i en trekant der c er den lengste
siden.
Trekanten er rettvinklet ⇔ a 2 + b 2 = c 2
Sentralvinkel og periferivinkel En vinkel som har toppunkt på en sirkelperiferi
kalles periferivinkel. En vinkel som har toppunkt i sentrum av en sirkel, kalles sentralvinkel. La u være en sentralvinkel og v en periferivinkel som spenner over den
samme sirkelbuen. Da er
u = 2v
To periferivinkler som spenner over den samme buen, er like store. En periferivinkel
som spenner over diameteren, er 90◦ .
Cosinussetningen La a, b og c være sidekantene i en trekant der vinkel v er vinkelen mellom sidene b og c. Da er
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos v
Sinussetningen La a, b og c være sidekantene i en trekant der A er motstående
vinkel til a, B er motstående vinkel til b og C er motstående vinkel til c. Da er
sin A sin B sinC
=
=
a
b
c
a
b
c
=
=
sin A sin B sinC
Arealsetningen La v være vinkelen mellom to sider a og b i en trekant. Arealet av
trekanten er da gitt ved
1
A = ab sin v
2
Kongruenssetningene To trekanter er kongruente hvis ett av disse kravene er oppfylt:
1. To vinkler er parvis like store, og en side i den ene trekanten er like lang som
den samsvarende siden i den andre.
2. To av sidene er parvis like lange, og vinkelen mellom de to sidene er like store.
3. Alle tre sidene i trekanten er parvis like lange.
4. To av sidene er parvis like lange, og motstående vinkel til den lengste av disse
to sidene er like store.
7
u
v
6 Vektorer
Vektor
En vektor er en størrelse som har både lengde og retning.
Skalar En skalar er en størrelse som ikke har retning. I praksis er en skalar et “vanlig tall”.
Nullvektor
Nullvektoren ~0 har lengden 0.
Enhetsvektor En enhetsvektor ~
e har lengden 1. ~
e x har lengde 1 og er har lik retning
med den positive x-aksen. ~
e y har lengde 1 og har lik retning med den positive yaksen.
Sum av vektorer Når vi skal finne summen av to vektorer ~
u og ~
v tegner vi først ~
u.
Deretter tegner vi ~
v med utgangspunkt i endepunktet for ~
u . Summen ~
u +~
v går nå
fra utgangspunktet for ~
u til endepunktet for ~
v.
For tre punkter A, B og C er
−→ −→ −→
AB + BC = AC
Produkt av tall og vektor Vektoren t~
v er parallell med ~
v og er |t | ganger så lang
som ~
v . Hvis t er et positivt tall, har ~
v og t~
v samme retning. Hvis t er et negativt tall,
har ~
v og t~
v motsatt retning.
Differanse av vektorer Vi finner differansen ~
u −~
v ved å summere ~
u og −~
v.
~
u −~
v =~
u + (−~
v)
Vi kan også tegne vektorene ~
u og ~
v med felles utgangspunkt. Vektoren ~
u −~
v går
da fra endepunktet for ~
v til endepunktet for ~
u.
Noen regneregler for vektorer
~
a +~
b =~
b +~
a
(~
a +~
b) +~
c =~
a + (~
b +~
c)
t · (~
a +~
b) = t · ~
a + t ·~
b
s~
a + t~
a = (s + t )~
a
s · (t~
a ) = (s · t )~
a
Vektor på koordinatform En vektor ~
u = [x, y] går x enheter i positiv x-retning og
y enheter i positiv y-retning.
8
~u
~v
~u + ~v
Regneregler for vektorkoordinater
[x 1 , y 1 ] + [x 2 , y 2 ] = [x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ]
[x 1 , y 1 ] − [x 2 , y 2 ] = [x 1 − x 2 , y 1 − y 2 ]
t [x, y] = [t x, t y]
Vektoren mellom origo, O(0, 0), og punktet P (x, y)
Vektoren mellom to punkter
har koordinatene
−−→
OP = [x, y]
−−→
OP kalles gjerne posisjonsvektoren til P .
Vektoren mellom A(x 1 , y 1 ) og B (x 2 , y 2 ) har koordinatene
−→
AB = [x 2 − x 1 , y 2 − y 1 ]
Lengden av en vektor
Lengden av vektoren ~
v = [x, y] er
|~
v| =
Avstanden mellom to punkter
d=
q
x2 + y 2
Avstanden mellom punktene (x 1 , y 1 ) og (x 2 , y 2 ) er
q
(x 2 − x 1 )2 + (y 2 − y 1 )2
Parallelle vektorer To vektorer ~
u og ~
v som ikke er nullvektorer, er parallelle hvis og
bare hvis det fins et tall t slik at t · ~
u =~
v . Altså
~
u ∥~
v ⇔ t ·~
u =~
v
−→
−→
Punkt på linje Tre punkter A, B og C ligger på linje hvis og bare hvis AB og AC er
parallelle.
Dekomponering La ~
a og ~
b være to vektorer som ikke er parallelle. La ~
v være en
tredje vektor. Da fins det entydige tall x og y slik at
~
v = x~
a + y~
b
Like vektorer La ~
a og ~
b være to vektorer som ikke er parallelle, og la ~
u = x1~
a + y 1~
b
og ~
v = x2~
a + y 2~
b. Da er ~
u =~
v hvis og bare hvis x 1 = x 2 og y 1 = y 2 .
To vektorer er like hvis og bare hvis vektorkoordinatene er parvis like.
Skalarprodukt La u være vinkelen mellom ~
a og ~
b. Da er skalarproduktet av ~
a og ~
b
¯ ¯
¯ ¯
~
a ·~
b = |~
a | · ¯~
b ¯ · cos u
Skalarproduktet er alltid et tall (en skalar).
9
Koordinatformelen for skalarprodukt
[x 1 , y 1 ] · [x 2 , y 2 ] = x 1 x 2 + y 1 y 2
Vinkelen mellom to vektorer Vinkelen u mellom ~
a og ~
b kan beregnes ved


~
~
a
·
b
¯ ¯
u = cos−1 
¯ ¯
|~
a | · ¯~
b¯
Ortogonale vektorer
~
a ⊥~
b ⇔~
a ·~
b=0
Regneregler for skalarproduktet
~
a ·~
b =~
b ·~
a
~
a · (~
b +~
c) = ~
a ·~
b +~
a ·~
c
(x · ~
a ) · (y · ~
b) = (x y) · ~
a ·~
b
(x 1 ~
a + y 1~
b) · (x 2 ~
a + y 2~
b) = x 1 x 2 ~
a 2 + x1 y 2~
a ·~
b + y 1 x2~
a ·~
b + y 1 y 2~
b2
~
a 2 = |~
a |2
10
7 Derivasjonsregler
Definisjonen av den deriverte
f 0 (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
h
Hvis denne grenseverdien eksisterer i punktet x er f deriverbar i x.
Lineær funksjon
(ax + b)0 = a
Potensfunksjon
(x n )0 = n · x n−1
Sum av funksjoner
(u(x) + v(x))0 = u 0 (x) + v 0 (x)
Multiplikasjon med konstant
(k · f (x))0 = k · f 0 (x)
Funksjonen
1
x
µ ¶0
1
1
=− 2
x
x
Kvadratrot
p
1
( x)0 = p
2 x
Logaritmefunksjon
(ln x)0 =
1
x
Eksponentialfunksjon
(e x )0 = e x
(e kx )0 = ke kx
³
(a x )0 = ln a · a x
´0
a kx = k · ln a · a kx
Produktsetningen
(u · v)0 = u 0 · v + u · v 0
Kvotientsetningen
³ u ´0
v
=
u0 · v − u · v 0
v2
Kjerneregelen Den deriverte av en sammensatt funksjon er lik den deriverte av
den ytre funksjonen multiplisert med den deriverte av kjernen. Altså hvis f (x) =
g (u(x)), så er
f 0 (x) = g 0 (u(x)) · u 0 (x)
11
8 Funksjonsdrøfting
Kontinuerlige funksjoner En funksjon f er kontinuerlig for x = a dersom f (a) eksisterer og lim f (x) = lim− f (x) = f (a).
x→a +
x→a
En funksjon er kontinuerlig i et intervallet [a, b] hvis den er kontinuerlig i alle
punkt i intervallet. En polynomfunksjon er kontinuerlig overalt. Rasjonale funksjoner er kontinuerlig i alle punkt, men er ikke definert der nevneren er null.
Vertikal asymptote En funksjon f har en vertikal asymptote x = a dersom f (x) →
±∞ når x → a.
Horisontal asymptote Linja y = a er en horisontal asymptote for en funksjon f
dersom lim f (x) = a eller lim f (x) = a.
x→∞
x→−∞
Toppunkt og bunnpunkt Hvis f er kontinuerlig og f 0 (x) skifter fortegn i et punkt
er dette et topp- eller bunnpunkt for f .
Andregradsfunksjonen ax 2 + bx + c har et toppunkt hvis a < 0 og et bunnpunkt
b
.
hvis a > 0. Dette topp/bunnpunktet finner vi i x = − 2a
Krumming f 00 (x) > 0 i et intervall ⇔ grafen vender den hule siden opp i intervallet.
f 00 (x) < 0 i et intervall ⇔ grafen til f vender den hule siden ned i intervallet.
Vendepunkt Punktet der f 00 (x) skifter fortegn kalles et vendepunkt til f .
L’Hôpitals lov
Hvis lim g (x) = lim h(x) = 0 så er
x→a
Denne setningen
x→a
er ikke en del
g (x)
g 0 (x)
lim
= lim 0
x→a h (x)
x→a h(x)
av
g 0 (x)
gitt at lim h 0 (x) eksisterer. Setningen gjelder også hvis lim g (x) = lim h(x) = ±∞.
x→a
x→a
x→a
I praksis vil dette si at hvis en grenseverdi gir “ 00 ” eller “ ∞
∞ ” så kan vi derivere
telleren og nevneren (hver for seg) og se om vi får en grenseverdi som er lettere å
beregne.
12
pensum
i
R1, men kan i
noen
tilfeller
være
praktisk
for
å
beregne
grenseverdier
9 Vektorfunksjoner
Parameterframstilling for rett linje En linje ` gjennom punktet P (x 0 , y 0 ) parallell
med vektoren ~
v = [a, b] kan skrives ved parameterframstilling
(
`:
x = x 0 + at
y=
y 0 + bt
eller som vektorfunksjonen
[x(t ), y(t )] = [x 0 + at , y 0 + at ]
Derivasjon av vektorfunksjoner Vektorfunksjoner kan deriveres koordinatvis, det
vil si at hvis ~
r (t ) = [x(t ), y(t )] så er
~
r 0 (t ) = [x 0 (t ), y 0 (t )]
Definisjon av den deriverte til en vektorfunksjon Den deriverte til en vektorfunksjon
~
r (t ) er gitt ved
~
r (t + h) −~
r (t )
~
r 0 (t ) = lim
h→0
h
Fartsvektor og akselerasjonsvektor Ofte tolker vi~
r (t ) som posisjonsvektoren til et
punkt etter tiden t . Fartsvektoren er da
~
v (t ) =~
r 0 (t )
Farten er lengden av fartsvektoren, altså
v(t ) = |~
v (t )|
Akselerasjonsvektoren er den deriverte av fartsvektoren, altså
~
a (t ) = ~
v 0 (t ) =~
r 00 (t )
Akselerasjonen er lengden av akselerasjonsvektoren, altså
a(t ) = |~
a (t )|
13