Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Diverse oppgaver Oppgave 1. Anta modellen: Yi = β1 + β2 X 2i + β3 X 3i + β4 X 4i + ui Du estimerer modellen og oppnår følgende resultater ( n = 26 ): Yˆi = βˆ1 + βˆ2 X 2i + βˆ3 X 3i + βˆ4 X 4i Du ønsker å finne ut om X 2 har signifikant effekt på Y. a) Hvordan ser hypotesen ut? b) La signifikansnivået være 5%. Hva er kritisk verdi for testen? c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%? Du tester den tosidige hypotesen: H 0 : β2 = 0 , H A : β2 ≠ 0 d) Du finner at testens p-verdi er nøyaktig lik 10%. Hva var testens t-verdi? e) Ta utgangspunkt i informasjonen gitt i d). Dersom hypotesen hadde vært ensidig, hva ville testens p-verdi ha vært? Du beregner et 95% tosidig konfidensintervall for parameteren β3 . Konfidensintervallet er gitt ved: [1,22 ; 2,64]. f) Hva var den estimerte verdien av β3 ? La signifikansnivået være 5%. Du tester hypotesen: H 0 : β3 = 0 H A : β3 ≠ 0 Hva er testens konklusjon? g) Hva er den estimerte variansen til βˆ3 ? h) Ta utgangspunkt i hypotesen gitt i f). Gå ut fra at du tester hypotesen ved hjelp av en ttest. Hva er t-verdien? 1 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Oppgave 2. En investor samler inn følgende informasjon om markedsavkastningen og avkastningen på det som ser ut til å være et attraktivt aksjefond År Aksjefondets risikopremie (i %) Markedets risikopremie (i %) 1 17.8 13.7 2 39.0 23.2 3 12.8 6.9 4 24.2 16.8 5 17.2 12.3 Ta utgangspunkt i kapitalverdimodellen gitt ved: R1t = α + βRmt + ut , hvor R1t og Rmt er henholdsvis aksjefondets og markedets risikopremie på tidspunkt t. Du estimerer modellen og oppnår følgende resultater (standardfeilen til parametrene er gitt i parentes): m = −1.74 + 1.64 ⋅ R R 1t mt (SE) (4,114) (0,265) RSS = 30, 33 Du skal nå gjøre følgende: a) Kapitalverdimodellen predikere at konstantleddet i modellen er lik 0. Bruk et signifikansnivå på 5% og test prediksjonen, dvs. evaluer hypotesen: H0 : α = 0 HA : α ≠ 0 b) Utfør samme test som i a), men nå ved å beregne et tosidig 95% konfidensintervall for parameteren α . c) Ut fra teorien har vi at markedsrisikoen er gitt ved: βm = 1 (husk at β er et mål på systematisk risiko). Det vil nå være interessant å teste om aksjefondet har tilsvarende risiko som markedet. Du skal derfor evaluere hypotesen: H0 : β = 1 HA : β ≠ 1 2 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Hva er din konklusjon? Hva er (omtrentlig) testens p-verdi? d) Ta utgangspunkt i hypotesen: H 0 : α = 0, β = 1 . 1. Hvordan ser modellen med restriksjoner ut? Utledd og beregn RSS for modellen med restriksjoner. 2. Beregn F-verdien og gjennomfør testen (bruk et signifikansnivå lik 5%). e) Ta utgangspunkt i datafilen Oppgave 2e.xls og bekreft dine resultater i a) – d) ved hjelp av Eviews. Oppgave 3. Vurdere følgende tre modeller for avkastningen til et svært amerikansk aksjefond ved navn Gabelli Asset Fund (GAF): 1) Benchmark-modellen (RGAF ,t − rft ) = α + uB,t 2) Kapitalverdimodellen (KVM) (RGAF ,t − rft ) = α + β(RS &P 500,t − rft ) + uKVM ,t 3) Fama&French-modellen (FFM) (RGAF ,t − rft ) = α + β(RS &P 500,t − rft ) + γ1SMBt + γ2HMLt + uFFM ,t hvor: RGAF ,t er Gabelli-fondets avkastning på tidspunkt t. rft er avkastningen på (nesten) risikofrie amerikanske statsobligasjoner på tidspunkt t (vi bruker denne som en proxy for en risikofri investering). RS &P 500,t er avkastningen på S&P500-indeksen på tidspunkt t (fungerer som en proxy for markedsavkastningen). 3 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 SMBt og HMLt er forklaringsvariabler i FF-modellen 1 . Du estimerer modellene og oppnår følgende resultater ( n = 60 ): 1) (n RGAF ,t − rft ) = 0, 01223 (SE) (0.005047) RSS B = 0, 090178 2) (n RGAF ,t − rft ) = 0.0000141 + 0.8158 ⋅ (RS &P 500,t − rft ) (SE) (0.002246) (0.049132) RSS KVM = 0.015674 3) (n RGAF ,t − rft ) = −0.000314 + 0.9428 ⋅ (RS &P 500,t − rft ) + 0.2683 ⋅ SMBt + 0.2776 ⋅ HMLt (SE) (0.001904) (0.05204) (0.05395) (0.07691) RSS FFM = 0.010855 Du skal nå gjøre følgende: a) Beregn R 2 og R 2 for både Kapitalverdimodellen og Fama&French-modellen. Hvilken av modellene vil du foretrekke? b) Ta utgangspunkt i Kapitalverdimodellen og test hypotesen: H 0 : β = 1 , H 0 : β ≠ 1 (bruk et signifikansnivå på 5%). 1) Først utfør testen som en t-test. 2) Dernest ufør testen som en F-test. Vis at modellen med restriksjoner er gitt ved: RGAF ,t − RS &P 500,t = α + uKVM ,t (R) Bruk at: n R − RS &P 500,t = −0, 002745 GAF ,t RSS R = 0, 019473 1 En fullstendig redegjørelse av Fama&French-modellen er mindre viktig her. Vi anerkjenner imidlertid at SMB og HML er to variabler som potentielt representerer viktige forklaringsvariabler i en modell for GAF-fondets avkastning. For flere detaljer se for eksempel Bodie, Kane and Marcus. 4 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 3) Sjekk at t 2 = F (bemerk at denne sammenhengen gjelder kun for testing av enkeltrestriksjoner). Hvilken sammenheng er det mellom kritisk verdi for t-testen og kritisk verdi for F-testen. c) Ta utgangspunkt i Fama&French-modellen og utfør en test for ”overall significance” (bruk et signifikansnivå på 5%). d) Vurder hypotesen: H 0 : γ1 = 0 og γ2 = 0 . Hvordan ser modellen med restriksjoner ut? Evaluer hypotesen. Hva er din konklusjon? e) Ta utgangspunkt i datasettet: Mutual Fund Returns.xls, og replikker resultatene fra denne oppgaven ved hjelp av Eviews. Før du estimere modellene trenger du å opprette og beregne variabelen: RS &P 500,t = S & P 500t − S & P 500t −1 S & P 500t −1 (se for eksempel 13 i Komme i gang med Eviews) 5 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Løsninger Oppgave 1. a) Hypotesen ser slik ut: H 0 : β2 = 0 H A : β2 ≠ 0 b) Først beregninger vi antall frihetsgrader for testen: df = n − k = 26 − 4 = 22 Dernest finner vi kritisk verdi fra t-tabellen: t2,5%,(df =22) = 2, 074 . c) Kritisk verdi ved et signifikansnivå på 10% er gitt ved: t5%,(df =22) = 1, 717 . d) Fra t-tabellen finner vi at t-verdien må være nøyaktig lik 1,717 dersom p-verdien er 10%. e) Hvis testen er ensidig må vi dele p-verdien (fra oppgave d)) på 2, dvs. 10%/2 = 5%. f) βˆ3 er et tall som ligger nøyaktig midt mellom grensene i konfidensintervallet. Vi får dermed: 1, 22 + 2, 64 βˆ3 = = 1, 93 2 Siden β3* = 0 ligger utenfor konfidensintervallets grenser forkaster vi nullhypotesen. Vi konkludere dermed at X 3 har en signifikant effekt på Y. g) Husk at et tosidig konfidensintervall for β3 beregnes ved hjelp av: βˆ3 ± tα/2 ⋅ SE (βˆ3 ) . Vi kan dermed formulere følgende 2 ligninger: 1) 1, 93 − 2, 074 ⋅ SE (βˆ3 ) = 1, 22 2) 1, 93 + 2, 074 ⋅ SE (βˆ3 ) = 2, 64 Det holder selvsagt at vi løser en av disse. For eksempel dersom vi løser den første ligningen får vi: SE (βˆ3 ) = 1,22 − 1, 93 = 0, 3423 −2, 074 (sjekk gjerne at denne løsningen også løser den andre ligningen). 6 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Den estimerte variansen er finnes nå ved: EstVar . (βˆ3 ) = ⎡⎢SE (βˆ3 )⎤⎥ ⎣ ⎦ = 0, 34232 = 0,1172 2 h) t-verdien finnes da ved: t= 1, 93 = 5, 6383 0, 3423 Oppgave 2. a) Først finner vi kritisk verdi for testen: df = n − k = 5−2 =3 Kritisk verdi er da: t2,5%,(df =3) = 3,182 . Testens t-verdi finnes ved: t= −1, 74 = −0, 423 4,114 Siden −0, 423 < 3,182 kan vi ikke forkaste nullhypotesen. Vi finner da en viss støtte for prediksjonen. Bemerk imidlertid at utvalgsstørrelsen er liten ( n = 5 ). Vi skal derfor være litt forsiktige med konklusjonen da testen er nokså svak. b) Konfidensintervallet beregnes ved: αˆ ± t2,5% ⋅ SE (αˆ) . Vår beregning blir dermed: −1, 74 ± 3,182 ⋅ 4,114 = ⎡⎢⎣−14, 83 ; 11, 35⎤⎥⎦ Vi ser umiddelbart at α* = 0 faller innefor konfidensintervallets grenser. Vi kan dermed ikke forkaste nullhypotesen (selvsagt samme konklusjon som i a)). c) Teststatistikken finnes ved: t= 1, 64 − 1 = 2, 415 0, 265 Kritisk verdi for testen: t2,5%,(df =3) = 3,182 . Siden 2, 415 < 3,182 kan vi ikke forkaste hypotesen: β = 1 . Vi kan dermed ikke konkludere at fondets systematiske risiko er signifikant forskjellig fra markedets. 7 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Fra t-tabellen finner vi at testens p-verdi er ca. 10%. Se raden for df = 3 . Her finner vi verdien 2,35 som er tilnærmet lik vår t-verdi på 2,41. 2,35 tilsvarer en sannsynlighet på 10%. Siden vår t-verdi er litt større enn 2,35 konkludere vi at p-verdien er litt mindre enn 10%. d) 1) Modellen med restriksjoner ser slik ut: R1t = 0 + 1 ⋅ Rmt + ut (R) = Rmt + ut (R) Vi skal nå utlede et uttrykk for RSS R . Vi starter med modellen: R1t = Rmt + uˆt (R) Dette kan også skrives på følgende måte: uˆt (R) = R1t − Rmt ⇒ uˆt2 (R) = (R1t − Rmt ) 2 n ∑ uˆ t =1 2 t (R) ⇒ n = ∑ (R1t − Rmt ) 2 t =1 el. n RSS R = ∑ (R1t − Rmt ) 2 t =1 Beregningen blir dermed: RSS R = (17, 8 − 13, 7) + (39, 0 − 23, 2) + (12, 8 − 6, 9) 2 2 2 + (24, 2 − 16, 8) + (17, 2 − 12, 3) 2 2 = 380, 03 2) Vi finner F-verdien ved: RSS R − RSSU F= m RSSU n −k 380, 03 − 30, 33 2 = = 17, 29 30, 33 5−2 Kritisk verdi for testen er gitt ved: F5%,(m =2,n −k =3) = 9, 55 . Siden F-verdien (17,29) er større enn kritisk verdi (9,55) forkaster vi nullhypotesen. Legg merke til at når vi tester restriksjonene ved individuelle tester var det ikke mulig å forkaste restriksjonene. Når vi imidlertid tester restriksjonene sammen forkastes nullhypotesen. 8 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Oppgave 3. a) Husk at TSS = RSS B (se notater). Vi starter med Kapitalverdimodellen: 2 RKVM = 1− 0, 015674 = 82, 62% 0, 090178 ⎡⎛ 60 − 1 ⎞ ⎤ 2 ⎟⎟⎟ ⋅ (1 − 0, 8262)⎥ = 82, 32% RKVM = 1 − ⎢⎢⎜⎜⎜ ⎥ ⎟ ⎜ ⎣⎢⎝ 60 − 2 ⎠ ⎦⎥ Fama&French-modellen: 2 RFFM = 1− 0, 010855 = 87, 96% 0, 090178 ⎡⎛ 60 − 1 ⎞ ⎤ 2 ⎟⎟⎟ ⋅ (1 − 0, 8796)⎥ = 87, 32% = 1 − ⎢⎢⎜⎜⎜ RFFM ⎥ ⎢⎣⎜⎝ 60 − 4 ⎠⎟ ⎥⎦ 2 2 > RKVM foretrekker vi Fama&French-modellen fremfor Kapitalverdimodellen Siden RFFM (dette er selvsagt også et teoretisk spørsmål). b) 1) Vi starter med å beregne kritisk verdi: df = n − k = 60 − 2 = 58 Kritisk verdi er da: t2,5%,(df =58) = 2, 00 . Teststatistikken beregnes ved: t= 0, 8158 − 1 = −3, 75 0, 049132 Siden −3, 75 > 2, 00 forkaster vi nullhypotesen. Den systematiske risikoen til GAF-fondet er signifikant forskjellig fra markedets. 2) Modellen med restriksjoner er gitt ved: RGAF ,t − rft = α + 1 ⋅ (RS &P 500,t − rft ) + uKVM ,t (R) 9 ⇒ Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 RGAF ,t − rft − RS &P 500,t + rft = α + uKVM ,t (R) ⇒ RGAF ,t − RS &P 500,t = α + uKVM ,t (R) Vi finner teststatistikken ved: RSS R − RSSU m RSSU F= n −k 0, 019473 − 0, 015674 1 = = 14, 06 0, 015674 60 − 2 Kritisk verdi for testen finnes i F-tabellen: F5%,(m =1,n −k =58) = 4, 00 . Siden teststatistikken (14,06) er større enn kritisk verdi (4,00) forkaster vi nullhypotesen. Vi får dermed samme konklusjon som ved t-testen. Det vil alltid være slik at de to måtene å teste på gir samme konklusjon når vi tester enkeltrestriksjoner. 3) Legg (t merke ) 2 2,5%,(df =58) til at: (−3, 75)2 = 14, 06 for kritisk verdi gjelder: = F5%,(m =1,n −k =58) = 4, 00 . c) En test for ”overall significance” ser slik ut: TSS − RSS 0, 090178 − 0, 0108555 m 3 F= = = 136, 41 RSS 0, 0108555 n −k 60 − 4 Kritisk verdi: F5%,(m =3,n −k =56) = 2, 76 . Siden 136, 41 > 2, 76 forkaster vi hypotesen: 2 H 0 : RFFM = 0. d) Modellen med restriksjoner er gitt ved: (RGAF ,t − rft ) = α + β(RS &P 500,t − rft ) + 0 ⋅ SMBt + 0 ⋅ HMLt + uFFM ,t (R) = α + β(RS &P 500,t − rft ) + uFFM ,t (R) Legg merke til at modellen med restriksjoner er Kapitalverdimodellen. F-verdien beregnes ved: RSS KVM − RSS FFM F= m RSS FFM n −k 0, 015674 − 0, 010855 2 = = 12, 43 0, 0108555 60 − 4 10 Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg Vår 2011 Kritisk verdi for testen: F5%,(m =2,n −k =56) = 3,15 . Siden 12, 43 > 3,15 forkaster vi nullhypotesen. Fama&French-modellen representerer dermed en signifikant bedre tilpasning sammenlignet med Kapitalverdimodellen. 11
© Copyright 2024