Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Diverse oppgaver
Oppgave 1.
Anta modellen:
Yi = β1 + β2 X 2i + β3 X 3i + β4 X 4i + ui
Du estimerer modellen og oppnår følgende resultater ( n = 26 ):
Yˆi = βˆ1 + βˆ2 X 2i + βˆ3 X 3i + βˆ4 X 4i
Du ønsker å finne ut om X 2 har signifikant effekt på Y.
a) Hvordan ser hypotesen ut?
b) La signifikansnivået være 5%. Hva er kritisk verdi for testen?
c) Hva er kritisk verdi for testen dersom vi hadde valgt et signifikansnivå på 10%?
Du tester den tosidige hypotesen: H 0 : β2 = 0 , H A : β2 ≠ 0
d) Du finner at testens p-verdi er nøyaktig lik 10%. Hva var testens t-verdi?
e) Ta utgangspunkt i informasjonen gitt i d). Dersom hypotesen hadde vært ensidig, hva ville
testens p-verdi ha vært?
Du beregner et 95% tosidig konfidensintervall for parameteren β3 . Konfidensintervallet er gitt ved:
[1,22 ; 2,64].
f)
Hva var den estimerte verdien av β3 ? La signifikansnivået være 5%. Du tester hypotesen:
H 0 : β3 = 0
H A : β3 ≠ 0
Hva er testens konklusjon?
g) Hva er den estimerte variansen til βˆ3 ?
h) Ta utgangspunkt i hypotesen gitt i f). Gå ut fra at du tester hypotesen ved hjelp av en ttest. Hva er t-verdien?
1
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Oppgave 2.
En investor samler inn følgende informasjon om markedsavkastningen og avkastningen på det som
ser ut til å være et attraktivt aksjefond
År
Aksjefondets risikopremie (i %)
Markedets risikopremie (i %)
1
17.8
13.7
2
39.0
23.2
3
12.8
6.9
4
24.2
16.8
5
17.2
12.3
Ta utgangspunkt i kapitalverdimodellen gitt ved:
R1t = α + βRmt + ut ,
hvor R1t og Rmt er henholdsvis aksjefondets og markedets risikopremie på tidspunkt t. Du estimerer
modellen og oppnår følgende resultater (standardfeilen til parametrene er gitt i parentes):
m = −1.74 + 1.64 ⋅ R
R
1t
mt
(SE)
(4,114)
(0,265)
RSS = 30, 33
Du skal nå gjøre følgende:
a) Kapitalverdimodellen predikere at konstantleddet i modellen er lik 0. Bruk et
signifikansnivå på 5% og test prediksjonen, dvs. evaluer hypotesen:
H0 : α = 0
HA : α ≠ 0
b) Utfør samme test som i a), men nå ved å beregne et tosidig 95% konfidensintervall for
parameteren α .
c) Ut fra teorien har vi at markedsrisikoen er gitt ved: βm = 1 (husk at β er et mål på
systematisk risiko). Det vil nå være interessant å teste om aksjefondet har tilsvarende risiko
som markedet. Du skal derfor evaluere hypotesen:
H0 : β = 1
HA : β ≠ 1
2
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Hva er din konklusjon? Hva er (omtrentlig) testens p-verdi?
d) Ta utgangspunkt i hypotesen: H 0 : α = 0, β = 1 .
1.
Hvordan ser modellen med restriksjoner ut? Utledd og beregn RSS for modellen med
restriksjoner.
2.
Beregn F-verdien og gjennomfør testen (bruk et signifikansnivå lik 5%).
e) Ta utgangspunkt i datafilen Oppgave 2e.xls og bekreft dine resultater i a) – d) ved hjelp av
Eviews.
Oppgave 3.
Vurdere følgende tre modeller for avkastningen til et svært amerikansk aksjefond ved navn Gabelli
Asset Fund (GAF):
1) Benchmark-modellen
(RGAF ,t − rft ) = α + uB,t
2) Kapitalverdimodellen (KVM)
(RGAF ,t − rft ) = α + β(RS &P 500,t − rft ) + uKVM ,t
3) Fama&French-modellen (FFM)
(RGAF ,t − rft ) = α + β(RS &P 500,t − rft ) + γ1SMBt + γ2HMLt + uFFM ,t
hvor:
RGAF ,t er Gabelli-fondets avkastning på tidspunkt t.
rft er avkastningen på (nesten) risikofrie amerikanske statsobligasjoner på tidspunkt t (vi
bruker denne som en proxy for en risikofri investering).
RS &P 500,t er avkastningen på S&P500-indeksen på tidspunkt t (fungerer som en proxy for
markedsavkastningen).
3
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 SMBt og HMLt er forklaringsvariabler i FF-modellen 1 .
Du estimerer modellene og oppnår følgende resultater ( n = 60 ):
1)
(n
RGAF ,t − rft ) = 0, 01223
(SE)
(0.005047)
RSS B = 0, 090178
2)
(n
RGAF ,t − rft ) = 0.0000141 + 0.8158 ⋅ (RS &P 500,t − rft )
(SE)
(0.002246)
(0.049132)
RSS KVM = 0.015674
3)
(n
RGAF ,t − rft ) = −0.000314 + 0.9428 ⋅ (RS &P 500,t − rft ) + 0.2683 ⋅ SMBt + 0.2776 ⋅ HMLt
(SE)
(0.001904)
(0.05204)
(0.05395)
(0.07691)
RSS FFM = 0.010855
Du skal nå gjøre følgende:
a) Beregn R 2 og R 2 for både Kapitalverdimodellen og Fama&French-modellen. Hvilken av
modellene vil du foretrekke?
b) Ta utgangspunkt i Kapitalverdimodellen og test hypotesen: H 0 : β = 1 , H 0 : β ≠ 1 (bruk et
signifikansnivå på 5%).
1) Først utfør testen som en t-test.
2) Dernest ufør testen som en F-test. Vis at modellen med restriksjoner er gitt ved:
RGAF ,t − RS &P 500,t = α + uKVM ,t (R)
Bruk at:
n
R
− RS &P 500,t = −0, 002745
GAF ,t
RSS R = 0, 019473
1
En fullstendig redegjørelse av Fama&French-modellen er mindre viktig her. Vi anerkjenner imidlertid at SMB og HML er to
variabler som potentielt representerer viktige forklaringsvariabler i en modell for GAF-fondets avkastning. For flere detaljer
se for eksempel Bodie, Kane and Marcus.
4
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 3) Sjekk at t 2 = F
(bemerk at denne sammenhengen gjelder kun for testing av
enkeltrestriksjoner). Hvilken sammenheng er det mellom kritisk verdi for t-testen og
kritisk verdi for F-testen.
c) Ta utgangspunkt i Fama&French-modellen og utfør en test for ”overall significance” (bruk
et signifikansnivå på 5%).
d) Vurder hypotesen: H 0 : γ1 = 0 og γ2 = 0 . Hvordan ser modellen med restriksjoner ut?
Evaluer hypotesen. Hva er din konklusjon?
e) Ta utgangspunkt i datasettet: Mutual Fund Returns.xls, og replikker resultatene fra denne
oppgaven ved hjelp av Eviews. Før du estimere modellene trenger du å opprette og beregne
variabelen:
RS &P 500,t =
S & P 500t − S & P 500t −1
S & P 500t −1
(se for eksempel 13 i Komme i gang med Eviews)
5
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Løsninger
Oppgave 1.
a) Hypotesen ser slik ut:
H 0 : β2 = 0
H A : β2 ≠ 0
b) Først beregninger vi antall frihetsgrader for testen:
df = n − k
= 26 − 4
= 22
Dernest finner vi kritisk verdi fra t-tabellen: t2,5%,(df =22) = 2, 074 .
c) Kritisk verdi ved et signifikansnivå på 10% er gitt ved: t5%,(df =22) = 1, 717 .
d) Fra t-tabellen finner vi at t-verdien må være nøyaktig lik 1,717 dersom p-verdien er 10%.
e) Hvis testen er ensidig må vi dele p-verdien (fra oppgave d)) på 2, dvs. 10%/2 = 5%.
f)
βˆ3 er et tall som ligger nøyaktig midt mellom grensene i konfidensintervallet. Vi får dermed:
1, 22 + 2, 64
βˆ3 =
= 1, 93
2
Siden β3* = 0 ligger utenfor konfidensintervallets grenser forkaster vi nullhypotesen. Vi
konkludere dermed at X 3 har en signifikant effekt på Y.
g) Husk at et tosidig konfidensintervall for β3 beregnes ved hjelp av: βˆ3 ± tα/2 ⋅ SE (βˆ3 ) . Vi
kan dermed formulere følgende 2 ligninger:
1) 1, 93 − 2, 074 ⋅ SE (βˆ3 ) = 1, 22
2) 1, 93 + 2, 074 ⋅ SE (βˆ3 ) = 2, 64
Det holder selvsagt at vi løser en av disse. For eksempel dersom vi løser den første ligningen
får vi:
SE (βˆ3 ) =
1,22 − 1, 93
= 0, 3423
−2, 074
(sjekk gjerne at denne løsningen også løser den andre ligningen).
6
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Den estimerte variansen er finnes nå ved:
EstVar
. (βˆ3 ) = ⎡⎢SE (βˆ3 )⎤⎥
⎣
⎦
= 0, 34232
= 0,1172
2
h) t-verdien finnes da ved:
t=
1, 93
= 5, 6383
0, 3423
Oppgave 2.
a) Først finner vi kritisk verdi for testen:
df = n − k
= 5−2
=3
Kritisk verdi er da: t2,5%,(df =3) = 3,182 . Testens t-verdi finnes ved:
t=
−1, 74
= −0, 423
4,114
Siden −0, 423 < 3,182 kan vi ikke forkaste nullhypotesen. Vi finner da en viss støtte for
prediksjonen. Bemerk imidlertid at utvalgsstørrelsen er liten ( n = 5 ). Vi skal derfor være
litt forsiktige med konklusjonen da testen er nokså svak.
b) Konfidensintervallet beregnes ved: αˆ ± t2,5% ⋅ SE (αˆ) . Vår beregning blir dermed:
−1, 74 ± 3,182 ⋅ 4,114 = ⎡⎢⎣−14, 83 ; 11, 35⎤⎥⎦
Vi ser umiddelbart at α* = 0 faller innefor konfidensintervallets grenser. Vi kan dermed
ikke forkaste nullhypotesen (selvsagt samme konklusjon som i a)).
c) Teststatistikken finnes ved:
t=
1, 64 − 1
= 2, 415
0, 265
Kritisk verdi for testen: t2,5%,(df =3) = 3,182 . Siden 2, 415 < 3,182 kan vi ikke forkaste
hypotesen: β = 1 . Vi kan dermed ikke konkludere at fondets systematiske risiko er
signifikant forskjellig fra markedets.
7
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Fra t-tabellen finner vi at testens p-verdi er ca. 10%. Se raden for df = 3 . Her finner vi
verdien 2,35 som er tilnærmet lik vår t-verdi på 2,41. 2,35 tilsvarer en sannsynlighet på 10%.
Siden vår t-verdi er litt større enn 2,35 konkludere vi at p-verdien er litt mindre enn 10%.
d)
1) Modellen med restriksjoner ser slik ut:
R1t = 0 + 1 ⋅ Rmt + ut (R)
= Rmt + ut (R)
Vi skal nå utlede et uttrykk for RSS R . Vi starter med modellen:
R1t = Rmt + uˆt (R)
Dette kan også skrives på følgende måte:
uˆt (R) = R1t − Rmt
⇒
uˆt2 (R) = (R1t − Rmt )
2
n
∑ uˆ
t =1
2
t (R)
⇒
n
= ∑ (R1t − Rmt )
2
t =1
el.
n
RSS R = ∑ (R1t − Rmt )
2
t =1
Beregningen blir dermed:
RSS R = (17, 8 − 13, 7) + (39, 0 − 23, 2) + (12, 8 − 6, 9)
2
2
2
+ (24, 2 − 16, 8) + (17, 2 − 12, 3)
2
2
= 380, 03
2) Vi finner F-verdien ved:
RSS R − RSSU
F=
m
RSSU
n −k
380, 03 − 30, 33
2
=
= 17, 29
30, 33
5−2
Kritisk verdi for testen er gitt ved: F5%,(m =2,n −k =3) = 9, 55 . Siden F-verdien (17,29) er større
enn kritisk verdi (9,55) forkaster vi nullhypotesen. Legg merke til at når vi tester
restriksjonene ved individuelle tester var det ikke mulig å forkaste restriksjonene. Når vi
imidlertid tester restriksjonene sammen forkastes nullhypotesen.
8
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Oppgave 3.
a) Husk at TSS = RSS B (se notater).
Vi starter med Kapitalverdimodellen:
2
RKVM
= 1−
0, 015674
= 82, 62%
0, 090178
⎡⎛ 60 − 1 ⎞
⎤
2
⎟⎟⎟ ⋅ (1 − 0, 8262)⎥ = 82, 32%
RKVM
= 1 − ⎢⎢⎜⎜⎜
⎥
⎟
⎜
⎣⎢⎝ 60 − 2 ⎠
⎦⎥
Fama&French-modellen:
2
RFFM
= 1−
0, 010855
= 87, 96%
0, 090178
⎡⎛ 60 − 1 ⎞
⎤
2
⎟⎟⎟ ⋅ (1 − 0, 8796)⎥ = 87, 32%
= 1 − ⎢⎢⎜⎜⎜
RFFM
⎥
⎢⎣⎜⎝ 60 − 4 ⎠⎟
⎥⎦
2
2
> RKVM
foretrekker vi Fama&French-modellen fremfor Kapitalverdimodellen
Siden RFFM
(dette er selvsagt også et teoretisk spørsmål).
b)
1) Vi starter med å beregne kritisk verdi:
df = n − k
= 60 − 2
= 58
Kritisk verdi er da: t2,5%,(df =58) = 2, 00 . Teststatistikken beregnes ved:
t=
0, 8158 − 1
= −3, 75
0, 049132
Siden −3, 75 > 2, 00 forkaster vi nullhypotesen. Den systematiske risikoen til GAF-fondet
er signifikant forskjellig fra markedets.
2) Modellen med restriksjoner er gitt ved:
RGAF ,t − rft = α + 1 ⋅ (RS &P 500,t − rft ) + uKVM ,t (R)
9
⇒
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 RGAF ,t − rft − RS &P 500,t + rft = α + uKVM ,t (R)
⇒
RGAF ,t − RS &P 500,t = α + uKVM ,t (R)
Vi finner teststatistikken ved:
RSS R − RSSU
m
RSSU
F=
n −k
0, 019473 − 0, 015674
1
=
= 14, 06
0, 015674
60 − 2
Kritisk verdi for testen finnes i F-tabellen: F5%,(m =1,n −k =58) = 4, 00 . Siden teststatistikken
(14,06) er større enn kritisk verdi (4,00) forkaster vi nullhypotesen. Vi får dermed
samme konklusjon som ved t-testen. Det vil alltid være slik at de to måtene å teste på
gir samme konklusjon når vi tester enkeltrestriksjoner.
3) Legg
(t
merke
)
2
2,5%,(df =58)
til
at:
(−3, 75)2 = 14, 06
for
kritisk
verdi
gjelder:
= F5%,(m =1,n −k =58) = 4, 00 .
c) En test for ”overall significance” ser slik ut:
TSS − RSS
0, 090178 − 0, 0108555
m
3
F=
=
= 136, 41
RSS
0, 0108555
n −k
60 − 4
Kritisk
verdi:
F5%,(m =3,n −k =56) = 2, 76 .
Siden
136, 41 > 2, 76
forkaster
vi
hypotesen:
2
H 0 : RFFM
= 0.
d) Modellen med restriksjoner er gitt ved:
(RGAF ,t − rft ) = α + β(RS &P 500,t − rft ) + 0 ⋅ SMBt + 0 ⋅ HMLt + uFFM ,t (R)
= α + β(RS &P 500,t − rft ) + uFFM ,t (R)
Legg merke til at modellen med restriksjoner er Kapitalverdimodellen. F-verdien beregnes
ved:
RSS KVM − RSS FFM
F=
m
RSS FFM
n −k
0, 015674 − 0, 010855
2
=
= 12, 43
0, 0108555
60 − 4
10
Forelesning 4 og 5 MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011 Kritisk verdi for testen: F5%,(m =2,n −k =56) = 3,15 . Siden 12, 43 > 3,15 forkaster vi nullhypotesen.
Fama&French-modellen representerer dermed en signifikant bedre tilpasning sammenlignet
med Kapitalverdimodellen.
11