1. No category

Matematikterminologi
i skolan
J
y
(cos t, s
t \
X
Il
w
nämnare
SKOLÖVERSTYRELSEN
A
224
896
-8
09
-8
16
-16
0
kvot
tälj are
S K O L Ö V E R S T Y R E L S E N S
S K R I F T S E R I E
87
Matematikterminolog
i skolan
^-förlaget
SKOLÖVERSTYRELSEN
Utformning och redigering 1966 Pedagogisk Konsultering och Produktion
Produktion 1966 SÖ-förlaget/Skolöverstyrelsen
Trvckt hos Berlingska Boktryckeriet. Lund 1969
4:e tryckningen
Förord
S k o l ö v e r s t y r e l s e n t i l l s a t t e 1964 e n a r b e t s g r u p p m e d u p p g i f t a t t u t a r b e t a
a n v i s n i n g a r för m a t e m a t i k t e r m i n o l o g i . A r b e t s g r u p p e n a v l ä m n a d e
ett
förslag s o m efter r e m i s s b e h a n d l i n g fastställdes a v ö v e r s t y r e l s e n e n l i g t
p r o t o k o l l d e n 11.5.1966.
D e n y a a n v i s n i n g a r n a k o m m e r a t t tillämpas av skolöverstyrelsen från
och m e d vårterminen
1968 v i d s t a n d a r d p r o v e n i m a t e m a t i k i g r u n d -
skolan och vid de centrala proven i m a t e m a t i k i det n y a gymnasiet.
Överstyrelsen
rekommenderar
att
anvisningarna
med
tillämpning
s n a r a s t följs i n t e b a r a i g y m n a s i e t o c h g r u n d s k o l a n u t a n ä v e n i s a m t liga s k o l o r s o m ä r u n d e r s t ä l l d a s k o l ö v e r s t y r e l s e n .
S t o c k h o l m i n o v e m b e r 1966
Skolöverstyrelsen
Innehåll
Inledning
5
1. Mängder
7
2. Tal och talskrivning
11
3. Aritmetik
17
4. Storheter. Enheter
22
5. Elementär logik
23
6. Algebra
29
7. Geometriska grundbegrepp
33
8. Vektorer och koordinatsystem
47
9. Funktionslära
54
10. Sannolikhetslära och statistik
66
11. Symbollista
72
12. Sakregister
77
Inledning
Föreliggande framställning utgör en förteckning över termer och beteckn i n g a r för m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n i g r u n d s k o l a , fackskola, yrkesskola
o c h g y m n a s i u m . F ö r t e c k n i n g e n k o m p l e t t e r a s a v svensk s t a n d a r d . D e t t a
g ä l l e r särskilt s t o r h e t e r o c h e n h e t e r .
V a n l i g a svenska o r d o c h u t t r y c k , s o m a n v ä n d s v i d b e s k r i v n i n g a v k o n kreta situationer,
har
ej m e d t a g i t s , t e x o r d s å d a n a s o m ö k a , l ä g g a
s a m m a n , minska, dela, u t a n endast matematiska termer ingår. För enh e t l i g h e t s skull u p p t a s a l t e r n a t i v a t e r m e r e n d a s t i e t t f å t a l fall. I u n d e r v i s n i n g e n b ö r m a n i m å n g a fall i n f o r m e r a e l e v e r n a o m a n d r a f ö r e k o m m a n d e termer.
F ö r t e c k n i n g e n får ej u p p f a t t a s s o m n o r m g i v a n d e för m a t e m a t i k k u r s e n s
o m f a t t n i n g . A t t e t t b e g r e p p finns u p p t a g e t i f ö r t e c k n i n g e n i n n e b ä r ej
a t t det b e h ö v e r ingå i skolkursen. D e t gäller t ex avsnittet o m e l e m e n t ä r
logik. Ej h e l l e r avses a t t b e g r e p p e n skall införas i u n d e r v i s n i n g e n i j u s t
d e n o r d n i n g eller p å d e t s ä t t s o m a n v ä n t s i f ö r t e c k n i n g e n . N ä r e t t b e g r e p p b e h ö v s p å e t t visst s t a d i u m k a n d e t m å n g a g å n g e r v a r a p e d a g o g i s k t
l ä m p l i g a r e a t t ge e n m i n d r e f u l l s t ä n d i g d e f i n i t i o n eller e n d e f i n i t i o n
i a n n a n f o r m ä n d e n s o m finns i f ö r t e c k n i n g e n . D e f i n i t i o n e r n a i d e n n a
h a r v a l t s så, a t t b e g r e p p e n o m m ö j l i g t skall f r a m s t å e n t y d i g t o c h ä r icke
a v s e d d a a t t i första h a n d v a r a p e d a g o g i s k a r e k o m m e n d a t i o n e r . A v d e n n a
a n l e d n i n g h a r b e g r e p p o c h s y m b o l e r f r å n m ä n g d l ä r a n införts t i d i g t i
förteckningen. Dessa utnyttjas sedan vid definitioner i senare avsnitt.
I m å n g a fall h a r d e t ej v a r i t m ö j l i g t a t t g e e n f u l l s t ä n d i g d e f i n i t i o n . I
f ö r t e c k n i n g e n ges ofta istället e n b e s k r i v n i n g , s o m i d e flesta fall ä r tillr ä c k l i g för a t t i d e n t i f i e r a b e g r e p p e t . M a n försöker i f ö r t e c k n i n g e n g ö r a
s k i l l n a d m e l l a n e t t b e g r e p p o c h b e t e c k n i n g e n för e t t b e g r e p p , n ä r d e t t a
ä r b e f o g a t för k l a r h e t e n s skull. I m å n g a fall u p p e h å l l s d o c k i n t e d e n n a
s k i l l n a d . S å k a n s u m m a , u t t r y c k , t ä l j a r e osv avse b å d e e t t t a l o c h e n
beteckning.
N å g o n f u l l s t ä n d i g h e t eller a b s o l u t k o n s e k v e n s k a n ej u p p n å s . I ö v e r v ä g a n d e a n t a l e t fall b e k r ä f t a r f ö r t e c k n i n g e n n u e x i s t e r a n d e t e r m i n o l o g i ,
vilket
ibland
medför
smärre
inkonsekvenser.
Vissa
mindre
vanliga
t e r m e r eller b e g r e p p s o m n u a n v ä n d s a v speciella p e d a g o g i s k a o r s a k e r
h a r u t e s l u t i t s . I s t ä l l e t för " k o m p l e m e n t v i n k l a r " s ä g e r m a n
exempelvis
" v i n k l a r vilkas s u m m a ä r 9 0 ° " . A n g i v n a t e r m e r får givetvis s a m m a n s ä t t a s o c h n a t u r l i g a a n a l o g i b i l d n i n g a r ske. M e t o d i s k a o c h p e d a g o g i s k a
t e r m e r h a r u n d v i k i t s . D e s s a får ges i l ä r o p l a n e r o c h m e t o d i k l i t t e r a t u r .
5
N å g r a få satser h a r m e d t a g i t s . D e t g ä l l e r s å d a n a s o m å t e r k o m m e r i
s k o l a n o c h s o m d ä r f ö r h a r speciella n a m n s å s o m P y t a g o r a s sats o c h faktorsatsen.
I v ä n s t e r k a n t e n i f ö r t e c k n i n g e n a n g e s v i k t i g a r e t e r m e r . D e införs i d e n
l ö p a n d e t e x t e n till h ö g e r . D e s s u t o m
konkretiseras begreppen
under
r u b r i k e n EXEMPEL. U n d e r r u b r i k e n ANMÄRKNING ges bl a k o m m e n t a r e r
o c h o m n ä m n s t e r m e r s o m b ö r u n d v i k a s . Vissa t e r m e r s o m n o r m a l t införs
t i d i g t i s k o l a n finns i k a p i t l e t A r i t m e t i k .
6
1 • MÄNGDER
mängd
E n mängd k a n b e s k r i v a s s o m e n s a m m a n f a t t n i n g a v o b j e k t v i l k a d å k a l l a s
element
mängdens
element.
EXEMPEL
M ä n g d e n av hela tal, m ä n g d e n av cirklar i ett plan, m ä n g d e n av elever i
e n klass.
S o m b o k s t a v s b e t e c k n i n g för m ä n g d a n v ä n d s v a n l i g e n v e r s a l . A t t x ä r
e l e m e n t i m ä n g d e n A skrivs
x £ A
tillhör
o c h u t l ä s e s "x ä r e l e m e n t i A" eller "x tillhör A".
A t t x ej ä r e l e m e n t i A
skrivs
ändlig mängd
E n m ä n g d ä r ändlig o m d e n h a r e t t ä n d l i g t a n t a l e l e m e n t , i a n n a t fall
oändlig mängd
är den
mängdklammer
F ö r a t t a n g e e n m ä n g d k a n m a n a n v ä n d a mängdklammer,
listform
m e r anges vilka m ä n g d e n s element är. D e t t a k a n göras i
oändlig.
{ }. I n o m k l ä m listform.
EXEMPEL
{1, 2, 3} " m ä n g d e n a v t a l e n e t t , t v å , t r e " ,
{5, 6, 7, . . . 2 5 } " m ä n g d e n a v d e h e l a t a l e n fr o m 5 t o m 2 5 " ,
{0, 1, 2, 3 , . . . } " m ä n g d e n a v d e n a t u r l i g a t a l e n " .
mängdbyggaren
E l e m e n t e n k a n o c k s å a n g e s g e n o m a t t d e k a r a k t e r i s e r a s . D e t t a k a n ske
g e n o m mängdbyggaren,
grundmängd
{ : }. F ö r e k o l o n sätts e n b e t e c k n i n g för e t t e l e m e n t
o c h a n g e s e v e n t u e l l t v i l k e n grundmängd
e l e m e n t e t t i l l h ö r . Efter k o l o n a n g e s
en karakteriserande egenskap.
EXEMPEL
{x e N: 5 < x < 2 5 } , u t l ä s e s " m ä n g d e n a v d e x s o m t i l l h ö r N,
att ..."
{x: x>
3}..
sådana
mängddiagram
M ä n g d e r k a n symboliseras g e n o m
mängddiagram.
EXEMPEL
F
aeF
b $F
•b
den tomma
mängden
Den tomma mängden s a k n a r e l e m e n t .
SYMBOL: 0 u t l ä s e s " d e n t o m m a m ä n g d e n " .
EXEMPEL
M ä n g d e n av naturliga tal m i n d r e ä n 0 är tom.
delmängd
E n m ä n g d A v a r s a l l a e l e m e n t t i l l h ö r e n m ä n g d B ä r en delmängd a v B.
SYMBOL: A £ B, utläses "A ä r e n d e l m ä n g d a v
omfattar
M a n s k r i v e r ä v e n B r> A, utläses "B omfattar
B".
A".
EXEMPEL
M ä n g d e n av kvadrater är en delmängd av m ä n g d e n av rektanglar.
{A:
äkta delmängd
^ är en kvadrat} c
[B: B ä r e n r e k t a n g e l } .
O m A ä r e n d e l m ä n g d a v B o c h d e t finns m i n s t e t t e l e m e n t i B s o m ej
t i l l h ö r A, ä r A e n äkta delmängd a v B.
SYMBOL: A
likhet
cr
B.
O m A £ B o c h B £ A så h a r A o c h B s a m m a e l e m e n t o c h ä r s å l e d e s
s a m m a m ä n g d . D e t t a skrivs A =
B.
{a, b, a) = {a, b}.
union
O m A o c h B ä r m ä n g d e r , ä r unionen a v A o c h B d e n m ä n g d , s o m b e s t å r
a v a l l a d e e l e m e n t v i l k a t i l l h ö r m i n s t e n a v m ä n g d e r n a A o c h B,
dvs
{x: x 6 A eller x € B}.
SYMBOL: A U B, u t l ä s e s "A u n i o n B" eller " u n i o n e n a v A o c h
faringssättet kallas " a t t bilda u n i o n e n a v A och
differens
O m A o c h B ä r m ä n g d e r , ä r differensen a v A o c h B d e n m ä n g d s o m
b e s t å r a v d e e l e m e n t i A s o m ej t i l l h ö r B.
8
B"?För-
B".
SYMBOL: A \ B , utläses "A differens
B".
EXEMPEL
OmA=
snitt
{ 1 , 4 , 5 } o c h B = { 4 , 5 } ä r A \ B — {1}.
O m A o c h B ä r m ä n g d e r , ä r snittet a v A o c h B d e n m ä n g d , s o m beståi
a v a l l a d e e l e m e n t v i l k a t i l l h ö r b å d e A o c h B, dvs {x: x 6 ^4 ocA x e B}.
SYMBOL: A (\ B, utläses "A
s n i t t B"
eller " s n i t t e t a v A o c h
faringssättet kallas " a t t bilda snittet a v A och
För-
B".
EXEMPEL
{ 1 , 2 , 3 } fl {3, 4, 5 } = {3},
{A:
disjunkta
mängder
A ä r e n r o m b } fl { £ : B ä r e n r e k t a n g e l } = {C: C ä r e n k v a d r a t } .
M ä n g d e r n a E o c h F ä r disjunkta
F fl F = 0 .
om
EXEMPEL
M ä n g d e n av u d d a tal och m ä n g d e n av j ä m n a tal är disjunkta.
komplement
D å en g r u n d m ä n g d E ä r g i v e n k a l l a s E \ A för komplementet
till A.
SYMBOL: Q^4, utläses " k o m p l e m e n t e t till . 4 " .
EXEMPEL
A = {x: x > 4 } ,
(ordnat) par
komponent
[jA = {x: x < 4 } .
S y m b o l e n (a, fi) utläses " ( d e t ordnade) paret a b'\
a
k a l l a s första komponent i p a r e t o c h b a n d r a komponent. I a l l m ä n h e t säger
m a n " p a r e t a b".
EXEMPEL
O m (a, 6) = (c, d) g ä l l e r a = c o c h b = d,
(1,2) *
trippel
produktmängd
(2, 1).
S y m b o l e n (a, b, c) utläses "trippeln a b c".
M ä n g d e n a v alla o r d n a d e p a r (a, b), d ä r a Q A o c h b 6 B ä r
produktmängden
a v A o c h 5 , dvs {(a, b): a 6 A o c h ib 6 £ } .
SYMBOL: A X B, utläses "A kryss B" eller " p r o d u k t m ä n g d e n a v .4 o c h B".
A N M Ä R K N I N G : O m m ä r a n t a l e t e l e m e n t i A o c h n a n t a l e t i i? så ä r mn
a n t a l e t e l e m e n t i A X B.
9
EXEMPEL
A = {x, y, z},
A X B=[(x,
B=
{1, 2}
1), (x, 2 ) , (y,
ger
1), (y, 2 ) , (z, 1), (z, 2 ) } .
OCH TALSKRIVNING
siffra
T a l s y m b o l e r n a 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 7, 8, 9, 0 k a l l a s siffror ( a r a b i s k a ) . N ä r
siffran avses, u t l ä s e s " e t t a , t v å a , t r e a , fyra, f e m m a , s e x a , sjua, å t t a , n i a ,
ANMÄRKNING: T e r m e n siffra får ej a n v ä n d a s i b e t y d e l s e n t a l . F e l a k t i g t
u t t r y c k s s ä t t ä r "siffran 15 ( f e m t o n ) " .
posifionssystem
I e t t positionssystem
bas
tiosystem (decimalsystem)
p l a t s i t a l s y m b o l e n . E t t p o s i t i o n s s y s t e m d ä r basen ä r t a l e t tio k a l l a s
tiosystem
a n g e s e t t t a l så a t t e n siffras b e t y d e l s e b e r o r a v dess
{decimalsystem).
EXEMPEL
I
den
fyrsiffriga
(jämför
närmevärde)
talsymbolen
49,07 h a r i tio-
s y s t e m e t siffrorna f ö l j a n d e b e t y d e l s e .
49,07
hundradelssiffra
i
hundradelssiffra,
2
b e t y d e r 7 • 1 0 ~ , utläses "sju
hundradelar"
hundradelar
tiondelssiffra
_ 1
tiondels siffra, b e t y d e r 0 • 1 0 , u t l ä s e s " n o l l
tiondelar"
tiondel
entalssiffra
'
entalssiffra,
b e t y d e r 9 (dvs 9 • 10°), k a n u t l ä s a s " n i o ental"
tiotalssiffra,
b e t y d e r 4 - 1 0 (dvs 4 • 1 0 ) , k a n u t l ä s a s "fyra
ental
tiotalssiffra
1
tiotal".
tiotal
decimaltecken
Beteckningen 49,17 utläses "fyrtionio hela och sjutton h u n d r a d e l a r " eller " f y r t i o n i o k o m m a s j u t t o n " . Siffrorna efter decimal-
decimal
tecknet n u m r e r a s f r å n d e t t a o c h k a l l a s decimaler
(7 ä r a n d r a
decimalen).
siffersumma
Siffersumman
a v e t t t a l , s k r i v e t i e t t visst p o s i t i o n s s y s t e m , ä r s u m m a n a v
d e t a l s o m siffrorna i t a l e t b e t y d e r t a g n a v a r för sig.
tvåsystem
E t t p o s i t i o n s s y s t e m m e d b a s e n t v å k a l l a s tvåsystem
(binärf system)
siffror a n v ä n d s v a n l i g e n 0 o c h 1.
(binärt system).
Som
11
EXEMPEL
I d e n femsiffriga t a l s y m b o l e n 101,11 h a r i t v å s y s t e m e t siffrorna f ö l j a n d e
betydelse.
101,11
i 'I!
|
1
b e t y d e r | (dvs 1 • 2
:
1
b e t y d e r -|- (dvs 1 • 2 " ) ,
binärtecken
•
b e t y d e r 1 (dvs 1 - 2 ° ) ,
1
b e t y d e r 0 (dvs 0 • 2 ) ,
2
b e t y d e r 4 (dvs 1 • 2 ) .
E t t systems bas k a n anges g e n o m index.
EXEMPEL
101,01 å =
tv
1 • 2
2
+ 0 • 2
1
1
+
2
1 • 2° + 0 • 2 " + 1 • 2 ~ = 5,25. B e t e c k -
n i n g e n 101,01två utläses " e t t n o l l e t t k o m m a n o l l e t t b a s t v å " .
M ä n g d e n a v naturliga tal {0, 1, 2, 3, . . . } b e t e c k n a s m e d N. D e n a t u r l i g a
t a l e n k a n å s k å d l i g g ö r a s p å f ö l j a n d e s ä t t . P å e n r ä t linje (tallinjen)
väljer
m a n e n p u n k t O (origo) o c h e n p u n k t E, v a n l i g e n till h ö g e r o m
S t r ä c k a n OE k a l l a s enhetssträcka.
positiv riktning
0
L i n j e n s r i k t n i n g från O till E
O.
kallas
o c h m a r k e r a s m e d e n pil.
1
2
ANMÄRKNING: Tallinjen, a n v ä n d i definitioner i d e n n a
framställning,
h a r sin p o s i t i v a r i k t n i n g å t h ö g e r .
T i l l p u n k t e n O o r d n a r m a n t a l e t n o l l o c h till p u n k t e n E o r d n a r m a n
t a l e t e t t . F r å n E a v s ä t t s i p o s i t i v r i k t n i n g e n s t r ä c k a EF l i k a l å n g s o m
e n h e t s s t r ä c k a n o c h till p u n k t e n F o r d n a s t a l e t t v å osv.
T a l e n 1, 2 osv k a l l a s koordinater för r e s p e k t i v e p u n k t e r .
M ä n g d e n a v reella tal b e t e c k n a s m e d R. V a r j e p u n k t p å t a l l i n j e n h a r
e x a k t e t t reellt t a l s o m k o o r d i n a t , o c h v a r j e r e e l l t t a l ä r k o o r d i n a t för
e x a k t e n p u n k t p å tallinjen. D e r e e l l a t a l e n b e s t å r a v d e positiva
talen,
t a l e t n o l l o c h d e negativa t a l e n .
T a l e t a sägs v a r a större än t a l e t b o m t a l e t a — b ä r positivt. T a l e t a
a v b i l d a s d ä r v i d till h ö g e r o m b p å t a l l i n j e n .
SYMBOL: a > b, utläses "a ä r s t ö r r e ä n b".
T a l e t a sägs v a r a mindre än t a l e t b o m t a l e t a — b ä r n e g a t i v t . T a l e t a
a v b i l d a s d ä r v i d till v ä n s t e r o m b p å t a l l i n j e n .
SYMBOL: a < b, utläses "a ä r m i n d r e ä n
b".
O m a ä r e t t t a l definieras d e t motsatta t a l e t s o m d e t t a l x, s o m u p p f y l l e r
a + x = 0.
SYMBOL: —a, u t l ä s e s " m i n u s A".
I
SYMBOL:
x om # >
0
0 om x = 0
—a; o m # <
0
\x\, u t l ä s e s " a b s o l u t b e l o p p e t a v x" eller " ^ - a b s o l u t " .
EXEMPEL
| 3 | = 3,
j0( = 0,
| - 2 | = 2.
A N M Ä R K N I N G : T e r m e n " n u m e r i s k t v ä r d e " b ö r ej a n v ä n d a s .
M ä n g d e n a v hela tal (heltal)
{0, 1, — 1, 2, — 2 , 3 , . . . } b e t e c k n a s m e d Z .
S y m b o l e n —1 utläses " m i n u s e t t " .
T a l e n 0, 2, — 2 , 4 , —4, 6, — 6 , . . . k a l l a s jämna
tal.
T a l e n 1, — 1 , 3 , — 3 , 5, — 5 , 7, — 7 , . . . k a l l a s udda t a l .
E t t t a l s o m k a n skrivas i f o r m e n 7, d ä r a o c h b b e t e c k n a r h e l t a l o c h
b
b 4= 0, k a l l a s rationellt tal. M ä n g d e n a v r a t i o n e l l a t a l b e t e c k n a s m e d
Q.
EXEMPEL
4,
- |
0,23.
E t t r a t i o n e l l t t a l s o m k a n s k r i v a s m e d ä n d l i g t a n t a l siffror i d e c i m a l systemet kallas
decimaltal.
EXEMPEL
1
3,
14
1
. 1 1
—, —, 0,33 o c h 3,14 ä r d e c i m a l t a l m e n ej - , - eller tt.
E t t u t t r y c k a v f o r m e n 7 k a l l a s e t t bråk. D ä r v i d k a l l a s a täljare, b nämnare
b
och strecket
bråkstreck.
EXEMPEL
3
4
0
-n
6
x + 1
3'
3'
e'
2'
x -
l'
a + bi
a-bi
13
A N M Ä R K N I N G : N ä r m i s s t a g ej k a n b e f a r a s k a n s n e t t b r å k s t r e c k a n v ä n d a s .
EXEMPEL
1/3,
xjy,
(a +
b)la.
3
T a l e t t r e t i o n d e l a r skrivs i decimalform
Heltalsdelen
0,3 o c h i bråkform ( s o m b r å k )
--.
a v a ä r d e t s t ö r s t a h e l a t a l , s o m ä r m i n d r e ä n eller lika m e d a.
SYMBOL: [a], u t l ä s e s " h e l t a l s d e l e n a v a".
EXEMPEL
"1"
4
= 0,
[TI] = 3 ,
[-3,2] =
-4.
E t t r a t i o n e l l t t a l s k r i v e t m e d e t t h e l t a l o c h e t t b r å k ä r s k r i v e t i blandad
form.
EXEMPEL
25
1
— skrivs i b l a n d a d f o r m 3 .
8
8
ANMÄRKNING: D e n
äldre
terminologin
"egentligt
bråk",
"oegentligt
b r å k " , " b l a n d a t t a l " , " a l l m ä n t b r å k " , " d e c i m a l b r å k " b ö r ej a n v ä n d a s .
Även termerna "förlängning" och "förkortning" torde k u n n a avvaras.
I 0,3333
0,141414
1,41421 . . . , 3 , 1 4 1 5 9 . . . k a l l a s
d e t v å första ä r e x e m p e l p å periodiska
decimalutvecklingar,
decimalutvecklingar.
O m r ä r e t t t a l (r =|= 0) k a l l a s x d e t inverterade talet till r o m r • x = 1.
EXEMPEL
I n v e r t e r a d e t a l e t till 2 ä r 0 , 5 , i n v e r t e r a d e t a l e t till —3 ä r — - .
3
E t t reellt tal s o m inte ä r rationellt kallas
irrationellt.
EXEMPEL
TC, V 2 ä r i r r a t i o n e l l a t a l .
E r s ä t t a m e d e t t närmevärde k a l l a s
approximera.
SYMBOL: sy, u t l ä s e s " ä r u n g e f ä r ( a p p r o x i m a t i v t ) lika m e d " eller i vissa
fall " m e d n ä r m e v ä r d e t " .
EXEMPEL
TU
3,14,
TZ
3,
sa 0,29.
fel
O m a ä r e t t r e e l l t t a l o c h a e t t n ä r m e v ä r d e för a ä r differensen <p = a _
a
närmevärdets
feluppskattning
O m |a — a |
s ä g s / " v a r a en uppskattning
a v felet.
M a n s k r i v e r ofta
a = a ±/.
relativt fel
ro
Relativt
fel ä r m e d b e t e c k n i n g a r n a o v a n - , a ^
a
0.
A N M Ä R K N I N G : R e l a t i v t fel eller e n u p p s k a t t n i n g a v d e t t a a n g e s ofta i
procent.
gällande siffra
E n siffra i e t t n ä r m e v ä r d e i d e c i m a l f o r m k a l l a s gällande
o m d e n ej ä r
e n n o l l a s o m e n b a r t a n v ä n d s för a t t a n g e t a l e t i p o s i t i o n s s y s t e m e t .
EXEMPEL
I n ä r m e v ä r d e t 0,037 ä r d e t v å sista siffrorna g ä l l a n d e , o c h i 0 , 0 3 7 0 ä r
d e t r e sista siffrorna g ä l l a n d e . I n ä r m e v ä r d e t 3,07 ä r a l l a siffror g ä l l a n d e .
I n ä r m e v ä r d e t 3 7 0 0 k a n t v å , t r e eller fyra siffror v a r a g ä l l a n d e .
A N M Ä R K N I N G : S å v i d a ej a n n a t särskilt a n g e s , f ö r u t s ä t t s e t t n ä r m e v ä r d e
h a e t t fel s o m ä r h ö g s t h ä l f t e n a v d e t t a l s o m e n e t t a p å d e n sista g ä l l a n d e
siffrans p l a t s skulle r e p r e s e n t e r a (l e n h e t i sista g ä l l a n d e siffra).
EXEMPEL
29000
( t v å g ä l l a n d e siffror)
innebär
29000 ±
500 och k a n
skrivas
innebär
29000 ±
0,5 o c h k a n
skrivas
4
2,9 • 1 0 .
29000
(fem g ä l l a n d e siffror)
4
2,9000 • 10 .
avrunda
A t t avrunda ä r a t t e r s ä t t a e t t t a l m e d d e t n ä r m a s t b e l ä g n a d e c i m a l t a l e t
m e d e t t visst a n t a l g ä l l a n d e siffror eller m e d sista g ä l l a n d e siffran p å viss
plats i talsymbolen.
EXEMPEL
A v r u n d n i n g till t v å g ä l l a n d e siffror
2,345
2,3
2371 & 2400
0,00333 & 0,0033.
A v r u n d n i n g till t v å d e c i m a l e r
7,496 <=z 7,50
3,0049 & 3,00.
A v r u n d n i n g till h u n d r a t a l
746 & 7 0 0
9630
9600.
V i d siffran 5 åtföljd a v ej a n n a t ä n n o l l o r sker a v r u n d n i n g så a t t föreg å e n d e siffra r e p r e s e n t e r a r e t t j ä m n t t a l .
15
EXEMPEL
2 , 2 5 sa 2,2
2,35
2,4
2,950
3,0
A N M Ä R K N I N G : D e ä l d r e t e r m e r n a " h ö j a e n siffra" o c h " s ä n k a e n siffra"
bör ersättas m e d " a v r u n d a u p p å t " och " a v r u n d a n e d å t " .
V a r j e t a l s o m k a n skrivas i f o r m e n x + iy d ä r x ochjy b e t e c k n a r r e e l l a t a l
k a l l a s e t t komplext
tal.
i ä r d e n imaginära
enheten v i l k e n u p p f y l l e r
A N M Ä R K N I N G : I vissa s a m m a n h a n g
används
beteckningen j
för
den
imaginära enheten.
M ä n g d e n a v k o m p l e x a t a l b e t e c k n a s m e d C. D e n h a r s o m d e l m ä n g d
m ä n g d e n a v r e e l l a t a l . N ä r e t t k o m p l e x t t a l z skrivs x + iy k a l l a s x
realdelen o c h k a l l a s y
SYMBOL : x =
Re
z,
imaginärdelen.
y =
Im
z.
ANMÄRKNING : O m I m z #= 0 k a l l a s t a l e t
Absolutbeloppet
a v d e t k o m p l e x a t a l e t z = x + iy ä r
[z| =
Konjugatet
icke-reellt.
\x + iy \ = ]/x
2
2
+y .
till t a l e t x + iy ä r t a l e t * — y».
E t t komplext tal k a n representeras i koordinatsystem g e n o m en p u n k t
e l l e r g e n o m e n v e k t o r (i vissa s a m m a n h a n g k a l l a d
EXEMPEL
J
i
A y
t
2+1
x
-1-2/
O m z (4= 0) skrivs i polär form
dvs
z = r(cos cp + i sin cp), r >
0
k a l l a s cp " e t t argument för z " .
SYMBOL: a r g z, u t l ä s e s " a r g u m e n t e t för z " .
visare).
3 • ARITMETIK
D e fyra r ä k n e s ä t t e n
plus
summa
addera
addition
term
Uttrycket
6 + 2
utläses " 6 plus 2 " eller "summan
a v 6 o c h 2 " eller " 6 adderat m e d 2 " .
R ä k n e s ä t t e t k a l l a s addition. B å d e 6 o c h 2 k a l l a s termer.
ANMÄRKNING : I l i k h e t e n 6 + 2 = 8 k a l l a s s å v ä l 6 + 2 s o m 8 för s u m m a .
A d d i t i o n s t e c k n e t plus b ö r ej u t l ä s a s " o c h " .
minus
differens
subtrahera
subtraktion
term
Uttrycket
8 - 3
u t l ä s e s " 8 minus 3 " eller "differensen a v 8 o c h 3 " eller " 8 subtraherat m e d 3 " .
R ä k n e s ä t t e t k a l l a s subtraktion.
B å d e 8 o c h 3 k a l l a s termer.
ANMÄRKNING : I l i k h e t e n 8 — 3 = 5 k a l l a s s å v ä l 8 — 3 s o m 5 för differens.
Subtraktionstecknet benämns även
produkt
multiplicera
multiplikation
faktor
minus.
Uttrycket
5 • 4
u t l ä s e s " 5 g å n g e r 4 " eller "produkten a v 5 o c h 4 " eller " 5 multiplicerat
4 " . R ä k n e s ä t t e t k a l l a s multiplikation.
B å d e 5 och 4 kallas
med
faktorer.
ANMÄRKNING : I l i k h e t e n 5 - 4 = 2 0 k a l l a s s å v ä l 5 • 4 s o m 2 0 för p r o d u k t .
M u l t i p l i k a t i o n s t e c k n e t får ej u t l ä s a s " a v " .
kvot
dividera
division
täljare
nämnare
Uttrycket
10
2
u t l ä s e s " 1 0 g e n o m 2 " eller "kvoten a v 10 o c h 2 " eller " 1 0 dividerat m e d 2 " .
R ä k n e s ä t t e t k a l l a s division. M a n k a l l a r 10 för täljare o c h 2 för
ANMÄRKNING : I l i k h e t e n ™ = 5 kallas såväl
s o m 5 för k v o t . S k r i v s ä t t e t
10 : 2 o c h b e n ä m n i n g a r n a d i v i d e n d o c h d i v i s o r k a n a v v a r a s .
bråkstreck
a
—
2 1 5 - 1 3 9 6
Divisionstecknet kallas
bråkstreck.
nämnare.
Uppställningar
Heltal och decimaltal
P å inlärningsstadiet k a n u p p s t ä l l n i n g a r n a göras utförligare ä n v a d n e d a n
angetts.
EXEMPEL
Utan övergäng
11
U t l ä s e s u n d e r i n l ä r n i n g " 1 plus 3 är 4 , 4 plus 2 är 6 (6 skrivs
23
u n d e r strecket),
+ 32
66
Med
övergäng
21
U t l ä s e s u n d e r inlärning "1 plus 2 är 3 , 3 plus 7 är 10 (0 skrivs
61
762
+ 387
1210
i summan,
1 "i minne",
minnessiffran
skrivs p å hel h y l l a ) , 1 i
m i n n e , 1 plus 6 är 7, 7 plus 6 är 13, 13 plus 8 är 21 (1 skrivs
u n d e r strecket, 2 p å h y l l a n ) , 2 i m i n n e , 2 plus 7 är 9, 9 plus 3
är 12 (12 skrivs u n d e r strecket)".
ANMÄRKNING : A d d i t i o n s t e c k n e t k a n u t l ä m n a s . I n d i v i d u e l l t bör en räkneteknik eftersträvas m e d så få u t t a l a d e (tänkta) ord s o m möjligt.
EXEMPEL
8 + 5 + 9 utläses "8, 13, 2 2 " .
EXEMPEL
54
— 21
U t l ä s e s ( o m d e n så k a l l a d e l å n e m e t o d e n används) "4 m i n u s 1
är 3 (3 skrivs u n d e r strecket) 5 m i n u s 2 är 3 " .
33
-
^ 2
387
45
U t l ä s e s "2 m i n u s 7 g å r i n t e (markering görs). 12 m i n u s 7 är 5
(5 utskrivs u n d e r strecket). 2 m i n u s 8 g å r inte (markering
görs). 12 m i n u s 8 är 4 (4 utskrivs u n d e r strecket). 3 m i n u s 3
är 0 (0 utskrivs ej)".
A N M Ä R K N I N G : I n d i v i d u e l l t b ö r e n räkneteknik eftersträvas m e d så få
u t t a l a d e (tänkta) ord s o m möjligt.
EXEMPEL
3,02
-
1,38
1,64
U t l ä s e s "12 m i n u s 8 är 4. 9 m i n u s 3 är 6. 2 m i n u s 1 är 1".
EXEMPEL
384
U t l ä s e s " 2 g å n g e r 4 ä r 8, 2 g å n g e r 8 ä r 16 (6 skrivs u t o c h
• 42
m i n n e s s i f f r a n a n t e c k n a s e v e n t u e l l t v i d s i d a n ) , 2 g å n g e r 3 ä r 6,
768
6 p l u s 1 ä r 7,
1536
16128
EXEMPEL
224 < - kvot
>• 4 |
nämnare
896 <- t ä l j a r e
—8
U t l ä s e s " 4 i 8 g å r 2 g å n g e r (2 skrivs
i k v o t e n ) 2 g å n g e r 4 ä r 8, 8 m i n u s 8 ä r 0
(nollan behöver inte utskrivas). N i a n
09
flyttas n e d , 4 i 9 g å r 2 g å n g e r (2 s k r i v s ) ,
—8
2 g å n g e r 4 ä r 8, 9 m i n u s 8 ä r 1. S e x a n
16
flyttas n e d . 4 i 16 g å r 4 g å n g e r , 4 g å n g e r
— 16
4 ä r 16, 16 m i n u s 16 ä r 0 ( n o l l a n b e -
0
h ö v e r i n t e skrivas u t ) " .
Ö n s k a r n å g o n m a r k e r a n e d f l y t t a d siffra
används m i n d r e överstrykning.
014
13 |
Utläses " 1 3 i 1 g å r 0 g å n g e r (nollan utskrivs p å inlärnings-
190 s t a d i e t m e n u t e l ä m n a s s e n a r e ) . 13 i 19 g å r 1 g å n g , 1 g å n g
-
13 ä r 13, 19 m i n u s 13 ä r 6. N o l l a n
13
flyttas
n e d . 13 i 6 0
60
g å r 4 g å n g e r , 4 g å n g e r 3 ä r 12, t v å a n u t s k r i v s , 4 g å n g e r
52
1 ä r 4 , 4 p l u s 1 ä r 5 , 6 0 m i n u s 52 ä r 8 " .
A l l t s å g å r 13 i 190 14 g å n g e r , resten b l i r 8.
Bråk
EXEMPEL
3
4
1 _ _9
+
3 ~ 12
_4 _
+
13
1 2 ~ 12'
ANMÄRKNING : M a n s ä g e r a t t m a n s k r i v e r b r å k e n m e d s a m m a n ä m n a r e .
EXEMPEL
2
4-2
8
4 • - = —— = - u t l ä s e s " 4 g å n g e r 2 t r e d j e d e l a r ä r l i k a m e d 4 g å n g e r 2
3
o
o
g e n o m 3 ä r lika m e d 8 t r e d j e d e l a r " .
2 3
2-3
- •^= Ö—n
3 7
3 •7
=
2
n utläses " 2 tredjedelar g å n g e r 3 sjundedelar är
7
lika
med
19
EXEMPEL
4
3
.5
2
4
3
3
2
5
2
4-2
8
2
2-5
3^
5 • 7
35
4
4
2
3 • 2
6
5
5
~ 2
7
5
A N M Ä R K N I N G : E n tredjedel a v 7 i n n e b ä r 7 dividerat m e d 3 .
Övrigt
G e n o m att m u l t i p l i c e r a ett heltal m e d heltal erhåller m a n multipler
till
d e t f ö r s t n ä m n d a talet. M a n säger att ett tal "går upp i" sina m u l t i p l e r
eller att m u l t i p e l n "är delbar m e d " talet.
A N M Ä R K N I N G : D ä r e m o t bör ej "går j ä m n t u p p i" a n v ä n d a s .
E t t naturligt tal större ä n 1 s o m är delbart endast m e d 1 o c h talet självt
kallas primtal.
V a r j e a n n a t naturligt tal större ä n 1 kallas ett
tal. Ett s å d a n t tal k a n uppdelas i
Förhållandet
sammansatt
primfaktorer.
m e l l a n t v å tal eller storheter a o c h b är k v o t e n °y U t t r y c k s -
sättet "Priserna p , p , pz förhåller sig s o m 1 till 2 till 3 " i n n e b ä r att
x
h
1
h
=
=
2
2
P?
3'
Procent b e t y d e r h u n d r a d e l a r .
EXEMPEL
1 % = 0,01
73 % = 0,73
ANMÄRKNING : F ö r att u n d v i k a missförstånd säger m a n t e x d å o m s ä t t ningsskatten höjs från 6 % till 9,1 % att d e n höjs m e d 3,1 p r o c e n t e n h e t e r .
Promille b e t y d e r tusendelar.
EXEMPEL
1 % = 0,001
3%
0
o
=
0,003
O r d n i n g e n m e l l a n räkneoperationer k a n a n g e s m e d parenteser.
EXEMPEL
6 - ( 5 - 1 )
=
6 - 4 = 2
S a k n a s p a r e n t e s e r utförs m u l t i p l i k a t i o n o c h division före a d d i t i o n o c h
subtraktion.
EXEMPEL
7 - 2 - 3 = 7 - 6 = 1
V i d u p p r e p a d e a d d i t i o n e r och subtraktioner r ä k n a r m a n från vänster.
EXEMPEL
1 6 - 8 - 3 + 2 = ((16 - 8 ) - 3 ) +
2 = ( 8 - 3 ) + 2 = 5 + 2 = 7
potens
V i d u p p r e p a d multiplikation m e d s a m m a faktor skriver m a n p å följande
upphöjt till
sätt
„
n faktorer
bas
exponent
Talet a
n
k a l l a s e n potens o c h u t l ä s e s "a upphöjt till n" eller "a n". a k a l l a s
p o t e n s e n s bas o c h n k a l l a s dess exponent.
ANMÄRKNING : O r d e t d i g n i t e t b ö r ej a n v ä n d a s .
2
3
a u t l ä s e s i b l a n d "a i k v a d r a t " o c h a "a i k u b " .
21
STORHETER. ENHETER
Sveriges standardiseringskommission ger u t svensk s t a n d a r d för storheter
och. enheter. D e n n a b ö r följas i skolan.
e
O r d e t sort b ö r ej längre a n v ä n d a s i detta s a m m a n h a n g . Istället för
"sortförvandling" a n v ä n d s
"enhetsbyté".
F ö r e n storhets mätetal bör inte d e standardiserade b e t e c k n i n g a r n a för
storheter a n v ä n d a s .
EXEMPEL
O m d e n tid d e t tar att färdas 4 0 k m m e d h a s t i g h e t e n 6 0 k m / h skall
beräknas ur s a m b a n d e t s = v • t, k a n m a n skriva 4 0 = 60*, där tiden
är x h. M a n bör således ej skriva t i d e n t h.
I d e n e l e m e n t ä r a m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n b ö r m a n inte m u l t i p l i c e r a
o c h d i v i d e r a enheter.
EXEMPEL
V i d b e r ä k n i n g a v a r e a n a v e n t o m t m e d sidorna 3 0 m o c h 5 0 m skriver
man då
a r e a n är 3 0 • 5 0 m
2
= 1500 m
2
o c h ej
a r e a n är 30 m • 5 0 m = 1 5 0 0 m
2
E n h e t s b e t e c k n i n g a r s a m t % o c h % a n v ä n d s n o r m a l t endast tillsammans
0
m e d m ä t e t a l . I övrigt skrivs h e l a ordet ut. I n g a böjnings- eller a v l e d ningsändelser sätts ut efter e n h e t s b e t e c k n i n g a r . S å l u n d a får m a n ej
skriva "på 2 m : s höjd", "25 % - i g lösning", "hur m å n g a % var h a n s
vinst".
5 • ELEMENTÄR LOGIK
Ett m a t e m a t i s k t objekt k a n b e t e c k n a s :
variabelfri
beteckning
1. m e d e n variabelfri beteckning s o m i varje s a m m a n h a n g b e t e c k n a r objek;
t
e
t
f
r
å
g
a
EXEMPEL
7
lj 4, — —,
variabel
14,7t,
0 (den tomma m ä n g d e n ) .
2 . m e d e n variabel, vilket är en b o k s t a v s b e t e c k n i n g för ett g o d t y c k l i g t
e l e m e n t i e n m ä n g d , kallad g r u n d m ä n g d ,
uttryck
3 . m e d ett uttryck i n n e h å l l a n d e variabler eller variabelfria beteckningar.
EXEMPEL
3 + 4 , 3x + 1, -,
{x,y),
f(x)
PQ (vektorn från P till Q), f
(där f
är e n funktion o c h x är ett t a l ) ,
(derivatan a v f u n k t i o n e n / ) .
ANMÄRKNING : I stället för ordet "beteckning" k a n " n a m n " a n v ä n d a s .
konstant
E n b e t e c k n i n g s o m i n t e i n n e h å l l e r vissa i ett s a m m a n h a n g förekomm a n d e variabler kallas i detta s a m m a n h a n g
insättning
M e d e n insättning
konstant.
i ett uttryck m e n a s ersättning a v e n eller flera vari-
abler i uttrycket m e d n å g o n a n n a n b e t e c k n i n g . D ä r v i d u p p k o m m e r ett
n y t t uttryck.
EXEMPEL
G e n o m insättning i x + jy k a n m a n erhålla e x e m p e l v i s 4 + 5 ,
3 + z,
G e n o m i n s ä t t n i n g i f(x)
cos(y+
x + 5,
2
sin t + c o s / .
k a n m a n erhålla e x e m p e l v i s / ( 2 ) , sin x,
1 0
l o g 2,
z).
D å m a n insätter e x e m p e l v i s a i stället för x i ett uttryck, säger m a n
också att m a n beräknar uttryckets v ä r d e för x = a,
utsaga
E n utsaga är ett språkligt eller formelmässigt u t t a l a n d e . E n utsaga k a n
sann, falsk
v a r a sann, e n utsaga k a n v a r a
falsk.
23
E n u t s a g a s o m i n t e i n n e h å l l e r n å g o n v a r i a b e l k a l l a s sluten.
EXEMPEL
5 ä r ett primtal,
3 <
2,
1 v a r j e t r i a n g e l ä r v i n k e l s u m m a n 180°,
d e t finns t r u b b i g a v i n k l a r .
E n u t s a g a s o m i n n e h å l l e r e n eller flera v a r i a b l e r k a l l a s öppen.
EXEMPEL
T a l e t a ä r positivt,
2
* + / < 1,
o m x i n t e ä r p o s i t i v t så är y n e g a t i v t .
M e d insättning i e n ö p p e n u t s a g a m e n a s e r s ä t t n i n g a v e n eller flera v a r i a b ler m e d n å g o n a n n a n b e t e c k n i n g . H ä r v i d u p p k o m m e r e n n y u t s a g a .
V i s s a i n s ä t t n i n g a r k a n g ö r a e n u t s a g a s a n n , vissa a n d r a k a n g ö r a d e n
falsk.
EXEMPEL
F r å n utsagan x > y kan m a n g e n o m insättning erhålla exempelvis 3 >
2 >
3 , x>
2,
1.
O m t e c k n e t = , s o m k a l l a s likhetstecken
o c h u t l ä s e s " ä r l i k a m e d " eller
" ä r " , s ä t t s m e l l a n t v å b e t e c k n i n g a r för o b j e k t , e r h å l l s e n u t s a g a , s o m
u t s ä g e r a t t b e t e c k n i n g a r n a s t å r för s a m m a o b j e k t .
k a l l a s likhet, ä r d e n ö p p e n k a l l a s d e n ä v e n
En sådan utsaga
ekvation.
EXEMPEL
3 + 4 = 7 betyder att 3 + 4 och 7 betecknar s a m m a tal,
M = 0 betyder att M betecknar den tomma mängden.
Lösningsmängden,
t e c k n a d A(x)
ä v e n k a l l a d lösningen till e n ö p p e n u t s a g a , s o m ä r b e och som innehåller en variabel * med g r u n d m ä n g d
ä r m ä n g d e n {x e X:
L ö s n i n g s m ä n g d e n till e n ö p p e n u t s a g a , s o m ä r b e t e c k n a d A(x, y)
s o m i n n e h å l l e r v a r i a b l e r n a x o c h y m e d g r u n d m ä n g d e r X o c h Y,
mängden
{(x, y) eX
X,
A(x)}.
x Y : A(x,
y)}.
och
är
M o t s v a r a n d e definition görs d å
m a n h a r t r e eller flera v a r i a b l e r .
M e d e n lösning avses ä v e n e t t e l e m e n t i l ö s n i n g s m ä n g d e n . D å u t s a g a n
h a r f o r m e n a v e n e k v a t i o n k a l l a s e l e m e n t e t o c k s å rot. A t t g ö r a e n i n s ä t t -
n i n g for e n eller flera variabler o c h undersöka, o m d e n erhållna u t s a g a n
är s a n n o c h det insatta därför b e t e c k n a r e n lösning, kallas att pröva.
Ett e l e m e n t i l ö s n i n g s m ä n g d e n sägs satisfiera eller uppfylla
den öppna
utsagan. M e d att lösa e n ö p p e n utsaga avses att a n g e l ö s n i n g s m ä n g d e n i
enkel form.
EXEMPEL
2
N ä r m a n löser e k v a t i o n e n x = 4 k a n svaret ges i n å g o n a v formerna
a) {—2, 2 } b) x = 2 eller x = —2 c) lösningarna är —2 o c h 2 .
2
2
U r e k v a t i o n e n x + 3a = a erhålls x = a — 3a. M a n säger att m a n "löst
e k v a t i o n e n m e d a v s e e n d e p å x" eller att m a n "löst ut x".
F r å n e n eller flera utsagor k a n m a n b i l d a n y a utsagor m e d e n eller flera
a v följande operationer, där A o c h B är b e t e c k n i n g a r för utsagor.
Konjunktionen
a v u t s a g a n A o c h u t s a g a n B är u t s a g a n "A och B". D e n är
s a n n d å b å d e A är s a n n o c h B är sann.
SYMBOL: A A B, utläses "A
Disjunktionen
och
B".
a v utsagorna A o c h B är u t s a g a n "A eller B". D e n är s a n n
d å minst e n a v utsagorna A o c h B är s a n n .
SYMBOL: A V B, utläses "A eller
B".
Negationen a v utsagan A är u t s a g a n "icke-A".
D e n är s a n n d å A är falsk
o c h falsk d å A är sann. U t s a g a n "icke-^4" kallas ä v e n motsatsen till A.
U r s y m b o l e r n a = , 6, . . . bildas s y m b o l e r n a =f=,
. . . vilka utläses "är
inte lika m e d " ("är skilt från"), "tillhör inte", . . .
Implikationen
a v utsagorna A o c h B är u t s a g a n A => B, vilket utläses
"A medför (implicerar) B" eller " o m A så B". D e n är s a n n d å o c h e n d a s t
d å "icke-^4 eller B" är sann.
Ömvändningen
Ekvivalensen
a v i m p l i k a t i o n e n A => B är i m p l i k a t i o n B => A.
a v utsagorna A o c h B är u t s a g a n "AoB",
vilket utläses
"A är ekvivalent m e d B" eller "A m e d f ö r o c h följer u r B" eller "A
om
o c h endast o m B". D e n är s a n n d å b å d e A o c h B är s a n n a s a m t d å b å d e
A o c h B är falska.
25
existenskvantor
A v e n u t s a g a A k a n b i l d a s e n u t s a g a "3 x:A"
vilken utläses " d e t
(existerar) ett (något) x s å d a n t a t t A gäller". H kallas
allkvantorn
A v e n u t s a g a A k a n b i l d a s e n u t s a g a "V x:A",
(varje) x g ä l l e r A". V k a l l a s
finns
existenskvantorn.
v i l k e n utläses "för a l l a
allkvantorn.
ANMÄRKNING : M a n k a n ä v e n a n v ä n d a s k r i v s ä t t s o m
*i < *
bunden bokstav
x
<f( i)
2
V*i, x
2
e
D.
f
B o k s t a v e n A : i 3 x:A o c h V x:A ä r icke e n v a r i a b e l u t a n e n bunden
bokstav.
M a n k a n i n t e g ö r a e n i n s ä t t n i n g för e n b u n d e n b o k s t a v . D ä r e m o t k a n
e n b u n d e n b o k s t a v e r s ä t t a s m e d g o d t y c k l i g a n n a n b o k s t a v utan a t t u t sagan ändras.
EXEMPEL
3 x: (x >
1), d v s " d e t e x i s t e r a r e t t x s o m ä r s t ö r r e ä n 1", ä r d e t s a m m a
s o m " d e t e x i s t e r a r e t t u s o m ä r s t ö r r e ä n 1" d v s 3 u: (u >
k a n m a n i n å g o t s a m m a n h a n g s a m t i d i g t h a a t t "x >
"a >
1). ( D ä r e m o t
1" ä r sann och att
1" ä r falsk).
B u n d e n b o k s t a v f ö r e k o m m e r s t u n d o m i b e t e c k n i n g a r för o b j e k t .
EXEMPEL
I {x: 1 < x < 2 } ä r x e n b u n d e n b o k s t a v .
I beteckningen x ^
3
3
x + 1 för d e n f u n k t i o n v a r s v ä r d e för x ä r x + 1
är x en b u n d e n bokstav.
X
I J f(t)
o
ekvationssystem
relation
dt ä r t e n b u n d e n b o k s t a v , x d ä r e m o t e n v a r i a b e l ,
E t t ekvationssystem
innebär en konjunktion av ett ändligt antal ekvationer.
O m X o c h Y ä r m ä n g d e r k a l l a s v a r j e d e l m ä n g d R av X X Y e n relation
f r å n X till Y. D å (x, y) 6 R s ä g e r m a n a t t x s t å r i r e l a t i o n e n R till
och
s k r i v e r ä v e n xRy. E n r e l a t i o n f r å n X till X ( s a m m a m ä n g d ) k a l l a s o c k s å
e n r e l a t i o n i X.
ekvivalensrelation
E n ekvivalensrelation
j , c h .z i X ) :
x >
1. xRx
(reflexiva e g e n s k a p e n )
2 . xRy=>yRx
(symmetriska egenskapen)
3 . {xRy o c h yRz)
26
i e n m ä n g d X ä r e n r e l a t i o n R m e d e g e n s k a p e r n a (för
0
=> xRz
(transitiva egenskapen)
ekvivalent
O m R ä r e n e k v i v a l e n s r e l a t i o n o c h xRy sägs x ochy
vara
ekvivalenta.
ekvivalens-
M e d e n ekvivalensrelation R kan en m ä n g d X indelas i d e l m ä n g d e r
k
k a l l a d e ekvivalensklasser
'
a s s e r
så a t t
1. t v å e l e m e n t i s a m m a klass a l l t i d ä r e k v i v a l e n t a ,
2 . t v å e l e m e n t i olika klasser a l d r i g ä r e k v i v a l e n t a .
ordnings-
E n ordningsrelation
i en m ä n g d X är en relation R m e d egenskaperna:
relation
j_ [ Ry
=> x =y
och. yRx)
x
2 . (xRy och.yRz)
=> xRz
(antisymmetriska egenskapen)
(transitiva egenskapen).
EXEMPEL
Relationen >
och y >
för d e r e e l l a t a l e n ( m a n h a r d ä r v i d a l d r i g b å d e x > y
x).
E n o r d n i n g s r e l a t i o n k a n d e s s u t o m satisfiera
3 . xRx
(reflexiva e g e n s k a p e n ) .
EXEMPEL
R e l a t i o n e n < för d e r e e l l a t a l e n . < u t l ä s e s " ä r m i n d r e ä n eller l i k a m e d " .
M a n h a r exempelvis att "2 < 3 " är sann och att "3 < 3 " är sann.
funktion
avbildning
funktionsvärde
E n r e l a t i o n , s o m ej i n n e h å l l e r t v å p a r m e d s a m m a första
m e n o l i k a a n d r a k o m p o n e n t , ä r en funktion,
bild
definitionsmängd
för x. O m f u n k t i o n e n
b e t e c k n a s f u n k t i o n s v ä r d e t / ^ ) . M a n k a l l a r f{x)
i b l a n d för
bilden a v x.
M ä n g d e n a v d e x i X f ö r v i l k a finns y s å d a n t a t t (x,y)
t i o n e n s definitionsmängd.
b e t e c k n a s D.
värdemängd.
F ö r en funktion f
Mängden
f
värdemängd
(avbildning).
O m (x,jy) t i l l h ö r f u n k t i o n e n k a l l a s y funktionsvärdet
b e t e c k n a s f,
komponent
av alla funktionsvärden
D e n b e t e c k n a s v a n l i g e n V.
f
f ö l j a n d e s ä t t x^f(x),
brukar
D,
t
ef
kallas funk-
definitionsmängden
kallas
funktionens
M a n kan ange en funktion p å
d ä r första d e l e n u t l ä s e s "x ö v e r g å r i / ( * ) "
eller "x a v b i l d a s p å / ( * ) " . F u n k t i o n e n k a n o c k s å s k r i v a s
x ^ y :
y=f(x),D .
f
F r a m g å r d e f i n i t i o n s m ä n g d e n u r s a m m a n h a n g e t b e h ö v e r d e n ej s k r i v a s u t .
EXEMPEL
x ^
3
x + 1, {x: x > 0 } b e t e c k n a r d e n f u n k t i o n , s o m för v a r j e p o s i t i v t x
h a r funktionsvärdet
e n b a r t "x >
3
x + 1. I stället för "{.x: x>
0 } " k a n m a n skriva
0".
2?
M a n a n v ä n d e r ofta uttryckssättet "y är e n funktion a v x" i stället för
"det finns e n f u n k t i o n / s å d a n att jy = / ( * ) " O l ä m p l i g t uttryckssätt är
"funktionen/(*)".
E n funktion f
från X kallas omvändbar
o m f(x )
=t= f(x )
1
för x
2
x
4=
x.
2
E n o m v ä n d b a r funktion har e n invers vilket är e n funktion b e t e c k n a d
f
_1
från Y till X o c h definierad g e n o m
1
y=f(*)
ANMÄRKNING:
o*=f- (J)Förväxling kan uppstå m e l l a n
o
c
n
x
^lf( )-
E n funktion f till Y sägs vara e n funktion till hela Y o m varje y i F är
funktionsvärde för minst ett x. E n funktion från X sägs vara från hela X
om D
f
=
X.
E n o m v ä n d b a r funktion från h e l a X till h e l a Y kallas en bijektion; varje
o m v ä n d b a r funktion är e n bijektion från h e l a d e f i n i t i o n s m ä n g d e n till
hela värdemängden.
O m f o c h g är funktioner kallas funktionen x
funktion.
x
g(f{ ))
e
n
sammansatt
6 • ALGEBRA
komposition
L å t G v a r a e n m ä n g d . E n f u n k t i o n s o m till v a r j e p a r (a, b), d ä r a o c h b
t i l l h ö r G, o r d n a r p r e c i s e t t c t i l l h ö r a n d e G k a l l a s e n
komposition.
SYMBOL: a o b, k a n u t l ä s a s " a r i n g i " .
ANMÄRKNING : I stället för o a n v ä n d s ofta a n d r a t e c k e n t e x , X " k r y s s " ,
* "stjärna".
EXEMPEL
a o b — c k a n stå för " a p l u s b ä r l i k a m e d c" eller för " 2 u p p h ö j t till 3
ä r lika m e d 8 " .
A N M Ä R K N I N G : S u b t r a k t i o n ä r e n k o m p o s i t i o n i R m e n ej i N,
eftersom
s u b t r a k t i o n i N ej ä r d e f i n i e r a d för a l l a p a r .
kommutativ
E n k o m p o s i t i o n k a l l a s kommutativ
kommutativ lag
a o b = b o a.
o m för a l l a a o c h b i G g ä l l e r
(kommutativa
lagen)
EXEMPEL
2 + 3 = 3 + 2
associativ
E n k o m p o s i t i o n s r e g e l k a l l a s associativ o m för a l l a a o c h b o c h c i G g ä l l e r
associativ lag
(a o b) o c = a o (b o c).
(associativa
lagen)
EXEMPEL
(3 • 4) • 5 = 3 • (4 • 5)
ANMÄRKNING : V i d t i l l ä m p n i n g a v flera k o m p o s i t i o n e r eller v i d u p p r e p a d
a n v ä n d n i n g a v s a m m a r e g e l a n v ä n d s p a r e n t e s e r för a t t visa, i v i l k e n
o r d n i n g k o m p o s i t i o n e n skall g ö r a s .
distributiv lag
O m för t v å k o m p o s i t i o n e r * o c h o o c h för a l l a a, b o c h c i G d e t g ä l l e r a t t
a * (b o c) = (a * b) o (a * c)
k a l l a r m a n d e t t a e n distributiv
lag.
EXEMPEL
2(3 + 5 ) = 2 - 3
+ 2 - 5
29
annulleringslag
Implikationen
aoc
=
boc=>a=b
för alla a, b o c h c i G kallas e n
neutralt element
annulleringslag.
O m det finns ett e l e m e n t e i G s å d a n t att för varje a i G
a o e = a; eo a = a,
kallas e neutralt
element.
EXEMPEL
T a l e t 0 är neutralt e l e m e n t v i d a d d i t i o n i Z o c h talet 1 v i d m u l t i p l i k a tion i N.
inverst element
O m det vid k o m p o s i t i o n e n o för ett a i G finns ett b i G sådant att
aob
= e;
b o a = e,
kallas b inverst element till a.
EXEMPEL
V i d m u l t i p l i k a t i o n i m ä n g d e n a v rationella tal är det inverterade talet
inverst e l e m e n t .
V i d a d d i t i o n i m ä n g d e n a v h e l a tal är det m o t s a t t a talet inverst e l e m e n t .
grupp
E n grupp är en m ä n g d G och e n k o m p o s i t i o n s å d a n att
1. k o m p o s i t i o n e n är associativ för alla e l e m e n t i G
2 . d e t finns ett neutralt e l e m e n t i G
3 . för varje e l e m e n t i G finns ett inverst e l e m e n t i G.
E t t polynom i ett (ändligt) antal variabler är e n s u m m a a v termer, vilka
var o c h e n är en p r o d u k t a v tal kallat koefficient o c h potenser a v variabler
m e d n a t u r l i g a tal s o m e x p o n e n t e r .
S u m m a n a v e x p o n e n t e r n a kallas termens grad.
M e d p o l y n o m e t s grad avses högsta g r a d e n hos dess termer.
ANMÄRKNING : M a n skriver ofta ax i stället för a • x o c h 2x i stället för 2 • x.
EXEMPEL
3
I uttrycket — 3x y
2
är —3 koefficienten, x ochjc är variablerna o c h graden
är 5.
2
s
U t t r y c k e t 3 * — 2x y
+ y
3
— 6 är ett p o l y n o m i två variabler m e d fyra
t e r m e r o c h m e d g r a d e n fyra. Koefficienterna är i o r d n i n g 3 , — 2 , 1 o c h
—6. D e n sista t e r m e n kallas
konstantterm.
uppdela i faktorer E t t uttryck skrivet i form a v e n s u m m a k a n i b l a n d uppdelas i
30
faktorer,
dvs skrivas som en p r o d u k t m e d a n v ä n d n i n g a v distributiva
lagen
M a n s ä g e r d ä r v i d a t t m a n bryter ut e n f a k t o r .
EXEMPEL
ax + bx = x(a + b)
Likheten
A
B2
2 _
(
=
_
A
(
FL
+
J)
k a l l a s konjugatregeln o c h
Ö + 2«Ä + 2 > = (<z + £ )
k a l l a s kvadreringsregeln.
K v o t e n a v t v å p o l y n o m k a l l a s e t t rationellt
2
2
2
uttryck
EXEMPEL
X
'
X
E t t polynom i en variabel ä r e t t u t t r y c k a v f o r m e n
xn
x
+ a -\ ~
+ • • • + a x + Ho, « 6 C
d ä r a , a ... a är t a l o c h k a l l a s koefficienter.
n
0
x
x
n
E t t p o l y n o m k a n b e t e c k n a s p[x).
s t ö r s t a t a l för v i l k e t a
n
Polynomet h a r graden n o m n är det
H= 0. E t t p o l y n o m a v g r a d e n 0 ä r e n k o n s t a n t .
M a n k a l l a r a för k o n s t a n t t e r m , a x för f ö r s t a g r a d s t e r m e t c .
0
x
E t t p o l y n o m p{x)
ä r delbart m e d e t t p o l y n o m d(x) o m d e t finns e t t p o l y -
n o m q(x) s å d a n t a t t för v a r j e x ä r
p{x) =
d(x)q(x).
E t t t a l a ä r e t t nollställe till p o l y n o m e t p(x)
O m p(x)
= (x — a)
m
g{x)
d ä r m € N- o c h
h a r n o l l s t ä l l e t a multipliciteten
Satsen
m. O m m >
är delbart med * — a o
om
ej ä r d e l b a r t m e d (x — a)
1 ä r a e t t multipelt
p(a) = 0 " k a l l a s
nollställe.
faktorsatsen.
F ö r n 6 TV g ä l l e r
(«+*)-- (;) «•+(;) +... + (,!,)
F o r m e l n k a l l a s binomialsatsen
mialkoefficienter.
Beteckningen
o c h t a l e n ^j,
+ö
p 6 {0, 1 , . . . w}, k a l l a s éino-
utläses "n över/>".
31
index
H a r m a n e n följd a v n t a l a
v
a , a , ... a , v a r v i d 1, 2, 3, . . . n k a l l a s index
2
3
n
så skriver m a n talens s u m m a
n
a
l
+
FL
2 +
a
3+
•••+
a
n
= 2
a
i
s o m u t l ä s e s " s u m m a a n ä r i g å r f r å n 1 till n".
t
summatecken
S y m b o l e n 2 kallas
n-fakultet
P r o d u k t e n a v a l l a h e l a t a l f r å n 1 till n
summatecken.
1 -2-3-4...K
skrivs ni s o m u t l ä s e s
permutation
O m e l e m e n t e n i e n m ä n g d skrivs u p p i e n b e s t ä m d o r d n i n g , k a l l a s u p p s t ä l l n i n g e n e n permutation
32
"n-fakultet".
av elementen.
7 • GEOMETRISKA GRUNDBEGREPP
punkt, linje,
I
plan, rum
r ä t linje), plan o c h rum.
geometrin
s t u d e r a s punkter
o c h vissa p u n k t m ä n g d e r b l a linje
(dvs
O m e n p u n k t A t i l l h ö r e n linje L dvs
A
ligga pa
g å genom
linjen genom
A och 8
eL
utläses d e t t a o c k s å "A ligger på L" eller "L går genom
A".
O m A o c h B ä r t v å o l i k a p u n k t e r finns d e t e x a k t e n linje s o m g å r g e n o m
A o c h B. D e n n a linje k a l l a s linjen genom A och B eller linjen
AB.
stråle
U n i o n e n a v e n p u n k t A o c h a l l a p u n k t e r p å e n a s i d a n o m A p å e n linje
ändpunkt
g e n o m A k a l l a s e n stråle m e d ändpunkt i A.
motsatt stråle
T v å strålar a och b m e d s a m m a ä n d p u n k t och sådana att unionen av a
o c h b ä r e n r ä t linje, k a l l a s motsatta
sträcka
inre punkt
förlängning
strålar.
M ä n g d e n av p u n k t e r n a A och B och alla punkter mellan A och B p å
l i n j e n k a l l a s sträckan AB. P u n k t e r n a A o c h B k a l l a s s t r ä c k a n s ä n d p u n k t e r ,
ö v r i g a p u n k t e r k a l l a s inre punkter
p å sträckan. O m B är en inre punkt
p å s t r ä c k a n AC sägs C l i g g a p å AB :s förlängning
ö v e r B.
B
längd
enhetssträcka
V a r j e s t r ä c k a h a r e n längd. E n g o d t y c k l i g s t r ä c k a k a n v ä l j a s s o m enhetssträcka. N ä r e n h e t s s t r ä c k a n ä r v a l d k a n l ä n g d e n a v e n s t r ä c k a a n g e s m e d
ett tal (mätetalet). L ä n g d e n kan uppfattas som en storhet m e d enhets-
3
—
2 ' 5
1 3 9 6
33
längdenhet
sträckans l ä n g d s o m enhet {längdenhet).
O m e n särskild b e t e c k n i n g för
l ä n g d e n a v e n sträcka AB önskas, k a n s y m b o l e n \AB\
användas.
EXEMPEL
F ö l j a n d e skrivsätt bör dock accepteras
AB
=4
AB = 9 l ä n g d e n h e t e r ,
AB = 8 0 c m = 0,8 m .
M e d avståndet
mellan tvä punkter A o c h B m e n a r vi l ä n g d e n a v sträckan
två punkter
O m e n p u n k t A tillhör ett p l a n n dvs
A
ligga i ett plan
£TI
utläses d e t t a också "A ligger i planet n" eller "n går g e n o m A". O m
A,
B o c h C är tre olika punkter s o m ej ligger p å e n rät linje finns det precis
plan genom en
linje
B o c h C. M a n säger också "ett plan går genom en linje" o c h "en linje ligger i
linje i ett plan
ett
område
E n s a m m a n h ä n g a n d e d e l m ä n g d a v ett p l a n kallas ett område o m det k a n
ett p l a n s o m g å r g e n o m A, B o c h C. D e t t a p l a n kallas p l a n e t g e n o m A,
plan".
avgränsas från sitt k o m p l e m e n t m e d hjälp a v e n eller flera kurvor. D e s s a
rand
kurvor kallas områdets rand.
slutet område
öppet område
O m r å d e t kallas slutet o m r a n d e n tillhör o m r å d e t . D e t kallas öppet o m
konvext
r a n d e n i n t e tillhör o m r å d e t .
{(*,y)
: x ~> 0,y
{(x, y)
:x + y
2
2
>
>
0 } är slutet,
1} är ö p p e t .
O m för varje p a r a v p u n k t e r A o c h B i ett o m r å d e sträckan AB är e n
d e l m ä n g d a v o m r å d e t , kallas o m r å d e t
konvext.
A
34
halvplan
M ä n g d e n a v a l l a p u n k t e r i e t t p l a n p å s a m m a s i d a o m e n linje L i
p l a n e t eller p å linjen k a l l a s e t t (slutet)
halvplan.
motsatta
halvplan
D e två h a l v p l a n e n m e d s a m m a r a n d kallas
skära
skärningspunkt
Om L
x
motsatta.
o c h L ä r linjer i s a m m a p l a n g ä l l e r e n d e r a :
2
1. S n i t t e t a v L
och L
x
2
h a r e x a k t e t t e l e m e n t P. M a n s ä g e r a t t l i n j e r n a
skär v a r a n d r a i P. P u n k t e n P k a l l a s skärningspunkten
m e l l a n Z, o c h
t
L.
2
2. Snittet ä r d e n t o m m a m ä n g d e n .
L-i
L
sammanfallande
linjer
2
3 . Snittet h a r m e r ä n ett element. Linjerna ä r d å
•L,L
parallella
linjer
I fallen 2 . o c h 3 . sägs l i n j e r n a v a r a
SYMBOL : L
polygon
Om A
v
na AA,
X
2
/I
t
L
A , ... A
2
A A ,...
2
3
sammanfallande.
2
parallella.
2
n
ä r olika p u n k t e r i ett p l a n kallas u n i o n e n a v sträckorAA
n
x
en polygon, o m s t r ä c k o r n a s k ä r v a r a n d r a e n d a s t i
ä n d p u n k t e r n a , o c h o m t v å s t r ä c k o r m e d s a m m a ä n d p u n k t ej l i g g e r p å
s a m m a linje.
35
/
hörn
Punkterna A
sida
sidor. P o l y g o n e r n a får n a m n efter a n t a l e t h ö r n : t r i a n g e l , f y r h ö r n i n g e t c .
inre område
polygonområde
och ett yttre område.
ls
A,
2
. . . k a l l a s hörn o c h s t r ä c k o r n a A A ,
X
Z
AA,
P o l y g o n e n u t g ö r r a n d till t v å o m r å d e n , e t t inre område,
Punkterna
2
3
...
kallas
polygonområdet,
i o m r å d e n a k a l l a s inre r e s p e k t i v e yttre punkter,
punkterna
inre punkt,
innanför
yttre punkt,
utanför
l i g g e r innanför r e s p e k t i v e utanför
konvex polygon
O m p o l y g o n o m r å d e t ä r k o n v e x t k a l l a s p o l y g o n e n konvex.
diagonal
O m A o c h B ä r h ö r n i e n p o l y g o n , k a l l a s s t r ä c k a n AB diagonal, o m AB ej
polygonen.
är sida i polygonen.
vinkel
vinkelspets
vinkelben
T v å strålar m e d s a m m a ä n d p u n k t A delar planet i två o m r å d e n kallade
vinklar. D ä r v i d k a l l a s A vinkelspets o c h s t r å l a r n a vinkelben. M a n b e t e c k n a r
e n v i n k e l p å o l i k a sätt.
A C
A
AB
A
«
A
C
A N M Ä R K N I N G : O m ej a n n a t a n g e s avses d e n k o n v e x a v i n k e l n .
konvex
36
ej konvex
cirkel
O m O ä r e n g i v e n p u n k t o c h r e t t (positivt) t a l , k a l l a s m ä n g d e n a v p u n k -
medelpunkt
t e r i e t t p l a n , v a r s a v s t å n d f r å n O ä r r, för cirkeln m e d medelpunkten
radie
radien r. M a n s ä g e r a t t m ä n g d e n a v p u n k t e r P för v i l k a d e t g ä l l e r a t t
ligga på
[ 0 P | = r t i l l h ö r c i r k e l n eller ligger på c i r k e l n ,
c i r
\0P\
< e
' '
O och
< r t i l l h ö r d e t b e g r ä n s a d e o m r å d e för vilket c i r k e l n ä r r a n d e l l e r
ligger innanför cirkeln,
\OP\ >
r ligger utanför cirkeln,
cirkelområde
\OP\ < r u t g ö r
cirkelområdet.
radie
Radie b e t e c k n a r o c k s å e n s t r ä c k a f r å n m e d e l p u n k t e n till e n p u n k t p å
körda
c i r k e l n . E n s t r ä c k a m e l l a n t v å p u n k t e r p å c i r k e l n k a l l a s körda. E n k ö r d a
diameter
g e n o m m e d e l p u n k t e n k a l l a s diameter. E n r ä t linje m e d e n k ö r d a s o m d e l -
sekant
m ä n g d k a l l a s sekant. O m s n i t t e t a v e n r ä t linje o c h e n cirkel h a r e x a k t
tangeringspunkt
e t t e l e m e n t (tangeringspunkten)
k a l l a s linjen
tangent.
tangent
cirkelbåge
O m A o c h B ä r t v å o l i k a p u n k t e r p å e n cirkel ä r d e ä n d p u n k t e r för
halvcirkel
t v å p u n k t m ä n g d e r p å c i r k e l n , cirkelbågar.
AB
o c h b e t e c k n a s AB.
kallas b å g e n en
körda
sektor
E n d e r a a v dessa k a l l a s b å g e n
O m A och B är ä n d p u n k t e r p å en d i a m e t e r
halvcirkel.
diameter
sekant
tangent
Ett o m r å d e som begränsas av en cirkelbåge och radierna g e n o m bågens
ä n d p u n k t e r k a l l a s sektor. E t t o m r å d e s o m b e g r ä n s a s a v e n c i r k e l b å g e o c h
segment
k o r d a n g e n o m bågens ä n d p u n k t e r kallas
sektor
cirkelbågens
längd
cirkelns o m k r e t s
segment.
segment
Varje cirkelbåge h a r en längd. L ä n g d e n av hela cirkeln kallas
omkrets. O m c i r k e l n s r a d i e ä r r ä r c i r k e l n s o m k r e t s
cirkelns
2nr.
3^
F ö r e n b å g e AB p å e n cirkel m e d m e d e l p u n k t e n O kallas vinkeln
medelpunktsvinkeln
till AB.
AOB
F ö r h å l l a n d e t m e l l a n l ä n g d e n a v AB o c h cir-
kelns radie k a n tas s o m m å t t p å vinkelns storlek. E n h e t e n vid s å d a n vinkelm ä t n i n g kallas radian.
E n vinkels storlek k a n också a n g e s m e d e n h e t e n varv eller e n h e t e n grad.
O m e n h e t e n ej utskrivs, avses att e n h e t e n är radian (betecknas r a d ) .
D e t gäller:
1 0
=180
360° = 1 v a r v = 2TZ
^
(rad).
O m e n vinkels storlek är x, y° eller z varv, a n g e s ä v e n vinkelns storlek a v
x + n 2iz, y° + n 360° respektive (z + n) varv, där n är ett h e l t tal.
ANMÄRKNING: I stället för "vinkelns storlek är" säger m a n
vanligen
"vinkeln är".
E n v i n k e l s o m är 90° kallas rät. E n vinkel större ä n noll o c h m i n d r e ä n
90° kallas spetsig. E n vinkel större ä n 9 0 ° o c h m i n d r e ä n 180° kallas
trubbig.
N ä r två räta linjer skär v a r a n d r a i en p u n k t P, blir P vinkelspets för fyra
vinklar, s o m v a r o c h e n kallas vinkel mellan linjerna. M a n säger också
a t t linjerna bildar vinklar.
O m e n a v d e fyra vinklarna är rät, sägs e n a
linjen v a r a vinkelrät mot d e n a n d r a eller normal till d e n n a . A t t två linjer
L
x
och L
2
SYMBOL :
är vinkelräta m o t v a r a n d r a markeras i figur m e d en hake.
L J_L
1
2
IL
E n n o r m a l till e n sträcka g e n o m sträckans m i t t p u n k t kallas mitt (punkts) normal till sträckan.
E n kongruensavbildning
är e n a v b i l d n i n g a v p l a n e t p å sig självt s å d a n ,
att alla a v s t å n d m e l l a n g o d t y c k l i g a p u n k t e r är lika m e d a v s t å n d e t m e l l a n
m o t s v a r a n d e bildpunkter.
O m P o c h Q är p l a n a p u n k t m ä n g d e r , är P kongruent med Q, o m d e t finns
e n k o n g r u e n s a v b i l d n i n g s o m a v b i l d a r P p å Q.
SYMBOL: P ^
Q, utläses "P är k o n g r u e n t m e d
Q".
D e n identiska a v b i l d n i n g e n a v b i l d a r varje p u n k t p å sig själv.
E n spegling i en (rät) linje L är e n k o n g r u e n s a v b i l d n i n g s å d a n , att varje
p u n k t p å L avbildas p å sig själv o c h varje p u n k t utanför L h a r sin b i l d p u n k t p å m o t s a t t sida o m L. B i l d p u n k t e n kallas spegelbild o c h a v b i l d n i n g s förfarandet kallas att spegla i e n linje.
O m för varje p u n k t i e n p u n k t m ä n g d gäller, att s p e g e l b i l d e n i e n linje L
också tillhör p u n k t m ä n g d e n , kallas linjen L en symmetriaxel
till p u n k t -
mängden.
E n vridning är e n k o n g r u e n s a v b i l d n i n g m e d e n p u n k t P fix. D e n k a n u p p fattas s o m s a m m a n s a t t a v t v å speglingar i två linjer s o m skär v a r a n d r a
i p u n k t e n P. O m en v i n k e l m e l l a n linjerna är a, är v i n k e l n 2 « e n vridningsvinkel.
O m vridningsvinkeln är 180° (spegling i t v å m o t v a r a n d r a
vinkelräta linjer), får m a n spegling i punkten
E n p u n k t P kallas symmetricentrum
P.
till e n p u n k t m ä n g d , o m för varje p u n k t
i m ä n g d e n spegelbilden i P också tillhör m ä n g d e n .
E n a v b i l d n i n g s a m m a n s a t t a v två speglingar i parallella linjer är e n
parallellförskjutning.
E n a v b i l d n i n g a v p l a n e t p å sig självt s å d a n , att a v s t å n d e t m e l l a n två
g o d t y c k l i g a punkter multipliceras m e d e t t positivt tal k, kallas e n
formig
avbildning.
T a l e t k kallas a v b i l d n i n g e n s
T v å p u n k t m ä n g d e r P o c h Q kallas likformiga,
lik-
skala.
o m d e t finns e n likformig
a v b i l d n i n g v i d vilken d e n e n a m ä n g d e n avbildas p å d e n a n d r a .
SYMBOL : P ~ Q, utläses "P är likformig m e d
Q".
O m O är e n b e s t ä m d p u n k t o c h P e n g o d t y c k l i g p u n k t o c h k ett positivt
tal, finns d e t e n a v b i l d n i n g a v p l a n e t p å sig självt s å d a n , att l ä n g d e n a v
sträckan OP
v
där P är b i l d e n a v P, är k g å n g e r l ä n g d e n a v sträckan OP.
x
39
sträckning
bisektris
D e n n a a v b i l d n i n g k a l l a s sträckning m e d O s o m c e n t r u m .
E n s t r å l e g e n o m e n vinkels spets k a l l a s bisektris o m d e t e n a v i n k e l b e n e t
vid spegling i strålen avbildas p å det a n d r a vinkelbenet.
bisektris
avstånd från en
punkt till en
rät linje
fotpunkt
A v s t å n d e t f r å n e n p u n k t P u t a n f ö r e n linje L till s k ä r n i n g s p u n k t e n m e l l a n
L o c h n o r m a l e n till L g e n o m P k a l l a s avståndet från
P till L. S k ä r n i n g s -
p u n k t e n m e l l a n n o r m a l e n o c h linjen L k a l l a s n o r m a l e n s
fotpunkt.
avstånd mellan
parallella
linjer
Avståndet
vinkel i polygon
V i n k e l n m e l l a n t v å sidor som b i l d a r ett h ö r n i en polygon kallas e n
mellan två parallella
linjer ä r a v s t å n d e t från e n g o d t y c k l i g p u n k t
p å d e n e n a l i n j e n till d e n a n d r a l i n j e n .
vinkel i polygonen, o m d e n v i d s p e t s e n l i g g e r i n n a n f ö r p o l y g o n e n . E n s i d o yttervinkel
v i n k e l till e n k o n v e x v i n k e l i e n p o l y g o n k a l l a s yttervinkel
rätvinklig
triangel
katet
O m e n v i n k e l i e n t r i a n g e l ä r r ä t , k a l l a s t r i a n g e l n rätvinklig.
b i l d a r r ä t v i n k e l k a l l a s kateter, d e n l ä n g s t a s i d a n k a l l a s
till p o l y g o n e n .
D e sidor s o m
hypotenusa.
hypotenusa
Pytagoras sats
Pytagoras
sats:
Om
i en
rätvinklig
triangel
2
a och
2
l ä n g d e r o c h c ä r h y p o t e n u s a n s l ä n g d , så ä r a + b =
trubbvinklig
triangel
spetsvinklig
triangel
40
b är
kateternas
2
c.
O m i en triangel en vinkel ä r t r u b b i g (större ä n 90°), kallas triangeln
trubbvinklig.
O m alla v i n k l a r n a i en triangel ä r spetsiga ( m i n d r e ä n 90°),
kallas triangeln
spetsvinklig.
likbent triangel
O m i e n t r i a n g e l t v å s i d o r ä r k o n g r u e n t a (lika s t o r a ) , k a l l a s t r i a n g e l n
likbent. M e d b a s e n i e n l i k b e n t t r i a n g e l avses i a l l m ä n h e t d e n t r e d j e s i d a n .
liksidig triangel
O m t r e s i d o r ä r k o n g r u e n t a (lika s t o r a ) , k a l l a s t r i a n g e l n
motstående sida
och vinkel i en
triangel
s i d a n k a l l a s motstående.
höjd i triangel
liksidig.
T v å sidor i en triangel bildar en vinkel. D e n n a vinkel och d e n tredje
S t r ä c k a n m e l l a n e t t h ö r n i e n t r i a n g e l o c h f o t p u n k t e n för
normalen
f r å n h ö r n e t till m o t s t å e n d e s i d a eller d e n n a sidas f ö r l ä n g n i n g k a l l a s e n
höjd i
triangeln.
bas i triangel
Bas i en triangel ä r d e n s i d a s o m ä r n o r m a l till h ö j d e n ifråga.
median
Median
ä r s t r ä c k a n m e l l a n e t t h ö r n i e n t r i a n g e l o c h m o t s t å e n d e sidas
mittpunkt.
ANMÄRKNING: " T a n g e n t , n o r m a l , bisektris, m e d i a n , höjd, b a s " k a n avse
linje, s t r ä c k a o c h l ä n g d a v s t r ä c k a s a m t i vissa fall s t r å l e .
regelbunden
polygon
O m b å d e vinklarna och sidorna i en konvex polygon är kongruenta,
(parallell)trapets
E n f y r h ö r n i n g m e d t v å p a r a l l e l l a s i d o r k a l l a s e n (parallell)
parallellogram
kallas polygonen
regelbunden.
E n fyrhörning d ä r sidorna två och två (motstående sidor) ä r parallella
kallas en
parallellogram.
rektangel
E n fyrhörning d ä r vinklarna ä r r ä t a kallas en
romb
E n f y r h ö r n i n g d ä r s i d o r n a ä r k o n g r u e n t a k a l l a s e n romb.
kvadrat
trapets.
rektangel.
E n fyrhörning d ä r b å d e vinklar och sidor ä r k o n g r u e n t a kallas
en
kvadrat.
ANMÄRKNING: V a r j e p a r a l l e l l o g r a m ä r e n t r a p e t s , v a r j e k v a d r a t ä r e n
r o m b och en rektangel.
Eftersom
parallelltrapets
med
d e o l i k a specialfallen
parallellogram,
rektangel, r o m b , k v a d r a t definierats s o m polygoner, h e t e r det t ex a t t
e n p u n k t l i g g e r u t a n f ö r , p å eller i n n a n f ö r e x e m p e l v i s e n k v a d r a t , a l l t eftersom p u n k t e n ä r e n y t t r e p u n k t , t i l l h ö r k v a d r a t e n eller ä r e n i n r e
punkt.
F ö r det polygonområde, som begränsas av respektive polygon, a n v ä n d e r
m a n ofta s a m m a n a m n s o m för p o l y g o n e n själv, t e x t r i a n g e l i s t ä l l e t för
t r i a n g e l o m r å d e , k v a d r a t i s t ä l l e t för k v a d r a t o m r å d e .
41
höjd i en trapets
Höjden i e n trapets är avståndet m e l l a n d e parallella sidorna.
en omskriven
cirkel
E n cirkel är omskriven kring e n p o l y g o n , o m p o l y g o n e n s alla h ö r n ligger
en inskriven
cirkel
p å cirkeln. P o l y g o n e n k a n sägas v a r a inskriven i cirkeln.
E n cirkel är inskriven i e n p o l y g o n , o m cirkeln ligger i p o l y g o n o m r å d e t
o c h o m p o l y g o n e n s alla sidor tangerar cirkeln. P o l y g o n e n k a n sägas
v a r a omskriven kring cirkeln.
cirklar tangerar
varandra
utantill
tangerar innantill
N ä r snittet a v två cirklar är precis e n p u n k t tangerar cirklarna
centrallinje
E n linje g e n o m två cirklars m e d e l p u n k t kallas
koncentriska
cirklar
T v å cirklar m e d g e m e n s a m m e d e l p u n k t kallas
bågvinkel
e n a cirkeln i övrigt ligger innanför d e n andra.
O m AB
centrallinje.
koncentriska.
är e n cirkelbåge o c h P e n p u n k t p å cirkeln s o m ej ligger p å
b å g e n kallas v i n k e l n APB
transversal
varandra
utantill o m cirklarna i övrigt ligger utanför v a r a n d r a o c h innantill o m d e n
hågvinkel till bågen
AB.
E n linje L s o m skär två a n d r a linjer a o c h b i olika p u n k t e r kallas transversal till a o c h b.
likbelägna
vinklar
42
V a r d e r a skärningspunkten är spets för fyra vinklar. V i n k l a r n a a o c h oc',
P o c h Ja', y o c h y', 8 o c h <$' kallas parvis likbelägna
vinklar, a o c h y,
vertikalvinklar
sidovinklar
p o c h S k a l l a s vertikalvinklar;
area
areaenhet
V i s s a o m r å d e n k a n t i l l d e l a s e n area. S o m e n h e t (areaenhet) t a s a r e a n a v
<x o c h |3, (3 o c h y k a l l a s
sidovinklar.
en k v a d r a t m e d enhetssträckan som sida. A r e a n k a n anges m e d ett tal
( m ä t e t a l e t för a r e a n ) . A r e a n k a n u p p f a t t a s s o m e n s t o r h e t m e d a r e a enheten som enhet.
EXEMPEL
I e n r e k t a n g e l h a r s i d o r n a l ä n g d e n 0,3 m o c h 0,4 m . S o m a r e a e n h e t
2
v ä l j e r v i 1 m . A r e a n ä r d å 0,3 • 0 , 4 m
yta
2
2
2
= 0,12 m = 12 d m .
Yta ä r e n s a m m a n h ä n g a n d e , t v å d i m e n s i o n e l l ( p l a n eller b u k t i g ) p u n k t mängd i rummet.
O m JLj o c h L
2
ä r r ä t a linjer i r y m d e n g ä l l e r e t t d e r a a v
följande
alter-
nativ :
1. L i n j e r n a l i g g e r ej i s a m m a p l a n .
2. Linjerna ligger i s a m m a p l a n och skär v a r a n d r a i en p u n k t .
3. Linjerna ligger i s a m m a p l a n o c h ä r parallella.
vinkel mellan
linjer
En vinkel mellan två linjer s o m ej s k ä r v a r a n d r a ä r e n v i n k e l m e l l a n t v å
s k ä r a n d e linjer p a r a l l e l l a m e d l i n j e r n a .
O m 7r o c h 7t ä r t v å p l a n g ä l l e r e t t d e r a a v f ö l j a n d e a l t e r n a t i v :
2
skärande plan
skärningslinje
2
1. S n i t t e t ä r e n r ä t linje L. M a n s ä g e r a t t planen skär varandra l ä n g s skärningslinjen L.
2. Snittet ä r den t o m m a m ä n g d e n .
sammanfallande
plan
3 . S n i t t e t i n n e h å l l e r t r e p u n k t e r s o m ej l i g g e r p å e n r ä t linje. P l a n e n ä r
parallella plan
I fallen 2 . o c h 3 . k a l l a s p l a n e n
linje parallell
med plan
O m L ä r e n r ä t linje o c h TZ e t t p l a n , ä r L p a r a l l e l l m e d n, o m s n i t t e t a v L
normal till plan
E n linje s o m ä r v i n k e l r ä t m o t a l l a linjer i e t t p l a n k a l l a s normal till
normalplan
P l a n e t k a l l a s normalplan till l i n j e n . S k ä r n i n g s p u n k t e n m e l l a n linjen o c h
fotpunkt
planet kallas n o r m a l e n s
rätvinklig projektion
E n p u n k t s rätvinkliga projektion i e t t p l a n ä r f o t p u n k t e n för n o r m a l e n till
då
sammanfallande.
parallella.
o c h 7r ä r t o m t eller o m L l i g g e r i TC.
planet.
fotpunkt.
planet genom punkten.
43
parallellprojektion
E n p u n k t s parallellprojektion
o
c
n
e
n
ij j
n
i ett plan är skärningspunkten mellan planet
g e n o m p u n k t e n p a r a l l e l l m e d e n g i v e n linje.
e
avstånd
E n punkts
avstånd mellan
p u n k t e n s p r o j e k t i o n i p l a n e t s o m ä n d p u n k t e r . Avståndet
avstånd till ett plan ä r l ä n g d e n a v s t r ä c k a n m e d p u n k t e n o c h
plan
lella plan ä r a v s t å n d e t från e n p u n k t i d e t e n a p l a n e t till d e t a n d r a p l a n e t .
linjens projektion i ett plan
En linjes projektion
punkter.
i ett plan
mellan två paral-
ä r m ä n g d e n a v projektionerna a v linjens
vinkel mellan
Vinkeln mellan ett plan och en linje, s o m i n t e ä r n o r m a l till p l a n e t , ä r e n
linje och ett
plan
v i n k e l m e l l a n linjen o c h dess r ä t v i n k l i g a p r o j e k t i o n i p l a n e t ,
vinkel mellan
Vinkeln
två plan
p l a n e t , till s k ä r n i n g s l i n j e n m e l l a n p l a n e n . O m v i n k e l n ä r r ä t , k a l l a s
mellan två plan
är en vinkel mellan normalerna, en i v a r t d e r a
p l a n e n n o r m a l p l a n till v a r a n d r a .
rymdområde
E n s a m m a n h ä n g a n d e d e l m ä n g d a v r y m d e n k a l l a s e t t rymdområde
om
d e t a v g r ä n s a s f r å n sitt k o m p l e m e n t g e n o m e n eller flera y t o r . U n d e r vissa
kropp
f ö r u t s ä t t n i n g a r k a l l a s r y m d o m r å d e t e n kropp.
polyeder
E n polyeder
sidoyta
polygonområden kallade
ä r ett r y m d o m r å d e som begränsas av ett ändligt
kant
S i d o y t o r n a s k ä r v a r a n d r a i p o l y e d e r n s kanter.
antal
sidoytor.
ANMÄRKNING: S i d a b ö r i c k e a n v ä n d a s i s t ä l l e t för k a n t , d å f ö r v ä x l i n g
m e d s i d o y t a k a n ske.
hörn
Hörn ä r k a n t e r n a s s k ä r n i n g s p u n k t e r i e n p o l y e d e r . H ö r n a n v ä n d s ä v e n
s o m b e n ä m n i n g för d e t r y m d o m r å d e , s o m b e g r ä n s a s a v m i n s t t r e p l a n
g e n o m en punkt.
rymddiagonal
O m A o c h B ä r t v å h ö r n k a l l a s s t r ä c k a n AB e n rymddiagonal
i polyedern,
o m AB ej ligger i e n s i d o y t a .
cylindrisk yta
E n cylindrisk yta ä r u n i o n e n a v d e r ä t a linjer (generatriser),
generatris
lella. m e d e n fix r i k t n i n g o c h s k ä r e n viss k u r v a i e t t p l a n , v i l k e t ej ä r
parallellt m e d linjerna.
44
som är paral-
cylinder
mantelyta
basytorna
rak cylinder
E n cylinder är ett r y m d o m r å d e , s o m begränsas a v en cylindrisk y t a ,
mantelytan,
o c h två parallella p l a n a ytor, basytorna, s o m skär generatri-
serna. H ö j d e n är avståndet m e l l a n basytorna. Rak cylinder är e n cylinder i
vilken generatriserna är vinkelräta m o t basytorna. C y l i n d e r n är s n e d ,
o m så icke är fallet. I en rak cirkulär cylinder är basytorna c i r k e l o m r å d e n .
cirkulär cylinder
prisma
O m b a s y t a n är ett p o l y g o n o m r å d e kallas cylindern ett prisma
der).
(en p o l y e -
Ä r antalet kanter i b a s y t a n tre, kallas prismat tresidigt, d å a n t a l e t
tresidigt prisma
är fyra kallas det fyrsidigt osv. Ett rakt prisma
rakt prisma
neratriserna är vinkelräta m o t basytorna.
är ett prisma i vilket g e -
ANMÄRKNING: B e n ä m n i n g e n rätt prisma b ö r icke a n v ä n d a s .
regelbundet
prisma
Ett regelbundet prisma är ett rakt prisma i vilket basytorna är r e g e l b u n d n a
parallellepiped
E n parallellepiped
polygonområden.
är ett fyrsidigt prisma, vars sidoytor är parvis parallella.
O m begränsningsytorna är rektanglar, är p a r a l l e l l e p i p e d e n rätvinklig.
kub
O m begränsningsytorna är kvadrater, erhålls en kub.
rätblock
E n rätvinklig parallellepiped kallas
volym
V o l y m e n h e t är volymen a v e n k u b m e d enhetssträckan till kant.
konisk yta
E n koniskyta
spets
e n fix punkt, spetsen, o c h skär e n viss kurva i ett p l a n utanför spetsen.
kon
E n kon är ett begränsat r y m d o m r å d e , s o m begränsas a v e n konisk yta
rak cirkulär kon
könens sida
är a v s t å n d e t från spetsen till basytan. I e n rak cirkulär kon är b a s y t a n ett
könens toppvinkel
är avståndet från spetsen till e n p u n k t p å bascirkeln. K ö n e n s
rätblock.
är u n i o n e n a v d e räta linjer (generatriser) s o m g å r g e n o m
( m a n t e l y t a n ) o c h en p l a n y t a ( b a s y t a n ) , s o m skär generatriserna. H ö j d e n
cirkelområde o c h höjdens fotpunkt cirkelns m e d e l p u n k t . K ö n e n s
sida
toppvinkel
är lika m e d vinkeln m e l l a n d e b å d a generatriserna i ett p l a n g e n o m
könens höjd.
pyramid
O m b a s y t a n är ett p o l y g o n o m r å d e kallas k ö n e n en pyramid.
tresidig pyramid
regelbunden
pyramid
pyramid är e n p y r a m i d i v i l k e n b a s y t a n är e n r e g e l b u n d e n m å n g h ö r n i n g
kanter i b a s y t a n är tre, kallas p y r a m i d e n tresidig osv. E n
D å antalet
regelbunden
o c h i vilken höjdens fotpunkt är m e d e l p u n k t i d e n kring b a s y t a n o m skrivna cirkeln. Sidokanter är d e kanter, s o m går g e n o m spetsen, o c h
baskanter är kanterna i b a s y t a n .
ANMÄRKNING: U t t r y c k e t rät eller rak p y r a m i d bör icke a n v ä n d a s .
45
rotationsyta
rotationsaxel
räta m o t a x e l n längs cirklar m e d m e d e l p u n k t p å axeln.
rotationskropp
Rotationskropp
klotyta
E n rotationsyta m e d e n viss rät linje s o m rotationsaxel skärs a v p l a n vinkel-
är e n kropp, s o m begränsas a v e n rotationsyta.
E n klotyta är m ä n g d e n a v punkter, s o m h a r s a m m a avstånd till e n fix
punkt (medelpunkten).
klot
E t t klot är ett r y m d o m r å d e , s o m begränsas a v e n klotyta.
E t t p l a n g e n o m m e d e l p u n k t e n skär e n klotyta utefter en cirkel, s o m
storcirkel
kallas storcirkel.
8 • VEKTORER OCH
KOORDINATSYSTEM
riktad sträcka
utgångspunkt
ändpunkt
E n riktad sträcka från A {utgångspunkt)
till B [ändpunkt)
k a n b e t e c k n a s AB.
h
B
lika riktade
T v å p a r a l l e l l a r i k t a d e s t r ä c k o r ä r lika
I
motsatt riktade
vektor
eller motsatt
riktade
•
riktade.
M ä n g d e n a v alla r i k t a d e sträckor s o m ä r sinsemellan lika r i k t a d e o c h
l i k a l å n g a k a l l a s e n vektor.
SYMBOL : AB. E n v e k t o r a n g e s ä v e n m e d e n h a l v f e t b o k s t a v eller e n b o k stav m e d ett streck över.
nollvektor
O m A = B b e t e c k n a r AB e n v e k t o r k a l l a d
nollvektorn.
SYMBOL : 0 e l l e r 0
representant
V a r j e e l e m e n t i v e k t o r n k a l l a s e n representant för v e k t o r n .
avsätta en
vektor
R e p r e s e n t a n t e n OP för e n v e k t o r a sägs vara avsatt f r å n p u n k t e n O.
längd a v vektor
M e d längden av en vektor AB m e n a s l ä n g d e n a v s t r ä c k a n
SYMBOL: \AB\
enhetsvektor
eller
AB.
\a\.
E n vektor m e d l ä n g d e n 1 kallas
enhetsvektor.
49*