3.3 Exponentialfunktioner
Linjär och exponentiell tillväxt
Pingviner
En pingvinpopulation på 8000 pingviner ökar
med 6,5 % per år. Tabellen beskriver ökningen.
+ 6,5% → vi har 106,5% → ff = 1,065
Tid (år)
Antal pingviner
0
8000
1
8000 × 1,065 ≈ 8520
2
8000 × 1,0652 ≈ 9074
3
8000 × 1,0653 ≈ 9664
…
…
t
8000 × 1,065t
N
N = 8000 × 1,065t
N är antalet pingviner efter t år.
t
Exponentialfunktioner
𝑎𝑥 : 𝑎 är basen och 𝑥 är exponenten
ex: 95 : basen 9 och exponenten 5.
En funktion på formen 𝑓(𝑥) = 𝐶𝑎𝑥 kallas exponentialfunktion.
C och a är konstanter och a > 0.
Värdet a skulle kunna liknas vid förändringsfaktorn
Värdet C skulle kunna ses som startvärdet
y = Cax
a>1
ff > 1 → ökning
y = Cax
0<a<1
0 < ff < 1 → minskning
Exempel 1
Skissa grafen till funktionen y = 2x genom att göra en värdetabell.
𝒙
–2
–1
𝒚
0,25 0,50
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
För varje helt 𝑥 vi ökar med så fördubblas
funktionens värde.
Vad blir y då 𝑥 är –3 eller 5?
Exempel 1
Skissa grafen till funktionen 𝑦 = 2𝑥 genom att göra en värdetabell.
y
𝒙
–2
–1
𝒚
0,25 0,50
0
1
2
3
4
1
2
4
8
16
Grafen till 𝑦 = 2𝑥 illustrerar dess
kraftiga tillväxt. (𝑡. 𝑒𝑥. 210 = 1024)
x
Två typer av tillväxt
Exempel: Du börjar ett jobb med 18 000 kr i månadslön. Du får välja mellan
två stycken löneutvecklingsalternativ.
Vilket alternativ skulle vara mest attraktivt för dig?
1. Du får en löneökning på 700 kr i månaden varje år.
2. Du får en löneökning på 3 % per år.
𝑦 − 𝑙ö𝑛
𝐿𝑖𝑛𝑗ä𝑟 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡: 𝑦 = 18000 + 700𝑥
Exponentiell 𝑡𝑖𝑙𝑙𝑣ä𝑥𝑡: 𝑦 = 18000 × 1,03𝑥
𝑥 − å𝑟
Exempel 3
Invånarantalet från början av 1990-talet i en medelstor stad beskrivs med
funktionen 𝑁(𝑡) = 38 000 × 1,01𝑡, t år efter 1990.
𝑎) Hur många invånare fanns det i staden år 1990?
1990 så har det gått 0 år, vi beräknar 𝑓(0) = 38 000 × 1,010 = 38 000 × 1 =
38 000
Svar: År 1990 så finns det 38 000 invånare i staden.
𝑏) Hur många invånare finns det år 2000?
År 2000 har det gått 10 år sen 1990 så vi behöver räkna ut
𝑓(10) = 38 000 × 1,0110 ≈ 42 100
Svar: Det fanns 42 100 invånare år 2000.
𝑐) Hur många procent är den årliga befolkningsökningen?
Svar: Förändringsfaktorn 1,01 innebär en årlig ökning på 1 procent.
𝑁(𝑡) = 38 000 × 1,01𝑡
I denna skala så ser funktionen nästan ut
att vara linjär. Tittar vi på en större skala
framträder dock exponentialfunktionens
karakteristiska utseende.
𝑁(𝑡)
𝑁(𝑡)
𝑡
Är denna modell för befolkningens
tillväxt rimlig för längre tider?
𝑡
Exempel 4
Inköpspriset på en traktor är 372 000 kr.
Traktorns värde sjunker med 18 % per år.
𝑎) Ange en formel på formen 𝑦 = 𝐶𝑎𝑥,
som beskriver traktorns värde y kr efter 𝑥
år.
–18% → 82% kvar → ff = 0,82 → a = 0,82
Startvärdet är 372 000 kr → C = 372 000
Om 𝑥 = 0 är 𝑦 = 372 000, vilket ger 372 000 = 𝐶 × 0,820.
Svar: Formeln för traktorns värde blir 𝑦 = 372 000 × 0,82𝑥 , där 𝑥 är
tiden i år och 𝑦 är priset i kr.
Exempel 4
y
Inköpspriset på en traktor är 372 000 kr.
Traktorns värde sjunker med 18 % per år.
𝑏) Hur mycket är traktorn värd efter 10 år?
Vad kommer y att ha för värde då 𝑥 = 10?
372 000 × 0,8210 ≈ 51 000
Svar: Traktorn är värd ca 51 000 kr efter tio år.
x
Vad kostar traktorn efter 25 år enligt denna modell?