1. No category

Vaje
2014/2015
1
Neenačbe
1. Reši neenačbe oz. sisteme enačb
(a) x2 + x ≤ 6
(b) 2x2 + 3x − 9 > 0
(c) 2x < x + 1 < 2x − 1
(d) x − 5 < 2x − 3 ≤ x + 2
(e) x2 ≤ 4
(f)
x+1
x−1
(g) x +
≥0
1
x
≤2
2. Reši neenačbo v odvisnosti od parametra:
(a) ax < b
(b) a (x + a) < x + 2a2
(c) x (a2 − 6) + 2 > a (1 − x)
3. Določi vrednost a ∈ R tako, da bo vsak x ∈ R rešil dano neenačbo.
(a) x2 + ax + 1 > 0
(b) x2 − 2 (4a − 1) x + 15a2 − 2a − 7 < 5.
4. Reši računsko in grafično
(a) |x| < 3
(b) |3 − x| ≤ 2
(c) |x − 1| − |x + 2| = 1
(d) |x + 2| = |x| + 2
(e) |x| + x < x + 2
(f) |−x2 + 2x − 3| = 1
(g) |x| ≥ x
(h) |x| > x
x+4
(i) 3x+2
>
1
x
5. x2 + 2|x + 3| − 6 < 0
6. |x − |x + 1|| ≥ 1
1
2
Eksponentna in logaritemska funkcija
1. Reši eksponentne enačbe
1
27
3x−1
(a) 32x−1 =
(b) 5x − 5
(c)
=0
x 2x−1
2
· 3
3
2
=
9
4
(d) 2x−4 + 3 · 2x−2 − 2x−1 = 20
(e) 212x−1 − 46x−1 − 84x−1 + 163x+1 = 516
2. Poišči rešitve eksponentnih neenačb.
(a) 3x ≤
1
81
(b) 4x − 2 > 0
(c)
x
3
4
≥
16
9
3. Reši enačbe z logaritmi (ne pozabi na preizkus).
(a) log(2x − 4) = 0
(b) ln(x2 − e) − 1 = 0
(c) log5 (x − 7) + log5 (x − 2) = log5 (x + 3) + log5 (x + 2)
(d) log(x + 3) − log x = 1 − log(x + 2)
(e) 2 log x = log(2 − x)
(f) logx+3 (10x + 5) = 2
4. Reši logaritemske neenačbe.
(a) 2 log x − 4 > 0
(b) log5 (x + 2) < 1
(c) log3 x − log5 x < 0
(d) log0,1 x ≥ log x
5. Dana je funkcija f (x) = 4 log2 (2x − 1) − 8.
(a) Izračunaj ničlo funkcije
(b) Izračunaj presečišče grafa funkcije in premice y − 16 = 0.
(c) Ugotovi, za katere vrednosti spremenljivke x zavzame funkcija f negativne
vrednosti.
(d) Določi, za katere vrednosti x leži graf dane funkcje nad premico y = 8.
2
3
Matematična indukcija
1. S pomočjo matematične indukcije dokaži, da je
(a) 1 + 2 + 22 + · · · + 2n−1 = 2n − 1, n ∈ N.
(b)
1
1.3
+
1
3.5
+ ··· +
1
(2n−1)(2n+1)
n
,
2n+1
=
(c) 12 − 22 + 32 − · · · + (−1)n−1 n2 =
n ∈ N.
(−1)n−1 n(n+1)
2
(d) 3|(5n + 2n+1 , n ∈ N.
(e) 9|4n + 15n − 1, n ∈ N.
(f) Število oblike 15n , n ∈ N, da ostanek 1 pri deljenju s 7.
(g) n < 2n , n ∈ N.
r
(h)
4
a2 +
q
√
a2 < |a| + 1, ∀a ∈ R, kjer je na levi strani n korenov.
a2 + ... +
Matrični račun (rešitve so na koncu)
"
1. Dani sta matriki A =
3 −2
5 −4
#
"
, B =
3 4
2 5
#
. Izračunaj A + B, A − B,
2A + 3B, AB, BA.
2. Dane so matrike
"
#
3 1
0
2 −1 −2
A =




1 −1 0 2

5 1 
, B= 3 2
,
4 −1 −1 0


2
4
2



3 
X =  1 , C =  1
.
1
−1 −1
Če so definirane, izračunaj AB, AX, X T X, XX T , A + C T , X T C, BA, X +
X T , A + B.
"
3. Izračunaj AB in BA. A =
"
4. Zmnoži matriki
2 1 1
3 0 1

#
#
1
1
,B=
−1 −1

"
2
3
−2 −3

#
.
3 1 0


in  2 1 −1  v obeh vrstnih redih, če se da.
1 0 0

2
h
i


5. Zmnoži matriki:  1  in 1 2 3 na oba načina.
−3
3
"
6. Izračunaj potence:
"
7. Izračunaj
1
1
−1 −1
1 −2
3 −4
#3 "
,
1 1
0 1
#n
, n ∈ N.
#n
, n ∈ N.
8. Ali za matrike velja formula (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 ? Če ne velja nasploh,
ugotovi, pri katerem pogoju velja.
"
9. A =
1
2 3
−1 0 2
#
. Določi matriki AT A in AAT .
10. Matrika A je simetrična,
če je A = AT in poševno simetrična, če je A = −AT .

3 1 0


Matriko A =  2 1 −1  zapiši kot vsoto simetrične in poševno simetrične
1 0 0
matrike: A = S + T, S = 12 A + AT , T = 21 A − AT .
11. Marko tehta 80 kg. Rad bi zmanjšal svojo težo s povečano fizično aktivnostjo.
Sestavil si je plan tedenske aktivnosti, ki je v tabeli
PON
TOR
SRE
ČET
PET
HOJA
1
0
0.4
0
0.4
TEK
0
0
0.5
0
0.5
KOLO
1
0
0
0.5
0
TENIS
0
2
0
2
0
Znana je tudi poraba (kilo)kalorij na uro pri posamezni aktivnosti in določeni
telesni teži:
Teža v kg
Aktivnost 60 70 80
HOJA
213 231 249
TEK
651 707 764
KOLO
304 330 356
TENIS
420 456 492
Koliko kalorij bo pokuril s planirano aktivnostjo?
12. Tovarna izdeluje 3 izdelke: A, B in C. Stroški so razdeljeni v tri kategorije in
podani s tabelo
izdelek
stroški
A
B
C
surovine 0,10 0,30 0,15
delo
0,30 0,40 0,25
ostalo
0,10 0,20 0,15
4
Porazdelitev proizvodnje po posameznih sezonah prikazuje tabela
sezona
poletje jesen
4000
4500
2000
2600
5800
6200
produkt
A
B
C
zima
4500
2400
6000
pomlad
4000
2200
6000
Tvori tabelo stroškov po posameznih kategorijah, sezoni in kumulativno.
stroški
poletje
surovine
delo
ostalo
kumul.
jesen
zima
pomlad
kumul.
13. Tovarna izdeluje dve vrsti izdelkov. Za prvega potrebuje 4 ure dela in 12 kg
kovine, za drugega pa 3 ure dela in 4 kg kovine. Koliko izdelkov vsake vrste bo
izdelanih v 120 urah iz 240 kg kovine? Rešitev: {y = 24, x = 12} .
4.1
Rešitve
"
#
6 2
1. A + B =
, A−B =
7 1
"
#
29 −22
BA =
31 −24
"
2. A =
3 1
0
2 −1 −2
"
AB =
6 −1
−9 −2
"
T
A+C =
"
3. AB =
"
4.

7 2
4 2
0 0
0 0
9 3 −1
10 3 0
"
0 −6
3 −9
#

"
, 2A + 3B =


15 8
16 7

#
"
, AB =

5 2
7 0

#
,
4
2
2
1 −1 0 2





5 1 X= 1 C= 1
3 
B= 3 2

−1 −1
1
4 −1 −1 0


#
"
#
4 2 2
5 7
7

AX =
, X T X = 6, XX T = 
 2 1 1 
−3 3
1
2 1 1
#
h
i
−1
, XC = 8 6 , BA, X + X T , A + B ne obstajajo.
−3
#
#
"
in BA =
−1 −1
1
1
#
#
, eden od produktov ne obstaja.

2
4
6
1
2
3 
5. 

 , [−5]
−3 −6 −9
5
"
1 −2
3 −4
6.
"
#3
1
1
−1 −1
7.
"
=
13 −14
21 −22
# "
,
1 1
0 1
#n
"
=
1 n
0 1
#
. (dokaz z indukcijo)
#n
= 0, n ≥ 2.
8. Enakost velja le, če je AB = BA.


"
#
2 2 1
14
5


.
9. AT A =  2 4 6  in AAT =
5 5
1 6 13

10. A = S + T, S =
1
2
A + AT

6 3
1

1 
= 2  3 2 −1 
 , T =
1 −1 0
1
2
A − AT


0 −1 −1

1 
1 0 −1 
 .
2 
1 1
0

11.







1
0
1 0
0
0
0 2
0.4 0.5 0 0
0
0 0.5 2
0.4 0.5 0 0










249
764
356
492





=







605
984
481.6
1162.0
481.6









Skupna porabe v tednu:

h
1 1 1 1 1



i





605
984
481.6
1162.0
481.6








= 3714. 2


10 30 15
40 45 45 40
1870 2160 2070 1960




12.  30 40 25   20 26 24 22  =  3450 3940 3810 3580 

10 20 15
58 62 60 60
1670 1900 1830 1740
stroški
surovine
delo
ostalo
kumul.
13. D
K
⇒
I
II
4 3
12 4
poletje
1870
3450
1670
6990
jesen
2160
3940
1900
8000
zima
2070
3810
1830
7710
pomlad
1960
3580
1740
7280
kumul.
8060
14 780
7140
29 980
#"
#
"
#
"
xI+yII
x
120
4 3
120
⇒
=
y
240
12 4
240
4x + 3y = 120
12x + 4y = 240
6
=
in x = 12, y = 24.
5
Sistemi linearnih enačb
1. Vsakega od linearnih sistemov zapiši v obliki matrične enačbe, zapiši razširjeno
matriko sistema in jo z Gaussovo metodo preoblikuj na stopničasto/reducirano
stopničasto obliko. Če je sistem rešljiv, poišči tudi rešitev.
(a)
2x − y + z = 1
x + 2y − z = 2
x − y + 2z = 0
(b)
2x1 + x2 − 3x3 = 2
4x1 + 2x2 − 6x3 = 3
(c)
x−y+z = 3
x + 2y + 3z = −1
−3x + 3y − 3z = −9
(d) homogen sistem:
3x + 2y + 5z = 0
6x + 4y + 7z = 0
3x + 2y − z = 0
(e)
x1 − 2x2 + x3 − x4 = 1
2x1 + x2 − x3 + 2x4 = 3
x1 − 7x2 + 4x3 − 5x4 = 0
(f)
x1 − x2 + 3x3 − x4 = 2
−x1 + 4x2 − x4 = 2
3x1 − x2 + x3 − x4 = 2
7
(g) Predoločen sistem:
x1 − x2 + 2x3 + 2x4
3x1 − 3x2 + 3x3 + 3x4
−2x1 + 2x2 − x3 − x4
4x1 − 4x2 + 5x3 + 5x4
2x1 + 3x2 − x3 + 4x4
=
=
=
=
=
2
3
1
5
1
(h) Še en predoločen sistem:
x1 + x2 + x3
2x1 + 2x2 + 2x3
3x1 + 3x2 + 3x3
4x1 + 4x2 + 4x3
=
=
=
=
1
2
3
4
2. Tekoči benzen C6 H6 izgoreva v atmosferi. V bližino postavimo mrzel predmet,
na katerem se kondenzira voda in izloči ogljik (saje). Uravnoteži kemijsko
enačbo:
x1 C6 H6 + x2 O2 → x3 C + x4 H2 O
3. Prometni tok.
4. Obravnavaj sistem v odvisnosti od parametra
(a)
ax + 2y = 1
2x + ay = −1.
(b) Določi λ tako, da bo
i) imel sistem parametrično rešitev,
ii) sistem protisloven.
λx + y + z = 1
x + λy + z = λ
x + y + λz = λ2
5. Danih je več linearnih sistemov. Reši vse hkrati, ker so leve strani enake!
(a)
(b)
x1 + 2x2 = 2
3x1 + 7x2 = 8
x3 + 2x4 = 1
3x3 + 7x4 = 7
x1 + 2x2 + x3 = 2
−x1 − x2 + 2x3 = 3
2x1 + 3x2
= 0
8
y1 + 2y2 + y3 = −1
−y1 − y2 + 2y3 = 2
2y1 + 3y2
= −2
(c)
y − z = 1
2y + z = 0
−x + y + z = 0
4x +
4x0
−x0
y0 − z0 = 0
2y 0 + z 0 = 1
+ y0 + z0 = 0
4x00
+
+
y 00 − z 00 = 0
2y 00 + z 00 = 0
+ y 00 + z 00 = 1
−x00
5.1
Rešitve
1.
(a) x = 65 , y = 21 , z = − 16
(b) Ni rešljiv.
(c) x =
5
3
− 35 C, y = − 23 C − 43 , z = C
(d) x = −2C, y = 3C, z = 0
(e) x1 = C − 3D + 75 , x2 = 3C − 4D + 51 , x3 = 5C, x4 = 5D
(f) x1 = C + 23 , x2 = C + 32 , x3 = C + 23 , x4 = 3C
(g) Ni rešljiv.
(h) x1 = 1 − C − D − E, x2 = C, x3 = D, x4 = E.
2. x1 = 2C, x2 = 3C, x3 = 12C, x4 = 6C; 2C6 H6 + 3O2 → 12C + 6H2 O.
3. x1 + 450 = x2 + 610
x2 + 520 = x3 + 480
x3 + 390 = x4 + 600
x4 + 640 = x1 + 310;
rešitev: x1 = x4 + 330, x2 = x4 + 170, x3 = x4 + 210.
4.
(a) a = 2 ni rešitve,
a = −2 : x = C − 21 , y = C,
1
1
a∈
/ {2, −2} : x = a−2
, y = − a−2
.
9
(b) i) λ = 1, x = 1 − y − z, ii) λ = 1.
5. Danih je več linearnih sistemov. Reši vse hkrati, ker so leve strani enake!
(a) i) x1 = −2, x2 = 2, ii) x3 = −7, x4 = 4
(b) i) x1 = −3, x2 = 2, x3 = 1, ii) y1 = −3, y2 = 2, y3 = 1
(c) i) x = 1, y = −1, z = 2, ii) x0 = −2, y 0 = 3, z 0 = −5, iii) x00 = 3, y 00 =
−4, z 00 = 8.
6
Inverzna matrika
1. Kodiranje sporočila.
Janko in Metka si med predavanji dopisujeta v šifrah. Šifrirata takole: vsaki
črki priredita številsko vrednost, ki je enaka mestu te črke v slovenski abecedi,
pri čemer dobi presledek vrednost 0.
a b
0 1 2
c č d
3 4 5
l m n o p
13 14 15 16 17
e f g h
6 7 8 9
i
j
10 11
r
s
š
t
18 19 20 21
Dobljene številke razporedita po stolpcih v
pomnožita z matriko

1 0

A= 1 1
1 1
k
12
u v
z
ž
22 23 24 25
trivrstično matriko, nakar jo z leve

1
1 
.
0
Tistega dne je Janko sporočil Metki: "kul bejba si".
(a) V kaki obliki je Metka prejela sporočilo?
(b) Na sporočilo je Metka odgovorila z nizom
34, 44, 25, 24, 24, 10, 16, 27, 27, 38, 48, 31
Kaj mu je odgovorila?
2. Izračunaj A−1 in napravi preizkus, če je


1 1 1


(a) A =  0 1 1 
0 0 1


1 3 1


(b) A =  2 1 1 
−2 2 −1
10


1 2 3


(c) A =  −1 2 1 
0 4 4
3. Reši enačbe
(a) XA − A = X − 3I
"
(b)
2 1
3 1
"
(c) X
"
(d)
6.1
#
1 0
2 −1
#
"
1 0
2 −1
#
#
"
X=
2 1
3 1
2 1
3 1
"
#
=
#
"
X
2 1
3 1
=
−1 2
2 −4
#
Rešitve
1.




−1 


1 0 1
12 0 11 0
25 6 12 10





(a)  1 1 1   22 2 2 9  =  47 8 14 19 
1 1 0
13 6 1 10
34 2 13 9
1 0 1


(b)  1 1 1 
1 1 0

2.


(a) A−1
1 −1 0


=  0 1 −1 
0 0
1
(b) A−1
2
−1 53
3

1
1 
= 0
3
3 
2 − 83 − 53


(c) A je singularna, A−1 ne obstaja.
(a) X = (A − 3I) (A − I)−1
"
1 −1
−1 2
"
−1 1
−5 4
"
−21 15
49 −35
(b) X =
(c) X =
(d) X =


34 24 16 38
15 10 16 21




 44 24 27 48  =  10 0 11 10 
25 10 27 31
19 14 0 17
#
#
#
11