1. No category

Elektroakustik
af
Tore Arne Skogberg
2014
2
Version 2.0
Tore Skogberg
Indholdsfortegnelse
1 ELEKTROAKUSTIK....................................................................................................................5
1.1 Symboler.............................................................................................................................. 6
1.2 Hørelsen............................................................................................................................... 7
1.3 Måling af lyd....................................................................................................................... 10
1.4 Musikinstrumenter.............................................................................................................. 11
1.5 Lydens udbredelse.............................................................................................................12
1.6 Interferens.......................................................................................................................... 14
1.7 Design af et kabinet............................................................................................................19
2 HØJTTALEREN.......................................................................................................................21
2.1 Højttalerprincipper..............................................................................................................21
2.2 Højttalerens model............................................................................................................. 24
2.3 Lydtryk................................................................................................................................ 33
2.4 Uendelig baffel.................................................................................................................... 34
2.5 Baffel.................................................................................................................................. 35
2.6 Lukket kabinet.................................................................................................................... 41
2.7 Basreflex kabinet................................................................................................................ 45
2.8 Aktiv korrektion................................................................................................................... 49
3 DELEFILTER..........................................................................................................................55
3.1 Simple delefiltre..................................................................................................................55
3.2 Anden-ordens filter.............................................................................................................56
3.3 Kompenseringskredsløb.....................................................................................................58
3.4 Sikring................................................................................................................................ 59
3.5 Aktivt delefilter.................................................................................................................... 61
3.6 Effektforstærkeren.............................................................................................................. 61
3.7 Korrektionsfilter...................................................................................................................62
4 LYTTERUMMET.......................................................................................................................65
4.1 Stående bølger................................................................................................................... 65
4.2 Rummets overføringsfunktion.............................................................................................67
4.3 Statistisk rumakustik...........................................................................................................69
5 APPENDIKS..........................................................................................................................73
5.1 Bølgeligningen....................................................................................................................73
5.2 Plane bølger....................................................................................................................... 75
5.3 Lydudbredelse i rør............................................................................................................. 78
5.4 Lydudbredelse i rektangulære rum.....................................................................................80
5.5 Sfæriske bølger..................................................................................................................82
5.6 Strålingsimpedans.............................................................................................................. 84
5.7 Energibetragtninger............................................................................................................85
5.8 Diffust lydfelt....................................................................................................................... 87
5.9 Analogier............................................................................................................................ 89
5.10 Referencer........................................................................................................................ 91
5.11 Stikordsregister.................................................................................................................92
Elektroakustik
Version 2.0
3
4
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
1 ELEKTROAKUSTIK
Elektroakustikken beskæftiger sig med at forstå samspillet mellem de enkelte dele af lydreproduktionens
kæde bestående af lydoptagelse, produktion og signalmedie, dertil forstærker, højttaler og lytterum samt
menneskets lydopfattelse. Sigtet med denne bog om elektroakustik er at beskrive de udfordringer, man
møder ved gengivelse af musik fra internettet eller DVD, som forstærkes op og føres til et højttalersystem i
et almindeligt beboelsesrum. Dette kapitel introducerer vores lydopfattelse og de vigtigste problemstillinger
ved brug af en højttalerenhed. Grundlaget for funktionen af en højttaler og lytterummet præsenteres i de
efterfølgende kapitler med det teoretiske fundament i appendiks.
Lydopfattelsen har både en naturvidenskabelig og en humanistisk side. Selv om lyden gengives
rent og neutralt, så er vores opfattelse af lyden påvirket af situationen og vore holdninger. Vi danner os en helhedsvurdering baseret på ikke blot det hørte og sete, men også på den kontekst en
sælger eller et brochuremateriale definerer. Dertil er vi afhængige af hvad andre personer giver til
kende, eller det forløb der gik forud for lytteoplevelsen, og vi er påvirkede af vore personlige kæpheste, og om vi har det godt psykisk. Skal vi beskrive vores lydopfattelse overfor en anden person
indskydes endnu et lag af hensynet til situationen og en mulig konsekvens af det givne svar.
Vi har med andre ord forladt det trygge ingeniørmiljø og begiver os ind i en verden, hvor meninger
kan have større betydning end logiske argumenter eller det som videnskaben anser for korrekt.
En højttaler kan beskrives som en transducer, der omsætter det elektriske signal til et dermed proportionalt lydtryk, men det er en særdeles kompleks komponent, med et ret omfattende katalog af
egenskaber, forudsætninger og begrænsninger. Som det væsentlige skal højttalerenheden være af
god kvalitet, for vi kan nok justere på dens arbejdsbetingelser, men sjældent på dens egenskaber.
Hvis højttaleren ”lyder af pap”, så bliver den ved med det, uanset om resten af kæden er af sublim
kvalitet. Højttalerenheden skal naturligvis have de rette arbejdsbetingelser for at yde sit bedste,
men den kan også stille nogle urimelige krav til kabinettet, delefiltret eller placeringen i rummet,
som umuliggør det ønskede mål.
Design af et højttalersystem er en jungle, og sigtet med denne bog er at vise en mulig vej til målet.
Der er ikke tale om en bog for selvbyg, men om en guidet tur ind i en spændende og udfordrende
verden. Jeg har valgt at gennemføre et design af en højttaler som et gennemgående emne; en rød
tråd, der supplerer kapitlerne med målinger på en reel konstruktion. Det endelige resultat fungerer
fint som PC højttaler placeret på et bord med kort afstand til lytteren, men som en fritstående enhed på en sokkel er dens lydbillede ikke tilfredsstillende idet diskanten er for fremherskende.
Tore Skogberg
Elektroakustik
Version 2.0
5
1.1 Symboler
Herunder gengives de vigtigste af de variable og parametre, der vil blive benyttet i bogen. De viste
værdier er for 100 mm bashøjttaleren SPH-100c fra det ledsagende projekt ”PC højttaler”.
6
Symbol
Eksempel
Kommentar
Side
Bl
5
Tm
Kraftfaktor
24
c
344
m/s
Lydens hastighed
12
CMB
1,3
s2/kg
Eftergiveligheden af den indespærrede luft
41
CMS
1
mm/N Eftergiveligheden af styr for svingspole og membran
f
-
Hz
Frekvens
F
-
N
Kraft
26
f0
50
Hz
Højttalerens frie resonans
27
fB
-
-
Grænsefrekvens for baffel
15
k
-
Bølgetallet k = 2π/λ = ω/c
75
LE
0,65
mH
Svingspolens selvinduktion
26
MMS
0,01
kg
Massen af det bevægelige system
24
ω
-
rad/s
Vinkelhastigheden ω = 2πf
p
-
Pa
Lydtrykkets amplitude
12, 73
P0
100
kPa
Det statiske lufttryk (barometerstand)
12, 73
3
24
q
-
m /s
Højttalerens volumehastighed
33, 73, 82, 87
QMS
3,53
-
Godheden hidrørende fra det mekaniske system
27, 42
QES
0,50
-
Godheden hidrørende fra det elektriske system
42
QTS
0,44
-
Godheden af det svingende system
28, 42
Luftens massefylde ved havets overflade
12
3
ρ
1,18
kg/m
RE
6
Ω
DC modstanden af svingspolens tråd
26
RMS
1
Ns/m
Tabsmodstand
24
SD
0,0054 m2
Det effektive areal (stempelarealet) af membranen
23, 31
UG
-
V
Generatorens spændingsamplitude
23
UG RMS
2,83
V
RMS værdien af generatorens spænding
23
v
-
m/s
Membranens hastighed
27
VAS
6
dm3
Højttalerens ækvivalente volumen (CMS = CAB)
41
3
VB
3,8
dm
Voluminet af det lukkede kabinet
41
x
-
m
Membranens udsving
27, 28
XMAX
4
mm
Størst tilladelige udsving fra ligevægt
27
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
1.2 Hørelsen
Den menneskelige hørelse adskiller sig ikke væsentligt fra andre pattedyr, så oprindelsen dateres
tidligt i udviklingsforløbet og der er siden sket tilpasning til de individuelle behov for racen. Der har
været behov for at reagere på farlige lyde, samt for at kunne ignorere dagligdagens lyde, så vores
hjerne er trænet til at sammenholde det hørte med det forventede, og det påvirker vores lydopfattelse. Hjernen trækker på alle sanser, så lydopfattelsen påvirkes både af synet og af en forventning
om hvad der vil ske. En lydkilde kan eksempelvis opfattes som kommende bagfra hvis den overrasker og ikke er indenfor synsfeltet. Vi har med andre ord en adaptiv hørelse, og det vil i væsentlig
grad vanskeliggøre en analyse af, hvordan vi opfatter lyde i en given situation.
Lyd er tryksvingninger omkring det atmosfæriske lufttryk, og den svageste lyd, der kan opfattes har
en amplitude på 20 μPa. Det niveau betegnes høregrænsen (threshold of hearing); 0 dB re 20 μPa
eller blot 0 dB SPL. En værdi på 60 dB SPL svarer til lydniveauet ved ørekanalen for en almindelig
konversation, og ved ved 140 dB SPL (200 Pa) har de fleste en smerteoplevelse. En langvarig og
kraftig lyd nedslider hørelsen, og man regner 85 dB SPL ved middel frekvenser for den grænse
hvorover en daglig påvirkning gennem et arbejdsliv giver en varig høreskade1.
Figur 1.1 – Det menneskelige øres opfattelse af subjektivt konstant lydtryk efter Robinson-Dale
med gengivelse over højttalere i et frit felt uden reflektioner og opfattet med to ører [BM-129].
Kurverne angiver det lydtryk toner med forskellig frekvens skal have for subjektivt at opfattes som
det samme lydniveau (equal loudness contours). Enheden for lydniveauer er phon, der er lig med
decibel-værdien ved 1 kHz. Lydniveauet på 60 phon vil ved 100 Hz kræver at lydtrykket er øget til
80 dB SPL, og ved 30 Hz skal lydtrykket være 100 dB SPL for samme subjektive opfattelse. Det er
begrundet ved mellemøres opbygning med to trommehinder og et luftvolumen imellem. Frekvenser
i området fra 2 til 5 kHz varierer i kravet til lydtrykket på grund af en resonans i ørekanalen.
1
http://arbejdstilsynet.dk/da/regler/at-vejledninger-mv/arbejdets-udforelse/d-6-1-stoj.aspx.
Elektroakustik
Version 2.0
7
Det hørbare område strækker sig fra 15 Hz til 15 kHz2, men det er kun få musikinstrumenter, der
kan gengive toner under 30 Hz, med syntetiseret lyd som den væsentligste af undtagelserne. En
FM radio og en DVD gengiver hovedparten af området, mens den gamle telefon kun kunne gengive op til 3,5 kHz og det samme gælder den aldrende AM radio. Frekvensområdet over 3,5 kHz har
betydning for taleforståelsen og opfattelsen af lydkvalitet. Ældre mennesker mister gradvist evnen
til at høre høje frekvenser, hvilket påvirker retningsopfattelsen og udbyttet af en samtale mellem
personer, der taler i munden på hinanden. Hørelsen kan ødelægges af kraftige lyde som geværskud og nytårsfyrværkeri, og hjernen kan substituere det manglende signal med en konstant tone
eller hvislen, der kaldes for tinnitus, og som ikke kan helbredes.
Kurverne er et resultat af evolutionen, der har optimeret vores genkendelse af vigtige lyde som fx
barnegråd, stemmer og faresignaler gennem den omgivende støj, og støjen er tydeligvis domineret
af lavfrekvent støj fra vinden. For have nytte af frekvensomfanget på tre dekader skal mennesket
kunne skelne mellem lave og høje frekvenser, og et normalt øre kan opfatte en relativ ændring på
mindre end 1 % i hovedparten af frekvensområdet [BM-199].
Figur 1.2 – Grænsen for de hørbare frekvensvariationer i forhold til centerfrekvensen for tonerne.
Målingerne benyttede to toner i sekvens, med undtagelse af den stiplede linje hvor der blev benyttet en sekvens af en fast tone og en frekvensmoduleret tone [BM-198].
Relateres frekvensændringen ΔF til centerfrekvensen er grænsen ti 0,5 % ved 125 Hz, faldende til 0,2 %
ved 500 - 2000 Hz og igen stigende ved højere frekvenser.
Evnen til at skelne mellem flere samtidige toner er vigtig for at diskriminere mellem flere lydkilder,
og i en mere nutidig kontekst for forståelsen af de musiske intervaller; altså om to samtidige toner
klinger godt eller dårligt sammen, og det introduceres side 11.
Øret er i stand til at skelne mellem to toner hvis deres indbyrdes afstand er større end givet ved
ørets ækvivalente båndbredde, ERB (equivalent rectangular bandwidth). Hvis tonerne ligger i større afstand end givet ved ERB vil de opfattes som to individuelle toner, og ellers vil de kombineres
til en gennemsnitlig frekvens med en kraftig modulation af amplituden; tonerne vibrerer.
For at opfatte et signals lydniveau skal signalet præsenteres i 100 … 200 ms, mens en kortere tid
vil give en subjektivt lavere opfattelse af lydniveauet [BM-137]. Det betyder ikke at vi kun kan opfatte 5 … 10 toner per sekund, men den enkelte tones niveau opfattes som lavere hvis frekvensen af
tonefølgens forløb er højere.
2
8
Mange referencer angiver området som fra 20 Hz til 20 kHz, men det er kun børn, der kan høre så høje frekvenser, og allerede i teenagealderen er området indskrænket til 15 kHz. Hvis lydtrykket er tilstrækkelig højt kan et normalt menneske opfatte lyde til 15 Hz.
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
Figur 1.3 – Hørbar frekvensdifferens ved to samtidige toner [BM-75].
Ved en relativ dyb tone på 100 Hz er ERB = 35 Hz, der betyder at de to toner skal ligge i en relativ
afstand på 1,35 svarende til mindst en kvart (4:3 = 1,33) for at blive opfattet som individuelle toner.
Det forklarer musikteoriens ulyst til mindre intervaller end kvinten i basområdet, der ofte skal være
en stabil basis for de øvrige musikere. Ved middel frekvenser omkring 500 Hz er ERB = 70 Hz så
de to toner skal ligge i en relativ afstand på 1,14 for at høres som individuelle toner, svarende til en
stor sekund (9:8 = 1,13), og det forklarer hvorfor mindre intervaller kan accepteres i et musikforløb;
i stedet for blot at generere en vibrerende tone står de klart som del af det musiske udtryk.
Lydstyrken skal variere ganske meget for at kunne opfattes af selv et trænet øre, og en ændring af
et lydniveau på 10 % (1 dB) danner den nedre grænse for de fleste. En variation mindre end ±1 dB
fra 40 Hz til 14 kHz kan almindeligvis ikke erkendes, selv ved en A/B test hvor testobjektet har mulighed for at skifte mellem original og modificeret signal [BM-341].
Vores retningsopfattelse baseres ved lave frekvenser på en faseforskel mellem de to ører, idet
hovedets dimensioner er små sammenlignet med lydens bølgelængde, så lydniveauet er stort set
det samme på begge sider. Ved højere frekvenser er der er skyggevirkning fra hovedet, som virker
forskelligt ved de to ører og det giver en forskel i lydniveauet og en påvirkning af frekvensspektret.
Hjernen udnytter derfor en forudgående viden om frekvensspektret for velkendte lyde, og synet bidrager også, ligesom intellektets forventning om hvad der måtte komme af overraskelser.
Øret er ikke en ufejlbarlig transducer af lyd til nerveimpulser; den forvrænger det modtagne signal,
og det sætter en grænse for hvor godt øret kan diskriminere mellem ren og forvrænget lyd. Vi kan
opfatte en harmonisk forvrængning fra cirka 0,1 % hvis det er overvejende høje harmoniske, som
cross-over forvrængning ved klasse B effektforstærkere, mens anden og tredje harmoniske først
kan erkendes fra omkring 2 %. Tallene er dog meget afhængige af både lydtryk og frekvens. Mere
hørbar er intermodulation3 hvor to samtidige toner danner nye toner på sum- og differens af signalernes frekvenser, og her bør differenstoneforvrængningen være under 0,1 %. [BM-341]
Ved lytning til tale benytter hjernen kendskabet til sproget for at kompensere for fejl i opfattelsen,
så hjernen digter med, og så længe det giver mening opfattes ordene som forstået. Det betyder at
vi kan opfatte tale trods kraftig støj og forvrængning; tale kan eksempelvis forstås og taleren kan
genkendes selv ved A/D konvertering til 1 bit.
3
Ved et design af et elektronisk musikinstrument havde jeg en oplevelse af tydelige differenfrekvenser. For at måle niveauet indbyggede jeg et skarpt lavpasfilter, som var placeret så differensen mellem to toner i middelområdet ville passere, mens selve tonerne
ikke kom med. Resultatet var fuldstændig stilhed; det var mine ører, der dannede differenserne.
Elektroakustik
Version 2.0
9
Kraftige signaler kan dække over svage signaler, som ganske enkelt ikke høres. Vi kender alle den
situation, at høj musik ved en fest kan vanskeliggøre opfattelsen af det talte, og vi forsøger så at
holde hånden bag øret, hvorved retningsopfattelsen af høje frekvenser forbedres. Det kaldes for
maskering (masking) og udnyttes ved MP3, hvor der ikke kodes for signaler, som et normalt øre
ikke kan opfatte. Emnet er kontroversielt, dels fordi hørelsens nedre grænse er forskellig fra person
til person, og dels fordi der aktivt fjernes information fra den oprindelige lyd, men det er prisen for
at kunne foretage en kraftig reduktion af de digitale data.
Øret og hjernen har en forbløffende evne til at detektere et repetitivt signal gennem støj, også selv
om den enkelte del af lyden isoleret ikke kan erkendes. Det kaldes for temporær integration, og er
et kun delvist forstået emne ved forskning i hørelsen.
Vores lydopfattelse er ikke umiddelbart så pæn, som man kunne forvente ud fra de krav, der stilles
til udstyr for lydreproduktion, men vi opfatter alle lyde gennem dette filter, og en afvigelse opfattes
som en tonal ubalance. Der findes mennesker med en forbløffende evne til at høre små afvigelser
fra det ideelle; de såkaldt ”gyldne ører”, der kan høre fejl, som andre ikke kan erkende eksistensen
af. Lydopfattelsen kan trænes på linje med de andre evner, men mange mennesker er ligeglade
med de finere detaljer ved lyden; den skal blot opfylde det formål at være en tryg omgivelse.
1.3 Måling af lyd
Ved måling af lydtryk benyttes ikke blot en mikrofon og en forstærker med et instrument for visning
af lydtrykket. Hørelsen er kompleks, og for at efterligne hjernens opfattelse af et lydniveau benyttes
nogle elektriske filtre, der modificerer frekvensresponsen så den svarer til hørekurven på side 7.
Figur 1.4 – Filtre for akustiske målinger. A-vejningen benyttes ved støjmåling og skadevurdering,
mens D-vejningen benyttes ved vurdering af genevirkningen af hyletonerne fra flymotorer.
Filtrene A til C efterligner lavt, middel og højt lydniveau, mens D filtret angiver genevirkningen af
flystøj. A-vejning har vist sig at korrelere godt til nedslidningen af hørelsen ved kraftige signaler og
benyttes derfor generelt ved støjmåling. B-vejning benyttes ikke mere, mens C filtret benyttes ved
specifikation af kortvarige spidser for måling af støjens skadevirkning ved klassifikation af farekategorien ved en arbejdsplads, fx behovet for påbudt brug af høreværn.
10
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
1.4 Musikinstrumenter
Det hørbare toneområde dækker et omfang på 10 oktaver, men de færreste musikinstrumenter kan
give en grundtone over mere end tre oktaver. Området for sangere dækker 80 … 800 Hz for et kor
af mænd og kvinder, og saxofonen dækker 55 … 1000 Hz for de fem instrumenter samlet i gruppe.
Få instrumenter kommer under 40 Hz eller over 1 kHz, selv om flere instrumenter har et potentiale
for at nå op omkring 4 kHz. Området dækker kun halvdelen af det hørbare, men alle instrumenter
har harmoniske overtoner, der er vigtigt for deres individuelle klang, og de når let høregrænsen. I
det helt dybe område er koncertoptagelser mere domineret af støj fra lastbiler og metro.
-
CC
C1
C
C2
16,4
32,7
65,4
Musikinstrumenters toneomfang
EU:
US:
32'
c
C3
c1
C4
c2
C5
c3
C6
c4
C7
c5
C8
-
-
130,8 261,6 523,3 1046,5 2093
4186
8372 16744
Cembalo og Portativ, 8'
4'
2'
16'
Orgel og keyboard, 8'
4'
2'
1'
Pedal, 16'
Violin
Bratch
Cello
Kontra- og elbas
S. blokfløjte
A. blokfløjte
Pauker
T. blokfløjte
B. blokfløjte
Obo, tværfløjte
Klarinet (Bb)
Kor SATB
Synthesizer
ERB:
Figur 1.5 – Vejledende frekvensomfang for grundtonen ved almindelige musikinstrumenter. Nederst
vises ERB som en relative bredde af klaviaturet.
Den vestlige kulturs musik inddeler oktaven i tolv trin, der af historiske årsager kaldes halvtonetrin,
og frekvensen af den enkelte tone defineres med udgangspunkt i stemmetonen4 a1 på 440 Hz,
hvor n er antallet af halvtonetrin op eller ned fra udgangstonen med positiv retning opad. Intervallet
mellem to toner f2 og f1 måles i cent hvor en halvtone er defineret til 100 cent.
f n = f 0 2 n /12
f 0 = 440 Hz
C=
f2
1200
log10 ( )
log 10 (2)
f1
Intervalnavn
Oktav
Kvint
Kvart
Stor terts
Lille terts
Stor sekund
f n/ f 0
n
C
Rent interval
2,0000 12 1200 cent 2 :1 +0,00%
1,4983 7 700 cent 3 :2 +0,11%
1,3348 5 500 cent 4 :3 −0,11 %
1,2599 4 400 cent 5 : 4 −0,79 %
1,1892 3 300 cent 6 :5 +0,91 %
1,1224 2 200 cent 9 :8 +0,23 %
Toneskalaen er resultatet af en lang udvikling, hvor Pythagoras (år 500 før Kristus) viser at der er
en enkel matematisk sammenhæng for de vellydende musiske intervaller, og at stamtonerne (de
syv hvide tangenter på klaviaturet) kan udledes fra de rene intervaller for kvint og kvart.
4
Den blev vedtaget 1870 i Wien til 435 Hz, men er siden gledet opad til den nuværende standard. Ved ældre musik arbejdes med
stemmetoner, der i renæssance og barok kan række over området 390...470 Hz. Det er ikke transponerende instrumenter, som fx
Es- og B-saxofoner, for samme greb på sammenlignelige instrumenter giver forskellige tonehøjder for det samme tonenavn.
Elektroakustik
Version 2.0
11
For den interesserede gives herunder en kort introduktion til nomenklaturen:
Intervallernes navne kommer fra antallet af toner, der er indeholdt. Oktav (fra latin ”octo”, 8) betyder at der
er indeholdt otte toner, fx C-D-E-F-G-A-H-C idet start-og sluttone tælles med. Kvint (fra latin ”quintus”, 5)
indeholder ligeledes fem toner, fx C-D-E-F-G. Tilsvarende for de andre intervalnavne.
En oktav defineres som et forhold mellem to frekvenser, hvor den høje svinger dobbelt så hurtigt som den
lave (2:1), og det ses som de to første tal i den harmoniske talrække (1, 2, 3, 4,...). Oktaven genfindes ved
tallene 2 og 4, idet 4:2 = 2:1, og intervallet kan deles i nye intervaller: en kvint på 3:2 og en kvart på 4:3.
Mønstret genfindes i oktaven fra 4 til 8, hvor kvinten kan deles i to nye intervaller, der giver den store terts
på 5:4 og den lille terts på 6:5. Oktaven fra 8 til 16 kan igen deles ved den store terts, der giver to bud på
den store sekund som 9:8 og 10:9, hvis geometriske gennemsnit er tæt på den ligesvævende sekund.
Pythagoras viste at både oktaven og den store sekund kan dannes af intervallerne for kvint og en kvart. En
kvint og en kvart danner en oktav (3:2)(4:3) = 2:1, og hvis kvarten ændres til et nedadgående interval (3:4)
findes den store sekund (3:2)(3:4) = 9:8. Ud fra kvint og kvart kan alle stamtoner i C-dur skalaen dannes.
Det kaldes ofte for ”ren stemning”, men har kun musikhistorisk interesse. Langt vigtigere er den justering
(temperering) af intervallerne, der i renæssancen og barok muliggjorde spil i stadigt flere tonearter5,6,7.
To samtidigt klingende toner vil ”støde” (beating), der også kaldes for ”svævning”, som følge af at
de benyttede intervaller ikke er matematisk præcise. De to toner er ikke synkrone, og musikere vil
altid ”bøje” en tone lidt op eller ned for at skabe en spænding, der giver tonen liv. Stødtonen for to
nærliggende toner skyldes grundtonerne, mens det ved intervaller er de harmoniske overtoner, der
støder. Som eksempel vil tertsen med forholdet 24/12 = 1,2599 give frekvenserne 261,6 Hz for tonen
c1, og 329,6 Hz for tonen e1. Sammenstødet kommer mellem femte harmoniske til c1 på 1308 Hz
og fjerde harmoniske til e1 på 1318 Hz. Differensen mellem de to frekvenser er på 10 Hz og den
høres som en svingning, en uro eller ”snerren”, i samklangen.
Evnen til at differentiere mellem instrumenter med nærliggende toner vises nederst i illustrationen
som den ækvivalente båndbredde ERB fra side 9, hvor bredden af kasserne viser ERB som antallet af toner på klaviaturet. Et menneske kan typisk skelne to samtidigt klingende toner (sinus) i en
kvintafstand fra hinanden omkring den dybe tone C (65 Hz). Området indsnævres med stigende
frekvens, og fra 250 Hz og op kan vi skelne to samtidige toner i sekundafstand. Toner med mindre
afstand end ERB vil blive kombineret til en gennemsnitsfrekvens med vibrerende amplitude på differensen mellem tonernes grundtoner. Ved middel C på 262 Hz vil toner i en lille sekunds afstand
(6 %) opfattes som én tone med en kraftig amplitudemodulation på 15 Hz, der opfatte som en vred
”snerren”. Musikinstrumenter gengiver ikke en sinus, med synthesizeren som en mulig undtagelse,
så hjernen benytter instrumenternes overtonespektra til at differentiere mellem dem.
1.5 Lydens udbredelse
Lyden består af tryksvingninger med amplituden p omkring det statiske lufttryk P0 og de fjerner sig
fra lydkilden med lydens hastighed c. Afstanden mellem to overtryk kaldes bølgelængden λ, der er
en tredjedel meter ved 1 kHz; det er et A4 papir på den lange led. Bølgelængden går fra 20 mm
ved de højeste frekvenser, og op til 20 m ved den dybeste tone.
P (t ) = P0 + p (t)
p (t ) = p exp ( j ω t ) , ω = 2π f
p(t)
P0
p0
c=
t
√
γ ≈ 1,40
γ P0
≈
344
m/s
P
ρ0
0 ≈ 100 kPa
ρ 0 ≈ 1,18 kg/m 3
c
λ=
f
20o C
Figur 1.6 – Lydtrykket svinger mellem over- og undertryk overfor det statiske lufttryk.
5
6
7
12
Se: http://da.wikipedia.org/wiki/Middeltone hvor dette fleksible princip diskuteres.
Se: http://www.torean.dk/artikel/publikationer.html og læs indledningen til ”Et historisk musikinstruments naturlige frekvenser”.
Se: http://da.wikipedia.org/wiki/Valotti_temperatur giver en kort introduktion til en af barokkens tempereringer.
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
De korteste lydbølger er mindre end en hånd, i midterområdet er de på linje med kroppens dimensioner, og de længste lydbølger er sammenlignelige med vore huse. Lyden kan ”kaste skygge” hvis
blokeringen er stor i forhold til bølgelængden, mens dybe toner blot kravler udenom, som om der
ikke var en forhindring.
Det teoretiske fundament for lys og lyd det samme, nemlig bølgeligningen (se side 73), så lyden
udbredes i et tredimensionelt rum og intensiteten vil aftage med afstanden fra kilden, som vist herunder ved måling af lydtrykket på en relativt lille højttaler. For en punktformet kilde vil intensiteten,
der måles i effekt per areal (W/m2) reduceres med kvadratet på afstanden; det er 6 dB reduktion af
effekten per fordobling. Da intensiteten er proportional med lydtrykkets kvadrat, vil lydtrykket halveres ved en fordobling af afstanden; det er afstandsreglen eller afstandsloven (law of distance).
Figur 1.7 – Lydtrykket fra en højttaler aftager med stigende afstand idet effekten i den kugleformede bølgefront fordeles over et areal, der vokser kvadratisk med afstanden. Reduktionen er derfor to
gange 3 dB per fordobling af afstanden.
Tæt på højttaleren vil lydtrykket ikke fortsætte med at stige da højttalerens fysiske udstrækning bliver sammenlignelig med afstanden til mikrofonen, så lydudbredelsen bliver en plan bølge hvor lydtrykket er konstant. Det betegens som højttalerens nærfelt (near field), i modsætning til fjernfeltet
(far field) hvor afstandsreglen gælder. Overgangen fra nær- til fjernfelt er funktion af membranens
radius (der er 40 mm i eksemplet), og der er også en relation til frekvensen da der her måles på en
højttaler uden kabinet. Lydtrykket ved membranens bagside er i modsat fase af lydtrykket fra forsiden, og den akustiske kortslutning er mest effektivt ved lave frekvenser (se side 15).
Lydens hastighed er en milliontedel af lysets, så hvor bølgelængden for synligt lys er under en mikrometer, og især giver problemer ved mikroskoper og fremstilling af halvledere, er lydens bølgelængde sammenlignelig med vores krop og omgivelser. Man kan derfor ikke se bort fra
bølgelængden, så en regel, der gælder ved lave frekvenser vil ikke fungere ved høje frekvenser.
Lyden kaster skygge på præcis samme måde som lys, og det beskrives med den matematik som
Huygen og Fresnel udviklede ved deres arbejder med diffraktion af lys. Det betyder at hånden kan
skygge for højfrekvente lyde, men ikke for dybe lyde. Lavfrekvente lyde fra en forbikørende bus
kan standses af et højhus, mens en støjvold på et par meter er for lille til effektivt at kunne dæmpe
den lavfrekvente brummen, der blot kryber over forhindringen, som om den ikke var der.
Lydens hastighed falder fra 344 m/s ved 20°C til 331 Hz ved 0°C, for luftens massefylde stiger ved
faldende temperatur. Det betyder at lyden kan afbøjes på grund af en variation i luftens temperatur.
Elektroakustik
Version 2.0
13
Det kan opleves at lyden kan løbe over en meget lang strækning, hvis der er de rette forhold med
kold luft under varm luft så lyden bøjer nedad8. Lyden bøjes tilsvarende opad hvis der er kold luft
over varm luft, hvilket er det normale. Vinden kan også dreje lydens vandring, men det tilsigtede
emnevalg for denne bog er indendørs reproduktion af lyd, så jeg vil se bort fra disse bidrag.
En generel beskrivelse af lydens udbredelse er ganske kompliceret, og en matematisk løsning er
kun tilgængelig for nogle få specialtilfælde. Derfor benytter akustikken sig i høj grad af at tilnærme
en aktuel situation med nogle idealiserede modeller. For at beskrive lydens udbredelse skelnes der
mellem plane bølger og sfæriske bølger. Den plane bølge er en matematisk abstraktion, der er god
ved studier af lyd i smalle rør, som fx musikinstrumenter, luftkanaler og fjernvarmerør, hvor lydtrykket kan beskrives alene ved en dimension på langs af røret. Den sfæriske bølge forudsætter frihed
for reflekterende flader i nærheden af lydkilden, så man alene kan beskæftige sig med lydtrykkets
afhængighed af afstanden fra lydkilden. Disse to modeller udvikles i appendiks.
Ved brug i almindelig beboelsesrum kompliceres forholdene af rummets begrænsninger, møbler og
andre genstande, der er store nok til at påvirke lydens udbredelse ved refleksion og diffraktion. Når
lyden rammer en stor flade vil lyden kastes tilbage på samme måde som når lyset reflekteres i et
spejl, hvis genstanden er akustisk stor, ellers vil den højest give en lydspredning. Det reflekterede
signal kan derefter interferere med det oprindelige signal. Det vil som hovedregel give et temmelig
kaotisk resultat, som kun sjældent kan beskrives matematisk.
Det er muligt at finde en løsning for et retvinklet rum, men ved andre rumgeometrier er matematikken ufremkommelig, så i stedet benyttes enten simplifikationer eller numeriske løsningsmetoder.
Indenfor arkitektur er den fremherskende holdning, at lyden udbreder sig i rette linjer og reflekteres
af store flader, hvilket er en simplifikation, men den giver en ide om forholdene indenfor det vigtige
frekvensområde for taleforståelse. Det er også en bærende model ved computersimulering af lydens udbredelse; af den simple grund at beregningsarbejdet ellers bliver for omfattende9.
1.6 Interferens
Lyd fra en kilde består af vekslende over- og undertryk, og når lyden fra to kilder ankommer til det
samme sted, så adderes den øjeblikkelige værdi af de to lydkilders tryk.
Konstruktiv interferens
S1
Destruktiv interferens
S 1 = S0 sin (ω t )
S 2 = S0 sin (ω t )
S 1+ S2 = 2 S0 sin (ωt )
S2
S 2 = S 0 sin (ωt)
S 2 = S 0 sin (ω t+ π)
S 1 +S 2 = 0
t
S1 + S2
t
Figur 1.8 – Til venstre svinger to signaler i fase på samme frekvens og ved addition bliver resultatet
en fordobling af amplituden. Til højre svinger de to signaler i modsat fase og ved addition ophæver
de hinanden. Hvis det ene signal er svagere end det andet vil variationen i amplitude blive mindre.
For to lydkilder, der svinger i takt, vil lydtrykvariationen hos lytteren forøges, hvorimod to lydkilder,
der svinger modsat, vil resultere i en reduktion af lydtrykket. Det kaldes for interferens, og den første er konstruktiv, idet amplituden forøges, mens den anden er destruktiv da amplituden reduceres.
For to signaler med næsten samme frekvens vil svingningerne snart være i fase hvor amplituden
stiger, og snart er de ude af fase hvor amplituden reduceres. Det kan af og til høres ved en koncert
hvor to instrumenter skal danne samme tone, men frekvensforskellen får lyden til at vibrere i et kort
øjeblik inden musikerne får kontrol over forholdet. Det er en vekslen mellem konstruktiv og destruktiv interferens, og frekvensen af vibrationen er lig med frekvensdifferensen.
8
9
14
Under første verdenskrig blev kanontorden hørt i afstande på 150 km, med en stille zone på kortere afstand. Efter krigen blev der
forsket i lydudbredelse, og omkring 1924 kom man frem til at forklaringen var en temperaturinversion i 17 km højde [ER 19-24].
Den danskudviklede rumsimulator Odeon introducerer fejl i refleksionen ved brug af statistiske metoder.
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
1.6.1 Baffel
Højttalerens membran har en for- og bagside, hvor lydtrykket svinger i modsat takt. Hvis membranen bevæges fremad vil forsiden give et overtryk mens bagsiden samtidigt har et undertryk. Uden
nogen anden foranstaltning vil membranens to sider derfor blot skubbe luften frem og tilbage, og
der vil ikke komme meget lyd ud af højttaleren (blå kurve herunder). Det kaldes for akustisk kortslutning, og kan undgås ved at montere højttaleren i et hul i en plade (rød og grøn kurve).
Figur 1.9 – Måling på PC Højttaleren i en stor baffel, der skimtes i baggrunden (rød), samt i en lille
baffel (grøn) og uden baffel (blå). Måleafstanden var 1 m. Grænsefrekvensen er fB = 50 Hz for den
store baffel, fB = 430 Hz for den lille baffel og fB = 2 kHz for højttaleren alene.
1.6.2 Refleksion
En del højttalere monteres på et stativ for at løfte dem fri af gulvets refleksion, men det er umuligt
helt at undgå interferensen ved lave frekvenser, hvor lyden udbredes omtrent ligeligt i alle retninger, og kastes derfor tilbage fra gulvet med retning mod tilhøreren. Formlerne for den direkte og reflekterede lyd (pD og pR) udledes i appendiks på side 83, og der antages 4π rumvinkel.
ρf q
2h
exp(− jkr D) sin(θ) =
2 rD
rR
ρf q
2
2
p R 4π = j
exp(− jkr R ) r R = √ r D+ 4 h
2 rR
rD
ρf q
p= j
1 + D (θ)exp(− jk(r R−r D ))
2 rD
rR
c
Første minimum: f R =
2(r R−r D )
p D 4π = j
θ
h
Direkte lyd
rD
rR
Reflekteret og
forsinket lyd
[
]
Figur 1.10 – Lyden kan reflekteres fra gulvet og det forsinkede signal vil interferere med det direkte
signal og give en ujævn karakteristik. Ved lave frekvenser vil de to signaler adderes til en fordobling af lydtrykket, mens der ved højere frekvenser vil være en irregulær respons.
Lyden fra refleksionen løber længere end den direkte lyd, så den bliver både dæmpet og forsinket;
det direkte signal tilbagelægger afstanden rD, mens reflekterede signal tilbagelægger rR og bliver
dæmpet med rD/rR. Fasedrejet skrives som exp(–jkrD) for det direkte signal, og tilsvarende for det
reflekterede, der er inverteret ved frekvensen fR, hvor det første dyk optræder.
Elektroakustik
Version 2.0
15
Figur 1.11 – Det forsinkede signal interfererer med det direkte signal og giver en ujævn respons.
Her er afstanden for den direkte lyd valgt til to værdier med højttaleren i fire positioner over gulvet.
Med rD = 1 m og h = 0,8 m bliver afstanden for det reflekterede signal på rR = 1,89 m. Den ekstra afstand
udgør 0,89 m, der svarer til en halv bølgelængde ved 190 Hz (venstre, tynd streg). For rD = 5 m bliver det
første dyk tilsvarende ved 690 Hz (højre, tynd streg).
For en højttaler i en vis afstand fra gulvet vil der optræde destruktiv interferens ved den frekvens
hvor det reflekterede signal er forsinket en halv bølgelængde. Over cirka 1 kHz bliver højttaleren
retningsbestemt så det reflekterede signal aftager i amplitude og interferensen fra gulvet mindskes.
Med højttaleren monteret i plan med gulvet (h ≈ 0) reduceres den firkantede parentes til 1 + rD/rR,
der er tæt på faktor 2, så en højttaler tæt på en meget stor flade vil præstere det dobbelte lydtryk10.
Det kan udnyttes ved at placere bashøjttaleren lavt, så refleksionen fra gulvet giver 6 dB løft.
Figur 1.12 – Måleopstilling for PC Højttaleren på et bord med målene 0,6 m x 1,3 m, der er akustisk
stort over 90 Hz. Afstanden fra højttaler til mikrofon er 0,5 m regnet fra midtpunktet mellem kabinetterne og drejningsvinklen er 30° for den sidste opstilling. Refleksionen fra bordet hæver bassen og
ligeledes ved brug af to højttalere, der samarbejder i bassen. Kurverne er forskudt 10 dB.
Målepositionen er lidt udenfor kanten så den forventede fordobling reduceres til 4,3 dB ved 1 kHz. Med to
højttalere monteret tæt siger lydtrykket for frekvenser med lang bølgelængde i forhold til afstanden mellem
enhedernes centre, og her ses 4,9 dB stigning. Til sidst er de to højttalere trukket 600 mm fra hinanden, og
den forøgede afstand til mikrofonen giver et 1,3 dB svagere niveau som målingen bekræfter. Målte værdier
ved 1 kHz er: 80,7 dB, 65,0 dB, 49,9 dB og 28,6 dB. Diskanten var inverteret ved målingen.
10 Noget tilsvarende udnyttes ved Surface Microphones hvor mikronen ligger plant på et bord og drager nytte af reflektionen.
16
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
1.6.3 Diffraktion
Lydens trykbølger udbreder sig ved lave frekvenser i alle retninger væk fra højttaleren. Ved kabinettets kant ændres udbredelsesforholdene momentant idet støtten fra kabinettets frontplade ophører. En måling af impulssvaret fra højttaleren viser at det direkte signal efterfølges af et ekko
med halv amplitude og modsat polaritet, og tidsforsinkelsen svarer til afstanden til kanten.
Reflekteret og
forsinket lyd rR
a
ρf q
exp(− jkr D )
rD
ρf q
p R 2π = −0,5 j
D (θ)exp(− jk (a +r D ))
a+r D
r
ρf q
p=
1−0,5 D D(θ)exp(− jka)
rD
a+r D
c
Første maksimum: f D =
2a
p D 2π = j
[
Direkte lyd rD
]
Figur 1.13 – Diffraktion fra kabinettets kanter skaber interferens. Modellen antager at højttaleren er
monteret i centrum af et cirkulært kabinet med radius a.
For en cirkulær plade med radius a = 0,17 m vil første maksimum indtræde ved fD = 1 kHz og amplituden
er 9,5 dB over niveauet ved lave frekvenser.
Et eksempel vises herunder11 hvor kabinettets front er cirkulær med en punktformet højttaler i centrum12. Forsinkelsen er den samme i alle retninger så matematikken bliver enkel. Forskellen mellem teori og måling skyldes at der blev målt på en tynd plade, så der løber en trykbølge langs med
bagsiden, som ved en ny kantdiffraktion skaber interferens med forsidens signaler13. Resultatet
svarer godt til de målinger Harry F. Olson tidligere har publiceret14.
Figur 1.14 – Beregning af responsen for en cirkulær plade med radius a = 170 mm sammenlignet
med en måling for en punktformet lydkilde monteret i centrum af denne plade.
Symmetrien ved den cirkulære plade gør den til den værst tænkelige frontplade, så en rektangulær
frontplade er langt at foretrække, da den variable afstand fra højttalerens centrum til kanten udtværer af responsens toppe og dale, som vist herunder. Højttaleren bliver retningsbestemt ved høje
frekvenser hvilket reducerer interferensen i det høje frekvensområde, da der ikke sendes lyd ud
mod forpladens kanter.
11 Kurverne er fra min MSC afhandling, ”Loudspeaker Cabinet Diffraction”, DTU 2006, der er tilgængelig fra www.torean.dk.
12 Målingen byttede om på mikrofon og højttaler, så mikrofonen var placeret i bafflens centrum med højttaleren i en vis afstand. Det er
et almindeligt måleteknisk trick, når påvirkningen fra højttalerens relativt store dimension ikke er ønskelig.
13 Det skarpere forløb ved målingen kan eftergøres ved at medtage diffraktionen af højere orden med den gentagne refleksion.
14 Harry F. Olson “Direct Radiator Loudspeaker Enclosures” Audio Engineering Society, November 1951.
Elektroakustik
Version 2.0
17
340
200
Figur 1.15 – Måling af frekvensresponsen for en punktformet lydkilde monteret i centrum af en rektangulær plade med typiske mål for en forplade, dog er tykkelsen kun 12 mm.
Den gennemsnitlige afstand fra højttalerens centrum til kanten er 150 mm, der svarer til en halv bølgelængde ved 1,2 Hz hvor niveauets maksimum forventes. Perimeteren er 1,08 m, der antyder at forpladen
er akustisk lille under 320 Hz, så her er støtten fra frontpladen væk.
Uanset forpladens form er det generelle udtryk for diffraktion et niveau på –6 dB i bassen og en
pukkel på 3,5 dB ved den frekvens hvor reflektionen er i fase med den direkte lyd.
1.6.4 Sammenfatning
De to modeller for baflens størrelse og diffraktion ved kanten kan samles til en resulterende model
(se også side 37). Begge modeller antager at baflen er cirkulær og ikke kvadratisk, men der er alligevel en udmærket overensstemmelse med måledata. Højttaleren har ka = 1 ved 1,1 kHz så membranen må forventes at bryde op ved cirka 3 kHz, hvor måledata da også afviger.
Figur 1.16 – Måling af frekvensresponsen for højttaleren monteret i den lille baffel og sammenlignet
med modellerne for bafflens indflydelse.
Bafflens radius var sat til b = 0,22 m som et kompromis mellem den korteste afstand fra højttaleren til kanten på 0,2 m og den længste afstand på 0,28 m til hjørnet.
18
Version 2.0
Tore Skogberg
1 Elektroakustik
1.7 Design af et kabinet
Herunder følger et udpluk af de overvejelser man skal tage stilling til.
Den dybeste bas, der kan gengives ved fuldt niveau, er givet ved højttalerens resonans idet niveauet aftager under resonansen med 12 dB/oktav. Det er almindeligt at specificere en højttalers
laveste grænsefrekvens ved –10 dB der svarer til en frekvens på 2–10/12 = 0,56 gange resonansen,
så en resonans på 50 Hz sætter grænsen ved 28 Hz.
Som en tommelfingerregel vil et kabinet med samme volumen som højttalerens VAS hæve den mekaniske resonans med faktor 1,4 (40 %). Hvis det ikke tillader en tilfredsstillende dyb bas må de
såkaldte ventilerede kabinetter af typen basreflex og transmission line overvejes.
For at de dybeste toner omkring 30 Hz skal kunne høres skal niveauet være over 60 dB SPL, og
for at præstere et såkaldt realistisk niveau omkring de 90 phon skal højttaleren give 110 dB SPL
(se side 7). Det stiller krav til membranens areal og amplituden af membranens udsving, og som
vist herunder kan der være problemer med at opnå dyb bas med en enkelt bashøjttaler.
Farvede kurver:
Robinson-Dale
Sorte kurver:
Lydtryk r = 1 m:
2
ρ S D (2 π f ) x MAX
p RMS =
4π r
√2
Figur 1.17 – De sorte kurver viser det maksimale lydtryk i 1 m afstand fra en frontstrålende højttaler
ved en amplitude af membranen på 5 mm som funktion af frekvensen og med membranens radius
som parameter. De kulørte kurver viser lydniveauet efter Robinson-Dale.
Diffraktionen vil altid give et lavere lydtryk i bassen hvor højttaleren arbejder mod hele rummets volumen og uden støtte fra kabinettets frontplade, og det påvirker responsen med –6 dB i bassen før
frontpladen træder til og giver +3,5 dB løft ved den første top. Det er muligt at påvirke diffraktionen
ved en passende udformning af kabinettet, og resultaterne fra Harry F. Olson viser at der kan opnås en betydelig udkævning af diffraktionen for et kabinet med en skrå kant med en sidelængde på
0,3 m, men det kan sjældent indpasses i et konventionelt design. En afrunding over nogle få centimeter kan have en funktion ved en diskanthøjttalers aktive frekvensområde, men er betydningsløs
for en bashøjttaler.
En refleksion fra gulvet kan udnyttes til at hæve niveauet i bassen, idet reflektionen giver 6 dB løft
for en bashøjttaler tæt på gulvet. Ved nogen afstand til gulvet aftager støtten over en vis frekvens
og det kan eksempelvis benyttes til at korrigere for diffraktionens bastab (se side 16). Det betyder
at et den tiltænkte placering i lytterummet er vigtig, og da man ikke kan være sikker på at brugeren
placerer højttaleren som ønsket, så er resultatet i praksis svært at garantere.
Elektroakustik
Version 2.0
19
I den høje ende af bashøjttalerens frekvensområde, men under delefrekvensen, bliver den direktiv
så diffraktionen reduceres, men der udstråles nu mindre lydeffekt til lytterummet selv om lydtrykket
på aksen er jævn. Over delefrekvensen udstråler diskanthøjttaleren igen lyden i alle retninger, så
her er der diffraktion fra kabinettets kanter, men ved de højeste frekvenser bliver diskanthøjttaleren
også retningsbestemt. Det betyder at der er to frekvensområder hvor en tovejs højttaler udstråler
lyden ligeligt i alle retninger (i bassen og over delefrekvensen) og dertil to områder hvor højttaleren
er direktiv (under delefrekvensen og i den højeste diskant), så det er svært at designe en tovejs
højttaler, med en konstant effektudstråling til det diffuse lydfelt.
Et design af en højttaler med separate enheder for bas og diskant kræver anvendelse af et delefilter. Ved den populære tovejs højttaler er det nødvendigt at lægge delefrekvensen i det frekvensområde hvor bassen er retningsbestemt og membranen bryder op. Det skyldes dels at en diskanthøjttaler falder af som et anden-ordens filter under 1 kHz, og dels at den ikke kan tåle mere end
nogle få watt. Man placerer normalt delefrekvensen omkring 2 kHz for at kunne dæmpe de lavere
frekvenser inden den selv begynder at falde af.
Det passive delefilter er stadig det mest populære, men er handicappet af at højttalerens impedans
er funktion af frekvensen, så formlerne er i bedste fald vejledende. Dertil kommer at de to enheder
begge har en frekvensafhængig amplitude og fase, som bidrager til overføringsfunktionen for det
komplette system. Der ses eksempler på at kompensere for en faseforskel hen over delefrekvensen ved at forskyde enhederne i det vandrete plan, fx ved at vinkle kabinettet, eller ved at invertere
den ene af enhederne gennem en ombytning af de to tilledninger.
Stående bølger i kabinettet kan beregnes på samme måde som for de stående bølger i et lytterum,
og bør dæmpes da de hørbart kan ændre på en højttalerens overføringsfunktion. En dæmpning af
resonanserne opnås bedst ved at placere dæmpemateriale i det indvendige volumen, hvilket kræver at materialet foldes, men af forskellige årsager kan det være nødvendigt at lime det fast til de
indvendige flader. Kabinettet skal almindeligvis være så stift at der ikke transmitteres lydenergi fra
det indre volumen til omgivelserne. Det kan kræve anvendelse af afstivninger, eksempelvis i form
af plader på tværs i kabinettet. Enkelte designere inddrager dog kabinettet som en akustisk del og
tillader derved at siderne klinger med.
Et par kommentarer til designet af PC højttaleren:
1. Højttalerenhederne15 er valgt for at bygge et kompakt kabinet med en rimelig basgengivelse
for musiklytning ved et begrænset lydtryk. Bassen måtte ikke være over 100 mm i diameter
så kabinettet kunne stå på bordet ved siden af computerens skærm.
2. Resonansen af bassens mekaniske system lå på 50 Hz og kabinettet dimensioneres til VAS
på 6 dm3, så resonansen flytter op til 70 Hz og godheden stiger ligeledes fra 0,4 til 0,6. Som
vist på de foregående sider dækker højttaleren op til 4 kHz med megen uro i responsen
mod højere frekvenser så den bør dæmpes over 2 kHz. Delefrekvensen burde være under
1,4 kHz for ka < 1, men det er for lavt til diskanten, så valget faldt på 2 kHz.
3. Diskanten benytter magnetisk olie i luftgabet så svingspolen dæmpes mekanisk og derved
undgås den sædvanlige top i impedansen. Diskantens følsomhed er 5 dB højere end for
bassen så det er nødvendigt at inkludere et dæmpningsled i delefiltret. Som det ses af målingerne kunne højttaleren have gavn af en yderligere dæmpning af diskanten, og det er
konsistent med lytning på højttaleren.
15 Bashøjttaleren er Number One SPH-100c fra Monacor, med en diameter af membranen på blot 100 mm. Den har et stift ophæng,
så den er ikke specielt følsom overfor kabinettets volumen. Diskanthøjttaleren er en Number One DT-107 fra Monacor, der har en
magnetisk olie i luftspalten så dens resonans er dæmpet.
20
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2 HØJTTALEREN
Der er gennem tiden udviklet flere principper for omsætning af elektrisk energi til akustisk energi, som alle
er i brug i større eller mindre grad. Det elektro-dynamiske princip er dog helt dominerende og analyseres i
dette kapitel, hvor der opbygges en model af den, som analyseres ved populære typer af kabinetter.
2.1 Højttalerprincipper
Højttaleren er en transducer som omsætter elektrisk energi til akustisk energi, og det kan gøres på
flere måder, hvor de kommercielt tilgængelige principper gennemgås kortfattet herunder.
2.1.1 Elektrostatisk højttaler
Elektrostatiske kræfter kan flytte en let membran af ledende folie, som skubber til luften. Kraften på
membranen er givet ved det elektriske felts styrke, der er proportional med den påtrykte spænding
og omvendt proportional med afstanden mellem membran og elektrode. Kraften er ikke afhængig
af spændingens fortegn, så forvrængningen holdes nede ved en fast påvirkning med polariseringsspændingen UP, som giver en ligevægtsstilling membranen kan svinge omkring.
Ramme
Elektrode
areal A
UI = 0
0
Membran
kraft F
ϵ A UI
Qd
⇒ Q= 0
ϵ0 A
d
ϵ0 = 8,85⋅10−12 F/m
ϵ0 A 2 U 2I
Q2
F=
=
2
4
4 π ϵ0 d
4 πd
2
2
ϵ A UP
u
F≈ 0
(1+2 I )
4
UP
4πd
U=
UI = UP + uI
0
Afstand d
d
Figur 2.1 – Den principielle opbygning af en elektrostatisk højttaler hvor en udspændt membran af
et elektrisk ledende materiale tiltrækkes af et elektrisk felt. Ved små udsving er bevægelsen lineær.
Højttaleren bygges oftest symmetrisk, så der undgås en statisk deformation af membranen med
brug af to elektroder og en fast polarisering. Det er ikke realistisk at drive membranen direkte fra
effektforstærkeren (med en rørforstærker som mulig undtagelse), så en transformator omsætter
spændingen til kV-niveau med en polariseringsspænding på 5 kV. Overslag i luft optræder ved cirka 3 MV/m, og da en elektrostatisk udladning kan beskadige membranen indeholder systemerne
ofte elektronik for en detektion af en begyndende strøm mellem membran og elektrode.
Lyd
Effektforstærker
UI
0
Lyd
UHT – UG
Transformer
UHT
R
UHT + UG
Figur 2.2 – Den principielle opbygning af en elektrostatisk højttaler. Membranen oplades fra en
højspændingsgenerator, og signalet tilføres to perforerede plader i modsat polaritet så membranen
påvirkes af en resulterende kraft. Til højre en elektrostatisk højttaler fra Quad.
Det er svært at isolere forsiden fra bagsiden, så der er en vis grad af ”akustisk kortslutning” mellem
de to sider af membranen, og det giver en relativt høj værdi af den lave grænsefrekvens.
Elektroakustik
Version 2.0
21
2.1.2 Ionisering som drivkraft
Ioniseringen af luften undgås i den elektrostatiske højttaler, men danner selve fundamentet for en
højttaler uden membran. Hvis spændingsforskellen mellem en lille elektrode med negativ ladning
og en noget større elektrode er høj nok vil luften ioniseres nær ved den lille elektrode. Der løber nu
en strøm af elektroner fra den negative elektrode til den positive, og driftsstrømmen kan påvirkes
af et elektrisk eller magnetisk felt, eller intensiteten af ionisering kan moduleres for at danne lydbølger som følge af en variation i opvarmningen af luften. Ionisering af luftens indhold af oxygen og nitrogen danner giftige gasarter, der kan være problematiske i lukkede rum, men ionisering kan også
opnås ved at brænde gas i en flamme (søg fx efter singing flame).
Elektrode (–)
Ioniseret
område
i
Driftområde
Elektrode (+)
Figur 2.3 – Den principielle opbygning af en højttaler baseret på ionisering af luften. Til højre et
eksempel på en fuldtoneenhed hvor den negative elektrode er udspændte tråde (Kronos EFA).
2.1.3 Piezoelektrisk højttaler
En del diskanthøjttalere udnytter en piezoelektrisk effekt, som omsætter en elektrisk spænding til
en bøjning af et plastmateriale. Den modsatte effekt benyttes i piezoelektriske accelerometre til at
omsætte vibration til spænding, og i lightere, hvor en kraftig, mekanisk påvirkning giver en gnist.
Piezoelektriske højttalere findes som mellemtone- og diskanthøjttalere og som regel i forbindelse
med et horn, for at omsætte det relativt svage signal til et brugbart niveau. Den piezoelektriske
højttaler benyttes i PA anlæg på grund af dens store robusthed, idet kan højttaleren bruges uden
delefilter op til cirka 30 V påtrykt direkte (det er over 100 W i 8 Ω), og den optager først effekt fra
cirka 4 kHz og op. Ved meget høje effekter anbefales et simpelt filter for at beskytte højttaleren
imod spændingen fra de dybe toner.
Piezoelektrisk
membran
UI
0
Horn
Figur 2.4 – En piezoelektrisk højttaler benytter et plastmateriale, der vrides når det påtrykkes en
spændings. I midten et diskanthorn MPT-005 fra Monacor, og til højre en skiveformet transducer af
et piezoelektrisk materiale (fra Wikipedia).
De piezo-elektriske højttalere findes som billige, skiveformede lydgivere, der kan styres direkte fra
en mikroprocessors digitale udgang for brug over et begrænset frekvensområde. De findes også
som integrerede lydgivere med en indbygget oscillator og en akustisk resonator, dannet af en lille
kasse med et hul, som giver et højt lydtryk ved lavt effektforbrug, men kun ved én frekvens.
22
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.1.4 Magnestatisk højttaler
En variant over det elektrostatiske princip benytter en tynd, elektrisk ledende folie, der er ophængt i
en magnets luftgab. En elektrisk strøm i folien vil give en mekanisk påvirkning fra Lorenz-kraften,
der er vinkelret på både magnetfeltet og strømmens retning. For at udnytte det magnetiske luftgab
bedst muligt skal båndet være smalt, så princippet findes hyppigst anvendelse til mellemtone og
diskant, hvor den lille dimension desuden giver en god spredning af lyden i det horisontale plan.
Flere moduler kan benyttes for at øge det samlede areal af membranen, men for basgengivelse
kræves dimensioner, der er sammenlignelige med en dør, dels for at kunne sætte en tilstrækkelig
stor luftmængde i bevægelse, og dels for at undgå den akustiske kortslutning mellem udstrålingen
fra for- og bagside. Højttalere af denne type markedsføres under betegnelser som Magnetostat og
Magneplanar, og de betegnes ofte ribbon loudspeakers i den tekniske litteratur.
Metalramme, eventuelt
med perforeret bagside
N
S
Permanentmagnet
Metalfolie
x
N
S
Beskyttelsesgitter
Figur 2.5 – En magnestatisk højttaler benytter et tyndt elektrisk ledende bånd, som er monteret i et
magnetsystems luftgab (Magneplanar).
Den elektriske impedans er givet af båndet, og er ofte så lav at der behøves en transformator for
en tilpasning til effektforstærkeren, men der markedsføres højttalere beregnet for direkte tilslutning.
De store enheder for basgengivelse har udstråling fra begge sider af folien og vil derfor have en
dipolkarakteristik, hvor der i princippet ikke udsendes effekt mod siderne.
2.1.5 Elektro-dynamisk højttaler
Det mest udbredte af principperne udgøres af den elektro-dynamiske højttaler, der benyttet en let
og stiv membran til at flytte luften, og som ”motor” har en elektrisk spole placeret i et magnetfelt.
Højttaleren findes i et utal af varianter fra store bashøjttalere, over mindre enheder for gengivelse
af mellemtone og diskant, til enheder for gengivelse af hele det hørbare frekvensområde. Dertil
kommer specialenheder som horndrivere, og robuste højttalere, der tåler vand og højtryksspuling.
De fleste højttalere indbygges i et kabinet for at undgå den akustiske kortslutning, men der findes
også højttalere for montage på paneler, hvor lydgengivelsen benytter panelet.
Det er svært at overføre energi til det akustiske system fordi luften er så let at flytte uden at give et
betydende modtryk, og den elektro-dynamiske højttaler er ingen undtagelse; virkningsgraden er i
området fra 0,1 til 2 %. Det er muligt at opnå højere virkningsgrad ved brug af et akustisk horn, eller ved en tilpasning af kabinettet så det udnytter en resonans, hvilket dog samtidigt begrænser det
anvendelige frekvensområde.
Elektroakustik
Version 2.0
23
2.2 Højttalerens model
Den elektro-dynamiske højttaler benytter en let og stiv membran, som sættes i bevægelse af en
elektromagnetiske kraft for at overføre energi til luften. I dette afsnit opbygges en model af den
elektro-dynamiske højttaler, og fra side 34 og frem studeres forskellige montageformer.
Højttaleren er en transducer, der omsætter energi mellem tre systemer; det elektriske, mekaniske
og akustiske. Der er en meget nær kobling mellem systemerne, så der udveksles energi hen over
to systemgrænser; den elektrisk-mekanisk grænseflade ved højttalerens kraftfaktor Bl, og den mekanisk-akustiske grænseflade ved membranens areal SD. Den nære kobling mellem systemerne
betyder at den elektriske impedans afspejler forholdene i såvel det mekaniske som det akustiske
system, så det er muligt at måle alle vigtige parametre for alle tre systemer fra den elektriske side.
Højttalerenhedens parametre oplyses i databladet for en given højttaler ved dens Thiele-Small parametre, der er vist i det følgende afsnit og som uddybes senere i kapitlet.
RE
UG
Bl
i
F = Bl i
u = Bl v
u
Effektforstærker
Elektriske system
SD
v
F
q
q = SD v
F = SD p
p
qF
qB
ZAR
ZAB
Membranens
forside
Membranens
bagside
Akustiske system
Mekaniske system
Figur 2.6 – Højttaleren drives i det elektriske system ved spændingen UG fra effektforstærkeren, der
fører strømmen i ind i højttaleren givet ved spændingsdifferensen over DC modstanden RE. Strømmen giver en mekanisk kraftpåvirkning F på membranen, som accelereres til hastigheden v, og via
membranens areal SD flytter et volumen af luft med volumehastigheden q, der giver trykdifferensen
p over membranens to sider i det akustiske system med ZAF for forsidens impedans og ZAB for bagsidens. For- og bagsidens volumehastigheder qF og qB er modsat rettet da bagsiden går ind og
producerer et undertryk, når forsiden går frem og producerer et overtryk.
Højttalerenheden findes i mange fysiske udformninger, hvor de to mest udbredte er gengivet i illustrationen herunder, og de vil blive behandlet under ét da de ikke adskiller sig væsentligt fra hinanden. Teorien vil også fungere for en dynamisk mikrofon, der er opbygget på helt samme måde som
diskanten; forskellen er at membranen nu sættes i bevægelse af det akustiske system, som giver
en spænding over de elektriske tilslutningsklemmer. På samme måde optræder der en tilbagevirkning i en højttaler fra trykket i kabinettet og eventuelt en resonans i en basport.
Membran og svingspole med bevægelig masse MMS
Akse
Hastighed, v
Luftgab med
induktionen B
Svingspole
med en effektiv
trådlængde l
Styr med eftergivelighed CMS og
mekanisk tabsmodstand RMS
Monterings
flange
Akse
Hastighed, v
Keramisk
magnet
Figur 2.7 – Snit igennem en bashøjttaler (venstre) og en diskant (højre). Membranen er ophængt i
nogle styr, så den kun kan bevæge sig i akseretningen, der her er vist lodret. For en bashøjttaler
kan bagsidens lydtryk passere gennem huller i rammen, og undertiden gennem et hul i magnetens
centerdel, mens bagsiden for en diskanthøjttaler er spærret inde i et lukket rum.
Membran og svingspole har tilsammen den bevægelige masse på typisk MMS = 5 … 50 g for en bashøjttaler, og nogle få gram for en diskanthøjttaler. Styrenes eftergiveligheden er CMS > 1 mm/N for en almindelig
bashøjttaler. De mekaniske tab er typisk RMS < 1 Ns/m.
24
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.2.1 Thiele-Small parametre
De vigtigste af højttalerens parametre beskrives i dens datablad som dens Thiele-Small parametre,
hvor eksemplet herunder angår de to enheder i PC Højttaleren. Parametrene er resultatet af en serie af artikler fra A. Neville Thiele og Richard H. Small, der introducerede en metode for beregning
af lavfrekvensresponsen for højttaler og kabinet.
Thiele-Small parameter
Symbol
SPH-100c
DC modstand
RE
6,0 Ω
Svingspolens selvinduktion
LE
0,65 mH
Resonansfrekvens
fS
50 Hz
Masse af bevægelige system
MMS
7g
Eftergivelighed af styr
CMS
1,45 mm/N
Mekanisk godhed
QMS
3,53
Elektrisk godhed
QES
0,5
Mekanisk tabsmodstand (beregnet fra data)
RMS
0,6 Ns/m
Ækvivalent volumen
VAS
6 dm3
Kraftfaktor
Bl
5,1 Tm
Membranens effektive areal
SD
0,0054 m2
Maksimal lineær bevægelse
XMAX
±4 mm
Følsomhed (r = 1 m, UG RMS = 2,83 V)
S
84 dB
DT-107
1200 Hz
89 dB
Den elektro-mekaniske model, der præsenteres i de følgende afsnit, kan benyttes til at bestemme
værdien af højttalerens parametre, som det er eksemplificeret i tabellen herunder. Formlerne kan
hentes fra de efterfølgende afsnit, og de viser blot en af flere mulige beregningsmetoder.
Parameter
Forklaring
Kommentarer
Modstandsværdien er afhængig af temperaturen (0,3 %/K), og det er generelt svært
at måle lave modstandsværdier.
RE =
U DC
I DC
Måling af svingspolens modstandsværdi med et
multimeter, eller ved at påtrykke en spænding UDC og
måle strømmen IDC.
LE =
RE
2 πf 1
Frekvensen f1 findes hvor impedansen ZE er vokset
med 3 dB fra værdien i området over resonansen, eller fra RE til 1,41·RE.
Hvirvelstrøm i magneten påvirker den
målte impedans.
Bl =
gMX
I DC
Højttaleren placeres med membranen opad og den
belastes med en masse MX (fx 50 g), der giver kraften
F = gMX, hvor g = 9,82 m/s2 er tyngdeaccelerationen.
Strømmen IDC indstilles så nul-positionen retableres.
Kraftfaktoren er funktion af frekvensen og
forskydningen, så den målte værdi er kun
korrekt i hvilepositionen.
C MS =
Δx
Bl I DC
Massen MX fjernes og forskydningen Δx væk fra nulpositionen måles ved strømstyrken IDC.
Eftergiveligheden og kraftfaktoren er funktion af forskydningen.
M MS =
1
(2 π f 0 )2 C MS
Resonansens frekvens f0 er ved impedansens maksimum.
Med højttaleren i et kabinet vil CMS inkludere voluminet heraf.
Q MS =
f0
Δf
Godheden af resonansen bestemmes fra frekvensen
f0 og afstanden Δf mellem de to frekvenser hvor impedansen er –3 dB.
For kun at måle de mekaniske tab skal
højttaleren drives fra en høj impedans
hvor RG >> (Bl)2/RMS. Typisk RG = 1 kΩ.
R MS =
1 M MS
Q MS C MS
De mekaniske tab beregnes fra godheden QMS, membranens masse MMS og styrenes eftergivelighed CMS.
Denne formel er benyttet ved RMS for PC Højttaleren.
Tabet er afhængigt af frekvens og amplitude samt absorption i det akustiske miljø.
Elektroakustik
√
Version 2.0
25
2.2.2 Det elektriske system
Svingspolen (voice coil) består af en tråd af kobber eller aluminium, der er viklet op til en spole, og
som befinder sig i et magnetfelt. Svingspolen beskrives ved DC modstanden RE og selvinduktionen
LE, hvor index E refererer til det elektriske system. Magnetfeltets luftspalteinduktion B og længden l
af svingspolens tråd i magnetfeltet giver kraftfaktoren Bl (force factor) med Bl = 5 Tm som en typisk
værdi. For at indikere omsætningen fra det elektriske system til det mekaniske vil kraftfaktoren
også ses angivet som Bl = 5 N/A, der betyder præcis det samme, så en strøm i spolen vil påvirke
den med en kraft fra Amperes lov, der også kaldet Lorentzkraften.
Strømmen i svingspolen vil ultimativt resultere i en bevægelse af svingspole og membran, og det
vil inducere en spænding i svingspolen, der i henhold til Faradays lov udtrykkes ved hastigheden v
og kraftfaktoren Bl. Spændingen modvirker strømmen i svingspolen, og den udgør en vigtig del af
højttalerens funktion.
RG
IG
RE
LE
UG
Forstærker
Elektriskmekanisk
kobling
u
Elektriske system
v
F = Bl
F
f E≈
U G −Bl v
,
R E + sL E
Lorentz: F = Bl i
Faraday: u = Bl v
RE
Diskant:
,
2 π LE
Bas:
f E ≈ 10 kHz
f E ≈ 1 kHz
Grænseflade
Figur 2.8 – Højttalerens elektriske system består af effektforstærkeren, her repræsenteret ved en
spændingskilde UG, dertil modstanden RE fra svingspolens tråd og selvinduktionen LE fra spolens
bevikling. Reaktionen fra det mekaniske system beskrives ved spændingskilden Blv for Faradays
induktionslov som følge af den hastighed v svingspolen bevæger sig med. Højttalerens ”motor”
beskrives ved kraftfaktoren Bl hvor B er magnetfeltets induktion og l den effektive længde af tråd,
som befinder sig i magnetfeltet. Svingspolens selvinduktion er betydende over frekvensen fE.
Set fra den elektriske side består højttaleren af DC modstanden RE fra beviklingen af svingspolen
og selvinduktionen LE fra spolevirkningen. DC modstanden udgør mindst 80 % af den nominelle
impedans, så en 8 Ω højttaler bør mindst have RE ≥ 6,4 Ω, men jeg har eksempelvis målt 5,6 Ω for
enheden i PC Højttaleren. Effektforstærkerens indre modstand RG og tilslutningskablets modstand
er seriekoblet med højttalerens DC modstand som RG + RE, men da RG oftest er under 0,1 Ω har
den ringe betydning og undlades ofte i diagrammaterialet. Undtagelserne er rørforstærkere, hvis
indre modstand kan være af samme størrelse som DC modstanden, samt tynde kabler. Værdien af
RG + RE har betydning for den elektriske dæmpning af højttaleren og frekvensresponsen. Man bør
dog også være opmærksom på at et delefilter indeholder seriekomponenter, og at DC modstanden
af en seriekoblet spole kan blive så høj at den indvirker på funktionen.
Der er megen diskussion om tilslutningskablets indvirkning på højttalerens lydgengivelse, ikke mindst på
internettet, men der mangler en videnskabelig begrundelse for de fleste af påstandene. Det mest holdbare
er at kablet skal have et så stort tværsnit af kobber, at DC modstanden i kablet bliver ubetydelig i sammenligning med svingspolens DC modstand. Hvis grænsen arbitrært sættes til 10 % svarer den til cirka 0,6 Ω,
og indvirkningen på frekvensresponsen er da under 1 dB.
Svingspolens selvinduktion LE er cirka 1 mH for en bashøjttaler og mindre for en diskant, og den
reducerer strømmen ved høje frekvenser. Værdien dominerer over RE fra omkring 1 kHz for en
bashøjttaler, mens en diskant næppe har en mærkbar indvirkning herfra. En konsekvens er dog at
højttalerens impedans stiger med frekvensen. En højttalers konstruktion kan godt holde lydtrykket
på aksen konstant, selv om strømmen i svingspolen aftager, for højttaleren bliver direktiv og vil kun
udsende lydeffekt i en mindre rumvinkel. Selvinduktionen ses i en del litteratur modelleret med en
modstand i parallel for at repræsentere tab fra hvirvelstrømme i magneten; det udelades dog her.
26
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.2.3 Det mekaniske system
Kraften på svingspolen er givet ved højttalerens kraftfaktor og strømmens styrke som F = Bl i, der
vil accelerere massen af svingspole og membran MMS efter Newtons anden lov. Når svingspole og
membran bevæge sig vil styrene fungere som en fjeder, der trækker dem tilbage igen i takt med at
afstanden øges fra ligevægt16. Der tabes energi fra intern friktion i styrene, og det modelleres ved
en mekanisk modstand RMS. Der er andre tabmekanismer, fx dæmpningmsmaterialet i kabinettet
og den afgivne lydeffekt, men de kan alle inkluderes alle i de mekaniske tab ved RMS.
F (t ) = F Masse (t )+F Tab (t)+F Fjeder (t )
dv ( t)
1
F (t ) = M MS
+ R MS v(t)+
∫ v(t) dt
dt
C MS
1
F( s) = s M MS v( s)+ R MS v (s)+
v (s)
s C MS
R MS
s
M MS
F( s)
v (s) =
R
R MS
1
2
s + MS s+
M MS M MS C MS
MMS
RMS
F
CMS
0x
x
Figur 2.9 – Den mekaniske model af det svingende system med massen MMS, tabene RMS og
eftergiveligheden CMS. Newtons anden lov giver kraften MMS dv/dt hvor membranens hastighed er v,
og massen har et ”ekstra ben” for at angive bevægelsens reference. Tabet antages proportional
med hastigheden som kraften RMSv. Styrene trækker svingspole og membran tilbage til ligevægt
ved kraften x/CMS hvor x er afstanden væk fra ligevægt, og da hastigheden er lig med den afledte af
afstanden, v = dx/dt, findes kraften fra styrene ved integration.
Det mekaniske system vil svinge frivilligt hvis det sættes i gang, og frekvensen er givet ved det
konstante led som ω02 = 1/MMSCMS. Svingningen vil dø ud når påvirkningen ophører som følge af
tabene repræsenteret ved RMS, og det beskrives ved godheden QMS (eller dæmpningen dMS) ved
koefficienten til leddet af første orden. Beregningen herunder kræver at det elektriske system ikke
blander sig, så højttaleren må ikke være forbundet til en effektforstærker; den dukker først op når
de elektriske og mekaniske systemer kombineres. Det har den praktiske betydning at den elektriske dæmpning dominerer over den mekaniske, og derved dæmper problemer med en ikke-lineær
dæmpning fra membranens styr.
1
1
ω s
Q MS 0
F (s)
v (s) =
1
R
s2 +
ω s+ω 20 MS
Q MS 0
QMS < 1
1/QMS
f ≪ f S:
QMS > 1
0
fS
f
fS =
⇒
v ≈ j 2 π f C MS F
F
f ≫ f S: v ≈−j
2 π f M MS
ω0
1
=
2π
2 π √ M MS C MS
Q MS =
1
1
=
2 d MS R MS
√
M MS
C MS
x ≈ C MS F
F
⇒ x ≈−
(2 π f )2 M MS
⇒
Figur 2.10 – Hastigheden er proportional med frekvensen under den mekaniske resonans og den
aftager med frekvensen over resonansen. Amplituden er givet ved integration af hastigheden og er
konstant under den mekaniske resonans mens den aftager over resonansen. Frekvensområdet
omkring resonans bestemmes af godheden QMS, hvis det elektriske system ikke inkluderes.
For almindelig brug af højttaleren er det vigtigste frekvensområde over højttalerens mekaniske resonans fS, hvor bevægelsen er styret af kraften F og massen MMS; det er det vigtige, massestyrede
område (mass-controlled range). Ved lave frekvenser styres bevægelsen af styrenes CMS.
16 For en højttaler monteret i et kabinet vil den indespærrede luft virke som en fjeder, der reducerer den effektive værdi af eftergiveligheden og derved hæver frekvensen af den mekaniske resonans og dens godhed (se side 41).
Elektroakustik
Version 2.0
27
2.2.4 Det elektro-mekaniske system
Ligningen for det mekaniske system giver relationen mellem den mekaniske kraft og hastigheden,
men det er mere nyttigt med en relation mellem den påtrykte spænding og hastigheden. Den kan
opnås ved at benytte udtrykket for den mekaniske kraft i figur 2.8. Der ses bort fra det akustiske
system, hvilket er tilladeligt da virkningsgraden er meget lav, og der ses bort fra selvinduktionen af
svingspolen, hvilket typisk er tilladeligt for frekvenser under 1 kHz for en bashøjttaler, og 10 kHz for
en diskant. Dæmpningen en en funktion af både de elektriske og mekaniske parametre, hvor førstnævnte almindeligvis dominerer.
IG
RE
LE
UG
v
Elektriskmekanisk
kobling
u
Elektriske system
MMS
CMS
Bl i
Grænseflade
RMS
p=0
Bl
s
M MS
UG
v=
2
R
RE
(Bl)
1
s 2 +(
+ MS )s+
M MS R E M MS
M MS C MS
1
1
2
ωS =
⇒ fS=
M MS C MS
2 π √ M MS C MS
QTS =
Mekaniske system
1
2
(Bl)
+ R MS
RE
√
M MS
C MS
Figur 2.11 – Den elektro-mekaniske model af højttaleren for frekvenser under cirka 1 kHz.
Udtrykket beskriver et båndpasfilter, så funktionen er opdelt i to karakteristiske frekvensområder;
under og over resonansen fS. Forløbet i nærheden af resonans er givet af godheden QTS hvor området fra 0,5 til 1 almindeligvis foretrækkes med Butterworth for QTS = 0,7. Ved højere frekvenser er
bevægelsen defineret af en balance mellem den mekaniske kraft og massen af svingspole og styr;
det massestyrede område, hvor der er omvendt proportionalitet mellem hastighed og frekvensen.
Højttalerens kobling til lytterummet er her proportional med frekvensen, så lydtrykket er konstant
indtil højttaleren bliver direktiv.
x
Fjederstyret område:
f ≪fS
v ≈ j 2 π f C MS Bl
Massestyret
område
v
UG
RE
UG
x ≈ C MS Bl
RE
Massestyret område:
Fjederstyret
område
0
fS
f
f ≫fS
UG
Bl
v ≈− j
2 π f M MS R E
UG
Bl
x ≈−
2
(2 π f ) M MS R E
Figur 2.12 – Under resonansen f0 er amplituden af højttalerens udsving x konstant, da bevægelsen
er givet af kraften fra svingspolen (Bl UG/RE) og eftergiveligheden af styrene CMS. Hastigheden bliver
tilsvarende proportional med frekvensen da v = jωx. Over resonans bliver hastigheden omvendt
proportional med frekvensen idet kraften nu driver massen MMS så accelerationen er konstant. Tilsvarende bliver membranens udsving omvendt proportional med kvadratet på frekvensen.
For PC højttaleren med Bl = 5,1 N/A, RE = 6 Ω og CMS = 1,45 mm/N skal amplituden fra effektforstærkeren
begrænses til UG = 4 V for det maksimale udsving på x = 5 mm, svarende til en elektrisk effekt på 2 W.
Ved lave frekvenser er bevægelsen defineret af en balance mellem den mekaniske kraft og styrenes eftergivelighed. Det er det fjederstyrede område (stiffness controlled range), hvor amplituden
af et udsving er uafhængig af frekvensen. Det er under det frekvensområde hvor en højttaler normalt benyttes, men er betydende for hvor store membranens udsving bliver ved lave frekvenser.
Der er en grænse for hvor langt styrene kan tåle at blive trukket ud før fjederkraften afviger fra den
ønskede lineære relation, eller højttaleren lider mekanisk overlast. Grænsen er ved ±5 mm for en
typisk bashøjttaler, ±1 mm for en fuldtone-højttaler og mindre endnu for en diskant.
28
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.2.5 Elektrisk og mekanisk impedans
Den elektriske impedans er defineret ved forholdet mellem de komplekse amplituder af spænding
og strøm, og den mekaniske impedans defineres på tilsvarende måde ved forholdet mellem kraft
og hastighed, så en høj impedans svarer til at flytte en betonklods. Omregningen mellem elektrisk
og mekanisk impedans er reciprok, så en serieforbindelse overføres til en parallelforbindelse, hvor
hver enkelt impedans omsættes fra ZX til (Bl)2/ZX, mens en spændingsgenerator u overføres til en
hastighedsgenerator v (strømgenerator) i den analoge model, ved division med Bl.
i
Elektriskmekanisk
kobling
ZE
System
v
Elektrisk:
Impedans
2
u (Bl)
ZE = =
i
ZM
Relation
u = Bl v
⇒
v=
u
Bl
2
u
F
ZM
0
F (Bl)
F
=
F = Bli ⇒ i =
v
ZE
Bl
u
Bl v
v
(Bl)2
ZE = =
= (Bl)2
⇒ ZE =
i
F / Bl
F
ZM
Mekanisk: Z M =
Figur 2.13 – Omsætning mellem det elektriske og mekaniske system er reciprok, så en serieforbindelse overføres til en parallelforbindelse og kildens symbol ombyttes også.
Enheden for mekanisk impedans er [ZM] = [F/v] = Ns/m. Kraftfaktorens enhed [Bl] = N/A omsætter dette til
en elektrisk impedans [ZE] = V/A gennem relationen [(Bl)2/ZM] = (N/A)2m/Ns = Nm/A2s = V/A.
Højttalerens elektriske impedans hidrørende fra de elektriske og mekaniske systemer viser at de
seriekoblede impedanser fra det mekaniske system nu optræder som parallelkoblede reciprokke
impedanser (admittanser), i serie med svingspolens DC modstand og selvinduktion. Impedansen
vil derfor have DC modstanden som mindste værdi, der vil være en top ved den frekvens fS hvor
massen og eftergiveligheden går i resonans, derover bliver impedansen igen lig med DC modstanden, for at stiger for frekvenser over f1 på grund af svingspolens selvinduktion.
UG
ZE
(Bl)2
R MS
(Bl)2
RE+
R MS
R ES =
Z
Zmax
(Bl)2
R MS
R E +sL E
RE
fS
ZE =
UG
= R E +sLE +
IG
(Bl)2
sM MS +R MS +
1
sC MS
⇒
1
1
1
1
+
+
(Bl)2 / sM MS (Bl)2 / R MS (Bl)2 sC MS
1
Parallelforbindelse: Z 1∥Z 2∥Z 3 =
1 1 1
+ +
Z1 Z 2 Z3
1
2
ωS =
(Bl)
M
s
√ MS C MS
M MS
1
Z E = R E +sLE +
fS=
R MS
1
2
2
π
M
√
s +s
+
MS C MS
M MS M MS C MS
M MS
1
QM =
ωS s
(Bl)2
R MS C MS
Z E = R E +sL E +
ω S M MS 2 1
s+
ω s+ω 2S
LE
QM S
f1=
2 π RE
Z E = R E +sL E +
Masse
Svingspole
Styr
RE
Tab
IG
M
C ES = MS2
(Bl)
LE
L ES = (Bl)2 C MS
f1
f
√
Figur 2.14 – Højttalerens elektro-mekaniske model med svingspolens DC modstand RE og selvinduktion LE, det mekaniske systems masse MMS af det bevægelige system, RMS for tabene og CMS for
eftergiveligheden af styrene, som giver det mekaniske systems resonans f0 og godheden QMS.
Denne model tager ikke hensyn til effektforstærkerens dæmpning af spændingen fra Bl v, så godheden af resonansen er alene bestemt af højttalerens egenskaber (se også side 42).
Elektroakustik
Version 2.0
29
2.2.6 Mekanisk og akustisk impedans
I det akustiske system er de to variable volumehastigheden q, der er hastigheden af det volumen
af luft som membranen flytter, og lydtrykket p, der er den kraft luften påvirker membranen med som
følge af bevægelsen. Som ved det mekaniske system er den akustisk impedans ZA givet ved forholdet mellem lydtryk og volumehastighed, og proportionaliteten mellem systemerne er kvadratet
på arealet SD af højttalerens membran. Lydtrykket over membranen er p = ZAq. En mekanisk impedans overføres til en akustisk impedans mens en hastighed overføres til en volumehastighed.
v
Mekaniskakustisk
kobling
ZM
System
Impedans
Relation
F
2
Mekanisk Z M = = S D Z A F = S D p
v
p
Akustisk: Z A = = S 2D Z M q = S D v
q
S p
F
2 p
2
ZM = = D = SD
⇒ ZM = S D Z A
v
q / SD
q
q
F
q
p
ZA
0
Figur 2.15 – Omsætningen mellem de mekaniske og akustiske systemer.
Enheden for akustisk impedans er [ZA] = [p/q] = Nm–2/m3s–1 = Ns/m5. Arealets enhed [SD] = m2 omsætter
det til en mekanisk impedans gennem [ZM] = [SD2ZA] = (m2)2Ns/m5 = Ns/m.
2.2.7 Den komplette model
Herunder vises det akustiske system med strålingsimpedanserne ZAF for forsiden og ZAB for bagsiden. Fortegnene illustrerer at når forsiden giver et overtryk vil bagsiden give et undertryk.
IG
RE
LE
v
Elektriskmekanisk
kobling
UG
Bl v
Elektriske system
MMS
CMS
RMS
Bl i
Grænseflade
q
Mekaniskakustisk
kobling
SDp
Mekaniske system
S Dv
Grænseflade
pF qF
ZAF
pR qB
ZAB
Akustiske system
Figur 2.16 – Modellen af den elektro-dynamiske højttaler består af svingspolens modstand RE og
selvinduktion LE, samt kraftfaktoren Bl, hvor strømmen i driver den kraft, der accelererer massen af
det bevægelige system MMS til hastigheden v. Styrenes eftergivelighed er CMS og tabene er RMS. I det
akustiske system driver membranens areal SD volumehastigheden q = SDv i strålingsimpedanserne
ZAF og ZAB for kobling til luften fra henholdsvis membranens forside og bagside.
For at vise indvirkningen på det elektriske systems impedans overføres de akustiske og mekaniske
impedanser til den elektriske side. I første trin overføres det akustiske systems to seriekoblede impedanser til det mekaniske system ved en multiplikation med kvadratet på membranens areal.
IG
RE
LE
UG
v
Elektriskmekanisk
kobling
Bl v
MMS
CMS
RMS
SD2ZAF
Bl i
SD2ZAR
Elektriske system
Grænseflade
Mekaniske system med
den akustiske impedans
Figur 2.17 – Højttalerens elektro-mekaniske model med den akustiske sides impedanser overført til
den mekaniske side som mekaniske impedanser.
30
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
I andet trin overføres de mekanisk-akustiske impedanser til det elektriske system, og det resulterer
i en omsætning fra serie til parallel ved relationen ZE = (Bl)2/ZM. De fem serieforbundne impedanser
i det kombinerede mekaniske og akustiske system omformes således til parallelle komponenter i
det elektriske system. Ved resonans udbalanceres de reaktive komponenter, så impedansen stiger
til værdien givet ved svingspolens DC modstand og parallelværdien af tabskomponenterne, og det
giver toppen i impedansen ved højttalerens resonans fS som vist på side 29.
Elektriske system
Mekaniske system
(Bl)2
S 2D Z AF
Forside
(Bl)2
S 2D Z AR
Bagside
sC MS (Bl)
(Bl)2
R MS
Tab
UG
2
Styr
Svingspole
(Bl)2
sM MS
Masse
R E +sL E
IG
ω 2S =
1
M MS
(BL)2
fS=
2
(Bl) C MS
1
2 π √ M MS C MS
Akustiske system
Figur 2.18 – Højttalerens elektriske model, hvor den akustiske strålingsimpedans er omsat til det
mekaniske system ved membranens areal SD, og de mekanisk-akustiske komponenter er derefter
omsat til elektriske komponenter ved kraftfaktoren Bl.
For frekvenser under resonansen er impedansen af membranens masse høj mens impedansen af
styrenes eftergivelighed er lav, så det mekaniske system danner en kortslutning, og den elektriske
impedans bliver primært givet af den elektriske modstand i svingspolen. For en højttaler i et lukket
kabinet er den komplekse impedans fra det akustiske system dog betydende, idet kabinettets luftvolumen mindsker den resulterende værdi af systemets eftergivelighed, og det giver en stigning i
resonansen overfor højttalerens naturlige resonans; dette emne uddybes side 41.
For frekvenser i nærheden af resonans stiger impedansen til en værdi givet af tabene.
For frekvenser over resonansen er impedansen af massen lav, så den elektriske impedansen er
domineret af den elektriske modstand i svingspolen.
Impedansen fra højttalerens for- og bagside kan i væsentligt omfang påvirke både massen, tabene
og eftergiveligheden af den elektriske model. Det vises i de efterfølgende afsnit, for en højttaler i
en uendelig baffel på side 34, for en højttaler i et lukket kabinet på side 41, og for en højttaler i et
basreflex-kabinet på side 45. For at vise relationerne skal strålingsimpedansen introduceres.
2.2.8 Forsidens strålingsimpedans
Højttalere for bas- og mellemtone har membranen (diaphragm) formet som en kegle for at opnå
stor styrke samtidigt med at konstruktionen bliver let, idet lydtrykket i det massestyrede område er
omvendt proportional med massen af membran og svingspole. Det foretrukne materiale er pap,
men en del højttalere fremstilles af plast og kevlar, samt lette metaller som magnesium og titanium.
Pap har den fordel at det let kan formes under produktionen, og materialet har en god dæmpning,
der reducerer stående bølger i membranen. Det er ikke muligt at dæmpe de stående bølger ved
membraner af metal, hvor de giver et system af svingninger, der kan være radiære, koncentriske
eller en kombination heraf. Det påvirker såvel lydtrykket i lyttepositionen, som effektudstrålingen i
andre retninger end langs aksen, så det kan være svært at tøjle problemet med elektriske filtre.
For at gøre den teoretiske analyse overkommelig antages det, at membranens opbrydning ikke er
et problem. Det begrænser analysen til frekvenser hvor membranens omkreds er lille i forhold til
bølgelængden, der normalt angives i litteraturen som som ka < 1. Analysen kan derfor kun bruges
til 550 Hz for en højttaler med radius a = 100 mm, der svarer til 8 tommer. Et ideelt, plant stempel
opfører sig pænt for ka < 2, mens opbrydningen kan udgøre et problem for ka > 3, så modellen kan
med nogen varsomhed benyttes til 1 kHz for en bashøjttaler af moderate dimensioner.
Elektroakustik
Version 2.0
31
Det vil i det følgende blive antaget at højttaleren kan beskrives ved et plant, stift og cirkulært stempel, og kun udstrålingen fra forsiden vil blive behandlet, idet udstrålingen fra bagsiden benytter helt
samme teori. Ved måling på en højttaler adskilles udstrålingen fra for- og bagside ved en såkaldt
uendelig baffel, der kan realiseres ved montage i døren til det lyddæmpede rum. Det betyder at lyden udstråles til et halvt rum, der betegnes med rumvinklen 2π i modsætning til et frit rums 4π.
Membranbevægelsen afsætter effekt i luftmediet i form af trykbølger, men der er også en tynd film
af luft, som blot svinger med uden at der afsættes en effekt til luftmediet. Det beskrives ved den
komplekse strålingsimpedans, der udledes i appendiks på side 84 for en pulserende kugle, der kan
repræsentere en højttaler ved lave frekvenser. For et plant, stift og cirkulært stempel i en uendelig
baffel angives strålingsimpedansen i figuren herunder [LLB-118].
Uendelig baffel
2π
a
UG
ρc
8 ρ a3
(S D k )2+ j ω
4π
45
Mekanisk impedans Akustisk impedans
πρ
πρ 2
Strålingsmodstand:
R MR =
(S D f )2
R AR =
f
c
c
3
8ρa
8ρ
Medsvingende luft:
M MR =
M AR =
45
45 π2 a
c
Forudsætning: ka < 1 ⇒ f <
2π a
Z MR = R MR + jX MR ≈
SD = πa2
Figur 2.19 – Højttalerens strålingsimpedans er funktion af membranens radius a og frekvensen.
Med a = 40 mm er strålingsmodstanden RMR ≈ 0,064 Ns/m ved 500 Hz i den mekaniske analogi, og massen af den medsvingende luft udgør MMR ≈ 0,01 g. Til sammenligning er den mekaniske impedans af et
svingende system med massen MMS = 7 g den dominerende værdi med RMS = 2πfMMS = 22 Ns/m.
Det er den reelle del af strålingsmodstanden, der overfører effekt til luftmediet, og den er funktion
af frekvensen. Værdien er normalt så lav at man ser bort fra den ved det analytiske arbejde, og
ganske enkelt erstatter forsidens strålingsimpedans med en kortslutning (ZAF ≈ 0). Undtagelserne
ses ved højttalere monteret i lange rør, hornhøjttalere og flere højttalere i parallel. Den imaginære
del af strålingsimpedansen svarer til den mekaniske impedans af en masse (jωM), men værdien er
sjældent interessant i sig selv da den er inkluderet i databladets specifikation af højttalerenhedens
Thiele-Small parametre.
2.2.9 Afgiven effekt
Ved en uendelig baffel går bagsidens udstråling tabt og kun lydbølgerne fra fronten afsætter en effekt PA i lytterummet. Effekten er i analogi med elektriske systemer givet ved den reelle del af strålingsmodstanden RMR gange med kvadratet på hastighedens effektive værdi vRMS. Højttalerens virkningsgrad η beregnes ved division med den tilførte elektriske effekt [ANT2-471].
Uendelig baffel
2π
Afgivet akustisk effekt:
Strålingsimpedans:
a
Massestyret område:
SD = πa2
RE, Bl, MMS
Tilført elektrisk effekt:
2
P A = R MR v RMS
πρ
R MR =
(S D f )2
c
Bl U G RMS
v RMS =
ω M MS R E
PE =
U 2G RMS
RE
PA =
⇒
η=
ρ S 2D BlU G RMS
4 π c M MS R E
(
2
)
2
( )
PA
Bl S D
ρ
=
P E 4 π c R E M MS
Figur 2.20 – Den afgivne akustiske effekt PA er givet ved spændingen UG fra effektforstærkeren, DC
modstanden RE, kraftfaktoren Bl, massen af det bevægelige system MMS og membranens areal SD.
For PC højttaleren er SD = 0,0054 m2, Bl = 5,1 Tm, MMS = 0,007 kg og RE = 6 Ω, så den afgivne effekt ved
en elektrisk effekt på 1 W i 8 Ω (UG RMS = 2,83 V) bliver PA = 1 mW, og virkningsgraden bliver η = 0,1 %.
32
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.3 Lydtryk
For beregning af lydtrykket i en vis afstand fra en højttaler i en uendelig baffel benyttes bølgeligningens model af en højttaler som en punktformet lydkilde i afstanden nul fra en reflektor (se side 83).
Højttaleren er repræsenteret ved dens volumehastighed q, der giver lydtrykket p2π i afstanden r.
Volumehastigheden beregnes fra membranens hastighed v ved at gange med arealet SD, med hastigheden givet af den mekaniske model for det massestyrede område på side 28.
Uendelig baffel
2π
Lydtryk i
afstanden r
p(r)
a
UG
ρf
q
r
q = SD v
Bl U G
v=
2 π f M MS R E
v = jω x
p2 π = j
r
UG
ρ S D Bl
U
2 π r M MS R E G
r
|x| =
2 |p 2 π|
2 π ρ SD f
|p 2 π| =
⇒
p 2 π RMS
L = 20⋅log 10 (
)
pREF
fS< f < f1
SD = πa2
RE, Bl, MMS
c
2πa
−6
pREF = 20⋅10 Pa
3
ρ = 1,18 kg/m
c = 344 m/s
f1=
Figur 2.21 – Lydtrykket kan beregnes i en given afstand r med RE for højttalerens DC modstand (Ω),
MMS for massen af det svingende system (kg), Bl for kraftfaktoren (Tm), SD for membranarealet (m2),
og UG for effektforstærkerens spændingsamplitude (V).
For PC Højttaleren er SD = 0,0054 m2, Bl = 5,1 Tm, MMS = 0,007 kg og RE = 6 Ω. For 1 W elektrisk effekt i
nominelt 8 Ω behøves UG RMS = 2,83 V så der beregnes A2π = 0,35 Pa m, og lydtrykket bliver p = 0,35 Pa i
afstanden r = 1 m, der svarer til L = 85 dB SPL. Producenten oplyser følsomheden til 84 dB ved 1 W.
Det er praktisk at have styr på den amplitude membranen svinger med ved en given frekvens, og
den findes ved at udnytte at hastigheden er den afledte til positionen, som ved harmoniske svingninger giver v = jωx.
Ved lydtrykket p = 0,35 Pa (85 dB SPL) beregnes en amplitude på x = 0,8 mm for PC Højttaleren ved en
afstand på r = 1 m og frekvensen f = 100 Hz. Ved 50 Hz er amplituden øget til 3,2 mm for samme lydtryk.
Hvis generatorens spænding indsættes som en effektiv værdi (UG RMS) findes den effektive værdi af lydtrykket (p2π RMS), og svingningens amplitude findes ved at gange med kvadratroden af to.
Formlerne gælder i det massestyrede område fra højttalerens resonans fS op til frekvensen f1 hvor
omkredsen er lig med bølgelængden; 550 Hz for en 200 mm højttaler. Ved højere frekvenser er
lydtrykket ofte konstant på højttalerens akse, men aftager i andre retninger fordi højttaleren bliver
stor i forhold til bølgelængden og koncentrerer lyden i akseretningen. Mod lave frekvenser aftager
lydtrykket som et højpasfilter af anden orden idet højttaleren er styret af eftergiveligheden.
L
Fjederstyret
område
Massestyret
område
Begyndende Membrandirektivitet opbrydning
Model
tav
12
dB
/ok
c
2 πa
3c
f3≈
2 πa
f1≈
60° fra
aksen
Cirka 1 dekade
fS
fS=
På aksen
f1
f3
1
2 π √ M MS C RES
for ka =1
a=
for ka =3
√
SD
π
f
Figur 2.22 – Ved frekvenser under resonans fS aftager lydtrykket 12 dB/oktav. Over frekvensen f1 er
højttalerens omkreds længere end bølgelængden og højttaleren bliver retningsbestemt. Membranen kan bryde op for frekvenser over f3 og højttaleren er ikke længere et plant og stift stempel.
Elektroakustik
Version 2.0
33
2.4 Uendelig baffel
Herunder vises et eksempel på måling af en højttalers frekvensrespons i en stor baffel. Ideelt skal
resultatet være som vist ved den røde kurve, der er et højpasfilter med højttalerens egen resonans
på 50 Hz som grænsefrekvens og en afskæring på 12 dB/oktav ved lavere frekvenser, men den
ikke-uendelige baffel giver dertil en afskæring på 6 dB/oktav under en grænse givet af radius b.
Her er baflen modelleret som ikke-uendelig baffel (se side 36).
Figur 2.23 – Lydtrykket fra PC Højttaleren monteret i en stor baffel (sort) og den teoretiske respons
for en højttaler i en uendelig baffel med en resonans ved 50 Hz (rød).
Den totale godhed17 for PC Højttaleren er QT = 0,43 med data fra side 25, så lydtrykket vil være aftaget
med 7 dB ved resonansen i forhold til niveauet ved højere frekvenser. Højttalerens beregnede følsomhed
S (sensitivity) bestemmes fra formlen for lydtrykket side 33 for et indgangssignal svarende til 1 W i 8 Ω og
afstanden 1 m. Normalt antages at belastningen er reel og 8 Ω, så effekten nås ved en RMS værdi af
spændingen på 2,83 V, men ved målingen var der benyttet en indstilling af effektforstærkeren til –10 dB i
forhold til 10 V, så resultatet ligger 1 dB over den værdi producenten har specificeret på 84 dB.
Højttalerens radius er a = 41,5 mm så man kan forvente en overensstemmelse med teorien op til
en frekvens på f1 = 1,2 kHz, men der ses nogen ujævnhed i hele området, og det skyldes blandt
andet at der ikke er brugt en uendelig baffel, hvilket uddybes i det efterfølgende afsnit.
Baflen var rektangulær, og er omregnet til en ækvivalent cirkulær plade hvis radius b er valgt så
arealet bliver det samme som for den rektangulære baffel. I en afstand på rF = 1 m skal det give en
grænsefrekvens fra baflen på 69 Hz. Afskæringen ved lavere frekvenser bliver 12 dB/oktav fra højttaleren og 6 dB/oktav fra baflen, til en resulterende afskæring på 18 dB/oktav, og det passer ret
godt med målingen (der falder med 19 dB fra 40 Hz til 20 Hz).
Det store dyk ved 180 Hz tillægges ingen betydning her; det kan stamme fra en resonans i baflen
eller andre måletekniske detaljer, og forventes ikke at relatere til højttaleren. Ved frekvenser over
den beregnede øvre grænse for modellen på 1,2 kHz afviger målingen stærkt fra det teoretiske og
det skyldes de egenskaber højttalerenheden er født med, selv om måleopstillingen selvfølgelig
ikke kan frikendes for at blande sig.
De viste parametre fB, fD og R forklares i de kommende afsnit.
17 Beregnes af QT = QESQMS/(QES + QMS).
34
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.5 Baffel
En uendelig baffel er ikke realistisk, men en oplagt mulighed er at benytte væggen mellem to rum,
og det kan fungere godt, selv om der kan være et problem med at en smækkende dør kan blæse
membranen ud. Det største problem er dog nok at opstillingen bliver temmelig permanent, og at
ens lytterum skal indrettes efter højttaleren og ikke omvendt. Der er følgelig behov for et mindre
dominerende system, ikke mindst hvis der planlægges et 5.1-system med fem kanaler plus bas.
Man kan selvfølgelig benytte en ”stor” baffel som erstatning for den uendeligt store, men det afføder så spørgsmålet om hvornår stor, er stor nok?
Som ved alt andet indenfor akustik har svaret relation til bølgelængden af den frekvens, der skal
gengives med et vist niveau, og som vist side 7 skal en 32 Hz tone gengives ved 60 dB SPL for at
grundtonen overhovedet kan opfattes. Guitarens dybe streng på 82 Hz mister af samme grund sin
dybde ved et niveau under 30 dB SPL. Et lydniveau på 60 dB SPL svarer til lydtrykket ved øret for
en almindelig konversation, så ved baggrundsmusik i et indkøbscenter er det at skyde gråspurve
med kanoner at designe efter en grænsefrekvens under 100 Hz.
Figur 2.24 – Billeder af højttalere i åbne kabinetter, der alle kræver elektronisk korrektion for at gengive lave frekvenser (PureAudio, LinkwitzLab og GainPhile).
Frekvensen af den dybeste tone, der skal gengives, afhænger af sigtet med højttaleren. Som en
tommelfingerregel behøver tale at kunne gengives ned til 150 Hz, underholdningsmusik til 80 Hz,
kammermusik til 65 Hz, mens pop-, rock-, jazz- og symfonisk musik behøver18 50 Hz.
Renæssance- og barokmusik kan nå ned til 65 Hz som typisk værdi for cembalo og portativ, og det gælder
også en stor del af kammermusikken hvor celloen er dybeste instrument (se side 11). Pop-, jazz- og rockmusik bør kunne gengives ned til 40 Hz for at dække kontra- og elbas, med et muligt behov for en lavere
værdi for gengivelse af trykbølgen fra trommer. Klassisk symfoniske musik kan nå ned til 30 Hz ved de store kontrabasser, klaver og pauker. Det kan også passe til orglet, som kan have en meget kraftig og vedholdende grundtone. I ekstreme tilfælde kan orglet gå ned til 16 Hz, der også kan løfte behovet for keyboards
og synthesizere. Endnu lavere frekvenser kan ikke direkte høres, men vil kunne opfattes som en rystelse.
Bølgelængden ved grænsefrekvensen er 5 m ved 65 Hz, så for at kunne gengive bas uden en
elektrisk korrektion kræves en baffel med en mindste dimension på en halv bølgelængde.
Som det næste afsnit vil vise er grænsefrekvensen for en baffel tilnærmelsesvis givet ved fB ≈ c/4b
hvor b er afstanden fra højttalerens centrum til den nærmeste kant. En kvadratisk baffel med sidelængden 1 m vil kunne gengive ned til 170 Hz hvorunder niveauet aftager med 6 dB/oktav, indtil
højttalerens resonans nås. Illustrationens bafler skal derfor alle have elektronisk korrektion med
bashævning på –6 dB/oktav for at kunne give en dyb bas. Se fx: www.linkwitzlab.com.
18 Højttaleren skærer ikke abrupt af under grænsefrekvensen. Hørelsen har dertil en evne til at kunne opfatte en grundton ud fra de
harmoniske overtoner, hvor anden og tredje harmoniske er de vigtigste.
Elektroakustik
Version 2.0
35
2.5.1 Akustisk kortslutning
For at kunne gengive dybe toner skal lydtrykket fra de to sider af membranen holdes adskilt, da de
svinger med modsat polaritet, så et overtryk på den ene side af membranen vil søge at udligne det
tilsvarende undertryk på den anden side; det kaldes for akustisk kortslutning. Ved montage i et hul i
en plade (en baffel) kan trykbølgen fra bagsiden forsinkes og dæmpes, så der kun opstår en delvis
udslukning af lyden. Lydtrykket i lyttepositionen kan beregnes som vist på side 83 for hver af de to
sider af membranen og volumehastigheden beregnes fra membranens hastighed fra side 28. Det
resulterende lydtryk i afstanden rF beregnes som differensen mellem de to lydtryk.
ρf q
exp (− jkr F )
rF
ρf q
pB 2 π = j
D (ka)exp(− jkr B )
rB
Forside:
Bagside:
rB
Vejlængde:
b
UG
a
pF 2 π = j
p
rF
r
Højttaler:
Lydtryk:
Baffelgrænse:
r B = b+ √ b +r F
Bl S D U G
q = SD v =− j
2 π f M MS R E
r
ρ Bl S D U G
p=
1− F D (ka)exp(− jk (rB −r F ))
r F 2 π M MS R E
rB
c
c
fB=
⇒ f ≈
4 (r B−r F ) r → ∞ B 4 b
2
2
[
]
F
Figur 2.25 – Bagsidens trykbølge har modsat fortegn af forsidens trykbølge og dæmpes ved den
ekstra vejlængde. D(ka) angiver højttalerens retningsvirkning.
Udtrykket i den firkantede parentes repræsenterer en korrektion af højttalerens egen respons i en
uendelig baffel for at svare til montage i midten af en cirkulær baffel med radius b. Det kan med en
vis tilnærmelse benyttes ved en rektangulær baffel, når arealet af de to plader er ens. Under baflens grænsefrekvens fB aftager lydtrykket med 6 dB/oktav, og under højttalerens resonans fS stiger
hældningen til 18 dB/oktav. Ved høje frekvenser optræder der interferens på grund af den skiftende
fase for bagsidens signal. Mod høje frekvenser vil ujævnhederne aftage i takt med at højttaleren
bliver direktiv og ikke sender signal mod kanten.
Figur 2.26 – Beregnet respons for en cirkulær baffel med 400 mm diameter (rød), sammenlignet
med en måling på PC Højttalerens basenhed i en stor rektangulær plade (sort).
36
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.5.2 Diffraktion
Lyden kan ikke uden videre bøjes omkring et skarpt hjørne; der optræder en kantrefleksion, som vil
skabe interferens på samme måde som trykbølgen fra bagsiden af højttaleren. Det blev først vist af
Olson i en meget anbefalelsesværdig artikel19 og er senere uddybet af flere forskere.
Vanderkooy målte i 1991 impulsresponsen fra en cirkulær baffel med en lille højttaler i centrum og
fandt, at kort efter den direkte lyds impuls kom et svagere og inverteret ekko med en tidsforskel givet ved afstanden fra højttaleren til kanten. Vanderkooy beregnede styrken af reflektionen som en
funktion af observationsvinklen, og fandt frem til –0,71 på akseretningen. Wright (1996) fandt frem
til –0,58 fra en finite element analyse, og Urban (2004) beregnede –0,50 fra bølgeligningen. Min
erfaring20 er at –0,50 passer godt med måledata på aksen for en tynd baffel.
1
Direkte lyd
Lydtryk:
4π
p=
p
4 π−γ 0
γ = Rumvinkel
p0
0,5
t D=
rF – rR
c
Punktkilde
0
R
–0,5
p
γ
t
Kantreflektion
Kantreflektion:
R Kasse = −0,33
R Plade = −0,50
Figur 2.27 – Impulsresponsen for en cirkulær baffel med en punktlydkilde i centrum (venstre) og
trykopbygningen ved en kant (højre).
Som kuriosum nævnes at Lord Rayleigh allerede i 1878 viste at lydtrykket fra en fjern lydgiver (punktkilde)
kan beregnes som vist til højre i illustrationen. Her er p0 lydtrykket fra en punktkilde i observationspunktet
og uden kanten. Rumvinklen er γ = 2π for en uendelig baffel, der giver en fordobling af lydtrykket svarende
til beregningen side 83. For en retvinklet kasse er γ = π (vist i figuren) så lydtrykket ved kanten er 1,33p0,
der er –0,67 under den uendelige baffels fordoblede lydtryk og giver R = –0,33. En tynd baffel har γ = 0 så
lydtrykket bliver p0, og da det er –1 fra den uendelige baffel svarer det til R = –0,50.
Konsekvensen af diffraktionen kan beregnes på samme måde som for den akustiske kortslutning
ved at addere det direkte bidrag med kantreflektionen, hvor det negative fortegn effektivt svarer til
en subtraktion af det dæmpede og forsinkede ekko fra det direkte signal fra fronten.
ρf q
exp(− jkr F )
rF
ρf q
pR 2 π = R j
D (ka)exp(− jkr R )
rR
Forsiden:
b
UG
a
Reflektion:
rR
p
rF
pF 2 π = j
r
Vejlængde:
Højttaler:
r R = b + √ b +r F
Bl S D U G
q = SDv =− j
2 π f M MS R E
Bl
S
U
r
ρ
D
G
p=
1+ R F D(ka)exp (− jk (r R−r F ))
r F 2 π M MS R E
rR
c
fD=
2 (r F −r R )
2
2
[
Lydtryk:
Første top:
]
Figur 2.28 – Diffraktion for en cirkulær baffel med radius b og en punktformet lydkilde i centrum.
A2π er højttalerens lydtryk i 1 m afstand, R er reflektionskoefficienten (negativ værdi) og D(ka) er
højttalerens retningsvirkning, der omhandles i det følgende afsnit.
19 Harry F. Olson ”Rirect Radiator Loudspeaker Enclosures”, Audio Engineering, November 1951.
20 Tore Skogberg ”Loudspeaker Cabinet Diffraction”, Master Thesis, Ørsted DTU, 2006. Dokumentet kan hentes fra min hjemmeside
på www.torean.dk under linket ”Publikationer”.
Elektroakustik
Version 2.0
37
Eksemplerne herunder viser det samlede resultat med korrektionen for højttalerens afskæring under resonansen fS = 50 Hz med godheden QTS = 0,43 samt akustisk kortslutning og kantdiffraktion.
p=
|[
][
r
r
ρ Bl S D U G
s2
1− F D(ka)exp (− jk (r B−r F )) 1+ R F D(ka)exp (− jk (r R−r F ))
ω
r F 2 π M MS R E s 2 + S s+ω2
rB
rR
S
Q TS
|
]
Den store baffel kan modelleres op til 600 Hz hvorover den rektangulære baffel afviger betydende
fra modellens. Her er kb ≈ 10, der giver en tommelfingerregel for baflens grænsefrekvens.
Figur 2.29 – Det samlede resultat af at kombinere højttalerens højpas ved 50 Hz med modellerne for
en cirkulær baffel og kantdiffraktion (rød) sammenlignet med den målte respons (sort).
Den lille baffel kan modelleres til 2,4 kHz hvor kb ≈ 10. Højttaleren er ikke et stempel for ka > 2, der
er omkring 2,4 kHz, og ved højere frekvenser ses højttaleren at afvige fra modellen.
Figur 2.30 – PC Højttaleren monteret en lille baffel.
38
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.5.3 Retningsvirkning
Højttalerens lydtryk er ved lave frekvenser ens i alle retninger; højttaleren er ”rundstrålende”, og
beskrives i litteraturen som en sfærisk lydgiver, hvor lydtrykket alene afhænger af afstanden fra
højttaleren som beskrevet ved afstandsreglen. Ved høje frekvenser bliver højttalerens dimensioner
sammenlignelig med bølgelængden, og det betyder at lyden koncentreres i akseretningen med faldende niveau i andre retninger.
Højttaleren beskrives matematisk som et plant, stift og cirkulært stempel, og koblingen til rummet
betegnes ved strålingsimpedansen (se side 84). Det er muligt at udlede det akustiske lydtryk ved
et matematisk udtryk for to specifikke situationer; en uendelig plan flade og et langt rør, hvorimod
andre former for montage kræver brug af numeriske metoder.
Herunder vises højttaleren anbragt i et hul i en uendelig stor plan (infinite baffle), hvor udstrålingen
fra forsiden er afskåret fra bagsiden21. Højttalerens akustiske størrelse beskrives ved forholdet mellem membranens omkreds 2πa og lydbølgelængden λ = c/f som parameteren ka. Værdien ka = 1
svarer til den frekvens hvor omkredsen er lig med bølgelængden, så ka < 1 betyder at højttaleren
er akustisk lille og at lyden udbredes i alle retninger med næsten samme lydtryk. Tilsvarende vil en
værdi på ka > 1 sige at højttaleren er akustisk stor og den styrer nu udbredelsesretningen22. Ved
flere højttalere i et system vil retningsvirkningen afhænge af den strækning enhederne optager.
D (θ) =
90°
2 J 1 (kasin (θ))
ka sin (θ)
∞
J 1 (x) = ∑
45°
k=0
(−1)k
x 2 k +1
( )
k !(1+k)! 2
2 πa 2π f a ω a
=
=
λ
c
c
c
ka = 1 ⇒ f 1 =
2 πa
ka =
0°
45°
90°
d
4 tommer
6 tommer
8 tommer
10 tommer
12 tommer
d =2a
ka = 1
100 mm 1100 Hz
155 mm 730 Hz
200 mm 550 Hz
250 mm 440 Hz
300 mm 370 Hz
Figur 2.31 – Højttalerens respons afhænger af vinklingen i forhold til højttalerens front. Lydudstrålingen er jævnt fordelt i alle retninger fra højttaleren op til ka = 1, og aftager udenfor akseretningen
ved højere frekvenser.
Amplituden kan beregnes for vinkler op til 90° fra akseretningen ved funktionen D(θ), der er vist i illustrationen for ka fra 1 til 4. Højttaleren er en næsten perfekt sfærisk lydgiver for ka < 1 med kun
cirka 1 dB reduktion ved 90°, der er i flugt med baflen. Ved ka = 2 er niveauet faldet 5 dB ved 90°
og mod højere frekvenser kan man antage at højttaleren stort set kun stråler lyden fremad.
Funktionen er brugt i de tidligere afsnit til at reducere udstrålingen mod kanten af baflen ved stigende frekvens, og er ansvarlig for at ”krøllerne” i frekvensresponsen aftager for ka > 2, der er ved
frekvenser over cirka 2 kHz for PC Højttaleren med 100 mm diameter.
21 Resultatet ved montage i enden af et uendeligt lang rør med samme radius som stemplet afviger ikke væsentligt, dog vil udstråling i
en rumvinkel på 4π medføre et 6 dB lavere lydtryk ved lave frekvenser end ved den uendelige plan, hvor rumvinklen er 2π.
22 Der er en klar analogi til radiobølger, hvor en parabol er stor i forhold til bølgelængden af de elektromagnetiske bølger og kan styre
udbredelsesretningen til en snæver vinkel. Tilsvarende vil en bils korte antenne opfange radiobølgerne fra alle retninger.
Elektroakustik
Version 2.0
39
2.5.4 Software
Herunder vises den benyttede software for de foregående illustrationer. Der kan vælges mellem tre
modeller (A, B eller D), som vælges ved at skrive det tilsvarende bogstav for variabel M.
•
Model A giver højttalerens overføringsfunktion som et anden-ordens højpas med grænsen
ωS = 2πfS, hvor fS = 50 Hz og QTS = 0,43 refererer til højttaleren i en uendelig baffel.
•
Model B giver baflens bidrag fra den akustiske kortslutning mellem for- og bagside, hvor
den ekstra vejlængde skrives som rB – rF med rB beregnet som radius plus Pythagoras. Den
resulterende funktion beregnes som model A ganget med model B.
•
Model D giver baflens bidrag fra kantdiffraktionen, og den resulterende funktion beregnes
som model A ganget med model B ganget med model D.
Måledata kan benytte enten 1: en lille baffel på 0,4 m gange 0,4 m, eller 2: en stor baffel på 1,6 m
gange 2 m, ved at skrive nummeret direkte i switch-kommandoen.
Load kommandoen henter måledata ind og definerer samtidigt de tilhørende variable.
Direktivitet beregnes med Besselfunktionen J1, der ligger som en separat m-fil. Koden er opbygget
primitivt ved en sum af led, der blot adderer de første godt 50 trin i rækkeudviklingen uden at teste
om værdien er konvergeret.
%-------------------------------------------------------------% Baffel.m
%-------------------------------------------------------------clear all
c=344;
rF=1;
pref=20e-6;
fS=50;
M='D';
diffraktion.
R=-0.50;
%
%
%
%
%
%
%
%
Lydens hastighed (m/s).
Afstand fra front til lytter (m).
Referencelydtrykket på 20 uPa.
Højttalerens grænsefrekvens (Hz).
A = Højttaler i uendelig baffel.
B = Højttaler korrigeret for baffeldimensioner.
C = (Ikke defineret).
D = Højttaler korrigeret for 6 dB, baffel og
% Kantdiffraktionens reflektionskonstant.
% Hent måledata.
switch (1)
case 1 load('Loudspeaker/MeasurementTAS2-BAS-LILLEBAFFEL-1M0GRD.mat');
a=0.04;
% Højttalerens radius (m).
B=0.40;
% Baflens bredde (m).
H=0.40;
% Baflens højde (m).
heading='Lille baffel 0,4 m x 0,4 m';
case 2 load('Loudspeaker/MeasurementTAS1-BAS-STORBAFFEL-1M0GRD.mat');
a=0.04;
% Højttalerens radius (m).
B=1.60;
% Baflens bredde (m).
H=2.00;
% Baflens højde (m).
heading='Stor baffel 2,0 m x 1,6 m';
endswitch
b=sqrt(B*H/pi) % Radius for cirkel med samme areal som baflen
(m).
FFTsize=round(0.5*size(Setup.ImpulseResponse(:,1),1));
Faxis=((0:((FFTsize/2)-1))*Setup.Fs/FFTsize)';
Imp=Setup.ImpulseResponse(:,1);
FFTsize=FFTsize-1;
Handle=[];
Faxis=((0:((FFTsize/2)-1))*Setup.Fs/FFTsize)';
Spectrum=fft(Imp,FFTsize);
Spectrum=20*log10(abs(Spectrum(1:end/2,:)));
% SPH100c i uendelig baffel (2 pi rumvinkel).
% -- Effektforstærker sat til Urms = 3,1 V.
% -- A2=rho*SD*Bl*UG/(2*pi*MMS*RE).
A2=1.18*0.0054*5.1*3.1/(2*pi*0.007*6);
S=20*log10(A2/pref);
% Højttalerens følsomhed (dB).
% Ideelt forløb ved højttaler i baffel.
rB=b+sqrt(b^2+rF^2);
% Bagsidens vejlængde (m).
fB=c/(4*(rB-rF));
% Baflens grænsefrekvens (Hz).
%AL=(1./sqrt(1+(50./Faxis).^2)).^2;% Højttaler som 2. ordens
højpas.
40
% Model A: Højttaler som 2. ordens højpas.
wS=2*pi*fS;
s=j*2*pi*Faxis;
Q=0.43;
AL=abs(s.^2./(s.^2+(1/Q)*wS*s+wS^2));
AB=(1./sqrt(1+(fB./Faxis).^2));
% Baffel som 1. ordens højpas.
pA=20*log10((A2/rF)*AL.*AB/pref); % Resulterende lydtryk (dB).
% Model B: Korrektion for interferens fra baffel.
k=2*pi*Faxis/c;
KB=(1-(rF/rB).*abs(2*BesselJ1(k*a)./(k*a)).*exp(-j*k*(rB-rF)));
% Model D: Korrektion for diffraktion.
KD=(1+R*(rF/rB).*abs(2*BesselJ1(k*a)./(k*a)).*exp(-j*k*(rBrF)));
fD=c/(2*(rB-rF));
% Baflens grænsefrekvens (Hz).
% Plot model.
if (M=='A') p=20*log10(abs((A2/rF)*AL/pref)); endif
if (M=='B') p=20*log10(abs((A2/rF)*AL.*KB/pref)); endif
if (M=='C') p=20*log10(abs((A2/rF)*AL.*KB./pref)); endif
if (M=='D') p=20*log10(abs((A2/rF)*AL.*KB.*KD/pref)); endif
Handle=semilogx(Faxis, 62+Spectrum, '-k', ...
Faxis, p, '-r', 'linewidth',1);
title(heading)
xlabel('Frekvens (Hz)')
ylabel('Relativt lydtryk (dB)')
Fmin=10;
% Plottets nedre grænse (Hz).
Fmax=10e3; % Plottets øvre grænse (Hz).
Lmin=60;
% Plottets nedre grænse (dB).
Lmax=100;
% Plottets øvre grænse (dB).
axis([Fmin Fmax Lmin Lmax])
%legend('SPH-100c', ['Model ' M],'Amplitude', 'Location','NorthWest')
legend('SPH-100c', ['Model ' M],'Location','NorthWest')
text(2000, Lmin+12, ['S = ' num2str(round(10*S)/10) ' dB'])
text(2000, Lmin+10, ['b = ' num2str(round(1000*b)) ' mm'])
text(2000, Lmin+ 8, ['r_F= ' num2str(round(1000*rF)) ' mm'])
text(2000, Lmin+ 6, ['f_B= ' num2str(round(fB)) ' Hz'])
text(2000, Lmin+ 4, ['f_D= ' num2str(round(fD)) ' Hz'])
text(2000, Lmin+ 2, ['R =' num2str(R)])
grid on
%
%
%
%
-------------------------------------------------------------Bessel funktion J1
-------------------------------------------------------------Efter http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel_function
function y=BesselJ1(x)
y=0;
for m=0:50
y=y+(((-1)^m)./(fac(m)*fac(m+1))).*((x/2).^(2*m+1));
end
end
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.6 Lukket kabinet
En baffel skal være meget stor for at højttaleren kan gengive de dybe toner uden den generende
interferens fra bagsiden, så det er oplagt at eliminere udstrålingen fra bagsiden ved at montere
højttaleren i et lukket kabinet, der effektivt holder de to sider adskilt. Det er en populær metode,
men det indespærrede luftvolumen fungerer som en fjeder, der mindsker den eftergivelighed som
højttaleren oplever. Konsekvensen er at frekvensen for resonans hæves, til gengæld kan kabinettets dimensioner reduceres væsentligt i forhold til en baffel med tilsvarende grænsefrekvens.
En højttaler med resonansen ved 50 Hz, der monteres i et kabinet med samme eftergivelighed af den indespærrede luft som eftergiveligheden af styrene (VB = VAS), vil få resonansen hævet 1,4 gange til 70 Hz
som bliver den nye resonans, og grænsefrekvensen er hævet tilsvarende.
Bagsidens strålingsimpedans repræsenteres her ved en eftergivelighed CAB af den indespærrede
luft med voluminet VB (box volume). Beregningen forudsætter at dimensionerne er små sammenlignet med bølgelængden ved resonans (L << c/f0), hvilket normalt er opfyldt.
dV = S D dx
Kabinet
SD = πa2
L
x
VB
dx
C AB =
VB
V
= B2
γ P0 ρ c
dp = γ P 0
dV
V
dV
dx
= SD
= SD v = q
dt
dt
γ P0
dp γ P0 dV
⇒
=
=
q
dt
V dt
V
⇒
γ P0
∫ q dt ⇒ p = γ P 0 q 0 exp( j ω t )
V
j ωV
q = q 0 exp( j ω t )
γ P0
V
p
1
ZA = =
=
⇒ C AB = B
q
j ωV
j ω C AB
γ P0
p=
Figur 2.32 – Højttaleren monteres ofte regel i et kabinet, hvor luftvoluminet virker her som en fjeder
med en akustisk eftergivelighed givet af voluminet.
Membranen har arealet SD og en bevægelse over strækningen dx øger voluminet med SDdx.
Bevægelsen kan relateres til tid gennem division med dt, og da dx/dt svarer til membranens hastighed v, kan dV/dt skrives som funktion af volumehastigheden q. Trykkets variation som følge
af en ændring i volumen er en adiabatisk proces (γ = 1,4), og hastigheden i trykændringen dp/dt
kan derved udtrykkes ved volumehastigheden. Trykkets variation med volumehastigheden kan
bestemmes ved integration. Volumehastigheden udtrykkes som en harmonisk svingning ved
exp(jωt), og den akustiske impedans bliver en kapacitet. Sidste formel i illustrationen udnytter
definitionen af lyden hastighed fra appendiks side 73.
Betydningen af denne eftergivelighed skal analyseres i både en elektrisk og en akustisk model.
2.6.1 Elektrisk model
I det følgende opbygges en elektrisk model af højttaleren i det lukkede kabinet for at vise hvordan
de enkelte komponenter kan ses fra den elektriske side. Det betyder at de mekaniske og akustiske
systemer skal omsættes til et elektrisk system, og det vises i tegningen på næste side. Det udnyttes at strålingsimpedansen for højttalerens forside er meget ringe ved lave frekvenser og derfor
kan ignoreres uden betydende fejl (ZAF = 0), og det giver en meget væsentlig simplifikation da strålingsimpedansen er proportional med kvadratet på frekvensen. Bagsidens udstråling til det indre af
kabinettet er repræsenteret ved eftergiveligheden af den indespærrede luft, der i den akustiske
model figurerer som en ”kondensator” med værdien CAB som beregnet ovenfor. Der ses også bort
fra akustiske tab, som i givet fald kan inkluderes ved en tabskomponent RAB i parallel med CAB.
Først overføres det akustiske system til det mekaniske ved ZM = ZASD2 fra side 30, der betyder at
den akustiske impedans ganges med kvadratet på membranens areal. Eftergiveligheden CAB har
impedansen 1/sCAB som ændres til SD2/sCAB og det betyder at værdien er ændret fra den akustiske
størrelse CAB til den ækvivalente mekaniske størrelse CMB = CAB/SD2.
Elektroakustik
Version 2.0
41
Derefter overføres det mekanisk-akustiske system til det elektriske system ved den reciprokke relation ZE = (Bl)2/ZM fra side 29, der overfører en seriekobling til en parallelkobling, hvor hver enkelt
impedans er blevet til en elektisk admittans ved (Bl)2. Massen af det bevægelige system MMS vil
overføres til en kondensator, tabene RMS overføres til en konduktans, og den kombinerede eftergivelighed CRES overføres til en selvinduktion. Resultatet er magen til diagrammet side 30, dog med
CAB for højttalerens strålingsimpedans i et kabinet.
IG
RE
LE
v
Elektriskmekanisk
kobling
UG
Bl v
MMS
CMS
RMS
q
Mekaniskakustisk
kobling
Bl IG
ZAF
S Dp
SDv
CAB
Elektriske system
IG
RE
LE
Mekaniske system
v
Elektriskmekanisk
kobling
UG
Bl v
MMS R
MS
Bl IG
Elektriske system
Akustiske system
Z M = S 2D Z A
CMS
CMB
CRES
Mekaniske system
⇒
1
Z M (C AB ) = S
sC AB
C AB
V
C MB = 2 = 2 B 2
SD
SD ρ c
C MS C MB
C M RES =
C MS +C MB
2
D
(Bl)2
⇒
ZM
2
(Bl)
1
Z E ( M MS ) =
=
sM MS sM MS /(Bl)2
(Bl)2
1
Z E (R MS ) =
=
R MS
R MS /(Bl)2
2
(Bl)
Z E (C MS ) =
= s(Bl)2 C RES
1/ sC RES
ZE =
IG
RE
LE
UG
M MS
Bl v
(Bl)2
(Bl)2
R MS
(Bl)2 C M RES
Elektriske system
Figur 2.33 – Elektrisk model af en højttaler monteret i et lukket kabinet, der er gyldig for frekvenser
hvor kabinettets største dimension er lille sammenlignet med bølgelængden omkring resonans.
Ved lave frekvenser kan impedansen af svingspolens selvinduktion ignoreres og generatoren kan
med at Thevenin-Norton ækvivalent skrives som en strømkilde i parallel med svingspolens RE. Den
elektriske impedans beskrives nu som parallelforbindelsen af fire komponenter, hvor de to reaktive
komponenter MMS og CRES går i resonans ved frekvensen f0, der er højere end fS for den samme
højttaler i en uendelig baffel, og godheden Q0 er dæmpet af effektforstærkeren gennem RE.
M MS
(Bl)2
RE
UG
RE
RE
(Bl)2
(Bl)2 C RES
R MS
Z E = RE
(Bl)2
s
R E M MS
(
s2 +
f0=
)
R
(Bl)2
1
+ M s+
R E M MS M MS
M MS C RES
1
2 π √ M MS C RES
Q0 =
1
2
(Bl)
+ R MS
RE
√
M MS
C RES
Figur 2.34 – Elektrisk impedans af en højttaler i et lukket kabinet er højere end for den samme højttaler monteret i en uendelig baffel på grund af eftergiveligheden af det indespærrede luftvolumen.
42
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.6.2 Akustisk model
For at opstille relationen mellem lydtrykket p i afstanden r og den påtrykte spænding UG behøves
volumehastigheden q for højttaleren, så modellen overføres til den akustiske side, hvilket som før
benytter to trin. Først overføres det elektriske system til det mekaniske gennem den reciprokke relation ZM = (Bl)2/ZE hvor de seriekoblede impedanser bliver til parallelkoblede admittanser og spændingskilden bliver til en hastighedskilde (strømkilde). Herefter kan det kombinerede elektriske og
mekaniske system overføres til den akustiske side ved kvadratet på membranens areal. Det udnyttes desuden at Thevenin-Norton ækvivalentet kan udnyttes til at skrive generatoren som en ”spændingskilde” i serie med den akustiske værdi af modstanden RE.
IG
v
RE
MMS
Elektriskmekanisk
kobling
UG
Bl v
CMS
q
RMS
Mekaniskakustisk
kobling
Bl IG
ZAF
S Dp
SDv
CAB
Elektriske system
Mekaniske system
v
UG
Bl
MMS
CMS
Akustiske system
q
RMS
Mekaniskakustisk
kobling
(Bl)2
RE
ZAF
S Dp
SDv
CAB
Mekaniske system
Akustiske system
(Bl)2 S 2D
2
R E S D M MS
C MS
S 2D S 2 R q
D MS
ZAF
Bl S D
U
RE G
CAB
Akustiske system
Figur 2.35 – Akustisk model for en højttaler i et lukket kabinet.
Den akustiske model består nu af en ”spændingskilde”, der driver volumehastigheden q gennem
en seriekobling af impedanser, så det er nemt at bestemme volumehastigheden fra Ohms lov, når
det antages at strålingsimpedansen ZAF er så lav at den kan ignoreres (ZAF = 0).
q=
Bl S D
UG
RE
2
2
2
(Bl) S D
S
1
+ sS2D M MS + D +S 2D R MS +
RE
sC MS
sC AB
Lydtrykket for en højttaler i en uendelig baffel i afstanden r beregnes af side 83:
p= j
Elektroakustik
ρf
ρs
q= j
q
r
2πr
⇒ |p| =
Bl U G
ρ
2 π r R E M MS S D
Version 2.0
s2
R
C / S 2 +C
(Bl)
2
s +s
+ MS + AB D MS
R E M MS M MS
M MS C MS
(
2
)
43
De to første led omsætter effektforstærkerens spænding UG til lydtrykket p, og den komplekse
funktion er et anden-ordens højpasfilter med grænsefrekvensen f0 og godheden QTS for en højttaler
i et lukket kabinet. De to parametre er defineret på side 28. Eftergiveligheden af den indespærrede
luft CAB omregnes som vist i formlen til mekanisk eftergivelighed CMB ved division med kvadratet på
membranens areal SD, så det er mest praktisk kun at benytte mekaniske enheder i udtrykket.
f0=
ω0
1
=
2π
2 π √ M MS C RES
Q TS =
1
(Bl)2
+ R MS
RE
√
M MS
C RES
hvor
C MS C AB
C MS +C AB
C
VB
C MB = AB
=
S 2D
γ P0 S 2D
C RES =
hvor
γ ≈ 1,4
P 0 ≈ 100 kPa
For PC Højttaleren er VB = 6,3 dm3 så CMB = 1,54 mm/N og med højttalerens CMS = 1,45 mm/N bliver den
resulterende eftergivelighed CM RES = 0,747 mm/N. Den bevægelige masse er MMS = 7 g, så resonansen stiger til f0 = 70 Hz. Højttalerens DC modstand er RE = 6 Ω, kraftfaktoren er Bl = 5,1 Tm og den mekaniske
tabsmodstand er RMS = 0,6 Ns/m så den totale godhed bliver QTS = 0,62. Både frekvensen ved resonans
og godheden af resonansen er hævet i forhold til højttalerens 50 Hz og 0,43 ved en uendelig baffel.
Frekvensresponsen for højttaleren styres gennem resonansens frekvens f0 og godheden QTS, der
entydigt fastlægger det lavfrekvente forløb. Herunder vises mulighederne ved en systemresonans
på 100 Hz, der umiddelbart kan skaleres til anden frekvens, og ved en total godhed fra 0,1 til 10.
For QTS < 0,5 er responsen overdæmpet med to reelle poler og impulsresponsen er asymptotisk.
For QTS > 0,5 er responsen underdæmpet med to komplekst konjugerede poler og der er oscillation
i tidsdomænet. Ved en værdi på QTS = 0,5 opnås kritisk dæmpning, hvor impulsresponsen er den
hurtigst mulige, men uden oversving, og niveauet er –6 dB ved resonans. Området fra 0,5 til 1 er
det mest interessante for en højttaler til musikgengivelse. For QTS = 0,71 opnås Butterworth, hvor
der er en svag oscillation i impulsresponsen med –3 dB ved resonans, og QTS = 1 giver Chebychev
med 1 dB ripple, nogen oscillation i tidsdomænet og 0 dB ved resonans.
Figur 2.36 – Den lavfrekvente respons for en højttaler i et lukket kabinet med f0 = 100 Hz som resonans og godheden QTS som parameter. For QTS < 0,5 er responsen 6 dB/oktav omkring fS.
2.6.3 Ækvivalent volumen
Databladet oplyser i Thiele-Small parametrene det ækvivalente volumen VAS for en given højttaler,
der er defineret ved CAB = CAS, og her vil både fS og QTS stige med 41 % (kvadratroden af to) overfor værdien i en uendelig baffel. Værdien er eksempelvis VAS = 6 dm3 for PC Højttaleren.
44
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.7 Basreflex kabinet
Det lukkede kabinet kan gengive bas ned til en frekvens lig med højttalerens resonans i kabinettet.
Udstrålingen fra bagsiden udnyttes ikke, men det er muligt at inddrage den i et mindre frekvensområde ved et ventileret kabinet (vented cabinet). Et udbredt princip er at udnytte en resonans23, hvor
luftmassen i en portåbning bringes til at svinge med fjedervirkningen fra kabinettets indespærrede
luft. Portens udstråling bliver i fase med forsiden, og støtter højttaleren i et frekvensområde på cirka en halv oktav, og bevægelsen af membranen reduceres så højttalerens forvrængning mindskes.
Lydtrykket ved lyttepositionen:
ρf
p = p F+ p P+ pL =
(q F +q P +q L)
r
Akustisk eftergivelighed af luftvoluminet:
V
γ ≈ 1,4
C AB = B ,
γ P0
P 0 ≈ 100 kPa
Akustisk masse af luften i porten:
ρ
S
M AP = 0 (L P +1,5 πP ), ρ0 = 1,18 kg/m 3
SP
MAS
UG
qF
Frontens
volumehastighed
qP
Portens
volumehastighed
qL
Lækage gennem
kabinettets sider
VB
SP MAP
LP
√
Figur 2.37 – Et basreflex kabinet inkluderer en port, hvor massen af luften i porten danner en resonans med det indespærrede luftvolumen for at understøtte basgengivelsen.
Lydtrykket fra højttaleren beregnes ved at addere volumehastigheden qF fra højttalerens front med
volumehastigheden qP fra porten. Lækagen qL repræsenterer lydtransmission gennem kabinettets
sider, som ikke kan forudsættes at være uendeligt stive, og dertil andre tab. Den kan inkluderes
ved en tabskomponent RAL i parallel med CAB, men det er uden betydning for analysen ved lave frekvenser og den vil blive ignoreret [ANT1-385]. Sidepladerne kan dog have nytte af en indvendig
afstivning for at reducere lydtransporten gennem pladerne ved panelresonanser. For at dæmpe resonanser fra de stående bølger i det rektangulære kabinet (se side 65) dæmpes ofte med 20 mm
glasuld eller et tilsvarende materiale på alle indvendige sideflader.
IG
RE
LE
UG
v
Elektriskmekanisk
kobling
Bl v
MMS
CMS
RMS
Bl IG
q
Akustiske masse
af luften i porten
Mekaniskakustisk
kobling
SDp
qF
S Dv
CAB
Elektriske system
Mekaniske system
ZAF
qP
MAP
Akustiske system
Figur 2.38 – Massen af luften i porten ligger signalteknisk i parallel med eftergiveligheden af luften i
kabinettet og er gennem membranen koblet til højttalerens mekaniske og elektriske systemer.
Massen af luftproppen i porten MAP beregnes som massefylden af luft ρ0 gange med luftvoluminet,
der er arealet af porten SP ganget med længden af porten LP. Det omregnes til akustisk masse ved
division med SP kvadreret (se side 30). Arealet kan være cirkulært, rektangulært eller en anden
form. Portens længde LP er i illustrationen forøget med et bidrag, der svarer til den medsvingende
luftmasse udenfor portens to ender [WML-128].
For at analysere den akustiske funktion overføres det elektriske og mekaniske system til den akustiske side. Selvinduktionen fra svingspolen LE er uden betydning ved de lave frekvenser omkring
højttalerens resonans, så den ignoreres, og strålingsimpedansen for membranens forside er lav i
forhold til de andre impedanser og kan ignoreres uden betydende fejl (ZAF = 0). Det simplificerer
analysen, da impedansen af både LE og ZAF er funktion af frekvensen.
23 Det betegnes en Helmholtz resonans efter den første til at beskrive princippet.
Elektroakustik
Version 2.0
45
Den elektriske side overføres til den mekaniske side ved relationen ZM = (Bl)2/ZE fra side 29. Det er
en reciprok omsætning, så seriekoblede komponenter overføres til de parallelkoblede ækvivalente
komponenter, og modstanden RE overføres til en mekanisk dæmpningskomponent RME = (Bl)2/RE.
Spændingskilden overføres til en hastighedskilde (strømkilde) ved relationen v = u/Bl. Portens volumehastighed qP skyldes membranens bagside, der er i modsat fase af membranens forside, så
pilen for positiv retning ud af porten mod tilhøreren vender modsat retningen for qF.
vG
UG
Bl
v
MMS
CMS
RMS
2
R ME =
(Bl)
RE
Elektriske system
Mekaniskakustisk
kobling
qF
qP
SDp
S Dv
Mekaniske system
CAB
MAP
Akustiske system
Figur 2.39 – Det elektriske system overføres til det mekaniske system ved at spændingskilden erstattes med en strømkilde og seriemodstanden ændres til en parallelkomponent.
Det kombinerede elektriske og mekaniske system består nu af de seriekoblede komponenter RME
fra højttalerens DC modstand og de mekaniske impedanser MMS, CMS og RMS. Kredsløbet overføres
til den akustiske side gennem relationen ZA = ZM/SD2 fra side 30. Membranens volumehastighed qF
er givet ved ”strømmen” i de seriekoblede komponenter MAS, CAS og RAS.
M AS =
SD U G
Bl R E
Elektriske system
R AE =
M MS
S
C AS = C MS S 2D R AS =
2
D
R MS
S 2D
qF
(Bl)2
S 2D R E
CAB
Mekaniske system
1
2 π √ M AS C AS
1
fP=
2 π √ M AP C AB
fS=
qP
MAP
Akustiske system
Figur 2.40 – Den akustiske model af en højttaler i et basreflex-kabinet.
Der ses at være to resonanser involveret. Seriekoblingen af MAS og CAS giver højttalerens resonans
fS ved måling i en uendelig baffel, og parallelkoblingen af MAP og CAB giver portresonansen fP. De to
resonanser er normalt tæt på hinanden, men er ikke nødvendigvis ens. Modellen viser at lydtrykket
fra højttaleren er meget ringe ved lave frekvenser hvor qF og qP er i modsat fase, at porten tager
over i området omkring de to resonanser og derved aflaster højttaleren, som endelig varetager frekvensområdet over resonanserne.
Ved lave frekvenser i relation til resonanserne er impedansen lav for de to masser MAS og MAP og høj for de
to eftergiveligheder CAS og CAB. Kredsløbet kan simplificeres til en trykgenerator (en spændingsgenerator i
serie med RAE), der driver en volumehastigheden qF i serieforbindelsen af højttalerens komponenter MAS,
CAS og RAS samt portens MAP. De to volumehastigheder er reduceret af den høje impedans fra CAS, de er
dertil næsten lige kraftige og modsat rettet, så højttaleren producerer et yderst svagt lydtryk.
Ved høje frekvenser i relation til resonanserne er impedansernes roller byttet om, så kredsløbet består af
en trykgenerator, der driver en volumehastighed qF i serieforbindelsen af højttalerens komponenter MAS,
CAS og RAS for et akustisk udgangssignal fra systemet drevet af højttaleren, mens portens masse MAP ikke
drives, da den er kortsluttet af den lave impedans fra CAB.
Ved frekvenser i nærheden af de to resonanser vil impedansen være lav for serieforbindelsen af højttalerens komponenter MAS, CAS og RAS og den vil være høj for parallelforbindelsen af eftergiveligheden CAB og
portens masse MAP. Den høje impedans betyder at der stort set ikke er nogen volumehastighed fra højttaleren, mens der er en kraftig volumehastighed i resonanskredsen, som inkluderer porten, og dermed er
udgangssignalet fra systemet her drevet af porten.
46
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.7.1 Overføringsfunktion
Ved at opstille og løse ligningssystemet for kredsløbet findes overføringsfunktionen fra effektforstærkerens spændingsamplitude UG til lydtrykket ved lytteren p i afstanden r som vist herunder,
hvor parametrene a1, a2 og a3 forklares i den efterfølgende tekst [ANT-385, WML-130].
p= j
UG
ρ
Bl
H (s) hvor
2 π r ω 0 S D M AS R E
H (s) =
f0=
ω0
= √fS f P
2π
s4
s 4 +a3 ω 0 s 3 +a2 ω 20 s 2 +a1 ω 30 s+ω 40
1
1
fS=
fP=
2 π √ M AS C AS
2 π √ M AP C AB
De to første led omsætter effektforstærkerens strøm UG/RE til et lydtryk i afstanden r og indenfor
det massestyrede område af højttaleren. Funktionen H(s) er et fjerde ordens højpasfilter, der beskriver forløbet fra lave frekvenser og op indtil ka = 1, der er den øvre grænse for modellen, med
en grænseværdi på cirka 550 Hz for en almindelig 200 mm højttaler (8 tommer).
Grænsefrekvensen f0 er givet ved højttalerens resonans fS og portens resonans fP. For det tilfælde
hvor de to resonanser er ens vil grænsefrekvensen være f0 = fS = fP, der gælder for et Butterworth
filter, men generelt er grænsefrekvensen givet ved den geometriske middelværdi af højttalerens og
portens resonanser; grænsefrekvensen vil ligge midt imellem dem ved et logaritmisk frekvensplot.
Under grænsefrekvensen f0 aftager lydtrykket med 24 dB/oktav, der er væsentligt mere stejl end
ved det lukkede kabinet; til gengæld er grænsefrekvensen lavere.
Det er praktisk at indføre de dimensionsløse parametre α og h, der defineres ud fra krav til systemets frekvensrespons. De kan derefter benyttes til at fastlægge kabinettets volumen VB og portens
resonans fP for en given højttalerenhed. Alternativt kan man fastlægge Thiele-Small parametrene
for en egnet højttalerenhed. De to parametre defineres som vist herunder [WML-130].
α=
C AS
V
= AS
C AB V AB
h=
fP
fS
⇒
γP 2
V B = α 0 S D C MS
f P = hfS
γ ≈ 1,4
P 0 ≈ 100 kPa
For PC Højttalerens enhed vil værdierne α = 1 og h = 1 give VB = 6 dm3 for arealet SD = 0,0054 m2 og styrenes eftergivelighed CMS = 1,45 mm/N.
Med denne definition kan overføringsfunktionens parametre a1, a2 og a3 skrives på følgende form
[WML-117 og WML-130].
1
√h
+
Q L √ h Q TS
α+1
1
a2 =
+h +
h
Q L Q TS
1
√h
a3 =
+
Q TS √ h Q L
a1 =
Q MS Q ES
Q MS +Q ES
Q MS ≈ 2 …5 for et dæmpet kabinet
5 …10 for et udæmpet kabinet
R AL
C AB
QL =
= ω P R AL C AB = R AL
ω P M AP
M AP
QTS =
√
Her er QTS den totale godhed for højttalerenheden, der opgives i databladet, eventuelt udtrykt ved
godheden af henholdsvis det elektriske system QES og det mekaniske system QMS. Som regel er
værdien af QTS i området fra 0,3 til 0,5 for en typisk bashøjttaler. Godheden af det akustiske system
QL på grund af lækagen gennem sidefladerne og friktion i porten er relativt høj, og man kan som en
start antage en værdi omkring QL = 7.
For PC Højttalerens enhed vil værdierne α = 1 og h = 1 give a1 = a3 = 2,47 og a2 = 3,33 for de estimerede
tab på QL = 7 og den totale godhed for højttaleren på QTS = 0,43.
For at bestemme koefficienterne a1, a2 og a3 for den ønskede frekvensrespons er det tilstrækkeligt
at definere amplitudens variation med frekvensen, frem for det mere besværlige arbejde med en
kompleks overføringsfunktion.
Elektroakustik
Version 2.0
47
Det er praktisk at benytte kvadratet på amplituden af overføringsfunktionen, så de konstante led og
leddet UG/RE medtages ikke, da de ikke indvirker på amplitudens variation med frekvensen. Efter at
leddene er samlet findes den viste relation, hvor de nye konstanter A1, A2 og A3 kan defineres når
der valgt en respons for systemet [WML-131].
2
|
2
|
x8
f
x=
4
2
f
x + A 3 x + A 2 x + A 1 x +1
0
A 2 = 2+a 22−2 a1 a 3
A 1 = a21−2 a2
M (f ) = H (s) =
s = jω
2
3
A 3 = a −a2
8
6
I det følgende illustreres metoden for en Butterworth karakteristik, hvor lydtrykket er –3 dB ved
grænsefrekvensen (f0 = fS) og dermed lavere end for den samme højttaler monteret i et lukket kabinet (f0 > fS) svarende til Butterworth respons (QTS = 0,7). Til gengæld er afskæringen 24 dB/oktav
under grænsefrekvensen.
2.7.2 Butterworth
Et godt kompromis mellem amplitudens jævnhed og en rimelig impulsrespons nås ved et design
efter Butterworth, hvor amplituden er –3 dB ved grænsefrekvensen. Relationen for amplituden Bn(f)
er vist herunder, hvor n er filtrets orden, så n = 4 for et fjerde ordens system. Et Butterworth system
har samme resonans for alle anden-ordens led, så resonansen for højttaleren og porten skal være
den samme og dermed er h = 1. Det ses desuden at koefficienterne A1, A2 og A3 alle skal være nul,
for at M2(f) kan blive lig med Bn2(f), og koefficienterne a1, a2 og a3 kan nu bestemmes [WML-132].
B n (f ) =
x=
xn
√1+ x2n
f
f0
⇒
A1 = 0
A2 = 0 ⇒
A3 = 0
a 2 = 2 +√ 2
⇒
a1 = a3 = √ 2 a 2
a 1 = 2,61…
a 2 = 3,41… og
a 3 = 2,61…
fP=fS=f0
Herefter kan systemets parametre fastlægges, hvor det udnyttes at h = 1.
1
1
+
Q L QTS
1
⇒
a2 = α+2+
Q L Q TS
1
1
a3 =
+
= a1
QTS Q L
a1 =
1
QL =
1
Q TS
1
α = a2−2−
Q L Q TS
a 1−
For PC Højttalerens er QTS = 0,43 så der kræves relativt høje tab på QL = 3,5. Parameteren bliver α = 0,75
hvilket giver VB = 8 dm3. Den lave værdi af QL kan kræve en del akustisk dæmpning af kabinettet, eller en
port med et relativt lille areal, og α = 0,75 betyder at kabinettets volumen skal være VAS/α = 8 dm3.
Porten kan nu dimensioneres ud fra definitionen på portens resonans, hvor den akustiske masse
af porten MAP er fastlagt af fP = fS = f0 (for Butterworth) samt eftergiveligheden af voluminet VB fra
formlen side 41. Endekorrektionen omtales i appendiks side 78.
V
1
og C AB = B
⇒
γ P0
2 π √ M AP C AB
γ P0
ρ
S
M AP =
= 0 ( LP +1,46 πP ) ⇒
2
SD
(2 π f P ) V B
γ P0 S P
S
LP =
−1,46 πP
2
ρ (2 π f P ) V B
fP=
√
√
Med PC Højttalerens SD = 0,0054 m2 og portens radius valgt til 15 mm findes SP = πrP2 = 0,00710 m2 og
længden bliver (for fP = fS = 50 Hz) LP = 84 mm. Længden af porten varierer meget ved små ændringer af
arealet, hvilket kan indikere problemer med at ramme det planlagte design.
48
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.8 Aktiv korrektion
Hovedparten af højttalersystemer er blot passive omsættere af den tilførte effekt til akustisk effekt.
Effektforstærkerens spændingsamplitude antages at resultere i en dermed proportionelt amplitude
af lydtrykket, men der foretages intet for at sikre at det sker. Denne passive tankegang kan undre,
for det er især ved omsætningen af effekt mellem de forskellige systemer at problemer opstår.
Det var i ældre dage problematisk at afspille en grammofonplade, hvor en nål mekanisk skulle følge de små variationer i en rille og omsætte det til et elektrisk signal. Grammofonpladen er i dag erstattet af de digitale medier, hvor den harmoniske forvrængning kan holdes lav, hvis det er formålet
med det aktuelle system. Harmonisk forvrængning i forstærkeren kan holdes lav med tilbagekobling, hvor et forstærkningsoverskud benyttes til at kompensere for fejl.
Højttaleren kan godt indpasses i denne tankegang, men det er sjældent at det sker. Digital signalbehandling er ganske vist udbredt ved PA systemer, hvor en DSP anvendes for at korrigere på frekvensresponsen og beskytte højttalerenheden mod overbelastning, men det er først i dag at DSP
og integrerede effektforstærkere finder sin vej til hjemmets højttalere. De er hjulpet på vej af de
små PC højttalere med indbygget analoge forstærkere, der er billig og lette at indpasse i et møblement, men den faldende pris på DSP og klasse D effektforstærker lover godt for fremtiden.
DSP – Digital signal-processering
Højttalersystem
Effektforstærker
Mulig analog servo
Indgangssignal
ADC
eller
formatkonverter
?
Servo
Lyd
DAC
Fejlsignal
Eventuel for-processering
af indgangssignalet eller
tilbagekoblingens signal
?
ADC
Tilbagekoblingsmuligheder:
Spænding, Strøm, Lydtryk,
Position, Hastighed, Acceleration
Figur 2.41 – Lydtrykket fra en højttaler kan korrigeres for variation i lydtryk med frekvensen eller
for en ikke-lineær overføringsfunktion gennem brug af en servo.
Højttalerens ikke-lineære komponenter består især af kraftfaktoren Bl og fjedervirkningen CMS fra
styrene, samt i mindre omfang svingspolens selvinduktion LE, der alle er funktion af svingspolens
afstand fra ligevægt. Det betyder at kraften på svingspole og membran er en ikke-lineær funktion
af den øjeblikkelige position. Et kraftigt bassignal vil derfor give harmonisk forvrængning af selve
bassignalet, og vil generere i interferens med andre, samtidige signaler, idet deres amplitude
moduleres af bassignalet. Det giver en hørbar dannelse af sum- og differenssignaler.
2
Lineært:
Ikke-lineært:
p∝a=
dv d x
= 2
dt
dt
F = Ma
⇒
2
p ∝ a = j ω v = −ω x
⇒ a( x) =
F( x) Bl(x) i
=
M
M
En mulig platform for korrektion af højttalerens fejl er at benytte en servo, der tvinger membranen
til den ønskede position x, hastighed v eller acceleration a, som funktion af indgangssignalet og et
tilbagekoblet signal. Det fungerer bedst i højttalerens stempelområde, 0 < ka < 1, men man bør
ikke sætte ambitionen for højt, for med en servo inde i kæden vil fasedrejning let føre til stabilitetsproblemer. En grænsefrekvens på 100 Hz er et rimeligt mål, og det begrænser typisk anvendelsesområdet til en subwoofer, men det er også her, der er mest at hente ved reduktion af forvrængning
og en udvidelse af frekvensområdet nedad (se også side 62).
Elektroakustik
Version 2.0
49
2.8.1 Måling af membranens position
Lufttrykket i kabinettets volumen varierer omtrent lineært med membranens bevægelser. Signalet
fra mikrofonen skal differentieres to gange for at repræsentere en acceleration og dermed lydtrykket. Det følgende eksempel er hentet fra en artikel af Small24 om måling af en højttalers respons
ved lave frekvenser og uden brug af et lyddødt rum, men bør kunne bruges i forbindelse med en
servo. Princippet kan anvendes med både lukket kabinet og basreflex.
Effektforstærker
jρ f
ρ jω
q=
q
r
2 πr
1
p B = Z AR q =
q
j ω C AB
⇒ q = j ω C AB p B
2
ρ( j ω)
⇒ pF =
p
2 πr B
pF =
pF = ZAFq
US
pB = ZABq
Korrektionsnetværk
Figur 2.42 – Lydtrykket inde i højttalerens kabinet er proportionalt med membranens bevægelse og
kan omsættes til at repræsentere lydtrykket ved to gange differentiation.
Volumehastigheden q flyder gennem strålingsimpedanserne ZAF og ZAB for både for- og bagside af
højttalerens membran (se side 43). Lydtrykket i afstanden r fra forsiden er proportional med frekvensen, hvorimod bagsidens strålingsimpedans er domineret af kabinettets volumen ved 1/jωCAB,
så lydtrykket inde i kabinettet er omvendt proportional med frekvensen. Relationen for lydtrykket
ved forsiden pF givet af lydtrykket i kabinettet pB kræver derfor at der differentieres to gange.
I den oprindelige artikel foreslås anvendelse af kredsløbet vist herunder, hvor de to differentierende
kredsløb er opbygget over A2 og A3. Modellen kan umiddelbart bruges op til 50 Hz, mens 200 Hz er
mulig ved tilpasning af netværket efter den medsvingende luftmasses afhængighed af frekvensen
gennem komponenterne R1, R2 og C1, hvilket Small kalder compliance shift, og han viser i artiklen
hvordan man kan estimere den nødvendige korrektion for en stor højttaler i et lille kabinet; den er
uden betydning for en lille højttalerenhed i et stort kabinet.
UB
R1
A1
C1
U1
R3
C2
R4
U2
A2
R2
R5
C3
R6
A3
UF
Figur 2.43 – Korrektionsfilter for omsætning af det målte lydtryk i kabinettet til en spænding, der er
proportional med lydtrykket fra højttalerens forside.
Kondensatorerne C2 og C3 skal differentiere signalet25 (U2 = –sR4C2U1 og UF = –sR6C3U2), men da
de også indgår som en faktor på signalets amplitude skal deres værdier vælges omhyggeligt for
anvendelse ved en servo. Modstanden R3 kompenserer for tab i kabinettet, og R5 begrænser forstærkningen ved høje frekvenser så støjen holdes nede.
For yderligere information henvises til artiklen, der er publiceret i AES samme år.
Jeg er ikke bekendt med om metoden anvendes kommercielt. De billige elektretmikrofoner er velegnede til opgaven, selv om der må forventes nogen udfordring med ustabilitet på grund af det ret
store fasedrej i opstillingen.
24 Richard Small ”Simplified Loudspeaker Measurements at Low Frequencies”, Proc. IREE 1971.
25 Tore Skogberg ”Analogteknik” version 0.5, 2014, side 101.
50
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
2.8.2 Måling af membranens hastighed
Højttalerenheder produceres undertiden med to svingspoler. Hvis den ene benyttes til at drive
membranen kan den anden rapportere om den opnåede bevægelse. Svingspolens spænding er
givet ved Faradays lov som u = Blv, med kraftfaktoren Bl og membranens hastighed v.
Effektforstærker
US
UO
IO
Højttaler
R1
A1
ΔU
U2
R2
R3
R3
R2
Bl v
=
R3 ≪ R E
RE
RE
R1 + R 2
Ligninger:
U O = ( R E +R 3) I O+Bl v
R2
R2
U2 =
UO =
[(R E + R 3) I O +Bl v ]
R1 + R2
R 1+ R2
U 3 = R 3 IO
Sammenfatning:
R2
Δ U = U 2−U 3 = [
( R +R )−R 3 ]I O+ Bl v
R1 +R 2 E 3
ΔU =
RE
Bl v
U3
R3
Figur 2.44 – Hastigheden af svingspole og membran kan udledes fra højttalerens respons.
Med en højttaler hvor DC modstanden er RE = 6,4 Ω kan der fx designes med R1 = 63 kΩ for R2 = 1 kΩ.
Ved almindelige højttalere kan den samme spænding udledes fra højttaleren med et netværk, som
vist i illustrationen hvor en instrumentationsforstærker A1 giver en spændingsværdi, der er proportional med Bl v og dermed med hastigheden. For ikke at påvirke den elektriske dæmpning af højttaleren kræves R3 < RE med en mulig værdi på R3 = 0,1 Ω, og den forudsætning benyttes også ved
løsning af ligningssystemet. DC modstanden RE skal kendes ret nøjagtigt, for ved ±1% fejl overfor
spændingsdeleren vil strømmen i højttaleren give et spændingsbidrag i ΔU på RE/100 gange med
udgangsstrømmen IO, og derved kan signalet fra udgangsstrømmen blive dominerende.
2.8.3 Måling af lydtrykket ved membranen
Tæt på højttalerens membran er lydtrykket så højt at det overdøver rummets resonanser og anden
støj, og det er nogenlunde konstant over hele membranens areal uanset afstanden (plan bølge).
Effektforstærker
pN
US
r
p(r)
a
p
2r N
SD
a= π
p (r ) =
√
Figur 2.45 – Lydtrykket i højttalerens fjernfelt er direkte proportionelt med lydtrykket i nærfeltet for
en højttaler i en uendelig baffel. Metoden inkluderer således ikke diffraktion eller gulvrefleksion.
Metoden er analyseret af Keele26, for at kunne måle en højttalers frekvensrespons uden brug af et
lyddødt rum, med den begrænsning at lyden fra enhederne og en basport skal måles enkeltvis. For
en fejl under 1 dB skal nærfeltet måles i en afstand på højest en tiendedel af radius af membranen
samt i nærheden af højttalerens centrum. For en 8 tommer højttaler er a = 100 mm så mikrofonen
skal maksimalt være 10 mm fra membranens dome. Modellen er anvendelig for ka < 2, hvilket er
omkring 1 kHz for en typisk 200 mm bas.
For at overføre målingen til lyttepositionen i afstanden r skal der korrigeres for radius af enheden
eller basporten. Det betyder at hvis bas og diskant leverer det samme lydtryk i r = 1 m afstand, så
vil målingen give et højere lydtryk i nærfeltet fra diskanten på grund af dens mindre radius.
26 D. B. Keele ”Low-Frequency Loudspeaker Assessment by Nearfield Sound-Pressure Measurement”, JAES, 1973.
Elektroakustik
Version 2.0
51
2.8.4 Syntetisering af mekaniske parametre
En udvidelse af frekvensområdet nedad og samtidig reduktion af forvrængningen er mulig uden
brug af en servo, som det vises af af Ståhl27 i en interessant og velskrevet artikel.
CP
ZP
RO = − RE
RP
RE
LP
UG
2
M MS
(Bl )2
Ophæver hinanden
(Bl )
R MS
2
(Bl ) C MS
Højttaler
Effektforstærker
Figur 2.46 – En effektforstærker med en kompleks indre impedans kan øge den bevægelige masse,
styre tabene og mindske eftergiveligheden.
Ideen er at bringe et LRC-kredsløb i parallel med den elektriske models komponenter for masse,
tab og eftergivelighed, og så lade disse komponenter definere højttalerens egenskaber. Princippet
er begrænset til ka < 1, hvilket er rigeligt til eksempelvis en subwoofer, og det er beskyttet af et
patent28 fra omkring 1980.
Der benyttes en tilbagekobling i effektforstærkeren så udgangsmodstanden bliver lig med –RE og
derved ophæver DC modstanden i svingspolen. Effektforstærkerens udgang driver de mekaniske
komponenter via en parallelkredsløb med LP, RP og CP i serie med udgangen. Et Thevenin-Norton
ækvivalent tillader at effektforstærkeren opfattes som en strømgenerator med værdien UG/ZP og
LRC-kredsløbet i parallel over udgangen. LRC-kredsløbet er dermed i parallel med højttalerens
parametre i den elektriske model med massen af det bevægelige system MMS, tabskomponenten
RMS og eftergiveligheden af styrene CMS, der eventuelt kan inkludere et lukket kabinet.
ZP
M MS
(Bl )2
UG
ZP
2
(Bl )
R MS
2
(Bl) C MS
Højttaler
Effektforstærker
Figur 2.47 – Højttalerens mekaniske parametre kan parallelforbindes med elektriske parametre, der
kan øge den bevægelige masse, øge tabene og mindske eftergiveligheden.
Parallelkredsløbet er ikke hensigtsmæssigt som en serieforbindelse, dels på grund af de krævede
komponenteværdier der typisk måles i millifarad og millihenry, dels fordi seriemodstanden i spolen
kan genere funktionen, og endelig fordi spændingskilden nøje skal kunne følge parallelkredsløbet.
Ståhl viser i artiklen29 at den negative udgangsmodstand kan realiseres ved positiv tilbagekobling,
og at filtret kan føres frem foran effektforstærkeren hvor det fungerer både som korrektion af effektforstærkeren og som parallelnetværk over udgangen.
27 Karl Erik Ståhl ”Synthesis of Loudspeaker Mechanical Parameters by Elekctrical Means : A New Method for Controlling LowFrequency Loudspeaker Behaviour”, AES, 1978, 1981. Artiklen er også gengivet i det svenske fagblad Radio och Television.
28 Patenter for USA: 4,118,600 og Sverige: 7603585-6
29 Kredsløb for positiv og negativ udgangsmodstand diskuteres her: http://sound.westhost.com/project56.htm.
52
Version 2.0
Tore Skogberg
2 Højttaleren
CCP
Båndpasfilter, for
impedansen ZP
US
RRP
RG
R3
RA
Effektforstærker med
negativ udgangsmodstand
R2
R8
A1
R7
C1
RLP
UOUT
A5
RRS
R1
PowerAmp
RL
R6
A3
A2
R5
A4
R4
Forstærkning:
1 RA R5
G=
RG R4 R 6
Indre modstand:
1 R4 R6 R8
RS = −
R RS
R5
R4 ≪ RE
Parallelle komponenter:
R R R
C P = C CP A 5 7
R 4 R6 R 8
R 4 R 6 R8
R P = R RP
R A R 5 R7
R 1 R3 C 1 R 4 R 6 R 8
LP = R LP
R2
R A R5 R 7
Figur 2.48 – Realisering af kredsløbet for syntesisering af højttalerens parametre.
Modstanden RS er den indre modstand i effektforstærkeren, som indstilles til –RE for at kompensere for
højttalerens DC modstand i svingspolen. Komponenterne CP, RP og LP er de syntetiserede parametre, der
bringes til at dominere over højttalerens parametre MMS, RMS og CMS.
Kredsløbet er ikke specielt kompliceret, og var elegant da det kom frem i 1978, men dagens standard er at lade en DSP varetage signalbehandlingen inden det føres til en effektforstærker, og det
er emnet for de efterfølgende eksempler.
2.8.5 Delefilter
Det er oplagt at lade en DSP varetage opdelingen af frekvensområdet mellem højttalerenhederne.
Det har den fordel at der ikke skal tages hensyn til vekselvirkningen mellem et analogt delefilter og
højttalerenhederne, det er lettere at styre fasedrejet gennem filtersektionen, og der er en valgfrihed
mellem IIR og FIR filtre.
Effektforstærker 1
DAC 1
US
ADC
DSP
Kabinet
Diskant
d
Effektforstærker 2
DAC 2
Bas
Figur 2.49 – En DSP kan varetage opdeling af frekvensområdet mellem to højttalerenheder og korrigere for en forskel i den fysiske placering.
Med en DSP lettes en justering af delefiltrets opbygning fra en fysisk udskiftning af komponenter til
en ændring i software, og det er overskueligt at inkludere ekstra overføringsfunktioner, som kompenserer for uønskede egenskaber ved højttalerenhederne. Eksemplerne omfatter en udvidelse af
frekvensområdet nedad, som vist på side 62 ved en analog løsning, og ændring af responsen fra
vandret til skrå, med fx –0,5 dB/oktav, der kan tilnærmes med en kaskade af første-ordens filtre inden delefiltrets algoritme. Det er straks mere kompliceret er at korrigere for højttalerenhedernes
irregulære karakteristik, men en ”hængekøje-karakteristik” eller det modsatte kan dog bedres med
enkle midler i form af første- og anden-ordens overføringsfunktioner indskudt i signalvejen.
Elektroakustik
Version 2.0
53
2.8.6 Tidsforskydning
Diskanthøjttaleren har en anden geometri end bashøjttaleren, og ved montage på samme forplade
vil den derfor være nærmere på lytteren, som vist i illustrationen på side 53. Ved en Dirac-puls vil
bølgefronten fra diskanthøjttaleren derfor komme først, og det giver typisk problemer i delefiltrets
grænseområde. Tidsforsinkelsen beskrives ved exp(–kd), hvor d er afstanden mellem bassens og
diskantens akustiske centre; som udgangspunkt vil det sige fra centrene af deres dome eller kegletop, selv om problemet er noget mere komplekst i praksis for det akustiske centrum er afhængigt af
frekvensen (højttaleren er ikke et minimum fase system hvor amplitude- og faseresponserne er entydigt givet af hinanden).
2
Diskant:
Bas:
s
2 ω0
2
s + +ω 0
Q
⇒
2
ω0
H B ( s) =
exp(−kd )
2 ω0
2
s + +ω0
Q
H D (s) =
H ( s) = H D ( s)+H B (s) =
s 2+ω20 exp(−kd )
ω
s2 + 0 +ω20
Q
Uden tidsforsinkelsen (d = 0) bliver overføringsfunktionen et båndstop filter på grund af tællerens
nul ved frekvensen hvor s2 + ω02 = 0, hvilket kan løses ved at invertere den ene af enhederne, med
de dermed forbundne problemer, der muligvis kan være hørbare. For d > 0 er leddet ω02exp(–kd)
en roterende phasor, der vil skifte mellem konstruktiv og destruktiv interferens, og for d = 20 mm er
denne phasor roteret 360° allerede ved 2,7 kHz.
Løsningen på problemet er at forskyde enten bas eller diskant på forpladen, så deres akustiske
centre passer med hinanden. Fra omkring 1970 medførte det en del systemer hvor bassen var
skudt frem med sin egen ramme, eller diskanten var forsænket i en skålformet fordybning. Med en
DSP er det enkelt at forsinke signalet til diskanten, så den mekaniske løsning undgås, og igen kan
forsinkelsen justeres i software så teorien kommer til at passe med praksis.
2.8.7 Beskyttelseskredsløb
Der er grænser for hvad højttalerens styr kan tåle før der sker en mekanisk overlast og eventuel
beskadigelse af højttaleren. Lydtrykket fra højttaleren er proportionel med indgangsspændingen US
og ligeledes gælder for membranens acceleration, så det er relativt enkelt at udlede amplituden af
membranens svingning, i det mindste for et harmonisk signal i den stationære situation, hvor signalet eksisterer over lang tid. Der kræves to gange integration af indgangssignalet, så der er stort
set kun lavfrekvente signaler tilbage efter integrationen.
2
dv d x
= 2
dt
dt
p ∝ US
p∝a=
2
⇒
d x
⇒
2 ∝ US
dt
x = ∫ (∫ U s dt ) dt
⇒ |x| =
US
2
ω
Et beskyttelseskredsløb kan så monitorere værdien af den beregnede amplitude og skrue ned for
signalet hvis værdien overstiger en fastsat grænseværdi. For at undgå ”pumpelyde”, som det kendes fra diskotekets Tekno-pop, så anbefales det at anvende et justerbart højpasfilter for at dæmpe
de dybe toner, frem for at justere forstærkningen i et frekvensbånd.
Der er ligeledes grænser for hvor meget effekt, der kan afsættes i svingspolen, da den akkumulerede varme skal afgives ved varmeledning, konvektion og stråling. Højttaleren har en specifikation
af maksimal effektafsættelse, og den aktuelle effektafsættelse kan monitoreres ved at midle den
afsatte effekt over tid med et første-ordens lavpasfilter. Effekten er proportional med kvadratet på
indgangsspændingen (P = U2/R) så indgangssignalet skal kvadreres før det midles. Tidskonstanten
for filtret vil som en tommelfingerregel være af størrelsesordenen 10 sekunder, men med store
variationer fra højttaler til højttaler.
54
Version 2.0
Tore Skogberg
3 Delefilter
3 DELEFILTER
Der findes højttalere, som kan gengive størstedelen af det hørbare frekvensområde, men for gengivelse af
en kraftig bas med en god spredning af de høje frekvenser må frekvensområdet deles op i flere bånd, som
nu varetages af højttalere, der er designet til at arbejde optimalt i et begrænset frekvensområde.
Dybe frekvenser kan kun opfattes når lydtrykket er væsentligt højere end høretærsklens 0 dB SPL;
den dybe streng på en basguitar ved 41 Hz skal eksempelvis over 50 dB for at grundtonen netop
kan høres (se side 7). Der skal flyttes et ganske stort luftvolumen ved de dybe toner, og det kan
bedst opnås ved en stor diameter af membranen, eller ved en lang vandring af svingspolen. I begge tilfælde forøges massen af svingspole og membran og det hæver også selvinduktionen af
svingspolen, så de højeste toner bliver dæmpet allerede af det elektriske system.
Ved høje frekvenser koncentreres lyden i højttalerens akseretning og for en højttaler med 200 mm
diameter vil frekvenser over 500 Hz koncentreres i akseretningen, og over 2 kHz vil membranen
bryde op, hvilket både påvirker lydtrykket i akseretningen og lydspredningen. For at kunne gengive
de høje frekvenser foretrækkes højttalere med en lille og let membran, der oftest er formet som en
halvkugle for bedre at sprede lyden ved høje frekvenser. Membranens diameter er typisk på 25
mm, så højttaleren bliver først retningsbestemt over 4 kHz og opbrydning af membranen vil først
indtræde ved den høje ende af det hørbare frekvensspektrum.
Konklusionen er at frekvensområdet må deles mellem to eller flere højttalerenheder i et kabinet, og
der er følgelig behov for et delefilter for at opsplitte frekvensområdet mellem enhederne.
3.1 Simple delefiltre
Det mest enkle er at parallelforbinde to højttalere og så håbe på at de deler opgaven imellem sig.
Det er faktisk muligt hvis diskanthøjttaleren er piezoelektrisk, for den vil ikke optage effekt ved lave
frekvenser, men det kræver at bashøjttaleren ruller pænt af over den frekvens hvor diskanten skal
tage over, hvilket typisk er 4 kHz og dermed stiller hårde krav til bashøjttalerens diskantgengivelse.
Det er en populær metode i PA anlæg hvor det sparer delefiltret, og den piezoelektriske højttaler er
robust nok til at tillade det. En parallelforbindelse ved de almindelige elektrodynamiske diskanthøjttalere kan absolut ikke anbefales, for diskanthøjttaleren kan ikke tåle effekten. Den vil i bedste fald
overleve, men den vil givetvis producere en kraftig forvrængning.
US
R
8Ω
0
C
10 μF
US
Bas
R
8Ω
Diskant
R
8Ω
0
Bas
US
R
8Ω
Diskant
0
L
0,6 mH
C
10 μF
R
8Ω
R
8Ω
Bas
Diskant
R
2π f 0
1
C=
2 πf 0R
L=
Figur 3.1 – Eksempler på simple delefiltre med en delefrekvens på 2 kHz.
En beskyttelse af diskanthøjttaleren opnås ved at forbinde en kondensator i serie med den. Et godt
resultat kræver stadigvæk at bashøjttaleren ruller pænt af ved den frekvens hvor diskanten skal
tage over. Det bruges i lavprishøjttalere, hvor udgiften til en enkelt kondensator kan accepteres.
Bashøjttaleren kan dæmpes over delefrekvensen for at reducere problemerne fra membranens opbrydning ved høje frekvenser, og det kan realiseres med en spole i serie med bassen. Impedansen
af spolen stiger med frekvensen, hvilket skaber et lavpasfilter. Det er et populært design indenfor
hobbykredse, ikke mindst fordi delefiltret påstås at give en perfekt addition af de to kanaler; det er
dog en sandhed med modifikationer, som det følgende vil vise.
Elektroakustik
Version 2.0
55
Problemet er at man hverken tager hensyn til den elektriske interaktion mellem højttaler og delefilter, eller til højttalerenhedernes egen respons, eller til en faseforskel fra højttalerenhedernes placering på frontpladen eller til diffraktion fra kabinettets kanter. Responsen for højttalerenhederne vil
hver især bidrage med variation i både amplitude og fase, og det er naivt at håbe på at to meget
forskellige enheder kan kompensere for hinandens fase.
Et delefilter med to første-ordens sektioner er beskrevet ved overføringsfunktionerne HB og HD
herunder. En direkte addition af de to filtre viser at overføringsfunktionen bliver én.
Diskant (højpas):
Bas (lavpas):
s
ω 0+ s
ω0
HB =
ω 0 +s
HD =
⇒
H B+ H D =
ω0 +s
=1
ω0 +s
Interaktionen mellem højttaler og delefilter er ganske betydelig på grund af impedansens store variation over frekvensområdet. En bashøjttalers selvinduktion har omtrent samme virkning som den
serieforbundne spole, så den resulterende delefrekvens bliver ikke som beregnet. En diskanthøjttaler har ofte en kraftig resonans ved 1 kHz hvor impedansen stiger til omkring 30 Ω (se side 29).
Det betyder at den serieforbundne kondensator ikke giver en betydende dæmpning før frekvensen
er kommet under højttalerens resonans, og det er uanset den fundne værdi ved formlerne.
Man kan udjævne impedansen for begge højttalere med komponenter i parallel over højttalerens
tilslutningsklemmer, men der kræves normalt så mange komponenter, der skal afstemmes præcist,
at det vil være langt lettere at dimensionere et filter af højere orden.
En del diskanthøjttalere leveres med magnetisk olie mellem svingspole og magnet både for at køle
svingspolen ved høje effekter og for at dæmpe den mekaniske resonans. Den type højttaler har en
meget jævn elektrisk impedans og vil fungere med formlen for beregning af kondensatoren.
3.2 Anden-ordens filter
Det nok mest populære delefilter er af anden orden, hvilket vil sige at der benyttes to reaktive komponenter i form af en spole og en kondensator for hver højttalerenhed. Fordelen er at de to komponenter giver mindre følsomhed overfor højttalerens variation i impedans, samt at dæmpningen på
±12 dB/oktav er mere effektiv til at undertrykke højttalerenhedernes uregelmæssigheder udenfor
delefrekvensen. En tommelfingerregel siger at højttaleren skal dæmpes 10 dB før den må afvige
fra det perfekte i henseende til amplitude, fase og lydspredning; og det er cirka en oktav på hver
side af delefrekvensen ved et anden-ordens filter.
US
C
6,8 μF
L
1 mH
C
6,8 μF
0
R
6Ω
L
1 mH
Bas
R
7,1 Ω
Diskant
R
2 π f 0Q
Q
C=
2 πf 0 R
1
f0=
2π √LC
C
Q=R
L
L=
√
Figur 3.2 – Et populært delefilter af anden orden, der vil give en mere forudsigelig funktion end de
simple delefiltre vist tidligere. Komponentværdierne realiserer en delefrekvens på f0 = 1,9 kHz og
godheden er Q = 0,5 for bassen og Q = 0,6 for diskanten, som derved kun dæmpes 4,4 dB ved f0.
Formlerne kan forventes at give den beregnede delefrekvens, men kan vil være en påvirkning fra
interaktionen mellem højttalerenhed og delefilter i deleområdet. Den store dæmpningen af de lave
frekvenser giver en god beskyttelse af diskanthøjttaleren. Bemærk at delefiltret skal dimensioneres
efter den aktuelle DC modstand af højttaleren, og ikke blot benytte de nominelle 8 Ω.
56
Version 2.0
Tore Skogberg
3 Delefilter
Populære bøger og tidsskrifter anbefaler ofte at diskanthøjttaleren inverteres30 ved ombytning af lederne til højttaleren, for at undgå et stopfilter i den akustiske respons. Det er baseret på en udbredt
misforståelse, hvor overføringsfunktionerne fra bas og diskant ignoreres, og amplituden i teorien
skal blive jævn hvis godheden31 indstilles til Q = 0,5.
Antagelsen er at delefiltret fasedrejer bashøjttaleren –90° ved grænsefrekvensen og diskanten
med 90° så de to enheders signaler udbalanceres ved delefrekvensen. Det kan ses ud fra de to
anden-ordens filtre. Hvis Laplace operatoren skrives s = jω vil en addition give ω0 – ω2 i tælleren, der vil antage værdien nul når frekvensen er lig med delefrekvensen.
HD =
HB =
s2
ω +2 d ω 0 s+s2
ω 20
2
0
2
0
ω +2 d ω 0 s+s
⇒ |H B + H D| =
|
2
ω0−ω
2
0
2
|
2
ω −ω + j 2d ω 0 ω
2
|H B +H D|≈ 1 ω ≫ ω 0
⇒ |H B + H D| = 0 ω = ω0
|H B +H D|≈ 1 ω ≪ ω 0
Ved en inversion af diskanten vil der nu stå ω 0 + ω2 i tælleren, og der optræder ikke udslukning
ved delefrekvensen. Ved Q = 0,5 er amplituden uafhængig af frekvensen.
|H B−H D| =
|
ω 20 +ω 2
2
2
ω 0−ω + j2 d ω0 ω
|
=
ω 20 +ω 2
√ (ω 0−ω ) +(2 d ω0 ω )
2
2 2
2
⇒ |H B−H D| d=
1
=1
⇒
Q=
1
= 0,5
2d
Det er langt bedre at tegne delefiltret ind i en simulator sammen med overføringsfunktionen for den
ideelle højttaler. Som minimum medtages bashøjttalerens første ordens lavpasfilter fra svingspolen
og diskanthøjttalerens højpasfilter af anden orden fra resonansen. Bedre bedre er det at medtage
de to højttaleres aktuelle impedansvariationer for at modellere interaktionen mellem delefilter og
enhed. Endelig kan monteringen medtages i form af et fasedrejningsled exp(–jkx) for den højttaler,
der har længst vejlængde til lytteren, med x for afstandsforskellen.
3.2.1 Resulterende delefilter
Det aktuelle design af en tovejs PC højttaler benytter et anden-ordens delefilter ved 1,9 kHz. Bassen er en 100 mm enhed hvor svingspolens selvinduktion på 0,65 mH giver en stigende impedans
over 1,5 kHz så der er indført en korrektion ved R2 og C2. Diskanten er 5 dB kraftigere end bassen
og dæmpes af en spændingsdeler ved R3 og R4. Højttaleren har magnetisk olie mellem svingspole
og magnet for en kraftig mekanisk dæmpning af svingspolen, så der er ikke en top i impedansen
ved resonansen omkring 1,2 kHz og derfor ikke behov for korrektion.
US
D1
DB104C3
D2
LED
0
C3
6,8 μF
R1
100 Ω
Udstyringsindikator
L1
1 mH
0,3 Ω
F1
R2
1,6 AT 5,6 Ω
0,1 Ω
C1
6,8 μF
RB
6Ω
C2
16 μF SPH-100C
Bas/mellemtone
L2
1 mH
0,3 Ω
R3
3,3 Ω
R4
8,2 Ω
RD
7Ω
DT-107
Diskant
Figur 3.3 – Delefiltret for den kompakte tovejs højttaler.
Lysdioden D2 giver visuel indikation af niveauet; den får 25 mA ved 4 W i 8 Ω, der giver 90 dB SPL
mens den er slukket under 1 W da D1 og D2 kræver 3 V for at åbne. En sikring på 1,6 A beskytter
mod en middeleffekt over 20 W som en sikkerhed mod overbelastning og fejl i effektforstærkeren.
30 Andre kilder fokuserer på det uhensigtsmæssige i at fasen drejes 180° fra bas til diskant, men det er uvist om det kan høres.
31 En del ældre kilder hævder at godheden skal være Q = 0,7 idet de to højttaleres effekter adderes til et konstant niveau. Det er kun
korrekt for ikke-korrelerede signalkilder, men da signalerne kommer fra præcis samme kilde så kan det ikke være tilfældet, og i
praksis vil det give en pukkel på 3 dB i området omkring delefrekvensen.
Elektroakustik
Version 2.0
57
3.3 Kompenseringskredsløb
Det er muligt at kompensere for stigningen i højttalerens impedans ved resonans og mod høje frekvenser. Metoden er at designe et passivt netværk med impedansen ZN så parallelforbindelsen af
netværket og højttalerens impedans ZH giver en reel værdi, lig med højttalerens DC modstand RE.
1
= RE
1
1
+
ZN Z H
1 1
1
+
=
ZN ZH
RE
⇒
1
1
1
=
−
ZN
RE Z H
⇒
⇒
ZN =
ZH
1
= RE
1
1
Z H −R E
−
RE ZH
Det skal eksemplificeres i det følgende for svingspolens selvinduktion ved høje frekvenser, og den
mekaniske resonans af det bevægelige system ved lave frekvenser i det aktive område.
3.3.1 Selvinduktion
Ved høje impedanser er højttalerens impedans beskrevet ved svingspolens DC modstand RE i serie med dens selvinduktion LE. og det kan kompenseres ved et RC led i parallel over højttalerens
terminaler. Det kan være gavnligt for både bas og mellemtone, hvorimod det er uden interesse for
en diskant. Bemærk at modstanden udsættes for det fulde spændingssving over grænsefrekvensen fG og ved en bashøjttaler kan det være ganske meget effekt, der skal optages.
US
US
RN
5,6 Ω
RN
ZB
CN
Z
CN
22 μF
Bas
0
RE
5,6 Ω
LE
0,65 mH
0
Z H = R E +sLE ⇒
R E +sLE
R2
Z N = RE
= E +R E
R E +sL E−R E sLE
LE
R N = R E og C N = 2
RE
1
fG =
2 π R E CN
Figur 3.4 – Et RC-led kan kompensere for selvinduktionen i højttalerens svingspole ved at holde
impedansen nede når svingspolens selvinduktion giver en stigende impedans.
Med PC bashøjttalerens DC modstand målt til RE = 5,6 Ω og selvinduktionen på LE = 0,65 mH bliver de to
eksterne komponenter til RN = 5,6 Ω og CN = 20,7 μF, som her afrundes til 16 μF.
3.3.2 Resonans
Impedansen stiger ret kraftigt i frekvensområdet omkring den mekaniske resonans, og det kan korrigeres med et RLC kredsløb. Det er sjældent anvendt, for ved en diskant er det ofte nødvendigt at
inkludere et dæmpningsled, og det mindsker impedansens himmelflugt.
US
US
RN
LN
CN
0
ZB
Z
Bas
RN
RE
LN
(Bl)2
sM MS
CN
CM
0
RN = RE+
(Bl)2 sC MS
LM
(Bl)2
R MS
RM
LN =
CN =
R 2E R M
2
(Bl)
R 2E M MS
(Bl)2
2
(Bl) C MS
R 2E
Figur 3.5 – Et RC-led kan kompensere for selvinduktionen i højttalerens svingspole ved at holde
impedansen nede når svingspolens selvinduktion giver en stigende impedans.
Ved PB højttalerens bas med RE = 5,6 Ω, Bl = 5,1 N/A, MM = 7 kg, RM = 1 Ns/m og CM = 1,45 mm/N bliver
komponentværdierne RN = 6,8 Ω, LN = 8,4 mH og CN = 1,2 mF.
58
Version 2.0
Tore Skogberg
3 Delefilter
Komponentværdierne bestemmes ved indsættelse og identifikation af leddene som henholdsvis
konstante (modstand) eller frekvensafhængige (spole eller kondensator).
1
1
1
sC M +
+
sLM R M
ZH
ZN = RE
Z H −R E
1
1
1
sC M +
+
sLM R M
R2 R 2
= sR 2E C M + E + E +R E
1
sLM R M
1
1
sC M +
+
sLM R M
RE+
Z H = R E+
⇒
Z N = RE
3.3.3 Niveaujustering
Diskanthøjttaleren er i mange tilfælde mere følsom end bashøjttaleren. Det betyder at lydtrykket fra
højttaleren vil stige i diskanten og der er derfor behov for at dæmpe diskantenheden så niveauet
svarer til basenhedens. De to modstande belastes tilnærmelsesvist lige meget, og de bør vælges
til en effektklasse mindst svarende til den effekt diskanthøjttaleren kan klare for at temperaturen
holdes på et rimeligt niveau. Som udgangspunkt er 5 W tilstrækkeligt for mindre systemer, men
man bør altid overdimensionere for at holde temperaturen nede ved hård belastning.
US
R
0
R1
3,3 Ω
S B −S D
)
20 dB
R 1 = (1−α)R
αR
R2 =
1−α
α = exp10 (
R2
8,2 Ω
R
7,0 Ω
Diskant
Figur 3.6 – En dæmpning af diskanten foretages bedst med to modstande som spændingsdeler.
Med en følsomhed32 på SB = 84 dB for bashøjttaleren og SD = 89 dB for diskanthøjttaleren bliver den nødvendige 5 dB dæmpning α = 0,56 og de to modstande beregnes til 3,1 Ω og 9 Ω, før afrunding til de viste
værdier, og R er valgt lig DC modstanden af den aktuelle diskantenhed. Den aktuelle indgangsmodstand
er 7,1 Ω og dæmpningen bliver 5,5 dB.
Modstanden R2 sidder i parallel med højttaleren og mindsker betydningen af den stigende impedans i nærheden af resonans, så dæmpningen har en forbedrende virkning overfor delefiltret.
Man må som hovedregel ikke dæmpe signalet til bashøjttaleren. For det første er afstemningen af
kabinettet funktion af bashøjttalerens totale godhed, og den påvirkes af en ekstern modstand. For
det andet kan der afsættes høj effekt i bashøjttaleren og derfor også i nogle eventuelle modstande
for dæmpning af den. Hvis diskanthøjttaleren er mindre følsom end bashøjttaleren bør problemet
løses ved at vælge andre højttalerenheder eller ved at anvende separate effektforstærkere for hver
af højttalerenhederne.
3.4 Sikring
En sikring i serie med højttalerens enheder kan være en god disposition hvis højttaleren benyttes i
forbindelse med udviklingsforløbet af en effektforstærker, hvor sikringen kan afbryde forbindelsen
til højttalerenheden og dermed begrænse skaden.
Der er dog tre forhold, som man skal tage hensyn til inden en sikring designes ind i produktet. For
det første er en afbrændt sikring et irritationsmoment for den kunde, der skal skifte sikringen. Der
må ikke involveres for stort besvær, og det er lettest af imødekomme ved de elektromekaniske sikringer, hvor man blot trykker en knap ind igen. For det andet har sikringen en modstandsværdi, der
vil optræde i serie med de øvrige modstande i kæden af effektforstærker, tilslutningskabel og komponenterne i delefiltret. Det vil påvirke den elektriske dæmpning af højttalerenheden.
32 Følsomheden (sensitivity) angiver lydtrykket i decibel over 20 μPa ved en RMS værdi på 2,83 V tilført højttaleren, der svarer til at tilføre 1 W til en 8 Ω højttaler.
Elektroakustik
Version 2.0
59
For det tredje vil modstandsværdien for en smeltesikring variere med trådens temperatur, og den
er funktion af signalet, der påtrykkes højttalerens klemmer. Det betyder at sikringen kan være årsag til harmonisk forvrængning. For at afklare dette problem blev fem træge sikringer målt med
hensyn til DC modstanden i en statisk belastningssituation. Effektforsyningen blev indstillet til at afgive strøm og spændingen over sikringen blev målt indtil den afbrød (1 A til 2 A) eller indtil effektforsyningens maksimum på 4,1 A blev nået (3,15 A og 5 A).
Figur 3.7 – Målte modstandsværdi af fem almindelige sikringer og variationen i modstandsværdien
som funktion af strømmen i sikringen (20 mm langt glasrør).
Variationen er størst for 1 A sikringen, der vokser fra cirka 0,08 Ω til knapt 0,2 Ω før afbrænding,
mens de øvrige sikringer holder sig under 0,08 Ω for strømme under smeltepunktet. En sikring på
1,6 A vil derfor kunne beskytte en højttaler, der ikke skal udsættes for mere end 20 W kontinuerligt.
Det vil svare til en spidseffekt fra effektforstærkeren på 200 W ved det typiske musikmateriale, og
højttaleren vil blive afbrudt ved en kontinuerlig effekt på 50 W efter et antal sekunder.
Tidskonstanten af sikringen blev ikke målt, men vil kunne give amplitudemodulation af et signal i
mellemtonen hvis der er kraftige signaler i basområder. Det er uanset om sikringen sidder i serie
med hele systemet eller kun i bashøjttalerens linje. Det betyder at sikringen i givet fald skal være
”kold” i det tilsigtede arbejdsområde, der derved indikerer et design efter den nominelle værdi af
sikringen. For 1,6 A sikringen bliver grænsen som nævnt omkring 20 W kontinuerlig effekt.
Modstandsændringen for 1 A sikringen er den største af de målte, og dæmpningen med højttalerens DC modstand på 6 Ω giver en variation i dæmpningen fra 0,9868 til 0,9677 for grænsen lige
inden afbrænding, så amplituden ændres med 2 %, der kan opfattes som en amplitudemodulation
på ±1 %. Den harmoniske forvrængning er næppe et problem på grund af ørets maskering, men
der dannes toner ved både sum- og differens af to samtidige signalers frekvenser, og differensen
kan være hørbar. Amplituden af differensen er halvdelen af modulationen så niveauet af differenstoneforvrængningen er på DDIF = 0,5 % og vil muligvis være hørbar (se side 9).
Amplitudemodulationen kan beskrives ved en sinus på det ønskede signals frekvens, hvor amplituden varierer med en sinus på en anden frekvens. Forvrængningen beregnes her som det
uønskede signals amplitude i forhold til det ønskede signals amplitude.
s(t) = [1+M sin (ω M t )]sin (ω t)
⇒
M
s(t) = sin (ω t )+ [cos((ω−ω M )t )−cos((ω +ω M )t )]
2
D DIF =
amplitude af differens
M
=
amplitude af signal
2
For en sikring på 1,6 A er variationen på ±0,25 % ved grænsen inden den afbryder så forvrængningen er omkring 0,1 % med en lavere værdi i sikringens ”kolde” område. Som en konklusion bør en
sikring derfor ikke være mindre end 1,6 A med mindre andre krav gør sig gældende.
60
Version 2.0
Tore Skogberg
3 Delefilter
3.5 Aktivt delefilter
For at undgå problemerne med interaktion mellem delefilter og højttaler kan effektforstærkeren indskydes mellem delefiltret og højttaleren. Det er en relativt kostbar løsning, men den vinder frem,
både indenfor den mere kompromisløse gren af lydreproduktionen og ved PA anlæg. Delefiltret opbygges med elektroniske filtre, konstrueret over operationsforstærkere med modstande og kondensatorer. Der opnås en større præcision da tolerancen typisk er ±1 % for modstande og ±5 % for
plast-kondensatorer, mod ±10 % eller ±20 % for spoler og kondensatorer til brug i passive delefiltre, men det er stadig nødvendigt at inkludere højttalerens overføringsfunktion for at kunne simulere funktionen.
Højpas
RD
8Ω
Effektforstærker
US
Diskant
Lavpas
RB
8Ω
Effektforstærker
Bas
Figur 3.8 – Et aktivt delefilter benytter elektroniske delefiltre og separate effektforstærkere for hver
højttaler eller mindre grupper af højttalere.
Mere væsentligt er muligheden for individuelt at korrigere for den enkelte enheds skavanker, og for
at indbygge beskyttelseskredsløb tilpasset den enkelte enhed. De færreste højttaleren gengiver
hele frekvensområdet som det var ønsket, og monteringen på forpladen kan give en faseforskel
mellem de to højttalerenheder, som relativt let kan fjernes med et filter, og det er let at realisere
med digital signalbehandling. Dertil kommer muligheden for at kompensere for højttalerens
forvrængning gennem tilbagekobling, eller ved kendskab til den enkelte højttalerenheds ikkelineære karakteristik.
En moderne forstærker (receiver) med subbas, som i 5.1 og 7.2 systemerne, vil indeholde et aktivt
delefilter; for baskanalen er det et lavpasfilter med separat effektforstærker, og for de øvrige kanaler er det et højpasfilter, der skærer de problemfyldte dybe toner fra. Delefrekvensen bør ligge omkring 80 Hz hvis placeringen af bashøjttaleren skal være uafhængig af de øvrige kanaler, og hvis
det ikke kan imødekommes bør baskanalen placeres mellem de to fronthøjttalere.
Selve effektforstærkeren kan være integrerede kredse for et moderat effektniveau33, diskret opbyggede effektforstærkere, eller klasse D effektforstærkere ved endnu højere effektniveau.
3.6 Effektforstærkeren
Højttaleren er en særdeles ineffektiv transducer, så den elektriske effekt omsættes til akustisk effekt med en lav virkningsgrad. Der er følgelig behov for en effektforstærker som løfter signalet op til
et niveau, hvor der kan opnås et rimeligt lydtryk.
Reproduktion af lyd ved et realistisk lydniveau kan kræve en afgiven effekt på 1 W i det akustiske
miljø, og med en virkningsgrad for højttaleren i omegnen af 1 % skal en effektforstærker kunne afgive en elektrisk effekt på cirka 100 W. Moderne lydgengivelse med et stort antal kanaler, som
eksempelvis 5.1 og 7.2 systemerne, tillader i et vist omfang at fordele effekten mellem et antal
kanaler, så et niveau på 25 W for en enkelt kanal kan være et udgangspunkt for et design af en
kompakthøjttaler med integreret effektforstærker.
33 LM3875 og LM3886 kan aflevere cirka 40 W i 8 Ω og LM4766 kan afgive 2 gange 40 W i 8 Ω, alle ved en harmonisk forvrængning
under 0,1 % og kredsene har fra 11 til 15 ben. LM675 og LM1875 kan afgive omkring 30 W i 8 Ω mens TDA2030 og TDA2040 kan
klare 10 W i 8 Ω, alle ved en harmonisk forvrængning på 1 % og de har 5 ben.
Elektroakustik
Version 2.0
61
Udgangseffekten afhænger af den valgte effektforsyning, der kan være et batteri, en ekstern netadapter, eller en indbygget effektforsyning. Batteriforsyning og eksterne netadaptorer begrænser det
mulige valg af spændingsniveau, og dermed udgangseffekten til 10 W ved ±15 V og 0,5 W ved 5 V
for en nominel impedans af højttaleren på 8 Ω. Med en netadapter fra en transportabel PC på 19 V
kan der afgives 4 W til 8 Ω. For en højere effekt vil kan man benytte brokobling, der fordobler signalamplituden og derfor firedobler effekten, eller en lavere værdi af højttalerens impedans (4 Ω).
Forsyning
230 V AC
Effektforsyning
5V
±12 V
Signalkilde
UG = 1 V
Indgangskredsløb
5 V (0,5 W)
19 V (4 W)
±25 V (25 W)
±40 V (80 W)
Effektforstærker
RL
8Ω
Figur 3.9 – Effektforstærkeren består af en effektforsyning, der driver et indgangskredsløb med forstærkning, filtrering og beskyttelse af højttaleren, samt en effektforstærker. Den mulige værdi af
udgangseffekten er funktion af effektforsyningen og højttalerens nominelle impedans.
En højere udgangseffekt kræver en indbygget effektforsyning, idet spændingsniveauet bliver for
højt til at tillade en ekstern forsyning. Der er mulighed for at bruge en transformer med ensretter og
udglatning, eller en AC-DC konverter, og spændingsniveauet kan nu vælges frit, men det kræver at
effektforsyning og effektforstærker gennemfører en række sikkerhedsgodkendelser, før produktion
og salg er mulig.
3.7 Korrektionsfilter
Højttaleren skal beskyttes imod for store udsving af membranen, idet udsvinget under resonans
alene begrænses af eftergiveligheden af membranens styr. En populær mulighed er at benytte et
højpasfilter, der skærer de laveste frekvenser væk hvor der alligevel ikke kan afsættes betydende
effekt til lytterummet på grund af højttalerens begrænsning. Akustisk set udgør højttaleren selv et
anden-ordens højpasfilter, og for en effektiv reduktion af membranens udsving skal der mindst benyttes et elektrisk filter af anden orden, så resultatet bliver en fjerde ordens overføringsfunktion
med en afskæring mod lavere frekvenser på 24 dB/oktav.
Korrektion
HK
Filter
H2
Højttaler
HH
Figur 3.10 – Frekvensområdet kan udvides nedad mod samtidigt at dæmpe meget dybere toner,
som højttaleren ikke kan gengive, men som giver kraftige udsving af membranen.
Filtret kan i tilgift benyttes til at udstrække frekvensområdet i bassen, så højttaleren kan gengive de
dybere toner. Det kræver selvfølgelig at højttaleren har potentiale til at flytte den krævede mængde
luft. Der behøves en del forstærkning af de dybeste toner, så korrektionen kræver at både effektforstærkeren og højttaleren har et overskud. For højttaleren er begrænsning givet ved det lineære
område af styrene udtrykt gennem xMAX og membranens areal SD, som vist side 19.
Den resulterende fjerde-ordens overføringsfunktion HR modelleres som et produkt af to andenordens sektioner H1 og H2, hvor filtrenes parametre indstilles til den ønskede karakteristik, der i det
følgende eksempel er af typen Butterworth. Realiseringen indeholder højttalerens overføringsfunktion HH som substitut for det ene af filtrene, som derfor må justeres så resultatet passer med det
ønskede, og den nødvendige filterkarakteristik udgør korrektionsfiltret HK. Fet betyder at filter H1 erstattes med højttalerens overføringsfunktion HH og et korrektionsfilter HK.
62
Version 2.0
Tore Skogberg
3 Delefilter
Ampl.
HK(s)
Korrektionens
karakteristik
0 dB
H2(s)
Højttalerens
karakteristik
HH(s)
Resulterende
karakteristik
HR(s)
f1
f0
f
H
HR = H1 H2
⇒ HK = 1
H
HR = ( H K H H) H 2
H
ω0
2
2
s+
s+ω0
QT
HK = 2
2
s + a1 ω1 s+ ω1
-------------------------------------------------2
s
ω0 = 2 π f 0
HH =
ω
2
0
2
ω1 = 2 π f 1
s+
s+ω0
QT
ω2 = 2 π f 2
s2
Butterworthfilter:
H1 = 2
2
s +a 1 ω1 s+ω 1
a1 = 0,7654
2
a2 = 1,8478
s
H2 = 2
2
f1= f2
s +a 2 ω2 s+ω 2
Figur 3.11 – Frekvensområdet kan udvides nedad mod samtidigt at dæmpe dybere toner, som højttaleren ikke kan gengive, og som giver kraftige udsving af membranen.
Korrektionsfiltret HK dannes ved en sum af tre anden-ordens filtre gennem partialopdeling af den
fundne overføringsfunktion. De enkelte sektioner udgør et højpasfilter (se herunder), der sikrer at
funktionen ved høje frekvenser er en identitet, dertil et båndpasfilter med vægtningen f0/QTf1 , der
korrigerer responsen i området under højttalerens resonans så den passer med den valgte karakteristik, og endelig et lavpasfilter med vægtningen (f0/f1)2, der forstærker de lave frekvenser under
resonansen.
2
HK =
2
2
ω0
ω1 s
ω
ω1
s
+
+ ( ω0 ) 2
2
2
2
2
2
1
s +a 1 ω1 s +ω1 QT ω1 s +a1 ω1 s +ω1
s +a1 ω1 s+ ω1
Formlen er noteret så det kan bygges med et state-variable filter, men der er selvfølgelig mulighed
for andre realiseringer; ikke mindst implementering i en digital signalprocessor. Filtret skal kompletteres med H2 fra den anden del af overføringsfunktionen. Realiseringen vises herunder. Det valgte
state-variable filter benytter operationsforstærker A2 og A3 for integration hvor A1 tilbagekobler fra
båndpasudgangen UBP så den ønskede grænsefrekvens og godhed opnås.
Bashævningen varetages af faktoren til lavpasfiltret gennem modstand RL og svarer til kvadratet på
den ønskede ændring i grænsefrekvens, så en ændring af højttalerens respons fra f0 = 70 Hz til
den nye grænsefrekvens ved f1 = 35 Hz kræver at de lave frekvenser forstærkes med 22 = 4 gange
eller 12 dB, givet af leddet (ω0/ω1)2. Korrektionen i overgangsområdet benytter tilsvarende RB for
vægtning af båndpasleddet ved leddet ω0/QTω1.
Begrænsningen i membranens udsving først er kun aktiv for frekvenser hvor signalets amplitude
fra effektforstærkeren kommer under det oprindelige niveau; det betyder at frekvensen skal være
så lav at højpasfiltrets 24 dB/oktav har bragt niveauet ned under korrektionens bashævning. Ved fx
12 dB bashævning skal frekvensen sænkes en halv oktav under den nye grænsefrekvens, og hvis
der benyttes f1 = 35 Hz betyder det at beskyttelsen først træder i kraft under 17,5 Hz.
Diagrammet indeholder ikke detaljer om effektforsyningen, der underforstås som ±15 V, men kan
være så lav som ±3 V hvis den benyttede operationsforstærker tillader det. Det kan absolut ikke
anbefales at opbygge filtret med en enkelt effektforsyning (som eksempelvis 12 V over nul), da et
flydende midtpunkt erfaringsmæssigt giver problemer med støj og brum. Der er ikke vist kondensatorer for afkobling af effektforsyningen. Her anbefales to keramiske kondensatorer fra 47 nF til 220
nF for hver pakke af operationsforstærkere, så ved brug af tre styk TL072, der hver indeholder to
ens operationsforstærkere, anbefales i alt seks kondensatorer, der monteres tæt på benene til de
analoge pakker og med en kort leder fra kondensatoren til nul.
Elektroakustik
Version 2.0
63
Det anbefales at benytte et stelplan, og at afkoble de to linjer fra effektforsyningen med aluminiumelektrolytter på 470 μF i tilgift til den individuelle afkobling. Hvis effektforsyningen også skal forsyne
andre kredsløb, så anbefales det at isolere effektforsyningen til filterdelen med 10 Ω i serie med
hver indgang fra effektforsyningen til printkortet.
R1
R1
RQ1
A4
R1
US
R1 U
1
State-variable filter
R1
C1
A1
R1 U
2
C1
R1 U
3
A2
A3
–UBP
UHP
UBP
R1
RB
ULP
Korrektionsfilter
R1
A5
RL
UO
R1
A6
C2
C2
R1
RQ2
f 0 = Systemets resonans (Hz)
f 1 = Ny grænsefrekvens (Hz)
Q T = Højttaler totale godhed
R 1 = 10 k Ω som designvalg
Butterworth karakteristik:
a 1 = 0,7654 , a2 = 1,8478
-----------------------------------R
RQ1 = 1
a1
RQ 2 = (2−a2) R1
Q T ω1
RB = ω R1
0
2
f1
R L = ( ) R1
f0
1
C1 =
2 π f 0 R1
1
C2 =
2 π f 1 R1
R1
Figur 3.12 – Filter for korrektion af højttalerens basgengivelse fra resonans ved f0 og ned til f1 som
den nye –3 dB grænsefrekvens.
Forstærkere A1 til A4 udgør et state-variable filter med separate udgange for højpas, båndpas og lavpas.
Grænsefrekvensen indstilles gennem tidskonstanten R1C1, og godheden indstilles ved tilbagekoblingen
gennem RQ1. Forstærker A5 samler de tre udgange til korrektionsfiltret HF som sammen med højttalerens
overføringsfunktion danner H1, og det sidste trin ved forstærker A6 udgør højpasfiltrets anden del H2.
64
Version 2.0
Tore Skogberg
4 Lytterummet
4 LYTTERUMMET
Lydbølgen fra højttaleren vil ikke kun nå frem til lytterens øre, men vil også reflekteres fra rummets flader.
Det danner et komplekst system af trykbølger, der påvirker opfattelsen af det materiale vi lytter på, vores
indtryk af højttaleren og det rum vi opholder os i. Det kan beskrives ud fra flere synsvinkler, fx rummets naturlige resonanser, impulsresponsen og energibetragtninger, der vil blive introduceret i dette kapitel.
4.1 Stående bølger
Bølgeligningen kan beskrive de muligheder der er for at danne resonans, og hvor rummet villigt vil
svinge med på en påvirkning. Der er et system af resonanser for et givet rum, og det muliggør en
beskrivelse af visse karakteristika for rummet.
I appendiks side 80 udledes formlen for de stående bølger i et almindeligt rum med rette vinkler og
parallelle vægge. Bølgelængden af den laveste resonans i en akseretning er lig med to gange
længdedimensionen idet trykbølgen reflekteres ved den hårde væg og refleksionen derfor kan understøtte den indkommende bølge. For en længdedimension på 5 m (Lx, Ly og Lz) er den lavest
mulige resonans f0 = 34 Hz. Der er mulighed for resonans ved harmoniske frekvenser, det vil sige
ved 68 Hz, 102 Hz og højere, og det gælder for hver af akseretningerne.
y
z
Lz
Lx
Ly
x
√
2
2
2
nx c
n c
n c
) +( y ) +( z )
2 Lx
2 Ly
2 Lz
Index:
n x , n y , n z = 0, 1, 2, … N
c
V
Øvre grænse: f MAX ≈
og N ≈ 1+
2 πΔ L
SΔL
Resonanser:
fn= (
Figur 4.1 – Plane lydbølger kan eksistere i et rektangulært rum med parvist parallelle vægge.
Modellen gælder indtil frekvenser hvor usikkerheden ΔL i længderetningen bliver sammenlignelig
med bølgelængden, og index (nx, ny og nz) kan vises at være begrænset af rummets volumen V og
overfladearealet S, til en værdi, der typisk er under 10 for almindelige beboelsesrum.
Figur 4.2 – Plot af resonanserne for et rektangulært rum hvor væggene er hårde. Index n repræsenterer en kombination af de tre akseretninger til en enkelt værdi. Afstanden mellem resonanserne er
vist 10 gange forstørret, så fra 50 Hz og op er der nogle få hertz mellem resonanserne.
Elektroakustik
Version 2.0
65
Det er en udbredt misforståelse at lytterummet ikke kan benyttes til dybere toner end resonanserne
for det pågældende rum. Lyd er tryksvingninger og det er altid muligt for trykket at svinge omkring
det statiske lufttryk. Et eksempel musikgengivelsen i en bil, hvor der udmærket kan skabes et stort
lydtryk i bassen. For frekvenser under den laveste resonans betyder det at rummet er lille i forhold
til bølgelængden, og lydtrykket derfor er omtrent det samme i hele rummet.
Modellen kan beskrive forholdene inde i ethvert rektangulært rum, og kan derfor også estimere de
stående bølger inde i en højttalers kabinet. De mulige resonanser ligger i mellemtonen, hvor øret
er meget følsomt for den farvning af lyden som resonanserne giver. For at undgå dem kan man
fylde kabinettet helt eller delvist med dæmpningsmateriale, eller kabinettets sider kan stilles skævt
for at undgå parallelle flader, i det håb at det udtværer resonanserne (mindsker deres godhed).
Ved lave frekvenser er det let at adskille de enkelte resonanser, som enhver, der har sunget i et
badeværelse, vil vide. Ved højere frekvenser rykker resonanserne sammen og flere resonanser vil
blive aktiveret i større ellermndre grad ved en stationær tone fra lydgiveresn. Når centerfrekvensen
af mindst tre resonanser falder indenfor båndbredden af det enkelte filter er det svært eller umuligt
at skelne mellem resonanserne, og man må blot konstatere at der ved middel til høje frekvenser altid er involveret et antal af rummets naturlige resonanser34.
Grænsefrekvensen mellem det område hvor de enkelte resonanser kan erkendes, og det område
hvor de smelter sammen, kaldes for Schröder frekvensen, og den kan beregnes ud fra rummets
volumen V og efterklangstiden T60 hvor beviset ikke skal gives her [HK-84]. Teorien antager at der
vil ligge mindst fem resonanser indenfor det midterste filters –3 dB båndbredde.
f S ≈ 2000
√
T 60
V
f i Hz , T 60 i s og V i m3
For et rum på 3 m gange 4 m gange 5 m er værdien cirka fS = 180 Hz ved en efterklangstid på 0,5 s, og resonanserne ligger med cirka 3 Hz afstand som vist i illustrationen. Man kan derfor konkludere at båndbredden må være omkring B = 12 Hz for det enkelte filter, som derfor har godheden Q = f0/i = 15.
Resonanserne kan i tidsdomænet beskrives ved dæmpede, harmoniske svingninger, der fra den
velkendte filterteori benytter et anden-ordens filter for hver enkelt resonans. Polynomiets nævner
indeholder kvadratet på s = jω = 2πf samt kvadratet på resonansfrekvensen ωn = 2πfn. Deres sum
ωn2 – ω2 vil ved resonans blive nul så brøken ”eksploderer” og filtret svinger med på påvirkningen,
mens den ved frekvenser i en vis afstand fra resonansen er meget lille. Amplituden af den n'te resonans repræsenteres af konstanten ck, der dog ikke skal bestemmes numerisk.
N
H (s) =
∑ s2 +2 d
n= 0
N
cn
k
ω n s+ω
2
n
⇔
Laplace
h(t) = ∑ c n sin (ω t)exp(−d k ω n t )e (t )
n=0
ωn = 2 π f n
e (t) = Enhedsstep
Anden-ordens filtre er karakteriseret ved at starte og stoppe blødt, når en påvirknings amplitude
pludselig ændres. Ind- og udsvingstiden er relateret til centerfrekvensen og dæmpningen af filtret
med en tilnærmet værdi på τ = 1/2dωn. Værdien af dæmpningen ved 2dωn er fra 2 til 40 s–1 så reaktionstiden på en pludselig ændring er fra 25 ms til 0,5 s [HK-83].
Rummets resonanser er ansvarlig for efterklangen i rummet når en påvirkning pludselig stopper. I
kirker kendes det fra slutakkorden fra orglet, der kan ”hænge i luften” i mange sekunder efter at
orglet er blevet tavst. En måling af denne efterklang foretages på en lignende vis. En højttaler udsender et støjsignal, der indeholder alle frekvenser, så samtlige resonanser i rummet aktiveres.
Når lydniveauet er blevet konstant standses lyden fra højttaleren pludseligt og lydniveauet aftager
efterhånden som lydenergien absorberes. Efterklangstiden defineres som en reduktion til –60 dB
af det oprindelige niveau, og det nås efter efter cirka syv tidskonstanter, som giver en efterklangstid
af størrelsesordenen et sekund for de typiske rum.
34 Se også en diskussion på: http://www.linkwitzlab.com/rooms.htm.
66
Version 2.0
Tore Skogberg
4 Lytterummet
4.2 Rummets overføringsfunktion
En lydbølge fra højttaleren udbredes med en konstant hastighed i alle retninger. En lytter i nogen
afstand fra højttaleren vil modtage lydbølgen efter en forsinkelse tD på 5 til 10 ms for et almindeligt
beboelsesrum og længere for en foredrags- eller koncertsal. Lydbølgen vil fortsætte sin udbredelse
indtil den rammer en af rummets flader hvor den reflekteres, og den reflekterede bølgefront vil nå
frem til lytteren efter yderligere forsinkelse. De reflekterede lydbølger vil igen ramme andre flader,
hvor de atter reflekteres og når frem til øret efter endnu en gang forsinkelse, og dette mønster fortsætter indtil lydbølgen er aftaget så meget i niveau at den ikke længere kan opfattes.
p(t)
1
Højttalerens lyd
t
0
Direkte lyd
h(t)
1
Direkte lyd
Enkelt reflektion
Gentagne
reflektioner
tD
Reflekteret lyd
0
t1
tn
t
Figur 4.3 – Plane lydbølger kan eksistere i et rektangulært rum med parvist parallelle vægge.
Lytteren modtager de mange lydbølger adskilt af individuelle tidsforsinkelser, der svarer til rummets
geometri og placeringen af højttaleren og lytteren i rummet. Hvis den udsendte lyd er en Dirac-puls
vil reflektionerne også være Dirac-pulser, men med gradvist aftagende amplitude på grund af den
længere vejlængde fra lydgiver til lytter. Rummets overføringsfunktion fra højttaler til lytter h(t) kan
beskrives ved en sum af Dirac-pulser med hver sin individuelle amplitude an og tidsforsinkelse tn
regnet fra den først modtagne bølgefront, der gives tidspunktet nul, hvorved man ignorerer tidsforsinkelsen fra højttaleren til lytteren. Reflektionerne bliver fasedrejet hvis fladen ikke er uendeligt
hård, og det kan beskrives ved en kompleks værdi af amplituden.
∞
h(t) = ∑ an δ (t−t n )
n=0
∞
⇔
Laplace
H (s) = ∑ a n exp (−st n )
n=0
I frekvensdomænet angiver den komplekse eksponentialfunktion en fase, der varierer lineært med
frekvensen, og den er en periode bagud (2π) når perioden svarer til en tidsforsinkelse; det er ved
frekvensen f = 1/tn. Det betyder at de mange bølgefronter er dæmpede og tidsforsinkede kopier, og
de skaber konstruktiv og destruktiv interferens ved lytterens øre. Med en harmonisk svingning fra
højttaleren vil lydtrykket ved lytteren skifte mellem høje og lave lydtryk som funktion af frekvensen.
Den direkte konsekvens er, at en højttaler, der måler perfekt i et lyddæmpet rum, vil udvise store
toppe og dale i frekvensresponsen, hvis den kontrolmåles i et almindeligt beboelsesrum. Det er nu
opgaven at finde et kompromis, så højttaleren lyder godt i flertallet af rum.
Man kan godt beregne et rums impulsrespons ved at følge de veje som reflektionerne løber, men
resultatet bliver kun en tilnærmelse uanset hvor omhyggeligt der beregnes. En refleksion forløber
ikke med samme store præcision som når en lysstråle rammer et spejl; der opstår en udtværing af
det reflekterede signals retning, som nu dækker et område, og ikke alene er givet af dens ind- og
udfaldsvinkler. Det ses blandt andet ved muligheden for at opbygge resonans i rummet, selv om
højttaleren ikke genererer en plan bølgefront, men derimod en sfærisk (kugleformet) bølgefront. I
de professionelle programmer for modellering af et rums akustik med ray tracing benyttes derfor
statistiske metoder, som lidt tilfældigt ændrer reflektionen i forhold til det beregnede.
Elektroakustik
Version 2.0
67
For resonansernes vedkommende vil de stående bølger ses i impulsresponsen som grupper af
Dirac-pulser med fast tidsinterval og en eksponentielt aftagende amplitude. Amplituden af hver reflektion antages at blive reduceret med en fast faktor R, der er et tal lidt under én, og det gør det
muligt at beskrive forløbet af bølgefronten. For de stående bølger mellem to parallelle flader vil en
hel periode af signalet inkludere to reflektioner (R2). Det sammenfattes herunder, hvor sidste trin
omformer den uendelige sum af xm til det mere kompakte udtryk 1/(1 – x) [RW-185].
a m = a0 R 2m ⇒
0<b<1
∞
H (s) = a0
a
∞
2
m
0
[ R exp (−sΔ t)] =
∑ R 2m exp(−s m Δ t ) = a 0 m∑
1−R 2 exp(−sΔ t)
m =0
=0
For reflektioner, der involverer fire flader er der fire reflektioner i et forløb (R2 skal erstattes med R4), og for
reflektioner mellem alle seks flader er der seks reflektioner involveret (R2 skal erstattes med R6).
Resultatet er vist herunder som den blå kurve, der viser en kraftig værdi hver gang den komplekse
eksponentialfunktion roterer forbi én og reducerer nævneren til næsten nul. Reflektionskonstanten
er sat til R = 0,9486 for at få en tydelig visning med en amplitude på 10, og det svarer til refleksion
fra en hård væg. Tidsforsinkelsen er valgt til en centerfrekvens på f0 = 100 Hz.
Figur 4.4 – Impulsresponsen (blå) og modellen med anden-ordens sektioner (rød).
Udtrykket for H(s) er en periodisk funktion med en konstant R2 som repræsentant for dæmpningen
fra periode til periode. Ved en opbygning med anden-ordens sektioner, som behandlet i forrige
afsnit, er det muligt at modellere overføringsfunktionen, hvor ωn fra hver sektion svarer til en af de
mulige stående bølger i den aktuelle retning langs med aksen; det vises med rød farve i figuren,
hvor dæmpningen er valgt til d = 0,005 for at svare til den blå kurve [HK-83].
H S (s) =
1
N
a ω2
N
∑ s2 +2 d nω n s+ω2 ,
n=1
n
n
ωn = n ω 0 =
n
2 π nc
2L
Rummets overføringsfunktion består af tre dele. Først ankommer det direkte signal fra højttaleren,
her repræsenteret ved en overføringsfunktion på én, dernæst når de første reflektioner frem til øret
fra gulvet, loftet og de nærmeste vægge, og endelig kommer bidragene fra de stående bølger, som
bygges op, og klinger ud, med en hastighed bestemt af dæmpningsfaktoren for svingningen.
H (s) =
1
Direkte
68
+
rD
exp(− j2 π f t F )
F = Flader r F
Første reflektioner
∑
Version 2.0
+
H S (s)
Stående bølger
Tore Skogberg
4 Lytterummet
Ved måling på højttaleren i et lyddæmpet rum vil kun den direkte lyd bestemmes, men lyden vil ved
brug i et beboelsesrum blive påvirket af de uundgåelige reflektioner fra gulv og loft og andre store
flader i nærheden af højttaleren, hvilket kan inkludere de større møbler. Ved lave frekvenser vil de
første reflektioner understøtte det direkte signal så lydtrykket hæves med antallet af større flader i
nærheden af højttaleren, hvilket oftest kan sættes til tre da flertallet af højttalere er opstillet tæt på
et hjørne, så lydtrykket i bassen hæves tre gange (9,5 dB) sammenlignet med det gennemsnitlige
niveau ved højere frekvenser, hvor der er et miks af konstruktiv og destruktiv interferens, somvil
medføre en ”krøllet” frekvensrespons.
Efter en vis tid opbygges et lydtryk fra de stående bølger i rummet, hvilket øret opfatter som den
farvning af lyden rummet bidrager med, og ikke som del af ”højttalerens lyd”. Den tidsmæssige
grænse for hvornår rummet skiller sig ud, er svær at definere skarpt, men er i omegnen af 60 ms,
så de senere reflektioner kan opfattes som givet ved de stående bølger, og kan ignoreres for en
modellering af højttalerens overføringsfunktion i lytterummet. Lydlaboratorier eksperimenterer med
at måle på højttalere i et rum med tre hårde flader i den del hvor højttaleren opstilles, og dertil tre
lydabsorberende flader, for på den måde at inkludere de tidlige reflektioner.
4.3 Statistisk rumakustik
En anden angrebsvinkel antager at lydenergien er konstant overalt i rummet.
4.3.1 Sabines formel
Sabine udviklede sin formel for et lydfelts uddøen (efterklangstiden) ved at ændre på mængden af
lydabsorberende materiale i et rum og studere den tid det tog for et signal at blive reduceret til høregrænsen. Det resulterede i hans berømte formel, der knytter tiden T60 for at et lydtryk aftager
med 60 dB sammen med rummets volumen V og det lydabsorberende areal S.
T 60 = ln(106 )
4V
Sc
T 60 = 55,3
V
Sc
T 60 = 0,16
V
S
S = α 1 S 1 +α 2 S 2 +…
Formlerne gælder ved cirka 20°C, og mens de første formeler er neutrale overfor det anvendte enhedssystem, kan den sidste formel kun anvendes med SI-enheder.
Lz
V
S
Lx
Ly
Differentialligning:
dw Scw
−Sc
PA = V
+
⇒ w = w 0 exp(
t)
dt
4
4V
Efterklangstid:
60 dB
−
w
−6 4 V
= 10 10 dB ⇒ T 60 = −ln(10 )
w0
Sc
Energibalance:
4 PA
p2
4ρc PA
w0 =
= RMS
⇒ p RMS =
2
Sc
S
ρc
√
Figur 4.5 – Efterklangstiden for et rektangulært rum.
Sabine udviklede sin formel baseret på målinger, men formlen kan udledes fra energibetragtninger
ved et diffust lydfelt (se side 87). Lydtrykket i rummet pRMS kan findes ved en energibalance mellem
den tilførte akustiske effekt PA fra en lydkilde og den absorberede effekt i arealet S.
Formlen antager at det absorberende areal S er i stand til at optage hele den energi, der rammer
arealet. Det gælder for et åbenstående vindue, men i praksis er materialers absorption ikke så god
for en del af energien reflekteres tilbage til rummet. Derfor beregnes et effektivt absorptionsareal S
fra en sum af arealer (S1, S2, …), der hver er beskrevet ved en absorptionskoefficient (α1, α2, …),
som repræsentant for hvor godt det enkelte areal er i stand til at absorbere lyden. Værdien af absorptionskoefficienterne går fra 0 hvor intet absorberes, til 1 hvor alt absorberes. AbsorptionsareaElektroakustik
Version 2.0
69
lerne kan eksempelvis identificeres som det samlede overfladeareal af loft eller gulv, hvis det er af
samme type over hele arealet, eller de enkelte dele af en væg, hvis væggen fx skifter fra beton til
træ forskellige steder i rummet. Absorptionskoefficienten er frekvensafhængig og opgives enten
som en kurve eller ved specifikke frekvenser, med nogle få eksempler vist i det følgende afsnit.
4.3.2 Eyrings formel
For lyddæmpede rum giver Sabines formel en efterklangstid selv om der ikke er refleksioner35. En
modificeret udgave af Sabines formel blev udledt af Eyring med flere ud fra geometriske betragtninger, som fx den gennemsnitlige længde lyden vandrer i et rum med refleksioner, og den inkluderer dæmpningen fra lydens vandring gennem luften [HK-141]. For et lyddæmpet rum (α = 1) er
logaritmen minus uendelig og det giver den korrekte værdi af efterklangen på nul.
T 60 = 0,16
V
4 m V −S ln(1− α)
¯
hvor
α
¯=
1
∑S α
S n n n
Koefficienten m er cirka 0,0011 m–1 ved 1 kHz, 20°C og 60 % relativ luftfugtighed [HK-163], så den
kan ignoreres for mindre rum, og for rum med ringe dæmpning bliver formlen lig med Sabines.
4.3.3 Absorptionskoeffficienter
Herunder vises nogle få kurver over lydabsorption. De første tre kurver angår en typisk opsætning
af lydabsorberende skumplast og Rockwool direkte på en hård betonvæg. Tykkelsen er afgørende
for hvor lave frekvenser, der kan dæmpes, for partikelhastigheden er nul ved væggen, så det er
kun ved høje frekvenser at der er bevægelse i luften inde i dæmpematerialet. En populær tommelfingerregel siger at materialet skal fylde mindst en kvart bølgelængde ved den dybeste frekvens,
der skal absorberes, og det er 1,7 kHz ved 50 mm, så reglen er noget pessimistisk. Til sammenligning er medtaget rapporterede data for gardiner hængt op foran en hård væg. Der er vist to kurver
for de højeste og laveste værdier fundet i litteraturen.
Rockwool mod beton
Skum mod beton
Lydretning
t
Gardin mod beton
Lydretning
Figur 4.6 – Absorptionskoefficienten for nogle typiske materialer [CD-157, CD-158 og CD-165].
Illustrationens værdi går et par steder over én, hvilket skyldes målemetoden. Materialet beskrives i
formlerne efter Sabine og Eyring ved et areal, men en prøve kan i et målerum inkludere dæmpning
fra siden, eller arealet kan virke større end det projicerede areal på grund af en profilering, som det
er tilfældet med data for skumplast. Her vil diffraktion bøje lyden ned mod absorptionsmaterialet.
35 For rummet med 3 m x 4 m x 5 m bliver værdien T60 = 0,1 s.
70
Version 2.0
Tore Skogberg
4 Lytterummet
Perforeret plade
med skumplast
Lydretning
Ikke-perforeret plade
med skumplast
Lydretning
Figur 4.7 – Absorptionskoefficienten for membran absorbering [CD-207].
For at opnå større absorption ved lave frekvenser kan benyttes absorbere baseret på en membran.
De består af en plade eller film af træ, plast eller metal, som lydtrykket får til at vibrere. Derved tvinges luften bag ved membranen til at svinge så luften presses igennem det absorberende materiale
bag ved membranen. Illustrationen vises to absorbere med en tynd metalplade. Den ene plade er
perforeret for tillade absorption af de høje frekvenser, der ellers blot vil blive reflekteret af den glatte metalplade.
Resonante absorbere bygger på en Helmholtz resonans, der udnytter et eftergiveligheden af et
luftvolumen i samarbejde med massen af en luftprop kan gå i resonans over et frekvensområde og
her absorbere energi. De findes i mange udformninger med et enkelt eksempel vist herunder.
Helmholtz resonator:
Perforeret plade med
absorber og luftrum
Lydretning
Figur 4.8 – Absorptionskoefficienten for Helmholtz resonator og publikum [CD-196 og CD-231].
Endelig vises absorptionen for publikum i en koncertsal som den maksimale og minimale værdi af
de målte værdier for et antal af koncertsale.
Elektroakustik
Version 2.0
71
72
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
5 APPENDIKS
Udbredelsen af lyd beskrives ved bølgeligningen, der viser hvordan en trykbølge udbreder sig i et medium.
Ligningen kan kun løses analytisk for et fåtal af applikationer, og i denne bog omtales de plane og sfæriske
bølger, der har det til fælles at de kan beskrives ved én længdedimension. Det vises hvordan løsningerne
kan forklare resonanserne i et musikinstrument, den fjedrende virkning af en indespærret luftmængde i et
kabinet, højttalerens strålingsimpedans, refleksion fra gulvet og interferens, samt hvordan løsningerne kan
beskrive forholdene i et lytterum med stående bølger og hvordan de leder til den statistiske rumakustik.
5.1 Bølgeligningen
Akustikken har to variable, trykket p (sound pressure) og partikelhastigheden u (particle velocity).
Der er en analogi til elektronikkens spænding og strøm. Trykket er den øjeblikkelige afvigelse fra
det statiske lufttryk P0 (barometerstanden) og partikelhastigheden refererer til hastigheden af en
del af det medium, som lyden udbredes i. Umiddelbart foran en højttalers membran er partikelhastigheden lig med membranens hastighed idet højttaleren tvinger luften til at svinge.
Relationen for lydtrykket som funktion at stedet og tiden vises herunder for en enkelt rumlig variabel; afstanden x. Det kan ændres til at gælde for et punkt i rummet ved at supplere med de tilsvarende ligninger for y- og z-akserne. Bølgeligningen har ingen kraftkilde, så den udtrykker alene de
mulige svingninger i den betragtede opstilling. For en klarinet kan det eksempelvis være de frekvenser, hvor det cylindriske rør kan gå i resonans.
d2 p
1 d2 p
=
dx 2
c2 dt 2
1 dp
u = − ρ ∫ dt
dx
√
γ P0
ρ ≈ 344 m/s
γ ≈ 1,40
P0 ≈ 100 kPa
3
ρ ≈ 1,18 kg/m
c=
Lydens hastighed er givet af tre parametre, som afhænger af det medium som lyden udbredes i, og til en
vis grad af frekvensen af svingningen, idet γ reduceres til én ved meget lave frekvenser. Det antages at
lydtrykket p er en forsvindende lille amplitude i forhold til det statiske tryk P0.
Bølgeligningen kan opstilles med partikelhastigheden som variabel og det resulterer i det samme
formeludtryk, blot med p erstattet af u, så løsningen for partikelhastigheden er af samme karakter
som for lydtrykket. Frem for at løse bølgeligningen for partikelhastigheden, kan løsningen for lydtrykket bruges til at skaffe et udtryk for partikelhastigheden ved en integration. Det har den fordel at
de konstanter, der indgår i løsningen for lydtrykket også kan benyttes for partikelhastigheden, hvilket giver en frihed ved det analytiske arbejde.
Herunder udledes bølgeligningen og på de efterfølgende sider diskuteres nogle løsninger til den.
Først findes løsningen til en plan bølge, der diskuteres fra side 75, og fra side 82 omhandles den
sfæriske bølge.
5.1.1 Udledning
Bølgeligningen udledes for x-aksens retning, men kan generaliseres til rummets tre dimensioner
ved at supplere det fundne udtryk for x-aksen med de tilsvarende udtryk for y- og z-akserne. Det
øjeblikkelige lufttryk p(t) beskrives som små variationer med øjeblikværdien p omkring det statiske
lufttryk P0, der almindeligvis kaldes 1 atm og er på cirka 100 kPa ved jordoverfladen. Lufttrykket
antages at svinge som en harmonisk svingning omkring det statiske lufttryk med amplituden p0 og
frekvensen f, og ved hjælp af en Fourier rækkeudvikling kan det udvides til at gælde for enhver
repetitiv svingning. Udledningen er gyldig for lydtryk under 120 dB re. 20 μPa, svarende til en amplitude på 20 Pa. I praksis medfører det at lydtrykket maksimalt svingninger med en amplitude på
0,02 % af det statiske lydtryk, så der er god grund til at antage linearitet.
Elektroakustik
Version 2.0
73
Først benyttes Newtons anden lov for at beregne accelerationen af luftpartiklen, hvilket leder til en
relationen mellem tryk p og partikelhastighed u. Derefter studeres voluminets størrelse når trykbølgen passerer, og i tredje trin udnyttes idealgasloven. Til slut samles delene til bølgeligningen.
p(t)
P0
p0
p(t ) = P0 + p
p = p 0 exp ( jω t )
ω = 2πf
t
Figur 5.1 – Lydbølger udgør svingninger omkring barometerstanden.
For at udlede bølgeligningen betragter vi en såkaldt ”luftpartikel”, der er en lille ansamling af gas,
som i tilfældet atmosfærisk luft består af 78 % kvælstof, 21 % ilt og 1 % af andre gasarter. Luften
består hovedsageligt af dobbeltmolekyler (N2 og O2), og antages at opføre sig, som beskrevet ved
idealgasloven. Det udelukker ikke at bølgeligningen kan benyttes på andre medier end luft; den er
eksempelvis også gyldig for lyd i vand, hvor den primære forskel er en større lydhastighed.
Luftpartiklen antages her at være kasseformet med et volumen på V = ΔxΔyΔz og massen er ρV
hvor ρ = 1,18 kg/m3 er massefylden af atmosfærisk luft. Lufttrykket er p hvor der ses bort fra det
statiske tryk. Med en lydbølge langs med x-aksen vil trykket stige fra p ved punktet x med stigningen (gradienten) dp/dx til værdien p + (dp/dx)Δx ved punktet x + Δx. Den samlede kraft ΔF på
voluminet er givet ved trykket gange arealet af fladen ΔyΔz. Fortegnet er negativt idet trykket stiger
i aksens retning, og det presser voluminet i modsat retning. Fra Newtons anden lov kan kraften nu
skrives som masse gange acceleration, udtrykt som den afledte af hastigheden v.
y
z
p
Δy
Δx
x x + Δx
dp
dp
Δ x) Δ y Δ z = − V
dx
dx
dp
du
V = −ρ Δ x Δ y Δ z
dx
dt
dp
dv
= −ρ
(Ligning 1)
dx
dt
Δ F = −(
Δz
p + (dp/dx)Δx
x
Figur 5.2 – Et luftvolumen påvirkes af en resulterende kraft når en lydbølge passerer, og det vil give
den en acceleration efter Newtons anden lov.
Kraftpåvirkningen accelererer luftvoluminet i x-aksens retning. Hvis venstre side på et tidspunkt har
bevæget sig stykket ξ, vil højre side have bevæget sig med dξ/dx over stykket ξ + (dξ/dx)Δx. Det
giver en forøgelse af voluminet dV givet ved længdeudvidelsen (dξ/dx)Δx gange med fladen ΔxΔz.
Partieklhastigheden u findes som ændringen i position over tid gennem definitionen u = dξ/dt.
y
z
u
x
ξ
dξ
dξ
Δ x)Δ y Δ z =
V
dx
dx
dξ
u=
⇒ d ξ = u dt
dt
du
dV = V
dt
dx
dV = (
x
ξ + (dξ/dx)Δx
Figur 5.3 – Kompression og ekspansion ændrer voluminet som funktion af hastigheden som trykket ændres med.
Relationen mellem den absolutte værdi af trykket P og voluminet V er givet af idealgasloven fra
termodynamikken, og for signaler i det hørbare område varierer trykket så hurtigt at relationen PVγ
74
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
er konstant36. Ved at differentiere med hensyn til voluminet, bliver den afledte nul, og reglen om differentiation af en sammensat funktion giver relationen mellem ændringen i trykket og volumen. Udtrykket for dV, der blev fundet ovenfor, indsættes i ligningen og efter omarrangering leder det til
endnu en relation for ændringerne i tryk og hastighed.
d (PV γ )
=0
dV
γ
⇒
p, V
dP γ
dV
V +P
=0
dV
dV
dp
du
= − γ P0
dt
dx
⇒
P = P 0+ p
p ≪ P0
dp = −γ P 0
dV
V
(Ligning 2)
Figur 5.4 – Termodynamikken giver relationen mellem tryk og volumen for en adiabatisk process,
hvor temperaturen oscillerer.
Vi har nu to relationer mellem lydtryk og partikelhastighed, hvorfra den ene variabel kan elimineres
ved at differentiere dp/dx med hensyn til stedet og dp/dt med hensyn til tiden. Det giver to udtryk
for d2u/dxdt, som tillader en elimination af entel lydtrykket eller partikelhastigheden. Ligningen vises
her som en funktion af lydtrykket alene, og det er den eftersøgte bølgeligning. Faktoren til den tidsafledte kaldes 1/c2, hvor c er lydens hastighed.
Ligning 1
Ligning 2
Partikelhastighed
dp
du
= −ρ
dx
dt
dp
du
= −γ P 0
dt
dx
dp
du
= −ρ
dx
dt
2
⇒
d /dx
⇒
d / dt
⇒
2
d p
d u
2 = −ρ
dx dt
dx
d2 p
d 2u
2 = − γ P0
dx dt
dt
1 dp
du = − ρ dt
dx
d2 p
1 d2 p
= 2 2
2
dx
c dt
γ P0
⇒
c=
ρ
1 dp
u = − ρ ∫ dt
dx
√
Figur 5.5 – Sammenfatning af udtrykkene giver den eftersøgte bølgeligning og en relation til partikelhastigheden.
Bølgeligningen er forbryderisk enkel at betragte, men løsningsmængden er meget stor og det er almindeligvis ikke muligt at udtrykke den analytisk. Ved ingeniørmæssig brug er der derfor udviklet
simulatorer, hvor en rumlig konstruktion kan defineres og bølgeligningen derefter løses med det
numeriske værktøj. I det følgende vil jeg gennemgå et udvalg af de analytiske løsninger, som har
betydning for at kunne overskue de almindelige situationer ved konstruktion af kabinettet til en højttaler, studier af resonanser i et musikinstrument eller stående bølger i et lytterum.
5.2 Plane bølger
Den viste form af bølgeligningen angiver såkaldte plane bølger, hvor tryk og partikelhastighed kun
er funktion af én variabel, så trykket ændres ikke langs med y- og z-akserne. Det kan billedligt ses
som en trykflade, der udbredes langs med x-aksen og som strækker sig uendeligt langt ud af y- og
z-akserne. Det er selvfølgelig en fysisk umulig situation, for energien i den plane bølge ville være
uendelig, rent bortset fra at der ikke er uendeligt med plads i luftlaget over jorden, men det er en
brugbar model hvor man kun betragter en lille del af et akustisk område.
Plane bølger:
p = p1 exp( jω t− jkx)+ p 2 exp ( j ω t+ jkx)
1
u=
[ p exp (− jkx)− p2 exp( jkx)]exp( jω t)
ρc 1
2π f
k=ω=
c
c
Faktoren ρc ≈ 410 kg m s–1 kaldes den karakteristiske impedans af luftmediet.
Modellen med plane bølger benyttes eksempelvis ved måling af lydtrykket i et afgrænset område i
stor afstand fra lydkilden, hvor bølgen regnes for plan over et begrænset område, eller ved rør, så
som resonanser i musikinstrumenter eller transmission af lyd i ventilationssystemer.
36 Hvor γ = 1,4 for atmosfærisk luft.
Elektroakustik
Version 2.0
75
Bølgeligningen angiver en afhængighed af både sted og tid, og på grund af antagelsen af linearitet
er det som udgangspunkt muligt at håbe på en løsning hvor udtrykket af positionen ikke er relateret
til udtrykket for tiden. Det betyder at vi eftersøger en løsning af typen p = p0f(x)g(t), hvor p0 er amplituden af lydtrykket, og hvor f og g er to funktioner. Differentialligninger har ofte løsninger baseret
på eksponentialfunktionen, så et sted at starte er med f(x) = exp(jkx) og g(t) = exp(jωt), hvor k og ω
er to konstanter, der skal fastlægges senere. Ved at differentiere og indsætte i bølgeligningen, ses
at prototypen faktisk er en løsning, og at den samtidigt lægger et bånd på de mulige værdier af de
to konstanter, og at der vil være to mulige løsninger.
Trykbølge p2
modsat x
Trykbølge p1
langs med x
x
Prototype: p = p 0 exp( jkx+ j ωt )
d2 p
= −k 2 p0 exp ( jkx + j ω t)
Indsat i bølgeligningen:
dx 2
⇒
1
2
k 2 = 2 ω2 ⇒ k = ± ω
d p
2
c
=
−ω
p
exp(
jkx+
j
ω
t)
c
0
2
dt
Løsning: p = p 1 exp( jkx+ j ωt)+ p 2 exp(− jkx+ j ωt ) k = ω
c
[ p 1 exp( jkx)+ p2 exp(− jkx)]exp( j ωt )
Figur 5.6 – En plan bølge udbredes kun langs med én akseretning, men der kan samtidigt eksistere
bølger i begge retninger. Det øjeblikkelige lydtryk i et punkt er givet ved summen af de to bølger.
De to fortegnsmuligheder viser at der er løsninger for både jkx og –jkx, så den komplette løsning
skal indeholde begge led. De to led kan ikke forventes at have samme amplitude, så p0 erstattes af
konstanterne p1 og p2, der først kan bestemmes når de akustiske forhold er kendte.
Løsningen er en kombination af to bølger; en fremadskridende bølge med amplituden p1 og en bølge i den modsatte retning med amplituden p2. Hvis vi interesserer os for et punkt hvor bølgen har
samme niveau, fx et toppunkt, vil stedet flytte sig med lydens hastighed. For at kunne følge med
trykket skal x følge med tiden t, og det svarer til at argumentet til eksponentialfunktionerne skal
være konstant. Herunder vises den situation hvor argumentet er nul, svarende til et lydtrykket hvor
p = p1 + p2. Første ligning er opfyldt når positionen løber i x-aksens negative retning med lydens
hastighed, og anden ligning opfyldes når positionen løber med x-aksens positive retning.
p
–ct
ct
2ct
ωt
= ct
k
ωt
⇒ x =−
= −ct
k
ω t−kx = 0 ⇒
ω t +kx = 0
–2ct –ct
0
ct
2ct
3ct x
x=
Figur 5.7 – Bølgeligningens to dele repræsenterer to bølger, der løber i hver sin retning af x-aksen.
De to bølger bevæger sig med lydens hastighed og vil normalt have forskellig amplitude.
Visse steder vil de to trykbølger addere (konstruktiv interferens) mens de andre steder balancerer
hinanden ud (destruktiv interferens). Det kan fx udnyttes til at beregne resonanser i rør.
5.2.1 Plan bølge i én retning
Lad os betragte en situation, hvor der kun er lydudbredelse i én retning. Det medfører at p2 = 0, og
svarer til en uforstyrret lydudbredelse, hvor der ikke er nogen reflekterende flader. Der er analogi til
elektriske kredsløb, hvor spænding og strøm er forbundet via Ohms lov gennem impedansen af
kredsløbet. For de elektriske kredsløb defineres impedansen ved forholdet mellem amplituden af
spænding og strøm, og på samme måde defineres impedansen af et akustisk system ved forholdet
mellem de komplekse amplituder af lydtrykket og partikelhastigheden.
Impedansen ZC danner relationen mellem lydtryk og partikelhastighed. Udtrykkene for p og u er
kendte så impedansen bestemmes for en plan, fremadskridende lydbølge til ρc ≈ 410 Pa s/m. Impedansen reel så lydtryk og partikelhastighed er overalt i fase.
76
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
p1 ≠ 0 ⇒
p2 = 0
p = p1 exp(− jkx) exp( j ωt)
p1
u=
exp(− jkx) exp( j ωt)
ρc
p
p = ZC u ⇒ ZC = = ρ c
u
Fremadskridende
trykbølge
Svingende
stempel
x
Figur 5.8 – En plan, fremadskridende lydbølge har overalt samme amplitude af lydtrykkets oscillation, og desuden svinger lydtryk og partikelhastighed i fase.
5.2.2 Refleksion
Den plane bølge udbredes langs med den positive retning af x-aksen, så længe der ikke er nogen
forhindring. Hvis en stor og hård flade står vinkelret på lydudbredelsen i positionen x = 0, så er det
umuligt for luftpartiklerne at vibrere ved overfladen af fladen og partikelhastigheden bliver nul. Indsættes kravet i udtrykket for partikelhastigheden ses at en refleksion medfører en trykbølge i den
negative retning af x-aksen med samme lydtryk som den indfaldne lydbølge (p2 = p1). Her er det
udnyttet at exp(jθ) = cos(θ) + jsin(θ) for at omsætte udtrykkene til noget enkelt.
Fremadskridende
trykbølge
Hård væg
x=0
u (0) =
1
[ p − p ] exp( j ω t) = 0
ρc 1 2
p( x) = 2 p1 cos(kx )exp( j ω t)
x
Reflekteret
trykbølge
u( x) = −2 j
p1
sin (kx) exp( jω t ) .
ρc
⇒
p2 = p 1 ⇒
⇒ ∣p( x)∣max for x =
nc
2f
hvor n = 0, 1, 2, …
Figur 5.9 – En plan lydbølge reflekteres fra en hård og plan væg. Det skaber en trykbølge i den
modsatte retning af x-aksen, og ideelt med samme lydtryk som den indfaldne lydbølge.
Den reflekterede lydbølge vil adderes til den indfaldne lydbølge (superpositionsprincippet), og den
resulterende amplitude af lydtrykket bliver funktion af positionen og frekvensen. Hvis vi opholder os
i afstanden hvor kx = π bliver cos(kx) = –1 og amplituden af lydtrykket er maksimal. Det svarer til
en afstand fra væggen på x = c/2f, som er 1 meter ved frekvensen 170 Hz samt multipla heraf.
Trykkets amplitude kan betragtes i en given position. Det svarer til kun at interessere sig for hvor
meget trykket stiger og falder et given sted; det er amplituden af trykvariationen. Det er en fordel at
sætte tidsudtrykket exp(jωt) udenfor en parentes, så amplituden af trykket nu beskrives ved en
kompleks amplitude med et fælles udtryk for svingningen over tid. Matematisk set er udtrykket
identisk med det tidligere, men det viser at trykket oscillerer mellem over- og undertryk hvor amplituden og fasen af svingningen varierer med positionen x, som givet af udtrykket i den firkantede
parentes.
p = [ p 1 exp (− jkx )+ p2 exp( jkx )]⋅exp ( jω t )
p = ( p1+ p2 )cos (kx )+ j ( p 2− p1) sin (kx)
p
2p1
p1
0
0
2π
4π
6π
kx
p 2 = p1 ⇒ p = 2 p 1 cos(kx)
ωx
nc
kx = n π ⇒
= n π ⇒ fx =
c
2
Figur 5.10 – Trykkets amplitude p varierer på given position med frekvensen. Variationen er kraftig
de steder hvor frekvens f og position x tilsammen giver et heltalligt multiplum af c/2.
Elektroakustik
Version 2.0
77
5.3 Lydudbredelse i rør
Den plane bølge er en god model for forholdene i et rør, hvis dimensionerne er så små, at en refleksion på tværs af røret ikke kan understøtte en oscillation. Det betyder at frekvensen skal være
mindre end c/2L, hvor L er den største dimension i den givne retning. For selv det smalleste rør er
det opfyldt når omkredsen er mindre end lydbølgelængden, og det leder til en ofte mødt forudsætning indenfor akustik. Man afgør simpelthen om noget er ”stort” eller ”småt” ved at sætte omkredsen af det pågældende emne i relation til bølgelængden.
a
d
b
πd
Omkreds
πd π f d
c
=
=
<1 ⇒ f <
λ
Bølgelængde
c
πd
(a + b) f
Omkreds
c
=2
<1 ⇒ f <
Bølgelængde
c
2 (a+b )
Figur 5.11 – Et rør et smalt i akustisk henseende når omkredsen er lille i forhold til bølgelængden.
For et rør med diameter d = 100 mm kan der kun eksistere plane bølger for frekvenser under 1,1 kHz. Hvis
røret er kvadratisk med sidelængden a = b = 100 mm er grænsen 860 Hz.
For højere frekvenser end den beregnede grænsefrekvens kan der eksistere bølger i andre retninger end langs med længdeaksen, og det påvirker overførelsen af lyd gennem den åbne ende af røret. Forholdet kan dog ofte ignoreres ved et studie af hvordan røret fungerer i længderetningen.
5.3.1 Stående bølger
Plane bølger er velegnede til at studere svingningerne i et musikinstrument eller lydens vandring i
et ventilationssystem. Begge ender af et rør kan være åbne eller blokeret, og hvis den ene ende er
dækket af en lydgivers membran regnes den almindeligvis for blokeret. Selv om begge ender er
blokeret kan der være kraftige stående bølger i røret, som gennem mekanisk kraftoverførelse kan
sende generende lyde fra et fjernvarmesystem og ind i en beboelsesejendom. For et musikinstrument er mindst den ene ende åben fordi lyden skal ud af instrumentet. Resultatet for de tre muligheder er sammenfattet i illustrationen herunder.
Øvre grænse:
a
0
Lukket ende:
Tryksvingning
Åben ende:
Luftsvingning
L
f<
c
2πa
Endekorrektion:
Rør uden baffel: Δ LU ≈ 0,61 a
i uendelig baffel: Δ L B ≈ 0,85 a
x
f RES =
cn
2L
n = 1, 2, 3, …
f RES =
cn
2(L +2 Δ L)
n = 1, 2, 3, …
f RES =
cn
4(L+Δ L)
n = 1, 3, 5, …
Figur 5.12 – Et langt og smalt rør kan gå i resonans ved harmoniske frekvenser til en grundfrekvens. Den medsvingende luftmasse udenfor røret svarer til en længdekorrektion på ΔL.
Et helt lukket rør kan repræsentere den ene dimension i et beboelsesrum, og viser hvilke resonanser, der
er mulige mellem de parallelle vægge i den indbyrdes afstand L. For et fjernvarmesystem kan det vise de
frekvenser, hvor systemet kan oscillere med slitage som følge; husk at benytte den korrekte lydhastighed.
Et helt åbent rør svarer til stående bølger i et ventilationssystem eller musikinstrumenter som orgelpibe og
tværfløjte. Et rør med blokering i kun den ene ende kan repræsentere en såkaldt kvartbølgehøjttaler eller
et musikinstrument som klarinetten, hvor lydgiveren er placeret i et lille hul i den blokerede ende og selv
opfattes som en blokering. Bemærk at i denne situation er de mulige frekvenser kun ulige multipla af rørets
fundamentale resonans, samt at grundfrekvensen er en oktav lavere end ved de øvrige situationer.
78
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
For at analysere svingningerne i et rør antages det at lyden reflekteres fra enderne af røret, uanset
om det er åbent eller lukket. For den lukkede ende er det forståeligt at en trykbølge blot kastes tilbage, men det kan virke underligt at lyden ikke bare fortsætter ud af den åbne ende, så det skal
kort begrundes. En trykbølge kan eksistere inde i røret, for den kan ikke brede sig ud til siden, men
er begrænset til at løbe langs med røret. Ved den åbne ende optræder der et pludseligt trykfald,
der kan opfattes som et negativt tryk, som derefter sendes tilbage gennem røret. Der sker derfor
en ændring fra et overtryk mens lyden udbreder sig gennem røret, til et undertryk, når lyden kastes
tilbage fra den åbne ende. Det svarer til en inversion af signalet, så øjeblikværdien skifter fra positiv til negativ værdi. Det har betydning for hvilke typer stående bølger, der kan eksistere i røret.
Refleksionen fra rørets ende er ikke fuldstændig, så der mistes energi, og der mistes også energi
mens bølgen løber i røret. Det betyder at en svingning ikke kan opretholdes uden at der tilføres ny
energi. For et musikinstrument kommer energien fra musikeren, der blæser ind i instrumentet 37, og
ved en luftkanal kommer lydenergien fra det lokale, som kanalen munder ud i.
Herunder analyseres den situation, hvor der både er en åben og en blokeret ende. Eksemplet kan
benyttes som inspiration for situationen med to åbne ender, og for rør med blokering i begge ender.
Ved den åbne ende kan der ikke være en trykvariation for en trykforskel udlignes gennem den
åbne ende. Ved x = 0 er eksponentialfunktionen én og den firkantede parentes bliver p1 + p2.
Den harmoniske svingning kan ikke blive nul så det må parentesen derfor være.
p (0) = 0
⇒ [ p1 exp(0)+ p2 exp (0)]exp( j ωt ) = 0
⇒
p1 + p2 = 0
Ved den lukkede ende kan der ikke være en lufthastighed, for her blokeres for bevægelse så vi
har u(L) = 0, der udnyttes til at skabe endnu en binding på de to konstanter, hvor det udnyttes,
at der kan ganges med exp(jkL) på begge sider af lighedstegnet uden at ændre på løsningen.
u( L) = 0
⇒
1
[ p exp(− jkL)− p2 exp( jkL)]exp ( j ω t ) = 0
ρc 1
⇒
p1− p2 exp(2 jkL) = 0
De to ligninger trækkes fra hinanden for at eliminere p1 og det indses at p2 = 0 ikke er brugbar
som løsning. Eksponentialfunktionen erstattes med cosinus for den reelle del og sinus for den
imaginære del. Ligningen giver kun mening når argumentet til de to funktioner er ulige multipla
af π, hvor cosinus er lig med minus én, og sinus er nul. Røret kan derfor kun bringes til at svinge på de ulige harmoniske frekvenser til c/4L.
1+exp( j2 kL) = 0
⇒
cos(2kL) = −1
sin( 2kL) = 0
⇒
2 kL = n π
⇒
n = 1, 3, 5, …
f =
c
n
4L
For et rør med længden L = 860 mm kan det svinge ved frekvenserne 100 Hz, 300 Hz, 500 Hz,
og så videre, der alle udgør et ulige antal kvarte bølgelængder. Resonans giver en svingning
med en betydelig amplitude af hastigheden ved x = 0 hvor amplituden af trykket skal være nul,
og hastigheden skal tilsvarende være nul ved x = L, hvor der er store trykvariationer.
Eksemplet er en tilnærmelse, for amplituden af trykvariationen falder ikke momentant til nul ved
den åbne ende; røret har en strålingsimpedans, ligesom for en højttaler, og det svarer til at der er
en medsvingende luftmasse udenfor enden af røret. Røret virker derfor i akustisk henseende lidt
længere end den fysiske længde, og det beskrives ved en endekorrektion ΔL (end correction), så
formlerne kommer til at passe med praksis [WML-41]. Der er forskel på om rørets ende stråler ud i
4π, som ved et musikinstrument, eller om rørets ende stråler ud i 2π, som det er tilfældet ved porten i et basreflex kabinet, hvor der benyttes ΔLU + ΔLB = 1,46 a som samlet endekorrektion. Hvis
røret er rektangulært omregnes til radius af et cirkulært rør med det samme areal.
37 Ved labialinstrumenter (blokfløjte og orgelpibe) rammer luften en skarp kant, som bringer luften til at svinge, og energien sendes ind
i den åbne ende af røret, der går i resonans hvis frekvensen passer. Ved rørbladsinstrumenter (obo, fagot, saxofon) dannes luftstød
ved en kortvarig åbning af en fjeder, der normalt lukker for luften (rørblad). Ved embrochureinstrumenter (trompet, basun) strammes
læberne, og et lufttryk åbner dem kortvarigt. I de to sidste tilfælde sendes lydenergien ind i rørets lukkede ende og man regner med
at det ikke påvirker funktionen nævneværdigt, hvilket selvfølgelig er en simplifikation.
Elektroakustik
Version 2.0
79
5.4 Lydudbredelse i rektangulære rum
En plan bølge kan i praksis mødes som stående bølger (resonanser) i et retvinklet rum, hvor lyden
kastes frem og tilbage mellem de parallelle vægge, hvis dimensioner er Lx, Ly og Lz, så der kan
være stående bølger ved harmoniske til c/2Lx og tilsvarende for de andre dimensioner (se side 78).
Der er dog mulighed for resonanser med fire eller alle flader involveret, og det beskrives ved index
nx, ny og nz for hver af de tre dimensioner. Der er bølger mellem to modstående vægge hvis kun ét
index er forskellig fra nul, mens flere værdier af index forskellig fra nul involverer fire eller seks
flader for den pågældende bølgefront.
z
y
Lz
Lx
nπ
nπ
nπ
x )cos(
y )cos(
z)
L
L
Lz
n
x
y
V
n = n x +n y N +n z N 2
N ≈ 1+
SΔL
n x , n y , n z = 0, 1, …, N −1
p = ∑ p n cos (
Lydtryk:
Index:
Ly
√
Resonanser: f n = (
x
nx c 2 n y c 2 nz c 2
) +(
) +(
),
2 Lx
2 Ly
2 Lz
f MAX ≈
c
2 πΔ L
Figur 5.13 – Plane lydbølger kan eksistere i et rektangulært rum med parvist parallelle vægge.
Teorien, der gennemgås herunder, sætter ingen begrænsning opad i frekvens, men i praksis vil
usikkerheden på rummets dimensioner sætte en øvre grænse. En væg er ikke perfekt plan, for der
er dørkarme, malerier, vinduespartier, reoler, med mere, og væggen er ikke perfekt reflekterende,
men har en impedans, der både absorberer energi og påvirker fasen. Endelig er to vægge ikke helt
parallelle, og temperaturen er ikke konstant i rummet, så lydbølgerne afbøjes og rammer ikke som
matematikken forudsætter.
Hvis den samlede fejl sættes til ΔL = 0,1 m og den øvre grænse defineres ved 1 rad fasedrej (57°)
er grænsen for modellens frekvensområde ved 550 Hz.
For at løse det tredimensionelle problem antages det at lydtrykket p i punktet (x, y, z) kan udtrykkes som produktet af tre funktionsudtryk px, py og pz, der hver kun afhænger af en enkelt dimension og dertil exp(jωt) for den harmoniske svingning. Ved indsættelse i bølgeligningen bliver
resultatet at exp(jωt) kan forkortes væk, mens ω, der kommer fra differentiationen med hensyn
til tiden, kan kombineres med c til parameteren k.
2
2
2
2
d p d p d p
1 d p
+ 2+ 2 = 2 2
2
dx
dx
dx
c dt
p = p x p y p z exp ( jω t)
⇒
d2 p x
dx
2
p y p z+
d2 p y
dy
2
px pz +
d2 pz
dz
2
2
p x p y = − k p x p y pz
og
2
2
k = ω2
c
Ved at dividere med produktet af px, py og pz dannes et udtryk med tre differentialkvotienter hvis
sum skal danne en konstant. Da de kun afhænger af hver deres egen dimension er den eneste
mulighed at de hver for sig er konstante, og konstanten skrives som en sum af konstanter for
hver dimension. Det giver tre anden-ordens differentialligninger, der løses ved at indse, at de trigonometriske funktioner giver sig selv med negativt fortegn efter to gange differentiation.
2
2
2
1 d p x 1 d p y 1 d pz
2
2
2
+
+
= −k x −k y −k z ⇒
p x dx 2 p y dy 2 pz dz 2
2
d px
= −k 2x p x
dx 2
… etc …
⇒
p x = a x cos (k x x)+b x sin ( k x x)
p y = a y cos(k y y)+b y sin ( k y y)
p z = az cos(k z z)+b z sin (k z z)
Nu benyttes grænseværdierne for funktionen så partikelhastighed bliver nul ved hver af de seks
vægge. Partikelhastigheden er givet ved den afledte af trykket (se side 75), så dpx/dx skal være
nul for x = 0 og tilsvarende for de andre akser. Det lægger det bånd på funktionen at koefficienten til sinus skal være nul for alle tre akser så b = 0, og med den information kan betingelsen for
en partikelhastighed på nul ved den modstående væg udnyttes. Det giver ikke en værdi for konstanten a, og det er heller ikke nødvendigt, men det definerer konstanten k.
80
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
dp x (0 )
= −a x k x sin (0)+b x k x cos(0) = 0 ⇒ ax ≠ 0 og bx = 0
dx
dp x (L x )
nπ
= −a x k x sin (k x L x ) = 0 ⇒ k x =
, n = 0, 1, 2,…
dx
Lx
⇒
fx =
nc
2 Lx
Fra definitionen af k følger de mulige resonanser for et tre-retvinklet rum.
k 2n = k 2x +k 2y +k 2z ⇒
f 2n = f 2x + f 2y + f 2z ⇒
√
fn= (
2
2
2
nxc
n c
n c
) +( y ) +( z )
2 Lx
2 Ly
2 Lz
Funktionen afbildes som funktion af index n, som vist i illustrationen, hvor N er den øvre grænse
for det enkelte index. Det defineres her som ved kΔL = 1, der svarer til 1 rad fasedrej.
k MAX Δ L = 1
⇒
f
MAX
=
c
2 πΔ L
Usikkerheden kan relateres til rummets volumen V = LxLyLz og areal S = 2(LxLy + LxLz + LyLz).
Med alle index lig N – 1 vil kvadratroden bestå af en sum og rummets volumen. Tællerens sum
kan skrives som (S/2)2 minus et bidrag, og hvis dette bidrag ignoreres kan index fastlægges.
f MAX =
c( N −1)
2
√
√
2
2
2
c( N −1) ( L x L y ) +( L x L z ) +( L y L z )
1 1 1
+
+
=
2
2
2
2 2 2
2
Lx Ly Lz
L x L y Lz
⇒
f MAX >
c( N −1) S
4 √2V
Indsættelse giver det eftersøgte resultat med en øvre grænse for index. Konstanterne samles til
værdien 0,9 og oprundes til én, idet fMAX bygger på en antagelse om den tilladelige fasefejl.
N < 1+
4 √2 V
f
cS
MAX
= 1+
4 √2 V
2 πS Δ L
⇒
N < 1+
V
SΔL
For et rum på 3 m x 4 m x 5 m bliver voluminet V = 60 m3 og arealet S = 94 m2, hvilket tillader et
index på N = 7 ved en fejl på ΔL = 0,1 m. I figuren benyttes derfor index n = 0...342.
Resonanserne kan beskrives ved en anden-ordens funktion og for alle de mulige resonanser kan
rummets overføringsfunktion opstilles, hvor hver enkelt resonans beskrives ved frekvensen fn og
dæmpningen dn. Impulssvaret bliver derved en sum af dæmpede, harmoniske svingninger.
N
H (s) =
∑ s2 +2 d
n= 0
N
Cn
⇔
Laplace
2
n
ω n s+ω n
h(t) = ∑ C n sin (ωt )exp(−d n ωn t)
ωn = 2 π f n
n=0
Båndbredden af hver enkelt resonans afhænger af rummets opbygning, men vil almindeligvis være
i omegnen af 1 Hz.
Amplituden af resonansen n skrives herunder som Mn og båndbredden defineres som de frekvenser hvor amplituden er reduceret med 3 dB. Det udnyttes at ω er så tæt på ω n at produktet
ωωn kan skrives som ωn2, og med den tilnærmelse findes 3 dB punkterne.
Mn ≈
1
√(ωn−ω ) +(2 d ωn )
2
2 2
2 2
=
1
√2
⇒
ω 2n−ω 2 = ±2 d ω2n
⇒
ω = √ 1±2 d n ω n
Båndbredden BW er defineret som differensen mellem de to 3 dB punkters frekvenser.
Δ ω = √ 1+2 d n ω n−√ 1−2 d n ωn ≈ [1 +d ω n ]−[1−d ω n ] = 2 d n ω n ⇒
BW = Δ ω = 2 d n f n
2π
En typisk værdi af faktor dnωn er omkring 1 … 20 rad/s [HK-83] så båndbredden er omkring 1 Hz
for den enkelte resonans. Ved højere frekvenser må båndbredden dog stige for at undgå en for
lav værdi af dæmpningen.
Elektroakustik
Version 2.0
81
5.5 Sfæriske bølger
For lyd, der udbreder sig i alle retninger væk fra lydkilden, er det ikke tilstrækkeligt at benytte en
antagelse om plane bølger. Den udsendte effekt fordeles derimod over en kugleflade, hvis radius
vokser med lydens hastighed, så arealet vokser og effekttætheden aftager med stigende afstand
fra lydkilden. Lyden dannes ved at lydkildens overflade S vibrerer med partikelhastigheden u, men
i en matematisk abstraktion kan lyden lige vel siges at komme fra en punktlydkilde (point source).
Når kuglen vibrerer fortrænger overfladen med arealet S et volumen af luft og hastigheden er givet
ved partikelhastigheden u, som tilsammen giver volumehastigheden q = Su med enheden m3/s.
Det er ikke nødvendigt at hele kuglen svinger med samme amplitude, så det er let at relatere til en
en højttaler med arealet SD og hastigheden v af membranen.
Pulserende kugle med
en kildestyrke på q
Lydtryk i
afstanden r
p(r)
r
0
S = 4πr2
a
p(r)
r
r
ρc k
q exp(− jkr)exp( jω t)
4 πr
1 + jkr
u=
q exp(− jkr)exp( jω t)
2
4πr
c
Nærfelt: kr ≪ 1 r ≪
2π f
c
Fjernfelt: kr ≫ 1 r ≫
2π f
p= j
ω = 2π f
2π f r
kr =
c
q = Su
S = 4 π r2
q = SDv
2
SD = πa
q
Figur 5.14 – Lyden fra en punktkilde udbredes fra kildens centrum og lydtrykket aftager ved stigende afstand. En punktlydkilde beskrives ved en kugle hvor længden af radius oscillerer.
Afstanden fra lydkilden skal være langt over 4 m for at man kan antage at målingen foregår i fjernfeltet ved
frekvenser nær høregrænsens 15 Hz. For at kunne benytte materialet i fjernfeltet fra en højttaler hvis sidelængde er r = 0,3 m, skal frekvensområdet begrænses opad til cirka 200 Hz.
Lydtrykket aftager med 6 dB for hver fordobling af afstanden; afstandsreglen (law of distance), der
gælder for en lydkilde fjernt fra reflekterende flader. For kr << 1 er lydtrykket 90° foran volumehastigheden, hvilket kaldes nærfeltet (near field). I fjernfeltet (far field), hvor kr >> 1, er lydtryk og partikelhastighed i fase, og relationerne for en plan lydbølge kan bruges indenfor et begrænset areal,
hvor p og u ikke ændres væsentligt med positionen. Her er relationen mellem de p = ρcu, som er
lig med relationen for en plan bølge. Det betyder at man, som eksempel, kan beregne lydintensiteten fra en højttaler ved en døråbning, og derfra få en idé om hvor meget lydeffekt, der slipper ind til
et naborum.
Bølgeudbredelsen beskrives bedst i det sfæriske koordinatsystem, hvor det retvinklede systems
tre akser (x, y, z) erstattes af radius og to drejningsvinkler (r, θ, φ). De to koordinatsystemer beskriver helt det samme, men ved at antage kuglesymmetri kan drejningsvinklerne θ og φ ignoreres, og derved kan bølgeligningen udtrykkes alene med radius og tiden som de variable.
d 2 p 2 dp
1 dp
+
= 2
dr 2 r dr
c dt
⇒
A
exp(− jkr)exp( j ω t)
r
B
p2 = exp( jkr)exp( j ω t )
r
p1 =
Løsningen til bølgeligningen findes ved at gætte på et udtryk for lydtrykket; og ved at differentiere og indsætte viser man så at det passer. Det kan lyde løst, men der er ingen generel algoritme
for løsning af partielle differentialligninger af anden orden. Prototypen for løsningen dannes ved
at antage at effekten i en lydbølge er fordelt jævnt over en kugleflade med overfladen 4πr2, og
da effekten er proportionel med kvadratet på lydtrykket (se side 85) bliver lydtrykket en funktion
af typen p = A/r, hvortil kommer de kendte relationer for fase og den harmoniske svingning.
82
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
5.5.1 Punktlydkilde
Den fuldstændige løsning til bølgeligningen består af to led, hvor det ene beskriver en bølge i retning væk fra lydgiveren med aftagende amplitude, og det andet led beskriver en bølge fra det uendeligt fjerne og tilbage mod centrum. Det sidste er fysisk umuligt for en lydgiver i frit felt, så det antages i praksis at der kun kan eksistere bølger i retning væk fra lydgiveren, det medfører B = 0, der
kaldes for Sommerfeldts antagelse. Det fjerner muligheden for at studere en lydgiver i centrum af
en kugle, som kunne repræsentere forholdene i en kirke med en krum hvælving.
1 dp
A 1
u = − ρ ∫ dt = − j
( + jk)exp(− jkr )exp( j ωt )
dr
r ρω r
SA
q = Su = − j 2
(1+ jkr)exp(− jkr )exp( j ω t) ⇒
r ρω
2
r ρω
ρω q
ρf q
A t=
j
(1 + jkr )exp(− jkr)
⇒
A=j
=j
=0
S=4πr
S
4π
2
S = 4πr2
r
q
2
r→ 0
Figur 5.15 – Lydtrykket fra en punktformet lydkilde.
Lydtryk i afstanden r uden reflekterende flader: p 4 π (r ) = j
ρf q
exp(− jkr)exp ( j ω t)
2r
Konstanten A bestemmes fra volumehastigheden q, idet svingningen flytter en luftmængde givet
ved kuglens areal S gange med partikelhastigheden u. Svingningens komplekse amplitude kan
findes ved at ignorere selve den harmoniske svingning (t = 0), og kildestyrken findes ved at lade
radius gå imod nul (r = 0). Herefter kan lydtrykket i afstanden r beregnes ved indsættelse i udtrykket for p1. Det betegnes p4π og kan repræsentere en højttaler ved lave frekvenser.
5.5.2 Punktkilde nær en reflektor
Der er ofte store flader i nærheden af en lydgiver, som vil reflektere lyden og kaste den tilbage.
Den reflekterede lyd når frem til observationspunktet ad en længere vej, så den er både dæmpet
og forsinket (fasedrejet) i forhold til den direkte lyd. Resultatet er at de to lydbølger adderes ved
visse frekvenser (konstruktiv interferens) mens de subtraheres ved andre (destruktiv interferens).
Hvis lydkilden er placeret meget tæt på den reflekterende flade (a = 0) vil det reflekterede signal
have samme amplitude og fase som det det direkte signal, så de adderes til dobbelt amplitude.
ρf q
exp(− jkr)exp( j ω t )
2r
ρf q
pR = j
exp(− jk(r+2 a)) exp( j ω t)
2(r +2 a )
ρf q
1
p2 π = j
1+
exp (− j 2 ka) exp(− jkr )exp ( jω t)
2r
2a
1+
r
ρf q
c
lim p 2 π = j
exp(− jkr)exp( j ω t )
f ≤
r
8a
a→0
pD = j
Lydtryk i
afstanden r
p(r)
r
a
(
)
Figur 5.16 – Lydtrykket fra en punktformet lydkilde i nærheden af en stor og hård flade. Formlerne
refererer til lyden på akseretningen for det tilfælde hvor a > 0.
Lydtryk i afstanden r med en stor flade i nærheden: p2 π = j
ρf q
exp(− jkr )exp ( j ω t )
r
Ved kort afstand gælder reglen om fordobling af lydtrykket indtil fasedrejet på grund af faktor 2ka
bliver betydende. Ved 90° fasedrej (2ka = π/2) signaler adderes de to med 3 dB tab, og det sætter
en øvre grænse ved cirka 150 Hz for et kabinet med en afstand fra gulvet på a = 300 mm.
Elektroakustik
Version 2.0
83
5.6 Strålingsimpedans
Strålingsimpedansen ZMR repræsenterer den mekaniske impedans som højttalerens membran er
belastet af ved bevægelsen i luftmediet. Realdelen af strålingsimpedansen er den modstand RMR,
som effekten afsættes i, med et hørbart signal som resultat. Analogt med den afsatte effekt i et
elektrisk system (P = RI2RMS) kan hastigheden v opfattes som en ”strømkilde”, der giver en akustisk
effekt på PA = RMRv2RMS. Det betyder at RMR står for koblingen fra højttalerens bevægelse udtrykt
ved hastigheden v af membranen til den afsatte effekt i luftmediet.
Realdelen af strålingsimpedansen er proportional med kvadratet på frekvensen, så en fordobling af
membranens hastighed afsætter fire gange så meget effekt til luftmediet, og lydtrykket stiger derfor
med 6 dB/oktav for konstant membranhastighed. Det betyder at det effektivt set er accelerationen
af membranen ωv, der afsætter lydeffekten, og hvis accelerationen kan holdes konstant vil lydtrykket være uafhængig af frekvensen. Det er netop tilfældet for en højttaler, hvor amplituden af membranens hastighed aftager med stigende frekvens i det massestyrede område, og dermed vil kompensere for den bedre kobling til luftmediet ved høje frekvenser.
Z MR
ρc S
1
Z MR =
R MR
ρc
10–1
r
X MR
ρc
10–2
2
P A = R MR v RMS
ρc 2 2
R MR =
S k
4π
10–3
Arbejdsområde
for en højttaler
10–4
10–2
10–1
1
F
p
=S
v
v
ρc k
q exp(− jkr)exp( j ωt )
4πr
Z MR = S
1+ jkr
q exp(− jkr)exp( j ω t)
4 π r2
j
Z MR = S ρ c kr
1+ jkr
2
(kr) + jkr
Z MR = ρ c S
1+(kr )2
Z MR → ρ c S [(kr )2 + jkr]
j
kr ≪ 1
10
kr
Z MR
≈
S = 4 πr 2
ρc
(Sk )2 + j ωρ 4 π r 3
4π
Figur 5.17 – Stråingsimpedansen for en punktformet lydgiver. Formlen for realdelen kan med god
tilnærmelse bruges for en højttaler ved lave frekvenser for beregning af den akustiske effekt.
Strålingsimpedansen er defineret som kraft delt med hastighed. Kraften er givet ved lydtrykket p
gange arealet for en kugles overflade S = 4πr2 og hastigheden er givet ved højttalerens model
på side 28. Udtrykkene for lydtryk og partikelhastighed er vist på side 82 og ved indsættelse findes strålingsimpedansen, hvor leddene for volumehastighed, afstandens fase og den harmoniske oscillation alle udgår. Når bølgelængden er stor i forhold til lydkildens dimensioner kan resultatet simplificeres til det viste, der også gælder for en højttaler (med arealet SD), idet det ikke
er et krav at hele kuglens overflade svinger med samme amplitude [KRL-50].
Imaginærdelen af strålingsimpedansen svarer til impedansen af en masse (XM = jωMMR), som er
massen af den medsvingende luft. Værdien indgår i Thiele-Small parametrene som massetillæg til
massen af det bevægelige system, så det er ikke nødvendigt at beregne værdien.
Ved så høje frekvenser at kr > 1 er højttaleren akustisk stor, og koblingen til luftmediet afhænger
ikke af frekvensen. Alt andet lige vil lydeffekten fra en højttaler i dette frekvensområde aftage ved
stigende frekvens, så der tilføres mindre effekt til lytterummet, men da en højttaler samtidigt bliver
retningsbestemt vil lydeffekten koncentreres i en aftagende rumvinkel, og lydtrykket på højttalerens
akse kan godt forblive konstant. Der er dertil en vigtig relation til den måde højttaleren er monteret,
for ved placering i en uendeligt stor plade vil effekten koncentreres i et halvt rum og derfor forøges
med 6 dB i forhold til modellen med en punktformet lydgiver. Denne støtte aftager dog under den
frekvens hvor frontpladen bliver lille i sammenligning med bølgelængden; det er kr < 1 med r relateret til frontpladens dimensioner; typisk 500 Hz for almindelige kabinetter.
84
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
5.7 Energibetragtninger
Højttaleren omsætter elektrisk energi til akustisk energi, men energiindholdet i en lydbølge er som
oftest meget ringe. De følgende energibetragtninger skyldes derfor primært at de kan lede til en relation mellem den effekt, som en højttaler afgiver, og det lydtryk, som den præsterer i en given position i lytterummet. Desuden danner det en indgangsvinkel til rumakustiske relationer.
Når højttaleren arbejder vil der i løbet af et tidsrum passere en energimængde fra membranen til
luftmediet i form af trykbølger, der bevæger sig væk fra højttaleren som en kugleformet bølgefront.
Energi dannes ved at en effekt er virksom i et tidsrum. Den udstrålede effekt fra højttaleren fordeles over en kuglefront, og er det skal vise sig givtigt at begynde studiet ved dette forhold.
5.7.1 Intensitet
Hvis det antages at lydeffekten bliver jævnt fordelt over arealet af en kugleformet bølgefront, så er
den akustiske intensitet38 IA defineret som den akustiske effekt PA divideret med arealet af kuglen,
der i afstanden r er givet ved S = 4πr2. Intensiteten beskrives ved effektivværdien af lydtrykket pRMS
eller tilsvarende af effektivværdien af partikelhastigheden vRMS, hvilket så giver en vigtig kobling
mellem effekt, lydtryk og partikelhastighed. Intensiteten har enheden W/m2.
2
Lydgiver med
en effekt på PA
Intensitet IA i
afstanden r
Areal 4πr2
r
0
Lydtryk p(r) og
partikelhastighed v(t)
i afstanden r
IA≝
PA
p
= p v = ρ c v 2RMS = RMS
S
ρc
dW = P A dt
dW = F dx
dx
v=
dt
PA = F v
⇒
⇒
⇒
PA =
dW
dt
dW = F v dt
PA
F
= v = pv
S
S
Figur 5.18 – Lydintensiteten er den udsendte akustiske effekt fordelt over arealet af en kugle med
centrum i lydkilden, og energibetragtninger giver en relation til lydtryk og partikelhastighed.
Intensiteten udtrykker den udstrålede effekt fordelt over kuglefrontens areal. Effekten PA kan erstattes med energitilvæksten dW per tidsenhed dt, med energitilvæksten som kraft gange med
vejændringen dx, der kan relateres til hastighed gennem definitionen v = dx/dt. Effekten kan nu
udtrykkes som kraft gange hastighed, og division med arealet S giver intensiteten som tryk gange hastighed. Fra relationen p = ρcv ses at produktet pv kan skrives som ρcv2 eller tilsvarende
som p2/ρc, hvor der skal anvendes RMS værdier af tryk og partikelhastighed.
I den teoretiske litteratur skrives produktet af tryk og partikelhastighed som pv *, hvor den komplekst konjugerede af partikelhastigheden sikrer at produktet bliver et reelt tal.
Intensiteten er funktion af den akustiske effekt, som er givet af den elektriske effekt PE til højttaleren, når virkningsgraden η er kendt. Hvis virkningsgraden ikke er kendt kan en overslagsberegning
benytte det faktum at de fleste højttalere har en virkningsgrad på højest et par procent, så en tilført
elektrisk effekt på 100 W giver en akustisk effekt på omkring 1 W.
Intensiteten antages beskrevet ved en ligelig fordeling af effekten over kuglefrontens areal. Hvis
den antagelse holder kan man i en vis afstand betragte et udsnit af overfladen som en plan bølgefront med en effekttæthed på IA, og derfra beregne lydtrykket i observationspunktet, som det vises i
det efterfølgende afsnit.
38 Intensiteten er i den teoretiske akustik en vektor, hvor ovenstående behandling antager at lyden udbreder sig som sfæriske bølger
med en overflade vinkelret på radius. For en plan, stående bølge er intensiteten nul, da der er involveret to vektorer med hver sin
udbredelsesretning. Den fysiske tolkning er at den udsendte lydenergi returneres til kilden [LLB-44].
Elektroakustik
Version 2.0
85
5.7.2 Energitæthed
Når en lydbølge passerer gennem et lille luftvolumen vil en effekt på PA passere gennem et virtuelt
areal på S, svarende til intensiteten IA, og i løbet af tidsrummet dt har energien PAdt passeret det lille volumen med rumfanget Sdx. Lydbølgen passerer med lydens hastighed så dx/dt = c, og den involverede energi per volumen kan derved beskrives.
c
2
PA
S
w=
x
P dt
P
I
p
W
= A = A = A = RMS2
S dx
S dx
Sc
c
ρc
2
⇒
I A = cw =
pRMS
ρc
dx
Figur 5.19 – Lydtrykket repræsenterer energi og kan beskrive energien per volumen af et tænkt luftvolumen.
Bevægelsesenergien for en masse m med hastigheden v er ½mv2, der også kaldes for kinetisk
energi. Der gælder tilsvarende for luftpartiklernes bevægelse i en lydbølge, men det er praktisk at
betragte energitætheden ved at erstatte massen med massefylden ρ, udtrykket dækker energien i
et volumen luft. På tilsvarende vis kan der oplagres potentiel energi i en lydbølge som følge af
kompressionen ved lydtrykket, og for en plan lydbølge er de to energier ens, så den samlede energitæthed i en fremadskridende lydbølge bliver to gange den kinetiske energitæthed.
1 2
ρv
2 RMS
⇒
2
1 pRMS
w POT =
2 ρc 2
w KIN =
Plan bølge:
w = w KIN + w POT =
p 2RMS
ρc
2
Relationen udnyttes indenfor rumakustik til at beskrive energitætheden i et diffust lydfelt hvor der
ikke er en foretrukken udbredelsesretning.
5.7.3 Lydtryk og partikelhastighed
En lille omrokering af udtrykket for intensitet leder til at de effektive værdier af lydtrykket og partikelhastigheden kan beregnes i en given afstand fra lydkilden ud fra den akustiske effekt som højttaleren afgiver til luftmediet.
PE
PA
pRMS
vRMS
r
PA = η PE
η ≈ 0,01
2
p
2
P A = I A S = RMS S = ρ c S v RMS
ρc
ρ c PA
1 ρc PA
p RMS =
=
S
r
4π
PA
PA
1
v RMS =
=
ρc S r 4 πρc
√
√
√
√
Figur 5.20 – En højttaler omsætter den elektriske effekt til en akustisk effekt gennem membranens
hastighed, der gennem membranens areal giver en volumehastighed. Effekten giver en akustisk
intensitet i en given afstand, som kan omsættes til lydtryk og partikelhastighed.
Ved en tilført elektrisk effekt på PE = 100 W og en virkningsgrad på η = 0,01 bliver den akustiske effekt på
PA = 1 W. I afstanden r = 1 m er arealet S = 4πr2 = 12,6 m2 så intensiteten er IA = 0,0796 W/m2, Lydtrykket
bliver pRMS = 5,68 Pa (svarende til 109 dB SPL) og partikelhastigheden bliver vRMS = 14 mm/s.
Relationerne gør det muligt at estimere et lydtryk uden vejen omkring det elektro-mekaniske system for højttaleren, hvis virkningsgraden er kendt eller med rimelighed kan antages til en typisk
værdi på eksempelvis 1 %.
86
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
5.7.4 Volumehastighed
En højttalers membran arbejder imod strålingsimpedansen, og der afsættes kun effekt i den reelle
del. Ved at benytte udtrykket fra side 84 findes den effekt PA som højttaleren afgiver til luftmediet,
men ved analytisk arbejde med højttalere er det mere nyttigt at bruge volumehastigheden qRMS, der
er givet ved arealet af membranen SD ganget med hastigheden vRMS af membranen. Det udtrykker
hvor meget luftvolumen, der flyttes per tidsenhed (enheden er m3/s).
P A = R MR v 2RMS
ρc 2 2
R MR =
S k
4π D
⇒
2π f
k=
c
q RMS = S D v RMS
pRMS
qRMS
r
PA =
ρc 2 2 πf 2 2
πρ
S (
) v RMS =
(f q RMS )2
4π D c
c
1 ρc PA ρf
p RMS =
=
q
r
4π
2 r RMS
√
Figur 5.21 – Højttalerens hastighed er givet af de elektro-mekaniske forhold, og det kan bruges til
at beregne lydtrykket i højttalerens fjernfelt i afstanden r.
At bruge volumehastigheden q betyder at der ikke skelnes mellem en stor membran med en lav
amplitude af hastigheden, eller en lille membran med et stort udsving. For et basreflexkabinet kan
lydtrykket fra porten beregnes fra portens areal gange lufthastigheden i porten. Det er her nødvendigt at kende fasen mellem lydtrykket fra højttaleren og fra porten for at kunne beregne det resulterende lydtryk i lyttepositionen.
5.8 Diffust lydfelt
Lydbølgerne fra en højttaler starter som sfæriske bølger, der ved møde med rummets flader kastes
tilbage, og lyden vil derefter zigzagge gennem rummet mens lydtrykket successivt aftager på grund
af dæmpning. Refleksionen er ikke en perfekt spejling, for lydbølgerne spredes lidt hver gang de
rammer en reflekterende flade, så lydfeltet udvikles i en kaotisk retning til et såkaldt diffust lydfelt.
2
Plan bølge
Plan bølge:
Afsat effekt:
θ
Normal
p RMS
ρc
P S = Scw cos (θ)
I A = cw =
Flade
2
S
Diffust felt:
p
cw
= RMS
4 π 4πρc
Scw
PS =
4
ID =
Afsat effekt:
Figur 5.22 – Intensiteten af et diffust lydfelt er 11 dB ringere end for en plan bølge med samme
energitæthed på grund af den evigt fluktuerende indfaldsvinkel.
Intensiteten i det diffuse lydfelt er 1/4π af intensiteten i en plan lydbølge med samme energitæthed
og et vinkelret indfald mod arealet. Det har betydning for hvor stor en effekt, der rammer et arealelement af rummets vægge. Ved en plan lydbølge med energitætheden w (enhed J/m3) er intensiteten cw (enhed W/m2) og der afsættes en effekt på Scw, hvor S er fladens areal under forudsætning af vinkelret indfald. For et diffust lydfelt med den samme energitæthed afsættes i middel kun
en fjerdedel af effekten da indfaldsvinklen fluktuerer.
For et diffust lydfelt er intensiteten ID den samme i alle retninger, så energitætheden er w = ID/c
uanset lydindfaldets retning. Den samlede energitæthed i det diffuse felt findes ved integration
over alle retninger, hvilket er integration over rummets 4π, og heraf følger at intensiteten er 1/4π
af intensiteten i en plan lydbølge med samme energitæthed og vinkelret indfald mod arealet.
dw =
Elektroakustik
ID
dΩ ⇒
c
w =∫
Ω
ID
4πID
dΩ=
c
c
Version 2.0
⇒
ID =
I
cw
= A
4π
4
87
Den effekt PS, der i middel rammer en flade med arealet S fra et diffust lydfelt beregnes ved at
integrere intensiteten over alle de mulige indfaldsvinkler. De indkomne plane bølge rammer
arealet under vinkel θ så arealets projektion på den enkelte bølges retning er cos(θ).
P S = ∫ S I D cos (θ) d Ω
Der skal foretages et overfladeintegral for at integrere over det halve rum som bølgerne kan
komme fra. Rumvinklen er39 dΩ = sin(θ)dθdφ og integrationen kan udføres individuelt for de to
koordinater. Integration over φ giver periferien af en enhedscirkel på 2π. Integration over θ involverer cos(θ)sin(θ), der kan skrives som sin(2θ)/2 og giver –cos(2θ)/2 efter integrationen.
2 π π/ 2
π/2
[
cw
cw −cos(2 θ)
P S = ∫ ∫ S I D cos (θ) sin (θ) d θd ϕ = S
2 π ∫ sin( 2 θ) d θ = S
4
π
2
2
0 0
0
π/2
]
0
=
S cw
4
5.8.1 Lydeffekt
Energien i et lydfelt skal vedligeholdes for at kompensere for tab fra lydens bevægelse igennem
luften og energiudveksling med væggene. Som et udgangspunkt behandles i det følgende kun absorption af lydeffekt ved en flade med arealet S, og de øvrige tabsmekanismer ignoreres. For at
opretholde energitætheden i rummet må der være en balance mellem den effekt en lydkilde afgiver
og den effekt, der rammer en absorberende flade S, og det giver et udtryk for energitætheden w0 i
lytterummet givet ved den effekt en lydgiver afgiver, og det kan igen knyttes til volumehastigheden.
Balance:
Lz
V
S
Ly
Lx
PS = P A
4 PA
Scw0 ⇒ w 0 =
Sc
Diffust felt: P S =
4
dP A
dw Scw
Ændring:
≠ 0 ⇒ PA = V
+
dt
dt
4
−t
Løsning: P A = 0
⇒ w = w 0 exp( )
T
4V
Tidskonstant:
T=
Sc
Figur 5.23 – Lydeffekten i et rum med en lydgiver indstilles så der er balance mellem den effekt en
højttaler udsender og effekten afsat i et absorptionsareal. Ved ændring af effekten fra højttaleren vil
middeleffekten i rummet ændres efter en eksponentialfunktion mod det nye balancepunkt.
Effekttætheden i rummet er Scw/4 i middel over tilstrækkelig lang tid, så i en balancesituation
har vi et udtryk for energitætheden w0 i rummet givet ved den tilførte akustiske effekt PA, der må
modsvares af den effekten PS i absorptionsarealet S. Hvis lydkildens effektudstråling ændres vil
energitætheden i rummet også ændres, og hastigheden af ændringen beskrives ved dw/dt (med
enheden W/m3), og den samlede effektændring i rummet findes ved at gange med volumet V.
Ved en pludselig afbrydelse af lydkilden vil energitætheden aftage eksponentielt.
Sammenholdes udtrykkene for energitætheden findes en relation mellem den udstrålede effekt PA
fra en lydgiver i rummet og lydtrykket pRMS i det diffuse lydfelt.
c w0
p2
= RMS
4π
4 πρc
⇒
p RMS = √ ρ c 2 w0 =
√
4ρc PA
S
For et rum med højden 3 m, bredden 4m og længden 5 m er voluminet V = 60 m3. Med et åbenstående
vindue på 1 m gange 2 m er absorptionsarealet S = 2 m2. En akustisk effekt på PA = 1 W vil i balance give
en energitæthed på w0 = 5,8 mW/m3 og tidskonstanten bliver T = 0,35 s. Hvis lydkilden pludselig afbrydes
vil lydtrykket aftage med 8,7 dB per tidskonstant og når derfor ned på –60 dB efter 2,5 sekunder. Ved en
akustisk effekt på PA = 0,1 W bliver lydtrykket i det diffuse felt på pRMS = 9 Pa svarende til 113 dB SPL.
39 Se fx http://en.wikipedia.org/wiki/Solid_angle.
88
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
5.9 Analogier
Det beskrevne materiale i denne bog kan anvendes til meget andet end elektroniske kredsløb, for
der er helt grundlæggende tale om et værktøj til løsning af differentialligninger, og de kan bruges til
at beskrive kemiske processer, mekaniske bevægelse, akustiske systemer, varmetransport, etc.
Herunder vises hvordan man kan benytte relationerne mellem strøm- og spænding for analyse af
en række systemer, der er centrale for denne bog.
System
Elektrisk
Impedans:
V/A = Ω
Mekanisk
Impedans:
N/ms–1 = kg/s
Akustisk
Impedans:
Nm–2/m3s–1
= kg/m4s
Termisk
Impedans:
K/W
Variable
Komponenter
Spænding
Strøm
Kapacitet
Modstand
Selvinduktion
V
A
F = As/V
Ω = V/A
H = Vs/A
u(t)
i(t)
u= Ri
u= L
Kraft
Hastighed
Fjeder
Modstand
Masse
N
m/s
m/N
Ns/m
kg
F( t)
v (t )
Tryk
Pa = N/m
Vol.hast.
2
3
m /s
u=
F=
1
i dt
C∫
1
v dt
C∫
Fjeder
3
1/m N
p=
1
q dt
C∫
F = Rv
Modstand
Ns/m
5
p = Rq
F=M
di
dt
dv
dt
Masse
kg/m4
p= M
dq
dt
p(t)
q (t)
Temperatur
Effekt
Kapacitet
Modstand
(Ingen)
K
W
J/K
K/W
(ingen)
T (t)
P(t)
T = RP
(ingen)
T=
1
P dt
C∫
5.9.1 Elektrisk system
De variable i det elektriske system er den drivende kraft repræsenteret ved spænding u = u(t) og
reaktionen på spændingen er strømmen i = i(t). Spændingen over hver enkelt komponent beskrives som vist for spolen L, modstanden R og kondensatoren C. Differentialkvotienten kan ved Laplace transformationen erstattes i et kredsløbsdiagram af impedansen sL for selvinduktionen, og
integralet kan tilsvarende erstattes af kondensatorens impedans 1/sC, hvorefter kredsløbet kan
analyseres med Ohms lov, som vist med Kirchhoffs love og loven om superposition.
Ved et harmonisk signal beskrives spænding og strøm gennem amplituderne u0 og i0 samt frekvensen af oscillationen f eller tiden TP for en periode. Impedansen er funktion af frekvensen, som ZE(f),
men vil i megen litteratur skrives som funktion af den komplekse variable jω, som ZE(jω), eller som
funktion af Laplace operatoren s, som ZE(s).
En effekt kan kun afsættes i belastningens reelle del, og for en harmonisk svingning er den effektive værdi (RMS-værdien) givet ved amplituden som uRMS = u0/√2. For andre typer af svingninger må
RMS værdien findes på anden vis.
Elektroakustik
Version 2.0
89
5.9.2 Mekanisk system
Det mekaniske system benytter kraft F og hastighed v for massen M, modstanden R og fjedren F.
Ligningerne er identiske med det elektriske system, så en masse kan repræsenteres ved en spole,
og fjedrens eftergivelighed C (compliance), der er det reciprokke af stivhed, kan repræsenteres af
en kondensator. Newtons anden lov giver relationen mellem kraft og masse ved accelerationen
gennem F = Mdv/dt. Fjederkraften er givet ved fjedrens udvidelse x hvor en strækning beregnes
som integralet af hastigheden v. Tab vil ofte antages at være proportionel med hastigheden, hvilket
dog udelukker friktion.
Den mekaniske impedans ZM beskriver kraften F(t) på et kredsløb med hastigheden v(t). Kraft og
hastighed beskrives gennem deres amplituder F0 og v0 samt frekvensen af oscillationen f eller tiden TP for en periode. Den mekaniske model benytter en seriekobling af komponenter med samme
hastighed og en parallelkobling af komponenter, der deler den mekaniske kraft.
5.9.3 Akustisk system
Det akustiske system benytter tryk p (kraft per areal) og volumehastighed q = SDv (et rumfang luft,
der flyttes med en vis hastighed v af et stempel med arealet SD). Når volumehastigheden er kendt
beregnes trykket ved kilden som p = ZAq, hvor ZA er en akustiske impedans, der almindeligvis er
funktion af frekvensen. Lydtrykket aftager med afstanden, når lyden kan udbrede sig frit. ZA kan
overføres til det mekaniske system som et mekanisk serie-element, ved at gange med kvadratet
på højtalerens areal SD2 idet der er direkte proportionalitet mellem v og q.
Den akustiske impedans ZA beskriver trykket p(t) på membranen med volumehastigheden q(t).
Tryk og volumehastighed beskrives gennem deres amplituder p0 og q0 samt frekvensen af oscillationen f eller tiden TP for en periode.
Lydudstråling fra flader samt lydtransmission gennem rør og horn beregnes fra den akustiske impedans, hvor S er en flade, der kan være arealet af højttalerens membran SD, arealet af et rør, eller
en fiktiv flade i rummet, som lyden udbredes igennem [KRL-44].
Der er en nær kobling mellem de mekaniske og akustiske systemer, idet de begge arbejder med
kraft og hastighed, der i det akustiske system repræsenteres ved kraften på et areal (trykket) og
den hastighed et volumen af luft flyttes med. Omregningen benytter kvadratet på et areal, og ved
design af højttalere er typisk membranens areal eller en portmundings areal.
5.9.4 Termisk system
Det termiske system beskrives ved temperatur T og effekt P, og adskiller sig fra de øvrige ved ikke
at have et led for inerti, så der eksisterer ikke en termisk masse.
Ved afsættelse af effekt i svingspolen varmes den op og temperaturstigningen påvirker højttalerens
funktion. I første omgang stiger modstandsværdien af svingspolens RE, og ved høj temperatur kan
den lim, der holder svingspolen i forbindelse med membranen, beskadiges og højttaleren ødelægges. Ud fra en termisk analyse kan tidskonstanten bestemmes og dermed skabes en basis for et
estimat af hvor lang tid en højttaler kan tåle en given effekt. Det termiske system spiller sjældent
en større rolle for et design af højttalere, men er vigtigt for PA-systemer, der skal håndtere store effekter i lange tidsrum.
90
Version 2.0
Tore Skogberg
5 Appendiks
5.10 Referencer
ANT1
A. N. Thiele ”Loudspeakers in Vented Boxes: Part I”, Journal of the Audio Enginering Society, May 1971, Volume 19, Number 5.
ANT2
A. N. Thiele ”Loudspeakers in Vented Boxes: Part II”, Journal of the Audio Enginering Society, June 1971, Volume 19, Number 6.
BM
Brian C. J.Moore ”An Introduction to the Psychology of Hearing”, Elsevier, 2004.
CD
Trevor J. Cox & Peter D'Antonio ”Acoustic Absorbers and Diffusers”, 2'nd Ed., Taylor &
Francis, 2009.
KRL
Knud Rasmussen ”Lydfelter”, Note 2107, Danmarks Tekniske Universitet, 2004.
KRH
Knud Rasmussen ”Højttalere”, Note 2109, Danmarks Tekniske Universitet, 1996.
HK
Heinrich Kuttruff ”Room Acoustics”, 5 Ed, Spon Press, 2009.
LLB
Leo L. Beranek ”Acoustics”, Acoustical Society of America, 1996.
TAS
Tore Skogberg ”Loudspeaker Cabinet Diffraction”, Master thesis, Acoustical Technology,
Ørsted DTU, 2006.
WML
W. Marshall Leach, Jr. ”Introduction to Electroacoustics & Audio Amplifier Design”, 3th Ed.
Kendall/Hunt Publishing Company, 2003.
Elektroakustik
Version 2.0
91
5.11 Stikordsregister
A/B test.......................................9
Absorptionskoefficient...............70
Admittans..................................29
Afstandsregel................13, 39, 82
Akustisk effekt...........................85
Akustisk kortslutning...........15, 36
Amperes lov..............................26
Amplitudemodulation................60
Bashævning..............................63
Bashøjttaler...............................24
Beskyttelseskredsløb................54
Butterworth.........................28, 44
Bølgeligning..............................73
Bølgelængde............................12
Chebychev................................44
Delefilter...................................53
Differenstoneforvrængning. . .9, 60
Diffraktion..................................13
Diffust lydfelt.............................87
Diskanthøjttaler.........................24
Magnetisk olie......................56
Piezoelektrisk.................22, 55
DSP..........................................49
Effekt...................................32, 61
Eftergivelighed..........................41
Efterklangstid......................66, 69
Elektronisk filter........................61
Endekorrektion..........................79
Energitæthed............................86
ERB............................................8
Eyrings formel...........................70
Faradays lov.......................26, 51
Fasedrejning.............................57
Fjederstyrede område...............28
Fjernfelt.....................................82
Frekvensområde.........................8
Musikgengivelse..................35
Musikinstrumenter................11
Fresnel......................................13
Godhed...............................27, 57
Halvtonetrin...............................11
Harmonisk forvrængning............9
Helmholtz..................................71
Helmholtz resonans..................45
Huygen.....................................13
92
Højttaler....................................21
Delefilter........................55, 57
Delefrekvens........................61
Dæmpe diskant....................59
Elektro-dynamisk.................24
Elektronisk delefilter.............61
Elektrostatisk.......................21
Ikke-lineær...........................49
Ionisering.............................22
Korrektionsfilter....................63
Piezoelektrisk.................22, 55
Servo...................................49
Sikring..................................59
Strålingsimpedans...............32
Stående bølger....................66
Høregrænse...............................7
Idealgaslov...............................74
Impedans......................................
Akustisk...............................76
Bagside................................41
Kompensering.....................58
Strålingsmodstand...............32
Intensitet...................................85
Interferens................................14
Intermodulation...........................9
Ka.............................................39
Karakteristisk impedans............75
Kraftfaktor...........................24, 26
Kritisk dæmpning......................44
Kvart.........................................12
Kvint..........................................12
Lorentzkraft...............................26
Luftspalteinduktion....................26
Lukket kabinet...........................41
Lydabsorption...........................70
Lydniveau...................................7
Lydtryk................................33, 86
Port......................................87
Maskering.................................10
Massestyrede område..............28
Massestyret område.................27
Membran..................................31
Membranens udsving...............28
Membranmateriale....................31
Minimum fase system...............54
Version 2.0
Model............................................
Akustisk...............................43
Elektrisk...............................41
Mekanisk.............................27
Musikteori...................................9
Niveau......................................59
Nærfelt................................51, 82
Oktav........................................12
PA anlæg............................55, 61
Partikelhastighed......................86
Phon...........................................7
Punktlydkilde.............................82
Ray tracing................................67
Resonans............................25, 46
Mekanisk.............................27
Stående bølger....................65
Ribbon loudspeaker..................23
Rockwool..................................70
Sabines formel..........................69
Schröder frekvens.....................66
Sekund.....................................12
Sfærisk lydgiver........................39
Sikring.......................................57
Skumplast.................................70
Smertegrænse............................7
Sommerfeldts antagelse...........83
SPL.............................................7
Stamtoner.................................11
Stempelområde........................49
Strålingsimpedans..............32, 84
Svingspole................................26
Terts..........................................12
Thiele-Small parametre............25
Tinnitus.......................................8
Tommelfingerregel........................
Absorption...........................70
Baflens grænsefrekvens......38
Delefilter..............................56
Resonansfrekvens...............19
Tidskonstant........................54
Underholdningsmusik..........35
Ventileret kabinet......................45
Ækvivalent båndbredde..............8
Ækvivalent volumen..................44
Tore Skogberg