1. No category

Differentialregning
og
integralregning
Ib Michelsen
Ikast 2013
Differentialregning og integralregning
2
Indholdsfortegnelse
Tegneøvelser.......................................................................................................................................................................3
Introduktion.......................................................................................................................................................................4
Definition af differentialkvotient og tangent.................................................................................................................6
Tangenthældninger............................................................................................................................................................7
Den afledte funktion..........................................................................................................................................................7
Beregning af differentialkvotienter.................................................................................................................................8
Den konstante funktion.........................................................................................................................................8
Den lineære funktion.............................................................................................................................................8
Andengradspolynomiet........................................................................................................................................9
Tredjegradspolynomium.....................................................................................................................................10
Funktionen f(x) = 1/x............................................................................................................................................10
Kvadratrodsfunktionen.......................................................................................................................................10
Kombinationer af funktioner..............................................................................................................................11
Andre polynomier................................................................................................................................................13
Tangenter...........................................................................................................................................................................14
Type 1: kendt x-værdi..........................................................................................................................................14
Type 2: kendt y-værdi..........................................................................................................................................15
Type 3: kendt tangenthældning .........................................................................................................................16
Øvelser..............................................................................................................................................................................17
Funktioners monotoniforhold og ekstrema.................................................................................................................18
Monotonisætningen.............................................................................................................................................18
Den omvendte monotonisætning.......................................................................................................................18
Lokale extrema......................................................................................................................................................18
Eksempel på undersøgelse af monotoniforhold..............................................................................................19
Optimering........................................................................................................................................................................20
Fugleburet..............................................................................................................................................................20
Ordrestørrelser......................................................................................................................................................21
Integration.........................................................................................................................................................................23
Sætninger om integration...............................................................................................................................................23
Det bestemte integral......................................................................................................................................................24
Sætning ................................................................................................................................................................24
Bevis.......................................................................................................................................................................24
Beregning af A'(x).................................................................................................................................................24
Trin I: Beregning af y-tilvækst............................................................................................................................24
Trin II: Beregning af sekanthældning................................................................................................................25
Trin III: Beregning af tangenthældning.............................................................................................................25
Eksempel: Eksamensopgaven 14 a, stx B, maj 1991.........................................................................................26
Differentiation og integration – et overblik.................................................................................................................29
Differentialkvotient .............................................................................................................................................29
Den afledte funktion ...........................................................................................................................................29
Notation.................................................................................................................................................................29
Sprogbrug: differentiere og integrere................................................................................................................29
En stamfunktion og det ubestemte integral.....................................................................................................29
Det bestemte integral...........................................................................................................................................30
Formel for tangentligning og generelle differentiationsregler..................................................................................30
Formler for differentiation af bestemte funktioner.....................................................................................................31
Formler for integration af bestemte funktioner...........................................................................................................32
Regneregler for integration............................................................................................................................................32
Differentialregning og integralregning
3
Tegneøvelser
Herover ses fra grafen for funktionen f(x).
•
Find hældningskoefficienten for den grønne tangent i A.
•
Tegn tangenter i punkterne (-2; f(-2)) , (-1; f(-1)) , (1; f(1)) , (4; f(4)) , (7; f(7)) , (9; f(9)).
◦
Find hældningskoefficienterne for disse.
◦
Hældningskoefficenterne kaldes differentialkvotienter. Hvis x-værdien er -2,
skrives differentialkvotienten f'(-2)
◦
Da der kan findes en differentialkvotient for enhver x-værdi (hvor der kan tegnes en tangent) kan vi definere en funktion: til enhver x-værdi x knyttes den
tilsvarende differentialkvotient (som viser hældningen på tangenten i ( x, f(x)).
Denne funktion er den afledte funktion: f'(x).
•
Skitser f'(x).
•
Hvad sker der, hvor f'(x) = 0?
Differentialregning og integralregning
4
Introduktion
Differentialregning handler bl.a. om at undersøge, hvorledes funktioner vokser. Hvis der
er tale om en lineær funktion, kan væksten beskrives med
Δ y=a⋅Δ x
hvor det græske bogstav store delta betyder en differens (i hhv. y- og x-værdier).
Åbn linket http://mimimi.dk/mixi/dif/dif_2.html og eksperimenter med skyderne:
•
Kontroller, at når Δ x vokser og a > 0, vokser Δ y også
•
Hvad kaldes sammenhængen mellem de to variable: Δ x og Δ y ?
•
Hvilken betydning har a for væksten?
•
Hvor stor er Δ y , hvis Δ x=1 ?
•
Hvor stor er Δ y , hvis Δ x=0 ?
•
Hvorfor giver det mening at kalde a
væksthastigheden
•
Hvis du både kender Δ x og Δ y , er du så
i stand til at beregne a?
•
Vis hvordan i et eksempel!
•
Gælder det i alle tænkelige eksempler?
Forestil dig at du kører med konstant
hastighed ud ad en uendelig lang landevej, at tiden måles med variablen x, at den
kørte afstand svarer til f(x). Hvad fortæller parameteren a om køreturen?
•
Det er vigtigt at erkende, at hver gang vi taler om at en bil NU kører med en bestemt
hastighed som fx 75 km/time, skal vi benytte to målinger: en afstandsmåling og en
tidsmåling. Det kunne i eksemplet være afstanden 75 km og tiden 1 time. Vi taler dog også
om at køre med den hastighed, selvom der ikke er tale om at køre en hel time, men fx at
køre 25 km på 20 minutter. Men hvis vil vil måle hastigheden i et NU, bliver begge
målinger 0, og hastigheden lader sig ikke bestemme umiddelbart: enhver hastighed passer
ind i ligningen: Δ y=a⋅Δ x . Men når vi for alle afstande på hele køreturen måler den
samme hastighed, vil vi tillade os at sige, at NU kører vi også med 75 km/time.
For en lineær funktion gælder det, at for enhver x-værdi (i definitionsmængden) er
væksthastigheden = a
Men biler kører ikke altid med samme hastighed og der findes mange andre funktionstyper end de lineære.
Den følgende graf viser en ikke lineær vækst (og bemærk: Δ y kan være negativ). Vi vil
Differentialregning og integralregning
5
gerne beskrive væksthastigheden, når x = 0, men det kunne lige så godt være for enhver
anden x-værdi.
Vi kunne – som her – tegne en sekant, for derefter at beregne væksthastigheden for denne;
i sekantens endepunkter er der jo sammenfald med grafen og funktionens vækst og
sekantens ”vækst” er identiske. Sekanthældningen er en slags gennemsnitsvæksthastighed
for funktionen. Følg linket her for at lave nedenstående øvelser:
http://mimimi.dk/mixi/dif/dif_3.html
•
Peg med musen på et af sekantens endepunkter og træk det langs med grafen
•
Bemærk, hvorledes sekanthældningen ændres
Modsat hvad der gælder for den lineære funktion, får vi her mange forskellige
væksthastigheder. Men lad os undersøge, hvad der sker, hvis begge endepunkters xværdier ligger i intervallet [- 0,4 ; +0,4].
•
Noter 10 forskellige hældningskoefficienter for sekanter, hvor endepunkterne
opfylder ovenstående betingelse.
•
Gentag eksperimentet, men vælg i stedet for intervallet [-0,2 ; +0,2].
•
Kan du lave intervallet så lille, at alle hældninger for sekanter med endepunkter
over dette interval højst afviger 0,005 fra 1,5?
Du svarer forhåbentlig ja! og kan finde intervaller, der er små nok. Så er situationen
næsten den samme som for den lineære funktion: For alle afstande (der er tilstrækkelig
små) har vi (næsten) den samme væksthastighed. Og jo mindre intervallet bliver, jo mere
nærmer vi os et bestemt tal. Dette tal er grænseværdien og kaldes differentialkvotienten i 0.
Vi ville få det samme resultat, selv om vi nøjedes med at se på sekanter, der havde det ene
endepunkt i A.
Differentialregning og integralregning
6
Definition af differentialkvotient og tangent
Lad
P=( x 0 ; f ( x 0 ))
og Q=(x 0 +h ; f ( x 0+h))
Differentialkvotienten for f i
Det skrives:
f ' ( x 0)=lim
x 0 er grænseværdien for sekanthældninger, når
f ( x 0+h)− f ( x 0 )
f (x 0 +h)− f ( x 0)
=lim
( x 0+h)−( x 0)
h
Linjen gennem P med hældningen f ' ( x 0) kaldes tangenten i P.
h →0
Differentialregning og integralregning
7
Tangenthældninger
Prøv at følge linket herunder under og eksperimenter med konstruktionen som beskrevet i
øvelsen her1:
Link: http://mimimi.dk/mixi/dif/dif_1.html
•
Peg med musen på punktet X, der er bundet til x-aksen
•
Flyt punktet frem og tilbage
•
Bemærk, at punktet A flytter sig samtidigt og altid har samme x-værdi som X, men
altid ligger på grafen for funktionen f.
•
I A er der tegnet en tangent til grafen, som flytter sig sammen med A.
•
I algebravinduet kan du finde sammenhørende værdier af x-værdien i A og
hældningskoefficienten for tangenten i netop dette punkt. Lav en tabel med disse
tal i regnearket for x = -2, -1, 0, … , 7, 8 i 1. kolonne og hældningerne i 2. kolonne.
•
Lav en liste af punkter baseret på tabellen.
•
Overvej: vi har defineret en ny funktion der fortæller om f-funktionens tangenters
hældninger. Kan du genkende grafens type?
•
Du skal finde funktionen og tegne grafen gennem de nye punkter med
kommandoen: g(x)=fitpoly[liste1,2] – forudsat at du ikke har lavet flere lister. Giv
den nye graf en speciel farve, fx lilla.
•
Beregn en funktionsværdi med kommandoen g_9=g(9)
•
Flyt punktet X til x-værdien 9 og aflæs tangentens hældning; sammenlign med
resultatet g(9).
Den afledte funktion
Lad f (x ) være en funktion, hvor vi for enhver x-værdi kan finde
differentialkvotienten. Så betegner vi med f ' ( x) den funktion, der for en givet xværdi har differentialkvotienten som y-værdi. f ' ( x) kaldes den afledte funktion.
Funktionen f siges at være differentiabel.
Du kan sikkert nemt se, at en nødvendig betingelse for at en funktion har en afledt
funktion er, at den er kontinuert (dvs. sammenhængende.) Ligeledes skal den være glat:
grafen må ikke have spidser. Fx vil f (x ) = |x| ikke være differentiabel, fordi
hældningerne på sekanterne i nærheden af (0,0) ikke nærmer sig et bestemt tal uanset hvor
lille intervallet bliver.
1 Konstruktionen forudsætter, at Java er installeret på din PC
Differentialregning og integralregning
8
Beregning af differentialkvotienter
Den konstante funktion
Funktionen f er givet ved: f (x )=k
Den afledte funktion er da:
f ' ( x)=0
Bevis
En konstant funktion vokser ikke; derfor bliver
enhver sekanthældning = 0.
f ' ( x)=0 . Man kan også se det af, at
Den lineære funktion
Funktionen f er givet ved: f (x )=k
Den afledte funktion er da:
f ' ( x)=0
Bevis
Vi vil introducere en bevisteknik, der kaldes tre-trins metoden. Udgangspunktet er
P=( x ; f (x )) samt et nabopunkt: Q=( x+h ; f ( x+h)) .
I
Først findes Δ y med formlens forskrift og reduceres så vidt muligt)
II
Dernæst findes sekantens hældningskoefficient:
Δy
, som også reduceres /
Δx
omskrives
III
Endelig findes grænseværdien (kaldet limes, eng. limit) når h nærmer sig 0
I
Δ y= f (x+h)− f ( x )=a⋅( x+h)+b−(ax+b)=a x+a h+b−ax −b=a h
II
Δ y ah
= =a
Δx h
III
Δy
lim a =a
Δx =
h →0
h →0
lim
At differentialkvotienten altid er lig med grafens hældningskoefficient, skulle ikke være
nogen overraskelse. Tangenten i ethvert punkt på grafen vil også være sammenfaldende
med grafen!
Differentialregning og integralregning
9
Andengradspolynomiet
Lad os starte med et taleksempel: vi vil finde differentialkvotienten for x=4. Funktionen vi
undersøger er f (x )=x 2
Trin I
Δ y= f (4+h)− f (4)=(4+h) 2−4 2=( 16+h2+2⋅4⋅h)−16=16+h 2+8h−16=h2 +8h
Trin II
Δ y h 2+8 h
=
=h+8
Δx
h
Trin III
Δy
lim h+8 =8
Δx =
h→0
h →0
lim
f ' (4)=8
På helt tilsvarende måde kan differentialkvotienten findes for en vilkårlig x-værdi.
Dermed findes også forskriften for den afledte funktion.
Sætning
Funktionen f er givet ved:
f (x )=x
2
Den afledte funktion er da:
f ' ( x)=2 x
Bevis
Trin I
Δ y= f (x+h)− f ( x )=( x+h) 2−x 2=( x 2 +h 2+2⋅x⋅h)− x 2=x 2 +h 2+2 x h−x 2=h2+2 x h
Trin II
2
Δ y h +2 x h
=
=h+2 x
Δx
h
Trin III
Δy
lim h+2 x =2 x
Δx =
h →0
h →0
lim
Differentialregning og integralregning
10
Tredjegradspolynomium
•
Find på nøjagtigt samme måde en forskrift for den afledte funktion i dette tilfælde
Funktionen f(x) = 1/x
Funktionen f er givet ved: f (x )=
1
x
Den afledte funktion er da:
f ' ( x)=
−1
2
x
Bevis
Trin I
Δ y= f ( x+h)− f (x )=
( x +h)
x−( x+h) x−x−h
1
1
x
−h
− =
−
=
=
=
( x+h) x x⋅( x +h) x⋅( x+h) x⋅( x+h) x⋅( x+h) x⋅( x+h)
Trin II
−h
−1
Δ y x⋅( x +h) x⋅( x+h)
−1
=
=
=
Δx
h
1
x⋅( x+h)
Trin III
Δ y lim −1
−1
x⋅(x+h) = 2
Δx =
x
h →0
h→0
lim
Kvadratrodsfunktionen
Funktionen f er givet ved: f (x )=√ ( x)
Den afledte funktion er da:
f ' ( x)=
1
2⋅√ ( x)
Bevis
Trin I
Δ y= f (x+h)− f ( x )=√ ( x+h)− √ ( x )
Differentialregning og integralregning
11
Trin II
Δ y (√ ( x+h)− √ x) ( √( x+h)− √ x)⋅( √( x+h)+√ x )
( x+h)−x
x+h−x
=
=
=
=
Δx
h
h⋅( √( x+h)+√ x)
h⋅( √ (x+h)+√ x) h⋅( √ ( x+h)+√ x)
Δy
h
1
=
=
Δ x h⋅( √( x+h)+ √ x ) √( x+h)+√ x
Trin III
1
Δ y lim
1
=
Δx
√( x +h)+√ x = 2 √( x)
h →0
h→0
lim
Kombinationer af funktioner
Sum
Lad f og g være to differentiable funktioner. Lad s være sumfunktionen:
s( x)=( f + g)( x) defineret som
s( x)= f ( x )+g ( x) . Så er
s ' ( x)= f ' ( x )+g ' ( x )
Bevis
Trin I
Δ y=Δ s=s (x+h)−s( x)=( f ( x+h)+g ( x+h))−( f (x )+g ( x))⇔
Δ y= f (x+h)+g ( x+h)− f ( x)−g ( x)= f ( x+h)− f ( x)+ g ( x+h)−g ( x) ⇔
Δ y=Δ f +Δ g
Bemærk betydningen af Δ s som en kort skrivemåde for forskellen i y-værdier for den
pågældende funktion; tilsvarende gælder for funktionerne f og g. Vær opmærksom på
hvorledes hvert ”=” skal forklares med henvisning til definition eller regel.
Trin II
Δ y Δ f +Δ g Δ f Δ g
=
=
+
Δx
h
h
h
Trin III
(
)
Δy
Δ f Δg
Δf
Δg
lim
+
lim
lim
=
=
+
Δx
Δ x Δx
Δx
Δ x = f ' ( x)+ g ' ( x)
h →0
h →0
h →0
h →0
lim
Differens
Lad f og g være to differentiable funktioner. Lad d være differensfunktionen:
d ( x)=( f − g)( x) defineret som d ( x)= f ( x)−g ( x) . Så er
d ' (x )= f ' (x )−g ' ( x )
Differentialregning og integralregning
12
Bevis
Bevises fuldstændigt som for sumfunktionen.
Produkt af reelt tal og funktion
Lad f være en differentiabel funktion og t et reelt tal. Lad k være funktionen:
k ( x)=(t⋅f )( x) defineret som k ( x)=t⋅ f ( x) . Så er
k ' (x )=t⋅f ' ( x)
Bevis
Bevises tilsvarende som for sumfunktionen.
Produkt af to funktioner
Lad f og g være to differentiable funktioner. Lad p være produktfunktionen:
p ( x )=( f ⋅g )(x) defineret som
p (x )= f ( x )⋅g ( x) . Så er
p ' ( x)= f ' ( x)⋅g ( x)+ f (x )⋅g ' (x)
Bevis
Trin I
Δ y=Δ p= p( x+h)− p( x+h)= f ( x+h)⋅g (x+h)− f ( x )⋅g ( x)⇔
Δ y= f (x+h)⋅g ( x+h)− f ( x)⋅g (x+h)+ f ( x )⋅g ( x+h)− f ( x)⋅g ( x )⇔
Δ y =[ f (x+h)− f (x )]⋅g ( x+h)+ f (x)⋅[ g ( x+h)−g ( x )]⇔
Δ y=Δ f⋅g ( x+h)+ f (x )⋅Δ g
Bemærk omskrivningen i anden linje: der er indskudt to ens led med hhv. fortegnene
minus og plus. Dermed er hele udtrykket ikke ændret.
Trin II
Δ y Δ f ⋅g ( x+h)+ f (x )⋅Δ g Δ f
Δg
=
=
⋅g ( x+h)+ f ( x)⋅
Δx
h
h
h
Bemærk: En flerleddet størrelse divideres med et tal ved at dividere hvert af leddene
med tallet; et produkt divideres med et tal ved at dividere en af faktorerne med tallet.
Trin III
(
)
Δy
Δf
Δg
Δf
Δg
lim
⋅g ( x+h)+ f (x )⋅
lim
⋅g ( x +h) lim f (x )⋅
=
=
+
Δx
h
h
h
h
h →0
h
→
0
h
→
0
h→0
lim
Δy
Δ x = f ' ( x)⋅g ( x)+ f (x )⋅g ' (x)
h →0
lim
Differentialregning og integralregning
13
Bemærk: grænseværdien for summen er summen af grænseværdierne, grænseværdien
af produkterne er produktet af grænseværdierne.
Grænseværdierne for de enkelte faktorer er hhv.
f ' ( x) , fordi f er differentiabel,
g ( x) , fordi g er kontinuert,
f (x ) , fordi den faktor er den samme uafhængig af værdien af h
g ' (x ) , fordi g er differentiabel.
Andre polynomier
Funktionen f er givet ved: f (x )=x n
Den afledte funktion er da:
f ' ( x)=n⋅x n−1
Bevis
Sætningen bevises som et induktionsbevis: I stedet for at bevise sætningen for de
uendeligt mange hele tal 1, 2, 3 … bevises sætningen for n = 1 sammen med påstanden:
hvis sætningen er sand for n er den også sand for det næste hele tal: n+1.
(Hvis vi ved, sætningen er sand for n=1 sammen med den sidste påstand, er sætningen
også rigtig for n=1+1=2. Når sætningen er rigtig for n=2, er den også rigtig for n=3. Osv.)
Del I
Vi vil gerne vise (x 1)' =1⋅x 1−1
f (x )=x 1 er den lineære funktion med hældningskoefficienten a=1; vi har tidligere
vist, at den afledte funktion for en lineær funktion er f ' ( x)=a og i dette tilfælde er
a=1.
Dvs. at venstre side er 1.
Men højre side er 1⋅x 1−1=1⋅x 0=1⋅1=1 .
Dermed er del I bevist.
differentiation af et produkt.
Differentialregning og integralregning
14
Del II
Det antages, at sætningen er rigtig for n; dvs.
f ' ( x)=n⋅x
Lad
gælder. Vi vil vise, at sætningen også gælder for (n+1).
n−1
g ( x)= x n+1
n +1
g ' ( x)=(x )'
g ' ( x)=( x 1⋅x n )'
g ' (x )=( x 1)'⋅x n+ x 1⋅( x n) '
g ' ( x )=1⋅x n+x 1 n⋅x n−1
n
n−1+1
g ' (x )=x +n⋅x
g ' (x )=x n+n⋅x n
g ' ( x)=(n+1)⋅x n
g ' ( x)=(n+1)⋅x (n +1 )−1
hvoraf ses, at sætningen også gælder for det hele tal n+1.
Ud over almindelige regneregler, er der i beviset benyttet sætningens del I og reglen om
differentiation af et produkt.
Tangenter
Vi vil i eksemplet her finde tangenter til parablen på forskellige måder. Vi vil både benytte
forskellige teknikker (lommeregner eller GeoGebra) og se forskellige opgavetyper. Hver
x2
gang benyttes samme funktion: g ( x)= −2x−3 .
4
Type 1: kendt x-værdi
Vi vil finde tangentens ligning for den givne funktion, hvor tangenten har røringspunktet
A med x-værdien 6.
Besvarelse
y-værdien for A beregnes som:
g (6)=
62
−2⋅6−3=9−12−3=−6
4
2⋅x
−2 (jævnfør regler og tidligere resultater)
4
2⋅6
−2=1
og tangenthældningen a kan beregnes som: a=g ' (6)=
4
Dernæst findes
g ' (x )=
Tangentligningens anden parameter b findes med den sædvanlige formel for rette linjer:
b= y 1−a⋅x 1 , hvori indsættes de kendte tal:
Differentialregning og integralregning
b=−6−1⋅6=−12
Tangentens ligning er:
y=1⋅x −12
Normalt skrives hældningskoefficienten ikke,
når den er 1; her er den medtaget for at
tydeliggøre beregning og resultat.
Alternativ besvarelse
Grafen tegnes i GeoGebra; linjen x=6 tegnes.
Skæringspunktet mellem disse findes: det er
røringspunktet A.
Tangentværktøjet vælges: klik på graf og
røringspunkt og tangenten tegnes. I
algebravinduet eller på tegningen kan
tangentligningen aflæses.
Tangentens ligning: y = x - 12
Type 2: kendt y-værdi
Vi vil finde parablens tangenter i
røringspunkterne B og C med y-værdien 2.
Besvarelse
x-værdierne for B og C beregnes ved at løse ligningen:
g ( x )=2 ⇔
2
x
−2x−3=2 ⇔
4
x2
−2x−3−2=2−2 ⇔
4
2
x
−2x−5=0⇔
4
Det er en sædvanlig andengradsligning med
1
a= , b=−2, c=−5
4
1
d =4−4⋅ ⋅(−5)=9
4
x=
−(−2)± √ (9) 2±3
=
1
1
2⋅
4
2
Løsningerne er
x 1=−2 og x 2=10
15
Differentialregning og integralregning
16
De tilsvarende y-værdier er begge +2 (iflg.
opgaven):
y 1=2 og y 2=2
2⋅x
−2 de
4
respektive tangenthældninger:
Dernæst findes med g ' (x )=
a 1=
2⋅(−2)
2⋅10
−2=−3 og a2 =
−2=3
4
4
Tangentligningens anden parameter b
findes med den sædvanlige formel for rette
linjer: b= y 1−a⋅x 1 , hvori indsættes de
kendte tal:
b1=2−(−3)⋅(−2)=−4
b 2=2−3⋅10=−28
Tangentligningerne bliver så:
Tangent 1:
y=−3x−4
Tangent 2:
y=−3x−28
Tangentligningerne kunne også være fundet som før: Punkterne B og C findes som
skæringspunkter mellem grafen og linjen y=2. Derefter benyttes tangentværktøjet.
Type 3: kendt tangenthældning
Antag, at der skal findes en tangent til g med hældningen -1; x-værdien i røringspunktet
findes så ved at løse ligningen:
g ' ( x)=−1 ⇔
2⋅x
−2=−1⇔
4
2⋅x
−2+2=−1+2⇔
4
2⋅x
=1 ⇔
4
1⋅4
x=
⇔
2
x=2
y-værdien i røringspunktet findes som g(2) =
Tangentens parameter b fås så som
b=−5−(−1)⋅2=−3
Tangentens ligning er : y = -x -3
22
−2⋅2−3=1−4−3=−5
4
Differentialregning og integralregning
17
Med GeoGebra findes først g'(x); denne skæres med linjen y=-1; i skæringspunktet (S) er xværdien også røringspunktets x-værdi. Røringspunktet kan findes som (x(S),f(x(S))).
Derefter løses opgaven som i de foregående eksempler.
Øvelser
I de følgende øvelser skal du benytte en notation for funktioner og afledte funktioner med
parenteser som vist i følgende eksempel:
f (x )=x 2=( x 2 )
f ' ( x)=(x 2)' =2⋅x
Du skal differentiere nedenstående funktioner og vise alle mellemresultater med angivelse
af den regel, du har anvendt som i dette vejledende eksempel:
f ( x )=3⋅x 2−4
Reglen for differensfunktioner
f ' ( x)=(3⋅x 2−4) '=(3⋅x 2)' −(4)'
2
Afledt funktion for konstant funktion
f ' ( x)=(3⋅x ) '−0
2
Reglen om produkt af reelt tal og funktion
f ' ( x)=3⋅( x ) '
2−1
Reglen om polynomier (n-reglen)
f ' ( x)=3⋅2⋅x
1
Beregnet produktet 3*2=6 og differensen 2-1=1
f ' ( x)=6⋅x
f ' ( x)=6 x
Almindelig skrivemåde: multiplikationstegn og 1
er her usynlige!
1.
2.
3.
4.
5.
6.
f ( x )=6⋅x 5−e x
g ( x)=3⋅ln( x)
h ( x)=2 x 2⋅(5− x 2)
j ( x )=5⋅5 x
k ( x)=−3 e 2x
m( x)= √ x⋅x 2
√x
7. n ( x )=
x
8. o( x)=e x⋅ln( x )
3
9.
p ( x )=ln ( x )
10. q ( x )=3⋅3 x⋅x 3
Kontroller dine svar med GeoGebra. Bemærk, at for en del af opgaverne er der flere
relevante løsningsmetoder.
Differentialregning og integralregning
18
Funktioners monotoniforhold og ekstrema
Opgaven går ud på at beskrive, i hvilke dele af funktionens definitionsmængde den er
voksende hhv. aftagende.
Der benyttes følgende definition:
f er en voksende funktion (i et interval), hvis
x 1< x 2 ⇒ f ( x 1)< f ( x 2)
f er en aftagende funktion (i et interval), hvis
x 1< x 2 ⇒ f ( x 1) f ( x 2)
Monotonisætningen
Hvis
f ' ( x)>0 for alle x i et interval, så er
f ( x ) voksende i intervallet
Hvis
f ' ( x)<0 for alle x i et interval, så er
f (x ) aftagende i intervallet
Hvis
f ' ( x)=0 for alle x i et interval, så er
f (x ) konstant i intervallet
Den omvendte monotonisætning
Hvis f ( x ) er differentiabel og voksende i et interval, er
f ' ( x)≥0
Hvis f ( x ) er differentiabel og aftagende i et interval, er
f ' ( x)≤0
Lokale extrema
Hvis f ( x ) er differentiabel og fortegnsvariationen for f ' ( x) omkring
har f et lokalt maksimum i x 0 og omvendt.
x 0 er ” + 0 -”
Hvis f ( x ) er differentiabel og fortegnsvariationen for f ' ( x) omkring
har f et lokalt minimum i x 0 og omvendt.
x 0 er ” - 0 +”
Hvis f ( x ) er differentiabel og fortegnsvariationen for f ' ( x) omkring x 0 er ” + 0 +”
er f voksende i et interval rundt om x 0 og har en vandret vendetangent i x 0 og
omvendt.
Hvis f ( x ) er differentiabel og fortegnsvariationen for f ' ( x) omkring x 0 er ” - 0 -”
er f aftagende i et interval rundt om x 0 og har en vandret vendetangent i x 0 og
omvendt.
Sætningerne benyttes til at beskrive monotoniforholdene for funktioner som i
nedenstående eksempel.
Differentialregning og integralregning
19
Eksempel på undersøgelse af monotoniforhold
Eksamensopgave 10, a og b, maj 2012 gl-Matematik B
En funktion f er givet ved
4
2
f ( x )=x −2 x +4
a) Løs f ' ( x)=0
b) Bestem monotoniforholdene for f
Besvarelse
Ligningen løses
Forskriften indtastes i GeoGebra og den afledte funktion findes (ved indtastning af
f ' ( x) )
Skæringspunkter mellem grafen for f' og x-aksen findes, hvoraf ses, at løsningsmængden
til ligningen f ' ( x)=0 er:
L={-1 ; 0; 1}
På tegningen ses løsningerne, og da et 3.
gradspolynomium højst har 3 rødder, er L
den fuldstændige løsning.
Monotoniforhold bestemmes
På figuren til højre ses informationen om
f ' ( x) :
x<-1 x=-1 -1<x<0 x=0 0<x<1 x=1 x>1
f'(x)
-
0
f(x)
aft
lok
mi
+
0
-
0
voks lok aft. lok voks
mx
mi
som fører til udsagnet om f.
I ] −∞ ; -1 ] aftager f
I ] -1 ; 0 ] vokser f
I ] 0; 1 ] aftager f
I ] 1 ; ∞ ] vokser f
•
+
Løs opgaven uden hjælpemidler
Differentialregning og integralregning
20
Optimering
Fugleburet
Hr. Mortensen vil indrette et
fuglebur til sine undulater som et
rektangulært rum. Han har 15 m
trådnet med en højde, der netop
når fra gulv til loft; det skal udgøre
2 eller 3 af siderne sammen med de
murede vægge. De murede vægge
udgør altså 2 af rektanglets sider –
evt. sammen med en del af
trådnettet. Disse består af en mur på 3 m (BC på figuren) som står vinkelret på en lang
mur (mere end 15 m).
Opgaven:
•
Bestem målene på AB og AE, så rektanglet ABDE får det størst mulige areal.
•
Beregn dette areal.
Besvarelse
Lad x = |AE| og y = |AB| = |ED|
(idet modstående sider i et rektangel er lige store)
Betegnes længden af siderne med trådnet som L, fås
L = x + y +(x-3) = 2 x + y – 3
(idet vi forudsætter at alle 3 m af den korte mur
indgår i omkredsen)
Hvis alt nettet benyttes, fås:
L=15⇔
2 x+ y−3=15⇔
2 x + y−3−2 x+3=15−2 x +3⇔
y=18−2 x
Fugleburets areal er A, og da der er tale om et rektangel fås
A= x⋅y
Da der er 15 m trådnet til rådighed, kan y 18 – 2x indsættes:
A= x⋅y ⇔
A= x⋅(18−2 x )⇔
A=18 x−2 x 2 ⇔
Differentialregning og integralregning
21
På figuren er tegnet grafen for
arealfunktionen A(x) (blå) og grafen
for den afledte funktion A' (lilla,
stiplet). Denne skærer x-aksen i
(4,5 ; 0); dvs. det tilsvarende
toppunkt er i (4,5 ; A(4,5)) =
(4,5 ; 40,5).
Både af parablens udseende og
fortegnsvariationen for A' (+ 0 -) ses,
at A har et lokalt maksimum for
x=4,5. Da der ikke er andre ekstrema, er der tale om en størsteværdi.
Længden af AE skal være 4,5 m
Længden af |AB| er 9,0 m
Arealet af ABDE er 40,5 m2
Ordrestørrelser
I firmaet FaliaA/S importeres produktet NOGO fra Megapolis. Firmaet har et salg af
produktet, der fordeler sig jævnt over hele året.
Nogle af omkostningerne ved køb og salg af produktet, knytter sig til ordrestørrelsen.
Hver gang, der afgives en ordre koster det kr. 900 (til fragt, personaleomkostniner mv.)
Yderligere er der omkostninger til lager beregnet til kr. 25 pr. enhed pr år. (til forrentning
og betaling af lagerplads.)
Der regnes med et salg på 2000 enheder pr. år. Det forudsættes, at man kan afgive ordrer
der vil ankomme hos Falia A/S præcis når lageret er tomt.
•
Bestem den optimale ordrestørrelse
Besvarelse
Lad x være ordrestørrelsen (antal enheder); så afgives der 2000/x ordrer pr. år a kr. 900.
Lad f(x) være de årlige omkostninger ved ordrestørrelsen x (i kroner)
f (x )=
2000
⋅900
x
Lad g(x) være de årlige omkostninger ved at holde lager (i kroner). Da lageret varierer
mellem x og 0, vil det i gennemsnit være x/2 i løbet af et år og omkostningerne bliver:
x
g ( x)= ⋅25
2
De samlede omkostninger (der er afhængige af ordrestørrelsen), er
h ( x)= f (x )+g ( x)
Differentialregning og integralregning
22
De tre funktioner er vist her:
Den optimale ordrestørrelse fås, hvor h'(x) = 0. Der er kun en løsning, og det indses nemt,
at der er tale om et minimum, da fortegnsvariationen for h' er -0+.
Heraf ses, at den optimale ordrestørrelse er 379 enheder pr. ordre.
Bemærk,
•
at h'(x) = 0 medfører at
•
at
•
Overvej hvorfor!
f ' ( x)=−g ' ( x)
f ' ( x)=−g ' ( x ) medfører
f (x )=g ( x)
Differentialregning og integralregning
23
Integration
At integrere en funktion f vil sige at finde en / de funktion(er), der differentieret er lig
med f.
Resultatet kaldes ”det ubestemte integral” og skrives således:
∫ f (x ) dx=F (x )+k
hvor F ' ( x)= f ( x)
Det langstrakte s og symbolet dx betyder blot, at funktionen skal integreres. F(x) er en
vilkårlig funktion, der opfylder betingelsen i 2. linje. Alle sådanne funktioner kaldes
stamfunktioner. Der er tilføjet ”+k” fordi alle andre funktioner, der differentieret er lig
med f, kan fås ved at lægge en konstant til en tilfældig stamfunktion.
Et eksempel:
x3
2
x
dx
=
+k
∫
3
Kontroller påstanden ved at vælge et tilfældigt tal for k; differentier højresiden. Resultatet
skal være x 2 .
Sætninger om integration
Det kan let vises, at der findes tilsvarende sætninger om integration som om
differentiation:
∫( f +g )(x )dx=∫ f ( x )dx+∫ g ( x)dx
og tilsvarende for differensen .
∫(t⋅ f )( x )dx=t⋅∫ f (x ) dx
hvor t er et tal.
Differentialregning og integralregning
24
Det bestemte integral
Sætning 2 3
Givet en voksende kontinuert funktion f(x), hvor f(x) > 0 (for alle x-værdier i DM)
gælder, at arealet mellem graf og x-akse begrænset af linjerne x = a og x = b er
b
ò f ( x)dx = F (b) - F (a)
a
hvor F er en vilkårlig stamfunktion til f.
Bevis
Lad os antage, at der findes en arealfunktion A(x), der for ethvert x0 > a Ù x0 Î DM
beregner arealet mellem graf og x-akse begrænset af linjerne x = a og x = x0
Beregning af A'(x)
Vi benytter nu tretrinsreglen til at finde A’(x0):
Trin I: Beregning af y-tilvækst
Δ y er defineret som forskellen mellem to y-værdier (for arealfunktionen):
Dy = A( x0 + h) - A( x0 ) , hvor h som sædvanlig er den lille ændring i x-værdien
På næste side kan du se Δ y som størrelsen af det lilla farvede areal; A( x0 + h) er jo
størrelsen af hele det farvede areal (både blåt og lilla), A( x0 ) er tilsvarende størrelsen af
det blå areal.
2
Sætningen kan udvides til at gælde flere funktioner, men bevises i denne version for ikke at komplicere
beviset.
3 Venstresiden med integraltegnet mv. er defineret af højresiden; bemærk at valget af stamfunktion ingen
betydning har: de giver alle samme resultat.
Differentialregning og integralregning
25
Vi har endnu ikke en teknik til at beregne Dy , men vi kan finde både en overgrænse og
en undergrænse for arealets størrelse.
Det forudsættes stiltiende, at h > 0; er h < 0 ændres argumentationen, men det endelige
resultat bliver det samme.
Det er klart, at det grønne rektangels areal er mindre end Dy , idet bredden er h og
højden er f ( x0 ) . Da f er voksende, er højden den mindste funktionsværdi i [ x0 ; x0 + h ] .
Ligeledes er det klart, at det brune rektangels areal er større end Dy , idet bredden er h
og højden er f ( x0 + h) . Da f er voksende, er højden den største funktionsværdi i
[ x0 ; x0 + h] .
Derfor gælder denne dobbeltulighed:
" Grønt - areal " £ Dy £ " Brunt - areal " Û
f ( x0 ) × h £ Dy £ f ( x0 + h) × h
Trin II: Beregning af sekanthældning
Sekanthældningen for arealfunktionen er
Δy Δy
=
. Derfor gælder:
Δx
h
f ( x 0)⋅h Δ y f ( x 0+h)⋅h
≤
≤
⇔
h
Δx
h
Δy
f (x 0 )≤
≤ f ( x 0+h)
Δx
Trin III: Beregning af tangenthældning
Tangenthældningen er grænseværdien af sekanthældningen for h gående mod 0:
Δy
lim f ( x 0)≤lim
≤lim f (x 0+h)⇔
Δx
f ( x 0)≤ A' ( x 0)≤ f (x 0)⇔
A' ( x 0)= f ( x 0)
Det følger af kontinuiteten for f, at
lim f ( x 0+h)= f (x 0 ) og dermed skal A'(x0) både være større og mindre end f(x0),
hvorfor
A ' ( x 0 )= f (x 0 )
Differentialregning og integralregning
26
Beregning af A(x)
Heraf følger, at arealfunktionen er én af stamfunktionerne til f. Lad F(x) være en vilkårlig
stamfunktion til f. Så gælder, at
A( x)= F ( x)+k
Da A( a)=0 fås
A(a )=F ( a)+k ⇔
k = A(a )−F (a)=0− F ( a)=−F (a )
Hermed er arealfunktionens forskrift:
A( x)= F ( x)−F ( a)
Beregning af arealet fra a til b
For at finde netop det søgte areal mellem linjerne x=a og x=b indsættes b i
arealfunktionen:
A(b)=F (b)−F (a)
hvor det bemærkes, at F er en vilkårlig stamfunktion. Havde vi valgt en anden
stamfunktion, ville begge led ændre sig lige meget og forskellen forblive den samme.
Som skrivemåde for dette udtryk benyttes integrationstegnet vist herunder med
grænserne tilføjet. Udtrykket betegnes ”det bestemte integral af f(x) fra a til b” og
beregner her et areal.
b
ò f ( x)dx = F (b) - F (a)
a
Eksempel: Eksamensopgaven 14 a, stx B, maj 1991
En funktion f(x) er bestemt ved
f (x )=x (k −x ) ,
hvor k er et positivt tal. Grafen for f afgrænser sammen med
koordinatsystemets førsteakse en punktmængde M, der har et areal.
a) Skitsér for k = 10 området M, og bestem arealet af M.
b) Bestem tallet k, når det oplyses, at arealet af M er 100.
Besvarelse
Grafen for f tegnes med Geogebra
Grafen tegnes med kommandoerne:
k = 10 og
f(x) = x(k - x)
For at finde det søgte areal,
findes skæringspunkter
mellem førsteaksen og gra-
Differentialregning og integralregning
fen med skæringsværktøjet. (Punkterne er A og B.) Da grafen ligger over/på x-aksen,
findes arealet som det bestemte integral beregnet med GeoGebra:
M markeres og arealet beregnes med Geogebra
På figuren herunder er M det
brune område.
x(B )
Areal(M) =
∫
f (x )dx=166,7
x( A)
Bestem k
Konstanten k kan ændres
med en skyder (se figuren);
arealet M er en voksende
funktion af k, og
M(8,43) = 99,85,
M(8,44) = 100,20
k er derfor et tal mellem 8,43
og 8,44 som afrundes til 8,43.
Arealet af M = 100 for k = 8,43
Besvarelse II (uden hjælpemidler)
Grafen for f skitseres og M
markeres
Af nulreglen ses, at funktionens
nulpunkter er hhv. 0 og k.
Da f er et andengradspolynomium, er er grafen en parabel
med et toppunkt, hvor x-værdien
27
Differentialregning og integralregning
28
ligger midt i mellem nulpunkterne.
k k
k
T= , ⋅ k−
⇔
2 2
2
( ( ))
( )
2
k k
,
2 4
Når k = 10 kan grafen skitseres med støttepunkterne (0,0) , (10,0) og (5,25).
På figuren er grafen for f den blå parabel og M det brune område under parabelen.
Arealet beregnes
Da f (x )≥0 for x ϵ [0 , k ] , fås arealet
T=
k
M (k )=∫ f ( x)dx ⇔
a
k
M (k )=∫ x ( k− x)dx ⇔
a
k
M (k )=∫ (kx −x 2 ) dx ⇔
a
k
[
]
k⋅x 2 x3
M ( k )=
−
⇔
2
3 0
(
M ( k )=
)(
( )
( )
)
k⋅k 2 k 3
k⋅02 03
−
−
−
⇔
2
3
2
3
3
M ( k )=
M ( k )=
3
k k
−
−(0−0)⇔
2 3
k3 k3
−
−(0−0)⇔
2 3
k3
M (k )=
6
Idet k = 10, fås
M =166
2
3
Beregn k
Sammenhængen mellem M og k er fundet som M ( k )=
Derfor løses ligningen:
M (k )=100 ⇔
k3
=100 ⇔
6
k 3=600⇔
3
k = √ 600 ⇔
k=8,4343
k = 8,43
k3
.
6
Differentialregning og integralregning
29
Differentiation og integration – et overblik
Lad der være givet en differentiabel funktion f.
Differentialkvotient
For et bestemt tal x 0 kan vi så finde f ' ( x 0) som er et tal, nemlig
hældningskoefficienten for tangenten i (x 0, f ( x 0 )) .
Den afledte funktion
Sammenhængen mellem alle mulige værdier i DM(f ) og de tilsvarende
differentialkvotienter er: den afledte funktion, som betegnes f' .
Notation
Hvis f(x) = 3x +5 er f' (x) = 3; i stedet skrives ofte: (3x +5)' = 3
Sprogbrug: differentiere og integrere
At finde den afledte funktion (givet f ), kaldes ”at differentiere”.
Den ene figur herunder viser symbolsk mængden af alle funktioner, der er differentiable.
De 3 røde elementer er markeret som eksempler på de uendeligt mange funktioner, der
tilhører mængden. De sorte linjer viser så over til den afledte funktion i den anden
mængde. Bemærk, at nogle funktioner har samme afledte funktion, nogle har forskellige.
Differentiable funktioner
Afledte funktioner
At gå den anden vej kaldes ”at integrere” eller ”at finde en stamfunktion”. Af
bemærkningerne ovenover ses, at der ikke kun er ét svar. I virkeligheden er der uendeligt
mange svar.
En stamfunktion og det ubestemte integral
Lad der være givet en kontinuert funktion f. Så kaldes F en stamfunktion, hvis
F ' ( x)= f ( x)
Man kan vise, at alle de andre stamfunktioner f har kan skrives som F (x)+k
Differentialregning og integralregning
30
At finde mængden af alle funktioner, der er stamfunktioner til f kaldes at finde det
ubestemte integral til f og skrives:
∫ f ( x ) dx=F (x )+k
Det bestemte integral
Det bestemte integral er ikke en funktion, men et tal. For at beregne det vælges én af
stamfunktionerne (og det vises nemt, at resultatet bliver det samme ligegyldigt hvilken af
stamfunktionerne man vælger). Resultatet skrives med symbolet herunder og beregnes
som vist:
b
∫ f (x )dx=F (b)−F ( a)
a
Formel for tangentligning og generelle differentiationsregler
Differentialregning og integralregning
31
Formler for differentiation af bestemte funktioner
Lineære funktioner
(----)
a x+b
a
Differentialregning og integralregning
32
Formler for integration af bestemte funktioner
Konstante funktioner
(----)
k
Regneregler for integration
∫ ( f (x )+g ( x)) dx=∫ f (x )dx+∫ g ( x)dx
∫ ( f (x )−g ( x)) dx=∫ f (x )dx−∫ g ( x)dx
∫ ( k⋅ f ( x)) dx=k⋅∫ f ( x)dx
Helt tilsvarende regler gælder for bestemte integraler:
b
b
b
∫ ( f (x )+g ( x)) dx=∫ f ( x ) dx+∫ g ( x) dx
a
b
a
b
a
b
∫ ( f (x )−g ( x)) dx=∫ f ( x ) dx−∫ g ( x) dx
a
a
a
b
b
∫ ( k⋅ f ( x)) dx=k⋅∫ f ( x)dx
a
a
Endelig gælder også indskudsreglen:
b
c
b
∫ f ( x)dx=∫ f ( x) dx+∫ f ( x) dx
a
a
c
kx