1. No category

Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Differentialregning
Emneopgave - Matematik A
GSK
Sommer 2011
Side 1 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Indhold
Anvendelse af differentialregning ..................................................................................................................... 3
Differentialkvotient ........................................................................................................................................... 4
Oversigt over regneregler.................................................................................................................................. 5
Grundprincippet ................................................................................................................................................ 5
Gennemgang af beviset for differentiation af produktet af to funktioner ....................................................... 7
Gennemgang af bevis for differentiation af brøkfunktion ................................................................................ 8
Differentialregningens anvendelse i en standard funktionsanalyse ................................................................. 9
Gennemførelse af standard funktionsanalyse. ............................................................................................... 11
Definitionsmængden ........................................................................................................................... 11
Skæringspunkter med x aksen/ nulpunkter ........................................................................................ 11
Fortegnsvariation for f(x)..................................................................................................................... 11
Monotoniforhold ................................................................................................................................. 11
Ekstrema for f ...................................................................................................................................... 12
Værdimængde for f ............................................................................................................................. 12
Graf for funktionen f(x)=x3-9x , x
[-2;4] .................................................................................................. 13
Side 2 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Anvendelse af differentialregning
Differentialregning anvendes til at finde hældningen i et bestemt punkt x til en funktion.
Differentialregning kan bruges til at bestemme monotoniforhold, vendetangenter, ekstrema osv.
I praksis bruges differentialregning til mange forskellige ting, hvilket ses i følgende eksempler.
Eks 1. Hastighed:
På grafen til venstre ses at hvis f er tilbagelagt vej som
funktion af tiden, er f´ netop hastigheden i punktet x.
Differentialregning har desuden stor betydning i økonomiske spørgsmål, idet man ofte gerne vil
finde et optimalt udbytte af en funktion.
Eks 2.
På ovenstående figur ses høstudbyttet, som en funktion f af en produktionsfaktor x
(kunstgødning). Når f´(x)=0 får vi det bedste høstudbytte.
Side 3 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Differentialkvotient
På nedenstående figur ses grafen for en funktion f, dens sekant og tangent i punktet (x, f(x)). Målet
med at bestemme differentialkvotienten er, at vi derved kan finde forskriften, (og dermed
hældningen) til tangenten, altså den differentierede funktion af f.
Sekanten er en ret linje, som skærer grafen i to punkter. Vi kan ikke finde hældningen til
tangenten, idet vi kun har et punkt. Vi indtegner sekanten for at vise, at tangenten opstår som
grænsen for sekanten, når h  0.
Differenskvotienten (= sekantens hældningskoefficient), findes vha. følgende formel:
as 
f ( x  h)  f  x 
h
Hvis vi lader h gå mod 0, nærmer sekanten sig tangenten, og vi kan definere
differentialkvotienten, som den grænseværdi, som differenskvotienten nærmer sig til, når h
nærmer sig 0.
Dette kan skrives:
Side 4 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
f ( x) 
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
lim
f ( x  h)  f  x 

h0
h
Oversigt over regneregler
Den ikke differentierede
Den differentierede
f ( x)  ax 2
f ( x)  a
f ( x)  2ax
f ( x)  x n
( f  g )( x)
f ( x)  nx n1
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)
f ( x)  e x
f ( x)  e x
1
f ( x) 
x0
x
f ( x)  a x  ln a
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)
(k  f )( x) = k  f (x)
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
( f ( g ( x)))  f ( g ( x))  g ( x)

f
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
  ( x) 
( g ( x)) 2
g
f ( x)  ax  b
f ( x)  ln( x)
x0
f ( x)  a x
( f  g )( x)
(k  f )( x)
( f  g )( x)
( f  g )( x)  f ( g ( x))
f
g
Grundprincippet
I de efterfølgende afsnit kalder vi ∆x for h.
Grundprincippet i beviserne er, at man indsætter funktionen i formlen:
f ( x) 
lim f ( x  h)  f ( x)
h0
h
Sætning 1.
Funktionen f, givet ved:
har differentialkvotient:
Side 5 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Bevis:
f ( x) 
lim a( x  h)  b  (ax  b)
h0
h
minus parentesen hæves, og a ganges ind i parentesen
f ( x) 
lim ax  ah  b  ax  b
h0
h
f ( x) 
lim ah
lim

aa
h0 h h0
Så differentialkvotienten er altså a. a er hældningen på en ret linje.
Sætning 2:
Funktionen f, givet ved:
Har differentialkvotienten:
Bevis:
f ( x) 
lim a( x  h) 2  ax 2
h0
h
f ( x) 
lim a( x 2  h 2  2 xh)  ax 2
h0
h
f ( x) 
lim ah 2  2axh
h0
h
f ( x) 
lim
ah  2ax  2ax
h0
f ( x) 
lim a( x  h) 2  ax 2
h0
h
Så differentialkvotienten er altså 2ax
Side 6 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Gennemgang af beviset for differentiation af produktet af to funktioner
Sætning:
Funktionen f er givet ved:
(f∙g)(x)
Og har differentialkvotienten: (f∙g)´(x) = f´(x) ∙ g(x) + f(x) ∙ g´(x)
Bevis:
( f  g )( x) 
lim  f  g x  h    f  g ( x)
h0
h
( f  g )( x) 
lim f x  h   g x  h   f x   g x 
h0
h
f(x+h) ∙ g(x) lægges nu til og trækkes fra igen.
( f  g )( x) 
lim f x  h   g x  h   f x   g x   f x  h   g x   f x  h   g x 
h0
h
Der rykkes rundt på leddene
( f  g )( x) 
lim f x  h   g x  h   f x  h   g x   f x  h   g x   f ( x)  g ( x)
h0
h
f(x+h) sættes udenfor en parentes, og g(x) sættes uden for en parentes.
( f  g )( x) 
lim f ( x  h)( g ( x  h)  g ( x)) g ( x)( f ( x  h)  f ( x))

h0
h
h
f(x+h) og g(x) rykkes ned.
( f  g )( x) 
lim 
lim 
g ( x  h)  g ( x ) 
f ( x  h)  f ( x ) 
 f ( x  h) 

 g ( x)
 Vink:
h  0
h
h
 h  0

Da f er kontinuert er:
( f  g )( x)  f ( x) 
lim  g ( x  h)  g ( x) 
lim  f ( x  h)  f ( x) 

  g ( x) 


h  0
h  0
h
h


Side 7 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)
Så kan vi nu bytte rundt på leddene, så de står som i vores påstand:
( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
Differentialkvotienten til et produkt af to funktioner er givet ved, den første differentieret gange
den anden udifferentieret plus den første udifferentieret gange den anden differentieret.
Gennemgang af bevis for differentiation af brøkfunktion
Sætning:
Funktionen f er givet ved:
f
f ( x)
 ( x) 
g ( x)
g
og har differentialkvotienten:

f
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
  ( x) 
( g ( x)) 2
g
Bevis:
f
 
g

f ( x  h) f ( x )

lim g ( x  h) g ( x)
( x) 
h0
h
Tælleren sættes på fælles brøkstreng. Der forlænges med g(x) og g(x+h).
f
 
g

f ( x  h)  g ( x )  f ( x )  g ( x  h)
lim
g ( x  h)  g ( x )
( x) 
h0
h
Vi omskriver brøken:

lim f ( x  h)  g ( x)  f ( x)  g ( x  h)
f
  ( x) 
h0
g ( x  h)  g ( x )  h
g
Man kan lægge til og trække fra som man vil. Så her lægger vi f(x)g(x) til og trækker dem fra igen.
Side 8 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel

lim f ( x  h)  g ( x)  f ( x) g ( x)  f ( x)  f ( x  h)  f ( x) g ( x)
f
  ( x) 
h0
g ( x  h)  g ( x )  h
g
Så finder vi fælles faktorer som her er g(x) og f(x), og sætter dem uden for en parentes.

lim g ( x)( f ( x  h)  f ( x))  f ( x)( g ( x  h)  g ( x))
f
  ( x) 
h0
g ( x  h)  g ( x )  h
g
Vi dele med h i både nævner og tæller
f
 
g

lim g ( x)
( x) 
h0
f ( x  h)  f ( x )
g ( x  h)  g ( x )
 f ( x)
h
h
g ( x  h)  g ( x ) 
Vi evaluerer grænseværdien af hvert led og sætter lim ind foran de to brøker i tælleren og i nævneren. Da
g(x) og f(x) ikke ændres når h0.

f
  ( x) 
g
Da vi ved at
g ( x)
lim f ( x  h)  f ( x)
lim g ( x  h)  g ( x)
 f ( x)
h0
h0
h
h
lim
g ( x  h)  g ( x ) 
h0
f ( x) 
lim
f ( x  h)  f  x 

h0
h
kan vi udskifte udtrykket med f´(x) og g´(x).
Da g er kontinuert er:
og derfor er:
og vi får :

f
g ( x)  f ( x)  f ( x)  g ( x)
  ( x) 
( g ( x)) 2
g
Differentialkvotienten til en brøkfunktion er altså nævneren udifferentieret gange tælleren differentieret
minus tælleren udifferentieret gange nævneren differentieret, det hele divideret med nævneren i anden.
Side 9 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Differentialregningens anvendelse i en standard funktionsanalyse
Funktionsanalyser beskriver i hovedtræk en funktion f’s karakteristika i form af følgende oplysninger:








Definitionsmængden for f, Dm (f).
o Grafens udstrækning målt på x-aksen.
Nulpunkter for f.
o Skæringspunkter med x-aksen.
Fortegnsvariation for f.
o Beskrivelse af grafens beliggenhed i forhold til x-aksen.
Monotoniforhold for f.
o Beskriver hvornår f er voksende eller aftagende.
Globale og lokale ekstrema for f.
o Punkter på grafen, som ligger højest eller lavest (maksimum eller minimum).
Vendetangent-punkter for f
o Punkter på grafen, hvor krumningen skifter fra konkav (f’(x) er aftagende) til konveks (f’(x)
er voksende) eller omvendt. En vendetangent skærer desuden igennem grafen i
røringspunktet. Vendetangenten findes ved at finde den dobbelte afledtes f´´(x)
nulpunkter.
Værdimængde for f, Vm(f).
o Grafens udstrækning målt på y-aksen
Evt. asymptoter bestemmes ved brøkfunktioner
o Dvs. rette linier, som grafen f nærmer sig til. Der findes lodrette, vandrette og/eller skrå
asymptoter.
Differentialregningen i funktionsanalysen anvendes, når vi ved beregning ønsker at bestemme
monotoniforhold, ekstrema og vendetangenter, da den grafiske metode ofte er for upræcis.
Formålet med at bestemme ovenstående karakteristika er, at de anvendt i økonomiske problemtyper bl.a.
kan fortælle os noget om produktions-, omkostnings- og overskudsfunktioner, herunder
gennemsnitsprodukt, grænseprodukt (GP), de samlede enhedsomkostninger (SE), de variable
enhedsomkostninger (VE), grænseomkostningerne (GROMK), den langsigtede og den kortsigtede
prisundergrænse mm.
Side 10 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Gennemførelse af standard funktionsanalyse.
, x   2 : 4
f ( x)  x 3  9 x
 Definitionsmængden
Dm( f )   2 : 4
 Skæringspunkter med x aksen/ nulpunkter
f ( x)  0
x3  9x  0


x  x2  9  0
Nulreglen benyttes:
x0
.
x2  9  0
d  (0) 2  4  1  9
d  36
0  36
2 1
x3 
x  3
x
x=-3 kasseres da den ligger uden for vores Dm( f )   2 : 4
 Fortegnsvariation for f(x)
I intervallet [-2;0] på x aksen er f(x) > 0
I intervallet [0;3] på x aksen er f(x) < 0
I intervallet [3;4] på x aksen er f(x) > 0
 Monotoniforhold
først differentieres f(x) til f ’(x) = 3x 2  9
f ( x)  0
3x 2  9  0
3x 2  9
x2  3
x 3
Side 11 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
f er voksende i [-2;-√3+
f er aftagende i [-√3;√3+
f er voksende i *√3;4+
 Ekstrema for f
Af monotoniforholdene for f, kan vi finde:
f(-√3)=(-√3)3-9∙(-√3)
f(-√3)=10,4
Så vi har et lokalt maksimum i (-√3,10,4)
f(√3)=(√3)3-9∙(√3)
f(√3)= -10,4
Så vi har lokalt (og globalt) minimum i (√3,-10,4)
 Værdimængde for f
Vm(f)=[-10,4;28]
Det globale minimum for grafen er f(√3) = -10,4, og Det globale maksimum for grafen er
f(4)=28
 Vendetangenten
Vi finder vendetangenten ved at finde den dobbelte afledtes nulpunkter:
X har altså vendetangent i punktet (0,0)
Side 12 af 13
21-07-2011
Emneopgave 2011
Matematik A
GSK- HHX
Maria, Stine, Mikkel
Graf for funktionen f(x)=x3-9x , x [-2;4]
Side 13 af 13
21-07-2011