1. No category

JF Kennedy Arkaden
KONSTRUKTION
De konstruktionsmæssige problemstillinger i forbindelse med opførelsen af Arkaden er beskrevet i hovedrapportens kapitel 2-5. Bilaget danner grundlag for enkelte konstruktionsområder i forbindelse med byggeriet af Arkaden. Der er behandlet bygningens samlede stabilitet, dimensionering af forspændt TT dæk, samt dimensionering
af samlingerne langs etageadskillelser og mellem dækelementer .
K1. LASTER ............................................................................................................................................................3
1.1
1.2
1.3
1.4
EGENLASTER ...........................................................................................................................................6
NYTTELASTER .........................................................................................................................................7
VINDLAST ...............................................................................................................................................7
SNELAST..................................................................................................................................................9
K2. BYGNINGENS TOTALSTABILITET........................................................................................................11
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
STABILITET FOR 1. – 6. ETAGE...............................................................................................................12
INERTIMOMENT FOR HELE BYGNINGEN .................................................................................................13
FORSKYDNINGSCENTERETS PLACERING ................................................................................................16
VRIDNINGSSTIVHED ..............................................................................................................................18
VRIDNINGSMOMENT..............................................................................................................................19
LASTFORDELING ...................................................................................................................................21
BEREGNING AF NORMALSPÆNDINGER VED FUNDAMENT ......................................................................24
BEREGNING AF FORSKYDNINGSSPÆNDINGER VED FUNDAMENT ...........................................................26
BEREGNINGER FOR TÅRNETS 7. OG 8. ETAGE ........................................................................................34
NORMAL- OG FORSKYDNINGSSPÆNDINGER FOR VIND FRA ØST ............................................................49
NORMAL- OG FORSKYDNINGSSPÆNDINGER MED VIND FRA NORD.........................................................61
K3. DETAILDIMENSIONERING AF TT DÆK ..............................................................................................68
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
ETAGEDÆK OVER PREMIEREBIOGRAF ...................................................................................................68
BEREGNINGSFORUDSÆTNINGER............................................................................................................71
DIMENSIONERING AF LÆNGDEARMERING .............................................................................................74
SVIND, KRYBNING OG RELAXATION ......................................................................................................82
FORSKYDNINGSARMERING ....................................................................................................................87
VEDERLAGSTRYK ..................................................................................................................................90
ARMERING AF FLANGE ..........................................................................................................................91
SPALTEARMERING .................................................................................................................................95
NEDBØJNING AF TT DÆK ....................................................................................................................100
BRAND ................................................................................................................................................103
K4. SAMLINGER AF BETONELEMENTER ................................................................................................115
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
MATERIALEPARAMETRE OG SIKKERHEDSKLASSE ...............................................................................117
RANDARMERING EFTER PUNKT I .........................................................................................................117
RANDARMERING EFTER PUNKT II........................................................................................................118
ARMERING MELLEM VÆGELEMENTER EFTER PUNKT III......................................................................118
RANDARMERING EFTER PUNKT IV ......................................................................................................119
FASTLÆGGELSE AF RANDARMERING MHT. PUNKT I, II OG IV .............................................................120
ARMERING MELLEM DÆKELEMENTER, V............................................................................................120
ARMERING I HJØRNE AF ETAGEDÆK ....................................................................................................125
Side 1
K1. Laster
Side 2
JF Kennedy Arkaden
K1. Laster
På Figur 1.1 ses en skitse af Arkaden set fra sydøst. En mere detaljeret oversigt over bygningen fremgår af Tegningerne 101 –106 i tegningsmappen.
Figur 1.1 Busterminalens geometriske udformning. Skitse ikke i mål
Til bestemmelse af de dimensionsgivende laster, er der for hver etagedæk foretaget en optegning af lokaleinddelingen og etagedækkenes spændretning. På de efterfølgende figurer fremgår lokaleindeling til venstre og spændretningen af etagedækkene til højre. For spændretningsfigurerne er en fuldoptrukken linie en bærende væg (skive), mens en stiplet linie betyder,
at etagedækket her bæres af et bjælke søjlesystem. Skravering foretages, hvor der ikke er etagedæk på den pågældende etage.
Etage 8:
Figur 1.2 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 8. etage. Spændvidden af taget på 8. etage er som for
etagedækket på 8. etage
Side 3
K1. Laster
Etage 7:
Figur 1.3 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 7. etage
Etage 5 og 6:
Figur 1.4 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 5. og 6. etage
Etage 4:
Figur 1.5 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 4. etage
Side 4
JF Kennedy Arkaden
Etage 3:
Figur 1.6 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 3. etage
Etage 2:
figur 1.7 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 2. etage
Etage 1:
Figur 1.8 Ruminddeling og etagedækkenes spændvidde for 1. etage
Side 5
K1. Laster
Kælder:
Figur 1.9 Ruminddeling for kælderetage. Kældergulvet in-situ støbes
Bygningen der projekteres, vurderes at blive påvirket af følgende laster: Egenlast, nyttelast,
vindlast, snelast og ulykkeslast.
1.1
Egenlaster
Til bestemmelse af egenlaster for Arkaden benyttes følgende laster:
Konstruktionsdel
Indervæg
Ydervæg
Skillevæg
Glasfacade
Beton over glasfacade
Side 6
Tabel 1.1 Egenlaster der påvirker konstruktionen
Elementdele
Egenvægt
[kN/m2]
225 mm beton
Kilde
4,95
[Spæncom]
4,95
[Spæncom]
160 mm letbeton
2,56
[Spæncom]
30 mm glas
0,78
[DS 410, 1998]
150 mm isolering
225 mm beton
225 mm beton
4,95
[Spæncom]
Etagedæk
320 mm betonhuldæk
4,36
[Spæncom]
Tag
320 mm betonhuldæk
4,36
[Spæncom]
JF Kennedy Arkaden
1.2
Nyttelaster
Der er ved projektering af Arkaden brugt følgende nyttelaster, der er bestemt ved brug af DS
410, 1998.
Tabel 1.2 Nyttelaster der virker på konstruktionen
Rum
Kategori
Last
Kontorer
Kontor og let erhverv
3,0 kN/m2
Butikker
Mindre butikker
3,0 kN/m2
Dagligvarebutikker
Større butikker og forretninger
5,0 kN/m2
Biograf
Samlingslokaler med faste pladser
4,0 kN/m2
Trapper
Trapper, for hvilke q mindre end eller lig 3,0 kN/m2 3,0 kN/m2
Gangareal
Gange, for hvilke q mindre end eller lig 3,0 kN/m2
3,0 kN/m2
Parkeringshus
Biler med totalmasse indtil 3500 kg
3,0 kN/m2
Kontorer
Kategori A og B
0,5 kN/m
Butikker
Kategori D1-D2
1,0 kN/m
Dagligvarebutikker
Kategori D1-D2
1,0 kN/m
Skillevægge
1.3
Vindlast
Da bygningen er placeret over 25 km fra Vesterhavet, bruges vb,0 = 24 m/s som basisvindhastighedens grundværdi. Bygningen er en permanent konstruktion, hvorfor cårs = 1 [DS 410,
1998]. Dette giver en basisvindhastighed, vb på:
vb = c års ⋅ vb , 0 = 1 ⋅ 24m/s = 24m/s
(1-1)
Ud fra basisvindhastigheden beregnes basishastighedstrykket på bygningen til:
(
)
qb = 0,5 ⋅ ρ ⋅ vb2 = 0,5 ⋅ 1,25kg/m 3 ⋅ 24m/s 2 = 360 N/m 2
(1-2)
Her er
ρ
luftens densitet [kg/m3]
Ved brug af basishastighedstrykket bestemmes det maksimale hastighedstryk på Arkaden.
Størstedelen af bygningen har en højde på 22m jf. Figur 1.1. Sættes dette til referencehøjden,
z, findes ruhedslængden, z0, minimumshøjden zmin, og terrænfaktoren, kt, ved brug af [DS 410,
1998] til hhv. z0 = 1,0 m, zmin =16,0 m og kt = 0,24.
Side 7
K1. Laster
Herefter kan ruhedsfaktoren, cr, bestemmes til:
 z 
 22 
c r = k t ⋅ ln  = 0,24 ⋅ ln  = 0,74
 1 
 z0 
(1-3)
Ud fra ruhedsfaktoren og en topografifaktor, ct = 1 kan 10 minutters middelhastighedstrykket
bestemmes til:
q m = c r2 ⋅ ct2 ⋅ qb = 0,74 2 ⋅ 12 ⋅ 360 N/m 2 = 198 N/m 2
(1-4)
Turbulensens indvirkning på hastighedstrykket bestemmes ud fra turbulensintensiteten, Iv:
Iv =
1
 z
ln 
 z0



=
1
= 0 ,324
 22 
ln  
 1 
(1-5)
Det karakteristiske maksimale hastighedstryk kan herefter udregnes til:
q max = (1 + 7 ⋅ I v ) ⋅ q m = (1 + 7 ⋅ 0 ,324 ) ⋅ 198N/m 2 = 647 N/m 2
(1-6)
Den karakteristiske vindlast på facaderne beregnes ud fra qmax multipliceret med formfaktoren
cpe,10. Facadernes formfaktorer og karakteristiske vindlast ses på Figur 1.10.
Figur 1.10 Formfaktor og vindlaster på facaderne
Side 8
JF Kennedy Arkaden
Den karakteristiske last på taget udregnes på samme måde, tagets belastningsområder fremgår
af Figur 1.11.
Figur 1.11 Belastningsområder på vandret tag [DS 410, 1998]
Med en gennemsnitlig bygningshøjde på 22 m høj bliver e = 44 m. Dette medfører, at x, y og
z bliver hhv. 4,4 m, 11 m og 22 m.
Tabel 1.3Vindlaster på taget over 4. etage 22 m over terræn
Belastningsområde cpe, 10 (mindste / største)
[-]
2
Største værdi
[kN/m ]
[kN/m2]
F
-1,8 / 0
-1,16
0
G
-1,3 / 0
-0,84
0
H
-0,7 / 0
-0,45
0
-0,5 / 0,2
-0,32
0,13
I
1.4
Mindste værdi
Snelast
Ved bestemmelse af snelasten undersøges for snelast på hele taget. Den jævnt fordelte snelast,
S, beregnes ifølge DS 410 af formel [DS 410,1998]:
S = ci ⋅ C e ⋅ Ct ⋅ sk
(1-7)
Her er
ci
formfaktoren for snelast
Ce
beliggenhedsfaktoren
Ct
termisk faktor
sk
sneens karakteristiske terrænværdi
Beliggenhedsfaktoren og den termiske faktor sættes på den sikre side til 1. Sneens karakteristiske terrænværdi beregnes af formlen [DS 410,1998]:
s k = c års ⋅ s k ,0
(1-8)
Her er
cårs
årstidsfaktor for sneens terrænværdi
sk,0
grundværdi for sneens terrænværdi
Side 9
K1. Laster
Idet konstruktionen er permanent sættes årstidsfaktoren til cårs = 1,0. Grundværdien for sneens
terrænværdi sk,0 sættes til 0,9 kN/m2. Sneens karakteristiske terrænværdi bestemmes af formel
(1-7):
s k = c års ⋅ s k , 0 = 1,0 ⋅ 0,9kN/m 2 = 0,9kN/m 2
Til formfaktoren for snelast anvendes ci, da konstruktionen opføres med fladt tag, denne sættes ifølge DS 410 til 0,8 for taghældningen α = 0º.
Den samlede snelast bliver dermed:
S = c1 ⋅ s k 0,8 ⋅ 0,9kN / m 2 = 0,72kN / m 2
Side 10
(1-9)
JF Kennedy Arkaden
K2. Bygningens totalstabilitet
I dette afsnit behandles bygningens totalestabilitet for vandret lastpåvirkning. Den vandrette
last, hidrørende vindlast, er beregnet i afsnit (1-3).
Totalstabiliteten eftervises i form af en spændingsberegning. Beregningerne foretages ud fra
følgende forudsætninger:
•
Skiverne optager de vandrette kræfter
•
Sammenhængende vægge er forbundet med stive samlinger
•
Plan spænding- og tøjningsfordeling
•
Konstruktionsmaterialet er et lineærelastisk materiale
•
Vægprofilerne indspændes i fundamenterne
•
Forskydningsdeformationerne er negligerbare
•
Negative spændinger regnes som tryk, positive spændinger regnes som træk.
De bærende vægges højde og placering i bygningen er illustreret på Figur 2.1. Væggene er
bestemt med udgangspunkt i udleveret tegningsmateriale og ruminddeling, jf. Bilag K1.
Figur 2.1 Vægprofilernes variation i højden
Der tages udgangspunkt i [Montage 2, 2002] ved beregningerne af spændingerne fra 1.- 6.
etage. Denne metode er en tilnærmelses metode, der bygger på en antagelsen om, at de enkelte vægprofiler er vridningsslappe, og at deres hovedinertiakse er parallel med vægsystemets
hovedretninger [Montage 2, 2002, s. 10].
Side 17 af 125
K2. Bygningens totalstabilitet
For 7. og 8. etage tages udgangspunkt i en metode, der bygger på en elasticitetsteoretisk betragtning af profilet. [Rumbjælker, 2002]
2.1
Stabilitet for 1. – 6. etage
Til bestemmelse af spændingerne bestemmes først bygningens inertimoment, herefter bestemmes vridningsstivheden, forskydningscenteret og vridningsmomentet. Til sidst bestemmes de vandrette kræfter, der påvirker de enkelte vægge, hvorefter spændingerne over disse
beregnes. I det følgende henvises til de enkelte vægprofiler i henhold til nummereringen på
Figur 2.2 - 2.4 .
Figur 2.2 Grundplan med bærende vægge for1-3
etage. Et modul lig 3 m
Figur 2.3 Grundplan af de bærende vægge med for
4-6 etage. Et modul lig 3 m
Figur 2.4 Grundplan af de bærende vægge
for 7-8 etage. Et modul lig 3 m
16 af 125
JF Kennedy Arkaden
2.2
Inertimoment for hele bygningen
Til bestemmelse af bygningens samlede inertimoment bestemmes først inertimomentet for de
enkelte vægprofiler, hvorefter det samlede inertimoment for bygningen findes som summen af
disse. Vægprofilerne er opbygget af rektangler og inertimomentet bestemmes ved König's
flytningssætning:
n
1
3
2
⋅ bi ⋅ hi + Ai ⋅ η i
i =1 12
I =∑
(2-1)
Her er
I
inertimomentet for retangulært vægprofilet
b
bredden af det enkelte element [m]
h
højden af det enkelte element [m]
A
arealet af det enkelte vægelement [m2]
η
afstanden fra vægprofils tyngdepunkt til det lokale koordinatsystem [m]
Som eksempel på bestemmelse af inertimomentet udregnes inertimomentet om x-aksen for
vægprofil nr. 1. Dimensionerne fremgår af Figur 2.5
Figur 2.5 Dimensioner på vægprofil nr.1
Det vælges at udføre beregningerne ud fra vægelementernes centerliner. Det er desuden valgt
at se bort fra, at hjørnet mellem to vinkelret vægge, medregnes to gange. Det giver følgende
beregninger og resultater for vægprofil 1.
Side 13 af 125
K2. Bygningens totalstabilitet
Arealet af vægprofil 1 med tykkelsen 375mm:
A1 = 375 mm ⋅ 9000 mm + 15000 mm ⋅ 375 mm = 9,0 m 2
Det statiske moment om x’- aksen bestemmes af formlen:
Si,x' =
∑b
j
⋅ h j ⋅ y 'j
(2-2)
Her er
Si
statiskmoment for det i’te vægprofil
bj
breden af det j’te vægelenent
hj
højden af det j’te vægelement
y’j
afstnden fra det j’te vægelements tyngdepunkt til det globale koordinatsystem
Det statiske moment for vægprofil 1:
S1, x ' = (375 mm ⋅ 9000 mm ⋅ 82500 mm + 15000 mm ⋅ 375 mm ⋅ 87000 mm) ⋅ 10 −9 = 767,8 m 3
Afstanden η fra x’-aksen til tyngdepunktet af vægprofil 1 bestemmes:
S1, x '
767,8m 3
= 85,3m
=
η1, y’ =
A1
9,0m 2
(2-3)
Vægprofil 1’s inertimoment om x-aksen bestemmes ved indsættelse i formel (2-1):
I1, x ' =
(
)
1
3
2
⋅ 375mm ⋅ (9000mm ) + 3,375m 2 ⋅10 −6 ⋅ (82500 − 85300mm ) +
12
(
)
1
3
2
⋅15000mm ⋅ (375mm ) + 5,625m 2 ⋅10 −6 ⋅ (87000mm − 85300mm ) = 65,6m 4
12
Inertimomenterne for de resterende vægelementer om de lokale tyngdepunktsakser er opstillet i
Tabel 2.1 og Tabel 2.2.
14 af 125
JF Kennedy Arkaden
Element
Tabel 2.1 Inertimoment for stabiliserende vægelementer for etage 1-3
Si,y’
ηx’
ηy’
Ii,x
Si,x’
[m3]
[m3]
[m]
Ii,y
[m]
[m4]
[m4]
1
42,19
767,81
4,69
85,31
65,56
224,16
2
194,40
336,15
48,00
83,00
16,21
28,36
3
186,30
171,11
92,00
84,50
1,52
8,10
4
11,14
214,65
2,36
45,43
86,22
4,13
5
315,90
146,81
93,60
43,50
41,01
2,84
6
5,06
8,10
2,50
4,00
8,10
1,52
7
75,94
12,15
22,50
3,60
14,18
6,59
8
129,60
6,08
48,00
2,25
2,54
16,21
9a
1646,33
297,68
85,08
15,38
2203,09
543,77
10
2527,20
663,19
78,55
20,61
4596,71
3077,97
11
117,45
88,09
58,00
43,50
13,67
0,01
12
270,34
257,68
50,06
47,72
81,59
8,43
13
372,60
340,20
69,00
63,00
0,02
259,20
14
372,60
380,70
69,00
70,50
0,02
259,20
Σ
4726,01
3562,82
-
-
4927,36
3929,14
Tabel 2.2Inertimoment for stabiliserende vægelementer for 4-6 etage
Element
Si,x’
Si,y’
3
3
ηx’
[m]
ηy’
Ii,x
[m]
4
[m ]
Ii,y
[m4]
[m ]
[m ]
1
42,19
767,81
4,69
85,31
65,56
224,16
2
194,40
336,15
48,00
83,00
16,21
28,36
3
186,30
171,11
92,00
84,50
1,52
8,10
4
11,14
214,65
2,36
45,43
86,22
4,13
5
315,90
146,81
93,60
43,50
41,01
2,84
6
5,06
8,10
2,50
4,00
8,10
1,52
7
75,94
12,15
22,50
3,60
14,18
6,59
8
129,60
6,08
48,00
2,25
2,54
16,21
9b
1646,33
297,68
85,08
15,38
2203,09
543,77
Σ
2606,85
1960,54
-
-
2438,43
835,69
Side 15 af 125
K2. Bygningens totalstabilitet
2.3
Forskydningscenterets placering
I dette afsnit fastlægges bygningens forskydningscenter med henblik på bestemmelse af vridningsstivheden. x’F-koordinaten til forskydningscenteret findes af formel (2-4) [Montage 2,
2002, s. 10]:
x' F =
∑I
ix
⋅η x '
(2-4)
Ix
Her er
ηx'
afstanden fra det valgte koordinatsystem til det i’te elements tyngdepunkt [m]
Ix
det samlede inertimoment om x-aksen [m4]
Reusultaterne af beregningerne til Ii,x ּ ηx' og Ii,yּ ηy´ er opstillet i Tabel 2.3 og Tabel 2.4 fo
henholdsvis 1. – 3. og 4. – 6. etage.
Tabel 2.3 Vridningsstivheden V1-3l. for 1.-3. etage
Element
16 af 125
Ii,x·ηi,x'
Ii,y· η i.y'
[m5]
[m5]
1
307
19124
2
778
2354
3
140
685
4
203
188
5
3839
124
6
20
6
7
319
24
8
122
36
9a
361050
63443
10
793
0
11
4085
402
12
2
16330
13
2
18274
14
0
2041
∑
371660
123030
JF Kennedy Arkaden
Tabel 2.4 Vridningsstivhed for V4-61 4.-6. etage
Element
Ii,x·ηi,x’
5
Ii,y· η i.y’
[m ]
[m5]
1
307
19124
2
778
2354
3
140
685
4
203
188
5
3839
124
6
20
6
7
319
24
8
122
36
9b
187442
8365
Σ
193171
30905
I det følgende beregnes forskydningscentrets x’F -koordinat for 4.-6. etage ud fra formel (2-4).
'
x FC
=
∑ I ix ⋅ η x ' 193171 m 5
=
= 79,2 m
Ix
2438,43 m 4
Forskydningscenterets y’F -koordinat for 4.-6. etage er bestemt efter samme metode og koordinatet til forskydningcentret er:
F4-6 =( x’F , y’F) = (79,2 m; 37,0 m)
Forskydningscentret F1-3 er bestemt til (75,4 m; 31,3 m), placeringen af dette kan ses på Figur
2.6 og Figur 2.7.
Figur 2.6 Placering af forskydningscenter for 1.-3.
sal. Hvert tern lig med 3x3 m
Figur 2.7 Placering af forskydningscenter for 4.-6.
sal. Hvert tern lig med 3x3 m
Side 17 af 125
K2. Bygningens totalstabilitet
2.4
Vridningsstivhed
Da den vandrette kraftpåvirkning ikke påvirker konstruktionen i forskydningscentret opstår
der vridning af konstruktionen. Der indlægges et xy- koordinatsystem, parallelt med x’y’systemet med nulpunkt i FC. Herefter kan vridningsstivheden bestemmes af formlen: [Montage 2, 2002, s. 11]
V=
∑I
ix
⋅ x i2 +
∑I
iy
⋅ y i2
(2-5)
Her er
I1x, Iiy
inertimomentet for det i'te element
xi, yi
afstsnden fra det i'te vægprofils tyngdepunkt til forskydningscenteret
Tabel 2.5 Vridningsstivhed for 1.-3. etage V1-3
Iiy·yi2
Element
Iix·xi2
6
[m ]
[m6]
1
328085
653658
18
2
12191
75771
3
419
22922
4
460333
824
5
13543
422
6
43095
1137
7
39717
5063
8
1909
13688
9a
44680
352421
10
4152
1
11
52495
2270
12
1
260266
13
1
398048
14
15
32533
∑
1000635
1819025
JF Kennedy Arkaden
Tabel 2.6 Vridningsstivhed V4-6. for 4.-6. etage
Element
Iix·xi2
Iiy·yi2
6
[m ]
[m6]
1
364196
523610
2
15795
60061
3
249
18296
4
509344
295
5
8482
121
6
47692
1658
7
45611
7346
8
2473
19549
9b
75709
253653
Σ
705661
884588
Vridningsstivheden bestemmes ud fra Tabel 2.5 og Tabel 2.6 og ligning (2-5) bestemmes til:
V4-6 = 705661 m6 + 884588 m6 = 1590249 m6
V1-3 = 1000635 m6 +1819025 m6 = 2819660 m6
2.5
Vridningsmoment
Bygningens vridende moment, Mv, bestemmes efter formel (2-6), hvor momentet regnes positivt mod uret:
M v = Py ⋅ x P − Px ⋅ y P
(2-6)
Her er
Px
kraften i x-aksens retning, Pøst
xp
afstanden, i x-aksens retning, fra kraftens angrebspunkt til forskydningscentet
Py
kraften i y-aksens retning, Pnord
yp
afstanden, i y-aksens retning, fra kraftens angrebspunkt til forskydningscentet
I det følgende bestemmes Mv,øst for 1.-3. etage og 4.-6. etage med vind fra øst. Vindlasten P er
i Bilag K1 bestemt til 0,65 kN/m2.
19
K2. Bygningens totalstabilitet
Figur 2.8 Model med vindpåvirkning fra øst og afstanden yP,1-3
Ud fra de angivede dimensioner på Figur 2.8 bestemmes resultanten af vindpåvirkningen fra
øst, for henholdsvis 1-3 etage og 4-6. etage til:
P1−3,øst = 0,65
kN
⋅ 87,0 m ⋅ 11,1 m = 627,7 kN
m2
P4−6,øst = 0,65
kN
⋅ 87,0 m ⋅ 9,6 m = 542.9 kN
m2
Afstanden fra forskydningscenteret til vindpåvirkningens resultant bestemmes, idet resultanten angriber midt på bygningen, se Figur 2.8.
y P ,1−3 =
87,0 m
− y FC ,1−3 = 43,5 m − 31,3 m = 12,2 m
2
y P , 4−6 =
87,0 m
− y FC , 4−6 = 43,2 m − 37,0 m = 6,5 m
2
Ved indsættelse i formel (2-6) giver Mv med ovenstående udregninger og Pnord lig nul:
M v ,øst ,1−3 = 627,7 kN ⋅ 12,2 m = 7657,9 kNm
M v ,øst , 4−6 = 543,9 kN ⋅ 6,5 m = 3535,4 kNm
20
JF Kennedy Arkaden
2.6
Lastfordeling
Ud fra inertimomentet, vridningsstivheden, forskydningscenteret og vridningsmomentet bestemmes kraften, der påvirker det enkelte vægprofil i henholdsvis x- og y-retningen, af følgende formler [Montage 2, 2002, s. 11]:
P M

Pix = I iy  x − v ⋅ yi 
I

 y V

(2-7)
 Py M

Piy = I ix  + v ⋅ xi 
V
 Ix

(2-8)
Her er
Pix
kraften på det i'te vægprofil i x-aksens retning, Pøst
Iiy
inertimomentet for det i'te vægelement om y-aksen
Px
den samlede kraften i x-aksens retning, Pøst
Iy
det samlede inertimomentet om y-aksen
yi
y-afstanden fra forskydningscenteret til det i'te vægprofils tyngdepunkt
Mv
vridningsmomentet
V
vridningsstivhedden
Piy
kraften på det i'te vægprofil i y-aksens retning, Pnord
Iix
inertimomentet for det i'te vægelement om x-aksen
Py
den samlede kraften i y-aksens retning, Pnord
Ix
det samlede inetrimoment om x-aksen
xi
x-afstanden fra forskydningscenteret til det i'te vægprofils tyngdepunkt
I det følgende bestemmes kraften, der påvirker vægprofil 1 på 1.-3. etage og 4.-6. etage. Udregningerne er foretaget ud fra (2-7), idet Px = Pøst:
 627,7 kN

7657,9 kNm
−
⋅ (85,0 m − 31,3 m ) = 2,97 kN
P1,øst ,1−3 = 224,16m 4 ⋅ 
4
6
6
2,8 ⋅ 10 m
 3929,2 m

 542,9 kN 3535,2 kNm

−
⋅ (85,3 m − 37,0 m ) = 121,38 kN
P1,øst , 4−6 = 224,16m 4 ⋅ 
4
6
6
1,6 ⋅ 10 m
 825,7 m

De øvrige lastfordelinger for 1.-3. etage og 4.-6. etage med vind fra øst fremgår af
Tabel 2.7-Tabel 2.10
21
K2. Bygningens totalstabilitet
Tabel 2.7 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 1.-3. sal med vind fra øst
Py
Vægprofil
Px
[kN]
[kN]
1
2,965
-12,570
2
0,553
-1,205
3
0,125
0,068
4
0,502
-17,075
5
0,360
2,020
6
0,356
-1,602
7
1,547
-2,034
8
3,863
-0,189
9a
580,478
38,842
10
0,000
-0,646
11
0,971
-5,609
12
19,104
0,000
13
13,835
0,000
14
2,388
0,000
Σ
627,047
0,000
Af Tabel 2.8 fremgår det, at vægprofil 9b optager langt den største last hidrørende den vandrette belastning. Som kontrol på beregningen bemærkes, at summen af lasterne netop stemmer
med den i afsnit 2.5 fundne komposant fra vind fra øst på 1.–3. etage. Hermed kan vindlasten
på 1. – 3. etage konkluderes som været optaget i væggene.
Tabel 2.8 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 4-6 sal med vind fra øst
Py
Vægprofil
Px
[kN]
[kN]
1
121,383
-10,862
2
15,504
-1,125
3
4,402
0,043
4
2,605
-14,731
5
1,804
1,311
6
1,101
-1,382
7
4,767
-1,788
8
11,768
-0,176
9b
378,978
28,708
Σ
542,312
0,000
For vind fra nord er lastfordelingen beregnet til, jf. Tabel 2.9 og Tabel 2.10.
22
JF Kennedy Arkaden
Tabel 2.9 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 1-3 sal med vind fra nord
Px
Py
Vægprofil
[kN]
[kN]
1
-81,471
-22,009
2
-9,866
-0,716
3
-2,901
0,384
4
-0,393
-30,294
5
-0,233
10,775
6
0,280
-2,839
7
1,230
-3,060
8
3,170
-0,112
9a
221,672 741,946
10
-0,001
0,316
11
-0,931
-2,472
12
-55,281
0,000
13
-68,365
0,000
14
-6,910
0,000
Σ
0,000 691,920
Tabel 2.10 Lastfordeling i de forskellige vægprofiler for 4-6 sal med vind fra nord
Px
Py
Vægprofil
[kN]
[kN]
1
-127,275
-41,316
2
-15,333
-1,967
3
-4,523
0,603
4
-0,410
-56,692
5
-0,218
16,993
6
0,591
-5,314
7
2,585
-5,968
8
6,612
-0,308
9b
137,970 692,381
Σ
0,000 598,413
23
K2. Bygningens totalstabilitet
2.7
Beregning af normalspændinger ved fundament
I det følgende bestemmes normalspændingerne ved terræn. Spændingerne bestemmes ved
Navier´s formel, idet der kun ses på bidraget fra den vandrette kraftpåvirkning:
Mx
⋅ yi
Ix
σy =
(2-9)
Her er
σy
spændingen i forhold til y-retnigen [kN/m2]
Mx
det bøjende Momentet om x-aksen [kNm]
yi
asfstand fra vægprofil i’s tyngdepunkt til spændingspunktet [m]
Eksempel for vægprofil 1 med vind fra øst
På Figur 2.9 er afstanden fra vægprofil 1’s tyngdepunkt til dens endepunkter angivet, samt
den valgte retning på akserne.
Figur 2.9 Vægprofil 1 med angivet TP placering om Y-aksen. Mål i meter
Det bøjende moment hidrørende vindlasten beregnes af formel (2-10):
M x = Px ,i (1−3) ⋅
h( 4−6 ) 


+ Px ,i ( 4−6 ) ⋅  h(1−3) +
2
2 

h(1−3)
Her er
24
Px,i(1-3)
den resulterende kraft fra vind fra øst 1.-3. etage [kN]
h(1-3)
højden af 1.-3. etage [kN]
Px,i(4-6)
den resulterende kraft fra vind fra øst 4.-6. etage [kN]
h(1-3)
højden af 4.-6. etage [kN]
(2-10)
JF Kennedy Arkaden
Momenterne for vægprofil 1 beregnes:
M x ,øst = 2,965 kN ⋅
11,1 m
9,6 m 

+ 121,383 kN ⋅ 11,1 m +
 = 1946,5 kNm
2
2 

M y ,øst = −12,570 kN ⋅
11,1 m
9,6 m 

+ −10,862 kN ⋅ 11,1 m +
 = −242,5 kNm
2
2 

Inertimomenterne for vægprofil 1 er jf. Tabel 2.1 bestemt til:
I x = 65,5m 4
I y = 224,2m 4
Spændingen ved fundamentet for væg 1 med vind fra øst bestemmes:
Punkt A:
σ y,A =
kN
1946,5 kNm
⋅1,687 m = 45,9 2
4
65,5 m
m
σ x, A =
− 242,5 kNm
kN
⋅10,312 m = −13,2 2
4
224,16 m
m
σ A = σ y , A + σ x , A = 45,9
kN
kN
kN
− 13,2 2 = 32,8 2
2
m
m
m
Punkt C:
σ y ,C =
1784,7 kNm
kN
⋅ (−7,313) m = −199,1 2
4
65,5 m
m
σ x ,C =
− 286,0 kNm
kN
⋅ (−4,688) m = 6,0 2
4
224,16 m
m
σ C = σ y ,C + σ x ,C = −199,1
kN
kN
kN
+ 6,0 2 = −193,0 2
2
m
m
m
Punkt B:
σ B = σ y , A + σ x ,C = 45,9
kN
kN
kN
+ 6,0 2 = 51,9 2
2
m
m
m
25
K2. Bygningens totalstabilitet
For vægprofil 1 fordeles normalspændingerne som vist på Figur 2.10.
Figur 2.10 Øverst venstre: Normalspændinger fra komposanten Px.
Øverst højre: Normalspændinger fra komposanten Py.
Nederst: Samlede normalspændinger for vægprofil 1 med vind fra øst. Spændinger i [kPa]
Normalspændingerne for vind fra øst og nord, for de øvrige åbne profiler, er bestemt på tilsvarende måde og fremgår af Figur 2.33 og Figur 2.34 i slutningen af dette kapitel.
2.8
Beregning af forskydningsspændinger ved fundament
Ved beregningerne af forskydningsspændingerne benyttes to metoder, en for åbne tyndfligede
tværsnit, og en for lukkede tyndfligede tværsnit. For åbne tyndfligede tværsnit benyttes Grashofs formel. Lukkede tyndfligede tværsnit beregnes efter eladtisitetsteorien.
26
JF Kennedy Arkaden
2.8.1
For åbent tyndfliget tværsnit
Forskydningsspændingerne beregnes af Grashofs formel:
τ=
Py ⋅ S x
Ix ⋅t
+
Px ⋅ S y
I y ⋅t
(2-11)
Her er
τ
forskydningsspændingen [MPa]
Px
vandret kraft i x-retningen [kN]
Sx
statiske moment om x, for betragtet punkt [m3]
Ix
inertimomentet om x-aksen [m4]
t
tykkelsen af tværsnittet [m]
Eksempel for vægprofil 1 med vind fra øst.
Det vælges at bestemme forskydningskraften i følgende punkter jf. Figur 2.11.
Figur 2.11 Punkterne på vægprofil 1, hvor forskydningskraften findes. Alle mål i m
Det statiske moment om x-aksen bestemmes af formel (2-12):
∫
∫
S x = y ⋅ dA = t y ⋅ ds
(2-12)
Her er
y
Afstand i y retningen til tyngdepunktet for betragtede punkt [m]
t
Tykkelsen af profilet [m]
27
K2. Bygningens totalstabilitet
For strækningen fra A til B er s1 = -x, hvorved det statiske moment bestemmes ved:
S x = −t ⋅ y ⋅ s1
(2-13)
På strækningen fra B til C er s2 = y, Det statiske moment bestemmes ved:
1 2
S y = t ⋅ ⋅ s1
2
(2-14)
De statiske momenter i punkterne A, B og C bestemmes til:
S A1,x = 0,375m ⋅ −1,687m ⋅10,31m = −6,52m 3
S B,x = 0,375m ⋅ −1,687m ⋅15m = −9,50m 3
S B1,x = −9,50m 3 + 0,375m ⋅ 0,5 ⋅ −(1,687m ) = −10,02m 3
2
S A1,y = 0,375m ⋅ 0,5 ⋅ −(10,312m ) = −19,9m 3
2
(
)
S B,y = 0,375m ⋅ 0,5 ⋅ (− 4,688m ) − (10,312m ) = −15,9m 3
2
2
S B1,y = −15,9m 3 + 0,375m ⋅ −1,687m ⋅ −4,688m = −12,9m 3
For åbne ender af tværsnittet er forskydningsspændingen τA = τB = 0kN/m2
τ A1
124,3kN ⋅ −19,9m 3 − 23,4kN ⋅ (−6,52)m 3
kN
=
+
= -23,2 2
4
4
224,2m ⋅ 0,375m
65,56m ⋅ 0,375m
m
124,3kN ⋅ −15,9m 3 − 23,4kN ⋅ (−9,50)m 3
kN
τB =
+
= -17,3 2
4
4
224,2m ⋅ 0,375m
65,56m ⋅ 0,375m
m
τ B1 =
124,3kN ⋅ −12,90m 3 − 23,4kN ⋅ (−10,02)m 3
kN
+
= −12,9 2
4
4
224,2m ⋅ 0,375m
65,56m ⋅ 0,375m
m
På Figur 2.12 fremgår, hvordan forskydningsspændingerne varierer over vægprofil 1.
28
JF Kennedy Arkaden
Figur 2.12 Forskydningsspændingernes variation ved fundamentet for vægprofil 1, med vind fra øst.[kPa]
2.8.2
Forskydningsspændinger i vægprofil 11, lukket tyndfliget tværsnit
Den samlede forskydningsspænding i et lukket tyndfliget tværsnit er nul. Til bestemmelse af
variationen over tværsnittet bestemmes den forskydende krafts variation over tværsnittet. Den
forskydende kraft i lukkede tyndfligede tværsnit kan bestemmes ved at integrere rundt i tværsnittet. Dette er givet ved [Rumbjælker, 2002, s. 43]:
 H 
∫  G ⋅ t ds = 0
(2-15)
Her er
H
den forskydende kraft [kN/mm]
G
forskydningskraftmodulet [MPa]
t
tværsnittets tykkelse [mm]
s
den tilbagelagte strækning [mm]
Idet egenvægten og tværsnittets tykkelse er konstante over tværsnittet ses bort fra disse i de
videre beregninger af formel (2-15). Den forskydende kraft pr. længdeenhed bestemmes af
følgende formel:
∂H x − Q y ⋅ y ⋅ t
=
= −k ⋅ y
I zz
∂s
hvor k =
− Qy ⋅ t
I zz
(2-16)
Her er
Hx
den forskydende kraft [kN/mm]
s
den tilbagelagte strækning [mm]
Qy
kraften der påvirker tværsnittets tyngdepunkt [kN]
y
afstanden til y-aksen [mm]
t
tykkelsen af tværsnittet [mm]
Izz
inertimomentet om z-aksen [mm4]
29
K2. Bygningens totalstabilitet
Eksempel for spændinger i y-aksens retning i vægprofil 11 med vind fra øst.
Spændinger i de på Figur 2.13 angivende punkter bestemmes.
Figur 2.13 Punkter og afstande for vægprofil 11. Alle mål i m. Alle afstande regnes til centerlinie
Den forskydende kraft på strækningen fra B til C bestemmes med y = -0,281-s1, her giver
formel (2-16):
∂H x
= k ⋅ (s1 + 0,281)
∂s
1 2

H x = k  s1 + 0,281 ⋅ s1  + H B
2

I punktet C er s1 = 4,5 m, den forskydende kraft er her:
1

H C = k  4,5 2 + 0,281 ⋅ 4,5  + H B1 = 11,039 ⋅ k + H B1
2

30
JF Kennedy Arkaden
På strækningen fra C til D bestemmes den forskydende kraft med y = -4,781:
∂H x
= k ⋅ 4,781
∂s
H x = k ⋅ 4,781 ⋅ s2 + H C
Med s2 = 3,0 i punktet D bliver den forskydendekraft:
H D = k ⋅ 4,781 ⋅ 3,0 + H C = 25,733 ⋅ k + H B1
Fra D til E er y = s3-4,781, dermed bliver den forskydende kraft:
∂H x
= − k ⋅ (s3 − 4,781)
∂s
1 2

H x = k  s3 − 4,781 ⋅ s3  + H D
2

Den forskydende kraft i punktet E bliver med s3 = 4,5

1
H E = − k  4,5 2 − 4,781 ⋅ 4,5  + H D = 37,123 ⋅ k + H B1

2
Med y = -0,281 på strækningen fra E til B er den forskydende kraft:
∂H x
= k ⋅ 0,281
∂s
H x = k ⋅ 0,281⋅ s4 + H E
Med s4 = 3,0 i punktet B bliver den forskydende kraft:
H B 2 = k ⋅ 0,281⋅ 3,0 + H E = 37,966 ⋅ k + H B1
Den forskydende krafts fordeling over tværsnittet BCDE er optegnet på Figur 2.14.
31
K2. Bygningens totalstabilitet
Figur 2.14 Den forskydende krafts for løb over vægprofil 11
Til bestemmelse af størrelsen HB1 udføres formel (2-15) som arealberegning af Figur 2.14
1
1
∫ Hds = H (2 ⋅ 4,5 + 2 ⋅ 3,0) + 3 ⋅11,390 ⋅ k ⋅ 4,5 + 11,390 ⋅ k ⋅ 3,0 + 2 ⋅ (25,733 − 11,390)⋅ k ⋅ 3,0
B1
2
1
+ 25,733 ⋅ k ⋅ 4,5 + ⋅ (37,123 − 25,733) ⋅ k ⋅ 4,5 + 37,123 ⋅ 3,0 + ⋅ (37,966 − 37,123) ⋅ k ⋅ 3,0 = 0
3
2
⇒ H B1 = −22,4 ⋅ k
Dermed fås den forskydende kraft i punkterne C, D, E og B til:
H B1 = −22,442 ⋅ k
H C = 11,390 − 22,442 ⋅ k = −11,052 ⋅ k
H D = 25,733 ⋅ k − 22,442 ⋅ k = 3,291 ⋅ k
H E = 37,123 ⋅ k − 22,442 ⋅ k = 14,681 ⋅ k
H B 2 = 37,966 ⋅ k − 22,442 ⋅ k = 15,524 ⋅ k
Forskydningskraften over fligen A til B bestemmes idet y = 8,971-s5.
∂H x
= k ⋅ (8,971 − s5 )
∂s
1 2

H x = k  8,971 ⋅ s1 − s1 
2 

32
JF Kennedy Arkaden
I punktet B er strækningen s5 = 9,0, den forskydende kraft bliver her
1


H B 3 = k  8,971 ⋅ 9,0 − 4,5 2  = −37,971 ⋅ k
2


(2-17)
For vindlasten fra øst bestemmes konstanten k i formel (2-16) med en kraftpåvirkning af vægprofil 11 fundet i
Tabel 2.7 og Tabel 2.8. Idet koordinatsystemets y-akse er vent i forhold til beregningerne af
kraftpåvirkningen bliver Qy = -0,971 kN, og et inertimoment Izz = Ix = 81,591 m4
k=
0,971 ⋅ 0,225
kN
= −0,0027 3
81,591
m
(2-18)
Idet den forskydende kraft kan bestemmes i alle punkter på tværsnittet, findes forskydningsspændingen over tværsnittet at formel
τ=
Hx
t
(2-19)
Forskydningensspændingen i punkterne A-E bestemmes ved formel (2-19)
τ A = 0 kPa
τ B1 =
− 22,442 ⋅ −0,0027
= 0,267 kPa
0,225
τ B2 =
15,524 ⋅ −0,0027
= −0,185 kPa
0,225
τ B3 =
− 37,971 ⋅ −0,0027
= 0,452 kPa
0,225
τC =
− 11,052 ⋅ −0,0027
= 0,132 kPa
0,225
τD =
3,291 ⋅ −0,0027
= −0,039 kPa
0,225
τE =
14,681 ⋅ −0,0027
= −0,175 kPa
0,225
33
K2. Bygningens totalstabilitet
På Figur 2.15 er spændingerne over tværsnittet optegnet for komposanten i y-aksens retning
ved vindpåvirkning fra øst.
Figur 2.15 Spændingsfordeling hidrørende y-komposanten for vægelement 11 for vind fra øst
På tilsvarende måde findes forskydningsspændingen for komposanten i x-aksens retning for
vindlast fra øst, hvorefter disse adderes, for den samlede forskydningsspænding over tværsnittet. Forskydningsspændingerne for de øvrige profiler er bestemt på tilsvarende måde og fremgår af Figur 2.35 for hhv. vind fra øst og vind fra nord.
I det foregående er størrelsen på normal- og forskydningskræfterne fundet ved bunden af de
bærende vægge. Inden fordelingen kan optegnes for tårnets bærende vægge skal normal- og
forskydningskræfterne bestemmes for tårnets 7. og 8. etage.
2.9
Beregninger for tårnets 7. og 8. etage
I det følgende bestemmes spændingerne hidrørende fra tårnet. Tårnet beregnes som værende
et stift legeme. Tårnet antages at være et tyndfliget tværsnit idet tykkelsen, t, er meget mindre
end længden af tværsnittet. Idet tårnet er fast indspændt med de underliggende etager, regnes
tværsnittet udsat for bunden vridning. Tårnets tværsnit fremgår af Figur 2.16.
34
JF Kennedy Arkaden
Figur 2.16 De bærende vægge på 7. – 8. etage, med valgt placering af x- og yaksen, samt systemet i 3D
I det følgende regnes der med betegnelserne t for tykkelsen, samt a for længden svarende til 1
meter. Normalspændingerne, σ xxH , fra vridning bestemmes af formelen: [Rumbjælker, 2002, s.
77]:
H
σ xx = −E ⋅ ω n ⋅
d 2θ
dx 2
(2-20)
Her er
E
elasticitetsmodulet for beton [kN/m2]
ωn
normaliseret sektorkoordinat [m2]
θ
vridningsvinklen [-]
Forskydningsspændingerne fra vridning bestemmes af formlen [Rumbjælker, 2002, s. 83]:
H x = E ⋅ Sω ⋅
d 3θ
⋅t
dx 3
(2-21)
Her er
E
elasticitetsmodulet for beton [kN/m2]
Sω
sektorstatiske moment [m4]
θ
vridningsvinklen [-]
35
K2. Bygningens totalstabilitet
For at kunne løse formel (2-20) og (2-21) skal flere parametre, der skal bestemmes. I det følgende bestemmes disse, hvorefter spændingerne findes.
2.9.1
Bestemmelse af tværsnittets tyngdepunkt, TP
Tværsnittets tyngdepunkt samt inertimomenter er bestemt som i afsnit 2.2 og fremgår af
Tabel 2.11.
Tabel 2.11 Tværsnitsdata for tårn
Inertimomenter
Afstand til TP
Areal
Ixx’
Iyy’
XTP
YTP
60·a·t
3725 · a3 · t
1584 · a3 · t
4,5· a
11,85· a
Tyngdepunktets placering er skitseret på Figur 2.17.
Figur 2.17 Tyngdepunktets placering samt nyt koordinatsystem med origo i TP
36
JF Kennedy Arkaden
2.9.2
Bestemmelse af tværsnittes forskydningscenter, FC
Koordinaterne til forskydningscentret kan bestemmes efter formlerne [Rumbjælker, 2002, s.
32]:
x' F =
Her er
Iωy
Ixx'
y'F =
Her er
Iωx
Iyy'
− I ωy
(2-22)
I xx '
sektorcentrifugalmomenter [m4]
Inertimomentet om x’-aksen [m5]
I ωx
I yy'
(2-23)
sektorcentrifugalmomenter [m4]
Inertimomentet om y’-aksen [m5]
Bestemmelse af tværsnittets afstandsmæssige variation med x’ og y’.
x’s variation over tværsnittet er optegnet på Figur 2.18.
Figur 2.18 x’(s).Mål i mm
37
K2. Bygningens totalstabilitet
y’s variation over tværsnittet y’(s) bestemmes. Resultaterne fremgår af Figur 2.19.
Figur 2.19 y’(s).Mål i mm
Sektorkoordinaten ω bestemmes. Det gøres ud fra formlen [Rumbjælker, 2002, s. 32]:
dω
= r ⇒ dω = r ⋅ ds ⇒ ω = r ⋅ s + C
ds
Her er
r
(2-24)
vinkelrette afstand fra betragtet element til TP [m]
s
strækningen over elementet [m]
ω
sektorkoordinaten [m2]
Formel (2-24) anvendes på de enkelte strækninger:
Strækning AB:
s = 6a
AB : r = 10,5a =
38
dω
,
ds
6a
ω = ∫10,5a ⋅ ds = [10,5a ⋅ s + C]0 ,
0
6a
ω B = 10,5a ⋅ 6a + C = 63a 2 + C
JF Kennedy Arkaden
Strækning BC:
dω
,
ω = 9,15a ⋅ s + C1 i det for
ds
ω = 9,15a ⋅ s 2 + 63a 2 + C, ω C = 200,25a 2 + C
BC : r = 9,15a =
Strækning CD:
dω
CD : r = 4,5a =
,
ω = 4,5a ⋅ s + C 2
ds
ω = 4,5a ⋅ s 3 + 200,25a 2 + C,
ω D = 294,75a 2 + C,
s 2 = 0 ⇒ ω = ωB
ω E = 254,25a 2 + C
Strækning EF:
dω
,
ω = 2,85a ⋅ s 4 + C 3
ds
ω = 2,85a ⋅ s 4 + 254,25a 2 + C,
ω F = 262,8a 2 + C
EF : r = 2,85a =
Strækning FG:
dω
FG : r = 1,5a =
,
ω = 1,5a ⋅ s 5 + C 4
ds
ω = 1,5a ⋅ s 5 + 262,8a 2 + C ,
ωG = 276,3a 2 + C
Strækning GH:
dω
,
ω = 11,85a ⋅ s 6 + C 5
ds
ω = 11,85a ⋅ s 6 + 276,3a 2 + C ,
ω H = 347,4a 2 + C
GH : r = 11,85a =
Sektorkoordinaten normaliseres, idet der skal gælde,
∫ ω ⋅ t ⋅ ds = 0
(2-25)
Hermed sikres, at der vil forekomme ren vridning, idet der ikke optræde normalkrafter i tværsnittet. Figur 2.20 anvendes til bestemmelse af konstanten, C så (2-25) er opfyldt.
39
K2. Bygningens totalstabilitet
Figur 2.20 Bestemmelse af C
Konstanten C bestemmes grafisk ved at multiplicere arealerne:
s1
6·a·c + (63- 0)·a2 · 6a · ½
s2
(63a2 + C) · 15a + (200,25- 63)a2 · 15a · ½ +
s3
(200,25a2 + C) · 21a + (294,75- 200,25)a2 ·21a · ½ +
s4
(254,25a2 + C) ·3a + (262,8- 254,25)a2 ·3a · ½ +
s5
(262,8a2 + C) ·9a + (276,3- 262,8)a2 ·9a · ½ +
s6
(276,3a2 + C) ·6a + (347,4- 276,3)a2 ·6a · ½
= 12433,5·a3 + 60a · C = 0
40
+
⇒
= 0
C = -207,2 · a2
⇒
JF Kennedy Arkaden
Med C bestemt kan den normaliserede sektorkoordinaten ω’s variation over tværsnittet optegnes jvf. Figur 2.21.
Figur 2.21 Den normaliserede sektorkoordinaten ωn(s) variation
Bestemmelse af sektorcentrifugalmomentet Iωx til brug i formel (2-23), til bestemmelse af
FC’s YF koordinat, sker ved (2-26)
I ωx = ∫ x( s ) ⋅ ω ( s ) ⋅ dA = ∫ x( s ) ⋅ ω ( s ) ⋅ t ⋅ ds = t ⋅ ∫ x( s ) ⋅ ω ( s ) ⋅ ds
(2-26)
Ved brug af Figur 2.22 kan løsningen til (2-26) findes ud fra Figur 2.18.
Figur 2.22 Løsning til integralet [ Rumbjælker, 2002, Appendiks]
41
K2. Bygningens totalstabilitet
Strækning s1:
(
(
)
(
 2 ⋅ 10,5a ⋅ − 207,2 ⋅ a 2 + 2 ⋅ 10,5a ⋅ − 144,2 ⋅ a 2
1
t ⋅ ∫ x ⋅ ω ⋅ ds1 = ⋅ 6a ⋅ 
2
2
6
0
 + 10,5a ⋅ − 144,2 ⋅ a + 10,5a ⋅ − 207,2 ⋅ a
6a
)
(
)
) = −11069 ⋅ a


4
⋅t
Strækning s2:
15 a
t⋅
∫
x ⋅ ω ⋅ ds 2 =
0
(
(
)
(
 2 ⋅ 10,5a ⋅ − 144,2 ⋅ a 2 + 2 ⋅ (−4,5a ) ⋅ − 7,0 ⋅ a 2
1
⋅ 15a ⋅ 
2
2
6
 + 10,5a ⋅ − 7,0 ⋅ a − 4,5a ⋅ − 144,2 ⋅ a
)
(
)
) = −5975 ⋅ a


4
⋅t
Strækning s3:
21a
t⋅
∫
0
(
)
 2 ⋅ (−4,5a ) ⋅ − 7,0 ⋅ a 2 + 2 ⋅ (−4,5a ) ⋅ 87,5 ⋅ a 2 
1
 = −3804 ⋅ a 4 ⋅ t
x ⋅ ω ⋅ ds3 = ⋅ 21a ⋅ 
2
2

6
 − 4,5a ⋅ 87,5 ⋅ a − 4,5a ⋅ − 7,0 ⋅ a

(
)
Strækning s4:
 2 ⋅ (−4,5a ) ⋅ 47 ⋅ a 2 + 2 ⋅ 1,5a ⋅ 55,6 ⋅ a 2 
1
 = −218 ⋅ a 4 ⋅ t
t ⋅ ∫ x ⋅ ω ⋅ ds 4 = ⋅ 3a ⋅ 
2
2

6
0
 − 4,5a ⋅ 55,6 ⋅ a + 1,5a ⋅ 47 ⋅ a

3a
Strækning s5:
9a
t ⋅ ∫ x ⋅ ω ⋅ ds 5 =
0
 2 ⋅ (−1,5a ) ⋅ 55,6 ⋅ a 2 + 2 ⋅ (−1,5a ) ⋅ 69,1 ⋅ a 2 
1
 = −842 ⋅ a 4 ⋅ t
⋅ 9a ⋅ 
2
2

6
 − 1,5a ⋅ 69,1 ⋅ a − 1,5a ⋅ 55,6 ⋅ a

Strækning s6:
 2 ⋅ (−1,5a ) ⋅ 69,1 ⋅ a 2 + 2 ⋅ 1,5a ⋅ 140,2 ⋅ a 2 
1
 = 107 ⋅ a 4 ⋅ t
t ⋅ ∫ x ⋅ ω ⋅ ds 6 = ⋅ 6a ⋅ 
2
2

6
0
 − 1,5a ⋅ 140,2 ⋅ a + 1,5a ⋅ 69,1 ⋅ a

6a
I ωx = ∑ I ωxi = (−11069 − 5975 − 3804 − 218 − 842 + 107) ⋅ a 4 ⋅ t = − 21801 ⋅ a 4 ⋅ t
Bestemmelse af sektorcentrifugalmoment, Iωy bestemmes tilsvarende Iωx og er fundet til:
I ωy = ∑ I ωyi = (-6294 - 10376 - 4614 - 439 - 4216 - 7441) ⋅ a 4 ⋅ t = − 33380 ⋅ a 4 ⋅ t
42
JF Kennedy Arkaden
Den endelige placering af koordinatet til forskydningscentret, FC bestemmes ved brug af (222) og (2-23).
xF =
− I ωy
I xx'
33380 ⋅ a 4 ⋅ t
=
= 9,0 ⋅ a
3725 ⋅ a 3 ⋅ t
I ωx − 21801 ⋅ a 4 ⋅ t
yF =
= − 13,8 ⋅ a
=
I yy'
1584 ⋅ a 3 ⋅ t
Placeringen af FC i forhold til tårnet er illustreret på Figur 2.23.
2.9.3
Bestemmelse af det sektorstatiske moment, Sω
Det sektorstatiske moment findes af formlen:
S ω = t ⋅ ∫ ω n ⋅ ds
(2-27)
Figur 2.23 s-retninger til bestemmelse af sektorstatiskmoment med afstand til TP, desuden fremgår beliggenheden af det beregnede forskydningscenter
43
K2. Bygningens totalstabilitet
Da forskydningsspændingerne er 0 ved en fri rand fås følgende randbetingelser.
A: Hx= 0
D: Hx= 0
H: Hx= 0
Fra A til B:
ω n = −207,2a 2 + 10,5a ⋅ s1
1
S ω = t ⋅ (−207,2a 2 ⋅ s1 + ⋅ 10,5a ⋅ s12 + C1 ) jf. randbetingelser C1=0
2
2
= t ⋅ (−207,2 ⋅ a ⋅ s1 + 5,25 ⋅ a ⋅ s12 )
Fra B til C:
ω n = −144,2a 2 + 9,15a ⋅ s 2
1
S ω = t ⋅ (−144,2a 2 ⋅ s 2 + ⋅ 9,15a ⋅ s 22 + C 2 ) jf. randbetingelser s2 = 0 ⇒ S ω = t ⋅ a 3 ⋅ (−1054,2)
2
= t ⋅ (−144,2 ⋅ a 2 ⋅ s 2 + 4,575 ⋅ a ⋅ s 22 − a 3 ⋅ 1054,2)
Fra C til E:
ω n = −7,0a 2 + 4,5a ⋅ s 3
1
S ω = t ⋅ (−7,0a 2 ⋅ s3 + ⋅ 4,5a ⋅ s32 + C 3 ) jf. randbetingelser s3 = 0 ⇒ S ω = t ⋅ a 3 ⋅ (−2187,8)
2
2
= t ⋅ (−7,0 ⋅ a ⋅ s3 + 2,25 ⋅ a ⋅ s32 − a 3 ⋅ 2187,8)
Fra D til E:
ω n = 87,5a 2 − 4,5a ⋅ s 4
1
S ω = t ⋅ (87,5a 2 ⋅ s 4 + ⋅ 4,5a ⋅ s 42 + C 4 ) jf. randbetingelser s4 = 0 ⇒ C4 = 0
2
2
= t ⋅ (87,5 ⋅ a ⋅ s 4 + 2,25 ⋅ a ⋅ s 42 )
Fra H til G:
ω n = 140,2a 2 − 11,8a ⋅ s 5
1
S ω = t ⋅ (140,2a 2 ⋅ s5 + ⋅ (−11,8)a ⋅ s52 + C 5 ) jf. randbetingelser s5 = 0 ⇒ C5 = 0
2
= t ⋅ (140,2 ⋅ a 2 ⋅ s5 − 5,9 ⋅ a ⋅ s52 )
44
JF Kennedy Arkaden
Fra G til F:
ω n = 69,1a 2 − 1,5a ⋅ s 6
1
S ω = t ⋅ (69,1a 2 ⋅ s 6 + ⋅ (−1,5)a ⋅ s 62 + C 6 ) jf. randbetingelser s6 = 0 ⇒ S ω = t ⋅ a 3 ⋅ 628,8
2
2
= t ⋅ (69,1 ⋅ a ⋅ s 6 − 0,75 ⋅ a ⋅ s 62 + a 3 ⋅ 628,8)
Fra F til E:
ω n = 55,6a 2 − 2,87a ⋅ s 7
1
S ω = t ⋅ (55,6a 2 ⋅ s 7 + ⋅ (−2,87)a ⋅ s 72 + C 7 ) jf. randbetingelser s7 = 0 ⇒ S ω = t ⋅ a 3 ⋅ 1190,0
2
= t ⋅ (55,6 ⋅ a 2 ⋅ s 7 − 2,87 ⋅ a ⋅ s 72 + a 3 ⋅ 1190,0)
2.9.4
Bestemmelse af sektorinertimomentet Iω
Sektorinertimomentet, Iω er defineret som [Rumbjælker, 2002, s.77]
I ω = ∫ ω 2n dA
A
(2-28)
Her er
ωn
den normaliserede sektorkoordinat, fundet i afsnit 2.9.2 .
Da s er løbende langs tværsnittet og tykkelsen t er konstant fås:
I ω = t ⋅ ∫ ω n ⋅ ds
2
(2-29)
45
K2. Bygningens totalstabilitet
Figur 2.24 s-retninger til bestemmelse af sektorinertimoment. s3 går fra 0 til 21 og s4 er derfor ikke med
2
15a
21a
I ω 6a
2
= ∫ (−207,2a 2 + 10,5a ⋅ s1 ) 2 ds1 + ∫ − 144,2a 2 + 9,15a ⋅ s 2 ds 2 + ∫ − 7,0a 2 + 4,5a ⋅ s 3 ds 3 +
t
0
0
0
(
6a
∫ (140,2a
0
2
9a
)
2
(
)
2
)
3a
(
(
)
)
2
− 11,8a ⋅ s 5 ds 5 + ∫ 69,1a − 1,5a ⋅ s 6 ds 6 + ∫ 55,6a 2 − 2,87a ⋅ s 7 ds 7 ⇒
2
0
0
I ω = 457518 ⋅ a ⋅ t
5
I ω = 457518 ⋅ (1000mm ) ⋅ 225mm = 1,03 ⋅ 10 23 mm 6
5
Bestemmelse af vridningsinertimomentet
Vridningsinertimomentet er givet ved [Rumbjælker, 2002, s.70].
Iv = ∫
A
t 3 ( s )ds
3
Her er
46
t
tykkelsen [mm]
s
tværsnittes længde [mm]
(2-30)
JF Kennedy Arkaden
Her fås ved brug af (2-30):
I v = 20 ⋅ a ⋅ t 3 = 20 ⋅ 1000mm ⋅ (225mm ) = 227,8 ⋅ 10 9 mm 4
3
Bestemmelse af værdier
I det følgende regnes med at elasticitetsmodulet for beton er E = 1,75 · 104 MPa og poissonsforhold υ = 0,2
2.9.5
Iω
[mm6]
Iv
[mm4]
1,03 · 1023
227,8 · 109
Tabel 2.12 Værdier af parametre
G
k
[N/mm2]
[mm-1]
E
2 ⋅ (1 + ν )
7291,7
9,6· 10-7
k2
[mm-2]
G ⋅ Iv
E ⋅ Iω
k3
[mm-3]
9,22· 10-13
8,85· 10-19
Bestemmelse af mx
mx er det konstante moment, der påvirker tværsnittet, jf. Figur 2.25.
Figur 2.25 Skitsetegning til bestemmelse af mx, mål i mm, længden 12450 benævnes darm
47
K2. Bygningens totalstabilitet
mx med vind fra øst
Mv er det resulterende vridende moment:
kN
M v = q vind ⋅ d arm ⋅ A = 0,65 2 ⋅ 12,45 m ⋅ 21 m ⋅ 6,4 m = 1087,6 kNm
m
mx er det konstante vridende moment pr. højde af bygning:
M
1087,6 kNm
kNm
= 169,9
mx = v =
6,4 m
h
m
mx med vind fra nord
darm er her beregnet til 6000mm
kN
M v = q vind ⋅ d arm ⋅ A = 0,65 2 ⋅ 6 m ⋅ 21 m ⋅ 6,4 m = 524,2 kNm
m
mx =
M v 524,2 kNm
kNm
=
= 81,9
6,4m
h
m
2.9.6
Bestemmelse af
d 2θ
d3x
og
til brug i formel (2-20) og(2-21).
dx 2
dx 3
Det vridende moment Mx for en bjælke med åbent tyndfliget tværsnit og påvirket til ren vridning, er givet ved [Rumbjælker, 2002, s.78]:
dθ
d 3θ
Mx = G ⋅ Iv ⋅
− E ⋅ Iω ⋅ 3
dx
dx
(2-31)
Mx = mx · h
Da tårnet er fast indspændt er det vridende moment statisk ubestemt. Det betyder at vridningsvinklen θ bestemmes ved. [Rumbjælker, 2002, s.78]:
2
mx
d 4θ
2 d θ
k
−
⋅
−
=0
4
2
E ⋅ Iω
dx
dx
Her er
48
k2 =
G ⋅ Iv
E ⋅ Iω
E
elasticitets modulet for beton.
Iω
sektorinertimomentet.
mx
konstant momentpåvirkning.
Iv
inertimoment for vridning.
(2-32)
JF Kennedy Arkaden
Differentialligningen (2-32) har den fuldstændige løsning:
θ = C1 ⋅ sinh(k ⋅ x) + C 2 ⋅ cosh(k ⋅ x) + C 3 ⋅ x + C 4 − g(x)
(2-33)
hvor g(x) er en partikulær løsning til (2-32).
For mx konstant er: g(x) = −
mx ⋅ x2
2 ⋅ G ⋅ Iv
De afledede til (2-33) er:
m ⋅x
dθ
= C1 ⋅ k ⋅ cosh (k ⋅ x ) + C 2 ⋅ k ⋅ sinh (k ⋅ x ) + C 3 − x
dx
G ⋅ Iv
(2-34)
mx
d 2θ
= C1 ⋅ k 2 ⋅ sinh (k ⋅ x ) + C 2 ⋅ k 2 ⋅ cosh (k ⋅ x ) −
2
G ⋅ Iv
dx
(2-35)
d 3θ
= C1 ⋅ k 3 ⋅ cosh (k ⋅ x ) + C 2 ⋅ k 3 ⋅ sinh (k ⋅ x )
3
dx
(2-36)
2.10 Normal- og forskydningsspændinger for vind fra øst
I det følgende vil normal- og forskydningsspændingerne blive beregnet. Spændingerne bestemmes i bunden af 7. etage og henføres herfra til fundamentets overkant. Her summeres de
med spændingerne fra 1. til 6. etage, hvorved de totale spændinger fra vertikal last er bestemt.
Randbetingelserne for tværsnittet:
Ved faste understøtninger og simple vridningsunderstøtninger er vridningsvinklen θ = 0 dvs.
(R1)
x=0
θ = C2 + C4 = 0
Når hvælving er hindret gælder at ux = 0 dvs. dθ/dx = 0
(R2)
x=0
dθ
= C1 ⋅ k + C 3 = 0
dx
Kan hvælvingen foregå frit gælder, at σ
H
xx
d 2θ
=0⇒
=0
dx
49
K2. Bygningens totalstabilitet
(R3)
mx
d 2θ
= C1 ⋅ k 2 ⋅ sinh(k ⋅ h) + C 2 ⋅ k 2 ⋅ cosh(k ⋅ h) −
=0
2
G ⋅ Iv
dx
x=h
For en fri rand er Mx = Ms,x + MH, x. Det giver [Rumbjælker, 2002, s.79]:
(R4)
d 3θ
dθ
G ⋅ Iv
− E ⋅ Iω 3 = M x = 0
dx
dx
x=h
Det vides af k 2 =
G ⋅ Iv
G ⋅ Iv
⇒
= E ⋅ I ω dvs.
E ⋅ Iω
k2
dθ G ⋅ I v d 3 θ
− 2 ⋅ 3 = Mx = 0 ⇒
G ⋅ Iv
dx
k
dx
G ⋅ I v ⋅ (C1 ⋅ k ⋅ cosh(k ⋅ h) + C 2 ⋅ k ⋅ sinh(k ⋅ h) + C 3 −
mx ⋅ h
−
G ⋅ Iv
G ⋅ Iv
⋅ C1 ⋅ k 3 ⋅ cosh(k ⋅ h) + C 2 ⋅ k 3 ⋅ sinh(k ⋅ h) = M x = 0 ⇒
2
k
m ⋅h
M x = C3 − x
=0
G ⋅ Iv
(
)
Konstanterne C1, C2, C3, C4 bliver med vind fra øst ved brug af randbetingelser R1-R4
Fra (R4):
m ⋅h
C3 = x
=
G ⋅ Iv
169,9 ⋅ 10 6
Nmm
⋅ 6400 mm
mm
N
7,29 ⋅ 10 3
⋅ 227,8 ⋅ 10 9 mm 4
2
mm
= 6,55 ⋅ 10 − 4 mm −1
Fra (R2):
− mx ⋅ h
=
C1 =
G ⋅ Iv ⋅ k
− 169,9 ⋅ 10 6
N
7,29 ⋅ 10
⋅ 227,8 ⋅ 10 9 mm 4 ⋅ 9,6 ⋅ 10 −7 mm −1
mm 2
Fra (R1) og (R3):
C 2 = −C 4 = 111015
50
Nmm
⋅ 6400 mm
mm
3
= −682
JF Kennedy Arkaden
Med de fundne størrelser
d 2θ
d3x
og
, med vind fra øst, kan normal- og forskydningsspændx 2
dx 3
dingerne bestemmes.
Normalspændinger med vind fra øst
Normalspændingerne bestemmes af formlen [Rumbjælker, 2002, s.77].
H
σ xx = −E ⋅ ω n ⋅
d 2θ
dx 2
(2-37)
Her er
E
elasticitetsmodulet for beton.
normaliseret sektorkoordinat.
ωn
d θ
dx 2
2
den anden afledede til vridningsvinklen.
Spændingerne bestemmes i profilets bund, hvorfor x sættes lig 0. Den anden afledede bestemmes til:
mx
d 2θ
= C1 ⋅ k 2 ⋅ sinh( k ⋅ x) + C 2 ⋅ k 2 ⋅ cosh(k ⋅ x) −
=
2
G ⋅ Iv
dx
111014 ⋅ (9,6 ⋅ 10 −7 ) ⋅ 1 −
169,9 ⋅ 10 6
= 1,9 ⋅ 10 −12
3
9
7,29 ⋅ 10 ⋅ 227,8 ⋅ 10
Normalspændingerne beregnes langs væggen og findes i punkterne vist på (2-26).
Figur 2.26 Punkter på væggen
51
K2. Bygningens totalstabilitet
ωn er bestemt i afsnit 2.9.2 , og ved indsættelse i (2-37) fås,
For punkt A
ωn = -207· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
N
N
⋅ (−207,2) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = 6,9
2
mm 2
mm
For punkt B
ωn = -144,2· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
N
N
⋅ (−144,2) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = 4,8
2
mm 2
mm
For punkt C
ωn = -7,0· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
N
N
⋅ (−7,0) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = 0,23
2
mm 2
mm
For punkt D
ωn = 87,5· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
N
N
⋅ (87,5) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = −2,9
2
mm 2
mm
For punkt E
ωn = 47,0· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
N
N
⋅ (47) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = −1,6
2
mm 2
mm
For punkt F
ωn = 55,6· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
52
N
N
⋅ (55,6) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = −1,8
2
mm 2
mm
JF Kennedy Arkaden
For punkt G
ωn = 69,1· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
N
N
⋅ (69,1) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = −2,3
2
mm 2
mm
For punkt H
ωn = 140,2· a2
σ xxH = −1,75 ⋅ 10 4
N
N
⋅ (140,2) ⋅ (1000mm) 2 ⋅ 1,9 ⋅ 10 −12 mm − 2 = −4,7
2
mm 2
mm
For at få den samlede spændingsfordeling bestemmes spændingerne hidrørende det bøjende
moment. Det bøjende moment regnes ligeledes for vind fra øst.
I beregninger medtages kun horisontal last, dvs. N = 0.
σ bøj =
M bøj
i yy '
⋅ xi
(2-38)
Her er
Mbøj
momentet fra den vandrette last fra vind fra øst [kNm]
Iyy’
inertimomentet for bygningen om TP om y-aksen [m4]
x
vandret afstand til TP fra betragtet punkt, jf. Figur 2.18 [m]
Figur 2.27 Figur til bestemmelse af det bøjende moment M samt den vandrette kraft Q
53
K2. Bygningens totalstabilitet
For punkt A bliver normalspændingen σbøj fra det bøjende moment med vind fra øst:
Afstanden i x retningen fra TP til punkt A lig 10,5 m, jf. Figur 2.18.
Afstandende på Figur 2.27 er fundet til:
Bredden
b = 21m.
Højden
h = 6,4m
Højden fra fundament
d = 23,9m
Vertikale kraft fra vind
qv = 0,65kN/m2
kN
⋅ 21,0 m ⋅ 6,4 m ⋅ 23,9 m = 2088 kNm
m2
3
= 1584 ⋅ a 3 ⋅ t = 1584 ⋅ (1 m ) ⋅ 0,225 m = 356,4 m 4
M x = q v ⋅ b ⋅ h ⋅ d = 0,65
I yy '
σ Bøj =
2088 kNm
kN
N
⋅ 10,5 m = 61,5 2 = 0,062
4
356,4 m
m
mm 2
Den totale normalspænding bliver dermed:
σ A = σ bøj + σ xxH = 0,06 MPa + 6,9 MPa = 7,0 MPa
Værdierne for de øvrige punkter er opstillet i Tabel 2.13. Disse værdier skal multipliceres
med normalspændingerne fra 1. til 6 etage.
Tabel 2.13 De samlede normalspændinger ved fundamentet for horisontal last for vind fra øst
σHxx
x-afstand
σBøj
σtotal for tårn
Punkt
[MPa]
[m]
[MPa]
[kPa]
A
6,9
10,5
0,06
6960
B
4,8
10,5
0,06
4860
C
0,23
-4,5
-0,03
2330
D
-2,9
-4,5
-0,03
-2930
E
-1,6
-4,5
-0,03
-1630
F
-1,8
-1,5
-0,01
-1810
G
-2,3
-1,5
-0,01
-2310
H
-4,7
1,5
0,01
-4710
Normalspændingerne er optegnet på Figur 2.28.
54
JF Kennedy Arkaden
Figur 2.28 De totale normalspændinger for tårnet hidrørende fra horisontal last fra øst [kPa]
Forskydningsspændinger med vind fra øst
Den forskydende kraft pr. længdeenhed bestemmes ud fra formel(2-21):
H x = E ⋅ Sω ⋅
d 3θ
⋅t
dx 3
Her er
E
elasticitetsmodulet for beton.
Sω
sektorstatiske moment.
θ
vridningsvinklen.
Forskydningsspænding τ, fås herved til:
τ=
Hx
t
(2-39)
Her er
t
tykkelsen af tværsnittet [m]
Til bestemmelse af den forskydende kraft, bestemmes:
d 3θ
= C1 ⋅ k 3 ⋅ cosh(kx) + C 2 ⋅ k 3 ⋅ sinh( kx)
3
dx
55
K2. Bygningens totalstabilitet
Da spændingen ønskes bestemt i bunden af 7.etage sættes x = 0 , jf. Figur 2.25.
dvs. for x = 0 ,
d 3θ
= −682 ⋅ 8,85 ⋅ 10 −19 = −6,03 ⋅ 10 −16 mm −3
3
dx
For punkt A
(
S ω = t ⋅ − 207,2 ⋅ a 2 ⋅ s1 + 5,25 ⋅ a ⋅ s12
)
s1 = 0mm
Hx = 0 N/mm2
N
0
N
dvs. τ = mm = 0
225mm
mm 2
For punkt B
S ω = t ⋅ a 3 ⋅ (− 1054,2 )
s2 = 0mm
(
)
N
N
3
⋅ 225mm ⋅ (1000mm ) ⋅ (− 1054,2 ) ⋅ −6,03 ⋅ 10 −16 mm −3 = 2503
2
mm
mm
N
2503
mm = 11,1 N
dvs. τ =
225mm
mm 2
H x = 1,75 ⋅ 10 4
For punkt C
S ω = t ⋅ a 3 ⋅ (− 2187,8)
s3 = 0mm
(
)
N
N
3
⋅ 225mm ⋅ (1000mm ) ⋅ (− 2187,8) ⋅ −6,03 ⋅ 10 −16 mm −3 = 5195
2
mm
mm
N
5195
mm = 23 N
dvs. τ =
225mm
mm 2
H x = 1,75 ⋅ 10 4
56
JF Kennedy Arkaden
For punkt D
s4 = 0mm
N
mm
N
0
N
dvs. τ = mm = 0
225mm
mm 2
H x = 0,0
For punkt E
S ω = t ⋅ a 3 ⋅ 970
s7 = 0mm
(
)
(
)
(
)
N
N
3
⋅ 225mm ⋅ (1000mm ) ⋅ (970 ) ⋅ −6,03 ⋅ 10 −16 mm −3 = −2303
2
mm
mm
N
− 2303
mm = −10 N
dvs. τ =
225mm
mm 2
H x = 1,75 ⋅ 10 4
For punkt F
S ω = t ⋅ a 3 ⋅ 1190
s7 = 0mm
N
N
3
⋅ 225mm ⋅ (1000mm ) ⋅ 1190 ⋅ −6,03 ⋅ 10 −16 mm −3 = −2825
2
mm
mm
N
− 2825
mm = −12,6 N
dvs. τ =
225mm
mm 2
H x = 1,75 ⋅ 10 4
For punkt G
S ω = t ⋅ a 3 ⋅ 628,8
s6 = 0mm
N
N
3
⋅ 225mm ⋅ (1000mm ) ⋅ 628,8 ⋅ −6,03 ⋅ 10 −16 mm −3 = −1493
2
mm
mm
N
− 1493
mm = −6,6 N
dvs. τ =
225mm
mm 2
H x = 1,75 ⋅ 10 4
57
K2. Bygningens totalstabilitet
For punkt H
s5 = 0mm
N
mm
N
0
N
dvs. τ = mm = 0
225mm
mm 2
H x = 0,0
De ovenstående forskydningsspændinger stammer fra det vridende moment. I det følgende
findes forskydningsspændingerne fra den vandrette kraft Q.
τ=
Qy ⋅ S y
(2-40)
I yy ' ⋅ t
Her er
Q
vandrette kraft.
Sy
statiske moment om x-aksen for betragtet punkt.
Iyy”
inertimomentet om y-aksen.
t
tykkelsen af vægprofilerne.
Q findes ud fra Figur 2.27 for vind fra øst.
Qλ = 0,65
kN
⋅ 21 m ⋅ 6,4 m = 91,4kN
m2
I yy ' = 1584 ⋅ a 3 ⋅ t = 1584 ⋅ (1m ) ⋅ 0,225m = 356,4m 4
3
t = 0,225m
Det statiske moment om y-aksen bestemmes af:
S y = ∫ x ⋅ dA = t ⋅ x ⋅ s
Her er
x
afstand i x retningen til tyngdepunktet for betragtede punkt [m]
t
tykkelsen af profilet [m]
s
afstand til betragtet punkt fra begyndelsespunktet A [m]
De statiske momenter bestemmes ud fra Figur 2.29.
58
(2-41)
JF Kennedy Arkaden
Figur 2.29 De statiske momenter bestemmes ud fra viste buemål s1, s2, s3, s4, s5, s6
Tabel 2.14 De statiske momenter.
Punkt
Længde
y
x
6a
3,15a+6s1
10,5a
A
S x = ∫ ytds
S y = ∫ xtds
0
s1
B
s2
15a
9,15a
10,5a -s2
C
H
s4
6a
-11,85a
4,5a-s4
G
0
3,15a ⋅ s1 ⋅ t + 3 ⋅ s ⋅ t
126,9 ⋅ a 2 ⋅ t
2
1
126,9 ⋅ a 2 ⋅ t + 9,15a ⋅ s 2 ⋅ t
9a
11,85a+s5
-1,5a
F
s6
3a
-2,85a
3a-s6
63 ⋅ a 2 ⋅ t
63 ⋅ a 2 ⋅ t + 10,5a ⋅ s2 ⋅ t −
264 ⋅ a 2 ⋅ t
108 ⋅ a 2 ⋅ t
0
0
− 11,85a ⋅ s4 ⋅ t
1
⋅ t ⋅ s22
2
1 2
⋅ s4 ⋅ t
2
9 ⋅ a2 ⋅t
4,5a ⋅ s 4 ⋅ t −
− 71,1 ⋅ a 2 ⋅ t
s5
10,5a ⋅ s1 ⋅ t
− 71,1 ⋅ a 2 ⋅ t + 9a ⋅ s ⋅ t − 1 ⋅ s 2 ⋅ t
5
5
2
− 30,6 ⋅ a 2 ⋅ t
− 30,6 ⋅ a 2 ⋅ t − 2,85a ⋅ s ⋅ t
9 ⋅ a 2 ⋅ t − 1,5a ⋅ s5 ⋅ t
− 4,5 ⋅ a 2 ⋅ t
E
− 39,2 ⋅ a 2 ⋅ t
− 4,5 ⋅ a 2 ⋅ t + 3a ⋅ s ⋅ t − 1 ⋅ s 2 ⋅ t
6
6
2
− 45 ⋅ a 2 ⋅ t
D
0
0
6
59
K2. Bygningens totalstabilitet
Med a = 1m og t = 0,225m bliver de statiske momenter om de to akser i [m3].
Tabel 2.15 De statiske momenter i de valgte punkter
Sy
Sx
Punkt
[m3]
[m3]
A
0
0
B
28,6
14,2
C
59,4
10,1
H
0
0
G
-16,0
2,0
F
-6,9
-1,0
E
-8,8
-10,1
D
0
0
Det er nu muligt at bestemme forskydningsspændingen fra den vandrette last.
Eksempel for punkt B, vind fra øst
τB =
91,4 kN ⋅ 28,6 m 3
kN
= 32,6 2 = 32,6kPa
4
356,4 m ⋅ 0,225 m
m
De øvrige forskydningsspændinger er beregnet og opstillet i Tabel 2.16
Tabel 2.16 Forskydningsspændinger fra vandret last vind fra øst
Punkt
τpx
[kPa]
A
0
B
32,6
C
67,7
D
0
E
-10,0
F
-7,9
G
-18,2
H
0
Med vind fra øst er den samlede forskydningsspænding hidrørende vandret last på tårnet optegnet på Figur 2.30:
60
JF Kennedy Arkaden
Figur 2.30 Forskydningsspændinger for tårn med vind fra øst [kPa]
2.11 Normal- og forskydningsspændinger med vind fra nord
Med vind fra nord skal konstanterne bestemmes med ny mx. Konstanterne C1, C2, C3, C4 for x
= 0 bliver med vind fra nord følgende:
C1
[-]
-329
Tabel 2.17 Værdier af konstanterne
C2
C3
C4
[-]
[mm-1]
[-]
53514
3,16·10-4
-53514
mx
[Nmm/mm]
81,9· 106
m
d 2θ
= C1 ⋅ k 2 ⋅ sinh (k ⋅ x ) + C 2 ⋅ k 2 ⋅ cos(k ⋅ x) − x = 2 ⋅10 −13
2
G ⋅ Iv
dx
d 3θ
= C1 ⋅ k 3 ⋅ cosh(kx) + C 2 ⋅ k 3 ⋅ sinh(kx) = −58,6 ⋅ 8,85 ⋅10 −19 = −5,2 ⋅10 −17
3
dx
Normalspændinger med vind fra nord
Normalspændingerne fra det vridende moment med vind fra nord er bestemt ved samme fremgangsmåde som for vind fra øst. Normalspændingerne er opstillet i Tabel 2.18 .
61
K2. Bygningens totalstabilitet
Tabel 2.18 Normalspændinger for tårnet med vind fra nord hidrørende fra det vridende moment
σHxx
Punkt
[MPa]
A
3,0
B
2,0
C
0,1
D
-1,3
E
-0,7
F
-0,8
G
-1,0
H
-2,0
For punkt A bliver normalspændingen fra det bøjende moment med vind fra nord, σBøj
Afstanden x er tidligere fundet jf. Figur 2.18 til 10,5a ⇒ 10,5m, se evt. Figur 2.27
M x = q v ⋅ b ⋅ h ⋅ a = 0,65
kN
⋅ 23,9m ⋅ 6,4m ⋅ 15,0m = 1491kNm
m2
I xx ' = 3725 ⋅ a 3 ⋅ t = 3725 ⋅ (1m ) ⋅ 0,225m = 838,1m 4
3
σ Bøj=
1491kNm
kN
N
⋅ 10,5m = 18,7 2 = 0,02
4
838,1m
m
mm 2
Den totale normalspænding fra tårnet bliver dermed i punkt A:
σA = 0,02 MPa + 0,73 MPa = 0,75 MPa = 750 kPa
Tabel 2.19 Totale normalspændinger for tårnet med vind fra nord
σHxx
x-afstand
σBøj
σtotal
Punkt
[MPa]
[m]
[MPa]
[kPa]
A
10,5
0,02
3020
3,0
B
C
D
E
F
G
H
2,0
0,1
-1,3
-0,7
-0,8
-1,0
-2,0
10,5
0,02
2020
-4,5
-0,01
110
-4,5
-0,01
-1310
-4,5
-0,01
-710
-1,5
0,0
-800
-1,5
0,0
-1000
1,5
0,0
-2000
Normalspændingerne fra tårnet, med vind fra nord, er optegnet på Figur 2.31.
62
JF Kennedy Arkaden
Figur 2.31 De totale normalspændinger for tårnet hidrørende fra horisontal last, med vind fra nord [kPa]
Forskydningsspændinger med vind fra nord
Beregningerne for vind fra nord er fortaget på samme måde, men med mx udregnet for vind
fra nord se afsnit 2.9.5 .
Tabel 2.20 Forskydningsspændingerne for tårnet med vind fra nord
Punkt
Hx [N/mm]
τ [N/mm2]
A
0
0
B
1209
5,7
C
2508
11,2
D
0
0
E
-1112
-4,9
F
-1364
-6,1
G
-721
-3,2
H
0
0
De ovenstående forskydningsspændinger stammer fra det vridende moment. I det følgende
beregnes forskydningsspændingerne fra den vandrette kraft Q.
Q bestemmes som for find fra øst.
kN
⋅ 15 m ⋅ 6,4 m = 65,3 kN
m2
t = 0,225m
3
I xx ' = 3725 ⋅ a 3 ⋅ t = 3725 ⋅ (1m ) ⋅ 0,225m = 838,1m 4
Q y = 0,65
63
K2. Bygningens totalstabilitet
Forskydningsspændingerne er beregnet efter formel (2-40) og det statiske moment er tidligere
beregnet og opstillet i Tabel 2.15.
Tabel 2.21 Forskydningsspændinger fra vandret last
Punkt
Sy
τpy
[m3]
[kPa]
A
0,0
0
B
14,2
4,9
C
10,1
3,5
H
0,0
0
G
2,0
0,7
F
-1,0
-0,3
E
-10,1
-3,5
D
0,0
0
Ved summation af værdierne for spændingerne fra Tabel 2.20 og Tabel 2.21
Figur 2.32 Forskydningsspændinger for tårne med vind fra nord
Ved beregningerne af forskydningsspændingerne er det valgt at se bort fra beregnet værdier
for den del af vægprofil 9, der består af 1.-3. etage, da dette delvist er opbygget af et lukket
tyndfliget tværsnit. Beregningsmetoden for lukkede tyndfligede tværsnit er anvendt på vægprofil 11, idet denne rapport indgår i en læreproces, er det valgt ikke at gentage denne beregning.
64
JF Kennedy Arkaden
I det følgende gives et eksempel for bestemmelse af den samlede normalspænding for vind fra
øst. Der regnes for tårnets punkt B jf. Figur 2.29.
Ud fra den anvendte metode der er benyttet i afsnit 2.1 er der for punkt B bestemt en normalspænding for 1.-6. etage på 26 kPa. For 7. til 8. etage er der i afsnit 2.10 bestemt en normalspænding fra det vridende moment på 4800 kPa samt en normalspænding fra det bøjende
moment på 60 kPa. Sammenlagt giver det for punkt B:
26 kPa + 4800 kPa + 60 kPa = 4886 kPa svarende til 4,9 MPa.
Den endelige fordeling af normal- og forskydningsspændinger for vindpåvirkning fra hhv. øst
og nord, ses på Figur 2.33 til Figur 2.36.
Figur 2.33 Endelig fordeling af normalspændinger med vind fra øst[kPa]. Er ikke i mål. Træk er positiv.
65
K2. Bygningens totalstabilitet
Figur 2.34 Endelig fordeling af normalspændinger med vind fra nord [kPa]. Er ikke i mål. Træk er positiv.
Figur 2.35 Endelig fordeling af forskydningsspændinger med vind fra øst [kPa]. Er ikke i mål
66
JF Kennedy Arkaden
Figur 2.36 Endelig fordeling af forskydningsspændinger med vind fra nord [kPa]. Er ikke i mål
67
K3. Detaildimensionering af TT dæk
K3. Detaildimensionering af TT dæk
I dette kapitel detaildimensioneres en del af etagedækket for taghaven. Det er valgt, at detaildimensionere dækket over Premierebiografen hvor spændvidden er 20,4 m. Etagedækket dimensioneres i hht. DS 411 og DS 410.
3.1
Etagedæk over premierebiograf
Arkaden opbygges af elementmoduler fra producenten Spæncom. Spæncom leverer vægelementer, med en modulbredde, der er delelig med 600 mm. For at undgå brug af dyre specialelementer vælges at bruge producentens modulmål så der kan anvendes lagervarer. Tages der
ikke højde for disse modullængder, vil det medføre, at enkelte elementer skal specialfremstilles, hvilket vil forhøje prisen på elementet væsentligt. På Figur 3.1 fremgår spændretning for
dækket over premierebiografen samt tilstødende dækelementer.
Figur 3.1 Spændretning af etagedæk samt placering af premiere biograf
Biografen har en indvendig dimension på (l x b) 20,2 m x 24 m. Dækket over biografen ligger af på en 200 mm bred væg. Da der også skal ligge dæk af på væggen fra de tilstødende
rum bliver vederlaget 100 mm. Det vælges derfor at benytte et standart TT dæk med en dimension (l x b) på 20,4 m x 2,4 m. På Figur 3.2 er elementerne omkring biografen samt TT
dækkene illustreret.
68
JF Kennedy Arkaden
Figur 3.2 Elementer i præmierebiografen
Vægelementerne leveres i modulmål, som er delelig med 600 mm. Herved fås følgende opbygning som vist på Figur 3.3.
Figur 3.3 Elementer omkring premierebiografen
Antallet af elementer, der skal benyttes til Premierebiografen fremgår af Tabel 3.1.
Tabel 3.1 Elementer til premierebiografen
Bredde (incl fuge)
[mm]
Højde
[mm]
Tykkelse
[mm]
Antal
[stk]
Væg 200a
2400
6000
200
55
Væg 200b
2400
6000
200
2
Væg 200c
2400
6000
200
1
Væg 200d
1200
6000
200
2
Væg 350
2400
2000
350
18
69
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Der skal til konstruktionen benyttes 10 stk. TT dæk med l x b på 20,4m x 2,4m. TT dækket
modelleres med fast simpel understøtning ved væggene som vist på Figur 3.4.
Figur 3.4 Modellering af statisk system for TT dækket
3.1.1
Laster på etagedæk
For at isolere biografen og lave et underlag til taghaven monteres et sandwichelement ovenpå
TT dækket som vist på Figur 3.5.
50 mm
Figur 3.5 Opbygning af præmiere biografens tagkonstruktion
Med udgangspunkt i DS 410 bestemmes lasterne som TT dækelementerne skal bære. Linielasterne på TT dækket beregnes ud fra dækkets modulmål på 2400 mm.
Tabel 3.2 Laster
Letbeton
Rumvægt Tykkelse
[kN/m3]
[m]
14
0,05
Linielast pr. TT dækelement
[kN/m]
1,7
Isolerings batts.
0,3
0,25
0,2
Letbeton
14
0,06
2,0
TT-bjælke*
-
-
8,4
Gipsloft
9
0,05
1,1
* Spæncom angiver egenvægt på 3,5 kN/m2
Den samlede permanente last på TT dækket er 13,4 kN/m. I henhold til DS 410 skal der for
tagterrasser regnes med en nyttelast på 3 kN/m2. Herved fås en linielast på 7,2 kN/m. På tagterrasser skal der ikke regnes med snelast, idet det forudsættes, at der ikke er personbelastning
ved sne på terrassen samt at personbelastning er større end snelasten.
70
JF Kennedy Arkaden
Tabel 3.3 Laster som påvirker TT-dækelementet
[kN/m]
3.1.2
Permanent last
G
13,4
Nyttelast
Ny
7,2
Lastkombinationer
Følgende lastkombinationer er vurderet som værende dimensionsgivende for TT dækket.
Anvendelsesgrænsetilstand
Brudgrænsetilstand
Brand
LK 1 :
LK 2.1:
LK 3.3:
1.G + 1.Ny
1.G + 1,3.Ny
1.G + 0,5.Ny
På Figur 3.6 er moment- og forskydningskraftfordeling for de 3 lastkombinationer vist.
Lastkombination LK 1:
3.3:
Lastkombination LK 2.1:
Lastkombination LK
Figur 3.6 Kraftfordeling for LK 1, LK 2.2 og LK 3.3
3.2
Beregningsforudsætninger
Ved dimensionering af TT dækkene anvendes følgende beregningsforudsætninger:
- Høj sikkerhedsklasse.
- Passiv miljøklasse.
- Normal materialekontrolklasse.
71
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Herved fås følgende partialkoefficienter for armering og beton som vist i Tabel 3.4.
Tabel 3.4 Partial koefficienter [DS 411, 1999 s. 29]
γb
γs
1,82
1,43
Armering
TT dækket længdearmeres med forspændte L12,5 linier. Linens arbejdslinie er vist på Figur
3.7.
Figur 3.7 Karakteristisk arbejdslinie for L12,5. [Søren Kloch, 2001, s. 2.3]
Tværsnitskonstanterne for L12,5 linerne fremgår af Tabel 3.5.
Tabel 3.5Tværsnitskonstanter for L12,5 [Søren Kloch, 2001, s. 2.3]
Type
Diameter
[mm]
Armerings areal, As
[mm2]
Elasticitetsmodul, E
[MPa]
Brudstyrke, fuk
[MPa]
L12,5
12,5
93
1,85.105
1760
Til spaltearmering af TT dækket benyttes tentorstål med en karakteristisk flydespænding, fyk =
550 MPa. Der anvendes dimensionerne φ10 og φ12 til spaltearmering. Til armering af flangen
for TT dækket benyttes et armeringsnet med en maskevidde på 200mm og en armeringsdiameter på φ6.
72
JF Kennedy Arkaden
Beton
Der anvendes følgende beton i TT dækket jf. Tabel 3.6.
Tabel 3.6 Betonkarakteristika
Nominel maks. korndiameter
Trykstyrke, fck
Trækstyrke, ftk
[mm]
[Mpa]
[Mpa]
15
40
2
For betonens bøjningstrækstyrke anvendes to gange trækstyrken i henhold til [DS 411, 1999,
s.77].
3.2.1
TT dækkets tværsnit samt konstanter
TT dækket dimensioner fremgår af Figur 3.8. I beregningerne af TT dækket antages retliniet
tværsnit som vist på figuren til højre.
Figur 3.8 Tværsnit af TT60 dæk fra Spæncom samt tilnærmet tværsnit. Mål i mm
Ud fra dimensionerne bestemmes følgende tværsnitskonstanter, som fremgår af Tabel 3.7.
Tabel 3.7 Tværsnitskonstanter
Tværsnitsareal
Inertimoment
A
Ix
Wel,1
Wel,2
[mm2]
[mm4]
[mm3]
[mm3]
5
9
Modstandsmoment
3,06 · 10
10,812 · 10
5,721· 10
Index 1 og 2 referer til hhv. tværsnittet bund og top.
7
2,631· 10
Kerneradier
7
k1
k2
[mm]
[mm]
187
86
73
K3. Detaildimensionering af TT dæk
3.3
Dimensionering af længdearmering
I dette afsnit bestemmes først et interval for forspændingskraften i forhold til anvendelsesgrænsetilstanden. Herefter fastsættes en forspændingskraft, og bjælkens brudmoment kontrolleres i brudgrænsetilstand 2.1. Der tages udgangspunkt i et tværsnit midt på bjælken armeret
med 24 liner som vist på Figur 3.9.
Figur 3.9 Placering af armering ved bjælkens midte. Mål i mm og er fra centrum af armering
Armeringen er placeret i henhold til DS 411 krav til tykkelse af dæklag og armeringsafstande.
Anvendelsesgrænsetilstand 1
Der anvendes lastkombinationen 1:
LK 1:
1 · G + 1 · Ny
Herved fås det maksimale momentet fra henholdvis den permanente last, Mg og nyttelast, Mp
til:
Mg = 697 kNm
Mp = 375 kNm
For at undgå revnedannelser i anvendelsesgrænsetilstanden ønskes forspændingskraften bestemt, så de resulterende spændinger opfylder:
−σt ≤ σ ≤ σc
Her er
74
σt
den numerisk største værdi af trækspændingerne.
σc
den største trykspænding som kan accepteres.
(3-1)
JF Kennedy Arkaden
I beregningerne forudsættes en elastisk spændingsfordeling i betontværsnittet som vist på
Figur 3.10.
Figur 3.10 Forudsat spændingsfordeling i betonen
Der er ingen Norm krav til tilladelige trykspændinger i beton i anvendelsestilstanden, men
erfaringsmæssigt bør der ikke vælges større spænding end 55 procent af den karakteristiske
trykspænding [Kloch, Note 3, s. 3.4]. Der anvendes derfor 0,55·fck for tilladelige trykspændinger i betonen og 2·ftk for bøjningstrækstyrken jf. afsnit 3.2 . Ved brug af spændingsfordelingerne i Figur 3.10 fås følgende krav til forspændingskraften, K [Kloch, Note 3, s. 3.4].
For tværsnittets overside:
M g + M p − σ c ⋅ W2
yk − k2
≤K≤
M g + σ t ⋅ W2
yk − k2
(3-2)
For tværsnittets underside:
M g + M p − σ t ⋅ W1
y k + k1
≤K≤
M g + σ c ⋅ W1
y k + k1
(3-3)
Her er
Mg
moment fra nyttelast [kNm]
Mp
moment fra permanent last [kNm]
yk
Afstand fra tyngdepunktsakse til tyngdepunkt af armering [m]
I udtrykkene anvendes index 1 for tværsnitkonstanter hidrørende for den nederste del af tværsnittet og index 2 for den øverste del. Ved indsættelse i formlerne fås:
For tværsnittets overside:
For tværsnittets underside:
1952 kN ≤ K ≤ 3159 kN
1599 kN ≤ K ≤ 3710 kN
Herved skal der anvendes en forspænding i intervallet:
1952 kN ≤ K ≤ 3159 kN.
75
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Der benyttes 24 armeringsstænger, hvilket betyder, at hver armeringsline skal forspændes
med en kraft i intervallet:
81 kN ≤ K ≤ 131 kN.
Brudgrænsetilstand 2.1
Elementer leveret af Spæncom kan maksimalt forspændes med 160 kN/line. Der er derfor
ingen yderligere indsnævring af forspændingsintervallet. Det vælges at forspænde med en
kraft på 117 kN/line af hensyn til brudmoment, krybning, svind og relaxation. Begyndelsestøjningen, ε0 for en forspænding på 117 kN/line bestemmes ud fra Figur 3.11 til
6,8 ‰.
Figur 3.11 Arbejdskurve for L 12,5 liner. [ Kloch, 2001, s. 2.3]
I det følgende antages en trykzone højde, x hvorefter det kontrolleres ved vandret ligevægt om
den statiske betingelse for konstruktionen er opfyldt. På Figur 3.12 er spændings- og tøjningsfordelingen vist.
Figur 3.12 Tværsnit samt tøjning og spændingsfordeling. (mål i mm)
76
JF Kennedy Arkaden
Trykzonehøjden, x antages til 64,5 mm. Tillægstøjningen i armeringen bestemmes:
∆ε s = ε cu ⋅
d−x
529mm − 64,5mm
= 3,5‰ ⋅
= 25,2‰
x
64,5mm
(3-4)
Den totale tøjning i armeringen bliver:
ε s = ε 0 + ∆ε s = 6,8‰ + 25,2‰ = 32,0‰
(3-5)
Ved brug af Figur 3.11 bestemmes kraften, Fs i hver armeringsline til 161,6 kN. Idet antallet
af armeringsliner betegnes n, giver vandret projektion for tværsnittet:
H:
n ⋅ Fs
γs
−
0,8 ⋅ x ⋅ 2394 ⋅ f c
γc
24 ⋅ 161,6 ⋅ 10 3 N 0,8 ⋅ 64,5mm ⋅ 2394mm ⋅ 40MPa
=
−
= 2,7 kN
1,43
1,82
Det accepteres med denne afvigelse. Brudmomentet, Mu på midten af bjælken bliver:
M u = (d − 0,4 ⋅ x) ⋅ N ⋅
Fs
γs
⇒
161,6 ⋅ 10 3 N line
M u = (529mm − 0,4 ⋅ 64,5mm) ⋅ 24liner ⋅
= 1365kNm
1,43
(3-6)
Da det største snitmoment i LK 2.1 er 1184 kNm jf. afsnit 3.1.1 er der tilstrækkelig styrke.
Da momentet hidrørende egenlasten er nul ved bjælkeenden undersøges for brud ved bjælkeenden forårsaget af forspændingen. På Figur 3.13 ses spændingsfordelingen ved bjælkeenden.
Figur 3.13 Spændingsfordeling fra forspændingskraften ved bjælkeende
77
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Spændingsfordelingen bestemmes ved brug af Navier, jf. formel (3-7):
σ =
F F ⋅a
+
⋅y
A
Iz
(3-7)
Her er
F
forspændingskraften [N]
a
Afstanden fra tværsnittets tyngdepunktslinie til tyngdepunktet af armeringen [mm]
Ved indsættelse i formel (3-7) bestemmes spændingen i tværsnittets top og bund:
− 24 ⋅ 161,6 ⋅ 10 3 N − 24 ⋅ 161,6 ⋅ 10 3 N ⋅ 340mm
+
σ =
⋅y
10,812 ⋅ 10 9 mm 4
305640mm 2
 y = −189mm ⇒ 7,5MPa
 y = 411mm ⇒ −45,5MPa
σ =
Da spændingerne ikke ligger i intervallet [-4 Mpa ; 22 MPa] opstår der brud ved bjælkeenden
pga. forspænding af armeringen. Derfor vælges det at opbøje længdearmering ud mod bjælkeenden. Dette vil reducere den indre momentarm, hvilket medfører en formindskelse af
spændingen ved bjælkeenden.
Fremgangsmåden til bestemmelse af den nødvendige opbøjning af armeringen er:
1. Bestemmelse af interval for yk
2. Opbøjning af line
3. Kontrol af brudmoment
Ved bestemmelse af interval for yk benyttes (3-2) og (3-3), der omskrives til:
For tværsnittets overside:
M g + M p − σ c ⋅ W2
K
78
+ k2 ≤ yk ≤
M g + σ t ⋅ W2
K
+ k2
(3-8)
JF Kennedy Arkaden
For tværsnittets underside:
M g + M p − σ t ⋅ W1
K
− k1 ≤ y k ≤
M g + σ c ⋅ W1
K
− k1
(3-9)
Ved brug af formel (3-8) og (3-9) bestemmes øvre og nedre værdier af yk. Værdierne er beregnet pr. løbende meter og fremgår af Tabel 3.8. På Figur 3.14 fremgår for hvilket område
resultanten af armeringen kan placeres. For at kunne benytte formel (3-8) og (3-9) bestemmes
momentligningerne for den permanente last og nyttelasten:
x
20,4m
M g = 7,2 ⋅ kN / m ⋅ x ⋅ − 7,2 ⋅ kN / m ⋅
⋅ x = 3,6kN / m ⋅ x 2 − 73,4 ⋅ kN ⋅ x
2
2
(3-10)
x
20,4m
2
M g + M p = 20,6 ⋅ kN / m ⋅ x ⋅ − 20,6 ⋅ kN / m ⋅
⋅ x = 10,3 ⋅ kN / m ⋅ x − 210,1 ⋅ kN ⋅ x
2
2
Ved x = 0 bliver intervallet for yk ved brug af formel (3-8):
For tværsnittets overside:
10,3 ⋅ kN / m ⋅ 0 2 − 210,1 ⋅ kN ⋅ 0 − 0,55 ⋅ 40 MPa ⋅ 2,631 ⋅ 10 7 mm 3
+ 86mm
24 ⋅ 117 ⋅ kN
≤ yk ≤
3,6kN / m ⋅ 0 2 − 73,4 ⋅ kN ⋅ 0 + 4 ⋅ MPa ⋅ 2,631 ⋅ 10 7 mm 3
+ 86mm
24 ⋅ 117 ⋅ kN
Intervallet for tværsnittets overside bliver:
− 120mm ≤ y k ≤ 124mm
For tværsnittets underside:
10,3 ⋅ kN / m ⋅ 0 2 − 210,1 ⋅ kN ⋅ 0 − 4MPa ⋅ 5,721 ⋅ 10 7 mm 3
− 187mm
24 ⋅ 117 ⋅ kN
≤ yk ≤
3,6kN / m ⋅ 0 2 − 73,4 ⋅ kN ⋅ 0 + 0,55 ⋅ 40 ⋅ MPa ⋅ 5,731 ⋅ 10 7 mm 3
− 187mm
24 ⋅ 117 ⋅ kN
79
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Intervallet for yk ved tværsnittets underside bliver:
− 269mm ≤ y k ≤ 261mm
Intervallet for yk når x = 0 er − 120mm ≤ y k ≤ 124mm
De resterende intervaller for yk er beregnet på tilsvarende måde og resultater fremgår af Tabel
3.8.
Figur 3.14 Markerede areal afgrænser nedre og øvre værdi for yk
For at kunne opbøje armeringen i den forspændte konstruktion placere en plade med huller i
til armeringsstængerne 7 m fra understøtningen. Det vælges at opbøje armeringen med en
vinkel på 1,8º fra pladen og ud til understøtningen.
Tabel 3.8 Øvre og nedre værdier for yk, samt fastlag afstand for yk
x
[mm]
0
Nedre yk
[mm]
-120
Øvre yk
[mm]
124
Valgt yk
[mm]
120
1000
-49
170
151
2000
15
211
183
3000
71
248
214
4000
121
280
246
5000
162
307
277
6000
197
330
309
7000
224
347
340
8000
244
360
340
9000
256
368
340
10200
262
372
340
Placering af armeringens resultant fremgår Figur 3.15.
80
JF Kennedy Arkaden
Figur 3.15 Placering af armeringsresultanten
Kontrol af brudmoment
Til bestemmelse af brudmoment benyttes samme fremgangsmåde som tidligere anvendt. Der
er for hver yk-værdi beregnet en ny trykzonehøjde, x. Dette bevirker at forspændingskraften
ændres. Herved kan brudmomentet for de enkelte snit beregnes hvorefter det kontrolleres, om
det er større end det beregnede snitmoment ved brudgrænsetilstnad i lastkombination LK 2.1.
Resultater af beregning fremgår af Tabel 3.9.
Tabel 3.9 Kontrol af momentbæreevne for lastkombination LK 2.1
x
[mm]
yk
[mm]
Trykzonehøjde, x
[mm]
εs
[‰]
K
[kN]
Mu
[kNm]
0
120
61,0
21,0
152,8
730
0
1000
151
61,0
22,8
154,3
818
221
2000
183
62,0
24,3
155,4
905
419
3000
214
62,0
26,1
156,9
996
594
4000
246
63,0
27,5
158,0
1086
747
5000
277
63,0
29,2
159,4
1179
876
6000
309
64,0
30,5
160,4
1271
983
7000
340
64,5
32,0
161,6
1365
1067
8000
340
64,5
32,0
161,6
1365
1129
9000
340
64,5
32,0
161,6
1365
1168
10200
340
64,5
32,0
161,6
1365
1184
>
MLK 2.1
[kNm]
Det fremgår af tabellen samt Figur 3.16, at brudmomentet er større end snitmoment.
81
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Figur 3.16 Momentkurve for venstre bjælkehalvdel. Stiplede linie viser momentkurve for lastkombination LK 2.1
mens nederste afgrænsede område beskriver TT dækkets brudmoment
3.4
Svind, krybning og relaxation
Ved svind og krybning opstår der en sammentrykning af betonen og dermed en spændingsændring af den forspændte armering. Relaxation beskriver spændingstabet, der opstår i armeringen under konstant tøjning. Det reducerede brudmoment for TT dækket bestemmes for
tiden t → ∞.
Materialeparametre for TT dækket:
Den anvendte beton har følgende karakteristika:
- Cementindhold, C = 350 kg/m3
- Vand cementtal, v/c = 0,5
- Modenhed, der beskriver den ækvivalente hærdealder ved 20o, M20 = 10 døgn
- Cementstyrkeklassen er 52,5
Derudover er der til beregningerne forudsat at:
- Relativ luftfugtighed, RF = 90% i de første 14 dage og 50% i resten af perioden
- Relaxation, R = 5% af forspændingskraften [Producentoplysning]
82
JF Kennedy Arkaden
Svind
Svindtøjningen for TT dækket opstår som følge af udtørring af betonen og er derfor hovedsageligt afhængig af det omgivende klima. Svindet kan beregnes ved den empiriske formel (311) [Beton bogen, 1985, s. 110 - 115].
ε s = ε b ⋅ kb ⋅ k d ⋅ kt
(3-11)
Her er
εb
basissvindet, der kun afhænger af den relative luftfugtughed (RF)
kb
faktor, der afhænger af betonens sammensætning (cementindhold og v/c-tal)
kd
faktor, der afhænger af konstruktionsdelen geometri
kt
faktor, der beskriver svindforløbet som funktion af tiden, for t = ∞ ⇒ kt = 1
Basissvindet, εb afhænger af den relative luftfugtighed. Den korte periode med høj luftfugtighed har meget ringe indflydelse på totalsvindet, hvorfor det vælges at benytte RF = 50% for
hele perioden.
εb =
0,089 ⋅ (1 − RF ) 0,089 ⋅ (1 − 0,50)
=
= 0,38‰
1,67 − RF
1,67 − 0,50
(3-12)
Faktoren kb bestemmes ved:
1
1


k b = 7 ⋅ 10 −3 ⋅ C ⋅  v / c +  ⋅ v / c = 7 ⋅ 10 −3 ⋅ 350 ⋅  0,5 +  ⋅ 0,5 = 1,02
3
3


(3-13)
Faktoren kd, der afhænger af konstruktionsdelens geometri er defineret ved den empiriske
formel:
kd =
0,25 ⋅ (0,852 + ræ )
0,132 + ræ
(3-14)
Her er
ræ
ækvivalent radius.
Den ævivalente radius er defineret ved 2 gange arealet af tværsnittet divideret med omkredsen
af arealet, og bliver for TT dækket, ræ = 0,09m.
83
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Faktoren kd, bestemmes ved brug af formel (3-14):
kd =
0,25 ⋅ (0,852 + 0,09m)
= 1,06
0,132 + 0,09m
Svindtøjningen bestemmes ved brug af formel (3-13):
ε s = 0,038% ⋅ 1,02 ⋅ 1,06 ⋅ 1 = 0,48‰
Dvs. at svindtøjningen for betonen efter tiden t → ∞ er 0,48 ‰.
Krybning
Krybetøjningen defineres ved [Beton bogen, 1985, s. 91-96]:
εc =
ψ ⋅ n0 ⋅ σ c
E sk
(3-15)
Her er
ψ
krybetallet [-]
n0

13 
 . Med fck = 40MPa ⇒ n0=7,3
faktor der defineres ved n o = 5,5 ⋅ 1 +
f ck 

σc
gennemsnits spænding i armeringen fra forspænding og egenvægt [MPa]
Esk
elasticitetsmodulet for armering. For forspændte L12,5 liner er Esk = 1,85.105 MPa
Krybetallet udtrykkes ved:
ψ = k a ⋅ kb ⋅ kc ⋅ k d ⋅ kt
Her er
84
ka
faktor, der tager højde for betonens modenhed
kb
faktor, der afhænger af betonens sammensætning (cementindhold og v/c-tal)
kc
faktor, der afhænger af den relative luftfugtighed
kd
faktor, der afhænger af konstruktionsdelen geometri
kt
faktor, der beskriver svindforløbet som funktion af tiden, for t = ∞ ⇒ kt = 1
(3-16)
JF Kennedy Arkaden
Faktorer ka, der tager højde for betonens modenshedstal bliver med M20 = 10 døgn:
ka =
(
0,085 ⋅ 54 + M 20
1,75 + M 20
) = 0,99
Faktoren kc, der afhænger af den relative luftfugtighed. Med en relativ fugtighed, RF på 90%
fås:
kc =
6,7 ⋅ (1,15 − RF )
= 1,48
2,03 − RF
Faktoren kd, der afhænger af TT dækkets geometri bliver med en ækvivalent radius ræ=0,09m,
der er forholdet mellem tværsnittets areal og omkreds.
kd =
0,56 ⋅ (0,211 + ræ )
= 1,04
0,0727 + ræ
Krybetallet bestemmes ved brug af formel (3-16) til Ψ = 1,55.
Spændingen i armeringen bestemmes ved brug af Navier. Der medtages kun spændingsbidrag
fra forspænding og egenlast.
Spændingen fra forspændingen i armering:
σf =
− 24 ⋅ 117 ⋅ 10 3 N − 24 ⋅ 117 ⋅ 10 3 N ⋅ 340mm
+
⋅ 340mm = −39 MPa
305605 mm 2
10,812 ⋅ 1010 mm 4
Spændingen fra egenlasten midt på bjælken:
σe =
697 ⋅ 10 6 Nmm
⋅ 340mm = 21,9MPa
10,812 ⋅ 10 9 mm 4
Spændingen fra forspændingen forudsættes at være konstant over hele TT dækkets længderetning, mens spændingen fra egenlasten varierer parabelformet over TT dækkets længderetning. Derfor regnes der for TT dækket med en middel betonspænding svarende til 2/3 af den
maksimaleværdi af spændingen fra egenvægten.
85
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Middelbetonspændingen bliver:
2
3
2
3
σ c = σ f + ⋅ σ e = −39 MPa + ⋅ 21,9MPa = −24,4MPa
Krybetøjningen kan nu bestemmes ved brug af formel (3-15):
εc =
1,55 ⋅ 7,3 ⋅14, 4 MPa
= 0,088%
1,85 ⋅105 MPa
Dvs. at krybetøjningen for betonen efter tiden t → ∞ er 0,88‰.
Relaxation
Tøjningen fra relaxation er fra producenten oplyst til 5% af forspændingskraften. Linerne forspændes med 117 kN/line, hvilket betyder, at reduktion af forspændingskraften pr. line er
Ftab.r = 5,9 kN/line.
Reduktion af forspændingskraft
Nedsættelsen af forspændingskraften fra svind og krybning kan bestemmes ved Hooks lov, og
bliver til tiden t → ∞:
Ftab.s + k = ε ⋅ E ⋅ A = (0,00048 + 0,00088) ⋅ 1,85 ⋅ 10 5 N / mm 2 ⋅ 93mm 2 / line = 23,4kN / line (3-17)
Det vil sige, at spændingstabet forårsaget af svind og krybning efter t → ∞ bliver 23,4
kN/line.
Da svind- og krybningstøjningen giver et spændingstab i armeringen, vil der opstå en gensidig
påvirkning med relaxationen. Svind og krybning reducerer armeringsspændingen og dermed
spændingstabet fra relaxationen. Derfor beregnes en reduktionsfaktor ved formlen:
γ = 1− 2⋅
Ftab..s + k
Ftab.r
= 1− 2 ⋅
23,4kN
= 0,6
117kN
Det samlede spændingstab i armeringen bliver:
Ftab = 23,4kN / line + 0,6 ⋅ 5,9kN / line = 26,9kN / line
86
(3-18)
JF Kennedy Arkaden
Den beregnede forspændingskraft på 161,6kN/line vil blive reduceret med 26,9kN/line og
bliver herved 134,7kN/line til t → ∞. Det er kontrolleret, at brudmomentet efter spændingstabet i armeringen ikke er mindre end snitmommentet for TT dækket.
3.5
Forskydningsarmering
For at kontrollere om bjælken skal forskydningsarmeres tages der udgangspunkt i kravene til
uarmerede bjælker i DS 411. Der skal opfyldes følgende [DS 411, 1999, s.42] :
β ⋅ τ 0 d
½ ⋅ν v ⋅ f cd
τ sd ≤ 
(3-19)
Da de indgående faktorer afhænger af yderligere faktorer, der afhænger af afstanden fra bjælkeenden bestemmes de i det følgende hver for sig, hvorefter de opsummeres i en tabel. β er en
faktor, der tager hensyn til bueeffekten i bjælken og er defineret ved:
β = 2,5 ⋅
d
x
1≤ β ≤ 5
(3-20)
Her er
d
den effektive højde. [mm]
x
afstanden fra understøtningen. [mm]
τ0, d er defineret ved:
τ 0, d = 0,25 ⋅ k ⋅ (1,2 + 40 ρ l ) ⋅ f ctd + 0,15 ⋅ σ cp
(3-21)
Her er
k
skala effekt
ρl
det geometriske armeringsforhold
σcp
den regningsmæssige normalspænding i tværsnittet [MPa]
Skalaeffekten, k bestemmes ved:
k = 1,6 − d
≥1
(3-22)
Her er
d
den effektive højde. [mm]
Det geometriske armeringsforhold, ρl er givet ved:
87
K3. Detaildimensionering af TT dæk
ρl =
Asl
bw ⋅ d
≤ 0,02
(3-23)
Her er
Asl
det effektive areal af trækarmeringen (længdearmeringen) [mm2]
d
bjælkens bredde [mm]
Bjælkebredden, bw er 2x150 mm og Asl er 24x93 mm2/line. Herved kan τ0d bestemmes ved
indsættelse i formel (3-21).
Effektivitetsfaktoren, υv er defineret ved:
ν v = 0,7 −
f ck
200
(3-24)
Her er
fck
den karakteristiske betontrykspænding [MPa]
Da fck er 40 MPa fås υv til 0,5. Forskydningsspændingen, τsd i tværsnittet bestemmes ved en
elastisk betragtning via Grashofs formel. Det anvendte tværsnit samt det statiskemoments
variation er vist på Figur 3.17.
Figur 3.17 Bjælketværsnittes statiskemoment i mm3, samt antaget tværsnit. Øvrige mål i mm
Ved brug af de forrige formler bestemmes konstanterne som vist i Tabel 3.10
88
JF Kennedy Arkaden
Tabel 3.10 Konstanter til bestemmelse af forskydningsstyrken i bjælken.
fctk
fck
ν
σcp
2 MPa
40 MPa
0,5
9,18 MPa
Afstand Effektiv højde
x [mm]
Konstanter
d [mm]
β
ρl
k
τ0d [MPA]
0
309
5
0,02
1,29
2,14
1000
340
1
0,02
1,26
2,09
3000
403
1
0,02
1,20
2,01
4000
435
1
0,02
1,17
1,98
5000
466
1
0,02
1,13
1,95
6000
498
1
0,01
1,10
1,92
7000
529
1
0,01
1,07
1,90
8000
529
1
0,01
1,07
1,90
9000
529
1
0,01
1,07
1,90
10200
529
1
0,01
1,00
1,86
Herved fås forskydningsspændingerne ved indsættelse af konstanter i formel (3-19).
Tabel 3.11 Forskydningsspændinger
Forskydningsstyrke
Afstand
x
[mm]
0
Forskydningsspænding
β·τ0d
0,5·ν·fcd
[MPa]
[MPa]
10,72
5,49
Påvirkning
Resulterende spænding
Forskydningskraften, V
Aktuelle spænding
[MPa]
5,49
[kN]
234
Krop
[MPa]
1,70
Flange
[Mpa]
1,86
1000
2,09
5,49
2,09
211
1,54
1,68
2000
2,05
5,49
2,05
188
1,37
1,49
3000
2,01
5,49
2,01
165
1,20
1,31
4000
1,98
5,49
1,98
142
1,04
1,13
5000
1,95
5,49
1,95
119
0,87
0,95
6000
1,92
5,49
1,92
96
0,70
0,77
7000
1,90
5,49
1,90
73
0,53
0,58
8000
1,90
5,49
1,90
50
0,37
0,40
9000
1,90
5,49
1,90
28
0,20
0,22
10200
1,86
5,49
1,86
0
0,00
0,00
Figur 3.18 er forskydningsspændingerne vist. Det fremgår at det ikke er nødvendigt at forskydningsarmere bjælken.
89
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Figur 3.18 Forskydningsspændingernes variation i bjælken
3.6
Vederlagstryk
For at undersøge om der er risiko for knusning af betonen ved understøtningerne bestemmes
vederlagstrykket. Reaktionen ved vederlaget regnes jævnt fordelt over vederlaget. Trykket fra
vederlaget optages dels som tryk i skrå betonlameller og som træk i armeringen jf. Figur 3.19.
Figur 3.19 Vederlagstrykket
For at der ikke opstår knusning i betonlamellerne ved vederlaget er kravet til vederlagstrykket
[Betonkonstruktioner, 2001, s. 4.2-15]:
σ c ≤ ν ⋅ f cd
(3-25)
Her er
90
σc
tværsnitshøjden. [MPa]
υ
effektivitetsfaktor, der for almindelige bjælker sættes til 0,8. [Betonkonstruktioner, 2001, s. 4.6-12]
fcd
betonens regningsmæssige trykspænding. [MPa]
JF Kennedy Arkaden
Kraften i armeringen bestemmes [Betonkonstruktioner, 2001, s. 4.2-19]:
Fs = F for + 0,5 ⋅ R AL cot(θ )
(3-26)
Her er
Ffor
forspændingskraften. [kN]
RAL
reaktionen ved understøtningen. [kN]
Idet forspændingen er 117 kN og cot(θ) = 2,5 fås Fs til 410 kN.
Spændingen i vederlaget fås ved ligevægten af Fcw, Fs og RAL:
2
σ vederlag =
σ vederlag =
FAL + Fs
Avederlag
2
⇒
234kN 2 + 394 KN 2
= 15,2MPa
2 ⋅ 150mm ⋅ 100mm
Herved fås:
σ c ≤ ν ⋅ f cd ⇒
40 MPa
⇒
1,82
15,2 MPa ≤ 17,6 MPa
15,2 MPa ≤ 0,8 ⋅
Dvs. der er tilstrækkelig styrke i betonlamellerne til at optage vederlagstrykket.
3.7
Armering af flange
Der kontrolleres for forskydningsbrud og bøjningsbrud af TT dækkets flange. Der betragtes
en meter af bjælkens længderetning. Flangen moduleres som en bjælke understøttet ved de to
”kroppe” som vist på Figur 3.20.
Figur 3.20 Modulering af statisk system af flange
91
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Tværsnittet kontrolleres i lastkombination 2.1 og laster, moment- og forskydningskurve fremgår af Figur 3.21.
Figur 3.21 Linielast, reaktioner og forskydnings- og momentkurve for tværsnit
I det følgende betragtes først bøjningsbrud.
3.7.1
Bøjningsbrud i flangen
Bøjningsmomentet fremgår af Figur 3.21 og herpå fremgår det, at det maksimale moment, der
medfører henholdsvis tryk og træk i flangen er 0,02 kNm og 1,7 kNm. Det undersøges, om
betonen har tilstrækkelig styrke i forhold til momentet påvirkningen:
M = f t ,d ⋅ Wel ⇒
M =
(3-27)
2 MPa 1
⋅ ⋅ 1000mm ⋅ (60mm) 2 = 0,66kNm
1,82 6
Momentet på 1,7 kNm kan ikke optages af betonen, derfor indlægges armeringsnet i flangens
overside. Der vælges at benytte et armeringsnet med en maskevidde på 200 mm og en armeringsdiameter på φ6. Antallet af stænger bliver herved 5 pr. løbende meter bjælke, mens armeringsarealet bliver 141 mm2 pr løbende meter bjælke. Armeringen placeres, så der sikres et
dæklag på 15 mm.
Ved vandret ligevægt bestemmes nulliniedybden, x jf. Figur 3.22.
92
JF Kennedy Arkaden
Figur 3.22 Armeret tværsnit med tilhørende tøjnings- og spændingsfordeling samt snitkraftpåvirkning
Nuliniedybden beregnes ved:
0 = −0,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd + As ⋅ f yd ⇒
0 = −0,8 ⋅ x ⋅ 1000mm ⋅
(3-28)
40MPa
550 MPa
+ 141mm 2 ⋅
⇒ x = 3,1mm
1,82
1,43
Tøjningen i armeringen bliver:
ε s = ε cu ⋅
d−x
42mm − 3,1mm
= 3,5 0 00 ⋅
= 44 0 00
3,1mm
x
(3-29)
Da brudtøjningen for armeringsnettet er 82 ‰ er dette acceptabelt. Brudmomentet for tværsnittet bestemmes ved:
M u = f yd ⋅ As ⋅ (d − 0,4 ⋅ x) ⇔
Mu =
(3-30)
550 MPa
⋅141mm 2 ⋅ (42mm − 0,4 ⋅ 3,1mm) = 2,2kNm
1,43
Herved er det eftervist, at tværsnittet armeret med φ6 net har tilstækkelig styrke i forhold til
det bøjende moment.
3.7.2
Forskydning mellem krop og flange
For at undgå forskydningsbrud pga. de store forskydningskrafter mellem flange og krop undersøges i det følgende udfra DS 411, hvilke krav der er til armering af flangen. For at be-
93
K3. Detaildimensionering af TT dæk
stemme det nødvendige tværarmeringsareal benyttes formel (3-34), der er defineret ved [DS
411 1998, s. 43]:
2
3 (b f − bw ) ⋅ ( g + p)
Af ≥ ⋅
8
b f ⋅ z ⋅ f yd
(3-31)
Her er
Af
armeringsareal pr. meter [mm2/m]
bf
effektive bredden af TT bjælkens trykflange [mm]
bw
kropsbredden [mm]
g+p
bjælkens regningsmæssige last pr. længdeenhed [N/m]
z
den indre momentarm [mm]
fyd
den regningsmæssige flydespænding [MPa]
De geometriske størrelser, der benyttes fremgår af Figur 3.23. Det er som tilnærmelse valgt at
sætte kropsbredden af TT dækket til afstanden mellem kroppen plus de to kroppes bredde jf.
Figur 3.23. Den effektive bredde af trykflangen er bestemt ved at vægte bredden af trykzonen
(det skraverede område på Figur 3.23)
Figur 3.23 Geometriske størrelser til beregning af armeringsareal
Armeringsarealet pr. længdeenhed bestemmes ved brug af (3-31) og bliver:
mm 2 armering
3 (2375mm − 1350mm) 2 ⋅ (22,8 ⋅10 3 N / m)
Af ≥ ⋅
= 20
550MPa
m
8
2375mm ⋅ 503mm ⋅
1,43
Dvs. at arealet af armeringen minimum skal være 14mm2 pr. løbende meter bjælke, hvilket
også er opfyldt med det valgte net.
94
JF Kennedy Arkaden
3.8
Spaltearmering
For at undgå langsgående revner i forbindelse med spændingsomlejringer ved forspændingen
af længdearmeringen indlægges spaltearmering. Det forudsættes at forspændingskraften er
fordelt over hele tværsnittet i en afstand svarende til højden af bjælken inde i tværsnittet. Først
dimensioneres den lodrette spaltearmering, hvorefter den vandrette dimensioneres. Til armering anvendes slap armering med en karakteristisk brudstyrke på 550 MPa.
Lodret spaltearmering
Denne armering skal sikre at forspændingskraften kan fordeles udover tværsnittets højde.
Armering opdeles i en primær og en sekundær armering. Den primære armering fordeler kraften ud over et areal svarende til en trykspredning på 1:2, som vist på Figur 3.24.
Figur 3.24 Fordeling af spændinger i bjælkeenden. Mål i mm
Det antages forspændingen påføres jævnt fordelt over en længde på 75 mm samt at den i afstanden 25 mm inde i tværsnittet er jævnt fordelt over en længde på 100 mm. Tværkraften kan
herved bestemmes ved [Kloch, 2001, s. 72]:
T1 = 0,25 ⋅ K ⋅ (1 −
l1
)
l2
(3-32)
Her er
T1
den primære tværkraft [kN]
K
opspændingskraften [kN]
l1
opspændingenshøjden [mm]
l2
højden som kraften skal fordeles på [mm]
Ved indsættelse i formel (3-32) fås:
T1 = 0,25 ⋅ 12 ⋅ 117 kN ⋅ (1 −
75mm
) = 87,8kN
100mm
95
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Det nødvendige armeringareal bestemmes, idet der anvendes en brudspænding svarende til
halvdelen af brudstyrken af armeringen:
Anød =
T
σs
(3-33)
⇒
87,8 ⋅ 10 3 N
= 319mm 2
 550 MPa 


2


Der anvendes en frettering med 4 ø12 armeringsstænger og et samlet areal på 452 mm2. Fretteringen placeres 21 mm fra bjælkeenden, så der sikres et dæklag på 15 mm jf. Figur 3.32.
Type 1
φ12
Figur 3.25 Primær frettering.
Sekundær spaltearmering
Den sekundære spaltearmeringen skal sikre, at spændingen kan fordeles videre udover hele
bjælkehøjden. Da bjælken er excentrisk belastet kan formel (3-32) ikke anvendes. Det forudsættes i stedet, at forspændingskraften er jævnt fordelt udover bjælkehøjde i en afstand svarende til bjælkens højde fra bjælkeenden. Spændingsfordelingen er vist på Figur 3.26.
Figur 3.26 Spændingsfordeling. Mål i mm
96
JF Kennedy Arkaden
De to spændinger bestemmes ved antagelse om en elastisk spændingsfordeling, og en konstant placering af forspændingskraftens tyngdepunkt på 120 mm fra bjælkens tyngdepunktsakse. Idet tryk regnes negativt fås:
σ1 =
T1
24 ⋅ 117 ⋅ 10 3 N
=
= 93,6MPa
A 2 ⋅ 100mm ⋅ 150mm
T1 M
±
⋅y⇒
A I
− 24 ⋅ 117 ⋅ 10 3 N 120mm ⋅ −24 ⋅ 117 ⋅ 10 3 N
±
⋅y⇒
σ2 =
3,06 ⋅ 10 5 mm 2
10,812 ⋅ 10 9 mm 4
σ2 =
− 4,5MPa for y = −189mm
− 21,99MPa for y = 411mm
σ2 = 
Herved fås følgende kraftfordeling pr. bjælkehøjde idet bredden for hele tværsnittet antages at
være 150 mm:
Figur 3.27 Kraftfordeling. Mål i mm
Det maksimale moment bestemmes til:
M = 675 ⋅ x 2 ⋅ 0,5 + 4,37 ⋅ x 2 ⋅ 0,5 ⋅ 1 ⋅ x − 14040 ⋅ ( x − 478,5) ⋅ 0,5
3
3
2
M = 0,7283 x − 6682,5 x + 6718140 ⋅ x − 1.6073 ⋅ 10 9
2
478,5 ≤ x ≤ 578,5
Ved differentiation af udtrykket fås det største moment for x lig 552 mm og det maksimale
moment til 187,4 kNm. Det forudsættes, at den vandrette spændingsfordeling er fordelt med
en afstand på h/2 mellem tryk- og trækresultant som vist på Figur 3.28.
97
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Figur 3.28 Vandret spændingsfordeling
Herved fås trækresultanten til:
T2 =
M max 187 ⋅ 10 6 Nmm
=
= 625kN
h
600mm
2
2
Det nødvendig armeringsareal bestemmes:
Anød =
T2
σs
=
625 ⋅ 10 3 N
= 2272mm 2
550 MPa
2
Det vælges at anvende 6 fretteringer med 4 φ12 lodrette armeringsstænger som vist på Figur
3.29. Herved fås et armeringsareal på 2714 mm2.
Type 2
φ12
Figur 3.29 Sekundær spaltearmering
98
JF Kennedy Arkaden
Vandret spaltearmering
Denne armering skal sikre at forspændingskraften kan fordeles over bjælkens bredde. Kraften
fordeles over hele bredden i forholdet 1:2 som vist på Figur 3.30.
Figur 3.30 Spændingsfordeling
Ved brug af formel (3-32) fås:
T3 = 0,25 ⋅ K ⋅ (1 −
l1
)
l2
T3 = 0,25 ⋅ 12 ⋅ 170kN ⋅ (1 −
82mm
) = 159kN
150mm
Det nødvendige spændingsareal bestemmes til:
Anød =
T3
σs
=
159 ⋅ 10 3 N
= 579mm 2
550MPa
2
Der anvendes 2 stk. frettering med 5 vandrette φ10 armeringsstænger med et samlet areal på
785 mm2.
Type 3
φ10
Figur 3.31Vandret spaltearmering
99
K3. Detaildimensionering af TT dæk
På Figur 3.32 er placeringen af spaltearmeringen vist.
Figur 3.32 Placering af spaltearmering
På Figur 3.32 er afstandene fra centrum af armeringen, og disse fremgår af Tabel 3.12.
Tabel 3.12 Afstande mellem centrum af armeringsstænger
3.9
a
[mm]
b
[mm]
c
[mm]
d
[mm]
e
[mm]
21
29
30
70
60
Nedbøjning af TT dæk
Ved beregning af udbøjning medtages kun bidraget fra bøjningsmomentet. Det forudsættes, at
det anvendte TT dæk er af lineærelastisk materiale. Elasticitetsmodulet, E antages til 1,75.104
MPa.
Nedbøjningen bestemmes i anvendelsesgrænsetilstand, hvor lastkombinationen er:
LK 1:
1.G + 1.Ny
Nedbøjningen af TT dækket bestemmes ved brug af to forskellige beregningsmetoder. Først
beregnes nedbøjningen ved brug af arbejdsligningen, hvorefter nedbøjningen bestemmes ved
brug af differentialligninger for flytninger.
100
JF Kennedy Arkaden
3.9.1
Nedbøjning ved brug af arbejdsligningen.
Ved arbejdsligningen, der også benævnes det virtuelle arbejdes princip, sættes det indre arbejde lig det ydre arbejde. Ved beregning af det virtuelle arbejde påføres TT dækket en fiktiv
last på 1. Da det kun er bidraget fra bøjningsmomentet, der medtages fås arbejdsligningen:
[Notat vedr. Arbejdsligningen, 1995]:
l
1⋅ δ = ∫
0
M1 ⋅ M
⋅ dx
E ⋅ Iz
(3-34)
Her er
δ
nedbøjningen af bjælken [mm]
M1
snitmoment fra en fiktiv last på 1 [Nmm]
M
snitmoment fra lastkombination LK 1 [Nmm]
Iz
inertimoment, jf. afsnit 3.2.1 er Iz = 10,81.109 mm4
Det virtuelle arbejde
Den fiktive last placeres midt på TT dækket, hvilket fremgår af Figur 3.33.
Figur 3.33 Påførelse af fiktiv last på TT dæk
Snitmomentet ved snit 1 bliver:
M1 =
1
⋅x
2
, 0≤ x≤
l
2
(3-35)
101
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Snitmoment fra lastkombination LK 1.
Ved beregning af snitmomentet skal der beregnes et snitmoment fra forspændingskraften Mf
samt et snitmoment fra den permanente last Mp.
Figur 3.34 Bøjningsmoment ved lastkombination LK 1
Der forspændes med i alt 24 .117 kN = 2808 kN. Ved beregning af nedbøjning antages det, at
linerne ikke opbøjes, men i stedet placeres med en exentricitet på 340 mm over hele bjælkelængden. Dette medfører, at det konstante momentbidrag over TT dækket bliver:
M f = −24 ⋅117 kN ⋅ 0,340m = −954,7 kNm
Momentbidraget fra den permanente last bliver i snit 1:
1
M p = 210,1kN ⋅ x − 20,6kN / m ⋅ x ⋅ ⋅ x = 210,1kN ⋅ x − 10,3kN / m ⋅ x 2
2
Ligningen for momentkurven bliver:
M = M f + M p = −954,7 kNm + 210,1kN ⋅ x − 10,3kN / m ⋅ x 2
Momentkurven for TT dækket fremgår af Figur 3.35.
Figur 3.35 Momentkurve for lastkombination LK1
102
JF Kennedy Arkaden
Idet belastningen er symmetrisk på TT dækket bestemmes nedbøjningen med:
l
M1 ⋅ M
dx
E ⋅ Iz
1⋅ δ = 2 ⋅ ∫
0
δ = 2⋅
10 , 2 m
∫
0
0 ≤ x ≤ 10,2
⇒
0,5 ⋅ x ⋅ −954,7kN + 210,1kN ⋅ x − 10,3 kN m ⋅ x 2
dx ⇒
1,75 ⋅ 10 4 N mm 2 ⋅ 10,812 ⋅ 10 9 mm 4
δ = −17mm
TT dækket vil have pilhøjde på 17 mm, hvilket svarer til en ca. 1/1000 af spændvidden.
3.10 Brand
Premierebiografen skal dimensioneres som en BS-bygningsdel 60. Der eftervises derfor i det
følgende, at TT dækket opfylder kravene mht. brandmodstandsevnen under et brandforløb på
60 minutter. Der regnes med en brandpåvirkningen virkende fra undersiden af TT dækket, da
det vurderes at være til størst ugunst for bæreevnen pga. placeringen af armeringen. TT dækket undersøges ud fra et nominelt brandforløb i hht. DS 411. Ved et nominelt brandforløb
tages der ikke hensyn til den geometriske udformning af brandrummet samt brændbare materialer i brandrummet.
3.10.1 Laster
TT dækket undersøges for lastkombination 3.3, ulykkeslast – brand.
LK 3.3: 1 · G + 0,5 · Ny
Det maksimale momentet fra hhv. den permanente last, Mg og nyttelast, Mp er 884 kNm,
hvilket også fremgår af Figur 3.36.
Figur 3.36 Momentkurve for lastkombination LK 3.3
103
K3. Detaildimensionering af TT dæk
3.10.2 Nominelt brandforløb
Det nominelle brandforløb bestemmes ud fra et standard brandforløb, der beregnes ved formel
(3-36), [DS 410, 1998, s. 93]:
θ g = 20 + 345 ⋅ log10 (8t + 1)
(3-36)
Her er
θg
brandgassens temperatur i henhold til det aktuelle brandforløb [˚C]
t
tiden [min.]
Det nominelle brandforløb for 60 minutter er afbilledet i Figur 3.37, hvor maksimum temperaturen er 945 ˚C.
1000
o
800
700
Temperatur i
C
900
600
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Brandforløbet i minutter
Figur 3.37 Det nominelle brandforløb
3.10.3 Temperaturfordeling i brandrum
Opbygningen af loftkonstruktionen i premierebiografen er vist på Figur 3.38.
50 mm
Figur 3.38 Loftkonstruktion i premiere biografen
104
55
60
JF Kennedy Arkaden
Det nedhængte loft består af 2 gipsplader med forskudte samlinger. Gipsloftet har en samlet
tykkelse på 50 mm, og består af to stk. 12,5 mm gipsplader med 25 mm hulrum. Dette har en
god lydisoleringsevne, pga. den store tyngde af materialet, samt det tynde lag stillestående
luft. Gipsloftet virker isolerende, og vil derfor ved en brandpåvirkning hindre en hurtig temperaturstigning omkring TT dækkene. For at bestemme temperaturen mellem gipsloftet og TT
dækket tages der udgangspunkt i formel (3-37), [DS 410, 1998, s. 91]. Denne beskriver temperaturforløbet inde i materialet for et ensidet påvirket tværsnit med halvuendelige tykkelse.
π

− k (t ) ⋅ x  [˚C]
2

θ 1 ( x ,t ) = 312 ⋅ log10 (8t + 1) ⋅ e −1,9⋅k (t )⋅ x ⋅ sin 
(3-37)
Her er
x
tykkelsen af gipsloftet 0,025[m]
t
tiden [min.]
k(t)
k (t ) =
ρ
densiteten, sættes til 970 for gips [kg/m3]
cp
varmekapaciteten, sættes til 1090 for gips [J/kg ˚C]
λ
varmeledningsevnen, sættes til 0,17 for gips [w/m ˚C]
π ⋅ ρ ⋅cp
750 ⋅ λ ⋅ t
Det antages, at temperaturen mellem gipsloft og TT dæk er konstant. Temperaturen findes ved
at beregne temperaturen, θl (x,t) 25 mm inde i en halvuendelige tyk gips ved brug af formel
(3-37).
Temperaturforløbet i rummet over det nedhængte gipsloft er ud fra formel (3-36) og (3-37)
skitseret på Figur 3.39.
1000
900
o
Temperatur i C
800
Temperaturforløb i biografen
700
600
Temperaturforløb imellem
gipsloftet og TT dækket
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Brandforløb i minutter
Figur 3.39 Brandforløbet i rummet og imellem gipsloft og TT dæk
105
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Den maksimale lufttemperatur, TT dækket belastes med efter 60 minutter, er 270 °C jf. Figur
3.39.
3.10.4 Temperaturforløb i TT dækket
Den del af TT dækket, hvor der sker en temperaturvariation grundet brandforløbet kaldes den
svækkede zone, da styrke- og stivhedsegenskaberne formindskes. Grundet TT dækkets udformning vil der under brandforløbet opstå en temperaturpåvirkning på TT dækket fra flere
sider. Dette resulterer i, at der ved hjørnerne sker en kraftigere opvarmning og derved en højere temperatur længere inde i TT dækket, jf. Figur 3.40.
Figur 3.40 Temperaturforløbet inde i TT dækket
Til bestemmelse af temperaturforløbet inde i TT dækket benyttes formel (3-38), der gælder
for et tresidet påvirket tværsnit. Ved beregning regnes på en temperaturfordeling i et betontværsnit. Der ses bort fra armeringens indflydelse på temperaturfordelingen [DS 410, 1998, s.
92]:
θ 3 ( x , y ,t ) = θ 2 ( x ,t ) + θ 1 ( y ,t ) −
θ 2 ( x ,t ) ⋅ θ 1 ( y , t )
θ 1 ( 0 ,t )
(3-38)
Her er
x og y
indtrængningsdybde i betonen [m]
t
tiden [min.]
De to faktorer θ1 (y,t) og θ2 (x,t) der indgår i formel (3-38) bestemmes ved:
π

− k (t ) ⋅ y  [˚C]
2


(3-39)
[˚C]
(3-40)
θ 1 ( y ,t ) = 312 ⋅ log 10 (8t + 1) ⋅ e −1,9⋅k (t )⋅ y ⋅ sin 
θ 2 ( x ,t ) = θ 1 ( x , t ) + θ 1 ( 2 w − x , t ) ⋅
θ 1 ( 0 ,t )
θ 1 ( 0 ,t ) + θ 1 ( 2 w , t )
2w
tykkelsen at TT dækkets fod, jf. Figur 3.40. Sættes til 0,15 m
k(t)
k (t ) =
ρ
densiteten, sættes til 2300 kg/m3 for beton
cp
varmekapaciteten, sættes til 1000 J/kg ˚C for beton
λ
varmeledningsevnen, sættes til 0,75 w/m ˚C for beton
106
π ⋅ ρ ⋅cp
750 ⋅ λ ⋅ t
JF Kennedy Arkaden
For at tage højde for gipsloftets isolerende effekt, benyttes temperaturen mellem gipsloftet og
TT dækket på 270 °C som overfladetemperaturen af TT dækket. Dette er gjort ved at indsætte
270 °C i stedet for 312 ּ log10(8ּt + 1), der henviser til overfladetemperaturen jf. formel
(3-37). Grundet denne antagelse tages der ikke højde for fugtbevægelsernes indflydelse på
temperaturen nær tværsnittets overflade, som vil forårsage en lavere overfladetemperatur på
betonen. Temperaturforløbet kan beskrives ved:
π

− k (t ) ⋅ x 
2

θ1( x ,t ) = 270°C ⋅ e −1,9⋅k (t )⋅ x ⋅ sin 
(3-41)
3.10.5 Eftervisning af bæreevnen for TT dækket i LK 3.3
Ved eftervisning af momentbæreevnen for TT dækket skal følgende krav overholdes:
M max LK 3.3 ≤ M u
(3-42)
Det reducerede brudmoment er beregnet ved at bestemme en reduktionsfaktor for armeringen
og betonen, som afhænger af temperatur til tiden t = 60 min. Reduktionsfaktorerne for hhv.
armeringen og betonen benævnes ξs,0,2 og ξc.
Bestemmelse af reduktionsfaktoren for armeringen
For at bestemme temperaturen i armeringen opdeles tværsnittet i to zoner, jf. Figur 3.41. Det
forudsættes, at armeringen i hver zone har samme reduktionsfaktor.
Figur 3.41 Zone inddeling for armeringsjernene. Mål i mm
107
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Temperaturen i zonerne afhænger af placeringen af armeringen. For zone 1 er indtrængningsdybden i x- og y-retningen fastlagt til 27 x 27 mm. I denne indtrængningsdybde vil den maksimale temperaturen i zone 1 opstå. Ved zone to er der antaget en indtrængningsdybden på 52
x 68 mm, der er i tyngdepunktet for armeringsstængerne i denne zone, jf. Figur 3.41.
I det følgende vises beregningseksempel for temperaturen efter 60 min ved zone 1, hvor indtrængningsdybden er 27 x 27 mm.
Bestemmelse af faktoren k(t):
k (t ) =
π ⋅ ρ ⋅ cp
π ⋅ 2300kg / m 3 ⋅ 1000 J / kg ⋅ °C
⇒ k (60) =
⇔ k (60) = 14,7
750 ⋅ λ ⋅ t
750 ⋅ 0,75w / m ⋅ °C ⋅ 60 min
For at kunne benytte formel (3-38) skal følgende størrelser bestemmes:
Størrelsen θ1(x,t) bliver:
π

= 270°C ⋅ e −1,9⋅k ( t )⋅ x ⋅ sin  − k (t ) ⋅ x  ⇒
2

π

θ1( 0,027 ,60) = 270°C ⋅ e −1,9⋅14,7⋅0,027 m ⋅ sin  − 14,7 ⋅ 0,027m  ⇔
2

θ1( 0,027 ,60) = 117,6°C
θ1( x ,t )
Størrelsen θ1(y,t) bliver lig θ1(x,t), da der benyttes samme tidsinterval og indtrængningsdybde:
π

= 270°C ⋅ e −1,9⋅k ( t )⋅ y ⋅ sin  − k (t ) ⋅ y  ⇒
2

θ1( 0,027 ,60) = 117,6°C
θ1( y ,t )
Størrelsen θ1(0,t) bliver:
π

− k (t ) ⋅ 0  ⇒
2

π

= 270°C ⋅ e −1,9⋅14, 7⋅0 ⋅ sin  − 14,7 ⋅ 0  ⇔
2

= 270,0°C
θ 1( 0,t ) = 270°C ⋅ e −1,9⋅k (t )⋅0 ⋅ sin 
θ 1( 0,60)
θ 1( 0,60)
108
JF Kennedy Arkaden
Størrelsen θ1(2T-x,t) bliver:
π

= 270°C ⋅ e −1,9⋅k (t )⋅2ω − x ⋅ sin  − k (t ) ⋅ (2ω − x)  ⇒
2

π

θ 1(150−0,027 ,60) = 270°C ⋅ e −1,9⋅14,7⋅( 0,150−0,027 ) m ⋅ sin  − 14,7 ⋅ (0,150 − 0,027)m  ⇔
2

θ 1(150−0,027 ,60) = −2,0°C
θ 1( 2ω − x ,t )
Størrelsen θ2(x,t) bliver ved brug af formel (3-40):
θ 2( x ,t ) = θ 1( x ,t ) + θ 1( 2ω − x ,t ) ⋅
θ 2( x ,t ) = 117,6°C − 2°C ⋅
θ 1( 0,t )
⇒
θ 1( 0,t ) + θ 1( 2ω ,t )
270,0°C
⇔
270,0°C − 2,44°C
θ 2( x ,t ) = 115,6°C
Herved kan temperaturen i zone 1 bestemmes jf. formel (3-38):
θ 3( x , y ,t ) = θ 2( x ,t ) + θ 1( y ,t ) −
θ 2 ( x ,t ) ⋅ θ 1( y ,t )
⇒
θ 1( 0,t )
θ 2( x ,t ) = 115,6°C + 117,6°C −
115,6°C ⋅ 117,6°C
⇔
270,0°C
θ 2( x ,t ) = 182,8°C
For zone 1, hvor indtrængningsdybden i x- og y-planen er den samme er der optegnet en graf,
jf. Figur 3.42, udfra formel (3-38). Figur 3.42 viser, at temperaturen for en indtrængningsdybde på 27 x 27 mm er 183 °C.
300
o
Temperatur i [ C]
250
Ensidet påvirket brandforløb
Tresidet påvirket brandforløb
200
150
C
100
50
0
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
Indtrængnings dybte fra en eller to sider, i [m]
Figur 3.42 Temperatur faldet ved en- og tresidet brandbelastning
109
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Det fremgår af Figur 3.42 at der er symmetri omkring indtrængningsdybden 0,075m, da dette
er den halve bredde af TT dækkets krop.
Ud fra en temperatur i zone 1 på 183 °C er der ved brug af Tabel 3.13 bestemt en reduktionsfaktor, ξs,0,2, på 0,87 , ved lineær interpolation.
Tabel 3.13 Reduktionsfaktorer for armering ved en given temperatur[DS 411, 1999, Tabel V 9.2.2a s.89]
Ståltemperatur
ξs,0,2
[˚C]
20
1,00
100
1,00
200
0,84
300
0,69
400
0,56
500
0,47
600
0,25
700
0,11
800
0,07
900
0,05
1000
0,03
For zone 2 hvor indtrængningsdybden i x- og y-planen er på 52 x 68 mm, er temperaturen
beregnet udfra formel (3-38) til 67 °C. Dette giver en reduktionsfaktor ξs,0,2 på 1,00 ved brug
af Tabel 3.13.
Bestemmelse af reduktionsfaktoren for betonen i trykzonen
For at bestemme trykstyrken i betonen opdeles trykzonen i tre zoner, jf. Figur 3.43. Det forudsættes, at betonen i hver zone har samme reduktionsfaktor svarende til den gennemsnitlige
indtrængningsdybde.
Figur 3.43 Zoneinddeling af betontværsnittet
110
JF Kennedy Arkaden
Temperaturforløbet ind i de tre zoner regnes som et ensidet påvirket tværsnit, og temperaturen
kan heraf beregnes ved brug af formel (3-39). Temperaturen i zone 1, 2 og 3 er hhv. beregnet
til 202 ˚C, 106 ˚C og 50 ˚C.
Ud fra de tre temperaturer er der, ved aflæsning af Figur 3.44, bestemt en reduktionsfaktor, ξc,
for hver zone på hhv. 0,99, 1,00 og 1,00.
Figur 3.44 Reduktionsfaktoren ξc for betons enaksede trykstyrke [DS 411, 1999, s. 86]
Betonens trykstyrke bestemmes, jf. (3-43).
 0,99 + 1 + 1 
f cd ,r = f cd ⋅ ξ c = 22 MPa ⋅ 
 = 21,9 MPa
3


(3-43)
Her er
Fcd
Betonens regningsmæssige trykstyrke [MPa]
ξc
Reduktionsfaktor
TT dækkets bæreevne i LK. 3.3
Beregningen af TT dækkets momentbæreevne i brandtilfældet er analogt med beregningen i
brudgrænsetilstanden, jf. afsnit 3.3
For at bestemme om der er tilstrækkelig bøjningsbæreevne, fastlægges den effektive højde, d,
fra oversiden af TT dækket og ned til armeringslinernes resulterende trækkraft. Afstanden
bestemmes ud fra Figur 3.45 og resultatet er opstillet i ligning (3-44).
111
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Figur 3.45 Afstanden d, fra oversiden af TT dækket til den resulterende trækkraft
Bestemmelse af den effektive højde, d:
d=
n ⋅ s1 ⋅ f1 + n ⋅ s 2 ⋅ f 2 + n ⋅ s3 ⋅ f 3
n ⋅ f1 + n ⋅ f 2 + n ⋅ f 3
d=
6 ⋅ 566mm ⋅ 117 kN ⋅ 0,87 + 12 ⋅ 516mm ⋅ 117 kN ⋅ 0,87 + 6 ⋅ 516mm ⋅ 117kN ⋅ 1,00
= 528mm
6 ⋅ 117kN ⋅ 0,87 + 12 ⋅ 117 kN ⋅ 0,87 + 6 ⋅ 117 kN ⋅ 1,00
⇔
(3-44)
Ved en iterativ proces, hvor der skønnes en trykzonehøjde, x, udregnes en tillægstøjning, ∆ε
der lægges til forspændingstøjningen, ε0s på 6,8 ‰. Forspændingstøjningen er bestemt i afsnit
3.3 . Hvis den totale tøjning i armeringen bliver større end 35 ‰, vil der opstå tøjningsbrud i
armeringen, jf. Figur 3.46. Trykzonehøjden sættes til 59 mm, og i det følgende kontrolleres
denne højde.
Herved er der udregnet en tillægstøjning, jf. (3-45).
∆ε = ε cu ⋅
d−x
x
⇒ 3,5 0 00 ⋅
528mm − 59mm
= 27,8 0 00
59mm
Den samlede tøjning i armeringen bliver herved:
ε s = ∆ε + ε 0 s
⇒ 27,8 0 00 + 6,8 0 00 = 34,6 0 00
Herved kan forspændingskraften pr. line bestemmes ved Figur 3.46.
112
(3-45)
JF Kennedy Arkaden
Figur 3.46Arbejdslinie for L 12,5 liner
Den samlede kraft i armeringen bliver ved brug af reduktionsfaktorerne jf. (3-46):
Fs ,reduceret = (136 + 0,8 ⋅ ε s ) ⋅ (18 ⋅ ξ s , 0, 2, zone1 + 6 ⋅ ξ s , 0, 2, zone 2 )
⇒
(3-46)
Fs ,reduceret = (136 + 0,8 ⋅ 34,6 ) ⋅ (18 ⋅ 0,87 + 6 ⋅ 1,00 ) = 3546 kN
Ud fra den samlede kraft i armeringslinerne er det undersøgt i ligning (3-47) om der er
vandret ligevægt i tværsnittet.
Fs ,reduceret
γs
− 0,8 ⋅ x ⋅ b ⋅ f cd = 0
⇒
(3-47)
 3546 ⋅ 10 3 N


− 0,8 ⋅ 59mm ⋅ 2394mm ⋅ 21,9MPa  ⋅ 10 −3 = 5kN ≈ 0
1,43


Det accepteres med denne afvigelse hvilket bevirker, at den skønnede x-værdi kan benyttes.
Det reducerede brudmoment, Mu, beregnes på midten af TT dækket jf. (3-48).
3546kN 

M u = (d − 0,4 ⋅ x) ⋅ Fsd ,r =  (528mm − 0,4 ⋅ 59mm) ⋅
 ⋅ 10 −3 = 1251kNm
1
,
43


(3-48)
113
K3. Detaildimensionering af TT dæk
Ved brug af det reducerede brudmoment undersøges bæreevnen ud fra formel (3-42):
M max LK 3.3 ≤ M u
⇒
884kNm ≤ 1251kNm
Det er eftervist er der er tilstrækkelig momentbæreevne efter et nominelt brandforløb i 60
minutter. For at sikre tilstrækkelig momentbæreevne er det et krav, at gipsloftet i fjernes, da
dette vil forøge temperaturen ved TT dækket væsentligt.
114
JF Kennedy Arkaden
K4. Samlinger af betonelementer
Der tages udgangspunkt i etageadskillelsen mellem 3.- og 4. sal, samt facaderne i bygningens
nordlige kontordel, som er markeret på Figur 4.1. Etageadskillelsen er udført som et PX32
dæk [Spæncom], som spænder fra ydervæg til ydervæg. Facadeelementer er ligeledes udført i
elementer fra Spæncom, hvis egenskaber og udseende anvendes i dimensioneringen.
Figur 4.1 Spændretning for etageadskillelse mellem 3. og 4. sal
Der tages udgangspunkt i den 66 m lange strækning som vist på Figur 4.1. På denne strækning ligger der 55 stk. PX32-dæk med en bredde på 1,2 m. Undersøgelsen tager udgangspunkt
i de elementer der er vist på Figur 4.2, hvor de markerede områder undersøges.
115
K4. Samlinger af betonelementer
Figur 4.2 Punkterne der undersøges
Samlingerne dimensioneres for punkterne beskrevet i rettelsesbladet Ret.1, til DS 411. Forskydningsarmering samt stødlængden mellem bøjle og længdearmering dimesioneres efter
Teknisk Ståbi.
Bilaget er opstillet efter bestemmelser i pkt. 5.1 i Ret.1 til DS 411:
I. ”Etageadskillelser skal være armerede svarende til en karakteristisk last på 30 kN/m i
hver retning”
II. ”Langs omkredsen af hver etageadskillelse skal der anordnes en randarmering som er
i stand til at optage en karakteristisk last på minimum 80 kN. Randarmeringen skal
være forankret til etageadskillelsen, således at forskydende kræfter kan overføres”
III. ”I vægge, der indgår i det konstruktive system, skal der etableres gennemgående lodrette trækforbindelser, som er i stand til at optage en karakteristisk last på 30 kN/m”
IV. ”I top og bund af vægge, der indgår i det konstruktive system, skal der etableres horisontale trækforbindelser anordnet på en sådan måde, at hver enkelt væg kan fungere
som en bjælke, der er udkraget over et tænkt lokalbrud i den underliggende etage.
Trækforbindelserne skal kunne optage en karakteristisk last på 150 kN og tillades udført som armering i etagekrydsene”
Ved samling V på Figur 4.2 undersøges den største forskydningskraft der opstår mellem dækkene, og herudfra dimensioneres længde- og bøjlearmering i fugen mellem dækkene. Ved
denne dimensionering af armeringen antages det, at armeringen skal kunne optage kræfter,
svarende til den største forskydningskraft, der opstår under vindpåvirkningen.
116
JF Kennedy Arkaden
4.1
Materialeparametre og sikkerhedsklasse
Der anvendes normal kontrolklasse og høj sikkerhedsklasse i alle beregninger. For ribbestål
B550 bestemmes den regningsmæssige flydespænding til:
f yd , s =
550MPa
= 384,6MPa
1,43
(4-1)
Der anvendes en fugebeton med en karakteristisk trykstyrke på 20 MPa. Den regningsmæssige tryk- og trækstryke bestemmes med γm = 1,82 for beton til:
20MPa
= 10,99 MPa
1,82
1,4 MPa
=
= 0,77 MPa
1,82
f cd =
f ctd
Placering, dæklag og indbyrdes afstande mellem armeringsjern foretages alle ud fra kravene i
DS 411. Detailtegninger ses på Tegning 202 i tegningsmappen.
4.2
Randarmering efter punkt I
Det antages, at de 30 kN/m i længderetningen af dækelementerne optages gennem dækkets
spændarmering. Det undersøges derfor kun for 30 kN/m i dækelementernes bredderetning. Da
dækkene spænder ca. 15 m skal der indlægges armering svarende til en trækkraft på 450 kN.
Denne kraft optages langs randen af dækeelementerne, som skitseret på Figur 4.3. Det medfører, at kun den halve kraft, svarende til 225 kN i hver side, skal optages af armeringsanordningen langs randen. Randarmering bør bestå af to armeringsjern, hver med en diameter på
min. 12 mm [Bygningsdelsstatik, notat 2003].
Figur 4.3 Undersøgelse af punkt I
117
K4. Samlinger af betonelementer
Det nødvendige armeringsareal der skal benyttes for at kunne optage den påførte last bestemmes ved:
As =
F
225000 N
=
= 585mm 2
f yd 384,6 MPa
Der anvendes 2 stk. φ20 armeringsjern, som har et tværsnitsareal på 628 mm2. Disse indlægges langs elementernes understøttede rand. Armeringsjernene skal stødes sammen på en sådan
måde at styrken af stødet svarer til den påførte last. Den nødvendige stødlængde findes vha.
[Teknisk Ståbi, 2002, s.153]. Forholdet mellem trækforankringslængden og armeringsdiameteren, l/φ, findes som funktion af betonens trykstyrke. I dette tilfælde bestemmes forankringslængden for trykstyrker svarende til fugemassens trykstyrke, som er fastsat til 20 MPa [Bygningsdelssstatik, notat 2003] og for armeringsstål af typen B550. For ribbestål anvendes en
forankringsfaktor på 0,8, svarende til ny tentor [Teksisk Ståbi, 2002], og forholdet l/φ findes
til 44. Med en diameter på 20 mm findes den nødvendige stødlængde:
l / φ = 44 ⇒ l = 44 ⋅ 20mm = 880mm
Stødlængden for randarmeringen er dermed bestem til 880 mm.
4.3
Randarmering efter punkt II
I punkt II skal randarmeringen rundt om etageadskillelser kunne optage en karakteristisk last
på minimum 80 kN. Da undersøgelsen af punkt I viste, at det var nødvendigt med 2 stk. φ20
armeringsjern for at kunne optage 225 kN, er kravet på 80 kN også overholdt. Armeringsjernene skal ilægges hele vejen rundt om hver etageadskillelse.
4.4
Armering mellem vægelementer efter punkt III
Den karakteristiske last på 30 kN/m, omtalt under punkt II, regnes optaget af armering i fugen
mellem de enkelte vægelementer. I disse beregninger antages det, at facadeelementerne ikke
har gennemgående montagebolte, som kan optage trækkræfter. Vægelementerne antages at
være maksimal 6 m bredde, hvilket svarer til en enkeltkraft i hver fuge på 180 kN, se Figur
4.4.
118
JF Kennedy Arkaden
Figur 4.4 Undersøgelse af punkt II
Denne kraft på 180 kN undersøges på tilsvarende måde som i afsnit 4.2 . Det nødvendige armeringsareal findes til 468 mm2. Dette svarer til 1 stk. φ25 armeringsjern, som skal stødes
1100 mm med armeringen mellem de ovenstående vægskiver for at kunne overføre den påførte last.
4.5
Randarmering efter punkt IV
Denne undersøgelse sikrer stabiliteten, ved et tænkt lokalbrud i den underliggende etage. Situationen er skitserest på Figur 4.5. Det antages at den underliggende vægskive fjernes, evt.
ved en eksplosion. Stabiliteten af bygningen skal stadig opretholdes, hvilket den anses værende, hvis vægskiven over det tænkte brud kan optage en karakteristisk trækkraft på 150 kN. I
denne betragtning antages vægskiven over bruddet at virke som en udkraget bjælke.
Figur 4.5 Undersøgelse af punkt IV
119
K4. Samlinger af betonelementer
Det nødvendige armeringsareal bestemmes til 390 mm2, svarende til 2 stk. φ16, med et armeringsareal på 402 mm2.
4.6
Fastlæggelse af randarmering mht. punkt I, II og IV
Det fremgår af beregningerne at punkt I bliver dimensionsgivende for randarmeringen. Armeringen i fugen omkring dækkene skal derfor være 2. stk. φ20, som opfylder de i punkt 5.1 i
DS 411/Ret.1, 2002 beskrevne tilfælde.
Forskydningsarmeringen mellem dækkene er udført, hvor alle etageadskillelserne virker som
en bjælke påvirket af en jævnt fordelt last. Der er i denne dimensionering ikke taget højde for
vridning og deformationer, som kunne give større forskydningskræfter, men det antages at
den benyttede metode er på den sikre side.
4.7
Armering mellem dækelementer, V
Ved denne bestemmelse betragtes etageadskillelsen mellem 3. og 4. sal, som 66 m lang simpelt understøttet bjælke påvirket af en jævnt fordelt last, svarende til vindlasten, der påvirker
bygningen, se Bilag K1. Kraften, der påvirker dækket, er skitseret på Figur 4.6.
Figur 4.6 Vindpåvirkning på etageadskillelse
Af Figur 4.6 opstilles det statiske system og moment- og forskydningskurve bestemmes som
vist på Figur 4.7.
120
JF Kennedy Arkaden
Figur 4.7 Snitkraftfordeling for etageadskillelse.
Forskydningsarmeringen mellem dækkene dimensioneres ud fra den største forskydningskraft, der opstår i dækkene. Denne antagelse er analog med skrårevneefffekten i betonbjælker,
hvor betonlameller overfører trykkræfter, der skal optages i bøjlearmering. I dette tilfælde er
den maksimale forskydningskraft på 73 kN, jf. Figur 4.7. Denne kraft skal optages af armering mellem dækkene. Ligeledes er kraften bestemmende for stødlængden mellem længdearmeringen og bøjlen, der indlægges i hver ende af fugen mellem dækkene, for at kunne overføre forskydende kræfter. Dette behandles senere.
Det undersøges samtidig om momentet giver anledning til større trækkræfter i randarmeringen, end der i punkt I-IV er dimensioneret for.
4.7.1
Forskydningsarmering mellem dæk
Den maksimale forskydningskraft på 73 kN, hvilket medfører at det nødvendige armeringsareal bliver 190 mm2, svarende til 2 stk. φ12 med et armeringsareal på 226 mm2. Her vælges
at bruge 2 stk. φ12 i stedet for 1 φ16. Dette skyldes at armeringen skal stødes med en bøjle
ved hver ende af dækkene. De to ben i U-bøjlen bør tilsammen kunne optage samme trækkraft, som kan optages i fugearmeringen som U-bøjlen er stødt med [Bygningsdelsstatik, notat
2003]. Bøjlen udføres derfor af φ12 armeringsstål.
Forankringslængden mellem bøjle og forskydningsarmering mellem dæk, bør mindst regnes
som svarende til stød i samme snit. Stødlængden, ls bestemmes som i afsnit 4.2 til til 528 mm,
se Figur 4.8. Det er ligeledes denne stødlængde der anvendes til stødet af armeringsstængerne
mellem dækkene.
121
K4. Samlinger af betonelementer
Figur 4.8 Stødlængde ls mellem bøjle og forskydningsarmering mellem dæk
4.7.2
Momentvirkningen på etageadskillelsen
Som det fremgår af Figur 4.7, påvirkes etageadskillelsen af et maksimalt moment på 1198
kNm, midt på ”bjælken”. Dette moment giver anledning til et kraftpar på 79,9 kN, hhv. som
træk- og tryk i overside og underside, se Figur 4.9.
Figur 4.9 Momentpåvirkning af dæk.
Trykkraften regnes at kunne optages i betonen og trækkraften vil kunne optages i randarmeringen, der i punkt I er dimensioneret til en trækkraft på 225 kN.
4.7.3
Optagelse af forskydningspændinger i støbeskel
I foregående afsnit blev det fundet at forskydningskraften mellem dækkene optages gennem
armeringen. Det er her undersøgt om forskydningsspændingen kan optages gennem fugen.
122
JF Kennedy Arkaden
Der regnes forskydningsspændinger mellem 2 PX32 etagedæk, der spænder over 15 m. Forskydningsspændingen bestemmes af (4-2) [DS 411, 1999, s. 44]:
τ Sd =
VSd
Aj
(4-2)
Her er
VSd
regningsmæssig forskydningskraft i snittet[N]
Aj
støbeskellets areal [mm2]
τ Sd =
79900 N
= 0,017 MPa
320mm ⋅ 15000mm
Denne forskydningsspænding skal optages af fugen mellem dækkene, hvor arealet bestemmes
som længden af dækket gange højden af dækket.
Da dækelementerne er ekstruderede elementer, regnes der med et jævnt støbeskel iht. DS 411,
1999, s. 44.
Den regningsmæssige bæreevne, hvor normalkraft og armering regnes jævnt fordelt over det
betragtede areal, bestemmes som den mindste værdi af (4-3) [DS 411, 1999, s.44]:
τ Rd = k T ⋅ τ cd + µ ( ρ ⋅ f yd ⋅ sin α + σ nd ) + ρ ⋅ f yd ⋅ cos α ≤ 0,5 ⋅ vv ⋅ f cd
(4-3)
Her er
kT
en faktor i hht. Tabel V 6.2.2.4 i DS411[-]
τcd
= 0,25 ·fctd svarende til den laveste betonstyrke, der indgår [MPa]
µ
friktionskoefficienten i hht. tabel V 6.2.2.4 i DS411 [-]
ρ
=As/Aj [-]
As
tværsnitsarealet (målt vinkelret på armeringens retning) af den armering gennem støbeskellet, som deltager i forskydningsoptagelsen [mm2]
Aj
støbeskellets areal [mm2]
σnd
normalkomposanten af den spænding, der virker på støbeskellet svarende til den regningsmæssige last
[N/mm2]
vv
effektivitetsfaktoren i hht. tabel V 6.2.2.1 i DS411 [-]
fcd
den regningsmæssige styrke af den laveste betonstyrke der indgår [MPa]
α
er vinklen den indstøbte armering danner med støbeskellet [◦]
I dette tilfælde regnes der ikke med indstøbt armering i dækket, hvorfor vinklen α sættes lig 0.
σnd svarer til spændingen hidrørende tryk- og trækkraften fundet i afsnit 4.7.2 . Trækkraften er
allerede regnet optaget i randarmeringen, og medtages derfor ikke som en negativ spænding.
Trykkraften regnes ikke at forøge bæreevnen af støbeskellet, hvilket betyder at beregningerne
123
K4. Samlinger af betonelementer
er på den sikre side. Fugearmeringen er i afsnit 4.7.1 bestemt til 2 stk. φ12, med et samlet
armeringsareal på 226 mm2. I Tabel 4.1 fremgår de anvendte parametre til beregningen af
bæreevnen.
Tabel 4.1 Parametre til beregning af forskydningsbæreevne i hht. DS 411
fcd
fctd
kT
µ
vv
[MPa]
[MPa]
1,4
0,6
0,6
10,99
0,77
Bæreevnen af fugen beregnes af formel (4-3:
τ Rd = 1,4 ⋅ (0,25 ⋅ 0,77 MPa) ≤ 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 10,99MPa
c
τ Rd = 0,27 MPa ≤ 3,0MPa
Da bæreevnen er større end den aktuelle forskydningsspænding, beregnet først i afsnittet,
overholder styrken af fugen kravet i hht. DS 411. Af Figur 4.10 ses et snit gennem facade og
huldæk, hvor dæklag og afstande er påført. Facadeelementet på figuren er ikke dimensioneret.
Figur 4.10 Afstande i samling mellem etageadskillelse og facade
124
JF Kennedy Arkaden
4.8
Armering i hjørne af etagedæk
Armeringsanordningen ved hjørner af etagedækkene beregnes ikke, men udformes på en sådan måde at armeringsanordningen overholder de krav, der er gennemgået i dette bilag. Hjørnearmeringen kan udformes som vist på Figur 4.11, hvor randarmering (φ20 mm) og armering mellem vægelementer (φ25 mm), svarer til de før beskrevne.
Figur 4.11 Armeringsanordning ved hjørne
125