Algebra I
Jokke Häsä ja Johanna Rämö
Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Helsingin yliopisto
Kevät 2011
Sisältö
1 Laskutoimitukset
6
1.1 Työkalu: Joukot ja kuvaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Joukko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.2
Kuvaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Laskutoimituksen määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1
Perusominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2
Neutraali- ja käänteisalkiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3 Ryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.1
Ryhmän määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.3.2
Merkintöjä
1.3.3
Monoidit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.4
Ryhmien laskutoimitustaulut . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.5
Aliryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4 Symmetrinen ryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1
Permutaatiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.2
Symmetrisen ryhmän määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.3
Syklit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.4.4
Ryhmä S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.5
Lisätieto: alternoiva ryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2 Ryhmien teoriaa
48
2.1 Virittäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2
SISÄLTÖ
2.2
2.3
3
2.1.1
Yhden alkion virittämät aliryhmät . . . . . . . . . . . . . . 48
2.1.2
Useamman alkion virittämät aliryhmät . . . . . . . . . . . . 53
Työkalu: Lukuteoriaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1
Jaollisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2
Eukleideen algoritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.3
Alkuluvut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.2.4
Kongruenssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Sykliset ryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.1
Jäännösluokkaryhmä Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.3.2
Syklisten ryhmien aliryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4
Työkalu: Ekvivalenssirelaatio
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.5
Sivuluokat ja Lagrangen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5.1
Sivuluokat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5.2
Lagrangen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5.3
Lagrangen lauseen sovelluksia . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3 Renkaat
95
3.1
Rengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.1.1
Renkaiden ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.2
Alirengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.3
Yksiköt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2
Kunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.3
Kokonaisalue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.3.1
Karakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4 Tekĳärakenteet
4.1
113
Tekĳäryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1
Sivuluokkien laskutoimitus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.2
Normaali aliryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.3
Tekĳäryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4
SISÄLTÖ
4.1.4
Normaalien aliryhmien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.5
Toinen lähestymistapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2 Tekĳärengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.1
Ideaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.2
Tekĳärengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.3
Toinen lähestymistapa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3 Ideaalien teoriaa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.1
Virittäminen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.3.2
Kunnat ja maksimaaliset ideaalit . . . . . . . . . . . . . . . 135
5 Homomorfismit
139
5.1 Ryhmähomomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.1
Ryhmien isomorfisuus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.1.2
Ryhmähomomorfismien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . 141
5.1.3
Syklisten ryhmien homomorfismeista . . . . . . . . . . . . . 147
5.2 Ryhmien homomorfialause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.2.1
Miten homomorfismeista saadaan isomorfismeja . . . . . . . 151
5.3 Rengashomomorfismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.1
Renkaiden isomorfisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3.2
Rengashomomorfismien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . 160
5.3.3
Homomorfismit ja tekĳärenkaat . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6 Polynomit
165
6.1 Polynomirengas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1
Polynomin määritelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2
Polynomien ominaisuuksia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
6.2 Polynomien jaollisuudesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
6.2.1
Juuret ja jaollisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
6.2.2
Rationaalĳuuret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
SISÄLTÖ
7 Liite: Symmetrioista
5
178
7.1
Neliön symmetriaryhmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
7.2
Diedriryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.3
Platonin kappaleiden symmetriaryhmät . . . . . . . . . . . . . . . . 181
Luku 1
Laskutoimitukset
1.1
Työkalu: Joukot ja kuvaukset
Algebralliset rakenteet muotoillaan joukko-opin käsitteiden avulla, joten niiden
hallitseminen on algebran ymmärtämisen kannalta välttämätöntä. Tässä luvussa
esitellään joukko-opin käsitteistä ja merkinnöistä erityisesti ne, joita tarvitaan algebrassa. Lukua ei välttämättä kannata lukea kokonaan heti aluksi, vaan siihen
voi palata aina silloin, kun joukko-opin käsitteet tarvitsevat selvennystä.
1.1.1
Joukko
Joukko on hyvinmääritelty kokoelma olioita, joita kutsutaan sen alkioiksi. Joukko on annettu, kun kaikki sen alkiot tunnetaan, eli jokaisesta oliosta tiedetään,
kuuluuko se joukkoon vai ei. Esimerkiksi seuraavat ovat joukkoja:
• N (luonnolliset luvut eli luvut 0, 1, 2, . . . )
• Z (kokonaisluvut)
• Q (rationaaliluvut)
• R (reaaliluvut)
• {0,1,2,3} (joukko, jonka alkioita ovat luvut 0, 1, 2 ja 3)
• {porkkana, lanttu, nauris}
6
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET
7
Olio voi olla jonkin tietyn joukon alkio vain yhden kerran. Joskus saatetaan jostakin syystä joutua kirjoittamaan jokin joukon alkio useampaan kertaan, esimerkiksi {0, 1, 2, 2}. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että joukossa olisi kaksi kakkosta,
vaan kyseessä on joukko {0, 1, 2}.
Olkoon A joukko. Jos a kuuluu joukkoon A, niin käytetään merkintää a ∈ A.
Jos a ei kuulu joukkoon A, niin merkitään a ∈
/ A. Esimerkiksi 1 ∈ N ja −1 ∈
/ N.
Joukot A ja B ovat samat, jos niissä on täsmälleen samat alkiot, eli a ∈ A jos
ja vain jos a ∈ B. Tällöin merkitään A = B.
Joukko B on joukon A osajoukko, jos kaikilla b ∈ B pätee b ∈ A. Tällöin
merkitään B ⊂ A. Vaihtoehtoisesti voidaan kirjoittaa A ⊃ B. Jos joukko B ei ole
A:n osajoukko, niin merkitään B %⊂ A. Esimerkiksi N ⊂ Z ja {0, 1, 23 } %⊂ Z. Joukko
B on joukon A aito osajoukko, jos B ⊂ A ja B %= A. Jos halutaan korostaa sitä,
että B on aito osajoukko, voidaan käyttää merkintää B ! A.
Jos on todistettava, että joukko B on joukon A osajoukko, niin otetaan mielivaltainen alkio joukosta B ja osoitetaan, että se on joukossa A. Jos halutaan todistaa,
että joukot A ja B ovat samat, niin on osoitettava, että A ⊂ B ja B ⊂ A.
Tyhjä joukko ∅ on joukko, joka ei sisällä yhtään alkiota. Se on jokaisen joukon
osajoukko. Jos joukko ei ole tyhjä, sitä kutsutaan epätyhjäksi. Joukkoa, jossa on
vain yksi alkio kutsutaan yksiöksi.
Jos joukon alkiot voidaan määritellä jonkin ehdon avulla, voidaan joukolle käyttää merkintää {a | ehto, jonka a toteuttaa}. Tällöin joukkoon kuuluvat kaikki ne
alkiot, jotka toteuttavat annetun ehdon. Esimerkiksi joukko {x ∈ R | x > 0}
sisältää kaikki positiiviset reaaliluvut.
Joukkoja voidaan ajatella ämpäreinä, joissa on tavaroita. (Tässä ajattelutavassa on tiettyjä puutteita, mutta emme huolehdi niistä nyt.) Tyhjä joukko on tyhjä
ämpäri. Kolmen alkion joukko voi olla esimerkiksi ämpäri, jossa on porkkana, lanttu ja nauris. Jos ämpäristä otetaan vihanneksia pois, saadaan aikaan alkuperäisen
joukon osajoukko. Eräs osajoukko on siis ämpäri, jossa on vain porkkana ja lanttu. Jos ämpäristä otetaan kaikki tavarat pois, niin jäljelle jää tyhjä ämpäri. Tyhjä
joukko on siis jokaisen joukon osajoukko.
Olkoon a joukon A alkio. On tärkeää ymmärtää ero merkintöjen a ja {a} välillä.
Edellisessä merkinnässä on kyse alkiosta a ja jälkimmäisessä taas A:n osajoukosta,
joka sisältää alkion a. Aivan kuten porkkana ja ämpäri, jossa on porkkana, ovat
eri asioita. Samalla tavoin ∅ ja {∅} eivät ole sama asia. Edellinen on tyhjä ämpäri,
ja jälkimmäinen saavi, jossa on tyhjä ämpäri.
Myös merkintöjen a ∈ A ja a ⊂ A ero on oleellinen. Tarkastellaan joukkoa
A = {{0}, {1}}. Sen alkioita ovat siis joukot {0} ja {1}, joten {0} ∈ A ja {1} ∈ A.
8
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
Toisaalta {0} %⊂ A. Jos nimittäin {0} ⊂ A, niin silloin jokaisen joukon {0} alkion
pitäisi olla myös joukon A alkio. Joukon {0} ainoa alkio on 0, mutta se ei ole
joukon A alkio, ja siksi {0} %⊂ A. Jos sen sĳaan tutkimme joukkoa B = {0, 1}, niin
{0} %∈ B, mutta {0} ⊂ B.
Ämpäreillä ilmaistuna merkintä a ∈ A tarkoittaa sitä, että ämpärissä A on
tavara a. Merkintä a ⊂ A puolestaan tarkoittaa, että a ja A ovat ämpäreitä, joissa
on samoja tavaroita, mutta a:ssa niitä on mahdollisesti vähemmän kuin A:ssa.
Joukko-operaatiot
• Joukkojen A ja B yhdiste on joukko A ∪ B = {x | x ∈ A tai x ∈ B}.
• Joukkojen A ja B leikkaus on joukko A ∩ B = {x | x ∈ A ja x ∈ B}.
• Joukkojen A ja B erotus on joukko A \ B = {x ∈ A | x ∈
/ B}.
Esimerkiksi joukkojen
A = {0, 1, 2} ja B = {1, 3}
yhdiste on A ∪ B = {0, 1, 2, 3}, leikkaus A ∩ B = {1} ja erotus A \ B = {0, 2}.
B
A
A!B
A
B
A"B
A
B
A\B
Kuva 1.1: Joukko-operaatioita.
Usein tarkastellaan jotain tiettyä perusjoukkoa E sekä sen osajoukkoja. Tällöin
joukon A ⊂ E komplementti (joukon E suhteen) on joukko AC = E\A. Esimerkiksi
joukon {0, 1, 2} komplementti joukon N suhteen on {3, 4, 5, . . . }.
Yhdiste ja leikkaus voidaan yleistää koskemaan useampaa kuin vain kahta joukkoa. Olkoon I joukko, jota kutsutaan indeksĳoukoksi, ja olkoon jokaista i ∈ I kohti
annettu joukko Ai . Joukkojen Ai yhdiste on joukko
!
Ai = {a | a ∈ Ai jollakin i ∈ I}.
i∈I
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET
9
E
AC
A
Kuva 1.2: Komplementti.
Joukkojen Ai leikkaus on joukko
"
i∈I
Ai = {a | a ∈ Ai kaikilla i ∈ I}.
Jos indeksĳoukko on muotoa I = {n, n + 1, . . . , m} joillakin n, m ∈ N, niin
voidaan kirjoittaa
m
!
!
Ai =
Ai .
i∈I
i=n
Jos esimerkiksi indeksĳoukkona on I = {1, 2, 3} ja oletamme, että A1 =
{0, 1, 2}, A2 = {0, 2, 4} ja A3 = {1, 2, 3}, niin
!
Ai =
3
!
i=1
i∈I
Ai = A1 ∪ A2 ∪ A3 = {0, 1, 2, 3, 4}
ja
"
i∈I
Ai =
3
"
i=1
Ai = A1 ∩ A2 ∩ A3 = {2}.
1.1.1 Esimerkki. Todistetaan esimerkin vuoksi seuraava joukkoja koskeva tulos:
Jos B ⊂ A, niin A ∪ B = A. Todistuksesta käy ilmi, kuinka joukkoja käsitellään.
On siis osoitettava, että A ∪ B ⊂ A ja A ⊂ A ∪ B.
“⊂”: Oletetaan, että a ∈ A ∪ B, ja osoitetaan, että a ∈ A. Oletuksen nojalla
a ∈ A tai a ∈ B. Jos a ∈ A, niin väite tietenkin pätee. Jos taas a ∈ B, niin ehdosta
B ⊂ A seuraa, että a ∈ A. Siten a ∈ A ja edelleen A ∪ B ⊂ A.
10
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
“⊃”: Oletetaan, että a ∈ A ja osoitetaan, että a ∈ A ∪ B. On siis osoitettava,
että a ∈ A tai a ∈ B. Koska oletimme, että a ∈ A, niin väite on totta. Siten
A ⊂ A ∪ B.
Koska A ∪ B ⊂ A ja A ⊂ A ∪ B, niin A ∪ B = A.
Joukko-operaatioille pätevät seuraavat lait.
1.1.2 Lause (Osittelulait).
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
1.1.3 Lause (de Morganin lait).
(A ∪ B)C = (AC ∩ B C )
(A ∩ B)C = (AC ∪ B C )
Todistus. Lauseiden todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Joukon A potenssĳoukko P(A) on sen kaikkien osajoukkojen muodostama joukko. Esimerkiksi joukon {0, 1, 2} potenssĳoukko on joukko
{∅, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}.
Järjestetty pari (a, b) on alkioista a ja b muodostettu pari, jossa alkioiden a ja
b järjestyksellä on väliä. Olkoot A ja B joukkoja. Niiden karteesinen tulo A × B
koostuu järjestetyistä pareista (a, b), missä a ∈ A ja b ∈ B.
Esimerkiksi joukkojen {0, 1, 2} ja {1, 3} karteesinen tulo on joukko
{(0, 1), (0, 3), (1, 1), (1, 3), (2, 1), (2, 3)}.
Yleisemmin voidaan määritellä useamman kuin kahden joukon karteesinen tulo. Jos A1 , A2 , . . . , An ovat joukkoja, niin niiden karteesinen tulo
A1 × A2 × · · · × An
koostuu n-jonoista (a1 , a2 , . . . an ), missä ai ∈ Ai kaikilla i ∈ {1, 2, . . . , n}
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET
1.1.2
11
Kuvaukset
Kuvaukset ovat algebrassa tärkeitä, sillä monet algebralliset rakenteet koostuvat
niistä. Lisäksi erilaisten algebrallisten rakenteiden välille halutaan usein määritellä
kuvauksia, jotka saattavat esimerkiksi kuvastaa rakenteiden samankaltaisuutta.
Siksi kuvauksiin liittyvät keskeiset käsitteet on hallittava hyvin.
1.1.4 Määritelmä. Oletetaan, että A ja B ovat epätyhjiä joukkoja. Kuvaus
f : A → B on sääntö, joka liittää jokaiseen A:n alkioon täsmälleen yhden joukon B alkion. Kuvauksia kutsutaan myös funktioiksi.
Oletetaan, että f : A → B on kuvaus. Olkoon a ∈ A, ja olkoon b se joukon B
alkio, joka liitetään alkioon a. Alkiota b kutsutaan a:n kuvaksi, ja sille käytetään
merkintää f (a). Voidaan myös merkitä a +→ b. Joukkoa A kutsutaan kuvauksen f
lähtojoukoksi tai määrittelyjoukoksi ja joukkoa B kuvauksen maalĳoukoksi.
Huomaa, että lähtö- ja maalĳoukot ovat olennainen osa kuvausta. Vaikka kaksi
kuvausta määriteltäisiin samalla ehdolla, niin ne eivät ole samat, jos lähtö- tai
maalĳoukko on eri. Esimerkiksi kuvaukset f : R → R, f (x) = x2 ja g : {0, 1, 2} →
R, g(x) = x2 eivät ole samat.
Kuva ja alkukuva
Oletaan, että f : A → B on kuvaus. Kuvauksen f kuvajoukko tai arvojoukko Im f
koostuu kaikista niistä B:n alkioista, jotka ovat jonkin A:n alkion kuvia. Toisin
sanoen
Im f = {f (a) | a ∈ A}.
Merkintä Im tulee englannin kielen sanasta image.
Kuvajoukkoa voidaan kutsua myös joukon A kuvaksi ja merkitä f [A]. Yleisemmin voidaan määritellä mielivaltaisen A:n osajoukon C kuva f [C]. Se koostuu
kaikista niistä B:n alkoista, jotka ovat jonkin C:n alkion kuvia. Siis
f [C] = {f (c) | c ∈ C}.
(Kirjallisuudessa käytetään usein hakasulkujen sĳasta tavallisia kaarisulkuja. Tällöin merkintä saattaa kuitenkin sekoittua alkioiden kuville varattuun merkintään
f (x).)
Jos D on joukon B osajoukko, niin sen alkukuva f ← [D] muodostuu kaikista
joukon A alkioista, joiden kuvat ovat joukossa D. Toisin sanoen
f ← [D] = {a ∈ A | f (a) ∈ D}.
12
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
(Kirjallisuudessa joukon D kuvauksessa f käytetään usein merkintää f −1 [D] tai
f −1 (D). Tämä menee kuitenkin helposti sekaisin kohta esiteltävän käänteiskuvauksen merkinnän kanssa.)
1.1.5 Esimerkki. Määritellään kuvaus f : {0, 1, 2, 3} → {4, 5, 6, 7.8} seuraavasti:
f (0) = 4
f (1) = 5
f (2) = 5
f (3) = 7
Kuvauksen f lähtöjoukko on {0, 1, 2, 3}, maalĳoukko {4, 5, 6, 7, 8} ja kuvajoukko
Im f = {4, 5, 7}. Osajoukon C = {0, 1, 2} kuva on f [C] = {4, 5}. Osajoukon
D = {4, 5, 6} alkukuva on g ← [D] = {0, 1, 2}.
f
C
4
0
f [C]
5
1
2
6
3
7
8
Kuva 1.3: Joukon C kuva kuvauksessa f .
f
f [D]
0
←
4
2
3
D
5
1
6
7
8
Kuva 1.4: Joukon D alkukuva kuvauksessa f .
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET
13
1.1.6 Esimerkki. Määritellään kuvaus g : R → R, g(x) = x2 . Kuvauksen g lähtöja maalĳoukko on R ja kuvajoukko Im g = {x ∈ R | x ≥ 0}. Osajoukon A =
[0, 2] kuva on g[A] = [0, 4]. Osajoukon B = [0, 4] alkukuva on g ← [B] = [−2, 2].
Osajoukon B $ = [−4, 4] alkukuva g ← [B $ ] on sama kuin osajoukon B alkukuva.
1.1.7 Esimerkki. Määritellään kuvaus h : N → N, h(n) = n2 . Kuvauksen h lähtöja maalĳoukko on N. Kuvaujoukko on Im h = {n ∈ N | n on neliö}. Joukon
A = {0, 1, 2} kuva on h[A] = {0, 1, 4}. Osajoukon B = {0, 1, 2, 3, 4} alkukuva on
f ← [B] = {0, 1, 2}.
1.1.8 Esimerkki. Määritellään kokonaislukujen osajoukot
E = {n ∈ Z | n on parillinen}
ja
O = {n ∈ Z | n on pariton}.
Määritellään kuvaus p : Z → {E, O} seuraavasti:
#
E jos n on parillinen
p(n) =
O jos n on pariton
Alkioiden kuvat ovat siis joukkoja.
Kuvauksen p lähtöjoukko on Z ja maali- ja kuvajoukko {E, O}. Osajoukon
{0, 2, 4} kuva on yksiö {E}. Osajoukon {E} alkukuva puolestaan on parillisten
lukujen joukko eli E.
Injektiot, surjektiot ja bĳektiot
Seuraavaksi tarkastelemme erityyppisiä kuvauksia.
Olkoon f : A → B kuvaus.
• Kuvaus f on injektio, jos eri alkioilla on eri kuvat. Toisin sanoen kaikilla
a, b ∈ A pätee f (a) = f (b) ⇒ a = b.
• Kuvaus f on surjektio, jos jokaiselle joukon B alkiolle kuvautuu jokin A:n
alkio. Toisin sanoen Im f = B.
• Kuvaus f on bĳektio, jos se on sekä injektio että surjektio.
Jokaisesta kuvauksesta saadaan surjektiivinen maalĳoukkoa pienentämällä. Jos
˜ = f (a) on surjektio.
f : A → B on kuvaus, niin kuvaus f˜: A → Im f , f(a)
14
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.1.9 Esimerkki.
• Kuvaus g : R → R, g(x) = x2 ei ole injektio, sillä g(−1) = 1 = g(1). Se ei
myöskään ole surjektio, sillä alkiolle −1 ei kuvaudu mitään. Kuvaus ei siis
ole bĳektio. Kuvaus g˜ : R → {x ∈ R | x ≥ 0}, g˜(x) = x2 on surjektio.
• Kuvaus h : N → N, h(n) = n2 on injektio, mikä nähdään seuraavasti. Olkoot
n, m ∈ N. Jos h(n) = h(m), niin n2 = m2 . Koska n ja m ovat epänegatiivisia,
niin täytyy olla n = m. Siten kuvaus g on injektio. Kuvaus ei ole surjektio,
sillä alkiolle 2 ei kuvaudu mitään. Kuvaus ei siis ole bĳektio.
• Esimerkin 1.1.8 kuvaus p ei ole injektio, sillä esimerkiksi p(0) = E = p(2).
Kuvaus on surjektio, sillä E = p(0) ja O = p(1). Kuvaus ei ole bĳektio.
• Kuvaus h : R → R, h(x) = 2x + 1 on injektio, sillä jos 2x + 1 = 2y + 1
joillakin x, y ∈ R, niin x = y. Kuvaus on myös surjektio, sillä jos y ∈ R, niin
1
y − 12 ∈ R ja h( 12 y − 12 ) = y. Siten h on bĳektio.
2
Yhdistetty kuvaus
Olkoot f : A → B ja g : B → C kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g ◦ f : A → C
määritellään yhtälöllä (g ◦ f )(a) = g(f (a)) kaikilla a ∈ A.
g
f
g◦f
Kuva 1.5: Eräiden kuvausten f ja g yhdistetty kuvaus.
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET
15
1.1.10 Esimerkki. Määritellään
h : N → N, h(n) = n2
ja
j : N → N, j(n) = 2n.
Nyt yhdistetty kuvaus j ◦ h : N → N määräytyy kaavasta
(j ◦ h)(n) = j(h(n)) = j(n2 ) = 2n2 ,
ja yhdistetty kuvaus h ◦ j : N → N kaavasta
(h ◦ j)(n) = h(j(n)) = h(2n) = 4n2 .
Esimerkki osoittaa, että kuvausten yhdistäminen ei ole vaihdannainen operaatio. Kuvaukset j ◦ h ja h ◦ j eivät nimittäin ole samat. Kuvausten yhdistäminen
on kuitenkin liitännäinen operaatio, eli sulkujen paikalla ei ole merkitystä. Tämän
osoittaa seuraava lause.
1.1.11 Lause. Olkoon f : A → B, g : B → C ja h : C → D. Tällöin h ◦ (g ◦ f ) =
(h ◦ g) ◦ f .
Todistus. Oletetaan, että a ∈ A. Nyt
(h ◦ (g ◦ f ))(a) = h((g ◦ f )(a)) = h(g(f (a)).
Toisaalta
((h ◦ g) ◦ f ))(a) = (h ◦ g)(f (a)) = h(g(f (a)).
Siten h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f .
Identtinen kuvaus ja käänteiskuvaus
Joukon A identtiseksi kuvaukseksi idA kutsutaan sellaista kuvausta A:lta itselleen,
joka pitää kaikki A:n alkiot paikoillaan. Toisin sanoen idA : A → A, f (a) = a
kaikilla a ∈ A. Jos epäselvyyden vaaraa ei ole, voidaan alaindeksi jättää pois ja
merkitä id = idA .
Huomaa, että kaikilla kuvauksilla f : A → B pätee
f ◦ idA = f
ja idB ◦ f = f.
16
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.1.12 Määritelmä. Sanotaan, että kuvauksella f : A → B on käänteiskuvaus,
jos on olemassa kuvaus g : B → A jolle pätee
g ◦ f = idA
ja f ◦ g = idB .
Kuvaus g on f :n käänteiskuvaus ja sitä merkitään f −1 .
Toisin sanoen f −1 (f (a)) = a kaikilla a ∈ A ja f (f −1 (b)) = b kaikilla b ∈ B.
Identtisellä kuvauksella on aina käänteiskuvaus, identtinen kuvaus itse.
f
A
B
f -1
A
B
Kuva 1.6: Erään funktion f käänteiskuvaus f −1 .
1.1.13 Esimerkki. Esimerkiksi kuvauksen h : R → R, h(x) = 2x + 1 käänteiskuvaus on kuvaus h−1 : R → R, h−1 (x) = 12 x − 12 , sillä
(h−1 ◦ h)(x) = h−1 (h(x)) = h−1 (2x + 1) = x
ja
−1
−1
(h ◦ h )(x) = h(h (x)) = h
kaikilla x ∈ R.
$
1
1
x−
2
2
%
=x
1.1.14 Lause. Kuvauksella on käänteiskuvaus jos ja vain jos se on bĳektio.
1.1. TYÖKALU: JOUKOT JA KUVAUKSET
17
Todistus. Olkoon f : A → B kuvaus. Oletetaan ensin, että kuvauksella f on käänteiskuvaus f −1 : B → A. Osoitetaan, että f on injektio. Jos on olemassa a, b ∈ A,
joille pätee f (a) = f (b), niin f −1 (f (a)) = f −1 (f (b)). Oletuksen nojalla tästä seuraa, että a = b. Siten f on injektio. Osoitetaan sitten, että f on surjektio. Olkoon
b ∈ B. Nyt f (f −1 (b)) = b, joten b on alkion f −1 (b) kuva. Siten f on surjektio.
Oletetaan sitten, että f on bĳektio, ja etsitään sille käänteiskuvaus. Määritellään kuvaus g : B → A seuraavasti. Olkoon b ∈ B. Bĳektiivisyyden nojalla on
olemassa täsmälleen yksi a ∈ A, jolle pätee f (a) = b. Määritellään g(b) = a.
Osoitetaan, että g on kuvauksen f käänteiskuvaus. Jos a ∈ A, niin
(g ◦ f )(a) = g(f (a)) = a.
Oletetaan sitten, että b ∈ B. Olkoon a ∈ A sellainen, että f (a) = b, jolloin
kuvauksen g määritelmän mukaan g(b) = a. Nyt
(f ◦ g)(b) = f (g(b)) = f (a) = b.
Siten g ◦ f = idA ja f ◦ g = idB . Tämä tarkoittaa sitä, että g = f −1 .
18
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.2
Laskutoimituksen määritelmä
Algebra tutkii laskutoimituksia ja niihin liittyviä rakenteita. Tuttuja esimerkkejä
laskutoimituksista ovat kokonaislukujen yhteen- ja kertolasku, mutta laskutoimituksia voidaan määritellä paljon mielikuvituksellisemmillekin olioille ja siten saada
aikaan kiinnostavia rakenteita. Mitä laskutoimitukset oikeastaan ovat?
1.2.1
Perusominaisuuksia
1.2.1 Määritelmä. Joukon S laskutoimitus ∗ on kuvaus, joka liittää jokaiseen
S:n alkiopariin (x, y) jonkin kolmannen alkion joukosta S. Tätä alkiota kutsutaan
laskutoimituksen tulokseksi ja merkitään x ∗ y.
Joukkoa S, jossa on määritelty laskutoimitus ∗, voidaan merkitä parina (S, ∗).
Esimerkiksi kokonaislukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla on pari (Z, +).
Algebran näkökulmasta tämä ei ole sama olio kuin (Z, ·) eli kokonaisluvut varustettuna kertolaskulla.
1.2.2 Esimerkki.
• Luonnollisten lukujen yhteenlasku on laskutoimitus, sillä kahden luonnollisen luvun summa on aina luonnollinen luku. Samoin luonnollisten lukujen
kertolasku on laskutoimitus. Myös joukkojen Z, Q ja R yhteen- ja kertolaskut
ovat laskutoimituksia.
• Luonnollisten lukujen vähennyslasku ei ole laskutoimitus, sillä esimerkiksi
1 − 2 = −1 ei ole luonnollinen luku. Myöskään kokonaislukujen jakolasku ei
ole laskutoimitus.
• n × n-matriisien yhteen- ja kertolasku ovat laskutoimituksia.
• Reaalifunktioiden joukossa kuvausten yhdistäminen on laskutoimitus. Jos f
ja g ovat reaalifunktioita, voidaan määritellä f ∗ g = f ◦ g, missä f ◦ g on
yhdistetty kuvaus.
• Tuttujen laskutoimitusten lisäksi esimerkiksi luonnollisille luvuille voidaan
määritellä uusia laskutoimituksia. Jos n, m ∈ N, niin määritellään laskutoimitus ⊕ seuraavasti:
n ⊕ m = n · m + n + m.
(Tässä + ja · ovat luonnollisten lukujen tavallinen yhteenlasku ja kertolasku.)
Toinen esimerkki luonnollisten lukujen laskutoimituksesta on
n 1 m = 0 kaikilla n, m ∈ N.
1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ
19
Laskutoimitus 1 on siis määritelty niin, että ainoa mahdollinen tulos on
nolla.
• Olkoon A joukko ja P(A) sen osajoukkojen joukko. Jos B ja C ovat A:n
osajoukkoja, niin myös B ∪ C on A:n osajoukko. Siten yhdiste ∪ on joukon
P(A) laskutoimitus. Myös leikkaus ∩ on joukon P(A) laskutoimitus.
Seuraavaksi käsittelemme laskutoimitusten perusominaisuuksia. Olkoon ∗ joukon S laskutoimitus.
1.2.3 Määritelmä. Laskutoimitus ∗ on
• vaihdannainen, jos x ∗ y = y ∗ x kaikilla x, y ∈ S
• liitännäinen, jos x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z kaikilla x, y, z ∈ S.
Jos laskutoimitus on liitännäinen, ei sulkujen paikalla ole väliä, eikä niitä siis
tarvitse välttämättä merkitä.
Useimmat tutuista laskutoimituksista ovat liitännäisiä ja vaihdannaisia. Esimerkiksi kokonaislukujen, rationaalilukujen ja reaalilukujen yhteen- ja kertolasku
ovat sekä vaihdannaisia että liitännäisiä. Kokonaislukujen vähennyslasku puolestaan ei ole vaihdannainen laskutoimitus, sillä esimerkiksi 1 − 2 %= 2 − 1.
Funktioiden yhdistäminen on liitännäinen mutta ei välttämättä vaihdannainen
laskutoimitus. Sama pätee matriisien kertolaskuun.
Tarkastellaan seuraavaksi Esimerkissä 1.2.2 esiintyvää luonnollisten lukujen
laskutoimitusta n ∗ m = nm + n + m. Olkoot n, m, k ∈ N. Nyt
n ∗ m = nm + n + m = mn + m + n = m ∗ n,
joten laskutoimitus ∗ on vaihdannainen. Lisäksi
n ∗ (m ∗ k) = n ∗ (mk + m + k) = nmk + nm + nk + n + mk + m + k
ja
(n ∗ m) ∗ k = (nm + n + m) ∗ k = nmk + nk + mk + nm + n + m + k.
Luonnollisten lukujen yhteenlaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että nämä tulokset
ovat samat. Siten laskutoimitus ∗ on liitännäinen.
Kokonaislukujen vähennyslasku ei ole liitännäinen laskutoimitus, sillä (1 − 2) −
3 = −4, mutta 1 − (2 − 3) = 2. Toinen esimerkki epäliitännäisestä laskutoimituksesta saadaan matriiseista. Olkoot A ja B n × n-matriiseja. Määritellään
20
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
matriiseille laskutoimitus ∗ käyttämällä hyväksi matriisien yhteen- ja kertolaskua:
A ∗ B = AB − BA. Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että tämä laskutoimitus ei
ole liitännäinen, kun n ≥ 2.
Yllä olevissa esimerkeissä esiintyvät epäliitännäiset laskutoimitukset eivät ole
myöskään vaihdannaisia. Onko olemassa laskutoimitusta, joka olisi vaihdannainen,
mutta ei liitännäinen? Tutkitaan seuraavaa esimerkkiä.
1.2.4 Esimerkki. Oletetaan, että joukko S muodostuu kaikista origosta lähtevistä puolisuorista, jotka ovat positiivisen x-akselin ja positiivisen y-akselin välissä.
Määritellään tämän joukon laskutoimitus ∗ seuraavasti. Jos r ja s ovat joukon S
puolisuoria, niin r ∗ s on näiden välisen kulman puolittaja eli se r:n ja s:n välissä
oleva puolisuora, joka on täsmälleen yhtä kaukana niistä molemmista. Selvästikin
∗ on vaihdannainen. Se ei kuitenkaan ole liitännäinen. Valitaan esimerkiksi alkioksi r positiivinen y-akseli, alkioksi s x-akseli ja alkioksi t puolisuora r ∗ s (kyseessä
on siis puolisuora, jonka kulma x-akselin suhteen on π/4). Nyt (r ∗ s) ∗ t = t, mutta
r ∗ (s ∗ t) on suora, jonka kulma x-akselin suhteen on 5π/16. Laskutoimitus ∗ ei
siis ole liitännäinen. Siten liitännäisyys ei seuraa vaihdannaisuudesta.
r
r # (s # t)
t=r#s
= (r # s) # t
s#t
s
Kuva 1.7: Puolisuorille määritelty laskutoimitus ei ole liitännäinen.
1.2.2
Neutraali- ja käänteisalkiot
Oletetaan jatkossa, että ∗ on joukossa S määritelty laskutoimitus.
1.2.5 Määritelmä. Joukon S alkiota e kutsutaan neutraalialkioksi, jos
e ∗ x = x ∗ e = x kaikilla x ∈ S.
1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ
21
Esimerkiksi kokonaislukujen yhteenlaskun neutraalialkio on 0 ja kertolaskun
1. Reaalifunktioiden yhdistämisen tapauksessa neutraalialkio on identtinen kuvaus, joka pitää kaikki reaaliluvut paikoillaan. Matriisikertolaskun neutraalialkio
on puolestaan ykkösmatriisi.
Joukon A kaikkien osajoukkojen joukossa P(A) laskutoimituksen ∪ neutraalialkio on ∅, sillä B ∪ ∅ = ∅ ∪ B = B kaikilla B ⊂ A.
Jos laskutoimitus on vaihdannainen, niin yhtälöstä e∗x = x seuraa, että x∗e =
x. Tällöin riittää siis tarkistaa vain toinen neutraalialkiota koskevista ehdoista.
Tämä ei kuitenkaan ole totta yleisessä tapauksessa. Jos esimerkiksi määritellään
kokonaisluvuille laskutoimitus x ∗ y = x + 2y, niin x ∗ 0 = x kaikilla x ∈ Z. Nolla ei
kuitenkaan ole laskutoimituksen neutraalialkio, sillä esimerkiksi 0 ∗ 1 = 2 · 1 %= 1.
On siis ehdottoman tärkeää huolehtia siitä, että määritelmän molemmat ehdot
täyttyvät.
Neutraalialkiota ei välttämättä ole olemassa. Jos luonnollisten lukujen laskutoimituksella n 1 m = 0 kaikilla n, m ∈ N olisi neutraalialkio e, niin silloin 1 1 e = 1.
Kuitenkin 1 1 e = 0 %= 1, joten neutraalialkiota ei ole. Myöskään esimerkin 1.2.4
puolisuorien laskutoimituksella ei ole neutraalialkiota.
Seuraava lause osoittaa, että neutraalialkioita voi olla korkeintaan yksi.
1.2.6 Lause. Jos laskutoimituksella ∗ on neutraalialkio, niin se on yksikäsitteinen.
Todistus. Olkoot e ja f laskutoimituksen ∗ neutraalialkioita. Koska e on neutraalialkio, niin e ∗ f = f . Toisaalta myos f on neutraalialkio, joten e ∗ f = e. Siten
e = f.
1.2.7 Määritelmä. Oletetaan, että laskutoimituksella ∗ on neutraalialkio e. Olkoon x ∈ S. Alkiota x$ kutsutaan x:n käänteisalkioksi, jos
x ∗ x$ = x$ ∗ x = e.
Huomaa, että neutraalialkio on aina oma käänteisalkionsa.
Rationaalilukujen kertolaskun tapauksessa luvun q käänteisalkio on 1/q. Ainoat kokonaisluvut, joilla on käänteisalkio kertolaskun suhteen ovat 1 ja −1. Kokonaislukujen yhteenlaskun tapauksessa luvun n käänteisalkio on puolestaan −n.
Luonnollisista luvuista ainoastaan nollalla on käänteisalkio yhteenlaskun suhteen.
Kun reaalifunktioiden laskutoimituksena on funktioiden yhdistäminen, kutsutaan reaalifunktion käänteisalkiota sen käänteisfunktioksi. Matriisien kertolaskun
tapauksessa käänteisalkio on käänteismatriisi.
Liitännäisen laskutoimituksen tapauksessa kullakin alkiolla voi olla korkeintaan
yksi käänteisalkio.
22
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.2.8 Lause. Olkoon laskutoimitus ∗ liitännäinen. Jos alkiolla x ∈ S on käänteisalkio, niin se on yksikäsitteinen.
Todistus. Oletetaan, että x$ ja x$$ ovat alkion x käänteisalkioita, ja olkoon e neutraalialkio. Nyt
x$ = x$ ∗ e = x$ ∗ (x ∗ x$$ ) = (x$ ∗ x) ∗ x$$ = e ∗ x$$ = x$$ .
Siten x$ ja x$$ ovat itse asiassa sama alkio.
Tutkitaan vielä uudelleen Esimerkissä 1.2.2 esiintyvää luonnollisten lukujen
laskutoimitusta n ⊕ m = nm + n + m. Olkoon n ∈ N. Nyt
n⊕0=n·0+n+0=n
ja
0⊕n= 0·n+0+n=n
joten laskutoimituksen ⊕ neutraalialkio on 0. (Koska laskutoimitus on vaihdannainen, riittäisi itse asiassa osoittaa, että n⊕0 = n.) Tutkitaan sitten käänteisalkioita.
Jos alkiolla n on käänteisalkio n$ , niin sen täytyy toteuttaa yhtälö nn$ + n + n$ = 0.
Tästä seuraa, että n$ = −n/(n + 1). Huomataan, että n$ on luonnollinen luku ainoastaan, jos n = 0 tai n = −2. Ainoa alkio, jolla on käänteisalkio on siis 0.
Tilanne muuttuu, jos joukkoa, jossa laskutoimitus on määritelty, laajennetaan.
Määritellään rationaalilukujen joukossa laskutoimitus ⊕$ kaavalla p⊕$ q = pq+p+q
kaikilla p, q ∈ Q. Laskutoimituksen neutraalialkio on edelleen 0. Oletetaan, että
q ∈ Q \ {−1}. Koska q ⊕$ (−q/(q + 1)) = 0 ja (−q/(q + 1)) ⊕$ q = 0, niin alkion q
käänteisalkio on −q/(q + 1). Ainoastaan alkiolla −1 ei ole käänteisalkiota.
Äärellisen joukon laskutoimituksen tulokset voidaan kirjoittaa niin kutsutuksi
laskutoimitustauluksi. Taulun sarakkeet ja rivit nimetään joukon S alkioilla, ja
taulukon riville x sarakkeeseen y kirjoitetaan tulos x ∗ y .
1.2.9 Esimerkki. Tutkitaan joukon {e, a, b} laskutoimitusta, joka on määritelty
seuraavalla laskutoimitustaululla:
∗
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
Taulusta nähdään, että alkio e on neutraalialkio. Alkion a käänteisalkio on b ja
alkion b käänteisalkio a. Tarkistamalla jokaisen alkioparin tulos, huomataan, että
laskutoimitus on vaihdannainen. Hieman enemmän työtä vaati nähdä, että laskutoimitus on myös liitännäinen.
1.2. LASKUTOIMITUKSEN MÄÄRITELMÄ
23
Laskutoimitustaulu määrittelee laskutoimituksen täydellisesti. Monien ominaisuuksien todistaminen on kuitenkin työlästä pelkän taulun perusteella. Jos joukon
koko on n, niin esimerkiksi liitännäisyyden todistamiseksi on tarkastettava n3 eri
tapausta. Siksi on yleensä mukavampaa, jos laskutoimitus voidaan ilmaista kaavan
avulla.
Tiivistelmä
• Joukon S laskutoimitus ∗ on kuvaus, joka liittää jokaiseen S:n alkiopariin
jonkin kolmannen alkion joukosta S.
Olkoon ∗ joukon S laskutoimitus.
• Laskutoimitus ∗ on vaihdannainen, jos x ∗ y = y ∗ x kaikilla x, y ∈ S
• Laskutoimitus ∗ on liitännäinen, jos x∗ (y ∗ z) = (x∗ y) ∗ z kaikilla x, y, z ∈ S.
• Alkio e ∈ S on neutraalialkio, jos e ∗ x = x ∗ e = x kaikilla x ∈ S. Neutraalialkioita voi olla korkeintaan yksi.
• Alkio x$ ∈ S on alkion x ∈ S käänteisalkio, jos x ∗ x$ = x$ ∗ x = e.
24
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.3
Ryhmä
Eräs algebran perusrakenteista on ryhmä. Ryhmä, kuten lähes kaikki algebran
rakenteet, määritellään yleensä aksiomaattisesti. Tämä tarkoittaa sitä, että mikä
tahansa rakenne, joka toteuttaa listan annettuja ehtoja, on ryhmä. Ehdot, jotka
ryhmän määritelmään valitaan, syntyvät tarpeesta ratkaista yhtälöitä.
1.3.1
Ryhmän määritelmä
Tutkitaan yhtälöä ax = b, missä a, b ∈ R \ {0}. Ratkaistaan yhtälö kirjoittaen
jokainen välivaihe tarkasti näkyviin. Huomataan, että
⇒
⇒
⇒
⇒
ax = b
a−1 (ax) = a−1 b
(a−1 a)x = a−1 b
1 · x = a−1 b
x = a−1 b.
Tämä tarkoittaa, että jos ratkaisu on olemassa, niin se on x = a−1 b. Koska
a(a−1 b) = (aa−1 )b = 1 · b = b, niin x = a−1 b todellakin on ratkaisu.
Huomataan, että yhtälön ratkaisemiseen tarvitaan kertolaskun liitännäisyyttä,
neutraalialkiota sekä käänteisalkioita. Näistä vaatimuksista syntyy ryhmän määritelmä.
1.3.1 Määritelmä. Joukko G laskutoimituksella ∗ varustettuna on ryhmä, jos
seuraavat ehdot ovat voimassa:
(G0) Joukko G on suljettu laskutoimituksen ∗ suhteen, eli kaikilla x, y ∈ G pätee
x ∗ y ∈ G.
(G1) Laskutoimitus on liitännäinen.
(G2) Joukossa G on neutraalialkio.
(G3) Jokaisella G:n alkiolla on käänteisalkio.
Tarkalleen ottaen ryhmä on pari (G, ∗).
Ryhmää kutsutaan vaihdannaiseksi, jos seuraava ehto toteutuu:
(G4) Laskutoimitus on vaihdannainen.
1.3. RYHMÄ
25
Vaihdannaisia ryhmiä nimitetään myös Abelin ryhmiksi norjalaisen matemaatikon
Niels Abelin mukaan.
Huomaa, että ehto (G0) seuraa suoraan siitä, että ∗ on G:n laskutoimitus.
Se on kirjattu määritelmään sen vuoksi, ettei opiskelĳa unohtaisi todistuksessa
tarkistaa, että ehto pätee! Laskutoimituksen neutraalialkio on aina yksikäsitteinen,
joten ryhmässä voi olla vain yksi neutraalialkio. Koska ryhmän laskutoimitus on
liitännäinen, ovat myös käänteisalkiot yksikäsitteisiä.
Ryhmän G kertaluku |G| on sen alkioiden lukumäärä. Kertaluvulle näkee toisinaan myös käytettävän merkintöjä #G ja card(G).
1.3.2 Esimerkki.
• Kokonaislukujen joukko varustettuna yhteenlaskulla on ryhmä. Myös (Q, +)
ja (R, +) ovat ryhmiä.
• Luonnolliset luvut yhteenlaskulla varustettuna ei ole ryhmä. Yhteenlasku on
liitännäinen ja neutraalialkiona on 0, mutta käänteisalkioita ei ole. (Paitsi
tietenkin nollalla.) Esimerkiksi luvulla 1 ei ole käänteisalkioita, sillä ei ole
olemassa sellaista luonnollista lukua n, että n + 1 = 0.
• Rationaaliluvut kertolaskulla varustettuna ei ole ryhmä, sillä luvulla 0 ei ole
käänteisalkiota. Jos luku 0 poistetaan, niin saadaan aikaan ryhmä (Q\{0}, ·).
Samoin (R \ {0}, ·) on ryhmä.
• Kääntyvät n × n-matriisit muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on
matriisikertolasku. Neutraalialkiona on yksikkömatriisi ja käänteisalkioina
käänteismatriisit. Kääntyvien matriisien muodostama ryhmä ei ole vaihdannainen.
• Ne reaalifunktiot, joilla on käänteiskuvaus, muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Neutraalialkiona on identtinen
kuvaus ja käänteisalkioina käänteiskuvaukset. Kyseessä ei ole vaihdannainen
ryhmä.
• Rubikin kuution kaikkien mahdollisten siirtojen joukko on ryhmä. Siirrolla
tarkoitetaan tässä yhteydessä mitä tahansa tahkojen kiertämisestä syntyvää
sarjaa. Ryhmän laskutoimituksena on siirtojen tekeminen peräkkäin, eli kahden siirron tulo tarkoittaa niiden suorittamista toinen toisensa jälkeen. Neutraalialkio on siirto, jossa kuutiolle ei tehdä mitään. Siirron käänteisalkio on
samojen operaatioiden tekeminen päinvaistaiseen suuntaan päinvastaisessa
järjestyksessä.
26
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.3.3 Lause. Olkoon (G, ∗) ryhmä ja a, b ∈ G. Nyt yhtälöllä a ∗ x = b on yksikäsitteinen ratkaisu, samoin yhtälöllä x ∗ a = b.
Todistus. Todistus on samanlainen kuin luvun alussa oleva todistus sille, että yhtälöllä ax = b on ratkaisu, kun a, b ∈ R \ {0}. Ensimmäisen yhtälön ratkaisu on
a$ ∗ b, missä a$ on alkion a käänteisalkio. Toisen yhtälön ratkaisu puolestaan on
b ∗ a$ .
1.3.4 Esimerkki. Olkoot (G, ∗) ja (H, ◦) ryhmiä. Tällöin myös karteesinen tulo
G × H on ryhmä, kun sen laskutoimitus 1 määritellään seuraavasti:
(a, b) 1 (c, d) = (a ∗ c, b ◦ d)
kaikilla a, c ∈ G ja b, d ∈ H.
Sanotaan, että yllä karteesiselle tulolle on määritelty laskutoimitus komponenteittain tai pisteittäin.
Todistus. Lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
1.3.2
Merkintöjä
Mielivaltaisen ryhmän laskutoimitus merkitään tavallisesti kertolaskuna. Voidaan
sanoa yksinkertaisesti, että G on ryhmä, ja tällöin tarkoitetaan ryhmää (G, ·).
Kertomerkki voidaan jättää kokonaan merkitsemättä ja kirjoittaa a·b = ab. Alkion
a käänteisalkiota merkitään a−1 .
Tästä lähin oletetaan, että jos ryhmän laskutoimituksen symbolia ei ole erikseen mainittu, on se kertomerkki.
Ryhmässä G voidaan määritellä laskutoimituksen potenssi samaan tapaan kuin
reaaliluvuille määritellään kokonaislukupotenssit. Olkoon n ≥ 1 kokonaisluku. Alkion x ∈ G n:s potenssi on
xn = x
& · x'(· · · x) .
n kpl
Myös tapaus n = 0 sallitaan: x0 = e, missä e on ryhmän neutraalialkio. Negatiiviset potenssit määritellään käänteisalkioiden avulla: x−n = (x−1 )n . Huomaa, että
(xn )−1 = (x−1 )n . Tämä johtuu siitä, että
−1
−1
−1
xn · (x−1 )n = x
& · x'(· · · x) · &x · x '( · · · x ) = e
n kpl
n kpl
1.3. RYHMÄ
27
ja
−1
−1
−1
(x−1 )n · xn = x
& · x '(· · · · · x ) · x
& · x ·'(· · · · x) = e.
n kpl
n kpl
Potensseille pätevät tutut laskusäännöt.
1.3.5 Lause. Olkoon G ryhmä. Oletetaan, että n ja m ovat kokonaislukuja. Tällöin
a) xn · xm = xn+m kaikilla x ∈ G
b) (xn )m = x(nm) kaikilla x ∈ G.
Todistus. a) Väitteen osoittamiseksi on tarkistettava useita tapauksia sen mukaan,
ovatko n, m ja n + m positiivisia, negatiivisia vai nollia. Tapaukset ovat hyvin
samankaltaisia, joten todistamme niistä esimerkin vuoksi vain yhden.
Oletetaan, että n > 0, m < 0 ja n + m < 0. Merkitään m$ = −m. Nyt m$ > 0
ja n < m$ . Huomataan, että
−1
−1
−1
−1
−1
−1
xn · xm = x
& · x '( · · · x )
& · x'(· · · x) · &x · x '( · · · x ) = x
n kpl
= (x−1 )
m! kpl
m! −n
−m! +n
=x
= xn+m .
m! −n kpl
b) Myös tällä kertaa on tarkasteltava useita tapauksia. Todistamme väitteen
siinä tapauksessa, että n > 0 ja m < 0. Nyt m$ = −m on positiivinen ja tällöin
!
!
!
(xn )m = (xn )−m = ((xn )−1 )m = ((x−1 )n )m
−1
−1
−1
−1
−1
−1
=x
& · x '( · · · x ) · · · &x · x '( · · · x )
&
n kpl
'(
n kpl
m! kpl
!
)
!
−1
−1
−1
−1 nm
=x
= x−nm = xnm .
& · x '( · · · x ) = (x )
nm! kpl
Huomaa, että esimerkiksi reaaliluvuille pätevä ehto an bn = (ab)n ei päde kaikilla ryhmillä. Vaihdannaisilla ryhmillä ehto on voimassa.
Toisinaan ryhmän laskutoimitus muistuttaa enemmän yhteenlaskua kuin kertolaskua, ja silloin laskutoimitusta voidaan merkitä symbolilla +. Tällöin käänteisalkioita kutsutaan vasta-alkioiksi. Jos laskutoimitus merkitään yhteenlaskuna, on
ryhmä yleensä vaihdannainen.
28
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskulla, niin potensseja kutsutaan monikerroiksi. Jos (G, +) on ryhmä, x ∈ G ja n on positiivinen kokonaisluku,
niin merkitään
nx = x
& +x+
'(· · · + x) .
n kpl
Kyseessä on siis alkion x n:s potenssi, mutta merkinnät vain ovat erilaiset. Nyt
0 · x = e, missä e on ryhmän G neutraalialkio ja (−n)x = n(−x), missä −x on
alkion x vasta-alkio.
1.3.6 Esimerkki.
• Reaalikertoimiset polynomit muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena
on yhteenlasku. Neutraalialkio on nollapolynomi. Polynomin vasta-alkio saadaan vaihtamalla jokaisen termin merkki. Polynomit muodostavat vaihdannaisen ryhmän.
• Vektoriavaruus on ryhmä, jonka laskutoimituksena on yhteenlasku. Neutraalialkio on nollavektori ja vektorin v vasta-alkio on −v. Vektoriavaruus on
vaihdannainen ryhmä.
Allaolevaan taulukkoon on vielä kerätty erityypisiin laskutoimituksiin liittyvät
nimitykset ja merkinnät.
laskutoimitus
potenssimerkintä
käänteisalkio
1.3.3
kertolaskumerkintä
x · y tai xy (tulo)
xn
x−1
yhteenlaskumerkintä
x + y (summa)
nx (monikerta)
−x (vasta-alkio)
Monoidit
Mielenkiintoisia rakenteita syntyy myös silloin, jos ei vaadita kaikkien ryhmän
määritelmässä olevien ehtojen toteutumista. Esimerkiksi kokonaisluvut kertolaskulla varustettuna toteuttavat ehdot (G0)–(G2), mutta eivät ehtoa (G3). Tällaista
rakennetta kutsutaan monoidiksi.
1.3.7 Määritelmä. Joukko M laskutoimituksella ∗ varustettuna on monoidi, jos
seuraavat ehdot ovat voimassa:
(M0) Joukko M on suljettu laskutoimituksen ∗ suhteen, eli kaikilla x, y ∈ M pätee
x ∗ y ∈ M.
1.3. RYHMÄ
29
(M1) Laskutoimitus ∗ on liitännäinen.
(M2) Laskutoimituksella ∗ on neutraalialkio.
Monet tutuista matemaattisista rakenteista, jotka eivät ole ryhmiä kertolaskun
suhteen, ovat monoideja. Kokonaislukujen lisäksi niin rationaaliluvut, reaaliluvut
kuin n × n-matriisien joukkokin muodostavat monoidin, kun laskutoimituksena on
kertolasku. Monoideja käsitellään lisää myöhemmin.
1.3.4
Ryhmien laskutoimitustaulut
Aiemmin tutustuimme laskutoimitustauluihin, jotka määrittelevät laskutoimituksen täydellisesti. Jos laskutoimitusta merkitään kertomerkillä, voidaan laskutoimitustaulua kutsua myös kertotauluksi.
1.3.8 Lemma. Ryhmän laskutoimitustaulussa jokainen alkioista esiintyy täsmälleen kerran jokaisella rivillä ja jokaisessa sarakkeessa.
Todistus. Olkoon G ryhmä.
Oletetaan vastoin väitettä, että ryhmän G kertotaulun jollakin rivillä esiintyy
alkio x kaksi kertaa. Toisin sanoen on olemassa alkiot a, b, c ∈ G joille pätee b %= c,
x = ab ja x = ac. Saamme siis yhtälön ab = ac. Koska G on ryhmä, voidaan päätellä, että a−1 ab = a−1 ac ja edelleen b = c. Tämä on ristiriita, joten jokainen alkio
esiintyy kullakin rivillä vain kerran. Sarakkeita koskeva väite osoitetaan samalla
tavalla.
Osoitetaan sitten, että jokainen ryhmän alkio esiintyy jokaisella rivillä. Olkoot
g, a ∈ G. Alkio g voidaan kirjoittaa tulona a · a−1 g, joten alkio g esiintyy rivillä
a.
Ryhmän laskutoimitustaulua voi siis ryhtyä täyttämään kuin sudokua.
1.3.9 Lause. Kolmialkioisia ryhmiä on täsmälleen yksi.
Todistus. Olkoon G = {e, a, b} kolmialkioinen ryhmä, jonka neutraalialkio on e.
Laskutoimitustaulun ensimmäinen rivi ja sarake ovat helppoja täyttää, sillä neutraalialkiolla kertominen ei tee alkioille mitään. Saadaan siis taulu
·
e
a
b
e a b
e a b
a
b
30
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
Nyt paikassa (a, a) ei voi olla alkiota a, sillä tällöin a esiintyisi keskimmäisessä
sarakkeessa kahdesti. Jos taas kyseisessä paikassa on alkio e, niin paikassa (a, b)
on oltava alkio b, mikä on mahdotonta. Siten paikassa (a, a) on alkio b. Näin
jatkamalla saadaan laskutoimitustaulu
·
e
a
b
e
e
a
b
a
a
b
e
b
b
e
a
On vielä osoitettava, että taulun määrittelemä laskutoimitus on todellakin ryhmälaskutoimitus. Olemme itse asiassa tarkastelleet kyseista laskutoimitusta jo Esimerkissä 1.9, mutta käymme todistukset tässä läpi hieman tarkemmin.
Osoitetaan aluksi, että G on vaihdannainen, vaikkei sitä pyydettykään osoittamaan. Siitä tulee olemaan hyötyä muun muassa liitännäisyyden osoittamisessa.
Oletetaan, että x, y ∈ G. Nyt tulo xy on taulun alkio (x, y). Koska taulu on symmetrinen lävistäjän suhteen, niin tämä alkio on sama kuin kohdassa (y, x) oleva
alkio, joka on tulo yx. Siten xy = yx. Voidaankin todeta, että ryhmä on vaihdannainen täsmälleen silloin, kun sen laskutoimitustaulu on symmetrinen lävistäjän
suhteen.
Osoitetaan sitten liitännäisyys. Liitännäisyyttä todistettaessa on tarkasteltava kolmea alkiota. Jos yksi näistä on neutraalialkio, niin jäljelle jää vain kahden
alkion tulo, jossa suluilla ei ole väliä. Esimerkiksi e(ab) = ab = (ea)b. Siten voimme tarkastella vain alkioita a ja b. Jos otamme vielä huomioon, että ryhmä on
vaihdannainen, niin huomaamme, että a(aa) = (aa)a ja b(bb) = (bb)b. Jäljelle jää
kaksitoista eri kombinaatiota. Riittää siis osoittaa seuraavat tulokset:
a(ab) =(aa)b
a(ba) =(ab)a
a(bb) =(ab)b
b(aa) =(ba)a
b(ab) =(ba)b
b(ba) =(bb)a
Laskutoimitustaulusta nähdään helposti, että tulokset tosiaan pätevät. Esimerkiksi a(ab) = ae = a = bb = (aa)b. Siten laskutoimitus on liitännäinen.
Neutraalialkio on e, koska taulun ensimmäinen rivi ja ensimmäinen sarake ovat
pysyneet kertolaskussa muuttumattomina.
1.3. RYHMÄ
31
Tarkistetaan vielä käänteisalkioiden olemassaolo. Koska ab = e, niin vaihdannaisuuden nojalla ba = e. Siten b on a:n käänteisalkio ja a on b:n käänteisalkio.
Neutraalialkio on luonnollisesti oma käänteisalkionsa.
Koska muut taulut eivät ole mahdollisia, on kolmialkioisia ryhmiä täsmälleen
yksi. Ryhmän alkiot voidaan toki nimetä toisin, jolloin saadaan eri joukko ja siten periaatteessa myös eri ryhmä. Tämä ei kuitenkaan muuta laskutoimituksen
ominaisuuksia, joten ryhmän rakenne säilyy oleellisesti samana.
Tutkitaan todistuksen kolmialkoisen ryhmän alkioiden potensseja. Huomataan,
että a2 = b ja a3 = ab = e. Siten ryhmä voidaan kirjoittaa muodossa {a, a2 , a3 }.
Tällaista muotoa olevia ryhmiä kutsutaan syklisiksi ja niitä tutkitaan tarkemmin
myöhemimmin.
1.3.10 Lause. Nelialkioisia ryhmiä on täsmälleen kaksi kappaletta.
Todistus. Samalla tavoin kuin Lauseen 1.3.9 todistuksessa voidaan osoittaa, että
neljästä alkiosta on mahdollista koota vain kaksi erilaista kertotaulua. Ne ovat
·
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
e
c
b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
·
e
a
b
c
e
e
a
b
c
a
a
b
c
e
b
b
c
e
a
c
c
e
a
b
ja
Pienellä työllä voidaan osoittaa, että molemmille pätevät ehdot (G0)–(G3), joten
ne ovat ryhmiä.
Todistuksessa esiintyneistä ryhmistä ensimmäistä kutsutaan Kleinin neliryhmäksi saksalaisen matemaatikon Felix Kleinin mukaan. Toinen ryhmä voidaan
puolestaan kirjoittaa muodossa {a, a2 , a3 , a4 }. Siten myös neljän alkion tapauksessa törmäämme sykliseen ryhmään.
32
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.3.5
Aliryhmä
Ryhdymme nyt tutustumaan ryhmien rakenteeseen. Aloitamme tarkastelemalla
ryhmiä, jotka löytyvät toisten ryhmien sisältä.
1.3.11 Määritelmä. Oletetaan, että (G, ·) on ryhmä ja H ⊂ G. Sanotaan, että
(H, ·) on (G, ·):n aliryhmä, jos seuraavat ehdot toteutuvat:
(H1) gh ∈ H kaikilla g, h ∈ H
(H2) e ∈ H, missä e on G:n neutraalialkio
(H3) g −1 ∈ H kaikilla g ∈ H, missä g −1 on g:n käänteisalkio G:ssä.
Tällöin merkitään (H, ·) ≤ (G, ·) tai yksinkertaisemmin H ≤ G.
Huomaa, että H:n laskutoimitus · on liitännäinen. Tämä johtuu siitä, että G on
ryhmä ja sen laskutoimituksena · on liitännäinen. Siten H on ryhmä, joka sisältyy
ryhmään G.
Jos H ≤ G ja H %= G, niin sanotaan, että H on G:n aito aliryhmä ja merkitään
H < G. Millä tahansa ryhmällä G on niin kutsutut triviaalit aliryhmät G ja {e},
missä e on neutraalialkio.
1.3.12 Esimerkki.
• Ryhmä (Z, +) on ryhmän (Q, +) aliryhmä, joka on edelleen ryhmän (R, +)
aliryhmä.
• Ryhmä (Q \ {0}, ·) on ryhmän (R \ {0}, ·) aliryhmä.
1.3.13 Lause. Oletetaan, että (G, ·) ja (H, ·) ovat ryhmiä. Jos H on G:n osajoukko, niin se on G:n aliryhmä.
Todistus. Väitteen todistamiseksi on osoitettava, että G:n ja H:n neutraali- ja
käänteisalkiot ovat samat.
Olkoon eH ryhmän H ja eG ryhmän G neutraalialkio. Valitaan x ∈ H, jolloin
eH x = x. Kertomalla oikealta x:n käänteisalkiolla ryhmässä G, saadaan eH = eG .
Myös käänteisalkiot ovat samat ryhmissä G ja H. Tämä seuraa suoraan siitä, että ryhmien neutraalialkiot ovat samat ja näihin liittyvät käänteisalkiot ovat
yksikäsitteisiä.
1.3. RYHMÄ
33
1.3.14 Esimerkki. Tutkitaan joukkoa 3Z = {3z | z ∈ Z} eli niiden lukujen
joukkoa, jotka ovat jaollisia luvulla 3. Osoitetaan, että (3Z, +) on ryhmän (Z, +)
aliryhmä. Selvästikin 3Z on joukon Z osajoukko.
(H1) Oletetaan, että k, m ∈ 3Z. Nyt on olemassa luvut a, b ∈ Z, joille pätee k = 3a
ja m = 3b. Siten k + m = 3(a + b) ja k + m ∈ 3Z.
(H2) Ryhmän Z neutraalialkio 0 voidaan kirjoittaa muodossa 3 · 0. Siten se on
joukon 3Z alkio.
(H3) Olkoon m ∈ 3Z, jolloin m = 3a jollakin a ∈ Z. Alkion m vasta-alkio ryhmässä Z on −m. Koska −m = 3(−a), niin −m ∈ 3Z.
Siten 3Z on ryhmän Z aliryhmä.
Todistus voidaan yleistää koskemaan joukkoa nZ = {nz | z ∈ Z}, missä n ∈ Z.
Kyseessä on siis kaikkien luvulla n jaollisten lukujen joukko. Samaan tapaan kuin
yllä voidaan osoittaa, että nZ on aina kokonaislukujen joukon aliryhmä.
1.3.15 Esimerkki. Olkoon G ryhmä, joka sisältää kaikki reaalikuvaukset f : R →
R, joilla on käänteiskuvaus. Laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen ◦. Merkitään H = {f ∈ G | f (0) = 0}. Nyt H on G:n aliryhmä, mikä nähdään seuraavasti.
Ensinnäkin H ⊂ G. Oletetaan sitten, että f, g ∈ H. Nyt (f ◦ g)(0) = f (g(0)) =
f (0) = 0. Siten f ◦ g ∈ H. Ryhmän G neutraalialkio on id : R → R, id(x) = x.
Koska id(0) = 0, niin id ∈ H. Oletetaan vielä, että f ∈ H. Nyt f :n käänteisalkio on
sen käänteiskuvaus. Koska f (0) = 0, niin f −1 (0) = 0, mistä seuraa, että f −1 ∈ H.
Siten H on aliryhmä.
1.3.16 Esimerkki. Olkoon G ryhmä, joka sisältää kaikki (reaalikertoimiset) n×nmatriisit, joilla on käänteismatriisit. Laskutoimituksena on siis matriisien kertolasku. Määritellään G:lle osajoukko
H = {A ∈ G | det(A) = 1},
ja osoitetaan, että se on aliryhmä.
Oletetaan, että A, B ∈ H. Koska det(AB) = det(A) det(B) = 1, niin AB ∈ H.
Olkoon I yksikkömatriisi. Koska det(I) = 1, niin I ∈ H. Oletetaan lopuksi, että
A ∈ H. Koska det(A−1 ) = 1/ det(A) = 1, niin A−1 ∈ H. Siten H on ryhmän G
aliryhmä.
1.3.17 Esimerkki. Tutkitaan ryhmää, jonka muodostavat kaikki Rubikin kuution siirrot. Tätä kutsutaan usein Rubikin ryhmäksi. Tarkastellaan yhtä kuution
34
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
tahkoista. Tämän yhden tahkon kaikki mahdolliset kierrot muodostavat Rubikin
ryhmän aliryhmän. Aliryhmässä on neljä alkiota: kierto 0◦ , kierto 90◦ , kierto 180◦
ja kierto 270◦ .
1.3.18 Esimerkki. Olkoon G vaihdannainen ryhmä ja n ∈ N. Osoitetaan, että
sen osajoukko H = {g ∈ G | g n = e} on aliryhmä. (Tässä e on G:n neutraalialkio.)
(H1) Oletetaan, että a, b ∈ H. Koska G on vaihdannainen, niin (ab)n = an bn =
ee = e. Siten ab ∈ H.
(H2) Koska en = e, niin e ∈ H.
(H3) Olkoon a ∈ H. Koska (a−1 )n = (an )−1 = e−1 = e, niin a−1 ∈ H.
Siten H on G:n aliryhmä.
Toisinaan todistuksissa on hyödyksi seuraava aliryhmäkriteeri.
1.3.19 Lause (Aliryhmäkriteeri). Olkoon H ryhmän G epätyhjä osajoukko. Se on
G:n aliryhmä jos ja vain jos
ab−1 ∈ H kaikilla a, b ∈ H.
Muista, että aliryhmäkriteeriä käytettäessä on todistettava, että H ⊂ G ja H
ei ole tyhjä.
Todistus. Selvästikin aliryhmäkriteerin ehdot seuraavat aliryhmän määritelmästä.
On siis osoitettava, että jos aliryhmäkriteerin ehdot ovat voimassa, niin kyseessä
on aliryhmä. Oletuksesta seuraa suoraan, että H ⊂ G. Tarkistetaan vielä, että
ehdot (H1)–(H3) pätevät.
(H2) Oletetaan, että e on G:n neutraalialkio. Koska H on epätyhjä, niin on olemassa a ∈ H. Oletuksen nojalla e = aa−1 ∈ H.
(H3) Olkoon a ∈ H. Koska tiedämme, että e ∈ H, niin a−1 = ea−1 ∈ H.
(H1) Oletetaan, että a, b ∈ H. Edellisen kohdan nojalla b−1 ∈ H, joten oletuksesta
seuraa, että ab = a(b−1 )−1 ∈ H.
Siten H ≤ G.
1.3.20 Lause. Oletetaan, että H1 ≤ G ja H2 ≤ G. Tällöin H1 ∩ H2 ≤ G.
1.3. RYHMÄ
35
Todistus. Käytetään todistuksessa aliryhmäkriteeriä. Oletuksen mukaan H1 , H2 ⊂
G, joten H1 ∩ H2 ⊂ G. Olkoon e ryhmän G neutraalialkio. Nyt e ∈ H1 ja e ∈ H2 ,
joten e ∈ H1 ∩ H2 . Siten H1 ∩ H2 on epätyhjä. Oletetaan vielä, että a, b ∈ H1 ∩ H2 .
Nyt a, b ∈ H1 , joten ab−1 ∈ H1 . Samoin nähdään, että ab−1 ∈ H2 . Siten ab−1 ∈
H1 ∩ H2 . Aliryhmäkriteerin nojalla H1 ∩ H2 ≤ G.
Tiivistelmä
• Ryhmässä on määritelty liitännäinen laskutoimitus, jolla on neutraalialkio.
Lisäksi jokaisella alkiolla on käänteisalkio.
• Aliryhmä on ryhmä, joka on toisen ryhmän osajoukko.
36
1.4
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
Symmetrinen ryhmä
Seuraavaksi käsittelemme symmetrisiä ryhmiä, jotka muodostuvat niin kutsutuista permutaatioista. Symmetrisillä ryhmillä on ryhmäteoriassa tärkeä rooli. Tällä kurssilla ne tarjoavat yksinkertaisia esimerkkejä äärellisistä epävaihdannaisista
ryhmistä.
1.4.1
Permutaatiot
Matemaattisen määritelmän mukaan permutaatio on bĳektio joukolta itselleen.
Latinan sana permutatio tarkoittaa muutosta tai vaihtoa, ja permutaatio kuvaakin
joukon alkioiden järjestyksen vaihtumista.
Vastaostetussa korttipakassa kortit ovat tietyssä perusjärjestyksessä. Kun korttipakan ensimmäisen kerran sekoittaa, esimerkiksi herttaässän paikalle tulee joku
toinen kortti, vaikkapa patakakkonen. Voidaan ajatella, että herttaässä muuttui –
tai kuvautui – patakakkoseksi. On siis tapahtunut korttipakan permutaatio, jossa
jokainen kortti on voinut vaihtua toiseksi, mutta yksikään kortti ei ole kadonnut
eikä kortteja ole myöskään tullut lisää. Kuvaus on siksi välttämättä bĳektio.
Tarkastellaan esimerkkiä, jossa on yksinkertaisuuden vuoksi hiukan vähemmän
kortteja. Otetaan korttipakasta neljä ässää, yksi kutakin maata. Laitetaan ne pöydälle järjestykseen hertta, ruutu, risti, pata. Jos nyt muutetaan korttien paikkoja
niin, että ne ovat järjestyksessä hertta, risti, pata, ruutu, niin voidaan ajatella,
että on tehty kuvaus
hertta +→ hertta
ruutu +→ risti
risti +→ pata
pata +→ ruutu.
Koska jokainen kortti on jonkin vanhan kortin paikalla, on kuvaus surjektio. Mitkään kaksi korttia eivät myöskään kuvaudu samalle kortille, joten kyseessä injektio
ja siten edelleen bĳektio.
Jos kuvitellaan kaikki uuden korttipakan kortit numeroiduiksi juoksevalla järjestysnumerolla, voidaan permutaation ajatella muuttavan näitä järjestysnumeroita, sen sĳaan että se muuttaisi itse kortteja. Tämä helpottaa matemaattista
tarkastelua, kun voidaan aina rajoittua johonkin lukujoukkoon ja sen bĳektioihin
tarvitsematta määritellä erikseen korttien tai muiden esineiden joukkoja.
1.4.1 Määritelmä. Olkoon n luonnollinen luku. Määritellään Nn = {1, 2, . . . , n}.
Joukon Nn permutaatio on bĳektio Nn → Nn .
1.4. SYMMETRINEN RYHMÄ
37
Edellisen esimerkin ässät voitaisiin numeroida vaikkapa luvuilla 1–4 niin, että
herttaässää vastaa luku 1, ruutuässää luku 2, ristiässää luku 3 ja pataässää luku
4. Nyt esimerkin kuvaus voidaan kirjoittaa muodossa,
σ : N4 → N4 ,
σ(1) = 1,
σ(2) = 3,
σ(3) = 4,
σ(4) = 2.
Kuvausta on havainnollistettu kuvassa 1.8.
σ
1
1
2
2
3
3
4
4
Kuva 1.8: Kuvaus σ, joka vaihtaa pelikorttien paikkoja
Jos kuvaus on joukon permutaatio, niin sen lähtö- ja maalĳoukot ovat sama
joukko. Kun permutaation toiminnasta piirretään kuva, ei lähtö ja maalĳoukkoa
tarvitse piirtää erikseen. Jokaisesta joukon alkiosta piirretään nuoli alkion kuvaan,
ja tämä näyttää tarkalleen, millainen permutaatio on (katso kuva 1.9).
1
2
3
4
Kuva 1.9: Kuvaus σ esitettynä toisella tavalla
Permutaatiokuvaukset voidaan kirjoittaa kätevästi taulukoksi: ensimmäisellä
rivillä ovat lähtöjoukon alkiot ja toisella rivillä näiden alkioiden kuvat. Permutaatio
σ : Nn → Nn kirjoitetaan siis seuraavasti:
$
%
1
2
3
···
n
σ=
.
σ(1) σ(2) σ(3) · · · σ(n)
Korttipakkaesimerkin permutaatio σ on tässä
$
1 2 3
σ=
1 3 4
muodossa kirjoitettuna
%
4
.
2
38
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
1.4.2
Symmetrisen ryhmän määritelmä
Koska joukon Nn = {1, 2, 3, . . . , n} permutaatiot ovat kuvauksia joukolta Nn itselleen, niille voidaan määritellä laskutoimitukseksi kuvausten yhdistäminen ◦. Tätä
laskutoimitusta kutsutaan permutaatioiden tuloksi ja sitä merkitään usein kertomerkillä. Lisäksi kertomerkki jätetään yleensä kokonaan kirjoittamatta.
Permutaatioiden tuloja laskettaessa on oltava tarkkana. Koska kyseessä on kuvausten yhdistäminen, lasketaan tulot oikealta vasemmalle. Esimerkiksi permutaatioiden
$
%
$
%
1 2 3 4
1 2 3 4
τ=
ja ρ =
3 1 2 4
4 2 1 3
tulo on
τρ = τ ◦ ρ =
$
1 2 3 4
4 1 3 2
%
Toisin päin laskettuna tuloksi saadaan
%
$
%$
% $
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
=
.
ρτ = ρ ◦ τ =
4 2 1 3
3 1 2 4
1 4 2 3
Permutaatioiden tulo ei siis ole vaihdannainen.
1.4.2 Määritelmä. Symmetrinen ryhmä Sn on joukon Nn = {1, 2, . . . , n} kaikkien permutaatioiden muodostama ryhmä. Laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen.
Tarkistetaan vielä, että Sn todellakin on ryhmä. Joukko Sn koostuu siis kaikista
mahdollisista bĳektioista Nn → Nn . Olemme osoittaneet, että kuvaus on bĳektio
jos ja vain jos sillä on käänteiskuvaus. Joukon Sn alkioita ovat siis täsmälleen ne
kuvaukset Nn → Nn , joilla on käänteiskuvaus.
(G1) On kätevintä aloittaa liitännäisyydestä. Lauseen 1.1.11 nojalla kuvausten
yhdistäminen on liitännäinen operaatio.
(G0) Olkoot f, g ∈ Sn . Nyt käänteiskuvaukset f −1 ja g −1 ovat olemassa. Kuvauksen g ◦ f käänteiskuvaus on f −1 ◦ g −1 , sillä
(g ◦ f ) ◦ (f −1 ◦ g −1) = g ◦ ((f ◦ f −1 ) ◦ g −1)
= g ◦ (id ◦ g −1 ) = g ◦ g −1 = id.
Samalla tavalla (f −1 ◦ g −1) ◦ (g ◦ f ) = id. Väite seuraa nyt käänteiskuvauksen
määritelmästä.
1.4. SYMMETRINEN RYHMÄ
39
(G2) Identtinen kuvaus idNn on itsensä käänteiskuvaus, joten se on joukon Sn
alkio.
(G3) Kääntyvän kuvauksen käänteiskuvaus on aina kääntyvä, sillä kuvauksen f −1
käänteiskuvaus on f . Siten käänteiskuvaukset ovat joukossa Sn .
Tutkitaan esimerkin vuoksi symmetristä ryhmää S3 . Sen alkioita ovat kaikki
joukon N3 = {1, 2, 3} permutaatiot eli kaikki bĳektiot joukolta N3 itselleen. Alkiot
löytää listaamalla kaikki eri vaihtoehdot, joille alkiot 1, 2 ja 3 voivat kuvautua.
Koska kuvaukset ovat bĳektioita, eivät mitkään kaksi alkiota saa kuvautua samalle
alkiolle. Huomataan, että ryhmän alkiot ovat
$
1
1
$
1
3
%
2 3
,
2 3
%
2 3
,
2 1
$
1
1
$
1
2
%
2 3
,
3 2
%
2 3
,
3 1
$
1
2
$
1
3
%
2 3
,
1 3
%
2 3
.
1 3
1.4.3 Lause. Symmetrisen ryhmä Sn kertaluku on n!.
Todistus. Symmetrinen ryhmä Sn koostuu kaikista mahdollisista bĳektioista joukolta Nn itselleen. Tutkitaan, millaiset kuvaukset ovat mahdollisia. Alkio 1 kuvautuu jollekin n:stä alkiosta. Koska kuvauksen on oltava injektio, niin 2 ei voi
kuvautua samalle alkiolle kuin 1, joten vaihtoehtoja on n − 1 kappaletta. Alkio 3 ei voi kuvautua samalle alkiolle kuin 1 tai 2, joten vaihtoehtoja on n − 2
kappaletta, ja niin edelleen. Nähdään, että mahdollisia kuvauksia on yhteensä
n · (n − 1) · (n − 2) · · · 2 · 1 = n! kappaletta.
1.4.3
Syklit
Tutkitaan seuraavaksi permutaatioiden rakennetta. Kuvassa 1.10 on esitetty permutaatio
$
%
1 2 3 4 5 6 7 8
τ=
.
8 3 5 4 6 2 7 1
Huomataan, että kuvassa permutaatio näyttää muodostuvan erillisistä sykleistä.
Alkiot 1 ja 8 ja muodostavat yhden syklin ja alkiot 2, 3, 5 ja 6 toisen. Alkiot 4 ja
7 ovat molemmat yhden alkion pituisessa syklissä.
Syklillä tarkoitetaan permutaatiota, joka kuvaa alkoita toisilleen muodostaen
suljetun ketjun. Ketjuun kuulumattomat alkiot pysyvät paikallaan.
40
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
3
2
1
5
4
8
7
6
Kuva 1.10: Permutaation τ esitys sykleinä
1.4.4 Määritelmä. Olkoon σ ryhmän Sn permutaatio, joka kuvaa joukon Nn
alkiot a1 , a2 , a3 , . . . , ak seuraavalla tavalla:
a1 +→ a2 +→ a3 +→ · · · +→ ak +→ a1 .
Oletamme tässä, että kaikki alkiot a1 , a2 , a3 , . . . , ak poikkeavat toisistaan. Muut
alkiot σ pitää paikallaan. Permutaatiota σ kutsutaan sykliksi ja merkitään
σ = (a1 a2 a3 · · · ak ).
Ryhmän Sn sykli on koko joukon Nn kuvaus, mutta osa joukon alkioista saattaa
pysyä kuvauksessa paikallaan. Näiden ei varsinaisesti katsota kuuluvan sykliin eikä
niitä siksi merkitä syklimerkinnässä näkyviin.
a1
ak
a2
a5
a3
ak+1
an
a4
Kuva 1.11: Sykli (a1 a2 a3 · · · ak )
1.4.5 Esimerkki. Tarkastellaan permutaatiota
$
%
1 2 3 4
η=
3 1 4 2
ja tutkitaan, miten se kuvaa joukon N4 alkioita. Lähdetään liikkeelle alkiosta 1,
jatketaan siitä alkioon η(1), ja niin edelleen: 1 +→ 3 +→ 4 +→ 2 +→ 1. Siten η on sykli
(1342). Se on esitetty kuvassa 1.12.
1.4. SYMMETRINEN RYHMÄ
Permutaatio
puolestaan on sykli (14).
41
$
%
1 2 3 4
η=
4 2 3 1
1
3
2
4
Kuva 1.12: Permutaatio η = (1342)
Luvun alussa esitetty permutaatio τ voidaan nyt kirjoittaa neljän syklin tulona:
τ = (18)(2356)(4)(7). Voidaan myös ajatella, että yhden alkion syklit eivät ole
erillisiä syklejä, vaan 4 ja 7 ovat vain alkioita, jotka muut syklit pitävät paikoillaan.
Tapana onkin kirjoittaa τ = (18)(2356). Tällöin merkinnästä ei enää selvästi näy,
minkä joukon kuvauksesta on kyse, mutta se ei yleensä aiheuta ongelmia. Joukon
Nn identtiselle kuvaukselle käytetään syklimerkintää (1).
Syklin kirjoittamisen voi aloittaa mistä tahansa syklin alkiosta. Esimerkiksi
permutaatiot (2356), (3562), (5623) ja (6235) ovat samat. Oleellista on vain se,
mitä alkioita syklissä esiintyy ja missä järjestyksessä ne ovat.
Syklejä kutsutaan erillisiksi, jos niihin ei kuulu samoja alkioita. Esimerkiksi
syklit (18) ja (2356) ovat erillisiä. Jos kerrotaan keskenään erillisiä syklejä, ei kertomisjärjestyksellä ole väliä, sillä syklit eivät vaikuta toisiinsa mitenkään. Voidaan
siis yhtä hyvin kirjoittaa τ = (18)(2356) tai τ = (2356)(18).
1.4.6 Lause. Jokainen permutaatio voidaan kirjoittaa erillisten syklien tulona.
Todistus. Oletetaan, että σ on joukon Nn permutaatio. Ryhdytään kirjoittamaan
kuvauksen σ kuvia alkiosta 1 lähtien:
1 +→ σ(1) +→ σ(σ(1)) +→ · · ·
Jatketaan tätä niin kauan, kunnes kuvaksi tulee jokin jo käsitellyistä alkioista.
Koska kyseessä on bĳektio, niin tämän alkion on pakko olla 1. Siten saamme
aikaan syklin. Valitaan sitten jokin alkio, joka ei ole jo käsitellyssä syklissä, ja
toistetaan sama uudelleen. Saadaan uusi sykli, johon ei kuulu samoja alkioita kuin
ensimmäiseen sykliin. Jos syklit eivät nimittäin olisi erilliset, niin kyseessä ei olisi
bĳektio. Näin jatketaan niin kauan, kunnes alkioita ei enää ole jäljellä. Permutaatio
σ on löydettyjen syklien tulo.
42
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
Pienellä vaivalla voidaan osoittaa, että permutaation esitys syklien tulona on
yksikäsitteinen, jos lukuun ei oteta sitä, että syklin kirjoittamisen voi aloittaa
mistä tahansa syklin alkiosta, ja sitä, että syklit voidaan kirjoittaa missä tahansa
järjestyksessä.
1.4.7 Esimerkki. Tutkitaan, miten permutaatio
$
%
1 2 3 4 5 6 7
α=
.
2 6 4 3 5 7 1
kirjoitetaan erillisten syklien tulona. Lähdetään liikkeelle alkiosta 1 ja huomataan,
että 1 +→ 2 +→ 6 +→ 7 +→ 1. Kyseessä on siis sykli (1267). Valitaan sitten jokin
alkio, joka ei ole tässä syklissä. Jos esimerkiksi valitaan alkio 3, niin saadaan sykli
3 +→ 4 +→ 3. Kyseessä on siis sykli (34). Ainoa alkio, joka ei ole vielä missään
syklissä on 5. Se muodostaa oman syklinsä (5), jota ei tarvitse merkitä näkyviin.
Koska kaikki joukon {0, 1, . . . , 7} alkiot ovat nyt jossakin löydetyistä sykleistä, niin
sykliesitys on valmis. Toisin sanoen α = (1267)(34).
Tästä lähtien kirjoitamme permutaatiot syklien tuloina. Muista, että laskujärjestys on edelleen oikealta vasemmalle! Esimerkiksi permutaatioiden (123) ja (243)
tulo on (123)(243) = (241).
1.4.4
Ryhmä S3
Tutkitaan hieman tarkemmin ryhmää S3 . Se paljastuu epävaihdannaiseksi ja onkin ensimmäinen äärellinen epävaihdannainen ryhmä, jonka olemme kohdanneet.
Ryhmä S3 on itse asiassa pienin epävaihdannainen ryhmä.
Edellisessä luvussa selvitimme kaikki ryhmän S3 alkiot. Kirjoitetaan ne tällä
kertaa syklimuodossa:
S3 = {(1), (23), (13), (12), (123), (132)}.
Ryhmän kertotaulun voisi nyt selvittää laskemalla syklien tuloja. Lähestymme
ongelmaa kuitenkin hieman toisella tavalla. Merkitään
(1) = 1, (123) = ρ ja (12) = σ.
Koko ryhmä voidaan itse asiassa ilmaista näiden alkioiden avulla. Huomataan
nimittäin, että
ρ2 = (123)(123) = (132),
σρ = (12)(123) = (23),
σρ2 = (12)(132) = (13).
1.4. SYMMETRINEN RYHMÄ
43
Siten voimme kirjoittaa ryhmän muodossa
S3 = {1, ρ, ρ2 , σ, σρ, σρ2 }.
Lasketaan sitten ryhmän S3 kertotaulu. Tehdään kuitenkin sitä ennen muutamia apulaskelmia. Näemme, että
σ 2 = (12)(12) = (1) = 1,
ρ3 = (123)(123)(123) = (123)(132) = (1) = 1,
ρσ = (123)(12) = (13) = σρ2 .
Nyt alkioiden tuloja on helppo laskea. Esimerkiksi ρσρ = σρ2 ρ = σρ3 = σ.
Kertotauluksi saadaan
1
ρ
ρ2
σ
σρ
σρ2
1
ρ
ρ2
σ
σρ σρ2
1
ρ
ρ2
σ
σρ σρ2
2
2
ρ
ρ
1 σρ
σ
σρ
2
2
ρ
1
ρ
σρ σρ
σ
2
σ
σρ σρ
1
ρ
ρ2
σρ σρ2 σ
ρ2
1
ρ
2
2
σρ
σ
σρ
ρ
ρ
1
Syklimerkintöjä käyttäen kertotaulu näyttää seuraavalta:
(1) (123) (132) (12) (23) (13)
(1)
(1) (123) (132) (12) (23) (13)
(123) (123) (132) (1)
(13) (12) (23)
(132) (132) (1) (123) (23) (13) (12)
(12) (12) (23) (13)
(1) (123) (132)
(23) (23) (13) (12) (132) (1) (123)
(13) (13) (12) (23) (123) (132) (1)
Tutkitaan seuraavaksi, millaisia aliryhmiä ryhmällä S3 on. Aliryhmiä etsiessä
kannattaa aloittaa yhdestä alkiosta ja katsoa, mitä muita alkoita aliryhmässä on
oltava, jotta se täyttäisi aliryhmän vaatimukset.
Aloitetaan alkiosta ρ. Jos A on aliryhmä, jossa on alkio ρ, niin siellä on oltava
ainakin alkiot ρn ja ρ−n kaikilla luonnollisilla luvuilla n. Huomataan, että ρ3 = 1
ja ρ−1 = ρ2 . Näyttää siis siltä, että aliryhmään ei potenssien avulla saataisi muita
alkioita kuin 1, ρ ja ρ2 . Osoitetaan, että A = {1, ρ, ρ2 } todellakin on aliryhmä.
Huomaamme, että
44
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
(H1) Joukko A on suljettu kertolaskun suhteen.
(H2) Neutraalialkio 1 on A:n alkio.
(H3) Alkion ρ käänteisalkio on ρ2 , joka on joukossa A. Alkion ρ2 käänteisalkio on
luonnollisesti ρ.
Olemme siis löytäneet yhden aliryhmän. Sen kertaluku on 3, ja huomaamme,
että aliryhmän kertotaulu on sama kuin lauseessa 2.7 esitetyn kolmen alkion ryhmän.
Aliryhmä A ei välttämättä ole ainoa aliryhmä, johon ρ kuuluu. Se on kuitenkin
kaikkein pienin aliryhmä, joka sisältää kyseisen alkion. Jokainen aliryhmä, joka
sisältää ρ:n, sisältää nimittäin myös A:n.
Tutkitaan seuraavaksi, millaisia aliryhmiä saammme, jos oletamme, että alkioina ovat ρ ja σ. Olemme jo todenneet, että A on tämän aliryhmän osajoukko.
Lisäksi aliryhmän on sisällettävä alkiot σ, σρ ja σρ2 . Siten saamme koko ryhmän.
Ainoa aliryhmä, joka sisältää alkiot ρ ja σ, on siis S3 .
Entä jos oletamme, että aliryhmässä on vain alkio σ? Koska σ 2 = 1, niin huomaamme, että {1, σ} on aliryhmä. Se on nimittäin selvästikin suljettu kertolaskun
suhteen, sisältää neutraalialkion, ja alkio σ on oma käänteisalkionsa. Samalla tavoin huomataan, että myös joukot {1, σρ} ja {1, σρ2 } ovat aliryhmiä.
Tälläkin kertaa voi toki olla olemassa muitakin aliryhmiä, jotka sisältävät nämä alkiot. Sattuu kuitenkin olemaan niin, ettei aliryhmiä löydy enää lisää. Jos yhteenkään löydetyistä aliryhmistä lisätään alkioita, niin tuloksena on koko ryhmä.
Tämän voi havaita tarkastelemalla kaikkia mahdollisia alkioyhdistelmiä. Voidaan
siis osoittaa, että ryhmän S3 ainoat aliryhmät ovat
• {1} = {(1)}
• {1, ρ, ρ2 } = {(1), (123), (132)}
• {1, σ} = {(1), (12)}
• {1, σρ} = {(1), (23)}
• {1, σρ2 } = {(1), (13)}
• S3
1.4. SYMMETRINEN RYHMÄ
45
Kolmion symmetriaryhmä
On olemassa toinenkin havainnollinen tapa esittää ryhmä S3 . Tutkitaan tasasivuista kolmiota ja sen symmetrioita. Symmetria on kuvaus, joka vaihtaa kolmion
kärkien paikkaa niin, että vierekkäiset kärjet säilyvät vierekkäisinä. Toisin sanoen
symmetriat ovat joko kolmion kiertoja tai peilauksia. Symmetrioita on täsmälleen
kuusi kappaletta, ja ne on esitetty alla olevassa kuvassa.
1
2
1
3
3
kierto
myötäpäivään
3
2
2
kierto
vastapäivään
2
3
2
1
peilaus alkion
1 suhteen
3
1
1
peilaus alkion
2 suhteen
1
3
2
peilaus alkion
3 suhteen
Kuva 1.13: Kolmion symmetriat
Symmetriat ovat bĳektioita kärkipisteiden joukolta itselleen. Jos kolmion kärjet nimetään numeroilla 1, 2, 3, niin nämä symmetriat ovat bĳektioita {1, 2, 3} →
{1, 2, 3}, siis ryhmän S3 alkioita. Tutkitaan, mitä ryhmän alkiota symmetriat vastaavat. Havaitaan, että
(1) = 1 = kolmiolle ei tehdä mitään
(123) = ρ = kierto vastapäivään
(132) = ρ2 = kierto myötäpäivään
(12) = σ = peilaus kärjen 3 suhteen
(13) = σρ2 = peilaus kärjen 2 suhteen
(23) = σρ = peilaus kärjen 1 suhteen.
Kierrot muodostavat aliryhmän A = {1, ρ, ρ2 }. Kaikkien peilausten joukko ei
sen sĳaan ole aliryhmä, sillä kahden peilauksen tulo on aina kierto. Esimerkiksi
peilausten σ ja σρ tulo on kierto ρ. Yhden peilauksen ja neutraalialkion muo-
46
LUKU 1. LASKUTOIMITUKSET
dostama ryhmä kylläkin on aliryhmä. Näin saadaan aliryhmät {1, σ}, {1, σρ}, ja
{1, σρ2 }.
Olemme osoittaneet, että kaikki ryhmän S3 alkiot voidaan ilmaista ρ:n ja σ:n
avulla. Kolmion tapauksessa tämä tarkoittaa, että kaikki kierrot ja peilaukset saadaan muodostettua yhdestä kierrosta ja yhdestä peilauksesta.
1.4.5
Lisätieto: alternoiva ryhmä
Syklejä, joiden pituus on kaksi, kutsutaan vaihdoiksi, sillä ne vaihtavat kahden
alkion paikan. Jokainen sykli voidaan itse asiassa kirjoittaa vaihtojen tulona:
(n1 n2 · · · nk ) = (n1 n2 )(n2 n3 )(n3 n4 ) · · · (nk−1 nk ).
Esimerkiksi sykli (1234) on sama permutaatio kuin (12)(23)(34). Usein permutaatiot voidaan ilmaista vaihtojen tulona monella eri tapaa. Huomaamme esimerkiksi,
että (123) = (12)(23) ja (123) = (13)(23)(13)(23). Voidaan kuitenkin osoittaa, että olipa esitys vaihtojen tulona millainen tahansa, niin vaihtojen määrä on aina
joko parillinen tai pariton. (Todistus sivuutetaan tällä kurssilla.)
1.4.8 Määritelmä. Permutaatio on parillinen, jos se koostuu parillisesta määrästä vaihtoja, ja pariton, jos se koostuu parittomasta määrästä vaihtoja. Sanotaan,
että permutaation σ merkki on 1, jos permutaatio on parillinen, ja −1, jos se on
pariton.
Identtinen permutaatio (1) on nollan vaihdon tulo, joten se on parillinen permutaatio.
Esimerkiksi permutaatio (1234) = (12)(23)(34) on pariton, joten sen merkki on
−1. Permutaatio (123) = (12)(23) puolestaan on parillinen, joten sen merkki on
1. Huomataankin, että syklin pituus ratkaisee sen, onko se parillinen vai pariton
permutaatio.
1.4.9 Lemma. Sykli (n1 n2 n3 . . . nk ) on parillinen, jos k on pariton, ja pariton,
jos k on parillinen.
Todistus. Oletetaan, että σ = (n1 n2 · · · nk ). Nyt voimme kirjoittaa
σ = (n1 n2 )(n2 n3 )(n3 n4 ) · · · (nk−1 nk ),
joten tulon tekĳöitä on k−1 kappaletta. Jos k on pariton, niin k−1 on parillinen, ja
siten σ on parillinen. Jos taas k on parillinen, niin k − 1 on pariton, ja permutaatio
σ on pariton.
1.4. SYMMETRINEN RYHMÄ
47
Lemman avulla voidaan kätevästi tutkia, onko mielivaltainen permutaatio parillinen vai pariton. Riittää nimittäin kirjoittaa permutaatio erillisten syklien tulona ja tarkistaa syklien pituudet sekä niiden lukumäärä. Esimerkiksi permutaatio
(1234)(457) on pariton, sillä sykli (1234) koostuu parittomasta määrästä vaihtoja
ja sykli (457) taas parillisesta määrästä vaihtoja. Yhteensä vaihtojen määrä on siis
pariton.
Voidaan osoittaa, että ryhmän Sn parilliset permutaatiot muodostavat aliryhmän. Tätä aliryhmää kutsutaa alternoivaksi ryhmäksi ja merkitään An . Alternoivalla ryhmällä on monia tärkeitä sovelluksia matematiikassa. Esimerkiksi ryhmä
A3 muodostuu alkioista (1), (123) ja (132).
Tiivistelmä
• Joukon Nn = {1, 2, . . . , n} permutaatio on bĳektio joukolta Nn itselleen.
• Joukon Nn permutaatiot muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on
kuvausten yhdistäminen. Ryhmää kutsutaan symmetriseksi ryhmäksi ja merkitään Sn .
• Permutaatioiden kertolasku lasketaan oikealta vasemmalle.
• Sykli on permutaatio, joka kuvaa alkiota toisilleen suljetussa ketjussa.
• Jokainen permutaatio voidaan kirjoittaa erillisten syklien tulona.
Luku 2
Ryhmien teoriaa
2.1
Virittäminen
Virittäminen on tuttu käsite vektoriavaruuksista. Esimerkiksi kolmiulotteisessa
avaruudessa annetut kaksi erisuuntaista vektoria virittävät tason, joka muodostuu
näiden vektorien kaikista mahdollisista monikerroista ja summista.
Valitsemalla ryhmästä umpimähkään jotain alkioita ei voida taata, että ne
muodostaisivat mitään kiinnostavaa struktuuria. Kuitenkin lisäämällä niiden joukkoon muita alkioita, mukaanlukien neutraalialkio, kaikkien alkioiden käänteisalkiot sekä kaikki näistä saatavat tulot, voidaan joukko laajentaa aliryhmäksi. Tätä
prosessia kutsutaan aliryhmän virittämiseksi, ja sen avulla saadaan pienin mahdollinen aliryhmä, joka sisältää alkuperäiset alkiot.
2.1.1
Yhden alkion virittämät aliryhmät
Tässä luvussa tarkastelemme ensin yhden alkion virittämiä aliryhmiä. Näitä vastaavat vektoriavaruudessa suorat.
Luvussa 1.4.4 tutkimme symmetrisen ryhmän S3 aliryhmiä. Lähdimme rakentamaan aliryhmiä lähtien liikkeelle yhdestä ryhmän alkiosta. Esimerkiksi alkion
(123) potensseista saatiin aliryhmä
A = {(123), (123)2, (123)3} = {(123), (132), (1)}.
Aliryhmässä A ovat itse asiassa kaikki alkion (123) positiiviset potenssit, sillä
kolmannen potenssin jälkeen palataan takaisin alkuun: (123)4 = (123). Toisaalta
48
2.1. VIRITTÄMINEN
49
myös negatiiviset potenssit ovat mukana, sillä
(123)−1 = (132),
(123)−2 = ((123)−1 )2 = (123) ja niin edelleen.
Mikä tahansa ryhmän S3 aliryhmä, jossa on alkio (123), sisältää välttämättä
kaikki aliryhmän A = {(1), (123), (132)} alkiot. Aliryhmä A on siis pienin aliryhmä, joka sisältää alkion (123). Sanomme, että alkio (123) virittää ryhmän A.
2.1.1 Määritelmä. Olkoon G ryhmä ja g sen alkio. Pienintä aliryhmää, joka
sisältää alkion g kutsutaan alkion g virittämäksi aliryhmäksi. Sitä merkitään 3g4.
Tässä pienin aliryhmä tarkoittaa aliryhmää, joka sisältyy kaikkiin sellaisiin aliryhmiin, joissa on alkiona g. Kuten alun esimerkissäkin huomattiin, aliryhmän 3g4
alkiot ovat virittäjän g potensseja. Tieto helpottaa näiden aliryhmien tarkastelua
huomattavasti.
2.1.2 Lause. Ryhmän G alkion g virittämä aliryhmä voidaan kirjoittaa muodossa
3g4 = {g n | n ∈ Z}.
Huomio: Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskulla, niin alkion g
virittämä aliryhmä saa muodon 3g4 = {ng | n ∈ Z}.
Todistus. Merkitään H = {g n | n ∈ Z}. Selvästikin g ∈ H. Ei myöskään ole vaikea
osoittaa, että H on aliryhmä. Se jätetään harjoitustehtäväksi.
On vielä osoitettava, että H on pienin aliryhmä, joka sisältää alkion g. Olkoon
K jokin aliryhmä, jolle pätee g ∈ K. Koska K on aliryhmä, niin g n ∈ K kaikilla
n ∈ Z. Tästä seuraa, että H ⊂ K. Siten H on pienin aliryhmä, joka sisältää alkion
g, eli 3g4 = H.
2.1.3 Esimerkki. Ryhmän (Z, +) aliryhmä 4Z = {n · 4 | n ∈ Z} on alkion 4
virittämä. Se on toisaalta myös alkion −4 virittämä. Kaikki muotoa kZ olevat
aliryhmät ovat aina alkion k virittämiä.
2.1.4 Esimerkki. Ryhmän S6 alkion α = (14)(263) virittämään aliryhmään kuu-
50
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
luvat ainakin seuraavat alkiot:
α0
α1
α2
α3
α4
α5
α6
α7
α8
= (1),
= [(14)(263)]1
= [(14)(263)]2
= [(14)(263)]3
= [(14)(263)]4
= [(14)(263)]5
= [(14)(263)]6
= [(14)(263)]7
= [(14)(263)]8
= (14)(263),
= (14)(263)(14)(263) = (236),
= [(14)(263)]2(14)(263) = (236)(14)(263) = (14),
= [(14)(263)]3(14)(263) = (14)(14)(263) = (263),
= [(14)(263)]4(14)(263) = (263)(14)(263) = (14)(236),
= [(14)(263)]5(14)(263) = (14)(236)(14)(263) = (1) = α0 ,
= [(14)(263)]6(14)(263) = (1)(14)(263) = (14)(263) = α1 ,
= [(14)(263)]7(14)(263) = (14)(263)(14)(263) = (236) = α2 .
Huomataan, että lukua kuusi suuremmilla potensseilla alkaa tulla samoja alkioita,
joita saatiin alussa. Negatiiviset potenssit puolestaan saadaan positiivisten avulla,
sillä
α−1 = [(14)(263)]−1 = (14)(236) = α5
ja siten α−n = (α−1 )n = α5n kaikilla n ∈ N. Voimme siis päätellä, että
3(14)(263)4 = {(1), α, α2, . . . , α5} = {(1), (14)(263), (236), (14), (263), (14)(236)}.
2.1.5 Esimerkki. Ryhmän (Q \ {0}, ·) alkion −1 virittämä aliryhmä on
3−14 = {(−1)n | n ∈ Z}.
Tässä aliryhmässä on kaksi alkiota, 1 ja −1.
Vaikuttaa siltä, että alkion virittämän aliryhmän alkioiden lukumäärä voi vaihdella suuresti ja se tuntuu kertovan jotakin alkion ominaisuuksista. Ryhmän alkioiden lukumäärää kutsuttiin kertaluvuksi. Alkion kertaluvuksi puolestaan kutsutaan
sen virittämän aliryhmän alkioiden lukumäärää.
2.1.6 Määritelmä. Olkoon G ryhmä. Alkion g ∈ G kertaluku o(g) on ryhmän
3g4 kertaluku.
Merkintä o(g) tulee englannin kielen sanasta order, joka tarkoittaa kertalukua.
Kertaluvulla tarkoitetaan siis kahta eri asiaa, jotka pohjimmiltaan liittyvät
toisiinsa. Ryhmän kertaluku kertoo alkioiden lukumäärästä ja alkion kertaluku
sen virittämän aliryhmän alkioiden lukumäärästä.
Esimerkiksi ryhmän S3 alkion (123) kertaluku on kolme. Ryhmän S6 alkion
(14)(263) kertaluku on puolestaan kuusi. Koska kokonaisluvun 4 virittämä aliryhmä 4Z on ääretön, on luvun 4 kertaluku ääretön. Samalla tavalla nähdään, että
ryhmässä (Z, +) jokaisen nollasta poikkeavan kokonaisluvun kertaluku on ääretön.
2.1. VIRITTÄMINEN
51
Palataan vielä ryhmän S3 alkion (123) virittäämään aliryhmään. Periaatteessa
se koostuu kaikista alkion (123) potensseista, mutta käytännössä ryhmään tulee
vain äärellisen monta alkiota. Samoin käy ryhmän S6 alkion (14)(263) tapauksessa.
Esimerkkien valossa näyttää siltä, että jos alkion virittämä aliryhmä on äärellinen,
niin sen alkiot saadaan laskemalla virittäjän potensseja siihen saakka kunnes tuloksena on neutraalialkio. Tästä eteenpäin potenssit rupeavat nimittäin toistamaan
itseään. Negatiiviset potenssit puolestaan voidaan ilmaista positiivisten avulla.
2.1.7 Lemma. Oletetaan, että G on ryhmä g ∈ G. Olkoon n sellainen positiivinen
kokonaisluku, että g n = e, missä e on neutraalialkio. Tällöin
3g4 = {e, g, g 2, . . . , g n−1}.
Todistus. Lemma on mukava todistaa kokonaislukujen jakoyhtälöä käyttäen. Jakoyhtälöä käsitellään vasta myöhemmin, ja siksi todistustakin lykätään.
Lemma antaa kätevän keinon määrittää alkion kertaluku.
2.1.8 Lause. Olkoon G ryhmä, jolla on neutraalialkio e, ja olkoon g ∈ G. Alkion
g kertaluku on pienin positiivinen kokonaisluku n, jolla pätee g n = e. Jos tällaista
lukua ei löydy, kertaluku on ääretön.
Huomio: Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskuna, on kertaluku
pienin positiivinen kokonaisluku n, jolle pätee ng = e.
Todistus. Olkoon n pienin positiivinen kokonaisluku, jolle pätee g n = e. Edellisen
lemman nojalla tiedetään, että alkion g virittämän aliryhmän alkiot ovat tällöin
e, g, g 2, . . . , g n−1. Alkion g kertaluku on siis korkeintaan n; lisäksi täytyy osoittaa,
että mitkään listatuista alkioista eivät ole samoja.
Oletetaan siis, että g k = g m joillain k, m ∈ Z, joille pätee 0 ≤ k < m ≤ n − 1.
Nyt g m−k = e, mutta 0 < m − k < n. Tämä on ristiriita, koska n on pienin ehdon
toteuttava positiivinen kokonaisluku. Siispä alkiot eivät toistu listauksessa, joten
g:n kertaluku on n.
Tarkastellaan lopuksi tilannetta, jossa ei ole olemassa positiivista kokonaislukua m, jolle pätisi g m = e. Tehdään vastaoletus, että kertaluku on äärellinen.
Tällöin 3g4 on äärellinen ja g k ∈ 3g4 kaikilla k ∈ Z, joten täytyy päteä g k1 = g k2
joillain k1 , k2 ∈ Z, missä k1 > k2 . Nyt g k1 −k2 = e, ja k1 − k2 on positiivinen
kokonaisluku. Tämä on ristiriita, joten kertaluku on ääretön.
2.1.9 Esimerkki. Edellä todistettujen tulosten avulla voidaan selvittää helpommin esimerkeissä 2.1.4 ja 2.1.5 esiintyneiden alkioiden kertaluvut ja niiden virittämät aliryhmät.
52
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Ryhmän S6 alkion α = (14)(263) kertaluku on kuusi, sillä α6 = (1) eikä mikään
pienempi positiivinen potenssi anna neutraalialkiota (1). Nyt tiedetään, että alkion
virittämä aliryhmä koostuu virittäjän kuudesta ensimmäisestä potenssista.
Ryhmän (Q \ {0}, ·) alkion −1 kertaluku on kaksi, sillä (−1)2 = 1. Siten sen
virittämässä aliryhmässä ovat alkiot 1 ja −1.
Toisaalta esimerkissä 2.1.3 alkion 4 virittämä aliryhmä on ääretön, sillä ei ole
olemassa sellaista positiivista lukua n, jolle pätee n · 4 = 0.
Aliryhmää, joka on jonkin alkion virittämä, kutsutaan sykliseksi aliryhmäksi.
Lemmasta 2.1.7 selviää, mistä nimitys johtuu. Äärellisestä syklisestä ryhmästä voidaan nimittäin piirtää kuva, jossa alkiot muodostavat ketjun. Ketjun ensimmäinen
alkio on virittäjä g, ja seuraava alkio saadaan aina kertomalla edellistä alkiota virittäjällä. Kun päästään alkioon g n−1 , niin seuraava ketjun jäsen on g n = e ja sitä
seuraava g. Ollaan siis palattu takaisin alkuun (katso kuva 2.1). Kuvassa 2.2 on
esitetty syklinen aliryhmä 3(14)(263)4.
G
g
g
n
g =e
2
g
g
g
6
g
3
4
5
Kuva 2.1: Alkion g kertaluku on äärellinen, joten sen virittämää aliryhmää voi
kuvata syklillä.
Äärettömän syklisen aliryhmän alkiot on helppo määrittää.
2.1.10 Lause. Jos alkion g kertaluku on ääretön, niin sen virittämä aliryhmä on
missä g k %= g m , kun k %= m.
3g4 = {g k | k ∈ Z},
Todistus. Lauseen 2.1.2 perusteella tiedämme, että 3g4 = {g k | k ∈ Z}. On siis
vain osoitettava, että mitkään potensseista eivät ole samoja. Oletetaan vastoin
2.1. VIRITTÄMINEN
53
(16542)
(16)
S6
(14)(263)
(163)(254)
(243)
(1)
(236)
(35) …
(14)
(14)(236)
(16)(342)
(263)
Kuva 2.2: Ryhmän S6 alkion (14)(263) kertaluku on kuusi. Sen virittämässä aliryhmässä on kuusi alkiota.
väitettä, että g k = g m joillakin k, m ∈ Z. Nyt g k−m = e, missä e on ryhmän G
neutraalialkio. Lemman 2.1.7 nojalla ryhmä 3g4 on äärellinen. Tämä on ristiriita,
joten väite on todistettu.
Myös ääretöntä syklistä ryhmää voi kuvata ketjuna, jossa seuraava alkio saadaan edellisestä kertomalla virittäjällä. Nyt vain ketjun päät eivät koskaan kohtaa
(katso kuva 2.3).
G
g
-2
g
-1
e
g
g
2
g
3
g
4
Kuva 2.3: Alkion g kertaluku on ääretön, joten sen virittämää aliryhmää voidaan
kuvata äärettömänä ketjuna.
2.1.2
Useamman alkion virittämät aliryhmät
Yllä tutkimme yhden alkion virittämiä aliryhmiä. Ne olivat kaikkein pienimpiä aliryhmiä, jotka sisältävät virittäjäalkion. Määritelmää voidaan laajentaa koskemaan
myös useampia alkioita. Voimme puhua joukkojen virittämistä aliryhmistä.
54
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
2.1.11 Määritelmä. Olkoon G ryhmä ja S sen osajoukko. Joukon S virittämä
aliryhmä 3S4 on pienin G:n aliryhmä, joka sisältää joukon S.
Jos S = {s1 , s2 , . . . , sn } on äärellinen, niin merkitään 3S4 = 3s1 , s2 , . . . , sn 4.
Tässä pienin aliryhmä tarkoittaa pienintä aliryhmää sisältyvyysrelaation suhteen. Toisin sanoen, mikä tahansa ryhmän G aliryhmä, joka sisältää joukon S,
sisältää myös aliryhmän 3S4. Jos siis halutaan osoittaa, että 3S4 = H, niin ensinnäkin näytetään, että H on aliryhmä ja S ⊂ H. Sen jälkeen otetaan mielivaltainen
aliryhmä K, jolle pätee S ⊂ K, ja osoitetaan, että H ⊂ K. Asiaa on havainnollistettu kuvassa 2.4.
K
G
<S>
S
Kuva 2.4: Aliryhmä 3S4 on pienin aliryhmä, joka sisältää joukon S.
2.1.12 Esimerkki. Tarkastellaan ryhmän S4 osajoukkoa S = {(13), (24)}. Millainen on sen virittämä aliryhmä? Tutkitaan aluksi, millaisia alkioita aliryhmässä
pitää ainakin olla, ja arvataan sen jälkeen, mikä 3S4 on. Koska aliryhmässä 3S4 on
alkiot (13) ja (24), niin siinä pitää olla myös alkiot
(13)2 = (1)
(24)2 = (1)
(13) · (24) = (13)(24)
(24) · (13) = (24)(13) = (13)(24)
(13)−1 = (13)
(24)−1 = (24).
Alkaa näyttää siltä, että muita alkoita ei aliryhmään saada.
Merkitään H = {(1), (13), (24), (13)(24)} ja näytetään, että 3S4 = H. Ensinnäkin on osoitettava, että H on aliryhmä. Tämän näkee helpoiten kirjoittamalla
joukon H kertotaulun, ja se jätetään harjoitustehtäväksi.
2.1. VIRITTÄMINEN
55
Seuraavaksi on osoitettava, että H on pienin aliryhmä, joka sisältää joukon S.
Olkoon K jokin aliryhmä, joka sisältää joukon S. Yllä olemme osoittaneet, että
aliryhmässä K on oltava kaikki joukon H alkiot. Siten H ⊂ K ja H on pienin
aliryhmä, joka sisältää joukon S. Voidaan siis todeta, että 3S4 = H.
2.1.13 Esimerkki. Tarkastellaan ryhmää (Z, +) ja kokonaislukujen osajoukkoa
S = {4, 6}. Aliryhmässä 3S4 on oltava ainakin seuraavat alkio:
4, 8, 12, 16, 20, . . .
6, 12, 18, 24, . . .
4 + 6 = 10, 2 · (4 + 10) = 20, . . .
− 4, −6,
6 − 4 = 2, 2 · (6 − 4) = 4, 3 · (6 − 4) = 6, . . .
Alkaa näyttää siltä, että aliryhmässä 3S4 ovat kaikki parilliset luvut. Osoitetaan,
että 3S4 = 2Z
Tiedämme jo, että 2Z on aliryhmä, joka sisältää joukon S. On vielä osoitettava,
että se on pienin aliryhmä, jolla on tämä ominaisuus.
On näytettävä, että jos K on jokin aliryhmä, joka sisältää joukon S, niin 2Z ⊂
K. Olkoon K siis jokin joukon S sisältävä aliryhmä. Koska K on aliryhmä, niin
6+(−4) = 2 ∈ K. Edelleen nähdään, että n·2 ∈ K kaikilla n ∈ Z. Tämä tarkoittaa
sitä, että 2Z ⊂ K.
Aliryhmä 2Z on siis pienin aliryhmä, joka sisältää joukon S, ja siten 3S4 = 2Z.
2.1.14 Esimerkki.
• Jos G on ryhmä ja e on sen neutraalialkio, niin 3e4 = {e}.
• Jos G on ryhmä ja H sen aliryhmä, niin 3H4 = H.
• Olkoon G ryhmä. Tyhjän joukon virittämä aliryhmä on {e}, missä e on G:n
neutraalialkio. Selvästikin {e} on aliryhmä, jonka osajoukko tyhjä joukko
on. Koska jokainen aliryhmä sisältää neutraalialkion, sisältyy {e} kaikkiin
aliryhmiin. Siten 3∅4 = {e}.
Mistä tiedetään, että määritelmän 2.1.11 mainitsema pienin aliryhmä on aina
olemassa? Mielivaltaisella joukollahan ei välttämättä ole pienintä alkiota. Ajatellaan vaikkapa joukkoa, jonka alkioita ovat avoimet reaalilukuvälit, joihin kuuluu
luku nolla. Ei ole olemassa sellaista avointa väliä, joka sisältyisi jokaiseen nollan sisältävään avoimeen väliin. Siten joukolla ei ole pienintä alkiota sisältymisrelaation
suhteen.
56
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Aliryhmien virittämisen tapauksessa pienin alkio kuitenkin aina löytyy. Oletetaan, että G on ryhmä ja S sen osajoukko. Olkoon H kaikkien niiden G:n aliryhmien joukko, jotka sisältävät joukon S. Osoitetaan, että leikkausjoukko
"
H = {g ∈ G | g ∈ H kaikilla H ∈ H}
H∈H
on joukon H pienin alkio. Kyseessä on siis leikkaus kaikista niistä aliryhmistä,
jotka sisältävät joukon S (katso kuva 2.5).
*
Merkitään A = H∈H H. Koska S ⊂ H kaikilla H ∈ H, niin S ⊂ A. Lisäksi
A on aliryhmä. (Tämä osoitetaan samalla tavalla kuin se, että kahden aliryhmän
leikkaus on aliryhmä.)
On vielä osoitettava, että A sisältyy kaikkiin aliryhmiin, joiden osajoukko S
on. Oletetaan, että S ⊂ K ≤ G. Nyt K on yksi joukon H alkioista. Jos a ∈ A, niin
a on jokaisen aliryhmän H ∈ H alkio.
* Siten a ∈ K. Tästä seuraa, että A ⊂ K.
Olemme siis osoittaneet, että A = H∈H H on etsitty aliryhmä.
*
Koska leikkaus H∈H H on varmastikin olemassa, niin määritelmän 2.1.11 lupaama pienin alkio löytyy aina.
G
H4
H1
S
H3
H2
Kuva 2.5: Joukon S virittämä aliryhmä on kaikkien niiden aliryhmien leikkaus,
joihin S sisältyy.
Jos joukossa S on vain yksi alkio s, niin tiedämme lauseen 2.1.2 perusteella,
että tuon joukon virittämä aliryhmä koostuu alkion s potensseista. Lause voidaan
yleistää koskemaan myös suurempia joukkoja. Tällöin aliryhmä koostuu joukon S
2.1. VIRITTÄMINEN
57
alkioista, niiden käänteisalkioista sekä kaikista mahdollisista tuloista, joita näistä
alkioista voidaan muodostaa.
Merkitään S −1 = {s−1 | s ∈ S}. Kyseessä on siis kaikkien joukon S alkioiden
käänteisalkioiden joukko.
2.1.15 Lause. Olkoon G ryhmä ja S sen osajoukko. Tällöin
3S4 = {s1 s2 . . . sn | si ∈ S ∪ S −1 , n ≥ 0}.
∈ S}. On ensinnäkin osoiTodistus. Merkitään H = {s1 s2 . . . sn | si ∈ S tai s−1
i
tettava, että S ⊂ H. Koska joukossa H ovat mukana myös yhden alkion pituiset
tulot, niin s ∈ H jokaisella s ∈ S. Siten S on H:n osajoukko.
Näytetään sitten, että osajoukko H on ryhmän G aliryhmä. Huomataan, että
joukko H sisältää kaikkien alkioidensa tulot sekä alkioiden käänteisalkiot. Neutraalialkio puolestaan on nollan alkion tulo, joten myös se on joukossa H.
Lopuksi on vielä osoitettava, että H on pienin aliryhmä, joka sisältää joukon
S. Oletetaan siis, että K on aliryhmä, joka sisältää joukon S, ja osoitetaan, että
H ⊂ K. Olkoon h ∈ H. Nyt
h = s1 s2 . . . sn , missä si ∈ S ∪ S −1 .
Koska S ⊂ K ja K on aliryhmä, niin jokainen si on K:n alkio. Siten h = s1 s2 . . . sn
on K:n alkio, ja olemme todistaneet, että H ⊂ K.
Jos joukossa S on vain yksi alkio s, niin lause 2.1.15 muuttuu yksinkertaisempaan muotoon. Nyt aliryhmän 3S4 = 3s4 alkiot muodostuvat alkioiden s ja s−1
tuloista. Koska yhdistelmä ss−1 supistuu aina tulosta pois, ovat alkiot muotoa sn
tai (s−1 )n . Siten 3s4 = {sn | n ∈ Z}, juuri niin kuin pitääkin.
Tiivistelmä:
• Alkion g ∈ G virittämä aliryhmä 3g4 on pienin aliryhmä, joka sisältää alkion
g. Yhden alkion virittämää aliryhmää kutsutaan sykliseksi aliryhmäksi.
• Alkion g virittämä aliryhmä koostuu g:n potensseista: 3g4 = {g n | n ∈ Z}.
• Alkion g kertaluvuksi kutsutaan aliryhmän 3g4 alkioiden lukumäärää.
• Alkion g kertaluku on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle pätee g n = e.
• Jos alkion g kertaluku on äärellinen, niin 3g4 = {e, g, g 2, . . . , g n−1}, missä n
on alkion g kertaluku.
58
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
• Jos alkion g kertaluku on ääretön, niin 3g4 = {g n | n ∈ Z}, missä kaikki
potenssit poikkeavat toisistaan.
• Joukon S virittämä aliryhmä on pienin aliryhmä, joka sisältää joukon S.
• Aliryhmä 3S4 koostuu joukon S alkioiden ja niiden käänteisalkioiden tuloista.
2.2. TYÖKALU: LUKUTEORIAA
2.2
59
Työkalu: Lukuteoriaa
Monissa algebran todistuksissa käytetään jonkin verran lukuteoriaa. Varsinkin alkioiden kertalukuun liittyvät kysymykset ratkeavat usein perustiedoilla jaollisuudesta ja lukujen tekĳöistä. Kertaluvuista taas päästään helposti syklisiin ryhmiin
ja edelleen muihin aiheisiin.
Tässä luvussa käydään läpi mahdollisesti jo aiemmin tuttuja asioita, kuten
jakoyhtälö, lukujen suurin yhteinen tekĳä sekä Eukleideen algoritmi. Lisäksi tutustutaan kongruenssirelaatioon sekä kokonaislukujen jakojäännösluokkiin. Näitä
kaikkia tullaan soveltamaan myöhemmin eri tilanteissa. Lukua ei tarvitse lukea
kokonaan heti, vaan siihen voi palata aina tarpeen tullen.
2.2.1
Jaollisuus
2.2.1 Määritelmä. Kokonaisluku n on jaollinen kokonaisluvulla m, jos on olemassa sellainen kokonaisluku a, että n = am. Tällöin merkitään m|n.
Jos n on jaollinen luvulla m, voidaan myös sanoa, että m jakaa luvun n, m
on luvun n tekĳä tai n on luvun m monikerta. Jos n ei ole jaollinen luvulla m,
merkitään m " n.
Seuraava lause kertoo tutun tuloksen. Jos jako ei mene tasan, siitä jää jakojäännös.
2.2.2 Lause (Jakoyhtälö). Olkoot a ja b kokonaislukuja. Oletetaan, että b %= 0.
Tällöin on olemassa yksikäsitteiset q, r ∈ Z, joille pätee
a = qb + r
ja 0 ≤ r < |b|.
Lukua r kutsutaan luvun a jakojäännökseksi luvulla b jaettaessa.
Lause on helppo todistaa induktiolla luvun a suhteen, kun a on positiivinen,
ja yleinen tapaus seuraa tästä. Esitämme tässä kuitenkin toisenlaisen todistuksen,
koska se voidaan yleistää muihinkin tilanteisiin, esimerkiksi polynomien jakolaskuun
Todistus. Tarkastellaan joukkoa A = {a − xb | x ∈ Z} ja osoitetaan, että sen
pienin epänegatiivinen alkio on etsitty jakojäännös.
Oletetaan aluksi, että b > 0. Valitaan joukosta A pienin epänegatiivinen alkio
r. Tällainen löytyy, sillä a − xb ≥ 0, kunhan vain x ≤ a/b. Valitaan alkioksi q se
60
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
kokonaisluku, jolla pätee a − qb = r. Jos nyt r ≥ |b| = b, niin
a − (q + 1)b = a − qb − b = r − b ≥ 0,
joten a − (q + 1)b on lukua r pienempi joukon A epänegatiivinen alkio. Tämä on
ristiriita, joten r < b, ja halutut alkiot on löydetty.
Jos b < 0, niin korvataan yllä olevassa todistuksessa luku b luvulla −b. Tällöin
saadaan yhtälö a = q(−b) + r = (−q)b + r, missä r < −b = |b|.
Todistetaan seuraavaksi, että löydetyt luvut ovat yksikäsitteiset. Jos myös luvut q $ ja r $ toteuttavat annetun ehdon, niin saadaan yhtälö r − r $ = (q − q $ )b. Siten
0 ≤ |q − q $ ||b| = |r − r $ | < |b|, mistä seuraa, että 0 ≤ |q − q $ | < 1. Koska |q − q $ | on
kokonaisluku, niin täytyy olla q − q $ = 0. Siten q = q $ ja r = r $ .
2.2.3 Määritelmä. Olkoot a ja b nollasta poikkeavia kokonaislukuja. Suurinta
lukua, joka jakaa sekä a:n että b:n, kutsutaan niiden suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi ja merkitään syt(a, b). Jos syt(a, b) = 1, sanotaan, että a ja b ovat keskenään
jaottomat.
Esimerkiksi lukujen 4 ja 6 suurin yhteinen tekĳä on 2, ja lukujen 9 ja 8 suurin
yhteinen tekĳä on 1.
2.2.4 Lause. Olkoot a ja b nollasta poikkeavia kokonaislukuja. Tällöin on olemassa
kokonaisluvut x ja y, joille pätee
syt(a, b) = xa + yb.
Todistus. Tarkastellaan joukkoa A = {xa + yb | x, y ∈ Z}. Olkoon sen pienin positiivinen alkio d = xa + yb. Tulemme osoittamaan, että d = syt(a, b). Jakoyhtälön
nojalla voimme kirjoittaa a = qd + r, missä q, r ∈ Z ja 0 ≤ r < d. Huomataan,
että
r = a − qd = a − qxa − qyb = (1 − qx)a + (−qy)b,
joten r on joukon A alkio. Nyt r ei voi olla positiivinen, sillä r < d ja d on A:n
pienin positiivinen alkio. Siten r = 0 ja d|a. Samalla tavoin voidaan osoittaa, että
d|b.
On vielä osoitettava, että d on suurin luku, joka jakaa sekä a:n että b:n. Jos luvulle c pätee c|a ja c|b, niin c jakaa luvun xa+yb = d. Koska luku d on positiivinen,
niin se on suurempi kuin kaikki tekĳänsä. Siten c ≤ d.
Huomaa, että voi olla olemassa useita lukuja x ja y, jotka toteuttavat lauseen
ehdon. Esimerkiksi lukujen 5 ja 7 suurin yhteinen tekĳä voidaan kirjoittaa vaikkapa
muodoissa 1 = 3 · 5 + (−2) · 7 ja 1 = −4 · 5 + 3 · 7.
2.2. TYÖKALU: LUKUTEORIAA
61
2.2.5 Korollaari. Oletetaan, että a, b ja c ovat nollasta poikkeavia kokonaislukuja.
Jos syt(a, b)|c, niin yhtälöllä ax + by = c on kokonaislukuratkaisu.
Todistus. Olkoon k ∈ Z sellainen, että k · syt(a, b) = c. Edellisen lauseen nojalla on
olemassa kokonaisluvut n ja m, joille pätee an + bm = syt(a, b). Kun tämä yhtälö
kerrotaan puolittain luvulla k, saadaan a(kn) + b(km) = c.
Huomaa, että lause ei sano mitään yhtälön ratkaisuiden määrästä. Niitä on itse
asiassa aina äärettömän monta. Asiaan palataan luvun lopussa.
Tutkitaan vielä lukujen jaollisuutta hieman tarkemmin. Esimerkiksi luku 4
jakaa tulon 8 · 5 = 40, ja huomataan, että se jakaa myös toisen tulon tekĳöistä.
Myös luku 10 jakaa tulon 8 · 5, mutta se ei kuitenkaan jaa kumpaakaan tulon
tekĳöistä. Miksi nämä kaksi tapausta ovat erilaiset? Huomataan, että luku 10
voidaan kirjoittaa tulona 2 · 5, ja edelleen 2 | 8 ja 5 | 5. Kun 10 jakaa tulon 8 · 4,
niin se tavallaan jakaa molempia tulon tekĳöitä. Luvun 4 kohdalla näin ei käy,
sillä luvuilla 4 ja 5 ei ole yhteisiä tekĳöitä.
2.2.6 Lemma (Eukleideen lemma). Oletetaan, että a, b, c ∈ Z \ {0} ja syt(a, b) =
1. Jos a|bc, niin a|c.
Todistus. Oletetaan, että a|bc. Koska syt(a, b) = 1, niin on olemassa kokonaisluvut
x ja y, joille pätee 1 = xa + yb. Nyt
c = (xa + yb)c = xac + y(bc).
Koska a jakaa luvun bc, niin a jakaa luvun c.
2.2.7 Määritelmä. Olkoot a ja b nollasta poikkeavia kokonaislukuja. Pienintä
positiivista lukua, jonka sekä a että b jakavat, kutsutaan niiden pienimmäksi yhteiseksi jaettavaksi ja merkitään pyj(a, b).
Esimerkiksi lukujen 4 ja 6 pienin yhteinen jaettava on 12, ja lukujen 9 ja 8
pienin yhteinen jaettava on 72.
2.2.8 Lause. Nollasta poikkeaville kokonaisluvuille a ja b pätee
syt(a, b) · pyj(a, b) = a · b.
Todistus. Merkitään d = syt(a, b) ja osoitetaan, että ab/d = pyj(a, b).
Koska d on lukujen a ja b suurin yhteinen tekĳä, löytyy kokonaisluvut r ja s,
joille pätee a = rd, b = sd. Tästä seuraa, että syt(r, s) = 1, sillä muuten d ei
62
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
olisi suurin yhteinen tekĳä. Nyt ab/d = rb ja toisaalta ab/d = as, joten ab/d on
kokonaisluku ja lisäksi lukujen a ja b yhteinen jaettava.
Oletetaan sitten, että m > 0 on myös lukujen a ja b yhteinen jaettava. Nyt on
olemassa sellaiset t, s ∈ Z, että m = ta = ub. Tällöin
m
ta
=
= rt ja
d
a/r
m
ub
=
= su,
d
b/s
joten erityisesti rt = su. Koska syt(r, s) = 1, niin Eukleideen lemman nojalla r
jakaa luvun u. Tästä seuraa, että luku ab/d = rb jakaa luvun ub = m, joten
ab/d ≤ m. Siispä ab/d on lukujen a ja b yhteisistä jaettavista pienin.
2.2.2
Eukleideen algoritmi
Yritetään löytää lukujen 888 ja 372 suurin yhteinen tekĳä d. Jakoyhtälöä käyttämällä saadaan yhtälö
888 = 2 · 372 + 144.
Koska luku d jakaa sekä luvun 888 että luvun 372, sen täytyy jakaa myös luku
144. Nyt voidaan edelleen käyttää jakoyhtälöä pienempiin lukuihin 372 ja 144:
372 = 2 · 144 + 84.
Koska d jakaa luvut 372 ja 144, se jakaa myös luvun 84. Jatkamalla samaan tapaan
saadaan
144 = 1 · 84 + 60
84 = 1 · 60 + 24
60 = 2 · 24 + 12
24 = 2 · 12 + 0.
Viimeiseltä riviltä nähdään, että 12 on luvun 24 tekĳä. Tällöin sen täytyy
toiseksi viimeisen yhtälön nojalla olla myös luvun 60 tekĳä, samoin lukujen 84,
144, jne. Lopulta nähdään, että 12 on lukujen 888 ja 372 yhteinen tekĳä. Mutta
miksi se on suurin? Jos katsotaan ensimmäistä yhtälöä tarkemmin, nähdään, että
jokainen lukujen 888 ja 372 tekĳä on itse asiassa myös luvun 144 tekĳä. Sama pätee
siten jokaiselle jakojäännökselle aina viimeisiin yhtälöihin saakka. Siispä jokainen
yhteinen tekĳä on myös luvun 12 tekĳä, joten yksikään niistä ei voi olla suurempi
kuin 12.
2.2. TYÖKALU: LUKUTEORIAA
63
Yllä esitettyä tapaa suurimman yhteisen tekĳän etsimiseksi kutsutaan Eukleideen algoritmiksi. Esitetään se vielä yleisessä muodossa. Olkoot a ja b kokonaislukuja, joiden suurin yhteinen tekĳä halutaan löytää. Jakoyhtälön nojalla on olemassa sellaiset kokonaisluvut q1 ja r1 , että a = q1 b + r1 . Sovelletaan sitten jakoyhtälöä
lukuihin b ja r1 , ja löydetään sellaiset kokonaisluvut q2 ja r2 , että b = q2 r1 + r2 .
Jatketaan luvuilla r1 ja r2 , sitten luvuilla r2 ja r3 ja niin edelleen kunnes jako
menee tasan. Tällä tavoin saadaan yhtälöt
a = q1 b + r1 ,
b = q2 r1 + r2 ,
r1 = q3 r2 + r3 ,
r2 = q4 r3 + r4 ,
..
.
rn−2 = qn rn−1 + rn ,
rn−1 = qn+1 rn + 0.
0 < r1 < |b|
0 < r2 < r1
0 < r3 < r 2
0 < r4 < r 3
..
.
0 < rn < rn−1
Koska jakojäännökset ri pienenevät koko ajan, mutta ovat kuitenkin epänegatiivisia, on algoritmin jossain vaiheessa päätyttävä. Jakojäännös rn on etsitty suurin
yhteinen tekĳä:
rn = syt(a, b).
Tämä johtuu siitä, että viimeisen yhtälön nojalla rn jakaa luvun rn−1 . Sitä
edellisestä yhtälöstä seuraa nyt, että rn jakaa myös luvun rn−2 . Näin jatkamalla
nähdään, että rn jakaa lopulta luvut a ja b. Toisaalta, jos on olemassa luku c, joka
jakaa sekä a:n että b:n, niin ensimmäisen yhtälön nojalla c|r1 . Edelleen c jakaa
luvun r2 ja lopulta luvun rn . Siten mikä tahansa yhteinen tekĳä on korkeintaan
yhtä suuri kuin rn .
Eukleideen algoritmin avulla voidaan myös löytää jotkin kokonaisluvut x ja y,
joille pätee syt(a, b) = xa + yb. Etsitään yllä olevien laskujen avulla sellaiset luvut
x ja y, joilla 888x + 372y = 12. Ryhdytään käymään Eukleideen algoritmia läpi
takaperin.
Toiseksi viimeisestä yhtälöstä nähdään, että 12 = 60 − 2 · 24. Kolmanneksi
viimeisen yhtälön perusteella puolestaan 24 = 84 − 1 · 60, ja voimme sĳoittaa
tämän ensin saatuun yhtälöön:
12 = 60 − 2 · 24 = 60 − 2 · (84 − 1 · 60) = −2 · 84 + 3 · 60.
Nyt neljänneksi viimeisestä yhtälöstä voidaan ratkaista 60 = 144 − 1 · 84, ja tämä
sĳoitetaan taas yllä olevaan yhtälöön:
12 = −2 · 84 + 3 · 60 = −2 · 84 + 3 · (144 − 1 · 84) = 3 · 144 − 5 · 84.
64
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Jatkamalla samaan tapaan saadaan
12 = 3 · 144 − 5 · 84 = 3 · 144 − 5 · (372 − 2 · 144) = −5 · 372 + 13 · 144
= −5 · 372 + 13 · (888 − 2 · 372) = 13 · 888 − 31 · 372
Voidaan siis valita x = 13 ja y = −31.
Eukleides oli aleksandrialainen matemaatikko, joka eli vuoden 300 eKr. tienoilla. Hänen pääteoksensa on “Geometrian alkeet”, joka on kokoelma lähes kaikesta
kreikkalaisten tuolloin tuntemasta matematiikasta. Koko 13-osaisen teoksen lähtökohtana on muutama perusolettamus, aksiooma, joiden pohjalta muut tulokset
johdetaan tarkkaa loogista järjestelmää noudattaen. Tämä looginen rakenne on
teoksen hienoin saavutus, ja “Alkeet” onkin inspiroinut matemaatikkosukupolvia
aina viime vuosisadoille asti nimenomaan aksiomaattisen lähestymistapansa vuoksi, vaikka Eukleideen päättely ei aina olekaan täysin aukotonta.
“Alkeet” ei kuitenkaan ole pelkästään geometrialle omistettu teos sanan nykymerkityksessä, sillä osat 7, 8 ja 9 käsittelevät itse asiassa kokonaislukujen jaollisuuden teoriaa. Sieltä löytyy Eukleideen algoritmiksi kutsutun menetelmän lisäksi melkein kaikki muukin tämän luvun sisältö, lukuunottamatta muun muassa
kongruensseja. Jopa useimmat todistuksetkin ovat samoja kuin tässä esitetyt. Itse algoritmi on tuskin Eukleideen keksintöä, niin kuin ei suurin osa “Alkeiden”
sisällöstä muutenkaan, vaan se lienee tunnettu jo ainakin vuosisata ennen hänen
aikaansa.
2.2.3
Alkuluvut
2.2.9 Määritelmä. Kokonaisluku p > 1 on alkuluku, jos sen ainoat tekĳät ovat 1
ja p.
Huomaa, että luku 1 ei siis määritelmän mukaan ole alkuluku. Esimerkiksi
luvut 2, 3 ja 5 ovat alkulukuja. Luvut 6 ja 8 puolestaan eivät ole, sillä 6 = 2 · 3 ja
8 = 2 · 2 · 2.
Seuraava lause saadaan suoraan Eukleideen lemmasta.
2.2.10 Lause. Oletetaan, että a, b ∈ Z ja p on alkuluku. Jos p|ab, niin p|a tai p|b.
Todistus. Koska p on alkuluku, niin joko p|a tai syt(p, a) = 1. Jos p|a, niin väite
on todistettu. Jos taas syt(p, a) = 1, niin Eukleideen lemmasta 2.2.6 seuraa, että
p|b.
2.2.11 Korollaari. Oletetaan, että a1 , a2 , . . . , an ∈ Z ja p on alkuluku. Jos tiedetään, että p|a1 a2 · · · an , niin p|ai jollakin i.
2.2. TYÖKALU: LUKUTEORIAA
65
Todistus. Väite seuraa induktiolla edellisestä lauseesta.
2.2.12 Lause (Aritmetiikan peruslause). Jokainen positiivinen kokonaisluku voidaan esittää alkulukujen tulona. Esitys on tekĳöiden järjestystä vailla yksikäsitteinen.
Lukua 1 ei tarvitse sulkea pois ylläolevasta lauseesta, sillä sen voidaan ajatella
olevan nollan alkuluvun tulo.
Todistus. Osoitetaan ensin, että jokainen luku voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona. Olkoon n > 1 kokonaisluku. Jos n on alkuluku, olemme valmiita. Jos n
ei ole alkuluku, niin voidaan kirjoittaa n = n1 n2 , missä 1 < ni < n. Jos n1 ja
n2 ovat alkulukuja, olemme valmiita. Jos näin ei ole, voidaan ne ilmaista kahden luvun tulona. Jatkaen tähän tapaan saamme kirjoitettua luvun n aina vain
pienempien ja pienempien positiivisten lukujen tulona. Koska näin ei voida jatkaa
äärettömän kauan, löydämme jossain vaiheessa alkuluvut p1 , p2 , . . . , pr , joille pätee
n = p1 p2 · · · pr .
Osoitetaan sitten, että esitys on yksikäsitteinen. Oletetaan, että luku n voidaan
kirjoittaa alkulukujen tulona muodoissa
n = p1 p2 · · · pr
ja n = q1 q2 , · · · qs .
Koska p1 jakaa luvun n, korollaarin 2.2.11 nojalla p1 jakaa jonkin luvuista qi .
Voimme olettaa, että qi = q1 . Koska p1 ja q1 ovat alkulukuja, niin täytyy olla
p1 = q1 . Nyt
p2 p3 · · · pr = q2 q3 · · · qs .
Jatkamalla samaan tapaan tulemme osoittaneeksi, että pi = qi kaikilla i ja lisäksi
r = s. Siten esitykset ovat samoja.
Nyt nyt nähdään eräs syy sille, miksi luvun 1 ei haluta olevan alkuluku. Jos se
nimittäin olisi alkuluku, niin aritmetiikan peruslauseeseen ei saataisi yksikäsitteisyyttä. Esimerkiksi luku 6 voitaisiin esittää muodossa 2 · 3 tai 1 · 2 · 3.
Alkulukuhajotelman avulla voimme havainnollistaa lukujen suurimman yhteisen tekĳän ja pienimmän yhteisen jaettavan suhdetta. Jos ajatellaan lukujen a ja
b alkutekĳäesityksiä, niin syt(a, b) saadaan ottamalla ne tekĳät, jotka esiintyvät
sekä a:n että b:n esityksessä. Toisaalta pyj(a, b) saadaan ottamalla kaikki a:n tekijät ja b:n tekĳöistä ne, jotka eivät ole a:ssa. Yhteensä saadaan sekä kaikki a:n että
kaikki b:n tekĳät, eli tulon ab tekĳät, juuri niin kuin lauseessa 2.2.8 todetaan.
2.2.13 Lause. Alkulukuja on äärettömän monta.
66
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Todistus. Oletetaan vastoin väitettä, että alkulukuja on vain äärellisen monta.
Olkoon niiden joukko {p1 , p2 , . . . , pn }. Tarkastellaan lukua
N = p1 p2 · · · pn + 1.
Aritmetiikan peruslauseen nojalla N on jaollinen jollakin luvuista p1 , p2 , . . . , pn .
Mutta jos pi jakaa luvun N, niin tällöin se jakaa luvun
N − p1 p2 · · · pn = 1.
Tämä on ristiriita, joten väite on todistettu.
2.2.4
Kongruenssi
Toisinaan olemme kiinnostuneita lukujen jakojäännöksistä ja haluamme luokitella
kokonaislukuja sen mukaan, mikä jakojäännös niistä jää jollakin luvulla jaettaessa.
Tuttu arkielämän esimerkki tästä ovat kellonajat. Tiedämme, että kellonajat 4 ja
16 ovat kellotaulussa sama aika. Matemaattisesti tämän voi selittää sillä, että
niiden jakojäännös luvulla 12 jaettaessa on sama:
4 = 12 · 0 + 4 ja 16 = 12 · 1 + 4.
Kahdentoista tunnin kellotaulussa noiden kahden kellonajan välille ei tehdä eroa.
Ne voidaan samastaa.
Samanlaista ajattelutapaa käytetään lukuteoriassa monesti, ja täsmällisesti
asia voidaan ilmaista kongruenssien ja jäännösluokkien avulla.
Olemme siis kiinnostuneita siitä, onko kahdella luvulla sama jakojäännös. Tämän selvittämiseksi pitäisi ensin laskea molempien lukujen jakojäännökset ja sitten
verrata niitä toisiinsa. Se saattaa joskus olla hieman työlästä, ja seuraava lemma
tarjoaakin helpon tavan tarkistaa, ovatko jakojäännökset samat.
2.2.14 Lemma. Luvuilla a ja b on sama jakojäännös luvulla n jaettaessa jos ja
vain jos n | (a − b).
Todistus. Oletetaan ensin, että luvuilla a ja b on sama jakojäännös r. Tällöin
a = k1 n + r ja b = k2 n + r joillakin k1 , k2 ∈ Z. Nyt a − b = (k1 − k2 )n on jaollinen
luvulla n.
Oletetaan sitten, että n | (a − b). Tällöin a − b = kn jollakin k ∈ Z ja edelleen
a = b + kn. Olkoon luvun b jakojäännös r, jolloin b = qn + r, missä q ∈ Z ja
0 ≤ r < n. Nyt
a = b + kn = qn + r + kn = (q + k)n + r.
Siten myös luvun a jakojäännös on r.
2.2. TYÖKALU: LUKUTEORIAA
67
2.2.15 Määritelmä. Oletetaan, että a, b ∈ Z ja n on positiivinen kokonaisluku.
Jos a − b on jaollinen luvulla n, niin sanotaan, että a ja b ovat kongruentit modulo
n. Tällöin merkitään a ≡ b (mod n).
Esimerkiksi 4 ≡ 16 (mod 12), 7 ≡ 16 (mod 3) ja 154 ≡ 24 (mod 5).
Ryhdymme nyt samastamaan lukuja, joiden jakojäännös luvulla n jaettaessa
on sama. Samastamme siis luvut, jotka ovat keskenään kongruentit modulo n. Keräämme kaikki samastettavat luvut yhteen, ja yksittäisten lukujen sĳasta tarkastelemme tuota osajoukkoa. Kellonaikojen tapauksessa laitamme esimerkiksi luvut
4 ja 16 samaan osajoukkoon. Lisäksi niiden kanssa ovat kaikki muutkin luvut, joiden jakojäännös luvulla 12 jaettaessa on 4, esimerkiksi 28 ja −8. (Kellonaikojen
tapauksessa tällaisia lukuja ei vain juurikaan käytetä.) Nyt joukkoa
{. . . , −8, 4, 16, 28, . . . }
ajatellaan yksinkertaisesti kellonaikana 4. Matematiikassa tätä joukkoa kutsutaan
luvun 4 jäännösluokaksi modulo 12.
2.2.16 Määritelmä. Luvun a jäännösluokka modulo n on
[a]n = {b ∈ Z | b ≡ a
(mod n)}.
Lukua a kutsutaan jäännösluokan [a]n edustajaksi.
Merkinnässä alaindeksi n voidaan jättää kirjoittamatta, jos se on selvä asiayhteydestä. Toinen yleinen merkintä luvun a jäännösluokalle on a.
Jäännösluokka voidaan kirjoittaa myös muodossa [a]n = {a + kn | k ∈ Z}.
Lemman 2.2.14 perusteella tiedämme, että a:n jäännösluokassa ovat täsmälleen ne
luvut, jotka antavat saman jakojäännöksen luvulla n jaettaessa. Esimerkiksi
[4]12 = {. . . , −20, −8, 4, 16, 28, 40, . . . } ja
[5]3 = {. . . , −4, −1, 2, 5, 8, 11, . . . }.
Koska luvulla n jaettaessa eri jäkojäännöksiä on vain n kappaletta, jäännösluokkia
[a]n on myös n kappaletta ja ne ovat
[0], [1], . . . , [n − 1].
Näiden jäännösluokkien joukkoa merkitään Zn . Esimerkiksi jäännösluokkien joukko modulo 12 on
Z12 = {[0]12 , [1]12 , [2]12 , . . . , [12]12 }.
68
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Huomaa, että jäännösluokan edustajana voi toimia mikä tahansa jäännösluokan alkio. Esimerkiksi [4]12 = [16]12 ja [5]3 = [−1]3 . Kun jäännösluokka kirjoitetaan
edustajansa avulla, ei merkintä näin ollen ole yksikäsitteinen.
Kongruenssien käsittelemistä helpottavat seuraavat laskulait.
2.2.17 Lause.
a) Jos a ≡ b (mod n) ja c ≡ d (mod n), niin
a + c ≡ b + d (mod n) ja
ac ≡ bd (mod n).
b) Jos ca ≡ cb (mod n) ja syt(c, n) = 1, niin
a ≡ b (mod n).
c) Jos a ≡ b (mod kn) jollakin k ∈ Z, niin
a ≡ b (mod n).
Todistus.
a) Oletetaan, että a ≡ b (mod n) ja c ≡ d (mod n). Nyt on olemassa k, l ∈ Z,
joille pätee a = b + kn ja c = d + ln. Huomataan, että
a + c = b + kn + d + ln = (b + d) + (k + l)n,
ja siten a + c ≡ b + d (mod n). Lisäksi
ac = (b + kn)(d + ln) = bd + bln + knd + knln
= bd + (bl + kd + knl)n,
joten ac ≡ bd (mod n).
b) Oletetaan, että ca ≡ cb (mod n) ja syt(c, n) = 1. Koska n jakaa luvun
ca − cb = c(a − b), niin Eukleideen lemman 2.2.6 nojalla n jakaa luvun a − b.
Siten a ≡ b (mod n).
c) Oletetaan, että a ≡ b (mod kn) jollakin k ∈ Z. Nyt kn jakaa luvun a − b.
Siksi myös n jakaa luvun a − b, joten a ≡ b (mod n).
2.2. TYÖKALU: LUKUTEORIAA
69
Lauseen kohdan b) oletus syt(c, n) = 1 on tärkeä. Esimerkiksi 3 ≡ 9 (mod 6),
mutta tästä ei voi päätellä, että 1 ≡ 3 (mod 6) pätisi. Luvulla 3 voidaan kuitenkin jakaa, jos kaikki lausekkeessa olevat luvut jaetaan. Tällöin saadaan paikkansa
pitävä kongruenssi 1 ≡ 3 (mod 2). On helppo osoittaa, että näin voidaan tehdä
aina.
Laskusääntöjen avulla voidaan muun muassa laskea näppärästi suurten lukujen
jakojäännöksiä. Selvitetään, mitä jää jakojäännökseksi, kun luku 590+6100 jaetaan
luvulla 7. Ensinnäkin huomataan, että 590 = 10 · 59. Koska 10 ≡ 3 (mod 7) ja
59 ≡ 3 (mod 7), niin
590 ≡ 3 · 3 ≡ 9 ≡ 2 (mod 7).
Toisaalta 6 ≡ −1 (mod 7), joten
6100 ≡ (−1)100 ≡ 1 (mod 7).
Siten 590 + 6100 ≡ 2 + 1 ≡ 3 (mod 7). Tämä tarkoittaa sitä, että jakojäännös on
3.
Lause 2.2.17 auttaa myös modulaariyhtälöiden ratkaisuiden löytämisessä. Jos
on esimerkiksi löydettävä kokonaisluku x, joka toteuttaa yhtälön
5x ≡ 30 (mod 4),
niin yhtälö voidaan muuttaa muotoon, jossa vastaus on helppo löytää. Lauseen
2.2.17 kohdan b) nojalla saamme yhtälön x ≡ 6 (mod 4), joka edelleen sieventyy
muotoon x ≡ 2 (mod 4). Nyt on helppo nähdä, että valitsemalla x = 2 yhtälö
toteutuu. (Tämä on tietenkin vain yksi yhtälön ratkaisuista.)
2.2.18 Lause. Jos syt(a, n)|c, niin modulaariyhtälöllä ax ≡ c (mod n) on kokonaislukuratkaisu.
Todistus. Jos ax ≡ c (mod n), niin on olemassa sellainen y ∈ Z, että ax = c + ny.
Tämä yhtälö saadaan edelleen muotoon ax − ny = c, ja yhtälöllä on ratkaisu
lauseen 2.2.5 perusteella.
Jos kokonaisluku r on yllä olevan yhtälön ratkaisu, niin kaikki sen kanssa
kongruentit luvut ovat myös ratkaisuja. Jos nimittäin s ≡ r (mod n), niin
as ≡ ar ≡ c (mod n).
Siten myös s on yhtälön ratkaisu. Tämä ei tietenkään vielä tarkoita, että kaikki ratkaisut olisivat keskenään kongruentteja. Jos syt(a, n) = 1, näin kuitenkin
on, eli kaikki ratkaisut ovat samassa jäännösluokassa. Sen todistaminen jätetään
harjoitustehtäväksi.
70
2.3
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Sykliset ryhmät
Luvussa 2.1 tutustuimme syklisiin aliryhmiin, jotka ovat yhden alkion virittämiä
aliryhmiä. Ryhmää G kutsutaan sykliseksi, jos se on yhden alkionsa virittämä, eli
G = 3g4 jollakin g ∈ G.
Sykliset ryhmät ovat aina vaihdannaisia. Tätä ei ole vaikea osoittaa, ja se jätetään harjoitustehtäväksi.
Todistamme aluksi lemman 2.1.7, joka jäi todistamatta virittämistä käsittelevässä luvussa.
1 Lemma. Oletetaan, että G on ryhmä ja g ∈ G. Olkoon n sellainen positiivinen
kokonaisluku, että g n = e, missä e on neutraalialkio. Tällöin
3g4 = {e, g, g 2, . . . , g n−1}.
Todistus. Merkitään H = {e, g, g 2, . . . , g n−1}. Lauseen 2.1.2 perusteella tiedämme,
että 3g4 = {g k | k ∈ Z}. Selvästikin H ⊂ 3g4, joten riittää osoittaa, että g k ∈ H
kaikilla k ∈ Z.
Jos k ∈ Z, niin jakoyhtälön nojalla on olemassa kokonaisluvut q ja r, joille
pätee k = qn + r ja 0 ≤ r < n. Nyt
g k = g qn+r = g qn g r = (g n )q g r = eq g r = eg r = g r ∈ H.
Siten 3g4 ⊂ H ja väite on todistettu.
Olkoon G alkion g virittämä syklinen ryhmä. Jos G on äärellinen, niin luvun
2.1 perusteella tiedämme, että G = {e, g, g 2, g 3, . . . , g n−1}, missä n on alkion g
kertaluku. Jos taas G on ääretön, niin G = {g k | k ∈ Z}, missä kaikki potenssit
poikkeavat toisistaan.
2.3.1 Esimerkki. Ryhmä (Z, +) on ääretön syklinen ryhmä. Sen eräs virittäjä
on luku 1.
2.3.2 Esimerkki. Joukolle K12 = {1, 2, 3, . . . , 12} voidaan määritellä kellotaulusumma ! seuraavalla tavalla: jos n, m ∈ K12 , niin n ! m on se kellonaika, joka
saadaan, kun kellonaikaan n lisätään m tuntia. Esimerkiksi 11 ! 5 = 4.
Kellotaulusummalla varustettuna joukosta K12 tulee ryhmä. Neutraalialkio on
luku 12, ja alkion n käänteisalkio on 12 − n. Pienellä vaivalla voidaan osoittaa,
että myös liitännäisyys pätee. Kellotauluryhmä on syklinen, sillä sen virittää esimerkiksi luku 1.
2.3. SYKLISET RYHMÄT
71
2.3.3 Esimerkki. Tutkitaan kompleksilukujen joukossa yhtälön z 4 = 1 ratkaisuja. Ne ovat 1, −1, i ja −i. Huomataan, että i2 = −1, i3 = −i ja i4 = 1. Joukko {1, i, −1, −i} on siis neljän alkion syklinen ryhmä, kun laskutoimituksena on
kompleksilukujen kertolasku.
Voidaan osoittaa, että yhtälön z n = 1 ratkaisut muodostavat aina syklisen ryhmän, oli n sitten mikä tahansa positiivinen kokonaisluku. Ryhmässä on n alkiota
ja sen virittää kompleksiluku e2πi/n .
2.3.1
Jäännösluokkaryhmä Zn
Jäännösluokille voidaan määritellä yhteenlasku siten, että luokkien edustajat lasketaan yhteen ja katsotaan, mihin jäännösluokkaan tulos kuuluu. Esimerkiksi
[1]4 + [2]4 = [3]4 ja [2]4 + [3]4 = [5]4 = [1]4 .
2.3.4 Määritelmä. Määritellään joukolle Zn yhteenlasku
[a]n + [bn ] = [a + b]n .
Tässä määritelmässä on yksi ongelma. Se näyttää riippuvan siitä, minkä edustajan valitsemme jäännösluokalle. Miten voimme olla varmoja, ettei edustajan valinta vaikuta tulokseen? Esimerkiksi jäännösluokat [1]4 ja [5]4 ovat samat. Jotta
yhteenlaskussa olisi järkeä, laskusta on saatava sama tulos riippumatta siitä, käytetäänkö jäännösluokan kirjoittamiseen lukua 1 vai 5. Täytyy esimerkiksi päteä
[1]4 + [2]4 = [5]4 + [2]4 . Koska [1]4 + [2]4 = [3]4 ja [5]4 + [2]4 = [7]4 = [3]4 , niin
esimerkkimme tapauksessa huolta ei ole. On kuitenkin varmistuttava siitä, että
määritelmä toimii aina.
2.3.5 Lause. Jäännösluokkien joukon Zn yhteenlasku voidaan määritellä yllä esitetyllä tavalla. Toisin sanoen, jos [a]n = [a$ ]n ja [b]n = [b$ ]n , niin [a+b]n = [a$ +b$ ]n .
Todistus. Oletetaan, että [a]n = [a$ ]n ja [b]n = [b$ ]n . Nyt a ≡ a$ (mod n) ja b ≡ b$
(mod n), joten lemman 2.2.17 nojalla a + b ≡ a$ + b$ (mod n). Siten [a + b]n =
[a$ + b$ ]n .
2.3.6 Lause. Olkoon n ∈ Z. Jäännösluokkien joukko Zn on ryhmä, kun laskutoimituksena on yhteenlasku. Ryhmä Zn on syklinen ja sen kertaluku on n.
Todistus. Ryhmäaksioomat seuraavat kokonaislukujen yhteenlaskun ominaisuuksista.
(G0) Jos [a]n , [b]n ∈ Zn , niin [a]n + [b]n = [a + b]n ∈ Zn .
72
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
(G1) Olkoot [a]n , [b]n , [c]n ∈ Zn . Huomataan, että
([a]n + [b]n ) + [c]n = [a + b]n + [c]n
= [(a + b) + c]n = [a + (b + c)]n
= [a]n + [b + c]n = [a]n + ([b]n + [c]n ),
joten jäännösluokkien yhteenlasku on liitännäinen.
(G2) Yhteenlaskun neutraalialkio on [0]n , sillä
[0]n + [a]n = [0 + a]n = [a]n = [a + 0]n = [a]n + [0]n
kaikilla [a]n ∈ Zn .
(G3) Alkon [a]n ∈ Zn vasta-alkio on [−a]n , sillä
[a]n + [−a]n = [a − a]n = [0]n = [−a + a]n = [−a]n + [a]n .
Siten (Zn , +) on ryhmä.
Ryhmän Zn alkio [a]n voidaan kirjoittaa muodossa
[a]n = [1]n + [1]n + · · · + [1]n .
&
'(
)
a kpl
Siten alkio [1]n virittää ryhmän Zn .
Olemme jo aikaisemmin todenneet, että Zn = {[0]n , [1]n , . . . , [n − 1]n }, joten
|Zn | = n.
Esimerkiksi ryhmässä Z4 alkion [1]4 vasta-alkio on [−1]4 = [3]4 , alkion [2]4
vasta-alkio on [−2]4 = [2]4 , ja alkion [3]4 vasta-alkio on [−3]4 = [1]4 .
Jäännösluokkaryhmät toimivat samalla tavalla kuin esimerkin 2.3.2 kellotauluryhmä K12 . Ryhmän Z12 alkioiden summat määritetään samalla tavalla kuin
kellonaikojen summat. Ryhmä on esitetty kuvassa 2.6.
Joukossa Zn voidaan määritellä myös kertolasku. Jos [a]n , [b]n ∈ Zn , määrittelemme [a]n · [b]n = [a · b]n . Samaan tapaan kuin yhteenlaskun tapauksessa, on
nytkin varmistuttava siitä, että edustajan valinta ei vaikuta laskun lopputulokseen.
Muuten kertolaskun määritteleminen ei onnistu.
Oletetaan, että [a]n = [a$ ]n ja [b]n = [b$ ]n . Nyt a ≡ a$ (mod n) ja b ≡ b$
(mod n), joten lemman 2.2.17 nojalla a · b ≡ a$ · b$ (mod n). Siten [a · b]n = [a$ · b$ ]n .
Tämä osoittaa, että kirjoitetaanpa jäännösluokka sitten missä muodossa tahansa,
antaa lasku aina saman tuloksen.
Joukko Zn ei ole ryhmä kertolaskun suhteen, sillä alkiolla [0]n ei ole käänteisalkiota. Jos alkio poistetaan, saadaan toisinaan aikaan ryhmä. Esimerkiksi
(Z5 \ {[0]n }, ·) on ryhmä, mutta (Z6 \ {[0]n }, ·) ei ole. Tähän palataan myöhemmin.
2.3. SYKLISET RYHMÄT
73
[11]
[12]=[0]
[1]
[10]
[2]
[3]
[9]
[4]
[8]
[7]
[6]
[5]
Kuva 2.6: Ryhmä Z12 muistuttaa kellotaulua.
2.3.2
Syklisten ryhmien aliryhmät
Syklisten ryhmien rakenne tunnetaan tarkasti. Seuraavat lauseet osoittavat, että
sekä äärellisessä että äärettömässä tapauksessa on helppo luetella kaikki syklisen
ryhmän aliryhmät.
2.3.7 Lause. Syklisen ryhmän kaikki aliryhmät ovat syklisiä.
Todistus. Olkoon G syklinen ryhmä, jonka virittää alkio g. Oletetaan, että e on
ryhmän neutraalialkio. Olkoon H ryhmän G aliryhmä. Jos H = {e}, niin H on
alkion e virittämä ja väite pätee.
Oletetaan sitten, että aliryhmässä H on muitakin alkioita kuin neutraalialkio.
Koska H on syklisen ryhmän G osajoukko, niin sen alkiot ovat muotoa g k , missä k ∈ Z. Valitaan aliryhmän H alkioista se, jonka potenssi k on positiivisista
potensseista kaikkein pienin. Tulemme näkemään, että H = 3g k 4
Koska g k ∈ H ja 3g k 4 on kaikkein pienin aliryhmä, joka sisältää alkion g k , niin
3g 4 ⊂ H. Osoitetaan sitten, että H ⊂ 3g k 4. Olkoon h ∈ H. Nyt on olemassa
n ∈ Z, jolle pätee h = g n . Jakoyhtälön nojalla voimme kirjoittaa n = qk + r,
missä q, r ∈ Z ja 0 ≤ r < k. Tulemme osoittamaan, että r = 0, jolloin n = qk ja
h = (g k )q ∈ 3g k 4. Huomataan, että
k
g r = g n−qk = g n g −qk = h(g k )−q .
Koska h ∈ H ja (g k )−q ∈ H, niin g r ∈ H. Kuitenkin k on pienin positiivinen luku,
jolle pätee g k ∈ H, joten täytyy olla r = 0. Siten h = (g k )q ∈ 3g k 4 ja H ⊂ 3g k 4.
Syklisten ryhmien aliryhmiä voidaan havainnollistaa kaaviokuvalla. Jos syklistä ryhmää kuvataan ketjuna tai syklinä kuten luvussa 2.1, niin kunkin aliryhmän
74
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
alkiot muodostuvat alkioista, jotka ovat jonkin tietyn etäisyyden päässä toisistaan. Jos koko ryhmän virittäjä on alkio g, niin esimerkiksi alkion g 2 virittämän
aliryhmän alkiot saadaan hyppäämällä kahden askeleen päähän virittäjästä ja jatkamalla samaan tapaan eteenpäin. Tilannetta on havainnollistettu kuvissa 2.7 ja
2.8
g
-2
g
-1
g
e
g
2
g
3
g
4
g
5
g
6
Kuva 2.7: Alkion g 2 virittämä ryhmä on {g 2k | k ∈ Z}.
g
g2
g 8= e
g7
g
g
g
6
3
4
g5
Kuva 2.8: Myös äärellisen ryhmä tapauksessa alkion g 2 virittämä ryhmä on joukko
{g 2k | k ∈ Z}. Se muodostaa suljetun syklin.
Äärettömän syklisen ryhmän aliryhmät ovat virittäjän epänegatiivisten potenssien virittämiä.
2.3.8 Lause. Jos syklinen ryhmä G = 3g4 on ääretön, niin sen aliryhmät ovat
täsmälleen ryhmät 3g k 4, missä k ∈ {0, 1, 2, . . . }. Mitkään näistä aliryhmistä eivät
ole samoja.
Todistus. Lauseen 2.3.7 nojalla jokainen ryhmän G aliryhmä on muotoa 3g k 4, missä k ∈ Z. Huomataan, että g −k = (g k )−1 . Koska alkion ja sen käänteisalkion
virittämät aliryhmät ovat samat, niin alkiot g k ja g −k virittävät saman ryhmän.
Jokainen aliryhmä on siis muotoa 3g k 4, missä k ∈ {0, 1, 2, . . . }.
Toisaalta, jos 3g k 4 = 3g m 4 joillakin luvuilla k, m ∈ N, niin g k ∈ 3g m4. Tästä
seuraa, että g k = (g m )l = g ml jollakin l ∈ Z. Nyt g k g −lm = e, missä e on ryhmän
G neutraalialkio. Siten g k−lm = e. Koska virittäjän g kertaluku on ääretön, täytyy
olla k − lm = 0. Nyt tiedämme, että k = lm ja m jakaa luvun k. Samalla tavalla
voidaan osoittaa myös, että k jakaa luvun m. Koska k ja m ovat positiivisia lukuja,
2.3. SYKLISET RYHMÄT
75
pätee k = m. Siten kaikki muotoa 3g k 4 olevat aliryhmät, missä k ≥ 0, poikkeavat
toisistaan.
Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskuna, lause 2.3.8 kertoo, että
äärettömän syklisen ryhmän aliryhmät ovat ryhmät 3kg4, missä k on positiivinen.
Siten ryhmän Z aliryhmät ovat muotoa 3k · 14 = 3k4 = kZ, missä k on epänegatiivinen. Negatiivisia virittäjiä ei tarvitse ottaa huomioon, sillä 3k4 = 3−k4 kaikilla
k ∈ Z.
2.3.9 Korollaari. Ryhmän (Z, +) kaikki aliryhmät ovat muotoa kZ, missä k ∈ N.
Siirrytään sitten tarkastelemaan äärellisiä syklisiä ryhmiä. Tutkitaan aluksi
kahdeksanalkioista syklistä ryhmää G, jonka virittäjä on g. Alkion g kertaluku on
siis 8. Tiedämme, että ryhmän G aliryhmät ovat yhden alkion virittämiä. Millaisen
aliryhmä virittää vaikkapa alkio g 2? Huomataan, että
g 2 %= e,
(g 2)2 = g 4 =
% e,
2 3
6
% e ja
(g ) = g =
2 4
8
(g ) = g = e,
missä e on ryhmän G neutraalialkio. Siten alkion g 2 kertaluku on 4 ja sen virittämä aliryhmä on {e, g 2, g 4, g 6 }. Tilannetta voidaan havainnollistaa kaaviokuvalla,
jossa ryhmä G kuvataan kahdeksan alkion syklinä ja alkion g 2 potenssit saadaan
hyppimällä syklissä aina kahden askeleen verran eteenpäin. Näin saadaan aikaiseksi pienempi sykli. Alkion g 2 virittämä aliryhmän muodostavat tuon pienemmän
syklin alkiot (katso kuva 2.9).
Alkion g 4 kertaluvuksi havaitaan kaksi, sillä g 4 %= e ja (g 4 )2 = g 8 = e. Sen
virittämässä aliryhmässä on siis kaksi alkiota.
Tutkitaan sitten alkion g 6 virittämää aliryhmää. Koska
g 6 %= e,
(g 6)2 = g 12 = g 8 g 4 = g 4 %= e,
(g 6)3 = g 18 = g 16 g 2 = g 2 %= e ja
(g 6)4 = g 24 = g 8 g 8 g 8 = e,
niin alkion g 6 kertaluku on 4. Huomataan, että sen virittämässä aliryhmässä ovat
täsmälleen samat alkiot kuin aliryhmässä 3g 24. Alkion g 3 kertaluku puolestaan on
76
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
8, sillä
g 3 %= e,
(g 3 )2 = g 6 %= e,
(g 3 )3 = g %= e,
(g 3 )4 = g 4 %= e,
(g 3)5
(g 3)6
(g 3)7
(g 3)8
= g7 =
% e,
2
=g =
% e,
5
=g =
% e,
= e.
Huomataan, että alkio g 3 virittää koko ryhmän G.
g
g
g
g 8= e
2
g7
g
3
g
g5
g
g
g
2
g7
g3
g
g4
6
g5
3
g4
g6
g5
g 8= e
2
g7
g4
g6
g
g 8= e
g2
g 8= e
g7
g3
g
g4
6
g5
Kuva 2.9: Kuvassa on esitetty ryhmän 3g4 neljä aliryhmää. Niiden virittäjät ovat
g 2, g 4 , g 6 ja g 3.
Edellä käsitelty esimerkki antaa vihjeen siitä, että ryhmän 3g m 4 alkiot ja kertaluku määräytyvät sen mukaan, mikä luku potenssina m on.
2.3.10 Lemma. Olkoon G = 3g4 syklinen ryhmä, jossa on n alkiota. Jos m ∈ Z,
niin 3g m4 = 3g d 4, missä d = syt(n, m).
Todistus. Olkoon m jokin kokonaisluku ja merkitään d = syt(n, m). Nyt on olemassa sellainen kokonaisluku k, että m = kd. Koska g m = (g d )k , niin g m ∈ 3g d 4.
Aliryhmä 3g m 4 on kuitenkin pienin aliryhmä, joka sisältää alkion g m , joten täytyy
päteä 3g m 4 ⊂ 3g d 4.
2.3. SYKLISET RYHMÄT
77
Lauseen 2.2.4 nojalla on olemassa kokonaisluvut a ja b, joille pätee d = an+bm.
Nyt nähdään, että
g d = g an+bm = g an g bm = (g n )a (g m )b = ea (g m )b = (g m )b ,
missä e on ryhmän G neutraalialkio. Siten g d ∈ 3g m 4. Aliryhmä 3g d4 on pienin
aliryhmä, joka sisältää alkion g d , joten voimme päätellä, että 3g d 4 ⊂ 3g m4. Siten
väite on todistettu.
2.3.11 Lause. Oletetaan, että G on ryhmä ja g ∈ G. Jos alkion g kertaluku on
n, niin alkion g m kertaluku on n/ syt(n, m) kaikilla m ∈ Z.
Todistus. Oletetaan, että m ∈ Z ja merkitään d = syt(n, m). Nyt on olemassa
sellainen a ∈ Z, että n = ad. Lemman 2.3.10 nojalla alkioiden g m ja g d virittämät
aliryhmät ovat samat, joten näiden alkioiden kertaluvut ovat myös samat. Riittää
siis osoittaa, että alkion g d kertaluku on n/d = a.
Ensinnäkin huomataan, että (g d )a = g n = e, missä e on ryhmän G neutraalialkio. Toisaalta millään lukua a pienemmällä positiivisella potenssilla ei saada
neutraalialkiota. Jos nimittäin b < a, niin db < n ja siksi (g d )b = g db %= e.
Siten a on pienin positiivinen luku, jolle pätee (g d )a = e. Lauseen 2.1.8 nojalla
luku a = n/ syt(n, m) on alkion g d kertaluku.
Lauseesta seuraa, että alkio g m virittää ryhmän 3g4 täsmälleen silloin, kun
syt(n, m) = 1, missä n on alkion g kertaluku. Alkio nimittäin virittää koko ryhmän
jos ja vain jos sen kertaluku on sama kuin ryhmän kertaluku.
2.3.12 Lause. Olkoon G = 3g4 äärellinen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n.
Sen aliryhmät ovat ryhmät 3g d4, missä d on luvun n tekĳä. Eri tekĳöitä vastaavat
aliryhmät poikkeavat toisistaan.
Todistus. Lauseen 2.3.7 nojalla jokainen ryhmän G aliryhmä on muotoa 3g m4,
missä m ∈ Z. Lemmasta 2.3.10 puolestaan seuraa, että 3g m 4 = 3g d4 kaikilla m ∈ Z,
missä d = syt(n, m). Siten kaikki aliryhmät saadaan tutkimalla luvun n tekĳöitä.
Jos d on luvun n tekĳä, niin syt(n, d) = d. Lauseen 2.3.11 nojalla aliryhmän
3g d4 kertaluku on n/d. Näemme, että luvun n eri tekĳöitä vastaavat aliryhmät
ovat eri kokoisia, joten niiden kaikkien täytyy poiketa toisistaan.
Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskulla, aliryhmät ovat muotoa
3dg4, missä d on luvun n tekĳä.
Huomaa, että kaikki muotoa 3g k 4 olevat ryhmät ovat tietenkin äärellisen syklisen ryhmän G = 3g4 aliryhmiä. Osa näistä vain on keskenään samoja. Lause 2.3.12
78
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
osoittaa, että kaikki aliryhmät löydetään pelkästään alkion g kertaluvun tekĳöitä
tarkastelemalla. Muut aliryhmät osoittautuvat samoiksi kuin nämä aliryhmät.
2.3.13 Esimerkki. Etsitään lauseen 2.3.12 avulla ryhmän Z6 aliryhmät. Koska
kertaluvun 6 tekĳöitä ovat 1, 2, 3 ja 6, niin aliryhmiä on neljä. Ne ovat
31 · [1]6 4 = 3[1]6 4 = Z6 ,
32 · [1]6 4 = 3[2]6 4 = {[0]6 , [2]6 , [4]6 },
33 · [1]6 4 = 3[3]6 4 = {[0]6 , [3]6 },
36 · [1]6 4 = 3[6]6 4 = 3[0]6 4 = {[0]6 }.
Luku 4 ei jaa ryhmän kertalukua 6, joten alkion 4 · [1]6 = [4]6 virittämää aliryhmää ei tarvinnut ottaa yllä huomioon. Havaitaan, että 3[4]6 4 = {[4]6 , [2]6 , [0]6 }.
Tämä aliryhmä on jo listattu, sillä se on alkion [2]6 virittämä. Alkion 5 · [1]6 = [5]6
virittämä aliryhmä on puolestaan sama kuin alkion [1]6 virittämä aliryhmä.
Kuvassa 2.10 on esitetty joitakin aliryhmistä.
[1]
[1]
[0]
[2]
[0]
[2]
[5]
[3]
[5]
[3]
[4]
[4]
[1]
[1]
[0]
[2]
[0]
[2]
[5]
[3]
[5]
[3]
[4]
[4]
Kuva 2.10: Ryhmän Z6 aliryhmät 3[2]4, 3[3]4, 3[4]4 ja 3[5]4.
2.3.14 Esimerkki. Tutkitaan kompleksilukujen osajoukkoa H = {1, −1, i, −i},
joka on ryhmä kertolaskun suhteen. Sen virittäjä on i ja kertaluku neljä. Luvun 4
2.3. SYKLISET RYHMÄT
79
tekĳät ovat 1, 2 ja 4, joten ryhmällä H on yhteensä kolme aliryhmää. Ensimmäinen
niistä on alkion i1 = i virittämä. Tämä aliryhmä on tietenkin koko ryhmä H.
Toinen aliryhmä on alkion i2 = −1 virittämä. Koska (−1)2 = 1, alkion −1
kertaluku on kaksi. Sen virittämässä aliryhmässä ovat siis alkiot 1 ja −1. Kolmas
aliryhmä on alkion i4 = 1 virittämä. Se on luonnollisesti aliryhmä {1}.
Siten ryhmän H aliryhmät ovat H, {1, −1} ja {1}.
Osoitetaan vielä lopuksi lemma, joka saattaa toisinaan helpottaa alkion kertaluvun löytämistä.
2.3.15 Lemma. Olkoon G ryhmä, jonka neutraalialkio on e. Oletetaan, että g ∈
G. Jos g m = e, niin alkion g kertaluku jakaa luvun m.
Todistus. Oletetaan, että alkion g kertaluku on n ja g m = e. Jakoalgoritmin nojalla
on olemassa kokonaisluvut q ja r, joille pätee m = qn + r ja 0 ≤ r < k. Osoitetaan,
että r = 0, jolloin m = qn.
Huomataan, että
g r = g m−qn = g m g −qn = e(g n )−q = e−q = e.
Siten olemme löytäneet luvun r ≥ 0, joka on pienempi kuin n ja jolle pätee g r = e.
Lauseen 2.1.8 nojalla kertaluku n on pienin positiivinen luku, jolle pätee g n = e.
Voidaan siis päätellä, että r = 0.
Tästä seuraa, että m = qn + 0 = qn ja n jakaa luvun m.
Tiivistelmä
• Syklisen ryhmän kaikki aliryhmät ovat syklisiä.
• Jos ryhmä G = 3g4 on ääretön, niin sen aliryhmät ovat muotoa 3g k 4, missä
k ∈ N. Kaikki nämä aliryhmät poikkeavat toisistaan.
• Jos ryhmä G = 3g4 on äärellinen, niin sen aliryhmät ovat muotoa 3g k 4, missä
k on luvun n tekĳä.
• Jos alkion g kertaluku on n, niin alkion g m kertaluku on n/ syt(n, m).
• Jos g m = e, niin alkion g kertaluku on luvun m tekĳä.
80
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
2.4
Työkalu: Ekvivalenssirelaatio
Matematiikassa relaatioilla kuvataan olioiden välisiä suhteita. Sanotaan, että olio
on relaatiossa toisen kanssa, jos ne toteuttavat tietyn ehdon. Tuttu esimerkki relaatiosta
on reaalilukujen
luvun
√
√ järjestysrelaatio ≤. Esimerkiksi luku 1 on relaatiossa
√
2 kanssa, sillä 1 ≤ 2. Luku 2 puolestaan ei ole relaatiossa luvun 2 kanssa.
Sanomme, että R on joukon A relaatio, jos jokaiselle A:n alkioparille (a, b) on
määritelty, onko a relaatiossa b:n kanssa. Jos a on relaatiossa b kanssa, merkitään
aRb. Tarkalleen ottaen joukon A (kaksipaikkainen) relaatio on sen karteesisen
tulon A×A osajoukko. Jos R on relaatio, niin ehto aRb merkitsee sitä, että (a, b) ∈
R. Usein relaatiota merkitään kirjaimen R sĳasta jollakin symbolilla, esimerkiksi
≤, ⊂ tai ∼.
Relaatioiden erikoistapaus on ekvivalenssirelaatio, jolla on algebrassa tärkeä
rooli. Sitä voidaan käyttää olioiden luokittelemiseen.
Tarkastellaan esimerkkiä luokittelusta tutkimalla Suomen asukkaiden muodostamaa joukkoa. Suomessa on noin 5 miljoonaa asukasta, mutta heidät voidaan jakaa karkeasti ryhmiin maakuntien mukaan. Jokainen ihminen on erilainen yksilö,
mutta esimerkiksi hänen puhetavastaan, luonteenpiirteistään ja ruokatottumuksistaan voidaan sanoa paljon asuinmaakunnan perusteella. (Tässä oletetaan, että
maakuntien rajat ovat selvät.) Matemaattisesti voidaan sanoa, että samassa maakunnassa asuvat ihmiset ovat keskenään ekvivalentteja.
Suomen asukkaat
Kymi
Satakunta
Häme
jne
Karjala
Kuva 2.11: Maakuntien muodostama ositus Suomen asukkaiden joukossa.
Ekvivalenssin käsitteellä on muutamia ominaisuuksia, jotka luonnehtivat sitä.
Maakuntaesimerkin tapauksessa ne voidaan ilmaista seuraavasti.
1. Jokainen ihminen asuu samassa maakunnassa itsensä kanssa. Jokainen on
siis itsensä kanssa ekvivalentti.
2. Jos Niina asuu Pekan kanssa samassa maakunnassa, niin Pekka asuu Niinan
kanssa samassa maakunnassa. Ekvivalenttius on siis symmetristä.
2.4. TYÖKALU: EKVIVALENSSIRELAATIO
81
3. Jos Niina asuu Pekan kanssa samassa maakunnassa ja Pekka asuu Tainan
kanssa samassa maakunnassa, niin Niina asuu Tainan kanssa samassa maakunnassa.
2.4.1 Määritelmä. Olkoon R joukon A relaatio. Kyseessä on ekvivalenssirelaatio,
jos R toteuttaa seuraavat ehdot kaikilla a, b, c ∈ A:
1. aRa (refleksiivisyys)
2. Jos aRb, niin bRa (symmetrisyys)
3. Jos aRb ja bRc, niin aRc (transitiivisuus).
Suomen asukkaiden joukossa voidaan siis määritellä ekvivalenssirelaatio
a ∼ b ⇐⇒ a asuu samassa maakunnassa kuin b.
2.4.2 Esimerkki.
• Reaalilukujen joukon järjestysrelaatio < on transitiivinen: jos a < b ja b < c,
niin a < c. Relaatio ei kuitenkaan ole refleksiivinen eikä symmetrinen, eikä
se siksi ole ekvivalenssirelaatio.
• Joukon A potenssĳoukossa P(A) voidaan määritellä sisältyvyysrelaatio ⊂.
Relaatio on refleksiivinen ja transitiivinen, mutta se ei ole symmetrinen. Esimerkiksi ∅ ⊂ A, mutta A %⊂ ∅. Kyseessä ei siis ole ekvivalenssirelaatio.
• Olkoon L kaikkien tason suorien joukko. Määritellään ∼ seuraavasti:
l1 ∼ l2 jos ja vain jos suora l1 on yhdensuuntainen suoran l2 kanssa.
Osoitetaan, että kyseessä on ekvivalenssirelaatio. Jokainen suora on yhdensuuntainen itsensä kanssa, joten relaatio on refleksiivinen. Jos suora l1 on
yhdensuuntainen suoran l2 kanssa, niin luonnollisesti suora l2 on yhdensuuntainen suoran l1 kanssa ja siten relaatio on symmetrinen. Jos suorat l1 ja l2
ovat yhdensuuntaisia ja suorat l2 ja l3 ovat yhdensuuntaisia, niin l1 ja l3 ovat
yhdensuuntaisia. Siten relaatio on myös transitiivinen.
Olkoon ∼ joukon A ekvivalenssirelaatio. Oletetaan, että a ∈ A. Niiden alkoiden joukkoa, jotka ovat ekvivalenssirelaatiossa alkion a kanssa, kutsutaan a:n
ekvivalenssiluokaksi ja merkitään [a]∼ . Toisin sanoen
[a]∼ = {b ∈ A | b ∼ a}.
82
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
[d]
[b]
b
[e]
d
[a]
a
e
c
[c]
Kuva 2.12: Ekvivalenssiluokkia ja niiden edustajia.
Jos asiayhteydestä on selvää, mikä ekvivalenssirelaatio on kyseessä, voidaan alaindeksi jättää merkitsemättä ja kirjoittaa [a]∼ = [a]. Alkiota a kutsutaan sen ekvivalenssiluokan [a]∼ edustajaksi. Ekvivalenssiluokkien joukkoa merkitään A/ ∼.
Maakuntaesimerkissä samassa maakunnassa asuvat ihmiset muodostavat yhden ekvivalenssiluokan. Maakuntien asukkaat ovat ekvivalenssiluokkien edustajia.
Esimerkin 2.4.2 suorien ekvivalenssirelaatiossa suoran l ekvivalenssiluokassa
ovat kaikki suorat, jotka ovat yhdensuuntaisia suoran l kanssa. Kussakin ekvivalenssiluokassa ovat siis kaikki keskenään yhdensuuntaiset suorat. Ekvivalenssiluokan edustajaksi voidaan valita suorista vaikkapa se, joka kulkee origon kautta.
Maakuntaesimerkissä on selvää, että jos Niina asuu Pekan kanssa samassa maakunnassa, niin Niinan edustama maakunta on sama kuin Pekan edustama maakunta. Seuraava lemma osoittaa saman asian yleisessä tapauksessa.
2.4.3 Lemma. Olkoon ∼ joukon A ekvivalenssirelaatio. Jos a ∈ [b] joillakin alkioilla a, b ∈ A, niin [a] = [b].
Todistus. On osoitettava, että [a] ⊂ [b] ja [b] ⊂ [a]. Oletetaan aluksi, että c ∈ [a],
jolloin c ∼ a. Koska a ∈ [b], niin a ∼ b. Transitiivisuuden nojalla c ∼ b. Siten
tiedämme, että c ∈ [b] ja [a] ⊂ [b]. Oletetaan sitten, että c ∈ [b]. Nyt c ∼ b. Koska
a ∈ [b], niin a ∼ b. Symmetrisyyden nojalla b ∼ a ja transitiivisuudesta seuraa
edelleen, että c ∼ a. Siten c ∈ [a] ja [b] ⊂ [a].
2.4.4 Esimerkki. Olkoot (x1 , x2 ) ja (y1 , y2 ) reaalilukupareja. Määritellään
(x1 , x2 ) ∼ (y1 , y2 ) jos ja vain jos x21 + y12 = x22 + y22 .
Kyseessä on tason R×R ekvivalenssirelaatio. Pisteen (0, 1) kanssa samassa ekvivalenssiluokassa ovat kaikki pisteet (x, y), joille pätee x2 +y 2 = 1. Ekvivalenssiluokka
on siis origokeskinen ympyrä, jonka säde on 1. Pisteen (2, 0) kanssa samassa ekvivalenssiluokassa ovat puolestaan kaikki pisteet (x, y), joille pätee x2 + y 2 = 4.
2.4. TYÖKALU: EKVIVALENSSIRELAATIO
83
Kyseessä on siis ympyrä, jonka säde on 2. Huomataan, että kaksi pistettä ovat samassa ekvivalenssiluokassa jos ja vain jos ne ovat samansäteisen ympyrän kehällä.
Parin
+ (x, y) edustama ekvivalenssiluokka on siis origokeskinen ympyrä, jonka säde
on x2 + y 2 .
2.4.5 Esimerkki. Määritellään joukon N × N relaatio ∼ seuraavalla tavalla:
(a, b) ∼ (c, d) jos ja vain jos a + d = b + c.
Osoitetaan ensin, että kyseesä on ekvivalenssirelaatio. Kaikilla pareilla (a, b) pätee
a + b = a + b, joten relaatio on refleksiivinen. Jos (a, b) ∼ (c, d), niin a + d =
b + c. Tästä seuraa, että c + b = d + a ja edelleen (c, d) ∼ (a, b). Relaatio on siis
symmetrinen. Oletetaan vielä lopuksi, että (a, b) ∼ (c, d) ja (c, d) ∼ (e, f ). Nyt
a + d = b + c ja c + f = d + e, joten tiedämme, että a + d + c + f = b + c + d + e.
Siten a + f = b + e ja (a, b) ∼ (e, f ). Relaatio on siis transitiivinen.
Parin (a, b) ekvivalenssiluokassa ovat sellaiset parit (c, d), joille pätee a + d =
b + c. Tämä ehto voidaan muuttaa muotoon a − b = c − d. Jos a − b = k, niin
parin (a, b) ekvivalenssiluokassa ovat kaikki ne parit, joilla ensimmäisen ja toisen
komponentin erotus on k. Samastamalla parin (a, b) ekvivalenssiluokka luvun k
kanssa, voidaan ekvivalenssiluokkien joukon ajatelle vastaavan kokonaislukujen
joukkoa.
2.4.6 Esimerkki. Olkoon n ≥ 1 luonnollinen luku. Määritellään kokonaisluvuille
relaatio ∼ seuraavasti:
a ∼ b jos ja vain jos n | (a − b).
Kyseistä relaatiota kutsutaan kongruenssiksi ja sitä on käsitelty luvussa 2.2. Se on
ekvivalenssirelaatio. Luvun a ekvivalenssiluokka on joukko {a + kn | k ∈ Z}.
Maakuntien tapauksessa huomataan, että jokainen ihminen kuuluu täsmälleen
yhteen maakuntaan. Maakunnat peittävät Suomen asukkaiden joukon siis kokonaan, eivätkä mene päällekäin. Tämä pätee kaikille ekvivalenssirelaatioille ja niiden
ekvivalenssiluokille.
2.4.7 Lause. Olkoon ∼ joukon A ekvivalenssirelaatio, jolla on ekvivalenssiluokat
Ci , i ∈ I. Tällöin
!
Ci
ja
Ci ∩ Cj = ∅ kun i %= j.
A=
i∈I
Epätyhjien osajoukkojen kokoelmaa, joka toteuttaa lauseessa mainitun ominaisuuden, kutsutaan ositukseksi. Toisin sanoen ositus on joukon jako erillisiksi
epätyhjiksi osajoukoiksi.
84
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Todistus. Oletetaan, että a ∈
[a] alkio.,Koska [a] =
,A. Nyt a on ekvivalenssiluokan
,
Ci jollakin,i ∈ I, niin a ∈ i∈I Ci . Siten A ⊂ i∈I Ci . Selvästikin i∈I Ci ⊂ A,
joten A = i∈I Ci .
On vielä osoitettava, että kaikki ekvivalenssiluokat ovat erillisiä. Olkoon i %= j.
Oletetaan vastoin väitettä, että on olemassa c ∈ Ci ∩ Cj . Koska Ci ja Cj ovat
ekvivalenssiluokkia, niin on olemassa a, b ∈ A, joille pätee Ci = [a] ja Cj = [b].
Koska c ∈ [a], niin c ∼ a, ja koska c ∈ [b], niin c ∼ b. Symmetrisyyden ja
transitiivisuuden nojalla a ∼ b. Tämä tarkoittaa sitä, että a ∈ [b], joten lemman
2.4.3 nojalla [a] = [b]. Siten Ci = Cj . Tämä on ristiriita, joten väite on todistettu.
A
C2
C1
C4
C3
C5
Kuva 2.13: Joukon A ositus osajoukoihin C1 , C2 , C3 , C4 , C5.
Myös käänteinen väite pätee. Jokaisesta osituksesta saadaan ekvivalenssirelaatio. Suomen maakuntien tapauksessa ositus on maakuntien joukko, ja siitä saatu
ekvivalenssirelaatio on
a ∼ b ⇐⇒ a asuu samassa maakunnassa kuin b.
2.4.8 Lause. Olkooon joukko A yhdiste erillisistä osajoukoista Ci %= ∅, i ∈ I, eli
!
Ci
ja
Ci ∩ Cj = ∅ kun i %= j.
A=
i∈I
Määritellään relaatio ∼ seuraavasti:
a ∼ b ⇐⇒ a kuuluu b:n kanssa samaan osajoukkoon Ci jollakin i.
Tällöin ∼ on ekvivalenssirelaatio.
Todistus. Olkoon a ∈ A ja oletetaan, että i ∈ I on sellainen, että a ∈ Ci . Selvästikin a kuuluu itsensä kanssa samaan osajoukkoon Ci , joten a ∼ a. Jos a, b ∈ A ja
a ∼ b, niin a on samassa osajoukossa kuin b. Tällöin tietenkin myös b on samassa
osajoukossa kuin a, joten b ∼ a. Lopuksi huomataan vielä, että jos a on samassa
osajoukossa kuin b ja b samassa osajoukossa kuin c, niin a on samassa osajoukossa
kuin c. Siten ∼ on ekvivalenssirelaatio.
2.4. TYÖKALU: EKVIVALENSSIRELAATIO
85
Lauseet 2.4.7 ja 2.4.8 osoittavat, että ositukset ja ekvivalenssirelaatiot ovat
pohjimmiltaan sama asia. Jos halutaan määritellä relaatio, joka luokittelee olioita
erillisiin osajoukkoihin, niin relaation on täytettävät täsmälleen ne ehdot, jotka
annetaan ekvivalenssirelaation määritelmässä.
86
2.5
2.5.1
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
Sivuluokat ja Lagrangen lause
Sivuluokat
Ryhdymme seuraavaksi luokittelemaan ryhmien alkioita helposti käsiteltäviksi kokonaisuuksiksi. Tällä tavoin voimme jättää yksityiskohtia huomiotta silloin, kun
niiden tarkasteluun ei ole tarvetta.
Esimerkiksi kokonaislukujen tapauksessa näemme helposti mistä tahansa luvusta, onko se parillinen vai pariton. Edelleen osaamme sanoa lukuja laskematta,
onko niiden summa parillinen vai pariton. Lasku
9034875098734025983457 + 4572049879482570948
on työläs suorittaa, mutta on helppo sanoa, onko sen tulos parillinen vai pariton.
Olemme siis jakaneet kokonaisluvut kahteen luokkaan, parillisiin ja parittomiin.
Kaikkien lukujen sĳasta voimme tarkastella vain näitä kahta luokkaa, ja jopa
määritellä niiden laskutoimituksen (parillinen+parillinen = parillinen, parillinen+
pariton = pariton jne.).
Itse asiassa yllä kokonaisluvut on jaettu jäännösluokkiin modulo 2. Parillisten
lukujen joukko on jäännösluokka [0]2 ja parittomien lukujen joukko jäännösluokka [1]2 . Kongruensseja tarkasteltaessa huomasimme, että ne antavat tehokkaan
työkalun lukujen jakojäännösten määrittämiseen. Tarpeettomien yksityiskohtien
unohtaminen helpottaakin monien pulmien ratkaisemista. Siksi haluamme yleistää kokonaislukujen jäännösluokkien käsitteen muihinkin ryhmiin.
Luvussa 2.2 jäännösluokat määriteltiin jakojäännösten ja kongruenssien avulla.
Niitä voi kuitenkin lähestyä myös toisesta näkökulmasta. Jos H on ryhmän (Z, +)
aliryhmä ja a ∈ Z, merkitään
a + H = {a + h | h ∈ H}.
Esimerkiksi jäännösluokat modulo 3 voidaan nyt kirjoittaa aliryhmän 3Z avulla.
Huomataan nimittäin, että
[0]3 = 3Z,
[1]3 = 1 + 3Z ja
[2]3 = 2 + 3Z.
Osoittautuu, että tätä ideaa voidaan soveltaa koskemaan mitä tahansa ryhmää ja
sen aliryhmää.
2.5. SIVULUOKAT JA LAGRANGEN LAUSE
87
Z
1+3Z
3Z
2+3Z
Kuva 2.14: Kokonaislukujen jako kolmeen luokkaan
2.5.1 Määritelmä. Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. Määritellään
aH = {ah | h ∈ H}.
Joukkoa aH kutsutaan aliryhmän H vasemmaksi sivuluokaksi ja alkiota a sivuluokan edustajaksi. Vasempien sivuluokkien joukkoa merkitään
G/H = {aH | a ∈ G},
Jos ryhmän laskutoimitusta merkitään yhteenlaskulla, on alkion a sivuluokka
a + H.
Huomaa, että myös aliryhmä H itse on yksi sivuluokista. Se on nimittäin sivuluokka eH, missä e on ryhmän G neutraalialkio.
2.5.2 Esimerkki. Ryhmän (Z, +) aliryhmän nZ sivuluokat ovat jäännösluokat
modulo n. Sivuluokka k + nZ on jäännösluokka [k]n . Sivuluokkien joukko Z/nZ
on jäännösluokkien joukko Zn .
G
dH
cH
H
aH
bH
Kuva 2.15: Aliryhmän H sivuluokat H, aH, bH, cH ja dH
Käy ilmi, että sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen. Niiden avulla voidaan siis järjestää ryhmän alkiota erillisiin luokkiin. Ositusta on helpointa lähestyä
tarkastelemalla siihen liittyvää ekvivalenssirelaatiota.
Palataan takaisin jäännösluokkiin. Ne ovat kongruenssirelaation ekvivalenssiluokkia. Yllä ilmaisimme jäännösluokat modulo 3 aliryhmän 3Z avulla, ja samalla
88
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
tavalla kongruenssi voidaan kirjoittaa tätä aliryhmää käyttäen. Huomataan nimittäin, että
a ≡ b (mod 3) ⇐⇒ −a + b ∈ 3Z.
Jos vaihdamme yhteenlaskumerkinnät kertolaskuksi ja korvaamme ryhmät Z
ja 3Z mielivaltaisilla ryhmillä, muuttuu ekvivalenssirelaatio alla olevassa lauseessa
esitettyyn muotoon.
2.5.3 Lemma. Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. Määritellään G:n relaatio ∼
seuraavasti:
a ∼ b ⇐⇒ a−1 b ∈ H.
Relaatio ∼ on ekvivalenssirelaatio.
Todistus. Olkoon a ∈ G. Koska H on aliryhmä, niin a−1 a = e ∈ H. Siten a ∼ a,
ja relaatio on refleksiivinen.
Olkoot a, b ∈ G. Jos a ∼ b, niin a−1 b ∈ H. Nyt b−1 a = (a−1 b)−1 . Koska H on
aliryhmä, tiedämme, että (a−1 b)−1 ∈ H. Siten b ∼ a, ja relaatio on symmetrinen.
Oletetaan, että a, b, c ∈ G. Jos a ∼ b ja b ∼ c, niin a−1 b ∈ H ja b−1 c ∈ H. Nyt
a−1 c = (a−1 b)(b−1 c). Joukko H on aliryhmä, joten (a−1 b)(b−1 c) ∈ H. Siten a ∼ c,
ja relaatio on transitiivinen.
Relaatio ∼ on siis ekvivalenssirelaatio.
Osoitetaan sitten, että edellisen lemman määrittelemä ekvivalenssirelaatio antaa ositukseksi H:n sivuluokkien joukon.
2.5.4 Lemma. Lemmassa 2.5.3 määritellyssä ekvivalenssirelaatiossa ∼ alkion a
ekvivalenssiluokka on sivuluokka aH.
Todistus. Olkoon [a] alkion a ekvivalenssiluokka. Oletetaan ensin, että b ∈ [a].
Nyt a ∼ b, joten määritelmän mukaan a−1 b ∈ H. Tämä tarkoittaa sitä, että on
olemassa sellainen h ∈ H, että a−1 b = h. Siten b = ah ja edelleen b ∈ aH. Olemme
siis osoittaneet, että [a] ⊂ aH.
Oletetaan sitten, että b ∈ aH. Nyt on olemassa sellainen h ∈ H, että b = ah.
Tällöin a−1 b = h ∈ H, mistä seuraa a ∼ b. Siten aH ⊂ [a].
Ekvivalenssirelaation määrittävä ehto voidaan ilmaista monessa eri muodossa.
2.5. SIVULUOKAT JA LAGRANGEN LAUSE
89
2.5.5 Lemma. Oletetaan, että G on ryhmä, jolla on aliryhmä H. Olkoot a, b ∈ G.
Seuraavat ehdot ovat yhtäpitävät:
a)
b)
c)
d)
a−1 b ∈ H,
a ∈ bH,
b ∈ aH,
aH = bH.
Eräs lemman seuraus on, että a ∈ H jos ja vain jos aH = H.
Todistus. Väite seuraa suoraan siitä, että sivuluokat ovat ekvivalenssiluokkia lemman 2.5.3 määrittämässä ekvivalenssirelaatiossa. Jos esimerkiksi a−1 b ∈ H, niin
a ∼ b. Siten a kuuluu alkion b ekvivalenssiluokkaan bH. Jos taas a ∈ bH, niin a on
alkion b ekvivalenssiluokassa. Nyt tiedämme, että a ∼ b eli a−1 b ∈ H. Siten ehdot
a) ja b) ovat yhtäpitävät. Todistuksen loppu jätetään harjoitustehtäväksi.
Edellä käsiteltyjen lemmojen tuloksena saamme seuraavan lauseen.
2.5.6 Lause. Jos G on ryhmä ja H sen aliryhmä, niin sivuluokkien joukko G/H
muodostaa ryhmän G osituksen. Alkiot a ja b ovat samassa sivuluokassa jos ja
vain jos a−1 b ∈ H.
dH
d
cH
c
H
e
a
a’
aH = a’H
b
bH
Kuva 2.16: Aliryhmän H sivuluokat ja niiden edustajia
Huomaa, että aiemman esimerkin tapauksessa saamme osituksen jo kolmesta
sivuluokasta 3Z, 1+3Z ja 2+3Z. Lauseessa 2.5.6 kuitenkin sanotaan, että kaikkien
sivuluokkien joukon pitäisi muodostaa ositus. Mitä tapahtui muille sivuluokille,
esimerkiksi sivuluokalle 3 + 3Z? Koska 3 ∈ 3Z, lemmasta 2.5.5 seuraa, että alkion
3 edustama sivuluokka on 3Z. Lemman nojalla siis pätee 3 + 3Z = 3Z. Samalla
tavoin nähdään, että 4 + 3Z = 1 + 3Z ja 5 + 3Z = 2 + 3Z. Sama sivuluokka voidaan
siis kirjoittaa monella eri tavalla aivan niin kuin jäännösluokatkin.
90
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
2.5.7 Esimerkki. Tutkitaan ryhmän S3 aliryhmän A = {(1), (123), (132)} vasempia sivuluokkia. Listataan kaikki mahdolliset sivuluokat:
(1)A = {(1), (123), (132)}
(123)A = {(123), (132), (1)}
(132)A = {(132), (1), (123)}
(12)A = {(12), (23), (13)}
(13)A = {(13), (12), (23)}
(23)A = {(23), (13), (12)}.
Huomataan, että kolme ensimmäistä sivuluokkaa ovat samat ja toisaalta kolme
viimeistä sivuluokkaa ovat samat. Siten sivuluokkia on täsmälleen kaksi kappaletta: {(1), (123), (132)} ja {(12), (23), (13)}. Ensimmäinen sivuluokista on aliryhmä A. Toisen edustajaksi voidaan valita vaikkapa alkio (12). Tällöin saadaan
S3 /A = {A, (12)A}.
Tarkastellaan sitten aliryhmän B = {(1), (12)} vasempia sivuluokkia. Huomataan, että
(1)B = {(1), (12)}
(123)B = {(123), (13)}
(132)B = {(132), (23)}.
Koska näissä sivuluokissa on yhteensä kuusi alkiota, sisältävät ne kaikki ryhmän
S3 alkiot. Sivuluokat muodostavat osituksen, joten sivuluokkia ei ole enempää kuin
nämä kolme. Siten S3 /B = {B, (123)B, (132)B}.
(1)
(12)
(1)
(12)
(123)
(13)
(123)
(13)
(132)
(23)
(132)
(23)
Kuva 2.17: Aliryhmien {(1), (12)} ja {(1), (123), (132)} sivuluokat ryhmässä S3
Esimerkeistä huomataan, miten aliryhmän sivuluokkia kannattaa lähteä etsimään pienen äärellisen ryhmän tapauksessa. Yksi sivuluokista on aina aliryhmä
H itse. Jos a ∈ H, niin alkion a edustama sivuluokka on aH = H. Aliryhmän H
alkioista ei siis saada uusia sivuluokkia. Valitaan sitten jokin alkio b ∈
/ H ja määritetään sivuluokka bH. Tämän jälkeen ei tarvitse enää huolehtia sivuluokassa bH
olevista alkioista, vaan voidaan ottaa tarkasteluun jokin alkio c ∈
/ H ∪bH. Samaan
tapaan jatkamalla löydetään kaikki sivuluokat.
2.5. SIVULUOKAT JA LAGRANGEN LAUSE
91
2.5.8 Esimerkki. Tutkitaan ryhmän (Q, +) aliryhmän (Z, +) sivuluokkia. Esimerkiksi luvun 3/2 edustama sivuluokka on joukko
.
3
3
3
3
3
+ Z = . . . , −1 + , 0 + , 1 + , 2 + , . . .
2
2
2
2
2
.
1 3 5 7
= ..., , , , ,... .
2 2 2 2
Tämä on sama joukko kuin alkion 1/2 edustama sivuluokka. Huomataan, että
rationaaliluku n/m voidaan kirjoittaa muodossa a + k/m, missä a ja k ovat kokonaislukuja ja 0 ≤ k < m. (Tämä seuraa jakoyhtälöstä.) Tällöin luku n/m on
sivuluokassa k/m + Z. Sivuluokkia edustamaan voidaan siis valita sellaiset rationaaliluvut k/m, joille pätee 0 ≤ k < m.
Ositusta vastaava ekvivalenssirelaatio on m/n ∼ p/q ⇐⇒ m/n − p/q ∈ Z.
2.5.9 Esimerkki. Olkoon G ryhmä, jolla on neutraalialkio e. Millaisia ovat aliryhmän {e} vasemmat sivuluokat? Tiedämme, että alkiot a ja b ovat samassa
sivuluokassa jos ja vain jos a−1 b ∈ {e}. Tämä tapahtuu vain silloin, kun b = a.
Jokaisessa sivuluokassa on siten vain yksi alkio, ja siten sivuluokkien joukko on
G/{e} = {{g} | g ∈ G}.
Myös ryhmä G on itsensä aliryhmä. Millaisia ovat sen sivuluokat? Alkiot a ja
b ovat samassa sivuluokassa jos ja vain jos a−1 b ∈ G. Tämä ehto pätee kaikille G:n
alkioille, joten kaikki alkiot ovat keskenään samassa sivuluokassa. Sivuluokkia on
siis vain yksi, nimittäin G. Siten G/G = {G}.
G / {e}
G/G
Kuva 2.18: Ryhmän G triviaalit sivuluokat
Ryhmän G aliryhmälle H voidaan määritellä myös oikeat sivuluokat, jotka ovat
muotoa Ha. Ne ovat ekvivalenssirelaation
a ∼ b ⇐⇒ ab−1 ∈ H
92
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
ekvivalenssiluokkia. Oikeiden sivuluokkien joukkoa merkitään
H \ G = {Ha | a ∈ G}.
Vasemmat ja oikeat sivuluokat eivät välttämättä ole samat. Jos ryhmä on vaihdannainen, niin näin kuitenkin on, sillä aH = Ha kaikilla a ∈ G.
Tulemme näkemään, että sivuluokkien joukolle voidaan toisinaan määritellä
laskutoimitus samaan tapaan kuin jäännösluokkien joukolle Zn määriteltiin yhteenlasku. Aina tämä ei kuitenkaan onnistu. Asiaan palataan myöhemmin.
2.5.2
Lagrangen lause
Ryhmää S3 tarkasteltaessa huomattiin, että aliryhmän kaikissa sivuluokissa on
yhtä monta alkiota. Esimerkiksi aliryhmällä {(1), (12)} on kolme sivuluokkaa, ja
jokaisessa on kaksi alkiota. Koska sivuluokat ovat samankokoisia, niiden kertaluku
jakaa ryhmä S3 kertaluvun, joka on 6. Siten sekä sivuluokkien koko että määrä jakavat ryhmän kertaluvun. Tämä tulos pätee itse asiassa kaikilla äärellisillä
ryhmillä, ja siitä saadaan hyödyllinen työkalu ryhmien käsittelyyn.
Jos G on ryhmä ja H sen aliryhmä, niin H:n indeksiksi kutsutaan sen vasempien sivuluokkien määrää. Indeksiä merkitään [G : H].
2.5.10 Lause (Lagrange). Olkoon G äärellinen ryhmä ja H ≤ G. Aliryhmän H
kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun, ja
[G : H] =
|G|
.
|H|
Todistus. Osoitetaan ensin, että [G : H] = |G|/|H|. Tästä seuraa suoraan, että
aliryhmän H kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun.
Koska sivuluokat muodostavat ryhmän G osituksen, riittää osoittaa, että jokaisessa sivuluokassa on yhtä monta alkiota. Tämä tehdään osoittamalla, että kahden
sivuluokan välille voidaan aina määritellä bĳektio. On itse asiassa vain osoitettava,
että sivuluokan H ja minkä tahansa muun sivuluokan välille saadaan bĳektio.
Olkoon aH jokin sivuluokka. Määritellään f : H → aH, f (x) = ax kaikilla
x ∈ H, ja osoitetaan, että kuvaus on bĳektio. Helpoin tapa tämän osoittamiseksi
on löytää kuvaukselle f käänteiskuvaus. Määritellään g : aH → H, g(x) = a−1 x
kaikilla x ∈ aH. Huomataan, että
f (g(x)) = f (a−1 x) = aa−1 x = x
2.5. SIVULUOKAT JA LAGRANGEN LAUSE
93
ja
g(f (x)) = g(ax) = a−1 ax = x.
Siten g on kuvauksen f käänteiskuvaus, ja f on bĳektio.
G
H aH bH cH dH
Kuva 2.19: Aliryhmän H kertaluku jakaa ryhmän G kertaluvun
Myös kaikki oikeat sivuluokat ovat keskenään samankokoisia, ja niiden lukumäärä jakaa ryhmän kertaluvun. Jos Lagrangen lauseen todistusta muutetaan niin,
että määritelläänkin bĳektio f : H → Ha, f (x) = xa, niin tullaan osoittaneeksi, että kaikki oikeat sivuluokat ovat samankokoisia. Koska Lagrangen lause pätee
myös oikeille sivuluokille, on oikeiden sivuluokkien lukumäärä sama kuin vasempien sivuluokkien.
Jos ryhmä on ääretön, ei voida sanoa, että aliryhmän koko jakaisi ryhmän
kertaluvun. Kuitenkin Lagrangen lauseen todistus osoittaa, että sivuluokkien välille voidaan aina määritellä bĳektio. Jos siis esimerkiksi äärettömällä ryhmällä
on äärellinen aliryhmä, myös kaikki tämän aliryhmän sivuluokat ovat äärellisiä ja
vieläpä samankokoisia. Tästä puolestaan seuraa, että kyseisen aliryhmän indeksi
on ääretön. Jos aliryhmän kertaluku on sen sĳaan ääretön, myös kaikki sivuluokat
ovat äärettömiä. (Niillä on lisäksi sama mahtavuus.)
2.5.3
Lagrangen lauseen sovelluksia
Lagrangen lauseen avulla voidaan osoittaa monenlaisia hyödyllisiä tuloksia.
2.5.11 Lause. Äärellisen ryhmän alkioiden kertaluvut jakavat ryhmän kertaluvun.
Todistus. Olkoon G äärellinen ryhmä. Oletetaan, että alkion g ∈ G kertaluku on
n. Nyt aliryhmän 3g4 kertaluku on n, ja Lagrangen lauseen nojalla n jakaa ryhmän
G kertaluvun.
94
LUKU 2. RYHMIEN TEORIAA
2.5.12 Korollaari. Olkoon G ryhmä, jonka neutraalialkio on e ja kertaluku n.
Tällöin g n = e kaikilla g ∈ G.
Todistus. Olkoon g ∈ G. Jos alkion g kertaluku on k, niin edellisen lauseen nojalla
on olemassa sellainen a ∈ Z, jolle pätee n = ka. Huomataan, että
g n = g ka = (g k )a = ea = e.
2.5.13 Lause. Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, ryhmä on syklinen.
Todistus. Oletetaan, että ryhmän G kertaluku on alkuluku p. Koska p ≥ 2, ryhmässä täytyy olla jokin neutraalialkiosta poikkeava alkio. Oletetaan, että g on
tällainen alkio. Osoitetaan, että alkio g virittää ryhmän G tutkimalla aliryhmää
3g4. Tämän aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun p, ja siten sen on oltava joko 1 tai p. Jos kertaluku on yksi, niin g on neutraalialkio, mikä on vastoin
oletusta. Aliryhmän 3g4 kertaluvun on siis oltava p. Koska tämä on koko ryhmän
alkioiden lukumäärä, niin G = 3g4.
Tiivistelmä:
• Olkoon G ryhmä, jolla on aliryhmä H. Aliryhmän vasemmat sivuluokat ovat
osajoukot aH = {ah | h ∈ H}, missä a ∈ G.
• Tietyn aliryhmän vasemmat sivuluokat muodostavat ryhmän osituksen.
• Sivuluokat aH ja bH ovat samat täsmälleen silloin, kun a−1 b ∈ H.
• Aliryhmän H vasempien sivuluokkien joukkoa merkitään G/H. Sen alkioiden
lukumäärää kutsutaan aliryhmän H indeksiksi ja merkitään [G : H].
• Jos ryhmä on äärellinen, sen aliryhmän sivuluokissa on kaikissa yhtä monta
alkiota. Siksi aliryhmän kertaluku jakaa koko ryhmän kertaluvun.
• Aliryhmälle voidaan määritellä myös oikeat sivuluokat Ha = {ha | h ∈ H}.
Niillä on samat ominaisuudet kuin vasemmilla sivuluokilla.
Luku 3
Renkaat
Tähän asti olemme keskittyneet algebrallisiin rakenteisiin, joissa on määritelty vain
yksi laskutoimitus. Monissa tutuissa joukoissa kuitenkin esiintyy kaksi laskutoimitusta. Esimerkiksi kaikissa lukualueissa on määritelty sekä yhteen- että kertolasku.
3.1
Rengas
Kokonaislukujen joukko on vaihdannainen ryhmä yhteenlaskun suhteen. Joukossa
on määritelty myös kertolasku, mutta pari (Z, ·) ei ole ryhmä, sillä kaikilla alkioilla ei ole käänteisalkioita. Muut ryhmäaksioomat kuitenkin toteutuvat. Lisäksi
voidaan sanoa jotakin siitä, miten yhteen- ja kertolasku suhtautuvat toisiinsa. Tiedetään, että n(m + k) = nm + nk kaikilla kokonaisluvuilla n, m ja k. Tällaista
rakennetta kutsutaan renkaaksi.
3.1.1 Määritelmä. Joukko R laskutoimituksilla + ja · varustettuna on rengas,
jos seuraavat ehdot ovat voimassa:
(R1) (R, +) on vaihdannainen ryhmä.
(R2) kertolasku · on liitännäinen.
(R3) kertolaskulla · on neutraalialkio.
(R4) a(b + c) = ab + ac ja (a + b)c = ac + bc
kaikilla a, b, c ∈ R (osittelulait).
Huomaa, että osittelulain on oltava määritelmässä molemmin päin, sillä renkaan kertolasku ei ole välttämättä vaihdannainen.
Rengas (R, +, ·) on vaihdannainen, jos se toteuttaa ehdon
95
96
LUKU 3. RENKAAT
(R5) ab = ba kaikilla a, b ∈ R.
Laskutoimitusta + kutsutaan renkaan yhteenlaskuksi, ja se on määritelmän
mukaan aina vaihdannainen. Sen neutraalialkiota sanotaan nolla-alkioksi ja merkitään symbolilla 0. Laskutoimitusta · puolestaan kutsutaan renkaan kertolaskuksi.
Sen neutraalialkiota sanotaan ykkösalkioksi ja merkitään symbolilla 1. Jos halutaan selventää, että kyseessä ovat nimenomaan renkaan R nolla- ja ykkösalkiot,
voidaan kirjoittaa 0R ja 1R .
Renkaan määritelmä voidaan ilmaista myös toisella tavalla. Jos pari (R, ·) toteuttaa ehdot (R2) ja (R3), se on monoidi (katso luku 1.3). Siten kolmikko (R, +, ·)
on rengas täsmälleen silloin, kun
1) (R, +) on vaihdannainen ryhmä
2) (R, ·) on monoidi
3) osittelulait pätevät.
3.1.2 Esimerkki.
• Kolmikot (Z, +, ·), (Q, +, ·) ja (R, +, ·) ovat vaihdannaisia renkaita. Myös
kompleksilukujen joukko C varustettuna yhteen- ja kertolaskulla on vaihdannainen rengas.
• Reaalikertoimisten n × n-matriisien joukko on rengas, kun laskutoimituksina ovat matriisien yhteen- ja kertolasku. Jos n ≥ 2, ei matriisirengas ole
vaihdannainen.
• Joukko {0} on rengas, kun laskutoimitukset + ja · määritellään seuraavasti:
0 + 0 = 0,
0 · 0 = 0.
Tässä tapauksessa alkio 0 on sekä yhteen- että kertolaskun neutraalialkio.
Kyseessä on niin kutsuttu nollarengas.
3.1.3 Esimerkki. Jäännösluokkien joukko Zn yhteen- ja kertolaskulla varustettuna osoittautuu vaihdannaiseksi renkaaksi. Olemme aiemmin osoittaneet, että
(Zn , +) on ryhmä. Se on vaihdannainen, sillä [a]n + [b]n = [a + b]n = [b + a]n =
[b]n + [a]n kaikilla a, b ∈ Z.
Jäännösluokkien kertolaskun liitännäisyys ja vaihdannaisuus seuraavat kokonaislukujen kertolaskun liitännäisyydestä ja vaihdannaisuudesta samalla tavalla
kuin yhteenlaskun vastaavat ominaisuudet. Ykkösalkiona on [1]n . Myös osittelulait seuraavat suoraan kokonaislukujen osittelulaeista.
3.1. RENGAS
97
3.1.4 Esimerkki. Olkoon F kaikkien kuvausten f : R → R joukko. Jos f, g ∈ F ,
määritellään kuvaukset f + g ja f g seuraavasti:
f + g : R → R, (f + g)(x) = f (x) + g(x),
f g : R → R, (f · g)(x) = f (x)g(x).
Esimerkiksi funktioiden f : R → R, f (x) = −x + 3 ja g : R → R, g(x) = x +
summa on funktio f + g : R → R,
√
√
(f + g)(x) = f (x) + g(x) = (−x + 3) + (x + 3 x) = 3 + 3 x,
ja tulo funktio f g : R → R,
(f g)(x) = f (x)g(x) = (−x + 3)(x +
√
3
√
3
x
√
√
x) = −x2 − x 3 x + 3x + 3 3 x.
Osoitetaan, että (F, +, ·) on rengas.
(R1) Jos f ja g ovat reaalifunktioita, niin selvästikin f + g on reaalifunktio.
Osoitetaan, että + on liitännäinen laskutoimitus. Oletetaan, että f, g, h ∈ R, ja
osoitetaan, että kuvaukset (f + g) + h ja f + (g + h) ovat samat. Jos x ∈ R, niin
((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = (f (x) + g(x)) + h(x)
ja
(f + (g + h))(x) = f (x) + (g + h)(x) = f (x) + (g(x) + h(x)).
Koska f (x), g(x) ja h(x) ovat reaalilukuja, niiden yhteenlasku on liitännäinen.
Siten ((f + g) + h)(x) = (f + (g + h))(x) ja edelleen (f + g) + h = f + (g + h).
Myös vaihdannaisuus seuraa reaalilukujen yhteenlaskun vaihdannaisuudesta.
Nolla-alkiona on vakiokuvaus f0 : R → R, f0 (x) = 0 kaikilla x ∈ R. Jos nimittäin g ∈ F , niin
(g + f0 )(x) = g(x) + f0 (x) = g(x) + 0 = g(x)
kaikilla x ∈ R. Siten g + f0 = g. Vaihdannaisuudesta seuraa, että f0 + g = g, joten
f0 on nolla-alkio. Kuvauksen f vasta-alkio on kuvaus g : R → R, g(x) = −f (x).
(R2) Samalla tavoin kuin yhteenlasku, funktioiden kertolasku on joukon F laskutoimitus, ja sen liitännäisyys seuraa reaalilukujen kertolaskun liitännäisyydestä.
(R3) Ykkösalkio on vakiokuvaus f1 : R → R, f1 (x) = 1 kaikilla x ∈ R.
(R4) Osittelulait seuraavat reaalilukujen osittelulaeista samaan tapaan kuin liitännäisyys ja vaihdannaisuus seurasivat reaalilukujen vastaavista ominaisuuksista
kohdassa (R1).
Se, että joukko F on rengas, seuraa siis suoraan siitä, että funktioiden maalĳoukkona on rengas R. Jos maalĳoukko korvattaisiin mielivaltaisella renkaalla,
olisi funktioiden muodostama joukko edelleen rengas.
98
LUKU 3. RENKAAT
3.1.5 Esimerkki. Tutkitaan joukon A potenssĳoukkoa P(A), joka koostuu kaikista joukon A osajoukoista. Määritellään joukko-operaatio 9 seuraavasti:
B9C = (B \ C) ∪ (C \ B).
Tätä kutsutaan joukkojen B ja C symmetriseksi erotukseksi, ja se koostuu kaikista
niistä alkioista, jotka ovat joko joukossa B tai joukossa C, mutta eivät molemmissa
(katso kuva 3.1). Esimerkiksi joukkojen {0, 1, 2, 3} ja {3, 4, 5} symmetrinen erotus
on
{0, 1, 2, 3}9{3, 4, 5} = ({0, 1, 2, 3} \ {3, 4, 5}) ∪ ({3, 4, 5} \ {0, 1, 2, 3})
= {0, 1, 2} ∪ {4, 5} = {0, 1, 2, 4, 5}.
A
B
Kuva 3.1: Joukkojen A ja B symmetrinen erotus A9B
Osoitetaan, että (P(A), 9, ∩) on rengas.
(R1) Oletetaan, että B, C ∈ P(A). Nyt B9C ⊂ B ∪ C ⊂ A, joten B9C ∈ P(A).
Liitännäisyyden todistaminen on hieman vaivalloista mutta ei vaikeaa. Se
jätetään lukĳan tehtäväksi. Liitännäisyyttä on havainnollistettu kuvassa 3.2.
On selvää, että 9 on vaihdannainen laskutoimitus.
Neutraalialkio on ∅, sillä
B9∅ = (B \ ∅) ∪ (∅ \ B) = B ∪ ∅ = B
kaikilla B ∈ P(A). (Vaihdannaisuudesta seuraa, että ∅9B = B.) Jokainen
alkio on itsensä vasta-alkio, sillä
B9B = (B \ B) ∪ (B \ B) = ∅ ∪ ∅ = ∅.
(R2) Tiedetään, että ∩ on potenssĳoukon liitännäinen laskutoimitus.
(R3) Laskutoimituksen ∩ neutraalialkio on A.
3.1. RENGAS
99
(R4) Osittelulait jätetään lukĳan tarkistettavaksi.
Rengasta (P(A), 9, ∩) kutsutaan Boolen renkaaksi. Jos A = {0, 1}, potenssĳoukon
P(A) yhteen- ja kertolaskutaulut näyttävät seuraavilta:
+
∅
{0}
{1} {0, 1}
∅
∅
{0}
{1} {0, 1}
{0}
{0}
∅
{0, 1} {1}
{1}
{1} {0, 1}
∅
{0}
{0}
∅
{0, 1} {0, 1} {1}
·
∅
{0}
{1}
{0, 1}
∅ {0} {1} {0, 1}
∅ ∅
∅
∅
∅ {0} ∅
{0}
∅ ∅ {1} {1}
∅ {0} {1} {0, 1}
B
A
C
Kuva 3.2: Joukko (A9B)9C = A9(B9C)
3.1.1
Renkaiden ominaisuuksia
Renkaan alkion a vasta-alkiota merkitään −a. Summa a + (−b) voidaan kirjoittaa
lyhyemmin muodossa a − b.
3.1.6 Lause. Renkaassa R pätevät seuraavat ehdot:
a) 0 · a = a · 0 = 0 kaikilla a ∈ R
b) (−a)b = a(−b) = −(ab) kaikilla a, b ∈ R
100
LUKU 3. RENKAAT
c) (−a)(−b) = ab
Tässä 0 on renkaan R nolla-alkio.
Todistus. a) Koska 0 = 0 + 0, niin 0 · a = (0 + 0)a = 0 · a + 0 · a. Lisäämällä
yhtälön molemmille puolille −(0 · a) saadaan 0 = 0 · a kaikilla a ∈ R. Samalla
tavoin osoitetaan, että a · 0 = 0.
b) Koska (−a)b+ab = (−a+a)b = 0·b = 0, niin (−a)b on alkion ab vasta-alkio.
Toisin sanoen (−a)b = −(ab). Samalla tavoin osoitetaan, että a(−b) on alkion ab
vasta-alkio.
c) Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Huomaa, että kohdasta b) seuraa, että (−1R )a = a(−1R ) = −a kaikilla a ∈ R.
Lause osoittaa, että renkaissa pätevät monet tutuista laskusäännöistä. On kuitenkin oltava varovainen, sillä esimerkiksi vaihdannaisuuden saattaa huomaamattaan olettaa. Mielivaltaisessa renkaassa vaikkapa lauseke (a + b)(a − b) saadaan
muotoon a2 − ab + ba + b(−b) = a2 − ab + ba − b2 , mutta tämän pitemmälle sieventämistä ei välttämättä voi jatkaa. Toiseksi, mielivaltaisessa renkaassa
saattaa olla nollasta poikkeavat alkiot a ja b, joille pätee ab = 0. Esimerkiksi
[2]6 · [3]6 = [6]6 = [0]6 .
Jokaisessa renkaassa on nollaa ja ykköstä vastaavat alkiot, ja niiden avulla voidaan myös muut kokonaisluvut tulkita renkaan alkioiksi. Tämä tehdään toisinaan
merkintöjen helpottamiseksi. Apuna käytetään monikerran käsitettä.
Ensinnäkin, jos n on positiivinen kokonaisluku, sen ajatellaan vastaavan renkaan alkiota
n · 1R = 1R + 1R + · · · + 1R .
&
'(
)
n kpl
Nolla tulkitaan luonnollisesti renkaan nolla-alkioksi, ja lukua −n voidaan puolestaan pitää renkaan alkiona −(n · 1R ). Esimerkiksi renkaassa Z7 luku 3 voidaan
tulkita renkaan alkioksi [1]7 + [1]7 + [1]7 = [3]7 ja luku −3 vastaavasti alkioksi
−[3]7 = [4]7 .
Jos a on renkaan R alkio ja n ∈ Z, merkintä na voi nyt tarkoittaa kahta eri
asiaa. Ensinnäkin se voi olla alkion a monikerta. Toisaalta se voi tarkoittaa renkaan
alkioiden n = n · 1R ja a tuloa. Näillä kahdella asialla ei kuitenkaan ole eroa.
3.1.7 Lemma. Olkoon R rengas. Jos n on kokonaisluku ja a ∈ R, niin
na = (n · 1R )a.
3.1. RENGAS
101
Todistus. Väite pätee kokonaisluvulla 0, sillä nollamonikerran määritelmän mukaan 0 · a = 0R , missä 0R on renkaan R nolla-alkio. Toisaalta (0 · 1R )a = 0R · a = 0R
lauseen 3.1.6 nojalla.
Jos n positiivinen luku ja a ∈ R, niin
na = a
& + a +'(· · · + a) = 1R · a + 1R · a + · · · + 1R · a
n kpl
= (1R + 1R + · · · + 1R )a = (n · 1R )a.
Negatiivisen monikerran määritelmän mukaan (−n)a = n(−a). Edellä osoitetusta ja lauseesta 3.1.6 seuraa, että
n(−a) = (n · 1R )(−a) = (−(n · 1R ))a.
Monikerran ominaisuuksien perusteella −(n · 1R ) = (−n) · 1R , joten olemme osoittaneet, että (−n)a = ((−n) · 1R )a. Siten väite pätee kaikilla kokonaisluvuilla.
3.1.8 Lemma. Olkoon R rengas, jossa nolla- ja ykkösalkio ovat sama alkio. Tällöin R on nollarengas, eli R = {0}.
Todistus. Jos nolla- ja ykkösalkiot ovat samat, niin 0 on kertolaskun neutraalialkio.
Siten a = 0 · a = 0 kaikilla a ∈ R. Renkaassa on siis vain yksi alkio, nolla.
Kahden renkaan karteesinen tulo on rengas, kun laskutoimitus määritellään
pisteittäin.
3.1.9 Lause. Oletetaan, että R ja S ovat renkaita. Määritellään joukossa R × S
laskutoimitukset + ja · seuraavalla tavalla:
(r1 , s1 ) + (r2 , s2 ) = (r1 + r2 , s1 + s2 )
ja (r1 , s1 ) · (r2 , s2 ) = (r1 r2 , s1 s2 ).
Tällöin (R × S, +, ·) on rengas.
Todistus. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
3.1.2
Alirengas
Samalla tavalla kuin ryhmälle määritellään aliryhmä, voidaan renkaalle määritellä
alirakenteena alirengas.
Rengas on yhteenlaskun suhteen ryhmä, joten alirenkaan halutaan olevan yhteenlaskun suhteen aliryhmä. Koska renkaissa ei tarvitse olla käänteisalkioita eivätkä ne siten välttämättä ole kertolaskun suhteen ryhmiä, ei alirenkaan myöskään
102
LUKU 3. RENKAAT
voida vaatia olevan aliryhmä kertolaskun suhteen. Sen täytyy toteuttaa kertolaskualiryhmän aksioomista vain ne, joissa ei mainita käänteisalkioita.
3.1.10 Määritelmä. Oletetaan, että (R, +, ·) on rengas ja S ⊂ R. Sanotaan, että
(S, +, ·) on renkaan (R, +, ·) alirengas, jos seuraavat ehdot toteutuvat:
(AR1) (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä
(AR2) ab ∈ S kaikilla a, b ∈ S
(AR3) 1R ∈ S.
Alirengas S on siis rengas, joka sisältyy renkaaseen R ja jolla on samat nolla- ja
ykkösalkio kuin renkaalla R. Joukon S laskutoimitusten liitännäisyys, yhteenlaskun vaihdannaisuus ja osittelulait seuraavat suoraan renkaan R vastaavista ominaisuuksista.
Alirenkaan aksioomat voidaan muotoilla toisellakin tavalla. Ehdot (AR2) ja
(AR3) toteuttavaa monoidin (R, ·) alirakennetta kutsutaan nimittäin alimonoidiksi. Kolmikko (S, +, ·) on siis alirengas, jos
1) (S, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä
2) (S, ·) on monoidin (R, ·) alimonoidi.
S
0
R
1
Kuva 3.3: Renkaan R alirengas S
3.1.11 Esimerkki. Rengas (Z, +, ·) on renkaan (Q, +, ·) alirengas, joka puolestaan on renkaan (R, +, ·) alirengas.
Ryhmien tapauksessa jokainen ryhmä, joka sisältyy toiseen ryhmään, on aliryhmä. Renkailla näin ei ole. Esimerkiksi renkaan Z6 osajoukko
R = {[0]6 , [2]6 , [4]6 }
on rengas. Tässä renkaassa kertolaskun neutraalialkio on [4]6 . Koska osajoukko R
ei sisällä renkaan Z6 ykkösalkiota [1]6 , se ei kuitenkaan ole alirengas.
3.1. RENGAS
103
3.1.12 Esimerkki. Renkaalla (Z, +, ·) ei ole muita alirenkaita kuin Z itse. Jos
nimittäin S on jokin alirengas, niin 1 ∈ S. Koska S on aliryhmä yhteenlaskun
suhteen, kaikki alkion 1 monikerrat ovat sen alkioita. Siten n = n · 1 ∈ S kaikilla
n ∈ Z, mistä seuraa, että S = Z. Samalla tavoin nähdään, että renkaalla Zn ei ole
muita alirenkaita kuin Zn itse.
3.1.13 Esimerkki. Palautetaan mieliin esimerkissä 9.4 esitelty reaalifunktioiden
rengas R. Sillä on osajoukko P , joka koostuu kaikista polynomifunktioista. Esimerkistä huomataan, että renkaan R laskutoimitukset ovat joukon P alkioiden
tapauksessa tutut polynomien yhteen- ja kertolasku. Osoitetaan, että joukko P on
alirengas.
(AR1) Jos p ja q ovat polynomifunktioita, myös p + q on polynomifunktio.
Nolla-alkio on vakiopolynomi 0, joten se on joukon P alkio. Polynomifunktion p
vasta-alkio −p on polynomifunktio.
(AR2) Jos p ja q ovat polynomifunktioita, niin pq on polynomifunktio.
(AR3) Ykkösalkio on vakiopolynomi 1, joten se on joukon P alkio. Siten P on
renkaan R alirengas.
Usein on kätevää osoittaa joukko renkaaksi todistamalla, että se on jonkin tunnetun renkaan alirengas. Tällöin vältytään tarkastelemasta liitännäisyyttä, vaihdannaisuutta ja osittelulakeja.
3.1.14 Esimerkki. Määritellään
√
√
Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z}
√
ja osoitetaan, että (Z[ 2], +, ·) on rengas. Tehdään√ tämä näyttämällä, että kyseessä on renkaan (R, +, ·) √
alirengas. Selvästikin
Z[ 2] on renkaan
√
√ R osajoukko.
Oletetaan, että luvut a + b 2 ja c + d 2 kuuluvat joukkoon Z[ 2].
(AR1) Koska
√
√
√
√
(a + b 2) + (c + d 2) = (a + c) + (b + d) 2 ∈ Z[ 2],
√
√
joukko Z[ √
2] on suljettu yhteenlaskun suhteen. Nolla-alkio on joukossa Z[ 2], sillä
0 = 0 + 0 · 2. Lisäksi huomataan, että
√
√
√
−(a + b 2) = −a + (−b) 2 ∈ Z[ 2],
√
joten joukko Z[ 2] sisältää alkioidensa vasta-alkiot.
(AR2) Koska
√
√
√
√
(a + b 2) · (c + d 2) = (ac + 2bd) + (ad + bc) 2 ∈ Z[ 2],
104
LUKU 3. RENKAAT
√
joukko Z[ 2] on suljettu kertolaskun suhteen.
√
√
(AR3) Ykkösalkio on joukossa Z[ 2], sillä 1 = 1 + 0 · 2.
√
√
Siten Z[ 2] on renkaan R alirengas. Tämä tarkoittaa sitä, että Z[ 2] on rengas.
Samalla tavalla kuin aliryhmien tapauksessa voi alirenkaan määritelmässä olevia ehtoja yhdistelemällä säästää toisinaan vaivaa
3.1.15 Lause (Alirengaskriteeri). Olkoon S renkaan R osajoukko. Se on renkaan
R alirengas jos ja vain jos
1) a − b ∈ S kaikilla a, b ∈ S
2) ab ∈ S kaikilla a, b ∈ S
3) 1R ∈ S.
Todistus. Jos S on alirengas, ehdot 1) – 3) ovat voimassa. Oletetaan sitten, että
ehdot 1) – 3) pätevät, ja osoitetaan, että S on rengas. Koska 1 ∈ S, joukko S
on epätyhjä. Ehdosta 1) seuraa aliryhmäkriteerin nojalla, että (S, +) on ryhmän
(R, +) aliryhmä. Tämä yhdistettynä ehtoihin 2) ja 3) osoittaa, että S on renkaan
R alirengas.
3.1.16 Lause. Kahden alirenkaan leikkaus on alirengas.
Todistus. Todistus on hyvin samankaltainen kuin vastaavan aliryhmiä koskevan
lauseen todistus. Se jätetään harjoitustehtäväksi.
3.1.3
Yksiköt
Renkaan alkioilla ei tarvitse olla käänteisalkioita kertolaskun suhteen. Joillakin
alkioilla tällainen kuitenkin on. Esimerkiksi kokonaislukujen renkaassa luvuilla 1
ja −1 on käänteisalkio. Renkaassa Q puolestaan käänteisalkio on kaikilla luvuilla
nollaa lukuunottamatta.
3.1.17 Määritelmä. Renkaan alkiota, jolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen,
kutsutaan yksiköksi.
Kokonaislukujen renkaassa yksiköitä ovat siis 1 ja −1, ja rationaalilukujen renkaassa niitä ovat kaikki nollasta poikkeavat luvut. Huomataan, että yksikköjen
muodostamat joukot {1, −1} ja Q \ {0} ovat molemmat ryhmiä kertolaskun suhteen. Tämä pätee kaikille renkaille.
3.1. RENGAS
105
3.1.18 Lause. Olkoon R rengas. Määritellään
R∗ = {a ∈ R | a on yksikkö}.
Tällöin R∗ on ryhmä kertolaskun suhteen.
Todistus. Osoitetaan aluksi, että R∗ on suljettu kertolaskun suhteen. Oletetaan,
että x, y ∈ R∗ . Nyt alkiolla xy on renkaassa R käänteisalkio y −1 x−1 , joten xy on
yksikkö. Siten xy ∈ R∗ .
Joukon R∗ kertolaskun liitännäisyys seuraa suoraan siitä, että renkaassa R
kertolasku on liitännäinen. Koska neutraalialkio 1 on oma käänteisalkionsa, se on
yksikkö, ja siten 1 ∈ R∗ . Jos x ∈ R∗ , alkiolla x on käänteisalkio x−1 ∈ R. Nyt
(x−1 )−1 = x, joten alkiolla x−1 on käänteisalkio ja siten x−1 ∈ R∗ .
Esimerkiksi Z∗ = {1, −1}, Q∗ = Q \ {0} ja R∗ = R \ {0}. Tutkitaan vielä
rengasta Z6 ja lasketaan sen kertotaulu:
· [0] [1] [2] [3] [4] [5]
[0] 0 0 0 0 0 0
[1] 0 1 2 3 4 5
[2] 0 2 4 0 2 4
[3] 0 3 0 3 0 3
[4] 0 4 2 0 4 2
[5] 0 5 4 3 2 1
Kertotaulussa on luettavuuden vuoksi jätetty hakasulut merkitsemättä. Huomataan, että vain jäännösluokilla [1]6 ja [5]6 on käänteisalkiot. Ne ovat siis renkaan
ainoat yksiköt ja siten Z∗6 = {[1]6 , [5]6 }.
3.1.19 Lause. Oletetaan, että n > 1. Renkaan Zn alkio [a]n on yksikkö jos ja vain
jos a %= 0 ja syt(a, n) = 1. Siten Z∗n = {[a]n | a %= 0, syt(a, n) = 1}.
Todistus. Alkio [x]n on alkion [a]n käänteisalkio jos ja vain jos
[1]n = [x]n [a]n = [xa]n .
Tämä puolestaan on yhtäpitävää sen kanssa, että 1 ≡ xa (mod n). On siis osoitettava, että yhtälöllä 1 ≡ xa (mod n) on kokonaislukuratkaisu täsmälleen silloin,
kun a %= 0 ja syt(a, n) = 1.
Jos a %= 0 ja syt(a, n) = 1, lauseen 2.2.18 nojalla yhtälöllä 1 ≡ xa (mod n)
on ratkaisu. Jos taas b on yhtälön 1 ≡ xa (mod n) ratkaisu, on olemassa k ∈ Z,
jolle pätee 1 = ba + kn. Koska n > 1, tiedetään, että a ei voi olla nolla. Lisäksi
nähdään, että jokainen lukujen a ja n yhteinen tekĳä on myös luvun 1 tekĳä. Siten
syt(a, n) = 1.
106
LUKU 3. RENKAAT
Tiivistelmä:
• Kolmikko (R, +, ·) on rengas, jos (R, +) on vaihdannainen ryhmä, · on liitännäinen laskutoimitus, jolla on neutraalialkio, ja osittelulait pätevät.
• Osajoukko S on renkaan (R, +, ·) alirengas, jos S on aliryhmä yhteenlaskun
suhteen, suljettu kertolaskun suhteen ja sisältää ykkösalkion 1R .
• Renkaan alkiota, jolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen, kutsutaan yksiköksi.
3.2. KUNTA
3.2
107
Kunta
Rationaali- ja reaalilukujen renkaissa kaikilla nollasta poikkeavilla alkioilla on
käänteisalkio kertolaskun suhteen. Näissä renkaissa yksiköitä ovat siis kaikki alkiot
nollaa lukuunottamatta.
3.2.1 Määritelmä. Rengas R %= {0} on kunta, jos se on vaihdannainen ja kaikki
nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä.
Yleensä ei ole toivottavaa, että renkaan R nolla-alkiolla olisi käänteisalkio. Jos
nimittäin on olemassa sellainen a ∈ R, että 0 · a = 1, niin tällöin 0 = 1 ja lemman
3.1.8 nojalla kyseessä on nollarengas.
Lauseen 3.1.18 perusteella renkaan yksiköt muodostavat ryhmän kertolaskun
suhteen. Siten kunnan määritelmä voidaan ilmaista myös toisella tavalla:
Joukko K laskutoimituksilla + ja · varustettuna on kunta, jos seuraavat ehdot
ovat voimassa:
1) (K, +) on vaihdannainen ryhmä.
2) (K \ {0}, ·) on vaihdannainen ryhmä.
3) Osittelulait pätevät.
3.2.2 Esimerkki.
• Rengas (Z, +, ·) ei ole kunta.
• Renkaat (Q, +, ·), (R, +, ·) ja (C, +, ·) ovat kuntia.
3.2.3 Lause. Jäännösluokkarengas Zn on kunta jos ja vain jos n on alkuluku.
Todistus. Väite seuraa lähes suoraan lauseesta 3.1.19. Sen perusteella tiedetään,
että renkaan Zn nollasta poikkeava alkio [a]n on yksikkö täsmälleen silloin, kun
syt(a, n) = 1.
Oletetaan, että Zn on kunta. Jos a on luvun n tekĳä ja a %= n, alkio [a]n on
yksikkö. Siten syt(a, n) = 1, joten täytyy päteä a = 1. Luvulla n ei siis ole muita
tekĳöitä kuin n ja 1, joten se on alkuluku.
Oletetaan sitten, että n on alkuluku. Olkoon [a]n renkaan Zn nollasta poikkeava
alkio. Voimme olettaa, että 0 < a < n. Koska n on alkuluku, syt(a, n) = 1 ja siten
[a]n on yksikkö. Rengas Zn on siis kunta.
108
LUKU 3. RENKAAT
3.2.4 Määritelmä. Oletetaan, että K on kunta ja L sen osajoukko. Sanotaan,
että L on K:n alikunta, jos seuraavat ehdot toteutuvat:
(AK1) (L, +) on ryhmän (K, +) aliryhmä
(AK2) (L \ {0}, ·) on ryhmän (K \ {0}, ·) aliryhmä.
3.2.5 Esimerkki. Kunta (Q, +, ·) on kunnan (R, +, ·) alikunta, joka puolestaan
on kunnan (C, +, ·) alikunta.
3.2.6 Esimerkki. Joukko
/
0
√
√
Q( 2) = a + b 2 | a, b, c, d ∈ Q on
kunnan R alikunta.
√
On helppo nähdä, että Q( 2) on suljettu√laskutoimitusten√+ ja · suhteen ja
että neutraalialkiot
0 ja 1 ovat joukossa Q( 2). Alkion a + b 2 vasta-alkio on
√
−a + (−b) 2 ja käänteisalkio
√
a−b 2
a
−b √
1
√ =
√
√ = 2
+
2.
a − 2b2 a2 − 2b2
a+b 2
(a + b 2)(a − b 2)
√
Siten Q( 2) on kunnan R alikunta.
Tiivistelmä:
• Kolmikko (K, +, ·) on kunta, jos K on vaihdannainen rengas ja kaikki sen
nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä.
3.3. KOKONAISALUE
3.3
109
Kokonaisalue
Jos reaalilukujen x ja y tulo on nolla, tiedämme että tällöin x = 0 tai y = 0. Tämä
ominaisuus on hyvin oleellinen vaikkapa yhtälöiden ratkaisussa. Esimerkiksi yhtälö
x2 −x = 0 voidaan ratkaista muuttamalla se muotoon x(x−1) = 0. Nyt tiedetään,
että x = 0 tai x − 1 = 0 ja ratkaisuja on korkeintaan kaksi, x = 0 ja x = 1. Koska
02 = 0 ja 12 = 1, alkiot 0 ja 1 todellakin ovat yhtälön ratkaisuja.
Sen sĳaan esimerkiksi renkaassa Z6 ratkaisuja löytyy enemmän kuin kaksi.
Huomataan nimittäin, että ratkaisujen [0]6 ja [1]6 lisäksi myös alkiot [3]6 ja [4]6
toteuttavat yhtälön, sillä
[3]26 − [3]6 = [9]6 − [3]6 = [6]6 = [0]6
ja
[4]26 − [4]6 = [16]6 − [4]6 = [12]6 = [0]6 .
Tämä johtuu siitä, että renkaassa Z6 kahden nollasta poikkeavan alkion tulo voi
olla nolla. (Esimerkiksi [2]6 · [3]6 = [6]6 = [0]6 .) Yhtälöä ei siis voida ratkaista
samalla tavalla kuin reaalilukujen tapauksessa.
3.3.1 Määritelmä. Olkoon R vaihdannainen rengas, joka ei ole nollarengas. Oletetaan, että kaikilla a, b ∈ R ehdosta ab = 0 seuraa a = 0 tai b = 0. Tällöin R on
kokonaisalue.
Nollasta poikkeavia alkioita, joiden tulo on nolla, kutsutaan nollanjakajiksi.
Kokonaisalue on siis vaihdannainen rengas, jossa ei ole nollanjakajia.
Huomaa, että kokonaisalueessa 0 ja 1 ovat aina eri alkiot. Jos nimittäin renkaassa R pätee 0 = 1, tällöin R on lemman 3.1.8 nojalla nollarengas, joten se ei
voi olla kokonaisalue.
3.3.2 Esimerkki. Esimerkiksi renkaat Z, Q, R ja C ovat kokonaisalueita. Sen
sĳaan rengas Z6 ei ole kokonaisalue.
3.3.3 Lause. Rengas Zn on kokonaisalue jos ja vain jos n on alkuluku.
Todistus. Oletetaan, että n ei ole alkuluku. Jos n = 1, kyseessä on nollarengas Z1 =
{[0]1 }, joka ei ole kokonaisalue. Jos taas n > 1, niin n = ab joillakin luonnollisilla
luvuilla a ja b, missä 0 < a < n ja 0 < b < n. Nyt
[a]n · [b]n = [ab]n = [n]n = [0]n ,
mutta [a]n %= [0]n ja [b]n %= [0]n . Siten Zn ei ole kokonaisalue.
110
LUKU 3. RENKAAT
Oletetaan sitten, että n on alkuluku. Jos nyt [a]n ·[b]n = [0]n joillakin [a]n , [b]n ∈
Zn , niin tällöin [ab]n = [0]n , mistä seuraa, että ab on jaollinen luvulla n. Koska
n on alkuluku, lauseen 2.2.10 nojalla joko a tai b on jaollinen luvulla n. Toisin
sanoen [a]n = [0]n tai [b]n = [0]n . Siten Zn on kokonaisalue.
3.3.4 Lause. Olkoon D kokonaisalue ja a ∈ D \ {0}. Tällöin an %= 0 kaikilla
n ∈ N.
Todistus. Todistetaan väite induktiolla.
1◦ Oletetaan, että n = 0. Nyt an = a0 = 1. Koska 0 %= 1, väite pätee luvulla 0.
2◦ Oletetaan, että väite pätee jollakin luvulla n eli että an %= 0. Osoitetaan, että
väite pätee myös luvulla n+1. Huomataan, että an+1 = aan . Jos nyt an+1 = 0,
niin joko a = 0 tai an = 0. Olemme kuitenkin olettaneet, että a %= 0, ja
toisaalta induktio-oletuksen nojalla an %= 0. Siten täytyy olla an+1 %= 0.
Siten väite pätee kaikilla luonnollisilla luvuilla.
Kokonaisalueessa pätee niin kutsuttu supistamislaki.
3.3.5 Lause. Olkoon D kokonaisalue ja a, b, c ∈ D. Jos ab = ac ja a %= 0, niin
b = c.
Todistus. Oletetaan, että ab = ac ja a %= 0. Nyt ab−ac = 0 ja edelleen a(b−c) = 0.
Koska kyseessä on kokonaisalue ja a %= 0, täytyy päteä b − c = 0. Siten b = c.
3.3.6 Lause. Jokainen kunta on kokonaisalue.
Todistus. Olkoon K on kunta. Oletetaan, että ab = 0 joillakin a, b ∈ K. Jos a = 0,
niin väite on todistettu. Jos taas a %= 0, niin a:lla on kunnassa K käänteisalkio a−1 .
Kertomalla yhtälön ab = 0 molemmat puolet vasemmalta alkiolla a−1 , saamme
b = 0. Siten K on kokonaisalue.
Jokainen kunta on siis kokonaisalue, ja jokainen kokonaisalue puolestaan rengas.
Lauseessa 3.3.3 todistettiin, että Zn on kokonaisalue jos ja vain jos n on alkuluku. Toisaalta lauseessa ZnkuntaLause nähtiin, että tässä tapauksessa Zn on itse
asiassa kunta, joten Zn on kunta jos ja vain jos se on kokonaisalue. Sama pätee
jokaiselle äärelliselle renkaalle
3.3.7 Lause. Äärellinen kokonaisalue on kunta.
3.3. KOKONAISALUE
111
RENKAAT
KOKONAISALUEET
KUNNAT
Z7
C
Z5 Q R
Z4
Z6
Z
matriisirenkaat
Kuva 3.4: Jokainen kunta on kokonaisalue, ja jokainen kokonaisalue on rengas.
Todistus. Olkoon D äärellinen kokonaisalue. Riittää osoittaa, että jokaisella D:n
nollasta poikkeavalla alkiolla on käänteisalkio. Oletetaan, että a ∈ D ja a %= 0.
Koska D on rengas, potenssit a1 , a2 , a3 , . . . ovat D:n alkioita. Kokonaisalue D on
kuitenkin äärellinen, joten täytyy olla olemassa sellaiset kaksi eri positiivista lukua
n ja m, että an = am .
Voidaan olettaa, että n > m. Nyt an − am = 0, ja siten am (an−m − 1) = 0.
Koska D on kokonaisalue, joko am = 0 tai an−m − 1 = 0. Koska a %= 0, lauseen
3.3.4 perusteella am %= 0. Siten täytyy olla an−m − 1 = 0. Tästä seuraa, että
1 = an−m = aan−m−1 . Huomaa, että n − m − 1 ≥ 0, ja siksi alkio an−m−1 on
olemassa. Kokonaisalue D on vaihdannainen, joten voidaan päätellä, että an−m−1
on alkion a käänteisalkio.
3.3.1
Karakteristika
Luvussa 3.1.1 totesimme, että kokonaisluvut voidaan tulkita renkaan alkioiksi.
Se, miltä kokonaisluvut näyttävät eri renkaissa saattaa vaihdella hyvinkin paljon.
Esimerkiksi luku 7 tulkitaan renkaassa Z5 alkioksi [7]5 = [2]5 . Renkaassa Z7 se
puolestaan tulkitaan alkioksi [7]7 = [0]7 eli kyseessä onkin nolla-alkio.
3.3.8 Määritelmä. Oletetaan, että D on kokonaisalue, jonka ykkösalkio on 1D .
Kokonaisalueen D karakteristika on pienin positiivinen kokonaisluku n, jolle pätee
n · 1D = 0. Jos tällaista lukua ei ole olemassa, karakteristika on 0.
Karakteristika voidaan periaatteessa määritellä mille tahansa renkaille. Tulemme kuitenkin osoittamaan karakteristikaan liittyviä tuloksia, jotka pätevät vain
kokonaisalueissa. Siksi rajoitumme määritelmässä kokonaisalueisiin.
112
LUKU 3. RENKAAT
3.3.9 Esimerkki. Kokonaisalueen Z5 karakteristika on 5, sillä
5 · [1]5 = [1]5 + [1]5 + [1]5 + [1]5 + [1]5 = [1 + 1 + 1 + 1 + 1]5 = [5]5 = [0]5 ,
eikä mikään pienempi luku toteuta ehtoa. Huomataan, että kokonaisalueen Zp
karakteristika on p, sillä
p · [1]p = [p]p = [0]p ,
ja toisaalta p on pienin luku, joka toteuttaa kyseisen ehdon.
3.3.10 Esimerkki. Kokonaisalueitten Z, Q, R ja C karakteristika on 0. Ei nimittäin ole olemassa positiivista lukua n, jolle pätisi n · 1 = 0.
Huomaa, että jos kokonaisalueen D karakteristika on p, kaikkien alkioiden p:s
monikerta on 0. Toisin sanoen p · a = 0 kaikilla a ∈ D. Tämä johtuu siitä, että
pa = (p · 1D )a = 0 · a = 0.
Esimerkiksi kokonaisalueessa Z5 pätee 5 · [3]5 = [15]5 = [5]5 · [3]5 = [0]5 · [3]5 = [0]5 .
3.3.11 Lause. Kokonaisalueen karakteristika on joko 0 tai alkuluku.
Todistus. Olkoon D kokonaisalue, jonka karakteristika on n %= 0. Oletetaan, että
n = n1 n2 , missä n1 ja n2 ovat positiivisia kokonaislukuja. Tällöin
0 = n · 1D = (n1 n2 ) · 1D = n1 (n2 · 1D ).
Lemman 3.1.7 nojalla
n1 (n2 · 1D ) = (n1 · 1D )(n2 · 1D ),
ja koska D on kokonaisalue, tästä seuraa, että n1 · 1D = 0 tai n2 · 1D = 0. Koska n
on pienin positiivinen luku, jolla pätee n · 1D = 0, täytyy olla n1 = n tai n2 = n.
Tämä tarkoittaa sitä, että luvun n ainoat tekĳät ovat n ja 1. Toisaalta n %= 1,
sillä muuten a = 1 · a = 0 kaikilla a ∈ D, jolloin D on nollarengas. Siten n on
alkuluku.
Tiivistelmä:
• Vaihdannainen rengas on kokonaisalue, jos ehdosta ab = 0 seuraa a = 0 tai
b = 0 kaikilla renkaan alkioilla a ja b.
• Kokonaisalueen D karakteristika p on pienin positiivinen kokonaisluku, jolle
pätee p · 1D = 0. Jos tällaista lukua ei ole, karakteristika on 0.
• Kokonaisalueen karakteristika on aina joko 0 tai alkuluku.
Luku 4
Tekĳärakenteet
4.1
Tekĳäryhmä
Palaamme nyt tutkimaan sivuluokkia. Olemme huomanneet, että niiden avulla voidaan jättää huomiotta yksityiskohtia ja vähentää siten käsiteltävän tiedon määrää.
Eräs esimerkki tästä ovat jäännösluokat [a]n , jotka voidaan kirjoittaa aliryhmän
nZ sivuluokkina a + nZ.
Jäännösluokille on mahdollista määritellä laskutoimituksia ja niiden käyttö
helpottaa kokonaislukujen tarkastelua entisestään. Olemme huomanneet, että esimerkiksi suurten lukujen jakojäännösten laskeminen onnistuu toisinaan jäännösluokkien ja niiden laskutoimitusten avulla vaivattomasti.
Laskutoimitukset määritellään jäännösluokkien edustajien avulla. Tällöin on
oltava erityisen varovainen, sillä jäännösluokan edustajan valinta ei saa vaikuttaa
laskun tulokseen. Muutoin esimerkiksi kahden alkion summa voisi vaihdella sen
mukaan, missä muodossa alkiot kirjoitetaan.
Jäännösluokkien yhteenlasku [a]n + [b]n = [a + b]n , saa sivuluokkien avulla
ilmaistuna muodon
(a + nZ) + (b + nZ) = (a + b) + nZ.
Yhteenlaskun suhteen jäännösluokkien joukon Zn tiedetään olevan ryhmä, joten
sivuluokkien joukko Z/nZ on ryhmä. Tavoitteena on yleistää jäännösluokkien yhteenlaskun periaate mielivaltaisen ryhmän sivuluokille.
Lähdetään kehittelemään ajatusta tarkastelemalla ensin ryhmän S3 aliryhmän
B = {(1), (12)} sivuluokkia. Yritetään siis määritellä sivuluokkien joukossa laskutoimitus samalla tavalla kuin joukon Z/nZ tapauksessa. Joukossa S3 /B on kolme
113
114
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
Z/5Z
Z
-4
-1
4
11...
1 6
1+5Z
-3
2
0 10
9 -5 5 ... 12 7
14 ...
...
-2 8
3 13 ...
4+5Z
5Z
2+5Z
3+5Z
Kuva 4.1: Sivuluokkien joukko Z/5Z
alkiota
B = {(1), (12)},
(123)B = {(123), (13)} ja
(132)B = {(132), (23)}.
Tutkitaan, mitä tapahtuu, jos määrittelemme joukossa S3 /A laskutoimituksen 1
seuraavasti: σB 1 τ B = (στ )B.
Koska B = (1)B, niin
B 1 (123)B = (1)B 1 (123)B = (1)(123)B = (123)B.
Toisaalta voidaan myös kirjoittaa B = (12)B, joten
B 1 (123)B = (12)B 1 (123)B = (12)(123)B = (23)B = (132)B.
Sivuluokat (123)B ja (132)B eivät kuitenkaan ole samat.
S3
B
(1)
(13)
(123)
(12)
(23)
(132)
Kuva 4.2: Ryhmän S3 aliryhmän B vasemmat sivuluokat
Olemme siis laskeneet saman laskun kahdella eri tavalla ja saaneet sille kaksi eri
tulosta. Tämä ei käy laatuun, joten joukolle S3 /B ei voida määritellä laskutoimitusta samaan tapaan kuin joukolle Z/nZ. Miksi nämä kaksi sivuluokkien joukkoa
4.1. TEKĲÄRYHMÄ
115
käyttäytyvät eri tavoin? Milloin sivuluokkien joukolle voidaan johtaa laskutoimitus
ryhmän laskutoimituksesta?
4.1.1
Sivuluokkien laskutoimitus
Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. Haluamme, että joukossa G/H voidaan määritellä laskutoimitus 1 ehdolla
kaikilla x, y ∈ G.
xH 1 yH = xyH
Määritteleminen ei kuitenkaan onnistu, jos sivuluokan edustajan valinta vaikuttaa laskutoimituksen tulokseen. Jos sama sivuluokka voidaan kirjoittaa vaikkapa
muodoissa xH ja x$ H, täytyy laskusta tulla molempia kirjoitustapoja käyttämällä
sama tulos. Seuraavan ehdon on siis toteuduttava kaikilla x, y, x$, y $ ∈ G:
jos xH = x$ H ja yH = y $H,
niin xH 1 yH = x$ H 1 y $H.
Toisin sanoen, jos xH = x$ H ja yH = y $ H, niin xyH = x$ y $ H. (Toisinaan sanotaan, että sivuluokkien laskutoimitus on tällöin hyvin määritelty.)
Tulemme näkemään, että sivuluokkien laskutoimitus 1 voidaan määritellä täsmälleen silloin, kun vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samoja eli gH = Hg kaikilla g ∈ G.
xH = x’H
G
x
xy
x’
y
H
yH = h’H
y’
x’y’
xyH = x’y’H
Kuva 4.3: Jotta laskutoimitus 1 voidaan määritellä, täytyy ehdoista xH = x$ H ja
yH = y $H seurata xyH = x$ y $ H.
Tässä luvussa otamme laajemmin käyttöön sivuluokkien yhteydessä käytettyjä merkintöjä. Jos G on ryhmä, x, y ∈ G ja A, B ⊂ G, joukot xA, Ax ja AB
määritellään seuraavasti:
xA = {xa | a ∈ A},
Ax = {ax | a ∈ A},
AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}.
116
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
Koska ryhmän laskutoimitus on liitännäinen, esimerkiksi x(yA) = (xy)A. Siten
sulkuja ei tarvita, ja voidaan kirjoittaa xyA ilman sekaannuksen vaaraa.
Jos H on ryhmän G aliryhmä ja x, y ∈ G, voidaan muodostaa esimerkiksi
joukot
xHy = {xhy | h ∈ H} ja
xHyN = {xhyn | h ∈ H, n ∈ N}.
Huomaa, että HH = H, kun H on aliryhmä.
Halutaan siis osoittaa, että jos vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samoja,
sivuluokkien laskutoimitus 1 voidaan määritellä. Oletetaan, että gH = Hg kaikilla
g ∈ G. Oletetaan lisäksi, että xH = x$ H ja yH = y $H. Haluamme nyt osoittaa,
että xyH = x$ y $ H. Koska y $H = Hy $, saadaan
xyH = x(yH) = x(y $ H) = x(Hy $)
= (xH)y $ = (x$ H)y $ = x$ (Hy $)
= x$ (y $H) = x$ y $ H.
Siten laskutoimitus voidaan määritellä. (Sulkuja ei tässä varsinaisesti tarvita, ja
ne on lisätty vain todistuksen välivaiheita selventämään.)
Myös käänteinen väite pätee, mutta tämän todistuksen lukĳa voi huoletta ohittaa ensimmäisillä lukukerroilla. Jos sivuluokkien laskutoimitus 1 voidaan määritellä, aliryhmän H vasempien ja oikeiden sivuluokkien on oltava samoja. Oletetaan,
että g ∈ G ja h ∈ H. Koska neutraalialkio e on aliryhmässä H, niin eH = hH.
Toisaalta on selvää, että gH = gH. Jos laskutoimitus 1 on määritelty, niin tällöin
egH = hgH eli gH = hgH. Sivuluokkien ominaisuuksien perusteella tiedämme,
että nyt hg ∈ gH. Koska h on mielivaltainen aliryhmän H alkio, on päätelty,
että Hg ⊂ gH. Toisaalta voimme päättelyssä korvata alkion g alkiolla g −1 , jolloin hg −1 ∈ g −1 H. Nyt hg −1 = g −1 h$ jollakin h$ ∈ H ja siksi gh = h$ g. Siispä
gh ∈ Hg, ja koska h on mielivaltainen aliryhmän H alkio, saadaan gH ⊂ Hg.
Siten gH = Hg.
4.1.2
Normaali aliryhmä
4.1.1 Määritelmä. Ryhmän G aliryhmä N on normaali, jos sen vasemmat ja
oikeat sivuluokat ovat samat eli
gN = Ng
kaikilla g ∈ G.
Tällöin merkitään N ! G. Jos N on aito aliryhmä, voidaan käyttää merkintää
N " G.
4.1. TEKĲÄRYHMÄ
117
Huomaa, että vaihdannaisen ryhmän kaikki aliryhmät ovat normaaleja, sillä
gN = {gn | n ∈ N} = {ng | n ∈ N} = Ng.
4.1.2 Esimerkki. Ryhmä (Z, +) on vaihdannainen, joten sen kaikki aliryhmät
ovat normaaleja. Siten nZ on normaali aliryhmä kaikilla n ∈ Z. Siksi sivuluokkien
joukolle Z/nZ oli mahdollista määritellä laskutoimitus.
4.1.3 Esimerkki. Ryhmän S3 aliryhmä B = {(1), (12)} ei ole normaali. Esimerkiksi vasen sivuluokka (123)B = {(123), (13)} ei ole sama kuin oikea sivuluokka
B(123) = {(123), (23)}. Tästä johtuu, ettei laskutoimituksen määritteleminen onnistunut.
Aliryhmä A = {(1), (123), (132)} puolestaan on normaali. Vasemmat sivuluokat ovat A ja (12)A = {(12), (23), (13)}. Oikeat sivuluokat puolestaan ovat A ja
A(12) = {(12), (13), (23)}. Nähdään, että
(1)A = A = A(1),
(123)A = A = A(123),
(132)A = A = A(132),
(12)A = A(12),
(13)A = (12)A = A(12) = A(13),
(23)A = (12)A = A(12) = A(23),
joten gA = Ag kaikilla g ∈ S3 .
S3
A
(1) (123)
(132)
(12)
(23)
(13)
Kuva 4.4: Ryhmän S3 aliryhmän A sivuluokat
Huomaa, että ei itse asiassa ole tarpeen käydä läpi kaikkia ryhmän S3 alkioita.
Kaikki laskut tiivistyvät siihen, että sivuluokat (12)A ja A(12) ovat samat. Riittäisikin todeta, että vasempien sivuluokkien muodostama joukko on sama kuin
oikeiden sivuluokkien muodostama joukko. Alla oleva lemma selvittää, miksi tämä
pätee minkä tahansa ryhmän tapauksessa.
118
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
4.1.4 Lemma. Olkoon G ryhmä ja H sen aliryhmä. Oletetaan, että vasempien ja
oikeiden sivuluokkien muodostamat joukot ovat samat, eli G/H = H \ G. Tällöin
gH = Hg kaikilla g ∈ G.
Todistus. Olkoon g ∈ G. Koska vasempien ja oikeiden sivuluokkien muodostamat
joukot ovat samat, niin gH = Hg $ jollakin g $ ∈ G. Tällöin Hg = Hg $ , sillä sivuluokat muodostavat osituksen ja g on sekä joukon Hg $ että joukon Hg alkio. Siten
gH = Hg.
4.1.3
Tekĳäryhmä
Osoitimme edellä, että jos aliryhmä N on normaali, sivuluokkien joukossa G/N
voidaan määritellä laskutoimitus. Syntyvä rakenne on itse asiassa ryhmä. Ryhdymme nyt merkitsemään sivuluokkien laskutoimitusta samalla symbolilla kuin
ryhmän alkuperäistä laskutoimitusta.
4.1.5 Lause. Olkoon (G, ·) ryhmä ja N sen normaali aliryhmä. Sivuluokkien joukko G/N on ryhmä, kun sen laskutoimitus määritellään seuraavasti:
gN · hN = ghN
kaikilla g, h ∈ G.
Jos ryhmän G laskutoimitusta merkitään yhteenlaskulla, sivuluokkien laskutoimitus kirjoitetaan muodossa (g + N) + (h + N) = (g + h) + N.
Todistus. Joukon G/N ominaisuudet seuraavat ryhmän G ominaisuuksista. Oletetaan, että gN, hN, kN ∈ G/N.
(G0) Huomataan, että gN · hN = ghN ∈ G/N. Joukko G/N on siis suljettu
laskutoimituksen suhteen.
(G1) Koska
gN · (hN · kN) = gN · hkN = g(hk)N = (gh)kN
= ghN · kN = (gN · hN) · kN,
laskutoimitus on liitännäinen.
(G2) Neutraalialkio on N. Ryhmän G neutraalialkio e kuuluu aliryhmään N, joten
N = eN. Nyt huomataan, että
N · gN = eN · gN = egN = gN
ja vastaavasti gN · N = gN.
4.1. TEKĲÄRYHMÄ
119
(G3) Alkion gN käänteisalkio on g −1 N, sillä
gN · g −1 N = gg −1N = eN = N
ja vastaavasti g −1N · gN = N kaikilla g ∈ G.
4.1.6 Määritelmä. Olkoon G ryhmä ja N sen normaali aliryhmä. Ryhmää G/N
kutsutaan ryhmän G tekĳäryhmäksi aliryhmän N suhteen, kun laskutoimituksena
on
gN · hN = ghN kaikilla g, h ∈ G.
Tekĳäryhmän G/N kertaluku on aliryhmän N sivuluokkien lukumäärä eli indeksi [G : N]. Jos ryhmä G on äärellinen, Lagrangen lauseen perusteella tiedetään,
että |G/N| = |G|/|N|.
Kuten yleensäkin, tulon kertomerkki jätetään usein merkitsemättä ja kirjoitetaan
gN · hN = gNhN.
Merkintä gNhN voi nyt tarkoittaa kahta eri asiaa: tuloa gN · hN tai joukkoa
{gn1 hn2 | n1 , n2 ∈ N}. Tästä ei kuitenkaan aiheudu ongelmia, sillä tulemme
huomaamaan, että nämä kaksi joukkoa ovat samat.
G/N
G
N
N
Kuva 4.5: Ryhmä G ja sen tekĳäryhmä G/N.
4.1.7 Esimerkki. Ryhmän Z aliryhmä nZ on normaali, joten Z/nZ on ryhmä.
Kyseessä on jäännösluokkaryhmä Zn .
4.1.8 Esimerkki. Ryhmä Z6 on vaihdannainen, joten sen kaikki aliryhmät ovat
normaaleja. Siten myös aliryhmä N = 3[3]6 4 = {[0], [3]} on normaali. Tekĳäryhmän
alkioiden eli sivuluokkien lukumäärä on Lagrangen lauseen nojalla
|Z6 /N| = |Z6 |/|N| = 3.
120
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
Sivuluokat ovat
N = {[0], [3]},
[1] + N = {[1], [4]},
[2] + N = {[2], [5]}.
Ryhdytään laskemaan ryhmän Z6 /N yhteenlaskutaulua. Esimerkiksi
N + ([1] + N) = ([0] + N) + ([1] + N) = ([0] + [1]) + N = [1] + N
([1] + N) + ([2] + N) = ([1] + [2]) + N = [3] + N = N.
ja
Yhteenlaskutauluksi saadaan
+
N
[1] + N [2] + N
N
N
[1] + N [2] + N
[1] + N [1] + N [2] + N
N
[2] + N [2] + N
N
[1] + N
Huomataan, että neutraalialkio on N niin kuin pitääkin olla. Esimerkiksi alkion
[1] + N vasta-alkio on [2] + N = −[1] + N.
Kirjoitetaan vertailun vuoksi alkuperäisen ryhmän Z6 yhteenlaskutaulu, ja ryhmitellään siinä alkiot sivuluokkien mukaan:
+ [0] [3] [1] [4] [2] [5]
[0] 0 3 1 4 2 5
[3] 3 0 4 1 5 2
[1] 1 4 2 5 3 0
[4] 4 1 5 2 0 3
[2] 2 5 3 0 4 1
[5] 5 2 0 3 1 4
Huomataan, että yhteenlaskutauluun muodostuu ositus, joka vastaa tekĳäryhmän
kertotaulua.
4.1.9 Esimerkki. Koska ryhmän S3 aliryhmä A = {(1), (123), (132)} on normaali,
sivuluokkien joukko S3 /A on ryhmä. Huomataan, että
A · A = (1)A · (1)A = (1)(1)A = A,
A · (12)A = (1)A · (12)A = (1)(12)A = (12)A,
(12)A · A = (12)A · (1)A = (12)(1)A = (12)A,
(12)A · (12)A = (1)A = A.
4.1. TEKĲÄRYHMÄ
121
Z6/N
Z6
N
[0]
N
[3]
[1]
[2]
[5]
[2]+N
[1]+N
[4]
Kuva 4.6: Ryhmän Z6 tekĳäryhmä Z6 /N
Nyt voidaan kirjoittaa tekĳäryhmän kertotaulu:
A
(12)A
·
A
A
(12)A
(12)A (12)A
A
Neutraalialkio on A, ja alkio (12)A on itsensä käänteisalkio.
Tekĳäryhmän S3 /A kertotaulu näkyy myös ryhmän S3 kertotaulussa:
·
(1) (123) (132) (12) (13) (23)
(1)
(1) (123) (132) (12) (13) (23)
(123) (123) (132) (1)
(13) (23) (12)
(132) (132) (1) (123) (23) (12) (13)
(12) (12) (23) (13)
(1) (132) (123)
(13) (13) (12) (23) (123) (1) (132)
(23) (23) (13) (12) (132) (123) (1)
Kertotauluun muodostuu sivuluokkia noudattava ositus.
Tekĳäryhmälle S3 /A voidaan antaa myös geometrinen tulkinta. Luvun 1.4 perusteella tiedetään, että sivuluokan A alkioita voidaan ajatella kolmion kiertoina
ja sivuluokan (12)A alkioita peilauksina. Tekĳäryhmä kuvastaa kiertojen ja peilausten suhdetta. Kahden kierron tekeminen saa kolmion kiertymään, eli kierto
kertaa kierto on kierto. Vastaavasti peilaus kertaa peilaus on kierto, kierto kertaa
peilaus on peilaus ja peilaus kertaa kierto on peilaus. Tekĳäryhmässä kaikki tieto
kolmion symmetrioista pelkistyy siihen, miten peilaukset ja kierrot suhtautuvat
toisiinsa.
122
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
S3
S3/A
A
A
(1) (123)
(132)
(12)
(12)A
(23)
(13)
Kuva 4.7: Ryhmä S3 ja sen tekĳäryhmä S3 /A
4.1.4
Normaalien aliryhmien ominaisuuksia
Jos todistetaan määritelmää käyttäen, että ryhmän G aliryhmä N on normaali,
on osoitettava, että gN = Ng kaikilla g ∈ G. Mielivaltaisen ryhmän tapauksessa
saattaa olla työlästä osoittaa, että joukot gN ja Ng ovat samat. On nimittäin
osoitettava, että gN ⊂ Ng ja Ng ⊂ gN. Seuraava tulos osoittaa, että vain yhden
sisältyvyyden todistaminen riittää. Toinen sisältyvyys saadaan käänteisalkioiden
avulla.
4.1.10 Lause (Aliryhmän normaalisuuskriteeri). Olkoon G ryhmä. Sen aliryhmä
N on normaali jos ja vain jos
gng −1 ∈ N
kaikilla n ∈ N ja g ∈ G.
Toisin sanoen gNg −1 ⊂ N kaikilla g ∈ G.
Todistus. Todistuksen toinen suunta on suoraviivainen. Olkoon N normaali aliryhmä. Oletetaan, että g ∈ G ja n ∈ N. Normaalin aliryhmän määritelmän nojalla
gN = Ng, joten gn ∈ Ng. Siten gn = n$ g jollakin n$ ∈ N. Nyt gng −1 = n$ ∈ N.
Oletetaan sitten, että gng −1 ∈ N kaikilla n ∈ N ja g ∈ G. Jos g ∈ G ja n ∈ N,
niin gng −1 = n$ jollakin n$ ∈ N. Nyt tiedetään, että gn = n$ g ∈ Ng. Koska n on
mielivaltainen aliryhmän N alkio, seuraa tästä, että gN ⊂ Ng. Toinen sisältyvyys
saadaan käänteisalkioita käyttämällä. Oletuksen nojalla
g −1n(g −1 )−1 = g −1ng ∈ N,
ja siksi g −1ng = n$$ jollakin n$$ ∈ N. Huomataan, että ng = gn$$ , ja siten tiedetään,
että Ng ⊂ gN.
Olemme siis osoittaneet, että gN = Ng, ja siten N on normaali.
4.1. TEKĲÄRYHMÄ
123
4.1.11 Esimerkki. Olkoon G ryhmä, jonka neutraalialkio on e. Olemme aikaisemmin näyttäneet, että joukot {e} ja G ovat aliryhmiä. Osoitetaan normaalisuuskriteerin avulla, että ne ovat normaaleja. Oletetaan, että g ∈ G. Nyt geg −1 = gg −1 =
e, joten geg −1 ∈ {e}. Siten {e} on normaali. Jos taas x ∈ G, niin gxg −1 ∈ G, sillä
G on ryhmä. Siten G on normaali.
Huomaa, että normaalisuuskriteeriä käytettäessä on aina osoittettava, että käsiteltävä joukko on aliryhmä. Tarkastellaan esimerkiksi kokonaislukujen ryhmää
(Z, +) ja sen osajoukkoa X = {0, 1, 2}. Jos g ∈ Z ja n ∈ X, niin yhteenlaskun
vaihdannaisuudesta seuraa, että g + n − g = n ∈ X. Siten normaalisuuskriteerin ehto on voimassa. Joukko X ei kuitenkaan ole aliryhmä, eikä se siksi voi olla
normaali aliryhmä.
4.1.12 Esimerkki. Normaalisuuskriteerin muotoilua on kätevä käyttää myös silloin, kun halutaan osoittaa, että jokin aliryhmä ei ole normaali. Tutkitaan vaikkapa
ryhmän S4 aliryhmää H = {(1), (14), (23), (14)(23)}. Koska
/ H,
(13)−1 (14)(13) = (13)(14)(13) = (13)(134) = (34) ∈
aliryhmä H ei ole normaali.
4.1.13 Huomautus. Jos ryhmän G aliryhmän H indeksi on kaksi, niin H on normaali. Vasempia sivuluokkia on nimittäin tällöin kaksi: toinen niistä on H ja toinen G \ H (joukkoerotus). Myös oikeita sivuluokkia on kaksi, G ja G \ H. Siten
vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat väistämättä samat.
G
H
G\H
Kuva 4.8: Jos sivuluokkia on kaksi, niin toinen niistä on H ja toinen G \ H. Tällöin
vasemmat ja oikeat sivuluokat ovat samat.
4.1.5
Toinen lähestymistapa
Edellä määrittelimme sivuluokkien laskutoimituksen niiden edustajien avulla. Sivuluokkien joukon G/N laskutoimitusta voidaan lähteä tarkastelemaan myös toisesta näkökulmasta. Laskutoimitus on luonnollista määritellä siten, että kahden
sivuluokan kaikki alkiot kerrotaan keskenään. Toisin sanoen määritellään
gN 1 hN = {ab | a ∈ gN, b ∈ hN} = gNhN.
124
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
Nyt ei ole pelkoa siitä, että sivuluokkien edustajien valinta vaikuttaisi laskutoimitukseen, sillä määritelmässä ei valita erityisiä edustajia, vaan kaikki sivuluokkien
alkiot kerrotaan keskenään. Tällä kertaa on kuitenkin pidettävä huolta siitä, että saatu tulos on sivuluokka. Muuten kyseessä ei ole joukon G/N laskutoimitus.
Koska e on aliryhmän N alkio, ainakin tulo gehe = gh on joukossa gNhN. Jos
kyseessä siis on sivuluokka, sen on oltava sivuluokka ghN. Käy ilmi, että joukko gNhN on itse asiassa sivuluokka ghN täsmälleen silloin, kun N on normaali.
Väitteen todistusta ei tässä käydä tarkasti läpi. On kuitenkin helppo huomata,
että jos N on normaali ja sen vasemmat ja oikeat sivuluokat siten samoja, niin
gNhN = (gN)(hN) = (gN)(Nh) = g(NN)h
= gNh = g(Nh) = g(hN) = ghN.
Tiivistelmä
• Ryhmän G aliryhmä N on normaali, jos gN = Ng kaikilla g ∈ G. Tämä on
yhtäpitävää sen kanssa, että vasempien ja oikeiden sivuluokkien muodostamat joukot ovat samat.
• Jos ryhmän G aliryhmä N on normaali, sivuluokkien joukko G/N muodostaa
ryhmän. Laskutoimituksena on gN · hN = ghN kaikilla g, h ∈ G.
• Aliryhmä N ≤ G on normaali jos ja vain jos gng −1 ∈ N kaikilla n ∈ N ja
g ∈ G.
4.2. TEKĲÄRENGAS
4.2
125
Tekĳärengas
Samalla tavoin kuin ryhmälle määriteltiin tekĳäryhmä, voidaan renkaalle määritellä tekĳärengas. Tekĳäryhmät muodostettiin normaalien aliryhmien suhteen,
jolloin sivuluokkien joukossa oli mahdollista määritellä laskutoimitus. Tekĳärenkaan tapauksessa on pystyttävä määrittelemään kaksi laskutoimitusta, yhteen- ja
kertolasku.
Olkoon R rengas ja I sen osajoukko, jonka suhteen tekĳärengasta muodostetaan. Koska tekĳärenkaan on oltava ryhmä yhteenlaskun suhteen, täytyy osajoukon I olla normaali aliryhmä. Renkaan yhteenlasku on vaihdannainen, joten kaikki
yhteenlaskualiryhmät ovat normaaleja. Riittää siis olettaa, että I on aliryhmä. Nyt
voidaan muodostaa tekĳäryhmä (R/I, +), jonka alkiot ovat muotoa r + I, missä
r ∈ R. Yhteenlaskuna on
(r + I) + (s + I) = (r + s) + I.
Jotta tämä tekĳärakenne olisi rengas, siinä on määriteltävä kertolasku. Sen määrittelemistä on luonnollista yrittää sivuluokkien edustajien avulla:
(r + I) · (s + I) = rs + I.
Tällöin on pidettävä huolta siitä, että kertolasku voidaan todellakin määritellä,
sillä edustajan valinta ei saa vaikuttaa kertolaskun lopputulokseen. Käy ilmi, että
I ei voi olla mikä tahansa yhteenlaskualiryhmä.
4.2.1 Lemma. Yllä kuvattu kertolasku on mahdollista määritellä täsmälleen silloin, kun aliryhmä I toteuttaa ehdon
ra ∈ I
ja ar ∈ I
kaikilla r ∈ R, a ∈ I.
(4.2.2)
Todistus. Oletetaan, että ehto (4.2.2) pätee. Oletetaan lisäksi, että r + I = r $ + I
ja s + I = s$ + I. Nyt on osoitettava, että (r + I) · (s + I) = (r $ + I) · (s$ + I), eli
että
rs + I = r $ s$ + I.
Oletimme, että sivuluokat r + I ja r $ + I ovat samat, joten r ∈ r $ + I. Nyt r = r $ + a
jollakin a ∈ I. Samalla tavalla s = s$ + b jollakin b ∈ I. Huomataan, että
rs = (r $ + a)(s$ + b) = r $ s$ + r $ b + as$ + ab.
Aliryhmä I toteuttaa ehdon (4.2.2), joten r $ b, as$ ja ab ovat kaikki joukon I alkioita.
Lisäksi näiden alkioiden summa on joukon I alkio, sillä I on yhteenlaskun suhteen
aliryhmä. Siten rs ∈ r $ s$ + I. Koska rs on alkion r $ s$ edustamassa sivuluokassa,
126
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
sivuluokkien ominaisuuksien perusteella rs + I = r $ s$ + I. Siten kertolasku voidaan
määritellä.
Toisaalta voidaan osoittaa, että jos kertolasku voidaan määritellä, yhteenlaskualiryhmän I on toteutettava ehto (4.2.2). Olkoon r ∈ R ja a ∈ I. Joukko I on
aliryhmä, joten 0 ∈ I ja siksi a + I = 0 + I. Toisaalta on selvää, että r + I = r + I.
Jos kertolasku voidaan määritellä, täytyy päteä
ar + I = (0 · r) + I.
Huomataan, että (0 · r) + I = 0 + I = I, joten ar + I = I. Nyt sivuluokkien
ominaisuuksista seuraa ar ∈ I. Samalla tavoin voidaan osoittaa, että ra ∈ I, ja
siten ehto (4.2.2) pätee.
r+I = r’+I
R
r
r’
s
rs
I
s+I = s’+I
s’
r’s’
rs+I = r’s’+I
Kuva 4.9: Jotta sivuluokkien kertolasku voidaan määritellä, ehdoista r + I = r $ + I
ja s + I = s$ + I täytyy seurata rs + I = r $ s$ + I.
4.2.1
Ideaali
4.2.3 Määritelmä. Olkoon R rengas. Sen osajoukkoa I kutsutaan ideaaliksi, jos
(I1) (I, +) on ryhmän (R, +) aliryhmä
(I2) ra ∈ I ja ar ∈ I kaikilla r ∈ R ja a ∈ I.
Jos kyseessä on vaihdannainen rengas, ehdon (I2) kohdalla riittää todeta, että
ra ∈ I kaikilla r ∈ R ja a ∈ I.
4.2.4 Esimerkki. Jos R on rengas, osajoukot R ja {0} ovat sen ideaaleja. Nämä
ovat niin kutsutut triviaalit ideaalit.
4.2. TEKĲÄRENGAS
127
4.2.5 Esimerkki. Osoitetaan, että 3Z on renkaan Z ideaali. Joukon 3Z tiedetään
olevan aliryhmä yhteenlaskun suhteen. Oletetaan, että a ∈ 3Z ja n ∈ Z. Nyt on
olemassa sellainen k ∈ Z, että a = 3k. Huomataan, että
na = n · 3k = 3nk ∈ 3Z.
Koska rengas Z on vaihdannainen, tästä seuraa, että 3Z on ideaali.
Samalla tavalla voidaan osoittaa, että nZ on renkaan Z ideaali, kun n ∈ Z.
Muita ideaaleja renkaassa Z ei sitten olekaan. Ideaalin on nimittäin oltava aliryhmä, ja kaikki aliryhmät ovat muotoa nZ.
4.2.6 Esimerkki. Jäännösluokkarenkaan (Zn , +, ·) ideaaleja ovat kaikki sen yhteenlaskualiryhmät. Tämä voidaan osoittaa samalla tavalla kuin renkaan Z tapauksessa. Koska (Zn , +) on syklinen ryhmä, sen aliryhmät ja siten myös ideaalit
ovat muotoa 3[k]n 4, missä k on luvun n tekĳä.
4.2.7 Esimerkki. Olemme aikaisemmin todenneet, että
√
√
Z[ 2] = {n + 2m | n, m ∈ Z}
on rengas. Osoitetaan, että sillä on ideaali
√
I = {2a + 2b | a, b ∈ Z}.
(I1) Ei ole vaikea nähdä, että joukko I on suljettu yhteenlaskun suhteen, sisältää alkion 0 sekä jokaisen alkionsa vasta-alkion. Yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi.
√
√
√
(I2) Oletetaan, että 2a + 2b ∈ I ja n + 2m ∈ Z[ 2]. Nyt
√
√
√
√
(n + 2m)(2a + 2b) = 2na + 2nb + 2 2ma + 2mb
√
√
= 2(na + mb) + 2(nb + 2ma) ∈ Z 2.
√
Rengas Z[ 2] on kokonaislukujen renkaan alirenkaana vaihdannainen, joten tuloa
ei tarvitse tarkastella toisin päin.
√
Siten I on renkaan Z[ 2] ideaali.
4.2.8 Esimerkki. Olkoon A joukko. Esimerkissä 3.1.5 huomattiin, että potenssĳoukko P(A) on rengas, kun laskutoimituksina ovat symmetrinen erotus 9 ja
leikkaus ∩. Olkoon B ⊂ A. Tällöin joukko P(B) on renkaan P(A) ideaali.
(I1) Ensinnäkin jokainen joukon B osajoukko on myös joukon A osajoukko,
joten P(B) ⊂ P(A). Oletetaan, että C, D ∈ P(B). Nyt symmetrinen erotus
128
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
C9D = (C \ D) ∪ (D \ C) on myös joukon B osajoukko, joten P(B) on suljettu laskutoimituksen 9 suhteen. Nolla-alkio ∅ on joukon B osajoukko, joten
∅ ∈ P(B). Lisäksi jokainen alkio on oma vasta-alkionsa, ja siksi P(B) sisältää
kaikkien alkioidensa vasta alkiot. Siten (P(B), 9) on ryhmän (P(A), 9) aliryhmä.
(I2) Olkoot C ∈ P(A) ja D ∈ P(B). Nyt C ∩D ⊂ D ⊂ B, joten C ∩D ∈ P(B).
Huomataan vielä, että rengas P(A) on vaihdannainen, ja siten osajoukko P(B) on
ideaali.
4.2.2
Tekĳärengas
Renkaan R ideaalin I sivuluokkien joukkoa merkitään R/I. Se koostuu siis alkioista
r + I = {r + a | a ∈ I},
missä r ∈ R. Osoitimme edellä, että sivuluokkien joukossa R/I voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku. Tulemme näkemään, että näin muodostuva rakenne on
rengas.
4.2.9 Lause. Olkoon R rengas ja I sen ideaali. Sivuluokkien joukko R/I on rengas,
kun sille määritellään laskutoimitukset
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I
ja
(a + I) · (b + I) = ab + I.
Tätä rengasta kutsutaan renkaan R tekĳärenkaaksi ideaalin I suhteen.
Todistus. (R1) Koska (I, +) on ryhmän (R, +) normaali aliryhmä, voidaan muodostaa tekĳäryhmä (R/I, +). Tekĳäryhmän vaihdannaisuus seuraa ryhmän (R, +)
vaihdannaisuudesta. Nolla-alkiona on sivuluokka I ja sivuluokan a + I vasta-alkio
on (−a) + I.
(R2) Kertolasku voidaan määritellä, sillä I on ideaali. Sivuluokkien tulo on aina
sivuluokka, joten kyseessä on joukon R/I laskutoimitus. Kertolaskun liitännäisyys
seuraa renkaan kertolaskun liitännäisyydestä samalla tavoin kuin tekĳäryhmien
tapauksessa. Kertolaskun neutraalialkio on sivuluokka 1 + I, sillä kaikilla a + I ∈
R/I pätee
(1 + I) · (a + I) = (1 · a) + I = a + I
ja vastaavasti (a + I) · (1 + I) = a + I.
4.2. TEKĲÄRENGAS
129
(R3) Todistetaan vielä osittelulait. Ne seuraavat renkaan R osittelulaeista. Olkoot a + I, b + I, c + I ∈ R/I. Nyt
(a + I) · [(b + I) + (c + I)] = (a + I) · [(b + c) + I]
= a(b + c) + I = (ab + ac) + I = (ab + I) + (ac + I)
= [(a + I) · (b + I)] + [(a + I) · (c + I)].
Samalla tavalla osoitetaan, että
[(a + I) + (b + I)] · (c + I) = [(a + I) · (c + I)] + [(b + I) · (c + I)].
Siten (R/I, +, ·) on rengas.
R/I
R
1
I
I
0
1+I
Kuva 4.10: Tekĳärengas R/I
4.2.10 Esimerkki. Tekĳärenkaan Z/nZ alkioita ovat sivuluokat a+nZ. Kyseessä
on siis jäännösluokkien joukko Zn . Tekĳärenkaan yhteen- ja kertolasku ovat samat
kuin jäännösluokkien yhteen- ja kertolasku.
4.2.11 Esimerkki. Totesimme aiemmin, että renkaan Zn ideaalit ovat samat
kuin sen aliryhmät. Tästä seuraa, että joukko I = {[0], [3]} on renkaan Z6 ideaali.
(Tätä samaa osajoukkoa tutkimme jo tekĳäryhmien yhteydessä.) Tekĳärenkaan
Z6 /I alkiot ovat
I = {[0], [3]},
[1] + I = {[1], [4]},
[2] + I = {[2], [5]}.
Renkaan Z6 /I yhteenlaskutaulu saadaan suoraan esimerkistä 4.1.8:
I
[1] + I [2] + I
+
I
I
[1] + I [2] + I
[1] + I [1] + I [2] + I
I
[2] + I [2] + I
I
[1] + I
130
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
Lasketaan vielä tekĳärenkaan kertotaulu. Esimerkiksi
I · ([1] + I) = ([0] + I) · ([1] + I) = ([0] · [1]) + I = [0] + I = I,
([1] + I) · ([1] + I) = ([1] · [1]) + I = [1] + I ja
([2] + I) · ([2] + I) = ([2] · [2]) + I = [4] + I = [1] + I.
Kertotauluksi saadaan
·
I
[1] + I
[2] + I
I [1] + I [2] + I
I
I
I
I [1] + I [2] + I
I [2] + I [1] + I.
Huomataan, että nolla-alkio on I ja ykkösalkio [1] + I niin kuin pitääkin.
4.2.12 Esimerkki. Olemme aikaisemmin todenneet, että
√
√
Z[ 2] = {n + 2m | n, m ∈ Z}
on rengas, jolla on ideaali
I = {2a +
√
2b | a, b ∈ Z}.
√
√
Tarkastellaan
renkaan Z[ 2] = {n + 2m | n, m ∈ Z} tekĳärengasta ideaalin
√
I = {2a + √
2b | a, b ∈ Z} suhteen. Tekĳärenkaan R/I alkiot ovat muotoa r + I,
missä r ∈ Z[ 2]. Käy ilmi, että sivuluokkia on vain kaksi.
Tutkitaan, millaisia sivuluokkia saadaan erilaisilla renkaan alkioilla:
√
I = {2a + 2b | a, b ∈ Z},
√
1 + I = {1 + 2a + 2b | a, b ∈ Z},
√
2 + I = {2 + 2a + 2b | a, b ∈ Z}
√
= {2(1 + a) + 2b | a, b ∈ Z},
√
√
√
(1 + 2) + I = {1 + 2 + 2a + 2b | a, b ∈ Z},
√
= {1 + 2a + 2(1 + b) | a, b ∈ Z}.
√
Huomataan, että esimerkiksi sivuluokat I ja 2 + I sekä√1 + I ja (1 + 2) + I ovat
samat. Itse asiassa on niin, että renkaan alkio r = n + 2m on joko luokassa I tai
luokassa 1 + I sen mukaan, onko n parillinen vai pariton.
Todistetaan viimeksi mainittu väite. Oletetaan
ensin, että n on parillinen, jol√
loin n = 2k jollakin k ∈ Z. Nyt r = 2k + 2m, joten r ∈ I. Jos taas n on pariton,
niin n = 2k + 1 jollakin k ∈ Z. Nyt
√
√
r = (2k + 1) + 2m = 1 + (2k + 2m),
4.2. TEKĲÄRENGAS
131
joten r ∈ 1 + I. Koska jokainen renkaan alkio kuuluu joko sivuluokkaan I tai 1 + I
ja sivuluokat eivät selvästikään ole samat, saadaan R/I = {I, 1 + I}.
Lasketaan vielä tekĳärenkaan yhteen- ja kertolaskutaulut. Sivuluokka I on
nolla-alkio ja 1 + I on ykkösalkio, joten ainoa lasku, joka tauluja varten tarvitsee
laskea, on
(1 + I) + (1 + I) = 2 + I = I.
Nyt laskutoimitustauluiksi saadaan
+
I
1+I
I
I
1+I
I
1+I 1+I
Z[$2] / I
Z[$2]
1-$2
-1+2$2
0
1
·
I 1+I
I
I
I
1 + I I 1 + I.
2+$2
I
4+3$2 ...
1+3$2
...
1+I
√
Kuva 4.11: Esimerkin 4.2.12 tekĳärengas Z[ 2]/I
4.2.3
Toinen lähestymistapa
Tekĳärenkaan kertolaskua voitaisiin lähestyä myös toisesta näkökulmasta, kuten
tekĳäryhmän tapauksessa tehtiin. Kertolasku voidaan määritellä kertomalla kaikki
sivuluokkien alkiot keskenään:
(r + I) · (s + I) = {xy | x ∈ r + I, y ∈ s + I}.
Aikaisemmin esiteltyjä merkintöjä käyttäen kyseessä on joukko (r + I)(s + I).
Jos kertolasku määritellään tähän tapaan, ei tarvitse huolehtia edustajista, sillä
kaikki sivuluokkien alkiot vain kerrotaan keskenään. Sen sĳaan on tarkistettava,
että tulos (r + I)(s + I) on sivuluokka.
Voidaan osoittaa, että joukko (r+I)(s+I) on sivuluokka täsmälleen silloin, kun
I on ideaali, ja tällöin kyseessä on sivuluokka rs + I. Olkoot r, s ∈ R. Huomataan,
että
(r + I)(s + I) = rs + rI + Is + II.
132
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
Ideaalin määritelmän perusteella
rs + rI + Is + II = rs + I + I + I = rs + I.
Jos siis I on ideaali, on tulo (r + I)(s + I) sivuluokka. Myös käänteinen väite pätee,
mutta sitä ei käsitellä tässä. Nähdään kuitenkin, että sivuluokkien kertolaskun
kaksi eri määritelmää antavat saman tuloksen.
Kuten yleensäkin kertolaskun tapauksessa, kertomerkki voidaan jättää kirjoittamatta: (r + I) · (s + I) = (r + I)(s + I). Yhtälön oikealla puolella oleva joukko
voidaan nyt tulkita joko sivuluokkien tuloksi tai kahden joukon tuloksi. Nämä
kaksi tulkintaa antavat kuitenkin saman joukon.
Tiivistelmä:
• Renkaan (R, +, ·) osajoukko I on ideaali, jos (I, +) on aliryhmä ja ra, ar ∈ I
kaikilla r ∈ R ja a ∈ I.
• Olkoon R rengas ja I sen ideaali. Sivuluokkien joukko R/I muodostaa renkaan, kun sen laskutoimituksina ovat (r + I) + (s + I) = (s + r) + I ja
(r + I) · (s + I) = sr + I.
4.3. IDEAALIEN TEORIAA
4.3
133
Ideaalien teoriaa
Tässä luvussa tutustutaan muutamiin hyödyllisiin ideaalien ominaisuuksiin. Ensimmäinen lemma osoittaa, että ainoa ideaali, joka sisältää ykkösalkion, on rengas
itse. Tämä tieto auttaa monissa todistuksissa. Jos on osoitettava, että tarkasteltava ideaali on itse asiassa koko rengas, riittää osoittaa, että ideaali sisältää ykkösalkion.
4.3.1 Lemma. Olkoon I renkaan R ideaali. Jos 1 ∈ I, niin I = R.
Todistus. Oletetaan, että 1 ∈ I. Ideaalin määritelmästä seuraa, että r · 1 ∈ I
kaikilla r ∈ R. Siten R ⊂ I, mistä seuraa, että I = R.
Huomaa, että lemman nojalla aidot ideaalit eivät koskaan voi olla alirenkaita,
koska ne eivät sisällä ykkösalkiota. Tässä kohdassa renkaat eroavat ryhmistä, joiden jokainen normaali aliryhmä (joka siis vastaa tekĳäryhmien teoriassa ideaalia)
on tietysti myös aliryhmä. (Joissakin lähteissä kylläkin renkaan määritelmässä ei
vaadita ykkösalkion olemassaoloa, jolloin kaikki ideaalit ovat alirenkaita, ja vastaavuus säilyy.)
Ideaalin on oltava yhteenlaskun suhteen aliryhmä. Käyttämällä aliryhmän määritelmän sĳasta aliryhmäkriteeriä voidaan ideaalitodistuksissa säästää vaivaa.
4.3.2 Lause (Ideaalikriteeri). Olkoon R rengas. Sen epätyhjä osajoukko I on ideaali täsmälleen silloin, kun kaikilla a, b ∈ I ja r ∈ R pätee
(IK1) a − b ∈ I
(IK2) ra ∈ I ja ar ∈ I.
Jos I ja J ovat renkaan R ideaaleja, niiden summa on joukko
I + J = {a + b | a ∈ I, b ∈ J}.
4.3.3 Lause. Olkoot I ja J renkaan R ideaaleja. Tällöin myös I + J ja I ∩ J ovat
renkaan R ideaaleja.
Todistus. Aloitetaan väitteen ensimmäisestä osasta ja käytetään todistuksessa ideaalikriteeriä. Rengas sisältää kaikki alkioidensa summat, joten I + J on renkaan R
osajoukko. Huomataan, että 0 = 0 + 0 ∈ I + J, joten I ei ole tyhjä joukko. Olkoot
a, b ∈ I ja c, d ∈ J. Tällöin
(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) ∈ I + J,
134
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
sillä ideaalin määritelmän perusteella a − b ∈ I ja c − d ∈ J. Olkoon sitten r ∈ R.
Nyt
r(a + c) = ra + rc ∈ I + J,
sillä ideaalin määritelmän nojalla ra ∈ I ja rc ∈ J. Samalla tavoin nähdään, että
(a + c)r ∈ I + J. Siten I + J on ideaali.
Väitteen jälkimmäinen osa jätetään harjoitustehtäväksi.
4.3.1
Virittäminen
4.3.4 Määritelmä. Olkoon R rengas ja A sen osajoukko. Osajoukon A virittämä
ideaali on pienin ideaali, joka sisältää joukon A. Tätä ideaalia merkitään 3A4.
Toisin sanoen, jos I on jokin ideaali ja A ⊂ I, niin silloin 3A4 ⊂ I.
Tutkitaan, miltä näyttää yhden alkion virittämä ideaali vaihdannaisessa renkaassa R. Olkoon a ∈ R. Ideaalin 3a4 on sisällettävä kaikki tulot ra, missä r ∈ R.
Ei ole toisaalta vaikea osoittaa, että joukko {ar | r ∈ R} on ideaali. Se on siis
pienin ideaali, johon alkio a kuuluu.
4.3.5 Lause. Olkoon R vaihdannainen rengas ja a ∈ R. Tällöin
3a4 = {ar | r ∈ R}.
Huomaa, että renkaan vaihdannaisuus on tässä olennaista. Epävaihdannaisessa
renkaassa tilanne on monimutkaisempi, emmekä tarkastele sitä tässä.
4.3.6 Esimerkki. Renkaan Z ideaalin nZ virittää alkio n, sillä nZ = {rn | r ∈ Z}.
Huomataan, että renkaan Z ideaali 3n4 sisältyy ideaaliin 3m4 jos ja vain jos
m|n. Jos nimittäin 3n4 ⊂ 3m4, niin n ∈ 3m4, jolloin lauseen mukaan n = rm
jollain r ∈ Z. Toisaalta, jos m jakaa luvun n, niin n ∈ 3m4 ja ideaalin määritelmän
nojalla rn ∈ 3m4 kaikilla r ∈ Z. Tämä tarkoittaa sitä, että 3n4 ⊂ 3m4. Ideaalit
ovat itse asiassa erittäin käyttökelpoisia tutkittaessa jaollisuutta mielivaltaisissa
renkaissa.
√
√
√
4.3.7 Esimerkki. Tutkitaan renkaassa
| a, b ∈ Z} alkion√ 2
√ Z[ 2] =
√ {a + b 2 √
virittämää ideaalia.
Tiedetään, että 3 24 = {r 2 | r ∈ Z[ 2]}. Jos r ∈ Z[ 2],
√
niin r = a + 2b joillakin a, b ∈ Z. Nyt
√
√ √
√
r 2 = (a + 2b) 2 = 2b + 2a,
4.3. IDEAALIEN TEORIAA
joten alkio
√
135
2 virittää ideaalin
√
I = {2a + b 2 | a, b ∈ Z}.
Tätä ideaalia tutkittiin jo esimerkissä 4.2.7.
4.3.8 Määritelmä. Yhden alkion virittämää ideaalia kutsutaan pääideaaliksi. Jos
renkaan kaikki ideaalit ovat pääideaaleja, sitä kutsutaan pääideaalirenkaaksi
Esimerkiksi nollaideaali {0} on pääideaali, sillä sen virittää alkio 0. Myös rengas itse on pääideaali, sillä sen virittää alkio 1. Kokonaislukujen rengas on pääideaalirengas, sillä sen ideaalit ovat muotoa nZ, ja tällaisen ideaalin virittäjä on n.
Myös jäännösluokkarengas Zn on pääideaalirengas.
4.3.9 Lause. Jos R on vaihdannainen rengas, niin
3a1 , a2 , . . . , ak 4 = {r1 a1 + r2 a2 + · · · + rk ak | ri ∈ R kaikilla i}.
Todistus. Merkitään
I = {r1 a1 + r2 a2 + · · · + rk ak | ri ∈ R}.
Ensinnäkin joukko I on ideaali joka sisältää alkiot a1 , a2 , . . . , ak . Tämän osoittaminen jätetään harjoitustehtäväksi.
Täytyy vielä osoittaa, että I on pienin ideaali, joka sisältää alkiot a1 , a2 , . . . , ak .
Oletetaan, että J on jokin ideaali, johon alkiot a1 , a2 , . . . , ak kuuluvat. Ideaalin
määritelmän nojalla r1 a1 + r2a2 + · · · + rk ak ∈ J kaikilla ri ∈ R, joten I ⊂ J, mikä
oli todistettava.
Olemme siis osoittaneet, että I on pienin ideaali, joka sisältää alkiot a1 , a2 , . . . , ak .
4.3.2
Kunnat ja maksimaaliset ideaalit
Kunnilla on hyvin vähän ideaaleja. Esimerkiksi rengas Zn on kunta täsmälleen
silloin, kun n on alkuluku. Jos n on alkuluku, on syklisellä ryhmällä (Zn , +) vain
kaksi yhteenlaskualiryhmää: {[0]n } ja Zn . Nämä ovat siis renkaan ainoat ideaalit.
Vastaava tulos pätee kaikille kunnille.
4.3.10 Lause. Kunnalla K on täsmälleen kaksi ideaalia, K ja {0}.
Todistus. Olkoon K kunta ja I %= {0} sen ideaali. Olkoon a ∈ I \ {0}. Koska K on
kunta, alkiolla a on käänteisalkio a−1 . Ideaalin määritelmän nojalla 1 = a−1 a ∈ I.
Nyt ideaali I sisältää ykkösalkion, ja lemman 4.3.1 perusteella I = K.
136
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
Myös käänteinen väite pätee. Esimerkiksi renkaassa Zn kaikki yhteenlaskualiryhmät ovat ideaaleja, ja ne vastaavat luvun n tekĳöitä. Jos ideaaleja on vain
kaksi, on tekĳöitäkin vain kaksi: 1 ja n. Luku n on siis alkuluku ja rengas Zn
kunta.
4.3.11 Lause. Jos vaihdannaisella renkaalla R on täsmälleen kaksi ideaalia, R ja
{0}, rengas on kunta.
Todistus. Oletetaan, että renkaalla R on täsmälleen kaksi ideaalia. Nollarenkaalla on vain yksi ideaali, joten R %= {0}. Koska R ja {0} ovat siis molemmat eri
ideaaleja, ne ovat renkaan R ainoat ideaalit. Oletetaan nyt, että a ∈ R \ {0} ja
osoitetaan, että alkiolla a on käänteisalkio kertolaskun suhteen.
Tutkitaan alkion a virittämää ideaalia 3a4. Koska kyseinen ideaali ei voi olla
nollaideaali, täytyy päteä 3a4 = R. Siten 1 ∈ 3a4. Toisaalta lauseen 4.3.9 nojalla
tiedämme, että ideaalin 3a4 alkiot ovat muotoa ra, missä r ∈ R. Siten 1 = ra
jollakin r ∈ R. Rengas R on vaihdannainen, joten r on alkion a käänteisalkio.
Siten R on kunta.
4.3.12 Määritelmä. Renkaan R aito ideaali M on maksimaalinen, jos ei ole
olemassa sellaista ideaalia I, että M ! I ! R.
Toisin sanoen M on maksimaalinen, jos seuraava ehto on voimassa: jos I on
renkaan R ideaali, jolle pätee M ⊂ I ⊂ R, niin joko I = M tai I = R.
4.3.13 Esimerkki. Esimerkissä 4.3.6 todettiin, että renkaan Z ideaali nZ sisältyy
ideaaliin mZ täsmälleen silloin, kun m|n. Siksi ideaali pZ on maksimaalinen, kun p
on alkuluku. Jos nimittäin pZ ⊂ I ⊂ Z jollakin ideaalilla I, niin I on muotoa nZ.
Tällöin n jakaa luvun p, mistä seuraa, että n = 1 tai n = p. Edellisessä tapauksessa
I = Z ja jälkimmäisessä I = pZ, joten pZ on maksimaalinen.
4.3.14 Esimerkki. Esimerkin 4.2.11 ideaali I on maksimaalinen, mikä nähdään
seuraavasti. Oletetaan, että on olemassa ideaali J, jolle pätee I ⊂ J ⊂ Z6 . Nyt I ja
J ovat ryhmän (Z6 , +) aliryhmiä, joten voimme käyttää Lagrangen lausetta. Sen
mukaan kertaluku |I| jakaa kertaluvun |J|, joka edelleen jakaa kertaluvun |Z6 |.
Koska |I| = 2 ja |Z6 | = 6, täytyy päteä |J| = 2 tai |J| = 6. Tästä seuraa, että
J = I tai J = Z6 . Ideaali I on siis maksimaalinen.
Maksimaalisten ideaalien avulla voidaan tuottaa kuntia.
4.3.15 Lause. Olkoon R vaihdannainen rengas ja I sen ideaali. Tekĳärengas R/I
on kunta jos ja vain jos I on maksimaalinen ideaali.
4.3. IDEAALIEN TEORIAA
137
Todistus. Oletetaan ensin, että I on maksimaalinen. Tällöin I %= R, joten edelleen R/I %= {I}. Koska I on tekĳärenkaan nolla-alkio, tämä tarkoittaa sitä, että
tekĳärengas ei ole nollarengas.
On osoitettava, että jokaisella renkaan R/I nollasta poikkeavalla alkiolla on
käänteisalkio. (Muista, että nolla-alkio on I.) Oletetaan, että a + I ∈ R/I ja
a + I %= I. Nyt a ∈
/ I. Tarkastellaan alkion a virittämää ideaalia 3a4. Lemman
4.3.3 nojalla I + 3a4 on ideaali. Koska I ! I + 3a4 ja I on maksimaalinen, täytyy
olla I + 3a4 = R. Siten 1 ∈ I + 3a4 eli 1 = b + ra joillakin b ∈ I ja r ∈ R. Käy ilmi,
että r + I on alkion a + I käänteisalkio. Huomataan nimittäin, että
(r + I)(a + I) = ra + I = (1 − b) + I = 1 + (−b + I) = 1 + I.
Rengas R on vaihdannainen, joten myös R/I on vaihdannainen. Siten r + I on
etsitty käänteisalkio, ja R/I on kunta.
Oletetaan sitten, että R/I on kunta. Olkoon J sellainen renkaan R ideaali,
että I ! J. On osoitettava, että J = R. Olkoon a ∈ J \ I. Nyt a + I %= I, joten
a + I ei ole nolla-alkio. Koska R/I on kunta, alkiolla a + I on käänteisalkio b + I.
Huomataan, että
1 + I = (a + I)(b + I) = ab + I,
mistä voidaan päätellä, että 1 ∈ ab + I. Nyt on olemassa sellainen c ∈ I, että 1 =
ab + c. koska a ∈ J, ideaalin määritelmän nojalla ab ∈ J. Lisäksi c ∈ I ⊂ J, joten
1 = ab + c ∈ J. Nyt lemmasta 4.3.1 seuraa J = R, joten I on maksimaalinen.
Lauseen idean voi hahmottaa seuraavasti: Vaihdannaisista renkaista kuntia
ovat ne, joiden ainoa aito ideaali on nollaideaali. Mistä tahansa vaihdannaisesta renkaasta voidaan tuottaa kunta luhistamalla sen jokin maksimaalinen ideaali
nollaksi eli samastamalla kaikki tuon ideaalin alkiot nollan kanssa. Tällöin myös
kaikki maksimaalisen ideaalin sisältämät ideaalit romahtavat nollaideaaliksi, ja
maksimaalisuudesta seuraa, että syntyvään tekĳärenkaaseen ei jää muita ideaaleja.
Osoitimme aiemmin, että esimerkin 4.2.11 ideaali I on maksimaalinen. Tästä
seuraa, että Z6 /I on kunta. Kertotaulusta näkyy, että jokaisella nollasta poikkeavalla alkiolla todellakin on käänteisalkio.
√
Myös esimerkin 4.2.12 tekĳärengas Z[ 2]/I on kunta, sillä ainoa nollasta poikkeava alkio 1 + I on itsensä käänteisalkio. Siten ideaali I on maksimaalinen.
Tiivistelmä:
• Jos renkaan R ideaali I sisältää alkion 1R , niin I = R.
138
LUKU 4. TEKĲÄRAKENTEET
• Kunnalla K on vain kaksi ideaalia, K ja {0}.
• Maksimaalisten ideaalien avulla voidaan tuottaa kuntia.
Luku 5
Homomorfismit
5.1
5.1.1
Ryhmähomomorfismi
Ryhmien isomorfisuus
Olemme aikaisemmin todenneet, että ryhmän laskutoimitustaulu määrittää laskutoimituksen täydellisesti. Toisaalta eri ryhmillä saattaa olla täsmälleen samanlainen laskutoimitustaulu. Algebran näkökulmasta tällaisilla ryhmillä ei ole eroa.
Toinen saadaan toisesta vain merkintöjä muuttamalla. Esimerkiksi ryhmän Z3 yhteenlaskutaulu on
+ [0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1].
ja ryhmän H = {[0]6 , [2]6 , [4]6 } puolestaan
+
[0]
[2]
[4]
[0]
[0]
[2]
[4]
[2]
[2]
[4]
[0]
[4]
[4]
[0]
[2].
Saamme ensimmäisestä taulusta toisen korvaamalla ryhmän Z3 alkiot ryhmän H
alkioilla seuraavasti:
[0]3 ↔ [0]6
[1]3 ↔ [2]6
[2]3 ↔ [4]6
139
140
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
Huomataan myös, että ryhmän S3 aliryhmällä A = {(1), (123), (132)} on samanlainen kertotaulu kuin edellä olevat yhteenlaskutaulut:
·
(1) (123) (132)
(1)
(1) (123) (132)
(123) (123) (132) (1)
(132) (132) (1) (123).
Kertotaulujen vertailu on isompien ryhmien tapauksessa työlästä ja äärettömillä ryhmillä jopa mahdotonta. Tarvitaan jokin yleisempi tapa todeta, että ryhmillä
on samanlaiset kertotaulut. Jotta ryhmien G ja H kertotaulut olisivat samat, niin
ensinnäkin näiden kahden ryhmän välillä on oltava bĳektio f : G → H, joka takaa sen, että ryhmissä on yhtä paljon alkioita. Lisäksi laskutoimitusten on oltava
samanlaiset: kahden ryhmän G alkion tulon on vastattava alkioiden kuvien tuloa
ryhmässä H. Toisin sanoen jos a, b ∈ G, niin ab +→ f (a)f (b).
f(b)
b
f
a
f(a)
ab
f(a)f(b)
Kuva 5.1: Jotta kertotaulut olisivat samanlaiset, on alkion ab kuvauduttava alkiolle
f (a)f (b).
5.1.1 Määritelmä. Olkoot (G, ∗) ja (H, ◦) ryhmiä ja f : G → H jokin kuvaus.
Kuvaus f on ryhmähomomorfismi tai lyhyemmin homomorfismi, jos kaikilla ryhmän G alkioilla x ja y pätee
f (x ∗ y) = f (x) ◦ f (y).
Bĳektiivistä ryhmähomomorfismia kutsutaan isomorfismiksi.
Jos kahden ryhmien G ja H välille voidaan määritellä isomorfismi, niin sanotaan, että ryhmät ovat isomorfiset ja merkitään
G∼
= H.
Isomorfisilla ryhmillä on samanlaiset kertotaulut.
5.1. RYHMÄHOMOMORFISMI
141
Tulemme näkemään, että myös sellaiset homomorfismit, jotka eivät ole isomorfismeja, ovat kiinnostavia. Ne säilyttävät ryhmän rakenteen, mutta eivät tee sitä
yhtä tarkasti kuin isomorfismit. Isomorfismi antaa täydellisen kopion ryhmästä,
mutta homomorfismissa saattaa kadota yksityiskohtia.
5.1.2 Esimerkki. Kuvaus f : (Z, +) → (2Z, +), f (n) = 2n on homomorfismi, sillä
f (n + m) = 2(n + m) = 2n + 2m = f (n) + f (m).
Kuvaus on myös bĳektio, joten ryhmät (Z, +) ja (2Z, +) ovat isomorfiset.
5.1.3 Esimerkki. Olkoot G ryhmä. Kuvaus
idG : G → G,
id(x) = x
on ryhmähomomorfismi, sillä idG (xy) = xy = idG (x)idG (y). Olkoon myös H ryhmä, jolla on neutraalialkio eH . Kuvaus
fe : G → H,
fe (x) = eH
kaikilla x ∈ G
on ryhmähomomorfismi, sillä fe (xy) = eH = eH eH = fe (x)fe (y).
5.1.4 Esimerkki. Merkitään R+ = {x ∈ R | x > 0}. Huomataan, että (R+ , ·) on
ryhmä. Se on isomorfinen ryhmän (R, +) kanssa, ja isomorfismina toimii eksponenttifunktio f : R → R+ , f (x) = ex . Koska
f (x + y) = ex+y = ex ey = f (x)f (y),
eksponenttifunktio on ryhmähomomorfismi. Se on myös bĳektio, joten ryhmät ovat
isomorfiset.
5.1.5 Esimerkki. Olemme aiemmin todenneet, että reaalikertoimiset vektoriavaruudet ovat ryhmiä, kun laskutoimituksena on vektorien yhteenlasku. Lineaarikuvaukset toteuttavat ryhmähomorfismin ehdon, joten ne ovat myös ryhmähomomorfismeja. Vektoriavaruuksien väliset isomorfismit ovat ryhmäisomorfismeja.
5.1.2
Ryhmähomomorfismien ominaisuuksia
Tästä lähin merkitsemme ryhmän G neutraalialkiota eG . Ryhmähomomorfismissa
neutraalialkio kuvautuu neutraalialkiolle, ja käänteisalkiot kuvautuvat käänteisalkioille.
5.1.6 Lemma. Jos f : (G, ∗) → (H, ◦) on ryhmähomomorfismi, niin
142
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
i) f (eG ) = eH
ii) f (a−1 ) = f (a)−1 kaikilla a ∈ G.
Todistus. Huomataan, että
f (eG ) = f (eG ∗ eG ) = f (eG ) ◦ f (eG ).
Kertomalla yhtälön molemmat puolet alkion f (eG ) käänteisalkiolla ryhmässä H
saadaan tulokseksi eH = f (eG ).
Oletetaan sitten, että a ∈ G. Nyt
f (a) ◦ f (a−1 ) = f (a ∗ a−1 ) = f (eG ) = eH .
Samalla tavalla voidaan osoittaa, että f (a−1 ) ◦ f (a) = eH . Tämä tarkoittaa sitä,
että f (a−1 ) on alkion f (a) käänteisalkio.
5.1.7 Esimerkki. Kuvaus
π : (Z, +) → (Z5 , +),
π(a) = [a]5
on homomorfismi, sillä π(a + b) = [a + b]5 = [a]n + [b]5 = π(a) + π(b) kaikilla
a, b ∈ Z. Kuvaus ei ole injektio, sillä esimerkiksi
π(5) = [5]5 = [0]5 = π(0).
Kyseessä ei siis ole isomorfismi. Huomaa, että π on itse asiassa kuvaus ryhmältä
Z tekĳäryhmälle Z/5Z, ja se kuvaa alkion a sivuluokalle a + 5Z = [a]5 . Alkiot
kuvautuvat siis edustamilleen sivuluokille.
5.1.8 Määritelmä. Olkoon G ryhmä ja N sen normaali aliryhmä. Kuvausta
π : G → G/N,
π(g) = gN
kutsutaan kanoniseksi surjektioksi.
5.1.9 Lemma. Kanoninen surjektio on ryhmähomomorfismi.
Todistus. Oletetaan, että G on ryhmä, jolla on normaali aliryhmä N. Olkoon
π : G → G/N, π(g) = gN kanoninen surjektio. Nyt
π(ab) = abN = aNbN = π(a)π(b),
ja siten π on homomorfismi.
5.1. RYHMÄHOMOMORFISMI
143
5.1.10 Esimerkki. Tarkastellaan kuvausta
f : Z3 → Z6 ,
f ([a]3 ) = [2a]6 .
Aluksi on tarkistettava, että kuvaus voidaan todellakin määritellä. Kuvauksen arvon määrittelevä kaava on nimittäin kirjoitettu jäännösluokan edustajan avulla,
joten täytyy pitää huolta siitä, ettei edustajan valinta vaikuta kuvauksen arvoihin.
Toisin sanoen täytyy osoittaa, että jos [a]3 = [a$ ]3 , niin f ([a]3 ) = f ([a$ ]3 ). Oletetaan, että [a]3 = [a$ ]3 . Nyt 3|(a − a$ ), mistä seuraa, että 6 | (2a − 2a$ ). Tämä
tarkoittaa sitä, että [2a]6 = [2a$ ]6 ja edelleen f ([a]3 ) = f ([a$ ]3 ). Kuvaus f voidaan siis määritellä. (Usein vastaavassa tilanteessa sanotaan, että kuvaus on hyvin
määritelty.)
Osoitetaan sitten, että f on homomorfismi. Tämä nähdään laskemalla
f ([a]3 + [b]3 ) = f ([a + b]3 ) = [2(a + b)]6 = [2a]6 + [2b]6 = f ([a]3 ) + f ([b]3 ).
Kuvaus f ei ole bĳektio. Se on kuitenkin injektio, sillä kaikki kolme alkiota
kuvautuvat eri alkioille. Nyt maalĳoukkoa rajoittamalla saadaan aikaan bĳektio.
Määritellään H = {[0]6 , [2]6 , [4]6 } ja tarkastellaan kuvausta
f˜([a]3 ) = [2a]6 .
f˜: Z3 → H,
Tämä kuvaus on homomorfismi ja myös bĳektio, sillä H on kuvauksen f kuvajoukko. Kyseessä on siis isomorfismi. Huomio käy yksiin luvun alussa tekemiemme
havaintojen kanssa: ryhmillä Z3 ja H on samanlaiset kertotaulut.
Tästä eteenpäin merkitsemme yleisessä tapauksessa kaikkien ryhmien laskutoimitusta kertolaskumerkillä, vaikka eri ryhmillä kyseessä on eri laskutoimitus.
Ryhmähomomorfismi säilyttää monia ryhmän ominaisuuksia. Esimerkiksi aliryhmä kuvautuu aliryhmäksi, ja aliryhmän alkukuva on aliryhmä.
5.1.11 Lause. Olkoon f : G → H ryhmähomomorfismi. Oletetaan, että G$ ≤ G
ja H $ ≤ H. Tällöin
f [G$ ] ≤ H
ja
f ← [H $] ≤ G.
Todistus. Käytetään todistuksessa aliryhmäkriteeriä. Määritelmän mukaan f [G$ ]
on ryhmän H osajoukko. Aliryhmä sisältää neutraalialkion, joten eG ∈ G$ . Lemman 5.1.6 perusteella eH = f (eG ). Siten eH ∈ f [G$ ] ja f [G$ ] on epätyhjä. Oletetaan sitten, että a, b ∈ f [G$ ]. Nyt on olemassa sellaiset x, y ∈ G$ , että f (x) = a ja
f (y) = b. Huomataan, että
ab−1 = f (x)f (y)−1 = f (x)f (y −1) = f (xy −1 ).
144
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
H
G
G’
f
f [G’]
x
a
y
b
Tulo xy −1 kuuluu aliryhmään G$ , joten ab−1 = f (xy −1) ∈ f [G$ ]. Olemme siis
osoittaneet, että f [G$ ] on ryhmän H aliryhmä.
Todistetaan sitten jälkimmäinen väite. Määritelmän mukaan alkukuva f ← [H $ ]
on ryhmän G osajoukko. Lemman 5.1.6 mukaan f (eG ) = eH , ja toisaalta eH ∈ H $ .
Koska f (eG ) ∈ H $ , kuuluu alkio eG alkukuvaan f ← [H $ ] ja siten alkukuva ei ole
tyhjä joukko. Jos a, b ∈ f ← [H $ ], alkukuvan määritelmän mukaan f (a) ∈ H $ ja
f (b) ∈ H $ . Nyt huomataan, että
f (ab−1 ) = f (a)f (b)−1 ∈ H $,
sillä H $ on aliryhmä. Tästä seuraa, että ab−1 ∈ f ← [H $ ]. Aliryhmäkriteerin nojalla
f ← [H $ ] on ryhmän G aliryhmä.
H
G
f
←
f [H’]
a
b
H’
f(a)
f(b)
Ryhmä G on aina itsensä aliryhmä. Lauseen nojalla sen kuva
Im(f ) = f [G] = {f (g) | g ∈ G}
on ryhmän H aliryhmä.
Kuvauksen ydin koostuu niistä alkioista, jotka kuvautuvat neutraalialkiolle.
5.1. RYHMÄHOMOMORFISMI
145
5.1.12 Määritelmä. Olkoon f : G → H ryhmähomomorfismi. Ryhmähomorfismin f ydin Ker(f ) on joukko
f ← [{eH }] = {g ∈ G | f (g) = eH }.
Merkintä Ker tulee englannin sanasta kernel.
Huomaa, että ydin on aina joukko eikä jokin yksittäinen ryhmän alkio. Silloin, kun kuvaus ei ole bĳektio, voi olla olemassa useita alkioita, jotka kuvautuvat
neutraalialkiolle. Ytimessä saattaa olla siis yksi alkio tai useampia alkioita.
H
G
f
Ker f
e
Kuva 5.2: Kuvauksen f ydin Ker(f )
5.1.13 Esimerkki. Homomorfismin π : Z → Z5 , π(a) = [a]5 ydin koostuu alkioista, joille pätee [a]5 = [0]5 . Tämä ehto taas pätee täsmälleen silloin, kun a on
jaollinen luvulla 5. Kuvauksen ydin on siis aliryhmä 5Z.
Homomorfismissa f : Z → 2Z, f (n) = 2n ainoa alkio, joka kuvautuu nollalle,
on nolla, joten kuvauksen ydin on {0}.
5.1.14 Esimerkki. Kanonisen surjektion π : G → G/N ydin on N. Ryhmän G/N
neutraalialkio on nimittäin N. Koska π(n) = nN = N kaikilla n ∈ N, niin jokainen
normaalin aliryhmän N alkio on ytimessä. Toisaalta jos π(g) = N jollakin g ∈ G,
niin gN = N, mistä seuraa, että g ∈ N. Siten jokainen ytimessä oleva alkio kuuluu
normaaliin aliryhmään N.
5.1.15 Esimerkki. Olkoot G ja H ryhmiä. Ryhmähomomorfismin
idG : G → G,
id(x) = x
ydin on {eG } ja ryhmähomomorfismin
fe : G → H,
ydin on puolestaan G.
fe (x) = eH
kaikilla x ∈ G
146
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
5.1.16 Lemma. Ryhmähomomorfismin ydin on normaali aliryhmä.
Todistus. Olkoon f : G → H ryhmähomomorfismi. Koska {eH } on ryhmän H
aliryhmä, lauseen 5.1.11 nojalla ydin Ker f on ryhmän G aliryhmä. Osoitetaan
aliryhmän normaalisuuskriteerin avulla, että Ker f on normaali aliryhmä. Olkoot
g ∈ G ja n ∈ Ker f . On osoitettava, että gng −1 ∈ Ker f . Huomataan, että
f (gng −1) = f (g)f (n)f (g −1) = f (g)eH f (g −1 )
= f (g)f (g −1) = f (gg −1)
= f (eG ) = eH .
Siten f (gng −1) = eH ja ytimen määritelmän nojalla gng −1 ∈ Ker f .
Homomorfismin ydin kertoo hyvin paljon siitä, miten homomorfismi käyttäytyy.
5.1.17 Lause. Olkoon f : G → H ryhmähomomorfismi. Kuvaus f on injektiivinen
jos ja vain jos Ker f = {eG }.
Todistus. Oletetaan ensin, että f on injektio. Tiedämme, että f (eG ) = eH , joten
eG ∈ Ker f . Injektiivisyyden nojalla mikään muu alkio ei voi kuvautua neutraalialkiolle, joten ytimessä on vain yksi alkio eG .
Oletetaan sitten, että Ker f = {eG }. Olkoot a, b ∈ G sellaisia, että f (a) = f (b).
Kertomalla yhtälö vasemmalta puolelta alkion f (a) käänteisalkiolla saadaan
eH = f (a)−1 f (b) = f (a−1 )f (b) = f (a−1 b).
Tästä voimme päätellä, että a−1 b on ytimen alkio. Koska Ker(f ) = {eG }, niin
a−1 b = eG . Siten a = b ja olemme osoittaneet, että f on injektio.
Ryhmähomomorfismia f : G → H voidaan luonnehtia sen ytimen ja kuvan
avulla. Kuvaus f on injektio täsmälleen silloin, kun Ker f = {eG } ja surjektio
täsmälleen silloin, kun Im f = H.
5.1.18 Lause. Olkoot f : G → H ja g : H → K ryhmähomomorfismeja. Tällöin
yhdistetty kuvaus g ◦ f on myös ryhmähomomorfismi.
Todistus. Todistus jätetään harjotustehtäväksi.
Koska kahden bĳektion yhdistetty kuvaus on bĳektio, lauseesta seuraa, että
kahden isomorfismin yhdistetty kuvaus on isomorfismi. Myös isomorfismin käänteiskuvaus on isomorfismi.
5.1. RYHMÄHOMOMORFISMI
147
5.1.19 Lause. Olkoon f : G → H isomorfismi. Tällöin käänteiskuvaus f −1 on
myös isomorfismi.
Todistus. Oletetaan, että a, b ∈ H. Koska f on isomorfismi, niin se on bĳektio
ja siten erityisesti surjektio. On siis olemassa sellaiset x, y ∈ G, että f (x) = a ja
f (y) = b. Nyt
f −1 (ab) = f −1 (f (x)f (y)) = f −1 (f (xy)) = xy = f −1 (a)f −1 (b),
joten f −1 on homomorfismi. Lisäksi bĳektion käänteiskuvaus on aina bĳektio, mistä seuraa, että f −1 on isomorfismi.
Edellisistä lauseista huomataan, että isomorfisuus käyttäytyy kuten ekvivalenssirelaatio. Jokainen ryhmä on nimittäin itsensä kanssa isomorfinen, eli G ∼
= G.
Lisäksi, jos G ∼
= H ja f : G → H on isomorfismi, niin f −1 : H → G on myös isomorfismi, joten H ∼
= G. Lopulta, jos f : G → H ja g : H → K ovat isomorfismeja,
niin g ◦ f on isomorfismi ryhmien G ja K välillä. Ehdoista G ∼
= K
= H ja H ∼
∼
seuraa siis G = K.
Isomorfisuus luokittelee siis ryhmät isomorfialuokkiin, jotka koostuvat keskenään isomorfisista ryhmistä. Yleensä isomorfiset ryhmät samastetaan, sillä niiden
algebrallisessa rakenteessa ei ole eroa.
Huomaa, että isomorfisuus ei ole minkään joukon relaatio, koska ryhmät eivät
muodosta joukkoa. Myöskään isomorfialuokat eivät ole joukkoja. Joukon täsmällinen määritelmä ei kuitenkaan kuulu tämän kurssin aihepiiriin, joten asialla ei
tarvitse vaivata päätään tässä vaiheessa.
5.1.3
Syklisten ryhmien homomorfismeista
Syklisten ryhmien kaikki alkiot voidaan ilmaista virittäjän potensseina, ja tästä
seuraa, että myös syklisessä ryhmässä määritellyt homomorfismit riippuvat vain
virittäjästä. Tämä tieto helpottaa edellä mainittujen homomorfismien löytämisessä.
Seuraava lemma seuraa induktiolla homomorfismin määritelmästä.
5.1.20 Lemma. Oletetaan, että f : G → H on homomorfismi. Tällöin pätee
f (g k ) = f (g)k kaikilla g ∈ G ja k ∈ Z.
Lemmasta seuraa, että jos homomorfismin lähtöryhmä on syklinen, kaikkien
alkioiden kuvat määräytyvät sen perusteella, mille alkiolle virittäjä kuvautuu. Tämän tiedon avulla on helppoa selvittää, minkälaisia homomorfismeja sykliseltä
ryhmältä voidaan määritellä johonkin toiseen ryhmään.
148
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
5.1.21 Esimerkki. Tutkitaan, millaisia homomorfismeja on mahdollista määritellä ryhmältä Z6 ryhmälle S3 . Ryhdytään rakentamaan homomorfismia f : Z6 → S3 ,
jolle pätee vaikkapa f ([1]6 ) = (123). Miltä tällainen homomorfismi näyttää? Onko
sellaista edes olemassa?
Koska ryhmä Z6 on syklinen, kaikkien muiden alkioiden kuvat voidaan määrittää virittäjän kuvan avulla:
f ([k]6 ) = f (k · [1]6 ) = (123)k
kaikilla k ∈ Z.
Jos kuvaus siis on olemassa, sen määrittää yllä oleva kaava, eikä muita vaaditut
ehdot täyttäviä kuvauksia ole. Kaava käyttää kuitenkin hyväksi jäännösluokkien
edustajia, joten on tarkistettava, että se varmasti määrittää kuvauksen. Edustajan
vaihtaminen ei saa vaikuttaa saataviin arvoihin. Oletetaan, että [k]6 = [m]6 . Nyt
k = m + 6a jollakin a ∈ Z. Tästä seuraa, että
(123)k = (123)m+6a = (123)m (123)6a = (123)m ((123)6 )a = (123)m(1)a = (123)m .
Siten kaava f : Z6 → S3 , f ([k]6 ) = (123)k määrittelee kuvauksen.
Koska lähtöjoukko on pieni, voimme myös luetella kuvaksen arvot:
f ([0]6 ) = (123)0
f ([1]6 ) = (123)1
f ([2]6 ) = (123)2
f ([3]6 ) = (123)3
f ([4]6 ) = (123)4
f ([5]6 ) = (123)5
= (1)
= (123)
= (132)
= (1)
= (123)
= (132).
Huomaa, että samat arvot toistuvat sykleittäin ja juuri siksi kuvauksen määritteleminen onnistui.
Nyt kun kuvaukselle on löydetty kaava, on helppo tarkistaa, että se on homomorfismi. Nimittäin
f ([k]6 + [m]6 ) = f ([k + m]6 ) = (123)k+m = (123)m(123)k = f ([k]6 ) + f ([m]6 )
pätee kaikilla k, m ∈ Z.
Tutkitaan seuraavaksi, onko olemassa homomorfismia g : Z6 → S3 , jolle pätee
g([1]6) = (12). Nyt g([k]6 ) = (12)k kaikilla k ∈ Z. Samalla tavalla kuin edellä
voidaan osoittaa, että ehto määrittää kuvauksen. Siten on olemassa homomorfismi,
joka kuvaa alkioita yllä esitetyllä tavalla.
On olemassa muitakin homomorfismeja ryhmien Z6 ja S3 välillä, ja ne löydetään
samaan tapaan.
5.1. RYHMÄHOMOMORFISMI
149
Tarkastellaan sitten ryhmien Z5 ja S3 välisiä homomorfismeja. Onko olemassa
vaikkapa homomorfismia h : Z5 → S3 , jolle pätee h([1]5 ) = (123)? Jos homomorfismi on olemassa, sille pätee h([k]5 ) = (123)k kaikilla k ∈ Z. Huomataan, että
[1]5 = [6]5 , mutta toisaalta (123)1 = (123) ja (123)6 = (1). Tämä aiheuttaa ristiriidan ja siksi ehdon täyttävää kuvausta ei ole olemassa.
Todetaan lopuksi, että syklisen ryhmän rakenne riippuu vain sen kertaluvusta.
5.1.22 Lause. Jokainen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on ääretön, on isomorfinen ryhmän (Z, +) kanssa.
Todistus. Olkoon G = 3g4 syklinen ryhmä, jonka kertaluku on ääretön. Tällöin
G = {. . . , g −2, g −1 , g 0, g 1, g 2 , . . . } ja kaikki alkion g potenssit poikkeavat toisistaan.
Määritellään kuvaus
f : Z → G, f (k) = g k .
Kuvaus on homomorfismi, sillä
f (k + m) = g k+m = g k g m = f (k)f (m)
kaikilla k, m ∈ Z.
Osoitetaan sitten, että f on bĳektio. Kuvauksen ydin on
Ker f = {k ∈ Z | g k = eG } = {k ∈ Z | g k = g 0} = {0},
joten f on injektio. Koska jokainen ryhmän G alkio on muotoa g k jollakin k ∈ Z,
on kuvaus surjektio.
5.1.23 Lause. Jokainen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n, on isomorfinen
ryhmän (Zn , +) kanssa.
Lause todistetaan samalla tavalla kuin äärettömän kertaluvun tapauksessa.
Koska nyt kuitenkin kuvauksen kaava täytyy kirjoittaa jäännösluokan edustajan
avulla, joudutaan samanlaiseen ongelmaan kuin esimerkissä 5.1.21. Ongelma voitaisiin myös ratkaista samalla tavalla kuin kyseisessä esimerkissä tehtiin, mutta
seuraavassa luvussa opittava homomorfialause tarjoaa tähän yleisemmän työkalun. Siksi todistusta lykätään.
150
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
Tiivistelmä
• Olkoot G ja H ryhmiä. Kuvaus f : G → H on ryhmähomomorfismi, jos
f (x · y) = f (x) · f (y)
kaikilla x, y ∈ G.
• Bĳektiivistä ryhmähomomorfismia kutsutaan ryhmäisomorfismiksi. Jos kahden ryhmän välillä on isomorfismi, niiden kertotaulut ovat samanlaiset.
• Ryhmähomomorfismi säilyttää monia ryhmän ominaisuuksia. Neutraalialkio
kuvautuu neutraalialkiolle ja käänteisalkiot käänteisalkioille. Lisäksi aliryhmän kuva ja alkukuva ovat aina aliryhmiä.
• Homomorfismi on injektio jos ja vain jos sen ydin koostuu pelkästä neutraalialkiosta.
• Samaa kertalukua olevat sykliset ryhmät ovat keskenään isomorfisia.
5.2. RYHMIEN HOMOMORFIALAUSE
5.2
5.2.1
151
Ryhmien homomorfialause
Miten homomorfismeista saadaan isomorfismeja
Esimerkissä 5.1.21 määriteltiin homomorfismi f : Z6 → S3 , f ([k]6 ) = (123)k . Kuvaus ei ole ryhmäisomorfismi, sillä se ei ole bĳektiivinen. Kuvauksesta saadaan helposti surjektio pienentämällä maalĳoukko kuvajoukoksi Im f = {(1), (123), (132)}.
Kuvauksen muokkaaminen injektioksi ei ole aivan yhtä helppoa, mutta se onnistuu
siirtymällä tarkastelemaan erästä ryhmän Z6 tekĳäryhmää.
f
Z6
[1]
[4]
S3
(123)
(13)
[0]
(1)
[3]
(12)
(132)
[2]
[5]
(23)
Kuva 5.3: Kuvaus f ryhmältä Z6 ryhmälle S3
Kuvauksen f ydin on Ker f = {[0]6 , [3]6 }. Ytimen sivuluokat on esitetty kuvassa 5.3. Huomataan, että kussakin sivuluokassa olevat alkiot kuvautuvat aina
keskenään samalle alkiolle, ja toisaalta eri sivuluokissa olevat alkiot eivät kuvaudu
samoille alkioille. Jos tarkastellaan kutakin sivuluokkaa yhtenä oliona ja unohdetaan sen sisältämät alkiot, saadaan injektiivinen kuvaus sivuluokkien joukolta
ryhmälle S3 .
Alkuperäisen ryhmän Z6 sĳasta siirrytäänkin siis tarkastelemaan sivuluokkien
joukkoa Z6 / Ker f ja kuvauksesta f johdetaan kuvaus
f : Z6 / Ker f → Im f,
a + Ker f +→ f (a).
Uudessa kuvauksessa f sivuluokka kuvautuu sille alkiolle, jolle kaikki sivuluokan
alkiot kuvautuivat kuvauksessa f . Kuvaus f on esitetty kuvassa 5.4. Näin saatu
kuvaus f on injektio, sillä kaikki ne alkiot, jotka homomorfismissa f kuvautuivat samalle alkiolle, on samastettu keskenään. Oleellista oli, että samalle alkiolle
kuvautuvat alkiot muodostavat aina ytimen Ker f sivuluokan.
152
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
f
Z6 / Ker f
Im f
[1]+Ker f
(123)
(1)
Ker f
(132)
[2]+Ker f
Kuva 5.4: Kuvaus f tekĳäryhmältä Z6 / Ker f ryhmälle S3
Tällä tavoin muodostettu kuvaus osoittautuu ryhmähomomorfismiksi. Ensinnäkin sivuluokkien joukko Z6 / Ker f on ryhmä, sillä homomorfismin ydin on aina
normaali aliryhmä. Lisäksi kaikilla a, b ∈ Z6 pätee
f ((a + Ker f ) + (b + Ker f )) = f (a + b + Ker f ) = f (a + b) = f (a) + f (b)
= f (a + Ker f ) + f (b + Ker f ).
Homomorfisuus periytyy siis kuvaukselta f .
5.2.1 Lause (Homomorfialause). Olkoot G ja H ryhmiä ja f : G → H ryhmähomomorfismi. Tällöin
G/ Ker f ∼
= Im f.
Kyseinen isomorfismi on kuvaus
f : G/ Ker f → Im f,
a Ker f +→ f (a).
Todistus. Merkitään N = Ker f . Haluamme määritellä kuvauksen f ryhmältä
G/N ryhmälle Im f siten, että f (aN) = f (a) kaikilla a ∈ G. On kuitenkin pidettävä huolta siitä, että kyseinen ehto määrittelee kuvauksen. Se, minkä alkion
avulla sivuluokat kirjoitetaan, ei saa vaikuttaa tulokseen. Jos aN = bN joillakin
a, b ∈ G, on olemassa sellainen n ∈ N, että a = bn. Tällöin
f (a) = f (bn) = f (b)f (n).
Koska n ∈ N = Ker f , pätee f (n) = eH . Siten f (a) = f (b). Jos siis sivuluokat
aN ja bN ovat samat, ovat arvot f (a) ja f (b) samat. Siten ehto f(aN) = f (a)
5.2. RYHMIEN HOMOMORFIALAUSE
153
määrittelee kuvauksen. Koska f (a) ∈ Im f kaikilla a ∈ G, kuvauksen maalĳoukoksi
käy Im f .
Kuvaus f on ryhmähomomorfismi, sillä
f (aNbN) = f (abN) = f (ab) = f (a)f (b) = f (aN)f (bN).
Osoitetaan vielä lopuksi, että f on bĳektio. Selvästikin kuvaus on surjektio.
Osoitetaan, että se on myös injektio näyttämällä, että Ker f = {N}. (Tekĳäryhmän neutraalialkio on N.) Oletetaan, että aN ∈ Ker f eli että f (aN) = eH . Tämä
tarkoittaa, että f (a) = eH , jolloin a ∈ N = Ker f . Nyt tiedetään, että aN = N.
Siis ainoa sivuluokka, joka kuvautuu neutraalialkiolle kuvauksessa f , on N.
Olemme osoittaneet, että f on isomorfismi, joten väite on todistettu.
f
G
Ker(f)
H
e
Kuva 5.5: Kuvaus f : G → H
Nyrkkisääntönä on, että homomorfialausetta käytetään aina, kun halutaan
osoittaa, että jokin tekĳäryhmä on isomorfinen jonkin toisen ryhmän kanssa. Homomorfialause nimittäin helpottaa kuvausten määrittelemistä huomattavasti. Kun
halutaan määritellä kuvaus tekĳäryhmältä G/N ryhmälle H, on oltava aina varovainen. Jos kuvauksen määrittävä ehto käyttää sivuluokkien gN edustajia, pitää
tarkistaa, että edustajien vaihtaminen ei muuta ehdon antamia arvoja. Homomorfialauseessa tämä on kuitenkin tehty valmiiksi. Riittää vain määritellä kuvaus
ryhmältä G ryhmälle H, mikä on paljon yksinkertaisempaa.
154
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
f
G/Ker(f)
Im(f)
e
Ker(f)
Kuva 5.6: Kuvaus f : G/ Ker f → Im f
5.2.2 Esimerkki. Merkitään R∗ = R \ {0}. Itseisarvokuvaus f : (R∗ , ·) → (R∗ , ·),
f (x) = |x| on ryhmähomomorfismi, sillä
f (xy) = |xy| = |x||y| = f (x)f (y) kaikilla x, y ∈ R \ {0}.
Kuvauksen ydin on
Ker f = {x ∈ R∗ | |x| = 1} = {1, −1}
ja kuva
Im f = {|x| | x ∈ R∗ } = {x ∈ R | x > 0}.
Ryhmien homomorfialauseen mukaan tekĳäryhmä R∗ /{1, −1} on isomorfinen ryhmän {x ∈ R | x > 0} kanssa. Kuvaukset f ja f on esitetty kuvissa 5.7 ja 5.8.
Tekĳäryhmässä R∗ /{1, −1} samastetaan aina alkiot a ja −a, joten tuloksena on
ryhmä, joka käyttäytyy kertolaskun suhteen aivan kuten positiiviset reaaliluvut.
5.2.3 Esimerkki. Olkoot G ja H ryhmiä. Ryhmähomomorfismin idG ydin on
{eG } ja kuva G, joten ryhmä G/{eG } on isomorfinen ryhmän G kanssa. Ryhmähomomorfismin
fe : G → H, fe (x) = eH
ydin on G, ja kuva {eH }, joten G/G on isomorfinen ryhmän {eH } kanssa.
5.2.4 Esimerkki. Tutkitaan ryhmää Z18 ja sen normaalia aliryhmää
N = {[0]18 , [6]18 , [12]18 }.
5.2. RYHMIEN HOMOMORFIALAUSE
155
4
4
3
3
2
2
1
1
-1
-1
-2
-2
-3
-3
Kuva 5.7: Itseisarvokuvaus ryhmältä R∗ itselleen
{-4, 4}
4
{-3, 3}
3
{-2, 2}
2
{-1, 1}
1
Kuva 5.8: Kuvaus f tekĳäryhmältä R∗ /{1, −1} positiivisten reaalilukujen muodostamalle ryhmälle
Lagrangen lauseen nojalla tekĳäryhmässä on 18/3 = 6 alkiota. Ne ovat
[0]18 + N,
[1]18 + N,
[2]18 + N,
[3]18 + N,
[4]18 + N,
[5]18 + N.
Näyttää siltä, että ryhmien Z18 /N ja Z6 välillä on isomorfismi
f : Z18 /N → Z6 ,
f ([a]18 + N) = [a]6
Käytetään tämän todistamiseen ryhmien homomorfialausetta. Määritellään
f : Z18 → Z6 ,
f ([a]18 ) = [a]6 .
Koska kuvauksen ehto ilmaistaan jäännösluokan edustajan avulla, on tarkistettava,
että edustajan valinta ei vaikuta saataviin arvoihin. Muuten kyseessä ei ole kuvaus.
Jos [a]18 = [b]18 , niin 18|(a − b). Tästä seuraa, että 6|(a − b), joten [a]6 = [b]6 . Siten
kuvaus voidaan määritellä. Kuvaus on homomorfismi, sillä
f ([a]18 + [b]18 ) = f ([a + b]18 ) = [a + b]6 = [a]6 + [b]6 = f ([a]18 ) + f ([b]18 )
156
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
kaikilla n, m ∈ Z.
Huomataan, että Im f = Z6 . Määritetään vielä kuvauksen ydin. Oletetaan,
että [a]18 ∈ Ker f . Nyt [a]6 = [0]6 , joten a on jaollinen luvulla 6. Voimme lisäksi
olettaa, että a ∈ {0, 1, . . . , 17}, jolloin nähdään, että a = 0, a = 6 tai a = 12. Siten
[a]n ∈ N. Olemme siis osoittaneet, että Ker f ⊂ N. Toisaalta jokainen aliryhmän
N alkio kuvautuu alkiolle [0]6 , joten N ⊂ Ker f .
Homomorfialauseesta seuraa, että Z18 /N ∼
= Z6 .
5.2.5 Esimerkki. Seuraava esimerkki vaatii tietoa kompleksilukujen ominaisuuksista. Tarkastellaan ryhmän (R, +) tekĳäryhmää R/Z ja osoitetaan, että se on
isomorfinen ryhmän (C \ {0}, ·) aliryhmän S = {z ∈ C | |z| = 1} kanssa. Kyseessä
on siis niiden kompleksilukujen joukko, jotka sĳaitsevat yksikköympyrällä.
Määritellään kuvaus f : R → C \ {0}, f (x) = e2πi·x . Kuvaus on homomorfismi,
sillä
f (x + y) = e2πi·(x+y) = e2πi·x e2πi·y = f (x)f (y).
Kuvauksen ydin koostuu reaaliluvuista x, joille pätee e2πi·x = 1. Siten ydin on
kokonaislukujen joukko. Kuvajoukossa puolestaan ovat täsmälleen ne kompleksiluvut, joiden itseisarvo on yksi. Ryhmien homomorfialauseen nojalla R/Z ∼
= S.
Isomorfismi noudattaa kaavaa x + Z +→ e2 πix. Aina kun x saavuttaa jonkin kokonaisluvun, sen kuva palaa takaisin kompleksilukuun 1.
Homomorfialauseen avulla on nyt vaivatonta todistaa lause 5.1.23.
1 Lause. Jokainen syklinen ryhmä, jonka kertaluku on n, on isomorfinen ryhmän
(Zn , +) kanssa.
Todistus. Olkoon G = 3g4 syklinen ryhmä, jonka neutraalialkio on e. Oletetaan,
että ryhmän kertaluku on n. Määritellään kuvaus
f : Z → G,
f (k) = g k .
Lauseen 5.1.22 todistuksen nojalla kuvaus on homomorfismi. Kuvaus on surjektio,
joten Im f = G.
Osoitetaan sitten, että kuvauksen ydin on nZ. Jos k ∈ nZ, niin k = na jollakin
a ∈ Z. Tällöin f (k) = g k = g na = e, sillä n on alkion g kertaluku. Siis nZ ⊂ Ker f .
Jos taas k ∈ Ker f , niin f (k) = g k = e. Lemman 2.3.15 perusteella kertaluku n
jakaa luvun k, joten k ∈ nZ. Siten Ker f ⊆ nZ ja edelleen nZ = Ker f .
Homomorfialauseen nojalla
Zn = Z/nZ ∼
= G.
5.2. RYHMIEN HOMOMORFIALAUSE
157
Homomorfialause kertoo, että ryhmän G kuva homomorfismissa on isomorfinen jonkin ryhmän G tekĳäryhmän kanssa. Toisaalta jokainen tekĳäryhmä G/N
on kanonisen surjektion π : G → G/N kuva. Ryhmän G tekĳäryhmät ja kuvat
homomorfismeissa siis vastaavat toisiaan.
Homomorfialause voidaan ilmaista myös toisella tavalla. Ehto
f (a Ker f ) = f (a)
voidaan nimittäin kirjoittaa muodossa f(π(a)) = f (a), missä π on kanoninen
surjektio G → G/N. Koska yhtälö pätee kaikilla a ∈ G, saadaan
f ◦ π = f.
Sama asia voidaan ilmaista alla olevalla kaaviolla.
G !!
f
!!
!!
!
π !!!
"
! Im f
"#
"
"
""
"" f
"
"
G/ Ker f
Kaaviossa saadaan tuloksena sama kuvaus, kuljetaan sitten kumpaa reittiä
tahansa
Tiivistelmä
• Ryhmähomomorfismilla ytimen sivuluokat vastaavat kuvauksen arvoja.
• Jos f : G → H on ryhmähomomorfismi, niin G/ Ker f ∼
= Im f .
• Edellisen kohdan isomorfismissa sivuluokka a Ker f kuvautuu alkiolle f (a).
158
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
5.3
Rengashomomorfismi
5.3.1
Renkaiden isomorfisuus
Ryhmiä kutsuttiin isomorfisiksi silloin, kun niiden kertotaulut olivat samanlaiset.
Samalla tavalla renkaita kutsutaan isomorfisiksi, jos niiden yhteen- ja kertolaskutaulut ovat samanlaiset.
Jotta renkaat R ja S olisivat isomorfiset, on niiden välillä oltava bĳektio. Lisäksi
renkaiden laskutoimitusten on oltava samanlaiset. Rengasisomorfismi f : R → S
on siis bĳektio ja täyttää ainakin ehdot
f (a + b) = f (a) + f (b) ja f (ab) = f (a)f (b)
kaikilla a, b ∈ R.
Koska rengas on yhteenlaskun suhteen ryhmä, ensimmäisestä ehdosta seuraa,
että f on ryhmähomomorfismi ja siten f (0R ) = 0S . Tämän todistamiseen tarvittiin
yhteenlaskun käänteisalkioiden olemassaoloa. Kertolaskun suhteen käänteisalkiota
ei renkaassa välttämättä ole, joten ehdosta f (ab) = f (a)f (b) ei automaattisesti
seuraa, että f (1R ) = 1S . Siksi pitää tarkistaa erikseen, että ykkösalkio kuvautuu
ykkösalkiolle.
5.3.1 Määritelmä. Olkoot R ja S renkaita. Kuvaus f : R → S on rengashomomorfismi tai lyhyemmin homomorfismi, jos kaikilla a, b ∈ R pätee
(RH1) f (a + b) = f (a) + f (b)
(RH2) f (ab) = f (a)f (b)
(RH3) f (1R ) = 1S .
Bĳektiivistä rengashomomorfismia kutsutaan rengasisomorfismiksi tai yksinkertaisemmin isomorfismiksi.
Jos renkaiden R ja S välille voidaan määritellä isomorfismi, sanotaan, että
renkaat ovat isomorfiset ja merkitään
R∼
= S.
Kuten alussa todettiin, ehto (RH1) ilmaisee, että f : (R, +) → (S, +) ryhmähomomorfismi . Ehdot (RH2) ja (RH3) puolestaan tarkoittavat sitä, että kuvaus
f : (R, ·) → (S, ·) on niin kutsuttu monoidihomomorfismi.
5.3. RENGASHOMOMORFISMI
159
√
√
5.3.2 Esimerkki. Tarkastellaan jälleen rengasta Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z}.
√
√
√
√
Kuvaus f : Z[ 2] → Z[ 2], f (a + b) = a − b 2 on rengasisomorfismi. Se
säilyttää yhteenlaskun, sillä kaikilla a, b, c, d ∈ Z pätee
√ 2
√ 2
√
1
1
f (a + b 2) + (c + d 2) = f (a + c) + (b + d) 2
√
√
√
= (a + c) − (b + d) 2 = (a − b 2) + (c − d 2)
√
√
= f (a + b 2) + f (c + d 2).
Myös kertolasku säilyy, sillä
√ 2
√ 2
√
1
1
f (a + b 2) · (c + d 2) = f (ac + 2bd) + (ad + bc) 2
√
√
√
= (ac + 2bd) − (ad + bc) 2 = (a − b 2) · (c − d 2)
√
√
= f (a + b 2) · f (c + d 2)
kaikilla a, b, c, d ∈ Z.
Lopuksi huomataan, että
f (1) = f (1 + 0 ·
√
√
2) = 1 − 0 · 2 = 1,
joten ykkösalkio kuvautuu ykkösalkiolle. Siten f on rengashomomorfismi.
Koska kuvaus on bĳektio, kyseessä on isomorfismi.
5.3.3 Esimerkki. Kuvaus g : Z → Z, g(a) = 2a ei ole rengashomomorfismi, sillä
f (2 · 2) = f (4) = 8 ja f (2) · f (2) = 4 · 4 = 16. Lisäksi ykkösalkio ei kuvaudu
ykkösalkiolle.
5.3.4 Esimerkki. Olkoon R rengas. Identtinen kuvaus id : R → R on rengasisomorfismi aivan kuten ryhmienkin tapauksessa.
Oletetaan, että S on rengas, joka ei ole nollarengas. Toisin kuin ryhmien tapauksessa, kuvaus f0 : R → S, f0 (x) = 0S ei ole rengashomomorfismi. Renkaan R
ykkösalkio ei nimittäin kuvaudu renkaan S ykkösalkiolle.
5.3.5 Esimerkki. Määritellään
-3
4
.
a −b
S=
| a, b ∈ Z ,
b a
jolloin S on 2 × 2-matriisien muodostaman renkaan osajoukko. Joukko S on itse asiassa kyseisen renkaan alirengas, minkä todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi. Osoitetaan, että rengas S on isomorfinen kompleksilukujen renkaan C
kanssa.
160
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
Määritellään kuvaus
f : C → S,
3
4
a −b
f (a + bi) =
.
b a
Kuvaus säilyttää yhteenlaskun, sillä kaikilla a, b, c, d ∈ R pätee
1
f (a + bi) + (c + di)) = f ((a + c) + (b + d)i)
3
4 3
4 3
4
a + c −b − d
a −b
c −d
=
=
+
b+d a+c
b a
d c
= f (a + bi) + f (c + di).
Toisaalta myös kertolasku säilyy kuvauksessa, sillä
1
2
1
2
f (a + bi) · (c + di) = f (ac − bd) + (ad + bc)i
3
4
ac − bd −ad − bc
=
ad + bc ac − bd
ja
3
kaikilla a, b, c, d ∈ R.
a −b
f (a + bi) · f (c + di) =
b a
3
4
ac − bd −ad − bc
=
.
bc + ad −bd + ac
43
c −d
d c
4
Lopuksi todetaan, että ykkösalkio kuvautuu ykkösalkiolle, sillä
3
4
1 0
.
f (1) = f (1 + 0 · 1) =
0 1
Kuvaus f on selvästi injektio ja määritelmänsä nojalla surjektio. Siten kyseessä
on isomorfismi.
5.3.2
Rengashomomorfismien ominaisuuksia
Samalla tavalla kuin ryhmähomomorfismit, rengashomomorfismit säilyttävät renkaan rakenteen, mutta eivät tee sitä yhtä tarkasti kuin isomorfismit. Isomorfismi
antaa täydellisen kopion renkaasta, mutta homomorfismissa yksityiskohdat saattavat hämärtyä.
Rengashomomorfismit ovat renkaan yhteenlaskuryhmän ryhmähomomorfismeja, joten lauseesta 5.1.6 seuraa, että nolla-alkio kuvautuu nolla-alkiolle ja vastaalkiot vasta-alkioille. Lauseen todistuksesta seuraa myös, että jos alkiolla on käänteisalkio kertolaskun suhteen, se kuvautuu käänteisalkiolle.
5.3. RENGASHOMOMORFISMI
161
5.3.6 Lemma. Jos f : R → S on rengashomomorfismi, niin
i) f (0R ) = 0S .
ii) f (−a) = −f (a) kaikilla a ∈ R.
iii) Jos alkiolla a ∈ R on käänteisalkio a−1 ∈ R, niin f (a−1 ) = f (a)−1 .
5.3.7 Esimerkki. Oletetaan, että R on rengas, joka ei ole nollarengas. Tällöin
0R %= 1R . Tutkitaan tulorengasta R × R, jossa laskutoimitukset on määritelty
koordinaateittain:
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ja (a, b) · (c, d) = (ac, bd).
Kuvaus
f : R × R → R × R,
f (a, b) = (a, 0)
säilyttää yhteen- ja kertolaskun, sillä
f ((a, b) + (c, d)) = f (a + c, b + d) = (a + c, 0)
= (a, 0) + (c, 0) = f (a, b) + f (c, d)
ja
f ((a, b) · (c, d)) = f (ac, bd) = (ac, 0) = (a, 0) · (c, 0) = f (a, b) · f (c, d).
Se ei kuitenkaan ole rengashomomorfismi, sillä renkaan R × R ykkösalkio on (1, 1)
ja f (1, 1) = (1, 0) %= (1, 1). Tämä osoittaa jälleen, että rengashomomorfismin määritelmässä todellakin tarvitsee erikseen mainita, että ykkösalkion on kuvauduttava
ykkösalkiolle.
Jos homomorfismi on surjektio, yllä kuvattu tilanne ei ole mahdollinen. Olkoon f : R → S surjektiivinen kuvaus renkaiden S ja R välillä. Oletetaan, että
f (ab) = f (a)f (b) kaikilla a, b ∈ R ja osoitetaan, että f (1R ) on renkaan S ykkösalkio. Olkoon s ∈ S, jolloin on olemassa sellainen r ∈ R, että f (r) = s. Nyt
f (1R )s = f (1R )f (r) = f (1R · r) = f (r) = s
ja vastaavasti sf (1R ) = s. Tämä pätee kaikilla s ∈ S, joten f (1R ) on renkaan S
ykkösalkio.
5.3.8 Lause. Olkoon f : R → S rengashomomorfismi. Oletetaan, että R$ on renkaan R alirengas ja S $ on renkaan S alirengas. Tällöin
a) f [R$ ] on renkaan S alirengas
162
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
b) f ← [S $ ] on renkaan R alirengas.
Todistus. Todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Koska rengas R on aina itsensä alirengas, lauseesta seuraa, että Im f on renkaan
S alirengas.
Rengashomomorfismin ydin koostuu kaikista niistä alkioista, jotka kuvautuvat
nollalle.
5.3.9 Määritelmä. Olkoon f : R → S rengashomomorfismi. Sen ydin Ker f on
joukko
f ← [{0}] = {r ∈ R | f (r) = 0}.
5.3.10 Lause. Rengashomomorfismin f : R → S ydin on renkaan R ideaali.
Todistus. Nolla on yhteenlaskun neutraalialkio, ja sen vuoksi rengashomomorfismin f : R → S ydin on sama joukko kuin ryhmähomomorfismin f : (R, +) →
(S, +) ydin. Lauseen 5.1.11 perusteella ydin on ryhmän (R, +) aliryhmä. On siis
vain osoitettava, että ra, ar ∈ Ker f kaikilla r ∈ R ja a ∈ Ker f .
Oletetaan, että r ∈ R ja a ∈ Ker f . Tällöin
f (ra) = f (r)f (a) = f (r) · 0S = 0S ,
joten ra ∈ Ker f . Samalla tavoin nähdään, että ar ∈ Ker f , ja siten Ker f on
ideaali.
5.3.11 Lause. Olkoon f : R → S rengashomomorfismi. Kuvaus f on injektio
täsmälleen silloin, kun Ker f = {0}.
Todistus. Kuten edellisen lauseen todistuksessa todettiin, rengashomomorfismi f
on myös ryhmähomomorfismi ryhmien (R, +) ja (S, +) välillä. Lauseessa 5.1.17
osoitettiin, että ryhmähomomorfismi on injektio täsmälleen silloin, kun sen ideaalissa on vain yksi alkio, neutraalialkio. Siten f on injektio täsmälleen silloin, kun
Ker f = {0}.
5.3.12 Lause. Olkoon S rengas, joka ei ole nollarengas. Jos K on kunta ja
f : K → S on rengashomomorfismi, niin f on injektiivinen. Kuntien väliset homomorfismit ovat siis aina injektiivisiä.
Todistus. Olkoon f : K → S rengashomomorfismi kunnalta K renkaalle S. Tiedämme, että Ker f on kunnan K ideaali. Koska kunnalla on vain kaksi ideaalia,
5.3. RENGASHOMOMORFISMI
163
{0} ja K, täytyy päteä Ker f = {0} tai Ker f = K. Jälkimmäisessä tapauksessa
f (a) = 0S kaikilla a ∈ K, joten tällöin
f (1K ) = 0S %= 1S .
Tämä on mahdotonta, joten Ker f = {0} ja f on injektiivinen.
5.3.13 Lause.
a) Olkoot f : R → S ja g : S → T rengashomomorfismeja. Tällöin yhdistetty
kuvaus g ◦ f on myös rengashomomorfismi.
b) Olkoon f : R → S rengasisomorfismi. Tällöin käänteiskuvaus f −1 on myös
rengasisomorfismi.
Todistus. Lauseen todistus jätetään harjoitustehtäväksi.
Lauseesta seuraa, että renkaat voidaan jakaa isomorfialuokkiin samaan tapaan
kuin ryhmät.
5.3.3
Homomorfismit ja tekĳärenkaat
5.3.14 Esimerkki. Kuvaus
π : Z → Zn ,
π(a) = [a]n
on rengashomomorfismi. Olemme aikaisemmin osoittaneet, että π on ryhmien
(Z, +) ja (Zn , +) välinen ryhmähomomorfismi. Olkoot a, b ∈ Z. Nyt
π(ab) = [ab]n = [a]n [b]n = π(a)π(b).
Lisäksi π(1) = [1]n , joten renkaan Z ykkösalkio kuvautuu renkaan Zn ykkösalkiolle.
Siten π on rengashomomorfismi.
Edellisen esimerkin kuvaus yleistyy mille tahansa renkaalle ja sen tekĳärenkaalle. (Muista, että Zn on tekĳärengas Z/nZ.) Näin saadaan kanoninen homomorfismi
samalla tavalla kuin tekĳäryhmien tapauksessa. Kuvauksessa alkio kuvautuu aina
edustamalleen sivuluokalle.
5.3.15 Määritelmä. Olkoon R rengas ja I sen ideaali. Kuvausta
π : R → R/I,
kutsutaan kanoniseksi surjektioksi.
π(r) = r + I
164
LUKU 5. HOMOMORFISMIT
5.3.16 Lemma. Kanoninen surjektio on rengashomomorfismi.
Todistus. Todistus on hyvin samankaltainen kuin ryhmien tapauksessa. Se jätetään harjoitustehtäväksi.
5.3.17 Lause (Homomorfialause). Olkoot R ja S renkaita ja f : R → S rengashomomorfismi. Tällöin
R/ Ker f ∼
= Im f.
Isomorfismi, jonka homomorfialause antaa, on
f : R/ Ker f → Im f,
f(r + Ker f ) = f (r).
Todistus. Ryhmien homomorfialauseesta seuraa (sovellettuna ryhmähomomorfismiin f : (R, +) → (S, +)), että yllä annettu ehto todellakin määrittelee kuvauksen.
Lisäksi lauseen perusteella kuvaus on bĳektiivinen ryhmähomomorfismi.
Kuvauksen f homomorfisuudesta seuraa, että
f ((r + Ker f ) · (s + Ker f )) = f (rs + Ker f ) = f (rs)
= f (r)f (s) = f (r + Ker f ) · f (s + Ker f ).
Renkaan R/ Ker f ykkösalkion 1 + Ker f kuva on
f (1 + Ker f ) = f (1) = 1.
Siten f on rengasisomorfismi.
Luku 6
Polynomit
6.1
Polynomirengas
Tässä kappaleessa kaikki renkaat ovat vaihdannaisia.
6.1.1
Polynomin määritelmä
Lukĳalla on luultavasti melko hyvä kuva siitä, millainen on polynomi, jonka tuntematon on X ja kertoimet renkaassa R. Yleensä polynomia ajatellaan äärellisenä
summana
n
5
ai X i = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n ,
i=0
missä ai ∈ R kaikilla i. Esimerkiksi p = 2X 2 − 4X 4 ja q = 2 + 3X 2 + X 3 ovat
polynomeja, jonka kerroinrengas on R.
Polynomien yhteen- ja kertolasku on koulusta tuttua. Esimerkkipolynomien p
ja q summa ja tulo ovat
p + q = 2 + 5X 2 + X 3 − 4X 4
ja
pq = (2X 2 − 4X 4 )(2 + 3X 2 + X 3 ) = 4X 2 + 6X 4 + 2X 5 − 8X 4 − 12X 6 − 4X 7
= 4X 2 − 2X 4 + 2X 5 − 12X 6 − 4X 7 .
Polynomeissa voi olla kuinka monta termiä tahansa ja polynomeja summaamalla ja kertomalla saadaan uuden pituisia summia. Siksi on helpointa sopia, että
165
166
LUKU 6. POLYNOMIT
polynomeja kuvaavat summat ovat äärettömiä ja jostain indeksistä lähtien kaikki
kertoimet ovat kaikki nollia.
Polynomien
f = a0 +a1 X +a2 X 2 +· · ·+an X n +· · ·
ja
g = b0 +b1 X +b2 X 2 +· · ·+bn X n +· · ·
summa on
f + g = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + (a2 + b2 )X 2 + c · · · + (al + bl )X n + · · · ,
ja tulo
missä cn =
6n
i=0
f g = c0 + c1 X + · · · + cnX + · · · ,
ai bn−i .
Jos polynomi määritellään kuten yllä, on vaikea sanoa tarkasti, mikä tuntematon X tarkalleen ottaen oikein on. Huomataan, että polynomin määräävät täysin
kertoimet a1 , a2 , . . . , an . Tuntematonta X tarvitaan vain kertomaan, missä kohtaa
kukin kerroin esiintyy. Yksi tapa määritellä polynomi onkin sanoa, että se on jono renkaan R alkioita. Esimerkiksi jono (0, 0, 2, 0, −4, 0, 0, . . . ) vastaa polynomia
p = 2X 2 − 4X 4 ja jono (2, 0, 3, 1, 0, 0, . . . ) polynomia q = 2 + 3X 2 + X 3 .
6.1.1 Määritelmä. Olkoon R vaihdannainen rengas. Tällöin R-kertoiminen polynomi on ääretön jono
(a0 , a1 , a2 , . . . ),
missä ai ∈ R kaikilla i ∈ N ja vain äärellisen moni ai poikkeaa nollasta.
Alkioita a0 , a1 , . . . , an kutsutaan polynomin f kertoimiksi ja rengasta R kerroinrenkaaksi. Polynomit ovat samat jos ja vain jos niiden kertoimet ovat samat.
Polynomeille voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku seuraavilla säännöillä:
(a0 , a1 , a2 , . . . ) + (b0 , b1 , b2 , . . . ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , . . . )
5
(a0 , a1 , a2 , . . . ) · (b0 , b1 , b2 , . . . ) = (a0 b0 , a1 b0 + a0 b1 ,
ai bj , . . . ).
i+j=2
Näin määritellyt laskutoimitukset ovat samat kuin edellä summamerkinnöin ilmaistut yhteen- ja kertolasku..
Vaikka polynomit määritellään jonoina, on niitä kuitenkin yleensä mukavinta
käsitellä summina. Tällöin esimerkiksi polynomien kertominen on helppoa.
6.1. POLYNOMIRENGAS
167
6.1.2 Esimerkki. Alussa tutkimme renkaan R polynomeja p = 2X 2 − 4X 4 ja
q = 2 + 3X 2 + X 3 . Näitä polynomeja voidaan ajatella myös polynomeina, joiden
kerroinrengas on vaikkapa Z4 . Olemme aikaisemmin todenneet, että renkaassa
R ei tarvitse tehdä eroa kokonaisluvun k ja renkaan alkion k · 1R välillä. Siten
esimerkiksi polynomissa p = 2X 2 − 4X 4 kertoimet 2 ja 4 voidaan tulkita renkaan
alkioiksi [2]4 ja [−4]4 = [0]4 . Polynomi saadaan siis muotoon p = 2X 2 . Polynomien
p ja q summa on tässä tapauksessa
p + q = 2 + X2 + X3
ja tulo
pq = 2X 4 + 2X 5 .
Merkitään kaikkien R-kertoimisten polynomien joukkoa R[X].
6.1.3 Lause. Olkoon R vaihdannainen rengas. Tällöin R[X] on vaihdannainen
rengas, kun yhteen- ja kertolasku määritellään kuten yllä.
Todistus. Lauseen todistus on hyvin tekninen, eikä lukĳan välttämättä kannata
kahlata sitä läpi ensimmäisellä lukukerralla.
Polynomien summamerkintää käytettäessä voidaan polynomit kirjoittaa äärettöminä summina, mikä helpottaa monia merkintöjä. Tällöin kertoimien ajatellaan
olevan nollia, kun potenssi on polynomin astetta suurempi. Merkitään
5
i
ai X =
i
∞
5
ai X i
i=0
Oletetaan, että f, g, h ∈ R[X] ja
f = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + ar X r =
2
s
g = b0 + b1 X + b2 X + · · · + bs X =
h = c0 + c1 X + c2 X 2 + · · · + ct X t =
5
ai X i ,
i
5
bj X j ,
j
5
ck X k .
k
Tutkitaan aluksi polynomien yhteenlaskua. Summan f + g kertoimet ovat
renkaassa R, joten f + g ∈ R[X]. Yhteenlaskun liitännäisyys ja vaihdannaisuus seuraavat siitä, että renkaan R yhteenlasku on liitännäinen ja vaihdannainen. Tämän todistaminen on suoraviivaista ja jätetään lukĳan tehtäväksi. Nollaalkio on nollapolynomi 0 ja polynomin f vasta-alkio puolestaan on polynomi
−f = −a0 − a1 X − a2 X 2 − · · · − an X n .
168
LUKU 6. POLYNOMIT
Siirrytään sitten kertolaskuun. Kahden R-kertoimisen polynomin tulo on Rkertoiminen polynomi, joten R[X] on suljettu kertolaskun suhteen. Tutkitaan seuraavaksi liitännäisyyttä. Huomataan, että
7
8
5 5
gh =
bj ck X l ,
l
ja edelleen
f (gh) =
5
m
7
j+k=l
5
7
ai
i+l=m
5
88
bj ck
j+k=l
X m.
Tämän tulopolynomin kertoimet saadaan sievennettyä muotoon
7
8
5 5
5
5
5
ai
bj ck =
ai bj ck =
ai bj ck .
i+l=m
j+k=l
i+l=m j+k=l
Toisaalta
fg =
5
l
7
5
i+j+k=l
ai bj
i+j=l
8
X l,
ja
(f g)h =
5
m
7
5
l+k=m
7
5
i+j=l
ai bj
8
ck
8
X m.
Tässä tapauksessa
5
l+k=m
7
5
ai bj
i+j=l
8
ck =
5
ai bj ck .
i+j+k=m
Siten sekä polynomissa f (gh) että polynomissa (f g)h potenssia m vastaava kerroin
on
5
ai bj ck .
i+j+k=m
Koska kaikki kertoimet ovat samat, ovat polynomitkin samat.
Kertolaskun ykkösalkio on polynomi 1. Osoitetaan vielä kertolaskun vaihdannaisuus. Polynomin f g kertoimet ovat
5
ai bj
i+j=m
6.1. POLYNOMIRENGAS
169
ja polynomin gf puolestaan
5
bj ai .
j+i=m
Kertoimet ov samat kaikilla m, joten f g = gf .
Todistetaan lopuksi osittelulait. Polynomissa f (g + h) potenssia m vastaava
kerroin on
5
5
5
ai (bj + cj ) =
ai bj +
ai cj .
i+j=m
i+j=m
i+j=m
Toisaalta polynomissa f g + f h potenssia m vastaava kerroin on
5
5
ai bj +
ai cj .
i+j=m
i+j=m
Polynomien f (g + h) ja (f + g)h kertoimet ovat samat, joten f (g + h) = (f + g)h.
Tämä pätee kaikilla polynomeilla f, g, h ∈ R[X], ja kertolaskun vaihdannaisuudesta seuraa, että myös (f + g)h = f h + gh kaikilla f, g, h ∈ R[X]. Siten osittelulait
ovat voimassa.
6.1.2
Polynomien ominaisuuksia
6.1.4 Määritelmä. Olkoon f = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n polynomi, jolle
pätee an %= 0. Lukua n kutsutaan polynomin asteeksi ja merkitään deg(f ). Nollapolynomin asteeksi määritellään −∞.
Nollapolynomin asteen voi ajatella olevan luku, joka on pienempi kuin mikä
tahansa kokonaisluku.
Esimerkiksi renkaassa R[X] polynomin 2X 2 − 4X 4 aste on neljä, polynomin
2 + 3X 2 + X 3 aste kolme ja polynomien 1 ja 6 puolestaan nolla.
Polynomia, jonka aste on nolla, kutsutaan vakiopolynomiksi. Myös nollapolynomi 0 lasketaan vakiopolynomiksi. Vakiopolynomit voidaan samastaa kerroinrenkaan alkioiden kanssa.
6.1.5 Lause. Oletetaan, että R on kokonaisalue ja f, g ∈ R[X] ovat nollasta
poikkeavia polynomeja. Tällöin deg(f g) = deg(f ) + deg(g).
Todistus. Oletetaan, että
f = a0 + a1 X + · · · + an X n
ja g = b0 + b1 X + · · · + bm X m ,
170
LUKU 6. POLYNOMIT
missä an %= 0 %= bm . Tällöin
f g = a0 b0 + · · · + an bm X n+m .
Oletimme, että R on kokonaisalue, joten an bm %= 0 ja siksi deg(f g) = n + m.
Väitteen voidaan ajatella pitävän paikkansa myös silloin, kun toinen polynomeista on nollapolynomi. Jos nimittäin f = 0, tulo f g on nolla ja edelleen
deg(f g) = −∞. Toisaalta deg(f ) + deg(g) = −∞, sillä deg(f ) = −∞.
Jos kerroinrengas ei ole kokonaisalue, lause ei päde. Esimerkiksi renkaan Z6 [X]
polynomien f = X + 2X 2 ja g = 1 + 3X 2 tulo on
f g = X + 3X 3 + 2X 2 + 6X 4 = X + 2X 2 + 3X 3 .
Nyt deg(f ) = 2 ja deg(g) = 2, mutta deg(f g) = 3.
6.1.6 Korollaari. Jos R on kokonaisalue, myös R[X] on kokonaisalue.
Todistus. Jos polynomit f, g ∈ R[X] ovat nollasta poikkeavia, niin
deg(f g) = deg(f ) + deg(g) > 0.
Siten f g ei ole nollapolynomi.
Vaikka kerroinrengas K olisi kunta, polynomirenkaalla K[X] ei ole kunnan
rakennetta. Oletetaan, että f ∈ K[X] ja deg(f ) > 0. Olkoon g polynomin f
käänteisalkio. Tällöin g %= 0. Huomataan, että
deg(f g) = deg(1) = 0.
Toisaalta deg(f g) = deg(f ) + deg(g) ≥ deg(f ) > 0, joten päädytään ristiriitaan.
Alkiolla f ei siis ole käänteisalkiota.
6.1.7 Määritelmä. Jos f = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n on polynomirenkaan
R[X] alkio ja r ∈ R, merkitään
f (r) = a0 + a1 r + a2 r 2 + · · · + an r n .
Sanotaan, että alkio r on sĳoitettu polynomiin f .
6.1. POLYNOMIRENGAS
171
Esimerkiksi renkaan R[X] polynomin f = 2 + 3X − X 3 voidaan sĳoittaa luku
3 saaden f (3) = 2 + 3 · 3 − 33 = 2 + 9 − 27 = −16. Jos polynomia ajatellaankin
renkaan Z4 [X] alkiona, on sĳoituksen tulos f (3) = f ([3]4 ) = [−16]4 = [0]4 .
Polynomista f ∈ R[X] saadaan niin kutsuttu polynomikuvaus
F : R → R,
a +→ f (a).
Jos kerroinrenkaana on R, jokaisesta polynomista voidaan johtaa koulusta tuttu
polynomikuvaus. Esimerkiksi polynomista f = 2 + 3X − X 3 saadaan polynomifunktio F : R → R, F (x) = 2 + 3x − x3 .
Jos kerroinkuntana on reaalilukujen kunta, voidaan polynomit ja niistä saadut
polynomikuvaukset samastaa. Yleisessä tapauksessa näin ei kuitenkaan ole.
6.1.8 Esimerkki. Tutkitaan millaiset kuvaukset saadaan polynomeista f = 2X 3 +
X 2 + 1 ja g = X 4 + 2X 2 + 1 renkaassa Z4 [X]. Huomataan, että
ja toisaalta
f ([0]) = 2 · [0]3 + [0]2 + [1] = [1]
f ([1]) = 2 · [1]3 + [1]2 + [1] = [0]
f ([2]) = 2 · [2]3 + [2]2 + [1] = [1]
f ([3]) = 2 · [3]3 + [3]2 + [1] = [0]
g([0]) = [0]4 + 2 · [0]2 + [1] = [1]
g([1]) = [1]4 + 2 · [1]2 + [1] = [0]
g([2]) = [2]4 + 2 · [2]2 + [1] = [1]
g([3]) = [3]4 + 2 · [3]2 + [1] = [0]
Polynomeista saatavien kuvausten
F : Z4 → Z4 ,
G : Z4 → Z4 ,
a +→ f (a)
a +→ g(a)
arvot ovat samat jokaisella renkaan Z4 alkiolla, joten F = G. Toisaalta polynomit
f ja g eivät ole samat, sillä niiden kertoimet eivät ole samat. Eri polynomeja voi
siis vastata sama kuvaus.
Tiivistelmä
• Polynomit, joiden kerroinrengas on R muodostavat renkaan R[X].
• Polynomista voidaan johtaa polynomikuvaus, mutta näin saatuja kuvauksia
ei yleensä voi samastaa polynomien kanssa.
172
6.2
LUKU 6. POLYNOMIT
Polynomien jaollisuudesta
Tässä aliluvussa oletamme, että polynomien kerroinrengas on kunta ellei toisin
mainita.
6.2.1 Määritelmä. Olkoon K kunta ja olkoot f, g ∈ K[X]. Polynomi f on jaollinen polynomilla g jos on olemassa sellainen polynomi h ∈ K[X], että f = hg.
Tällöin merkitään g|f .
Esimerkiksi renkaan R[X] polynomi X 2 − 1 on jaollinen polynomilla X + 1,
sillä X 2 − 1 = (X − 1)(X + 1).
6.2.2 Määritelmä. Polynomi f ∈ K[X] on jaoton, jos se ei ole vakiopolynomi
eikä kahden positiivista astetta olevan polynomin tulo.
Huomataan, että astetta yksi olevat polynomit ovat aina jaottomia. Oletetaan,
että deg(f ) = 1. Tällöin f ei ole vakiopolynomi. Jos f = pq, missä deg(p) > 0
ja deg(q) > 0, niin deg(f ) = deg(p) + deg(q) > 1, mikä on ristiriita. Siten f on
jaoton.
6.2.3 Esimerkki. Osoitetaan, että renkaan Q[X] polynomi f = X 2 −2 on jaoton.
Selvästikään kyseessä ei ole vakiopolynomi. Jos f on kahden positiivista astetta
olevan polynomin tulo, noiden polynomien asteen on oltava yksi. Oletetaan siis,
että f = (a1 X + a0 )(b1 X + b0 ) joillakin a0 , a1 , b0 , b1 ∈ Q. Tällöin
X 2 − 2 = (a1 X + a0 )(b1 X + b0 ) = a1 b1 X 2 + (a1 b0 + a0 b1 )X + a0 b0 ,
mistä seuraa, että a1 b1 = 1, a1 b0 + a0 b1 = 0 ja a0 b0 = −2. Yhtälöistä voidaan
johtaa
b1
b0
−2·
=0
b1
b0
ja edelleen
b20
2 = 2,
b1
mikä on rationaaliluvuilla mahdotonta. Siten polynomi f on jaoton.
√
√
Renkaassa R polynomi f ei ole jaoton, sillä f = (X + 2)(X − 2). Polynomi
X 2 + 2 puolestaan on jaoton renkaassa R, mutta ei renkaassa C.
6.2.4 Lause (Polynomien jakoyhtälö). Oletetaan, että K on kunta ja f, g ∈ K[X].
Olkoon g %= 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset q, r ∈ K[X], joille pätee
f = qg + r,
missä r = 0 tai deg(r) < deg(g).
6.2. POLYNOMIEN JAOLLISUUDESTA
173
Todistus. Jakoyhtälö osoitetaan samalla tavoin kuin kokonaisluvuilla. Tarkastellaan joukkoa
R = {f − qg | q ∈ K[X]}.
Tämä joukko on epätyhjä, sillä esimerkiksi f on sen alkio. Olkoon r ∈ R sellainen
polynomi, jonka aste on pienin joukossa R. Tällöin f − qg = r jollakin q ∈ K[X].
6n
6m
i
i
Oletetaan, että r %= 0. Merkitään r =
i=0 ai X ja g =
i=0 bi X , missä
an %= 0 ja bm %= 0. Jos nyt deg(r) ≥ deg(g), määritellään
n−m
.
q1 = q + an b−1
m X
Tällöin
n−m
n−m
g = r − an b−1
g,
f − q1 g = f − qg − an b−1
m X
m X
ja tämän polynomin potenssia X n vastaava kerroin on
an − an b−1
m bm = 0.
Siten polynomin aste on pienempi kuin n = deg(r). Toisaalta f − q1 g on joukossa
R, mikä on ristiriita. Täten deg(r) < deg(g).
Yksikäsitteisyyden osoittamiseksi oletetaan, että polynomit q1 , q2 , r1 ja r2
toteuttavat lauseen ehdot. Tällöin q1 g + r1 = q2 g + r2 , josta edelleen saadaan
(q1 − q2 )g = r1 − r2 . Jos q1 %= q2 , polynomin (q1 − q2 )g aste on vähintään deg(g),
joka puolestaan on suurempi kuin deg(r1 ) ja deg(r2 ). Nyt siis
deg((q1 − q2 )g) ≥ deg(g) > deg(r1 − r2 ).
Tämä on mahdotonta, joten q1 = q2 , mistä seuraa, että r1 = r2 .
Huomaa, että jakoyhtälössä ei välttämättä tarvitsisi erikseen mainita vaihtoehtoa r = 0, sillä siinäkin tapauksessa −∞ = deg(r) < deg(g).
6.2.1
Juuret ja jaollisuus
6.2.5 Määritelmä. Olkoon R rengas ja f ∈ R[X]. Jos alkiolla c ∈ R pätee
f (c) = 0, sanotaan, että c on polynomin f juuri.
Etsitään renkaan Z4 [X] polynomin f = X 5 + 2X 3 + 3 juuret. Koska
f ([0]4 ) = [0]54 + 2 · [0]34 + [3]4 = [3]4
f ([1]4 ) = [1]54 + 2 · [1]34 + [3]4 = [1]4 + [2]4 + [3]4 = [2]4
f ([2]4 ) = [2]54 + 2 · [2]34 + [3]4 = [32]4 + [16]4 + [3]4 = [0]4 + [0]4 + [3]4 = [3]4
f ([3]4 ) = [3]54 + 2 · [3]34 + [3]4 = [−1]54 + 2 · [−1]34 + [3]4
= −[1]4 − [2]4 + [3]4 = [0]4 ,
174
LUKU 6. POLYNOMIT
polynomilla on yksi juuri ja se on [3]4 .
Jos polynomin f ajatellaan olevan renkaan Z3 [X] alkio, saadaan
f ([0]3 ) = [3]3 = [0]3
f ([1]3 ) = [1]3 + 2 · [1]3 + [3]3 = [0]4
f ([2]3 ) = [2]53 + 2 · [2]33 + [3]3 = [−1]53 + 2 · [−1]33 + [3]3 = −[1]3 − [2]3 = [0]4 .
Juuria ovat tässä tapauksessa kaikki renkaan Z3 alkiot.
6.2.6 Lemma. Olkoon K kunta ja olkoot f, g ∈ K[X]. Tällöin
(f + g)(c) = f (c) + g(c) ja
(f · g)(c) = f (c) · g(c)
kaikilla c ∈ K.
Todistus. Oletetaan, että f =
6
i
ai X i ja g =
5
f +g =
6
bj X j . Tällöin
j
(ai + bi )X i ,
i
joten
(f + g)(c) =
5
(ai + bj )ci =
i
Lisäksi
5
k
mistä seuraa, että
(f g)(c) =
k
7
ai ci +
5
ai bj
i
fg =
5
5
5
ai bj
i+j=k
8
7
8
5 5
k
bi ci = f (c) + g(c).
i
i+j=k
ck =
5
X k,
ai bjck =
55
i
j
ai ci ·
5
i+j=k
ai bjci+j .
Toisaalta
f (c)g(c) =
=
55
i
j
7
5
ai ci
i
i
j
ai c bj c =
8 7
·
5
j
55
i
joten saamme (f · g)(c) = f (c) · g(c).
bj cj
j
ai bj c
8
i+j
=
5
i
,
7
j
bj cj
8
6.2. POLYNOMIEN JAOLLISUUDESTA
175
Lauseen todistus osoittaa myös sen, että polynomeille määritellyt laskutoimitukset todellakin ovat samat kuin koulusta tutut polynomien yhteen- ja kertolasku.
6.2.7 Lause. Olkoon K kunta. Polynomilla f ∈ K[X] on juuri a jos ja vain jos
(X − a) | f .
Todistus. Jos (X − a) | f , on olemassa g ∈ K[X], jolle pätee f = g · (X − a). Nyt
f (a) = g(a) · (a − a) = 0,
joten a on polynomin f juuri.
Oletetaan sitten, että polynomilla f on juuri a. Jakoyhtälön perusteella on
olemassa q, r ∈ K[X], joille pätee f = q · (X − a) + r ja deg(r) < deg(X − a) = 1.
Siten r on vakiopolynomi. Nyt r = f − q(X − r) ja
r(a) = f (a) − q(a)(a − a) = 0 − 0 = 0.
Koska r on vakiopolynomi, tästä seuraa, että r = 0. Olemme siis osoittaneet, että
f = q · (X − a).
Esimerkiksi polynomilla f = X 5 + X + 1 on kunnassa Z7 juuri [2]7 , sillä
f ([2]7 ) = [2]57 + [2]7 + 1 = [0]7 .
Lauseen 6.2.7 nojalla X − 2 jakaa polynomin f , joten f ei ole jaoton.
Jos polynomilla ei ole juuria, sen ei tarvitse olla jaoton. Vaikkapa polynomilla
f = (X 3 + 2X + 1)(X 3 + 2X + 1) ei ole yhtään juurta kunnassa Z3 , mikä nähdään
käymällä läpi kaikki kunnan alkiot:
f ([0]3 ) = ([0]33 + 2 · [0]3 + [1]3 )2 = [1]3
f ([1]3 ) = ([1]33 + 2 · [1]3 + [1]3 )2 = [1]3
f ([2]3 ) = ([2]33 + 2 · [2]3 + [1]3 )2 = [1]3 .
Polynomi f ei kuitenkaan ole jaoton.
6.2.8 Esimerkki. Tutkitaan, onko polynomi g = X 3 + 2X 2 + 1 jaoton kunnassa
Z5 . Huomataan, että
f ([0]5 ) = [0]35 + 2 · [0]25 + [1]5
f ([1]5 ) = [1]35 + 2 · [1]25 + [1]5
f ([2]5 ) = [2]35 + 2 · [2]25 + [1]5
f ([3]5 ) = [3]35 + 2 · [3]25 + [1]5
f ([4]5 ) = [4]35 + 2 · [4]25 + [1]5
= [1]5
= [4]5
= [2]5
= [1]5
= [2]5 ,
176
LUKU 6. POLYNOMIT
joten polynomilla g ei ole juuria.
Jos polynomi g ei ole jaoton, se on kahden positiivista astetta olevan polynomin
tulo. Toisen tekĳän asteen on nyt oltava 1 ja toisen 2. Tällöin on olemassa sellaiset
a, b ∈ K \ {0} ja h ∈ K[X], että
g = (aX + b)h.
Huomataan, että polynomilla g on juuri −a−1 b. Tämä on ristiriita, joten g on
jaoton.
Vastaavalla menetelmää voidaan käyttää mille tahansa polynomille, jonka aste
on korkeintaan 3.
6.2.9 Lause. Olkoon K kunta ja f ∈ K[X] nollasta poikkeava polynomi. Polynomin f juurten lukumäärä on korkeintaan deg(f ).
Todistus. Todistetaan väite induktiolla polynomin asteen suhteen.
1◦ Jos deg(f ) = 0, polynomi f on vakiopolynomi. Sillä ei ole juuria, joten väite
pätee.
2◦ Oletetaan sitten, että väite pätee luvulla n, ja osoitetaan, että se pätee myös
luvulla n+ 1. Olkoon deg(f ) = n+ 1. Jos polynomilla f ei ole juuria, väite on
todistettu. Jos sillä on juuri a, niin (X − a) | f . On siis olemassa g ∈ K[X],
jolle pätee f = g · (X − a), ja tiedämme, että
deg(g) = deg(f ) − deg(X − a) = n + 1 − 1 = n.
Induktio-oletuksen nojalla polynomilla g on korkeintaan n nollakohtaa.
Olkoon b ∈ K polynomin f juuri. Tällöin
0 = f (b) = (b − a)g(b).
Koska kyseessä on kunta, joko b−a = 0 tai g(b) = 0. Tästä seuraa, että b = a
tai b on polynomin g juuri. Polynomin g juuria on korkeintaan n kappaletta,
joten polynomilla f on juuria korkeintaan n + 1. Siten väite pätee luvulla
n + 1 ja lause on todistettu.
6.2. POLYNOMIEN JAOLLISUUDESTA
6.2.2
177
Rationaalĳuuret
Kokonaislukukertoimisen polynomin rationaalilukujuuret voidaan löytää seuraavan lauseen avulla.
6.2.10 Lause. Olkoon f = a0 + a1 X + · · · + an X n polynomi, jonka kertoimet ovat
renkaassa Z. Oletetaan, että polynomilla f on juuri p/q ∈ Q, missä p, q ∈ Z ja
syt(p, q) = 1. Tällöin p|a0 ja q|an .
Todistus. Ehdosta f (p/q) = 0 saadaan yhtälö
p
p2
pn
a0 + a1 · + a2 · 2 · · · + an · n = 0.
q
q
q
Kun tämä kerrotaan puolittain luvulla q n , yhtälö muuttuu muotoon
a0 q n + a1 pq n−1 + a2 p2 q n−2 + · · · + an pn = 0.
Ottamalla p yhteiseksi tekĳäksi ja siirtelemällä termejä saadaan
a0 q n = −p(a1 q n−1 + a2 pq n−2 + · · · + an pn−1 ).
Huomataan, että p jakaa tulon a0 q n . Koska syt(p, q) = 1, Eukleideen lemmasta
seuraa, että p|a0 . Vastaavasti yhtälöstä
q(a0 q n−1 + a1 pq n−2 + · · · + an−1 pn−1 ) = −an pn
nähdään, että q|an .
Tarkastellaan polynomia f = 3X 3 + 3X − 1 ∈ Z[X]. Jos polynomilla on rationaalĳuuri, se on joko 1, −1, 1/3 tai −1/3. Koska mikään näistä ei ole polynomin
juuri, juuria ei ole. Tästä seuraa, että polynomi on jaoton. Jos f voitaisiin kirjoittaa kahden polynomin tulona, olisi toisen polynomin aste silloin yksi. (Vertaa
esimerkki 6.2.8.) Tämä tarkoittaisi, että polynomilla f on rationaalĳuuri, mikä on
ristiriita.
Tiivistelmä
• Olkoon K kunta. Polynomilla f ∈ K[X] on juuri a täsmälleen silloin, kun f
on jaollinen polynomilla X − a.
• Jos polynomin kerroinrengas on kunta, antaa polynomin aste yläräjan juurten lukumäärälle.
Luku 7
Liite: Symmetrioista
7.1
Neliön symmetriaryhmä
Olemme aikaisemmin tutkineet kolmion symmetrioita ja huomasimme, että niiden
muodostama ryhmä on isomorfinen ryhmän S3 kanssa. Tutkitaan nyt neliön symmetriaryhmää. Neliön symmetriat koostuvat kierroista ja peilauksista, ja niitä on
yhteensä kahdeksan. Mahdollisia kiertoja ja peilauksia on molempia neljä, ja ne
on esitetty kuvassa 7.1.
2
3
1
1
4
4
3
4
peilaus
2
4
3
kierto
myötäpäivään
3
2
2
1
1
1
3
4
2
peilaus
kierto
kahdesti
peilaus
1
3
2
2
4
4
3
1
4
kierto
kolmasti
1
3
peilaus
2
Kuva 7.1: Neliön symmetriat
Neliön symmetriaryhmä permutoi neliön kulmia. Jos kulmat nimetään numeroilla yhdestä neljään, symmetriaryhmän voidaan ajatella olevan ryhmän S4 aliryhmä.
Olkoon ρ kierto myötäpäivään ja σ peilaus pystysuoran akselin suhteen. Huo178
7.1. NELIÖN SYMMETRIARYHMÄ
179
mataan, että mikä tahansa neliön symmetria voidaan ilmaista alkioiden ρ ja σ
tulona. (Koska symmetrioiden ajatellaan olevan permutaatioita, ne kirjoitetaan
oikealta vasemmalle. Esimerkiksi σρ tarkoittaa, että ensin tehdään ρ ja sitten σ.)
Kierrot ovat
1 = ρ4 , ρ, ρ2 , ρ3
ja peilaukset
σ, σρ, σρ2 , σρ3 .
Muotoa ρk olevat alkiot ovat siis kiertoja ja muotoa σρk olevat alkiot peilauksia.
Kootaan seuraavaksi neliön symmetriaryhmän kertotaulu. Sitä varten tehdään
ensin muutamia apulaskelmia. Huomataan, että
σ2 = 1
ρ4 = 1
σρσ = ρ−1 = ρ3
ρσ = σρ−1 = σρ3 .
Kertotauluksi saadaan
1
ρ
ρ2
ρ3
σ
σρ
σρ2
σρ3
1
ρ
ρ2 ρ3
σ
σρ σρ2 σρ3
1
ρ
ρ2 ρ3
σ
σρ σρ2 σρ3
ρ
ρ2 ρ3
1 σρ3 σ
σρ σρ2
2
3
2
3
ρ
ρ
1
ρ σρ σρ
σ
σρ
ρ3
1
ρ
ρ2 σρ σρ2 σρ3 σ
σ
σρ σρ2 σρ3 1
ρ
ρ2 ρ3
2
3
3
σρ σρ σρ
σ
ρ
1
ρ
ρ2
σρ2 σρ3 σ
σρ ρ2 ρ3
1
ρ
3
2
2
3
σρ
σ
σρ σρ
ρ
ρ
ρ
1
Huomaa, että neliön symmetriaryhmä ei ole vaihdannainen, sillä esimerkiksi
ρσ = σρ3 %= σρ. Alkio ρ2 kuitenkin kommutoi kaikkien alkioiden kanssa eli ρ2 x =
xρ2 kaikilla symmetrioilla x.
Kertotaulusta nähdään, että kahden kierron tulo on aina kierto, samoin kahden
peilauksen. Kierron ja peilauksen tulo puolestaan on peilaus. Tämän havainnollis-
180
LUKU 7. LIITE: SYMMETRIOISTA
tamiseksi kertotaulu voidaan jakaa osiin:
1
ρ
ρ2
ρ3
σ
σρ
σρ2
σρ3
1
ρ
ρ2 ρ3
σ
σρ σρ2 σρ3
2
3
1
ρ
ρ
ρ
σ
σρ σρ2 σρ3
ρ
ρ2 ρ3
1 σρ3 σ
σρ σρ2
2
3
2
3
ρ
ρ
1
ρ σρ σρ
σ
σρ
ρ3
1
ρ
ρ2 σρ σρ2 σρ3 σ
σ
σρ σρ2 σρ3 1
ρ
ρ2 ρ3
2
3
3
σρ σρ σρ
σ
ρ
1
ρ
ρ2
σρ2 σρ3 σ
σρ ρ2 ρ3
1
ρ
3
2
2
3
σρ
σ
σρ σρ
ρ
ρ
ρ
1
Tulemme näkemään, että tämä jako vastaa itse asiassa erästä ryhmän tekĳäryhmää.
Tutkitaan seuraavaksi neliön symmetriaryhmän aliryhmiä. Kierrot muodostavat neljän alkion syklisen aliryhmän, jonka virittää ρ. Tällä aliryhmällä on täsmälleen yksi epätriviaali aliryhmä, jonka virittää alkio ρ2 . Peilausten virittämissä
aliryhmissä on kussakin kaksi alkiota. Näin saamme aliryhmät
3ρ4 = {1, ρ, ρ2 , ρ3 }
3ρ2 4 = {1, ρ2 }
3σ4 = {1, σ}
3σρ4 = {1, σρ}
3σρ2 4 = {1, σρ2 }
3σρ3 4 = {1, σρ3 }.
Koska neliön symmetriaryhmässä on kahdeksan alkiota ja Lagrangen lauseen
nojalla aliryhmän kertaluku jakaa koko ryhmän kertaluvun, jokaisessa epätriviaalissa ryhmässä on joko 2 tai 4 alkiota. Koska kahden alkion ryhmän virittää alkio,
jonka kertaluku on kaksi, olemme jo löytäneet kaikki kahden alkion aliryhmät.
Neljän alkion aliryhmät voidaan löytää kokeilemalla, millaisia aliryhmiä eri
alkioparit virittävät. Näin löydetään vielä kaksi aliryhmää:
3σ, σρ2 4 = {1, σ, σρ2 , ρ2 }
3σρ, σρ3 4 = {1, σρ, σρ3 , ρ2 }
Enempää aliryhmiä ei ole.
Kaikki neljän alkion aliryhmät ovat normaaleja, sillä niiden indeksi on 2. (Muista, että aliryhmä, jonka indeksi on kaksi on aina normaali.) Kun muodostetaan
tekĳäryhmä tälläisen aliryhmän suhteen, tekĳäryhmän kertaluvuksi tulee 8/4 = 2.
7.2. DIEDRIRYHMÄT
181
Tekĳäryhmät ovat siis kahden alkion syklisiä ryhmiä. Jos tekĳäryhmä muodostetaan kiertojen aliryhmän 3ρ4 suhteen, toinen tekĳäryhmän alkio on sivuluokka,
joka sisältää kaikki kierrot, ja toinen alkio on sivuluokka, joka sisältää kaikki peilaukset. Kahden alkion aliryhmistä ainoastaan {1, ρ2 } on normaali.
Neliön symmetriaryhmän virittäjiksi on mahdollista valita jotkin muutkin alkiot kuin σ ja ρ. Esimerkiksi peilaukset σ ja ρσ virittävät symmetriaryhmän.
7.2
Diedriryhmät
Kolmion symmetriaryhmää merkitään D6 ja neliön D8 . Ne ovat molemmat niin
kutsuttuja diedriryhmiä. Yleisesti diedriryhmä D2n on n-kulmaisen säännöllisen
monikulmion symmetriaryhmä. Ryhmän D2n alkioiden lukumäärä on 2n ja sen
virittää kaksi alkiota, kierto ja peilaus. Kierrot muodostavat aliryhmän, jonka
kertaluku on n. Diedriryhmän D2n voidaan ajatella olevan ryhmän Sn aliryhmä.
7.3
Platonin kappaleiden symmetriaryhmät
Platonin kappaleet ovat säännöllisiä monitahokkaita. Niitä on viisi: tetraedri, kuutio, oktaedri, ikosaedri ja dodekaedri. Jokaisella platonin kappaleista on duaalikappale, joka saadaan korvaamalla tahkot kärjillä. Tetraedri on oma duaalikappaleensa, kuution duaalikappale on oktaedri ja ikosaedrin dodekaedri.
Tetraedrin symmetriaryhmässä on 12 alkiota ja se on ryhmän S4 aliryhmä. Tetraedrissä on neljä kulmaa, joita symmetriaryhmä permutoi. Kaikki permutaatiot
eivät kuitenkaan ole mahdollisia, sillä esimerkiksi kahden kulman paikkaa ei voi
vaihtaa muita kulmia liikuttamatta. Voidaan osoittaa, että ainoastaan parilliset
permutaatiot ovat mahdollisia. (Katso luku 1.4.5.)
Kuution symmetriaryhmä on S4 . Siinä on siis 24 alkiota. Symmetriaryhmä permutoi neljää kuution lävistäjää, jotka kulkevat kulmasta kulmaan. Koska oktaedri
on kuutio duaalikappale, sen symmetriaryhmä on sama kuin kuution.
Dodekaedrin symmetriaryhmässä on 60 alkiota ja se on ryhmän S5 aliryhmä.
Dodekaedrin tahkot ovat viisikulmioita ja niitä on 12. Symmetriat permutoivat
näitä tahkoja toisikseen ja voivat lisäksi pyörittää kappletta tahkon keskipisteen
ympäri. Näin saadaan 12·5 = 60 symmetriaa. Dodekaedrin symmetriaryhmä koostuu ryhmän S5 parillisista permutaatioista. Ikosaedri on dodekaedrin duaalikappale, joten sen symmetriaryhmä on sama kuin dodekaedrin.