1. No category

Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 1
201
202
Saadaan tapaukset
a)
B
1) Tason suorat l ja m voivat olla yhdensuuntaiset, mutta eri
suorat, jolloin niillä ei ole yhteisiä pisteitä.
A
C
l
C
m
Jos pisteet eivät ole
samalla suoralla,
muodostuu kolmio.
2) Suorat l ja m voivat olla erisuuntaiset, jolloin niillä on
täsmälleen yksi yhteinen piste.
l
A
A
b)
B
Jos pisteet ovat
samalla suoralla
mutta eivät yhdy,
muodostuu jana.
B
C
B
A
(E)
D
A
B
C
Jos pisteet yhtyvät,
muodostuu vain yksi
piste.
C
m
3) Suorat l ja m voivat olla samat, jolloin niillä on äärettömän
monta yhteistä pistettä.
l=m
Vastaus Yhteisiä pisteitä on 0, 1 tai äärettömän monta.
Muodostuu neliö
Vastaus
a) Kolmio, jana tai piste
b) Neliö tai murtoviiva
D
Muodostuu murtoviiva
E
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 2
203
Asetetaan neliöt tasoon niin, että niiden keskipisteet yhtyvät ja
eräiden sivujen välille muodostuu 45D kulma.
204
a) Tapa 1
Janan jakosuhteen perusteella saadaan verranto
4
10
5
1
6
AP 5
=
PB 11
3
7
2
9
8
11AP = 5 PB
PB = AB − AP
11AP = 5 ( AB − 5 AP )
11AP = 5 AB − 5 AP
16 AP = 5 AB
5
AB
AB = 32
16
5
5 ⋅ 32
AP = ⋅ 32 =
= 10
16
16
AP =
Tason eri osia ovat neliöiden yhteinen keskusta, kärkiä vastaavat
kolmiot (8 kpl) ja ulkopuoli, yhteensä 10 osaa.
Huomautus Janan AP pituus saadaan myös suoran jakosuhteesta
5:11.
5
5
5
AP =
AB = AB = ⋅ 32 = 10
5 + 11
16
16
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 3
Jakosuhteen 5:11 perusteella on AP = 5 x ja PB = 11x .
b) Tapa 1
Jakosuhteen 4:9 perusteella on AP = 4 x ja PB = 9 x , joten piste P
on lähempänä pistettä A kuin pistettä B ja sijaitsee siten pisteen A
puoleisella janan jatkeella.
Saadaan yhtälö
Saadaan yhtälö
Tapa 2
5 x + 11x = 32
16 x = 32
x=2
Siis AP = 5 x = 5 ⋅ 2 = 10
9 x = 4 x + 40
5 x = 40
x =8
Siis AP = 4 x = 4 ⋅ 8 = 32
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
Tapa 2
Janan jakosuhteen perusteella saadaan verranto
AP 4
=
PB 9
sivu 4
205
Jakosuhteen 14:5 perusteella puomien pituudet ovat 5 x ja 14 x .
Nostopuomin ja vastapainopuomin pituuksien erotus on
(14)
(5)
14x
5x
14 x − 5 x = 9 x
9 AP = 4 PB
PB = AP + AB
9 AP = 4 ( AP + AB )
9 AP = 4 AP + 4 AB
5 AP = 4 AB
4
AP = AB
5
4
AP = ⋅ 40 = 32
5
Nostopuomi on vastapainopuomia pitempi
prosentteina
9x
900
⋅ 100% =
% = 180%
5x
5
AB = 40
Vastaus
Vastaus
a) Janan AP pituus on 10
b) Janan AP pituus on 32
Nostopuomi on 180% pitempi kuin vastapainopuomi.
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 5
206
207
Jakosuhteen 3:40 perusteella
johtojen kiinnityskohtien
korkeudet ovat 40x ja 43x.
Tapa1
Janan jakosuhteen perusteella saadaan verranto
hyläjohdot = 43 x
(8)
halajohdot = 40 x
(3)
hhelikopteri = 18 m
A
3x
Saadaan yhtälö
40 x = 15
3
x = (m)
8
40x
3
m = 16,125 m ( < 18 m )
8
Koska helikopteri lentää yläjohtoja korkeammalla, se ei törmää
johtoihin.
Vastaus
AP 8
=
PB 3
BP = AP − AB
3 AP = 8 PB
3 AP = 8 ( AP − AB )
3 AP = 8 AP − 8 AB
5 AP = 8 AB
8
AP
AB = 30 cm
5
8
AP = ⋅ 30 = 48 ( cm )
5
AP =
Siis
hyläjohdot = 43 ⋅
B
Ei törmää.
P
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 6
Tapa 2
Jakosuhteen 8 : 3 perusteella on AP = 8 x ja PB = 3x .
30 cm
A
3x
B
8x
Saadaan yhtälö
30 + 3x = 8 x
208
AC =
5
AC 5
AB , joten
=
AB 3
3
P
A D
B
C
Merkitään AB = 3x ja AC = 5 x .
1
1
1
Tällöin AD = AB = ⋅ 3 x = x .
6
6
2
5 x = 30
x=6
Siis AP = 8 x = 8 ⋅ 6 = 48 ( cm ) .
Vastaus:
Janan AP pituus on 48 cm.
a) Piste B jakaa janan AC suhteessa
BC = AC − AB , joten saadaan suhde
AB
.
BC
AB
AB
3x
3x 3
=
=
=
=
BC AC − AB 5 x − 3 x 2 x 2
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 7
b) Pisteet D ja B jakavat janan AC kolmeen osaan, joten lasketaan
suhde AD : DB : BC .
1
x
AD
AD
2
=
=
=
DB AB − AD 3 x − 1 x
2
2)
1
2 x 5
DB
2 =
=
2x
4
BC
2)
1
x
2 =1
1
2 x 5
2
Siis AD : DB : BC = 1: 5 : 4 .
Vastaus:
209
Tarkastellaan ensin kohtaa b. Olkoot tehtävän suorat l , l ' ja l ''
( l ≠ l ' ≠ l '') . Tehtävä jakautuu seuraaviin tapauksiin:
l
1) Suorat ovat yhdensuuntaiset.
Tällöin taso jakautuu
neljään osaan.
l’’
l’’
l
2) Suorista kaksi, esim. l ja l '
ovat yhdensuuntaiset, mutta l ''
erisuuntainen.
Taso jakautuu kuuteen osaan.
a) Piste B jakaa janan AC suhteessa 3 :2
b) AD : DB : BC = 1: 5 : 4
l’
3) Suorat ovat kaikki keskenään
erisuuntaisia, mutta niillä on yksi
yhteinen leikkauspiste.
Osia on kuusi.
l’
l’’
l’
l
4) Suorat ovat kaikki keskenään
erisuuntaisia eikä niillä ole yhteistä
leikkauspistettä.
Osia on seitsemän.
l’’
l’
l
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 8
Vastaavalla tavalla voidaan päätellä, että suurin määrä tason osia
saadaan aina tilanteessa, jolloin suorat ovat keskenään
erisuuntaisia eikä niillä ole yhteistä leikkauspistettä. Piirretään
tilanteista mallikuvat ja päätellään tason osien määrä niiden
avulla.
210
1
a) neljään osaan
2
4
3
b) seitsemään osaan
c) 11 osaan
a) Teräviä kulmia ovat ne, joiden suuruus on 0D < α < 90D .
Siis kulmat A, G ja K ovat teräviä.
b) Tylppiä kulmia ovat ne, joiden suuruus on 90D < α < 180D .
Siis kulmat B, H ja J ovat tylppiä.
d) Yksi suora jakaa tason kahteen osaan. Kun toinen suora
lisätään, tulee kaksi osaa lisää. Kun kolmas suora lisätään, tulee
kolme osaa lisää. Kun lisätään n suoraa, tulee n osaa lisää.
Yhteensä osia on
2 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n
= 1 + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n)
1 + n 2 n + n2
=1+ n ⋅
= +
2
2
2
n2 + n + 2
=
2
Vastaus a) 4
b) 7
c) 11
n2 + n + 2
d)
2
c) Kuperia kulmia ovat ne, joiden suuruus on 180D < α < 360D .
Siis kulmat C, E, I ja L ovat kuperia.
d) Koveria kulmia ovat ne, joiden suuruus on 0D < α < 180D .
Siis kulmat A, B, D, F, G, H, J ja K ovat koveria.
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 9
211
212
Merkitään kysyttyä kulmaa kirjaimella α .
α
β
32°
11°
43°
57°
33°
90°
112° 69°
181°
37°
135°
98°
α + β terävä suora tylppä oiko- kovera kupera
kulma kulma kulma kulma kulma kulma
X
a) Komplementtikulmien summa on 90°, joten saadaan yhtälö
36,4D + α = 90D
α = 90D − 36,4D
X
X
α = 53,6D
X
X
X
b) Suplementtikulmien summa on 180°, joten saadaan yhtälö
36,4D + α = 180D
α = 180D − 36,4D
X
α = 143,6D
254° 106° 360°
93°
87°
180°
X
c) Eksplementtikulmien summa on 360°, joten saadaan yhtälö
36,4D + α = 360D
α = 360D − 36,4D
α = 323,6D
Vastaus a) 53,6D
b) 143,6D
c) 323,6D
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 10
e)
213
2D 20' 15'' = 2 ⋅ 60 ⋅ 60''+ 20 ⋅ 60''+ 15''
= 7200''+ 1200''+ 15'' = 8415''
a)
3 = 3 ⋅ 60' = 180'
= 180 ⋅ 60" = 10800"
D
'
 8415 
=
 = 140,25'
 60 
D
 140,25 
D
=
 = 2,3375
 60 
b)
7,2D = 7, 2 ⋅ 60' = 432'
= 432 ⋅ 60'' = 25 920''
f)
'
'
'
 5362   22 
 22 
5362'' = 
 =  89  = 89'+  
 60   60 
 60 
c)
 42 
13 42' = 13 +  
 60 
= 13D + 0,7D
D
D
D
D
= 13,7D
D
 29 
= 1 +   + 22" = 1D + 29'+ 22''
 60 
D
= 1 29' 22''
D
d)
D
 427   7 
427 ' = 
 = 7 
 60   60 
 7 
= 7D +  
 60 
= 7D 7 '
D
 89 
 29 
=   + 22'' = 1  + 22''
 60 
 60 
D
D
g)
19,52D = 19D + 0,52D = 19D + 0,52 ⋅ 60'
= 19D + 31,2' = 19D + 31'+ 0,2'
= 19D + 31'+ 0,2 ⋅ 60'' = 19D + 31'+ 12''
= 19D 31' 12''
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 11
b)
214
a)
Kulmat muodostavat täyskulman, joten saadaan yhtälö
Kulmat muodostavat oikokulman, joten saadaan yhtälö
α + α + 152D 47 ' = 180D
α + 13,2D + 295D = 360D
α = 360D − 295D − 13,2D
2α = 180D − 152D 47'
α = 51,8D
2α = 27D 13'
α = 13,5D + 6,5'
α = 13D + 30'+ 6'+ 30''
α = 13D 36' 30''
Vastaus
a) α = 51,8D
b) α = 13D 36' 30''
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 12
215
216
Suorat l ja s ovat yhdensuuntaiset, kun samankohtaiset kulmat
ovat yhtä suuret.
Suorat l ja s ovat yhdensuuntaiset, jos samankohtaiset kulmat ovat
yhtä suuret.
a)
a)
Oltava α = 67D , sillä 67D kulma on samankohtainen
kulman α kanssa.
Kulman 24D kanssa samankohtainen kulma on kulman 156D
vieruskulma 180D − 156D = 24D .
Kulmat ovat yhtä suuret, joten l & s .
b)
b) Kulman 53D kanssa samankohtainen
kulma on kulman 128D vieruskulma
180D − 128D = 52D .
53D ≠ 52D , joten l & s .
Kulman α kanssa samankohtainen kulma on kulman 112D
vieruskulma. Siis on oltava
α = 180D − 112D = 68D
Vastaus
a) α = 67D b) α = 68D
Vastaus
a) Ovat
b) Eivät ole
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 13
ε
b)
217
a)
δ
Ω
l&m
α = 360D − 125D = 235D
γ = 125D
samankohtaiset kulmat ja m & l
β = 180D − γ
vieruskulmat (oikokulma)
= 180D − 125D = 55D
l&m
δ = 121D
samankohtaiset kulmat ja m & l
α = 180D − δ
vieruskulmat (oikokulma)
= 180D − 121D = 59D
ε = 15D
ristikulmat
γ = 90D − 15D = 75D
komplementtikulmat γ ja ε
Ω = 90D + 15D = 105D
samankohtaiset kulmat ja m & l
β = 105D
ristikulmat
Vastaus
a) α = 235D , β = 55D ja γ = 125D
b) α = 59D , β = 105D ja γ = 75D
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 14
218
219
a)
Väite:
Todistus:
α =β
2 x + 150D + 3 x = 180D
)ADE = α
samankohtaiset kulmat ja l1 & l2
)ADE = β
samankohtaiset kulmat ja s1 & s2
vieruskulmat
5 x = 180D − 150D
5 x = 30D
x = 6D
Siis α = β
β = 3x
ristikulmat, x = 6D
β = 3 ⋅ 6D = 180D
α + β = 18D
α = 180D − 18D
α = 162D
vieruskulmat, β = 18D
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 15
b)
220
a)
27D 38' 28''
+ 12D 21' 42''
39D 59' 70''
Muunnetaan saatu summa isommiksi yksiköiksi.
39D 59' 70'' = 39D + 59'+ 60''+ 10''
= 39D + 60'+ 10''
)B = )A
α = 40 − 15 = 25
D
D
D
Kulman α kanssa samankohtainen
α + β = 180D
b)
Muunnetaan ensin kulmat sellaisiksi yksiköiksi, että on helpompi
laskea allekkain.
kulma on kulman β vieruskulma
ja l1 & l2 .
76D 14' 32'' = 76D 13' 92'' = 75D 73' 92''
β = 180D − α
75D 73' 92''
− 12D 14' 45''
= 180 − 25
D
D
= 155D
63D 59' 47 ''
Vastaus
Vastaus
a) α = 162D ja β = 18D
b) α = 25D ja β = 155D
60' = 1D
= 40D + 10'' = 40D 10''
samankohtaiset kulmat ja l1 & l3
α + 15D = 40D
60'' = 1'
a) 40D 10'' b) 63D 59' 47''
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 16
221
222
Merkitään kysyttyä kulmaa kirjaimella x.
Merkitään kulman α komplementtikulmaa kirjaimella β .
a) Komplementtikulmien summa on 90D , joten
x + 43D = 90D
Saadaan yhtälöpari
(1) 
α = β + 13D
( 2 ) α + β = 90D
x = 57D
b) Suplementtikulmien summa on 180D , joten
x + 43D = 180D
β + 13D + β = 90D
x = 137D
2 β = 77D
β = 38,5D
c) Saadaan a)-kohdan tuloksen avulla yhtälö
x + 57D = 180D
x = 123D
Kulman α vieruskulma on
180D − α = 180D − 51,5D = 128,5D
x = 223D
a) 57D
b) 137D
sijoitetaan yhtälöön (1)
α = 38,5D + 13D = 51,5D
d) Eksplementtikulmien summa on 360D , ja suplementtikulma
on b)-kohdan tuloksen mukaan 137D . Saadaan yhtälö
x + 137D = 360D
Vastaus
sijoitetaan yhtälöön ( 2 )
c) 123D
d) 223D
Vastaus
Vieruskulma on 128,5D
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 17
223
224
Piirretään kulma ja sen vieruskulma sekä niiden puolittajat.
Merkitään kulmaa kirjaimella α ja sen vieruskulmaa
kirjaimella β .
Merkitään samankohtaisia kulmia kirjaimilla γ ja δ .
α + β = 90D
α + β = 180D
α β
D
2
+
2
:2
= 90 ,
joten vieruskulmien puolittajat ovat kohtisuorassa toisiaan
vastaan.
komplementtikulmat
γ = 180D − β
vieruskulmat
δ = α + 90D
ristikulmat, α = 90π − β
= ( 90D − β ) + 90D
= 180D − β = γ
Koska δ = γ ja ne ovat samankohtaiset kulmat, on oltava k & l .
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 18
225
5 minuuttia on koko kellotaulusta 12. osa, joten minuuttiviisari
1
kulkee 5 minuutin aikana kulman
⋅ 360D = 30D .
12
a) klo 19.00
b) klo 03.30
Osoittimien välinen pienempi
1
kulma on 4 ⋅ 30D ⋅ = 127,5D .
4
1
Tuntiviisari on siirtynyt välin
4
verran kellotaulun numerosta 7
kohti numeroa 8, sillä minuutteja
15 1
= koko
on kulunut
60 4
tunnista.
c) klo 07.15
Osoittimien välinen pienempi
kulma on 5 tällaista yksikköä, joten
5
kulma on
koko kellotaulusta eli
12
5
⋅ 360D = 5 ⋅ 30D = 150D .
kulma on
12
Osoittimien välinen pienempi
kulma on 2,5 ⋅ 30D = 75D , sillä
tuntiviisari on kellotaulun
numeroiden 3 ja 4 välissä.
Vastaus a) 150D
b) 75D
c) 127,5D
•
Pyramidi 3
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 19
226
227
360D
Minuuttiviisarin nopeus on
= 6D / min
60 min
360D
Tuntiviisarin nopeus on
= 0,5D / min
12 ⋅ 60 min
Viisarit ovat oikokulmassa seuraavan kerran klo 7 jälkeen.
Piirretään tilanteesta kuva.
Lähtö
45°
Olkoon viisarit oikokulmassa x minuuttia klo 7 jälkeen.
Minuuttiviisari on kiertynyt kulman α = 6D ⋅ x
Tuntiviisari on kiertynyt kulman β = 0,5D ⋅ x
45°
135°
Saadaan yhtälö
ristikulmat ja
β + 30 = α
D
360D
= 30D
12
0,5D ⋅ x + 30D = 6D ⋅ x
−5,5D ⋅ x = −30D
−30D
= 5,45 ( min )
x=
D
−5,5
0,45 min = 0,45 ⋅ 60s = 27,27 s
5,45 min ≈ 5 min 27 s
Vastaus
klo 7.05.27
Vastaus Luoteeseen
Pyramidi 3
•
Geometria •
228
tehtävien ratkaisut •
sivu 20
229
Piirretään tilanteesta kuva
Piirretään tilanteesta kuva
30°
Olkoon A lähtöpiste , B piste, jossa Juha ensimmäisen kerran
kääntyy, C seuraava piste ja D viimeinen kääntymispiste. Olkoon
E mielivaltainen piste reitillä viimeisen kääntymisen jälkeen.
BC & DE , sillä )BCD = 90D ja )CDE = 90D .
Piste A jää suoran BC oikealle puolelle, pisteestä D alkava
puolisuora DE taas vasemmalle.
Vastaus
Koilliseen
Siis Juha ei löydä perille tällä tavalla.
Vastaus
Juha ei löydä perille
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 21
230
231
Piirretään suorille g ja h janojen päätepisteiden kautta normaalit.
Piirretään sivulle AB tai sen jatkeelle pisteen C kautta normaali.
Normaali leikkaa sivun AB tai sen jatkeen pisteessä D.
Sivun AC projektio suoralla AB on AD.
Sivun BC projektio suoralla AB on DB.
Janan AB projektiot ovat piste A’ (=B’) ja jana A”B”.
232
Piirretään rististä normaaleja lipun lävistäjälle.
Janan CD projektiot ovat jana C’D’ ja piste C’’(=D”).
Janan EF projektiot ovat jana E’F’ ja jana E”F”.
Projektio on jana AB.
Pyramidi 3
•
Geometria •
tehtävien ratkaisut •
sivu 22
233
234
Piirretään suoran l suuntaiset suorat neliön ABCD kärjistä siten,
että ne leikkaavat suoran s. Merkitään näitä projektiopisteitä
vastaavasti A’, B’, C’, ja D’
.
a) Piirretään suoran s suuntaisia suoria ö-kirjaimen ääripisteistä
siten, että ne leikkaavat suoraa l.
Projektiopisteet ovat suoralla s järjestyksessä D’, A’, C’ ja B’.
Projektio on kaksi janaa, jotka on kuvassa lihavoitu.
b) Piirretään suoran l suuntaisia suoria ö-kirjaimen ääripisteistä
siten, että ne leikkaavat suoraa s.
Projektio on jana, joka on kuvassa lihavoitu.