1. No category

Lujuusopin jatkokurssi
III.1
III. LAATTARAKENTEET
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
1
III.2
JOHDANTO
Tasopintarakenteen kuormitus voidaan jakaa keskipinnan suuntaiseen ja sitä vastaan kohtisuoraan kuormitukseen eli levy- ja laattakuormitukseen. Taipuman ollessa
tarpeeksi pieni nämä kuormitustapaukset voidaan käsitellä erillisinä. Laatta on tasopintarakenne, jota kuormitetaan sen normaalin suunnassa. Tasopintarakenteen laskentamalli on sen keskipinta ja lisäksi tarvitaan rakenteen paksuus. Laatan keskipinta
taipuu kuormituksen vaikutuksesta kaarevaksi pinnaksi ja taipumalla syntynyttä pintaa sanotaan laatan kimmopinnaksi. Laatta kantaa kuormituksensa pääasiassa taivutus- ja vääntörasitusten avulla, mutta siihen syntyy myös leikkausvoimarasituksia.
Laattarakenteiden lujuuslaskentaan on kehitetty monia erilaisiin alkuoletuksiin perustuvia teorioita. Kuvassa 1.1 on esitetty laattaongelmien karkea jaottelu, joka on tehty
niiden ratkaisemiseen soveltuvien menetelmien perusteella. Laatan paksuutta on kuvassa merkitty kirjaimella h, s tarkoittaa keskitason pienintä ulottuvuutta ja w taipuman itseisarvon maksimia.
h > s/5
h / 5 < w < 5h
von Kármán
h ≤ s/5
w < h/5
Kuva 1.1 Laattaongelmien jaottelu.
Kuvassa 1.1 annetut rajat ovat vain suuntaa antavia ohjeita, eivätkä teoriasta seuraavia täsmällisiä arvoja. Paksuilla laatoilla leikkausmuodonmuutoksilla on merkitystä
samaan tapaan kuin korkeilla palkeilla (Timoshenkon palkkiteoria). Kohtuullisen paksuuden omaavan laatan tarkasteluun sopii Reissnerin laattateoria, joka ottaa leikkausmuodonmuutoksen likimääräisesti huomioon. Ohuen ja vähän taipuneen laatan
tarkastelu voidaan suorittaa klassisen laattateorian eli Kirchhoff-Love laattateorian
mukaisesti. Tämä teoria vastaa suoran palkin teknistä taivutusteoriaa ja on sen kaksiulotteinen yleistys. Ohut ja runsaasti taipunut laatta käyttäytyy epälineaarisesti, sillä
sen kimmopinta venyy merkittävästi jäykistäen laattaa taipumisen suhteen. Von
Kármánin laattateoria tarjoaa tällaiseen tapaukseen sopivan analyyttisen ratkaisumenetelmän. Kaikkien edellä mainittujen laattaongelmien numeerisessa ratkaisemisessa voidaan soveltaa elementtimenetelmää ja käytettävissä on laaja valikoima erityyppisiä laattaelementtejä.
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.3
Laatat voidaan luokitella materiaalin perusteella kuvassa 1.2 esitetyllä tavalla. Teräslaatta käyttäytyy isotrooppisesti. Epäisotrooppisuus on usein materiaalin tai rakenteen ortotrooppisuutta (puu, jäykisteillä kohtisuorasti ristiin vahvistettu laatta). Kerroslaatassa on kevyt sydän ja ohuet pintalevyt yhdistetty toisiinsa (styrox tai uretaani ja
teräs tai vaneri). Komposiittilaatassa on perusaineeseen (muovi, betoni, lasi) sijoitettu
hyvin vetoa kestäviä säikeitä (hiilikuidut, terästangot, langat).
Kuva 1.2 Laattojen luokittelu materiaalin mukaan.
Tässä käsitellään vain ohuita ja vähän taipuneita laattoja, joiden materiaali on isotrooppinen, homogeeninen ja käyttäytyy lineaarisesti kimmoisesti.
2 KLASSISEN LAATTATEORIAN PERUSYHTÄLÖT
2.1 Laatan kinemaattinen malli
Seuraavassa tarkastellaan laatan teoriaa kuvan 2.1 xyz-koordinaatistossa, jonka xytaso on laatan keskitasossa ja z-akseli on keskitason normaalin suuntaan. Jos laatan
paksuus h on vakio, on laatan alapinta taso z = + h / 2 ja yläpinta taso z = − h / 2 . Jos
laatan ylä- ja alapinta ovat erisuuntaisia tasoja tai kaarevia pintoja, on laatan paksuus
koordinaattien x ja y funktio. Paksuuden puolittavien pisteiden on tässäkin tapauksessa muodostettava taso, jotta rakennetta voitaisiin tarkastella laattateorialla. Laattaa rajoittavia z-akselin suuntaisia pintoja kutsutaan sen reunaksi. Siirtymäkentän
komponentteja koordinaattiakseleiden suunnissa merkitään symboleilla u, v ja w lujuusopin käytännön mukaisesti. Siirtymäkomponenttia w sanotaan taipumaksi.
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.4
Klassinen laattateoria perustuu seuraaviin laatan käyttäytymistä koskeviin hypoteeseihin (Kirchhoff, Love).
1. Laatan keskipinta on neutraalipinta, jonka pientä venymistä ei oteta huomioon.
2. Keskitason normaalilla olevat laatan pisteet pysyvät tästä taipumalla syntyneen
kimmopinnan normaalilla.
3. Keskitason normaalin suuntaisella venymällä ε z ei ole merkitystä.
4. Keskitason normaalin suuntainen jännityskomponentti σ z voidaan jättää huomioonottamatta keskitason suuntaisten komponenttien σ x , σ y ja τ xy rinnalla
Hypoteesia 2 vastaa palkin teknisessä taivutusteoriassa Bernoullin hypoteesi.
Kuva 2.1 Laatan koordinaatisto.
Kuvassa 2.2 tarkastellaan laatan keskitason mielivaltaista pistettä P ja sen kautta
kulkevalla keskitason normaalilla etäisyydellä z olevaa pistettä A. Kuvassa näkyvät
pisteen A siirtymäkomponentit u ja w xz-tason suuntaisessa leikkauksessa. Siirtymät
oletetaan pieniksi ( w < h / 5 ), mutta niitä on selvyyden vuoksi liioiteltu. Keskipinnan
venymättömyysoletuksesta 1 seuraa, että piste P siirtyy vain z-akselin suunnassa
tullen pisteeseen P’. Keskitason normaali kääntyy y-akselin ympäri kulman w,x , joka
on sama kuin keskitason kääntymiskulma, sillä perushypoteesin 2 mukaan A’ on taipuneen kimmopinnan normaalilla. Perushypoteesin 3 mukaan on ε z = 0 , joten
PA = P' A' eli normaali ei veny. Tarkastelemalla samalla tavalla pisteen P kautta kulkevaa yz-tason suuntaista leikkausta nähdään, että normaali PA kääntyy x-akselin
ympäri kulman w, y . Pisteen A siirtymäkomponenteiksi saadaan näin ollen
u = − z w, x
v = − z w, y
w = w ( x, y )
(2.1)
Laatan muodonmuutoskomponenteiksi saadaan kinemaattisten yhtälöiden avulla
ε x = u, x = − z w, xx = z κ x
ε y = v, y = − z w, yy = z κ y
γ xy = u, y + v, x = −2 z w, xy = 2 z κ xy
ε z = γ xz = γ yz = 0
Laattarakenteet
(2.2)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.5
w,x
w,x
Kuva 2.2 Kinemaattinen malli.
Kaavassa (2.2) κ x ja κ y ovat kimmopinnan kaarevuudet x- ja y-akseleiden suunnissa ja κ xy sen kierevyys xy-tasoon nähden tarkastelupisteessä P’. Laatan kaarevuussäteet ρ x ja ρ y ovat sen kaarevuuksien käänteislukuja sekä kierevyyssäde ρ xy sen
kierevyyden käänteisluku eli
1/ ρ x = κ x = − w, xx
1/ ρ y = κ y = − w, yy
1/ ρ xy = κ xy = − w, xy
(2.3)
Kaavasta (2.2) näkyy, että laatan perushypoteesien 1, 2 ja 3 mukaan laatan kaikkiin
pisteisiin tulee tasomuodonmuutostila.
2.2 Materiaaliyhtälöt ja laattamomentit
Laatan materiaalin oletetaan käyttäytyvän lineaarisesti kimmoisesti, jolloin materiaaliyhtälönä on yleistetty Hooken laki. Laattateorian perushypoteesin 2 mukaan liukumat γ xz ja γ yz ovat nollia, joten myös leikkausjännitykset τ xz ja τ yz ovat nollia. Koska hypoteesin 4 mukaan myös σ z oletetaan nollaksi, on laatan kaikissa pisteissä
tasojännitystila. Perushypoteesien mukaan laatan pisteissä on siis samanaikaisesti
sekä tasomuodonmuutostila että tasojännitystila, mikä tarkkaan ottaen on mahdotonta. Kysymys on nyt likimääräisistä lähtöoletuksista, jotka kokemuksen mukaan johtavat ohuilla ja vähän taipuneilla laatoilla käyttökelpoiseen teoriaan. Myöhemmin selviää, että tasojännitystilaoletuksesta pidetään kiinni vain niin kauan, kun saadaan lausekkeet keskitason suuntaisille jännityskomponenteille σ x , σ y ja τ xy . Tämän jälkeen
saatuja lausekkeita hyväksi käyttäen johdetaan jännityskomponenttien tasapainoeh-
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.6
doista likikaavat z-akselin suuntaisille jännityskomponenteille σ z , τ xz ja τ yz . Keskitason suuntaisten jännityskomponenttien materiaaliyhtälöt ovat tasojännitystilassa
εx =
1
( σx − ν σy )
E
εy =
1
( σy − ν σx )
E
1
τ xy
G
γ xy =
(2.4)
Kun yhtälöt (2.4) ratkaistaan jännityskomponenttien suhteen, saadaan tulos
σx =
E
(εx + ν εy )
1− ν 2
σy =
E
(εy + ν εx )
1− ν 2
τ xy =
E
γ xy
2 (1+ ν )
(2.5)
Kun yhtälöihin (2.5) sijoitetaan muodonmuutoskomponentit yhtälöistä (2.2), saadaan
jännityskomponentit lausuttua taipuman w tai kaarevuuksien ja kierevyyden avulla
E
E
( − w,xx − ν w,yy ) z =
( κx + ν κy )z
2
1− ν
1− ν2
E
E
σy =
( − w,yy − ν w,xx ) z =
( κy + ν κx )z
2
1− ν
1− ν2
E
E
τ xy = −
w, xy z =
κ xy z
1+ ν
1+ ν
σx =
(2.6)
Kaavasta (2.6) näkyy, että jännitykset jakaantuvat laatan paksuuden suunnassa (zsuunta) lineaarisesti. Laattateoriassa kannattaa käyttää voimasuureina myös laattamomentteja M x , M y ja M xy , jotka määritellään yhtälöillä
h/2
∫
Mx =
h/2
z σ x dz
−h / 2
My =
∫
h/ 2
z σ y dz
−h / 2
M xy =
∫
z τ xy dz
(2.7)
−h / 2
Integrointi määritelmissä (2.7) on laatan paksuuden yli. Laattamomentit M x ja M y
ovat taivutusmomentin viivatiheydet laatan leikkauksissa x = vakio ja y = vakio vastaavasti. Laattamomentti M xy on vääntömomentin viivatiheys leikkauksessa
x = vakio tai y = vakio . Kun jännityskomponentti σ x sijoitetaan yhtälöstä (2.6) momentin M x lausekkeeseen ja integroidaan, saadaan seuraavaa
h/ 2
Mx =
∫
−h / 2
E
( − w, xx − ν w, yy ) z 2 dz
2
1− ν
h/2 3
E
z
E h3
=
(
−
w
,
−
ν
w
,
)
=
( − w, xx − ν w, yy )
xx
yy
/
1− ν 2
12 ( 1 − ν 2 )
−h / 2 3
(2.8)
Vastaavat yhtälöt voidaan johtaa myös laattamomenteille M y ja M xy , tulokset on
koottu kaavaan (2.9).
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.7
M x = − D ( w, xx + ν w, yy ) = D ( κ x + ν κ y )
M y = − D ( w, yy + ν w, xx ) = D ( κ y + ν κ x )
D=
E h3
(2.9)
12 ( 1 − ν 2 )
M xy = − D ( 1 − ν ) w, xy = D ( 1 − ν ) κ xy
Suuretta D sanotaan laatan taivutusjäykkyydeksi. Kaavassa (2.9) on laattamomentit
lausuttu taipuman w avulla. Jatkossa osoittautuu, että taipuma on klassisen laattateorian perussuure, jonka avulla pystytään lausumaan kaikki muut suureet ja perusongelmaksi tulee näin taipuman ratkaiseminen. Kaavasta (2.9) saadaan lausekkeet
κ x + ν κ y = Mx / D
κ y + ν κ x = My / D
( 1 − ν ) κ xy = M xy / D
(2.10)
Kun lausekkeet (2.10) sijoitetaan yhtälöihin (2.6), seuraa jännityskomponenteille
σx =
Mx
z
I
σy =
My
I
τ xy =
z
M xy
I
I = h 3 / 12
z
(2.11)
jossa suure I on ykkösen levyisen laattakaistan poikkileikkauksen neliömomentti sen
paksuuden puolittavan suoran suhteen. Yhtälöt (2.11) antavat laattamomenttien ja
laatan keskipinnan suuntaisten jännityskomponenttien väliset yhteydet. Jännityskomponentit saavat ääriarvonsa laatan ylä- ja alapinnalla, missä z = m h / 2 ja tällöin on
σx = m
6 Mx
σy = m
h2
6 My
τ xy = m
h2
6 M xy
(2.12)
h2
σx
τ xz
σy
Qx
τ xy
Mx
τ yz
Qy
My
τ yx = τ xy
M xy
Myx = Mxy
Kuva 2.3 Laatan jännitysjakautumat.
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.8
Kuvassa 2.3 on esitetty jännityskomponenttien σ x , σ y ja τ xy jakaantuminen laatan
paksuuden suunnassa leikkauksissa x = vakio ja y = vakio . Siinä on esitetty myös
z-akselin suuntaisten leikkausjännityskomponenttien τ xz ja τ yz jakaantuminen, joka
saadaan myöhemmin selville jännityskomponenttien tasapainoyhtälöistä. Tässä vaiheessa on vielä voimassa perushypoteesien mukainen oletus, jonka mukaan nämä
jännityskomponentit ovat nollia. Voidaan todeta, että laatan leikkauksessa taivutuksesta ja väännöstä aiheutuvat jännitykset ovat paksuussuunnassa lineaarisesti jakaantuneita siten, että keskipinnan jännitykset ovat nollia. Tämä tulos on normaalijännitysten osalta vastaava kuin teknisessä taivutusteoriassa saadaan palkin normaalijännityksen jakaantumiselle palkin korkeussuunnassa. Palkin normaalijännitysjakautuma ei muutu taivutustason normaalin suunnassa, mutta laatan normaalijännitysjakautuma esimerkiksi leikkauksessa x = vakio on koordinaatin y funktio. Palkkiteoriassa käytetään voimasuureena poikkileikkauksen taivutusmomenttia, joka on
palkin poikkileikkauksen normaalijännitysjakautuman aiheuttama momentti taivutusakselin suhteen. Tätä vastaa laattateoriassa tarkasteltavan koordinaattiakselin
suuntaisen leikkauksen taivutusmomenttitiheys, joka on laatan paksuussuuntaan liittyvän normaalijännitysjakautuman aiheuttama momenttitiheys. Laatan vääntömomenttitiheydellä M xy ei ole palkkiteoriassa vastinetta.
2.3 Laatan tasapainoyhtälöt
Koska z-akselin suuntaan liittyvät liukumat γ xz ja γ yz ovat perushypoteesin 2 mukaan nollia, ovat myös niitä vastaavat leikkausjännityskomponentit τ xz ja τ yz materiaalimallina olevan yleistetyn Hooken lain mukaan nollia. Perushypoteesi 2 on kuitenkin likimääräinen vaikkakin käyttökelpoinen, joten todellisuudessa z-akselin suuntaiset leikkausjännitykset eivät ole tarkasti nollia. Niille voidaan johtaa likimääräiset
kaavat jännityskomponenttien tasapainoyhtälöiden avulla samalla tavalla kuin palkkiteoriassa johdetaan palkin leikkausjännitykselle likilauseke (Jourawskin kaava). Määritellään aluksi laatan leikkausvoimatiheydet Q x ja Q y poikittaisten leikkausjännityskomponenttien τ xz ja τ yz resultantteina seuraavasti
h/2
Qx =
∫
h/2
τ xz dz
−h / 2
Qy =
∫
τ yz dz
(2.13)
−h / 2
Jännityskomponenttien tasapainoyhtälöt ovat laatalle
σ x , x + τ xy , y + τ xz ,z = 0
τ xy , x + σ y , y + τ yz ,z = 0
τ xz , x + τ yz , y + σ z ,z + f z = 0
(2.14)
jotka seuraavat yleisistä tasapainoyhtälöistä jättämällä pois levykuormituksiin kuuluvat tilavuusvoimakomponentit f x ja f y . Kertomalla ryhmän (2.14) ensimmäinen yhtälö koordinaatilla z ja integroimalla laatan paksuuden yli saadaan aluksi
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
h/2
∫
h/2
∫
z σ x , x dz +
−h / 2
III.9
h/2
∫
z τ xy ,y dz +
−h / 2
z τ xz ,z dz = 0
(2.15)
−h / 2
Vaihtamalla integroinnin ja derivoinnin järjestys ensimmäisessä ja toisessa integraalissa ja integroimalla kolmas osittain seuraa
h/ 2
h/2
⎛ h/ 2
⎞
⎛ h/ 2
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
z σ x dz ,x + ∫ z τ xy dz ,y + / z τ xz − ∫ τ xz dz = 0
⎜ ∫
⎟
⎜
⎟
−h / 2
h
/
2
−
−h / 2
⎝
⎠
⎝ −h / 2
⎠
(2.16)
Sijoitustermi on nolla, sillä pintakuormituksiin ei sisälly ylä- tai alapinnalla vaikuttavia
keskitason suuntaisia kuormituksia eli τ xz ( x, y, ± h / 2 ) = 0 ja τ yz ( x, y, ± h / 2 ) = 0 . Kun
otetaan huomioon määritelmät (2.7) ja (2.13), menee yhtälö (2.16) muotoon
M x , x + M xy , y = Q x
(2.17)
Yhtälöryhmän (2.14) toisesta yhtälöstä voidaan vastaavalla tavalla johtaa tulos
M xy , x + M y , y = Q y
(2.18)
Integroimalla ryhmän (2.14) kolmas yhtälö laatan paksuuden yli saadaan
h/2
∫
h/2
τ xz , x dz +
−h / 2
∫
h/2
τ yz , y dz +
−h / 2
∫
h/2
∫
σ z ,z dz +
−h / 2
f z dz = 0
(2.19)
−h / 2
josta seuraa integroimalla sekä derivointi- ja integrointijärjestys vaihtamalla
h/2
h/2
⎞
⎛ h/2
⎞
⎛ h/2
⎟
⎜
⎟
⎜
dz
,
dz
,
τ
τ
+
σ
+
+
∫ fz dz = 0
⎜ ∫ xz ⎟ x ⎜ ∫ yz ⎟ y −h// 2 z
−h / 2
⎠
⎝ −h / 2
⎠
⎝ −h / 2
(2.20)
Kaksi viimeistä termiä voidaan tulkita laatan normaalin suuntaisen kuormituksen
(poikittaiskuormituksen) laatan keskitasoon yhdistetyksi pintatiheydeksi p( x, y ) eli
h/2
p( x, y ) = σ z ( x, y, h / 2) − σ z ( x, y,− h / 2) +
∫
f z ( x, y, z ) dz
(2.21)
−h / 2
Määritelmien (2.13) perusteella on siis voimassa yhtälö
Q x ,x + Q y ,y = − p
(2.22)
Kun tulokset kootaan, saadaan kaavan (2.23) jännitysresultanttien tasapainoyhtälöt
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
M x , x + M xy , y = Q x
M xy , x + M y , y = Q y
III.10
Q x ,x + Q y ,y = − p
(2.23)
Ryhmää (2.23) vastaavat yhtälöt palkkiteoriassa ovat
d Mt
=Q
dx
dQ
= −q
dx
(2.24)
Kun ryhmän (2.23) kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä sijoitetaan leikkausvoimatiheydet kolmanteen yhtälöön, tulee kaavan (2.25) laattamomenttien tasapainoyhtälö
M x , xx + 2 M xy , xy + M y , yy = − p
(2.25)
Laattateoriassa käytetään voimasuureina jännityskomponenttien σ x , σ y , τ xy , τ xz ja
τ yz ohella niistä johdettuja jännitysresultantteja M x , M y , M xy , Q x ja Q y . Näiden
Qy
My
Myx
Qx
Mx
Mxy
Mxy
Mx
Qx
My
Myx
Qy
Kuva 2.4 Laatan jännitysresultantit.
positiiviset suunnat määräytyvät jännityskomponenteille sovituista positiivisista suunnista, kuten
kuvasta 2.3 näkyy. Kuvassa 2.4 on laatan keskipinnan pintaelementti
dxdy ja sen reunoilla vaikuttavat jännitysresultantit positiivisten suuntiensa mukaisina. Kuvassa
2.4 on laattamomenttien
esittämiseen
käytetty
kaksoisnuolta, jolloin momentin kiertosuunta on
nuolen kärjestä katsottuna vastapäivään.
Leikkausvoimatiheydet Q x ja Q y voidaan lausua laatan taipuman w avulla sijoittamalla kaavan (2.23) kahteen ensimmäiseen yhtälöön laattamomentit kaavasta (2.9)
Q x = M x , x + M xy , y = − D ( w, xx + ν w, yy ), x − D ( 1 − ν ) ( w, xy ), y
Q y = M xy , x + M y , y = − D ( 1 − ν ) ( w, xy ), x − D ( w, yy + ν w, xx ), y
(2.26)
Edellä olevat yhtälöt sievenevät kaavassa (2.27) esitettyyn muotoon
Q x = − D ( w,xx + w,yy ),x = − D ( ∇ 2 w ),x
Q y = − D ( w,xx + w,yy ),y = − D ( ∇ 2 w ),y
Laattarakenteet
(2.27)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.11
2.4 Poikittaissuuntaiset jännitykset
Johdetaan z-akselin suuntaisten leikkausjännityskomponenttien τ xz ja τ yz lausekkeet. Jännityskomponenttien tasapainoyhtälöryhmän (2.14) ensimmäisestä yhtälöstä
seuraa kaavojen (2.11) ja (2.23) avulla ja integroimalla
z
z
τ xz ,z = − σ x , x − τ xy , y = − ( M x , x + M xy , y ) = − Q x
I
I
⇒
τ xz
Q
= x [ C( x, y ) − z 2 / 2 ]
I
(2.28)
Funktio C( x, y ) voidaan ratkaista reunaehdosta τ xz ( x, y, ± h / 2 ) = 0 , josta tulee
Qx
[ C( x, y ) − ( ± h / 2 ) 2 / 2 ] = 0
I
⇒
C( x, y ) = ( h / 2 ) 2 / 2
(2.29)
Leikkausjännityskomponentille τ yz voidaan johtaa samalla tavalla lauseke ryhmän
(2.14) toisesta yhtälöstä. Lopputulokseksi saadaan kaavat
τ xz =
τ yz
2
Qx
3Qx ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤
[ ( h / 2 )2 − z 2 ] =
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
2I
2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦
(2.30)
3 Qy ⎡ ⎛ z ⎞2 ⎤
=
[ ( h / 2 )2 − z 2 ] =
⎢1 − ⎜
⎟ ⎥
2I
2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦
Qy
Kaavoista (2.30) nähdään, että leikkausjännitysten τ xz ja τ yz jakauma on laatan
paksuussuunnassa parabolinen. Laatan ylä- ja alapinnalla τ xz ja τ yz ovat nollia, ääriarvon ne saavat keskipinnan kohdalla. Ääriarvon suuruus on 1,5-kertainen verrattuna arvoon, joka saadaan olettamalla leikkausjännitykset paksuussuunnassa tasan
jakaantuneiksi. Kuvassa 2.3 on esitetty myös leikkausjännitysten τ xz ja τ yz jakautuminen laatan leikkauksissa x = vakio ja y = vakio .
Perushypoteesin 4 mukaan σ z on keskipinnan suuntaisten jännityskomponenttien
rinnalla merkityksetön. σ z ei kuitenkaan ole tarkasti nolla ja sille voidaan johtaa likikaava jännityskomponenttien tasapainoyhtälöistä. Tarkastellaan tapausta, jossa
f z = 0 ja pintakuormitus p( x, y ) laatan yläpinnalla z = − h / 2 . Tällöin ryhmän (2.14)
kolmannesta yhtälöstä ja kaavoista (2.30) ja (2.23) seuraa
σ z ,z = − τ xz , x −τ yz , y =
3 ⎡ ⎛ z ⎞
=
⎢1 − ⎜
⎟
2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠
2⎤
3 ⎡ ⎛ z ⎞
⎥ ( − Q x ,x − Q y ,y ) =
⎢1 − ⎜
⎟
2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠
⎥⎦
2⎤
⎥ p( x, y )
⎥⎦
(2.31)
Kaavasta (2.31) saadaan integroimalla
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.12
⎤
3 ⎡
z3
σz =
⎢z −
⎥ p( x, y ) + C( x, y )
2h ⎣
3 ( h / 2 )2 ⎦
(2.32)
Funktio C( x, y ) saadaan selville alapinnan reunaehdosta σ z ( x, y, h / 2 ) = 0
3 ⎡h 1 h ⎤
− ⋅ p( x, y ) + C( x, y ) = 0
2 h ⎢⎣ 2 3 2 ⎥⎦
⇒
C( x, y ) = − p( x, y ) / 2
(2.33)
Tulokseksi saadaan normaalijännitykselle σ z likikaava
p( x, y ) ⎡
⎛ z ⎞ ⎛ z ⎞
σz = −
⎢2 − 3⎜
⎟
⎟+⎜
4 ⎢⎣
⎝h/2⎠ ⎝h/2⎠
3⎤
⎥
⎥⎦
(2.34)
Kaavasta (2.34) tulee laatan yläpinnalla σ z ( x, y, − h / 2 ) = − p( x, y ) , kuten pitääkin.
2.5 Perusdifferentiaaliyhtälö
Sijoittamalla laattamomenttien tasapainoyhtälöön (2.25) momenttien lausekkeet kaavoista (2.9) seuraa
− D ( w, xx + ν w, yy ),xx −2 D ( 1 − ν ) ( w, xy ),xy − D ( w, yy + ν w, xx ),yy = − p( x, y )
(2.35)
josta saadaan sieventämällä klassisen laattateorian perusdifferentiaaliyhtälö
w, xxxx + 2 w, xxyy + w, yyyy = p( x, y ) / D
(2.36)
Yhtälö (2.36) voidaan vielä esittää tiiviimmin muodossa
∇ 4 w = p( x, y ) / D
(2.37)
Klassisen laattateorian perusongelma on kaavan (2.37) biharmonisen differentiaaliyhtälön ratkaiseminen annetuilla reunaehdoilla. Osittaisdifferentiaaliyhtälö (2.37) on
neljättä kertalukua, joten sen analyyttinen ratkaiseminen ei onnistu helposti. Säännöllisten tapausten ratkaisuja tunnetaan melko runsaasti. Esimerkiksi suorakulmio- ja
ympyrä(rengas)laatalle tunnetaan tavallisten kuormitus- ja tuentatapausten analyyttiset ratkaisut. Kun laatan perustuntematon w on ratkaistu annetuilla reunaehdoilla
yhtälöstä (2.37), voidaan muut suureet määrittää niille edellä esitetyistä kaavoista.
Laattamomentit saadaan kaavoista (2.9) ja leikkausvoimatiheydet kaavoista (2.27)
sekä jännitykset vastaavasti kaavoista (2.11) ja (2.30).
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.13
3 SUORAKULMIOLAATTA
3.1 Puhdas taivutus
Tarkastellaan ensin erityistapausta, jossa laatan pintakuormitus p( x, y ) = 0 , jolloin
kuormituksia on vain laatan reunalla. Laatan perusyhtälö on tässä tapauksessa
w, xxxx + 2 w, xxyy + w, yyyy = 0
(3.1)
ja sillä on esimerkiksi polynomiratkaisu (kertoimet C1 LC 6 ovat vakioita)
w( x, y ) = C1 + C 2 x + C 3 y + C 4 x 2 + C 5 xy + C 6 y 2
(3.2)
kuten yhtälöön (3.1) sijoittamalla voi helposti todeta. Jännitysresultanttien lausekkeiksi saadaan kaavojen (2.9) ja (2.27) perusteella
M x = −2 D ( C 4 + ν C 6 )
M y = −2 D ( C 6 + ν C 4 )
M xy = − ( 1 − ν ) D C 5
(3.3)
Qx = Qy = 0
joista näkyy, että kyseessä on tasainen momenttikenttä ja leikkausvoimia ei ole. Taipuman lausekkeen lineaarinen alkuosa C1 + C 2 x + C 3 y edustaa keskitason jäykän
kappaleen liikettä eikä vaikuta momentteihin, joten se voidaan jättää pois jatkotarkasteluista. Tällöin taipumat mitataan kimmopinnan origoon sijoitetusta tangenttitasosta
lähtien. Kun kertoimet C 4 , C 5 ja C 6 ratkaistaan momenttien lausekkeista ja sijoitetaan taipuman lausekkeeseen, saadaan tulokseksi
w( x, y ) = −
1
2 ( 1− ν 2 )D
[( M
x
− ν M y ) x 2 + 2 ( 1 + ν ) M xy xy + ( − ν M x + M y ) y 2
]
(3.4)
Kun tarkastellaan vain taivuttavaa reunakuormitusta, on M xy = 0 ja kimmopinnan
lausekkeeksi tulee tällöin
w( x, y ) = −
1
2(1− ν
2
[( M
)D
x
− ν My ) x 2 + ( − ν Mx + My ) y 2
]
(3.5)
Tarkastellaan seuraavaksi taivuttavia reunakuormituksia neliölaatan tapauksessa.
1. Kun M x = M y = M , tulee kimmopinnan lausekkeeksi
w( x, y ) = −
Laattarakenteet
M
( x2 + y2 )
2 ( 1+ ν )D
(3.6)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.14
joka on pyörähdysparaboloidin yhtälö. Kyseessä on isotrooppinen ja homogeeninen
momenttikenttä, jolloin taivutusmomentit ovat yhtä suuria kaikissa laatan leikkauksissa ja vääntömomenttia ei esiinny missään leikkauksessa. Kuvassa 3.1 (b) on esitetty
tätä kuormitustapausta vastaava kimmopinta.
My
Mx
Mx
My
Mx = M y = M
Mx = M My = ν M
Mx = M My = 0
Mx = − My = M
Kuva 3.1 Neliölaatan reunamomenttikuormitus.
2. Tapauksessa M x = M ja M y = 0 kimmopinnan lauseke on
w( x, y ) = −
Laattarakenteet
M
( x2 − ν y2 )
2
2 ( 1− ν )D
(3.7)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.15
ja vastaavat kaarevuudet ovat κ x = M / [( 1 − ν 2 ) D] ja κ y = − νκ x . Kyseessä on hyperbolinen paraboloidi eli satulapinta, jonka kuvaaja on esitetty kuvassa 3.1 (c). Kun
laattaa taivutetaan tietyssä suunnassa, muodostaa se ν -vaikutuksen takia myös taivutussuuntaa vastaan kohtisuorassa suunnassa vastakkaismerkkisen kaarevuuden.
3. Kun kuormituksena ovat M x = M ja M y = ν M , ovat kimmopinta ja kaarevuudet
w( x, y ) = −
M 2
x
2D
κx = M/D
κy = 0
(3.8)
Kimmopinnan lauseke on parabolinen sylinteri, ja sen kuvaaja on kuvassa 3.1 (d).
4. Kuormitusten ollessa M x = M ja M y = − M saadaan ratkaisuksi
w( x, y ) = −
M
( x2 − y2 )
2 ( 1− ν )D
κ x = − κ y = M / [( 1 − ν ) D]
(3.9)
Kimmopinta on tasasivuinen hyperbolinen paraboloidi, joka on kuvassa 3.1 (e). xakselin suuntainen suora y = vakio taipuu ylöspäin aukeavaksi paraabeliksi ja yakselin suuntainen suora x = vakio alaspäin aukeavaksi paraabeliksi. Suorat y = ± x
eli koordinaattiakseleiden välisten suorien kulmien puolittajat pysyvät paikallaan.
3.2 Suorakulmiolaatan reunaehdot
Kuten kohdassa 2.5 tuli esille, on klassisen laattateorian perusongelma taipuman w
ratkaiseminen biharmonisesta differentiaaliyhtälöstä (2.37) laatan tuennasta seuraavilla reunaehdoilla. Yleisesti ottaen laatan reunaviiva voi olla yleinen xy-tason käyrä
ja reunaehdot liittyvät sen tangentin ja normaalin suuntiin. Tässä tarkastellaan kuitenkin vain koordinaattiakseleiden suuntaisia reunaviivoja eli rajoitutaan suorakulmiolaattaan. Tuennan oletetaan seuraavassa sijaitsevan laatan y-akselin suuntaisella
reunalla x = a . Muilla reunoilla olevat tuennat
voidaan käsitellä analogisesti.
1. Jäykkä tuenta (kuva 3.2). Kun laatan reuna
x = a on jäykästi kiinnitetty, ovat taipuma ja
kimmopinnan kaltevuuskulma x-suunnassa nollia reunan kaikissa pisteissä. Reunaehdoiksi
tulevat näin ollen
w (a, y ) = 0
Kuva 3.2 Jäykkä tuenta.
Laattarakenteet
w,x (a, y ) = 0
(3.10)
Kumpikin reunaehto on luonteeltaan kinemaattinen eli koskee taipumaa. Kaavan (3.10) jäl© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.16
kimmäisestä ehdosta ja kaavasta (2.9) seuraa, että jäykälle tuelle on lisäksi voimassa M xy (a, y ) = 0 .
2. Niveltuenta (kuva 3.3). Laatan reunan x = a
ollessa niveltuettu on taipuma estetty reunan
kaikissa pisteissä, mutta reuna pääsee vapaasti
kiertymään tukisuoran ympäri, joten tämän suoran ympäri taivuttavan taivutusmomenttitiheyden M x (a, y ) tulee olla nolla. Reunaehdoiksi
tulevat näin ollen
w (a, y ) = 0
M x (a, y ) = 0
(3.11)
Momenttitiheyttä M x koskeva reunaehto on
luonteeltaan kineettinen eli koskee voimasuuretta. Kaavan (3.11) toinen reunaehto voidaan lausua taipuman w avulla käyttämällä
hyväksi yhtälöä (2.9), josta seuraa ehto w, xx (a, y ) + ν w, yy (a, y ) = 0 . Koska
Kuva 3.3 Niveltuenta.
w(a, y ) = 0 , on myös w, y (a, y ) = w, yy (a, y ) = 0 . Reunaehdot (3.11) voidaan siis antaa
myös muodossa
w (a, y ) = 0
w, xx (a, y ) = 0
(3.12)
Niveltuella laatan kaltevuuskulma w , x (a, y ) ≠ 0 , joten voi olla myös w, xy (a, y ) ≠ 0 .
Kaavasta (2.9) seuraa, että niveltuennan vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) ei ole
identtisesti nolla. Yleensä kuitenkin ajatellaan niveltuennan olevan sellainen, että se
ei ota vastaan vääntömomenttitiheyttä. Mahdollinen nollasta poikkeava vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) yhdistetään tällöin leikkausvoimatiheyden Q x (a, y ) kanssa ns.
korvikeleikkausvoimatiheydeksi, kuten jatkossa tulee esille. Samalla ratkeaa niveltuentaan tuleva tukivoimatiheys.
3. Vapaa reuna (kuva 3.4). Tässä tapauksessa
reunalle tulee vain kineettisiä reunaehtoja. Esimerkiksi kuvan 2.3 perusteella voisi helposti ajatella, että vapaalla reunalla x = a on kolme kineettistä reunaehtoa eli taivutusmomenttitiheys
Mx (a, y ) = 0 , vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) = 0
ja leikkausvoimatiheys Q x (a, y ) = 0 . Näin ei kuitenkaan voi olla, sillä perusdifferentiaaliyhtälö
(2.37) on taipuman neljännen kertaluvun osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla voi olla vain kaksi reunaehtoa reunan pisteissä. Ristiriita johtuu käyttöön
Kuva 3.4 Vapaa reuna.
otetusta likimääräisestä kinemaattisesta mallista,
joka ei ota huomioon leikkausmuodonmuutosta
eikä siis tunne laatan leikkausvoimia. Tämän ristiriidan selvitti ensimmäisenä KirchLaattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.17
hoff v. 1850 osoittamalla, että kinemaattinen malli vaatii vääntömomentti- ja leikkausvoimatiheyden
korvaamista reunalla ns.
Mxy dx (Mxy + Mxy ,x dx )dx
korvikeleikkausvoimax
tiheyden yhdellä reu(a)
naehdolla.
dx
dx
x
(b)
Mxy
dx
Mxy + Mxy ,x dx
x
(c)
Mxy ,x dx
x
(d)
q = Mxy ,x
Kuva 3.5 Reunan y = b vääntömomentin korvike.
Mxy (0, b)
Mxy ,x ( x, b)
Mxy (a, b)
Kuva 3.6 Vääntömomentin korvike.
Korvikeleikkausvoimatiheyden lausekkeen
johtamiseksi tarkastellaan laatan vapaata
reunaa y = b (AB kuvassa 3.4). Siinä vaikuttaa vääntömomenttitiheys M xy ( x, b) , joka
muodostuu keskitason
suuntaisista leikkausjännityksistä τ xy kuvan 3.5 (a) mukaisesti.
Kuvassa 3.5 (b) on
staattisesti samanarvoinen systeemi, joka
muodostuu keskitasoa
vastaan kohtisuorista
voimapareista. Kuvien
3.5 (a) ja (b) rasitusten
aiheuttamat jännitystilakentät eroavat toisistaan vain reunan välittömässä läheisyydessä Saint Venantin periaatteen mukaisesti.
Kuvan 3.5 (b) voimapariketjusta jää resultantiksi kuvan 3.5 (c)
pistevoimaketju, joka
voidaan tulkita kuvan
3.5 (d) mukaisesti jatkuvaksi poikittaiseksi
reunavoimatiheydeksi
q = M xy , x .
Reunan alkupäässä x = 0 ja loppupäässä x = a ei kuvan 3.5 (b) voimapareilla ole
viereistä voimaparia, jotka osittain kumoaisivat niitä. Nurkkiin jäävät näin ollen kuvan
3.6 pistevoimat M xy (0, b) ja M xy (a, b) .
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
2 Mxy (0,0)
Mxy ,x ( x,0)
2 Mxy (a,0)
Mxy ,y (0, y )
Mxy ,y (a, y )
Mxy ,x ( x, b)
2 Mxy (0, b)
2 Mxy (a, b)
III.18
Edellä esitetty vääntömomenttitiheyden
korvaus
voidaan tehdä laatan kaikilla reunoilla. Tällöin saadaan kuvan 3.7 staattisesti
samanarvoinen
korvaussysteemi, jossa on reunavoimatiheydet M xy , x ( x,0) ,
M xy , x ( x, b) , M xy , y (0, y ) ja
M xy , y (a, y )
nurkkavoimat
Kuva 3.7 Korvaussysteemi.
2 M xy (0, b) ,
sekä
lisäksi
2 M xy (0,0) ,
2 M xy (a,0)
ja
2 M xy (a, b) .
Kun tavallinen leikkausvoimatiheys Q x tai Q y ja vääntömomenttitiheydestä saatu
korvaava leikkausvoimatiheys lasketaan yhteen, saadaan laatan reunan korvikeleikkausvoimatiheydet Vx tai Vy . Korvikeleikkausvoimatiheydet suorakulmiolaatan reunoilla ovat näin ollen
x = 0:
Vx (0, y ) = Q x (0, y ) + M xy , y (0, y )
x = a:
Vx (a, y ) = Q x (a, y ) + M xy , y (a, y )
y = 0:
Vy ( x,0) = Q y ( x,0) + M xy , x ( x,0)
y =b:
Vy ( x, b) = Q y ( x, b) + M xy , x ( x, b)
(3.13)
Korvikeleikkausvoimatiheyksillä on tavallisten leikkausvoimatiheyksien merkkisopimukset. Nurkkavoimien positiiviset suunnat ovat kuvan 3.7 mukaiset.
Jos kuvan 3.4 laatan reuna x = a on vapaa, ovat korvikeleikkausvoima- ja taivutusmomenttitiheys nollia tällä reunalla ja reunaehdot ovat näin ollen
Vx (a, y ) = 0
M x (a, y ) = 0
(3.14)
Kineettiset reunaehdot (3.14) voidaan kirjoittaa taipuman w avulla kaavoja (2.9) ja
(2.27) hyödyntämällä, jolloin saadaan reunaehdot
w, xx (a, y ) + ν w, yy (a, y ) = 0
w, xxx (a, y ) + ( 2 − ν ) w, xyy (a, y ) = 0
(3.15)
Jos molemmilla suorakulmiolaatan nurkkaan liittyvillä sivuilla on niveltuenta tai toisella on niveltuenta ja toinen on vapaa, syntyy edellä kuvattu nurkkavoima. Kun molemmat nurkkaan liittyvät sivut ovat vapaita ja nurkka kuormittamaton, on nurkkavoiman oltava nolla. Tästä seuraa kaavan (2.9) perusteella, että taipuman on toteutettava lisäehto w, xy = 0 eli vapaassa kuormittamattomassa nurkassa kierevyys on nolla.
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.19
4. Luistituenta. Kun reunalla x = a on luistituenta, on kimmopinnan kaltevuuskulma
w , x (a, y ) nolla. Koska reuna pääsee vapaasti siirtymään z-suunnassa, on korvike-
leikkausvoimatiheyden Vx (a, y )
Reunaehdoiksi tulevat siis
w, x (a, y ) = 0
oltava nolla.
Vx (a, y ) = 0
(3.16)
Koska w,x (a, y ) = 0 , on myös w, xy (a, y ) = 0 ,
joten kaavan (2.9) mukaan vääntömomenttitiheys M xy (a, y ) = 0 , joten toinen reunaehto on
Kuva 3.8 Luistituenta.
w, x (a, y ) = 0
itse asiassa Q x (a, y ) = 0 . Kaltevuuskulmaa
koskeva reunaehto on kinemaattinen ja (korvike)leikkausvoimatiheyttä koskeva kineettinen.
Kun kineettinen reunaehto lausutaan taipuman
w avulla kaavaa (2.27) käyttäen, saadaan reunaehdot
w, xxx (a, y ) = 0
(3.17)
Edellä kohdissa 1-4 tutkitut reunaehdot ovat homogeenisia reunaehtoja, koska niissä
oletettiin reunan suureiden tunnetut arvot nolliksi. Epähomogeenisissa reunaehdoissa niiden tunnetut arvot eivät ole nollia, jolloin tarkastellaan tunnettuja tukisiirtymiä tai
reunakuormituksia. Reunaehdot ovat kuitenkin periaatteessa samat kuin edellä, yhtälöissä korvataan vain oikeiden puolien nollat vastaavilla tunnetuilla arvoilla.
3.3 Navierin ratkaisu
Navierin ratkaisumenetelmä sopii mielivaltaisesti kuormitetun suorakulmiolaatan
käsittelyyn, kun se on kaikilta reunoiltaan
niveltuettu kuvan 3.9 mukaisesti. Laatan
reunaehdot ovat tällöin
Kuva 3.9 Niveltuettu laatta.
Laattarakenteet
DA : w( x , 0 ) = 0
w, yy ( x , 0 ) = 0
BC : w( x , b ) = 0
w, yy ( x , b ) = 0
CD : w( 0 , y ) = 0
w, xx ( 0 , y ) = 0
AB : w( a , y ) = 0
w, xx ( a , y ) = 0
(3.18)
Taipumaa w( x, y ) etsitään äärettömän
Fourier-kaksoissinisarjan muodossa, jolloin sen lauseke on muotoa
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
w( x, y ) =
∞
∞
∑ ∑
w mn sin( α m x ) sin(β n y )
m=1 n=1
III.20
α m = mπ / a
β n = nπ / b
(3.19)
jossa taipuman Fourier-kertoimet w mn ovat tuntemattomia vakioita. On selvää, että
muotoa (3.19) oleva ratkaisu toteuttaa reunaehdot (3.18) automaattisesti, sillä sen
jokainen termi toteuttaa ne erikseen. Taipuman Fourier-kertoimet w mn riippuvat laatan kuormitusjakaumasta p( x, y ) . Kertoimien w mn määrittämiseksi kehitetään myös
kuormitus Fourier-kaksoissinisarjaksi. Kuormituksen Fourier-kertoimille käytetään
seuraavassa merkintää p mn ja sen sarjakehitelmä on muotoa
p( x, y ) =
∞
∞
∑ ∑
m=1 n=1
p mn sin(α m x ) sin(β n y )
(3.20)
Kun yhtälön (3.20) molemmat puolet kerrotaan tekijällä sin(α j x ) sin(β k y ) ja integroidaan laatan keskitason yli, termejä järjestelemällä seuraa tulos
a b
∫ ∫ p( x, y ) sin(α j x ) sin(β k y ) dx dy =
0 0
∞
∞
∑ ∑
m =1 n=1
a
p mn ∫ sin(α m x ) sin(α j x ) dx
0
(3.21)
b
∫ sin(β n y ) sin(β k y ) dy
0
Sinifunktioiden ortogonaalisuusominaisuuden
⎧0
a
∫ sin(α m x ) (sin α j x) dx = ⎨⎩ a / 2
0
,m ≠ j
(3.22)
,m = j
nojalla edellä olevasta kaksoissummasta tulee tulokseksi p jk ⋅ ab / 4 , joten Fourierkertoimen p mn lausekkeeksi tulee
a b
p mn =
4
ab ∫0
∫ p( x, y) sin(α m x) sin(β n y ) dx dy
(3.23)
0
Kun sarjat (3.20) ja (3.22) sijoitetaan laatan perusdifferentiaaliyhtälöön (2.37), tulee
∞
∞
∑ ∑ D w mn ( α m4 + 2 α m2 β n2 + β n4 ) sin(α m x ) sin(β n y ) =
m=1 n=1
∞
∞
∑ ∑
m=1 n=1
(3.24)
p mn sin( α m x ) sin(β n y )
Yhtälön (3.24) pitää toteutua termeittäin, josta seuraa Fourier-kertoimille w mn kaava
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
w mn =
p mn
2
D( αm
+ β n2 )2
III.21
p mn
=
(3.25)
⎡ ⎛ m ⎞2 ⎛ n ⎞2 ⎤
Dπ4 ⎢ ⎜ a ⎟ + ⎜ b ⎟ ⎥
⎝ ⎠ ⎥⎦
⎢⎣ ⎝ ⎠
2
Kun annetun kuormituksen p( x, y ) sinisarjan kertoimet (3.23) on laskettu, saadaan
taipuman w( x, y ) sinisarjan (3.19) kertoimet kaavasta (3.25). Kun taipuman sarja
tunnetaan, voidaan muiden laatan suureiden sarjat laskea siitä laattateorian peruskaavoilla. Käytännössä ei suureita sarjoista laskettaessa voida ottaa mukaan ääretöntä määrää termejä. Sarjat suppenevat kuitenkin melko nopeasti ja yleensä laskentatarkkuuden kannalta riittää, kun otetaan sarjojen alkupäästä muutamia termejä.
3.3.1 Tasaisen kuormituksen Navierin ratkaisu
Kun kaikilta reunoiltaan niveltuetulla suorakulmiolaatalla on tasainen kuormitus
p( x, y ) = p 0 , seuraa kaavasta (3.23) kuormituksen sinisarjan kertoimiksi
p mn =
4 p0
ab
⇒
⎡a 1
⎤
cos(α m x )⎥
⎢
⎢⎣ 0 α m
⎥⎦
/
⎧ 16 p 0
⎪
= ⎨ π 2mn
⎪0
⎩
p mn
[
][
⎡b 1
⎤
4p
cos(β n y )⎥ = 2 0 1 − ( −1)m 1 − ( −1)n
⎢
⎢⎣ 0 β n
⎥⎦ π mn
/
, kun m ja n ovat parittomia
]
(3.26)
, muulloin
Laatan taipuman kaksoissinisarjaksi (2.48) tulee näin ollen
w ( x, y ) =
16 p 0
π6 D
∞
∑
∞
∑
m = 1, 3, L n = 1, 3, L
1
mn [ ( m / a ) 2 + ( n / b ) 2 ] 2
sin
nπ y
mπ x
sin
(3.27)
a
b
Tasaisesti kuormitetun ja niveltuetun suorakulmiolaatan kimmopinta on symmetrinen
laatan symmetria-akseleiden suhteen. Tästä johtuu, että taipuman ratkaisussa (3.27)
ovat mukana vain kaksoissymmetriset sinikuplat (m ja n pariton). Laatan suurin taipuma on sen keskipisteessä x = a / 2 , y = b / 2 , jolle kaavasta (3.27) seuraa lauseke
w max =
16 p 0
π6 D
∞
∑
∞
∑
m = 1, 3, L n = 1, 3, L
( − 1)( m + n ) / 2 − 1
mn [ ( m / a ) 2 + ( n / b ) 2 ] 2
(3.28)
mπ
= ( − 1)( m − 1 ) / 2 . Laattamomenttien sarjat saadaan sijoittamalla taipuman
2
sarja kaavaan (2.9), josta seuraa tulokset
sillä sin
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
M x ( x, y ) =
16 p 0
M y ( x, y ) =
16 p 0
π
4
∞
∑
∑
∞
∞
m = 1, 3, L n = 1, 3, L
π4
M xy ( x, y ) = −
∞
∑
∑
m = 1, 3, L n = 1, 3, L
16 ( 1 − ν ) p 0
π ab
4
∞
∑
III.22
( m / a )2 + ν ( n / b )2
mn [ ( m / a ) + ( n / b ) ]
2
2 2
ν ( m / a )2 + ( n / b )2
mn [ ( m / a ) 2 + ( n / b ) 2 ] 2
∞
∑
m = 1, 3, L n = 1, 3, L
sin
mπx
nπy
sin
a
b
sin
mπx
nπy
sin
a
b
1
[(m / a ) + (n / b ) ]
2
2 2
cos
mπx
nπy
cos
a
b
(3.29)
Laatan leikkausvoimatiheyksien sarjoiksi tulee kaavasta (2.27)
Q x ( x, y ) =
16 p 0
Q y ( x, y ) =
16 p 0
π3 a
π3 b
∞
∞
∑
∑
∞
∞
m = 1, 3, L n = 1, 3, L
∑
∑
m = 1, 3, L n = 1, 3, L
( m / a )2 + ( n / b )2
n [ ( m / a )2 + ( n / b )2 ] 2
cos
mπx
nπy
sin
a
b
( m / a )2 + ( n / b )2
mπx
nπy
sin
cos
2
2 2
a
b
m[ ( m / a ) + ( n / b ) ]
(3.30)
Tuloksesta (3.29) nähdään, että M x ja M y ovat nollia laatan reunoilla x = 0 , x = a ja
y = 0 , y = b , mutta M xy ei ole nolla laatan reunoilla eikä kulmissa. Koska niveltuenta
ei ota vastaan vääntöä, on M xy yhdistettävä reunaan liittyvän leikkausvoiman ( Q x tai
Q y ) kanssa korvikeleikkausvoimaksi ( Vx tai Vy ). x-akselin suuntaisilla reunoilla korvikeleikkausvoiman lauseke on Vx = Q x + M xy , y , josta tulee reunalla x = a
Vx (a, y ) = −
16 p 0
π a
3
∞
∑
m=1, 3,L
∞
∑
n=1, 3,L
( m / a )2 + ( 2 − ν ) ( n / b )2
n[ ( m / a ) + ( n / b ) ]
2
2 2
sin
nπ y
b
(3.31)
Korvikeleikkausvoimien lausekkeet muilla reunoilla voidaan johtaa vastaavasti. Korvikeleikkausvoimien lisäksi momentista M xy syntyvät kuvan 3.7 mukaiset nurkkavoimat. Tuloksen (3.29) mukaan M xy on negatiivinen nurkissa B ja D sekä positiivinen
nurkissa A ja C, joten kuvan 3.7 perusteella kaikki nurkkavoimat ovat alaspäin eli zakselin positiiviseen suuntaan. Nurkkavoiman suuruudeksi tulee
R=
32 ( 1 − ν ) p 0
π ab
4
∞
∑
m=1, 3,L
∞
∑
n=1, 3,L
1
[ ( m / a ) + ( n / b )2 ] 2
2
(3.32)
Niveltuentoihin liittyvät z-suuntaiset tukivoimatiheydet saadaan sivujen korvikeleikkausvoimatiheyksistä ja lisäksi on otettava huomioon nurkkavoimat. Korvikeleikkausvoimaan perustuva likiratkaisu ei anna aivan ideaalista niveltuentaa vastaavaa tulosta, mutta Saint Venantin periaatteen mukaan virhe rajoittuu reunan läheisyyteen kapealle alueelle. Laattamomenteista aiheutuville keskitason suuntaisille jännityksille
saadaan sarjat kaavasta (2.11) ja laatan leikkausvoimista aiheutuville poikittaisille
leikkausjännityksille sarjat kaavasta (2.30).
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.23
4 YMPYRÄ- JA RENGASLAATTA
4.1 Perusyhtälöt napakoordinaatistossa
θ
dθ
Kuva 4.1 Ympyrälaatta.
Qθ
Ympyrälaatalla tarkoitetaan laattaa, jonka keskipinnan reunaviiva on ympyrä. Ympyrärengaslaatan keskipinnan reunaviivoina ovat kaksi samankeskistä ympyrää. Geometriansa takia näitä
on paras käsitellä sylinterikoordinaatistossa
(napakoordinaatisto ja z-akseli). Tämä edellyttää laattasuureiden määrittelemistä sylinterikoordinaatistossa ja perusyhtälöiden muuntamista tähän koordinaatistoon. Kun xyz- ja rθz koordinaatiston origo sijoitetaan laatan keskipisteeseen kuvan 4.1 mukaisesti, on koordinaattien
välinen yhteys x = r cos θ , y = r sin θ . Kuvassa
4.1 on myös keskipinnan drdθ -differentiaalielementti ja kuvassa 4.2 on siihen liittyvät laattamomentit Mr , Mθ ja Mrθ sekä laatan leikkausvoimatiheydet Q r ja Q θ .
Mθ
Mrθ
Qr
Qr
dθ
Mrθ
Mr
Mr
Qθ
dθ
Mrθ
Mθ
Mrθ
Kuva 4.2 Laattaelementin jännitysresultantit.
Napakoordinaatistossa operaattori ∇ 2 on muotoa
1
1
∇ 2 w = w,rr + w,r + 2 w,θθ
r
r
(4.1)
joten perusdifferentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa sylinterikoordinaatistossa muotoon
1
1
1
1
⎡
⎤⎛
⎞
∇ 4 w = ⎢ ( ),rr + ( ),r + 2 ( ),θθ ⎥ ⎜ w,rr + w,r + 2 w,θθ ⎟ = p( r, θ) / D
r
r
r
r
⎣
⎦⎝
⎠
Laattarakenteet
(4.2)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.24
Laattamomenteille, leikkausvoima- ja korvikeleikkausvoimatiheyksille tulee taipuman
w avulla esitetyt lausekkeet
⎡
1
⎛1
Mr = D ( κ r + ν κ θ ) = − D ⎢ w,rr + ν ⎜ w,r + 2 w,θθ
r
⎝r
⎣
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
⎡
1
⎛1
Mθ = D ( ν κ r + κ θ ) = − D ⎢ν w,rr + ⎜ w,r + 2 w,θθ
r
⎝r
⎣
⎛1
⎞
Mrθ = D ( 1 − ν ) κ rθ = − D ( 1 − ν ) ⎜ w,θ ⎟,r
⎠
⎝r
⎞⎤
⎟⎥
⎠⎦
Q r = − D ( ∇ 2 w ),r
Q θ = − D ( ∇ 2 w ),θ
1
Vr = Q r + Mrθ ,θ = − D
r
⎡ 2
1⎛ 1
⎞ ⎤
⎢( ∇ w ),r +( 1 − ν ) r ⎜ r w,θ ⎟,rθ ⎥
⎝
⎠ ⎦
⎣
D=
E h3
12 ( 1 − ν 2 )
⎡1
⎛1
⎞ ⎤
Vθ = Q θ + Mrθ ,r = − D ⎢ ( ∇ 2 w ),θ +( 1 − ν ) ⎜ w,θ ⎟,rr ⎥
⎝r
⎠ ⎦
⎣r
(4.3)
(4.4)
(4.5)
Laatan jännitysresultanttien tasapainoehdoiksi tulee
( r Mr ),r + Mrθ ,θ − Mθ = r Q r
Mθ ,θ + ( r Mrθ ),r + Mrθ = r Q θ
(4.6)
( r Q r ),r + Q θ ,θ = − r p( r, θ )
( r Mr ),rr +
2
1
( r Mrθ ),rθ − M θ ,r + M θ ,θθ = − r p( r, θ )
r
r
(4.7)
Jännityskomponenttien lausekkeet ovat
Mθ
z
I
2
3 Qr ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤
1
=
−
⎢ ⎜
⎟ ⎥
2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦
σr =
τ rz
Mr
z
I
Laattarakenteet
σθ =
Mrθ
z
I = h 3 / 12
I
2
3 Qθ ⎡ ⎛ z ⎞ ⎤
1
=
−
⎢ ⎜
⎟ ⎥
2 h ⎢⎣ ⎝ h / 2 ⎠ ⎥⎦
τ rθ =
τ θz
(4.8)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.25
4.2 Laattayhtälön ratkaiseminen
Laattateorian perusongelmana on taipuman w ratkaiseminen. Se saadaan perusyhtälöstä (4.2) ja reunaehdoista, jonka jälkeen muut suureet voidaan laskea kaavoista
(4.3), (4.4), (4.5) ja (4.8). Perusyhtälön ratkaisu on homogeenisen differentiaaliyhtälön ∇ 4 w = 0 yleisen ratkaisun w h ( r, θ ) ja täydellisen yhtälön ∇ 4 w = p / D yksityisratkaisun w y ( r, θ) summa eli w( r, θ) = w h ( r, θ) + w y ( r, θ) . Homogeenisen yhtälön ratkaisut ovat biharmonisia funktioita. Homogeenisen yhtälön ratkaisuja voidaan etsiä esimerkiksi muuttujien erottamiskeinolla (vrt. jännitysfunktio φ levyteoriassa) muodossa
⎧ sin(nθ)
w hn = R n (r ) ⎨
n = 0,1, 2,K
⎩ cos(nθ)
⇒
(4.9)
w h0 ( r ) = a 0 + b 0 ln r + c 0 r 2 + d0 r 2 ln r
⎧ sin θ
w h1( r, θ) = ( a1 r + b1 / r + c 1 r 3 + d1 r ln r ) ⎨
⎩ cos θ
(4.10)
⎧ sin(nθ)
w hn ( r, θ) = ( a n r n + b n r −n + c n r 2+n + dn r 2−n ) ⎨
,n ≥ 2
⎩ cos(nθ)
Kertoimille a n , b n , c n , ja dn saadaan arvot laatan reunaehdoista. Rengaslaatalla ehtoja on kaksi kummallakin reunaympyrällä. Ympyrälaatalla ei ole sisäreunaa ja sille toinen reunaehtopari tulee vaatimuksista w(0) ≠ ∞ Mr (0) ≠ ∞ , josta seuraa
b n = dn = 0 n = 0,1, 2,K . Reunan r = a tavallisimmat tukimallit ovat kulmasta θ riippumattomia ja niihin liittyvät reunaehdot ovat
a)
b)
c)
d)
Jäykkä kiinnitys:
Nivelkiinnitys:
Luistikiinnitys:
Vapaa reuna:
w(a) = 0 ja w,r (a) = 0
w(a) = 0 ja Mr (a) = 0
w,r (a) = 0 ja Vr (a) = 0
Mr (a) = 0 ja Vr (a) = 0
Edellä olevissa reunaehdoissa laattamomentin Mr ja korvikeleikkausvoiman Vr ehdot voidaan lausua taipuman w avulla kaavoja (4.3) ja (4.5) käyttäen.
4.3 Rotaatiosymmetrinen ratkaisu
Kun kuormitus ja tuenta ovat rotaatiosymmetrisiä, eivät laattasuureet riipu kulmasta
θ , jolloin kaikki derivaatat muuttujan θ suhteen ovat nollia. Tällöin on voimassa
1
1
∇ 2 w = w,rr + w,r = ( r w,r ),r
r
r
Laattarakenteet
∇ 4 w = w,rrrr +
2
1
1
w,rrr − 2 w,rr + 3 w,r
r
r
r
(4.11)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.26
Laatan perusdifferentiaaliyhtälö menee muotoon
1⎧ ⎡ 1
⎤ ⎫
∇ 4 w = ⎨ r ⎢ ( r w,r ),r ⎥,r ⎬,r = p( r ) / D
r⎩ ⎣r
⎦ ⎭
(4.12)
josta seuraa peräkkäisillä integroinneilla
rp
⎡1
⎤
r ⎢ ( r w,r ),r ⎥,r = c 1 + ∫ dr
D
⎣r
⎦
1
( r w,r ),r = c 2 + c 1 ln r + ∫ ⎛⎜ 1 ∫ r p dr ⎞⎟ dr
r
⎝r D ⎠
r w,r = c 3 +
⎛ r2
⎡ ⎛1 rp ⎞ ⎤
1
r2 ⎞
c 2r 2 + c 1 ⎜⎜ ln r − ⎟⎟ + ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr
2
4⎠
⎣ ⎝r D ⎠ ⎦
⎝ 2
w = c 4 + c 3 ln r +
⎛ r2
⎧1 ⎡ ⎛ 1 r p ⎞ ⎤ ⎫
1
r2 ⎞
c 2 r 2 + c 1 ⎜⎜ ln r − ⎟⎟ + ∫ ⎨ ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr ⎬ dr
4⎠
4
⎩r ⎣ ⎝ r D ⎠ ⎦ ⎭
⎝ 4
Ympyrä- ja rengaslaatan perusdifferentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu rotaatiosymmetrisen tuennan ja kuormituksen tapauksessa on siis muotoa
⎧1 ⎡ ⎛ 1 r p ⎞ ⎤ ⎫
w( r ) = a 0 + b 0 ln r + c 0 r 2 + d0 r 2 ln r + ∫ ⎨ ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr ⎬ dr
⎩r ⎣ ⎝ r D ⎠ ⎦ ⎭
(4.13)
Kaavassa (4.13) ratkaisun osa w h0 = a 0 + b0 ln r + c 0 r 2 + d0 r 2 ln r on homogeenisen
⎧1 ⎡ ⎛ 1 r p ⎞ ⎤ ⎫
yhtälön yleinen ratkaisu ja osa w y = ∫ ⎨ ∫ ⎢r ∫ ⎜ ∫ dr ⎟ dr ⎥ dr ⎬ dr täydellisen yhtälön
⎩r ⎣ ⎝ r D ⎠ ⎦ ⎭
yksityisratkaisu. Vakiot a 0 , b 0 , c 0 , d0 saadaan määritettyä laatan reunaehdoista. Laa-
tan jännitysresultanteille tulee edelleen kaavoista (4.3), (4.4) ja (4.5) sieventämällä
seuraavat lausekkeet
⎛
Mr = − D ⎜ w,rr +
⎝
⎛
Q r = − D ⎜ w,rr +
⎝
Laattarakenteet
ν
⎞
w,r ⎟
r
⎠
1
⎞
w,r ⎟,r
r
⎠
1
⎞
⎛
Mθ = − D ⎜ ν w,rr + w,r ⎟
r
⎝
⎠
Qθ = 0
Vr = Q r
Mrθ = 0
(4.14)
Vθ = 0
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.27
4.3.1 Tasaisesti kuormitettu ja jäykästi tuettu ympyrälaatta
Tarkastellaan kuvan 4.3 tasaisesti kuormitettua ja reunaltaan jäykästi tuettua ympyrälaattaa. Etsitään aluksi yksityisratkaisu kaavan (4.13) integraalin avulla, kun p = p 0
1 r p0
1 r 2 p0 r p0
=
dr = ⋅
r∫ D
r 2D
2D
r 2 p0 r 3 p0
r p0
=
dr = r ⋅
r∫
4D
4D
2D
1 r 3 p0
1 r 4 p0 r 3 p0
=
⋅
=
dr
r ∫ 4D
r 16 D 16 D
(4.15)
r 4 p0
r 3 p0
=
dr
∫ 16 D
64 D
Taipuman w lauseke on kaavan (4.13) mukaan
p0
w = a0 + c 0 r 2 +
p0 4
r
64 D
(4.16)
sillä ehtojen w(0) ≠ ∞ ja Mr (0) ≠ ∞ perusteella on
b 0 = d0 = 0 . Kaltevuuskulman w,r lausekkeeksi saadaan derivoimalla
Kuva 4.3 Jäykästi tuettu
ympyrälaatta.
w,r = 2 c 0 r +
p0 3
r
16 D
(4.17)
Reunan r = a ehdoista w(a) = 0 ja w,r (a) = 0 seuraa vakioille a 0 ja c 0 yhtälöpari
p0 4
⎧
2
⎪ a 0 + c 0 a + 64 D a = 0
⎪
⎨
⎪ 2 c a + p0 a3 = 0
0
⎪⎩
16 D
⇒
a0 =
p0 a 4
64 D
c0 = −
2p0 a2
64 D
(4.18)
Taipuman lausekkeeksi tulee vakioiden sijoittamisen jälkeen
p a4
w( r ) = 0
64 D
2
4
2
4
⎡
⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎤ p0 a ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤
⎢ 1− 2 ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎥ =
⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥
⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ 64 D ⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
2
(4.19)
Maksimi taipuma on laatan keskipisteessä ja sen arvo on
w max
p0 a 4
= w (0 ) =
64 D
(4.20)
Jännitysresultanttien kaavoissa (4.14) tarvittavat derivaatat ovat
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
w,r =
p0 a2
16 D
⎛
r3 ⎞
⎜ −r +
⎟
⎜
a 2 ⎟⎠
⎝
w,rr =
p0 a2
16 D
III.28
⎛
3r 2 ⎞
⎜ −1+
⎟
⎜
a 2 ⎟⎠
⎝
(4.21)
Sijoittamalla lausekkeet (4.21) kaavoihin (4.14) saadaan tulokset
p0 a2
Mr = −
16
2
⎛
3r 2
r 2 ⎞ p0 a2 ⎡
⎛r⎞ ⎤
⎜ −1 +
⎟
−ν+ν 2 ⎟=
⎢ (1+ ν) − ( 3 + ν) ⎜ ⎟ ⎥
⎜
16 ⎢⎣
a2
a ⎠
⎝ a ⎠ ⎦⎥
⎝
p0 a2
Mθ = −
16
2
⎛
3r 2
r 2 ⎞ p0 a2 ⎡
⎛r⎞ ⎤
⎜ −ν + ν
⎟
− 1+ 2 ⎟ =
⎢ ( 1 + ν ) − ( 1 + 3ν ) ⎜ ⎟ ⎥
⎜
16 ⎢⎣
a2
a ⎠
⎝ a ⎠ ⎦⎥
⎝
p0 a2
16
Qr = −
(4.22)
⎛
p r
3r 2
r2 ⎞
⎜ −1 +
⎟,r = − 0
1
−
+
2
2
⎜
2
a
a ⎟⎠
⎝
Laatan keskipisteessä r = 0 laattamomenteilla Mr ja Mθ on sama arvo
Mr (0) = Mθ (0) = ( 1 + ν ) p 0 a 2 / 16
(4.23)
Laatan reunalla r = a laattamomenttien Mr ja Mθ arvot ovat
Mr (a) = − 2 p 0 a 2 / 16
Mθ (a) = − 2 ν p 0 a 2 / 16
(4.24)
Suurin laattamomentin itseisarvo on siis reunan säteittäismomentin itseisarvo
Mr max = p 0 a 2 / 8 , josta seuraa suurimmaksi normaalijännityksen itseisarvoksi
σr
max
=
6
h
p a2 / 8 =
2 0
2
3⎛a⎞
⎜ ⎟ p0
4⎝h⎠
(4.25)
4.3.2 Tasaisesti kuormitettu ja niveltuettu ympyrälaatta
p0
Tutkitaan kuvan 4.4 tasaisesti kuormitettua ja reunaltaan
niveltuettua ympyrälaattaa. Edellisen kohdan yksityisratkaisu kelpaa tässäkin ja keskipisteen reunaehdot ovat
myös samat, joten taipuma ja sen derivaatat ovat
w = a0 + c 0 r 2 +
Kuva 4.4 Niveltuettu
ympyrälaatta.
Laattarakenteet
p0 4
r
64 D
3 p0 2
w,rr = 2 c 0 +
r
16 D
w,r = 2 c 0 r +
p0 3
r
16 D
(4.26)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.29
Laattamomentin Mr lausekkeeksi tulee kaavasta (4.14)
Mr = − 2 D ( 1 + ν ) c 0 − ( 3 + ν ) p 0 r 2 / 16
(4.27)
Reunan r = a ehdoista w(a) = 0 ja Mr (a) = 0 seuraa yhtälöpari vakioille a 0 ja c 0
p0 4
⎧
2
⎪⎪ a 0 + c 0 a + 64 D a = 0
⎨
⎪ − 2D (1+ ν ) c − ( 3 + ν ) p0 a2 = 0
0
⎪⎩
16
⇒
5 + ν p0 a 4
a0 =
1 + ν 64 D
3 + ν p0 a 2
c0 = −
1 + ν 32 D
(4.28)
Taipumaksi tulee vakioiden a 0 ja c 0 sijoittamisen jälkeen
p a4
w( r ) = 0
64 D
2
4
⎡ 5+ν
3 + ν ⎛ r ⎞ ⎛ r ⎞ ⎤ p0 a 4
−2
⎢
⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎥ =
1 + ν ⎝ a ⎠ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ 64 D
⎢⎣ 1 + ν
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ ⎡ 5 + ν ⎛ r ⎞2 ⎤
−⎜ ⎟ ⎥
⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥ ⎢
⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ 1 + ν ⎝ a ⎠ ⎥⎦
(4.29)
Maksimi taipuma on laatan keskipisteessä ja sen arvo on
w max = w(0) =
5 + ν p0 a 4
1 + ν 64 D
(4.30)
joka on ( 5 + ν ) /( 1 + ν ) -kertainen verrattuna jäykästi tuetun laatan suurimpaan taipumaan verrattuna. Kun ν = 0,3 , kerroin on noin 4,08. Kaltevuuskulmaksi w,r laatan
reunalla r = a tulee kaavasta (4.26)
w,r (a ) = −
p0 a3
8 ( 1 + ν )D
(4.31)
Jännitysresultanteille saadaan kaavasta (4.14) seuraavat lausekkeet
Mr =
( 3 + ν )p0 a2
16
p a2
Mθ = 0
16
⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤
⎢ 1− ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ a ⎠ ⎥⎦
Qr = −
p0 r
2
(4.32)
2
⎡
⎛r⎞ ⎤
+
−
+
(
3
ν
)
(
1
3
ν
)
⎢
⎜ ⎟ ⎥
⎝ a ⎠ ⎥⎦
⎢⎣
Laatan keskipisteessä r = 0 laattamomenteilla Mr ja Mθ on sama arvo
Mr (0) = Mθ (0) = ( 3 + ν ) p 0 a 2 / 16
Laattarakenteet
(4.33)
© Matti Lähteenmäki
Lujuusopin jatkokurssi
III.30
joka on samalla kummankin laattamomentin itseisarvon maksimi. Suurimmaksi normaalijännityksen itseisarvoksi tulee näin ollen
σr
max
= σθ
max
=
6
h
( 3 + ν ) p 0 a 2 / 16 =
2
2
3( 3 + ν ) ⎛ a ⎞
⎜ ⎟ p0
8
⎝h⎠
(4.34)
joka on ( 3 + ν ) / 2 -kertainen verrattuna jäykästi tuetun laatan suurimpaan normaalijännityksen itseisarvoon verrattuna. Kun ν = 0,3 , kerroin on 1,65.
Edellä olevia tuloksia sovellettaessa on syytä muistaa, että todellisissa rakenteissa
tuenta on harvoin täysin jäykkä tai ideaalinen nivel, vaan todellinen tuenta on tavallisesti niiden välimuoto.
Laattarakenteet
© Matti Lähteenmäki