1. No category

Diskreetti matematiikka
3.
Lukujonoista, summista
ja sarjoista
3.1 Lukujonon määrittely

Lukujonolla tarkoitetaan sellaista jonoa, joka
saadaan kirjoittamalla lukuja peräkkäin jonkin
säännön mukaan.

Esimerkki 1.
Luonnolliset luvut (N) 1, 2, 3, ...
Langattomien laitteiden matematiikka 1
2

Määritelmä 1.
Lukujonolla tarkoitetaan luonnollisten lukujen
joukossa määriteltyä funktiota f : N  R.

Lukujonoa merkitään usein (an) tai a [n].
Langattomien laitteiden matematiikka 1
3




Tällöin lukujonon jäseniä merkitään
nyt
yleisemmässä
muodossa
alaindeksillä
varustettuna:
a1 , a2 , ..., an - 1, an …
Merkintää a[k] käytetään usein diskreettien
systeemien ominaisuuksista puhuttaessa.
Indeksi ilmaisee järjestysnumeron.
Lukujonon jäsenet ovat termejä.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
4


Esimerkki 2.
a) 1, 3, 5, 7, ...
b) 1, 4, 9, 16, 25, ...
c) 1, 2, 4, 8, 16
Lukujono voi olla päättymätön tai sitten se on
päättyvä.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
5


Esimerkki 3. Olkoon an = 3n + 1. Määritä
lukujonon 2. ja 10. termi.
Esimerkki 4. Onko luku 17 jokin jäsen
jonossa(bn), kun
15n  1
bn 
n 1
Langattomien laitteiden matematiikka 1
6
3.2 Aritmeettinen lukujono

Aritmeettisessa lukujonossa kaikkien jonon
peräkkäisten termien erotus on vakio. Siis
a2 – a1
= a3 - a2 = ...
= an - an - 1 = d
= vakio
Langattomien laitteiden matematiikka 1
7

Tätä erotuslukua merkitään yleensä
kirjaimella d.

Esimerkki 5. Mitkä esimerkin 2 lukujonoista
ovat aritmeettisia?
Langattomien laitteiden matematiikka 1
8

Aritmeettisen jonon yleinen eli n:s termi
voidaan esittää muodossa
an = a1 + (n – 1)d

Esimerkki 6.
Osoita, että lukujono(bn), missä bn = 7n + 2,
on aritmeettinen.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
9
3.3 Geometrinen lukujono

Geometrisessa lukujonossa kaikkien
peräkkäisten termien suhde on vakio (q on
suhdeluku). Siis
a2 a3
an 1


q
a1 a2
an
Langattomien laitteiden matematiikka 1
10


Esimerkki 7.
Mitkä esimerkin 2 lukujonoista ovat
geometrisia?
Geometrisen lukujonon yleinen termi voidaan
esittää muodossa
an  a1  q
Langattomien laitteiden matematiikka 1
n 1
11

Esimerkki 8.
Osoita, että jono (cn) on geometrinen, kun
cn  3 7
n
Langattomien laitteiden matematiikka 1
12
3.4 Eräitä huomautuksia

Lukujonon ei tarvitse olla aritmeettinen eikä
geometrinen.

Kaikkia lukujonoja ei voida esittää säännön
avulla (esimerkiksi luvun  desimaaleista
muodostuva lukujono).
Langattomien laitteiden matematiikka 1
13
3.5 Esimerkkejä

Esimerkki 9.
Määritä geometrisen lukujonon b(n) viides
termi, kun ensimmäinen termi on 4 ja
suhdeluku q on 2.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
14

Esimerkki 10.
Esitä jono 10, 4, -2,… muodossa a(n) = f(n).
Määritä jonon 13. jäsen

Esimerkki 11.
Moniko aritmeettisen jonon 12, 19, 26, …
jäsenistä on pienempi kuin 1000?
Langattomien laitteiden matematiikka 1
15

Esimerkki 12.
Kuinka moni jonon 12, 0,98  12, 0,982  12,
… jäsenistä on suurempi kuin 3?

Esimerkki 13.
Onko jono a(n) = 25n aritmeettinen vai
geometrinen?
Langattomien laitteiden matematiikka 1
16
3.6 Lukujonon raja-arvo

Määritelmä.
Lukujonolla (an) on raja-arvo a, mikäli jonon
termit saadaan mielivaltaisen lähelle lukua a
kunhan vain n on tarpeeksi suuri. Tällöin
merkitään
lim an  a
n 
Langattomien laitteiden matematiikka 1
17
Langattomien laitteiden matematiikka 1
18

Voidaan käyttää myös merkintää
an  a, kun n   .

Tällöin sanotaan, että lukujono (an)
suppenee. Muutoin sanotaan, että lukujono
hajaantuu.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
19
Langattomien laitteiden matematiikka 1
20

Esimerkki 14.
Mistä luvun n arvosta lähtien jonon (bn)
jäsenet eroavat raja-arvosta vähemmän kuin
0,01, kun
6n  1
bn 
2n  3
Langattomien laitteiden matematiikka 1
21
3.7 Geometrisen jonon suppeneminen

Geometrinen jono qn suppenee, kun
-1 < q  1.

Sen avulla pystytään päättelemään monen
jonon suppeneminen.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
22
3.8 Kohti digitalisointia



Kun jatkuva-aikaisesta signaalista otetaan
näyte, saadaan tuloksena lukujono. Tämä
lukujono pyrkii kuvaamaan alkuperäistä
tilannetta riittävän hyvin.
Jatkuva-aikainen systeemi muuttuu siis
diskreetiksi systeemiksi.
Esimerkki 15.
Havainnollista jonoa x[k] = k, kun k ≥ 0 sekä
diskreettiä yksikköaskelfunktiota u[k].
Langattomien laitteiden matematiikka 1
23

Esimerkki 16.
Oletetaan, että tarkasteltavana on jatkuva
signaali x(t) = cos t. Otetaan väliltä [0,2]
tasavälein
i) 4 näytettä,
ii) 8 näytettä.
Kumpi kuvaa mielestäsi paremmin
alkuperäistä signaalia?
Langattomien laitteiden matematiikka 1
24



Joskus diskreettiaikaiset systeemit ovat
sellaisia, että niitä pystytään kuvaamaan
differenssiyhtälöllä.
Tällöin tiedetään sääntö, jonka mukaan
edellisten tulosten perusteella saadaan uusi
tieto laskettua.
Differenssiyhtälöiden käyttö on erityisen
tärkeää digitaalisen signaalinkäsittelyn
kannalta.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
25

Esimerkki 17.
Tarkastellaan yksinkertaista diskreettiaikaista
suodinta, jota kuvaa differenssiyhtälö
y[n] – ay[n – 1] = x[n].
Yo. yhtälössä x[n] on syöte y[n] on vastejono,
ja a on vakio. Määritä vastejonon 6
ensimmäistä termiä, kun syötteenä on
diskreetti yksikköaskelfunktio ja a = 0,5.
Määritä lisäksi systeemin tasapainotila.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
26
3.9 Summat



Matematiikassa summaa merkitään usein
symbolilla  (sigma).
Tarkastellaan lukujonoa (an).
Summamerkinnässä esiintyy melko usein
indeksi, joka kertoo, mistä termistä alkaen
jonon termit lasketaan yhteen.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
27

Esimerkki 18.
Merkitään summamerkinnällä lukujonon (an)
20. ensimmäisen termin summa:
20
a1  a2    a19  a20   ak
k 1
Langattomien laitteiden matematiikka 1
28

Esimerkki 19.
Laske
5
1
a) 
n  2 2n
456
b)
7
l 12
Langattomien laitteiden matematiikka 1
29
3.10 Aritmeettinen summa

Aritmeettisen jonon (an) n ensimmäisen
jäsenen summa saadaan kaavasta
n
Sn 

k 1
a1  a n
ak  n
2
Langattomien laitteiden matematiikka 1
30


Esimerkki 20.
Laske 10000 ensimmäisen luonnollisen luvun
summa.
Esimerkki 21.
Määritä kolminumeroisten 11 jaollisten
luonnollisten lukujen summa.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
31
3.11 Geometrinen summa

Geometrisen jonon n. ensimmäisen termin a,
aq, aq2, …, aq n - 1 summa saadaan laskettua
kaavalla (q  1)
n
Sn   aq
k 1
k 1

a 1 q

1 q
Langattomien laitteiden matematiikka 1
n

32

Esimerkki 22.
Laske seuraavan summan arvo:
1 1
1
1
 2  3  9
4 4
4
4
Langattomien laitteiden matematiikka 1
33

Esimerkki 23.
Kuinka monta jonon 1, 0,99, 0,992, … jäsentä
on vähintään laskettava yhteen, jotta summa
ylittää luvun 99?
Langattomien laitteiden matematiikka 1
34

Esimerkki 24.
Tilille, jonka korko oli 4,0 % talletettiin 20
vuoden ajan joka vuoden alussa 1000 e.
Kuinka paljon rahaa tilillä oli 20. vuoden
alussa? Kuinka paljon 20. vuoden lopussa?
Langattomien laitteiden matematiikka 1
35
3.12 Sarjan määrittely

Olkoon (an) päättymätön lukujono.

Muodostetaan uusi lukujono (Sn) laskemalla
lukujonon (an) jäseniä yhteen.

Lukujono (Sn) on tällöin muotoa:
Langattomien laitteiden matematiikka 1
36
S1  a1
S 2  a1  a2
S 3  a1  a2  a3


n
Sn  a1  a2  a3    an   ak
k 1
Langattomien laitteiden matematiikka 1
37

Lukuparia ((an), (Sn)) sanotaan sarjaksi.

Sn on sarjan n:s osasumma ja an on n:s termi
tai jäsen. Sarjan merkintä:

a
n 1
n
S 
Langattomien laitteiden matematiikka 1
38

Sarja (S) on suppeneva ja luku S on sarjan
summa, jos osasummien jono (Sn) suppenee
ja osasummien jonon raja-arvo n:n
kasvaessa rajatta on S. Tällöin merkitään
lim S n  S
n 
Langattomien laitteiden matematiikka 1
39


Jos sarja ei suppene, se hajaantuu.
Esimerkki 25.
Tutki, suppeneeko sarja (S1). Määritä, mikäli
mahdollista sarjan summa.
S1
1 1 1 1
1 1     
4 4 6 6
Langattomien laitteiden matematiikka 1
40

Esimerkki 26.
Tutki sarjan (S2) suppenemista ja etsi sarjan
n.osasumman lauseke ja laske summan
arvo, kun
S2

1

j1 3 j  2 3 j  1
Langattomien laitteiden matematiikka 1
41


Seuraavan tuloksen avulla voidaan osoittaa,
että sarja hajaantuu, mutta koskaan se ei
todista, että sarja suppenisi.
Lause 1. Jos sarja  an suppenee, niin
lim an  0
n 
Langattomien laitteiden matematiikka 1
42
3.13 Geometrinen sarja

Tarkastellaan geometrista sarjaa (G), joka
saadaan laskemalla yhteen geometrisen
jonon peräkkäisiä termejä:
G  a  ax  ax

2
    ax
k
k 0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
43

Lause 2.
Geometrinen sarja (G) suppenee, kun
geometrisen jonon suhdeluku x toteuttaa
ehdon | x | < 1.Tällöin sarjan summa on

a
S   ax 
1 x
k 0
k
Langattomien laitteiden matematiikka 1
44

Esimerkki 27.
Esitä desimaaliluku 0,54545454…
murtolukuna.

Esimerkki 28.
Laske summa

1

k
k 1 3  5
Langattomien laitteiden matematiikka 1
45

Esimerkki 29.
Milloin sarja (S1) suppenee ja mikä on sen
summa?
S1

 x  1


x


n 0

n
Langattomien laitteiden matematiikka 1
46

Esimerkki 30.
Millä muuttujan arvoilla sarja suppenee. Mikä
on sarjan summa?
1
1 2 1 3
1 x  x  x 
2
4
8
Langattomien laitteiden matematiikka 1
47
3.14 Yleistä sarjaoppia



Seuraavassa tarkastellaan positiivitermisiä
sarjoja.
Sarja on positiiviterminen, jos an > 0 kaikilla n
 N.
Tarkastellaan ensin suppenemista yleisesti ja
sen jälkeen esitetään keinoja
suppenevuustarkasteluihin.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
48

Lause 3.
Jos sarjat  an ja  bn suppenevat ja niiden
summat ovat A ja B, niin sarjat  kan,  kbn ja
(an + bn)
suppenevat ja niiden summat ovat
kA, kB, ja A + B.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
49


Lause 3 sanoo sen, että ainoastaan
suppenevat sarjat voidaan laskea yhteen ja
kertoa vakiolla.
Seuraavassa monisteessa on
luettelonomaisesti kerrottu, mitä ”testiä”
suppenemisen tarkastelemiseksi on
käytettävä.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
50

Esimerkkejä löytyy kirjallisuudesta, vaikkakin
tämän mielenkiintoisen aiheen joudumme
sivuuttamaan.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
51
3.15 Potenssisarjat


Sovellusten kannalta tärkeitä sarjoja ovat
potenssisarjat.
Potenssisarjojen yleinen muoto on
P1 

 a x  x 
k 0
k
k
Langattomien laitteiden matematiikka 1
0
52

Usein riittää tarkastella muotoa (P2) olevia
potenssisarjoja.
P2 

a
kx
k
k 0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
53


Sarjan (P2) suppenemisalue on origokeskinen väli ] –R, R[, kun taas yleisem-män
potenssisarjan suppenemisväli on yleensä
]x0 – R, x0 + R[.
Yleinen tarkastelu sivuutetaan.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
54

Todetaan lyhyesti:
- jos suppenemissäde on , niin sarja
suppenee reaalilukujen joukossa
- jos suppenemissäde on 0, niin sarja
suppenee vain yhdessä pisteessä x0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
55

Sarjaa (P) voidaan derivoida termeittäin välin
]-R, R[ jokaisessa pisteessä ja

n
n 1
D  an x    nan x
 n 0
 n 1


Langattomien laitteiden matematiikka 1
56

Seuraavassa tutustutaan Taylorin ja
McLaurinin sarjakehitelmiin.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
57
3.16 Taylorin sarja ja polynomi


Potenssisarja esittää suppenemisalueessaan funktiota.
Käsitellään käänteistä tilannetta, ja tutkitaan,
onko mahdollista liittää annettuun funktioon
potenssisarja, joka esittää tätä funktiota.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
58

Lause 4.
Jos funktio f ja sen n + 1 ensimmäistä
derivaattaa ovat jatkuvia välillä [a, b], niin
kaikilla x0  [a, b] on funktiolle f olemassa
esitys
Langattomien laitteiden matematiikka 1
59
f  x   f  x0   f '  x0    x  x0  
f ' '  x0 
2
  x  x0    
2!
n 
f x0 
n
 x  x0   Rn 1 x; x0 
n!
Langattomien laitteiden matematiikka 1
60
missä jäännöstermi Rn+1 on
Rn 1 x; x0  
t  x  x n1
0
n  1!
f
 n 1 
Langattomien laitteiden matematiikka 1
61

Mikäli funktio f voidaan derivoida äärettömän monta kertaa suppenemisvälillä ja
jäännöstermi Rn+1  0, kun n  , niin
funktio f voidaan esittää suppenemisvälillä
]x0 - R, x0 + R [ potenssisarjan summan
muodossa
Langattomien laitteiden matematiikka 1
62
T
f x  


k 0

f
k 
 x0 
k!
 x  x0 
k
Sarjaa (T) sanotaan Taylorin sarjaksi
pisteessä x0.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
63


Sarjan (T) suppenemista voidaan
periaatteessa tutkia samoilla menetelmillä
kuin muidenkin potenssisarjojen
suppenemista.
Sarjan (T) n. osasummaa sanotaan n. astetta
olevaksi Taylorin polynomiksi, ja sen muoto
on
Langattomien laitteiden matematiikka 1
64
Tn 
f x  
n

k 0

f
k 
 x0 
k!
 x  x0 
k
Ei ole kuitenkaan itsestäänselvää, että sarjan
(T) summafunktio olisi f (x). Yleisesti ottaen
päättelyn vahvistaminen vaatii jäännöstermin
tutkimisen.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
65

Lause 5. (Yksikäsitteisyyslause)
Jos funktiolla f on potenssisarjaesitys (P)
välillä ] x0 - R, x0 + R[ ,
P 
f x  


ak  x  x0 
k
k 0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
66
missä
ak 
f
k 
 x0 
k!
on (P) samalla ko. funktion Taylorin sarja.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
67

Eli saatiin:
Taylorin sarja:
f x  


k 0
f
k 
x0 x  x k
0
k!
Taylorin polynomi:
f x  
n

k 0
f k  x0 
k
x  x0 
k!
Langattomien laitteiden matematiikka 1
68
Eräs huomautus

Kun muodostetaan Taylorin sarja pisteessä x0
= 0, niin saadaan McLaurinin sarja.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
69
3.17 Esimerkkejä

Esimerkki 31.
Johdetaan funktion f (x) = cos x Taylorin sarja
pisteessä x0 = 0 (ns. McLaurinin sarja). Miten
saadaan
nyt helposti johdettua sinifunktion McLaurinin
sarja?
Langattomien laitteiden matematiikka 1
70

Esimerkki 32.
Etsitään McLaurinin sarja funktiolle
f x  ln 1  x

Esimerkki 33.
Määritä raja-arvo
sin x
lim
x 0
x
Langattomien laitteiden matematiikka 1
71

Esimerkki 34.
Etsi kaavastosta binomisarjan esitys ja
määritä McLaurinin kehitelmä funktiolle
f x   1  x
Langattomien laitteiden matematiikka 1
72

Esimerkki 35.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
2x  y
y' 
1 x
Langattomien laitteiden matematiikka 1
73
3.18 Linearisointi



Linearisoinnin tarkoituksena on saattaa
vaikea matemaattinen funktio
yksinkertaisempaan esitystapaan.
Esimerkiksi neliöjuurifunktiota voidaan
approksimoida 1. asteen polynomilla,
sinifunktio korvata x:lla kulmamuutoksen
ollessa pieni jne.
Katsotaan esimerkkejä luennolla.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
74
3.19 Lisää sovelluksia


Katsotaan seuraavaksi sovellusta
digitaaliseen maailmaan: FIR-suodatus.
Esimerkki 36.
Tarkastellaan äärelliskestoista signaalia x[0]
= 2, x[1] = 4 ja x[2] = 6. Käytettäessä 3pisteen reaaliaikaista keskiarvonlaskijaa
saadaan vastaukseksi 4. Esitä signaali ja
vaste graafisesti, kun n = -3..5.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
75

Esimerkki 37.
Oletetaan, että ohjaussignaali on muotoa
x[n] = 1,02n + 0,5cos((n+1)*/4),
kun 0  n  40 ja 0 muulloin. Katsotaan,
miten kohinan poistaminen tapahtuu.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
76