1. No category

1. Johdantoa.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
1
1.1. Yleistä differentiaaliyhtälöistä



Ennen diskreettiin maailmaan siirtymistä
kerrataan differentiaaliyhtälöiden käsittelyä.
Lisäksi tutustutaan 2. kertaluvun
differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen.
Tarkastellaan aluksi siis jatkuvia funktioita.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
2


Differentiaaliyhtälö (lyh. dy) lausuu yhteyden
funktion, sen derivaattojen ja tunnettujen
funktioiden välillä.
Usein differentiaaliyhtälöiden yhteydessä
funktioita f merkitään kirjaimella y ja funktion
f derivaattoja siten y’, y’’, y(3)….
Langattomien laitteiden matematiikka 1
3


Korkeimman yhtälössä olevan derivaatan
kertaluvun mukaan differentiaaliyhtälöt
luokitellaan ensimmäisen, toisen, kolmannen
jne. kertaluvun yhtälöiksi.
Differentiaaliyhtälön yleinen muoto on
F(x, y, y’, y’’,…y( n ))
Langattomien laitteiden matematiikka 1
4


Differentiaaliyhtälön ratkaisuna saadaan
funktio, joka toteuttaa annetun yhtälön.
Osittaisdifferentiaaliyhtälössä muuttujia ja
niiden funktioita on useita.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
5

Esimerkki 1.
a) y’’+2xy’+ y3 = cos x ( 2. kl. dy)
b) y ’ = cos x
( 1. kl. dy)

Monet yleiset luonnonlait sekä tekniikan
ongelmat on kätevintä esittää
differentiaaliyhtälöinä.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
6

Esimerkki 2.
x
Toteuttaako funktio y  e
differentiaaliyhtälön
3 y' '6 y'9 y  0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
7
1.2. Diff.yhtälön ratkaiseminen


Differentiaaliyhtälön ratkaisemisella
tarkoitetaan kaikkien sellaisten funktioiden
y = y(x) etsimistä, jotka toteuttavat annetun
differentiaaliyhtälön.
Differentiaaliyhtälön ratkaisu on yleensä
äärettömän monesta funktiosta muodostuva
funktioparvi.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
8
Separoituvat1.kl dy:t


1. kertaluvun dy on separoituva, jos muuttujat
voidaan erottaa.
Separoituva yhtälö on muotoa:
1) y'  f xg  y 
f x 
2) y ' 
gy
Langattomien laitteiden matematiikka 1
9


Differentiaaliyhtälön yksityisratkaisu saadaan
yleisestä ratkaisusta tietyllä vakion arvolla.
Esimerkki 3. Example 19.10
Langattomien laitteiden matematiikka 1
10
1. kl lineaarinen diff.yhtälö

Ensimmäisen kertaluvun täydellinen
lineaarinen differentiaaliyhtälö on muotoa
(TY1) ja homogeeninen (HY1):
(TY1) y ’ + f (x)  y = g(x)
(HY1) y ’ + f (x)  y = 0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
11

Esimerkki 4. Example 19.16
Langattomien laitteiden matematiikka 1
12
Esimerkki 5.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
xy'2 y  x cos x
3
Langattomien laitteiden matematiikka 1
13
2. Toisen kertaluvun
differentiaaliyhtälöt
Langattomien laitteiden matematiikka 1
14
2.1 2. kl. differentiaaliyhtälöt

Toisen kertaluvun (täydellinen) lineaarinen
differentiaaliyhtälö on muotoa (TY2) ja sitä
vastaava homogeeninen yhtälö muotoa
(HY2):
TY2 y' ' pxy'qxy  f x
HY2 y' ' pxy'qxy  0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
15


Mikäli kertoimet p(x) ja q(x) ovat vakioita,
niin kyseessä on vakiokertoiminen toisen
kertaluvun differentiaaliyhtälö.
2. kertaluvun vakiokertoimiset tehtävät
voidaan ratkaista yleisessä tapauksessa
yritteen avulla ja alkuarvotehtävät Laplacemuunnoksella.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
16


Strategia:
Määritetään siis (HY2):n yleinen ratkaisu ja
sitten jokin (TY2):n yksityisratkaisu.
(prop1., prop2. page 547)
(TY2):n yleinen ratkaisu on näiden kahden
summa.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
17

Esimerkki 1. Mitkä seuraavista ovat 2. kl
lineaarisia diff. yhtälöitä?
1
2
3
y ' ' xy ' '3 y  x cos 3x
y ' '3 y '6 y  e
4x
y ' '3 y '6 y  0 4  y '2 xy  0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
18
2.2. Homogeeninen 2. kl. yhtälö

Tarkastellaan seuraavassa vakiokertoimista (p,
q  R) toisen kertaluvun homogeenista
yhtälöä (HY2):
HY2 
y ' ' py ' qy  0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
19

Tehdään yrite:
ye
rx
y '  re
2 rx
y' '  r e
rx
Langattomien laitteiden matematiikka 1
20

Havaitaan, että yrite toteuttaa yhtälön (HY2),
mikäli ns. karakteristisella yhtälöllä (KY) on
ratkaisuja:
KY  r

2
 pr  q  0
On kolme eri mahdollisuutta:
Langattomien laitteiden matematiikka 1
21
1. Karakteristisella yhtälöllä on kaksi
erisuurta reaalista ratkaisua r1 ja r2.
- saadaan kaksi lineaarisesti riippumatonta ratkaisua
e
r1x
e
r2 x
- jolloin yleinen ratkaisu on
y  C1e
r1x
 C2e
Langattomien laitteiden matematiikka 1
r2 x
22
2. Karakteristisella yhtälöllä kaksoisjuuri r  R
- lineaarisesti riippumattomat ratkaisut ovat
e
rx
rx
xe
- jolloin yleinen ratkaisu on
y  C1e  C2 xe
rx
Langattomien laitteiden matematiikka 1
rx
23
3. Karakteristisen yhtälön juuret ovat
erisuuret ja imaginaariset
(muotoa a + bi)
- yleinen ratkaisu on
y  e C1 cos bx  C2 sin bx 
ax
Langattomien laitteiden matematiikka 1
24

Esimerkki 2.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
y' '3 y'2 y  0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
25

Esimerkki 3.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
y' '6 y'9 y  0
Langattomien laitteiden matematiikka 1
26

Esimerkki 4.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
y’’+ y = 0.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
27
2.3 Täydellinen 2 kl. dy

Esimerkki 5.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
y ' '2 y' y  e
2x
Langattomien laitteiden matematiikka 1
28



Edellisessä esimerkissä käytetty periaate sopii
useimpiin differentiaaliyhtälöihin.
Tarkoituksena on sopivalla yritefunktiolla
löytää täydellisen yhtälön eräs
yksityisratkaisu. Yritefunktion muoto riippuu
yhtälön (TY2) oikeasta puolesta eli funktiosta
f (x).
Seuraavassa taulukossa on eräitä yritteitä,
joilla (TY2):n ratkaisemista voi kokeilla.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
29
f x 
kx
ae
a sin x  b cos x
n
n 1
a0 x  a1 x    an
kx
kx
ae sin x  be cos x
y1  x 
kx
Ae
A sin x  B cos x
n
n 1
A0 x  A1 x    An
kx
kx
Ae sin x  Be cos x
Langattomien laitteiden matematiikka 1
30


Taulukossa mainitut yritteet eivät päde silloin,
kun homogeenisen yhtälön ratkaisu on samaa
muotoa kuin täydellisen yhtälön oikea puoli.
Yritettä kannattaa tällöin yrittää kertoa x:n
mahdollisimman pienellä potenssilla.
Langattomien laitteiden matematiikka 1
31

Esimerkki 6.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
y' '3 y'2 y  e
Langattomien laitteiden matematiikka 1
x
32

Esimerkki 7.
Ratkaise differentiaaliyhtälö
y' '3 y'2 y  2 x  e  2 xe  4e
2
x
Langattomien laitteiden matematiikka 1
x
3x
33